Pembahasan 2.4
, S terbatas di R . a 0 dan aS : as : s S
4. Misalkan S a.
inf aS = a inf S Bukti :
S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai infimum. Misalkan v inf S , maka v adalah batas bawah S . Jadi v s, s S .
a 0 dan v s , maka av as, s S . Jadi av batas bawah aS ...........................................(1)
av . t as, s S .
Misalkan t sebarang batas bawah aS , adit : t
t sebarang batas bawah aS , berarti a 0 dan t as , maka Jadi
t a
t a
s, s S .
batas bawah S .
v inf S dan Karena a
t a
batas bawah S , maka menurut definisi
0 , maka
t a
v.
t av ..........................................(2)
Dari (1) dan (2) maka menurut menurut definisi inf aS = av = a inf S Jadi inf aS = av = a inf S .
sup aS = a sup S Bukti :
S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai suprimum. Misalkan u sup S , maka u adalah batas atas S . Jadi s u, s S .
a 0 dan s u , maka as au, s S . Jadi au batas atas aS ...........................................(1) Misalkan t sebarang batas atas aS , adit : au t .
t sebarang batas bawah aS , berarti as t , s S .
a 0 dan as t , maka s Jadi
t a
t a
, s S .
batas atas S .
u sup S dan
t a
batas atas S , maka menurut definisi u
t a
.
Karena a 0 , maka au t ..........................................(2) Dari (1) dan (2) maka menurut menurut definisi sup aS = au = a sup S Jadi sup aS = au = a sup S .
b.
b 0 dan bS : bs : s S
inf bS = b sup S Bukti :
S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai suprimum. Misalkan u sup S , maka u adalah batas atas S . Jadi s u, s S .
b 0 dan s u , maka bs bu, s S . Jadi bu batas bawah bS ...........................................(1)
bu . bS , berarti t bs, s S .
Misalkan t sebarang batas bawah bS , adit : t
t sebarang batas bawah b 0 dan t bs , maka Jadi
t b
t b
s, s S .
batas atas S .
u sup S dan
t b
batas atas S , maka menurut definisi u
Karena b 0 , maka t
t b
.
bu ..........................................(2)
Dari (1) dan (2) maka menurut menurut definisi inf bS = bu = b sup S Jadi inf bS = bu = b sup S .
sup bS = b inf S Bukti :
S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai infimum. Misalkan v inf S , maka v adalah batas bawah S . Jadi v s, s S . b 0 dan v s , maka bs bv, s S . Jadi bv batas atas bS ...........................................(1) Misalkan t sebarang batas atas bS , adit : bv t .
t sebarang batas atas bS , berarti bs t , s S . b 0 dan bs t , maka s Jadi
t b
t b
, s S .
batas bawah S .
v inf S dan
t b
batas bawah S , maka menurut definisi
t b
v.
Karena b 0 , maka bv t ..........................................(2) Dari (1) dan (2) maka menurut menurut definisi sup bS = bv = b inf S . Jadi sup bS = bv = b inf S .
6. Misalkan A , B , A, B R dan A, B terbatas di R . Misalkan A B : a b : a A,b B . Buktikan : a.
Sup A B sup A + sup B
b. Inf A B inf A + inf B Bukti :
A, B terbatas di R , berarti A dan B mempunyai batas atas dan batas bawah. A dan B mempunyai batas atas dan batas bawah, berarti A dan B mempunyai suprimum dan infimum. a.
sup A , berarti u batas atas A . Jadi a u, a A .......................................(1) Misalkan v sup B , berarti v batas atas B . Jadi b v, b B .......................................(2) Dari (1) dan (2) diperoleh a b u v , a A, b B . Jadi u v adalah batas atas A B ......................................................................(*) Misalkan t adalah sebarang batas atas A B . Adit : u v t . t adalah sebarang batas atas A B , berarti a b t , a A, b B . a b t ekuivalen dengan a t b, a A Jadi t b batas atas A . u sup A dan t b batas atas A , maka menurut definisi u t b . u t b ekuivalen dengan b t u, b B . Misalkan u
Jadi t u batas atas B .
v sup B dan t u batas atas B , maka menurut definisi v t u .
v t u ekuivalen dengan u v t . Jadi u v t untuk t adalah sebarang batas atas A B ...........................................(**) Dari (*) dan (**), maka menurut definisi suprimum, suprimum, Sup A B u v = sup A + sup B Jadi Sup A B sup A + sup B . b. Misalkan u ' inf A , berarti u ' batas bawah A . Jadi a u ', a A .......................................(1) Misalkan v ' inf B , berarti v ' batas bawah B . Jadi b v ', b B .......................................(2) Dari (1) dan (2) diperoleh a b u ' v ', a A, b B . Jadi u ' v ' adalah batas bawah A B ......................................................................(*) Misalkan t ' adalah sebarang batas bawah A B . Adit : u ' v ' t ' .
t ' adalah sebarang batas bawah A B , berarti a b t ',a A, b B . a b t ' ekuivalen dengan a t ' b, a A Jadi t ' b batas bawah A .
u ' inf A dan t ' b batas bawah A , maka menurut definisi u ' t ' b .
u ' t ' b ekuivalen dengan b t ' u ', b B . Jadi t ' u ' batas bawah B .
v ' inf B dan t ' u ' batas bawah B , maka menurut definisi v ' t ' u ' . v ' t ' u ' ekuivalen dengan u ' v ' t ' . Jadi u ' v ' t ' untuk t ' adalah sebarang batas bawah A B ...........................................(**) Dari (*) dan (**), maka menurut definisi infimum, infimum, inf A B u ' v ' = inf A + inf B Jadi inf A B inf A + inf B .
