I
Jesus Mosterfn LOCICA DE PRIMER ORDEN Desde finales del siglo XIX, y despues lie un letar go de 2.000 afios, la logica se : ha desarrollado a un r itmo acelerado, convir tiendose en UJ,1a de las cien cias formales mas solidas y bien establecidas. Ac tualmente, algunos conocimientos basicos de 16 gica resultan imprescindibles al fil6sofo y al mate matico, e incluso al Iinguista, al programador 'y al in teresado poria teo ria de la informacion 0 la ci berne tica. Las ramas de la filosofia contemporanea que han logrado un progreso indudable y un rico acopio de resultados y aclaramientos fecundos - tales co mo la filosofia de la ciencia y la filosoffa del len guaje - se basan en la aplicacion de tecnicas y coriceptos logicos al analisis de sus problemas. In cluso en campos tan aparentemente alejados como la etica se empieza a hacer uso de la logica como potente instrumento de dilucidacion y sistematiza cion, Y no pocos filosofos actuales piensan que la filosofia entera no es o tra cosa sino la actividad del analisis logico. El progreso de la logica llevo a principios de si glo al descubr-imiento de las paradojas de la teor ia de conj untos y, con ello, a la mas grave "crisis de fundamentos" de la materna tica moderna. Pero pre cisamente con ayuda de la logica se encontraron tambien las diversas soluciones a la crisis: teorias axiornaticas de conjuntos, teoria de tipos, materna tiea intu icion ista, etc. Las relaeiones entre logica y ma ternatica son estrechas y sus fronteras arbi trarias. Respecto a los conceptos fundamentales de la teoria de conjuntos nadie sabria afirmar si son logicos 0 maternaticos. Y en la metamatematica 10 grarnos obtener resultados inequivocamente mate maticos POI' procedimientos logicos y resultados ti picamente logicos POI' procedimientos maternaticos. En cierto modo, se puede decir que la maternatica so reduce a la logica, pues la actividad materna liea consiste en deducir eonsecuencias (teoremas) " par IiI' de axiomas dados. En otro sentido se pue de dccir que la logica se reduce a la matematica, de la que consti tuye la parte mas general. L" ",i'"ilaeion de las nociories y tecnicas logicas "iP""·IlI"h·s Iacilrta grandemente la labor del lin ,'.iii . .In, d,,) programador, del ciberrie tico, etc. Re ..,"··r d.· . ,,· I" iuiportancia de la logica en el desa rr "II" .I,. I" I,·" r in gl'neral de la computabilidad 0 .I•. I,,:. ,,,i"l,,i,,,,:: .I" 'I'uring. Recuerdeso tarnbien que 1,1'. 1'11!"lle'III,':; I illl-:'iiisl.icas mas recientes - grama I n-" , •.•. ",."" ivn .Y truusf'ormacional de Chomsky, 1\. d:. d,' I,." I."" ,)" "I> toner para los leriguajes lllllillillc':, t·tlll.llllll(l~; <1(' I"Pl-das 0 algoritmos r-ecu r ',it'll', tho l~c'llc'r;lcH'111 :;illlil:tn'.'~ Cl los ernpleados para dl·llllll Ill', ftlllll;t1I;.rtlll,'; It')l_:i('w~. Incluso en la psi ,,11I,~in, III III'clllJ~tl'~I~1 .Y 101 .illri:;pnl(h'llei~1 encuentra !
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COLECCION «CONVIVIUM» - 11 (
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LOGICA DE PRIMER ORDEN
COLECCION CONVIVIUM
JESUS MOSTERIN
1. Historia del espiritu griego por Wilhelm Nestle
2. Metafisica por Emerich Coreth 3. Literatura latina
por Jean Bayet 4.
Introduccion a la sintaxis estructural del latin por Lisardo Rubio
5. ABC de la grafologia por J. Crepieux-Tamin 6.
Literatura griega. Contenido, problemas y metodos por Jose Alsina
LOGICA
.DE PRIMER ORDEN
7. Tragedia y politica en Esquilo por Carlos Miralles
8. La investigacion cientifica por Mario Bunge
9. Historia de la filosofia por Frederick Copleston 10.
Introduccion a la logica y al analisis formal por Manuel Sacristan
11. Logica de primer orden por Jesus Mosterin 12. Los origenes de la civilizacion anglosajona por Micaela Misiego
13. Teoria axiomatica de conjuntos por Jesus Mosterin 14. Hipocrates y la nosologia hipocratica por Eulalia Vintro 15. Salustio. Politica e historiografia por Jose-Ignacio Ciruelo 16. Calculo de las normas por Miguel Sanchez-Mazas
EDITORIAL ARIEL
BARCELONA - CARACAS - MEXICO
PHOtOeD A LA PRIMERA EDICIDN
1.' edicion: 1970 2.' edicion: septiembre de 1976
© 1970 Y 1976: Jesus Mosterin, Barcelona Deposito legal: B. 35759 - 1976 ISBN: 84 344 3939> 5 Impreso en Espana
1976. - 1. G. Seix y Barral Hnos., S. A.
Av, J. Antonio, 134, Esplugues de Llobregat (Barcelona)
Numerosas ciencias, desde la matetruiiica hasta la meteorologia, pasando par la quimica, utilizas: simbolos. Asi tam bien 10 haee la logiea, desde que esta ee constituye en ciencia en 1879, con la publicacuni del Begriffsschrift de Frege. El simbolismo usado par Frege tenia el inconveniente de ser bG:'8 tante cornplicado - las variables, pOl' ejemplo, tenian distinta forma, segun que estuoiesen libres 0 ligadas - y, edemas, era bidimensional. Estos ineon venientes fueron eliminados pOl' Peano, que en 1894, en su Notation de logi que mathematique, introdujo el primer simbolismo logieo simple y unidimen sional. El simbolismo de Peano, conoenientemenie ampliado, fue adoptado par Russell y Whitehead en sus Principia Mathematica, de 1910-13. Sin em bargo, pronto se via que este simbolismo no era muy elegante, pues sus sig nos no retlejavan algunas importantes relaciones entre las operaciones pOl' ellos designadas, tales como la dualidad entre conuuncum. y disyunci6n, la equivalencia del bicondicional con dos condicionales de direcciones opues tas, la relacion entre corujunciori y cuaruiiicacum. universal a entre disyun cion y cuaniiiicacion. existencial, etc. POl' esta razon; el simbolismo de Peano ha ido siendo abandonado (aunque algunos autores, como Quine, aun 10 eon seroan} en favor de simbolismos mas adecuados (en el seniido indica do) y elegantes. Desgraciadamente, todaoia no se ha llegado a una uniformidad en los signos logicos empleados. En este libro adoptaremos el sunbolismo que nos parece mas iniuiiioo y que mas claramerde refleia las relaciones arriba indi cadas. Actualmente, este simbolismo es de uso universal en Alemania y la parte oeste de los Estados Unidos (California, etc.). La definicion de la sustitucum. planiea serias dificultades. La primera version completamente explicita de un sistema logieo de primer orden, la de Hilbert y Ackermann de 1928, resulio inconsistence por una mala defird don de la sustitucion. Tarski hamostrado en 1951 como la sustitucuni puede ser evitada. Sin embargo, el disponer de la sustitucuni en todo su. alcance y potencia simplifica enormernente las deducciones yin metateoria. Al conirario de 10 que freeuenternente pasa en fa bibliografia logiea, en las paginas 42-43 de este libro se presenta una definicion recursioa exacta
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I'ROLOGO
PROLOGO
de la sustitucuni para todos los casos, incluulas las formulas cuantificadas y las descripcumes. En la mayoria de los libros de texto de 16gica se introducen [ormalismos de primer orden sin identidad ni functores Ij, en cualquier caso, sin descrip dones. Para estos formalismos pobres se definen los conceptos y se presenta un calcuio deductico. Pero esto es de poca utilidad, pues cualquier teoria matenuiiica 0 cualquier argumentaci6n iilosoiica; a poco complicada que sea, necesita para su [ormalizacum de la identulad, los functores y las des cripciones. La teoria de coniuntos, por ejemplo, hace uso de las descripcio nes a cada paso. Esto suele arreglarse mencionando estos temas en un apen dice al final. Una de las peculiaridades de este libro es que aqui, desde un principio, se introduceo. los formalism os de primer orden en toda su potencia, incluyen do la identidad, los [unctores y las descripcumes. Esta presentaci6n eXige un mayor esjuerzo inicial por parte del lector 0 alumna, pero represenia una gran economia de esjuerzos al final, pues no hay que volver una y otra vez sobre 10 mismo, conuplicdndolo cada vez un poco mas. Una de las tareas mas importances de La 16gica consiste sin duda alguna en el desarrollo de algoritmos generales que nos permitan "mecanizar" 0 normalizar determinados p1'Ocesos intelectuales. Especialmente importantes son los algoritmos 0 calculos deductivos, que nos permiten mostrar La co rreccion de las argumentaciones odlidas, desarrollar las teorias axiomaticas, precisar el concepto de prueba 0 demostracum, etc. EI primer calculo deductivo fue presentado por Frege en su citado tra bajo de 1879. Los calculos 16gicos posteriores a 1879 y anteriores a 1934 estaban formulados - igual que el de Frege - como siste'mas axiomaticos. Habia, por un lado, una serie de "axiomas 16gicos" y, pOl' otro, una serie de reglas de inferencia. La aplicacion de estos calculos resultaba engorrosa y artificial, y se parecia poco al proceso del razonamiento no formalizado, que parte de las premisas, y, paso a paso, llega a la conclusion. En 1934 Gentzen presento los dos primeros calculos 16gicos sin axionws y con solo reglas de inferencia, cuya aplicaci6n resulta mas familiar y natural que la de los viejos ( calculos, par 10 que los llarn6 calculos "de deducci6n natural". A partir de entonces se han presentado diversas variantes y simplificaciones de La idea de Gentzen. Aqui presentamos el calculo deductivo expuesto por Kalish y Montague en 1964. Aunque un poco complicado a primera vista, resulta luego sorpren dentemente facil de manejar y de aplicar. Ademas, tiene la ventaja de seguir muy de cerca el proceso normal de la prueba matematica. El lector que conozca otros calculos observara que Ie resulta mas facil obtener deduccio nes en este calculo que en los otros. En este sentido, es el calculo mas "na tural" que conozco. Ni que decir tiene que todos los calculos clasicos de primer orden Son equivalentes, es deGir, que con ellos pueden deducirse las
mismas sentencias. Por eeo, a la hora de elegir un calculo entre otros, 00 cabe mas que invocar rrwtivos pragmaticos 0 esteticos - en este caso, mas bien pragmaucos que esteticos, pues hay cdlculos mucho mas elegantes, aun que tamhien mucho mas dificiles de manejar y aplicar. En este libra se presenta la setruintica de los [ormalismos de primer orden de un modo riguroso, comenzando por el concepto de interpretacion de un formalismo y siguiendo por la dilucidacum de los conceptos de satisfacibi lidad, consecuencia, etc., llevada a cabo en el sentido de Turski, La semantica aqui preseniada es La senumtica clasica, no la intuicionista. (Esto no implica [uicio alguno de valor.) La senuuitica cldsica estd perfec tamente fijada. El unico punto problenuuico es el de la interpretaci6n de las descripciones, donde hemos adoptado una solucum tipo Frege-Carnap-Mon tague, asignan1do una designacion arbitraria, pero unica en cada inierpreta cum, a todas las descripciones impropias. La soluci6n resulta artificiosa y poco iniuitioa, pero es la mas comoda a la hora de formalizar y maneiar el cdlculo. El mismo Quine, que sietrupre habia preconizado una soiucion tipo Russell, a La hora de hacer teoria, en su Set theory and its logic, adopta una solucioa del mismo tipo que la aqui adoptada, para no cotnplicarse exagera damente al vida. En la parte de senuuuica se oirecela prueba detallada y entera del fun damental teorema de la completud settuuuica de nuestro calculo deductioo. Este resuliado [ue obtenido por primera vez por Codel, en 1930. En 1949 Henkin ofrecio una prueba distinta y mas simple del mismo resultado. En 1957, Kalish y Montague realizaron la prueba de la completud semdntica referida al calculo aqui presentado - mas rico que el tomado como base por Godel y Henkin. La prueba que nosotros ofrecerrws representa una no table modificaci6n y simplificacion de la de Kalish y Montague, aprovechan do ideas de Hasenjaeger y Hermes. S610 a los logicos puros - que son muy pocos - interesa la logica por S1 misma. La mayoria de las personas - fil6sofos, matematicos, etc. - que se interesan por La logica se interesan sabre todo por sus aplicaciones. Saber aplicar La l6gica, dominar la logic a como arte, con.siste sobre todo en saber probar que una sentencia dada es 0 no es una consecuencia de un conjunto dado de sentencias, es decir, en saber hacer deducciones y pruebas de inde pendencia. Y esto, mas que una teoria, es una praxis, que solo se aprende practicandola. La experiencia muestra que los estudiantes encuentran difi cultades a La hora de buscar ocasiones de practicar, ejercicio resueltos. Por eso en este libro se ofrece una cantidad considerable de ejercicios de deduc cion y de prueba de independencia, que espero resulten utiles al lector. Este libro es de texto en el sentido estricto a estrecho de la palabra. Ha surgido de las clases de logica que el autor ha dado en la Universidad de Barcelona en los ultimos cuatro anos y esta destinado a servir de texto a cur sos de logica de nivel universitario.
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PROLOGl.
Para acabar, desearia expresar aqui mi agradecimienio a Hans Hermes, de quien he sido discipuio durante tres aiios, en Munster, y a los estudiantes de 16gica de la Unioersidad de Barcelona de los cuatro ulUmos curses, cuyo sentido de la critica y del humor ha consiituido pam mi un constanie ali ciettte y una continua satisiaccion; JESUS MOSTERIN
Barcelona, junio de 19
170.
INDICE Pr610go a la primera edici6n Pr610go a la segunda edici6n
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INTRODUCCION
PROLOGO A LA SEGUNDA EDICION·
Los manuales de 16gica aparecuios en nuestro pais en los seis aiios transcurruios desde la primera edici6n de esia ohm han adoptado el sistema de signos 16gicos aqui propuesto, 10 cual no puede por menos de contrihuir a la deseable uniformizaci6n de la terrninologia cientifica. En .esta segunda edici6n se han corregido erratas y deecuidos de la primera y se han afiadido algunos eietnplos. Pero el caracter y articulaci6n de la obra permanecen inalterados: la 16gica de primer orden con [unctores, identidad y descripciones se presenta de una vez y desde el principia de un modo escueto y preciso, con la mayoria de las pruebas plenamente desarro lladas y con abutulantes eternplos y elcrcicios que faciliten la asimilacum de las tectiicas [ormoles por parte del estudiante. Agradezco sus obseroaciones a cuanios lectores me las han hecho llegar, y en especial a Calixto Badesa.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
Nombres . Functores. Sentencias Predicados Conectores Variables . Terminos y formulas Cuantificadores Descripciones , Parentesis Formalizacion Formalismos . Lenguaje y metalenguaje .
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17 19 19
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2..5
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PARTE PRIMERA
SINTAX1S: GRAMATICA DE LOS FORMALISMOS JESUS MOSTERIN
Barcelona, junio de 1976.
1.1. 1.2. 1.3. 104. 1..5. 1.6. 1.7. 1.8.
Signos comunes a todos los formalism os Signos peculiares de un formalismo Filas de signos Terminos y formulas Induccion semiotics Estancia libre y ligada de una variable Sustitucion de una variable por un terrnino Convenciones notacionales
31
32 34
3.5
37 39 41 .... 40.)
PARTE SEGUNDA i
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
ILL Reglas primitivas de inferencia 11.2. 11.3. 1104. 11.5. 11.6. 11.7.
Deducciones . Reglas derivadas de inferencia
Ejercicios de deduccion .
Teoremas sintacticos sobre la deducibilidad Cuasieliminacion de descriptores . Consistencia y contradiccion . n.8. Consistencia maxima y ejemplificacion
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57
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93 .
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PARTE TERCERA
INTRODUCClON
SEMANTICA IIl.l. 111.2. 111.3. IlIA. 111.5. 111.6. 111.7. 111.8. 111.9.
Interpretaciones Denotacion y satisfaccion . Interpretacion y sustitucion Satisfacibilidad, validez y consecuencia Independencia Ejercicios de prueba de independencia Correccion semantica . Consistencia y satisfacibilidad Completud semantica
Bibliografia .
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1. Nombres La cadena sonora que sale de nuestras bocas al hablar puede ser seg mentada de diversas maneras. De la mayoria de los segmentos no tendria sentido preguntar por el objeto 0 individuo al que se refieren 0 designan. No designan objeto alguno. A los segmentos de la cadena sonora que se refieren a algun objeto 0 individuo les llamamos designadores. Si en vez de analizar la cadena sonora analizamos textos escritos, nos encontraremos en una situacion parecida. Podremos scgmentar los textos (0 sucesiones finitas de signos graficos del alfabeto de que se trate, ampliado para abarcar los signos de puntuacion y el espacio de separacion) de muchas maneras. Algunos segmentos de texto designanin quizas algo 0 a alguien, y Ies llamaremos designadores. La mayoria no designan nada, no se refieren a nada, Hay muchos tipos de designadores. Uno de los mas sencillos esta cons tituido por los nombres. Todos conocemos ejemplos de nombres. Por ejemplo, "1", "2", "3", "4", "5", "6" ... son nombres de numeros, "Paris", "Roma", "Barcelona", "Reus", "Sao Paulo", "Yokohama" ... son nombres de ciudades. "Pablo Picasso", "An dre Gide", "Jose Maria de Porcioles", etc., son nombres de personas. "Marte", "Tierra", "Venus" ... son nombres de planetas. "RENFE", "UNESCO", "ONU", "NATO" ... son nombres de empresas u organiza ciones. Los nombres son -limitando ahora nuestra atencion al lenguaje escri to-- sucesiones de signos graficos que designan algo -un numero, una ciudad, una persona, un planeta, una empresa... - . En esto se comportan como el resto de los designadores, de los que se diferencian pOl' ser gene ralmente mas cortos, mas sencillos, mas univocos, mas independientes del contexto. Si digo: "yo he comido machacamoya", "yo" actua como designador, es un designador que se refiere a mi. Pero su referencia variara con el contexto, con la persona que pronuncie esa sentencia. Podria decir 10 mismo, diciendo "Jesus Mosterin ha comido machacamoya", utilizando el
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I
INTRODUCCION
nombre "Jesus Mosterin", cuya referencia permanecera invariable, utilice la sentencia quien la utilice. En este caso, pues, aunque el nombre era mas largo que el otro designador - el pronombre "yo" - , resultaba mas univoco, mas independiente del contexto. Vamos a ir introduciendo un simbolismo senciIlo para formalizar las expresiones lingiiisticas que nos interesen. Asi, en vez de los nombres del lenguaje ordinario, nosotros utilizaremos las primeras letras minusculas del alfabeto latino: a, b, c, e, k, si es necesario con subindices de diferenciacion (ao, al, a2, ... , etc.). Consideremos el texto: "Charles de Gaulle vive en Paris, que es la capital de Francia". Podemos simbolizar a "de Gaulle" pOl' a, "Paris" pOl' b, Y "Francia" pOl' e, con 10 que obtenemos: "a vive en b, que es la capital de e".
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2. Functores Los nombres son designadores simples, en el sentido de que ninguna parte propia de ellos es a su vez un designador. Pero no todos los designa dores son asi. Con frecuencia nos encontramos con des,ignadores compuestos, designadores que pueden segmentarse en varias partes, algunas de las cuales son a su vez designadores. "El rio que atraviesa la capital de Francia" es un designador, una expresion linguistica que se refiere a un objeto 0 individuo: el rio Sena. "Sena" es su nombre, pero no la unica expresion que 10 designa. "La capital de Francia" es. una parte propia del designador citado y, a su vez, un designador, e incluso un designador compuesto tambien, pues una de sus partes, "Francia", es ella misma un designador; un designador simple en este caso, es decir, un nombre. Hay algunas expresiones lingiiisticas que, seguidas de un mimero deter minado de designadores, forman a su vez un designador. Estas expresiones se llaman functores. Un functor que, seguido de un designador de cierto tipo, forma un de signador, se llama functor monadico 0 monario. Asi, hablando de personas, "la madre de ... " es un functor monadico. Junto con los design adores perso nales "Pablo VI" 0 "Juan Ramon Jimenez" forma los designadores "la madre de Pablo VI" 0 "la madre de Juan Ramon Jimenez". Hablando de numeros naturales, " ... 2" 0 "el siguiente de ... " son functores monadicos, Junto con los designadores "3" 0 "4" forman los designadores "3 2 " y "el siguiente de 3", 0 "4 2 " Y "el siguiente de 4". Un functor que necesita de dos designadores de un cierto tipo para formal' un nuevo designador se llama functor diadico 0 binario. Asi, habJan do de numeros naturales, "el maximo comun divisor de ... y ... ", "el minirno comun multiple de y " " son functores diadicos.
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SENTENCIAS
Junto con los dos designadores 7 y 5 forman los designadores "el m.c.d, de 7 y 5", "el m.c.m. de 7 y 5", "7 5", "7·5". Un functor que necesita de tres designadores para formal' un nuevo dcsignador se llama functor triadico 0 ternario. En general, un functor (IUC necesita de n (donde n es un numero natural cualquiera) designadores para formal' un nuevo designador se llama un functor n-adico 0 n-ario. Observese que los nombres sefialan simplemente su objeto de referencia sin indicar nada acerca de el, mientras que los designadores compuestos (de un functor y otros designadores) sefialan su objeto de referencia indi cando alguna relacion en que ese objeto esta con los otros objetos designa dos por los designadores componentes. Asi, el nombre "9" no indica nada del objeto al que se refiere, mientras que su designador compuesto "3 2 " indica que es el cuadrado de 3. Lo mismo puede decirse de "Paris" y "la capital de Francia", etc. En nuestra simbolizacion, en vez de los functores del lenguaje ordinario, utilizaremos las siguientes letras minusculas del alfabeto latino: f, g, It, si cs necesario con subindices de diferenciacion ti». iI, f2,"" etc.). Cuando 10 creamos oportuno, indicaremos el numero adico 0 aria de un functor (es dccir, el numero de designadores que necesita para formal' un nuevo desig nador) colocandolo en la parte superior derecha de la Ietra con que 10 simbolicemos, Asi, si "1" es un functor triadico y queremos indicarlo, escri biremos "f3". Consideremos el texto: "El padre de Juan Sebastian Bach tambien era musioo", Podemos simbolizar al nombre "Juan Sebastian Bach" pOl' a, y al functor "padre de ... " pOl' f, con 10 que obtenemos, escribiendo delante el functor: "fa tambien era musico",
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3. Sentencias Un designador se refiere a algo. "El Sena", 10 mismo que "El rio que atraviesa la capital de Francia", se refiere al rio Sena, Pero dque sentido tcndria preguntar si "el Sena" es verdadero 0 falso? Ninguno, evidente mente. De muchos de los segmentos en que podemos dividir la cadena sonora que sale de nuestras bocas 0 los textos escritos que salen de nuestra mana no podemos decir que sean verdaderos 0 falsos. Solo de algunos. A estos les llamamos sentencias. Una sentencia es una expresion linguistica de la que podemos decir que es verdadera 0 falsa, aunque no sepamos si es 10 uno 0 10 otro. Asi, pOl' ejemplo, "Paris es la capital de Francia", "5 5 = 12" Y "Tengo unas ganas en ormes de cantar" son sentencias. La verdad 0 false dad de las sentencias depende con frecuencia del contexto. "Ayer fui al cine" puede ser verdadera 0 falsa, segun la persona que la diga y el diu en que la diga. Nosotros nos interesaremos par sentencias que sean 10 mas
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2. -
I.6cICA DE PRIMER ORDEN"
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INTRODUCCION
CONECTORES
independientes posible del contexto, tales como muchas sentencias cienti ficas 0 notariales. Al decir "Ayer fui al cine" digo 10 mismo que al decir "el dia 8 de enero de 1969 Jesus Mosterin fue al cine", pero esta segunda sentencia es mucho mas independiente del contexto que la primera. Hemos visto que podemos establecer una correspondencia entre desig nadores del lenguaje y objetos del mundo. Algunos filosofos han buscado una correspondencia parecida para las sentencias, y han creido encontrarla en los hechos. Asi como un nombre designa un objeto, una sentencia pre tenderia describir un hecho. De una sentencia diriamos que es verdadera, si realmente describe un hecho; y que es falsa, en el caso contrario.
Si es neeesario, emplearemos subindices de diferenciacion: Po, P l , P~, ... Cuando 10 creamos oportuna, indicarcmos el numero adico 0 ario de un relator (es decir, el mnnero de designadores que necesita para formal' una sentencia) colocandolo en la parte superior derecha de la letra con la que 10 simbolicemos, Asi, si R es un relator diadico y queremos indicarlo, escribiremos R2. Consideremos cl texto: "Juan ama a su madre, pero no aguanta a dona Leovigilda", Podemos simbolizar el nombre "Juan" pOI' 'a, el nom bre "dona Leovigilda" pOl' b, el functor "la madre de ... " port, el relator " ... ama a ... " por P y el relator" ... aguanta a ... " par Q. Escribiendo el relator delante de los designadores con los que forma una sentencia, obtc nemos:
4. ReIatores
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Paia, perc no Qab. Habiamos visto que hay expresiones lingiiisticas que, junto con un nume ro determinado de designadores, forman un nuevo designador. Las habia mas llamado functores. Del mismo modo podemos observar que hay expre siones lingiiisticas que, junto con un nurnero determinado de designadorcs, forman una sentencia. Las llamaremos relatores. Un relator que, seguido de un designador de un cierto tipo, forma una senten cia se llama un relator monadico 0 monario. Asi, hablando de perso nas, " ... es bueno", " ... esta enfermo", " ... ronca terriblernente", " ... vive en una casa de campo en las afueras de Amsterdam" son relatores mona dicos. Junto con designadores tales como "Juan Pelaez", "el rey de Thai Iandia", "el padre de Juan Pelaez" y "el alcalde de Amsterdam", forman sentencias tales como "Juan Pelaez es bueno", "el reyde Thailandia .esta enfermo", "el padre de Juan Pelaez ronca terriblemente" y "el alcalde-de Amsterdam vive en una casa de campo en las afueras de Amsterdam". Un relator que necesita dos designadores para fonnar una sentencia se llama un relator diadico 0 binario. Asi, hablandode personas "... ama a ... ", y " ... es mucho mas alto que ... " son relatores diadicos, Junto con designadores tales como "Juan Pelaez", "la hija mayor del alcalde de Ams terdam", "Julio Quebrantahuesos" y "el rey del Nepal", forman sentencias tales como "Juan Pelaez ama a la hija mayor del alcalde de Amsterdam" y "Julio Qucbrantahuesos es mucho mas alto que el rey del Nepal". lin relator que necesita tres designadores para formal' una sentencia se llama un relator triadico 0 ternario. Asi, hablando de ciudades, ":., esta situada entre ... y ... " es un relator triadico, Junto con design adores tales como "Zaragoza", "Madrid" )' "Barcelona" forma sentencias tales como "Zaragoza esta situada entre Madrid y Barcelona". En general, Ull relator que necesita n designadores para formal' una sentencia se llama un relator n-adico 0 n-ario. En nuestro simbolismo, emplearemos las letras mayusculas del alfabeto latino H, P, Q, R, S para representar los relatores del lenguaje ordinario.
,5. Conectores Hay ciertas exprcsiones de las que no se puede decir que sean desig nadores 0 sentencias, pero que desempefian un importante papel en la Iormacion de sentencias compuestas a .partir de otras mas simples. Estc cs cl caso, por ejemplo, de algunas de las particulas que los gramaticos llaman conjuncianes: "v". "0", "no", "pero", "si ... entonces ... ", etc. Estas particulas sirven, entre otras cosas, para determinar el valor de verdad (es decir, si es verdadera 0 falsa) de la sentencia compuesta en Iuncion de los valores de verdad de las sentencias simples que la componen. Asi, una sentencia como "Juan duenne y Pedro estudia" sera verdadera en el caso y solo en el caso de que tanto la sentencia "Juan duerme" como la scntencia "Pedro estudia" 10 sean. En nuestro simbolismo, utilizaremos el signo "," para representar la particula "no" y otras de fun cion parecida" tales como "ni", "no es el caso que", etc. Asi, representaremos la scntencia "no Qab" por ", Qa!J". Para representar la particula "y", as! como otras de funcion parecida, como "tambien", "pero", "igualmente"; "tanto ... como", etc., utilizaremos ('] signo "A". Asi representaremos "Pata, pero no Qab" pOl' "Pata A, Qab". Al decir "de funcion parecida" en este y en los otros parrafos, no hay que suponer ninguna concesion a la vaguedad. Puesto que los conectores sirven especialmente para determinar los valores de verdad de las senten cias compuestas, no nos interesan de ellos las connotaciones de otro orden que pudieran tener. Aunque "pero", pOl' ejemplo, s,e usa cuando ha:r una cierta oposicion entre las dos sentencias que une, su contribueion al valor de verdad de la sentencia compuesta resultante es la misma que Ia de "y". Asi: "Juan no viene hoy pero vcndra manana" es verdaderaen el caso y solamenteen elcasoen que 10 sea "Juan no viene hoy y vendra manana". La dHerencia entre ambas sentencias es ret6rica,· no 16gica.
