Analisis Real II

BAGIAN KHUSUS MATERI PENUNJANG Pengantar

Materi-mate Materi-materi ri yang diuraikan diuraikan pada bagian ini merupakan materi penunang yang !angat diper"ukan untuk memba#a! materi "imit $ung!i dan k%ntinuita! $ung!i& Materi ini tentunya !uda# didi!ku!ikan pada mata ku"ia# "ain !eperti pada Ana"i!i! Rea" I' Ka"ku"u! ataupun Struktur  A"abar & Saian pada bagian ini #anya di"akukan !epinta! dan dima!ukkan untuk mengingat kemba"i kemba"i k%n!ep-k%n!e k%n!ep-k%n!ep' p' !i$at' !i$at' ataupun te%rema yang berkaitan berkaitan dengan $ung!i' per!ekitar per!ekitaran' an' ataupun ni"ai mut"ak pada ruang "ingkup bi"angan rea" R&

Definisi Fungsi

Mi!a"kan A dan B merupakan #impunan bi"angan rea" tak k%!%ng' Suatu $ung!i dari A ke B ada"a# #impunan pa!angan berurut $ da"am A ( B dengan !i$at ba#)a' ika *a'b+ dan *a'b,+ ada"a# e"emen dari $' maka b  b, Atau !e.ara !imb%"ik ditu"i! / $ A

B

$ A

B

$ A

B







 0 *a'b+ ϵ A ( B 1 *a'b+ 2 *a'b,+ ϵ $

→  b  b,+ atau/

  0 *a'b+ ϵ A ( B 1 b  $*a+' $*a+' b, $*a+ dan b  b,+ atau/  0 *a'b+ ϵ A ( B 1

∀ a ∈ A , ∃ ! b ∈ B . f  (  ( a ) =b

3atau/

4an #impunan !emua e"emen dari A yang merupakan angg%ta pertama dari e"emen $  di!ebut d%main dari $' dan !ering din%ta!ikan dengan 4$& Himpunan !emua e"emen dari B yang merupakan angg%ta kedua dari e"emen $ di!ebut range atau #impunan ni"ai dari $' dan dapat din%ta!ikan dengan R $ & Jika 4$  A maka dikatakan $ memetakan A ke B' dan ika *a'b+ !uatu e"emen dari $' maka ditu"i!  b  $*a+ atau $ / a

⟶

 b

Definisi Fungsi Injektif 

Mi!a"kan $ ada"a# !uatu $ung!i dengan d%main 4$  ⊆  A dan rangenya ada"a# R $ $  ⊆ B& 5ung!i $ dikatakan inekti$ atau !atu-!atu' !atu-!atu' ika *a'b+ dan *a,'b+ ada"a# e"emen e"emen dari $ maka a  a,

Se.ara !imb%"ik ditu"i! / $ A

B



→  a a, 3

 0 *a'b+ ϵ A ( B 1 *a'b+ 2 *a,'b+ ϵ $

Definisi Fungsi Invers ∈

Mi!a"kan $ung!i g  0 *b'a+

∈

 B ( A 1 *a'b+

 $ 3 maka g ada"a# inekti$ dengan 4$ 

 R $ $  pada  pada B dan range R g  4$  da"am  da"am A& Maka $ung!i g di!ebut $ung!i in6er! $ ' atauu din%ta!ikan dengan $ -7 Definisi Fungsi Surjektif 

Mi!a"kan $ !uatu $ung!i dengan 4$ 

⊆  A dan R  $  $ 

⊆  B& 5ung!i $ dikatakan $ung!i

!urekti$ atau pemetaan %nt%' ika R $ $     B& Se.ara !imb%"ik ditu"i! / 5 !urekti$

⟷

∀ b ∈ B ,∃ a ∈

 4$  ∋  b  $*a+

Definisi Fungsi Bijektif 

Suatu $ung!i $ dengan 4$

⊆

 A dan R $ $  ⊆  B dikatakn biekti$ ika $ ada"a# inekti$ dan

!urekti$&

4e$ini!i 5ung!i Terbata! Terbata! Mi!a"kan $ / A

⟶

 R !uatu $ung!i terde$ini!i pada !etiap (

∈

 A& 5ung!i $ dikatakan

terbata! pada A ika ada bi"angan rea" p%!iti$ M !edemikian !e#ingga / 1 $*(+ 1 ≤  M' untuk !etiap (

