Problemas Resueltos de Inv de Operaciones

Ingeniería en Sistemas de Inf ormación

Investigación Operativa Practico 1 Planteo de PL Plantear el modelo matemático de los siguientes problemas lineales: Una pequeña empresa de cortinas tiene contratados tres profesionales: Ana, Claudia y Susana. La produccin de una cortina consta de tres procesos: corte, en la que a partir de unas medidas se cort corta a la tela tela nece necesa sari ria, a, conf confec ecci cin n, , en la que que se cose cose la cortina, y acabado, en la que se colocan el forro, los remates y se pule el acabado. Cada una de las modistas emplea un tiempo distinto en cada cada uno uno de esto estos s proc proces esos os, , tiem tiempo pos s que que !ien !ienen en dado dados s en la siguiente tabla "en minutos#:

$eterminar qu% persona debe encargarse de cada proceso de forma que el tiempo de produccin sea m&nimo. '(in) *+ 32/3 0 s.a / /1 /3 / /1 /3 /i4

-  / 0 12/1 0 32/3 0 12/1 0 1-/11 0 12/13 0 12/31 0 2/33 0 0 0 0 0 0 +

/1 0 /11 0 /31 0 /1 0 /11 0 /13 0 52,6

/3 /13 /33 /3 /31 /33

+ + + + + +

     

Una compañ&a de transportes posee 1 tipos de camiones. 7l camin tipo A tiene 12 m3 de espacio refrigerado y 82 m3 no refrigerado. 7l camin tipo 9 tiene 32 m3 refrigerados y 32 m3 no refrigerados. Una Una fábr fábric ica a de prod produc ucto tos s alim alimen enti tici cios os debe debe emba embarc rcar ar 22 22 m3 de productos refrigerados refrigerados y 122 m3 no refrigerados. ;Cuántos ;Cuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica para minimi?m y el 9 a 2,82 =>?m@ A + Camion de tipo A 9+ Camin de tipo 9 '(in) *+ 2.3  A 0 2.8  9 s.a 12  A 0 32  9 + 22 82  A 0 32  9 + 122 A, 9 + 2 Una carnicer&a reali?gEla carne de cerdo contiene un FD de carne y un 31D de grasa, y cuesta 2,F2 =>?g. ;Gu% ;Gu% cantid cantidad ad de cada cada tipo tipo de carne carne debe debe emplea emplearse rse por Hilo Hilo si quiere minimi
Vechetti, Ariel Matias

1


Investigación Operativa '(in) *+ 2. I 0 2.F C s.a. 2.I 0 2.FC + 2.J2.1I 0 2.31C K+ 2.1I,C + 2 7n un r&o y su afluente Bay 1 presas que regulan el paso del agua. &o aba4o e/iste una gran demanda de agua para regad&o. Ieniendo en cuenta cuenta los costos costos de operac operacin in y manten mantenimi imient ento, o, la empres empresa a que gestiona las presas obtiene = 2.222 por unidad de caudal en la presa del r&o, y = 32.222 por unidad de caudal en la presa del afluente. Los caudales má/imos de cada cuenca son: 8 en el r&o, 8 en el afluente y - en el r&o antes de que se despegue su afluente. ;Cmo se debe distribuir el agua para que el beneficio sea má/imo@ '(a/) *+ 22222 0 s.a.  K+ 8 AK+ 8  0 A K+ , A + 2

32222A

Una compañ&a minera opera tres minas. 7l mineral obtenido en cada una una se sepa separa ra en dos dos cali calida dade des s ante antes s de su dist distri ribu buci cin n. . Las Las capacidades de produccin diarias de cada mina, as& como sus costes de operacin diarios son los siguientes:

La compañ&a se Ba comprometido a entregar -8 toneladas de mineral de alta alta cali calida dad d y F- de ba4a ba4a en el pla< plaba pts>barri rril l respec respecti! ti!ame amente nte. . Ambos Ambos tipos tipos de gasoli gasolina na se reali< reali

2


Investigación Operativa '(in) *+ 2. I 0 2.F C s.a. 2.I 0 2.FC + 2.J2.1I 0 2.31C K+ 2.1I,C + 2 7n un r&o y su afluente Bay 1 presas que regulan el paso del agua. &o aba4o e/iste una gran demanda de agua para regad&o. Ieniendo en cuenta cuenta los costos costos de operac operacin in y manten mantenimi imient ento, o, la empres empresa a que gestiona las presas obtiene = 2.222 por unidad de caudal en la presa del r&o, y = 32.222 por unidad de caudal en la presa del afluente. Los caudales má/imos de cada cuenca son: 8 en el r&o, 8 en el afluente y - en el r&o antes de que se despegue su afluente. ;Cmo se debe distribuir el agua para que el beneficio sea má/imo@ '(a/) *+ 22222 0 s.a.  K+ 8 AK+ 8  0 A K+ , A + 2

32222A

Una compañ&a minera opera tres minas. 7l mineral obtenido en cada una una se sepa separa ra en dos dos cali calida dade des s ante antes s de su dist distri ribu buci cin n. . Las Las capacidades de produccin diarias de cada mina, as& como sus costes de operacin diarios son los siguientes:

La compañ&a se Ba comprometido a entregar -8 toneladas de mineral de alta alta cali calida dad d y F- de ba4a ba4a en el pla< plaba pts>barri rril l respec respecti! ti!ame amente nte. . Ambos Ambos tipos tipos de gasoli gasolina na se reali< reali

2


Investigación Operativa

Las caracter&sticas del combustible disponible en el almac%n son:

;Gu% Gu% can cantida tidad des de comb combu ustib stible le naci nacion onal al y e/tr e/tran an4 4ero ero deb deben me
Nacional Nacional 7/tran4ero 7/tran4ero

'(a/) *+ "12N  "2NN 0 -27N## 0 "82SQ "2NS 0 -27S## s.a. 1-NN 0 - 7N K+ 13N JNN 0 -7N + N 1-NS 0 -7S K+ 13S 1-NS 0 -7S + 3S NN 0 NS + 82222 7N 0 7S + F2222 NK+ 22.2222 N+ -2222 SK+ 122222 S+ -222 Un prod produ uctor ctor agrop grope ecuar cuario io cuen cuenta ta con tres tres finca incas s de cier ierta e/tensin cada una y ciertas caracter&sticas espec&ficas de riego, de acuerdo con la regin en que cada una de ellas se encuentra. Un resumen de estas caracter&sticas aparece a continuacin:

Se tienen, además, tres diferentes clases de plantas que se pueden culti!ar: yuca, papa y ma&

3



Por disposiciones gubernamentales no es posible tener porcenta4es difer iferen ent tes de área áreas s culti ulti!a !ad das en las las tres tres finc fincas as. . Nues Nuest tro productor agropecuario se pregunta cuál Ba de ser la distribucin de culti!os en cada una de las fincas, de manera que ma/imice la utilidad generada por la !enta del producto de las cosecBas. '(a/) *+ s.a. F22 F22 F22

822F22R 0 32222P 0 22322(  R 0 22P 0  R 0 22P 0  R 0 22P 0

322 ( K+ 322 ( K+ 322 ( K+

3222  R 0 3F22P 0 3222  R 0 3F22P 0 3222  R 0 3F22P 0

3-2 J22 322

22 ( K+ 22 ( K+ 22 ( K+

-1-222 822222 1J2222

La muni munici cipa pali lida dad d pose posee e un cent centro ro de reco recole lecc cci in n de resi residu duos os slidos, los cuales somete a diferentes tratamientos, de tal manera que pueda producir materia prima para la !enta. $e acuerdo con las me
7l centro de recoleccin obtiene los materiales de desperdicio de diferentes fuentes, por lo cual es capa< de operar a una produccin estable. Las cantidades disponibles cada semana, as& como el costo de tratamiento, se muestra en la siguiente tabla:


4



7l problema que enfrenta la municipalidad es determinar cuánto debe producir de cada tipo de producto y la me
cantidad cantidad cantidad cantidad cantidad cantidad

de de de de de el

materia  en el tipo A materia 1 en el tipo A materia 3 en el tipo A material  en el tipo 9 material 1 en el tipo 9 material  en el tipo C

'(a/) *+ .-2"mA 0 m1A 0 m3A#Q "3mA 0 Fm1A 0 8m3A# 0 J"m9 0 m19#Q "3m9 0 Fm19# 0 -.-mCQ 3mC s.a. mA 0 m9 0 mC K+ 1-22 m1A 0 m19K+ 22 m3A K+ 8222 mA>1-22K+ 2.1 m1A>22+ 2.8 m3A>8222+ 2.m9>1-22K+ 2.m19>22+ 2.1 mC>1-22+ 2.J


5


Investigación Operativa Práctico 2 Solución de PL Un fabricante de tele!isores tiene que decidir el nMmero de unidades de 1J y 12 que debe producir en una de sus plantas. La in!estigacin de mercado indica que puede !ender como má/imo 82 unidades de 1J y 2 unidades de 12 al mes. 7l nMmero má/imo de Boras de traba4o disponible es -22 por mes. Un tele!isor de 1J requiere 12 Boras de traba4o y uno de 12 requiere 2. Cada unidad de 1J !endida produce una ganancia de 12 u.m. y cada una de 12 produce una ganancia de 2 u.m. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todas las unidades que se produ
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c#Para obtener un beneficio ma/imo de 3122 se deben porducir 12 t! 1J y 2 t! 12, con un sobrante de demande de 12 t! 1J.