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VARIABLES. TERMINaS Y FORMULAS
INTRaDUCCION
Consideraciones semejantes pueden hacerse para las restantes particulas. La particula "a" se utiliza al menos en dos sentidos, una exclusive (que excluye la verdad simultanea de las dos sentencias que conecta), como en "a estas horas ya Ie habran aprobado a Ie habran suspendido", y otro no exclusivo (que no excluye la verdad simultanea de las dos sentencias que conecta), como "aprobaran -losalumnos que hayan escrito un buen trabajo en casa 0 hayan hecho un buen examen", "se requiere saber frances 0 Ingles", "todos sus amigos san aficionados al cine 0 a la rmisica", etc. Reprc sentaremos la particula "0", en su usa no exclusivo, mediante el signa "v", ASl en vez de "Qab 0 no Qab", escrihiremos "Qab y , Qab". Para representar la expresion·"si ... , entonces ... " u otras parccidas utilizaremos el signa "~". Si A Y B son dos sentencias, en vez de cual quiera de estas sentencias: si A, entonces B
si A, B
suponiendo que A, B
B, si A
B, a condicion de que A
A es una condicion suficiente de B
B es una condicion necesaria de A
escribiremos: "A ~ B". Lo que queremos decir es que, siempre que A sea cierto, tambien 10 sera B. Para representar la expresion " ... si Y solo si ... " u otras parecidas utili zaremos el signo "~". Si A Y B son dos sentencias, en vez de A si Y solo si B A es una condicion necesaria y suficiente de B si A, B, Y si B, A, escribiremos: "A ~ B". Lo que queremos decir es que A y B tienen el mismo valor de verdad, que las dos son ciertas 0 las dos son falsas. A estos signo~:
"
/\, v ;
~, ~
y a las oxprcsioncs lingiiisticas por ellos representadas, les llamaremos concctorcs, pOl'quc sirvcn para concctar unas sentencias con otras (excepto ","), formando scntcncias mas complicadas a partir de otras mas simples. Lo fundamental de los conectores es que determinan univocamente el valor de verdad de la sentcncia compuesta, pOl' ellos conectada, en funcion de los valores de verdad de las sentencias componentes. Esto no ocurre
19
siempre asi con las expresiones del lenguaje ordinaria. Pew nosotros sola usaremos las nuevas signos aqui introducidos cuando esto ocurra,
, A sera verdadero, si A es falso. En los demas casos, Ialso. A /\ B sera verdadero, si tanto A como B son verdaderos. En los demas casos, falso. A y B sera falso, si tanto A como B son falsos. En los demas casos, verdadero. A ~ B sera falso, si A es verdadero y B falso. En los demas casos, verdadero. A ~ B sera verdadero, tanto si A y B son los dos verdaderos, como si A y B son los dos falsos. En los demas casos, falso. 6. Variables Los matematicos utilizan can frecuencia variables, sobre todo cuando quieren decir algo bastante general, como que la ecuacion
x+y=y+x sicmpre resulta satisfecha, cualesquiera que sean los numeros reales que pongamos en vez de las variables. En ellenguaje ordinario, los pronombres juegan con [recuencia el papel de variables. "EI ha sidoel asesino", dEl? dQuien? Es como decir: "x ha sido el asesino". "Lo he visto con mis propios ojos". dLo? dQue? Es como decir: "He visto x con mis propios ojos". En realidad, a la hora de analizar textos del lenguaje ordinario y simbo lizarlos adecuadamente, nos daremos cuenta de que las variables constituyen un valioso recurso de simbolizacion. Como variables utilizaremos las ultimas letras mimisculas del alfabeto latino:· u, v, w, x, y, z. Si es necesario usare mos subindices de diferenciacion: xo,' xl, X2, X:t. 7. Terminos y formulas Si en una sentencia sustituimos un designador pOl' una variable (0 va rios designadores pOl' otras tantas variables), el resultado es 10 que llamamos una f6rmula abierta. Asi, sustituyendo el designador "Juan" porIa variable "x" en la senten cia "Juan ama a su prima", obtenemos la formula abierta "x ama a su prima". Del mismo modo, sustituyendo el designador "la madre de Luis" por "y" en la sentencia "la madre de Luis se pasa el dia cosiendo", obte nemos la formula abierta "y se pasa el dia cosiendo", Sustituyendo el
20
CUANTIFICADORES
INTRODUCCION
designador "5" por "x" y el designador "7" por "y" eh la sentencia ",5 7210", obtenemos la Mrmula abierta "x y > 10". Observese que, mientras las sentencias son verdaderas 0 falsas, las forrnu las abiertas no son ni 10 uno ni 10 otro. "5 7 >10" es cierto, pem "x y > 10" no es ni cierto ni fa lso, Si en un designador sustituimos un designador por una variable (0 varios designadores por varias variables), el resultado es 10 que llamamos un
+
+ +
+
termino abierto. Asi, sustituyendo el designador "Luis" por la variable "x" en el desig nador "Ia madre de Luis", obtenemos el termino abierto "la madre de x". De igual modo, sustituyendo "el ultimo rey de Francia" por "z" en el desig nador "la cabeza del ultimo rey de Francia", obtenemos el termino abierto "la cabeza de z". Y sustituyendo el designador "8" por "x" y el designador "9" por "y" en "(8 9)2", obtenemos el termino abierto "(x y)2". Observese aqui tambien que, mientras los designadores designan 0 se refieren a un individuo u objeto determinado, los terminos abiertos no se refieren a individuo u objeto alguno. Asi, por ejemplo, "(8 9)2" designs al numero 289, pero "(x y)2" no designa numero alguno. De ahora en adelanto, llamaremos formulas tanto a las formulas abier tas como a las sentencias. Y lIamaremos terminos tanto a los terminos abier tos como a los designadores. Segun la tenninologia que hemos adoptado, "El padre de Enrique es amigo del alcalde de Reus" es una formula y, en especial, una sentencia. "x es amigo de y" es una formula y, en especial, una formula abierta. "Madrid es la capital de Espana" es una formula y, en especial, una senten cia (en este caso, verdadera). ",5 x = 10" es una formula y, en especial, una formula abierta (ni verdadera ni falsa). "La capital de Francia" es un termino y, en especial, un designador (que designa Paris). "El padre de Fe lipe II de Espana" es un termino y, en especial, un designador (que designa a Carlos I de Espana). "5 6" es un terrnino y, en especial, un designador (que designa al numero II). "La capital de x", "el padre de z" y "5 y" son terminos y, en especial, son terminos abiertos, que no designan objeto alguno. El siguiente cuadro resume 10 dicho:
-+
+
+
-+
8. Cuantificadores A veces nos encontramos con expresiones lingiiisticas que nos sirven para decir algo de todos los objetos de una clase detenninada. Por ejemplo, la expresion "todos los" en "todos los chinos aman a Mao", 0 la expresi6n "cada" en "cada uno tiene sus gustos", 0 la expresi6n "el" en "el hombre es un mamifero", Otras expresiones nos sirven para decir algo de algunos objetos de una dase determinada, para afirrnar que en esa clase hay al menos un objeto que cumple 10 que se dice. Por ejemplo, la expresi6n "unos" en "unos tipos sospechosos me seguian", 0 la expresi6n "algunos" en "algunos chinos aman a Liu Chao-chi", 0 la expresi6n "hay" en "hay personas que pesan mas de 120 kg". A todas estas expresiones las llama remos cuantificadores. A las primeras ("todo", "cada", "el" ... ), cuantifica dores universales, a las segundas ("algun", "unos", "hay", ... ), cuantificado res particulares. Al cuantificador universal 10 representaremos por ..A", al particular por "V". Despues del cuantificador escribiremos siempre una variable, a la que llamaremos variable cuantificada:
Ax, Ay, Vz, Vw ... A partir de formulas abiertas podernos construir formulas cuantificadas, anteponiendo cuantificadores, seguidos cada uno de una variable. Si digo "todos mis amigos son gentes de fiar" quiero decir que, de cualquier x, se puede afirmar la formula abierta:
+
+
-+
f abierto
21
si x es amigo mio, entonces x es de fiar es decir,
x es amigo mio
~
x es de fiar.
Para simbolizar enteramente la sentencia "todos mis amigos son gente de fiar", he de afiadir el cuantificador universal: Ax (x es amigo mio
~
x es de fiar).
0, simbolizando los relatores " ... es amigo rnio" y " ... es de fiar" por "P" y "Q", respectivamente: Ax (Px ~ Qx).
termino .,
t designador (designa un objeto I abierta
Iorrnula
t scnrcncia (es verdadera falsa)
0
0
individuo)
Observese que, desde el punto de vista granco, el cuantificador univer sal, A, es como un conyuntor mas grande, mientras que el cuantificador particular, V, parece un disyuntor de gran tamafio. Tambien a nivel intui tivo existe una semejanza funcional entre estos dos pares de signos. En efecto, si tomamos una clase finita como ambito de referencia, entonces la cuantificacion universal equivale a una conyunci6n repetida, mientras que la cuantificacion particular es como una disyuncion iterada,
22
23
INTRODUCCION
DESCRIPCIONES
Asi, por ejemplo, si en un club solo hay tres socios: Juan, Pedro y Enri que, decir "todos los socios son honrados" equivale a decir "Juan es honrado y Pedro es honrado y Enrique es honrado"; y decir "algun socio es un Iadron" equivale a decir "Juan es un ladron 0 Pedro es un ladron 0 Enrique es un ladron", Simbolizando "Juan" por a, "Pedro" por b y "Enrique" por e, el relator" ... es honrado" por H y " ... es un ladron" por L, y convi niendo que nuestras variables se refieren a socios del club, tenemos que
0, mas completamente, simbolizando el relator " ... mato a... " por M, y el nombre "Robert Kennedy"por k:
tX
Mxk
Si simbolizamos el relator monadico ":., es habitante de Barcelona" por H y el relator diadico " ... es mas anciano que ... " por M, podernos simbolizar el designador "el mas anciano habitante de Barcelona" por:
Ax Hx equivale a Ha /\ H') /\ He
V x Lx equivale a La v Lb v Lc
~x
(Hx /\ -Ny (Hy /\ Myx))
que, en lectura detailada, dice:
Claro esta que esto solo oeurre, como ya hemos indicado, en el caso de que hablemos de una clase finita, como la de los miembros de un club. En el caso de clases infinitas, como la de los numeros naturales, la cuantifica cion es insustituible. Si queremos decir que todos los numeros naturales poseen una determiriada propiedad P, podemos escribir:
el x tal que: xes habitante de Barcelona y no hay ningun habi tante de Barcelona que sea mas anciano que el. Hagamos que nuestras variables se refieran a numeros naturales, sim y el predicado bolicemos el relator diadico ":., es divisor de ... " por diadico " ... es menor 0 igual que ... " por "<", Podemos simbolizar el designador "el maximo comun divisor de n y m" por:
''I''
AxPx Pero si quisieramos escribirlo como conyuncion repetida
tX
PI/\ P2 /\ P3 /\ P4 /\ P5 /\ P6 /\ P7 /\ ...
(x]n /\ xlm /\ Ay (yin /\ Ylm ~ y < x))
que en lectura detallada, dice:
no podriamos, pues no acabariamos nunca de escribir esa conyuncion.
el x tal que: x es divisor de n y de m, y cualquier otro nurnero que es divisor de n y de m es menor 0 igual que el. "El menor mimero natural" se simbolizaria:
9. Descripciones
ex Ayx
"El mayor numero natural" seria ex Ayy.
Ahora bien, mientras todos sabemos que el 0 es el menor mimero natu ral, el mayor no existe. La expresion "el mayor numero natural" no describe univocamente objeto alguno, no caracteriza a objeto alguno, aunque por su forma sea una caracterizacion. En el mismo caso estan expresiones tales
x mato a Robert Kennedy
Supongamos que Robert Kennedy fue asesinado por una sola persona. En ese caso, la formula abierta que acabamos de escribir caracteriza 0 des cribe univocamente a un individuo: al asesino de Robert Kennedy, al que mato a Robert Kennedy, al x tal que x mato a Robert Kennedy. Para simbolizar las caracterizaciones 0 descripciones univocas de un individuo, introducimos el signo "." (la iota griega), al que llamaremos el descriptor. El descriptor, como los cuantificadores, siempre va seguido de una variable. El designador "el que mato a Robert Kennedy" sera simbolizado asi:
como "el actual rey de Francia",
"~'"
"el hijo menor de Fulano" (donde
Fulano no tiene hijos), etc. Ante estas caracterizaciones engafiosas 0 descripciones impropias cabe tomar dos caminos por 10 menos. Uno consiste en excluirlas del lenguaje, no admitirlas como terminos (es el camino de Hilbert). Otro consiste en atribuirles una designacion arbitraria, la misma para todas ellas. Cada descripcion propia designaria su objeto univocamente descrito, mientras que todas las descripciones impropias designarian un mismo objeto, arbi trariamente elegido por el hablante. Este camino resulta un tanto sofisticado
ex x mato a Robert Kennedy
)..
24
FORMALIZACION
y artificioso, pero tiene muy claras ventajas tecnicas a la hora de forma lizar. Es el camino seguido por Frege y Carnap y el que seguiremos noso tros aqui.
tras variables se refieren a personas, "S" representa a" ... es sueco" y "E" a " ... es europeo", "Si todos los hombres son suecos, x sera un europeo" es una formula abierta y se formaliza asi: AxSx~Ex
10. Parentesis
"Todos los suecos son europeos" es una sentencia y se formaliza asi:
Las mismas palabras, colo cadas en el mismo orden, pueden dar Iugar a sentencias distintas, segun las pausas que hagamos al pronuneiarlas 0 los signos de puntuaci6n que empleemos al escribirlas. Si, refiriendonos a nues tro amigo John, decimos: "John habla en frances, 0 John habla en Ingles y Pedro no le entiende", damos a entender que Pedro no entiende el ingles, pero posiblemente si el frances. Al decir: "John habla en frances 0 John habla en ingles, y Pedro no Ie entiende", queremos mas bien indica!" que Pedro no entiende ni el frances ni el Ingles, que son los idiomas que habla nuestro amigo, por 10 que en cualquier caso no Ie entiende. Tratemos de formalizar estas dos sentencias, usando "H" para" ... habla frances", "N" para " ... habla Ingles", "E" para " ... entiende a ... ", "a" para nuestro amigo "John" y "b" para "Pedro". . Las dos sentencias arriba citadas podrian formalizarse de momento asi:
Ax(Sx ~ Ex) La diferencia se indica, pues, unicamente par la colocacion de los pa rentesis. Si nuestras variables se refieren a numeros naturales (0, 1, 2, :3, ... , ctc.) y M representa a "... es menor que , .. ", formalizaromos la descripci6n "el numero natural menor que el 1" (que designa al 0) por
tx,Mxl. Para formalizar la descripcion "el numero natural menor que cl 2 Y mayor que el 0" (que designa all) hemos de hacer uso de los parentesis: IX
Ha
y
Na /\ .. Eba
tX
seran la correcta formalizacion de la primera y la segunda sentencia, res pectivamente. Los parentesis son al lenguaje formalizado 10 que las pausas al Ienguaje hablado y los signos de puntuacion al lenguaje escrito normal. Los parentesis se emplean mucho en la matematica, No es 10 mismo
11. Formalizaeion
+ 7) ·.5 8 + 7 ·5 es 43, mientras que (8 + 7) . 5 es '7.5.
Tarnpoco es 10 mismo 5 + 7 x + y que (5 + 7)2(X + y).
(8
que
2
Tambien en el lenguaje formal de Ia logica los parentesis estan a la orden del dia, Los parentesis nos sirven para indicar hasta donde lIega el efecto de un cuantificador 0 de un descriptor. Supongamos que nues
Mx2 /\ MOx,
no s610 no conseguiriamos decir 10 mismo, sino que, por afiadidura, no diriamos nada, En efecto: la fila de signos anterior a "/\" es un termino, mientras que la posterior es una formula, y sucede que los conectores han sido introducidos para unir precisamente dos f6rmulas. (Por otraparte "txMx2" no design a objeto alguno: no hay solamente un numero natural menor que 2.)
Ha y (Na /\ .. Eba) (Ha y Na) /\ --. Eba
8+ 7·5
(Mx2 /\ MOx).
Si no 10 hiciesemos, esto es, si escribiesemos llanamente:
Ahora bien, una de esas sentenoias podria ser falsa y la otra verdadera. No pueden ser formalizadas de la misma manera. Al pronunciarlas, maroa bamos la diferencia mediante las pausas; al escribirlas, mediante las comas; al formalizarlas, marcaremos la diferencia mediante la distinta colocacion de los parentesis,
...
2.5
INTRODUCCION
II
~
{
Formalizar las expresiones del lengnaje ordinario signinca simbolizarlas de acuerdo can las normas hasta ahora expuestas. Para Iormalizar unas expresiones hay que empezar por analizarlas, es decir, por vel' si son sentencias, designadores, etc., y cuales son sus cornponentes. A continua ci6n hay que indagar cuales son los nombres, functores y relatores distintos que en ellas aparecen, asignando una letra distinta correspondiente a cada uno de elIos. Finalmente, y por medio de los SigJ.l0S 16gicos (conectores, cuantificadores y descriptor), las variables y los parentesis, hay que tradu cir simb6licamente la estructura de las expresiones de que partimos.
26
INTRODUCCION
FORMALISMOS. LENGUAJE Y METALENGUAJE
Pongamos varios ejemplos numericos, Supongamos que nuestras varia bles se refieren a numeros naturales y simbolicemos los relatores monadi cos" ... es par" y " ... es impar" pOl' "P" Y "Q" respectivamente, el relator cliadi~? " ... ,~~, menor que ... " pOl' "<" y el functor monadico "el siguiente de ... pOl' f. "Hay pOl' 10 menos un numero par menor que tres" 10 simbolizare mos pOl'
27
"ningun griego es mortal" como
/\x(Gx
~
-, Mx)
"algunos europeos son griegos" como
Vx(Ex r; Gx) y "algunos europeos no son griegos" como
Vx(Px r; X < 3)
Vx(Ex r; -, Gx).
"Hay a 10 sumo un numero par menor que tres" pol'
/\xy(Px r; Py r; X <.'3/\ Y < 3
~
x = y)
12. Fonnalismos
"Hay exactamente un numero par menor que tres", que equivale a las dos sentencias anteriores, juntas, puede simbolizarse uniendo sus simboliza ciones respectivas:
Vx(Px r; x < 3)/\ /\xy(Px r; Py r; X < 3/\ Y < 3 ~x = y) 0, mas brevemente,
Vx(Px r; X < 3/\ /\y(Py r; Y < 3 ~ x = y)) "El numero siguiente de cualquier numero par es impar" se conver tid en
/\x(Px
~
Qfx)
"El numero siguiente de cuatro es cinco" sera
f4
= .5
La silogistica aristotelica, que es la teoria 16gica mas antigua, s610 se ocupa de sentencias de 4 tipos muy determinados: del tipo a: "todos los A son B"; del tipo i: "algun A es B"; del tipo e: "ningun A es B" y del tipo 0: "algun A no es B", donde A y B son relatores monadicos. Nosotros sim bolizariamos estas sentencias asi: tipo a: /\x(Ax ~ Bx)
tipo i: Vx(Ax r; Bx)
tipo e: /\x(Ax ~ -, Bx)
tipo 0: Vx(Ax r; -, Bx)
Asi, pOl' ejemplo, si nuestras variables se refieren a hombres, y las letras G, E Y M representan los relatores monadicos " ... es griego", " ... es europeo" y " ... es mortal", respectivamente, podemos simbolizar "todos los griegos son mortales" como
/\x(Gx
~Mx)
(
Podemos llegar a determinadas f6rmulas a terminos simbolicos como resuItado de un proceso de formalizaci6n de textos del lenguaje ordinario, movidos, pOl' ejemplo, pOl' el deseo de aclarar 0 controlar una determinada argumentaci6n. Pero tambien podemos interesarnos pOl' las posibilidades que hay de construir terminos y f6rmulas a partir de determinados signos, con inde pendencia del lenguaje ordinario. Podemos definir propiedades de f6rmulas y relaciones entre formulas. Podemos,' en una palabra, interesarnos pOl' los formalismos. Un formalismo no es sino eso: un conjunto de signos y de determinadas combinaciones de esos signos. Aqui vamos a considerar un tipo peculiar de formalismos: los de primer orden. Todos los formalismos de primer orden tienen ciertos signos comunes: los conectores, los cuantificadores, el descriptor, el relator diadico de igual dad, "=", y las variables. Pero unos formalismos se diferencian de otros en los distintos nombres, functores y relatores que poseen. Un formalismo es, en principio, un mere juego de signos y de combina ciones de signos, desprovisto de toda significacion, Sin embargo, podemos interpretar un formalismo, cuando asi nos interesa, atribuyendo significados a sus signos. Un formalismo asi interpretado se convierte en un lenguaje formal. Claro que un mismo formalismo es susceptible de ser interpretado de muy diversas maneras, dando lugar a diferentes lenguajes formales. En la sintaxis estudiaremos los formalismos con independencia de toda interpretaci6n. El estudio de las interpretaciones sera objeto de la se mantica.
13. Lenguaje y metalenguaje Cuando un grupo de espafioles vamos a clase de latin, el profesor nos habla en espafiol acerca del latin. Utiliza la lengua espanola para hablar nos de la lengua latina. En ese sentido decimos que el espafiol esta siendo
28
INTRODUCCION
usado como metalenguajc para el estudio adecuado del latin, que es el lenguaje-objeto. Los formalismos son susceptibles de ser interpretados y, por tanto, de convertirse en lenguajes: lenguajes form ales. Pero su estudio ha de reali zarse desde otro lenguaje que, respecto a elIos, es un metalenguaje. En este Iibro estudiaremos los formalism os - 0 lenguaje-objeto- utilizando como metalenguaje el castellano, 0, mejor dicho, el castellano enriquecido con deterrninadas expresiones matematicas y determinados signos ad hoc que irernos introduciendo. Basta aqui hemos introducido una serie de conceptos de un modo intui tivo e insatisfactorio. Con ello espero haber conseguido 10 que pretendia: que una serie de palabrotas tecnicas empiecen a "sonarle" al lector. Tan pronto como pase al primer capitulo, es de esperar que ellector olvide 10 leido en la introducci6n y se quede con las definiciones mas precisas que de aqui en adelante encontrara..
PAHTE PHIMERA
SINTAXlS:
GRAMATIGA DE LOS
FOHMALlSf\~OS
I
1 "'j
I 1 \ I.. I
1.1. Signos comunes a todos los formalismos El al£abeto de cada formalismo esta constituido par dos clases de signos: los signos comunes a todos los formalismas y los signos peculia res de el, Los signos comunes a todos los formalismos son las variables, los signos 16gicos y el igualador. Las variables constituyen un conjunto infinito recursivamente nume rable de signos distintos. Es decir, hay tantas variables como numeros natu rales. A eada variable corresponde un numero natural distinto, ul que lla mamas su indice, Asi podemos hablar de la primera variable (0 variable de indice 1), de Ia segunda variable (0 variable de indice 2), ... de la n-esima variable (0 variable de indice n), etc. Inversamente, a cada numero natural corresponde una variable: la que tiene ese numero como indice, Variables distintas tienen indices distintos y una sola variable tiene un solo indice. Las variables pueden tener cualquier forma grafica compatible can las anteriores exigencias. Par ejemplo, podrian tener la forma de cruces segui das de palates (el numero de palates indicaria el indice) a de circulos can 1111 numero en su interior (donde el numero en el interior de cada circulo indicaria el indice), etc.
(
primera variable segunda " tereera euarta
ffi ffi
:
II
CD ® ®
@
\
I
•
I I
100......-.
_
I
La forma eoncreta, que tengan las variables nos resulta indiferente, pues nosotros no las usaremos, sino unicarnente las mencionaremos. Para refe rirnos indistintamente a variables, introducimos como metavariables las 3. -
LOGICA DE
PRIMER ORDEN
)
J 32
SINTAXIS: GRAMATICA DE LOS FORMALISMOS
ultimas letras minusculas del abecedario latino (provistas, cuando sea nece sario, de subindices de diferenciaci6n): tz, v, W, x, y, z, "', uo, til, u~, u~, ... , VI, V2,
\t
Va, ...
Los signos logicos son 8: 5 conectores, 2 cuantificadores y 1. descriptor. Constituyen, pues, un conjunto finito, disjunto con el de las variables. Es decir, no hay signos comunes, cada signa 16gico es distinto de los demas v de cada una de las variables. Como estos signos son pocos, podemos darles nombres. A cada uno de los 5 conectores le Ilamaremos respectivamente: negador, conyuntor, disyuntor, condicionador y bicondicionador. A los cuantificadores les lla maremos universal 0 generalizador y existencial 0 particularizador, respec tivamente. Al descriptor le seguiremos llamando asi. Los signos 16gicos pueden tener cualquier forma grafica compatible con las 'anteriores exigencias. Por ejemplo, el negador podria tener la forma de una piramide roja 0 de una locomotora 0 de una golondrina. La forma concreta que tengan los signos 16gicos nos resulta indiferente, pues nosotros no los usaremos, sino unicamente los mencionaremos. Asi nos ahorramos el tener que estar escribiendo constantemente los signos entre comillas. Para referirnos distintamente a los signos 16gicos, introducimos como metanombres los siguientes signos: J
-,
~
como como como como como
/\ V
como nombre para el generalizador como nombre para el particularizador
A
v ~
nombre nombre nombre nombre nombre
para para para para para
el negador el conyuntor el disyuntor el condicionador el bicondicionador
cuantificadores
como nombre para el descriptor
1.2. Signos peculiares de un fonnalismo Los alfabetos de cada formalismo se parecen en sus signos comunes, que acabamos de ver, y que son los mismos para todos ellos. Y se diferencian por sus signos peculiares, distintos en cada uno.
,I ~:
1
:3:3
Los signos peculiares son las constantes individuales, los functores y los rcIatorr-s. EI numero de ellos es variable, scgun los formalismos. Puede haber des de ninguno hasta una cantidad infinita numerable. Un forrnalismo determinado puede no tener ninguna constante indivi dual, 0 tener una, 0 dos, 0 tres, ... , etL:., hasta un numero infinito numerable de elias. Para cada numero natural n (n > 1), un formalismo determinado puede no toner ningun functor n-adico, 0 tener un functor n-adico, 0 tener dos, o tn.'s, ... , etc., hasta un numero infinite numerable de elles. Igualmente, para cada numero natural n (n > 1), un formalismo deter minado puede no tener ningtm relator n-adico, 0 tener uno,. dos, tres, etc., rclatorcs n-adicos y hasta IIegar a tener un numero infinito numerable de 2, es seguro que cada formalismo tiene eIJos. (De todos modos, para n al monos un relator diadico: cl igualador). Si un formalismo determinado tiene constantes individuales, estas han de posccr un indice 0 estar numeradas. Ha de poder hablurse de la pri mora constante individual, de la segunda, etc. Y 10 mismo puede decirse de los Iunctorcs 0 relatores n-adicos, casu de que los haya. Tarnbien entonces 1Ia dc' poder hablarse del primero, segundo, tercero, etc., functor 0 relator n-aclico. Pero mientras que las constantes individuales de un formalismo viencn caractcrizadas solo'pOI' ~1I1 numero: su indice, los functores y rela torr-s vicnen c.uacterizados por dos: su numero adieo y su indice. Todos estes conjuntos de signos peculiares (de constantes individuales, de functores n-adicos, y de relatores n-adicos para cada numero n) han de sor disjuntos entre si y con el conjunto de los signos logicos y las variables. Es decir, todos los signos han de ser distintos entre si. Los signos peculiares de un formalismo pueden tener cualquier forma ~r{lfica compatible con las anteriores exigencias. Sin embargo, tampoco aqui uc-ccsitamos prcocuparnos por ella. La forma concreta que tengan los signos peculiares nos resulta indife r.-uto, pues no vamos a usarlos, sino unicamente a mencionarlos. Para re Icrirnos indistintamente a constantes individuales de un formalismo, intro clncimos como metavariables las primeras letras minusculas del alfabeto lutino (provistas, cuando sea necesario, de subindices de diferenciaci6n): a, b, C, ... , ao, at, a-s, ... , b o, hI, b'.!., ... , Co, Cl, c:!, ... Para referirnos indistintamente a functorcs n-adicos de un formalismo, introducimos como metavariables las letras f y h cubiertas de un sobre indice n (y provistas, cuando sea necesario, de un subindice de diferen ciacion): [", tv-, f;', f~, f~, ..., h;;, lt~, Para referirnos indistintamente a relatores n-adicos de un formalismo, in troducimos como metavariables las letras mayusculas P, Q, R, 5, ... , cubiertas de un sobreindice n (y provistas, cuando sea necesario, de un subindice de di ferenciaci6n): pn, Qn R", 5", ... , P;:, p,;, P~, ... , Q~. Q~, Q~,... (Recllcrdes~
=
conectores
EI iguulador, finalmcnto, puede tener cnalquier forma grafica, con tal de que sea diforcntc de la de los dcmas signos. Tampoco usarcmos el igualador, sino que unicamente 10 mencionaremos. Pan~ re(,~rn,~)s distintamente al igualador introducimos como metanombre el si gJl(J ,_--=:. El igualacor es 10 que lIamaremos en 2. un relator diadieo. Pero 10 intro ducirnos aqui, porque cs el unico relator comun a todos los formalismos aqui considcrados,
SIGNOS PECULlARES DE UN FORMALISMO
tv; ...
34
que para referirnos distintamente al especial relator diadico que es el igualador usamos el signo "=".) Cuando el numero adico de un functor 0 relator este claro pOl' el contexto, dejaremos de lado eI sobreindice n. AI conjunto de los signos comunes a todos los formalismos mas los pecu liares de un formalismo determinado Ie IIamamos eI alfabeto de ese forma lismo.
35
TERMINOS Y FORMULAS
SINTAXIS: GRAMATICA DE LOS FORMALISMOS
1.4. Terminos y formulas 4.1. De entre las mas de signos de un formalismo hay algunas que merecen nuestra especial atencion. Se trata de las expresiones del formalis mo, es decir, los terminos y las formulas. He aqui una definicion constructiva simultanea de los terminos y las formulas de un formalismo cualquiera 2. 1." Cualquier variable es un terrnino de 2.
1.3. Filas de signos
2.')
3.1. Cada formalismo tiene su alfabeto. AI resultado de escribir signos de ese alfabeto unos a continuacion de otros (y con tantas repeticiones como se quiera) Ie IIamamos una fila de signos de ese formalismo. Asi, pues, una fila de signos es una sucesi6n finita y no vacia de signos, con posibles repeticiones. 3.2. Tambien podemos definir las filas de signos desde un punto de vista combinatorio. Dado un formalismo 2, para cada numero natural n podemos IIamar Z.; al conjunto de las variaciones con repeticion de n ele mentos del alfabeto de 2. Entonces podemos definir al conjunto de las filas de signos de 2, Z!£, del siguiente modo: 00
3.3. Para referirnos indistintamente a filas de signos de un formalismo introducimos la metavariable "~" (provista de subindices de diferenciacion, cuando sea necesario): ~, ~o, ~l, ~2, ... 3.4. La longitud de una fila de signos es el numero de signos de que consta. Abreviando "la longitud de la fila de signos ~" pOl' "long (~)" y haciendo uso de la terminologia de 3.2 podemos tambien establecer: si y s610 si
~
E
Z;
·3.5. La yuxtaposici6n 0 concatenacion de dos filas de signos ~l y ~2 es la fila de signos que resulta de escribir la segunda inmediatamente a conti nuaci6n de la primera: ~l ~2' Siempre ocurre: long (~l ~2)
=
••• ,
~n
es un termino de 2.
r
5.° Si ~ es una formula de 2, entonces ,~ es una formula de 2. 6.° Si ~l Y ~2 son formulas de 2, entonces I\~l ~2, ~ ~l ~2 son formulas de 2.
Y
~l ~2, ~ ~l ~2 Y
7.° Si ~ es una formula de 2, entonces (para cualquier variable x) Ax ~ Y Vx ~ son formulas de 2. ~
es una formula de 2, entonces (para cualquier variable x)
ex ~ es un termino de 2.
n~l
= n
~l,
son terminos de 2 y es un functor de 2, entonces
i" ~l, ... , ~" es un termino de 2. 4.° Si ~l, •.. , ~n son terminos de 2 y P» es un relator de 2, entonces P" ~l, ••. , ~" es una formula de 2. (En especial, si ~l y ~2 son ter minos de 2, = ~l ~2 es una formula de 2.)
