EJERCICIOS RESUELTOS
ANALISIS REAL
Carmen María Gonzales
EJERCICIOS CAPITULO 1 Sección 1.1 Ejercicio Nº 1
Sea S= 𝟏 −
(−𝟏)𝒏 𝒏
/𝒏 𝜺 𝑵 . Determinar sup S e Inf S.
Desarrollo. Para determinar el Sup S e Inf S Probaremos cuando n es par y cuando n es impar, para esto se hará una tabla de valores. 1.- n es par 1−
2.- n es impar
(−1)𝑛
n par 2 4 6 8 10 . . . . +∞
1−
𝑛
Sn 1 3/4 5/6 7/8 9/10 . . . .
n impar 3 5 7 9 11 . . . . +∞
(−1)𝑛 𝑛
Sn 4/3 6/5 8/7 10/9 12/11 . . . .
Viendo la relación de la tabla anterior se puede determinar que el Sup S= 2 y el Inf S=1/2
Ejercicio Nº 2 Demostrar que el conjunto S = 𝒙 ∈ 𝑹 / 𝒙 ≥ 𝟎 tiene cotas inferiores pero no superiores. El conjunto S= 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≥ 0 tiene cotas inferiores y el conjunto de las cotas inferiores es C= 𝑘 ∈ 𝑅/ 𝑘 ≤ 0 -∞
0
+∞
No está acotada superiormente por tanto no existe un 𝜇 ∈ 𝑅/ 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜇 ∀𝑥 ∈ 𝑆
Ejercicio Nº 3 Sea𝑺 ⊆ 𝑹 𝒚 𝑺*= Sup de S suponiendo que 𝑺∗ es y que 𝝁 ∉ S demostrar que el supremo del conjunto S ∪ 𝝁 es el mayor de los dos números 𝑺 ∗y 𝝁. Si 𝑆 ∗∈ 𝑆 ………………………………. Por hipótesis Y 𝑆 ∗ = Sup S ………………………….. Por hipótesis Sea 𝜇 ∉ 𝑆 → 𝜇 > 𝑆 ^ 𝑆 ∗ ∈ 𝑆 → 𝜇 > 𝑆 ∗ Entonces 0⊆ 𝑆 ∗ < 𝜇 De esta forma demostramos que S ∪ 𝜇 tiene un Sup el cual sería Sup S ∪ 𝜇 =𝜇 ya que 𝜇 > 𝑆∗
Ejercicio Nº 4 Sea 𝑺 ⊆ 𝑹 𝒚 𝝁 ∈ 𝑺 es cota superior de S. Demostrar que 𝜇 = 𝑆𝑢𝑝𝑆 0 𝑆 ∗𝜇 Supongamos que 𝜇 ∈ 𝑆, como hipótesis 𝜇 es la cota superior de S, implica que 𝜇 > 𝑘 ∀𝑘 ∈ 𝑆, lo cual contradice la hipótesis ya que 𝜇 es la cota superiorde S. Por tanto: Si 𝜇 ∈ 𝑆 → 𝜇 = 𝑆𝑢𝑝 𝑆
Ejercicio Nº 5 Sea 𝑺 ⊆ 𝑹, 𝑺 ≠ ∅ Demostrar que 𝝁 ∈ 𝑺 es la cota superior de S ↔ 𝒕 ∈ 𝑹, 𝒕 > 𝜇 → 𝑡 ∉ 𝑆 i) Si 𝜇 es cota superior de S……………………………….por hipótesis Si 𝜇 es cota superior de S→ 𝑡 ∈ 𝑅, 𝑡 > 𝜇 ^ 𝑡 ∉ 𝑆 ….por definición Supongamos que 𝑡 ∈ 𝑆………………………………….por hipótesis𝜇 es cota superior. Implica que 𝑡 ⊆ 𝜇 y esto contradice la hipótesis que 𝑡 > 𝜇
ii)
𝑡 ∈ 𝑅, 𝑡 > 𝜇 → 𝑡 ∉ 𝑆 → 𝜇 es la cota superior de S 0
𝜇𝑡
Ejercicio Nº 9 Sea 𝑺 ⊆ 𝑹 acotado, S0 ≤ 𝑺 , S0≠ ∅. Demostrar que: inf S ≤ inf S0≤ Sup S0≤ Sup S S0 0
S El conjunto S tiene cotas inferiores y superiores tales que: C= 𝐾 ∈ 𝑅/ 𝐾 ≤ 0 𝑦 𝑇 = 𝑚 ∈ 𝑅/𝑚 ≥ 0 El conjunto S0∈ 𝑆 por lo tanto el conjunto de las cotas inferiores seria N= 𝑦 ∈ 𝑅 /𝑦 ≤ 0 ^ 𝑦 ≥ inf 𝑆 El conjunto de las cotas superiores seria L= 𝑎 ∈ 𝑅 / 𝑎 ≥ 0 ^ 𝑎 ≤ 0 𝑆𝑢𝑝 𝑆 Si 𝑦 = inf 𝑆0 ^ 𝑎 = 𝑆𝑢𝑝 𝑆0 → 𝑦 ≥ inf ^ 𝑎 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆 → inf 𝑆0 ≥ inf 𝑆 ^ 𝑆𝑢𝑝 𝑆0 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆 → inf 𝑆 ≤ inf 𝑆0 ^𝑆𝑢𝑝 𝑆0 ≤ 𝑆𝑢𝑝 ≤ 𝑆𝑢𝑝𝑆 → inf 𝑆 ≤ inf 𝑆0 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆0 ≤ 𝑆𝑢𝑝 𝑆
Ejercicio Nº 10 Sea 𝑺 ⊆ 𝑹, 𝑺 ≠ ∅, S es acotado. Para un dado 𝝁 ∈ 𝑹 considérese el conjunto 𝝁𝑺 = 𝝁𝑺 / 𝑺 ∈ 𝑺 a) Demostrar que si 𝑎 > 0 → inf 𝑎𝑆 = 𝑎 inf 𝑆, 𝑆𝑢𝑝 𝑎𝑆 = 𝑎 𝑆𝑢𝑝 𝑆 =/ 𝑎 > 0 → inf 𝑎𝑠 = 𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑆 Por el teorema 2, el infimo del conjunto a S existe probando que es 𝑎 inf 𝑆 Llamamos 𝜇 = inf 𝑆 𝜇 ≤ 𝑆, ∀ 𝑆 ∈ 𝑆………………………………………definición, teorema 2 𝑎𝜇 ≤ 𝑎𝑆……………………………………………….por 𝑎, 𝑎 > 0 𝑎𝜇 es cota inferior del conjunto 𝑎𝑆 Por tanto: 𝑎𝜇 ≤ inf 𝑎 𝑆 Probemos ahora que 𝑎𝜇 es la mayor de las cotas de 𝑎𝑆, si V es cualquier cota inferior del 𝑉 conjunto 𝑎 𝑆 → 𝑉 ≤ 𝑎𝑆 𝑎 = 𝑆, 𝑉 𝑎
≤ inf 𝑆 … … … … … . . … .. …………………………….sustitución 𝑉
Puesto que inf S es la mayor de las cotas inferiores de S 𝑎 ≤ inf 𝑆
𝑉
≤𝜇 𝑉 ≤ 𝑎𝜇 despejando 𝑎 > 0, 𝑎𝜇 es la cota mayor de las cotas inferiores del conjunto 𝑎𝑆 𝑖𝑛𝑓 = 𝑎𝑆 = 𝑎𝜇 = 𝑎 inf 𝑆. 𝑎
Sección 1.2 Ejercicio Nº 2 𝟏 Si 𝒚 > 0 probar que existen 𝒏 ∈ 𝑵 tal que 𝟐𝒏 ≥ 𝒚 Por reducción a lo absurdo 1 ≥ 𝑦 2𝑛 2−𝑛 ≥ 𝑦𝑥 = 𝑏 𝑦 𝑙𝑜𝑔2 2𝑛 ≥ 𝑦𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 𝑦 = 𝑥 −𝑛 ≥ 𝑙𝑜𝑔2 𝑦𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 (−1)(𝑛) ≥ 𝑙𝑜𝑔2 𝑦(−1) 𝑛 ≤ −𝑙𝑜𝑔2 𝑦 Si y > 0→ −𝑙𝑜𝑔2 𝑦 ∈ 𝑅 pero 𝑛 ∈ 𝑁 lo cual es una contradicción ya que un número natural es mayor que cualquier número real negativo. Ejercicio Nº3 Si x es un numero racional diferente de cero y y es un numero irracional. Demostrar entonces que x+t, x-y, xy, x/y, y/x son todos irracionales 𝑎
Sea 𝑥 = 𝑏 ^ 𝑦 = 2 donde 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑎 𝑎+𝑏 2 + 2 = 𝑏 𝑏 𝑎 𝑎−𝑏 2 →𝑥−𝑦 = − 2= 𝑏 𝑏 𝑎 → 𝑥𝑦 = 2 𝑏 𝑥 𝑎/𝑏 𝑎 𝑎 1 → = = = ( ) 𝑦 2 𝑏 2 𝑏 2 →𝑥+𝑦 =
→
𝑥 = 𝑦
2 𝑎 𝑏
=
𝑏 2 𝑏 = 2 𝑎 𝑎
