Colecci´ on on de problemas de formulaci´ on on de modelos de Programaci´ on on Lineal ´ Alvaro Alvar o Garc Gar c´ıa S´ anchez, Miguel Ortega Mier anchez, 3 de marzo de 2013
5
´ Indice 1.
7
1.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.. Resolu 1.2 Resoluci´ ci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.
7 7 13
2.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.. Resoluc 2.2 Resoluci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.
13 13 19
3.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.. Resoluc 3.2 Resoluci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.
19 20 22
4.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.. Resoluc 4.2 Resoluci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.
22 22 24
5.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.
24 25
6.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.. Resoluc 6.2 Resoluci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.
25 26 28
7.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.. Resoluc 7.2 Resoluci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.
28 28 31
8.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.. Resoluc 8.2 Resoluci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.
31 31 33
9.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.. Resoluc 9.2 Resoluci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.
33 34 37
10.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.
37 38 42
11.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.
42 42 46
12.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.
46 46 48
13.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
48 48
14.
52
14.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.Ejercicio
52 52 54
15.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.Ejercicio
54 54 55
16.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.Ejercicio
55 55 56
17.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.Ejercicio
56 56 57
18.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.Ejercicio
57 57 58
19.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.Ejercicio
58 58 59
20.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.Ejercicio MME-1213-ENE-2
59 59 61
21.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.Ejercicio
61 61 62
22.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.Ejercicio
62 62 65
23.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.Ejercicio
65 65 66
24.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.Ejercicio
66 66 68
25.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.Ejercicio
68 69
26.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.Ejercicio
69 69 70
27.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
70 71
28.Ejercicio
72
28.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.Ejercicio MME-1213-ENE-3
74
29.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.Ejercicio
74 74 75
30.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.Ejercicio
75 75 76
31.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.Ejercicio
76 76 78
32.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.Ejercicio
78 78 80
33.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.Ejercicio
80 80 82
34.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.Ejercicio
82 82 83
35.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.Ejercicio
83 83 85
36.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37.Ejercicio
85 85 87
37.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38.Ejercicio
38.1. Enunciado . . . . . . . . . . . 38.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . 38.3. Enunciado . . . . . . . . . . . 38.4. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . 38.5. Enunciado MME-1213-ENE-4 38.6. Resoluci´ on . . . . . . . . . . .
72 73
87 87 88
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. . . . . .
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39.Ejercicio
88 88 90 90 91 91 92
39.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
92 92
40.Ejercicio
93
40.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2. Resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
93 93
´ INDICE ´ Indice
6
7
1 1.
1.1. 1.1.
Enun Enunci ciad ado o
Un fabricante de refrescos F R produce tres modalidades (A ( A, B y C ), C ), cada una en su propio formato: de 3 litros, 2 litros y 1 litro, respectivamente. Este fabricante est´a comprometido a entregar a un gran distribuidor GD distribuidor GD (su (su unico u ´ nico cliente) exactamente 20000 litros diarios de refrescos. Dispone de 25000 gramos diarios de un saborizante del que cada modalidad consume por botella: la botella de 3 litros, 2 gramos; la de 2 litros, 3 g; y la de un litro, 4 g. Conocidos los datos econ´omicos omicos de A, B y C, y siendo x siendo x j los miles de botellas de la modalidad j modalidad j a envasar diariamente, F R ha planteado el siguiente modelo de programaci´on on lineal (c y b est´an an expresados en miles): max z = 5x 5 x1 + 6x 6 x2 + 8x 8 x3 s.a. 2x1 + 3x 3 x2 + 4x 4 x3 ≤ 25 3x1 + 2x 2 x2 + 1x 1 x3 = 20 x1 , x2 , x3 ≥ 0
(1)
1. Obtener el plan ´optimo optimo de envasado de F R. 2. Determinar Determinar el significado de los multiplica multiplicadores dores del simplex de las dos restriccione restricciones. s. 3. A F R le preocupa la posibilidad de que su proveedor de tapones (iguales para las tres modalidades) restrinja su suministro a un m´aximo aximo de 6000 tapones diarios. Como ejercicio de postoptimizaci´on, introducir esta nueva restricci´on on y determinar su repercusi´on. on. 4. Mediante el correspondiente an´alisis alisis de sensibilidad, determinar la repercusi´on on en el mix de de envasado de posibles cambios en los precios de venta de las dos modalidades de menor capacidad, B y C (x2 y x 3 ). 5. Determinar la validez del mix de producci´on on ante posibles variaciones en la demanda total de refrescos, que se traducir´ıan ıan en un mayor o menor volumen a entregar diariamente a GD, utilizando el an´alisis alisis de sensibilidad. sensibilidad. 6. El formato de 3 litros (modalidad A, x1 ) puede estar especialmente afectado por los cambios en los mercados de refrescos y materias primas. Mediante la programaci´on param´etrica, etrica , analiza an alizarr el conjunto de diferentes planes de envasado y sus resultados en funci´on on de cualquier valor no negativo de la contribuc contribuci´ i´on on unitaria al beneficio del producto A. 7. El gran distribuidor GD exige que las entregas diarias sean m´ultiplos ultiplos exactos de mil para cada modalidad. A partir de la resoluci´on on del apartado a) de la pregunta anterior, plantear un plano secante de correspondiente al algoritmo de Gomory y, sin realizar ninguna iteraci´on, introducir la restrcci´on on correspondiente corresp ondiente en la tabla de la soluci´on on ´optima optima hasta el momento.