6


Investigación Operativa Un intermediario debe adquirir mercader&as para la pr/ima temporada, para lo que dispone de un capital de =3.222.222. La mercader&a A cuesta =2 por unidad y requiere un espacio de almacenamiento de 2 dm3, la mercader&a 9 cuesta =J2 y requiere un espacio de almacenamiento de 12 dm3. La mercader&a C cuesta =22 y el espacio necesario es de J2 dm3. 7l espacio disponible de almacenamiento es de 8222 m3. Los beneficios esperados son de =12 por unidad de A, =12 por unidad de 9 y =1- por unidad de C. Tallar el programa de compra que ma/imi
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822.222 F2

c#Se !an arquirir 12.222 mercaderia del tipo 9, sobran un dinero del .-., obteniendo un beneficio de 822.222. Una compañ&a de seguros está introduciendo dos nue!as l&neas de productos: seguros de riesgos especiales e Bipotecas. La ganancia esperada es - u.m. Por unidad sobre el seguro de riesgos especiales y 1 u.m. por unidad sobre Bipotecas. La administracin quiere establecer las cuotas de !enta para las nue!as l&neas de productos


7


Investigación Operativa con el fin de ma/imi
iesgos especiales

Tipotecas

Toras $isponibles

Procesamiento

3

1

1822

Administracin

2



22

eclamos

1

2

122

a#QPlantear el modelo de programacin lineal. b#Qesol!er el problema utili
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c#Para obtener un beneficio ma/imode =3F22, se tendran que !ender F22 cuotas de seguros de riegos especiales y 322 de seguro de Bipotecas. Un importador dispone de financiacin para introducir mercader&as por =12.222.222. $e acuerdo con las reglamentaciones, está autori

8


Investigación Operativa Puede tener un beneficio del FD sobre las sustancias qu&micas y del 1D sobre los repuestos. Por ra
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2

c#Para obtener =F.222.222 de Guimicas.

una ganaracia del = .282.222 de deben !ender (aquinas agricolas y =8.222.222 de Sustancias

Cada semana, Ylorida Citrus, Znc., usa una sola maquina durante -2 Boras para destilar 4ugo de naran4a y de pomelo en concentrados


9


Investigación Operativa almacenados en dos tanques separados de 222 litros antes de congelarlos. La maquina puede procesar 1- litros de 4ugo de naran4a por Bora, pero solo 12 litros de 4ugo de pomelo. Cada litro de 4ugo de naran4a cuesta =.-2 y pierde 32D de contenido de agua al destilarse en concentrado. 7l concentrado de 4ugo de naran4a se !ende despu%s en =F.22 por litro. Cada litro de 4ugo de pomelo cuesta =1.22 y pierde 1-D de contenido de agua al destilarse en concentrado. 7l concentrado de 4ugo de pomelo se !ende despu%s en =.22 por litro. Yormule un modelo de programacin lineal para determinar un plan de produccin que ma/imice la ganancia para la siguiente semana. esol!er el problema utili1-/ 0 >12/1 K+ -2 J>2 / K+ 222 X /1K+222 /+2 V1+2

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2

12>8

F>3

Para obtner un beneficio del = -J.28 se deberan producir 2222>J litos de 4ugos de naran4a y 8222>3 de 4ugos de pomelo con un sobrante de Bora de procesado de --2>1 Boras por semana. esuel!a mediante simple/ los siguientes problemas: a# minimi

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Investigación Operativa b# ma/imice < + -/ 0 S.A. F/ 0 /1 + 8/ 0 3/1 + 1 / 0 1/1 + 8 /,/1+2 c# ma/imice < + 1/ 0 S.A. / 0 1/1 K+ F/ 0 8/1 + 18 /,/1+2

1/1 F

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3J->1Q 1-(>

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1->3

2

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3-22>3

382>3

Plantear un problema de programacin lineal que: a# Ienga solucin Mnica. b# No tenga solucin "no factible#. c# Ienga infinitas soluciones. d#Ienga solucin ilimitada "no acotada#. a# '(a/) *+ -/ 0 1/1 s.a 3/ 0 1/1 K+ 1822 /1K+ 22 1/ K+ 122 b#

Ck

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2

7s no factible porque el !alor de la !arible basica en la solucion obtima no sastiface las todas restriciones del problema.


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Investigación Operativa c#(a/ *+ 1/ 0 8/1 S.A / 0 1/1 K+/ 0 /1 K+8 /+2 /1+2

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1

2

7l ]alor del funcion entre la Mltima interaccion y la anterior no !aria a igual que el renglon 2, 7sto significa que la solucion concide con una de las restriciones. d#

Ck

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8

Un problema es no acotado cuando no se tiene ningun ^+ 2, en este e4emplo el caso de V3, lo que significa que el problema no tiene una region acotada. Una pare4a algo calculadora decide contraer matrimonio. 7ntre sus relaciones,e/iste la costumbre de Bacer en cada boda mucBos regalos y espera que cada amigo de Baga J regalos. Sus relaciones se pueden clasificar en ricos, medianos y pobres. Los ricos, Bacen 8 regalos caros, 1 medianos y  baratoE los medianos, Bacen 3 regalos caros, 3 regalos medianos y uno baratoE los pobres, Bacen  regalo caro,  regalo mediano y - baratos. La nue!a pare4a, necesita al menos regalos caros, 12 medianos pero no quiere más de cincuenta baratos. Piensan que el dinero gastado en la fiesta de bodas, refle4ará la lista de in!itados de manera que gastarán =J- en atender a cada in!itado rico, =-2 en atender a cada in!itado mediano y =32 en atender a cada in!itado pobre. $eterminar que con4unto de in!itados deberán concurrir para satisfacer sus deseos con un costo m&nimo. Plantear el modelo matemático y resol!erlo utili

12


Investigación Operativa model: (in+J-/ 0 -2/1 0 32/3E 8/ 03/10/3 +-E 1/ 03/10/3 +12E / 0 /1 0-/3 K+-2E `_in"/#E `_in"/1#E `_in"/3#E end _lobal optimal solution found at step: Ob4ecti!e !alue: 9rancB count: ]ariable V V1 V3 o  1 3 8

3-2.2222 

]alue 2.2222222 J.222222 2.2222222

educed Cost J-.22222 -2.22222 32.22222

SlacH or Surplus 3-2.2222 F.22222 .222222 83.22222

$ual Price 2.2222222 2.2222222 2.2222222 2.2222222

/+ Zn!itados icos /1+ Zn!itados (edianos V3+ Zn!itados Pobres Se in!itaran J persona de clase media con un costo de =3-2. Un carguero tiene tres compartimentos para almacenar granos: delantero, central y trasero. 7stos compartimentos tienen un l&mite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen en la tabla Compartimiento Capacidad de peso"toneladas# Capacidad de "pies cMbicos# $elantero

1

J222

Central



222

Irasero

2

-222

espacio

(ás aMn, para mantener el barco balanceado, el peso de la carga en los respecti!os compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. Se tienen ofertas para cuatro cargamentos en un !ia4e pr/imo ya que se cuenta con espacio: Carga