Ejercicio Nº4 ¿Cuál es la suma o el producto de dos números irracionales, un numero irracional? Sea 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 2 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁 𝑦 =𝑐+𝑑 2 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑁
𝑥 ∙ 𝑦 = (𝑎 + 𝑏 2)(𝑐 + 𝑑 2) = (𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 2 + 𝑏𝑐 2 + 2𝑏𝑑) = (𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 2 𝑎´
+
b´ 2 𝑥+𝑦 = 𝑎+𝑏 2 + 𝑐+𝑑 2 = 𝑎 + 𝑐 + (𝑏 + 𝑑) 2
𝑎´ + b´ 2 ∴ la suma y el producto de dos números irracionales da un numero irracional. Ejercicio Nº5 Un entero n se llama par si n=2m para cierto entero m y se llama impar si n=2m+1 para cierto entero m Demostrar que: a) Un entero impar no puede ser a la vez par e impar Por contradicción Supongamos que un entero puede ser par e impar, implica n=2m para algún 𝑚 ∈ 𝑍, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛 = 2𝑚 + 1, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 También es impar por lo que se tiene 2𝑚 = 2𝑚 + 1 lo que implica que 0=1 ∴es una contradicción.
c) La suma y el producto de dos enteros pares es par ¿Qué se puede decir acerca de la suma o del producto de dos enteros impares? Demostración: la suma de dos enteros pares es par. i) Sean 𝑥 𝑦 𝑧 dos enteros pares…………………………………..hipótesis x es par → 𝑥 = 2𝑎……………………………………………. 𝑎 ∈ 𝑍 z es par → 𝑧 = 2𝑏……………………………………………. 𝑏 ∈ 𝑍. 𝑥 = 2𝑎 ^ 𝑧 = 2𝑏𝑎 → 𝑥 + 𝑦 = 2𝑎 + 2𝑏 = 2(𝑎 + 𝑏) ∴ 𝑥 + 𝑧 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∃(𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑧 ii) Sean 𝑥 𝑦 𝑧 dos enteros pares…………………………………..hipótesis Sean 𝑥 𝑦 𝑧 dos enteros pares x es par → 𝑧 = 20…………………………………………….b ∈ 𝑧 𝑥 = 2𝑎 ^ 𝑧 = 2𝑏 → 𝑥 ∙ 𝑧 = 2𝑎 ∙ 2𝑏 = 2(2𝑎𝑏) → 𝑥 ∙ 𝑦 es par ya que∃(2𝑎𝑏) ∈ 𝑍 Demostrar la suma de dos enteros impares es impar Sea x y z dos enteros impares x es impar → 𝑥 = 2𝑎 + 1 … … … … … … . 𝑎 ∈ 𝑧 z es impar → 𝑧 = 2𝑏 + 1 … … … … … … . . 𝑏 ∈ 𝑧 𝑥 = 2𝑎 + 1 ^ 𝑧 = 2𝑏 + 1 → 𝑥 + 𝑧 = 2𝑎 + 1 + (2𝑏 + 1) =2(a+b)+2 =2(y)+2 y=(a+b) ∈ 𝑧 ∴ 𝑥 + 𝑧 no es un número impar ya que lo forma de un número impar es h=2m+1
Demostrar: el producto de dos enteros impares es impar Sea a ^ b dos enteros impares a es impar → 𝑎 = 2𝑚 + 1 … … … . . 𝑚 ∈ 𝑧 𝑏 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 → 𝑏 = 2𝑛 + 1 … … . … 𝑛 ∈ 𝑧 𝑎 = 2𝑚 + 1 ^ 𝑏 = 2𝑛 + 1 → 𝑎 ∗ 𝑏 = (2𝑚 + 1)(2𝑛 + 1) = 4𝑚𝑛 + 2𝑚 + 2𝑛 + 1 = 2 2𝑚𝑛 + 𝑚 + 𝑛 + 1 → 𝑎 ∗ 𝑏 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∃(2𝑚𝑛 + 𝑛 + 𝑚) ∈ 𝑍 d) si 𝑛2 es par, también lo es n sea n un entero par 𝑛2 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 → 𝑛2 = 2𝑚 … … … … . 𝑚 ∈ 𝑧 → 𝑛2 = 2𝑚 2 … . . … 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 2 2 𝑛 = 4𝑚 …………algebra 𝑛2 = 2 𝑚2 … … … … . 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 Sea 𝑛2 un entero par 𝑛2 es par → 𝑛2 = (2𝑚)2 … … … … … … 𝑚 ∈ 𝑧 suponer n=2m+1 2
2
(2𝑚)2 n→ 2𝑚 + 1 → 𝑛2 = (2𝑚 + 1) n =2m ………………….simp. 𝑛2 = 4𝑚2 + 4𝑚 + 1 ∴ 𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 ∃ 𝑚 ∈ 𝑍𝑛2 = 2 2𝑚2 + 2𝑚 + 1 𝑛2 = 2𝑘 + 1 lo cual contradice la e) Si𝑎2 = 2𝑏 2 , donde a y b son enteros, entonces a y b son ambos pares Demostración: 𝑎2 = 2𝑏 2 → 𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 → 𝑎 = 2𝑚 … … … … … … 𝑚 ∈ 𝑍 𝑎 = 2𝑚 ^ 𝑎2 = 2𝑏 2 → 𝑎2 = 2𝑏 2 → (2𝑚)2 = 2𝑏 2 → 4𝑚2 = 2𝑏 2 4𝑚2 → = 𝑏2 2 → 2𝑚2 = 𝑏 2 2 → 𝑏 = 2𝑚2 → 𝑏 = 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ∴ 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 →
𝑛2 =
𝑎
hipótesis
f) Todo número racional puede expresarse de la forma 𝑏 donde a y b son elementos uno de los cuales por lo menos es impar. Supongamos que a y b son pares a=2n y b=2m ∀ 𝑛, 𝑚 ∈ 𝑍 𝑎 𝑎 2𝑛 → → = 𝑐𝑜𝑚𝑜 ∃𝑚, 𝑚 = 0, 0∈𝑧 0 = 2(0) 𝑏 𝑏 2𝑚 2𝑛 2𝑛 = 2(0) 0 → 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 0 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
𝑎 =𝑏≠0 𝑏 ∴ 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟. EJERCICIO Nº 6 Modificar el razonamiento empleado en la demostración del teorema 7 para demostrar los siguientes enunciados a) Existe un número real positivo y tal que 𝑦 2 = 3 Si tres números reales cualesquiera 𝑦 2 , 𝑥, 3/𝑥 > 0 satisface que 𝑥 3≤ 𝑦 2 ≤ 3 + 𝑛 ∀𝑛 ∈ 𝑛 ∈ 𝑛𝑘 Demostración: a) z 0 … … … . . … . . 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑠𝑜 𝑎 ∃𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ / 𝑛(𝑦 2 − 3) > 𝑦, 𝑦 > 0, 𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 → 𝑦2 − 3 > 𝑛 𝑦 → 𝑦 2 > 3 + 𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑏 EJERCICIO Nº7 Demostrar la densidad del conjunto Q en el caso en que x≤ 𝟎 Si x<0, como x𝑥−𝑦 →𝑦>𝑥 →𝑦−𝑥 >0 Propiedad arquimidiana 1 1 ∃𝑛 ∈ 𝑁 ∗ / < 𝑦 − 𝑥 → <𝑛 𝑛 𝑦−𝑥 1 < 𝑛𝑦 − 𝑛𝑥 → 𝑛𝑥 + 1 < 𝑛𝑦 Colonario al teorema 6, inciso(c) para nx, nx>0 ∃𝑚 ∈ 𝑁 ∗ / 𝑚 − 1 ≤ 𝑛𝑥 < 𝑚 m≤ 𝑛𝑥 + 1 m≤ 𝑛𝑥 + 1 < 𝑛𝑦 ∃𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ / 𝑛𝑥 < 𝑚 < 𝑛𝑦 𝑚 →𝑥< <𝑦 𝑛