1.2. 1.2.
Reso Resolu luci ci´ ´ on on
max z = 5x 5 x1 + 6x 6 x2 + 8x 8 x3 s.a. 2x1 + 3x 3 x2 + 4x 4 x3 ≤ 25 3x1 + 2x 2 x2 + 1x 1 x3 = 20 x1 , x2 , x3 ≥ 0
(2)
El problema se puede reformular de la siguiente manera, convirtiendo las desigualdades en igualdades8 (id´entido entido al problema anterior en t´erminos erminos del sistema que representa): representa ): 1
max z = 5x 5x1 + 6x 6 x2 + 8x 8 x3 s.a. 2x1 + 3x 3 x2 + 4x 4 x3 + h1 = 25 3x1 + 2x 2 x2 + 1x 1 x3 = 20 x1 , x2 , x3 ≥ 0
(3)
No existe soluci´on on b´asica asica factible inmediata, por lo l o que es necesario utilizar el m´ etodo etodo de las dos fases o de la M la M grande. grande. En el primer caso, se construye el siguiente problema auxiliar P : max z = −a s.a. 2x1 + 3x 3 x2 + 4x 4 x3 + h1 = 25 3x1 + 2x 2 x2 + 1x 1 x3 + a = 20 x1 , x2 , x3 , a ≥ 0
(4)
Para el problema problema P P es posible encontrar una soluci´on on b´asica asica factible de partida con las actividades b´asicas h asicas h 1 y a, a , con valores h valores h 1 = 20 y a y a = = 20. Al aplicar el m´etodo etodo del Simplex, en su variante de la matriz completa, para esa soluci´on on b´asica asica se obtiene la siguiente tabla: Apartado 1.
x1 3 5 2 3
20 0 h 1 25 a 20 20
x2 2 6 3 2
x3 1 8 4 1
h1 0 0 1 0
a 0 0 0 1
(V B fase 1) (V B fase 2)
Introducie Introduciendo ndo en la base x base x 1 y sacando a sacando a,, se obtiene:
h1 x1
0 -100/3 35/3 20 2 0/3
x1 0 0 0 1
x2 0 8/3 5/3 2/3
x3 0 19/3 10/3 1/3
h1 0 0 1 0
a -1 -1 -5/3 -2/3 1/ 3
(V B fase 1) ( V B fase 2)
La tabla anterior corresponde a una soluci´on on del problema P problema P donde a donde a = = 0, por lo que es una soluci´on on b´asica asica factible del problema original, pero no ´optima, optima, porque no cumple V B ≤ 0. Introduciendo en la base x base x 3 y sacando h sacando h 1 , se obtiene:
x3 x1
0 -111/2 7/ 7 /2 11 11/2
x1 0 0 0 1
x2 0 -1/2 1/2 1/2
x3 0 0 1 0
h1 0 -19/10 3/10 -1/10
a -1 -2/5 - 1 /5 2/ 5
(V B fase 1) ( V B fase 2)
La tabla anterior corresponde a la soluci´on on ´optima optima del problema original ((V V B ≤ 0). El programa de producci´on on optimo ´optimo consiste en: Producir 5500 refrescos de 1/3l, ning´un un refresco de 1/2l y 3500 de 1l. Se consumen todo el material disponible para producir las botellas ( h1 = 0)
Los multiplicad multiplicadores ores del simplex simplex (π (π B = c B B −1 ) se pueden calcular, a partir de la tabla,9 de la siguiente siguiente manera:
1 Apartado 2.
π1B = −V hB = 19/ 19 /10 1
B
π2 = −V aB = 2/ 2 /5 La interpretaci´on on de los mismos es la siguiente: π1B = 19/ 19 /10. Si ∆b ∆b1 = 1 ⇒ ∆z = 19 19/ /10. La empresa estar´ıa ıa dispuesta a pagar hasta 1900 unidades monetarias para disponer de 1 kg m´as as diariamente. Igualmente, estar´ıa ıa dispuesta a vender 1 kg si recibiera recibiera por ello cualquier cantidad cantidad superior a 1900 unidades monetarias. monetarias. π2B = 2/5. Si ∆b ∆b1 = 1 ⇒ ∆z = 2/5. La empresa podri´a obtener un beneficio mayor (4/ (4 /5) si el compromiso fuera entrgar 21000 botellas y no 20000, por lo que este compromiso est´a actuando como una limitaci´on. F on. F R estar´ estar´ıa dispuesta a renegociar renego ciar el compromiso para pasar a 21000 botellas, siempre y cuando esto no representara un coste para ella superior a 400 unidades monetarias. erminos erminos del planteamiento planteamiento del modelo, la posibilidad descrita se traducir´ traducir´ıa en la Apartado Apartado 3. En t´ siguiente restricci´on: on: x1 + x2 + x3 ≤ 6 ⇒ x1 + x2 + x3 + h3 = 6 Tras introducir la nueva restricci´on on y modificarla convenientemente para que x1 , x3 y h3 sean las variables b´asicas, asicas, se obtiene la soluci´on on correspondiente a la siguiente tabla, que es una soluci´on que cumple el criterio de optimalidad pero no es factible. Aplicando Lemke (sacando h 3 e introduciendo h introduciendo h 1 ) se obtiene obtiene la siguiente siguiente tabla. -111/2 x3 7/ 7/ 2 x1 1111/2 6 1/ 2 h3 -3 -3 -111/2 x3 7/ 7/ 2 x1 11 11/2 h3 -3 -3 -27 x3 -1 -1 x1 7 h1 15
