Jawaban Pengantar Analisi Real 1

Teorema 1.1.2 a. b. c.

 1(a)  a   a   a  1 1  1 Bukti a. Akan di tunjukkan

a0  0

Teorema 111

a  1  ( 1)   0 ( a  1)  ( a  ( 1))  0

( D)

a  ( 1)(a )  0

( A4)

 sehingga  sehingg a terbukti untuk (1)(a )  a b. Bukti :

ambil ( a )  R, , berarti terdapat  ( a ), sedemik ianhingga :

( a )  ( ( a ))  0 ( a )  ( ( a ))  ( a  a ) a  ( a )  ( ( a ))  ( a  a )  a

 (a )  a terbukti c.

Bukti :

(1)  0  0

Teorema 111

(1)  1  (1)   0 ((1)  1)  ((1)  (1))  0

 1  (1)(1)  0 1  (1)  (1)(1)  0  1  sehingga terbuktiuntuk (1)(1)  1 Latihan 1.1 1.

 jika  jik a a, b  R, tunjukkanbahwa: (a  b)  ( a )  (b) ( a )(b)  ab

a. b.

a   a      b  b  

c.

Bukti : a.

Dengan menggunakan teorema yang sebelumnya sudah di buktikan maka didapat :  (a  b)  1(a  b)

 (1)a  (1)b  (a)  (b) terbukti b. Pembuktian sama dengan teorema 1.1.2 c

( a )  0  0

Teorema 111

(a)  b  (b)   0 ((a)  b)  (( a)  (b))  0

 ab  (a)(b)  0 ab  (ab)  ( a)(b)  0  ab  sehingga terbuktiuntuk (a)(b)  ab

2. Selesaikan persamaan berikut :

2 x  5  8

a.

b.  x 2  2 x 3. Jika a  0 , b  0 tunjukkanbahwa:

 1  1      ab  a  b  1

Bukti :

 1  1      ab  a  b   1  1   1  1      1    a  b   a  b 

Misalkan asumsikan

1

 1  1     ab  a  b  1   1   1    a  b  ab   a   b   ab

 

1

1

.1.1

ab 1

ab

terbukti

4. Buktikan bahwa tidak ada bilangan Rasional t sedemikian sehingga t2 = 3 Bukti : Misalkan

3 adalah bilangan rasional sehingga dapt di tulis

3   p

q

dengan p, q  Z , dan

q  0 dan FPB ( p , q ) = 1(p dan q saling prima ). Sehingga di peroleh : 3

2

 p 2 q

2

 3q 2  p 2 2

3p adalah bilangan kelipatan 3, yang berakibat p  juga kelipatan 3, dan p juga kelipatan 3.

misalkan 3 adalah bilangan rasional  sehingga dapat di tulis 3 

 p q

dengan p, q  Z ,

dan q  0, dan FPB ( p, q)  1 ( p dan q saling  prima). sehingga di  peroleh : 3

 p 2 q

2

 3q 2   p 2

3q 2 adalah bilangan kelipa tan 3, berakibat  p 2  juga kelipa tan 3,