8.° Si
Z21 = U Z"2
long (~)
Cualquier constante individual de 2
3.° Si
long (~l)
+ long
(~2)'
3.6. Decimos que las filas de signos ~l y ~2 son identicas cuando son la misma fila de signos, es decir, cuando ~l y ~2 tienen igual longitud y en cada lugar correspondiente aparece el mismo signo. Introducimos en el metalenguaje el signo "=" para indicar la identidad de :filas de signos. Mediante "~l = ~2" indicaremos que las fiIas de signos ~l y ~2 son identicas,
Termmos y formulas de 2 son todas y solas las mas de signos de 2 que como tales quedan caracterizadas pOl' estas 8 reglas. Las expresiones de 2 son las fiIas de signos que son terminos de 2 0 formulas de 2. 4.2. Para referirnos indistintamente a expresiones de un formalismo in troducimos como metavariable la letra griega ".f)." (provista, cuando sea preciso, de subindices de diferenciacion): .f)., .f).o, .f).l, .f).2, ... Para referirnos indistintamente a terminos de un formalismo introduci mos como metavariable la letra latina "t", (provista, cuando sea necesario, de subindices de diferenciacion): t, to, t-, t 2 , •.• Para referirnos indistintamente a formulas de un formalisrno introduci mos como metavariables las letras minusculas griegas "IX", "/3", "'c", "a", "q,", "f' (provistas, cuando sea precise, de subindices de diferenciacion): IX, /3, OJ, 0, qI, ~, rl'o, rl'h Ct'2, C!3, ... , (30, {31, 132, ... Para referirnos indistintamente a conjuntos de formulas introducimos como metavariables las letras mayusculas griegas 'T" y "Ll" (provistas, cuando sea necesario, de subindices de diferenciacion): I', Ll, r 0, r J, r~, ..., Ll o, Ll l , Ll2 , ...
36
SINTAXIS: $?RAMATICA DE LOS FORMALISMOS
4.3. Segun se desprende de la definicion 4.1, todo termino comienza por una variable, una constante individual, un functor 0 un descriptor. Un terrnino se llama variable, constante individual, termino functorial o descripcion, segun que su primer signo sea una variable, una constantc individual, un functor 0 un descriptor, respectivamente. Las variables y las constantes individuales son terrninos simples (constan de un solo signo). Los terrninos functoriales y las descripciones son terminos compuestos (constan de varios sign os). Respecto a cada terrnino, es decidible si se trata de una variable, una constants individual, un terrnino functorial 0 una descripcion, Basta con ver si el primer signo del termino es uiia variable, una constants individual, un functor 0 un descriptor. 4.4. Segun se desprende de la definicion 4.1, toda formula comienzu pOl' un relator 0 pOl' un signo logico clistinto del descriptor. Una formula se llama predicativa, negacion, conyuncion, disyuncion, condicional, bicon dicional, generalizacion 0 particularizacion, segun que su primer signo sea un relator, el negador, el conyuntor, el disyuntor, el condicionador, el bicon dicionador, el generalizador 0 el particularizador, respectivamente. Respecto a cada formula es decidible si se trata de una formula predi cativa, negacio», conyuncion, disyuncion, condicional, bicondicional, genera [izacion 0 particularizaolon. Basta con vel' si e1 primer signo de la formula es un relator, un negador, un conyuntor, un disyuntor, un condicionador, un bicondicionador, un gcneralizador 0 un particularizador. EI igualador es un relator diadico. POl' tanto, una formula que empiece par cl igualador sera una formula predicativa, Una formula predicativa cuvo primer signo es el igualador se nama una ecuacion, 4.5. dCuantos terminos hay en un formalismo? Siempre hay un numero infinito numerable de terrninos. En efecto, pOl' 10 menos hay un numero infinito numerable, pues todas las variables son tcnninos y hay un numero infinite numerable de variables. A 10 sumo hay un nurncro infinito numerable de terminos, pues todos los terminos son fiIas de signos y solo hay un numero infinito numerable de filas (k signos, ya que {~stas son variacioncs con repeticion de elementos del alfabcto, ('ste ('S inlinito numerable- v s(llo hay un numcro innnito numera hle de variaeiol1cs con n~peticion de elcmt:ntos de un cOlljunto infinito numerable. POl' tanto, hay Ull nlllncro infinito numerable de terminos. 2.Cuantas formulas hay en un formalismo? Siempre hay un numero infi nito numerable de formulas. Esto se puede probar con consideraciones parecidas a las .del casu anterior.
:37
INDUCCION SEMIOnCA
1.5. Induccion semiotica 5.1. EI conjunto de los numeros naturales es infinito numerable. Si qui sieramos probar algo para todos los numeros naturales (por ejemplo, que todos e110s tienen una propiedad 9), no tendria sentido que tratasemos de probarlo para cada numero pOl' separado, uno despues de' otro, pues no acabariamos nunca, dQue hariamos? Procederiarnos inductiva 0 recursiva mente, presentando una prueba pOl' induccion 0 recursion, es decir, proban do 10 que queriamos probar para 0 y, suponiendo que ya 10 hubiesemos probado para un numero cualquiera n, probandolo para n +- 1. Este tipo de pruebas se basan en el principio de la induccion aritmetica:
.j
(1) 0 tiene la propiedad 9 (2) si n tiene !fJ, entonces n +- 1 tambien tiene 9 entonces: todo numero natural n tiene la propiedad 9 51 (
EI mismo problema se nos plantea con las expresiones de un f0I111a lismo. Tambien ellas constituyen un conjunto infinito numerable. Tambien aqui nos resultaria imposible probar algo para todas las expresiones de un formalismo (por ejemplo, que todos los terminos tienen la propiedad i'jJJ y todas las formulas tienen la propiedad 9 2 ) procediendo a probarlo pOl' separado de cada una de cllas. dQUe podemos hacer? Lo mismo que en la aritrnetica: proceder pOl' induccion, probarlo pOl' una prueba inductiva 0 recursiva. Y asi como las pruebas aritmeticas pOl' induccion se basaban en el principia de induccion aritmetica, asi tambien las pruebas pOl' induccion de las que hablamos se basan en un principio 0 teorema de induccion serniotica.
5.2. En 10 que sigue entiendase "constante individual", "termino", "formula", "t", "P", etc., como "constante individual del formalisrno 2", "termino del formalismo ,2", "formula del formalismo ,2", "functor f del formalismo 2", "relator P del formalismo 2", etc. 5.3. Teorema de la induccion serniotica:
I (1) toda variable x tiene la propiedad 9
1
(2) t?da consta~te individual t~~ne }~ propied~d !fJ 1 (3) SI tl, ... , t" benen []PI, tamblen f -1, ... , t" bene 9[ (4) si t 1• "', tTl tienen !fJl, entonces p" tl, "', t n tiene !fJOl \
si , (5) si a tiene []POl, tambien .. (); tiene !fJ 2
(6) si a y f3 tienen []P2, tambien /\ (); (3, V a (3, ~ II (3,
~ (); {3 tienen 9 2
(7) si x tiene 9 1 Y a tiene []P 2, Ax a, V x (); ticnen []P 2 (8) si (l; tiene 9 2 , eX a tiene !fJ 1 (a) todo terminG tiene 9 1 cnton"", ( (b) toda formula tiene 9 2
\
I
I
38
39
SINTAXIS: GRAMATICA DE LOS FORMAUSMOS
ESTANCIA LIBRE Y LIGADA DE UNA VARIABLE
5.4. Demostracion del teorema de la induccion semiotica, En esta de mostracion damos por sentada la validez del principio de induccion arit metica, que aqui utilizaremos en la siguiente version: Si algo vale para cualquier numero natural m suponiendo que valga para todos los numeros menores que m, entonces eso vale para todos los numeros naturales. A continuacion procedemos a demostrar 5.3 por induceion aritmetica sobre la longitud de las expresiones. Toda expresion, como fila de signos que es, tiene u!1a longitud deter minada. Probaremos que para cualquier numero natural m el teorema vale para toda expresion de longitud m, suponiendo que ya valga para las de longitud menor. Con ello quedara probado que el teorema vale para todas las expresiones. (J'JI y (J'Jz sean propiedades que reunen las condiciones (1), (2), ... , (8) requeridas por el teorema. .s. sea una expresion cualquiera de longitud m. EI teorema este ya probado para todas las expresiones de longitud menor que m (supuesto inductivo).
5.5. En la aritmetica, la induccion no solo se utiliza para probar teore mas acerca de todos los numeros naturales, sino tambien para definir pro piedades, relaciones 0 funciones de numeros naturales. Tambien aqui utili zaremos definiciones recursivas 0 por induceion semiotica para introducir nuevos conceptos aplicables a terminos y formulas.
TESIS: .s. tiene la propiedad (J'JI (si .s. es un termino) 0 la propiedad (J'Jz es una formula). La tesis puede ser demostrada examinando los casos posibles. .s. = x. Entonces, .s. tiene .9'1, por (1). .s. = a. Entonces, .s. tiene .9'1, por (2). .s. = t-; ... , tn. Entonces, t-, ... , t« tienen (J'JI (por el supuesto inductive, ya que long (ti ) < long ({"tl , ... , til.) para 1 < i < n). Luego e tiene (J'Jl, por (3). .s. - p ntl, ... , t-: Entonces, t], , t z tienen (J'JI (por el supuesto inductivo, ya que long (t;) < long (pntl, , til.) para 1
.s.
r
nc ,rj'lz, pOl'
(7).
Del misrno modo sc muostra que si {). ""CO Vx Il, .1). tiene .9'2. {J. = tX Il. Eutonces, Il tiene (J'Jz (por el supuesto inductivo, ya que long (a) < long (~x 0;)) y x tiene (J'JI (pues long (x) < long (ec Il)). Luego .s. He ne (J'Jl, por (8).
5.6. Si queremos definir un concepto Cff1 para todos los terminos y un concepto Cff2 para todas las formulas, basta con ofrecer una definicion por uuluccion. semiotica, es decir, basta con: 1.° Definir Cff1 para cualquier variable x.
2.° Definir Cff l para cualquier constante individual a.
f n tl, ''', t-;
suponiendo que Cff l ya esta definido para
h, ... ,tn • 4.° Definir Cff2 para p nt l, ... , t-; suponiendo que Cff1 ya esta definido para
3.° Definir Cff1 para
t}, ... , t-;
5.° Definir Cff2 para 6.
0
Ill,
suponiendo que Cff2 ya est
a definido
para Il.
Definir Cff2 para /\ Il [3, V Il [3, -? Il [3, ~ Il f3, suponiendo que Cff2 ya esta definido para Il y para [3;
7.° Definir Cff2 para Ax Il, VXIl, suponiendo que Cff2 ya esta definido para a. 8. 0 Definir Cff1 para ex Il, suponiendo que Cff2 ya est
a definido
para a.
1.6. Estancia libre y Iigada de una variable 6.1. Los cuantificadores y el descriptor siempre van seguidos de una variable. De esta variable se dice que queda ligada por ellos. Asi, si en una expresion aparece la variable x detras de un cuantificador 0 de un descrip tor, decimos que a: esta ligada en esa expresion. Los cuantificadores y el descriptor son, pues, signos ligadores. Tambien en el lenguaje matematico normal nos encontramos con frecuencia con signos ligadores y variables ligadas. Asi, en la expresion ~
~ n=O
1 n2
el signo 2; es un ligador que liga Ia variable n. En laexpresion b
J f(x)dx a
40
SINTAXIS: GRAMATICA DE LOS FORMALISMOS
el signo
I
d ... es un ligador que liga la variable x. En la expresion f;:; ! f(z) L I
< n}
el signo I... iI. ... 1 es un ligador que liga la variable z. Si en una expresion aparece una variable que no esta ligada, decimos que csta libre. Tarnbien puede ocurrir que este tanto libre como ligada en ella. A continuacion pas amos a definir inductivamente la estancia libre 0 ligada de una variable en un termino 0 una formula. 6.2. Definicion de la estancia libre de una variable en una expresion, x est
a libre
en z syss x = z
a nunca S)lss x esta libre en algun t, (1 < i < n) pnth ... , ttl syss x est
(en especial,
"
"
SUSTITUCION DE UNA VARIABLE POR UN TERMINO
6.4. Observaciones sobre la estancia libre 0 ligada de una variable en una. expresion .s: x esta en {) si y solo si x esta libre en {) 0 x esta ligada en .EJ. 0 x esta libre V ligada en {). x no esta en {) si y solo si x no esta libre en {) y x no esta ligada en .~. Para cualquier variable x y cualquier expresion {) se presenta uno de estos cuatro cases: (1) x no esta en {); (2) x esta libre, pero no ligada, en D.; (3) x esta ligada, pero no libre, en {); (4) x esta libre y ligada en {). Para cualquier variable x y cualquier expresion {), es decidible en cual de esos cuatro casos x y {) se encuentran. 6.5. Definicion de designadores y sentencias. Un designador del formalismo.2 es un termino de .2 en el cual ninguna variable esta libre. En especial, los terminos sin variables son designadores. Una sentencia del formalismo .2 es una formula de .2 en la cual nin guna variable esta libre. En especial, las formulas sin variables son sen tencias. Un termino abierto de.2 es un termino de .2 que no es un designador de Ii7, es decir, un termino de .2 en el cual alguna variable esta libre. Una formula abierta de .2 es una formula de .2 que no es una sentencia de 09:, es decir, una formula de .2 en la cual alguna variable esta libre. 6.6. Asi, pues, obtenemos la siguiente clasificacion de las filas de signos de un lenguaje formal:
f
fila de signos
no expresiva
'I
.,
-, expreslOn
6.3. Definicion de la estancia ligada de una variable en una expresion,
x esta ligada en z nunca .. a nunca syss x esta ligada en algun t, (1 < i < n) pnt1, .. " t; syss x esta ligada en algun t, (1 < i <:: n) s1'ss x esta ligada en t 1 0 en t 2 ) = tlt~ - , ill syss x esta ligada en Cl 1\0;13 syss x esta ligada en 0; 0 en 13 " "" ~ 0; 13 syss v 0;13 syss ~ 0; 13 syss !\zo; syss x esta ligada en 0; 0 x ~ z syss Vzo; "" " ~z ill svss
fntl, ... , til
(en especial,
41
~ termino
t
terrnino abierto designador
t
formula abierta sentcncia
J
"l formula f
1.7. Sustitucion de una variable por un termino 7.1. La sustitucion es una operacion que a cada triada formada pOl' una variable, un termino y una expresion aplica univocamente otra expre sion, de la que decimos que es el resultado de sustituir la variable par e1 termino en la primera expresion, Utilizaremos el signo 5 para indicar la sustitucion, En vez de 5 (x, t, {)) escribiremos 51 s.
."
7.2. En la mayoria de los casos, 5,~. -0. se obtiene a partir de .[). pOl' el sencillo procedimiento de borrar x en {) y escribir en su lugar el termino t. Asi, pOl' ejemplo:
5/ a - , Buu sea
" 5;"RJ!a tyPxy
-,
Rfafa
= ~yPtxRxalJ
42
SINTAXIS:
GRAMATICA DE LOS FORMALISMOS
Sin embargo, hay casos en que esto no ocurre asi, a fin de que la sustitucion no varie la estancia libre 0 ligada de las variables que ocupan determiandos lugares. Supongamos, por ejemplo, que queremos sustituir x por fy en Ay(Px v Qy). Si nos limitasemos a borrar x y escribir en su Iugar fy, obtendriamos: Ay(Pfy v Qy). Pero entonces la primera variable estaria ahora ligada, mientras que antes estaba libre. Esto es algo que queremos evitar. Para ello, antes de borrar x y escribir en su lugar fY, cambiamos la variable cuantificada. En vez de Ay(Px v Qy) escribimos Az(Px v Qz). Entonces borramos x y escribimos en su lugar fy, obteniendo: Az(Pfy v Qz). Ahora la primera variable sigue estando libre y la segunda ligada, exactamente como en la formula de que habiamos partido. Es pre cisamente a esta preocupacion a 10 que se debe la relativa complejidad de la definicion de la sustitucion en los casos de expresiones que empiezan por ligadores.
5' Vz a= J:
VZ(l,
,
si
Vz 5'x (I,
,
si
\
Vv 5'x 5"z
5' tZ
'"
(I,~
{
I
~
rz (I, ~z
Sfa: (I,
(I,
, si
,
si
,
si
{ {
r 5', t«,
5~
fTltl,
, tTl ass
5 t,
pntJ,
, t n -- P" 5' t.. .~
5 t -.
=:: --.
(I,
:JJ
5,~
,
5:. t..
, 5' ttl
~
(I,
J;
/\ (I, f3
51,r, v
5'
(I,
f3
5,~ ~:x
ssss /\
,ecce
f3
5;, (I, 5t, f3
v 5'
,I'
(I,
5'.r f3
,~ ~ 5;
(I,
5: f3
5;
(I,
5', f3
I
5t
JJ
Az
(I,
= \
Az
=:: *7
{
Az5'JJ (I,
Av 5'.-r 51!z
x no est a libre en Az (I, x est a libre en Az (I, , si Z no esta libre en t x esta libre en Az (I, z esta libre en t , si . v no esta en Az (I, ni en t (yes la va
, si
(I,
f
(I,
riable de minimo indice que satis face esta condicion).
x no esta libre en tZ (I, x esta libre en tZ (I, Z no esta libre en t x esta libre en tZ (I, z esta libre en t v no esta en rz (I, ni en t (yes la va-
{
(I): Para cualquier x y cualquier .,9.: 5;.,9. =.,9.. (2): Si x no esta libre en .,9., entonces 5~.,9. = .,9.. (3): Si x esta libre en .,9., entonces testa en 5~.,9., Y cada variable que este libre en testa libre en 5'.,9.. x
(4): Si Z no esta en .,9., entonces 5~ 5~ .,9. - .,9..
(5): Si x no esta libre en t, entonces x no esta libre en 5;.,9.. (6): z esta libre en 5~.,9. si Y solo si x esta libre en .,9. 0 Z esta libre en .,9.. (7): Z esta libre en 5~.,9. si Y solo si al menos uno de estos dos casos se a) Z esta libre en .,9. y Z ¥= x. res entan: { P b) x esta libre en .,9. y Z esta hbre en t. r
5; *7 (I, f3
z esta libre en t v no esta en Vz (I, ni en t (yes la va-
Para cada expresion .,9.1, cada variable x y cada terrnino t hay siempre una expresion .,9.2, univocamente determinada, tal que 5: .,9.1 - .,9.2
= St, t 1 5~. t)
(en especial, 5:. = t 1 t;!
(I,
7,4,. Observaciones sobre la sustitucion:
5'a=a
.I!
~
en V z V z (I, en t V z (I,
riable de minimo indice que satis face esta condicion).
t, si x - Z z, si x ¥= Z
.I!
x no esta Iibre x esta libre en z no esta libre x est a libre en
v (I, , si w 5'a: 5 z
7.3. Definicion de la aplicacion 5:
5'z- {
43
CONVENCIONES NOTACIONALES
triable de minimo indice que satis face esta condicion).
•
r
•
Todas estas observaciones pueden demostrarse facilmente por induccion semiotica. Respecto a cualesquiera x, t, .,9.1, .,9.2, es decidible si 5taP1 =.,9.2
0
no.
,1.8. Convenciones notacionales 8.1. Como nosotros no usamos las formulas del formalismo, sino que unicarnente las mencionamos mediante nombres metalingiiisticos, pode
44
SINTAXIS:
GRAMATICA DE LOS FORMALISMOS
CONVENCIONES NOTACIONALES
mos adaptarnos en cl metalenguaje a la practica ainpliamente extendida de escribir los conectores entre la formulas que conectan, etc., utilizando pa rentesis para evitar confusiones. Esta practica resulta mas intuitiva, sobre todo cuando se trata de expresiones complicadas. Pero recuerdese que en el Iormalismo mismo no hay parentesis, Asi., pues, para acomodarnos a esta practica corrientr-, escribirernos:
locando los parentesis necesarios para evitar equivocos, Esto ocurre sobre todo con algunos functores y relatores diadicos. POl' eso, a veces escribi remos: "(t ] f~t - 2 )" en vez d e "f'1.t ]t 2 " "(t]P2t2 )" en vez de "P 2t 1t/'
8.4. A veces abreviaremos una fila de cuantificadores del mismo tipo, escribiendo "Ax], ... , x,," en vez de "Ax], ... , Ax n" 0 "Vx], ... , x,," en vez de "VXl, ... , Vx n " . Repitamos, finalmente, que esta relajacion de nuestras convenciones notacionales se refiere unicamente a los nombres metalinguisttcos de las expresiones del formalismo, y no a estas expresiones mismas.
"t] = t/' en vez de <: t] t 2 "
"(0; 1\ (3)" " "r. CX' /3"
" "v « f3"
"( 0; v (3)"
«B"
"(0;---')(3)" "
"
c:,~
~ (3)"
"
"~af3"
"( 0;
"
45
8.2. En cxpresiones algo complicadas pueden aparccer de este modo muchos parentesis, para cuyo ahorro adoptamos las siguientes convencioncs:
1.9. Ejemplos de sustitucion
1." Los parentesis exteriores de una formula pneden suprimirse en Ia cscritura abreviada,
9.1. Consideremos la formula Au(Px 1\ Hu-:» Vx Rxz) -es decir, la for mula que de un modo oficiaJl lSe escribiria Au ---') 1\ Px Hu Vx Rxz-. Se trata. de la generalizacion de un condicional,·cuyo antecedente es Px 1\ Hu Y cuyo consiguiente es Vx Rxz. Supongamos que las variables u, x, y, z, w son todas ellas distintas entre si, Evidentemente, la variable u esta ligada en la formu la Au(Px 1\ Hu --+ V x Rxz); la variable z esta Iibre en dicha formula; la variable x esta tanto Iibre como ligada en ella (Iibre la primera vez y ligada 1a segunda); las variables y, w, finalmente, no estan en absoluto en Ia formula.
Ejemplos: 0; 1\ (3 es una abreviatura de (0; 1\ (3) " (("'1\(3) vI) (!7.I\(3)Vl " 0; ~ ((3 ---') 1) " " (",~((3-+1))
2." Condicionador y bieondicionador separan mas que conyuntor y disvuntor. Por tanto, si el antecedente 0 consiguiente de un condicional cs una conyunci6n 0 disvuncion, pueden suprimirse los parentesis correspon dientes en la escritura abreviada. Lo mismo en el bicondicional. Ejemplos: es una abreviatura de ((",1\(3)---')1) ('" ---') ((3 vI)) ." ((!7. V(3) -+ (1 1\ 0)) " (. ('" 1\ (3) ~ (. '" v · f3)) '("'I\(3)~.",v.(3 "
!7. 1\ (3 ---') 1 "'->(3 vI C1.v(3-+1I\o
3." Los parentesis internos de una conyuncion 0 disyuncion iterada Jlor la izquic-rda pucden suprimirse en la escritura abrcviada.
(
9.2. Dada Ia importancia delconcepto de sustitucion para la adecuada comprension de loscapitulos siguientes, ofrecemos aqui una serie de ejem plos en los que se indica el resultado de sustituir alguna de las variables antes citadas por un termino en 1a formula considerada en e1 parrafo an terior. He aqui los ejemplos:
5'"u Au(Px 1\ Hu ---') Vx Rxz) = Au(Px 1\ Hu ---') Vx Rxz) = Au(Px 1\ Hu ---') Vx Rxz) 5'''' u = Au(Px 1\ Hu ---') Vx Rxz) 5'" = Au(Pfx 1\ Hu ---') Vx Rxz) 5,Tf '" = Au(Pfc 1\ Hu ---') Vx Rxz) 5'" 5'YPY == Au(P~y Py 1\ Hu ---') Vx Rxz) in = Ay(Pul\ Hy ---') Vx Rxz) 5" '" = Au(Px 1\ Hu ---') Vy Ryx) 5'" z = Au(Px 1\ Hu ---') Vy Ryfx) 5 zf '" J!
Ejl -mplos:
C1. 1\13 1\11\ 0 c-s una abreviatura de (((",1\(3)1\1)1\0) " "((( • '" v (3) v '"[ )~) -1 C1. V 13 V --1 1 ---') 0~"" ---') C 8.3. En los lenguajcs Iormales con functores y relatores cuya pOSICiOn
ha sido consagrada pOl' PI uso, adoptaremos inoficialmcnte esa posicion, co
.~
46
SINTAXIS:
GRAMATICA DE LOS
5;°
"
~
5;PY
" " " "
'=='
I
FORMALISMOS
/\U(PX /\ Hu -? Vx RXfC) /\U(PX /\ Hu -? Vx Rx~y Py) 5~ - /\y(PX /\ Hy -? Vx Rxu) 5'" = /\u(Px /\ Hu -? Vx Rxz) v 5'Y Pv - /\u(Px /\ Hu -? Vx Rxz) 11 5; 5~ /\u(Px /\ Hu -? Vx Rxz) == /\u(Px /\ Hu -? Vx Rxy) 5;,~ 5~ " /\u(Pfc /\ Hu -? V x Rxc) 5;'~ 5;;~ " - /\u(Px /\ Hu -? Vy Ryfx) 5~ 5; " - /\ui(Px /\ Hu -? Vx Rxc) 5:° 5~ " /\u{Pfc /\ Hu-? Vy Ryfc) 5~'" 5~ " - /\w(Pfu /\ How -? Vy Ryfu)
J
I I
I \
(
I j
PARTE SEGUNDA
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCT1VO
I j'
I \
1 I
I
) \
(
,
4. - . UJ(
)
\
i
I (
\ I
"\
,
I "
t
j ~.
\
1
I ~
)
H.I. Reglas primitivas de inferencia 1.0. Un calculo (0 algoritmo) deductivo es un conjunto de reglas. La apli e,l('i('lII de estas reglas a las formulas de un formalismo nos permite decir ('11 all-';lIllos cas os que unas fomulas son dedueibles de otras. Ell cl calculo que aqui presentamos hay dos clases de reglas: reglas de inh-rr-ncia, quc nos permiten pasar de una 0 dos formulas a otra nueva, la Iormuln iuforida, y rcglas de construccion, que nos permiten construir de cluc-c-ionc-s (0, como vcrcmos, mas generalmente, semideducciones). 1.1 Ell algllnoscasos diremos que una formula del formalismo 2? es inferible ell .'() (Ie otra u otras formulas del mismo formalismo. Las reglas (J<, infcrcllcia cletcrminan exactamente en que casos esto ocurre. A oontinuacion ofreccmos una lista de las reglas de inferencia. A la ivquir-rcla aparcce el nombre de la regIa, en el centro, su abreviatura y, a la (lcn~eha, su formula cion esquernatica. En cada uno de estos esquemas .r. t , IX, /3, etc. representan una variable, un termino, una formula, etc. enal( luiera del formalismo del que se trate. La raya horizontal indica que 1a fbnnllla situada hajo ella es inferible de la 0 las formulas situadas encima,
1.2. Lista de las reglas primitivas de inferencia:
II"I-':Ia d(' repdiei('m R:
IX ];
(f.~/3
Hq!,1a del modus
!l0IH'IIS
MP:
IX
(3 (X~/3
Begla del modus tollens MT:
'/3 ,];
50
SINTAXIS:
DEDUCCIONES
UN CALCULO DEDUCTIVO
"
Reglas de la doble negacion DN: - - il
"
il
il
RegIa de introduccion del conyuntor IC:
Reglas de eliminacion del conyuntor EC:
'I
/3
\
(il 1\ /3) (il 1\ f3)
(cz 1\ /3)
(il
-
il
/3
il
il (/3 v il)
V/3)
(ilV/3) '/3 il
Reglas de introduccion del disyuntor ID: -(
Reglas de eliminacion del disyuntor ED:
'il
/3
1.4. Ejemplos:
(il--"'/3) (/3 --'" il)
Regia de introduccion del bicondicionador IB:
) !
(il~f3)
, , d e I biICondiICIOna d or EB : -(----) " (il ~ f3) R eg I as d e e Iimmacion
(il ~ /3) (/3 --'" il)
il--"'/3
Regia de introduccion del particularizador IP:
I
5 t cz
I
_,_'c_
VXil AXil
Regia de eliminacion del generalizador EC: ~
/
,l'
Regia de introduccion del igualador II:
5~; il , donde n: no esta Ax (x = t --'" «) libre en t
Regia de eliminaeion del igualador EI:
Ax (x = t --'" (J.) , donde « no esta 5 .ct il libre -en t
Regia de las descripciones propias DP: Vy Ax
Regia de las descripciones impropias DI:
1.3. Reglas norrnales de inferencia son las reglas de inferencia distin tas de EP. Regia critica es EP, Al inferir 5~ il de V x il por EP, decimos que u es la variable critica de esta inferencia. Observese que EP solo nos autoriza a inferir 5~ il, donde u ha de ser una variable; a diferencia de EC, que nos autoriza a inferir 5: il de Ax ex, donde t es un termino cualquiera,
il
il
~,:: x = Y)~onde y no ,~il
esta
libre en cz
-, Vy Ax (cz ~ x = y) ex il
51
= rz Z = Z
r d e eI"nnmacion , , d e I particu ' Ianza ' d or EP : -Vx R eg I a critica - il 5".1" il
donde y , no esta libre en (l
(
(Ax Px v x = y) es inferible de Ax Px por ID tCI. ',., Cn := k es inferible de Ax (x = fCI' ... , Cn --'" X = k) por EI tX Gxk = tW W = W es inferible de , Vy Ax (Gxk ~ x = y) por Dr 'C 1 = C2 es inferible de (CI = C2 --'" RCIX) Y ,Rcjx por MT (Ax Px ~ Pa) es inferible de (Ax Px --'" Pa) y (Pa --'" Ax Px) por IB a = eX Rxa es inferible de (Raa v a = tX Rxa) y rv Raa por ED Rfc es inferible de Ay Ry por EC 11.2. Deducciones 2.0. Cuando alguien trata de probar algo, por ejemplo, cuando un ma tematico trata de probar un teorema, ~que' hacef Procede paso a paso, utilizando las premisas de que parte 0 los datos ya probados. De vez en cuando se para a considerar que es 10 que en ese momenta quiere probar. A veces trata de probarlo directamente, infiriendo unas sentencias de otras hasta que llega a la que buscaba. Otras veces encuentra mas comodo el ofrecer una prueba indirecta. Para ello, supone 10 c:ontrario de 10 que quiere probar y trata de obtener una contradiccion a partir de ese supuesto. Si 10 que quiere probar es un enunciado del tipo "si A, entonces B", es probable que inicie una prueba condicional, suponiendo que A y probando ontonces B. Finalrnente, si ha de probar algo para todos los elementos de una cIase en general, puede limitarse a probarlo para uno cualquiera. Esta manera de proceder se refleja en las reglas de construccion de dcducciones del presente calculo. Pero antes de presentar estas reglas, con viene introducir el concepto de linea. 2.1. Caracterizacion exhaustiva de las lineas de un fonnalismo 2 (en 10 sucesivo diremos simplemente lineas, en vez de lineas de 2, y formulas, en vez de formulas de 2):
Una linea utilizable es la fila formada por una formula sola 0 una formu la precedida de un interrogante tachado Y: 2, Y (J., Y /3, Y l' ...