∃𝑟 =
𝑚 𝑛
/ 𝑥 < 𝑟 < 𝑦 , para x,y ∈ 𝑅
Sección 1.3 EJERCCIO Nº1 Escribir por comprensión los conjuntos dados y representarlos geométricamente en la recta real. a) V0.5(5) = 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 − 5 < 0.5 = 𝑥 ∈ 𝑅 / −0.5 < 𝑥 − 5 < 0.5 = 𝑥 ∈ 𝑅 / 5 − 0.5 < 𝑥 < 5 + 0.5 = 𝑥 ∈ 𝑅 / 4.5 < 𝑥 < 5.5 = 4.5, 5.5
b) V0.25(-2) = 𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 + 2 < 0.25 = 𝑥 ∈ 𝑅 / −0.25 < 𝑥 + 2 < 0.25 = 𝑥 ∈ 𝑅 / −0.25 − 2 < 0.25 − 2 = 𝑥 ∈ 𝑅 / −2.25 < −1.75 = −2.25, −1.75
c) V2∈ (a) = 𝑥 ∈𝑅/ 𝑥−𝑎 <2∈ = 𝑥 ∈ 𝑅 / −2 ∈< 𝑥 − 𝑎 < 2 ∈ = 𝑥 ∈ 𝑅 / −2 ∈ +𝑎 < 𝑥 < 2 ∈ +𝑎 = −2 ∈ +𝑎, 𝑎 + 2 ∈ -2∈ +𝑎 x a +2∈ EJERCICIO Nº5 Sean 𝑨 ⊂ 𝑹 𝒚 𝑩 ⊂ 𝑹 demostrar: a) 𝐴 ⊂ 𝐵 → º𝐴 ∘⊂ º𝐵 𝑃 ∈∘ 𝐴 → ∃𝐼𝑝Ip abierto/ Ip CA……… def punto inferior
→ 𝐼𝑝 𝐶𝐵 … … … … … … … … … … … … … … … . 𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝐴 ⊂ 𝐵 → ∃ 𝐼𝑝 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 / 𝐼𝑝 𝐶𝐵. . ......................def .punto interior → 𝑃 ∈ º𝐵 … … … … … … … … … … … … … … … def. 𝑑𝑒 º𝐵 𝑃 ∈ º𝐴 → 𝑃 ∈ º𝐵 ºA⊂ºB…………………………………………….def de inclusión. b) ºA=ºA i) ººA⊂ºA ii) ºA⊂ººA Demostración: i) ººA⊂ºA 𝑃 ∈ººA → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 , 𝐼𝑝 ⊂ºA………………..Punto interior. → 𝑃 ∈ºA ya que Ip ⊂ºA →ººA⊂ºA………………………………………………….def de inclusión ii) ºA⊂ººA 𝑃 ∈ºA → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 , 𝐼𝑝 ⊂ºA………………..Punto interior. → 𝑃 ∈ººA ya que Ip ⊂ººA →ºA⊂ººA……………………………………………….def de inclusión ∴ Por paso i, ii, ººA=ºA c) 𝐴 ∩ 𝐵 =ºA∩ºB i)
𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ºA∩ºB
𝑃 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ⊂ºA∩ºB ……….. Punto inferior → 𝑃 ∈ºA ^ P ∈ºB ya que Ip ⊂ºA ∩ºB → 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ºA∩ºB…………………………………….def de inclusión ii) ºA∩ºB ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵 P∈ ºA∩ºB → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵 ……….. Punto inferior → 𝑝 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ya que Ip ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵 → ºA∩ºB ⊂ º𝐴 ∩ º𝐵 ……………………….por def i,ii 𝐴 ∩ 𝐵=ºA∩ºB d) ºA∪ºB ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵 𝑃 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 → ∃ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ⊂ºA∪ºB ……….. Punto inferior → 𝐼𝑝 ⊂ºA∪ºB…………………………………………….Hipótesis. → ∃ 𝐼𝑝, 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ⊂ºA∪ºB ………………………..def punto int. → 𝑃 ∈ ºA ∪ ºB…………………………………………..def. unión →ºA∪ºB …………...……………………………………..def. unión 𝐴 ∪ 𝐵 ⊂ºA∪ºB…………………………………………def. Inclusión
e) 𝐴 − 𝐴 ⊂ 𝐴´ 𝐷𝑒𝑓. de 𝐴´ acumulación 𝑃 ∈ 𝑅, 𝑃 ∈ 𝐴 ↔ (∀ 𝐼𝑝, 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 − 𝑃 ∩ 𝐴 ≠ ∅) A-B= 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ^ 𝑥 ∉ 𝐵 Demostración: Sea P ∈ 𝐴 − 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐴 ∩ 𝑃 ∉ 𝐴………………def. conjuntos → ∀ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ∈ 𝐴 ≠ 0 ∩ 𝑃 ∉ 𝐴 … … … . . def. 𝑑𝑒 𝐴) → ∀ 𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 → 𝐼𝑝 − 𝑃 ∩ 𝐴 ≠ 0 Ya que P ∉A → 𝑃 ∈ 𝐴´………………………………………………….def. de 𝐴´ P ∈ 𝐴 − 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐴´………………………………..S.H. 𝐴 − 𝐴 ⊂ 𝐴´……………………………………………Def. de inclusión i) A⊂B→ 𝐴 ⊂ 𝐵…………..……………………P∈ 𝐴 → ∃𝐼𝑝, 𝐼𝑝 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑝 ∩ 𝐴 ≠ ∅ P ∈ 𝐼𝑝 ^ 𝑃 ∈ 𝐴………….……………………def. Intersección. P∈ 𝐼𝑝^ 𝑥 ∈ 𝐵…………………….................Hipótesis P∈ 𝐼𝑝 ∩ B ……………………………………Intersección 𝑃 ∈ 𝐵 ………………………………………….def. Puntos adherentes 𝐴 ⊂ 𝐵…………………………………………..def. Inclusión. j) 𝐴 = 𝐴 𝐴⊂𝐴 i) 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃ 𝐺𝑥, 𝐺𝑥 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 Gx ∩ 𝐴 ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝐴 ya que 𝐺𝑥 ∩ 𝐴 ≠ ∅ →𝐴=𝐴 ……………………………..def. de inclusión ii) 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃ 𝐺𝑥, 𝐺𝑥 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 → 𝐺𝑥 ∩ 𝐴 ≠ ∅ → 𝑥 ∈ 𝐴 ya que 𝐺𝑥 ∩ 𝐴 ≠ ∅ →𝐴 ⊂𝐴 ……………………………..def. de inclusión ∴ 𝑝𝑜𝑟 𝑖, 𝑒 𝑖𝑖 𝐴 = 𝐴
EJERCICIO Nº7
Si A=
1 𝑛
/𝑛 𝜀 𝑁 ∗ Entonces Determinar Fr A y Ext A.
