INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I Formulación de Modelos de programación Lineal Objetivo: Lograr que los alumnos Formulen modelos matemáticos que representen un problema. Ejercicios tomados de: MATHUR , Kamlesh y D. Solow, Investigación de Operaciones: el Arte en la Toma de Decisiones . HILLIER, Frederick S. y Gerald J. Lieberman, Introducción a la Investigación de Operaciones. TAHA, Hamdy A., Investigación de Operaciones: Una Introducción . DAVIS, K. Roscoe. cuantitativos para la Administración Administración . Mckeown Patrick, G, Modelos cuantitativos
1.-
ALIPORT cuenta con US$ 45000 para realizar publicidad al producto “JABON SUSSIO” durante el próximo semestre. Los medios de publicidad considerados son: TV, radio, diarios y revistas. El objetivo es maximizar la exposición publicitaria del producto JABON SUSSIO durante el semestre (es decir, el número de veces que una persona promedio en el mercado objetivo estaría expuesta al mensaje publicitario).
Se cuenta con estimaciones de la exposición media por cada US$1 desembolsado en publicidad en cada medio y se ha decidido respecto a las cantidades máximas a desembolsar en cada medio.
Exposición por cada US$1
Desembolso Máximo
TV
7
US$ 24000
Diarios
6
US$ 4000
Radios
8
US$ 8000
Revistas
5
US$ 12000
Medio publicitario
Además, se ha especificado que el desembolso en publicidad televisiva no debe ser superior al desembolso conjunto en los restantes medios, así como se requiere que el desembolso en publicidad de revistas no puede ser inferior al desembolso en publicidad de diarios. Plantee el problema de programación lineal para ALIPORT. Sea claro y preciso en definir las variables de decisión, la función objetivo y el conjunto de restricciones.
2.-
Un inversionista tiene las actividades A y B que producen dinero, disponibles al principio de cada uno de los cinco años siguientes (llamémoslos años 1 al 5). Cada $1 invertido en A al principio del año 1, retribuye $1,40 (una utilidad de $0,40) dos años más tarde (en el instante necesario para la reinversión inmediata). Cada $1 invertido en B al principio del año 1, retribuye $1,70 tres años más tarde.
Además, en un instante futuro, estarán disponibles cada una de las actividades C y D. Cada $1 invertido en C al principio del año 2 retribuye $1,90 al final del año 5. Cada $1 invertido en D al principio del año 5, retribuye $1,30 al final del año 5. El inversionista empieza con $20000. Desea saber cuál plan de inversiones maximiza la cantidad de dinero que puede acumular al principio del año 6. Plantee el modelo de Programación Lineal para este problema. Sea claro y preciso en definir las variables de decisión, la función objetivo y el conjunto de restricciones.
3.-
El Banco APRA está en proceso de formular una política de créditos que incluye una colocación máxima de 12 millones de US$. La siguiente tabla proporciona los datos pertinentes acerca de los diferentes tipos de créditos que ofrece el Banco APRA:
Tipo de Crédito Personal Vehículo Hipotecario Agrícola Comercial
Tasa de Interés
Probabilidad de un Mal Crédito
0,14 0,13 0,12 0,125 0,1
0,1 0,07 0,03 0,05 0,02
Los malos créditos son irrecuperables y, por lo tanto, no generan ganancia por intereses alguna para el Banco APRA. La competencia con otras instituciones financieras en el área requiere que el Banco APRA asigne por lo menos el 40% de los fondos totales a créditos agrícolas y comerciales. Además, para ayudar a la industria de la vivienda, los créditos hipotecarios deben ser equivalentes a lo menos al 50% de los créditos personales, para vehículos y comerciales.
Por su parte, la oficina central del Banco APRA ha declarado una política que la razón total de los malos créditos no puede exceder de 0,04. El objetivo del Banco APRA es maximizar su utilidad neta, que se compone de la diferencia entre las ganancias por intereses de los créditos y los fondos perdidos por los malos créditos. Plantee como problema de programación lineal, Sea claro y preciso en definir las variables de decisión, la función objetivo y el conjunto de restricciones.