52
(1) Una de las lineas utilizables siguientes es a.
Una linea marcada es una fila formada por una linea utilizable precedi 0:, /3, 0:, /3, ... da de n (n > 1) marcas Una linea interrogada es una fila formada por lila formula precedida de un interrogante intachado ?: '? 0:, ? /3, ... Una linea es una linea utilizable 0 una linea marcada 0 una linea inte rrogada.
I:
III
I.
II r III r
(2) Una de las lineas utilizables siguientes es la negaci6n de otra de elias.
(3) a ~ (/3 '--71) Y una de las Iineas utilizables siguientes cs
Las formulas de r que de acuerdo con 2 se introducen en la semideduc cion como lineas se Haman premisas.
2.3. r sea un conjunto de sentencias del formalismo 2. A continuacion caracterizamos exhaustivamente las semideducciones en 2 a partir de r.
2.4. Nota. Para facilitar el control, conviene numerar por la izquierda las lineas de cada semideduccion y anotar par la derecha el nombre abre viado de la regIa de inferencia empleada y los numeros correspondientes . a las lineas a las que se ha aplicado la regIa,
Definicion: Una semideducoion en 2 a partir de r es una sucesion finita de lineas obtenidas confonne a las siguientes reglas: IX
2. Para cualquier
IX E
2.5.
de 2, se puede escribir como linea
?IX
I', se puede escribir como linea
"j
(4) GI: == AXl' . _', X n /3, ninguna de las variables Xl, ... , x" esta libre en las lineas utilizables anteriores a ?a, y una de las lineas utilizables siguien tes os /3.
2.2. Como metavariable para referirnos indistintamente a lineas cuales quiera, introducimos la letra griega "A" (can subindices de diferenciacion, cuando sea necesario): A}, A:!, As, '"
1. Para cualquier formula
53
DEDUCCIONES
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
0;
sea una formula de 2 y
r
sea un conjunto de sentencias de 2.
Definicion:
\
I
Una deduccion en 2 de a a partir de r es una semiderluccion en Ii' a partir de.T, tal que su primera linea es P 0: y sus restantes lineas estan todas marcadas.
IX
3. Si? IX es una linea ya escrita, como linea inmediatamente siguiente se puede escribir
\
~IX
4. Si ? IX --7/3 es una linea ya escrita, como linea inmediatamente si guiente se puede escribir IX
5. Si 0: es inferible de Iineas utilizables anterio res par medic de una regIa de inferencia otra que EP, entonces se puede escribir como linea
\! I
IX
6. Si 0: es inferible de lineas utilizables anteriores par media de la regIa de inferencia EP y la variable nueva (critica) no esta en ninguna linea anterior, entonces se puede escribir como linea
es deducible en 2 a partir de r si y solo 51 hay una deduccion en Sf! de a a partir de r. 'T I-£' a" sea una abreviatura para" 0: es deducible en 2 a partir de I'", Cuando la referencia a 2 no sea relevante, escribiremos simplemente "1' I- a", "aI, ... , IXn I-£' /3" sea una abreviatura para "lQ:I, ... , 0:,,) I-£, /3", GI:
2.7. Una formula 0: de 2 es un teorema logico de 2 si y s6lo si a es deducible sin premisas en 2, es decir, si y solo si cf> 1-2' 0:.
"I-£' a" sea una abreviatura para "cf> I-£, IX".
2.8. Teorema de finitud para la deducibilidad:
r I-£' 0; si Y solo si hay un numero finito de formulas II, ... , "j" de que 11, .. " In I-£' IX.
a 7. Si? a es la ultima linea interrogada, entonces se pueden marcar todas las lineas siguientes y tachar el interrogante de ? 0:, si uno de estos cuatro casos ocurre:
2.6. Definicion:
j
\
r,
tales
Dicho en otras palabras:
r
I-£' IX si Y solo si hay un subconjunto finito 6. C E5tO se sigue de la definicion dada en 2.3.
r,
tal que .i!-z IX.
54
2.9. De la definicion de la deducibilidad se sigue tambien:
a) Si A 1-2 a y A c T, entonces I' 1-2 0:.
b) Si 0: I--'l' f3 Y f3 1-2' I, entonces 0: 1-", j.
c) Si 1-2' c, entonces r 1-2' ix.
En efecto, 1-.2' 0: significa que
n.3.
Beglas derivadas de inferencia
3.1. Las reglas primitives de inferencia fueron enumeradas en 1.2. Llamamos reglas derivadas de inferencia a las reglas de inferencia que no nos permiten inferir nada que no fuese ya deducible 'a partir de las premi sas correspondientes con ayuda de las solas reglas primitivas, pero que en cambio nos penniten abreviar las deducciones, haciendo en un solo paso 10 que normalmente tendriamos que hacer en varios. 3.2. Justificar una regia derivada de inferencia signinca mostrar que es superflua en cI calculo, es decir, mostrar como, por medio de las otras reglas de inferencia, puede obtenerse el mismo resultado.
3.3. Lista de algunas reglas derivadas de inferencia (expuestas segun d esquematismo ya explicado en 1.1), seguidas de sus correspondientes justificaciones: .
Regia del paso de la negacion del condicional a la conyuncion NCC: justificacion: 1 ,(a~f3)
2 f (a 1 \ ' f3)
o (a /\ 0 f3)
3
4
?(a-~f3) a .5 G ?f3 I 0 f3 7 (O:/\-lf3) 8 .. (a /\ -1 f3) 9 10 I -. (a -'J> f3)
I
----'i> f3)
( )
(X/\'f3
'(0:
5,5
REGLAS DERlVADAS DE INFERENCIA
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
(av,o:)
Regia del tertium non datur TND: justificacion: 1 l' (~v -1 ~) 2 -, (0( v ' a) . a 3 '"I-,~ 4
.5 6
11(~v,a)
III
ID,4 R,2
,(avoiX)
(a v' -, a)
7
ID,3 0:----'i>f3 1--*f3
Regia de introduccion del disyuntor en el antecedente IDA:
0:----'i>f3 2 1----'i>f3 3 'favj-"'fJ aV I 4 5 'rf3 6, " f3 oa 7 8 I
aVl-~f3
justificacion: 1
9
MY, 1, f)
ED,
tt=
7
t =t
Regia de identidad I; Justificaci6n: 1
"~,
J\:IT,2,6
'1
t
'r Ax (x = t ----'i> x= t) y x = t.----'i>X = t I x =t t =t El, 2.
2 3 4 5
x no este en t
I
51 :
Regia de la simctria de la identidad
t1
== t~
t:!
=t
1
justificacion: 1 t) = t~ 2 yt~ = t 1 3 It,) = t: I 4 Ax (x ~= t~ -> t~ = x) II, 3 5 i t., = t~ ----'i> t 2 = t 1 EG,4 6 t 2 = t, MP, 5, 1
I
X
no este en
I
Reglas de la transitividad de la identidad TI: IC, 5,7 R,3 R,l
= =
i1 t2 t2 t:J ---t1
=
fa
=t = t'2 ----_. t = t:1 t, t:J 1
2
t2
::::':
t,
t: 1 _t 2.=_ t , = t;;
t2
=t
1
t:J = t'2 t 1 = t::
.-~--_._.-
t~
56
SINTAXIS: UN C."'LCULO DEDUCTIVO
Justificaci6n: 1 t l = t z 2 t z = fa 3 'rt 1 = t a 4 I\x (x = t z ~ X = ta) II,2 5 EG,4 t l = t z ~ tt = t« 6 MP,5,1 t] == t«
x no este en t z
De igual modo se justifican las otras ires reglas. Reglas de negaci6n del generalizador
NG:
,I\x a Vx, a
Vx,a -,I\xa
justificacion: 1 ,I\x a 2 ?Vx, O! ·3 r--1VX'0! y I\x IX 4
5 6 7 8 9
I? I ~x\,
,Vx,(X
Justificaci6n: 1 VX"O! 2 ? , I\x O! ,-II\X a 3 4 I\xa
5 6
,5"a SUa"' •X
Justificacion: 1 2 3 4
5 6
I,Vxa I\x,
GEG:
I\Xl, 51
, Xn a
l, in J!I, ..• , ,r
51
1. . . . ,
Gran regIa de eliminacion del particularizador
a
, Vxa x,a
NP: -1\- -
GEP:
I\x, 0: , Vxa
In
a
Xl' " ' , .1:jJ
VXI, ... , X n
Vx1 ,
, .. ,
SUlJ .." Xl'
DN,3 EP, 1; u no este en a EG,4
a
Xu a
11 n
a
"',0 J'f/
clonde Ul, ... , Un son variables distintas entre si que no aparecen en linea an terior alguna. Gran regIa de negaci6n del particularizador GNP:
VX1, ... , X n a I\x], ... , x" ' a
I\x], ... , x"' c>; ,VX1, ... , Xn a
i
11.4. Ejercicios de deduccion DN,4
IP,5
R,l
O!
r, Vxa "Vxa Vxa 5'"x a: ,Sua x
an (a1/\ ... /\ an)
Gran regIa de introduccion del particularizador GIP:
I
I ..,
GIC:
n
IP,6 R,3 R,1
justificacion: 1 ,Vxa 2 y I\x, a ?,a 3 4 i,'a
6 7
al
Gran regIa de eliminacion del generalizador
Reglas de negacion del particularizador
eu
Para pasar de n lineas aI, ... , an a una nueva linea (0:1/\ ... /\ an) nece sitamos aplicar n - 1 veces la regIa de introduccion del conyuntor, IC. Por media de la gran regIa de introduccion del conyuntor, GIC (que a con tinuacion introduciremos) realizaremos en un paso 10 que hasta aqui solo podiamos realizar en n - 1. Lo mismo sucede en otros casos. He aqui varias reglas derivadas, cuya correccion puede ser trivialmente mostrada, y que en determinadas ocasiones abrevian considerablemente las deduccio nes. Las designaremos anteponiendo una "G" a la abreviatura cle la corres pondiente regIa simple.
Gran regIa de introducci6n del conyuntor
c>;
,I\x a
.57
EJERCICIOS DE DEDUCCION
DN,3 EP,4;
EG,1
u no este en a
Una de las principaies finalidades practicas de la 16gica consiste en ensefiar a deducir correctamente. Por medio de deducciones fonnales pode rnos probar que una deterrninada senten cia es un teorema de una teoria, que una determinada argumentacion, presentada en el lenguaje ordinaria, es correcta, etc. Aunque las deducciones ya han sido definidas en 2.5, es necesaria alguna practica para llegar a dominar el arte de deducir. Por eso ofrecemos al lector a continuacion .35 ejercicios de deduccion. Es conveniente que el lector trate de hacerlos Dar su cuenta v solo mire las deducciones corresL
_
58
SINTAXIS:
UN CALCULO DEDUCTIVO
pondientes despues de haberlas hecho el mismo. La deduccion que se le ocurra al lector puede ser correcta y no coincidir con la aqui presentada,
Si I' I- 0:, hay un nurnero infinite de deducciones distintas de 0: a partir de r.
Deduccion correspondiente al ejercicio mimero 3.
Ejercicio numero 1. 0:1':=;
Ax
(0:
-? a)
1
'i' V x Px -? V X Qx
2
I VxPx
3
I
4
Pruebese:
I- 0:1'
NOTA: Observese que 0:1 no es una formula, sino un esquema deinfinitas formulas. Deduccion correspondiente al ejercicio numero 1.
1
'i' Ax(o:-?o:)
:3
'i' (o:-?o:)
3
o:~ =0
Ax Rxx al
EG,4
I
Pu -~ Qu
6
I
Qu VxQx
IP,6
Vy (Fy -? Ax Fx)
==0
1- (Xl'
2,Vy(Fy-?AxFx) I-
(X2.
2
Axy (Rxy v Ryx)
premo
3
Rxx v Rxx
GEG,2
4
?Rxx
5
--.Rxx
6
Rxx
(Xl
ED,3,5
3
Ay , (Fy -? Ax Fx)
4
r
5
I, (Fy -? Ax Fx)
EG,3
6
I Fy /\ -. Ax Fx
NCC,5
7
r
8
I Fx/\ -. AxFx
EG,4
9
I Fx
EC,8
Fx /\' Ax Fx
EG,4
10
11
AxFx
I ,AxFx
:Xl
== Ax (Px -? Qx)
Ejercicio numero 5.
::t2
= V X Px -? Vx Qx
0:1'==
I- 0:2.
Vy (Vx Fx -? Fy)
Pruebese:
NP,2
Ay (Fy /\ -. Ax Fx)
Ejcrcicio numero 3.
al
MP,5,3
1 J Vy (Fy -? Ax Fx)
'i' Ax Rxx
Pruebese:
0:1
Deduccion eorrespondiente al ejercicio numero 4.
Deduccion correspondiente al ejcrcicio numero 2.
1
premo
Pruebese:
Ejercicio numero 2.
Pruebese:
Ax (Px -? Qx)
5
7
(Xl
I
Axy (Rxy v Ryx)
EP,2
Pu
Ejercicio numero 4.
II~
0:1 ==0
59
EJERCICIOS DE DEDUCCION
1--
(Xl.
EC,10
60
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
Deduccion correspondiente al ejercicio nurnero 5.
1 !'
Ejercicio numero 7.
Vy(VxFx~Fy) III
2 I -.Vy(VxFx~F!J)
3 I
61
EJERCICIOS DE DEDUCCION
l\y,(VxFx~Fy)
41'
(Vx Fx ~ Fy)
NP,2 EG,3
5
VxFx/\-.Fy
NCC,4
6
VxFx
EC,5
7
Fz
EP,6
8
y VxFx->Fz
= I\x
(Vy (Lye /\ Cxy)
~,
I\y (Lym ~ Cxy))
1l2"""
Vx I\y (Lye v Lym ~ Cxy)
Ila'='=
Vy (Lye
Pruebese:
(%1,
~
I\x Vu Cxu)
a2 I-- aa·
Deduccion correspondiente al ejercicio mimero 7.
1 !' Vy (Lye I
~
I\x Vu Cxu)
\Ix I\y (Lye v Lym ~ Cxy)
premo
3
I\y (Lye v Lym -;. Cxoy)
EP,2
Ejercicio numero 6
4
Lwe v Lwm
al ~ Vx (Rxx /\ ,Rxx) v I\xy (Rxy v Ryx) I\x Rxx
5
y Lwe ~ I\x Vu Cxu
Pruebese: al
7 I I LwevLwm
ID,6
8/1 Cx.u: 9 Lwe /\ Cx.u:
MP,4,7
9
10
I Fz
Vy (Vx Fx
~
Fy)
R,7
2
IP,8
Ct2 . -
I
~
Cx.so
EG,3
6 I I Lwe
I-- a2.
Deduccion correspondiente al ejercicio numero 6. 1 ? I\x Rxx
2
Y Rxx
10
3
,Rxx
4
Vx (Rxx /\ -. Rxx) v I\xy (Rxy v Ryx)
5
!' , Vx (Rxx /\ --. Rxx)
premo
6
"
7
Vx (Rxx / \ ' Rxx)
8
RUf1 /\ ,
9
Ruu
EC,8
-. Buu
EC,8
10
Ctl
Vx (Rxx /\ ,Rxx)
Ruu
Ct2
DN,6
II
I\xy (Rxy v Ryx)
ED, 4,5
12
Rxxv Rxx
GEG,l1
13
Rxx
ED, 12,.3
~, I\y (Lym ~ Cxy))
11
Il\x (Vy (Lye /\ Cxy)
12
I Vy (Lye /\ Cx"y) -;., I\y (Lym ~ Cxoy)
13
, I\y (Lym ~ exoy)
14
Y I\y (Lym ~ Cx"y)
15
I!' Lym ~ CXoy
16
I
Lym
17
I
Lye v Lym
EP,7
11
Vy(Lye/\CxoY)
IC,6,8
I LyevLym~exoY
18
I
19
II
20
Vy (Lye
premo at EG,l1
MP, 12, 10
ID,16 EG,3 MP, 18, 17
CXo!! ~
IP,9
I\x Vu Cxu)
IP,5
62
SINTAXIS: UN CALCUI,O DEDUCTIVO
J 'I
Ejercicio numero 8.
cr:, = I\xy (Vu tRxu /\ Ryu)
1
~
Rxy)
)
I\x V Y Rxy
el2
=:0
cr:~
== I\xyz (Rxy /\ Ryz ~ Rxz)
Pruebesc: a" a2 I---
'J,
)
Rxy /\ Ryz l
Rxy
EC,.3
Ry::
EC,3
I
.5
6
I\x (Aex
~
Hx /\ , Axx)
= He
as =, Vx Aex
ell,
a2
I--- CCs.
NOTA: Este ejercicio puede interpretarse como una formalizacion de la siguiente argumentacion: "Carlos afeita a todos los habitantes de Sitges que no se afeitan a si mismos y solo a enos. Carlos es un habitante de Sitges. Por consiguiente, Carlos no afeita a nadie".
r Rxy /\ Ryz .~ Rxz
4
=
al
Pruebese:
O::j.
1 Y I\xyz (Rxy /\ Ry::. ~ Rxz)
3
Ejercicio numero 9.
el2
Deduccion corrcspondiente al ejercicio mrmero 8.
2
Deduccion correspondiente al ejercicio numero 9.
,
1
\
r,
Vx Aex
2 I I\x (Aex
~
Hx /\ , Axx)
premo al
1
I\x Vy Rxy
premo a2
! I
3
lIe
premo
4
Acc ~ He /\ , Ace
EG,2
7
VyRzy
EG,6
8
Rzw
EP,7
5
Acc
9
Rzw
R,8
6
He /\ , Ace
Rzw /\ Rzw
IC, 8, 9
7
P Acc
10
6.3
EJERCICIOS DE DEDUCCION
11
Vu (Rzu /\ Rzu)
IP,10
12
I\xy (Vu (Rxu /\ Ryu) ~Rxy)
premo
13
Vu (Rzu /\ Rzu)
14
Rzz
~
Rzz
J
1
a1
CEG,12
15
Hzz /\ Ryz
IC, 14,5
16
Vu (Rzu /\ Ryu)
IP,15
17
Vu (Rzu /\ Ryu) ~ RZll
GEG,12
18
Rzy
MP, 17, 16
19
Rxy /\ Rzy
rc, 4, 18
20
Vu (Rxu /\ Rzu)
IP,19
21
Vu (Rxu /\ Rzu)
22
Rxz
-'J>
Rx;,;
GEG,12
MP, 21, 20
(
He /\ , Ace
EB,4
~
EB,4
Ace
8
,Ace
9
He /\ ' Ace
IC, 3, 8
Ace
MP,6,9
10
MP, 13,11
~
CC2
11
II c /\ , Ace
MP,5,7
12
,Ace
EC,11
Ejercicio numero 10. at"'" I\x (I\y (Fy ~ Rxy) ~ I\y (Py ~ Rxy»
j
I
I
\
I
1
a2 zss Vxy (Py /\ -, Rxy)
as -
Vy (Fy /\' I\x Rxy)
Pruebese:
a" CC2 I--- CCs.
NOTA: Este ejercicio puede considerarse como una formalizacion de la siguiente argumentacion: "Quien desprecia a todos los fanaticos des precia 5. -
LOGICA DE PRIMER ORDEN"
I
I
~ 64
I
SINTAXIS; UN CALCULO DEDUCTIVO
tambien a todos los politicos. Alguien no desprecia a un determinado poli tico. Por consiguiente hay un fanaticn aI que no todo el mundo desprecia". Deduccion correspondiente aI ejercicio numero 10.
I 11
1 ? Vy (Fy /\, Ax Rxy) 2
Ax (Ay (Fy
3
Vxy (Py /\ ,Rxy)
premo ct;!
4
Pu rc :» Rwu
GEP,3
5
Ay (Fy -7 Rwy)
61
? ,Ay(PY-7Rwy)
7
I, ,
-7
Rxy)
-7
-7
Ay (Py -7 Rxy))
Ay (Py -7 Rwy)
premo ctl
Ay (Py -7 Rwy)
DN,7
9
Pu -7Rwu
EG,8
Pu
EC,4
Rwu
MP,9,1O
11
I
13
, Ay (Fy -7 Rwy)
EC,4 MT,5,6
14
Vy, (Fy
-7
NG,13
1.5
, (Fyo
Rwyo)
16
Fyo /\, Rwyo
NCC,15
17
Fyo
EC,16
18
,Rwyo
EC,16
19
Vx, Rxyo
IP, 18
20
,Ax Rxyo
NG,19
21
Fyo /\ , Ax Rxyo
'IC, 17,20
22
Vy (Fy /\ , Ax Rxy)
IP,21
Rwy)
EP,14
Ejercicio mimero 11.
ctl
~
(Vx Px -7 (Vx Gx
Pruebese:
I- Ill'
-7
Ax Hx)) ~ Axyz (pz /\ Gy
-7
Hz)
1 l' (Vx Px -7 (Vx Gx -7 Ax Hx)) 2
l' (Vx Px -7 (Vx Gx
3
l.vx Px -7 (Vx Gx -7 Ax Hx)
r
Axyz (Px /\ Gy
5
r
6
I Px /\ Gy
Px /\ Gy
-7
-7
~
Ax Hx))
Axyz (Px /\ Gy
-7
-7
Axyz (Px /\ Gy
Hz)
-7
Hz)
Hz)
Hz
-7
7
}lX
EC,6
I
8
VxPx
IP, 7
I
9
Vx Gx
I'j·
Ii
II Ii
-7
Ax Hx
MP, 3, 8
10
~
E~6
11
Vx Gx
IP,1O
Ax Hx
MP, 9, 11
Hz
EG,12
.I I
12 "~I
12 I I ,Rwu
-7
(i 11
Ay (pY-7 Rwy)
Deduccion correspondiente al ejercicio numero ll.
4
i
EG,2
8
10
65
EJERCICIOS DE DEDUCCION
]3 14 15 16
r I
Axyz (Px /\ Gy
-7
Hz)
Axyz (Px /\ Gy
-7
Hz)
r
VxPx
18
r
Vx Gx -7 Ax IIx
19
VxGx
20
? AxHx
I
22 I I I I I 23
l' Hx Pu
EP, 17
I Gw
EP,19
24
Pu /\ Gw
25
Pu /\ Gw
26
Hx
27
(Vx Px -7 (Vx Gx -7 Ax Hx))
Vx Px -7 (Vx Gx -7 Ax Hx)
17
21
-7
(Vx Px -7 (Vx Gx
IC, 22, 23 -7
Hx
GEG,15 MP,25,24
-7
Ax Hx))
~
Axyz (Px /\ Gy
-7
Hz) lB,2, 14
66
67
EJERCICIOS DE DEDUCCION
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
Ejercicio mimero 12. Deduccion correspondiente al ejercicio numero 13. a1
= /\x ((Bx
a2
= /\x (fx = a ~ Bx)
Nx) /\ , (Bx /\ Nx))
y
1 ? /\x Hx
a3 =fa = a a4 = --'i /\x
Nx
2
-, Vx (/\y (y
3
Vx. Hx
I?
4 'Pruebese:
0:1,
a2, 0:3 I- 0:4.
5
Deduccion correspondiente al ejercicio numero 12.
= a ~ Py) ~ Hx)
premo
a[
/\x(Pa /\. Hx)
premo
a2
i-e r»
/\x (Pa /\ -, Hx)
I /\x. (/\y (y
6
• (/\y (y
7
/\y (y
= a ~ Py) ~ Hx)
= a ~ Py) ~ Hx)
NP,2 EG,5
1 ? ,/\x Nx
8
= a ~ Py) / \ ' Hx /\y (y = a ~ Py)
2
"
9
Pa
EI,8
3
/\x Nx
DN,2
10
rv Hx
EC,7
4
Na
EG,3
11
Pa /\ rv Hx
IC,9,10
5
/\x (fx = a ~ Bx)
premo
6
fa=a~Ba
EG,5
7
fa=a
premo
8
Ba
9
/\x ((Bx
/\xNx
y
Nx) /\ , (Bx /\ Nx))
- , . /\x iPas ;» Hx)
DN,4
13
,Vx.Hx
MT,3,12
a;1
14
/\x,.Hx
NP,13
MP,6,7
15
,
rv Hx
EG,14
prem·
16
lIx
011
(Ba
II
,(Ba /\ Na)
EC,10
12
(Ba /\ Na)
rc, 8, 4
Na) /\ , (Ba /\ Na)
Ejercicio numero 13. a1
=, Vx (/\y (y =
a ~ Py) ~ Hx)
0;2
"::.CO
Vx, Hx
~,
/\x (Pa /\', Hx)
2;\
~C'
/\x 1I x
Pruebcse:
aI, a2 I- a:].
EC,7
12
Q;2
10
y
NCC,6
EG,9
DN,15
Ejercicio numero 14. 0:1 -
a2
/\yz (/\x (XEy ~ XEZ) ~ Y = z)
= /\uw (/\x (XEU ~ Ex /\ a) /\ /\x (XEW ~ Ex /\ a) ~ U = w)
Pruebese:
a1 I- a2.
NOTA: a1 se puede interpretar como el axioma de extensionalidad de la teoria de conjuntos. a2 se puede interpretar del mismo modo como el teorema de la teoria de conjuntos (tipo Quine) que dice que para cada condicion a hay a 10 sumo una clase de todos los elementos que satisfacen a.
68
Deduccion correspondiente al ejercicio numero 14.
CIS
1 l' Auw (Ax (XEU ~ Ex /\ 2) /\ Ax (XEW ~ Ex r. a) ~ u = w) 2
Ir
69
EJERCICIOS DE DEDUCCION
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
Ax (XEU ~ Ex /\ IX) /\ Ax (XEW ~ Ex /\ a) -7 u = w
==.
a = he
Rcc -7 Rcc
0:1 == ,
Pruebese:
C(l,
C(~,
as I- at·
Deducci6n oorrespondiente al ejercicio numero 15. o
~
Ex /\ a) /\ Ax (XEW
~
Exr. a)
3
Ax (XEU
4
Ax (XEU H Ex /\ a)
EC,3
5
/\x (XEW H Ex r. a)
EC,3
6
l' Ax (XEU
~
1 l' • Rcc
XEW)
7 I I I l' XEU H XEW E~4
Ex /\ a:
E~5
10
XEU -o Ex r. a
E~8
11
Ex /\ cc
E~8
12
XEW
13
Ex /\ cc
XEU
~
9
XEW
~
14
II
15
16
I
II
Ex /\
E~9
C(
E~9
~XEW
Ex r. XEW
a
I
23
Ayz (Ax (XEy
24
Ax(xEU O(-~XEW)
25
U=tlJ
premo CCs
fcc == e
6 \ Ax (x =
EG,3
II,4
a = !Ix)
C 0--'70 ,
7
fcc =p ~ • a = hfcc
EG,6
8
, a = !lfcc
MP,7,5
9
AxRxx
ED, 2, 8
Ree
EG,9
10
Ejercicio numero 16. al = , (. fa = fb v , I-
Hfa) -) Hfb
CCI'
2
I ,(, fa =
H
Y '--= z)
XEZ)
-30
~u
= W
fll v· Hfa)
4
r fa = fb I I ,fa = fb
5
I
6
I -, (, fa =
7
r Ilfa
3
«-+XEW
Ejercicio numero 15.
al ~. a = hfce v Ax Rxx
C
,a=hc
MP, 13, 16
MP, 11, 20
I
=--=:
4
1 l' , (0 fa = fb v ' Hfa) ~ Hfb
MP, 12, 19
22
a:! = Ax fcx
premo cc:!
I
I xeu XEU
Axfcx = c
I
Ex /\ cc .
3
MP, 10,15
XEW
I
premo CCI
I
Deduccion correspondiente al e[ercicio numero 16.
r XEW ~XEU
19
a = hf€C v Ax Rxx
2
Pruebese:
I
18
21
XEU
~
i::~X
17
20
~
Ex /\
Rcc
5
C(
8
-7
('fa=fbv,Hf a)
fb v • Hfa)
1D,4
R,2
IB,14,18
8
,Hfa
premo al
9
(, fa = fll v • Ilfa)
ID,8
GEG,23
10
-, (. fa = fb v. Hfa)
R,2
MP,24,6
11
Ax (x = fa ~Hx)
12 fb = fa -7Hfb
II, 7
EG,ll
13
fb =fa
Sl,3
14
Hfh
MP, 12, 13
70
SINTAXIS: UN CALCULO ··DEDUCTIVO
Ejercicio numero 17. Pa ~
CCl -
Pruebese:
Deduccion correspondicnte al ejercicio numero 18.
Vy (a = y 1\ Py)
1 ? Gc
I- CCI'
2
,Gc
3
I\x (x = c ~,
4
c = c ~,Vy (Py
1\
Myc)
EG,3
5
c = c ~,
Vy (Py
1\
Myc)
EB,4
Deduccion correspondiente al ejercicio numero 17.
1 ? Pa ~ Vy (a = y 1\ Py)
Myx))
premo
Cli
I
6
c=c
3
I
7
, Vy (Py
8
,Gc~,
9
, I\y (Py ~ • Myc)
MP,8,2
10
Vy,(Py~,Myc)
NG,9
11
,(Pu~.
EP,1O
12
Pu
13
"Muc
EC,12
14
Pu
EC,12
15
Muc
DN,13
16
Pu
17
Vy (Py
Pa
I
.5
a=al\Pa
6
Vy(a=YI\PY)
[=5"(a=YI\PY)] 11
? Vy (a = y
8
I Vy(a=YI\PY) a= u
IP,5
Py) ~ Pa
7
1\
IC, 3, 4
Pu
EP,8
[ = 5"., Px]
EC,9
1\
10
Pu
11
a=u
EC,9
12
I\x (x = u ~ Px)
11,10
13
a zx ur-v Pa
EG,12
1411
Pa
MP, 13, 11
Pa ~ Vy (a = y
15
1\
Py)
Ejcrcicio nurnero 18. I\x (x =
=.
Gc
c
~.
Vy (Py
~.I\y (Py~. Myc)
Gc
Pruebese:
Myx))
CCI, CC2 I- CCa.
MP,5,6
I\y (Py~. Myc)
Muc)
IC, 14, 15 IP, 16
Myc)
I\yz (I\x (Exy ~ Exz) ~ Y = z)
-I\x (Exu ~ I\v Rvx)
Pruebese:
CCI I- CC2.
CC2
NCC,l1
Muc 1\
premo
Ejcrcicio numero 19.