Desarrollo 1.- A=
1 𝑛
.............................................................................................Por
Hipótesis 2.- A= 1,1/2, 1/3, … ......................................................................... Sustitución de valores en n 3.- Fr A= A........................................................................................... Definición de Punto Frontera y paso 2 4.- Ext A= ] − ∞, 0 𝑈 ··· 𝑈 1/3,1/2 𝑈 1 + ∞[....................................Definicion de Punto exterior y paso 2 y 3
SECCIÓN 1.4 EJERCICIO 1 Desarrollo a) Compruebe que (𝑮𝒏 )n𝝐𝑵∗ es una cubierta de A=]0,1[, donde 𝑮𝒏 =
𝟏
,
𝟏
𝒏+𝟐 𝒏
.
1.- Sea (𝐺𝑛 )n𝜖𝑁 ∗ ..........................................................................................Hipótesis 2.- 𝐺𝑛 =
1
,
1
𝑛+2 𝑛
..................................................................Dato
3.- 𝐺𝑛 =
1 3
,1 ,
1 1
,
4 2
,
1 1
,
5 3
,…,
1
,
1
𝑛+2 𝑛
…......................... Sustitución de Valores
4.- ∴ 𝐴 = 0,1 = 𝑈𝑛∞ = 𝐺𝑛............................................. Definición de Cubierta paso 1 y 3
b)Use a) para comprobar que A no es compacto 1.- Sea 𝐺 ∗ =
𝑎1 , 𝑏1 , 𝑎2 , 𝑏2 , … , 𝑎𝑚 , 𝑏𝑚 ..............................Por parte a, dato
2.- si ∈= 𝑚𝑖𝑛 (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑚 )......................................................Por pasó 1 3.- ∈> 0...................................................................................... Por paso 2 4.- 𝑎1 , 𝑏1 , 𝑎2 , 𝑏2 𝑈 … 𝑈 𝑎𝑚 , 𝑏𝑚 ⊂] ∈ ,1[................................Unión de paso 1 y 2 5.- 0, ∈ 𝑦 ∈ ,1 Son disjuntos...................................................Definición de Unión (conjuntos disjuntos) 6.- 𝐺 ∗ no es un recubrimiento de A.............................................Definición de recubrimiento paso 4 y 5 7.- ∴ 𝐴 no es compacto.............................................................. .Definición de compacto y paso 6 c) ¿De qué otra manera se justifica que A no es compacto? c) Del hecho de que A no es cerrado y por el Teorema de Heine Borel.
EJERCICIO 2
Si 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 Son compactos de R, demostrar que 𝑛
𝐴𝑖 𝑖=1
es un compacto de R.
Dar un ejemplo que ilustre que la unión infinita no siempre es un compacto.
Desarrollo 1.- Sea 𝐴𝑖 = 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 compactos de R… … … … … … … … … … … … … … … ….Dato 2.- 𝐴𝑖 es Cerrado y Acotado ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛...........................................................Por definición de Compacto y paso 1 3.- ∃ ∈𝑖 / 𝐴𝑖 ⊂ 𝑉∈𝑖 (0)............................................................................................Definicion de Compacto 4.- Sea ∈= 𝑚𝑎𝑥 ∈𝑖 /𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ........................................................................Por paso 3 5.- 𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 ⊂ 𝑉∈ (0)...............................................................................................Definición de conjunto acotado 6.- 𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 es acotado........................................................................................... Por ser Acotado y paso 5 7.- 𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 es compacto.........................................................................................Teorema de Heine Borel
Ejemplo Sea 𝐴𝑛 = 𝑛, 𝑛 + 1 , 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ entonces
𝑛 𝑖=1 𝐴𝑖
= 1, +∞
1, +∞ No es acotado y por lo tanto no es compacto (Según el teorema de Heine Borel). EJERCICIO 3
Justificar si el conjunto A es o no compacto, si
A= [0,1]U{2}.
Desarrollo
1.- A= [0,1]U{2} ........................................................................................Hipótesis 2.- R-A= ] −∞,0 [ U ]1,2[U]2,+∞[.............................Definición de punto exterior y paso 1 3.- R-A es abierto...........................................................................Por definición y paso 2 4.- A es Cerrado.............................................................................. por paso 1 5.- A esta acotado por 𝑉𝜀 (0)........................................................... Definición de Vecindario 6.- A es Compacto......................................................................... Teorema de Heine Borel
EJERCICIO 4
La familia de intervalos 𝐺𝑛 =
1 2
,
𝑛 𝑛
es una cubierta de 0,1 . Demostrar sin hacer uso del
teorema de Heine-Borel que ninguna subfamilia finita de 𝐺𝑛 recubre el intervalo 0,1 .