Peso"toneladas#

]olumen"pies cMbicos#

_anancia "u.m.>tonelada#



12

-22

312

1

F

J22

822


13


Investigación Operativa Carga

Peso"toneladas#

]olumen"pies cMbicos#

_anancia "u.m.>tonelada#

3

1-

F22

F22

8

3

822

12

Se puede aceptar cualquier fraccin de estas cargas. 7l ob4eti!o es determinar qu% cantidad de cada carga debe aceptarse "si se acepta# y cmo distribuirla en los compartimentos para ma/imi J222"/ 0 /1 0 /3 0 /8# + "/1 0 /11 0 /13 0 /18#> 222"/1 0 /11 0 /13 0 /18#E 2"/3 0 /31 0 /33 0 /38#> -222"/3 0 /31 0 /33 0 /38# + "/1 0 /11 0 /13 0 /18#> 222"/1 0 /11 0 /13 0 /18#E end Local optimal solution found at step: Ob4ecti!e !alue: ]ariable V V1 V3 V1 V11 V31 V3 V13 V33 V8 V18 V38 o  1 3 8 -


3 -3.JF

]alue 2.2222222 2.2222222 2.2222222 2.1J1J 2.2222222 2.3JF28- 2.32-11 2.-3-3JF8 2.-332J 2.2222222 2.2222222 2.2222222 SlacH or Surplus -3.JF 2.2222222 8.F-- 2.2222222 FF1-.J3

educed Cost Q318J.33 QJ32F.8- Q318J.33 2.2222222 QJ32F.8- 2.2222222 2.2222222 2.2222222 2.2222222 Q8.-- Q3F.8- Q8.-FF $ual Price .222222 Q.11 2.2222222 Q.1 2.2222222

14


Investigación Operativa F J   2  1 3

FJ.JJ8 8F8.J2 .222222 2.3-2J83 2.2222222 .222222 2.2222222 2.2222222

2.2222222 2.2222222 2.2222222 2.2222222 Q13.-8F 2.2222222 33138-J. 32JF13.

Con un beneficio total de =-3.JF se lle!aran:

Compartimien Carga 1 to

Carga 2



1J,32 D

1

-3,-8D

3

Carga 3

Carga 4

3J,F2D

32,-3D

-,3D

esuel!a utili
 3122.222

]ariable V V1 o  1 3 8

]alue 12.22222 2.22222 SlacH or Surplus 3122.222 2.2222222 12.22222 2.2222222

educed Cost 2.2222222 2.2222222 $ual Price .222222 F.222222 2.2222222 12.22222

(odel: (a/+12/ 0 12/101-/3E 2/ 0 J2/1 0 22/3 K+ 3222222E 2./ 0 2.1 /1 0 2.J/3K+8222E end _lobal optimal solution found at step: Ob4ecti!e !alue: ]ariable V V1 V3 o  1 3


 822222.2

]alue 2.2222222 12222.22 2.2222222 SlacH or Surplus 822222.2 2.F2222702 2.2222222

educed Cost F2.22222 2.2222222 8-.22222 $ual Price .222222 2.2222222 22.2222

15


Investigación Operativa (odel: (a/+12/ 0 2/1E 12/02/1K+-22E /K+82E /1K+2E end _lobal optimal solution found at step: Ob4ecti!e !alue: ]ariable V V1 o  1 3 8


model: ma/+-/01/1E 3/01/1K+1822E /1K+22E 1/K+122E end _lobal optimal solution found at step: Ob4ecti!e !alue: ]ariable V V1 o  1 3 8

o  1 3 8 -


educed Cost 2.2222222 2.2222222 $ual Price .222222 F.222222 2.2222222 12.22222

1 3F22.222 ]alue F22.2222 322.2222

SlacH or Surplus 3F22.222 2.2222222 -22.2222 2.2222222

model: ma/+2.2F/ 0 2.21/1E /0/1K+ 12 E /K+FE /1K+E 1/1Q/K+2E end _lobal optimal solution found at step: Ob4ecti!e !alue: ]ariable V V1

 3122.222

educed Cost 2.2222222 2.2222222 $ual Price .222222 .222222 2.2222222 .222222

1 .282222 ]alue F.22222 8.222222

SlacH or Surplus .282222 2.2222222 2.2222222 8.222222 .222222

educed Cost 2.2222222 2.2222222 $ual Price .222222 2.12222227Q2 2.82222227Q2 2.2222222 2.2222222

16


Investigación Operativa (odel: (a/+12/ 0 2/1E 12/02/1K+-22E /K+82E /1K+2E end _lobal optimal solution found at step: Ob4ecti!e !alue: ]ariable V V1 o  1 3 8


model: ma/+1J>22/ 0 8/1E >1-/ 0 >12/1 K+ -2E J>2/ K+ 222E 3>8/1 K+ 222E end _lobal optimal solution found at step: Ob4ecti!e !alue: ]ariable V V1 o  1 3 8


 3122.222 educed Cost 2.2222222 2.2222222 $ual Price .222222 F.222222 2.2222222 12.22222

1 -J.28 ]alue 81.-J 333.333

SlacH or Surplus -J.28 1F.28 2.2222222 2.2222222

educed Cost 2.2222222 2.2222222 $ual Price .222222 2.2222222 2.3-J83 -.333333

17


Investigación Operativa Práctico 3 Dualidad  !náli"i" de Sen"i#ilidad Un productor agr&cola del centro de la pro!incia culti!a actualmente trigo y ma&< en su campo de 8- Ba. $ebido al al ton y para el ma&< =-2>ton. "a#Plantear el problema lineal y resol!erlo. 7/presar en t%rminos econmicos la solucin. "b#7/presar el econmicamente.

problema

dual

asociado

e

interpretarlo

"c#Ires de los !ecinos del productor se encuentran en dificultades econmicas por lo que le ofrecieron tierras en arrendamiento. 7l !ecino del norte le ofreci - Ba. a =3>Ba. 7l !ecino del sur le ofreci - Ba. a =32>Ba. 7l !ecino del oeste le ofreci 2 Ba. a =2>Ba. 7l !ecino del sur le ofreci 1 Ba. a =J2>Ba. ;7l productor deber&a aceptar alguna>s de las ofertas@;Si es as&, por qu%@ "d#7l productor recibi recientemente una oferta para !ender trigo en osario o Crdoba pero los compradores no se Barán cargo de los costos de transporte. Iransportar una tonelada de trigo Basta osario cuesta = y Basta Crdoba cuesta =31. ;7l productor deber&a aceptar alguna>s de las ofertas y, en caso de ser afirmati!o, cuanto deber&a !ender@ "e#7l productor recibi otra oferta para !ender ma&< en osario o 9uenos Aires pero los compradores no se Barán cargo de los costos de transporte. Iransportar una tonelada de ma&< Basta osario cuesta =2 y Basta 9uenos Aires cuesta =3. ;7l productor deber&a aceptar alguna>s de las ofertas y, en caso de ser afirmati!o, cuanto deber&a !ender@ a# / + toneladas de trigo /1 + tonelada de mai< (a/ *+ 32/ 0 -2/1 s.a / K+ 82 /1 K+ 12 >- / 0 >8 /1 K+ 8CH

VH

9H

V

V1

S

S1

S3

2

S

82



2



2

2

2

S1

12

2



2



2

2

S3

8-

>-

>8

2

2




18


Investigación Operativa CH

VH

*4QC4

9H

V

V1

S

S1

S3

2

Q32

Q-2

2

2

2

2

S

82



2



2

2

-2

V1

12

2



2



2

2

S3

-

>-

2

2

Q>8



F222

Q32

2

2

-2

2

*4QC4 2

S

F-

2

2



->8

Q-

-2

V1

12

2



2



2

32

V

J-



2

2

Q->8

-

1-2

2

2

2

1->1

-2

*4QC4

Se obtiene en beneficio de 1-2 produciendo J- toneladas de trigo y 12 de mai<, quedando un sobrante de de capacidad de mercado de Ftonelada para el trigo. b# (in *+ 82 y 0 12y1 0 8-y3 S.A y 0 >-y3 + 32 y1 0 >8  y3 + -2 CH

VH

9H

R

R1

R3

U

U1

12

R1

1->1

Q->8



2

->8

Q

8-

R3

-2

-

2



Q-

2

1-2

QF-

2

2

QJ-

12

*4QC4 c#

Se le compran tierras al !ecino del norte y al !ecino del sur. d#


19



No le conbiene aceptar ninguna de las oferta propuestas, ya que no son factible con la solucion presentada. e#

7l inter!alo de !ariacion de C1 no es acotado, de todos modos se recBa
Un criador de perros de ca

20


Investigación Operativa carboBidratos, grasas no saturadas y componentes ricos en calcio. 7l costo de los alimentos es de =-2 y =1- el Hg. respecti!amente. Cada uno de los alimentos brinda la siguiente cantidad de los componentes esenciales: Cantidad por ?g.

