Introducción a La Teoría Del Equilibrio General

MATERIAL MA TERIAL DE EN SEÑANZA DEPARTAMENTO

DE ECONOMÍA

Pontificia Universidad Católica del Perú

DEPARTAMENTO

DE ECONOMÍA


Nº 1

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DE ECONOMÍA


INTRODUCCIÓN DEPARTAMENT DE ECONOMÍA A LA O TEORÍA Pontificia Universidad DEL Católica del Perú DEPARTAMENT O DE ECONOMÍA EQUILIBRIO Pontificia Universidad Católica del Perú GENERAL DEPARTAMENTO

DE ECONOMÍA


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DE ECONOMÍA


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DE ECONOMÍA

Pontificia Universidad Católica del Perú DEPARTAMENTO DE

ECONOMÍA

MATERIAL DE ENSEÑANZA N° 1

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DEL EQUILIBRIO GENERAL

Alejandro Lugon

Octubre, 2015

DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA

MATERIAL DE ENSEÑANZA 1 http://files.pucp.edu.pe/departamento/economia/ME001.pdf

© Departamento de Economía – Pontificia Universidad Católica del Perú, © Alejandro Lugon

Av. Universitaria 1801, Lima 32 – Perú. Teléfono: (51-1) 626-2000 anexos 4950 - 4951 [email protected] www.pucp.edu.pe/departamento/economia/

Encargado de la Serie: José Rodríguez Departamento de Economía – Pontificia Universidad Católica del Perú, [email protected]

Alejandro Lugon Introducción a la Teoría del Equilibrio General Lima, Departamento de Economía, 2015 (Material de enseñanza 1) PALABRAS CLAVE: Equilibrio general, intercambio, economías con producción, eficiencia.

Las opiniones y recomendaciones vertidas en estos documentos son responsabilidad de sus autores y no representan necesariamente los puntos de vista del Departamento Economía.

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2015-12785. ISSN 2413-8606 (Impreso) ISSN (En línea –en trámite)

Impreso en Kolores Industria Gráfica E.I.R.L. Jr. La Chasca 119, Int. 264, Lima 36, Perú. Tiraje: 100 ejemplares

Introducci´ on a la Teor´ıa del Equilibrio General1 Alejandro Lugon2 Octubre 2015

1

Notas escritas para cursos de la Maestr´ıa en Matemáticas Aplicadas y de la Maestr´ıa de Econom´ıa de la PUCP. Una primera versión fue preparada para un cursillo dictado en el XXVII Coloquio de la SMP (2009) en la Universidad Nacional del Altiplano - Puno. Agradezco al Departamento de Econom´ıa de la PUCP el apoyo en la revisión final. 2 Dep. de Econom´ıa, PUCP

Introducci´ on a la Teor´ıa del Equilibrio General Alejandro Lugon Dep. de Econom´ıa, PUCP Abstract This document presents the fundamentals of the General Equilibrium Theory in finite dimension. The purpose is to provide a manual at the postgraduate level. Precision and completeness of the definition, results and proofs are the main objective of the exposition. Chapter 1 covers the consumer theory, from preferences to demand. Chapter 2 is about exchange economies: equilibrium’s existence and uniqueness, efficiency and core. Production firm is the subject of Chapter 3, from technology to offer. Chapter 4 exposes production economies: existence and efficiency of equilibrium. Finally, Chapter 5 contains some results about efficiency using the social welfare function theory. Key words: General Equilibrium, Pure Exchange, Production Economy, Efficiency. JEL Code: D51 Resumen Este documento presenta los resultados fundamentales de la Teor´ıa del equilibrio general en dimensi´ o n finita. El objetivo es servir de notas de clase a nivel de posgrado. La exposici´ on de cada tema intenta ser precisa y completa en las definiciones, resultados y demostraciones. En el Cap´ıtulo 1 se cubre la teor´ıa del consumidor, de las preferencias a la demanda. El Cap´ıtulo 2 trata sobre econom´ıas de intercambio puro, cubri´ endose los puntos de existencia y unicidad del equilibrio, eficiencia y n´ ucleo. La empresa productiva se desarrolla en el Cap´ıtulo 3, de las tecnolog´ıas a la oferta. En el Cap´ıtulo 4 se ven la econom´ıas con producci´ on, existencia y eficiencia del equilibrio. Finalmente el Cap´ıtulo 5 presenta resultados generales sobre eficiencia por medio de la funciones de bienestar social. Palabras Clave: Equilibrio General, Intercambio, Econom´ıas con producci´ on, Eficiencia. C´ odigo JEL: D51

Índice general Notaci´ on

2

Introducci´ on

3

1. Consumidores 1.1. Preferencias . 1.2. Utilidad . . . 1.3. Demanda . . 1.4. Ejercicios . .

. . . .