∈

 A&

Se.ara !imb%"ik ditu"i! / 5 terbata! terbata! pada A ↔ ∃ M

∈

 R' M 8 9

Se.ara ana"%gi! $ung!i $ terbata! pada !uatu ∃

 M

∈

 R' M 8 9

∋

 1 $*(+ 1

≤  M'

э  1 $*(+ 1 ε

≤  M'

∀

 (

∈

 A&

- neig#b%r#%%d dari .' ika / ∀

 (

∈

 :;*.+ atau (

∈

 *.  *.-ԑ ' . < ԑ+

Batas Atas dan Batas Bawah dari Himpunan

4e$ini!i ⊆  R' maka /

Mi!a"kan S a& u

∈

 b& )

∈

≤

 R di!ebut bata! ata! dari S ika !

 u'

∀

 R di!ebut bata! ba)a# dari S ika ) ≤  !'

 ! ∀

∈

 !

 S 2 dan ∈

 S 2 dan

Keterbatasan Himpunan

4e$ini!i Mi!a"kan S

⊆

 R' maka /

a& S dikatakan dikatakan terbata! terbata! di ata! ata! ika S mempunya mempunyaii bata! ata! ata!  b& S dikatakan terbata! di ba)a# ika S mempunyai bata! ba)a# .& S dikatakan dikatakan terbata! terbata! ika ika S mempunyai mempunyai bata! ata! ata! dan bata! bata! ba)a# d& Jika S tidak tidak mempunyai mempunyai bata! ata! ata! dan=atau dan=atau bata! ba)a# maka maka S di!ebut tidak  tidak 

Supremum dan Infimum dari Suatu Himpunan

4e$ini!i Mi!a"kan S a& u

∈

ii& ! ∈

≠ ∅  maka /

 R di!ebut !upremum dari S ika / i& !

 b& )

⊆  R' S

≤  u' ≤

∀

 !

 6' ∀  !

∈ ∈

 S  S maka u

 R di!ebut in$imum dari S ika / i& )

≤

 !'

∀

 !

∈

 S 2 dan

≤

 6

ii& 6

≤  !'

∀

 !

∈

 S maka 6 ≤  )

Contoh  Mi!a"kan I  *9'7+ ∀

Maka !etiap

∈

 (

≥

 R 2 (

 7 merupakan bata! ata! > bata! ata! dari I2 dan

∀

 y

∈  R 2 y ≤  9 merupakan bata! ba)a# > bata! ba)a# dari I&

Bata! ata! terke.i" dari I ada"a# 7' !e#ingga !upremum I ada"a# 72 dan Bata! ba)a# terbe!ar  dari I ada"a# 9' !e#ingga in$imum I ada"a# 9

I!ustrasi suatu Persekitaran

Mi!a"kan a !uatu e"emen dari R ter"etak pada gari! bi"angan berikut /

x

y

a

Pada gari! bi"angan ter!ebut' terdapat titik-titik yang ter"etak atau bertetangga dengan titik a diantara titik ( dan y' dimana titik-titik ter!ebut tak #ingga banyaknya& Setiap titik yang ter"etak  di !ebe"a# kanan titik a' pa!ti ada uga titik di!ebe"a# kiri titik a yang berarak !ama dengan titik   pertama' !e#ingga pa!ti dapat dibentuk !uatu inter6a" terbuka yang ber!i$at !imetri! diantara ( dan y dari titik a&

(

a

y

ε " neighborhood dari suatu titik 

4e$ini!i Mi!a"kan a Per!ekitaran

∈

ε

 R 2 N

⊆

 R 2  E  8 9

dari a ada"a# !uatu #impunan yang berangg%takan bi"angan-bi"angan rea" yang

 araknya dari titik a "ebi# ke.i" dari ε # 4itu"i! dengan n%ta!i /  N;*a+  0 (

∈

R 1 d* ('a + ? ԑ +' atau N;*a+  0 (

∈

R 1 1 (-a 1 ? ԑ +

∈

Atau / N;*a+  0 (

R 1 a- ԑ ? ( ? a < ԑ +

$eigborhood dari suatu titik 

4e$ini!i ⊆

Mi!a"kan S S

⊆

≠∅

 R' S

  R dikatakan dikatakan !uatu !uatu per!ekitar per!ekitaran an dari titik titik a' a' ika terdapat terdapat ԑ 8 9 !e#ingga !e#ingga per!ekit per!ekitaran aran ԑ

