Ejercicios de Logica de Primer Orden

Soluciones Ejercicios 5: Lógica ogica de Predicados TAII(I)-Lógica ogica 26 de abril de 2006

1.

Ejerc jercic icio io 5.1 5.1

Formalizar en el cálculo alculo de predicados las siguientes sentencias en lenguaje natural. 1. Todos los actores son famosos. a) D = las personas A(-): - es actor F(-): - es famoso ∀x[A(x) −→ F (x)] b) D = los actores F(-): - es famoso ∀xF (x) 2. Algunos padres son responsables . a) D = las personas P(-): - es padre R(-): - es responsable ∃x[P (x) ∧ R(x)] b) D = los padres R(-): - es responsable ∃xR(x) 3. Todos los miembros son padres o son maestros. a) D = las personas M(-): - es miembro P(-): - es padre MA(-): - es maestro ∀x[M (x) −→ P (x) ∨ M A(x)] b) D = los miembros P(-): - es padre MA(-): - es maestro ∀x[P (x) ∨ M A(x)] 4. Algunos pol´ pol´ıticos son incompetentes o son corruptos.

1

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





a) D = las personas P(-): - es pol´ıtico ıtico I(-): - es incompetente C(-): - es corrupto ∃x[P (x) ∧ (I (x) ∨ C (x))] ∃x[(P (x) ∧ I (x)) ∨ (P (x) ∧ C (x))] ∃x¬[P (x) −→ ¬ (I (x) ∨ C (x))] b) D = los pol´ıticos ıticos I(-): - es incompetente C(-): - es corrupto ∃x[I (x) ∨ C (x)] 5. Las manzanas y los pl´ atanos son nutritivos. atanos a) D = las frutas M(-): - es manzanza P(-): - es plátano atano N(-): - es nutritivo ∀x[M (x) ∨ P (x) −→ N (x)] ∀x[(M (x) −→ N (x)) ∧ (P (x) −→ N (x))] b) D1 = las manzanas (x) l os plátanos atan os (y) D2 = los N(-): - es nutritivo ∀xN (x) ∧ ∀yN (y ) 6. Algunas frutas y verduras son nutritivas. a) D = los alimentos F(-): - es fruta V(-): - es verdura N(-): - es nutritivo ∃x∃y [F (x) ∧ V (y ) ∧ N (x) ∧ N (y )] ∃x[F (x) ∧ N (x)] ∧ ∃x[V (x) ∧ N (x)] ∃x[(F (x) ∨ V (x)) ∧ N (x)] b) D1 = las frutas (x) D2 = las verduras (y) N(-): - es nutritivo ∃xN (x) ∧ ∃yN (y ) 7. Si algo anda mal, entonces todos se quejan. D1 = las cosas (x)

= las personas (y)





Q(-): - se queja ∃xM (x) −→ ∀ yQ(y ) 8. Luis es Guapo. D = las personas

G(-): - es guapo G(l) 9.

a )

Pedro es amigo de todos.

b)

Algunos son amigos de Pedro.

c)

Todos son amigos de todos.

D = las personas

A(-,-): - es amigo de a) ∀xA( p,x) b) ∃xA(x, p) c) ∀x∀yA(x, y ) olo los ejecutivos llevan cartera. olo 10. S´

D = las personas

E(-): - es ejecutivo C(-): - lleva cartera ∀x[C (x) −→ E (x)] ∀x[¬E (x) −→ ¬ C (x)] 11. Hay por lo menos una cosa que es humana y que es mortal. D = las cosas H(-): - es humana M(-): - es mortal ∃x[H (x) ∧ M (x)]

12. Nadie sino los valientes merecen a bella. D = las personas V(-): - es valiente M(-,-): - merece a ∀x[M (x, b) −→ V (x)] ∀x[¬V (x) −→ ¬ M (x, b)]

13. Ning´ un abrigo es impermeable a menos que haya sido especialun mente tratado.





a) D = los abrigos I(-): - es impermeable T(-): - est´ a especialmente tratado ∀x[¬T (x) −→ ¬ I (x)] ∀x[I (x) −→ T (x)] b) D = las cosas A(-): - es abrigo I(-): - es impermeable T(-): - est´ a especialmente tratado ∀x[A(x) −→ (I (x) −→ T (x))] ∀x[A(x) ∧ I (x) −→ T (x)] 14. Ning´ un un co che que tenga m´ as as de 10 a ˜ nos nos ser´ ser ´ a repar re parado ado si est´ est ´ a realre almente averiado.

a) D = los coches de más as de diez a˜ nos nos R(-): - es reparado A(-): - est´ a realmente averiado ∀x[A(x) −→ ¬R(x)] b) D = los coches D(-): - tiene más as de diez a˜ nos nos R(-): - es reparado A(-): - est´ a realmente averiado ∀x[D(x) ∧ A(x) −→ ¬ R(x)] c) D = las cosas C(-): - es coche D(-): - tiene más as de diez a˜ nos nos R(-): - es reparado A(-): - est´ a realmente averiado ∀x[C (x) ∧ D(x) ∧ A(x) −→ ¬ R(x)] ∀x[C (x) −→ (D(x) −→ (A(x) −→ ¬ R(x)))] 15. En toda pareja de vecinos hay alg´ un un envidioso. D = las personas

V(-,-): - es vecino de E(-): - es envidioso ∀x∀y [V (x, y ) −→ E (x) ∨ E (y )]





2.