x1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
x2 -1/2 1/2 1/2 1 1/2 0 -1/2 1/2 1/2 0 - 1 /2 -1 1/2 1/2 0
x3 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0
h1 -1 9 / 1 0 3/1 0 -1/10 0 1/1 0 -1/5 -1 9 / 1 0 3/1 0 -1/10 -1/5 0 0 0 1
h3 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 - 19 /2 3/2 -1 / 2 -5
La ´ultima ultima tabla corresponde a una soluci´on on no factible (x ( x3 ≤ 0) y no existe ninguna tasa de sustituci´on de esa variable con respecto a las no b´asicas que sea negativa. Al introducir la nueva nueva restricci´on on el problema no tiene soluci´on on factible. Si el proveedor proveedor de tapones hiciera como se dice, no ser´ ser´ıa posible obtener obtener un programa de producci´on on que cumpliera con todas las restricciones. El rango de valores valores para para c2 y c3 dentro del cual la composici´on on del mix de producci´on on es el mismo que el obtenido se obtiene calculando los nuevos criterios del Simplex en funci´on de dichos variables. En el caso de c2 , como x2 no es una variable b´asica, asica, si c2 se modifica, s´olo olo se modifica V 2B . En particular: Apartado Apartado 4.
B
B
V 2 = c 2 − c B
−1
A2 = c = c 2 − π
B
3 2
= c 2 − 13 13//2
(5)
10 El mix sigue siendo el mismo si c si c 2 − 13 13/ /2 ≤ 0, es decir, si c si c 2 ≤ 13 13//2 El el caso de que cambie c cambie c 3 , como x como x3 es una variable b´asica, asica, cambian los criterios del Simplex de todas las variables (menos los de las b´asicas, asicas, que son 0). En particular:
1
B
B
V = c − c B
−1
=
B
A = c = c − c p = p =
5 6 c3
0
5 6 c3
−
0
c3 +5
5
−
c3
2
c3
5
3c3 −5 10
=
Es decir, el mix es el mismo si se cumple simult´aneamente: aneamente:
0 1/2 1 3/10 1 1/2 0 −1/10 0 7 − c3
=
3c3 −5 10
0
7 − c3 ≤ 0 c3 ≥ 7 ⇒ ⇒ c3 ≥ 7 3c −5 c3 ≥ 5/3 ≤0 10
(6)
(7)
3
El mix es el mismo, siempre y cuando la contribuci´on on unitaria al beneficio de cada botella de litro sea igual o superior a 7 unidades monetarias. La demanda demanda de refrescos refrescos quedar reflejada reflejada en la segunda segunda restricci´ restricci´ on. on. Si cam cambia bia b2 , la soluci´on on podr p odr´´ıa dejar de ser factible y, por lo tanto, dejar de ser ´optima. optima. Apartado Apartado 5.
B
u = B
−1
b =
3/10 −1/5 −1/10 2/5
25 b2
=
75−2b2 10 −25+4b2 10
≥0⇒
b2 ≤ 75 75//2 b2 ≥ 25 25//4
(8)
Es decir, el mix es el mismo se 25/ 25 /4 ≤ b2 ≤ 75 75/ /2, es decir, si la demanda supera los 6250 botellas y si no supera los 37500. Apartado 6.
T 0 -111/2 x3 7/ 7 /2 x1 1111/2
x1 0 0 1
x2 -1/2 1/2 1/2
x3 0 1 0
h1 - 19 / 1 0 3/1 0 -1/10
Sea c Sea c 1 = λ, λ, con 0 ≤ λ ≤ ∞. Si λ Si λ = = 5, T 5, T ,0 es la tabla correspondiente a la soluci´on on ´optima. optima. B Si λ modifica su valor, se modificar´a el vector de criterios del Simplex V (λ). Siempre y cuando B V (λ) ≤ 0 las actividades b´asicas asicas ser´an x an x 1 y x 3 , con los niveles de realizaci´on on de la tabla T tabla T 0 . El criterio del Simplex V Simplex V B (λ) es:
B
B