4.-
Un experimento interesante en la región del Mediterráneo es el sistema de kibbutzim, o comunidades agrícolas comunales, en Israel. Es usual que algunos grupos de kibbutzim se unan para compartir los servicios técnicos comunes y
coordinar su producción. Este ejemplo se refiere a un grupo de tres kibbutzim, al que se llamará la confederación sur de kibbutzim. La planificación global de la confederación sur de kibbutzim se hace en su oficina de coordinación técnica. En la actualidad están planeando la producción agrícola para el próximo año. La producción agrícola está limitada tanto por la extensión de terreno disponible para irrigación como por la cantidad de agua que la Comisión de Aguas (una oficina del gobierno nacional) asigna para irrigarlo. La siguiente tabla muestra estos datos:
Kibbutz
Terreno para uso (acres) Asignación de agua (pies-acre)
1
400
600
2
600
800
3
300
375
El tipo de cosecha apropiada para la región incluye remolacha, algodón y sorgo, y éstas precisamente las tres que se están estudiando para la estación venidera. Las cosechas difieren primordialmente en su rendimiento neto por acre esperado y en su consumo de agua. Además el ministerio de agricultura ha establecido una cantidad máxima de acres que la confederación puede dedicar a estas cosechas. La siguiente tabla muestra estas cantidades.
Consumo de Rendimiento Neto agua (dólares/acre) (pies-acres/acre)
Cosecha
Cantidad Máxima (acres)
Remolacha
600
3
400
Algodón
500
2
300
Sorgo
325
1
100
Los tres kibbutzim que pertenecen a la Confederación del Sur están de acuerdo en que cada kibbutz sembrará la misma proporción irrigables disponibles. Cualquier combinación de estas cosechas se puede sembrar en cualquiera de los kibbutzim. El trabajo al que se enfrenta la oficina de coordinación técnica consiste en planear cuantos acres deben asignarse a cada tipo de cosecha en cada kibbutz, cumpliendo con las restricciones dadas. El objetivo es maximizar el rendimiento neto para la Confederación del Sur. Plantee como problema de programación lineal, Sea claro y preciso en definir las variables de decisión, la función objetivo y el conjunto de restricciones.
Kibbutzim Variable de decisión = Xj: Número de acres j-ésimo asignar a la cosecha de cada Kibbutz
Cosecha Remolacha Algodón Sorgo
Kibbutz 1 2 3 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9
j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Función Objetivo: Máx Z = 400(X1+X2+X3) + 300(X4+X5+X6) + 100(X7+X8+X9)
Kibbutzim s.a.: Terreno para uso en cada X1 + X4 + X7 < 400 kibbutz X2 + X5 + X8 < 600 X3 + X6 + X9 < 300
Asignación de agua para cada Kibbutz 3X1 + 2X4 + X7 < 600 3X2 + 2X5 + X8 < 800 3X3 + 2X6 + X9 < 375
Total de acres para cada cosecha
Igual proporción de área plantada
X1 + X2 + X3 < 600 X4 + X5 + X6 < 500 X7 + X8 + X9 < 325
X1 + X4 + X7 400
=
X2 + X5 + X8 600
X2 + X5 + X8 600
=
X3 + X6 + X9 300
X3 + X6 + X9 300
=
X1 + X4 + X7 400
No Negatividad Xj > 0
5.-
La empresa de jugos “Guatt’s” vende 7 tipos de diferentes jugos envasados en cajas de 1 litro: Durazno, Naranja, Manzana, Piña, Zanahoria y 3 tipos de combinados (combinado F, combinado G y combinado H). Para la elaboración de los diferentes 8 tipos de jugos, se utiliza como materia prima Kgs de fruta fresca de Durazno, Limón, Naranja, Manzana, Piña y Zanahoria. El costo de cada materia prima ($/Kgs) así como el precio de venta de cada tipo de jugo ($/litro) equivalen a:
Costo de Materia Precio de Prima ($/kg) Venta ($/litro) Durazno
20
99
Limón
27
-
Naranja
24
99
Manzana
42
95
Piña
36
95
Zanahoria
16
99
