1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
13.
14. 15. 16.
17.
1.
, ∈ ℝ, dan ≠ 0. maka berlaku: (b) = || || = √ || || jika dan hanya jika ≥ 0 | = | = || | Jika , ∈ ℝ, maka berlaku | | ,, ∈ ℝ dan ≤ , berlaku ≤ ≤ jika dan hanya jika | | | | = | | Jika ,, | | < jika dan hanya jika < < | < Jika < < dan < < , maka | | Carilah semua ∈ ℝ yang memenuhi pertidaksamaan (a) |4 5| ≤ 13 (b) | 1 | ≤ 3 1| | | 2| 2| = 7 Carilah semua ∈ ℝ yang memenuhi persamaan | 1| Carilah semua ∈ ℝ yang memenuhi pertidaksamaan (a) | 1 | > | 1 | (b) | | | 1 | < 2 || | | 1| 1| Buatlah sketsa grafik persamaan = | Carilah semua ∈ ℝ yang memenuhi pertidaksamaan 4 < | 2 | | 1 | < 5 3| < 5 dan sekaligus | 1| 1| > 2 Carilah semua ∈ ℝ yang memenuhi pertidaksamaan |2 3 Tentukan dan gambarlah sketsa himpunan pasangan berurutan , di ℝ × ℝ yang memenuhi: (a) | | = | | (b) | | || = 1 | = | = |22| || = 2 (c) || (d) | | | Tentukan dan gambarlah sketsa himpunan pasangan berurutan , di ℝ × ℝ yang memenuhi: (a) | | ≤ | | (b) | | || ≤ 1 | ≤ | ≤ |22| || ≤ 2 (c) || (d) | | | ∩ dan ∪ Misalkan > 0 dan > 0 , dan ∈ ℝ . Tunjukkan bahwa merupakan lingkungan- dari , untuk suatu , ∈ ℝ dan ≠ , maka terdapat lingkungan- dari dan dari Tunjukkan bahwa jika , sedemikian hingga ∩ = ∅ , ∈ ℝ, maka Tunjukkan bahwa jika , (a) max{ max{, } = | | | | dan min{ min{, } = | | | | min{,,} ,, } = min{min{ min{min{, }, } (b) min{ Tunjukkan jika ,, ∈ ℝ, maka “nilai tengah” adalah mid {,, } = min{max{, },max{, },max{,}} Jika (a)
(a)
(b)
2.
⇒
∈ℝ ≥0 <0
misalkan sebarang. Kita tahu jika , maka kita dapatkan Dan jika , maka kita peroleh Dan hal ini mengakibatkan Sekarang perhatikan untuk , kita tahu bahwa
|| = | = || ∙ | ∙ || = ∙ = . || = || ∙ || = ∙ = √ = || ≠0 > 0 atau < 0 . Jika > 0 , maka > 0. Sebagai akibatnya = = | | Kemudian, jika < 0, maka < 0. Sebagai akibatnya = = = | |. − Sekarang, karena setiap kemungkinan nilai ≠ 0 berlaku bahwa = , selanjutnya kita || | | | | || peroleh = ∙ = ∙ = ∙ = || || | | | = | = || | || | | = || || ⇒ = || || 2|||| 2 = 2|| = || ≥ 0 ≥ 0 =0
Q.E.D.
( ) Anggap . Kita peroleh . Dan selanjutnya kita peroleh . Dan hal ini berarti . Dari definisi nilai mutlak, kita tahu bahwa ( Sekarang, anggap bahwa . Maka terdapat tiga kemungkinan, yakni: dan
⇐
= 0,
© Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
>0
3.
4.
5.
6.
7.
8.
