INVESTIGACION DE OPERACIONES PROF.: FELIPE LILLO V. ING. CIVIL INDUSTRIAL
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INVESTIGACION DE OPERACIONES Programa del Curso DESCRIPCION El curso trata principalmente sobre la aplicación de los modelos usuales de Investigación de Operaciones en la solución de problemas reales, tales como modelos de Programación Lineal, Problemas de Transporte y Asignación, Simulación y Teoría de Inventarios.
OBJETIVOS Aplicar modelos cuantitativos en la resolución de problemas de administración. Optimizar soluciones usando la Investigación de Operaciones. Conocer el potencial que presenta la simulación en el diseño de d e procesos. Conocer los sistemas de manejo de inventarios basados en demanda conocida.
METODOLOGÍA Clases expositivas para conceptos teóricos con discusiones sobre cada tema. Practicas en laboratorio , donde se conocerán diversos software de apoyo a la I.O.
INVESTIGACION DE OPERACIONES Programa del Curso DESCRIPCION El curso trata principalmente sobre la aplicación de los modelos usuales de Investigación de Operaciones en la solución de problemas reales, tales como modelos de Programación Lineal, Problemas de Transporte y Asignación, Simulación y Teoría de Inventarios.
OBJETIVOS Aplicar modelos cuantitativos en la resolución de problemas de administración. Optimizar soluciones usando la Investigación de Operaciones. Conocer el potencial que presenta la simulación en el diseño de d e procesos. Conocer los sistemas de manejo de inventarios basados en demanda conocida.
METODOLOGÍA Clases expositivas para conceptos teóricos con discusiones sobre cada tema. Practicas en laboratorio , donde se conocerán diversos software de apoyo a la I.O.
INVESTIGACION DE OPERACIONES Programa del Curso CONTENIDOS .Introducción a la Investigación de Operaciones
Softwares de Simulación
5.Teoría 5.Teoría de Inventarios
Definición de I.O. Historia de la I.O. Campos de aplicación.
Modelos con demanda real conocida: Modelo General. Sistema de revisión continua. Sistemas de revisión periódica.
2.Formulación matemática Metodología para la generación de modelos. Formulaciones matemáticas típicas presentes en la P.L. P.L.
Nota Final = 0.25*P1+25*P2+0.2T+0.30*PG
3.Programación Lineal
P1 / P2: Notas pruebas parciales T: Promedio trabajos practicos. PG: Prueba global
Definición de P.L. Métodos de Resolución: Método gráfico Método algebraico (simplex) Análisis de sensibilidad. Problemas especiales de P.L: Problemas de transporte Problemas de asignación
FECHAS
4. Introducción a la Simulación Definición de la simulación Guìa para proyectos de simulacìón. Simulacìón de Monte Carlo Modelos con incrementos de tiempo discretos Modelos con incrementos de tiempo variable.
Prueba 1: 02 de Octubre del 2003 Prueba 2: 27 de Noviembre del 2003 P. Global: 04 de d e Diciembre del 2003
BIBLIOGRAFIA Titulo: “Investigación de Operaciones” Autor: Hamdy Taha Editorial: Prentice Hall / sexta edición. Año: 1998 Titulo: “Administración de Operaciones” Autor: Roger Schroeder Editorial: Mc Graw Hill. / 3ª edición ed ición / Año: 1999
INVESTIGACION DE OPERACIONES
Definición: Conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas aplicable a diversos
sistemas con el fin de mejorarlos, buscando las mejores alternativas de acción; esto mediante el estudio.
modelamiento matemático de los problemas en
Sistemas v/s Procesos • Proceso: Conjunto de Actividades que crean una Salida o Resultado a partir de una o más Entradas o Insumos.
• Sistema: Un Conjunto de Elementos interconectados utilizados para realizar el Proceso. Incluye subprocesos pero también incluye los Recursos y Controles para llevar a cabo estos procesos. • En el diseño de Procesos nos enfocamos en QUÉ se ejecuta. • En el diseño del Sistemas el énfasis está en los detalles de CÓMO, DÓNDE Y CUÁNDO.
Sistemas v/s Procesos Reglas de Operación (Controles)
Sistema
Entidades que Entran
Actividades
Recursos
Entidades que Salen
Modelos
• Con el propósito de estudiar científicamente un sistema del mundo real debemos hacer un conjunto de supuestos de cómo trabaja.