A su vez, el precio de venta para cada uno de los 3 tipos de combinados es de 120 ($/litro). Para la elaboración de 1 litro de jugo de Durazno, Naranja, Manzana, Piña y Zanahoria; se utiliza como materia prima solo la fruta fresca correspondiente a cada caso. No obstante, los requerimientos de Kgs necesarios para elaborar cada uno de estos jugos, varía. Además, existen limitaciones para la capacidad de producción mensual en la planta procesadora de jugos “Guatt’s”. La información pertinente de estas situaciones se muestra a continuación:
Requerimientos de Kgs de Materia Prima
Capacidad Máxima
Necesaria para elaborar 1 Litro de Jugo
Producción (litros)
Durazno
3,75
200
Naranja
3
280
Manzana
2,25
320
Piña
2,5
240
Zanahoria
5
150
Para elaborar 1 litro de jugo de los combinados F, G y H, se requieren exactamente 4 Kgs de materia prima en cada uno de estos 3 casos. El combinado tipo F requiere a lo menos un 25% de Naranja, a lo más un 25% de Limón y exactamente un 50% de Zanahoria. Por su parte, el combinado tipo G requiere a lo menos un 20% de Naranja, a lo menos un 15% de Limón y, a lo menos un 35% de Manzana. Finalmente, el combinado tipo H requiere exactamente 50% de Naranja, 10% de Limón y 40% de Zanahoria.Además, la capacidad de producción en los 3 tipos de combinados está limitada a producir como máximo: 250 litros para el combinado G y 180 litros para los combinados F y H. Plantee el problema de programación lineal que permita programar la producción de jugos “Guatt’s” para un período mensual. Sea claro y preciso en definir las variables de decisión, la función objetivo y el conjunto de restricciones.
Jugos Guatt’s Variable de decisión = Xj: litros de jugo j-ésimo a elaborar j = D, N, M, P, Z, F, G, H Variable de decisión = Yij: kgs. de materia prima i-ésimo a necesarios para la elaboración de litros de combinados j-ésimo i = N, L, M, Z
j = F, G, H
Función Objetivo: Máx Z = 99(XD+XN+XZ) + 95(XM+XP) + 120 (XF+XG+XH) - (20*3,75)XD - (24*3)XN - (42*2,25)XM - (36*2,5)XP - (16*5)XZ - 24(YNF+YNG+YNH) - 27(YLF+YLG+YLH) - 16(YZF+YZH) - 42YMG Máx Z = 24XD + 27XN + 0,5XM + 5XP + 19XZ + 120(XF+XG+XH) - 24(YNF+YNG+YNH) - 16(YZF+YZH) - 42YMG
Jugos Guatt’s s.a.:
XD < 200 XN < 280 XM < 320 XP < 240 XZ < 150 XF < 180 XG < 250 XH < 180 Xj > 0
YNF > 0,25*4*XF YLF < 0,25*4*XF YZF = 0,50*4*XF YNF+YLF+YZF = 4XF
YNH = 0,5*4*XH YLH = 0,4*4*XH YZH = 0,1*4*XH
YNG > 0,20*4*XG YLG > 0,15*4*XG YMG > 0,35*4*XG YNG+YLG+YMG = 4XG
Yij > 0 Obs: Este problema también pudo plantearse definiendo variables de proporción de la materia prima i-ésima necesaria para elaborar combinados j-ésimos
6.-
Una embotelladora debe decidir cuánto producir de cada uno de sus cuatro productos en el próximo mes. Los productos en cuestión son bebidas de fantasía (Koka-Kola, Fhanta, Eight Up y Zprite), para las cuales el departamento de comercialización ha realizado estimaciones de precio y de cantidad demandada máxima mensual, para el próximo mes:
Marca Koka-Kola Fhanta Eight Up Zprite
Cantidad Demandada Sin límite 80.000 botellas 60.000 botellas 72.000 botellas
Precio de Venta 50,5 ($/botella) 51,5 ($/botella) 50,0 ($/botella) 52,4 ($/botella)
La Koka-Kola requiere por cada botella 3 minutos de proceso, la Fhanta requiere por cada botella 2,5 minutos de proceso, mientras que la Eight Up y la Zprite requieren ambas por cada botella 3,8 minutos de proceso. La máquina selladora envía: 14 botellas de Koka-Kola cada 2 horas; 12 botellas de Fhanta cada hora; 27 botellas de Zprite cada 3 horas; y 30 botellas de Eight Up cada 3 horas Se contratan 1.500 horas de “reparto” y se sabe que en 1 hora de reparto se logra colocar 300 botellas de Koka-Kola, ó 200 botellas de Fhanta, ó 180 botellas de Zprite ó 200 botellas de Eight Up. Las horas disponibles del “proceso” mensual son 5.000 horas y las horas disponibles de “sellado” son 2.000 horas mensuales. Los costos por hora son: Costo por hora “proceso” Costo por hora “sellado” Costo por hora “reparto”