Desarrollo 1.- Sea (𝐺𝑛 )n𝜖𝑁 ∗ . .....................................................................................................Dato 1 2
2.- 𝐺𝑛 = 3.- 𝐺=
,
𝑛 𝑛
1,2 ,
........................................................................................................Hipótesis 1
1 2
,1 , 2
, ,…, 3 3
1 2
,
𝑛 𝑛
, … .............................................................Sustitucion
de valores en paso 2 1 2
4.- si 𝐺 ∗ =
,
𝑛 𝑛
,
1
,
2
𝑛2 𝑛2
,…,
1
,
1
𝑛𝑘 𝑛𝑘
.............................................................Definicion de
𝐺 ∗ y paso 3 5.- 𝐺 ∗ es una subcoleccion finita de G.................................................................Por paso 4 6.- ∃/p=max 𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛𝑘 .............................................................................. Definición de Existencia 1
7.- 𝑝 ∉ 6
1
,
2
𝑛𝑖 𝑛𝑖
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘..................................................................... por paso 3,4 y
1
8.- 𝑝 ∈ 0,1 ....................................................................................................... Definición Cubierta de un conjunto 9.- ∴ ∃ subcoleccion finita de G que no recubre a 0,1 ...................................L.Q.Q.D De modo que tampoco es compacto. EJERCICIO Nº6 𝟏 𝟏 Dado el conjunto de intervalos abiertos G={]-(2-𝒏),(2-𝒏)[\n€N*} 1
1
Dado que G={]-(2-𝑛 ),(2-𝑛 ) entoces 1
1
G1=]-(2-1 ), (2-1 ) [ = ]-1,1 [ 1
1
3 3
1
1
5 5
G2 =]-(2-2 ), (2-2 ) [ = ]-2 ,2 [ G3 =]-(2-3 ), (2-3 ) [ = ]-3 ,3 [
K = ]-2,2 [ EJERCICIO Nº9 Demostrar que una familia arbitraria de conjuntos compactos en R es compacta sea AC R se dice que A es compacta si es cerrado y acotado [0,2] es compacta (2,4] no es compacta Sea Ui compacto^ Vj compacto cerrados y acotados → Ui Ώ Vj es compacto en R
EJERCICIOS CAPITULO II Sucesiones de números reales EJERCICIO Nº 1 Encontrar los diez primeros términos de la sucesión dada por el criterio indicado. 𝟐𝒎 a) (𝑺𝒎) = 𝟓𝒎−𝟑
𝑠1 =
2 1 2 = =1 5 1 −3 2
𝑠2 =
2 2 4 = 5 2 −3 7
𝑠3 =
2 3 6 1 = = 5 3 −3 12 2
𝑠4 =
2 4 8 = 5 4 −3 17
𝑠5 =
2 5 10 1 = = 5 5 −3 22 11
𝑠6 =
2 6 12 4 = = 5 6 −3 27 9
𝑠7 =
2 7 14 7 = = 5 7 −3 32 16
𝑠8 =
2 8 16 = 5 8 −3 37
𝑠9 =
2 9 18 3 = = 5 9 −3 43 7
2 10 20 = 5 10 − 3 47 𝑺𝒎 = 𝟏 + −𝟏 𝒎
𝑠10 = b)
c)
𝑠1 = 1 + −1
1
= 1 − 1 = 0𝑠6 = 1 −1
6
= 1+1 = 2
𝑠2 = 1 + −1
2
= 1 + 1 = 2𝑠7 = 1 −1
7
= 1−1 =0
𝑠3 = 1 + −1
3
= 1 − 1 = 0𝑠8 = 1 −1
8
= 1+1 =2
𝑠4 = 1 + −1
4
= 1 + 1 = 2𝑠9 = 1 −1
9
= 1−1 =0
𝑠5 = 1 + −1 5 = 1 − 1 = 0𝑠10 = 1 −1 10 = 1 + 1 = 2 𝑺𝒎 = 𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝅 𝒎 𝑠1 = 1 sin 𝜋(1) = 0.055𝑠6 = 6 + sin 𝜋(6) = 1.9385
𝑠2 = 2 sin 𝜋(2) = 0.219𝑠7 = 7 + sin 𝜋(7) = 2.16212 𝑠3 = 3 sin 𝜋(3) = 0.493𝑠8 = 8 + sin 𝜋(8) = 3.3997 𝑠4 = 4 sin 𝜋(4) = 0.219𝑠9 = 9 + sin 𝜋(9) = 4.2632 𝑠5 = 5 sin 𝜋(5) = 1.3537𝑠10 = 10 + sin 𝜋(10) = 5.2125
d)
𝑺𝒎 =
𝟐𝒎 +𝟏 𝒆𝒎
𝑆1 =
21 + 1 3 26 + 1 65 = 𝑆 = = 6 𝑒1 𝑒 𝑒6 𝑒6
𝑆2 =
22 + 1 5 27 + 1 129 = 𝑆 = = 7 7 2 2 7 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒
𝑆3 =
23 + 1 9 28 + 1 257 = 𝑆 = = 8 8 3 3 8 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒
24 + 1 17 29 + 1 513 𝑆4 = = 𝑆 = = 9 𝑒4 𝑒4 𝑒9 𝑒9 𝑆4 =
24 + 1 17 29 + 1 513 = 𝑆 = = 9 9 4 4 9 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒
25 + 1 33 210 + 1 1025 𝑆5 = = 5 𝑆10 = = 10 5 10 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒
e) 𝑺𝟏 = 𝟏;
𝑺𝟐 = 𝟐;
𝑺𝒎 + 𝟐 =
𝑺𝒎 +𝟏+𝑺𝒎 𝑺𝒎 +𝟏−𝒔𝒎
𝑚 = 1,
𝑆1 + 2 = 𝑆3 =
𝑆1 + 1 + 𝑆1 2 + 1 3 = = =3 𝑆1 + 1 − 𝑠1 2 − 1 1
𝑚 = 2,
𝑆2 + 2 = 𝑆4 =
𝑆2 + 1 + 𝑆2 3 + 2 5 = = =5 𝑆2 + 1 − 𝑠2 3 − 2 1
𝑚 = 3,
𝑆3 + 2 = 𝑆4 =
𝑆3 + 1 + 𝑆3 5 + 3 8 = = =4 𝑆3 + 1 − 𝑠3 5 − 3 2
𝑚 = 4,
𝑆4 + 2 = 𝑆6 =
𝑆4 + 1 + 𝑆4 4 + 5 9 = = = −9 𝑆4 + 1 − 𝑠4 4 − 5 −1
𝑚 = 5,
𝑆5 + 2 = 𝑆7 =
𝑆5 + 1 + 𝑆5 −9 + 4 −5 5 = = = 𝑆5 + 1 − 𝑠5 −9 − 4 −13 13
𝑚 = 6,
𝑆6 + 1 + 𝑆6 13 + (−4) −56 𝑆6 + 2 = 𝑆8 = = 5 = 𝑆6 + 1 − 𝑠6 61 (−9) 132
𝑚 = 7,
+( ) 𝑆7 + 1 + 𝑆7 423 𝑆7 + 2 = 𝑆9 = = 61 56 135 = 𝑆7 + 1 − 𝑠7 1033 − 61 − 13
𝑚 = 8,
𝑆8 + 1 + 𝑆8 1033 + (− 61 ) 𝑆8 + 2 = 𝑆8 = = 423 56 = −0.38 𝑆8 + 1 − 𝑠8 − (− ) 1033 61
5
−56
423
f) (𝑺𝒎 ) = ((𝟏 +
𝟏 𝒎 ) 𝒎
1
m=1→((1 + )1 = 2 1 1
3
2
2
1
4
64
3
3
27
m=2→((1 + )2 = ( )²= 94 m=3→((1 + )3 = ( )³= 1
5
4
4
625 256
m=4→((1 + )4 =( )4 = 1
6
5
5
m=5→((1 + )5 =( )4 = 𝟐
7776 3125
g) (𝑺𝒎 ) =(1 - 𝒎𝟐 ) m =1→(1 -
2 12
) = -1
m =2→(1 m =3→(1 -
2 32
2 22 2
7
9
9
)= 1- =
m =4→(1 -
2 42
1
1
2
2
)= 1- =
)= 1-
2 16
=
14 16
=
7 8
5
56
m =5→(1 -
h) ((𝑺𝒎 ) =
𝒏−𝟏 𝒏+𝟏
2 52
)= 1-
2 25
23 25
------------- No tiene solución
i)𝑺𝟏 =1 ; 𝑺𝒎+𝟏 = 3𝑺𝒎 + 1 m = 1→ 𝑆2 = 3𝑆1 + 1 = 3(1) + 1 =4 m = 2→ 𝑆3 = 3𝑆2 + 1 = 3(4) + 1 = 13
m =3 → 𝑆4 = 3𝑆3 + 1 = 3(13) + 1 = 40
m =4 → 𝑆5 = 3𝑆4 + 1 = 3(40) + 1 = 121
=
m =5 → 𝑆6 = 3𝑆5 + 1 = 3(121) + 1 = 364
j) 𝑺𝟏 =1 ; 𝑺𝟏 = 𝟐; 𝑺𝒎+𝟐 = 1+1+1
m= 1 → 𝑆3 =
1+1−1
2+1+2
m= 2 → 𝑆4 =
2+1−2
𝑺𝒎+𝟏 +𝑺𝒎 𝑺𝒎+𝟏 − 𝑺𝒎
=3
=5 3+1+3
m= 3 → 𝑆5 =
3+1−3 5+1+5
m = 4 → 𝑆6 =
5+1−5 7+1+7
m = 5 → 𝑆7 =
7+1−7
=7 = 11 = 15
k)𝑺𝟏 =3 ; 𝑺𝟐 = 𝟓; 𝑺𝒎+𝟐 = 𝑺𝒎 +𝑺𝒎+𝟏 m =1 → 𝑆3 = 7 m =2 → 𝑆4 = 5 + 6 =13 m =3 → 𝑆9 = 7 + 8 =15 m =4 → 𝑆13 = 23 m =5 → 𝑆7 = 40
EJERCICIO Nº3
De las sucesiones del punto anterior señale cuales de ellas corresponden a sucesiones de números racionales. R= a), f) y g)
EJERCICIO Nº3
Determine cuáles de las siguientes sucesiones son nulas.
