INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I Formulación de Modelos de programación Lineal – Casos Resueltos Objetivo del Laboratorio Lograr que los alumnos Formulen modelos matemáticos que representen un problema. PROBLEMA 1 Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por $40.000 para invertir. Sus miembros pueden producir un total de 3.500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (mediado de Sep. A mediados de mayo) y 4.000 horashombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de estas horashombre, los jóvenes de la familia las emplearán para trabajar en un campo vecino por $5 la hora durante los meses de invierno y 6 $/h en el verano. Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión, pero cada vaca requiere un desembolso de $1.200 y cada gallina costará $9. Cada vaca necesita 1,5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas en el verano. Cada una producirá un ingreso anual neto $1.000 para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son: nada de terreno, 0,6 horas-hombre en el invierno, 0,3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual neto de $5. Caben 3.000 gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Las estimaciones de las horas-hombre y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son las siguiente.
horas-hombre en invierno horas-hombre en verano Ingreso neto anual ($)
Soya 20 50 500
Maíz 35 75 750
Avena 10 40 350
Formule el modelo de programación lineal para maximizar los ingresos netos. (Definir las variables de decisión, la función objetivo indicando las unidades de sus coeficientes, y las restricciones indicando también las unidades de las tasa físicas y de los recursos) 1. Variables de decisión VAi : Número de vacas en invierno VAv: Número de vacas en verano GAi : Número de gallinas en invierno GAv: Número de gallinas en verano CSi : Número de acres de cosecha de soya en invierno CSv: Número de acres de cosecha de soya en verano CMi : Número de acres de cosecha de maíz en invierno CMv: Número de acres de cosecha de maíz en verano CAi : Número de acres de cosecha de avena en invierno CAv: Número de acres de cosecha de avena en verano 2. Función Objetivo MAXIMIZAR=
1000(VAi+VAv)+ 5(Gai+GAv) + 500(CSi+CSv) + 750(CMi+CMv) + 350(CAi+CAv) + 6(3500-(100VAi+0.6GAi+20CSi+35CMi+10CAi)) + 5(4000-(50VAv+0.3GAv+50CSv+75CMv+40CAv))
3. Restricciones Capital : 1200(VAi+VAv)+ 9(GAi+GAv) 40,000 Terreno: 1.5VAi + CSi + CMi + CAi 125 1.5VAv + CSv + CMv + CAv 125 Horas Hombre Invierno: 100VAi + 0.6GAi + 20CSi + 35CMi + 10CAi 3500 Horas Hombre Verano: 50VAv + 0.3GAv + 50CSv + 75CMv + 40CAv 4000 Numero de Vacas en el establo: VAi 32 VAv 32 Numero de Gallinas en el gallinero: GAi 3000 GAv 3000 Enteros y no negativos VAv, VAi, GAv, GAi son enteros VAv, VAi, GAv, GAi , CSv, CSi, CMv, CMi ,CAv, CAi, >= 0 PROBLEMA 2 La empresa "Color Corporation C.A." comercializa dos tipos de pinturas: SATINADA Y MATE. REQUERIMIENTOS DE MANUFACTURA Y PRECIO POR GALÓN Pintura
SATINADA MATE
Cantidad mínima de solvente [unidad/galón] 80 50
Cantidad máxima de azufre [unidad/galón] 15 28
Precio de venta [Bs./galón] 3.100 2.000
Se utilizan 3 tipos de pinturas base para fabricar las pinturas satinada y mate. CARACTERÍSTICAS DE LAS PINTURAS BASE Pintura Cantidad de Cantidad de Disponibilidad base solvente azufre [u/gal] Máxima [u/gal] galones bimestral Tipo 1 83 10 60.000 Tipo 2 60 20 50.000 Tipo 3 47 14 80.000
Costo [Bs./galón] 2.500 1.800 1.500
La Color Corporation C.A. Se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 25.000 galones de pintura mate quincenalmente.