$ 52 $ 47 $ 55
Al comienzo del próximo mes no habrá unidades en inventario de productos en proceso y productos terminados. No obstante, en consideración a nuevas políticas de la empresa, se desea terminar el próximo mes con: 500 botellas procesadas y selladas de Koka-Kola, 400 botellas procesadas y selladas de Fhanta, 200 botellas procesadas y selladas de Zprite y 350 botellas procesadas y selladas de Eight Up. Además, durante el mes en cuestión se debe cumplir con la entrega de: 1.200 botellas de Koka-Kola, 600 botellas de Zprite y 450 botellas de Eight Up; todas las cuales corresponden a ventas del mes anterior, ya pagadas al contado. No hay restricción de fondos financieros, realizándose todos los pagos en el mes de producción con fondos propios y vendiéndose todo al contado. Plantee el problema de programación lineal relacionado con la situación – problema de programar la producción de cada producto para el próximo mes. Especifique claramente sus supuestos (de ser ellos necesarios)
7.-
Pedro “Charro” García está decidido a instalar una refinadora de Gasolina. Sin embargo, está indeciso, debido a que no tiene certeza respecto de cuánto producir en cada uno de los 3 tipos de gasolinas posibles (1, 2 y 3). Cada tipo de gasolina se produce mezclando 3 tipos de petróleo crudo (1, 2 y 3). La siguiente tabla entrega: los precios de venta por barril de gasolinas y; los precios de compra, por barril, de petróleo crudo. Pedro García puede comprar hasta 5.000 barriles de cada tipo de petróleo crudo diariamente.
Precios de Venta por Barril (US$)
Precios de Compra por Barril (US$)
Gasolina 1
70
Crudo 1
45
Gasolina 2
60
Crudo 2
35
Gasolina 3
50
Crudo 3
25
Los 3 tipos de Gasolina difieren en su índice de octano y en su contenido de azufre. La mezcla de petróleo que se utiliza para obtener la gasolina 1 debe tener un índice de octano promedio de por lo menos 10 y a lo más 1% de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 2 debe tener un índice de octano promedio de por lo menos 8 y a lo más 2% de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se usa para obtener la gasolina 3 debe tener un índice de octano promedio de por lo menos 6 y a lo más 1% de azufre. El índice de octano y el contenido de azufre de los 3 tipos de crudos están en la siguiente tabla
Índice de Octano
Contenido de Azufre
Crudo 1
12
0,5 %
Crudo 2
6
2,0 %
Crudo 3
8
3,0 %
Además, la transformación de un barril de petróleo crudo en un barril de gasolina cuesta 4 US$. La refinería del “Charro” es capaz de producir en un día, un máximo de 14.000 barriles de gasolina. Los clientes del “Charro” necesitan diariamente las siguientes cantidades de cada tipo de gasolina: Gasolina tipo 1, 3.000 barriles; Gasolina tipo 2, 2.000 barriles; Gasolina tipo 3, 1.000 barriles. La compañía se siente comprometida a cumplir con estas demandas. Pedro García tiene la posibilidad de estimular la demanda de sus productos mediante la publicidad. Cada US$ invertido diariamente en la publicidad para cualquier tipo de gasolina, aumenta la demanda diaria del respectivo tipo de gasolina en 10 barriles. Por e jemplo si el “Charro” decide gastar diariamente 20 US$ para promover la Gasolina tipo 2, la demanda diaria de la Gasolina tipo 2 se incrementará en 20(10) = 200 barriles. Formule un PPL que permita a Pedro “Charro” García maximizar sus ganancias diarias. Sea claro y preciso en definir las variables de decisión, la función objetivo y el conjunto de restricciones.