Alimento 

Alimento 1

_rasas no Saturadas

2,

2,3

CarboBidratos

2,3

2,8

Comp. ricos en 2,3 2, Calcio Como m&nimo la dieta de los animales requiere:  ?g. de _rasas no Saturadas,  ?g. $e CarboBidratos, J ?g. de Componentes ricos en Calcio. "a#Plantear el problema lineal y resol!erlo. 7/presar en t%rminos econmicos la solucin. "b#7/presar el econmicamente.

problema

dual

asociado

e

interpretarlo

"c#Un cambio en la dieta reduce la cantidad m&nima de CarboBidratos a 2?g. ;Permanecer&a ptima la solucin actual@ 7n caso de ser afirmati!o cuál ser&a el costo@ "d# Un cambio en la dieta incrementa la cantidad m&nima de _rasas no saturadas a 2?g.;Permanecer&a ptima la solucin actual@ "e# Si el costo del Alimento  se incrementa a = ;Puede asegurar que la solucin aMn incluirá Alimento @ "f# 7/prese los rangos de !ariacin de los costos y los ni!eles de recursos del problema. 7ncuentre e interprete econmicamente los precios sombra del problema primal. a# /+ Cantidad de alimento de tipo  /1+ Cantidad de alimento de tipo 1

(in *+ -2/ 0 1-/1 S.A 2./ 0 2.3/1 + 2.3/ 0 2.8/1 + 2.3/ 0 2./1 +J CH

VH

9H

V

V1

7

71

73

U

U1

U3

(

U



2.

2.3

Q

2

2



2

2

(

U



2.3

2.8

2

Q

2

2



2

(

U

J

2.3

2.

2

2

Q

2

2



Q(

Q(

2

2

2

*4QC4

38(


2.J( 2.( Q( Q-2 Q1-

21


Investigación Operativa CH

VH

9H

V

V1

1-

V1

1F.F

2.33



7

71

Q3.3 2

73

U

U1

U3

2

3.33

2

2

Q.3 



Q2.3 2



3.1 2 -Q .FF(

2

3 (

U1

.33

2.J

2

.33

Q

2 3

(

U3

8.33

2.1J

2

2.33

2

Q 3

*4QC4

1-

1.F 2.88 F(0FF (Q 8.JV1

8J.J 2.JF

2

.FF (Q 3.1-



2

2



Q(

Q(

Q1.-

2

2

1.-

2

Q

2.J-

2

J 2

7

F.1F

2.3

Q2.J 2 -

(

U3

8.33

2.1J

2

2.33

2

Q

Q2.3 2



3 *4QC4

1-

 2.13 .J-0 (Q3 1.1F(

2

2

FJ.F 3.2F



2

3.2 2.1

2

2.1

F2 1F..1-

V1

2.1(Q F1.-

Q(

Q(

F1.- 2 2Q 2.1-(

2

Q2

2

2

2



2

Q3

Q

2

3

2

2



Q8

2

Q

8

2

2

2

Q1-2

Q(

Q(

 2

7 8

2

71

*4QC4 1-

.28

V1

3J.J

2

( 

2

8 2

7

8.

Q3.3

3.3

2

3.33

3 2

2



V

.3



2

2

Q2.

2.-J

Q

2.1

83-

2

2

2

Q2.J

.2

Q8.3

2

*4QC4

Q3.3 2

 -2

1-2Q

Q1. Q3J-

Q.2 8.3

Q(

Q(

Q(

Cada animal debe consumir .3 del alimento ipo  y 3J.J8 del tipo 1, para minibar los componentes principales de cada uno de los alimentos con un costa de *+ 83-, con un faltante de 8. de grasas no saturadas.

b# y + Cantidad de _rasa no satura y1 + Carbo Bidratos. y3 + Componentes ricos en calcio


22


Investigación Operativa '(a/) *+

y 0 y1 0 Jy3

S.A. 2.y 0 2.3y1 0 2.3y3 K+ -2 2.3y 0 2.8y1 0 2.y3 K+ 1CH 

VH R1

J

R3

*4Q C4

9H 1. J3-

R 2.  Q2. -J 83 8. 

R1 

R3 2

2.



2

2

S S1 . Q3. 33 Q8. 3.3 3- 2 . 3J. 3 J8

Para que la dieta de beneficio se necesita consumir de cada alimento los siguientes componente: 1.J- ?g de Carbo Tidratos y 3- de Componente ricos en calcio, para obtener un total de 83- ?g de alimento. Con dicBa dieta nos queda un sobrante de =.3 del alimento  y =3J.J8 del alimento 1. Para consumir _rasa no Satura se debe disminuir su dieta en 8.3 ?g.

$orian Auto fabrica autos y camionetas de lu4o para Bombres y mu4eres. La empresa desea Bacer a!isos de  minuto en programas de Bumor y en partidos de fMtbol. Cada a!iso en un programa de Bumor cuesta =-2222 y es !isto por J millones de mu4eres y 1 millones de Bombres. Cada a!iso en un partido de fMtbol cuesta =2222 y es !isto por 1 millones de mu4eres y 1 millones de Bombres. Cmo puede Bacer $orian para Bacer llegar su a!iso a 1 millones de mu4eres y 18 millones de Bombres con el menor costo@ "a# esuel!a mediante simple/ el problema dado. "b# 9asándose en la Mltima tabla del simple/ calcule la Mltima tabla del dual. "c# Plantee el modelo matemático del problema dual e interprete lo econmicamente. "d# 7ncuentre el inter!alo de los !alores del costo de un comercial en programas de Bumor, para los cuales la base permanece ptima. "e# 7ncuentre el inter!alo de los !alores del costo de un comercial en partidos de fMtbol, para los cuales la base permanece ptima. "f# 7ncuentre el inter!alo de los !alores de la cantidad de Bombres y mu4eres a los cuales Bacer llegar el a!iso para los cuales la base permanece ptima. "g# 7ncuentre los precios sombra de cada restriccin. Gu% significan@

Ck

Xk

Bk

X1

X2

E1

E2

U1

U2

(

U

1

J

1

Q

2



2

(

U1

18

1

1

2

Q

2




23


Investigación Operativa Ck

Xk

*4QC4

Bk

X1

X2

E1

E2

-1(

(Q -2222

8(Q 2222

Q(

Q(

U1

U2

2

2

(

U

18

12>3

2

Q

>F



Q>F

2222

V1

1

>F



2

>1

2

>1

18(012 12>3( 222  8-222 >3

2

Q(

>F(Q 2 1-22>3

QJ> F(01-2 2>3

*4QC4

-2222

V

>-



2

Q3>12

>82

3>12

Q>82

22222

V1

J>-

2



>82

QJ>2

Q>82

J>2

8222

2

2

QJ1-2

3J-

J1-2

Q3J-

*4QC4 2

71

88

82

2

QF



F

Q

2222

V1

8

J>1



Q>1

2

>1

2

Q-222

2

Q-2222 2

*4QC4

-222Q( Q(

$orian Auto fabrica autos y camionetas de lu4o para Bombres y mu4eres. La empresa desea Bacer a!isos de  minuto en programas de Bumor y enpartidos de fMtbol. Cada a!iso en un programa de Bumor cuesta =-2222 y es !isto por J millones de mu4eres y 1 millones de Bombres. Cada a!iso en un partido de fMtbol cuesta =22222 y es !isto por 1 millones de mu4eres y 1 millones de Bombres. Cmo puede Bacer $orian para Bacer llegar su a!iso a 1 millones de mu4eres y 18 millones de Bombres con el menor costo@ "a# esuel!a mediante simple/ el problema dado. "b# 9asándose en la Mltima tabla del simple/ calcule la Mltima tabla del dual. "c# Plantee el modelo matemático del problema dual e interpretelo econmicamente. "d# 7ncuentre el inter!alo de los !alores del costo de un comercial en programas de Bumor,para los cuales la base permanece ptima. "e# 7ncuentre el inter!alo de los !alores del costo de un comercial en partidos de fMtbol, para los cuales la base permanece ptima. "f# 7ncuentre el inter!alo de los !alores de la cantidad de Bombres y mu4eres a los cuales Bacer llegar el a!iso para los cuales la base permanece ptima. "g# 7ncuentre los precios sombra de cada restriccin. Gu% significan@ a# /+ Cantidad de (u4eres"en miloones# /1+ Cantidad de Tombres "en millones# '(in) *+ -2.222/ 0 22.222/1 s.a. J/ 0 1/1 +1 1/ 0 1/1 + 18 /+2 /1+2