1. Tunjukkan sup 1
1 n
: n N 1
Jawab :
1 1 : n N , maka akan ditunjukkan sup 1 : n N 1 sup S 1 n n 1 1 1 * Karena (1) , kita misalkan S : n N . n n n * Berdasarkan Corollary 2.4.4. inf S 0 .
Misalkan S
1 0 , maka menurut soal 4.b, sup S = 1 inf S * 1 .0 0 0.
Jadi sup S
Berdasarkan contoh 2.4.1, sup 1
2.
1 n
: n N 1 sup S 1 0 1
1 sup 1 : n N 1 n 1 1 Jika S : : n, m N , tentukan inf S dan sup S n m
!
Jawab :
1 1 1 : n N , Sm : m N dan Sm* : m N n m m * Berdasarkan Corollary 2.4.4, maka inf Sn 0 dan inf S m 0 Misalkan S n
Berdasarkan soal 2.3 no. 3, maka sup S n Berdasarkan soal no. 4, Inf Sm Jadi inf Sm
S m* 1 .
(1). sup S m* (1).1 1
1 .
Berdasarkan soal no. 4, sup Sm Jadi sup Sm
( 1). inf S m* (1).0 0
0.
Berdasarkan soal no. 6, maka inf S = inf S n + inf Sm
0 (1) 1 .
1 1 : n, m N 1 n m
Jadi inf S :
Berdasarkan soal no. 6, maka sup S = sup S n + sup Sm
1 0 1 .
1 1 : n, m N 1 n m
Jadi sup S :
3. Misalkan S
S,
dan S R . Buktikan jika u R memenuhi kondisi : (i) u
n N (ii) u
1 n
1
n
bukan batas atas
n N , maka u sup S .
batas atas S ,
Bukti :
s S, u s . Akibatnya s u 0 .
Andaikan u bukan batas atas S , berarti Berdasarkan Corollary 2.4.5, maka
1 ns u
s u ekuivalen dengan u
Jadi u
1 ns u
untuk suatu ns
Kontradiksi dengan u
1 n
u
ns u N , 1
1 ns u
s u .
s , untuk suatu s S .
ns u
N , bukan batas atas dari S .
batas atas S ,
n N
Jadi pengandaian u bukan batas atas S salah. Jadi u batas atas S .
Misalkan
0 , maka menurut
Corollary 2.4.5,
n N ,
1
.
n
Karena
1 0
dan u R , maka u
1 n
u untuk suatu n
N .
Jadi
S u
1 n
S
sehingga u
S u
1 n
S .
Maka menurut lemma 2.3.4. u 5. Misalkan X dan f : X
sup S .
R memiliki range yang terbatas di R . Jika a R , buktikan :
a.
supa f x : x X a sup f x : x X
b.
inf a f x : x X a inf f x : x X
Bukti :
f x : x X terbatas di R maka f x : x X mempunyai batas atas , berarti B R sehingga f x B, x X .
f x : x X terbatas di R maka f x : x X mempunyai batas bawah , berarti C R sehingga f x C, x X . Karena f x : x X mempunyai batas atas dan batas bawah, maka m enurut sifat
kelengkapan , R f x : x X mempunyai suprimum dan infimum.
a.
Misalkan B sup f x : x X , berarti B batas atas f x .
Jadi f x B, x X . Karena a R dan f x B maka a f
x a B, x X .
Jadi a B batas atas a f x ............................................(i) Misalkan B ' adalah sebarang batas atas a f x , Adit : a B B ' .
B ' adalah batas atas a f x , berarti a f x B ', x X . Karena a R dan a f x B ' maka f x B ' a, x X . Jadi B ' a adalah batas atas f x .
B sup f x : x X dan B ' a adalah batas atas f x maka menurut definisi B B ' a yang ekuivalen dengan a B B ' . Jadi a B B ' untuk B ' sebarang batas atas a f x ............(ii) Berdasarkan (i) dan (ii) maka sup a f x : x X
a B a sup f x : x X . Jadi sup a f x : x X a sup f x : x X . Misalkan C inf f x : x X , berarti B batas bawah f x .
b.
Jadi f x C, x X . Karena a R dan f x C maka a f
x a C, x X .
Jadi a C batas bawah a f x ............................................(i) Misalkan C ' adalah sebarang batas bawah a f x , Adit : C ' a C .
C ' adalah batas bawah a f x , berarti a f x C ',x X . Karena a R dan a f x C ' maka f x C ' a, x X . Jadi C ' a adalah batas bawah f x .
C inf f x : x X dan C ' a adalah batas bawah f x maka menurut definisi C ' a C yang ekuivalen dengan C ' a C . Jadi C ' a C untuk C ' sebarang batas bawah a f x ............(ii) Berdasarkan (i) dan (ii) maka inf a f x : x X
a C a inf f x : x X . Jadi inf a f x : x X a inf f x : x X .
7. Misalkan X , f dan g fungsi yang didefinisikan di X yang terbatas di R . Buktikan : a.
sup f x g x : x X sup f x : x X supg x : x X
b.
inf f x : x X inf g x : x X inf f x g x : x X
Bukti :
8.