>0 <0 < 0 | | = |0 0| = 0 = |0| |0| = || || = 0 =0 > 0 >0 >0 | | = = || || <0 <0 <0 | | = = = || || | | = || || (⇒ ≤≤ ≥0 ≥0 | | = | | = | | = | | = | | | | = = = | | = | | (⇐) Sekarang anggap bahwa | | | | = | |. Andaikan tidak benar ≤ ≤ . Hal ini berarti < atau < . Jika < , maka < ≤ . Hal ini berarti > 0 dan < 0 . Selanjutnya perhatikan bahwa | | = | | | | = ( ) = . Akan tetapi hal ini tidak benar, mengingat bahwa < 0 dan sementara kita tahu bahwa | | ≥ 0. Jadi pengandaian < tidak benar. Kemudian jika < , maka ≤ < . Hal ini berarti > 0 dan > 0 . Selanjutnya perhatikan bahwa | | = | | | | = = . Akan tetapi hal ini juga tidak benar karena < 0 , padahal kita tahu | | ≥ 0. Jadi pengandaian bahwa < tidak benar. Dari dua kemungkinan tersebut, kita tahu bahwa tidak benar bahwa < atau < . Sehingga haruslah ≤ ≤ . Q.E.D. Kita tahu bahwa berlaku | | < jika dan hanya jika – < < . Perhatikan bahwa jika – < , maka < dan jika < , maka < . Dan dua hal ini ekivalen dengan < < Q.E.D. Misalkan < < dan < < . Menurut sifat trikotomi bilangan real, kita tahu bahwa = atau > atau < . Jika = , maka = 0. Sehingga kita peroleh | | = = 0 . Kemudian karena < , maka 0 < . Dan dua hal ini mengakibatkan | | < . Sekarang anggap > . Selanjutnya kita peroleh > . Dan hal ini mengakibatkan | | = > . Namun hal ini ekivalen dengan | | < = . Terakhir, jika < . Selanjutnya kita peroleh < . dan sebagai akibatnya kita peroleh | | = > . namun hal ini juga ekivalen dengan | | < = . Q.E.D. (a) |4 5| ≤ 13 jika dan hanya jika 13 ≤ 4 5 ≤ 13 . Selanjutnya kita peroleh bahwa 8 ≤ 4 ≤ 18. Dan hal ini mengakibatkan 2 ≤ ≤ 9 (b) | 1| ≤ 3 jika dan hanya jika 1 ≥ 3 dan 1 ≤ 3. Hal ini mengakibatkan ≥ 2 dan ≤ 4. Karena ≥ 0 untuk semua , maka ≥ 2 selalu benar untuk semua . Selanjutnya tugas kita tinggal mencari yang memenuhi ≤ 4. Kita tahu ≤ 4 jika dan hanya jika | | ≤ 2. Dan hal ini berarti 2 ≤ ≤ 2. Terdapat tiga kemungkinan yang memenuhi | 1 | | 2| = 7, yakni untuk kasus (i) ≥ 2 , (ii) 1 ≤ < 2 dan (iii) < 1 (i) Untuk ≥ 2, kita peroleh 1 ≥ 0 dan 2 ≥ 0 . selanjutnya, kita tahu bahwa | 1 | | 2| = 1 2 = 2 1 = 7 dipenuhi oleh = 4 (ii) Untuk 1 ≤ < 2, kita peroleh 1 > 0 dan 2 < 0 . Selanjutnya, hal ini tidak mungkin mengingat | 1 | | 2 | = 1 2 = 3 ≠ 7. (iii) Untuk < 1, kita peroleh 1 < 0 dan 2 < 0. Selanjutnya, kita tahu bahwa | 1| | 2| = 1 2 = 2 1 = 7 dipenuhi oleh = 3 Dari tiga kasus tersebut kita simpulkan bahwa | 1 | | 2 | = 7 dipenuhi oleh = 3 atau =4 (a) Kita tahu bahwa | 1| > | 1| jika dan hanya jika 1 > 1 dan hal ini atau dan , atau dan . Perhatikan bahwa jika dan , maka . Kemudian, jika dan , kita tahu bahwa . Selanjutnya kita dapatkan . Dan terakhir, jika dan , kita tahu bahwa . Selanjutnya, kita peroleh . Dari semua kemungkinan tersebut, kita dapat simpulkan bahwa Q.E.D. Anggap . Kita tahu bahwa dan . Selanjutnya perhatikan bahwa dan . Dan hal ini mengakibatkan
© Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
(b) 9.
10.
11.