0:2
1\
Myc)
Muc
1\"
1\
1\
IB,2,7 ell -
CC;j sss
1\
?Pa~Vy(a=YI\PY)
9
CC2
Vy (Py
21
4 I I a=a
CCl =
7J
EJERCICIOS DE DEDUCCION
1\
I\x (Exw ~
Vy Ryx) ~ u = w
72
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
Deduccion correspondiente al ejercicio mrmero 19. ~
r Vzl\w(l\xfxw=x+-l>w=z)
2
Vz I\x (fxz = X/\ Vy fxy = z)
premo
EC, 2
3
I\x (fxzo = x /\ Vy fxy
EP,2
EC,2
4
l' I\w (I\x fxw
prem.1I:1
5
I l'
GEG,5
6
II
~
Vy Ryx)
2
I\x (Exu ~ I\v Rvx) /\ I\x (Exw
+-l>
Vy Ryx)
3
I\x (Exu
~
I\v Rvx)
4
,I\x (Exw
~
Vy Ryx)
5
I\yz (I\x (Exy
~
Exz)
~
6 I I\x (Exu ~ Exw)
-'> U
= w
7
y = z)
Deduccion correspondiente al ejercicio numero 20. 1
I\v Rvx) /\ I\x (Exw
1 l' I\x (Exu
~
u=
tV
I l' I\x (Exu ~ Exw)
8
EB,8
9
Ryx
EG,4
10
Exu:
EB,lO
11
Exa +-l> I\v Rvx
9
Exu
~
7
EG,3
8
I\v Rvx
I
I fXzo = X/\ Vy fxy = I fxzo=x I I
I\u (u =
Zo ~
12
l' Exu~ Exw
12
I
13 I I 'F I\x [xu: = x
I'
\
15
II\V Rex Rvx
1~ III ': Ryx
1,
,
18
I tI
Exso
= tV
Prucbcsc:
0: J,
x~w
MP,11,6 ~
w=
15
fxw=x
IP,15
16
fxzo = X/\ V y txy
MP, 11, 16
17
fxzo = x
MP,6,7
18
I\XyllW ijxu
21 22
'ass
Vz I\w (I\xfxw =
[xu: = x
EG,14
= /\xy.UtV (fxu , = Y. /\ [xu: = y' ~ u = w), Vz /I,x (fxz = X/\ Vy fxy = z)
I f xz1J = fXzo
= z)
23 24
a:! !--- a:\.
NOTA: a] y c::~ son dos tcorcrnas de 1a tcoria de grupos, que en los cjercicios 23 y 22, rcspeetivamcnte, son dcducidos a partir de los axiomas de esa teoria. a;l es eI tcorerna de la teoria de grnpos que afirrna la existen cia univoca de un elemento neutro.
Zo
'I
X /\
EG,14 EG,3
= Y /\ fxw = y ~ u = w)
fxw = X ~ zo = W
= X /\ fxw = x
I ~x [xu: = x ~ w= V I\w (I\x [xu: - x H N
premo
(1.1
GEG,18 IC, 17, 15 MP, 19,20
= w
= /\xyz ftxyz = tXfyz o::! I\x fxhx = k =
= Zo
EC,16
Ejercicio numero 21. 0:]
Zo
I W=Zo
I
II,9
EG,10
I\xfxw = x
20
EC,8
w=zo~txw=x
14
19
EG,3
Zo
fxu = x)
MP, 9,13
Ejercicio numero 20.
C(:;
w=zo l' I\x [xu: = x
V Y Ryx
, Exu
X +-l>
= Z(l) W = zo)
(1.::1
~ I\x [xu: = x
11
14
0:::1
Zo
Exw~ Vy
13
(1.1
W=
=
10
-';0
73
EJERCICIOS DE DEDUCCION
SI,21 Zo . _
tv -
~ "')
IB,13,5 IP,4
74
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO Il;{ =
Ax fkx = x
1l'4 =
Axy Vz fxz
Pruebese: aI,
\
=y
a2,
as
I- a4.
I I I
Deduccion eorrespondiente al ejercicio numero 22.
1 l' Axy V z fXZ = Y
3
Axfxhx = k
4 jAXfkX
premo as [= 5~ fxy
= y]
5
fky = Y
6
= y) fxhx = k -+ ftxhxy = Y fxhx = k ffxhxy = Y
11,5
Az ftxhxz = fXfhxz
GEG,2
7 8 9 10
Ax (x = k -+fxy
EG,3
TI,9,11
= Y
IP,12
Ejercicio numero 22.
(
=
Axyz fXfyz = ffxyz 1l'2~ Axy Vz fxz = y ,2a""" Axy Vz [zx = Y ,24 == Vz Ax (fxZ = X /\ Vy fxy
1l'1
If Ax (fxu
EP,3
= X/\ Vy fxy =
i
y as son los axiomas de Hamilton para la teoria de grupos. 7 4 es el teorema de la teoria de grupos que dice que hay un elemento neutro y qut" para cada elemento del grupo hay un inverso. NOTA: 1l'1, a2
u)
7
Vz fZy = x
GEG,6
8
fwy=x
EP,7
9
Av (v
= y ~ fWD
= x)
12
= Y -+ fwfyu = fwfYIl = x Axyz fXfyz = ffxy::
13
fwfyu = ffwYll
fyu
I
ffwyu
11,8
x
EG,9 MP,10,4 prem.al
GEG,12
=x
TI, 13, 11
15
Av (v = fwy -+ [ou = x)
I1,14
16
x = fwy -+ [xu = x
EG,15
17
x=fwy
51,8
18
[xu = x
MP, 16, 17
19
VZfxz = u
GEG,2
20
=u II Vy fxy = u fXzo
EP,19 IP,20
rc, 18,21
fxu = x /\ Vy fxy = u
23 I Vz Ax(fxz = X/\ Vy fxy
,I
GEG,2
premo as
22
Pruebese: al, a2, a;j I- a4'
prem.a2
Axy V Z fZx= y
21
= z)
z)
6
14
MP,7,8
12 I fxfhxy = Y
5
11
EG,6
EG,10
fyu= y
10
EG,4
11 I ftxhxy = fxfhxy
13 I VzfxZ
(
premo az
=x
4
2 I
Deduccion correspondiente al ejercicio numero 21.
premo at
3
= x /\ Vy fxy = Axy V z fxz = y VZfyz = Y
1 F Vz Ax (f:CZ
NOTA: aI, a2 y IlS constituyen una axiomatizacion posible de la teoria de grupos. 1l'4 seria en esta interpretacion el teorema que dice que siempre hay un cociente porIa derecha.
2 I Axyz ftxyz = fx fyz
= z)
IP,5
Ejercicio numero 23.
= ffxyz = Axy Vz fxz = y as = Axy V z fZX = Y a4 raa Axyuw (fxu = Y /\ [xu: = Y -+ U III
=, Axyz fXfyz
12'2
I
l.
75
EJERCICIOS 0;-: DEDUCCION
-
w)
76
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
Pruebese: 0:1, 0:2,
AS \---
EJERCICIOS DE DEDUCCION
25 I I f{Z2XW
0:,1.
0:1, 0:2 Y O:s son los axiomas de Hamilton para la teoria de grupos. 124 es el teorema de la teoria de grupos que dice que para cada dos elemen tos del grupo hay a 10 sumo un cociente porIa derecha. NOTA:
Deduccion correspondiente al ejercicio numcro 23.,
= Y /\ fxw = Y -,) U = w)
r fxu = Y /\ fxw = y -,) u = w
fxu = Y /\ fxw = Y
1 Y Axyuw (fxu 2 3
6
=Y fxw = y fxw = [xu
7
Axy Vz fzx
8
I VZfzu = u
9
11
=u Vz [zx = Zl f Z X = Zl
12
/\xy VZ fxz
13
Vzfuz= w
4 5
10
14 15
16
17
18 19 20 I 21 22
23
24 I
fxu
= fZ2X -,) fZ1W
28
Zl
= fZ2X
29
fZ1W = u
30
Av (v
35 36
GEG,7
EP,8
GEG,7
= u)
II, 25
=u
EG,26 SI,11 MP,27,28
= w -,) fZ1V = u)
II, 29
= w -,) fzduz s = u f Z1 fUZ3 = u fZl fUzs = ff z1UZS ffz1UZS = U Av (v = fZ1U -,) fVZ3 = u) I U = fZ1U -,) fUzs = U fUzs
37
U = fZ1U
38
{uzs
39
u=w
EG,30 MP,31,14 GEG,18 TI,32,33 II, 34 EG,35 SI,9
=U
MP, 36, 37 TI,38,14
EP,lO
2
=Y
prem.0:2
=w Av (v = Zj -,) fvu = u) fZ2X = Zl -,) ffz'2XU = U ffz2XU = U Axyz fx fyz = ffxy;:, f Z2 fxu = ff::"21'11 I fZ2 fxu = u Av (v = [xu -,) fz:>.v
Ejercicio numero 24.
GEG,12
fUzs
=
u)
= fxu -,) fZ:>. [xu: = u fZ2 fxw = u I fZ2 fxw = ffz2XW fxw
Zl
34
prem.o:s
fZ1U
27
33
TI,5,4
=y
Av (v = fZ2X -,) fvw
32 EC,3
TI,24,23
26
31 EC,3
=u
77
a1
EP,13
0=:=
Vy (Ax (Sx /\ Gx ~ 1'= y) /\ Y =
a:!:=:o Ax (Sx /\ , X = r -,) Arx)
II, 9
as ~ Vx (Sx /\ Gx /\ Apx)
EG,15
a4 = Axy (Axy -,) , Ayx)
MP, 16,11
a" ="
premo
r)
Sp,
al
Pruebese: aI, a2, as, a4
GEG,18 TI,19,17
NOTA: Este ejercicio puede considerarse como una formalizacion de la siguiente argumentaci6n: "S610 hay un sofista que ensefia gratuitamente, y este es S6crates. S6crates argumenta mejor que ningun otro sofista. Plat6n argumenta mejor que algun sofista que ensefia gratuitamente. Si una per sona argumenta mejor que otra segunda, entonces, esta segunda no argu menta mejor que Ia primera. POI' consiguiente, Plat6n no es un sofista".
II, 20
EG,21
MP, 22, 6 GEG,18
I- iX5.
I
I
79
EJERCICIOS DE DEDUCCION
78
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
2811
Deducci6n correspondiente al ejercicio numero 240
29
I
1
r
j
,Sp
2 I "Sp 3
Sp
DN,2
4
Vx (Sx J\ Gx /\ Apx\
premo
5
Su /\ Gu /\ Apu
EP,4
6
Vy (Ax (Sx /\ Gx ~ x = y) /\ Y = 1')
premo
7
Ax (Sx J\ Gx
8
Ax (Sx /\ Gx ~ x = w)
EC,7
9
Su/\ Cu e- u = w
EG,8
10
~
x = w) /\ W = r
I Su /\ Gu ---,> u =
11
o;;{
GEG,19
30
I,App
MP,29,28
31
Sp /\ , P = r ---,> Arp
EG,22
32
Sp /\' P =
IC, 3, 23
33
,(Sp /\' P = r)
t
MT,31,21
Ejercicio numero 25.
0;1
EP,6
MP,27,26
App App ---'>,App
( I
0;1
=
Ax (Px ~ x
Pruebese:
I-
= a)
---,> ~x
Px = a
0;1'
EB,9
w
Su /\ Gu
EC,5
Deducci6n correspondiente al ejercicio numero 25.
r
Ax (Px ~ x = a) ---,> tX Px ~ a
12
I
u= w
MP, 10, 11
1
13
I
w=r
EC,7
2 I Ax (Px ~ x = a)
14
r=u
TI, 13, 12
3 I Vy Ax (Px ~ x = y)
15
Apu
EC,5
4
r« Px
16
Ax (x = u
11,15
5
Pvx Px ~
Px = a
E~2
17
r = u ---,>Apr
EG,16
6
Pix Px ---,> ~x Px = a
E~5
18
Apr
MP, 17, 14
7
~x
M~~4
19
Axy (Axy
20
Apr---'>,Arp
GEG,19
21
' Arp
MP, 20,18
22
Ax (Sx J\
23
j',p=r
[ 5:: Apx] ---,>
Apx)
Ayx)
---,> ,
,
X
= r
---,>
premo
Arx)
premo
D~3 ~x
Px = a
0;4
0;2
24
"p=r
25
p=r
DN,24
26
p=u
TI, 25,14
27
P = u---,>App
EG,16
Ejercicio numero 26. 0;1
=,
Vx 0;
Pruebese:
6. -
LbcICA DE
I-
IP,2
---,> tX 0;
=
0;1'
PRIMFR ORDEN
~u
u
=u
80
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
Deduccion correspondiente al ejercicio numero 26. 1 ? , V x IX
~
tX
(X
= tU U =
81
EJERCICIOS DE DEDUCCION
Ejercicio mimero 28.
U
121
2 I,VXIX
= Vy (Ax (Hx ~ x = y) A By) ~ B tX Hx
Pruebese: \-
121'
3 I ? , Vy Ax (IX ~ X = y) "
41I"VYAX(IX~X=Y) 5 VyAx(IX~x=y)
Deduccion correspondiente al ejercicio numero 28. DN,4
6
5""'" IX :r;
DP,5
7
VXIX
IP,6
8
,Vx IX
R,2
1 ? Vy(Ax(Hx~x=Y)I\By)~BtxHx
I
2
Vy (Ax (Hx ~ x = y) 1\ By)
3
Ax (Hx ~ x = u) 1\ Bu
EP,2
4
Ax(Hx~x=u)
EC,3
5
Vy Ax (Hx ~ x = y)
IP,4
6
HtxHx
DP,5
7
H
8
H vx Hx s-o ix Hx
9
txHx=u
MP,8,6
10
Bu
EC,3
11
Ax (x = U ~ Bx)
12
eX Hx
13
B «u«
:1
9
:l
DI,3
tXIX= tUU= U
II " Donde y es una variable que no esta libre en IX.
I
Ejercicio numero 27.
\ i
I
R efa a:! - Ax (Rxfa~x = c)
121-
123 =c= R
tX Rxfa fa
Pruebese:
121,
1%2 \-
J
123.
I
Deduccion correspondiente al ejercicio numero 27. 1 ? R tX Rxfafa 2
txHx=u s-:
U
[-5: Bx]
= u
~
B ex Hx
EG,4 EB,7
II, 10 EG,11 MP,12,9
Ejercicio mirnero 29.
I Refa
prem.a1
3
Ax (x = e ~ Rx fa)
4
Ax (Rxfa
5
? Ax (Rxfa~x = c)
~
x = c)
e~Rxfa
6
x=
7
Rxfa~x
8
Bxia co « = e
9
txHx~
10 I Rex Rxfafa
~
ct1'
Deduccion correspondiente al ejercicio nurnero 29. EG,4 IB,6,7
x = y)
= Vy (Ax (IX ~ x = y) 1\ By) ~ B tX IX, donde y no esta en
Pruebese: \-
prem.1%2
EG,3
= e
Vy Ax (Rxfa
121
II,2
IP,5 DP,9
\
I,
1 ? Vy(Ax(a~x=Y)I\By)~B~xa
2
Vy (Ax (a~ x = y) 1\ By)
3
Ax (a ~ x = u) 1\ Bu
EP,2
4
Ax (a ~ x = u)
EC,3
5
VyAx(a~x=y)
IP,4
ct.
82 6 I 5""" a IV
Ejercicio numero 31.
DP,5
a ~ eX a = u
Si,~a
8
5 IVtax a ---c> ex a =
9
exa=u
MP,8,6
(X4
~
10
Bu[- S'~,f. Bx]
EC,3
a~
= txAxa = p
11
Ax (x
=
II,10
Pruebese:
12
eX a = u -v B eX a
EG,ll
13
B exa
MP, 12,9
U ---c>
EG,4
u
(Xl
EB,7
Bx)
= Ax (Px ~ x
Pruebese:
= eX Px) H
(X:2
= eX Amx
(Xa
= ex Aax = p
Am eX Axa
aJ, :;t2, :;ta, a4 I- 116
NOTA: Este ejercicio puede considerarse como una formalizacion de 1a siguiente argumentacion: "Maria ama solamente a un hombre. E1 hombre amado por Maria es aque1 a quien Apo1onia ama. Pituso es e1 hombre a quien Apo1onia ama. Maria ama a1 hombre que ama a Apo1onia. Por cons i guicnte, e1 hombre que ama a Apo1onia es Pituso".
Ejercicio numero 30. al
Vy Ax (Amx ~ x = y) = eX Aax
7
'"
83
EJERCICIOS DE DEDUCCION
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
Vy Ax (Px ~ x = y)
I- 111.
Deduccion correspondiente al ejercicio numero 31. 1
r 'exAxa = p
1
?
Ax(Px~x= exPx)~VyAx(Px~x=y)
2
Am exAxa
premo
124
2
I
YAx(Px~x- exPx)---c>VyAx(Px~x=y)
3
Vy Ax (Amx ~ x = y)
premo
al
4
AmtxAmx
DP,3
5
Ax (Amx ~ x
I Ax (Px
3 4
~x =
eX Px)
II VyAx(Px~x=y) Vy Ax (Px ~ x
IP,3
= y) ---c> Ax (Px ~ x = eX Px)
5
'f
6
I VyAx(Px~x=y)
= u)
EP,3
7
=u Am eX Amx ---c> eX Amx = u
EB,6 MP,7,4
6
Am
exAmx~exAmx
EG,.5
7
Ax(Px~x=u)
EP,6
8
exAmx=u
8
P cx Px
DP,6
9
Am ex Axa ~ eX Axa
9
= u
P eX Px ---c> eX Px = u
EG,7
10
Am exAxa
EB,9
11
txAxa =u
MP,1O,2
MP, 10, 8
12
ex Amx
TI, 8,11
II,7
13
EG,12
14
MP, 13, 11
15
IB,2,5
16
= eX Axa eX Amx = eX Aax tX Axa = ex Aax exAax = I' txAxa = p
P eX Px
10
~
11
l/tXpx= u
12
I
13 14 15
eX Px
= U ---c> Ax (Px ~ x = w)) eX Px = u ---c> Ax (Px ~ x = ex Px) Ax (Px ~ x = eX Px) Ax(Px ~x = ex Px) ~ Vy Ax (Px ~x = y) Aw (w
L
---c>
=u
EG,5
exAxa = u
EB,9
premo
:;t2
TI, 12, 13 premo
:;t3 •
TI,14,15
84
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
EJERCICIOS DE DEDUCCION
Ejercicio numero 32.
Ejercicio mimero 33.
= t = ex Axc
Cl1
011 ~
Srk
Cl2 '== I Cl3
= Ax (-. Sxk -? Axc)
Cl4
= Vy Ax (Axc ~x= y)
Cl5'==
Pruebese:
= y) -?
X
tX
Px =
tZ Z
=
Z
I-- 011.
Deduccion correspondiente al ejercicio numero 33. Cl2,
OIl,
013, 014 I-- Cl5'
NOTA: Este ejercicio puede considerarse Como una formalizaci6n de la siguiento argumentacion, "Toribio es el hombre que ama a Clotilde. A Ro berto no Ie cae simpatioa Carina. Todo el mundo que no simpatiza con Carina ama a Clotilde. Unicamente una persona ama a Clotilde. Por con siguiente, Toribio y Roberto son la misma persona". Deduccion correspondiente al ejercicio numero 32.
.
Vxy (Px 1\ Py /\ I
t= r
Pruebese:
1
85
? t=r
2
Ax (-. Sxk
3
I
Srk
4
I
Srk
5
Arc
MP,3,4
6
Vy Ax(Axe~x = y)
premo Cl4
7
A exAxee
DP,6
8
Ax (Axe~x = u)
EP,6
9
A ex Axe e ~
-?
Axc)
~Arc
prem· EG,2
prem·
= u
tX Axe = u
tX
013
Axe
012
EG,8
10
A
11
txAxe =u
12
Are~r=
u
13
Are-?r=
II
14
r=u
15
ex Axe
16
t
= txAxe
prem·
17
t
= r
TI,16,15
tX
Axe e -?
= r
EB,9
MP, 10, 7
EG,8
1
l' Vxy (Px 1\ Py
2
I Vxy (Px 1\ Py 1\
3
Pu
4
l'
Pw
1\
X
1\ I I
= y) -? eX Px = tZ Z = Z
X = y)
U= w
1\ I
I
Vy /\x(Px~x = y)
5
I
I
6
Vy Ax(Px~x =y)
7
Ax(Px~x
8
Pu~u=v
EG,7
9
Pu-?u
=v
EB,8
Ax(Px~x
Vy
= c)
EP,6
EC,3
11
u=v
MP,9,10
12
Pw~w=v
EG,7
13
Pw-?w=v
EB,12
14
Pw
EC,3
15
w=v
MP, 13, 14
16
u=w
TI, 11, 15
17
IU=W
EC,3
18
tXPx= tZZ
=Z
Ejercicio mimero 34. OIl"=- tX,
Vy (Py 1\ Myx) = d
(};2=Pd Cl3
DN,5
Pu
TI,11,14
011
= y)
10
EB,12
MP,13,5
GEP,2
= Vx (Px 1\ Ex)
DI,4
86
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
Ejercicio mimero 35.
Pruebese:
al
a1,
a2, a3, a4 I- 1Z5.
NOTA: Este ejercicio puede considerarse como una formalizacion de la siguiente argumentacion: "Dios es el ser mayor que eI cual nada puede ser pensado. Dios puede ser pensado. Algun ser puede ser pensado y existe. Cualquier ser que pueda ser pensado y exista es mayor que cualquier otro que solo pueda ser pensado, pero no exista. POI' consiguiente, si Dios no existe, entonces hay un ser que puede ser pensado y que es mayor que aquel mayor que eI cual nada puede ser pensado". Observese que en esta formalizacion la existencia se considera como un predicado y no como un cuantificador,
Deduccion correspondiente aI ejercicio numero 34.
1
? I Ed ~ Vz (Pz 1\ Mz
IX IVy
87
EJERCICIOS DE DEDUCCION
= Ax (Px 1\ Ex ~ Ay (Py 1\ I Ey ~ Mxy» a5 = I Ed ~ Vz (pz 1\ Mz eX IVy (Py 1\ Myx» a4
(Py 1\ Myx»
=x a2 - Axyuw (fxu = Y 1\ fxw = Y ~u -: w) a3 = Ax fx ty Ax fxy = x = x = Vz Ax fxz
Pruebese: aI, a2 I- a3'
Deduccion correspondiente al ejercicio numero 35.
=x= x
1
? Ax fx ey Ax fxy
2
Vz Ax fXz= x
premo al
3
AXfxzo = x
EP,2
4
? Ay (Axfxy
= XHy = zo)
I ~ Ax fxy = X Y = Zo
? Ax fxy = x ~ y = Zo
2
rv Ed
3
Vx (Px 1\ Ex)
prem. a3
6
4
Pu 1\ Eu
EP,3
7
Axfxy = x
5
Ax (Px 1\ Ex ~ Ay (Py 1\ I Ey ~ Mxy»
premo a4
8
fxy=x
EG,7
6
Pu 1\ Eu ~ Ay (Py 1\ I Ey ~ Muy)
EG,5
9
fXzo = x
EG,3
7
I,y (Py 1\ I Ey ~ Muy)
MP,6,4
10
Axyuw (fxu = Y 1\ fxw
8
Pd 1\ I Ed
EG,7
11
fxy
9
Pd
premo a2
12
fxy - X1\ fXz'O
IC,9,2
13
y=zo
MP,8,10
14
II, 11
15
premo al
16
Au (u = Zo ~ Ax [xu = x)
II, 3
17
y = Zo ~ Ax fxy
EG,16
5
~
Mud
10
Pd 1\ I Ed
11
Mud
12
Aw(w=d~Muw)
13
tX, Vy (Py 1\ Myx) = d
14
eX IVy (Py 1\ Myx) = d ~ Mu
15
Mu
16
Pu
17
Pu 1\ Mu ex IVy (Py 1\ Myx)
IC, 16, 15
20
18
Vz (Pz 1\ Mz tX IVy (Py 1\ Myx»
IP,17
21
IX
tX
IVy (Py 1\ Myx)
IVy (Py 1\ Myx) EG,12 MP, 14, 13 EC,4
H
= Y~u =
= X1\ fXzo = x ~ y =
Zo
=X
w) premo a2 GEG,lO IC,8,9 MP, 11,12
I I I or y = Zo ~ Ax fxy = x I
y=zo
18 I
19
Axfxy = X
Ax fxy I I
=x
=X
H
MP, 17, 15
Y = Zo
= XHy = z) Ax fx ty Ax fxy = x = x Vz Ay (Axfxy
IB,6,14 IP,4 DP,20
88
TEOREMAS SINTACTICOS SOBRE LA DEDUCIBILIDAD
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
'I
11.5. Teoremas sintacticos sobre la deducibilidad 5.1. Primer teorema de la deducci6n:
1%
sea una sentencia de 2. Si
IX 1-"", (3, entonces 1-"", (IX -...,.. (3). Prueba: Sea IX 1-"", (3, es decir, haya una deduccion 9J1 en 2 de (3 a partir de IX, y tenga esta deduccion n Iineas, Entonces, consideremos la deduccion .@2: 1 ?' (IX --+ (3)
2 2+1
I
de 9J 1 en que IX habia sido introducida como premisa obtenemos IX por apli cacion de la regIa de repeticion a la Iinea 3. As], pues, las unicas premisas introducidas en 9J2 son las que provienen de r y, por tanto, r I-z' IX. Con 10 que (1) queda probado. De igua,l modo se prueba (2). 5.4. Teorema:
Si t es un termino de 2, entonces I- z V X X = t.
a ?'(3
Prueba:
2+ n) I ~ +
(i
+
cuyas lineas 2 1, ... ,2 n solo se diferencian de las n lineas de 9J 1 en poseer una marca mas. En los lugares de 9J2 correspondientes a aquellos de 9J 1 en que IX habia sido introducida como premisa obtenemos 1% par aplicacion de la regIa de repeticion a la linea 2. As], pues, 9J 2 es una de duccion sin premisas y, par tanto, I-z (a --+ (3).
5.2. Segundo teorema de la deduccion: r sea un conjunto de senten cias. Si r I-z IX, entonces hay un numero finito de formulas 11, •.. , I" E r, tales que I-z hI /\ ... /\ "[" --+ IX). Prueba: Sea r I-z 1%. Por 2.8, hay un numero finite n de formulas "[I, ... , "["Er, tales que ·(1) ... ,I,,l-z01. Por 2.9 d), (11/\ ... /\"[,,)-l-zlX. Y por 5.1 I-z (11/\ ... /\ I" --+ IX).
r
r
U lIXI, y tenga esta deduccion
2
I"a
3 1 a 3+1 ?',a
DN,2
3+n
+
+
cuyas Iineas 3 1, ... ,3 n solo se diferencian de las n lineas de 9J 1 en poseeruna marca mas. En los lugares de ~2 correspondientes a aquellos
rI
3 5
Vxx=t ,Vxx=t Ax ---, x = t ,t=t t= t
NP,2 EG,3 I
5.5. Teorema: Si x no esta libre en
1%
y I-z (IX --+ (3),entonces 1-"", (IX --+ Ax (3).
Prueba: x no este en IX. Sea I-z (IX --+ (3).
1 ? (IX --+ Ax (3)
2
IX
3 4
"? Ax (3
I? Ct. --+ (3
m
U 11X11-z' IX, es decir, haya una deduccion 9J1 en 2 de n lineas, Entonces, conside remos la deduccion 9J2 : 1 't , !% Prueba: Sea
1 2 4
5.3. Teorema: Sea ct una sentencia de 2. (1) Si r U jctll-",' ct, entonces r 1-"" a. (2) Si r U 1,all-z c, entonces I' I-z a.
---, IX a partir de
89
I . I:
I I
(3
pues 1-2 (IX --+ (3)
MP, 4, 2
Luego t-z (~ --+ Ax (3). 5.6. Teorema: Sean ts, t 2 Y ft l , ... , t" terminos de 2, en los que ninguna de las variables x, y, Xl ... x" este lihre. Sea Pt l , ... , t: una formula de 2. Entonees:
a) I-z Pt h
"',
t" B
VXh ... ,
b) 1-2 X . ttl, "', t n BVX1'
x" (Xl = t 1 "',
c) I-z t l = t 2 B Vxy (x = t 1
/\
x" (Xl
/\ ... /\ X"
=t
Y = t2
/\
1 /\ ... /\
x= y)
= t n /\ PxI , ... , x,,) Xn
= t.; /\ X=-fXI, ... , XII)
90
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
TEOREMAS SINTACTICOS SOBRE LA DEDUCIBILIDAD
Prueba de c): 1
2
3 4
5 6
Prueba:
= t~ ~ Vxy (x = t, 1\ Y = t~ 1\ X = y) I ? t) = t~ -+ Vxy (x = t 1\ Y = t~ 1\ X = y)
I t] = t~ ? Vxy (x = t] 1\ Y = t 1\ X = y) , Vxy (x = t, 1\ Y = t~ 1\ X = y) GNP, 5 Axy, (x = t) 1\ Y = t 1\ X = y) r
t1
1
= t)
t~
t~ 1\ t 1
=
t~)
=
t) = t 1
I
9
t2 = t2
I
10
tl
= t,
= t~ t 1 1\ t 2 = t~ 1\ t)
(t 1
=
11
I
12
l' Vxy (x = t 1
\
1\
1\ t~
1\
Y=
13
Vxy (x = t 1 1\ Y =
14
u = t 1 1\
15
u = t)
16
=
tJ
= y) -+ t) = t
t~ 1\
X
t~ 1\
X = y)
lAX (IX ~ /3) r Ax IX -+ Ax /3
II
5 6
GEG,6
8
(t l
2
4
2
,
y Ax IX ~ Ax f3
3
2
7
1
7
(I
9
Ax a y Ax /3
ill :~/3
8
I
EG,4
EG,2
a-+/3
EB,7
(3
MP,8,6
IC,8,9
10
IC, 10,3
11
AX/3
12
r Ax a
2
premisa
? Ax /3 -+ Ax a
13
,Ax a
14
Vx,a
NG,13
EC,14
15
,5"a J!
EP,14
u = t1
EC,15
16
5~ a~5:;/3
EG,2
17
u=w
EC,14
17
5~/3 -+
EB,16
18
t1 = w
TI,16,17
19
w = t~
EC,15
20
t)
21
t)
=
W
= t2
1\ W
= t«
1\ U
=
-GEP, 13 ft,
W
TI, 18, 19
t2
= t~ ~ Vxy (x = t, 1\ Y =
t 2 1\
X
= y)
W
no eaten en I" t,
r
(i
I !
18
' 5~/3
19
5~/3
20
i
Ax a ~ Ax /3
5::, a
MT, 17, 15 EG,11 IB,3,1O
IB, 2, 12 5.8. Teorema: Sea ): una formula de 2. w no este en rz a.
De igual modo se prueban a) y h) de 5.6. Entonces: 5.7. Teorema: Sean a y f3 formulas de 2. Entonces: !\X ():
~
/3)
he
Ax ): ~ Ax {3.
1-2' X
= ~z
IX ~
(Az (a ~;:::
= x) v (-, Vw Az: (a ~ z = w) 1\ X = ty y = y)).