• Estos supuestos, que por lo general toman la forma de relaciones matemáticas o relaciones lógicas, constituye un Modelo que es usado para tratar de ganar cierta comprensión de cómo el sistema se comporta.
INVESTIGACION DE OPERACIONES
INVESTIGACION DE OPERACIONES Clasificación de los modelos Existen múltiples tipos de modelos para representar la realidad. Algunos son: • Dinámicos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado varía con el tiempo. • Estáticos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado es invariable a través del tiempo. • Matemáticos: Representan la realidad en forma abstracta de muy diversas maneras. • Físicos: Son aquellos en que la realidad es representada por algo tangible, construido en escala o que por lo menos se comporta en forma análoga a esa realidad (maquetas, prototipos, modelos analógicos, etc.). • Analíticos: La realidad se representa por fórmulas matemáticas. Estudiar el sistema consiste en operar con esas fórmulas matemáticas (resolución de ecuaciones). • Numéricos: Se tiene el comportamiento numérico de las variables intervinientes. No se obtiene ninguna solución analítica.
INVESTIGACION DE OPERACIONES Clasificación de los modelos • Continuos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son graduales. Las variables intervinientes son continuas. • Discretos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son de a saltos. Las variables varían en forma discontinua. • Determinísticos: Son modelos cuya solución para determinadas condiciones es única y siempre la misma. • Estocásticos: Representan sistemas donde los hechos suceden al azar, lo cual no es repetitivo. No se puede asegurar cuáles acciones ocurren en un determinado instante. Se conoce la probabilidad de ocurrencia y su distribución probabilística. (Por ejemplo, llega una persona cada 20 ± 10 segundos, con una distribución equiprobable dentro del intervalo).
INVESTIGACION DE OPERACIONES Clasificación de los modelos •Es interesante destacar que algunas veces los modelos y los sistemas no pertenecen al mismo tipo.
Por ejemplo: •El estudio del movimiento del fluido por una cañería (Fluidodinámica)
corresponde a sistemas continuos. Sin embargo si el fluido se lo discretiza dividiéndolo en gotas y se construye un modelo discreto por el cual circulan gotas de agua (una, dos, diez, cien, mil) se está representando un
continuo por un modelo discreto.
sistema
INVESTIGACION DE OPERACIONES Clasificación de los modelos •La obtención del área bajo la curva representada por f(x,y)=0 para el rango 0 <= x <= 1 con 0 <= y <= 1 en todo el intervalo, es un problema determinístico. Sin embargo, para un número N, suficientemente grande de puntos, de coordenadas x,y generadas al azar (0 <= x <= 1; 0 <= y <= 1) el área de la curva, aplicando el método de Monte Carlo, es igual a:
•En este caso, mediante un
determinístico.
modelo estocástico se resuelve un sistema
INVESTIGACION DE OPERACIONES Clasificación de los modelos El azar en computadora es pseudo azar: •Mediante un algoritmo matemático se generan números al azar con una distribución aleatoria similar a la real. Se los puede utilizar en los modelos estocásticos obteniendo similares resultados a los que se obtienen en el sistema real. Sin embargo, este azar es repetitivo (cualquiera que conoce el algoritmo puede predecirlo) lo cual contradice a lo que sucede en un proceso aleatorio.
sistema estocástico es representado por un modelo pseudoazar (determinístico).
•En este caso, un
INVESTIGACION DE OPERACIONES Clasificación de los modelos según la I.O. Modelo Matemático Es aquel modelo que describe el comportamiento de un sistema a través de relaciones matemáticas y supone que todas las variables relevantes son cuantificables. Por ende tiene una solución optima.
Modelo de Simulación Es un modelo que imita el comportamiento de un sistema sobre un periodo de tiempo dado, esta basado en observaciones estadísticas. Este tipo de modelo entrega soluciones aproximadas.
Modelo Heurístico Es una regla intuitiva que nos permite la determinación de una solución mejorada, dada una solución actual del modelo, generalmente son procedimientos de búsqueda. Este tipo de modelo también entrega soluciones aproximadas.