Plantear este problema como un modelo de Programación lineal cuyo objetivo es mezclar las pinturas base de manera que las utilidades por ventas mensuales de las pinturas satinada y mate sean máximas. 1. Variables de decisión: X1s gl de pintura base tipo 1 a utilizar en el pintura satinada por mes X2s gl de pintura base tipo 2 a utilizar en el pintura satinada por mes X3s gl de pintura base tipo 3 a utilizar en el pintura satinada por mes X1m gl de pintura base tipo 1 a utilizar en el pintura mate por mes X2m gl de pintura base tipo 2 a utilizar en el pintura mate por mes X3m gl de pintura base tipo 3 a utilizar en el pintura mate por mes 2. Función Objetivo MAXIMIZAR =
3100(X1s+X2s+X3s)+2000(X1m+X2m+X3m)2500(X1s+X1m)-1800(X2s+X2m)-1500(X3s+X3m)
3. Restricciones Disponibilidad máxima pintura base 1 X1s+X1m <= 30000 Disponibilidad máxima pintura base 2 X2s+X2m <= 25000 Disponibilidad máxima pintura base 3 X3s+X3m <= 40000 Demanda de pintura mate X1m+X2m+X3m >= 50000 Cantidad mínima de solvente en pintura satinada (83X1s+60X2s+47X3s) / (X1s+X2s+X3s) >= 80 Cantidad mínima de solvente en pintura mate (83X1m+60X2m+47X3m) / (X1m+X2m+X3m) >= 50 Cantidad máxima de azufre en pintura satinada (10X1s+20X2s+14X3s) / (X1s+X2s+X3s) <= 15 Cantidad máxima de azufre en pintura mate (10X1m+20X2m+14X3m) / (X1m+X2m+X3m) <= 28 No negatividad X1s, X2s, X3s, X1m, X2m, X3m >=0
PROBLEMA 3 Un distribuidor de cauchos puede enviar mercancía a los detallistas desde 3 sitios distintos: Lima, Arequipa y Trujillo. Dichos detallistas están en Pucallpa Iquitos y Tacna. Los costos de envío se muestran en la siguiente tabla:(Los precios vienen dados en miles de Bs. por miles de unidades y además la demanda y la oferta en miles de unidades). Las mercancías no distribuidas serán penalizadas en un 30% del menor costo de transporte de esa distribuidora.
Pucallpa 100 200 50 150
Lima Arequipa Trujillo demanda
Iquitos 50 150 150 250
oferta 200 300 200
Tacna 100 70 200 250
¿Qué rutas se deben usar para minimizar el costo total y cuál es ese costo? Plantear este problema como un modelo de Programación lineal 1. Variables de decisión
Detallistas Distribuidores Pucallpa (150 und)
Iquitos (250 und)
Tacna (250 und)
Lima (200 und)
X11
X12
X13
Arequipa (300 und)
X21
X22
X23
Trujillo (200 und)
X31
X32
X33
Xab = Unidades transportadas desde las distribuidoras a (1, 2, 3) hasta los detallistas b (1, 2, 3)
2. Función Objetivo MINIMIZAR =
100X11 + 50X12 + 100X13 + 200X21 + 150X22 + 70X23 + 50X31 + 150X32 + 200X33 + [(200 - (X11 + X12 + X13)(50*0.30)] + [(300 (X21 + X22 + X23)(70*0.30)] + [(200 - (X31 + X32 + X33)(50*0.30)
3. Restricciones
Demanda X11 + X21 + X31 = 150 X12 + X22 + X32 = 250 X13 + X23 + X33 = 250 Oferta
X11 + X12 + X13 <= 200 X21 + X22 + 213 <= 300 X31 + X32 + X33 <= 200 No negatividad Xab >= 0 Enteros Xab enteros PROBLEMA 4 Una compañía fabricante de aparatos de televisión tiene que decidir entre el número (entero) de televisores con control y sin control que debe producir. Una investigación del mercado indica que por mes se pueden vender a lo más 1.000 unidades con control y 4.000 unidades sin control. El número máximo de horas-hombre disponibles es de 40.000 por mes. Un televisor con control requiere 20 horas-hombre y uno sin control requiere 15 horas-hombre. La ganancia por unidad de los televisores con control y sin control es de Bs. 7.200 y Bs. 3.600 respectivamente. Se desea encontrar el número de unidades de cada tipo de televisor que la compañía debe producir para maximizar su ganancia. Plantear el problema. 1. Variables de decisión: Xcc Cantidad de televisores con control Xsc Cantidad de televisores sin control 2. Función Objetivo MAXIMIZAR = 7200 Xcc + 3600 Xsc 3. Restricciones Capacidad de venta de Televisores con control Xcc <=1000 Capacidad de venta de Televisores sin control Xsc <=4000 Disponibilidad de horas 20 Xcc + 15 Xsc <= 40000 No negatividad Xcc, Xsc >=0 Enteros Xcc, Xsc son Enteros PROBLEMA 5 Una compañía manufacturera fabrica tres productos P1, P2 y P3. El proceso de producción utiliza dos materias primas, R1 y R2, que se procesan en dos instalaciones, F1 y F2. La disponibilidad diaria máxima de R1, R2, F1 y F2, y los usos por unidad de P1, P2 y P3 se citan en la tabla que sigue:
Utilización por unidad de P1 P2 P3 ----------------------------
Recurso Unidades ----------------------------------------------F1 minutos 1 2 1 F2 minutos 3 0 2 R1 libras 1 4 0 R2 libras 1 1 1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------
Disponibilidad diaria máxima ----------------------------430 460 420 300
La demanda diaria mínima del producto P2 es de 70 unidades, en tanto que la de P3 no puede ser mayor de 240 unidades. Se estima que las contribuciones a la ganancia por unidad de P1, P2 y P3 son $3, $2 y $5 respectivamente. Plantear es problema como un modelo de P.L. (Definir claramente las variables de decisión, la función objetivo y las restricciones) 1. Variables de decisión P11: P12: P21: P22: P31: P32:
productos tipo 1 a fabricar por día en recurso F1 productos tipo 1 a fabricar por día en recurso F2 productos tipo 2 a fabricar por día en recurso F1 productos tipo 2 a fabricar por día en recurso F2 productos tipo 3 a fabricar por día en recurso F1 productos tipo 3 a fabricar por día en recurso F2
2. Función Objetivo MAXIMIZAR = 3(P11+P12) + 2(P21+P22) +5 (P31+P32) 3. Restricciones del problema: Capacidad del Recurso F1 P11+2 P21+P31 <=430 Capacidad del Recurso F2 3 P12+2 P32 <=460 Disponibilidad de material R1 (P11+P12) + 4 (P21+P22) <= 420 Disponibilidad de material R2 (P11+P12) + (P21+P22)+ (P31+P32) <= 300 Demanda mínima de P2 P21 + P22 >= 70 Demanda máxima de P3 P31 + P32 <= 240 No negatividad P11 ,P12 ,P21, P22, P31, P32 >= 0 Enteros P11 ,P12 ,P21, P22, P31, P32 son enteros
PROBLEMA 6 Una cooperativa agrícola grande opera tres granjas. La producción de cada granja está limitada por la cantidad de agua disponible para irrigación y por el número de acres disponibles para cultivo. Los datos de la tabla Nº 1 describen las granjas. Normalmente, la cooperativa cultiva tres tipos de productos, aunque cada una de las granjas no necesariamente cultiva todos ellos. Debido a la limitación en la disponibilidad de equipo para cosechar, existen restricciones sobre el número de acres de cada producto que se cultivan en cada granja. Los datos de la tabla Nº 2 reflejan el máximo de acres de cada cultivo que pueden producirse en cada granja. El agua que se requiere (expresada en miles de m3 por acre) para los respectivos cultivos son: 6, 5 y 4. Las utilidades que se proyectan por acre para cada uno de los tres cultivos son $500, $350 y $200 respectivamente. Para mantener una carga de trabajo equilibrada entre las 3 granjas, la cooperativa ha adoptado la política de hacer que en cada granja se cultive un porcentaje igual de terreno disponible. Plantee un modelo de PL. Para el problema, que permita a la cooperativa determinar la cantidad (acres) de cada cultivo que deben plantarse en cada granja para que se maximicen las utilidades totales esperadas para la cooperativa. TABLA Nº 1 Granja Disponibilidad de agua (m3 ) 1 480.000 2 370.000 3 890.000
Disponibilidad de tierra (acres) 450 350 500
TABLA Nº 2 Cultivo A B C
Granja 1 200 150 200
Granja 2 100 150 200
Granja 3 250 100 300
1. Variables de decisión CA1: Acres del cultivo A en la granja 1 CA2: Acres del cultivo A en la granja 2 CA3: Acres del cultivo A en la granja 3 CB1: Acres del cultivo B en la granja 1 CB2: Acres del cultivo B en la granja 2 CB3: Acres del cultivo B en la granja 3 CC1: Acres del cultivo C en la granja 1 CC2: Acres del cultivo C en la granja 2 CC3: Acres del cultivo C en la granja 3 2. Función Objetivo MAXIMIZAR = 500(CA1+CA2+CA3)+350(CB1+CB2+CB3) + 200 (CC1+CC2+CC3) 3. Restricciones del problema: Máximos acres por cada cultivo por tipo de granja