dari a termuat da"am S& 4itu"i! dengan n%ta!i / :*a+  0 ( :*a+  0 (

∈

∈

∃

 S 1 *

ԑ

8 9 + @ :;*a+

⊆

∃

 S 1

¿

ԑ

8 9 + @ *a- ԑ ' a < ԑ+

 S 3 atau ⊆

 S 3

Interva! di % 

4e$ini!i Jika a'b

∈

a& * a'b a'b + /  0 (  b&  a'b  /  0 ( .&  a'b a'b + /  0 (

 R dan a ∈ ∈

∅

 b' maka dide$ini!ikan /

 R 1 a ? ( ? b 3 di!ebut inter6a" terbuka  R 1 a

∈  R 1 a

* a'b  /  0 ( d& * a'a a'a + / 

≤

∈

≤

 (

≤

 b 3 di!ebut inter6a" tertutup

≤  ( ? b 3 dan  R 1 a ? ( ? b 3di!ebut inter6a" !etenga# tertutup dan !etenga# terbuka&

 *inter6a" yang merupakan #impunan k%!%ng+' dan

e&  a'a  /  0a3 merupakan merupakan inter6a" inter6a" yang !ing"et% !ing"et%n n atau angg%tanya angg%tanya tungga" tungga" $& * a'C a'C + /  0 ( g& * C'a C'a + /  0 ( #&  a' a' C+ C+ /  0 ( i& * C'a C'a + /  0 (

∈

 R 1 ( 8 a 3 dan

∈  R 1 ( ? a 3 di!ebut inter6a" terbuka tak #ingga *!inar buka+ ∈

∈

 R 1 (  R 1 (

≥

 a 3 dan

≤  a 3 di!ebut inter6a" tertutup tak #ingga *!inar tutup+

 & * C'C + /  R yang di!aikan da"am bentuk inter6a" terbuka' dan k&  9'7 9'7  /  0 (

∈  R 1 9

≤  (

≤  7 3 di!ebut inter6a" !atuan

Himpunan &erbuka dan &ertutup

4e$ini!i Mi!a"kan G !uatu #impunan 2 G

⊆

 R 

G di!ebut #impunan terbuka * %pen !et + di R ika !etiap ( dari ( !edemikian !e#ingga .

⊆

∈  G ada !uatu neig#b%r#%%d :

 G

Se.ara !imb%"ik ditu"i! / G terbuka

⟷

∀

(

∈

 G'

∃

ԑ(

8 9 @ :;*(+

⊆

 G

D%nt%# / I  * 9'7 + ada"a# #impunan terbuka di R *Buktikan +

4e$ini!i Mi!a"kan G !uatu #impunan 2 G

⊆

 R 

G di!ebut #impunan tertutup *."%!ed !et+ di R ika k%mp"emen dari G ada"a# terbuka& Se.ara !imb%"ik ditu"i! / G tertutup

⟷

∀ (

∉  G'

∃

ԑ(

8 9 @ :;*(+

⋂

 G 

∅

*Atau dide$ini!ikan me"a"ui pengingkaran dari #impunan terbuka+

D%nt%#/ P  0 77'F 2  3 ada"a# #impunan tertutup di R * Buktikan  +

Jika Jika tidak tidak demikia demikian n * !epert !epertii di ata! ata! + maka maka #impuna #impunan n B di!ebu di!ebutt #impun #impunan an tak #inggaan #inggaan *in$inite+& Jika ada $ung!i yang inekti$ dari B ke #impunan bi"angan a!"i N *!ebagai range+' maka B di!ebut #impunan denumerab"e' dan ika tidak ada $ung!i inekti$ yang dapat dik%ntruk!i dari B ke N' maka B di!ebut #impunan n%n-denumerab"e&

Himpun Himpunan an $inite $inite dan denumer denumerab" ab"ee !ering !ering di!ebu di!ebutt #impun #impunan an yang yang .%unta .%untab"e b"e atau atau #impuna #impunan n terbi"ang' dan #impunan n%n-denumerab"e !ering di!ebut dengan #impunan un.%untab"e atau tak  terbi"ang& D%nt%# / N /  #impunan !emua bi"angan a!"i merupakan #impunan denumerab"e I /   9'7  merupakan #impunan yang n%n-denumerab"e