4 4 6 8 9

. . . . . .

14 14 15 17 19 23 27

3. Empresas 3.1. Tecnolog´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Oferta y Beneficio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35 36 39

4. Equilibrio Walrasiano para Econom´ıas con Producci´ on 4.1. Oferta y Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Función Exceso de Demanda Agregada y Equilibrio . . . 4.3. Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

41 41 45 46 50

. . . .

53 54 56 58 59

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

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2. Equilibrio Walrasiano para Econom´ıas de Intercambio Puro 2.1. Exceso de Demanda Agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. N´ ucleo y Econom´ıas Repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Bienestar 5.1. Función de Bienestar Social . . . . . . . . . 5.2. Resultados Anal´ıticos bajo diferenciabilidad 5.3. Método de Negishi . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa

. . . .

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. . . .

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. . . . . . . .

61

1

Notaci´ on ∈ R • x  y si ∀i x > y • x ≥ y si ∀i x ≥ y • x  y si x ≥ y ∧ x = y R = {x ∈ R |x ≥ 0 } R = {x ∈ R |x  0 } ∆ = {x ∈ R | x = 1} ∆ = {x ∈ R | x = 1} L

Para x, y

i

i

i

L +

L

L ++

L

L +

+

i

L i=1



L ++



i

L i=1

i

2

Introducci´ on La Teor´ıa del Equilibrio General es el esfuerzo m´ as amplio y elegante de la teor´ıa econ´ omica para modelar la realidad econ´ omica como la que vivimos a diario. El problema económico básico surge cuando diversos agentes tienen bienes que desean intercambiar entre ellos para lograr una mejor situaci´ on personal. Estos agentes pueden ser de dos tipos: consumidores y empresas. Las empresas compran bienes para transformarlos en otros y venderlos logrando un beneficio econ´ omico, el cual se reparte entre sus propietarios. Los consumidores poseen una canasta inicial de bienes y participaci´ on en las beneficios de las empresas, con esta riqueza compran una canasta que ser´ a la que consuman. El objetivo de las empresas ser´ a maximizar sus beneficios y el objetivo de los consumidores maximizar su satisfacci´ on personal. Para hacer m´ as precisas estas afirmaciones necesitamos especificar las reglas de intercambio, la forma en que los agentes juzgan las situaciones y las posibilidades de transformació n de las empresas. Esto se puede hacer de varias maneras, dependiendo del contexto o problema económico particular que se quiera modelar. En este texto abordaremos primero el modelo más sencillo posible, asumiendo que tenemos un n´ umero finito de bienes (L) y consumidores (I ), desarrollaremos un modelo de intercambio puro sin la presencia de empresas. En una segunda parte introduciremos el sector productivo. En ambos casos todos los intercambios se dan a través del mercado donde los bienes se compran y venden a precios p RL++, uniformes y fijos desde el punto de vista de todos los consumidores y empresas.

∈

3

Cap´ıtulo 1 Consumidores El consumidor es el agente básico del modelo. Tendremos I N consumidores, cada uno identificado por un indice i = 1, . . . , I . Cada consumidor i posee una dotaci´ on inicial de los bienes, representada por el vector ω i RL+ de manera que ω ji es la cantidad que inicialmente posee el individuo i del bien j. Cada consumidor puede intentar conseguir en el mercado una canasta de consumo mejor que su dotaci´ on inicial, vendiendo y comprando a los precios de mercado. Este canasta de consumo ser´ a un vector xi RL+. Para juzgar si una canasta es mejor que otra dotaremos al consumidor de preferencias.

∈

∈

∈

1.1.