CA1<=200 CA2<=100 CA3<=250 CB1<=150 CB2<=150 CB3<=100 CC1<=200 CC2<=200 CC3<=300 Disponibilidad de agua granja 1 6000 CA1+ 5000 CB1 + 4000 CC1 <= 480000 Disponibilidad de agua granja 2 6000 CA2+ 5000 CB2 + 4000 CC2 <= 370000 Disponibilidad de agua granja 3 6000 CA3+ 5000 CB3 + 4000 CC3 <= 890000 Disponibilidad de acres granja 1 CA1+ CB1 + CC1 <= 450 Disponibilidad de acres granja 2 CA2+ CB2 + CC2 <= 350 Disponibilidad de acres granja 3 CA3+ CB3 + CC3 <= 500 Carga de trabajo equilibrada (CA1+CB1+CC1)/450=(CA2+CB2+CC2)/350=(CA3+CB3+CC3)/500 No negatividad CA1,CB1,CC1,CA2,CB2,CC2,CA3,CB3,CC3>= 0 Enteros CA1,CB1,CC1,CA2,CB2,CC2,CA3,CB3,CC3 son enteros PROBLEMA 7 Una compañía fabrica tres tipos de aisladores de uso industrial en compañías de servicios electrónicos: aisladores de aplicación general, de aplicación especial y de alto voltaje. Cada producto pasa a través de tres operaciones de producción: horneado, lavado y laminado y por último pulimento. Sólo existe disponible una máquina en cada una de las respectivas operaciones. La tasa de producción (en unidades por hora) para cada tipo de aislador, y en cada operación, se muestra en la tabla Nº 1. Los costos de las materias primas asociados con la fabricación de los aisladores son de $5 (aplicación general),$6 (aplicación especial) y $10 (alto voltaje). Los costos por hora de las respectivas operaciones de producción son: $250 (horneado), $200 (lavado y laminado) y $100 (pulimento). Los precios unitarios de venta son $25, $39.75 y $67.50 para los tres productos respectivamente. A la compañía le gustaría asignar el tiempo utilizado en las diferentes operaciones de manera que se maximicen las utilidades por hora. Plantear el problema como un modelo de PL. TABLA Nº 1
Tipo de aislador
Horneado
Aplicación general Aplicación especial Alto voltaje
50 40 25
Lavado y Pulimento laminado 40 25 20 20 10 10
Operaciones de Producción ea/hora
Tipos de Variables Aisladores
Costos Materia Prima $
X1
General
5
X2
Especial
X3
Alto Voltaje
Precio Lavado y Costos $ de Costo Costo Costo Horneado Laminad Pulido TOTAL X TIPO UTILIDA X PIEZA Venta 250$/h 200$/h 100$/h o X PZA $
25
50 EA/h
5
40 EA/h
5
6
39.75 40 EA/h 6.25 20 EA/h
10
10
67.5 25 EA/h
20
10 10 EA/h $/EA
25 EA/h 20 EA/h 10 EA/h
$/EA
4 5
19 27.25
6 12.5
10
50
17.5
$/EA
$/EA
$/EA
1. Variables de decisión X1 = Unidades de Aislador General X2 = Unidades de Aislador Especial X3 = Unidades de Aislador de Alto Voltaje 2. Función Objetivo MAXIMIZAR = 6 X1 + 12.5 X2 + 17.5 X3 3. Restricciones del problema Capacidad del Horneado: 1/50 X1 + 1/40 X2 + 1/25 X3 <= 1 Capacidad del Lavado y Laminado 1/40 X1 + 1/20 X2 + 1/10 X3 <= 1 Capacidad del Pulido 1/25 X1 + 1/20 X2 + 1/10 X3 <= 1 No negatividad X1, X2, X3 >= 0 Enteros X1, X2, X3 ENTERO PROBLEMA 8 Un granjero desea determinar cuál es la mejor selección de animales para su granja con el objeto de maximizar sus utilidades por la venta de los animales al final del verano. Puede elegir entre comprar borregos, reses o cabras. Cada borrego requiere un acre de
pastura y $15 de alimentación y tratamiento. Un borrego cuesta $25 y puede venderse en $60. Para las reses esos valores son 4 acres, $30, $40 y $100; y para las cabras los valores son 1/2 acre, $5, $10 y $20. La granja tiene 300 acres y el granjero dispone de $2.500 para invertirlos en la compra y mantenimiento del rebaño. Por último, el granjero no desea que más del 40% de sus animales sean cabras, o que los borregos sean menos del 30%. Plantee este problema en forma de P.L. para maximizar las utilidades al final del periodo. Utilidad de Borregos por unidad = 60 – 25 – 15 = 20 $/und. Utilidad de Reses por unidad = 100 – 30 – 40 = 30 $/und. Utilidad de Cabras por unidad = 20 – 10 – 5 = 5 $/und. 1. Variables de decisión: B Cantidad de Borregos R Cantidad de Reses C Cantidad de Cabras 2. Función Objetivo MAXIMIZAR = 20B + 30R + 5C 3. Restricciones Disponibilidad de Acres B+4R+0.5C <=300 Disponibilidad de dinero a invertir 40B+70R+15C <=2500 Cantidad de Cabras C <=0.4 (B+R+C) Cantidad de Borregos B >=0.3 (B+R+C) No negatividad A, B, C >=0 Enteros A, B, C son Enteros