a)
b)
c)
d)
𝟏
1
=lim𝑥→∞ 𝑛 2 = 𝐥im𝑥→∞
𝒏𝟐
𝑛2 𝑛 3 +2
1+𝑛 𝑛2
= lim𝑥→∞
𝑛 3 +2
𝑛 2 +1
1
= lim𝒙→∞ 𝒏𝟑
𝟏
= 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
𝟏+𝒏 𝒏𝟐
= 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
) = lim𝑛→∞ (
=
lim 𝑛 →∞
1
lim 1− lim 2 𝑛 →∞ 𝑛
𝑛 →∞
=
𝑛 𝑛2 𝑛2 1 + 𝑛2 𝑛2
1 𝑛
0 1−0
Es nula
EJERCICIO N 4
+
)
𝒏𝟑
𝒏𝟑 +𝟐
= lim𝑥→∞ 𝒏𝟑
𝟎 𝟏+𝟎
= 0 → 𝑁𝑢𝑙𝑜
𝒏
𝒏𝟐 𝒏𝟐 𝒏𝟐 𝒏𝟐
1
lim𝑛→∞ (
0
=lim𝑥→∞ = 𝑁𝑢𝑙𝑜 𝒏𝟐
𝑛2
𝑛 2 +1 1
1 𝑛2 𝑛2 𝑛2
=lim𝑥→∞
0 1
= 𝑁𝑢𝑙𝑜
Comparar que 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞ 𝑆𝑛 − 𝑆 < 𝜀 →
𝑛+1 2𝑛
𝒏+𝟏 𝟐𝒏
1
−2 <𝜀
1 2𝑛
<𝑛
𝟏 𝟐
Sea 𝜀 = 0.01
→ →
=
𝑛+1−𝑛 1 <𝜀 <𝑛 2𝑛 2 0.01
50
1 <𝑛 2𝜀 Los términos se encuentran en el entorno del centro 𝑦2 y radio 𝜀, excepto los primeros cincuenta. →
EJERCICIO 5 Demostrar que las siguientes sucesiones de números racionales son convergentes.
a)
2𝑛+1 3𝑛
=lim𝑥→∞
2𝑛 +1 3𝑛
= lim𝑥→∞
𝟐𝒏 +𝟏 𝒏 𝟑 𝒏
= lim𝑥→∞
2+0 3
2
= = 0.6 3
3𝑛 + 1 1 2𝑛 + 1 − 2𝑛 1 1 = <𝜀→ <𝜀→ <𝜀→ >𝑛 3𝑛 3 3𝑛 3𝑛 3𝜀 1 Sea 𝜀 = 0.01 <𝑛 3 0.01
=33
2𝑛 2 −1 2𝑛 2 +1
=lim𝑥→∞
2𝑛 2 −1 2𝑛 2 +1
= lim𝑥→∞
𝟐𝒏𝟐 𝟏 − 𝒏𝟐 𝒏𝟐 𝟐 𝒏 𝟏 𝟐 𝟐+ 𝟐 𝒏 𝒏
= lim𝑥→∞
2𝑛2 − 1 2𝑛2 − 1 − 2𝑛2 − 1 −1 <𝜀 → <𝜀 2𝑛2 + 1 2𝑛2 + 1 −2 2𝑛 +1
<𝜀 =
2 3𝜀 2 +1
<𝑛
EJERCICIO 8 Demostrar que (𝑺𝒏 ) no es convergente sí:
a) (𝑆𝑚 ) = 2𝑚 Supongamos que 2𝑚 → 𝐿 𝑦 𝜀 = 0.01 tenemos que
2−0 2+0
=1
2𝑚 − 𝐿 < 𝜀 −0.01 < 2𝑚 − 𝐿 < 0.01 −0.01 + 𝐿 < 2𝑚 < 0.01 + 𝐿; Para m=LL>0 obtenemos 2𝐿 < 0.01 + 𝐿 𝐿 log 2 ) < log (0.01 + 𝐿 𝐿 log 2 ) − log (0.01 + 𝐿) < 0, ; No existe número natural que contenga la desigualdad
b) (𝑆𝑚 ) = −1 𝑚 𝑚2 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑚 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑠𝑚 = −𝑚2 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 −𝑚2 → 𝐿 𝑦 𝜀 = 0.01 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 −𝑚2 − 𝐿 < 𝜀 −0.01 < −𝑚2 − 𝐿 < 0.01 −0.01+L<−𝑚2 < 0.01 + 𝐿 0.01 − 𝐿 − 𝑚2 > −0.01 − 𝐿 para m=L L> 0.06 tenemos 2 0 > 𝐿 +L 0.01……………………...…..no existe numero natural que verifique la Desigualdad 2 2 0.2 para m por (𝑆𝑚 ) = m Supongamos que (𝑚 ) − 𝐿 𝑚2 − 𝐿 < 𝜀 → 0.01 < 𝑚2 − 𝐿 < 0.01−→ −0.01 + 𝐿 < 𝑚2 𝐿0.01 + 𝐿 Para m=L L>0 2 𝐿 < 0.01 + 𝐿 𝐿2 − 𝐿 − 0.01 < 0; no existen números reales que verifican la desigualdad ∴ 𝑝𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑠𝑜 𝑏. 1 𝑆𝑚 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 EJERCICIO 9
Si 𝑠𝑚 = 𝑚 + 1 – 𝑚∀ 𝑚𝜖 𝑁 ∗ Demostrar que entonces convergen las sucesiones: b) ( 𝑚𝑠𝑚 ) Solución: lim𝑚 → 𝑆𝑚 = 0 lim→∞ 𝑚𝑠𝑚 = lim𝑚 →∞ 𝑚( 𝑚 + 1 – 𝑚) = lim𝑚 →∞ 𝑚 𝑚 + 1 lim𝑚 →∞ 𝑚 = lim𝑚 →∞
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
+
1 𝑚
− lim𝑚 →∞
= lim𝑚 →∞ 1 − lim𝑚 →∞ = 1 – 0-1 lim→∞ 𝑚𝑠𝑚 = 0
𝑚 𝑚
+
1 𝑚
𝑚 𝑚
- lim𝑚 →∞ 1
EJERCICIO 12 Demostrar que la sucesión dada converge al límite indicado 𝟐 𝟐 𝟏+ →𝟏 𝒎
𝑚
lim
𝑚
𝑚 →∞
+ 𝑚
2 lim 1 + 𝑚 →∞ 𝑚
2
2 𝑚
= lim
1+
𝑚 →∞
𝑚
1+∞ lim 𝑚 →∞ 1
𝒏𝟐
𝟏 +𝟏
2
𝑚+2 = lim 𝑚 →∞ 𝑚
2
𝑚
1
2
= lim 1 = 1 𝑚 →∞
EJERCICIO 27 𝟏 Estudiar si 𝜶 = 𝒏𝟐 +𝟏 ∝=
2
2
;
𝜷=
𝒚 𝜷=
𝟐𝒏 𝒏+𝟐
−𝟐
dan lugar a números iguales
𝟐𝒏 −𝟐 𝒏+𝟐
𝑆𝑚 𝑅 𝐸𝑛 = 0 1 2𝑛 − −2 =0 2 𝑛 +1 𝑛+2 1 2𝑛 − 2𝑛 − 4 1 −4 − = − =0 𝑛2 + 1 𝑛+2 𝑛2 + 1 𝑛+2
1 4 𝑛 + 2 + 4𝑛2 + 4 = 2 + = 0 −→ 2 𝑛 +1 𝑛+2 𝑛 +1 𝑛+2 4𝑛2 + 𝑛 + 6 4𝑛2 + 𝑛 + 6 −→ 2 → lim 3 𝑛→∞ 𝑛 + 2𝑛2 + 𝑛 + 2 𝑛 +1 𝑛+2 4𝑛 2 𝑛 6 + 3+ 3 3 𝑛 𝑛 𝑛 0 𝑛→∞ 𝑛 3 2𝑛 2 𝑛 2 =1 = 0 + + + 𝑛3 𝑛3 𝑛3 𝑛3
→ lim
∴ ∝= 𝛽 𝑑𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑎 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠.