Preferencias

La relaci´ on de preferencia del consumidor i es una relación sobre R L+ , i RL+ RL+ . La relación x i y la leemos x es preferido o indiferente a y o, de manera equivalente, x es al menos tan bueno como y. Por el momento no es necesario diferenciar entra agentes as´ı que obviaremos el super´ındice. Nos interesa limitar nuestro estudio a las preferencias racionales:

⊂

×

Definici´ on 1.1 (Racionalidad) Una preferencia  se dice racional si es:

∀ ∈ R se tiene x  y o y  x. Transitiva ∀x,y,z ∈ R si x  y ∧ y  z =⇒ x  z Completa: x, y

L +

L +

A partir de la relaci´ on débil  podemos definir la relación de preferencia estricta: x

 y si y solo si x  y y no y  x

y le indiferencia: x

∼ y si y solo si x  y e y  x

No es dif´ıcil demostrar la siguiente:

Proposici´ on 1.2 Si  es racional entonces

 es irreflexiva y transitiva. 2. ∼ es reflexiva, transitiva y simétrica. 1.

4

3.

∀x,y,z ∈ R

L +

⇒  z =⇒ x  z

x  y = y

Para el caso que queremos desarrollar es conveniente pedir una de las siguientes propiedades que tienen que ver con la deseabilidad de lo elegido.

Definici´ on 1.3 (Deseabilidad) Unas preferencias  sobre R L+ se dicen:

∀ ∈ R

L +

1. (M) Mon´ otonas, si x, y

con x

 y se tiene x  y . 2. (FtM) Fuertemente Mon´ otonas, si ∀x, y ∈ R con x  y implica x  y . 3. (LnS) Localmente no Saciadas, si ∀x ∈ R y ∀ > 0 , ∃y ∈ V (x, ) tal que y  x . L +

L +

La relaci´ on entre estas propiedades es:

Proposici´ on 1.4 FtM =

⇒ M =⇒ LnS.

Demostraci´ on

 La primera implicación es directa al observar que x  y implica x  y. Para la segunda, dado  > 0 consideramos y = x + √ (1, 1, . . . , 1)  x. Por M tenemos √ que y  x. Como ||x − y || =  ≤  tenemos que y ∈ V (x, ).  L

2

Otra propiedad importante tiene que ver con la continuidad de la relaci´ on:

Definici´ on 1.5 (Continuidad) Unas preferencias  sobre RL+ se dicen continuas si para todo par de secuencias convergentes xn x e y n y tales que x n  y n para todo n se tiene que x  y.

→

→

Como vemos en la siguiente proposición existen muchas maneras de definir la continuidad de unas preferencias:

Proposici´ on 1.6 Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1.  es continua.

⊂ R × R es cerrado. 3. Si x  y entonces existen U y U vecindades de x e y respectivamente abiertas en R tales que a ∈ U y b ∈ U implica a  b . 4. ∀x ∈ R los conjuntos {y ∈ R |y  x} y {y ∈ R |x  y } son cerrados. 5. ∀x ∈ R los conjuntos {y ∈ R |y  x } y {y ∈ R |x  y } son abiertos. 2. 

L +

L +

x

x

y

y

L +

L +

L +

L +

L +

L +

Demostraci´ on

5

L +

 Es obvio que 1) y 2) son equivalentes y que 4) y 5) también. Probaremos que 5)⇒3)⇒2)⇒4). 5)⇒3): Si existe z tal que x  z  y, construimos los conjuntos U = { a ∈ R |a  z } y U = {b ∈ R |z  b}. Si no existe tal z , consideramos U = {a ∈ R |a  y } y U = {b ∈ R |x  b}. En cualquier caso por 5) ambos conjuntos x

L + L +

L + L +

y

y

x

son abiertos y por definición cumplen con la segunda parte de 3).

3) 2):Consideremos una secuencia (xn, y n )  convergente a (x, y). Si fuera verdad que y x por 3) tendr´ıamos que la existencia de las vecindades U x y U y y por lo tanto para n suficientemente grande xn y n lo que contradice (xn , y n ) . Por lo tanto x  y es decir (x, y) , mostrando que  es cerrado.

⇒

{



}⊂ 

∈

∈ 2)⇒4): Sea una secuencia {y } ⊂ {a ∈ R X |a  x} convergente a y. La secuencia {(y , x)} está en  y converge a (y, x). Por 2) tenemos entonces (y, x) ∈ que significa y  x. n

L +

n

Finalmente damos una propiedad que ser´ a de ayuda cuando veamos el problema del consumidor.