V (λ) = c − c B
−1
B
A = c = c − c p = p =
λ 6 8 0
−
8
λ
Las variables b´asicas asicas son x son x 1 y x 3 siempre y cuando V B (λ). Es decir:
0 1/2 1 3/10 1 1/2 0 −1/10
4−λ≤ 0 ⇒ 4 ≤ λ ≤ 24 λ − 24 ≤ 0
x3 x1
−28 − 11 11λ/ λ/22 7/2 11/2
x1 0 0 1
x
2 4−λ 2
1/2 1 /2 1/
x3 0 1 0
0
λ−24 10
=
(9)
(10)
Si 4 ≤ λ ≤ 24, la tabla corresondiente a la soluci´on on ´optima optima es T es T 0 (λ): T 0 (λ)
0 −
4−λ 2
h1 λ−24 10
33//10 -1 -1/10
Si λ = 4, la tabla se convierte en T 1 , correspondiente a un ´optimo optimo m´ ultiple. ultiple. Introduciendo x2 11 y sacando x sacando x 3 se obtiene una nueva soluci´on on a la que le corresponde la tabla T 2 1
T 1 -50 x3 7/ 7/2 x1 11 11/2 T 2 -50 x2 7 x1 2
x1 0 0 1 x1 0 0 1
x2 0 1/2 1/2 x2 0 1 0
x3 0 1 0 x3 0 2 -1
h1 -2 3/10 -1 / 1 0 h1 -2 3 /5 - 2 /5 -2
Si λ modifica su valor, se modificar´a el vector de criterios del Simplex V B (λ). Siempre y cuando V (λ) ≤ 0 las actividades b´asicas asicas ser´an x an x 1 y x 2 , con los niveles de realizaci´on on de la tabla T tabla T 2 . El criterio B del Simplex V Simplex V (λ) es: B
B
B
V (λ) = c − c B
−1
B
A = c = c − c p = p =
λ 6 8 0
−
6 λ
0 1 2 3/5 1 0 −1 −2/5 0 0
λ−4
2λ−18 5
=
(11)
El criterio del Simplex de la tabla T tabla T 2 nunca se anula para valores de λ tales que 0 ≤ λ ≤ 4 Volviendo a la tabla T 0 (λ), si λ = 24, la tabla se convierte en la tabla T 3 , correspondiente a un optimo ´optimo m´ ultiple. ultiple. Introduciendo h Introduciendo h 1 sacando x sacando x3 se obtiene la tabla T tabla T 4 correspondiente a la soluci´on on ´optima optima alternativa: T 3 −160 x3 7/ 7/2 x1 11/2 T 4 −160 h3 35/3 x1 20/3
x1 0 0 1 x1 0 0 1
x2 -1 -10 1/2 1/2 x2 -1 -10 5/3 2/3
x3 0 1 0 x3 0 10/3 1/3
h1 0 3/10 - 1 / 10 h1 0 1 0
De nuevo, Si λ modifica su valor, se modificar´a el vector de criterios del Simplex V B (λ). Siempre y cuando V cuando V B (λ) ≤ 0 las actividades b´asicas asicas ser´an x an x 1 y h 1 , con los niveles de realizaci´on on de la tabla T tabla T 4 . El criterio del Simplex V Simplex V B (λ) es:
B
B
V (λ) = c − c B
−1
B
A = c = c − c p = p =
λ 6 8 0
−
0 λ
0 5/3 10 10//3 1 1 2/3 1/3 0 0
6−2λ 3
24−λ 3
El criterio del Sipmlex no se hace positivo para ning´un un valor de λ de λ tal que λ que λ > 24 En resumen: Variables b´ asicas: x asicas: x 1 = 2 y x 2 = 7 si 0 ≤ λ ≤ 4 con z con z = 42 + 2λ 2λ Variables b´ asicas: x asicas: x 1 = 11 11/ /2 y x 3 = 7/2 si 4 ≤ λ ≤ 24 con z con z = 28 + 11λ/ 11 λ/22 Variables b´ asicas: x asicas: x 1 = 20 20/ 35/ 20λ/ /3 y h 1 = 35 /3 si 24 ≤ λ con z = 20 λ/33
0)
=
(12)
1 Apartado Apartado 6.
Los dos posibles plano plano de Gomory Gomory de la forma: −f 0 + dos, uno por cada variable:
12 f i xi ≥ 0 ser s er´´ıan, en este caso,
−1/2 + 1/ 1/2x2 + 3/ 3 /10 10h h1 ≥ 0 ⇒ 1/2x2 + 3/ 3 /10 10h h1 − h3 = 1/2 −1/2 + 1/ 1/2x2 + 9/ 9 /10 10h h1 ≥ 0 ⇒ 1/2x2 + 9/ 9 /10 10h h1 − h4 = 1/2 Si se introduce y modifica el primer plano secante, la tabla resultante ser´ ser´ıa la siguiente: -111/2 x3 7/ 7 /2 x1 1111/2 1/2 h3 -1 -1/2
x1 0 0 1 0 0
x2 -1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
x3 0 1 0 0 0
h1 -19/10 3/10 -1/10 3/10 -3/10
h3 0 0 0 -1 1
La tabla final es la siguiente, correspondiente a una soluci´on on no factible que cumple el criterio de optimalidad, optimal idad, por lo que q ue se s e podr´ p odr´ıa ıa aplicar a plicar el m´etodo etodo de Lemke. L emke.
x3 x1 h3
-111/2 7/ 7 /2 11 11/2 -1 -1/2
x1 0 0 1 0
x2 -1/2 1/2 1/2 1/2
x3 0 1 0 0
h1 -19/10 3/10 -1/10 -3/10
h3 0 0 0 1
13
2 2.
2.1. 2.1.