EJERCICIO 22 Demostrar que la sucesión 𝑆 ∈ 𝑃, 𝑞 ≥ 𝑚0 𝑆𝑝, 𝑆𝑞 < 𝜀 𝑝+1 𝑞+1 − <𝜀 𝑝 𝑞 𝑝𝑞 + 𝑞 − 𝑝𝑞 − 𝑝 <𝜀 𝑝∗𝑞 𝑞−𝑝 <𝜀 𝑝∗𝑞 1 1 − < 𝜀 por hipótesis 𝑝 𝑞
𝒏+𝟏 𝒏
𝐞𝐬 𝐮𝐧𝐚 𝐬𝐮𝐜𝐞𝐢ón de cauchy
𝑝 > 𝑚0 , 𝑞 > 𝑚0 1 1 1 1 < ; < 𝑝 𝑚0 𝑞 𝑚0 1 1 1 1 − < + 𝑝 𝑞 𝑚0 𝑚 0 1 1 2 − < <𝜀 𝑝 𝑞 𝑚0
∴ 𝑚0 =
2 𝜀
EJERCICIOS CAPITULO 3 EJERCICI Nº 1 Sean V= 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , V= 𝒀𝟏 , 𝒀𝟐 ∈ 𝑹𝟐 a) Verificar si la sig. Expresión es un producto interno en 𝑹𝟐 𝑈, 𝑉 = 𝑋, 𝑌, −2𝑋1 𝑌2 − 2𝑋2 𝑌1 + 5𝑋2 𝑌2 𝑈, 𝑉 = 𝑋1 , 𝑌1 − 2𝑌2 + 𝑋2 , −2𝑦1 + 5𝑌2 𝑋1 + 𝑋2 , 𝑌1 − 2𝑌2 + −2𝑌1 + 5𝑌2 𝑋1 + 𝑋2 , 𝑌2 − 2𝑌1 + −2𝑌2 + 5𝑌2 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑈, 𝑉 = 4 = 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑉 = 𝑌1 , 𝑌2 b) ¿Para qué valores de K es el siguiente un producto interno 𝑹𝟐 𝑈, 𝑉 = 𝑋1 𝑌1 − 3𝑌1 𝑌2 − 3𝑋2 𝑌1 + 𝐾𝑋2 𝑌2 𝑋1 , 𝑌1 −𝑌2 + 𝑋2 , −3𝑌1 + 𝐾𝑌2
𝑋1 + 𝑋2 , 𝑌1 − 3𝑌2 + −3𝑌1 + 𝐾𝑌2 𝑋1 + 𝑋2 , 𝑌1 3𝑌1 + −3𝑌2 + 𝐾𝑌2 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑌2 = −3𝑌2 + 𝐾𝑌2 𝑌2 + 3𝑌2 = 𝐾𝑌2 4𝑌2 = 𝐾𝑌2 4=𝐾 Por tanto por K=4 es un producto interno en 𝑹𝟐 EJERCICIO 2 Sean X,Y ∈ 𝑹𝒏 Demostrar que b)
𝑿 + 𝒀 𝟐 +) 𝑿 − 𝒀 𝟐 = 𝟐 𝑿 𝟐 + 𝟐 𝒀 𝟐 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒑𝒓𝒆𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝑹𝟐 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐. 𝒙 + 𝒚, 𝒙 + 𝒚 + 𝒙 − 𝒚, 𝒙 − 𝒚 𝑥, 𝑦 + 2 𝑥, 𝑦 + 𝑦, 𝑦 + 𝑥, 𝑥 − 2 𝑥, 𝑦 + 𝑦, 𝑦 𝑥 2+2 𝑥 𝑦 + 𝑦 2+ 𝑥 2−2 𝑥 𝑦 + 𝑦 2 𝑥 2+ 𝑦 2+ 𝑥 2+ 𝑦 2 2 𝑥 +2 𝑦 2
c) ||x + y||2 - ||x + y||2 = 4 ( 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 2 )2 − ( (𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦))2 = 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 - 𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦 = 𝑥, 𝑥 + 𝑦 > + < 𝑦, 𝑥 + 𝑦 - [ 𝑥, 𝑥 − 𝑦 > + < −𝑦, 𝑥 − 𝑦 ] = 𝑥, 𝑥 + 𝑥, 𝑦 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑦 - [ 𝑥, 𝑥 - 𝑥, 𝑦 - 𝑦, 𝑥 ] = x
2
+ 2 𝑧, 𝑦 + y
2
- x
2
+ 2 𝑥, 𝑦 - y
2
=4 𝑥, 𝑦 ||x + y||2 - ||x + y||2
= 4 𝑥, 𝑦
EJERCICIOS 3.3-3.4 EJERCICIO Nº1 Sean A, B ⊂ 𝑹𝒏 demostrar que a) A⊂B→ 𝑨° ⊂ 𝑩° i) AC𝑅 𝑛 , Sea X un punto inferior de A si ∃𝜀, 𝜀 > 0 Tal que 𝐴𝜀 𝐴 ⊂ 𝐴 Entonces 𝐴° ⊂ 𝐴
𝑖𝑖 )𝐵𝐶𝑅𝑛 Sea un punto inferior de B si ∃𝜀, 𝜀 > 0 Tal que 𝐵𝜀 𝐵 ⊂ 𝐴 Entonces 𝐵 ° ⊂ 𝐴
Si A ⊂ B → X que es punto inferior de A también lo es de → 𝐴𝜀 𝐴 ⊂ 𝐵𝜀 𝐵 → 𝐴° 𝐶𝐵 ° Por lo tanto A ⊂ B→ 𝐴° ⊂ 𝐵 ° i)
A⊂B →𝑨𝑪𝑩
A ⊂ 𝑅 𝑛 , X e 𝑅 𝑛 Se llama punto adherente de A si VG, G, Abierto tal que X ∈ G → G ∩ A ≠ 0 → X ∈ 𝐴 Si A ⊂ B → X también punto adherente de B y ∀𝐺 ; G abierto tal que X ∈ G →G∩B≠0 →𝑋∈ 𝐵 Como 𝑋 ∈ 𝐴 𝑦 𝑋 ∈ 𝐵 Entonces 𝐴 ⊂ 𝐵 por lo tanto A⊂ B → 𝐴 ⊂ 𝐵
EJERCICIOS 3.5-3.15 EJERCICIO Nº 1 Demuestre haciendo uso de la definición del limite a)
𝐥𝐢𝐦 𝒙,𝒚 =→(𝟎,𝟎)
𝒙𝟒 +𝒚𝟒 𝒙𝟐 +𝒚𝟐
=𝟎
∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ∈ 𝜇, 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 2 2 𝑥 − 0 + 𝑦 + 0 < 𝛿 → 𝑓 𝑥, 𝑦 − 0 < 𝜀 Debemos probar que ∃𝛿 > 0 tal que 𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿 → 𝑥 < 𝛿 𝑦 𝑦 < 𝛿 𝑥4 + 𝑦4 𝑥 4 + 𝑦 4 𝑥 4 + 2𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 4 = ≤ 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2 2 = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥 𝑥2 + 𝑦2 𝜀
Entonces 𝛿 2 =2 → 𝛿 =
2
+ 𝑦
2
< 𝛿 2 + 𝛿 2 = 2𝛿 2 = 𝜀
𝜀 2
𝟏
𝟏
b) 𝐥𝐢𝐦 𝒙,𝒚 →(𝟎,𝟎) 𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒚 + 𝒚𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝟎 (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 < 𝛿 1 1 (𝑥)2 + (𝑦)2 < 𝛿 → 𝑥𝑠𝑒𝑛 + 𝑦𝑠𝑒𝑛 < 𝜀 𝑦 𝑥 𝑥 < 𝛿, 𝑦 <𝛿 𝑥 + 𝑦 <𝜀 Entonces 𝛿 = 𝜀