Definici´ on 1.7 (Convexidad) Unas preferencias  sobre RL+ se dicen convexas si x RL+ el conjunto de sobrenivel y R L+ y  x es convexo. Si este conjunto es estrictamente α ]0, 1[: αy + (1 α)z x) las preferencias se dicen convexo ( y  x, z  x, y = z = estrictamente convexas.

{ ∈ |  ⇒ ∀ ∈

1.2.

∀ ∈

}

− 

Utilidad

Podemos trabajar los temas que siguen a partir de las preferencias de los consumidores, pero esto es mucho m´ as manejable si usamos una representaci´ on funcional. Esta representación recibe el nombre de funci´ on utilidad.

Definici´ on 1.8 (Utilidad) Una funci´ on u : RL+ preferencias  si: x, y RL+:

∀

−→ R es una utilidad que representa a las

∈

⇐⇒ u(x) ≥ u(y)

xy

Una primera observaci´ on directa sobre esta definici´ on es su ordinalidad:

Proposici´ on 1.9 Si u : RL+ R representa a  y f : R R es estrictamente creciente en el rango de u, entonces v = f u también representa a .

−→

−→

◦

La segunda es que la racionalidad de las preferencias es una condición necesaria para ser representadas:

Proposici´ on 1.10 Si u : RL+

−→ R representa a  , entonces  es racional. Esto u ´ ltimo se debe a que la relación de orden ≥ en R es completa y transitiva.

La pregunta natural es si la racionalidad es también suficiente para la representabilidad. Como vemos en el clásico ejemplo de las preferencias lexicogr´ aficas, la respuesta es negativa. 2 Consideremos sobre R + las preferencias definidas por x  y si (x1 > y1 )

∨ (x 6

1

= y 1

∧ x ≥ y ) 2

2

Estas preferencias son racionales, transitivas, fuertemente mon´ otonas y estrictamente convexas. Sin embargo no tienen ninguna funci´ on de utilidad que las representen. Esto se constata al observar que x y si y solo si x = y, si existiera una función de utilidad tendr´ıamos una aplicación inyectiva de R 2+ a R . Lo que falla en la lexicográ fica es la continuidad. Si tomamos las secuencias xn = (1/n, 0) (0, 0), y n = (0, 1) tenemos xn y n pero (0, 1) (0, 0). Para preferencias continuas daremos dos teoremas de representabilidad pero solo probaremos el primero.

∼

→





Teorema 1.11 Toda preferencia  racional, cont´ınua y mon´ otona es representable por una L funci´ on de utilidad u : R+ R cont´ınua.

−→

Demostraci´ on

Sea e = (1, 1, . . . , 1) ∈ R

L +,

∈ R y definamos: {α ∈ R |αe  x} {α ∈ R |x  αe} L +

fijemos x

A+ = A− =

+ +

(1.1) (1.2)

Por la continuidad ambos conjuntos son cerrados y por la racionalidad son no vac´ıos y su unió n es R+. Por lo tanto su intersecci´ on no puede ser vac´ıa, es decir existe α tal que αe  x  αe es decir x αe. Si existieran α1 y α2 tales que α1 e x α2 e por la monotonicidad tendr´ıamos que α1 = α2 , es + + decir:A A = αx . Con esto definimos la funci´ on u(x) = αx para la cual demostraremos que representa a la preferencia y que es cont´ınua.

∼

∼ ∼ ∪ { }

Representaci´ on: xy

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

∼

∼ α e

αx e x  y αx e  α y e αx α y u(x) u(y)

≥ ≥

y

(1.3) (1.4) (1.5) (1.6)

Donde la primera y cuarta equivalencia es por definición, la segunda por transitividad y la tercera por monotonicidad.

Continuidad : Basta demostrar que la imagen inversa de cualquier intervalo abierto ]a, b[ R es un abierto de Rn . Es fácil ver que u −1(]a, b[) = x RL+ be x ae , el cual es abierto dada la continuidad de las preferencias.

 }

⊂

{ ∈ |  

La condici´ on de monotonicidad no es realmente necesaria y podemos tener un teorema más general:

Teorema 1.12 (Ver [ 2] ) Toda preferencia  racional y continua sobre un subconjunto X de un espacio topol´ ogico con una base contable de abiertos es representable por una funci´ on de utilidad continua.