PROBLEMA 9 Alfredo tiene $2.200 para invertir durante los siguientes 5 años. Al principio de cada año puede invertir su dinero en depósitos a plazo fijo del 1 ó 2 años. El banco paga el 8% de interés en depósitos a plazo fijo de un año y el 17% (total) en depósitos a plazo fijo de 2 años. Además, al principio del segundo año de inversión, el banco ofrecerá certificados a tres años. Estos certificados tendrán una ganancia del 27% (total). Si Alfredo reinvierte su dinero disponible cada año. Plantee este problema en forma de P.L. para maximizar sus ganancias totales al final del quinto año. 1. Variables de decisión: Plazo fijo 1 año:
PF 11 + PF 12 + PF 13 + PF 14 + PF 15
Plazo fijo 2 años Certificados
PF 21 + PF 22 +PF 23 + PF 24 CD 32
2. Función Objetivo MAXIMIZAR = 8% (PF 11 + PF 12 + PF 13 + PF 14 + PF 15) + 17% (PF 21 + PF 22 + PF 23 +PF 24) + 27% (CD 32) 3. Restricciones Límites de inversión 1er año PF 11 + PF 21 <= 2200 2do año PF 12 + PF 22 + CD 32 <= 2200 + 8% PF 11 – PF 21 3er año PF 13 + PF 23 <= 2200 + 8% (PF 11 + PF 12) + 17% (PF 21) - PF22 – CD32 4to año PF 24 + PF 14 <= 2200 + 8% (PF 11 + PF 12 + PF 13) + 17% (PF 21 + PF 22) - PF 23 - CD 32 5to año PF 15 <= 2200 + 8% (PF 11 + PF 12 + PF 13 + PF 14) + 17% (PF 21 + PF 22 + PF 23) + 27% (CD 32) – PF24 PROBLEMA 10 Una Factoría elabora dos productos que se pueden fabricar en dos líneas de producción. Ambos artículos logran sus menores costos cuando se fabrican en la línea de producción que es más moderna. Sin embargo, tal línea moderna no tiene capacidad para manejar el total de la producción. Como resultado, alguna parte de la producción tiene que manejarse a través de la línea de producción antigua. Enseguida se muestran los datos sobre los requerimientos totales de producción, las capacidades de las líneas de producción y los costos:
Producto 1 Producto 2 Cap. de producción
Costo unitario de producción Línea moderna Línea antigua 3$ 5$ 2,5$ 4,5$ 900 500
Producción mínima Requerimientos 600 unidades 700 unidades
Formule un modelo de programación lineal que puede utilizarse para tomar decisiones acerca de la producción que minimiza el costo total. 1. Variables de decisión P1M: productos tipo 1 a fabricar por día en Línea moderna P1A: productos tipo 1 a fabricar por día en Línea antigua P2M: productos tipo 2 a fabricar por día en Línea moderna P2A: productos tipo 2 a fabricar por día en Línea antigua 2. Función Objetivo MINIMIZAR = 3P1M+5P1A+2.5P2M+4.5P2A
3. Restricciones del problema: Capacidad de la línea moderna P1M + P2M <= 900 Capacidad de la línea antigua P1A + P2A <= 500 Producción Mínima de P1 P1M + P1A >= 600 Producción Mínima de P2 P2M + P2A >= 700 No negatividad P1M ,P1A ,P2M, P2A >= 0 Enteros P1M ,P1A ,P2M, P2A Son Enteros
PROBLEMA 11 Cierta compañía tiene dos plantas que pueden fabricar un determinado producto. El producto puede hacerse en tres tamaños, grande, mediano y pequeño, que darán una ganancia neta de Bs. 75, Bs. 66 y Bs. 55 respectivamente. Las plantas 1 y 2 tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750 y 900 unidades diarias cada una, sin importar el tamaño ó la combinación de tamaño que se pida. Sin embargo, la cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone una limitación en las 2 2 tasas de producción. Se cuenta con 1.200 m y 1.000 m de espacio en las plantas, para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. 2