c) 𝐥𝐢𝐦 𝒙,𝒚 →(𝟎,𝟎)
𝒙−𝟐 𝒙𝒚−𝟐𝒚
=𝟏
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 < 𝛿 𝑓 𝑥, 𝑦 − 1 <𝜀 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 <𝛿 𝑥 − 2 < 𝛿 𝑦 − 1 < 𝛿 (𝑥 − 2) 1 1−𝑦 𝛿 𝑓 𝑥, 𝑦 − 1 = −1 = −1 = < 𝑦(𝑥 − 2) 𝑦 𝑦 𝑦 1 1 1 𝛿 ≤ →𝑦−1< 𝛿 < 𝑦−1 < 2 2
2
1- 𝑦 ≤ 𝑦 − 1 < 1 2 1 − 1 2 < 𝑦 1 2 < 𝑦 2 >
1 𝑦
- 𝑓 𝑥, 𝑦 − 1 <
𝛿 𝑦
< 𝑧𝛿
z↑ 𝛿 = 𝜀 → 𝛿 = 𝜀 𝑧
d)𝐥𝐢𝐦 𝒙,𝒚 →(𝟎,𝟎) (𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 + 𝟐)𝟐 = 𝟎
*∀ 𝜀 > 0 , ∃𝛿 > 0 tal que (𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 < 𝛿 = 𝑥−1 < 𝛿𝑦 𝑥+2 < 𝛿 = [(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 ] < 𝜀 -(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 𝑥 − 1 2 + 𝑦 + 2 2 < 𝛿 2 + 𝛿 2 = 2𝛿 2 = 𝜀 = 𝛿2 = 𝜖 2 = 𝛿=
𝜀
2
EJERCICIO N2 Determinar si existen:
a) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝒚−𝒙+𝒚 𝒙+𝒚
La función está definida en 𝑀 = 𝑅 2 − { 0,0 } Haciendo 𝑀1 = { 𝑥, 0 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 0, 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑗𝑒 x} 𝑀2 = { 0, 𝑦 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑦 ≠ 0, 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑗𝑒 y} 𝑀, 𝐶 𝑀 ^ 𝑀2 𝐶 𝑀 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐹 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑀, 𝑦 𝑥(0) − 𝑥 + (0) −𝑥 𝐹 𝑥, 0 = = = −1 𝑥+0 𝑥 Como 𝑭 𝒙, 𝟎 ≠ 𝑭(𝒚, 𝟎) No existe el límite
b) lim(𝑥,𝑦 )→(0,0)
𝑥𝑦 2 𝑥 2 +𝑦 4
F está definida en 𝑀 = 𝑅 2 − { 0,0 } Si 𝑀1 = {(𝑥, 0) 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 0} 𝑀2 = {(0, 𝑦) 𝑦 ∈ 𝑅, 𝑦 ≠ 0} Como 𝑀1 𝑀2 𝐶 𝑀, 𝐹 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑀, 𝑦 𝑀2 𝑥(0)2 0 𝐹 𝑥, 0 = 2 = 2=0 4 𝑥 + (0) 𝑥 (0)(𝑦)2 0 = 2=0 2 4 (0) + (𝑦) 𝑦 Como 𝐹 𝑥, 0 = 𝐹(0, 𝑦) el límite existe y es igual a 0 𝐹 0, 𝑦 =
𝟐
+𝒚 c) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒙𝒙𝟐+𝒚 𝟐
Si
𝑀1 = {(𝑥, 0) 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≠ 0} 𝑀1 = {(0, 𝑦) 𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 ≠ 0}
Como 𝑀1 y 𝑀2 ⊂ 𝑀, F está definida en 𝑀1 y 𝑀2 f 𝑥, 0 = f 0, 𝑦 =
𝑥 2 +(0)
=
𝑥 2 +(0)2 (𝑜)2 +𝑦 (0)2 +𝑦 2
=
𝑥2 𝑥2 𝑦
𝑦2
=1 =
1 𝑦
=
∞
Como f 𝑥, 𝑜 ≠ f 𝑜, 𝑦 límite
d) lim(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝑆𝑛 =
1 𝑛
𝑥 4 +𝑦 4 𝑥 2 +𝑦 2
,0
4
f 𝑆𝑛 = 1 𝑛 = f 𝑉𝑛 =
=0
𝑉𝑛 = 1
1 1
𝑛2
𝑛4
no existe
0, 𝑛2 𝑛4
=
1 𝑛 1 𝑛2
→0
= 𝑛2 𝑛4 = 1 𝑛2 → 0
𝑛2 Como f (𝑆𝑛 ), y f (𝑉𝑛 ) Convergen al mismo limite entonces el límite existe y es igual a 0
EJERCICIO Nº 3 Identificar las superficies siguientes.
a) 𝑋 2 + 4𝑌 2 − 16𝑍 2 = 0
𝑋 2 + 4𝑌 2 = 16𝑍 2 𝑋 2 4𝑌 2 + = 𝑍2 16 16 𝑋2 16
+
𝑦4
= 𝑍 2 Cono Cuadrático
4
b) 𝑥 2 + 4𝑦 2 + 16𝑧 2 = 12 𝑥 2 4𝑦 2 16𝑧 2 + + =1 12 12 12
𝑥2 12
+
𝑦2 3
𝑧2
+3
4
𝑥 2 𝑦 2 4𝑧 2 + + =1 12 3 3 = 1 ELIPSOIDE
e) 5𝑋 2 + 2𝑌 2 − 6𝑍 2 10 = 0 5𝑋 2 + 2𝑌 2 − 6𝑍 2 = 10 5𝑥 2 2𝑦 2 6𝑧 2 + − =1 10 10 10 𝑥2 2
+
𝑦2 5
𝑧2
−5 =1
una hoja
3
Hiperboloide de
g)𝑋 2 + 𝑌 2 + 𝑍 2 − 4 = 0 𝑋2 + 𝑌2 + 𝑍2 = 4 𝑋2 4
+
𝑌2 4
+
𝑍2 4
=1
Hiperboloide de una hoja
h)5𝑋 2 + 2𝑌 2 − 6𝑍 2 + 10 = 0Hiperboloide de 2 hojas 5𝑋 2 + 2𝑌 2 − 6𝑍 2 = −10 5𝑋 2 2𝑌 2 6𝑍 2 + − = −1 10 10 10 𝑋2 𝑌2 𝑍2 + − = −1 2 5 5 3
i)𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4𝑧 = 0Paraboloide hiperbólico 𝑥 2 + 2𝑦 2 = 4𝑧 𝑦2 𝑥 + = 4𝑧 1 2 2
j)2𝑥 2 − 3𝑦 2 − 6 = 1Cilindro hiperbólico 2𝑥 2 − 3𝑦 2 = 7 2𝑥 2 3𝑦 2 − =1 7 7 𝑥2 𝑦2 − =1 7 7 2 3