24



Xk

Bk

X1

X2

$e1

$e2

U1

U2

(

U

1

J

1

Q

2



2

(

U1

18

1

1

2

Q

2



-1(

(Q -2222

8(Q 22222

Q(

Q(

2

2

-2222

V

8



1>J

Q>J

2

>J

2

(

U1

F

2

2>J

1>J

Q

Q1>J



122222 QF(

2

Q-J, Q-2.22 Q( 8302> 2> J( J01>J(

-2222> 2 J0-->J (

-2222

V

>-



2

Q3>12

>82

3>12

Q>82

22222

V1

J>-2

2



>82

QJ>2

Q>82

J>2

312222

2

2

Q-222

QJ-22

-222Q( J-22Q(

b#

Ck

Xk

Bk

%1

%2

S1

S2

1

R

-222



2

3>12

Q>82

18

R1

J-22

2



Q>82

J>2

312222

2

2

>-

J>-2

c#y+ pesos por minutos en programa de Bumor. y1+ pesos por minutos en programa de futbol. '(a/) *+ 1y018y1 s.a Jy 0 1y1 K+-2222 1y 0 1y1 K+ 22222 7l funcional indica la contribucion a la ganancia por unidad de recursos por ser 1 milones de Bombres los requeridos para que miren el a!iso en programa de Bumor y 18 milones de mu4eres los requeridos para que mieren el a!iso en partidos de futbol. La restriciones indican la contribucion actual a la ganancia por unidad de recursos, es decir que por J milones de Bombre y 1 millones de mu4eres que miren el a!iso en programa de Bumor dice que esta debe se menor o igual que lo que cuesta un  en programa de Bumor. d#


25



e#

f#


26


Investigación Operativa g#l + -222 es lo tengo que cobrar si quiero que un millon mas de mu4eres miren el a!iso. l1+ J-22 es lo que tengo que cobrar si quiero que un millon de Bombres miren el a!iso. $aHota (uebles fabrica escritorios, mesas y sillas. Cada producto necesita madera, traba4o de carpinter&a y traba4o de acabadoE como se describe en la tabla. Como má/imo se pueden !ender - mesas por semana. (a/imice la ganancia semanal. ecurso 7scritorio (esa Silla $isponibilidad (adera"pies#



F



8

Torasdeacabado

8

1

,-

12

Torasdecarpinter&a 1

,-

2.-



$emandamá/ima

ilimitada

-

ilimitada

Precio"=#

F2

32

12

"a# esuel!a mediante simple/ el problema dado. "b# $emuestre que la base actual permanecerá optima si c3 "el precio de las sillas# satisface -K+ c3 K+ 11.-. "c# Si el precio de los escritorios es --, demuestre que la nue!a solucin ptima incluirá la produccin de escritorios. "d# 7ncuentre e interprete los precios sombra. "e# Si se dispusieran de  Boras de acabado, ;cMal ser&a el ingreso de $aHota@ "f# Si se dispusieran de 32 Boras de carpinter&a, ;porqu% no se podr&a utili
Ck

Xk

Bk

X1

X2

X3

S1

S2

S3

S4

2

S

8



F





2

2

2

2

S1

12

8

1

,-

2



2

2

2

S3



1

,-

2,-

2

2



2

2

S8

-

2



2

2

2

2



2

QF2

Q32

Q12

2

2

2

2

*4QC4 2

S

F

2

Q1

2



1

Q

2

2

S1

8

2

Q

2,-

2



Q1

2


27



Xk

Bk

X1

X2

X3

S1

S2

S3

S4

F2

V

8



2,J-

2,1-

2

2

2,-

2

2

S8

-

2



2

2

2

2



182

2

-

Q-

2

2

32

2

*4QC4 2

S



2

Q1

2



1

Q

2

12

V3



2

Q1



2

1

Q8

2

F2

V

1



,-

2

2

Q2,-

,-

2

2

S8

-

2



2

2

2

2



12

2

-

2

2

2

2

2

*4QC4 b#

7l inter!alo es de 12 K+ C3 K+ 11.-, por lo cual es es posible el inter!alo de -K+ C3K+11.-. d#Precios Sombras S1 + 2 : 7s lo que nos constaria introducir una Tora mas de acabado S3+ 2 : 7s lo que nos constaria introducir una Tora mas de carpinter&a.


28


Investigación Operativa e#

7l indreso de $aHota si !ariamos C1 a  es de *+ =1F2. c#


29


Investigación Operativa 7l interpretarlo de  + '2,12) , C puede !arriar entre 'F2,2), lo cual le precio de los escritorio a -- no puede ser considerado en esta solucion obtina.


30


Investigación Operativa Practico 4 &ran"porte  !"ignación Un banco tiene dos locaciones en las cuales se procesan cBeques. 7l sitio  puede procesar 2222 cBeques al d&a, y el sitio 1 puede procesar F222 cBeques al d&a. 7l banco procesa tres tipos de cBeques: cBeques de !entas, cBeques de salarios y cBeques personales. Los costos "en centa!os# de procesar cada tipo de cBeque dependen del sitio deprocesamiento: Sitio  Sitio 1 CBeques de ]entas

-

3

CBeques de Salarios

8

8

CBeques Personales

1

-

Cada d&a Bay que procesar -222 cBeques de cada tipo. esuel!a el problema minimi
3/1 0 8 /1 0 8/11 0 1/3 0 -/31 + + + 0 0

-222 -222 -222 /3 K+ 2222 /31 K+ F222

-

-222

3

8222

8

222

8

-222

1

-

222

2

2

7ste problema esta resulto por la t%cnica de ]ogll Análisis de Optimo Ci4 3 3 8

8

1

1

2

2

Ci4 Q Ci4


31


Investigación Operativa Q

2

2

2

2

Q

2

2

Solucin Optima es: /1 + -222 /1 + 8222 /11 + 222 /3 + -222 /8 + 222 Con un costo de *+ 8-222 Para determinar su programa de transportes, una empresa fabricante de autom!iles nos da los siguientes datos: los !eB&culos se fabrican en tres plantas "Crdoba, Campana y osario# y se tienen que en!iar a tres grandes centros distribuidores "Car One, _ral. odr&gue< y Casares#, siendo los costes de transporte por !eB&culo, las capacidades de produccin de cada planta y las demandas de distribucin de cada centro las que se dan en la tabla: Car One _ral.odrigue<

Casares

Crdoba



1



12

Campana

2

8

-

82

osario

1

3

3

32

12

12

32

Plantee el modelo de PL que minimi

transporta

de

la

/3 0 8/11 0 -/13 0 K+ K+ K+ + + +

planta

i

la

centro

de

1/3 0 3/31 0 3/33

12 82 32 32 12 12

32


Investigación Operativa Vi4 "#  

1

32

2

32 0 

-222

1

21

Ci4 Q1 1



Q

2

8

3





1

1

2

12



2

8

-

2

3

3

1203

2

Ci4 Q Ci4 Q 2 2 Q 2

2

Q

0

Q

2

Q

2

Vi4 "1#  

1

12



32

8

2

-

20

2

3

203

2

2 1

12Q1

Ci4 Q 1



Q

2

3

1

2

2

3

1

2

3

2

Ci4 Q Ci4 Q 2 2 Q 2

Q

Q

2

Q

2

Q

2

Solucin optima es: /1 + 2 /3 + 12 /1 + 32 /18 + 2 /31 + 2 /33 + 12


33


Investigación Operativa Con un costo de *+ 2 $esde la planta de Crdoba se trasportan 12 !eB&culos al Centro de distribucin Casares. $esde la planta de Campana se transportan 32 !eBiculos al centro de distribucin Car One, quedando 2 !eBiculos que no son ubicados en ningun centro de distribucin. $esde la planta de osario se transportan 2 !eBiculos al Centro de $istribucin _eneral odr&gue< y 12 a Casares. 74ercicio e/tra&do del 7/amen Yinal tomado el >1>1223. Una distribuidora de frutas de la ciudad tiene un acuerdo con tres Buertas que le pro!een 122, 322 y -22 Hilogramos mensuales de fruta respecti!amente. La fruta se !ende a cuatro mercados de la ciudad, cuyas demandas son: 122, 22, 122 y 822 ?g. respecti!amente. Los costos de transporte de la fruta entre las distintas Buertas y los mercados "en pesos por Hilogramo de fruta# son: (ercado (ercado1 (ercado3 (ercado8 Tuerta

2.-

2.J

2.-

2.3

Tuerta1

.1

.2

2.