Cada unidad grande, mediana y pequeña que se produce requiere 2, 1.5 y 1 m , respectivamente. Los pronósticos de mercado indican que se pueden vender 900, 1.000 y 700 unidades diarias correspondientes a los tamaños grande, mediano y pequeño. Con el fin de mantener una carga de trabajo uniforme entre las plantas, la gerencia ha decidido que la producción que se les asigne emplee el mismo porcentaje de la capacidad con que cuentan. El Gerente quiere saber ¿Cuántas unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para Maximizar la ganancia? Formule este modelo como un problema de Programación Lineal. 1. Variables de decisión: X1G Unidades diaria del producto grande fabricado en la planta 1 X1M Unidades diarias del producto mediano fabricado en la planta 1 X1P Unidades diarias del producto pequeño fabricado en la planta 1 X2G Unidades diarias del producto grande fabricado en la planta 2 X2M Unidades diarias del producto mediano fabricado en la planta 2 X2P Unidades diarias del producto pequeño fabricado en la planta 2
2. Función Objetivo MAXIMIZAR = 75 (X1G+X2G)+ 66 (X1M+X2M)+ 55 (X1P+X2P) 3. Restricciones Espacio de Planta 1 2X1G + 1.5X1M +X1P<=1200 Espacio de Planta 2 2X2G + 1.5X2M +X2P <=1000 Pronósticos del mercado: Ventas por unidad de producto: X1G + X2G >= 900 X1M + X2M >= 1000 X1P + X2P >= 700 Capacidad de Mano de obra y equipos: X1G + X1M + X1P <=750 X2G + X2M + X2P <= 900 Carga de trabajo uniforme entre las plantas (X1G+X1M+X1P)/750 = (X2G+X2M+X2P)/900 No negatividad X1G, X1M, X1P, X2G, X2M, X2P >=0 Enteros X1G,X1M, X1P, X2G, X2M,X2P son enteros
PROBLEMA 12 Una Compañía fabrica fertilizantes especiales para clientes del mercado de cítricos. La compañía acaba de recibir un pedido de 1.000 toneladas (Tn.) de un fertilizante que debe satisfacer las siguientes especificaciones: a) Cuando menos 20% de nitrógeno b) Cuando menos 30% de potasio c) Cuando menos 8% de fosfato. La compañía ha adquirido cuatro mezclas de fertilizantes a partir de los cuales puede fabricar sus fertilizantes especiales. Los porcentajes de potasio, nitrógeno y fosfato que contienen los fertilizantes básicos son: Fertilizante Básico 1 2 3 4
Nitrógeno 40 30 20 5
Porcentaje de Potasio 20 10 40 5
Fosfato 10 5 5 30
Costo por Tn. de los Fer. básico $16 $12 $15 $8
El porcentaje restante de cada fertilizante básico consta de ingredientes inertes.
Si utilizamos x1, x2, x3 y x4 para representar las toneladas de cada uno de los fertilizantes básicos que deben incluirse en la mezcla para minimizar el costo de las 1.000 toneladas del fertilizante que debe fabricarse. Plantee el modelo como un problema de Programación Lineal. 1. Variables de decisión: X1 Tn del fertilizante tipo 1 a utilizar en el producto final X2 Tn del fertilizante tipo 2 a utilizar en el producto final X3 Tn del fertilizante tipo 3 a utilizar en el producto final X4 Tn del fertilizante tipo 4 a utilizar en el producto final 2. Función Objetivo MINIMIZAR = 16 X1 + 12 X2 + 15 X3 + 8 X4 3. Restricciones Demanda X1 + X2 + X3 + X4 = 1000 Nitrógeno (40X1+30X2+20X3+5X4) / (X1+X2+X3+X4) >= 20 Potasio (20X1+10X2+40X3+5X4) / (X1+X2+X3+X4) >= 30 Fosfato (10X1+5X2+5X3+30X4) / (X1+X2+X3+X4) >= 8 No negatividad X1, X2, X3, X4 >=0
PROBLEMA 13 Una empresa produce aceite monogrado y aceite multigrado, mezclando aceite común con dos aditivos. Por cada litro de los aceites producidos los contenidos en litro de aditivos son:
Aceite monogrado Aceite multigrado
Aditivo I 3/20 1/4
Aditivo II 1/4 7/20
La empresa dispone de 120 litros de aditivo I, 175 litros de aditivo II y de una cantidad ilimitada de aceite común. Los precios por litro de aditivo I y II son respectivamente 200 Bs. y 160 Bs. y un litro de aceite común vale 80 Bs. El aceite monogrado se vende a 150 Bs. el litro y un litro de aceite multigrado vale 180 Bs. La producción combinada de los dos aceites tiene que ser superior ó igual a 400 unidades (una unidad es igual a un litro de aceite) Plantee el modelo como un problema de Programación Lineal.