INVESTIGACION DE OPERACIONES Tópicos relacionados •Análisis Estadístico •Simulación •Programación Lineal •Sistema de Redes •Líneas de Espera •Problemas de Inventario •Programación No - Lineal •Programación Dinámica •Programación Entera •Teoría de Decisiones •Teoría de Juegos
INVESTIGACION DE OPERACIONES El Arte del Modelado
La I.O debe ser considerada como una ciencia y la vez como un arte. • Una ciencia por el uso de técnicas matemáticas para la resolución de los problemas. • Un arte ya que la formulación del modelo depende en gran parte de la creatividad y la experiencia delas operaciones del equipo investigador.
INVESTIGACION DE OPERACIONES Etapas para puesta en práctica 1. Definición del problema: • Alternativas de decisión (vars. de decisión). • El objetivo de estudio (Función Objetivo). • Identificación de las restricciones del sistema que se modela.
2. Construcción del modelo: • Traducir el problema a relaciones matemáticas que incluyan las vars. decisión, la Función Objetivo y las restricciones.
3. Solución del modelo: • Uso de algoritmos de optimización. • Se encuentran los valores de las vars. decisión.
4. Validación del modelo: • ¿El modelo entrega una predicción razonable del comportamiento del sistema estudiado?
5. Puesta en práctica: • Traducir los resultados del modelo en instrucciones de operación.
PROGRAMACIÓN LINEAL
PROGRAMACION LINEAL FORMULACION MATEMATICA PROBLEMA GENERAL METODO GRAFICO
METODO ALGEBRAICO (SIMPLEX)
PROBLEMAS ESPECIALES PROBLEMAS DE TRANSPORTE
PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN
PROGRAMACIÓN LINEAL Es un método matemático que se emplea para resolver problemas de optimización. En palabras simples la P.L. busca asignar recursos limitados, entre actividades que compiten, de la forma mas optima posible.
Supuestos de la P.L. •Proporcionalidad • Aditividad •Divisibilidad •Certidumbre •Objetivo único •No negatividad
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos PROBLEMA DE LA MEZCLA DE PRODUCTOS Una compañía fabrica dos tipos de componentes electrónicos: transistores y bobinas. Cada transistor requiere un minuto de tiempo en el departamento de ensamble, dos minutos de tiempo en el departamento de Control de Calidad y un minuto de tiempo en empaque. Cada bobina requiere dos minutos de tiempo en ensamble, un minuto de tiempo en Control de Calidad y dos minutos en empaque. Existe un total de 300 minutos en Ensamble, 400 minutos en C. Calidad y 400 minutos en Empaque disponibles cada día. Tanto los transistores como las bobinas contribuyen en un dólar a la utilidad. La compañía desea determinar la mezcla de productos optima que maximice la utilidad total.
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Solución: Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Maximizar las utilidades de la compañía (U).{dólares/día} Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar X….Cantidad de transistores a fabricar por día {unds./día} Y….Cantidad de bobinas a fabricar por día {unds./día}
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Tiempo disponible en el depto. de Ensamble por día 300 min. R2) Tiempo disponible en el depto. de C. Calidad por día de 400 min. R3) Tiempo disponible en el depto. de Empaque por día de 400 min. R4) No Negatividad.
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo MAX { U = X + Y } Sujeto a : R1) X + 2Y 300 R2) 2X + Y 400 R3) X + 2Y 400 R4) X , Y 0
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos EJERCICIO PROPUESTO El departamento de rayos X de un hospital tiene dos máquinas, A y B, que pueden utilizarse para revelar radiografías. La capacidad de procesamiento diaria de estas máquinas es A=80 y B=100 radiografías. El departamento debe planear procesar al menos 150 radiografías por día. Los costos de operación por radiografía son $4 para la máquina A y $3 para la máquina B. ¿Cuántas radiografías por día debe procesar cada máquina para minimizar costos?
Se pide: Formular como un problema de P.L. identificando claramente la función objetivo y las variables de decisión.
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Solución: Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Minimizar los costos de procesamiento (C).{dólares/día} Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar X….Cantidad de radiografías a procesar en máquina A al día {rad./día} Y…. Cantidad de radiografías a procesar en máquina B al día {rad./día}
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Capacidad de procesamiento de rad. en la maquina A de 80. R2) Capacidad de procesamiento de rad. en la maquina B de 100. R3) Capacidad mínima del departamento de 150 rad. por día. R4) No Negatividad.