Enun Enunci ciad ado o
Un fabricante de refrescos F R produce tres modalidades (A ( A, B y C ), C ), cada una en su propio formato: de 3 litros, 2 litros y 1 litro, respectivamente. Este fabricante est´a comprometido a entregar a un gran distribuidor GD distribuidor GD (su (su unico u ´ nico cliente) exactamente 20000 litros diarios de refrescos. Dispone de 25000 gramos diarios de un saborizante del que cada modalidad consume por botella: la botella de 3 litros, 2 gramos; la de 2 litros, 3 g; y la de un litro, 4 g. Conocidos los datos econ´omicos omicos de A, B y C, y siendo x siendo x j los miles de botellas de la modalidad j modalidad j a envasar diariamente, F R ha planteado el siguiente modelo de programaci´on on lineal (c y b est´an an expresados en miles): max z = 5x 5 x1 + 6x 6 x2 + 8x 8 x3 s.a. 2x1 + 3x 3 x2 + 4x 4 x3 ≤ 25 3x1 + 2x 2 x2 + 1x 1 x3 = 20 x1 , x2 , x3 ≥ 0
(13)
1. Obtener el plan ´optimo optimo de envasado de F R. 2. Determinar Determinar el significado de los multiplica multiplicadores dores del simplex de las dos restriccione restricciones. s. 3. A F R le preocupa la posibilidad de que su proveedor de tapones (iguales para las tres modalidades) restrinja su suministro a un m´aximo aximo de 6000 tapones diarios. Como ejercicio de postoptimizaci´on, introducir esta nueva restricci´on on y determinar su repercusi´on. on. 4. Mediante el correspondiente an´alisis alisis de sensibilidad, determinar la repercusi´on on en el mix de de envasado de posibles cambios en los precios de venta de las dos modalidades de menor capacidad, B y C (x2 y x 3 ). 5. Determinar la validez del mix de producci´on on ante posibles variaciones en la demanda total de refrescos, que se traducir´ıan ıan en un mayor o menor volumen a entregar diariamente a GD, utilizando el an´alisis alisis de sensibilidad. sensibilidad. 6. El formato de 3 litros (modalidad A, x1 ) puede estar especialmente afectado por los cambios en los mercados de refrescos y materias primas. Mediante la programaci´on param´etrica, etrica , analiza an alizarr el conjunto de diferentes planes de envasado y sus resultados en funci´on on de cualquier valor no negativo de la contribuc contribuci´ i´on on unitaria al beneficio del producto A. 7. El gran distribuidor GD exige que las entregas diarias sean m´ultiplos ultiplos exactos de mil para cada modalidad. A partir de la resoluci´on on del apartado a) de la pregunta anterior, plantear un plano secante de correspondiente al algoritmo de Gomory y, sin realizar ninguna iteraci´on, introducir la restrcci´on on correspondiente corresp ondiente en la tabla de la soluci´on on ´optima optima hasta el momento.
2.2. 2.2.
Reso Resolu luci ci´ ´ on on
max z = 5x 5 x1 + 6x 6 x2 + 8x 8 x3 s.a. 2x1 + 3x 3 x2 + 4x 4 x3 ≤ 25 3x1 + 2x 2 x2 + 1x 1 x3 = 20 x1 , x2 , x3 ≥ 0
(14)
14 El problema se puede reformular de la siguiente manera, convirtiendo las desigualdades en igualdades (id´entido entido al problema anterior en t´erminos erminos del sistema que representa): representa ): 2
max z = 5x 5x1 + 6x 6 x2 + 8x 8 x3 s.a. 2x1 + 3x 3 x2 + 4x 4 x3 + h1 = 25 3x1 + 2x 2 x2 + 1x 1 x3 = 20 x1 , x2 , x3 ≥ 0
(15)
No existe soluci´on on b´asica asica factible inmediata, por lo l o que es necesario utilizar el m´ etodo etodo de las dos fases o de la M la M grande. grande. En el primer caso, se construye el siguiente problema auxiliar P : max z = −a s.a. 2x1 + 3x 3 x2 + 4x 4 x3 + h1 = 25 3x1 + 2x 2 x2 + 1x 1 x3 + a = 20 x1 , x2 , x3 , a ≥ 0
(16)
Para el problema problema P P es posible encontrar una soluci´on on b´asica asica factible de partida con las actividades b´asicas h asicas h 1 y a, a , con valores h valores h 1 = 20 y a y a = = 20. Al aplicar el m´etodo etodo del Simplex, en su variante de la matriz completa, para esa soluci´on on b´asica asica se obtiene la siguiente tabla: Apartado 1.
x1 3 5 2 3
20 0 h 1 25 a 20 20
x2 2 6 3 2
x3 1 8 4 1
h1 0 0 1 0
a 0 0 0 1
(V B fase 1) (V B fase 2)
Introducie Introduciendo ndo en la base x base x 1 y sacando a sacando a,, se obtiene:
h1 x1
0 -100/3 35/3 20 2 0/3
x1 0 0 0 1
x2 0 8/3 5/3 2/3
x3 0 19/3 10/3 1/3
h1 0 0 1 0
a -1 -1 -5/3 -2/3 1/ 3
(V B fase 1) ( V B fase 2)
La tabla anterior corresponde a una soluci´on on del problema P problema P donde a donde a = = 0, por lo que es una soluci´on on b´asica asica factible del problema original, pero no ´optima, optima, porque no cumple V B ≤ 0. Introduciendo en la base x base x 3 y sacando h sacando h 1 , se obtiene:
x3 x1
0 -111/2 7/ 7 /2 11 11/2
x1 0 0 0 1
x2 0 -1/2 1/2 1/2
x3 0 0 1 0
h1 0 -19/10 3/10 -1/10
a -1 -2/5 - 1 /5 2/ 5
(V B fase 1) ( V B fase 2)
La tabla anterior corresponde a la soluci´on on ´optima optima del problema original ((V V B ≤ 0). El programa de producci´on on optimo ´optimo consiste en: Producir 5500 refrescos de 1/3l, ning´un un refresco de 1/2l y 3500 de 1l. Se consumen todo el material disponible para producir las botellas ( h1 = 0)
15 Los multiplicad multiplicadores ores del simplex simplex (π (π B = c B B −1 ) se pueden calcular, a partir de la tabla, de la siguiente siguiente manera:
2 Apartado 2.
π1B = −V hB = 19/ 19 /10 1
B
π2 = −V aB = 2/ 2 /5 La interpretaci´on on de los mismos es la siguiente: π1B = 19/ 19 /10. Si ∆b ∆b1 = 1 ⇒ ∆z = 19 19/ /10. La empresa estar´ıa ıa dispuesta a pagar hasta 1900 unidades monetarias para disponer de 1 kg m´as as diariamente. Igualmente, estar´ıa ıa dispuesta a vender 1 kg si recibiera recibiera por ello cualquier cantidad cantidad superior a 1900 unidades monetarias. monetarias. π2B = 2/5. Si ∆b ∆b1 = 1 ⇒ ∆z = 2/5. La empresa podri´a obtener un beneficio mayor (4/ (4 /5) si el compromiso fuera entrgar 21000 botellas y no 20000, por lo que este compromiso est´a actuando como una limitaci´on. F on. F R estar´ estar´ıa dispuesta a renegociar renego ciar el compromiso para pasar a 21000 botellas, siempre y cuando esto no representara un coste para ella superior a 400 unidades monetarias. erminos erminos del planteamiento planteamiento del modelo, la posibilidad descrita se traducir´ traducir´ıa en la Apartado Apartado 3. En t´ siguiente restricci´on: on: x1 + x2 + x3 ≤ 6 ⇒ x1 + x2 + x3 + h3 = 6 Tras introducir la nueva restricci´on on y modificarla convenientemente para que x1 , x3 y h3 sean las variables b´asicas, asicas, se obtiene la soluci´on on correspondiente a la siguiente tabla, que es una soluci´on que cumple el criterio de optimalidad pero no es factible. Aplicando Lemke (sacando h 3 e introduciendo h introduciendo h 1 ) se obtiene obtiene la siguiente siguiente tabla. -111/2 x3 7/ 7/ 2 x1 1111/2 6 1/ 2 h3 -3 -3 -111/2 x3 7/ 7/ 2 x1 11 11/2 h3 -3 -3 -27 x3 -1 -1 x1 7 h1 15
x1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
x2 -1/2 1/2 1/2 1 1/2 0 -1/2 1/2 1/2 0 - 1 /2 -1 1/2 1/2 0
x3 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0
h1 -1 9 / 1 0 3/1 0 -1/10 0 1/1 0 -1/5 -1 9 / 1 0 3/1 0 -1/10 -1/5 0 0 0 1
h3 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 - 19 /2 3/2 -1 / 2 -5
La ´ultima ultima tabla corresponde a una soluci´on on no factible (x ( x3 ≤ 0) y no existe ninguna tasa de sustituci´on de esa variable con respecto a las no b´asicas que sea negativa. Al introducir la nueva nueva restricci´on on el problema no tiene soluci´on on factible. Si el proveedor proveedor de tapones hiciera como se dice, no ser´ ser´ıa posible obtener obtener un programa de producci´on on que cumpliera con todas las restricciones. El rango de valores valores para para c2 y c3 dentro del cual la composici´on on del mix de producci´on on es el mismo que el obtenido se obtiene calculando los nuevos criterios del Simplex en funci´on de dichos variables. En el caso de c2 , como x2 no es una variable b´asica, asica, si c2 se modifica, s´olo olo se modifica V 2B . En particular: Apartado Apartado 4.
B
B
V 2 = c 2 − c B
−1
A2 = c = c 2 − π
B
3 2
= c 2 − 13 13//2
(17)
16 El mix sigue siendo el mismo si c si c 2 − 13 13/ /2 ≤ 0, es decir, si c si c 2 ≤ 13 13//2 El el caso de que cambie c cambie c 3 , como x como x3 es una variable b´asica, asica, cambian los criterios del Simplex de todas las variables (menos los de las b´asicas, asicas, que son 0). En particular:
2
B
B
V = c − c B
−1
=
B
A = c = c − c p = p =
5 6 c3
0
5 6
−
c3
5
0
c3 +5
−
c3
2
c3
5
3c3 −5 10
Es decir, el mix es el mismo si se cumple simult´aneamente: aneamente:
0 1/2 1 3/10 1 1/2 0 −1/10
=
0 7 − c3
=
3c3 −5 10
0
7 − c3 ≤ 0 c3 ≥ 7 ⇒ ⇒ c3 ≥ 7 3c −5 c3 ≥ 5/3 ≤0 10
(18)
(19)
3
El mix es el mismo, siempre y cuando la contribuci´on on unitaria al beneficio de cada botella de litro sea igual o superior a 7 unidades monetarias. La demanda demanda de refrescos refrescos quedar reflejada reflejada en la segunda segunda restricci´ restricci´ on. on. Si cam cambia bia b2 , la soluci´on on podr p odr´´ıa dejar de ser factible y, por lo tanto, dejar de ser ´optima. optima. Apartado Apartado 5.