Para la formulación de un PPL resulta crucial hacer una correcta definición de las variables de decisión, ya que éstas van a estructurar la función objetivo y las restricciones
Variables de Decisión:
Xij : número de barriles diarios de crudo i-ésimo utilizado para la producción diaria de barriles de gasolina tipo j-ésima Yj : US$ invertidos en publicidad para estimular la demanda de barriles de gasolina tipo j-ésima
Entonces, el problema consta de 12 variables: 9 referentes a los 3 tipos de gasolina por cada uno de los 3 tipos de crudo y, las otras 3 referidas a la cantidad de US$ a invertir en publicidad de cada una de las gasolinas. Así tendríamos:
Crudo 1 Crudo 2 Crudo 3
Gasolina tipo 1 X11 X21 X31
Gasolina tipo 2 X12 X22 X32
Gasolina tipo 3 X13 X23 X33
X11 + X12 + X13 = Barriles de crudo 1 usados diariamente X21 + X22 + X23 = Barriles de crudo 2 usados diariamente X31 + X32 + X33 = Barriles de crudo 3 usados diariamente X11 + X21 + X31 = Barriles de gasolina tipo 1 producidos diariamente X12 + X22 + X32 = Barriles de gasolina tipo 2 producidos diariamente X13 + X23 + X33 = Barriles de gasolina tipo 3 producidos diariamente Y1 = US$ gastados en publicidad para gasolina tipo 1 Y2 = US$ gastados en publicidad para gasolina tipo 2 Y3 = US$ gastados en publicidad para gasolina tipo 3 Función Objetivo:
Se busca la maximización de las ganancias, donde ganancias = ingresos - costos
Maximizar Z = (70-45-4) X11 + (60-45-4) X12 + (50-45-4) X13 + (70-35-4) X21 + (60-35-4) X22 + (50-35-4) X23 + (70-25-4) X31 + (60-25-4) X32 + (50-25-4) X33 – Y1 – Y2 – Y3. o bien Maximizar Z = 21X11 + 11X12 + X13 + 31X21 + 21X22 + 11X23 + 41X31 + 31X32 + 21X33 – Y1 – Y2 – Y3. s.a. (sujeto a) La función objetivo queda sujeta a un conjunto de restricciones Restricciones de Demanda Restricciones 1 a 3: Producción diaria de gasolina equivalente a la demanda diaria por tipo
1) Gasolina 1: o bien
X11 + X21 + X31 = 3.000 + 10(Y1) X11 + X21 + X31 – 10(Y1) = 3.000
2) Gasolina 2: o bien
X12 + X22 + X32 = 2.000 + 10(Y2) X12 + X22 + X32 – 10(Y2) = 2.000
3) Gasolina 3:
X13 + X23 + X33 = 1.000 + 10(Y3)
o bien
X13 + X23 + X33 – 10(Y3) = 1.000
Restricciones de Abastecimiento Restricciones 4 a 6: Cantidad máxima de barriles de crudo que se pueden comprar:
4)
X11 + X12 + X13 < 5.000
5)
X21 + X22 + X23 < 5.000
6)
X31 + X32 + X33 < 5.000
Restricción de Capacidad Restricción 7: capacidad limitada de la refinería para produ cir diariamente.
7)
X11 + X21 + X31 + X21 + X22 + X32 + X13 + X23 + X33 < 14.000
Restricciones de Balance en la mezcla de octanaje Restricciones 8 a 10: límites de octanaje:
8)
12 X11 + 6 X21 + 8X31 > 10 X11 + X21 + X31
9)
12 X12 + 6 X22 + 8X32 > X12 + X22 + X32
8
10)
12 X13 + 6 X23 + 8X33 > X13 + X23 + X33
6
Restricciones de Balance en la mezcla de azufre Restricciones 11 a 13: límites de azufre:
11)
0,005 X11 + 0,02 X21 + 0,03 X31 < 0,01 X11 + X21 + X31
12)
0,005 X12 + 0,02 X22 + 0,03 X32 < 0,02 X12 + X22 + X32
13)
0,005 X13 + 0,02 X23 + 0,03 X33 < 0,01 X13 + X23 + X33
Restricciones de No Negatividad
14)
Y1, Y2, Y3, X11, X12, X13, X21, X22, X23, X31, X32, X33
>
0