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo M IN { C = 4X + 3Y } Sujeto a : R1) X R2)
80 Y
100
R3) X + Y
150
R4) X , Y 0
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos PROBLEMA DE LA DIETA La compañía OF utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial. El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes composiciones. libra componente por libra de alimento ganado A. ganado
Proteinas
Fibra
Maíz Similla Soya
0.09 0.60
0.02 0.06
Costo US$/lb
0.30 0.90
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos
Los requerimientos dietéticos diarios de alimento especial estipulan por lo menos un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. OF desea determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimento.
¿….?
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Solución: Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Minimizar el costo diario total de la mezcla de alimento(C).{dólares/día} Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar X….libras de maiz maiz en la mezcla diaria {lb./día} Y…. Libras de semilla de soya en la mezcla diaria {lb./día}
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Requerimientos Requerimientos de alimentos alimentos de por lo l o menos menos 800 lbs.al lbs .al día R2) Requerimiento de proteínas de por lo menos un 30% R3) Requerimientos Requerimientos de fibra fi bra de cuando mucho un 5%. R4) No Negatividad.
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Paso 4: Construcción Construcción del modelo matemático
F.Objetivo M IN { C = 0.3X + 0.9Y } Sujet ujeto oa: R1) X + Y
800
R2) 0.09X + 0.6Y
0.3(X + Y)
R3)0.02 X + 0.06Y
0.05(X + Y)
R4) X , Y
0
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Paso 4.1: Construcción del modelo matemático (ORDENADO)
F.Objetivo M IN { C = 0.3X + 0.9Y } Sujet ujeto oa: R1) X + Y
800
R2) 0.21X - 0.30Y
0
R3)0.03 X - 0.01Y
0
R4) X , Y
0
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos PROBLEMA DE TRANSPORTE Considere el problema que enfrenta el departamento de planificación de la compañía DALLAS S.A. ,que tiene tres plantas y cuatro almacenes regionales. Cada mes se requiere de una lista de requerimientos de cada almacén y se conocen, tambien las capacidacdes de producción de las plantas. Ademas se conoce el costo de transporte de cada planta a cada almacén. El problema es determinar qué plantas deben abastecer a que almacenes de manera que minimicen los costos totales de transporte. Consideremos que los costos de transporte entre dos ciudades cualquiera, son proporcionales a las cantidades embarcadas. Supongase que las capacidades mensuales de cada planta son 70, 90 y 180 respectivamente. Los requerimientos de cada almacén para el mes de Marzo son: 50, 80, 70 y 140. Los costos unitarios de transporte son los que se muestran en la tabla siguiente:
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Planta 1 2 3
1 19 70 40
Se pide: Formular como un PPL.
Almacén 2 30 30 8
3 50 40 70
4 10 60 20
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Paso 4.1: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
Min{C=19X11+70X21+40X31+30X12+30X22+8X32+50X13+40X23+70X33+10X14+60X24+20X34} Sujeto a : R1) X11+X12+X13+X14
70
R2) X21+X22+X23+X24
90
R3) X31+X32+X33+X34
180
R4) X11+X21+X31
50
R5) X12+X22+X32
80
R6) X13+X23+X33
70
R7) X14+X24+X34
140
R8) Xij
0
i , j
Modelo General de PL Definición de variables: Sea xj = #.... ; Función objetivo:
j = 1, 2, 3....n
Max. o Min. z = C1X1 + C2X2 + ... + CjXj + ... + CnXn Sujeto a restricciones: i = 1, 2, 3, ... , m
a11X1 + a12X2 + ... + a1jXj + ... + a1nXn a21X1 + a22X2 + ... + a2jXj + ... + a2nXn
= = . .
· ·
ai1X1 + ai2X2 + ... + aijXj + ... + ainXn
bi
=
bm
. .
· ·
am1X1 + am2X2 + ... + amjXj + ... + amnXn Condiciones de signo para variables:
=
toda xj 0
m = # total de restricciones, n = # de variables de decisión (originales) Cj, aij y bi son constantes (o parámetros) dados.
b1 b2
Métodos de Resolución Método Gráfico Empleado principalmente para PPL con dos variables de decisión. Este método se basa en la idea de obtener regiones de soluciones factibles (RSF) , en las cuales se encontraría la combinación de variables de decisión que optimizan el modelo.
Método Algebraico (SIMPLEX) Empleado principalmente para PPL con más de dos variables de decisión. Este método se desarrollo con base en el método gráfico y corresponde a un sistema heurístico, por lo cual requiere de una solución inicial factible para empezar a funcionar.