en Fracciones X1
en decimales X2
X1
en BS X2
X1
X2
aceite aceite aceite aceite aceite aceite Monogrado P Multigrado P Monogrado P Multigrado P Monogrado P Multigrado P VENTA VENTA VENTA VENTA VENTA VENTA
ADITIVO 1
A1
3/20
5/20
0.15
0.25
30
50
ADITIVO 2
A2
5/20
7/20
0.25
0.35
40
56
ACEITE
B
12/20
8/20
0.6
0.4
48
32
costos
118
138
Pventa
150
180
utilidad
32
42
1. Variables de decisión: Xmono Litros de aceite monogrado Xmulti Litros de aceite multigrado 2. Función Objetivo MAXIMIZAR = 32 Xmono + 42 Xmulti 3. Restricciones Disponibilidad del aditivo I 3/20 Xmono + 1/4 Xmulti <=120 Disponibilidad del aditivo II 1/4 Xmono + 7/20 Xmulti <=175 Capacidad de producción: Xmono + Xmulti >= 400 No negatividad Xmono, Xmulti >=0 PROBLEMA 14 Una fábrica produce tres artículos A, B y C, en las siguientes tres plantas que posee. La primera y segunda planta pueden fabricar los tres artículos pero la tercera solo los artículos A y C. La demanda de los artículos A, B y C son 600, 800 y 700 unidades diarias respectivamente. La primera como la tercera planta su producción es de 600 unidades diarias y la segunda planta es de 900 unidades diarias. El costo de fabricación $/unidad es: Artículos Planta 1
A 5
B 8
C 6
2 3
6 7
7 -
5 5
Plantee el problema como un modelo de Programación Lineal.
1. Variables de decisión PA1: productos tipo A a fabricar por día en la planta 1 PA2: productos tipo A a fabricar por día en la planta 2 PA3: productos tipo A a fabricar por día en la planta 3 PB1: productos tipo B a fabricar por día en la planta 1 PB2: productos tipo B a fabricar por día en la planta 2 PC1: productos tipo C a fabricar por día en la planta 1 PC2: productos tipo C a fabricar por día en la planta 2 PC3: productos tipo C a fabricar por día en la planta 3 2. Función Objetivo MINIMIZAR = 5PA1+6PA2+7PA3+8PB1+7PB23+6PC1+5PC2+5PC3 3. Restricciones del problema: Demanda del producto A PA1+PA2+PA3 >=600 Demanda del producto B PB1+PB2 >=800 Demanda del producto C PC1+PC2+PC3 >=700 Capacidad de producción en la planta 1 PA1+PB1+PC1 <= 600 Capacidad de producción en la planta 2 PA2+PB2+PC2 <= 900 Capacidad de producción en la planta 2 PA3+PC3 <= 600 No negatividad PA1 ,PA2 ,PA3, PB1, PB2, PC1, PC2, PC3 >= 0 Enteros PA1 ,PA2 ,PA3, PB1, PB2, PC1, PC2, PC3 son enteros
PROBLEMA 15 Una compañía produce dos productos que son: semicuero y tela. Esta compañía tiene dificultades de capital, lo cual obliga a un manejo cuidadoso de este recurso escaso. La producción de cualquiera de los productos se demora un mes, y la venta se produce un mes después de su producción. En el caso de las telas, el costo total de producción es de $200 por unidad, de los cuales $100 se deben pagar de inmediato, para comprar la materia prima, y los restantes $100 al final del mes. En el caso del semicuero se debe
pagar $25 de inmediato y $100 al final del mes. El precio de venta del semicuero es de $190,43 por unidad y el de la tela es de $362,10 por unidad. La compañía usa una tasa de retorno del 2% mensual. En el momento sólo dispone de $2.400, y dentro de un mes sólo dispondrá de $4.000. Además, el dinero que no se gaste de inmediato no podrá guardarse para dentro de un mes, porque el Auditor lo usara para pagos pendientes de otros compromisos. Plantear el problema como un modelo de Programación Lineal, con el objetivo de maximizar el valor presente neto total (VPN). 1. Variables de decisión: Xs = Unidad de Semicuero Xt = Unidad de Tela 2. Función Objetivo MAXIMIZAR = (190.43Xs + 360.10Xt)/(1+2%)2 – (100 Xt+100Xs)/(1+2%) - (100 Xt+25Xs) 3. Restricciones Disponibilidad de efectivo en el inicio 100 Xt + 25 Xs <= 2400 Disponibilidad de efectivo en el mes 1 100 Xt + 100 Xs <= 4000 No negatividad Xs, Xt >=0 Enteros Xs, Xt son enteros PROBLEMA 16 El dueño de una destilería clandestina acaba de producir 1.700 litros de licor base a un costo de 80 Bs./lt. Por otra parte dispone de 2.300 lt. de alcohol que le costaron 110 Bs./lt. y de 280 lt. de colorantes cuyo costo es 150 Bs./lt.Nuestro empresario mezcla estos ingredientes para fabricar el Whisky tipo añejo y el Whisky tipo superior, que vende respectivamente a Bs. 600 y Bs. 750 el litro. El Whisky tipo añejo contiene al menos 30% y cuando más 45% de alcohol y por lo menos 8% de colorantes mientras que el Whisky tipo superior contiene no más de 50% de alcohol y al menos 5% y no más de 10% de colorantes. En el proceso de mezclado se pierde el 5% del alcohol utilizado por evaporación. – Plantee el modelo como un problema de Programación Lineal.