B
u = B
−1
b =
3/10 −1/5 −1/10 2/5
25 b2
=
75−2b2 10 −25+4b2 10
≥0⇒
b2 ≤ 75 75//2 b2 ≥ 25 25//4
(20)
Es decir, el mix es el mismo se 25/ 25 /4 ≤ b2 ≤ 75 75/ /2, es decir, si la demanda supera los 6250 botellas y si no supera los 37500. Apartado 6.
T 0 -111/2 x3 7/ 7 /2 x1 1111/2
x1 0 0 1
x2 -1/2 1/2 1/2
x3 0 1 0
h1 - 19 / 1 0 3/1 0 -1/10
Sea c Sea c 1 = λ, λ, con 0 ≤ λ ≤ ∞. Si λ Si λ = = 5, T 5, T ,0 es la tabla correspondiente a la soluci´on on ´optima. optima. B Si λ modifica su valor, se modificar´a el vector de criterios del Simplex V (λ). Siempre y cuando B V (λ) ≤ 0 las actividades b´asicas asicas ser´an x an x 1 y x 3 , con los niveles de realizaci´on on de la tabla T tabla T 0 . El criterio del Simplex V Simplex V B (λ) es:
B
B
V (λ) = c − c B
−1
B
A = c = c − c p = p =
λ 6 8 0
8 λ
−
0 1/2 1 3/10 1 1/2 0 −1/10
0 −
Las variables b´asicas asicas son x son x 1 y x 3 siempre y cuando V B (λ). Es decir: 4−λ≤ 0 ⇒ 4 ≤ λ ≤ 24 λ − 24 ≤ 0
x3 x1
−28 − 11 11λ/ λ/22 7/2 11/2
x1 0 0 1
x
2 4−λ 2
1/2 1 /2 1/
x3 0 1 0
0
λ−24 10
=
(21)
(22)
Si 4 ≤ λ ≤ 24, la tabla corresondiente a la soluci´on on ´optima optima es T es T 0 (λ): T 0 (λ)
4−λ 2
h1 λ−24 10
33//10 -1 -1/10
Si λ = 4, la tabla se convierte en T 1 , correspondiente a un ´optimo optimo m´ ultiple. ultiple. Introduciendo x2 17 y sacando x sacando x 3 se obtiene una nueva soluci´on on a la que le corresponde la tabla T 2 2
T 1 -50 x3 7/ 7/2 x1 11 11/2 T 2 -50 x2 7 x1 2
x1 0 0 1 x1 0 0 1
x2 0 1/2 1/2 x2 0 1 0
x3 0 1 0 x3 0 2 -1
h1 -2 3/10 -1 / 1 0 h1 -2 3 /5 - 2 /5 -2
Si λ modifica su valor, se modificar´a el vector de criterios del Simplex V B (λ). Siempre y cuando V (λ) ≤ 0 las actividades b´asicas asicas ser´an x an x 1 y x 2 , con los niveles de realizaci´on on de la tabla T tabla T 2 . El criterio B del Simplex V Simplex V (λ) es: B
B
B
V (λ) = c − c B
−1
B
A = c = c − c p = p =
λ 6 8 0
−
6 λ
0 1 2 3/5 1 0 −1 −2/5 0 0
λ−4
2λ−18 5
=
(23)
El criterio del Simplex de la tabla T tabla T 2 nunca se anula para valores de λ tales que 0 ≤ λ ≤ 4 Volviendo a la tabla T 0 (λ), si λ = 24, la tabla se convierte en la tabla T 3 , correspondiente a un optimo ´optimo m´ ultiple. ultiple. Introduciendo h Introduciendo h 1 sacando x sacando x3 se obtiene la tabla T tabla T 4 correspondiente a la soluci´on on ´optima optima alternativa: T 3 −160 x3 7/ 7/2 x1 11/2 T 4 −160 h3 35/3 x1 20/3
x1 0 0 1 x1 0 0 1
x2 -1 -10 1/2 1/2 x2 -1 -10 5/3 2/3
x3 0 1 0 x3 0 10/3 1/3
h1 0 3/10 - 1 / 10 h1 0 1 0
De nuevo, Si λ modifica su valor, se modificar´a el vector de criterios del Simplex V B (λ). Siempre y cuando V cuando V B (λ) ≤ 0 las actividades b´asicas asicas ser´an x an x 1 y h 1 , con los niveles de realizaci´on on de la tabla T tabla T 4 . El criterio del Simplex V Simplex V B (λ) es:
B
B
V (λ) = c − c B
−1
B
A = c = c − c p = p =
λ 6 8 0
−
0 λ
0 5/3 10 10//3 1 1 2/3 1/3 0 0
6−2λ 3
24−λ 3
El criterio del Sipmlex no se hace positivo para ning´un un valor de λ de λ tal que λ que λ > 24 En resumen: Variables b´ asicas: x asicas: x 1 = 2 y x 2 = 7 si 0 ≤ λ ≤ 4 con z con z = 42 + 2λ 2λ Variables b´ asicas: x asicas: x 1 = 11 11/ /2 y x 3 = 7/2 si 4 ≤ λ ≤ 24 con z con z = 28 + 11λ/ 11 λ/22 Variables b´ asicas: x asicas: x 1 = 20 20/ 35/ 20λ/ /3 y h 1 = 35 /3 si 24 ≤ λ con z = 20 λ/33
0)
=
(24)