Métodos de Resolución GRAFICO Maximize Z = 400X1 + 800 X 2 Sujeto a:
R1)
3X1 + 5X 2
5,000
R2)
X1
3,000
R3)
X1 , X 2
0
+ 4X 2
Método de Resolución: Paso 1 Gráficar las restricciones X2
3,000 Fab R1 X1 0 1,666.7
2,000
X2 1,000 0
Assy R2
1,000 A
0,0
X1 0 3,000
B
1,000
C 2,000
3,000
X1
X2 750 0
PROGRAMACIÓN LINEAL Construcción de modelos Solución: Formulación Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Minimizar el costo total de transporte (C).{u.m/mes} Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar Xij….Cantidad a enviar de la planta “i” al almacén “j” mensualmente {uds/mes}
i =1,2,3 / j =1,2,3,4 Paso 3: Identificar las restricciones del modelo R1) Capacidad mensual de producción planta 1 de 70 R2) Capacidad mensual de producción planta 2 de 90 R3) Capacidad mensual de producción planta 3 de 180 R4) Requerimientos del almacén 1 para Marzo de 50 R5) Requerimientos del almacén 2 para Marzo de 80 R6) Requerimientos del almacén 3 para Marzo de 70 R7) Requerimientos del almacén 4 para Marzo de 140 R8) No Negatividad.
Método de Resolución: Paso 1 Gráficar las restricciones X2
3,000 Fab R1 X1 0 1,666.7
2,000
X2 1,000 0
Assy R2
1,000 A
0,0
X1 0 3,000
B
1,000
C 2,000
3,000
X1
X2 750 0
Método de Resolución: Paso 2 Obtener la RSF X2
3,000 Fab R1 X1 0 1,666.7
2,000
X2 1,000 0
Assy R2 X1 0 3,000
1,000 A
B RSF
0,0
1,000
C 2,000
3,000
X1
X2 750 0
Método de Resolución: X2
3,000 Premisa: el punto
2,000
optimo siempre se encuentra en uno de los vértices de la RSF.
1,000 A
B RSF
0,0
1,000
C 2,000
3,000
X1
Método de Resolución: Paso3 Encontrar el Punto Optimo: Alternativas Alternativa 1 Encontrar todas las combinaciones de X1 y X2 que determinan los vértices de la RSF, luego se evalúan en la función objetivo y se elige la combinación que maximice (o minimice) dicha función.
Alternativa 2 Gráficar la F.O. dandose en valor arbitrario de Z (depende de la escala del gráfico), luego la recta se desplaza en forma paralela en el sentido estricto de la optimización. El ultimo punto que “tope” la F.O al salir de la RSF corresponderá a la solución optima.
Método de Resolución: Paso3 Encontrar el Punto Optimo(1) X2
3,000
2,000
1,000 A Z=320.000
0,0
B
1,000
C 2,000
3,000
X1
Método de Resolución: Paso 3 Encontrar el Punto Optimo (2) X2
3,000
2,000 Optimal Point 1,000 A
0,0
B
1,000
C 2,000
3,000
X1
Método de Resolución: Paso 3 Encontrar el Punto Optimo (3) X2
3,000
El punto optimo (B) se encuentra en la intersección de las dos rectas
2,000
1,000 A
0,0
B
1,000
C 2,000
3,000
X1
3X1 + 5X 2
5,000
X1
3,000
+ 4X 2 3X1 + 12X 2 3X1 + 5X 2
5,000
7X 2
9,000
Assy Fab
4,000
X 2 = 571.43, or 571 Multimax X1 =
5000 - 5(571) 3
715 Max
RESULTADOS Max Z = 400X1 + 800 X 2 Z = 400(715) + 800 (571) Z = $286,000 + $456,800 = $742,800 X1=715 X2=571 Z =742,800.
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX El método símplex fue desarrollado en 1947 por el Dr. George Dantzig y conjuntamente con el desarrollo de la computadora hizo posible la solución de problemas grandes planteados con la técnica matemática de programación lineal. El algoritmo denominado símplex es la parte medular de este método; el cual se basa en la solución de un sistema de ecuaciones lineales con el conocido procedimiento de Gauss-J ordan y apoyado con criterios para el cambio de la solución básica que se resuelve en forma iterativa hasta que la solución obtenida converge a lo que se conoce como óptimo. . •El conjunto de
soluciones factibles para un problema de P.L. es un conjunto convexo. •La solución óptima del problema de programación lineal , si existe, es un punto extremo (vértice) del conjunto de soluciones factibles. •El número máximo de puntos extremos (vértices) por revisar en la búsqueda de la solución óptima del problema es finito.