12.
mengakibatkan dipenuhi oleh . Kita tahu bahwa ini ekivalen dengan
2 1 > 2 1. Selanjutnya kita peroleh 4 < 0. Dan hal ini <0 2 > || | 1| ≥ |2 1| jika dan hanya jika 2 < 2 1 < 2 . Dan hal 3 < 2 < 1 atau dengan kata lain < < 1
Nilai-nilai akan sangat tergantung pada tiga selang berikut: (i) Selang Untuk , selanjutnya kita peroleh (ii) Selang Untuk , kita tahu bahwa dan . Selanjutnya, hal ini mengakibatkan
≥1 >1 = || | 1| = 1 = 1 0≤<1 0≤<1 ≥0 1<0 = || | 1| = ( 1) = 2 1 (iii) Selang < 0 Untuk < 0, kita tahu bahwa 1 < 0 . Dan hal ini mengakibatkan bahwa = | | | 1| = ( 1) = 1 Dari ketiga kasus tersebut, kita bisa simpulkan bahwa grafik = | | | 1 | berupa: (i) Garis = 1 pada selang ≥ 1 (ii) Garis = 2 1 pada selang 0 ≤ < 1 (iii) Garis = 1 pada selang < 0 Terdapat tiga kemungkinan nilai-nilai yang memenuhi 4 < | 2 | | 1 | < 5, yakni: (i) Untuk ≥ 1, kita tahu bahwa 2 > 0 dan 1 ≥ 0 . Selanjutnya, kita dapat tuliskan 4 < | 2| | 1| = 2 1 = 2 1 < 5 . Dan hal ini mengakibatkan 3 < 2 < 4 atau ekivalen dengan < < 2 (ii) Untuk 2 ≤ < 1, kita tahu bahwa 2 ≥ 0 dan 1 < 0. Selanjutnya hal ini tidak mungkin mengingat 4 < | 2| | 1 | = 2 ( 1) = 3 (iii) Untuk < 2, kita tahu bahwa 2 < 0 dan 1 < 0 . Dan hal ini berarti 4 < | 2 | | 1| = 2 ( 1) = 2 1 < 5 atau dengan kata lain 4 < 2 1 < 5 . Dan hal ini mengakibatkan 5 < 2 < 6. Dan hal ini dipenuhi oleh 3 < < Dari tiga kemungkinan tersebut kita tahu bahwa 4 < | 2| | 1| < 5 memiliki solusi < < 2 atau 3 < < (i) Perhatikan bahwa |2 3| < 5 jika dan hanya jika 5 < 2 3 < 5 . Dan hal ini ekivalen dengan 2 < 2 < 8. Dan hal ini berarti bahwa |2 3| < 5 dipenuhi oleh 1 < < 4. (ii) Selanjutnya, perhatikan bahwa untuk ≥ 1, kita tahu bahwa 1 ≥ 0 . Dan hal ini mengakibatkan | 1| = 1 > 2. Dan hal ini ekivalen dengan > 1 . Kemudian jika < 1, kita tahu bahwa 1 < 0. Kemudian | 1 | = 1 < 2 . Dan hal ini ekivalen dengan > 3. Dari semua kemungkinan yang ada kita simpulkan bahwa nilai yang memenuhi | 1| > 2 adalah > 3 atau > 1 . Dan hal ini ekivalen dengan > 3 Dari (i) dan (ii), kita dapatkan nilai-nilai yang memenuhi |2 3| < 5 sekaligus | 1| > 2 adalah 1 < < 4 (a) Perhatikan bahwa jika ≥ 0 , kita dapatkan = ||. Dan hal ini berarti = untuk ≥ 0 dan = untuk < 0 . Kemudian, jika < 0, kita dapatkan | | = = | |. Dan hal ini berarti = untuk ≥ 0 dan = = untuk < 0 . (b) Untuk ≥ 0 dan ≥ 0 . Kita peroleh || || = = 1 . Untuk ≥ 0 dan < 0 . Kita peroleh | | || = = 1 . Untuk < 0 dan ≥ 0 . Kita peroleh || || = = 1. Untuk < 0 dan < 0 . Kita peroleh | | || = = 1. (c) Untuk > 0 dan > 0 . Kita peroleh || = = 2 atau ekivalen dengan = Untuk > 0 dan < 0 . Kita peroleh || = = 2 atau ekivalen dengan = Untuk < 0 dan > 0 . Kita peroleh || = = 2 atau ekivalen dengan = © Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