91
92
,
I
Prueba: !Z
IX ~ (Az (IX ~ Z
A X
2 I?
I
3 4
I
X
= ty y =
Az (IX ~
Z
= w)
tyy =y))
f --, Vw Az (IX ~ Z = w) ~ I (Az (IX ~ z = x) V (--, Vw Az (IX ~
tZ
IX =
ty
Z
= w) A X = ty y =
Y =Y
y))
DI, 5
7
x = ey y
8
--, Vw Az (IX ~ z::;::: w) A X = ty y = Y
9
Az (IX ~ Z = x) V
=y
TI, 3, 6
(--,
Vw Az (IX ~
Z
= w) A
IC, 5,7 X:-
Y Vw Az (IX ~ Z = w) ~ (Az (IX ~ Z = x) V (--, Vw Az (IX ~ Z = w) A
I I I Vw Az (IX ~ Z =
w)
(
I
ty y = y)ID, 8 X
= ty y =
y))
y)
''':=
ID,18
Vw Az (IX ~ Z = w) V --, Vw Az (IX~Z = w) ~ (Az (IX ~ z = x) V (--, Vw Az (IX ~ Z = w) A X = ty y = y)) IDA, 10, 4
26
Vw Az (IX ~ z= w) v --, Vw Az (IX ~z = w)
27
Az (IX ~
Z
= x) v (--, Vw
Az (IX ~ Z = w)
AX
TND
= ty y = y)
5'za IX z
13
Az (IX ~ Z = u) (donde uno esta en IX y U ¢ z), pues 5;:'IX = IX, ya que w no esta en IX
I
= x) ~ x = tZ IX
28
y Az (IX ~ Z
29
Az(IX~z
30
VwAz(IX~z=w)
31
5'za IX z
32
5'za IX ~ z
tZ
IX =
33
5'za z IX . ~
tZ
IX
34
tZ
X
MP, 33, 31
35
x = rz IX
SI,34
IX =
=x)
38
--, Vw Az (a. ~ z = w)
EP,ll
39
rz IX
tZ
IX = U
EG,13
40
x= tyy=y
15
5'za IX ~ z
tZ
IX = U
EB,14
41
X
16
iz IX =
MP, 15,12
42
17
u=X
TI,16,3 43
= x)
I--'Az(IX~z=x) [=5~--,Az(IX~Z=U),
ya que 5~ IX = IX, porque u no esta en
20
Au (u = x ~ --, Az (IX ~ Z = u))
21
u
22
--, Az(IX~z
23
Az(IX~z=u)
= x ~ --, Az (IX ~ Z = u)
= u)
=
~ w) A
X
= ty y = y ~ x =
= w) A X =
tZ
DI,38
EC,37
IX
IX~(Az (IX~Z
V (--,
IX
EC,37
TI, 39, 40
(Az (IX~ z = x) v (--, Vw Az (Cf.~Z A X = ty y = y)) ~ x = iz IX
X = tZ
tZ
tY Y = Y
= ty Y = Y
IX ~
Z
EB,32
--, Vw Az (IX ~ Z
5~za
III Y Az (IX ~
EG,29
X
37
14
U
=
X
y --, Vw Az (IX ~ Z
DP,11
IP,29 DP,30
.36
.
12
19
= tY Y
MP,25,26
6
18
.~
25
I
Az (IX ~ Z = x) V (--, Vw Az (IX ~ Z = w) A X
= rz IX
--, Vw Az (a. ~ z = w)
11
!
y))
= ez IX ~ (Az (IX ~ Z = X) V (--, Vw AX=
X
= x) v (--, Vw Az (IX ~ Z = w)
5
10
24
f
1 f x=
93
CUASIELIMINACION DE DESCRIPTORES
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
= X)
Vw Az (IX ~ Z
= w)
AX
= w)
= ty Y =
IDA, 28, .36
y))
IB,2,42
IX] II, 19
11.6. Cuasieliminacion de descriptores
EG,20 MP, 21, 17 R,13
6.0. En los lenguajes que posean al menos una constante individual podemos hallar formulas y terminos sin descriptores en cierto modo equi valentes a cualesquiera formulas y terminos dados, identificando para ello
94
SINTAXIS: UN, CALCULO DEDUCTIVO
~
una de las constantes individuales con una descripcion impropia. EI teore rna siguiente expresa esto con mas exactitud.
6.2. Demostracion de 6.1 por induccion semiotica simultanea:
v. x no este en t, e. d., x =1= C
+.,> X
=V
= ty Y = Y 1-2' X = V
+.,> X
=v
=
= a Y 1-2 X = a ~ x = a 1-2 X
C
= ty Y =
c
= ty Y = Y 1-2 X = ttl, ... , t«
=a~x
por 2.9, c)
Sea t ttl, .. ", t". x no este en t. xl, ... , x" sean n variables que no esten en t, Por hipotesis inductiva, hay n formulas sin descriptores
Y1-", Xi =
t, ~
Ahora bien, por 5.6, b) X
/\X"
= t n /\ X =
VXI, ... , Xn (
X
= tXI, ... , x,,)
= t,». ...
/\ XII,
= tn) ~VXl, ""'X n (
(
,
c = ty y = Y 1-2 X = ttl, "', t;
+.,>
X
= i«: ..., XII)
tn'
n variables distintas que no esten en a.
Por hipotesis inductiva, hay n formulas sin descriptores
+.,>
c = ty y = Y 1-2 PtI , "', t« +.,> VXI , De aqui podemos pasar a C
= ty y = Y 1-2 Pt b
"',
t;
+.,>
t l /\ .", /\ XII,
... , Xn (Xl
= tl
= tn. /\ PXI, ... , Xn) /\ ... /\ XII
=
t n 0 Px I, ... , x n )
VXI, ... , Xn (
Este ultimo paso se justifica como en el caso anterior. Luego hay una formula sin descriptores a' de 2, con las mismas varia . bles libres que Pt I , .. " t« y tal que
'i-x=a.
1-2'
= t.,»; ...
Luego hay una formula sin descriptores
Luego hay una formula sin descriptores
c = ty Y =
+.,>
c =!y Y = y 1-2 VXI, ... , X" (Xl
1-2
x no puede estar en t, pues una variable nunca esta en una constante .Individual.
VXl, ... , x" (Xl
tx), .. " xn)
Sea a - Pt I , por 2.9, c)
+.,>
De aqui podemos pasar a
Xl, ... , X n sean
Luego hay una formula sin descriptores
= ty y = Y 1-2 X = it-; ..., t;
V
=V
1-2 X
C
Este ultimo paso esta justificado porque de 10 que damos por supuesto para
i
Sea t
Por 2.9, c) obtenemos
J!
6.1. Teorema: Sea c una constante individual del formalismo ;C. En tonces: a) Para cada formula a de .2 hay una formula sin descriptores a' de5f:, con las mismas variables libres que a y tal que c = ty y = Y 1-2 a +.,> a'. b) Para cada termino t de .2 y cada variable x que no este en t hay una formula sin descriptores
95
CUASIELIMINACION DE DESCRIPTORES
i
= ttl, ''', t" ~ VXl, .. ", Xn (Xl = t,
/\ ... /\ Xn
= t ; /\ X = tXI, ... , x,,)
C
y = Y 1-2 a +.,> Sea a=-'/3.
= ty
a'; a saber, a' = Vx I,... , Xn (cpl/\ '" /\
,
Por hipotesis inductiva, hay una formula sin descriptores /3' de .2, con las mismas variables lib res que /3 y tal que C
=
ty y = Y 1-2 /3 +.,> /3'. Entonces, C = ty y = Y 1-2 -, /3 +.,> - , /3'.
Luego bay una formula sin descriptores a' de .2 con las mismas varia bles libres que -, /3 y tal que C = ty y = Y 1-2 ex +.,> a'; a saber, a' -, /3'. Sea a (f3 /\ Y). 7. --
LOGIC'\. DE PR.IMER ORDEN
96
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
POl' hipotesis inductiva, hay dos formulas sin descriptores {3' y or' de 2, con las mismas variables libres que {3 y T, respectivamcnte, y tales que
c = ey y = y 1-2 {3 -B {3'
C = ey y = y 1-2 T -B 1'. POl' tanto,
c = ty y = Y 1-2 {3 1\ T -B {3' 1\ 1'.
Luego hay una formula sin descriptores a' de 2, con las mismas varia bles libres que ({3 1\ T) Y tal que C = ty y = Y 1-2 a -B a'; a saber, a' = ({3' 1\ 1'). De igual modo se prueba el teorema para
a-({3VT)
a = ({3 --'}> T) Y
a = ({3 -BT).
Sea a = Ax {3.
POl' hipotesis inductiva, hay una formula sin descriptores {3' de 2, con las mismas variables libres que {3 y tal que c = ey y = y 1-2 {3 -B h'. POl' tanto, 1-2 C = ty y = y --'}> ({3 -B {3') pOl' 5.1 1-2 C = ty y = y --'}> Ax ({3 -B {3') pOl' 5.5 C = ty y = Y 1-2 Ax ({3 -B {3')
Ax ({3 -B {3') 1-2 Ax {3 -B Ax {3' pOl' .5.7
C = ty y = Y 1-2 Ax {3 -B Ax {3' pOl' 2.9, b)
Luego hay una formula sin descriptores a' de 2, con las mismas varia bles libres que Ax {3, y tal que C = ty y = Y 1-2 a -B a' ; a saber, !x' = Ax {3'. De igual modo se prueba el teorema para a~
VX{3.
Sea t= rz a.
x no este en t
POl' hipotesis inductiva, hay una formula sin descriptores a' de 2, con las mismas variables lib res que a y tal que C = ey y = y 1- 2 a -B a'. Ahora bien, pOl' 5.8, 1-2
x = tZ a -B (Az (ex -B Z = x) V (-, Vw Az (a B Z POl' tanto,
= w) 1\ X =
1-2 X
= tZ a -B (Az (a -B Z = x) V (, Vw 1-2 X
c= tY Y = Y 1-2 X
Az (a -B z= w) 1\
tY Y
Luego hay una formula sin descriptores cp de 2, con las mismas varia bles libres que x = rz a, y tal que C
= ty y = Y ~-'2 X = t "''"). 9;
a saber,
'jJ =
!\z (a' B
Z
= x) V
(,
Vw Az (a' -B Z = w)
1\ X
= c)
q.e.d.
II.7. Consistencia y contradicelon 7.0. Consistencia y contradiccion son propiedades de formulas 0 de eon juntos de formulas. Supongamos que r es un conjunto de formulas de un forrnalisrno £7. Si una de las formulas de r es la negacion de otra de las formulas de r, diremos que r es contradictorio. Si ese es el caso, enton ces todas las formulas del formalismo 2 seran dedueibles a partir de r. Cuando se descubre una contradiccion en una teoria de la matematica o de alguna ciencia empirica, inmediatamente es rechazada la teoria, pues carece de todo valor, ya que cualquier cosa se sigue de ella, tanto una afirrnacion cualquiera como su negacion. Para definir la contradiccion de un conjunto de formulas eligiremos pre cisamente la propiedad de que cualquier formula sea deducible de el.
7.1. Definicion: Un conjunto I' de formulas de 2 es contradictorio en cC£ si y s610 si cada formula de 2 es deducible de r. Un conjunto r de formulas de 2 es consistente en 2 si y solo si r no ('5 contradictorio en 2. \I Es dccir, un coni unto r de formulas de /L' es consistente en 2 si v solo '\ si hay alguna foml~la de 2 que no es deducible de r. 1 Una formula IX de /£ es contradictoria (resp., consistente) en 2 si y solo si la! es contradictorio (resp., consistente) en 2.
= y)) '1.2. Teorema:
c= tY y=y
c= tY Y - Y
97
CONSISTENCIA Y CONTRADICCION
X
= tY Y = y))
= tZ a -B (Az (a -B Z = x) V (, Vw Az (a -B Z = w) 1\ X = c))
= tZ ex -B (Az (!X' -B Z = x) V ( , Vw Az (a' -B Z = w) 1\ X = c))
r es consistence en 2 y A c r, entonces A es consistente en ;t:. SI r es contradictorio en 097 y r C li, entonces L\ es contradictorio
a) 51 b) en 2,
Prueba de a): Sea r consistente, Si L1 fuese contradictorio en oC£', enton ces toda formula de 2 seria deducible a partir de /). y, pOl' 2.9, a) a partir
98 de I', con 10 que tambien A.
r
el teorema 5.3, que a su vez esta restringido a sentencias. En la otra direc-. cion, no, pues Ia prueba no haoe uso para nada del hecho de que a sea una sentencia. Es deoir, para cualquier formula a: si 1-2 a, entonces ' 0: es contradictoria en 2. Y para cualquier formula , a: si 1-2' a, entonces a es contradictoria en 2.
seria contradictorio. Pero I' es consistente y, por tanto,
De igual modo se prueba b). 7.3. Teorema: r es contradictorio en 2 si y solo si hay una formula 0: de 2, tal que r 1-2 (0: / \ ' 0:). Prueba: r sea contradictorio en 2. Entonces, cualquier formula de 2 es deducible a partir de r. En especial, la formula de 2 (0: /\ ' il) es dedu cible de I': r 1-2 (il/\' 0:). Sea r 1-2 (0: / \ ' 0:). Entonces, cualquier formula 13 de 2 es deducible a partir de r. En efecto,
7.5. Dado un forma1ismo 2 al que posiblemente no pertenece Ja cons tante individual c, designemos mediante "2 U lei" al formalismo que re
sulta de afiadir a 2 la constante e. Teorema: Si { e no esta en il
1 ? {3 2 I ? (Cl./\' 0:)
1-2u{ej 5~, il
{ pues
es una deduccion en 2
r
1-" (0: /\ ,
il)
7.6. Teorema: Si r U IVx ill es consistente en 2 y e no esta en entonces r U {Vx il} U {5:;'il} es consistente en .2 Ulel· Prueba: r U {Vx «} sea consistente en 2; c no este en r U {Vx il}. Pro baremos el teorema indirectamente. Supongamos que r U IVx ill U {5.~ o:} fuera contradictorio en 2 U {c}. Entonces,
de {3 a partir de I'.
T U IVx ill
7.4. Teorema: Sea a una sentencia de 2. (1) , a es contradictoria en 2 si y solo si 1-2 a. (2) aes contradictoria en 2 si y solo si 1-2' a.
Prueba de (1): Sea, a una sentencia contradictoria en 2. Entonoes,
, U
ill-2 0:
I, 0:11-2 il
1-2 0: 1-2 il
pOl'
5.3
2
+n I
,a
U lVx ill U 15~ 0:1 I- £ule} ,
r
U
r
U {VX «} I- .Pule] 5~ 5~, 0:; U no este en
{Vx il}
I-
.Pule}'
1-2' (11
pues 1-2 a premisa
es una deduccion en 2 de {3 a partir de a, en la eual la unica premisa in troducida ha sido , a. Con 10 que (1) queda probado. De igual modo se prueba (2). dEs neoesatia la restriccion a sentencias en la Iormulacion del teorema 7.4? En la direccion de izquierda a derecha, si, pues Ia prueba se basa en
5~ il
s- il
por 5.3.
II!
r U {Vx c} pues 5~ 5~ , il - 5 e• '
1-2U{cj 5~ (11
?{3
I 'i' a
r
I-£'u{('} 11/\'" /\
Sea 1-2 Cl.. Entonces , 0: es contradictoria, pues para cualquier formula {3 de 2, , 0: 1-2 {3. En efecto,
1 2
entonces: 1-2 il
Con ayuda de este ,teorema, que aqui no probamos, podemos pasar a demostrar el siguiente teorema 7.6.
EC 2 EC 2
0: ,0:
99
CONSISTENCIA Y CONTRADICCION
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
In /\ Vx 0: ~5~,5~,
/\ ... /\
/\ ... /\
por 5.2
'J.
In /\ Vx il ~ 5~, a..)
pues u no esta en I], ... , In, Vx 0:
In /\ Vx il ~ 5~, 0:)
\Vx!111-2,5~0:
r
U
r
U IVx 0:1 he({3/\
por 7.5 pues 5~,o:-,5~a
Sea {3 una formula de 2 en la que no este u. Entonces, ,13)· En efeeto, 1 ? (13/\ ,{3) 2 V X il Premisa 3 5~Cl. EP,2 4 ? ,5,~!1 Puesto que
r
l
0: = , 5~, il
U !Vxilll-2"5.~a..
100
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
CONSISTENCIA Y MAXIMA EJEMPLIFICACION
Luego, por 7.3, r u 1V x 17,1 es contradictorio en 2, contra Ja hipotesis. Luego u lVx 0:1 u 15~0'.1 es consistente en 2 U leI.
r
7.7. Teorema: Si el conjunto r de formulas de 2 es consistente en 2 y c no pertenece a 2, entonces rUle ty Y Yl es consistente en en 2u leI. Prueba: Sea r consistente en 2 y c '12. Prueba indireeta. Supongamos que I' U [c ey y Yl es contradictorio en 2 U [c]. 19'
=
=
=
=
Yl I-zu{cl --1 c = :y Y = Y r i-zu{cl -, c ty Y Y Por 5.2, hay Y1, ..., y.. Er, tales que
rUle = ty Y=
=
I-Z\*l ('h /\ ... Ii I" ~, c u no este en 11, ... , I'"
=
por 5.3
= ey y = y)
pues 5~(11/\ ... /\ 1.. ~' u=ey y = y) = (11/\ ... /\ 1,. -30S~, 1-,2' (11/\
/\ 1'n ~ -. U = ty y = y)
U
= ey y=y)
por 7.5
1-2' (11/\ /\ 'Tn ~ Au, U = ty Y = y) 1-2 Au, u = ey y = y
por 5.5
r
1-.2"
Au, u = ey y = y. En efecto, 1
2 3 4 5
r 1-2' I Au I r 1-2' Au I
U U
r
I I
-, Au I
I
I
= ty y = Y I Au I u= ty y = y. Au , u = ty y = Y ty Y = Y. ty Y = Y ty Y = Y = ey Y = Y
= ty y = y = ey y = y A
DN,2 EG,3 I por 2.9, e)
Au -. u
8.2. Teorema: Si r es un conjunto maximamente consistente de senten cias de 2, entonces para cualesquiera sentencias 0: y /3 de 2:
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
= ty y = y
Si r I- 0:, entonces 0: E r Si I- r:t., entonces 0: Er ,r:t. Er si y s6lo si 0: ti r (0: /\ /3) Er syss 0: Er y /3 Er (0: v /3) Er syss o:E r 0 /3 Er «(]; 4 /3) E r syss si 0: Er, entonces /3 Er (a: ~ /3) Er syss: 0: Er syss /3 Er
Prucha de 8.2: Sea r un conjunto maximamente consistente de senten cias de 2. Prueba de (1): Sea r I- 0:. Supongamos que 0: f1. I',
rU
Ial es contradictorio r U 10:11-, 0: fl-'O: fl-(O:/\'O:)
pues r es maximarnente consistente por 5.3
Entonces, I' seria contradictorio, por 7.3, contra la hipotesis, Luego 0: E r.
U
I
r es ejemplificado si y solo si para cualquier sentencia Vx 0: de 2: si 5~0: Er.
Vx a: E I', entonces hay un designador t de 2, tal que
(7)
I-zulcl (11/\ ... /\ Yn ~ 5~, u = :1] Y = Y pues 5~ -1 U = ty Y = Y """ -. c = ty y = Y I-zu{cl S~ (11/\ ... /\ In -30 - , U = ty y = y)
101
por Ie
Luego r seria contradictorio en 2, por 7.3, contra la hip6tesis. Por con siguiente, rUle = ty Y = Yl es consistente en 2 U leI. q.e.d.
Prueba de (2): Si I- 0:, entonces r I- 0:, por 2.9, e). Luego 0: Er, por (1).
Prucha de (3): Sea 10: Er. Si 0: E r, r .seria contradictorio, contra Ia hipotesis. Luego 0: f1. r.
Sea 0: tir.
Si l a f1. I', entonces r U I" 0:1 es contradictorio, pues r es maximarnen
te consistente r U 1"0:11- 0: por 5.3 rI-O: por (1) O:Er en contradiccion con 0: ti r. Luego
II.8. Consistencla maxima y ejempliftcaelen
8.1. Definicion: Sea r un conjunto de sentencias de 2. r es maximamente consistente si y solo si r es consistente y para cual quier sentencia a: de 2: si ex ti r, entonces r U 10:1 es contradictorio,
I
O:E r.
Prueba de (4): Sea (0: /\ /3) E r.
(0:/\/3)1-0: y (0:/\/3)1-/3 rl-r:t.yrl-/3 aErY/3Er
pues (r:t. /\ /3) E r por (1)
102
Sea
IX.
E r y f3 EI' IX.,
f3
(3) f I-- ((0, (3) ((XI\ (3) E r I-- ((0,
pues a, f3 Ef par (1)
De igual modo se prueban (.5), (6) Y (7). q.e.d. 8.3. Teorema: Si f es un conjunto maximarnente consistente y ejempli ficado de sentencias de 2 y a es una formula de 2 en la cual a 10 sumo la variable x esta libre, entonces:
(1) Vx IX. E I' syss hay un designador t de 2, tal que 5~a Ef (2) Ax a Ef syss para cada designador t de 2: 5~ a Ef Prueba de 8.3: f sea un conjunto maximamente consistente y ejempli ficado de sentencias de 2. Prueba de (1): Sea Vx a Ef. Hay un designador t de 2, tal que 51 a E I', pues f es un conjunto ejemplificado. Sea 5~ a E I", para algun designador t de 2. a I-- V x IX. par IP f I-- V X IX. pues 5; IX. EI' V x IX. E I' par 8.2, (1), pues f es maximamente consistente
5;
I !
ficado de sentencias sin descriptores de 2 U Cf5, donde Cf5 es una clase numerable y disjunta can 2 de constantes individuales, tal que r C r-. Prueba de 8.4: F sea un canjunto consistente de sentencias sin descrip tares de 2. Cf5 sea un conjunto infinito numerable de constantes individuales, tal que 2 n Cf5 =.p. Las constantes de Cf5 esten numeradas. Partimos de una enumeracion ao, aI, a2, a3, ... , de tadas las sentencias sin descriptores del lenguaje 2 U Cf5. (Una tal enumeracion existe, pues el conjunto de las sentencias sin descriptores, que es un subconjunto del con junto de las formulas, de un lenguaje es numerable.) Par induccion aritmetica definimos en funcion de I' una sucesion f j de conjuntos de sentencias de la siguiente manera: fo=f
f; f
j +1
=
5 IVt a Ef Sea 5; a Ef
para cada designador t "
" " " " " pata cada designador t
de 2, par EG
" pues Ax a Ef " par 8.2, (1) de 2.
No hay ningun designador t de 2, tal que 5~ a ~ f ,5~a E f 5~, a E
Vx, a ~ f ,Vx,aEf , V x , a I-- Ax a f I-- Ax a AxaEf
par 8.2 (3)
f
par 8.3 (1) par 8.2. (3) par NP pues ,V x , a Ef par 8.2 (1)
q.e.d, 8.4. Teorema: Para cada conjunto consistente f de sentencias de 2 sin descriptores hay un conjunto f" maxirnamente consistente y ejempli-
rj rj
si
r,
U
r,
i U lajl U !5 "E a'jl'
jajl
si
,
. SI
U
!ajl
es contradictorio
U
Iajl
es consistente una particularizacion
{ aj no es r j U Iajl
j
es consistente a. j = Vx a'.J c es la constante de minima muicc de Cf5, que no esta en I', U la)l.
A la union de todos los conjuntos que forman esta sucesion le llamare mas I'". 00
Prueba de (2): Sea Ax a E f. Ax a I-- 5~ a I' I-- 5~ a
103
CONSISTENCIA Y MAXIMA EJEMPLIFICACION
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
a)
r
r- = U r, r-. j=O
C
En efecto,
r =f o y f o C
00
U
r, = r-.
Luego
r C r-.
)=0
b) Para cada ;, I', es consistente. Prueba par induccion aritmetica sabre [. foes par hipotesis consistente, ya que f 0 =T.
Supongamos que I', es consistente. Entonces, tambien 10 es f)+l' En efecto, distingamos los tres casas de la definicion de f)+]. En el primer caso, f j+l = f j. Luego f j +1 es consistente, pues f j 10 era. En el segundo caso, fj+l = I', U la)l, y I', U la)l es par construccion consistente. Luego f j +1 es consistente. En el tercer caso, f j+ 1 = r, U IVx a~l U 15~a:l, r j U IV x a~ I es par construccion consistente y c no esta en U IV x a~ I. Luego fj+l es consistente, par 7.6. Asi, pues, para cada i. f j es consistente. c) I'" es consistente. Prueba indirecta. Si f" fuese contradictorio, entonces habria pol' 7.3 una
r.
104
SINTAXIS: UN CALCULO DEDUCTIVO
sentencia 1% de .2 U Yif, tal que I'''' I!, ... , In E I"\ tales que I!, ... , In I'lc
I- (GC 1\ -,
I- (1% 1\ -, IX).
Por 2.8, habria n sentencias
a)
sea el I', de minimo subindice, tal que I!, ..., In
E
I'i'
C, I- (IX 1\ -, a) I', seria contradictorio, por 7.3, contra 10 que homos probado en b). Luego I'" es consistente. d) Sea Ol una sentencia de .2 U Yif. Si
't
I'''
1%;I{;I'j+1,
pues si no, I%;Ef".
I';
U
!IX;!
I'''
U U
lCt'jl es contradictorio, por 7.2, b), 11%1 es contradictorio, pues I%j 1%.
r-
es contradictorio, pues si no,
IX; E I';+l
>
pues f
j
U
\aj!
C
T''' U 10:jl
=0
c) I''' es maximamente consistente. Se sigue de c) y d), por definicion.
f) I'''' es ejemplificado. Sea ctj - Vx ex una sentencia de .2 U Yif. Sea Vx ex E I''''.
r, U lVx al es consistente, por 7.2, a), pues I'; U !Vx1%1 C I''' y I'''' es consistente. V x IX E I' j+], por construceion de I' j+l, en el tercer caso. Para algun c, 5~ ex E r i + ], por construccion de f j+1, en el tercer caso de la definicion. Luego hay un designador t de.2 U Yif (a saber, t = c), tal que S~a E I';+l, y, par tanto, tal que 5~IX E I''', pues I';+l C r-. Asi, pues, I''' es ejcmplificado. En I'" no hay descriptores, pues no los habia en I' 0 ni se han introducido en la sucesion de los Tj, Con esto y con a), e) y f) queda probado que I'" es un conjunto maximamente consistente y ejemplificado de sentencias sin descriptores de .2 U Yif, donde Yif es una clase numerable y disjunta con .2 de constantes individuales, tal que I' C I'"
PARTE TERCERA ( .
SEMANTICA
I11.1. Interpretaciones
(
1.0. El alfabeto de los formalismos esta constituido pOl' un conjunto de signos. Colocando unos signos detras de otros formamos filas de signos. Y de entre las filas de signos elegimos algunas -los terminos y las formu las- y les prestamos especial atencion. Con ayuda de las formulas forma mas lineas, A determinadas sucesiones de lineas les llamamos semideduccio nes, y a determinadas semideducciones, deducciones. As! establecemos la re lacion de deducibilidad entre formulas. Hasta aqui todo ha sido, pues, como un juego -mas 0 menos complicado- con figuras graficas. Ahora, gracias a la introduccion de las interpretaciones, nuestros for malismos se convertiran en lenguajes formales, nuestro juego con figuras adquirira una dimension signiflcativa 0, al menos, refereneiaL Interpretar un formalismo consiste principalmente en indicar un universo o conjunto no vacio de individuos, al que se referiran nuestras variables, y en asignar a cada constante individual del formalismo un individuo del universo, a cada functor n-adico del formalismo una Funcion n-adica en el universo, y a cada relator n-adico del formalismo una relacion n-adica en el universo. La interpretacion de un formalismo consta, pues, fundamen talrnente, de dos partes: la indicacion de un universo al que se refieran las variables y la asignacion de significados 0 referencias adecuadas a los sil:,111oS peculiares del formalismo. Ademas, habra que elegir en cada cuso un individuo cualquiera del universo como "cabeza de turco" al que atribuir todas las descripciones impropias que propiamente no designarian nada, a fin de que cada designa dol' del fonnalismo designe efectivamente un individuo del universo. Con estos tres elementos (determinacion de un universo, asignacion de referencias a los signos peculiares y eleccion arbitraria de un individuo
r
108
como referencia comun de todas las descripciones impropias) queda defini da una interpretacion. Por conveniencias tecnicas afiadiremos a la inter pretacion una asignacion de un individuo del universo a cada variable. El concepto de interpretacion es el concepto basico de la semantica Iogica.
1.1. Definicion:
07 es una interpretacion del formalismo donde
oa
se si y solo si 07 = (oa,
fit, a>,
oa
1.0 es una clase no vacia, es decir, # 4>. 2.° fie es una aplicacion 0 asignacion tal, que a cada constante indivi dual de ::t' le asigna un individuo de 91, a cada functor n-adico de 2 le asigna una funcion n-adica en '11, a cada relator n-adico de 2 le asigna una relacion n-adica en y a cada variable le asigna un individuo de 3.° a es un individuo de a E '11.
oa.
oa.
oa,
oa
1.2. De ahora en adelante, para referirnos al individuo de que la aplicacion ?If asigna a una constante a de 2 0 a una variable x, en vez de escribir "?If(a)" 0 "?If(x)" escribiremos "J(a)" e "07 (x)". 19ualmente, en vez de "?If(ft 0 "?If(P)", escribiremos "J(f)" e "J(P)". No hay confusion posible. 1.3. si. 07 es una interpretacion del formalismo 2, mediante "J~" (donde x E designaremos la interpretacion que coincide con 07 absoluta mente en todo, can la posible excepcion del individuo que asigna a la va riable x. J~ asigna a la variable x el individuo x en cualquier caso, y cual quiera que sea la asignacion que 07 le atribuya. Es decir, para toda variable z:
oa)
J~(z)
=f I.
Con "JXY" designaremos a (J'x)y. my II ,1]
Con "J~;~" designaremos a ((J~)~)~. etc.
1.4. De 1.3 se desprende que:
(1) Si x ~ z, entonces J~,~ = J~~
(2) Para todo x:
IH.2. Denotacion y satisfaccion 2.1. Dada una interpretacion 07 de 2, cada termino de 2 denota en 07 un elemento del universo de J. Para indicar que t denota x en 07, escri biremos "J(t) = x".
oa
Dada una interpretacion 07 de 2, cad a formula de 2 es satisfecha 0 no satisfecha por J. Para indicar que 07 satisface 0:, escribiremos, abrevia damente, "_7 sat a". 2.2. Definicion por induccion semiotica simultanea de la denotacion de un termino de 2 en 07 y de la satisfaccion de una formula de 2 por 07, donde .7 es una interpretacion cualquiera de 2. Sea 07 = ?If, a).