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX Forma Estándar de un PPL La forma estándar pasa por realizar los siguientes cambios:
1º Conversión de desigualdades en igualdades (ecuaciones) a.- Restricción menor o igual (≤) Para transformar este tipo de restricción a una ecuación de tipo igualdad se debe aumentar su lado izquierdo con una variable de “holgura”. Esta representa la cantidad disponible del recurso que excede al empleo que le dan las actividades. Ej.
6X1 + 4X2 ≤ 24 F.e 6X1 + 4X2 + h1 = 24 h1 ≥ 0
(h1… cantidad no utilizada de recurso)
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX b.- Restricción mayor o igual (≥) Las restricciones de este tipo comúnmente determinan requerimientos mínimos de especificaciones. En este caso se debe incorporar una variable de superávit que representa el requerimiento mínimo del lado izquierdo, sobre el requerimiento mínimo del derecho ( cuanto falta para cumplir con lo pedido). Ej.
X1 + X2 ≥ 800 X1 + X2 - r1 = 800 r1 ≥ 0 Sin embargo la F.E pasa por hacer un ajuste más:
F.E X1 + X2 - r1 + t1 = 800 r1, t1 ≥ 0 t1 = variable artificial (se necesita para generar la solución inicial del simplex)
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX d.- Restricción de igualdad (=) Aquí la estandarización pasa sólo por incorporar una variable artificial. Ej.
X1 + X2 = 800 X1 + X2 + t1 = 800 t1 ≥ 0 Como las variables artificiales no tienen sentido, es importante que el simplex las deje fuera al comienzo del procedimiento y esto se logra al penalizar la inclusión de las variables
artificiales en la función objetivo con un coeficiente „M‟ muy grande que para el caso de maximizar es „ M‟ y para el caso de minimizar es „+ M‟.
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX 2º Cambios de variables a.- Variables no restringidas Algunas veces las variables de decisión pueden tomar cualquier valor real.
Xi s.r.s Cambio de variable Xi = Ui – Vi Ui …. Parte positiva de Xi Vi …. Parte negativa de Xi Ej.
X1 + X2 ≤ 24 X1 ≥ 0, X2 s.r.s Luego X2 = U2 – V2 F.E. X1 + U2 – V2 + h1 = 24
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX b.- Variables negativas Algunas veces las variables de decisión pueden tomar negativos.
Xi ≤ 0 Cambio de variable Yi =
–
Xi
Donde Yi ≥ 0
Ej.
X1 + X2 ≤ 40 X1 ≥ 0, X2 ≤ 0 Luego Y2 = – X2, o bien X2 = - Y2 F.E. X1 - Y2 + h1 = 40
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX 3º Cambio en criterio de optimización Muchas veces el objetivo no es maximizar.
MIN (Z) Cambio de variable: Z* = -Z MIN Z = MAX ( Z*) Ej.
MIN [ Z = X1 + X2 ] Z* = -Z F.E MAX [ Z* = -X1 – X2]
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX EJ EMPLO MIN (Z = 15X1 + 10X2 – 20X3) S/A R1) X1+2X2+4X3
≥
30
R2) 5X1+5X2+3X3 = 40 R3) X1 + X2 + X3
≤
70
R4) X1 s.r.s; X2≤0; X3≥0 Cambios de variable: Z* = -Z
X1=U1-V1
X2=-Y2
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX Forma Estándar
Z*
+
15
5
U1
-
U1
-
U1
-
U1
-
15
5
V1
-
10
Y2
-
20
X3
V1
-
2
Y2
+
4
X3
V1
-
25
Y2
+
3
X3
V1
-
Y2
+
X3
+ M t1 -
r1 +
+
M t2
t1
=
0
= 30 +
t2
= 40
+
h1 = 70
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX Forma Tabular
BASE
Z
U1
V1
Y2
X3
r1
t1º
t2
h1
z
1
15
-15
-10
-20
0
M
M
0
0
t1
0
1
-1
-2
4
-1
1
0
0
30
t2
0
5
-5
-25
3
0
0
1
0
40
h1
0
1
-1
-1
1
0
0
0
1
70
SOLUCION
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
U1
V1
Y2
X3
r1
t1º
t2
h1
z
15
-15
-10
-20
0
0
0
0
0
M
0
0
0
0
0
1
1
0
0
t1
1
-1
-2
4
-1
1
0
0
30
t2
5
-5
-25
3
0
0
1
0
40
h1
1
-1
-1
1
0
0
0
1
70
Métodos de Resolución ALGEBRAICO Se una vez obtenida la F.E se esta en condiciones de iniciar el Simplex que nos permitirá encontrar la (s) solución (es) del PPL. Como el algoritmo se mueve de punto en punto extremo requiere que variables basicas entren y salgan. Las reglas para seleccionar las variables de entrada y salida se conocen
como condiciones de optimalidad y factibilidad. Resumiendo:
C. Optimalidad: la variable de entrada en un problema de maximización es la variable no básica que tiene el coeficiente mas negativo en el reglon de la F.O. los empates se rompen arbritariamente. Se llega al optimo en la iteración donde todos coeficientes del reglon de la F.O. de las variables básicas son positivos.