2.

Tuerta3

1.2

2.8

2.

2.-

7n el acuerdo firmado con las Buertas se dispone que compramos la totalidad de sus producciones teniendo que tirar la fruta que no !endamos al pudrirse. Los precios a los que compramos la fruta en cada Buerta son respecti!amente 2,  y 2 pesos por Hilo. Los precios de !enta a los mercados son 2, 1, - y  pesos por Hilogramo respecti!amente. (odeli
.3

8.-

2.J

122

Q2.1

1

-.

.

322

Q1

.F

8.

2.-

-22

122

22

122

822

Se debe transformas el problema de ma/imi

34


Investigación Operativa -.F

3.

2.F

8.8

122

-.3

3.

2

3.1

322

J.

3.-

2.1

8.F

-22

122

22

122

822

Vi4 "# 22 -.F

3.

2.F

-.3

3.

2

322

3.1

2.1

22

8.F

22

J.

22

3.-

122

8.8

22

2 2

2

2

La Solucin es: / + 22 /- + 22 /18 + 322 /3 + 22 /31 + 22 /33 + 122 /38 + 22 Con un beneficio de *+ 18J2 La Buerta  !ende 22 unidades al mercado , quedándole 22 unidades sin !ender. La Buerta 1 !ende 322 unidades al mercado 8. La Buerta 3 !ende 22 unidades la mercado , 22 unidades mercado 1, 122 unidades al mercado 3 y 22 unidades al mercado 8. Ires plantas generadoras de energ&a el%ctrica, con capacidades de 1-, 82 y 32 millones de HiloattsQBora "HB#, suministran electricidad a tres ciudades cuyas demandas má/imas son de 32, 3- y 1- millones del HB. 7l costo en unidades monetarias "u.m.# del transporte de la corriente el%ctrica a las diferentes ciudades, por milln de HB, es como sigue: Ciudad  1 3 Planta  F22 J22 822 Planta 1 312 322 3-2 Planta 3 -22 8J2 8-2 $urante el mes de agosto, se incrementa en un 12D la demanda en cada una de las tres ciudades. Para satisfacer el e/ceso de demanda, la compañ&a el%ctrica, debe comprar energ&a el%ctrica adicional de otra red, a un precio de  222 unidades monetarias por milln de HB. Sin embargo, %sta red no está conectada a la ciudad nMmero tres. Yormular el problema como uno de transporte, con el fin de establecer el plan de distribucin más econmico desde el punto de !ista de la compañ&a el%ctrica.


35


Investigación Operativa Ciudad

1

2

3

Planta  F22 J22 822 1Planta 1 312 322 3-2 82 Planta 3 -22 8J2 8-2 32 32

Ciudad

1

3-

2

1-

3

Planta  F22 J22 822 1Planta 1 312 322 3-2 82 Planta 3 -22 8J2 8-2 32 Planta 8 22 22 ( 3F

81

32

3 22

Vi4 182 13 1

-

3

Ci4 8-2 812 822 332

322 12

-22

8J2 8-2

222 J2 -2 Ci4QCi4 Q Q 2 2 2 Q 2

2 2

2

Q Q

V"1#i4 113 J - 3 Ci4


36


Investigación Operativa 882

812 822

312

322 12

82

8J2 8-2

222 2 F2 Ci4QCi4 Q Q 2 2 2 Q Q 2 2 2 Q Q La solucion optima es: /3+1/1+13 /11+J /31+/33+/8+3 Se deben suministran 1- HB de la panta y a la ciudad 3, 13 HB a la ciudad  y J HB a la ciudad 1 desde la planta 1, - HB a la ciudad 1 y - HB a la ciudad 3 desde la planta 3 y 3 HB desde la panta 8 a la ciudad E con un costo total de *+=88JF2 Una empresa produce equipos musicales para autom!iles en cuatro pa&ses "9urundi, ?enia, uanda y Uganda# que posteriormente en!&a a tres fábricas de autom!iles situadas en ]alladolid, Tamburgo y (ilán. Tasta aBora la produccin total no Ba sido capa< de satisfacer la demanda total, por lo que la empresa Ba decidido construir una nue!a planta, ya sea en Ian
Yormule un modelo de PL que permita determinar la me4or ubicacin de la nue!a planta. esuel!a el problema para determinar cuál es la ubicacin de la nue!a planta y el costo total de operacin del programa de produccin y transporte.


37


Investigación Operativa F3 -2220 F

F8

2

-8 1

-

2

-

-3 22220

-1

2

F1 -222Q

F1 2222Q3 F3 -

2

22220 8

-1

-

2

J8

J2

J- 22220 2

2222Q -2

Ci4 F F F1 2 -2 -2 - Q - - -1 Q2 F1 F1 F3 2 8 8 -2 Q1 F F F1 2 Ci4QCi4 Q 2 Q 2 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q Q Q Q Q Q 2 La solucion optima es: V1+-222 /1+2222 /13+2 /33+2222 /81+-222 /83+2222 /88+2 /-+2222 /F8+2222 La nue!a planta =33F-222.


se

ubicara

en

Ian
Con

un

costo

total

de

38


Investigación Operativa 74ercicio e/tra&do del 7/amen Parcial tomado el 1J>2->1223. Una compañ&a de limpie
esol!er el problema teniendo en cuenta que a las empleadas se les paga por Bora. F - 1  (   J 3 (  -  8 ( J J  3 ( - - F 8 ( - - 1  (

1 ' ' ' ' ' 8 3 - 1 2 1 3 2 J 3 2 3 1 1 F 1 2 1 2 2 8 3 2 2

1 ' ' ' ' 1  3 2 2 2 2 8 2 2 2 2 8 2 2 2 2 8 3 2 Como la cantidad de lineas esenciales es igual al orden matri< originalE esto indica que es una solucion optima. Solucion optima:

de

la

/3: /18: /31: /8-: /-: A la sir!ienta  le asigno la limpie

39


Investigación Operativa A la sir!ienta 3 le asigno la limpie 2J>1223. 7l seleccionador del equipo de natacin de Argentina debe decidir los nadadores que participarán en la prueba de rele!os de 122 m. Como mucBos de los me4ores nadadores son rápidos en más de un estilo, le resulta dif&cil decidir qui%n nadará cada estilo. Los tiempos de los cinco me4ores nadadores en cada uno de los estilos son:

7l seleccionador quiere determinar el equipo de rele!os que reali
3J

3-.8

83.8 33. 81.1 31.J 8. 33.3 1.- 3. 32. 33.F 1.1 1F.8 1.F 1.- 3. (

(

(

(

(

1.1 1F.8 1.F 1.- 3. .-

F.-

8.1

.-

8.3

8.1

8.1

F.J

1.F

F.1

2.J

F.1

8.

1.

.3

1.8

1.-

1.

2

2

2

2

2

2

(Q1.1 (Q1F.8 (Q1.F (Q1.- (Q3. (Q3. 8.3 1.3 2

8.3 2.



2.- F.8 2

1

2

J.1 2.3 2.8

2

2

2

2

8.2

. 8.J .J 1.F 2 La solucin es: /3+ /18+ /31+ /8+ /--+


40


Investigación Operativa Al estilo crol se la asigno al Yernande<. Al estilo espalda se le asigno a Neuss. Al estilo mariposa se la asigno a i<
para

el

Un escritor Ba completado el borrador de 8 cap&tulos y puede asignar el mecanografiado acualquiera de las 8 secretarias del equipo de la editorial, ;cuál ser&a el costo Borario m&nimo de mecanografiar los 8 cap&tulos si los tiempos de mecanografiado de las 8 secretarias se dan en la tabla ad4unta@

1

.J 3.- .

. 1.3 3.3 .J 3. . 8.1 .F .8 1

8. .J

.8 .J 3.3 .F

2.F 2

2.1 2.1

2.8 2.F 2

2.

.J 2.1 2. 2 2

2.3 2. 2.

La solucin optima es: /1+ /13+ /38+ /8+ Se le asigna capitulo 1 a Ana, se le asigna capitulo 3 a (aria, se le asigna capitulo 8 a Cristina,se le asigna el capitulo  a (arta, Con un timpo minuno de  Bs.