2 Apartado Apartado 6.
Los dos posibles plano plano de Gomory Gomory de la forma: −f 0 + dos, uno por cada variable:
18 f i xi ≥ 0 ser s er´´ıan, en este caso,
−1/2 + 1/ 1/2x2 + 3/ 3 /10 10h h1 ≥ 0 ⇒ 1/2x2 + 3/ 3 /10 10h h1 − h3 = 1/2 −1/2 + 1/ 1/2x2 + 9/ 9 /10 10h h1 ≥ 0 ⇒ 1/2x2 + 9/ 9 /10 10h h1 − h4 = 1/2 Si se introduce y modifica el primer plano secante, la tabla resultante ser´ ser´ıa la siguiente: -111/2 x3 7/ 7 /2 x1 1111/2 1/2 h3 -1 -1/2
x1 0 0 1 0 0
x2 -1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
x3 0 1 0 0 0
h1 -19/10 3/10 -1/10 3/10 -3/10
h3 0 0 0 -1 1
La tabla final es la siguiente, correspondiente a una soluci´on on no factible que cumple el criterio de optimalidad, optimal idad, por lo que q ue se s e podr´ p odr´ıa ıa aplicar a plicar el m´etodo etodo de Lemke. L emke.
x3 x1 h3
-111/2 7/ 7 /2 11 11/2 -1 -1/2
x1 0 0 1 0
x2 -1/2 1/2 1/2 1/2
x3 0 1 0 0
h1 -19/10 3/10 -1/10 -3/10
h3 0 0 0 1
19
3 3.
3.1. 3.1.
Enun Enunci ciad ado o
La empresa San Guemil fabrica dos tipos de cerveza, una lager y una pilsen, para lo cual necesita disponer de malta, l´ upulo upulo y levadura. Cada metro c´ubico ubico de lager requiere 50 kg de malta, 20 de l´upulo y 2 de levadura. Cada metro c´ubico ubico de pilsen necesita 60 kg de malta, 25 de l´upulo upulo y 2 de levadura. El beneficio que obtiene la empresa con cada metro c´ubico ubico de lager es de 140 um, mientras que con cada metro c´ubico de pilsen obtiene 150 um. San Guemil dipone de una tonelada de malta por semana, 250 kg de l´upulo y 22 2 2 kg k g de levadura tambi´en en por semana. semana. El modelo de programaci´ programaci´ on lineal que permite obtener la producci´on on on ´optima optima para cada semana queda descrito por: max z = 140x 140x1 + 150x 150x2 s.a. : s.a. : 50 50x x1 + 60x 60 x2 ≤ 1000 20 20x x1 + 25x 25 x2 ≤ 250 2x1 + 2x 2 x2 ≤ 22 x1 , x2 ≥ 0
(25)
donde x donde x 1 y x 2 representan, respectivamente, los vol´umenes umenes de producci´on on semanales (en m (en m 3 ) de lager y de pilsen. La tabla del simplex correspondiente a la soluci´on on ´optima optima del modelo anterior y, por lo tanto, al plan de producci´ producci´ on on ´optimo optimo de San Guemil, es:
h1 x2 x1
-1600 39 390 6 5
x1 0 0 0 1
x2 0 0 1 0
h1 0 1 0 0
h2 -2 -2 1/5 -1/5
h3 -50 -5 -2 5 /2
donde h1 , h2 y h3 son, respectivamente, las holguras correspondientes a las tres restricciones del modelo lineal. Se pide: 1. Indicar qu´e uso se hace de cada una de las tres materias primas, as´ as´ı como cu´al al es el precio m´aximo aximo que estar´ıa ıa dispuesta a pagar San Guemil por disponer disp oner de 1 kg m´as as a la semana de cada una de las tres materias primas. 2. Indicar, para el caso del l´ upulo, upulo, cu´ antos antos kg adicionales estar´ıa ıa dispuesta a adquirir y cu´antos antos kg de su disponibilidad de l´ upulo upulo estar´ıa ıa dispuesta a vender semanalmente tomando como referencia el precio indicado en el apartado apartado anterior. anterior. 3. San Guemil Guemil est´ est´ a valorando la posibilidad de producir un nuevo tipo de cerveza, que tiene una doble fermentaci´ on. Esta nueva cerveza consume, por cada metro c´ubico producido, 70 kg de malta, 30 on. de l´ upulo upulo y 4 kg de levadura. Indicar el beneficio unitario m´ınimo ınimo que har´ıa ıa rentable la producci´on on y comercializaci´on on de esta nueva cerveza. 4. San Guemil ha firmado un contrato contrato de suministro con sus actuales actuales clientes, clientes, por el cu´al al se compro3 mete a servir, conjuntamente entre lager y pilsen, pi lsen, un m´ınimo ınimo de 40 m al mes (consid´erese erese que un mes tiene cuatro semanas). Indicar cu´al al es el nuevo plan de producci´on on ´optimo. optimo. 5. Si una determinada semana se decide reservar 10 kg de l´upulo sin utilizar (h (h2 = 10), ¿c´omo omo se modifica el plan ´optimo optimo de producci´ produ cci´on? on? ¿c´omo omo se modifica el valor de la funci´on on objetivo? objetivo?
