1.
Misalkan * + Bukti : Karena x 0, x S1 maka menurut definisi adalah salah satu batas bawah dari
S1 .
Akan ditunjukkan 0 inf S1 . Misalkan
t
sebarang batas bawah
Andaikan t 0 , karena 0 S1 berarti Kontradiksi dengan
t
ditunjukkan ditunjukkan t 0 .
S1 , akan
batas bawah
t
bukan batas bawah
S1 .
S1 .
Pengandaian t 0 salah. Jadi t 0 . adalah salah satu batas bawah dari
S1 , t
sebarang batas bawah
S1 sehingga
t 0 maka menurut
definisi 0 inf S1 .
1>0, berarti u 1 u . Andaikan u adalah batas atas
S1 , berarti
u 1 S1 dan u adalah batas atas
s u, s S1 .
S1 maka
u 1 u .
Kontradiksi dengan fakta u 1 u . Pengandaian u adalah batas atas S1 salah. Jadi 2.
S1 tidak memiliki batas atas.
Misalkan * +. Bukti : Karena x 0, x S 2 . Andaikan 0 bukan batas bawah bawah dari s 0 berarti
s S2
S 2 berarti s S 2 sehingga
s 0.
.
Kontradiksi dengan
s S2
.
Jadi pengandaian 0 bukan batas bawah bawah dari Jadi 0 batas bawah bawah dari dari
S 2 salah.
S2 .
Akan ditunjukkan 0 inf S2 . Misalkan
t
sebarang batas bawah
Andaikan t 0 , berarti t t
t
2
S 2 , akan
ditunjukkan t 0 .
0.
t
0 berarti t bukan batas bawah S 2 . 2 Kontradiksi dengan t batas bawah S 2 . Pengandaian t 0 salah. Jadi t 0 . adalah salah satu batas bawah dari
S 2 , t
sebarang batas bawah
menurut definisi 0 inf S2 .
1>0, berarti u 1 u . Andaikan u adalah batas atas
S 2 , berarti
s u, s S 2 .
S 2 sehingga
t 0 maka
u 1 S 2 dan u adalah batas atas S 2 maka u 1 u .
Kontradiksi dengan fakta u 1 u . Pengandaian u adalah batas atas S 2 salah. Jadi
S 2 tidak memiliki batas atas
karena 3.
S2
tidak memiliki batas atas, maka
S2
tidak memiliki supremum.
Misalkan * +.
Akan dibuktikan sup S3 1 1 > 0 menurut Teorema 2.1.8 b Untuk setiap n N , berlaku n 0 menurut Teorema 2.1.8 c. 1 > 0, 1 N , n 0 untuk setiap n N maka 0 1 n . 1 Sehingga 0 1, n N . n 1 1 1, S3 berarti adalah batas atas dari S 3 . n n Sekarang untuk setiap kita tahu bahwa mungkin saja atau 0 0 . .
Misalkan
1
0 , berarti 1 1 S S3 .
1
1 Jadi S S3 sehingga 1 S 1
1 adalah batas atas
S 3 dan untuk setiap
1
0 S S3 sehingga 1 S , maka menurut
1
lemma 2.3.4. sup S3 1
1
1
0, S3
n n Andaikan 0 bukan batas bawah dari S 3 , berarti s S 3 sehingga s 0 .
s 0 berarti s S3 . Kontradiksi dengan s S3 . Jadi pengandaian 0 bukan batas bawah bawah dari Jadi 0 batas bawah bawah dari dari
S 3 salah.
S3 .
0 inf S3 .
Misalkan
t
sebarang batas bawah
Andaikan t 0 , berarti t t
t
2
S 3 , akan
ditunjukkan t 0 .
0.
t
0 berarti t bukan batas bawah S 3 . 2 Kontradiksi dengan t batas bawah S 3 . Pengandaian t 0 salah. Jadi t 0 . adalah salah satu batas bawah dari menurut definisi 0 inf S3 .
S3
,
t
sebarang batas bawah
S 3 sehingga
t 0 maka
4.
1 genap p 1 , n gena 1 n S 4 : 1 : n N : n 1 1 , n ganjil ganjil n n
S4
i. ii.
1
Untuk n genap berlaku Untuk n ganjil berlaku
n
n
1
0 , sehingga 1
n
0 , sehingga 1
1 n
1
Jadi S
0 , berarti 2 2
11
1
11
1
1 1 2 n
n
n
n Dari i)dan ii) maka 2 adalah batas atas S 4 .
Misalkan
n
1
1 2 n
S S4 .
1
S4 sehingga 2 S .