&eori Ar'himedian

Untuk !etiap bi"angan rea" ( terdapat bi"angan a!"i n( *bi"angan a!"i n yang tergantung  pada (+' !edemikian !e#ingga ( ? n( Se.ara !imb%"ik ditu"i! / ∀ ( ∈ R'

Bukti / Andaikan ( Karena Karena / n(

≥

∃  n (

∈  N @ ( ? n (

 n( 2 n( ∈  N ∈

 N dan (

≥

n(' maka ( merupakan !a"a# !atu bata! ata! dari N 2

artiny artinyaa #impuna #impunan n N terbat terbata! a! di ata!& ata!& Ini k%ntrad k%ntradik! ik!ii dengan dengan $akta $akta ba#)a ba#)a #impuna #impunan n !emua !emua  bi"angan a!"i tidak terbata! di ata!& Maka di!impu"kan ba#)a #aru!"a# ∈

 N @ ( ? n(

Datatan / *Buktikan ba#)a N tidak terbata! di ata!+

∀

( ∈ R'

∃

n(

Karena  *$+

1

≥

 dan U *$+

2

−1

1

∫  x dx

 1 2

1

 maka  *$+  U *$+ 

2

 atau /

1

∫ x dx

 

−0

≤

 

0

2

Artinya $*(+  ( merupakan $ung!i yang terintegra"kan !e.ara Riemann pada !e"ang  9'7 

&eorema (#)

Jika $ !uatu $ung!i yang terbata! pada !e"ang tertutup I   a'b  maka ber"aku −b

b

∫ f  ( ( x) dx

∫ f  ( ( x) dx

≤

−a

a

Bukti / Mi!a"kan  ρ *

ρ

7

7

 dan  ρ

≤

'$ +

 merupakan !ebua# parti!i dari I   a'b  Maka ber"aku /



ρ

 U *

'$ +& 4an untuk parti!i



 ρ

 dan !ebarang !upremum ata! parti!i



 ρ

7

−b

dari I ber"aku

∫ f 

≤  U * ρ

a



'$ +& 4an untuk !etiap in$imum ata! parti!i  ρ

 ber"aku /



−b

b

∫ f  ( ( x) dx

∫ f  ( ( x) dx

≤

−a

a

&eorema (#*

Mi!a"kan $ / I

→  R !uatu $ung!i' maka $ terintegra"kan !e.ara Riemann pada !e"ang I   a'b '

 ika untuk !etiap

 ρ '$ + ?

ε

ε

 8 9 terdapat parti!i

 ρ

 dari  a'b  !edemikian !e#ingga U *

ρ

'$ + >  *

Bukti / Beri

ε  8 9 !ebarang ε

Untuk

U * ρ '$ + >  * ρ '$ + ?  * ρ '$ +

−b

∫ f 

≤

∫ f 

≤

−a

∫ f  a

≤

a

−b

≤

 U * ρ '$ +

b

∫ f 

-

≤

U * ρ '$ + >  * ρ '$ +2 dan !e.ara k#u!u! untuk parti!i

−a

−b

 ρ

 peng#a"u!an

∫ f 

≤

 didapat / 9

a

−b

Se#ingga diper%"e# / 9

∫ f 

≤

a

−b

Bentuk dari / 9

≤

 dari I !edemikian !e#ingga /

ε & Untuk !ebarang parti!i  ρ  dari I didapat #ubungan /

b

Atau / 9

 ρ

 8 9' maka ada parti!i peng#a"u!an

∫ f  a

b

∫ f 

 -

−a

∫ f  a

 U *

 -

∫ f 

 ?

−a

'$ + >  *

ρ

'$ + ?

ε

ε

−b

b

-

ρ

b

∫ f  −a

?

ε

 !ama dengan 1

 bentuk terak#ir ini ber"aku untuk !ebarang bi"angan −b

≤

ε

∫ f  a

b

-

∫ f  −a

1?

ε

& Karena

 8 9' maka #aru!"a# /

b

 

∫ f  −a

Terbukti"a# Terbukti"a# ba#)a / Jika $ / I

→

R !uatu $ung!i' $ung!i' dan untuk untuk !etiap !etiap

!edemikian !e#ingga U *  pada !e"ang I&

ρ

'$ +

≤

*

ρ

'$ + ?

ε ε

8 9 terd terdapa apatt part parti! i!ii

 ρ   dari a'b

 maka $ terintegra"kan !e.ara Riemann