C. Factibilidad: tanto para los problemas de maximización como minimización, la variable de salida es la variable básica asociada con la razón no negativa más pequeña entre los “lados derecho” y los coeficientes de la columna entrante.
Métodos de Resolución ALGEBRAICO Pasos del Simplex:
Paso 0
: determinar la solución factible inicial.
Paso 1
: seleccione la variable de entrada empleando la condición de optimalidad. Deténgase si no hay variable de entrada.
Paso 2
: seleccione una variable de salida utilizando la condición de factibilidad.
Paso 3
: determine las nuevas soluciones básicas empleando los calculos apropiados de Gauss – Jordan, luego vuelva al paso 1.
Métodos de Resolución ALGEBRAICO EJEMPLO Max Z = 7x1 + 4x2 + 5x3 S/A 2x1 + x2
30
3x1 + 2x2 + x3
25
x2 + 2x3 x1 , x2 , x3
20 0
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
X1
X2
X3
h1
h2
h3
z
-7
-4
-5
0
0
0
0
h1
2
1
0
1
0
0
30
h2
3
2
1
0
1
0
25
h3
0
1
2
0
0
1
20
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
X1
X2
X3
h1
h2
h3
z
-7
-4
-5
0
0
0
0
h1
2
1
0
1
0
0
30
h2
3
2
1
0
1
0
25
h3
0
1
2
0
0
1
20
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
X1
X2
X3
h1
h2
h3
z
-7
-4
-5
0
0
0
0
Razón
h1
2
1
0
1
0
0
30
30 / 2
h2
3
2
1
0
1
0
25
25 / 3
h3
0
1
2
0
0
1
20
___
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
X1
X2
X3
h1
h2
h3
z
-7
-4
-5
0
0
0
0
Razón
h1
2
1
0
1
0
0
30
30 / 2
h2
3
2
1
0
1
0
25
25 / 3
h3
0
1
2
0
0
1
20
___
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
X1
X2
X3
h1
h2
h3
z
-7
-4
-5
0
0
0
0
Razón
h1
2
1
0
1
0
0
30
30 / 2
h2
3
2
1
0
1
0
25
25 / 3
h3
0
1
2
0
0
1
20
___
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
X1
X2
X3
h1
h2
h3
z
-7
-4
-5
0
0
0
0
Razón
h1
2
1
0
1
0
0
30
30 / 2
h2
3
2
1
0
1
0
25
25 / 3
h3
0
1
2
0
0
1
20
___
PIVOTE
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX Gauss J ordan
BASE
SOLUCION
X1
X2
X3
h1
h2
h3
z
0
2
0
0
7/3
4/3
85
h1
0
0
0
1
-2/3
1/3
20
X1
1
1/2
0
0
1/3
-1/6
5
h3
0
1/2
1
0
0
1/2
10
¡Optimo!
Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX SOLUCIÓN z
85
X1
5
X2
0
X3
0
h1
20
h2
0
h3
10
Métodos de Resolución DUAL SIMPLEX Se basa en la idea que todo PPL tiene un problema “espejo”, llamado DUAL. Esto provoca que se genere un segundo algoritmo de resolucion conocido como “Metodo Dual Simplex”, el cual funciona de la siguiente manera: La variable que sale es la variable basica que tiene el valor mas negativo, si todas las variables basicas son no negativas el proceso termina y se alcanza la solucion factible - optima. La variable entrante se escoge de la manera siguiente: Calcule la razon entre los coeficientes del reglon “cero” y los coeficientes de la fila asociada a la variable que sale, ignore coeficientes positivos o ceros. La variable que entra es la que posee la razon mas pequeña si el problema es de minimizacion. Si todos los denominadores son cero o positivos el problema no tiene solucion factible.