2 adalah batas atas
S 4 dan untuk setiap
0
S
11
S4 sehingga 2 S , maka menurut
1
lemma 2.3.4. sup S4 2
1
S4
2
i.
Untuk n genap berlaku
ii.
Untuk n ganjil berlaku
Dari i)dan ii) maka Misalkan
t
1 2
n
n
1 n
0 , sehingga
1
0 , sehingga
1
n
adalah batas bawah
sebarang batas bawah 1
1
S 4 , akan
2 2
1
1
n
1
n
1 1
1 n
1 n
n
1
1 n
S4 .
ditunjukkan t
1 2
.
1
S4 berarti t bukan batas bawah S 4 . 2 2 Kontradiksi dengan t batas bawah S 4 . Andaikan t
, karena
Pengandaian t Jadi t 1 2
1 2
1 2
salah.
.
adalah salah satu batas bawah dari
menurut definisi
1 2
inf S4 .
5. S , S R, u batas atas S
inf S sups : s S
S 4 , t
sebarang batas bawah
S 4 sehingga
t
1 2
maka
Misalkan v inf S maka
v sups : s S sup S '
v inf S , berarti, i) v batas bawah S dan, ii) sebarang t batas bawah S berlaku t v . i) v batas bawah S , berarti v s, s S karena -1<0 maka s v, s S ' , berarti v batas atas S ' . Jadi v batas atas S . Misalkan w sebarang batas atas S ' , v w . w batas atas S berarti s w, s S ' . Karena -1<0, maka s w, s S , sehingga w batas bawah S . w sebarang batas bawah S dan v inf S maka w v . Akibatnya v w . v batas atas S ' dan w sebarang batas atas S ' berlaku v w ,maka menurut definisi v sup S ' sups : s S '
'
Sehingga v sups : s S Jadi inf S sup s : s S
6. S R, S , misalkan u batas atas S Misalkan 0 , maka u u S S .
u sup S
Karena S u S sehingga u S maka menurut lemma 2.3.4. u sup S .
7. S R, S . Buktikan u R batas atas S jika dan hanya jika t R dan t u mengakibatkan t S . Andaikan t S , karena u batas atas S maka t u . Kontradiksi dengan t u . Jadi pengandaian t S salah. Jadi t S . Andaikan u bukan batas atas S berarti t S t u , sehingga t S . Kontradiksi dengan t S . Jadi pengandaian u bukan batas atas S salah. Jadi u batas atas S . 8. S R, S . Buktikan jika u sup S maka
u
1
n
bukan batas atas S dan u
n N . u sup S , i)berarti u batas atas S , ii) sebarang t batas atas S berlaku u t .
n N ,
1 n
n 0 maka
1 n
n 1
0.
0 berarti u u . n
Karena
1
u
batas atas S maka menurut (2’)
0 berarti u u
1 n
t .
u
1
n
bukan batas atas S .
1 n
batas atas S
Karena t sebarang batas atas S maka u
1 n
batas atas S .
9. Buktikan jika A dan B pada R maka A B terbatas. Buktikan sup A B supsup A, sup B A terbatas berarti A terbatas atas dan terbatas bawah. A terbatas atas, berarti v batas atas A sehingga a v, a A A terbatas bawah, berarti v ' batas bawah A sehingga a v ', a A B terbatas berarti B terbatas atas dan terbatas bawah. B terbatas atas, berarti w batas atas B sehingga b w, b B B terbatas bawah, berarti w ' batas bawah B sehingga b w ', b B
a A, b B maka a, b A B sehingga menurut sifat Trichotomy a b, a b, a b . i. Untuk a b , karena b w maka a b w, b A B . w batas atas A B Karena a v ' maka v ' a b, a A B v ' batas bawah A B
ii. Untuk a b , karena b w dan a v maka a b w dan a b v a, b A B . w dan v batas atas A B karena b w ' dan a v ' maka a b w ' dan a b v ' a, b A B . w ' dan v ' batas bawah A B iii. Untuk a b , karena a v maka b a v, a A B . v batas atas A B karena b w ' maka w ' b a, b A B . w ' batas bawah A B Dari i, ii, iii maka A B mempunyai batas atas dan batas bawah. Jadi A B terbatas.
sup A B supsup A, sup B . Misalkan u sup A , berarti i) u batas atas A ,ii) u ' sebarang batas atas A berlaku u ' u . u batas atas A , berarti a u, a A . Misalkan v sup B , berarti i) v batas atas B ,ii) v ' sebarang batas atas B berlaku v ' v . v batas atas B , berarti b v, b B . Karena A dan B mempunyai batas atas maka A B mempunyai batas atas(soal sebelumnya).
10. 11.