1. Variables de decisión: Xlwa Litros de licor en whisky añejo Xlws Litros de licor en whisky superior Xawa Litros de alcohol en whisky añejo Xaws Litros de alcohol en whisky superior Xcwa Litros de colorante en whisky añejo Xcws Litros de colorante en whisky superior
2. Función Objetivo MAXIMIZAR =
600 (Xlwa+0.95Xawa+Xcwa)+750 (Xlws+0.95Xaws+Xcws) 80(Xlwa+Xlws) – 110(Xawa+Xaws) – 150(Xcwa+Xcws)
3. Restricciones Disponibilidad de licor Xlwa+Xlws <= 17000 Disponibilidad de alcohol Xawa+Xaws <= 2300 Disponibilidad de colorante Xcwa+Xcws <= 280 Porcentaje de alcohol mínimo en Whisky añejo 0.95Xawa / (Xlwa+0.95Xawa+Xcwa) >= 0.30 Porcentaje de alcohol máximo en Whisky añejo 0.95Xawa / (Xlwa+0.95Xawa+Xcwa) <= 0.45 Porcentaje de colorante mínimo en Whisky añejo Xcwa / (Xlwa+0.95Xawa+Xcwa) >= 0.08 Porcentaje de alcohol máximo en Whisky superior 0.95Xaws / (Xlws+0.95Xaws+Xcws) <= 0.50 Porcentaje de colorante mínimo en Whisky superior Xcws / (Xlws+0.95Xaws+Xcws) >= 0.05 Porcentaje de colorante mínimo en Whisky añejo Xcws / (Xlws+0.95Xaws+Xcws) < 0.10 No negatividad Xlwa, Xawa, Xcwa, Xlws, Xaws, Xcws >=0 PROBLEMA 17 Una fábrica produce tres productos (A, B y C) los cuales están constituidos por tres materias primas que son: M1, M2 y M3. Se utiliza 3 litros de M1, 2 litros de M2 y 1 litro de M3 para formar una unidad del producto A; 4 litros de M1, 1 litro de M2 y 3 litros de M3 para formar una unidad del producto B y por ultimo 2 litros de M1, 2 litros de M2 y 2 litros de M3 para formar una unidad del producto C. Se disponen de 180 litros de la materia prima M1, 120 litros de M2 y 240 litros de M3.. El Beneficio por una unidad del producto A es de $2, $4 del producto B y $3 del producto C. Plantee el modelo como un problema de Programación Lineal. 1. Variables de decisión: A Unidades a producir del producto A B Unidades a producir del producto B C Unidades a producir del producto C
2. Función Objetivo MAXIMIZAR = 2 A + 4 B + 3 C 3. Restricciones Disponibilidad de M1 3 A + 4 B + 2 C <=180 Disponibilidad de M2 2 A + 1 B + 2 C <=180 Disponibilidad de M3 A + 3 B + 2 C <=180 No negatividad A, B, C >=0 Enteros A, B, C son enteros PROBLEMA 18 Un barco posee tres espacios de almacenamiento. Los límites de capacidades son: Proa Centro Popa
2.000 Tn. 3.500 Tn. 1.500 Tn.
3.000 m3 5.000 m3 2.500 m3
Las ofertas de carga son: Carga A B
Cantidad (Tn.) 4.000 3.500
m3/Tn. 2,4 1,8
Beneficio Bs./Tn. 500 450
Se puede aceptar todo ó parte de un cargamento. Razones técnicas obligan a que la carga sea distribuida proporcionalmente a las capacidades límites en volumen (m3) Formule el problema como un modelo de programación lineal. 1. Variables de decisión: Xapr Tn de la carga A en la proa Xace Tn de la carga A en el centro Xapo Tn de la carga A en la popa Xbpr Tn de la carga B en la proa Xbce Tn de la carga B en el centro Xbpo Tn de la carga B en la popa 2. Función Objetivo MAXIMIZAR = 500 (Xapr+Xace+Xapop) + 450 (Xbpr+Xbce+Xbpo) 3. Restricciones Capacidad límite en Tn (proa, centro, popa) Xapr+Xbpr <= 2000
Xapr+Xbpr <= 3500 Xapr+Xbpr <= 1500 Capacidad límite en m3 (proa, centro, popa) 2.4 Xapr+1.8 Xbpr <= 3000 2.4 Xapr+1.8 Xbpr <= 5000 2.4 Xapr+1.8 Xbpr <= 2500 Oferta Xapr+Xace+Xapo <= 4000 Xbpr+Xbce+Xbpo <= 3500 Carga uniforme (Xapr+Xbpr)/3000 = (Xace+Xbce)/5000 = (Xapo+Xbpo)/2500 No negatividad Xapo, Xace, Xapo, Xbpr, Xbce, Xbpo >=0