< 0 dan < 0. Kita peroleh || = = 2 atau ekivalen dengan = (d) Untuk 0 < < , maka || || = = 2 atau ekivalen dengan = 2 Untuk > 0 dan < 0 , maka | | || = = = 2 atau ekivalen dengan = 2 Untuk < 0 dan > 0 , maka || || = = 2 atau dengan ekivalen dengan = 2 Untuk < < 0, maka | | || = = = 2 atau ekivalen dengan = 2 (i) Misal ∈ ℝ . Untuk sebarang > 0 dan > 0 . Jika = , pilih = = , sehingga kita peroleh ∩ = = = . Jika > , pilih = , sehingga diperoleh ∩ = = . Jika < , pilih = , sehingga diperoleh ∩ = = . Secara umum, untuk setiap > 0 dan > 0 yang diberikan, pilih = min{,}, sedemikian hingga berlaku ∩ = . (ii) Dengan cara yang sama kita bisa tunjukkan bahwa untuk setiap > 0 dan > 0 yang diberikan kita bisa memilih = max{,}, sedemikian sehingga ∪ = |−| Anggap < , jika dipilih = > 0, maka ∩ = ∅, karena jika seandainya ada |−| |−| |−| |−| < < memenuhi | | < = dan | | < = , maka berlaku |−| |−| |−| |−| dan < < . Hal ini mengakibatkan < < . Selanjutnya, kita −|−| < +|−| dapatkan atau ekivalen dengan 2 | | < 2 | |. kemudian, hal ini mengakibatkan 2 = < = 2 . Dan hal ini tidak mungkin pernah Untuk
14.
15.
terjadi.
> , jika dipilih = |−| > 0, maka ∩ = ∅, karena andaikan ada |−| |−| |−| |−| < < memenuhi | | < = dan | | < = , maka berlaku |−| |−| |−| |−| dan < < . Hal ini mengakibatkan < < . Selanjutnya, kita −|−| +|−| dapatkan < atau ekivalen dengan 2 | | < 2 | |. kemudian, hal ini mengakibatkan 2 = < = 2 . Dan hal ini tidak mungkin pernah Sekarang anggap
terjadi.
Dari kedua kemungkinan tersebut, maka dapat disimpulkan jika hingga 16. (a)
(b)
∩ = ∅.
≠ , ada = |−| sedemikian Q.E.D.
Anggap < , maka | | = = 2 = = max{,} dan | | = ( ) = 2 = = min{,}. Kemudian, jika > , maka kita peroleh | | = = 2 = = max{,} dan 2 = = min{,}. terakhir, jika = , | | = ( ) = maka | | = 0 = = 2 = = = max{,} dan | | = 0 = = 2 = = = min{,}.
Q.E.D. . Selanjutnya, jika , maka kita peroleh . Dan jika , maka kita peroleh . . selanjutnya, jika , maka kita . Dan jika , maka kita .
≤ , kita tahu bahwa min{, } = ≤ min{,,} = = min{, } = min{{, }, } > min{,,} = = min{, } = min{{, }, } Sekarang, anggap < , kita tahu bahwa min{, } = peroleh bahwa min{,,} = = min{, } = min{{, },} peroleh min{,, } = = min {, } = min{{, } , }
Anggap
≤ >
© Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
17. Jika Jika Jika Jika Jika Jika
Q.E.D. . . . . . . Q.E.D.
≤ ≤ , maka mid{,,} = = min{,,} = min{{, } ,{, } ,{, }} ≤ ≤ , maka mid{,,} = = min{,,} = min{{, },{, } ,{, }} ≤ ≤ , maka mid{,,} = = min{,,} = min{{, } ,{, } ,{, }} ≤ ≤ , maka mid{,,} = = min{,, } = min{{, } ,{, } ,{, }} ≤ ≤ , maka mid{,,} = = min{,,} = min{{, },{, } ,{, }} ≤ ≤ , maka {,, } = = min {,,} = min{{, } ,{, } ,{, }} | |
Lampiran grafik. 3.
| |
| |
| |
4.
| |
9.
© Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
12.A.
12b
12c
© Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
12d
13A
© Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
13b
13c
© Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
13d
© Copyright 2011 Supaat Creative Design. All rights reserved. This document can be distributed for non-commercial purposed only.