Métodos de Resolución DUAL SIMPLEX EJ EMPLO MIN (Z = 2X1 + X2) S/A R1) 3X1+X2
≥
3
R2) 4X1+3X2
≥
6
R3) X1 + 2X2
≤
3
R4) X1 ≥0 ; X2 ≥ 0 Forma Estándar:
Métodos de Resolución DUAL SIMPLEX Forma Estándar
Z
+
-2
X1
-
X2
-3
X1
-
X2
-4
X1
-
3
X2
X1
+
2
X2
= +
r1
0
= -3 +
r2
= -6 +
h1 =
3
Métodos de Resolución DUAL SIMPLEX Forma Tabular Especial
BASE
SOLUCION
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2
-1
0
0
0
0
r1
-3
-1
1
0
0
-3
r2
-4
-3
0
1
0
-6
h1
1
2
0
0
1
3
Métodos de Resolución DUAL SIMPLEX
BASE
SOLUCION
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2
-1
0
0
0
0
r1
-3
-1
1
0
0
-3
r2
-4
-3
0
1
0
-6
h1
1
2
0
0
1
3
Sale mas negativa
Métodos de Resolución DUAL SIMPLEX RAZON
2/4
1/3
0
0
0
BASE
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2
-1
0
0
0
0
r1
-3
-1
1
0
0
-3
r2
-4
-3
0
1
0
-6
h1
1
2
0
0
1
3
SOLUCION
Métodos de Resolución DUAL SIMPLEX Entra razon mas pequeña
RAZON
2/4
1/3
0
0
0
BASE
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2
-1
0
0
0
0
r1
-3
-1
1
0
0
-3
r2
-4
-3
0
1
0
-6
h1
1
2
0
0
1
3
SOLUCION
Métodos de Resolución DUAL SIMPLEX Entra razon mas pequeña
RAZON
2/4
1/3
0
0
0
BASE
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2
-1
0
0
0
0
r1
-3
-1
1
0
0
-3
r2
-4
-3
0
1
0
-6
h1
1
2
0
0
1
3
SOLUCION
Métodos de Resolución DUAL SIMPLEX Gauss J ordan
BASE
SOLUCION
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2/3
0
0
-1/3
0
2
r1
-5/3
0
1
-1/3
0
-1
X2
4/3
1
0
-1/3
0
2
h1
-5/3
0
0
2/3
1
-1
Métodos de Resolución DUAL SIMPLEX
BASE
SOLUCION
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2/3
0
0
-1/3
0
2
r1
-5/3
0
1
-1/3
0
-1
X2
4/3
1
0
-1/3
0
2
h1
-5/3
0
0
2/3
1
-1
Métodos de Resolución DUAL SIMPLEX RAZON
2/5
0
0
1
0
BASE
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2/3
0
0
-1/3
0
2
r1
-5/3
0
1
-1/3
0
-1
X2
4/3
1
0
-1/3
0
2
h1
-5/3
0
0
2/3
1
-1
SOLUCION
Métodos de Resolución DUAL SIMPLEX RAZON
2/5
0
0
1
0
BASE
X1
X2
r1
r2
h1
z
-2/3
0
0
-1/3
0
2
r1
-5/3
0
1
-1/3
0
-1
X2
4/3
1
0
-1/3
0
2
h1
-5/3
0
0
2/3
1
-1
Pivote
SOLUCION
Métodos de Resolución DUAL SIMPLEX Gauss J ordan
BASE
SOLUCION
X1
X2
R1
r2
h1
Z
0
0
-2/5
-1/5
0
12/5
X1
1
1
-3/5
1/5
0
3/5
X2
0
0
4/5
-3/5
0
6/5
h1
0
0
-1
1
1
0
Optimo – Factible!!!
Métodos de Resolución DUAL SIMPLEX Solución: BASE
SOLUCION
Z
12/5
X1
3/5
X2
6/5
r1
0
r2
0
h1
0