Ejerc jercic icio io 5.2 5.2 Dada la siguiente frase en lenguaje natural: olo los amigos de Juan son divertidos  olo  s´

Se pide: 1. Formalizarl ormalizarla a en el cálculo alculo de predicados utilizando como domino general  las personas  Soluci´ on: on:

D = las personas

A(-,-): - es amigo de D(-): - es divertivo Primera posibilidad posibilidad F 1 (x, j ) : ∀x[D(x) −→ A(x, j )] Primera Segunda posibilidad posibilidad F 2 (x, j ) : ∀x[A(x, j ) −→ D(x)] Segunda 2. Evaluar Evaluarla la en el dominio dominio D = {P edro edro,, Juan, Juan, Luis Luis}, sabiendo que: Pedro es divertido y Juan y Luis no lo son. Pedro es amigo de s´ı mismo y de Luis. L uis. Juan es amigo de todos. Luis es amigo de s´ı mismo y de Juan. Soluci´ on: on:

D = { pedro pedro,, juan, luis luis}

Predicado A(-,-), aridad 2 (poliádico) adico) ⇒ no de interpretaciones: D2 → {T , F }, es decir 9 asignaciones (3 2 → {T , F }). Predicado D(-), aridad 1 (monádico) adico) ⇒ no de interpretaciones: D1 → {T , F }, es decir 3 asignaciones (3 1 → {T , F }). x p j l

D(x)

T F F





x p p p j j j l l l

y p j l p j l p j l

A(-,-) T F T T T T F T T

Evaluación on de la fórmula: ormula: x D(x) p T j F l F

3.

A(x,j) F T T

D(x) → A(x, j )

F T T

∀xF 1 (x, j ) F F F

Ejerc jercic icio io 5.3 5.3 Dada la siguiente frase en lenguaje natural:

 todos los vecinos del vecindario odian a una persona  Se pide: 1. Formalizarl ormalizarla a en el cálculo alculo de predicados utilizando como domino general  las personas  Soluci´ on: on:

D = las personas;

O(-,-): - odia a V(-): - pertenece al vecindario F (x, y ) : ∀x[V (x) −→ O(x, y)]

2. Evaluar Evaluarla la en el dominio dominio D = {Begona,  a, Maria, n Maria, Nieves Nieves}, sabiendo que: Bego˜ na y Nieves pertenecen al vecindario, y Nieves no. na Nieves no odia a nadie. Bego˜ na na y Mar´ıa ıa sólo olo odian a Nieves. (La variable libre representa al elemento Nieves)







Soluci´ on: on:

 a, maria, D = {begona, n maria, nieves nieves} Predicado V(-,-), aridad 2 ⇒ no de interpretaciones: 3 2 → { T, F }; es decir 9 asignaciones. Predicado O(-), aridad 1 ⇒ no de interpretaciones: 3 1 → {T, F }; es decir 3 asignaciones. x b m n

V (x)

x b b b m m m n n n

y b m n b m n b m n

T T F O(-,-) F F T F F T F F F

Evaluación on de la fórmula, ormula, que asignando la variable libre al valor de nieves nie ves quedar´ que dar´ıa: ıa: F (x, n) : ∀x[V (x) −→ O(x, n)] x b m n

4.

V (x)

T T F

O(x, (x,n) T T F

V (x) → O(x, n)

T T T

∀xF (x, n) T T T

Ejerc jercic icio io 5.4 5.4 Dada la siguiente frase en lenguaje natural:

 Si los obreros no son trabajadores, entonces algunos empresar-





T(-): - es trabajador L(-): - es listo A(-): - se arruinará F (x, y ) : ∀x¬T (x) −→ ∃ y [¬L(y ) ∧ A(y )]

2. Evaluar Evaluarla la en los dominios dominios D1 = {obrero − P edro, edro, obrero obrero − Luis, Luis, obrero − Carlos }, y D2 = {empresario−J uan, empresario empresario−M iguel, empresario empresario− Roberto}, sabiendo que: Pedro es el único unico obrero trabajador. Juan es listo y no se arruinará. a. Miguel no es listo y se arruinará. a. Roberto se arruinar´ arruinar´ a a pesar de ser listo Soluci´ on: on:

D1 = {obrero − P edro, edro, obrero obrero − Luis, Luis, obrero − Carlos} D2 = {empresario−J uan, empresario empresario−M iguel, empresario empresario−Roberto}

Los tres predicados son mon´ adicos, adicos, y ambos dominios est´ an an restrigidos a tres objetos por lo que el número umero de asignaciones será 3(31 → {T , F }). x p l c

T (x)

y j m r

L(y) T F T

T F F A(y) F T T

Evaluación on de la fórmula, ormula, antecendente : x

T (x)

T (x)

∀x T (x)





Dado que el antedente de la fórmula ormula predicativa es falso, y el consecuente es verdadero, puede concluirse que la evaluación on de F(x,y) es verdadera (F → T ⇒ T ).

5.

Ejerc jercic icio io 5.5 5.5 Dada la siguiente fórmula: ormula:

∀x∃y (Mayor − que(x, y ) −→ Igual − a(y, menor menor(a, y))) En el dominio de tres elementos D = {0, 1, 2}, se pide obtener la evaluación on total de la fórmula ormula para dicho dominio. Suponer que la asignación on π(a) = 1 x 0 0 0 1 1 1 2 2 2

y 0 1 2 0 1 2 0 1 2

π (menor(x, y ))

x 0 0 0 1 1 1 2 2 2

y 0 1 2 0 1 2 0 1 2

π (Igual − a(x, y ))

0 0 0 0 1 1 0 1 2 T F F F T F F F T

Ejercicios de Logica de Primer Orden

Recommend Documents