41


Investigación Operativa Practico ( Programacion lineal Entera Una empresa manufacturera transforma materia prima en dos productos distintos. 7sta empresa dispone de F unidades de materia prima y 1 Boras de tiempo producti!o. La manufactura de una unidad del producto Z requiere 1 unidades de material y J Boras de tiempo,mientras que la produccin del producto ZZ requiere  unidad de material y  Boras de tiempo.Los precios de !enta de los producto Z y ZZ son respecti!amente =12 y =2, respecti!amente. $eterm&nese el nMmero de productos de cada tipo que Ba de producir la empresa para ma/imi
Ck

Xk

Bk

X1

X2

S1

S2

2

S

F

1





.2

2

S1

1

J



2



2

Q12

Q2

2

2

12

V

3



W

W

2

2

S1

J

2

>1

QJ>1



3F2

2

Q12

F2

2

12

V

12>



2

>

Q>

2

V1

.-F

2



QJ>

1>

3.8F

2

2

88.8

8.8

X1 X2 S1

S2

X1 

2

>

Q> 12>

X2 2



QJ>

1>

2

2

822> 2> 3.8F

8>

Por / / 0 > Q>S + 12> / 0 "20>#S  "Q>#S1 + 1 0 1> >S 0 >S1 + 1> S 0 S1 + 1 QS  S1 0 S3 + Q1


42


Investigación Operativa X1 X2 S1

S2

S3

X1 

2

>

Q> 2

12>

X2 2



QJ>

1>

2

8>

S3 2

2

Q

Q



Q1

2

2

822> 82> 2

X1 X2 S1 S2 S3 X1 

2

Q 2

X2 2

Q Q 2

>3F

3>1

S2 2

2



Q>

\

2

2

82 2

->

32



Q>J1 >8

Por V1 V1  S 0 >3FS3 + 3>1 >3FS3 + W > S3 +  Q> S3 0 S8 + Q

X1 X2 S1 S2 S3 X1 

2

X2 2

Q 2

S4

Q>J1 2

>8

Q Q 2

>3F

2

3>1

S2 2

2





Q>

2

\

S4 2

2

2

2

Q>



Q

2

2

82 2

->

2

X1 X2 S1 S2 S3 S4 X1 

2

Q 2

2

Q>8 ->1

X2 2

Q Q 2

2

>1

S2 2

2





2

Q>8 ->1

S3 2

2

2

2



Q



2

2

82 2

2

2

32



Por V / 0 S  \ S8 + ->1 3>8S8 +>1 Q3>1 S8 0 S- +Q

X1 X2 S1 S2 S3 S4

S(

X1 

2

Q 2

2

Q>8 2

->1

X2 2

Q Q 2

2

>1




2

43


Investigación Operativa X1 X2 S1 S2 S3 S4

S(

S2 2

2





2

Q>8 2

->1

S3 2

2

2

2



Q

2



S( 2

2

2

2

2

Q3>1 

Q

2

2

82 2

2

2

2

X1 X2 S1 S2 S3 S4 S( X1 

2

Q 2

2

2

Q>F >3

X2 2

Q Q 2

2

2

>3

S2 2

2





2

2

Q3>1 8

S3 2

2

2

2



2

Q1

S4 2

2

2

2

2



Q1>3 1>3

2

2

82 2

2

2

12>3 333.3

Por QS >3 QS-

1>3

32

V1 0 >3 S- +1>3 S- + 1>3 0 SF + Q1

X1 X2 S1 S2 S3 S4 S(

S)

X1 

2

Q 2

2

2

Q>F 2

>3

X2 2

Q Q 2

2

2

>3

1>3

S2 2

2





2

2

Q3>1 2

8

S3 2

2

2

2



2

Q1

32

S4 2

2

2

2

2



Q1>3 2

1>3

S) 2

2

2

2

2

2

Q

Q1

2

2

82 2

2

2

12>3 2

2

2



333.3

X1 X2 S1 S2 S3 S4 S( S) X1 

2

Q 2

2

2

2

Q>F 3

X2 2

Q Q 2

2

2

2

>3

2

S2 2

2





2

2

2

3>1



S3 2

2

2

2



2

2

Q1

-8

S4 2

2

2

2

2



2

Q1>3 Q1>3

S( 2

2

2

2

2

2



Q

2

2

82 2

2

2

2

12>3 3F2


1

44


Investigación Operativa La solucion Optima para un PL7 es V+ 3 y V1+ 2, con una ganacia del *+3F2 Un empresario tiene dos almacenes de lámparas el%ctricas que contienen respecti!amente 122 y 22 lámparas. 7ste empresario suministra 3 centros comerciales cuyas demandas respecti!as son 22, J22, y -22 lámparas. Los costes de transporte se muestran en la tabla siguiente.

$etermine el nMmero de lámparas que se deben mandar de cada almac%n a cada centro comercial para, suministrando la demanda, el beneficio del empresario sea má/imo. esuel!a el problema empleando un algoritmo de 9rancB h 9ound "9ifurcacin y Acotacin# y el algoritmo de corte de _omory. (in *+ 8/ 0 3/1 0 /3 0 3/1 0 3/11 0 1 /13 s.a. V 0 /1 0 /3 K+ 122 /1 0 /11 0 /13 K+ 22 / 0 /1 + 22 /1 0 V11 + J22 /3 0 /13 + -22 /i4 i+ ..1 y 4+ ..3 + 2 8

3



122

3

3

1

22

22 J22 -22 322 Vi4 22 F22 -22 22 Ci4Qci4 2 2 2 Q

2

Q

La solucion Optima es: / + 22 /1 + F22 /3 + -22 /11 + 22 Con un costo total de *+ 8J22 NO es necesario aplicar ningun metodo para trasformar el problema lineal rela4ado a un problema lineal entero, ya que las !ariables de decision son eneteras.


45


Investigación Operativa Una empresa construye dos tipos de cBalet, A y 9. $ispone de una superficie edificable de 2 m1"e/cluidos los espacios de separacin entre cBalets#. La ganancia en los cBalets es de J22 u.m. en el tipo A y 222 u.m. en el tipo 9. Cada cBalet A ocupa 82 m1 de planta y cuesta J u.m., mientras que cada cBalet 9 ocupa 2 m1 de planta y cuesta 3 u.m. ;Cuántos cBalets de cada tipo deberá construir la empresa con el fin de ma/imi
2 3.22 2

]alue 2.2222222 8.22222 SlacH or Surplus 3.22 J2.22222

educed Cost QF3.2222 QJ.2222 $ual Price 2.2222222 2.2222222

Una compañ&a quiere poner en marcBa dos tipos de plantas industriales A y 9. 7l beneficio esperado unitario semanal de una planta tipo A es de 8 u.m. y el de una de tipo 9 es de 3 u.m. Se necesita conocer cuántas plantas de cada tipo puede poner en funcionamiento sabiendo que en cada planta tipo A deben traba4ar un economista y dos ingenieros y en cada una de tipo 9 lo deben Bacer tres economistas y un ingeniero. Actualmente la compañ&a cuenta con - economistas y  ingenieros. "a# Plantea y resuel!e un modelo lineal para ma/imi

46


Investigación Operativa a# (odel: (a/+8/ 0 3/1E / 0 3/1 K+ -E 1/ 0 /1 K+ E `_in"/#E `_in"/1#E end _lobal optimal solution found at step: Ob4ecti!e !alue: 9rancB count: ]ariable V V1 o  1 3

1 3.22222  ]alue .222222 1.222222

SlacH or Surplus 3.22222 .222222 2.2222222

educed Cost 2.2222222 Q.222222 $ual Price 2.2222222 2.2222222 1.222222

b# (odel: (a/+1821/ 0 1822/1 0 -821/1 0 -822/11E / 0 /1 0 3"/10/11# K+ -E F22/ 0 22/1 Q F22/1 Q 22/11 + -822E `_in"/#E `_in"/1#E `_in"/1#E `_in"/11#E1"/0/1# 0 /1 0 /11 K+ E end _lobal optimal solution found at step: Ob4ecti!e !alue: 9rancB count: ]ariable V V1 V1 V11 o  1 3 8

12 32FF.22 F

]alue F.222222 2.2222222 1.222222 .222222 SlacH or Surplus 32FF.22 2.2222222 2.2222222 3.222222

educed Cost 2.2222222 2.2222222 28.222 22.222 $ual Price 2.2222222 182.222 2.FFFFFJ7Q21 2.2222222