(oa,
= .7(x) 07(a) = 07(a) J(x)
JWtt, ... , t n) = J(fn) J(t 1 ) , ••• , J(t n) 07 sat pntl, ... , t« syss (J(t 1 ) , ... , J(t,,) E 07 (P") (en especial, 07 sat t 1 = t 2 syss J(t 1 ) J(t 2 ) ) 07 sat --, ex syss no 07 sat 0: 07 sat (ex /\ (3) syss 07 sat ex y 07 sat (3 07 sat (ex v (3) syss 07 sat 0: 0 07 sat. (3 07 sat (IX -7 (3) syss (si 07 sat 0:, entonces 07 sat (3) 07 sat (IX ~ (3) syss (07 sat 0: syss 07 sat (3) 07 sat Ax IX syss para todo x E oa: J~ sat 0: 07 sat Vx 0: syss para alglin x E oa:J~ sat 0: el unico x Eq1, tal que J~ sat 0;, si hay. un tal x 07 (tX ex) = y solo uno
=
{
J(z), si z =1= x x , si z -x
L
J:~,j~
= Jz
109
DENOTACION Y SATISFACCION
SEMANTICA
, si no
a
2.3. La definicion de satisfaccion es al mismo tiempo una definicion precisa del concepto semantico de verdad en los lenguajes formales. Una sentencia 0: es verdadera en una interpretacion 07 si y solo si 07 satisface a.
2A. Teorema: Si x no esta libre en t, entonces J~(t) = J(t) Si x no esta libre en a: JX:v sat
0;
svss J ~'
sat ex
llO
De igual modo: J~ sat Vz 0: syss J
2.5. Demostracion de 2.4 par induccion semiotica simultanea. En cada paso suponemos que x no esta libre en el termino a formula considerado. J~~) J~(a)
= J(z) = J(a)
[pues z ¢ x, ya que x no esta libre en z]
J~
sat pnt1 ,
••• ,
a) Sea z ¢ x y haya un unico z con J~( rz ~
syss J~(tl) = J~(t2) syss J (t1 ) = J (t2 ) syss J sat t 1 = t 2 )
[sup. induct.]
syss no J~ sat 0: syss no J sat 0: syss J sat. 0:
[sup. induct.]
JXsat.o: a!
a!
syss J sat 0: y J syss J sat (a 1\ (3)
JXa! sat (0: v (3)
ex
syss para todo syss syss syss J
Z E
JX(~z
'"
JZz sat 0:
a!
sat
(:1
[sup. induct.]
J:: sat 0:
a) = el unico z, tal que J~: sat 0:
=
" , tal que J~
[pOI' 1.4.(2)]
sat 0:
0:)
=
J~:
J (tZ 0:)
sat 0:.
a
[pOI' 1.4.(1)] [suo induct.]
= a = J:(tZ 0:)
d) Sea z = x y no haya un unico z tal que J~: sat 0:. J~(~z 0:) = a No hay un {mica z, tal que
J: sat 0:
, tal que J~ sat 0:
J(~z
0:)
= a = JX(tZ 0:)
[pOI' 1.4.(2)]
a!
q.e.d.
III.3. Interpretacion y sustitucion [pOI' 1.4.(1)] [sup. induct.]
sat I\z 0:
b) sea z x J~ sat I\z 0: syss para todo Z E '1L: J~: sat 0: JZZ sat 0: syss syss J sat I\z 0:
[por 1.4.(1)] [sup. induct.]
sat 0: No hay un unico z, tal que JXZ ;.vz Z X , tal que •7 zx sat 0: tal que JZe sat 0:
vlL: J:: sat 0:
JZX sat 0: Za!
,tal que J~: sat 0: tal que J~ sat 0:
c) Sea z ¢ x y no haya un unico z tal que
Para mostrar que el teorema vale/para 'las generalizaciones I\z 0:, distin ( guircmos dos casos posibles: que z ¢ ~ Y que z '= X. I" a) sea z ¢ x sat I\z
~
"
=J(tZ 0:)
syss J sat (0: v(3) syss J sat (0: ~ (3) syss J sat (0: ~ (3)
JX:r sat (0: ~ (3)
iinico z, tal que JXZ sat 0:
b) Sea z = x y haya un unico z con J:(~z
De igual modo:
J: sat (0: ~ (3)
J~~ sat 0:.
J (tZ 0:)
syss JX sat 0: y JX sat 13
JXa! sat (0: 1\ (3)
= el
0:)
=
t.; syss (J:(t 1 ) , • ", J~(tn) E J~(pn) syss (J(t 1 ) , ••• , J(t n) E J(pn) [sup. induct.] syss J sat pnt1 , ... , t;
(en especial, J~ sat t 1 = t 2
J~
sat Vz 0:
Finalmente veamos que el teorema tambien vale para las descripciones,
= J~(fn) J~(tl)' , J~(tn) = J(fn) J(t 1), ,J(tn) [supuesto inductivo] = J(fnt 1 , "', t n)
J:(fntl, ... , t n)
111
INTERPRETACION Y SUSTITUCION
SEMANTICA
[par 1.4.(2)]
i
I
I
3.1. Teorema: Para todo terrnino to: J~(t)(t()) = J(5~to) Para toda formula 0:: J ~(t) sat 0: syss J sat
5~0:
3.2. Demostracion de 3.1 pOl' induccion aritmetica sobre la longitud de las expresiones. 8. -
LOGICA DE PRIMER ORDEN
112
113
SEMANTICA
INTERPRETACH)N Y SUSTITUCION
El teorema vale para las expresiones de longitud 1:
Sea to - z. Distinguiremos dos casos posibles: que z ¥= x y que z = x.
a) Sea z =1= X.
Para mostrar que el teorema vale para las generalizaciones I\z IX, dis tinguiremos los tres casos posibles: 1.0: que x no este libre en I\z rx; 2.°: que x si este libre en I\z rx, pero z no este en t; 3.°: que x si este libre en I\z rx y z este en t. En cada uno de los tres casos probamos 10 que afirrna el teorema: o7:;,(t) sat I\ZIX syss 07 sat S~AzIX
o7J(t)(z) ~
= o7(z) = o7(st z)
x
b) Sea z =
X.
o7J(t)(z) = o7(t) = o7(Stx z)
Sea to""" a.
o7J(t)(a) = o7(a) =.7 '(Stx a)
x ~
1.
o7;(t) sat I\z IX syss para todo z e UU: 07:;'(0: sat IX
=o7(fn) o7(S~t1)' ... , o7(S~t,,) =.7. (rS t t 1 ... St tn) =o7(S;fnt1, ... , t,,)
.7~(t)(t,,»
= o7~(t)(t2) syss 07 (S~ t1) = 07(S~ t 2)
syss 07 sat
o7J(t) sat ',IX IN
S~(t1
J
.T:(t) sat (IX /\ 13)
Del mismo modo o7;(t) sat o7:;,(t) sat o7:;,(t) sat
Ii I
[sup. induct. ]
j
i'
'i
[sup. induct.]
(
syss 07 sat
Z
IX
est a en t; v no este en I\z IX ni en t;
o7;(t) sat I\ZIX syss para. todo zeOLI: syss
r:': sat IX
o7J(tJzz. .'1J
,:
VZ
sat IX [por 2.4, ya que'v no esta en IX]
syss
o7J(t)Z o7J(t)z(v) e v sat IX x v z
syss
[pues o7~(t)~(v) = z] o7J(t)Z 'sat Svz IX [sup. induct.] :c v o7zJ(t) sat s- IX vx z
syss 07~ (t) sat. IX y 07~(t) sat (3
se prueba:
(av(3) syss 07 satS;(aV(3)
(a -+ (3) syss 07 sat S~(a -+ (3)
(rxHf3) syss 07 satS~(IX-H>f3)
S~ I\z
II
'"
[sup. induct I
[pues o7~ (t) = o7(t), por 2.4, ya que z no esta en t] sat S~ IX [sup. induct.]
syss 07 sat I\z S~ IX
3:' caso: x esta libre en I\z IX; :1
ex
syss 07 sat stx IX y 07 sat stx f3 syss 07 sat (S~ IX /\ 5~) syss 07 sat 5~ (IX /\ (3)
o7~
syss
= t 2»
syss no 07 sat S~ IX syss 07 sat " stx 0:
st "
eJ:
induct.]
syss no 07~ (t) sat IX
svss 07 sat
o7z.o7:(t) sat IX
E
syss 07,; (t) (t1 )
[por 1.4.1, ya que
sat IX
x ¥= z]
syss
o7(P") syss <07 (S~t1)' ..., 07(S~tn) >E 07(P") [sup. syss 07 sat P"S~tl, ... , 5~t" syss 07 sat 5; P"t1 , ••• , t«
(en especial, J.,J(t) sat t 1 = t 2
o7~~(t)
syss
[sup. induct.]
x
sat pntl, ... , t n syss
[por 2.4] [pues S~l\iJ IX ~ I\z IX]
2.° caso: x esta libre en I\z IX; z no esta en t,
o7J(t)(rtl, ... , tn) = o7J(t) (r) o7J(t)(t 1), ... , o7J(t)(t n) a: a; a; 3J
o7~(t)
caso: x no est a libre en I\z IX.
o7:;,(ti sat I\z rx syss 07 sat I\z IX syss 07 sat S:.l\z IX
EI teorema vale para las expresiones de longitud rn, suponiendo que valga para las expresiones de longitud menor que m (supuesto inductivo):
x
eo'
syss
[por 1.4.1, pues v ¥= z]
') I
syss
o7zo7~(t) sat vx
svz IX
[pues o7~(t) = o7(t), por 2.4, ya. que v no esta en t] I,
Iiji
l
114
SEMANTICA
syss
para todo
Z E
.7~,
OU:
sat 5~ 5; a
[sup. induct.]
syss .7 sat I\v 5~5~ a syss .7 sat 5 tx I\z a
3:' caso: x esta libre en rz a; Z esta en -t; v no este en a) Hay un unico z, tal que :7:,t): sat (.I. .7: (I) tZ a) =el unico z, tal que =
Del mismo modo se prueba: .7~(I)
"
,tal que
1."' caso: x no esta libre en
a) =.7
(tZ
a)
= .7 (5,~
tZ
tZ
a) =.7 (5,:
tZ
.7~(t)~:
sat a
.7~(t)~
sat
5~
tal que
.7~)~(I)
sat
5; a
.7 Z (t) xV
_
[pues tZ a - 5~ tZ a, ya que x no esta libre en tZ a]
= .7 (tV 5~5~ a)
5; a
= z]
[sup. induct.] [por 1.4.1, ya que x ~ v]
sat 5~ a [pues .7~(t) = .7(t) ya que v no esta en t] [sup. induct.]
=.7 (5~tz a)
b) No hay un unico z, tal que .7:(1): sat a.
.7.7(1) (tZ a) = a.
,D
No hay un unico z, tal que
tal que .7:;(t) sat a [por 1.4.1, pues , tal que .7~ sat
a
, tal que .7~ sat 5~5~ a
[por 2.4]
a) = el unico z, tal que .7~(t)~ sat a
-
tal que
, tal que .7~
a) Hay un unico z, tal que .7~(I): sat a.
-
[pues.7~(I):(v)
a.
a)
a ni en t.
tal que .7.7(1)Z .7:(I)~(v) x D e sat cc
a)
2.° caso: x esta libre en tZ a; z no esta en t.
.7~(t) (tZ
sat a
tZ
[por 2.4, pues v no esta en a]
Para mostrar que el teorema vale para las. descripciones tZ a, distingui~. remos los tres casos posibles: 1.0 que x no este libre en tZ a; 2.°: que x S1 este libre en tZ a, pero Z no este en t (en cuyo caso distinguiremos las dos posibilidades de que haya 0 no haya en el universo de la interpretaci6n .7 un unico individuo z, tal que .7~(I)~ sat a); 3.°: que x este libre en tZ a y Z este en t (en cuyo caso volveremos a distinguir las dos posibilidades indicadas). En cada uno de estos casos probamos 10 que aRrma el teorema:
.7~(t) (tZ
.7~(t):
sat Vz a syss .7 sat 5~ Vz a
.7~(I) (tZ
115
SATISFACIBILIDAD, VALIDEZ Y CONSECUENCIA
Z
.7~(t)~
sat a.
~ x]
(como arriba, en a))
[sup. induct.]
=.7 (rz 5~a)
=.7 (5;
tZ
a)
No hay un unico z, tal que .7~ sat 5~5Dz a.
b) No hay un unico z, tal que .7~(I)~ sat a.
.7.7(t) (tZ a) = a
it
.7 (tV 5~5~ a) = a
.7 (5~tz a)
No hay un unico z, tal que .7:(t): sat a
5,:
tal que
.7~~(t)
tal que
.7~
sat
!z" (t)
(J
[por 1.4.1, pues z~x]
sat a
[pues .7~ (t) = .7(t), ya que Z no esta en t]
tal que .7~ sat 5~ a
.7 (rz cc) = a
.7 (5itt tZ a) a
= = .707(t) (rz a)
it
= a = .7~(t) (tZ a)
q.e.d.
[sup. induct.]
111.4. Satisfacibilidad, validez y consecuencia 4.1. Una interpretaci6n .7 de .2 satisface un conjunto r de f6rmulas de .2 syss .7 satisface cada f6rmula de r. Toda interpretaci6n satisface al conjunto vacio de f6rmulas de .2. En efecto:
116
.7 sat cp syss para toda a: si a E cp, entonces .7 sat a, y, puesto que para todo a, a It cp, resulta que .7 sat cp. 4.2. Definiciones: Una formula a de 2 es satisfacible si y solo si hay al menos una interpretacion de 2 que la satisface. Una formula a es 'insatisfacible si y solo si a no es satisfacible. Un conjunto r de formulas de 2 es satisfacible si y solo si hay al menos una interpretacion de 2 que satisface r. Un conjunto r de formulas es insatisfacible si y solo si r no es satis facible. Una formula a de 2 es Iogicamente valida si y s6lo si toda interpre tacion de 2 satisface a. Una formula a de 2 es una consecuencia en 2 de un conjunto I' de formulas de 2 si y solo si toda interpretacion de 2 que satisface r satisfacc tambien a. En 10 sucesivo, y cuando no sea imprescindible, dejaremos de lado la alusion a 2. 4.3. Abreviaturas:
'T 1=2' a" sea una abreviatura para "Of es una consecuencia en 2 de I'",
'T 1= a" sea una abreviatura "a es una consecuencia de I'".
"a 1= /3" sea una abreviatura para "! IXll= /3".
" al, ..., an 1= /3 " sea una a b revia . t ura para " Ial, ... , anII 1= /3" •
"1= a" sea una abreviatura para "cp 1= a". 4.4. Teoremas:
a)
1=
Prueba:
b)
a syss a es logicamente valida, 1= a
1'1= a
Prueba: r
syss cp 1= a syss para toda .7: si .7 sat cp, entonces .7 sat a syss para toda .7: .7 sat IX (por 4.1) syss a es logicamente valida.
syss r U
1=
!' al
117
INDEPENDENCIA
SEMANTICA
c)
1=
a si y s610 si
I
Se sigue de b), para r
Gt
es insatisfacible.
=
9.
d) a es l6gicamente valida si y s610 si
I
a
es insatisfacible.
Se sigue de a) y c).
e) r es insatisfacible si y solo si para a.lguna formula a del mismo len guaje: r 1= (ex A I ex). Prueba:
1'1= (a A
I
si .7 sat r, ent, .7 sat (a A I a)
a) syss para toda .7: si .7 sat I', ent .7 sat a y .7 no sat syss
.7 no sat I'
syss
IX
syss r es insatisfacible.
4.5. Teorema: Si todos los signos peculiares del formalismo 2 1 10 son tambien de 2 2 , r 1 es un conjunto de formulas de 2 1 y r 2 es un conjunto de f6rmulas de 2 2 , 1'1 c r 2 y r 2 es satisfacible en 2 2 sobre un universo Oll, entonces 1'1 es satisfacible en 2 1 sobre el mismo universo °li. Prueba: Sean todos los signos de 2 1 tambien signos de 2 2 , f 1 sea un conjunto de formulas de 2 1 y r 2 de 2 2 , sea r 1 C r, y sea 1'2 satisfaci ble en 2 2 sobre un universo OU. Hay una interpretacion .7 sobre Oll de 2 2 , tal que: Para toda a E f 2: .7 sat a Para toda a E 1'1: .7 sat a, pues r 1 C r 2· Sea .7' = , donde fl{" es la aplicacion ~e de .7, restringida a los signos de 21' Por tanto, .7' interpreta todos los signos peculiares de 2 1 (que tambien 10 son de 2 2) de igual modo que .7. Puesto que .7 e .7" s610 se difereneian respecto a signos peculiares que no estan en 21, .7 e .7' interpretan del mismo modo las formulas de 2 1 , Por tanto, para toda 0; E r 1 : .7' sat a. Es decir, .7' sat 1'1' Ahora bien, .7' es por definicion una interpretacion de 2 1 sabre OU. Luego I', es satisfacible en £\ sobre el mismo universo OU sobre el que 1'2 era satisfacible en 22' q.e.d.
es insatisfacible.
a syss para toda .7: si .7 sat I', ent.,.7 sat a syss " " : si .7 no sat a, .7 no sat r syss " " : si .7 sat I a, .7 no sat r syss no hay ninguna .7 que satisfaga I a y I', syss r U I' IXl es insatisfacible.
1n.5. Independencia 5.1. Si una sentencia a de 2 no es una consecuencia de un conjunto r de sentencias de 2, decimos que a es independiente de I', Por tanto, dada una sentencia cualquiera a y un conjunto cualquiera r de sentencias, siem pre ocurre que a es una consecuencia de roque a es independiente de I'.
118
119
SEMANTICA
EJERCICIOS DE PRUEBA DE INDEPENDENCIA
5.2. Definicion: Cl es independiente de r si y solo si Cl no es una con secuencia de r. Si ee fuese una consecuencia de I', todas las interpretaciones que satis faciesen r satisfarian tambien a. Al no ser Cl una consecuencia de I', no sera el caso que todas las interpretaciones que satisfacen r satisfagan tam bien a, es decir, habra alguna interpretacion que satisface T, pero no a. Por tanto, otra manera de formular la definicion seria: a es independiente de f si y s610 si hay una interpretacion 07 de 2, tal que 07 satisface r, rero 07 no satisface oc. Para probar que una sentencia a es independiente de un conjunto r de sentcncias hay que probar que a no es una consecuencia de r. Para ello hay que ofrecer una interpretacion 07, tal que 07 satisface I', pero no a. No hace falta especificar la interpretacion 07 en todos sus detalles. Basta COIl indicar cual es el universo Cfi de la interpretacion elegida 07 y como interpreta 07 los signos peculiares de 5£ que aparecen en r y a. (Si aparecen descriptores en r 0 en ee, hay que indicar tambien cual es eJ individuo a de °d al que habran de referirse las descripciones impropias.)
En otras palabras: r es independiente si y solo si cada sentencia de r es independiente de las demas: si y solo si ninguna sentencia de r es una consecuencia de las demas, Para probar que un conjunto finito r lal, ..., anl de n sentencias de 2 es indcpcndicnte hay que mostrar que ninguno de sus elementos es una consecuencia de los demas, Para ello hay que ofrecer n interpretaciones 071, ... ,07"., tales que para cada j (1 < j < n), .r, satisface r ---)oc:d, pero o7j no satisface aj. Bastara con indicar el universo, la interpretacion de los signos peculiares de !e y la interpretacion de las descripciones im propias (caso de que aparezcan descriptores en I', si no, no hace falta) par~ cada 07j (1 < i < n).
5.3. En la conversacion ordinaria, en e1 comercio, en la politica, en los tribunales, etc. se usa con frecuencia de la argumentacion. En una argu mentacion sacamos una conclusion a partir de una sene de datos, conside raciones 0 premisas. Una argumentacion es correcta, valida 0 concluyente si y solo si su conclusion es una consecuencia de sus premisas; incorrecta 0 invalida, si su conclusion es independiente de sus premisas. Para controlar una argumentacion enunciada en el lenguaje ordinario hemos de empczar por formalizarla, es decir, por simbolizar cada una de sus premisas y su conclusion' en un formalismo logico. Probar la incorreccion o invalidez de la argumentacion consistira entonces en probar la indepen dencia de Ia formula-conclusion respecto al conjunto de las formulas-pre misas, 5.4. A veces hablamos no de la independencia de una formula 0 sen tencia respecto a un conjunto de sentencias, sino de la independencia de un conjunto de sentencias entre S1. Asi se dice que determinados sistemas de axiomas son independientes, que Hilbert probo la independencia de su axiomatizacion de la geometria euclidea, etc. Al decir que un conjunto de sentencias es independiente (en este segundo sentido) queremos decir que cada sentencia de este conjunto es independiente (en e1 primer sentido) de las demas,
a
5.5. Definicion: I' es independiente si y solo si para cadasentencia es independiente de r - I Cll.
0: E
I':
=
nut
Fj~rcicios
de prueha de independencia
Asi como para aprender a deducir no basta con conocerIa definicion de la .deduccion, sino que es necesario ejercitarse en el arte de hacer deduc ciones, asi tambien no basta con haber leido la definicion de Ia indepen dencia para saber probar la independencia de una sentencia respecto a un conjunto de sentencias 0 la independencia de las sentencias de un conjunto entre si, Si sospechamos que una determinada argumentacion 0 una presunta prueba es valida, la formalizamos y tratamos de obtener una deduccion de su conclusion a partir de sus premisas. Si, por el contrario, sospeehamos que es incorrecta 0 invalida, hemos de tratar de obtener una prueba de independencia de su conclusion respecto a sus premisas. A continuacion ofrecemos a1 lector unos cuantos ejercicios de prueba de independencia. Es conveniente que el lector trate de haeerlos por su cuenta y solo mire las pruebas de independencia correspondientes aqui presenta das despues de haber hecho 61 mismo los ejercicios. £1 hecho de que 1a prueba de independencia que se le ocurra al lector sea distinta de Ia aqui presentada no significa en modo a1guno que est6 mal. Siempre que Cl es independiente de r hay un numero infinite de pruebas distintas de la inde pendencia de a respecto a r.
Ejercicio numero 1. a1 == a2
Ax (Sx ---7 Mx)
== --, Sa
a3 == --, Ma
Pruebese:
CIa
es independiente de
IClI, cc21·
120
. SEMANTICA
EJERCICIOS DE PRUEBA DE INDEPENDENCIA
NOTA: Este ejercicio puede interpretarse como una prueba de que 1a siguiente argumentacion es incorrecta: "Cualquiera que pueda solucionar este problema es un maternatico. Antonio no puede solucionar este proble ma. POl' consiguiente, Antonio no es un matematico".
Ejercicio numero 3. al ~= Axy (Vu (Rxu /\Ryu)
a2 ~
Prueba de. independencia correspondiente a1 ejercicio numero 1. Sea ]
-?
Rxy)
Ax Vy Rxy
aa = Axyz (Rxy /\ Ryz
una interpretacion con
-?
Rxz)
, { (1): a2 es independiente de Ia1, asl
Pruebese: (CJ) • d di d e Ia2, aa! ~ : al es ill epen iente
=
oIL lGl ](a) = 0 ](S) q:. ](M) = !Ol
=
NOTA: aa no es independiente de la1,
Como facilmente se comprueba,
.r
sat 1a1, a21 .7 no sat aa
Prueba de independencia correspondiente al ejercicio rnimero 3.
(1) ]1 sea una interpretaci6n con
°U=lOI
]I(R) = q:.
Ejercicio numero 2.
Como facilmente se comprueba, .r 1 sat 10:1, 0:3l
] 1 no sat 0:2
Ax (Ix -? Rx) -? De a2 = Ax (Rx~ Mx) aa = Ax (Mx -? Ix) al =
a4=Dc
(2) ]2 sea una interpretacion con
Pruebese: a4 es independiente de la1, a2, aal.
0(1
Este ejercicio puede interpretarse como una prueba de que la siguiente argumentaclon es incorrecta: "Si todos los justos merecen el res peto de sus compatriotas, entonces Corio1ano merecio su destino. Todos los magnanimos, y solo ellos, merecen el respeto de sus compatriotas. Todos los magnanimos son justos. POI' consiguiente, Coriolano merecio su des tino" .
= 10, 11
]2(R)
NOTA:
= 1<0, 0>,
<1, 0>1
Como facilmente se comprueba, 2 sat 10:2, 0:3l
] 2 no sat 0:1 (pues <0, 0> E ](R), pero <0, 1> ~ ](R»
]
(:
Prueba de independencia correspondiente al ejercicio mimero 2. Sea ]
=
una interpretacion con
OIL 101 ](c) 0 ](J) = 101 ](R) = ](D) =](M) sat laI, a2, aal no sat a4
= --. Vx a = fx
= Axy (fx = fy -? X = y)
0:3 ~ Pa /\ Ax (Px -? Pfx) -? Ax Px 0:4 = Axy (Px /\ Py -? Rxy y Ryx)
0:,; = Vxy (x # y /\ Rxy)
0:6 = Ax (Rxx -? Ay (Rxy Y Ryx» 0:7 ~ Ax Vy (x # y /\ Rxy) 0:8 := Ax (Rax Y Px) a2
= q:.
Como facilmente se comprueba, ] ]
Ejercicio mimero 4. 0:1
=
121
<1, 0>
E ]
(R),
122
SEMANTICA
EJERCICIOS DE PRUEBA DE INDEPENDENCIA
Pruebese: a7 y as son independientes de Ia!, a2, aa,
(%4,
a5, ce61.
de deduccion numero 34. De aqui se desprende que la expresion •. el ser mayor que el cual nada puede ser pens ado" es una descripcion impropia a la que propiamente no corresponde ningun objeto.
Prueba de independencia correspondiente al ejercicio numero 4. Sea .7 una interpretacion con
011 = (,) (el conjunto de los numeros naturales)
Prueba de independencia correspondiente al ejercicio mimero 5.
.7(a) = .7(f) = la funcion "el siguiente de ... ": n 1--+ n .7(P) ep
Sea .7 una interpretacion con
°
=
= !
.7(R)
+1
011=1°,11 a=O
1)l
Ejercicio numero 5. 0:1 -
tX --.
<1, 1>1
Como facilmente se comprueba, l
I,
.7 sat 10:1, a2, a3, a41 .7 no sat (.(5
0:1 ~
0:2 -
~
Mxy))
Este ejercicio puede interpretarse como una prueba de que la siguiente argumentacion es incorrecta: "Dios es el ser mayor que el cual nada puede ser pensado. Dios puede ser pensado. Algtm ser puede ser pensado y existe. Cualquier ser que pueda ser pensado y exista es mayor que cualquier otro que solo pueda ser pensado, pero no exista. POl' consi- (. guiente, Dios existe" . Esta argumentacion es el famoso "argumento ontologico" de San Ansel mo para probar la existencia de Dios. Muchos filosofos se han encargado de mostrar la invalidez de este argumento, al que tampoco han faltado defen sores. Segun Kant, el "argumento ontologico" solo seria valido si la existen cia fuera un predicado, 10 cual no es el caso. Pero aun considerando la existencia como un predicado, el argumento ontologico tampoco resulta valido, como se muestra en la prueba de independencia de este ejercicio. Sin embargo, esto no significa que de las premisas del "argumento onto logico" no se siga nada. Se sigue,por ejemplo, que "si Dios no existe, enton ces hay un ser que puede ser pensado y que es mayor que aquel mayor que el cual nada puede ser pensado", como qued6 probado en el ejercicio NOTA:
°
Ejercicio numero 6.
Vy (Py 1\ Myx) = d
Pd 0:3 = Vx (Px 1\ Ex) 0:4 I\x (Px 1\ Ex ~ I\y (Py 1\ --. Ey 0:5 = Ed
=
.7(P) 10, 11 .7(E) = 111
.7(M) = 1<1, 0>,
('II
°
°
=
.7(d)
Como facilmente se comprueba, .7 sat !(.(1, (.(2, (.(a, 0:4,
.7 no sat 0:7 (pues para 1 no hay ningun numero natural y, tal que G, s> E .7(R)). .7 no sat O:s (pues para no es el caso que <0, 0> E .7 (R) ni que E .7 (P)).
123
I\x Rxx
a2 = I\xy (Rxy ~ Ryx)
a3 - I\xyz (Rxy 1\ Ryz ~ Rxz)
r = Ia!, 0:2, a3l
Pruebese la independencia del conjunto
r.
NOTA: r es un conjunto de axiomas que define una relacion de equi valencia. Pruebas de independencia correspondientss a! ejercicio numero 6.
1.0: a1 es independiente de la2, a31
.7 1 sea una interpretacion con
011= 10l
.7 1(R) = ep
.7 1 sat !0:2,
0:31,
pero .7 1 no sat a1
2.°: a2 es independiente de lal, a3! .7 2 sea una interpretacion con
-u = 10, 11
.7 2(R)
= !, G, 1>, <0, 1>1
.7 2 sat IaI, a31, pero .7 2 no sat
(.(2
,
124
SEMANTICA
3."::X3
es independiente de
l:xl, 1%2!
'\
:7 3 sea una interpretacion con
qi= 1°,1,21 :7(R) = 1<0, 0>, <1, 1>, <2, 2>, <0, 1>, <1, 0), (1, 2), <2, l>l :7;{ sat I:Xl, :X21, pero :7 3 no sat
i
= /\xyz (Rxy 1\ Ryz -? Rxz)
~ /\xy' (Rxy 1\ Ryx -? X = y)
1%3 = /\xy (Rxy v Ryx)
(
~.
:7 1
se~
es independiente de 1(X2,
1.":
es independiente de 11%2, :7 1 sea una interpretacion con
una interpretacion con
es independiente de
11%1,
=
:7 3
es independiente de 11%1, sea una interpretacion con I%s
OU= 10! :7 s(R) =
r.
pero :7 a no sat
1 /
\
1%21
~, I%s
\
Ejercicio nlimero8.
1\
Exz 1\ Eyz
-? U
== z)
pero :7 1 no sat
1%1
1%2
=
!1%1,
<2, 4>, <2, 5>, <2, 6>1 I%;h 1%4!
pero :7 2 no sat
1%2
es independiente de 10:1, 0:2, a41
:7 a sea una interpretacion con
OU !O, 1, 2, 3, 4, 5, 61
:7 s(P) IV, 1, 21 :7 s(R) 13, 4, 5, 61 :7 3(E) = !, <0, 4>, <1, 4>, <1, 5>, <2, 5>, <2, 3>1 .7 a sat ll%l, 1%2, I%il, pero :7 a no sat :X3 3.":
=
1%3
=
=
~
:X3, 1%41,
es independiente de 11%1, I%s, (,(41 .7 2 sea una interpretacion con OU 10, 1, 2, 3, 4, 5, 61 .7 2(P) = 10, 1, 21 .7 2(R) = 13, 4, 5, 61 :7 2(E) = 1<0, 3>, <0, 4>, <1, 3>, <1, 5>, <1, 6>, 2.°:
o»
/\xy (x =1= Y 1\ Px 1\ Py -? Vz (Rz 1\ Exz 1\ Eyz)) (X2 = /\xyuz (x =1= Y 1\ Px 1\ Py 1\ Ru 1\ Rz i\ Exu 1\ Eyu
I%s, 1%41
=
:7 1(R) tf>
:7 1(E) = tf>
:7 1 sat 11%2,
1
1%1
1%1
:7 2 sat 1%21,
Ezu))
qi= 1°,1,21
:7 1(P) = 10, 1, 21
I%sl
:7 2 sea una interpretacion con (J2{ 10, 11 :7 2(R) = !, <0, 1>, <1, :7 2 sat I:Xl, I%:ll, pero :7 2 no sat 1%2 3.":
t\
Pruebas de independencia correspondientes al ejercicio numero 8.
I%sl
=
:X2
Eyu
4) Hay tres puntos distintos que no estan en la misma recta.
OU 10, 1,21 :7 1(R) = !, <1, 1>, <2, 2>, <0, 1>, <1, 2>, <2, 0>1 :7 1 sat 11%2, I%sl, pero :7 1 no sat (Xl 2.":
1\
3) Para cada recta hay al menos dos puntos distintos que estan en ella.
Pruebas de independencia correspondientes al ejercicio numero 7. :Xl
Vu (Ru 1\ Exu
I%s, (X41
2) Para cada dos puntos distintos no hay mas de una recta en la cual csos dos puntas esten,
I%al
Pruebese la independencia del conjunto
1.U:
1%2,
1) Para cada dos puntos distintos hay una recta en la cual esos dos puntos estan.
a2
1%2,
1\ -,
r = 11%1,
NOTA: Las sentencias de r pueden considerarse como la formalizacion de los primeros axiomas de enlace en la axiomatizacion de la geometria euclidea por Hilbert:
1%1
= l:xl,
:Xs ~ /\z (Rz -? Vxy (x =1= Y 1\ Px 1\ Py 1\ Exz 1\ Eyz)) == Vxzy (x =1= Y 1\ Y =1= z 1\ X =1= Z 1\ Px 1\ Py 1\ Pz
1%4
Pruebese la independencia del conjunto
I%s
Ejercicio numero 7.
~
125
EJERCICIOS DE PRUEBA DE INDEPENDENCIA
I, i I I
,I 126
SEMANTICA
!aI,
4.0:
a4
7
sea una interpretacion con
4
-u = 7 7
7 7
es independiente de
7
a2, a3l
4(E)
= =
,:
cf> cf>
!21,
sat
a2,
a31, pero 7
4
no sat
0:4·
Vy (Ax (Sx /\ Gx ~ x = y) /\ Y = r)
=
7 3 (r) 7 3 (p) = 0 7 3(S) = 10!
=
7 3(G) 101
7 3(A) = cf>
7:! sat IaI, a2, a41, pero 7:! no sat
4.°: a4 es independiente de \0:1, 7 4 sea una interpretacion con
Ejercicio numero 9. 21
sea una interpretacion con
=°
= \01
4(R)
3
127
cU= \01
\01
4(P)
4
CORRECCION SEMANTICA
(7)/=
/1
J
= Ax (Sx /\ -, X = r ~ Arx)
~ Vx (Sx /\ Gx'/\ Apx)
:X4 Axy (Axy ~ -, A~x)
;l IaI, a2, a3, a41
~
)
Pruebese la independencia del conjunto /1.
a31
101
.7.k) = 0 .7 4 (p) = .71(S) = 1°1 .7t (G) = 101 .7,(A) = 1<0, 0>1 .7, sat lal, a2, a:!l, pero 7 4 no sat 24.
°
22
2;l
=
a2,
a:!
Pruebas de independencia oorrespondientes al ejercicio numero 9. I.e>:
7
1
es independiente de la2, sea una interpretacion con a1
a3,
\
a41
OIJ = lO, 11 7 1 (r) = 7 1 (p) = 0
°
7 7 7 7
= 10, 11
1(S) 1(G)
= \11
1(A)
= 1<0, 1>1
1
sat
1:X2,
a:l, a41, pero 7
1
lab
2.0 : a2 es independiente de
7
2
no sat al a3,
a41
no sat
a2
sea una interpretacion con
OIJ = 10, 11 7 2 (1') 7Ap)
=°
7
2(S)
7 7 7
2(A)
2(G)
2
= 1
= 10, 11
= 101
= 1<1,0>1
sat la1,
a3, a4!
pero 7
2
(
;
, I,
111.7. Correccion semantica 7.0. Una argumentacion - 0 una prueba- es correcta, valida 0 con cluyento cuando su conclusion es una consecuencia de sus premisas. El que su conclusion sea una consecuencia de sus premisas se prueba ofreciendo una deducciou de la conclusion a partir de las premisas, Este proceder tiene sentido ponIne snponemos que, dado un conjunto r de sentencias, todo 10 que podamos dcducir (con nuestro calculo deductivo) a partir de r sera tambien una consecucncia de r. Esto se puede expresar con otras pala bras diciendo que suponcmos
3.":
a3
es independiente de la1'
a2,
a41
y solo si para cualquier eonjunto r de sentencias y para cada sentencia 9. -
LOGICA DE
PRIMER ORD".:N
a:
128
IIi
SEMANTICA
129
CONSISTENCIA Y SATISFACIBILIDAD
\
j
si a es deducible a partir de I' por medio de las reglas del calculo, entonccs a es una consecuencia de r.
I-£,
J\
a, entonces I' I=£' a.
I
1·'
r
I
u no esta en
r u
!S~ all=,8
I'
Vx a
1=
r,
a, ,8; u
¥
II
x
~
rl=,8
.I
Prueba de 7.3: uno este en a, ,8, I'; u IS~all=,8 y rl=
i
¥ x.
1
Vxa.
Hay que demostrar que toda interpretaci6n que satisface a I', satisface tambien a ,8. ,7 sea una interpretacion cualquiera, tal que: .,7 sat r. Entonces: ,7 sat
Vx
a
pues I' 1= Vx a
Hay un x, tal que ,7~ sat a , tal que ,7~ sat a , tal que ,7~ sat a
.r> (u) sat tal que ,7~ x u
r u
;~
,i (
~
por 2.4, pues u no esta en a por 1.4, pues x ¥ u
ItIlf
pues ,7~ (u) = x
pOl' 3.1
,~
{!
a
, tal que ,7~ sat S~ a
tal que ,7~ sat r , tal que ,7~ sat
por 2.4, pues u no esta en ,8
,8.
1Il.8. Consistencia y satisfacibilidad
7.3. Teorema:
u
IS~ all= ,8
i ,~
w
Sea r
1=
r u
q.e.d.
.~
I 1~ntonce"
r
pues
11
Para probar 7.2. tendriamos que mostrar que siempre que una scntcn cia es deducible a partir de otras en el calculo deductivo, la primcra cs una consecuencia de las tiltimas, Para ello habriamos de examinal' todas las reglas de inferencia y construccion, etc. De las reglas de infcrencia, la unica que podria presentar dificultades es EP, pero su correccion en el ealculo queda garantizada por el teorema 7.3. que a continuaci6n proba remos. De todos modos, aqui renunciamos al desarrollo detallado de la prueba de 7.2. El lector interesado la podra encontrar en el articulo "Remarks on Descriptions and Natural Deduction", de R. Montague y D. Kalish (1957).
S'
,7 sat ,8
As], pues,
7.2. Teorema de correccion sernantica de nuestro calculo deductivo: Para cualquier conjunto I' de sentencias de 2 y cualquier sentencia a de /£: Si I'
Hay un x tal que ,7~ sat ,8
I
por 2.4, pues ,7 sat no esta en I' IS~ al
r
:l y u no
i 'I
'\
'I
Ii.
s.o. El concepto de consistencia es un concepto sintactico, definido en Iuuciou de la deducibilidad y, por tanto -indirectamente-, en funcion de las rcglas del calculo deductivo. En efecto habiamos dicho que un con [unto I' de sentencias era consistente en eI caso de que hubiera al menos 1I11a f{ll'lllula que no fuese deducible de I', y que era inconsistente 0 con I rad ic-torio en el caso de que todas las f6nnulas fuesen deducibles de r. El ('Oll('('plo allloS que todo conjunto satisfacible de sentencias es consistente, 10 c-uul ('S hastunt« trivial. Lo que no es nada trivial es que to do conjunto ('OlISis[('IIIT d(~ scutcncias es satisfacible, 10 cual probamos en 8.3. En 8.5 ]TSllllliIJIOS ;lIl1bos resultados, enunciando la equivalencia del concepto sillt(l('li('o d(~ c-onsistcncia y el concepto semantico de satisfacibilidad. 8.6 es IIII leorclIla COli importantes aplicaciones metarnatematicas. En 8.7, y como «orolario dc S.:3, obtcnernos el famoso teorema de Skolem. S.l. Teorema: '1'0<10 eon junto maxirnamente consistente y ejernplificado tI(, sr-utc-uc-ias sill dcscriptorcs es satisfacible sobre un universo numerable.
I'nl('!Ja
tI(~ I).] :
S('a I' 1111 conjunto rnaximumente consistente y ejemplificado de sentencias sill tlcslTi plorcs dc ,'../'. Ell 1'1 coujunto '[', de los terrninos sin de scriptores del formalismo 2 defi lIi,IJOS una rclacion lli{ldica, a la que designaremos con -«, en funcion de I', (k ]a siguientc mancra: para cualcsquiera terminos t-, t 2 de T",: t 1 "" t~ syss t, ....: t~ E I'. Tcniendo en cucnta que I' es un conjunto maximarnente cons istcnte, resulta que "" es una rclacion reflexiva: t "" t, pues t = t E I', por 11.8.2, (2), ya que t = t, por I. "" cs una relaci6n siinetrica: si t 1 "" t-, entonces t:!. "" t-, pues si t 1 = t~ E I', cntonces t 1 tt E I', por 11.8.2, (1), ya que t, t 1 1-2 t 2 t-, pOl' SI. y
=
=
=
130
'" es una relacion transitiva: si t 1 ' " t 2 Y t 2 ' " t« entonces t l ' " t a, pues si t 1 = t 2 E r y t 2 = t« E r, entonces t l = t a E I', por I1.8.2, (1), ya que t 1 = t 2 , t 2 = t a 1-2 t 1 = t-, por TI. Por tanto, ,..., es una relacion de equivalencia. Mediante t designaremos la clase de equivalencia inducida por "', en la que esta t, Es decir,
=
=
t,) It I to'" tl It I·to = t E fl. Ahora definimos una interpretacion 7 de la siguiente manera: El universo '11 de 7 sea el espacio cociente T2/,..." es decir, sea el con junto de las clases de equivalencia inducidas por ,..., en el conjunto de los terminos sin descriptores de .2. La aplicacion f1{' de 7 sea definida asi: para cada relator n-adico P de .2:
=
7(P) ! Ptl, ... , t« E r I Para cada functor n-adico f de .2: 7(f)
(En especial, 7 sat t l = t 2
t; ..., t; = it-, ..., t; = X.
Para cada constante individual a: 7(a): ii. Estas definiciones utilizan representantes ts, ... , t; de las clases t l , ... , tn, pero son independientes de los representantes elegidos. En efecto, sean t 1'" tit'" Entonces, t 1 = t~ E r, ..., t,,= r. E r y, por I1.8.2, (1), n; ... , t; E r syss Pt~, ... , t:, E r. Por tanto, 7(P) l I Pt1, •.• , t n E I'] l I Pt'l' ... , t~ E I'[. Es decir, la definicion de 7(P) es indepen diente de los representantes elegidos. Y 10 mismo en los demas casos. Para cada t6rmino sin descnptores t de .2, 7(t) t. Esto puede probarse por induecion sobre la Iongitud de los terminos de .2 sin descriptores. En efecto,
<. ..., r.
=
=
7 sat --, a
7 sat (a II (3)
De igual modo:
7 sat (Cl' ---* (3) 7 sat (a~f3)
7 sat Ax
a
=
=
por definicion por definicion 7(f) ls. :», i; supuesto inductivo
= ft;; ... , t«
por definicion
Para cada sentencia sin descriptores a de .2: 7 sat a si y solo si a E r. Esto puede probarse por induecion sobre el numero de signos 16gicos de las sentencias sin descriptores de .2. En efecto, 7 sat Pt1 ,
... ,
t; syss <7(t 1 ) ,
syss
L~
_
7(t n » E 7(P) E !I Pt1 , ... , t« E I'] pues 7(t) = t
... ,
pues 7(t) = t syss i. i. por definicion syss t l ' " t 2 syss t l = t 2 E I') syss no 7 sat c! sys no a E I' supuesto inductive syss a ~ I' syss --, a E r par II.8.2, (3) syss 7 sat a y 7 sat fJ syss a E r y (3 E r supuesto inductivo syss (a II (3) E I' por I1.8.2, (4) syss 7 sat IX 0 :7 sat (3 syss a E r 0 f3 E r supuesto inductivo syss (a v (3) E r por II.8.2, (5) syss (a ~ (3) E r
syss (a ~ (3) E r
syss para todo t, 7~ sat a syss syss
" " ""
syss
=
7(x) =x 7(c) = C 7(ft 1 , ... , t n )
syss Ptl, ... , t; E I' syss 7(t 1 ) = 7(t 2 )
=
7 sat (a v (3)
II
Para cada variable x: 7(x)
131
CONSISTENCIA Y SATISFACIBILIDAD
SEMANTICA
designador t: 7; sat a " : 7;(t) sat a pues 7(t) : 7 sat 5; a
=i
por 3.1 : 5,~ a E r sup. inductive por II.8.3, (2)
syss syss /\x a E r
7 sat Vx
a
syss hay un L, tal que 7~ sat :x syss hay un designador t, tal que 7~ sat :x
syss
""
"
7~~(t)
sat a
pues 7(t) = t , tal que 7 sat Sf{, a par 3.1
syss syss syss Vx:x
, tal que
E
r
pOl'
tal que S;,:x E I' sup. induct. n.8.3, (1)
132
SEMANTICA
Puesto que r es un conjunto de sentencias sin descriptores de 2, y cada sentencia sin descriptores de 2 es satisfecha pOl' J, resulta que J satisface cada formula de I', es decir, que J satisface r. EI universo QU de J es numerable, pues su cardinalidad ha de ser igual o menor que la cardinalidad de T"" y T!£ es claramente numerable. Luego
r
Para cada (:/ E A hay una a e
Prueba de 8.2.
r
un conjunto consistente cualquiera de sentencias sin descriptores
Segun II.8A, hay un conjunto maximamente consistente y ejemplificado de sentencias sin descriptores de 2 U yg, donde yg es una clase de cons tantes individuales, tal que
r"
I'" es satisfacible sobre un universo numerable, pOl' 8.1, ya que I'" es maximamente consistente y ejemplificado.
r es satisfacible sobre un universe numerable, por 4.5, ya que todos los signos peculiares de 2 10 son tambien de 2 U yg, r es un conjunto de Iorrm las de 2 y r- es un conjunto de formulas de 2 U r c r-, y r" es satisfacible sobre un universo numerable.
'e,
q.e.d. 8.3. Teorema: Todo conjunto consistente de sentencias de 2 facible en 2 sobre un.universo numerable.
es satis
r
sea un conjunto consistente de sentencias de 2. e sea una constante individual que no pertenece a ;;;.
I
e=
ty Y = Y 1-2U{f')
por EB pues a E
=
r
=
Sea J = J sat A.
Wf,
a>.
Consideremos ahora la interpretacion J' de 2 U leI, que solo se dife rencia de J en aplicar las descripciones impropias a J(e) en vez de a a. ' Es decir, sea
J' =
J' satisface r.
En efecto, sea ce una formula cualquiera de formula sin descriptores a' de ;/;' U ex y tal que C
lel
r. Segun 11.6.1, a), hay una con las mismas variables libres que
= ty Y = Y I-!£U{cj a ~ a'.
Y 1-2U{cj a ~ a' Y I=!£U{cj a~ a' = ty y = y
e = ty Y = e = ty Y = J' sat e
J' sat que
variables lib res que al. Como las formulas de r son sentencias y las de A tienen las mismas va riables libres que ellas, A es un conjunto de sentencias. A es, pues, el conjunto de las sentencias sin descriptores a' de 2 U {c} para las que existe una a E I', tal que c !Y Y Y I-.'i'u{cj a' ~ a.
=
pOl' definicion de A
a ~ ce'
Asi, pues, todas las formulas de A son deducibles a partir de ru [c = yl· Si A fuese contradictorio, tambien 10 seria rUle = ty Y IJI, porIa transitividad de la deducibilidad (II.2.9, b). Pero rUle = ty Y = Yl es consistente. Luego A es consistente tambien. A es, pues, consistente en 2 U lei. A es satisfacible sobre un universo numerable, pOl' 8.2, ya que A es un conjunto consistente de sentencias sin descriptores, Hay una interpretacion c.Z de 2 U lei sobre un universo numerable QU, tal que J satisface A.
J
a.~
pOl' 7.2 pues J'(!y IJ = y) = J(e), pOl' definicion de J'
a'
sat a'
pOl' definicion de J, ya que a' E A pues a' carece de descriptores y J e J' solo se diferencian respecto a las descripciones pues J' sat a ~ ex' y J' sat a'
a ~ a'; a' carece de descriptores y tiene las mismas
=
tal que
Es decir, hay una formula a' E A, tal que
Prueba de 8.3.
rUle = ty Y = Yl es consistente en 2: U lei pOl' II.7.7. Definicion: A = la' a' es una formula de 2 U {c}; hay un a E I', tal
1-2U{cj
r,
= Y 1-2U{cj a ~ a' e = tIJ Y =y, a I-£U{cj a' rUle = ty Y = Yl I-!£ulcj a' tIJ IJ
8.2. Teorema: Todo conjunto consistente de sentencias sin descriptores de 2 es satisfacible en 2 sobre un universo numerable.
= !Y Y = Y
E
e = ty y
es satisfacible sobre un universo numerable.
q.e.d.
Sea de 2.
133
CONSISTENCIA Y SATISFACIBILIDAD
J' sat a'
J' sat a Asi, pues, J' sat
r.
134
SEMANTICA
.7' es una interpretacion de 2 U Ie! . .7" sea la interpretacion de 2 que coincide con .7' en to do (excepto en no poseer e entre sus constantes a interpretar, pues e no pertenece a 2). Por definicion de .7", para cualquier formula de 2: .7" sat a si y solo si .7' sat a. .7" sat r, pues .7' sat r y r es un conjunto de formulas de 2. El universo de .7" es el mismo que el de .7: 0(1, un universo numerable. Asi, pues, hay una interpretacion (a saber, .7") de 2 sobre un universo numerable, tal que .7" sat r. Luego r es satisfacible en 2 sobre un uni verso numerable. q.e.d, 8.4. Teorema: Todoconjunto satisfacible de sentencias de 2 es con sistente en 2. Prueba de 8.4: I' sea un conjunto satisfacible de sentencias de 2. Hay una interpretacion .7 de 2, tal que .7 sat r. Si r fuera inconsistente en 2, habria un /3 de 2, tal que 1-2/3/\ --. /3 por 11.7.3
r t=2! /3 /\ --. /3 por 7.2
.7 sat /3 /\ --. /3 pues .7 sat r
.7 sat /3 y .7 sat --. /3
.7 sat /3 y .7 no sat /3, 10 cual es imposible.
Luego I' es consistente en 2.
q.e.d.
De 8.3 y 8.4 se sigue:
r
8.5. Teorema de equivalencia entre satisfacibilidad y consistencia: Sea conjunto de sentencias de 2. I' es satisfacible en 2· syss r es consistente en 2.
r un
8.6. Teorema de finitud para la satisfacibilidad: Sea I' un conjunto de sentencias de 2. I' es satisfacible en 2 si y solo si cada subconjunto finito A c I' es satis facible en 2. Prueba de 8.6: Sea r satisfacible en 2.
Entonces, cada subconjunto finito A c r es satisfacible en 2, por 4.5.
Sea cada subconjunto finito A c I' satisfacible en 2.
Si r no fuera satisfacible en 2, entonces r seria inconsistente en 2,
por 8.5. Por tanto, habria un a de 2, tal que r 1-2 a /\ --. a, por 11.7.3.
COMPLETUD SEMANTICA
135
Habria un subconjunto finito A c I', tal que A 1-21 a /\ --. a, por 11.2.8.
.tl seria inconsistente.
A no seria satisfacible, por 8.5.
Pero A si es satisfacible.
Por tanto, r es satisfacible en 2.
q.e.d. 8.7. Teorema de la satisfacibilidad numerable 0 teorema de Skolem: Para cualquier conjunto r de sentencias de 2: Si r es satisfacible en 2, entonces r es satisfacible en 2 sobre un universo numerable. Dicho con otras palabras: Si hay al menos una interpretacion (con el universo que sea, y, por tanto, posiblemente con un universo infinito no numerable) que satisface I', entonces hay tambien una interpretacion con un universo finite 0 infinite numerable que satisface r. Prueba: I' sea un conjunto satisfacible de sentencias de £.
Entonces, r es consistente en 2:', por 8.4.
Y, por tanto, I' es satisfacible en 2 sobre un universo numerable, pOl' 8.3.
q.e.d.
111.9. Completud semantica 9.0. El que nuestro calculo deductivo sea semanticamente correcto, es de cir, el que por medio de sus reglas solo se puedan deducir de I' conse cuencias de I', no significa que con su ayuda se puedan obtener todas las consecuencias de I', Por ejemplo, para otro tipo de formalismos que los aqui estudiados, a saber, para los formalismos de segundo orden (en los que no solo hay variables ligadas que se refieren a individuos, sino tarnbien variables ligadas que se refieren a propiedades 0 relaciones) no hay ningun calculo susceptible de obtener 0 deducir con sus reglas todas las consecuen cias de un conjunto dado de sentencias. No solo no 10 hay, sino que no 10 puede haber, como mostro Codel en 1931 en su famoso teorema de la in completud semanrticade Ia 10gica de segundo orden. Perael misrno Codel habia probado el afio anterior, 1930, que en la logica de primer orden eramos mils afortunados. En su igualmente farnoso teorema de la comple tud semantica de la 16gica de primer orden, Codel probe que para los formalismos de primer orden es posible construir calculos deductivos con cuyas reglas pueden deducirse todas las consecuencias de un conjunto dado de sentencias. En 9.2. se prueba la completud semantica de nuestro calculo deduc tivo, aprovechando los resultados de III.S. Para llegar hasta aqui hemos
136
SEMANTICA
COMPLETUD SEMANTICA
seguido un camino muy distinto al que siguio Codel, Fundamentalmente hemos llegado a este importante teorema aplicando los metodos expuestos pOl' Henkin en 1949 y refinados pOl' Hasenjaeger en 1953. . Asi como en 8..5 habiamos establecido la equivalencia del concepto sintactico de consistencia con el concepto sernantico de satisfacibilidad, asi tambien podemos aqui establecer en 9.3 la equivalencia del concepto sintactico de deducibilidad con el concepto sernantico de consecuencia. Todo esto se resume a veces diciendo que en la logica de primer orden la semantica y la sintaxis son equivalentes entre si.
9.3. Teorema de equivalencia entre deducibilidad y consecuencia: Sea 2 y ~ una sentencia de .~. r 1="" a syss I' ~-.2" a Es decir, una sentencia es una consecuencia de otras sentencias si y s610 si es deducible a partir de ellas. De ahi se sigue, para r = : I=,,:t syss 1-2 a Es decir, una. sentencia es 16gicamente valida si ysolo si es un teorema logico. De 11.2.8 y 9.3 se sigue:
9.1. Definicion: Un calculo deductivo es sernanticamente completo si y s610 si para cualquier conjunto r de sentencias y para cada sentencia a: si a es una consecuencia de I', entonces a es deducible a partir de r pOl' ( ; medio de las reglas del calculo, 9.2. Teorema de [a completud semantica de nuestro calculo deductive o teorema de Codel: Para cualquier conjunto r de sentencias de 2 y cualquier sentencia a de 2: Si
r 1="" a,
entonces
r 1-.2" a.
Prueba de 9~.2. Sea r un conjunto de sentencias de 2 y a una sentencia de 2. Sea r 1=" a. Toda interpretaci6n de .5!:' que satisface r, satisface tambien a, pues r 1=,£ a. No hay ninguna interpretacion de 2 que satisfaga I', pero no satisfaga a. Es decir, no hay ninguna interpretaci6n .7 de 2, tal que .7 sat r y .7 no sat a. No hay ninguna interpretaci6n .7 de 2, tal que .7 sat r y .7 sat. a.
r
U
I. al es insatisfacible en 2.
Ahora bien, todo conjunto consistente de sentencias de 2 es satisfacible en 2, pOl' 8.3. Luego
r
U
I' U
r r
r
U
I. al
es inconsistente en 2.
!. all-.2" a I, all-.2" • • a
1-"" • • a 1-,2' a
q.e.d. De 7.2 y 9.2 se sigue:
pues r U I' porDN pOl' 11.5..3 porDN
al
es inconsist.
r
137
un conjunto de sentencias de
9.4. Teorema de finitud para la consecuencia: Sea r un conjunto de sentencias de 2 y a una sentencia de CPo r 1="" ex si y s610 si hay un subconjunto finito ~ c r, tal que ~ 1=", z,
9.5. EI teorema 8..3, que dice que todo coniunto consistence de senten cias es satisfacible sobre un universo 'numerable, es Ilamado a veces "teo rema de Henkin", par haber sido Leon Henkin el primeroen formularlo y probarIo de un modo parecido al aquf expuesto, En realidad, los teoremas que Ie siguen se obtienen como mews corolarios del teorema de Henkin: tanto el teorema de completud sernantica de Codel (9.2.), comoel teorerna de satisfacibilidad numerable de Skolern {8.7.) y el teorema de finitud para la satisfacibilidad 0 compactness theorem (8.6.). EI teorema de Skolem tiene profundas repercusiones en la filosofia de la matematica --pues implica, entre otras cosas, que cualquier teoria formal construida para caracterizar una estructura de universo infinite supernume rablees tambien satisfecha por interpretaciones sabre universos numerables.. pOl' 10 que 10 supernumerable no es caracterizable en la 16gica de primer orden- e importantes aplicaciones en la rnetateoria de conjuntos. EI tea rema de finitud para Ia satisfacibilidad tiene multiples aplicaciones en meta
maternatica, tales como la obtenci6n de modelos no-standard de la aritmetica
-es decir, de sistemas no isomorfos con el de los rnrmeros naturales pero
que, sin embargo, cumplen cuanto exigen los axiomas de 1'1 aritmetica de primer orden-s-. De hecho, ambos teoremas -el de Skolem y eI de finitud- constituyen la base de la teoria de modelos, una de las ramas mas florecientes de Ia 16gica actual. Incluso es posible probar ambos teoremas sin hacer usa para nada de un calculo deductivo ni, pOl' tanto, de los teoremas de Henkin y Codel, En efecto, el teorema de Skolem puede ser probado directamente a partir del de :finitud y este, a su vez, puede ser probado dentro de 1'1
138
SEMANTICA
teoria de modelos mediante la formacion de ultraproductos adecuados y sin refcrencia alguna a un calculo deductive, El lector interesado por estos desarrollos puede COD sul tar la sobras de Bell y Slomson, de Chang y Keisler o de Schwabhauser.
BlBllOGHAFIA Trabajos aludidos en este libra: BELL,
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I
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I
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I I
GARRIDO, M., L6gica Simb6lica. Editorial Tecnos. Madrid. MOSTERiN',
J.,
EI presente libra, Logica de primer orden, cons tituye un manual universitario sucinto y r iguroso donde la parte central de la logica se presenta con una considerable precision, ofreciendose al estu diante definiciones exactas y pruebas completas. Este rigor teorico se combina con la preocupacion practica por el dominio de las tecnicas. Precisa mente la abundancia de ejercicios resueltos, que ofrecen al lector amplia oportunidad de practicar 10 aprendido, constituye una de las caracteristicas peculiares de esta obra. Su autor, Jesus Mosterin, se licenci6 por la Universidad de Madrid y docto r6 por la de Barcelona en filosofia. Se especializ6 en logica durante 3 afios en el Institut fur mathe matische Logik und Grundlagenforschung de la Universidad de Munster (Alemania). Desde 1966 es profesor de logica y filosofia de la ciencia de la Universidad de Barcelona.
I
Teoria axionuiiica de conjuntos. Ediciones Ariel. Barcelona.
SACRISTAN, M.: lntroduccion a la l6gica y al arullisis formal. Ediciones Ariel. Bar celona.
Manuel Sacristan Algunos manuales de l6gica traducidos al castellano :
INTRODUCCION A LA LOCICA Y AL ANAuSIS FORMAL
DALLA CHIARA SCABIA, M. L., L6gica. Editorial Labor. Barcelona. HASENJAEGEH, H., Conceptos y problemas de la 16gica moderna. Editorial Labor. Barcelona. HILBERT, D. v ACKERMANN, W., Elementos de 16gica te6rica (traducciou de la 4." edicion' alemana). Editorial Tecnos. Madrid. KLEENE, S. C., Introducci6n a la metamatemdtica. Editorial Tecnos. Madrid. MATES, B., L6gica Elemental. Editorial Tecnos. Madrid.
j
QUINE, W. V., Meiodos de la 16gica. Ediciones Ariel. Barcelona.
QUINE, W. V., EI sentido de la nueva 16gica. Editorial Nueva Vision. Buenos Aires.
QUINE, "V. V., L6gica matemdtica. Revista de Occidente. Madrid.
SUPPES, P. Y HILL, S., Introduccion a la 16gica matematica. Editorial Reverie. Bar
celona.
TARSKI, A., Introducci6n a la 16gica matenuitica y a la metodologia de las cias deductivas. Espasa-Calpe, Madrid.
ciCI1-
I ~
~
i \
1
j
/
No hace mucho mas de siglo y medio que un gran filosofo consideraba la logica como perfecta y con clusa en 10 esencial desde los tiempos de Aristo teles. Hoy la logica, tras haber mostrado, con los espectaculares progresos conseguidos en ese siglo y medio, que no estaba, ni mucho menos, perfecta, sigue ademas sin concluirse. Uno de los capitulos mas interesantes, utiles y no conclusos de la logica moderna es la aclaracion de conceptos frecuentemente usados en las ciencias particulares, como los de sistema teorico 0 teoria, calculo 0 algoritmo, funci6n, isomorfias, estructu ras, etc. Para precisar 'esos conceptos hay que familiarizarse, por de pronto, con el punto de vista 16gico formal, y debe aclararse la relaci6n entre la 16gica y las ciencias reales. Este manual de intro duccion, que se abre precisamente con unas pagi nas dedicadas a las relaciones entre la logica for mal y las ciencias reales, se destina a dar una vi si6n general del punta de vista logico, sabre todo en la medida necesaria para estudiar aquellos con ceptos forrnales que son de aplicacion general en las ciencias. Sus destinatarios no son, pues, princi palmente, los gremios tradicionales de cultivadores de la logica -los fll6sofos y los matematicos v-, sino los estudiosos de ciencias reales que, cada vez en mayor ntirnero, notan la conveniencia de aten der tambien a los fundamentos formales de sus conceptos y metodos,
I