Un armador tiene un carguero con capacidad de Basta J22 toneladas. 7l carguero transporta contenedores de diferentes pesos para una determinada ruta. 7n la ruta actual el carguero puede transportar algunos de los siguientes contenedores: Contenedor c C1 c3 c8 c- cF CJ c c c2 Peso

22 -- -2 1 J2 2 F2  2 --

7l analista de la empresa del armador Ba de determinar el en!&o "con4unto de contenedores#que ma/imi

47


Investigación Operativa (odel: (a/+C0C10C30C80C-0CF0CJ0C0C0C2E 22C 0 --C1 0 -2C3 0 1C8 0 J2C- 02CF 0F2CJ 0C 0 2C 0--C2 K+ J22E `9in"C#E `9in"C1#E `9in"C3#E `9in"C8#E `9in"C-#E `9in"CF#E `9in"CJ#E `9in"C#E `9in"C#E `9in"C2#E end

Una compañ&a de confecciones te/tiles puede fabricar tres tipos de prendas para caballero:camisas, cal
3

8

Cal
3

Pantalones

8

F

Cada semana se disponen de de -2 Boras de traba4o y F2 m1 de tela. 7l precio de !enta y los costos !ariables de los productos se detallan a continuacin: Precio de ]enta Costo ]ariable "=>unidad# "=>unidad# Camisas

1

F

Cal
8

Pantalones



-

Yormule un PL7 que ma/imi

48


Investigación Operativa (odel: (a/+ F/ 0 /1 0 J/3 Q122y Q -2y1 Q22y3E 3/ 0 1 /1 0 F/3 K+ -2E 8/ 0 3 /1 0 8/3 K+ F2E / Q 222y K+ 2E /1 Q 222y1 K+ 2E /3 Q 222y3 K+ 2E `9in"y#E `9in"y1#E `9in"y3#E `_in"/#E `_in"/1#E `_in"/3#E 7nd _lobal optimal solution found at step: Ob4ecti!e !alue: 9rancB count: ]ariable V V1 V3 R R1 R3 o  1 3 8 F

 1J8.2222 2

]alue 2.2222222 -3.22222 2.2222222 2.2222222 .222222 2.2222222 SlacH or Surplus 1J8.2222 88.22222 .222222 2.2222222 8J.2222 2.2222222

educed Cost QF.222222 Q.222222 QJ.222222 122.2222 -2.2222 22.2222 $ual Price 2.2222222 2.2222222 2.2222222 2.2222222 2.2222222 2.2222222

Un operario especiali
;Gu% equipos Ba de lle!arse consigo el operario@


49


Investigación Operativa (a/+ 227 0 F271 0 J273 0 -78 0 -7-E -17 0 1371 0 3-73 0 -78 0 J7- K+ F2E `9in"7#E `9in"71#E `9in"73#E `9in"78#E `9in"7-#E end _lobal optimal solution found at step: Ob4ecti!e !alue: 9rancB count: ]ariable 7 71 73 78 7o  1


2 32.2222 2

]alue 2.2222222 .222222 .222222 2.2222222 2.2222222 SlacH or Surplus 32.2222 1.222222

educed Cost Q22.2222 QF2.22222 QJ2.22222 Q-.22222 Q-.22222 $ual Price 2.2222222 2.2222222

50


Investigación Operativa Practico ) Programacion *o Lineal # $etermine los inter!alos en los cuales f"/#+ / 0 8/Q es cnca!a o con!e/a.  f  x

 1  4 x

1  4 x

2

x1

 2

x2

 2

2

 0

f   x

2

2

 8 x

3

x1

 2  1 Minimo

x 2

  2  1 Maximo

Z  ( X 1  5 ) 2  ( X 2   ) 2 Q2 la regin "Q2,Q 2#:"2,2# utili
 Z  2 x1  2 5  x1  Z  2 x2  2  x2 x0  (1010) Z  107.32 x1  x0   F ( x0 )

 20  2 5  10   (20  2 5) 10 x1        10   20  2  10   (20  2 ) Z (10  10.53 10  13.72 )  (10  15.43 )  (10  13.72 )  10  11728  42927  42942 2

Max 

2

2

 Z  42927  85854  0 

  05 2.24  3.14  Z  10 X 1  


51


Investigación Operativa Z  ( X 1  5 ) 2  ( X 2   ) 2  10

 Z  2( x1  5 )  x1  Z  2( x2   )  x2  2( x1  5 )  Z      2( x2   )  0   2 0   1 ! 2 1 H     H    0  1 ! 2  0  2  1

x1  x0  H  Z ( x0 )

0    15.53 2.23 10  1 ! 2      13.72   3.14 10 0 1 ! 2         Z  10

2.23  1 ! 2 x2    0 3 . 14   

0   0.01 

2.2350   1 ! 2 0.003 3.1415 

Z  10 Ejercicio extraído del Examen Parcial tomado el 07/07/2003. La municipalidad desea determinar la locali

52



Plantee y resuel!a el modelo del problema. b#;Sin resol!er el problema podr&a decirme cuánto deber&a caminar como má/imo una persona para atenderse en el nue!o Bospital@

# Min" Z 

(0  x ) 2  ( 2  y ) 2  (8  x) 2  (3  y ) 2  (0  x ) 2  (6  y ) 2

Ejercicio extraído del Examen Parcial tomado el 07/07/2003. Una firma produce un art&culo que se !ende en dos mercados. La firma es un monopolio en el mercado  y !ende el art&culo a =F2 cada unidad. 7l mercado 1 es competiti!o por lo que la cur!a de demanda está dada por p1 + 22 Q q1. Los costos de produccin de la firma están dados por C"q,q1# + "q 0 q1#1 donde q y q1 son las cantidades de producto !endidas en el mercado  y en el mercado 1 respecti!amente. a# Plantee el modelo del problema para determinar la cantidad ptima a !ender en cada mercado ma/imi

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Investigación Operativa # Max" Z  60 $ q1  (100  q 2)q 2  ( q1  q1) 2

 Z  60  2(q1  q 2) q1  Z  100  2q1  2(q1  q 2) q 2  60  2( q1  q 2)   Z    100  2q1  2( q1  q 2)  1 1! 2  1 H    1 ! 2  1 ! 2 1   1 1 x1  x0  H  Z ( x0 )      1 1 ! 2

1 ! 2  56 10  $   1 ! 2 94 20

Z  1300

10    1  x2  x1  H 1 Z ( x1 )      20 1 ! 2

1 ! 2  0 10  $   1 ! 2 0 20

Z  1300 Ejercicio extraído del Examen Final tomado el 03/10/2003. Una compañ&a planea gastar 2.222 = en publicidad. Cuesta =3.222 un minuto de publicidad en la I] y =.222 un minuto de publicidad en la radio. Si la empresa compra x minutos de comerciales de I] e y minutos de comerciales en la radio, su ingreso "en miles de =#, está dado por:

a# Yormular el modelo de PNL que proporcione el plan ptimo de in!ersin. b# $eterminar el nMmero de minutos que debe comprar la compañ&a en cada medio para optimi

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Investigación Operativa # Max " Z  2 x 2  y 2  xy  8 x  3 y s.a.

3 x  y  10 Z ( x y  )  2 x  y  xy  8 x  3 y   (10  3 x  y ) 2

2

 Z  4 x  y  8  3  x  Z  2 y  x  3    y  Z  10  3 x  y   4 x  y  8  3  0   2 y  x  3    0 10  3 x  y  0  x  63 ! 28 y  73 ! 28

  1! 4   0  2   g H    x  2   g   y

 2 g  x  2 Z  2 x  2 Z  y x

 2 g    y   2 Z    x y    2 Z   2 y 

1  0 3 3  4 1   28   1 1  2

La compañ&a para obtener una ganancia de *+ 8.JF-,32, debe comprar /+1.1- minutos en I.]. e y+1.F2 minutos en radio. 7s posible gastas =222 en publicidad, ya que cada minutos mas que incorpore le costara =1-2 Ejercicio extraído del Examen Parcial tomado el 19/07/2003. # La cer!ecera Guilmes Ba di!idido el pa&s en dos sectores: 9uenos Aires e Znterior. Si se gastan / pesos en promocionar en el sector 9uenos Aires, entonces se podrán !ender F/>1 ca4as de cer!e 1 ca4as de cer!e

55

Problemas Resueltos de Inv de Operaciones

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