7

1.3.

Demanda

El objetivo del consumidor es escoger el mejor elemento (maximal) seg´ un sus preferencias dentro de un conjunto de oportunidades de consumo. Para nuestro objetivo este conjunto está determinado por el vector de precios p R n++ y la dotación inicial ω R L+: B( p, w) = x RL+ px pw y recibe el nombre de conjunto presupuestario. Usando la funci´ o n de utilidad el Problema del consumidor es:

∈

{ ∈ | ≤ }

∈

(1.7)

Max u(x) s.a. x B( p, ω)

∈

o de forma expl´ıcita: Max u(x) s.a. px pω x 0

Proposici´ on 1.13 Con p

∈R

L ++ el

≤ ≥

conjunto B( p, ω) es convexo y compacto.

Esta propiedad de B( p, ω) junto con la continuidad de la funci´ on utilidad nos aseguran la existencia de solución. Para mantener la simplicidad de nuestro desarrollo asumiremos que las preferencias son estrictamente convexas para que la soluci´ o n sea u ńica.

Teorema 1.14 Si las preferencias son racionales, continuas y estrictamente convexas, el problema del consumidor (1.7) tiene una unica ´ soluci´ on para todo p RL++.

∈

Demostraci´ on

Usando el Teorema de Wieirstrass, la existencia está garantizada por la compacidad de B( p, ω) y la continuidad de u. Para la unicidad supongamos que (1.7) tiene dos soluciones: x  y x  entonces para α ∈]0, 1[ tenemos que (1 − α)x + αx pertenece también a B( p, ω), por ser este convexo, y como las preferencias son estr´ıctamente convexas (1 − α)x + αx   x , contradiciendo la optimalidad de x .

Este teorema nos permite definir la funci´ on1 demanda: x : RL++ p

−→ −→

RL+ x( p) = ArgMaxx∈B( p,ω) u(x)

Esta funci´ on nos da la canasta deseada por un consumidor con utilidad u y dotación inicial ω si los precios de mercado son p. A partir de ella podemos encontrar lo que el consumidor quiere vender y lo que quiere comprar en el mercado, a esta funci´ on se le llama exceso de demanda: z ( p) = x( p) ω

−

−

As´ı, si z  ( p) > 0 el consumidor desea comprar dicha cantidad del bien , si z  ( p) > 0 el consumidor desea vender dicha cantidad del bien  y si z  ( p) = 0 el consumidor no desea comprar ni vender del bien . Las propiedades de la funci´ on exceso de demanda relevantes para nuestro estudio est´ an en el siguiente teorema: 1

Sin unicidad tendr´ıamos una correspondencia

8

Teorema 1.15 Si las preferencias son racionales, continuas, estr´ıctamente convexas y localmente no saciadas, para todo p RL++ tenemos:

∈

1. z ( p) es continua en p. 2.

∀α > 0 : z (αp) = z ( p)

3. pz ( p) = 0 4.

∃s > 0 tal que ∀ p ∈ R

L ++

: m´ın=1,...,L z  ( p) >

−s

Demostraci´ on

 1. La continuidad de z se deriva de la continuidad de la demanda y esta se

puede obtener como un caso particular de un teorema general de la teor´ıa de optimizaci´ on. Daremos aqu´ı una prueba directa. Tomemos una secuencia n de precios p convergente en R L++ a p, debemos mostrar que xn = x( pn ) x( p) = x. La secuencia de precios al ser convergente es acotada y podemos definir p = máxn pn > 0 y p = m´ınn pn > 0 para cada  = 1, . . . , L, as´ı

→

p xn

n n  

n n

n

≤ p x ≤ p x ≤ p ω ≤ pω

pω p

n 

n

≤ x ≤ . Por lo tanto la secuencia x está incluida en el compacto {x ∈ R |0 ≤ x ≤ ( , , . . . , )}. Consideremos una subsucesión convergente x → x . Como p x ≤ p ω tomando l´ımites tenemos px ≤ pω, luego u(x ) ≤ u(x). Sea y ≥ 0 tal que py < pω para n suficientemente grande también p y < p ω y por lo tanto u(y) ≤ u(x ), tomando l´ımites nuevamente u(y) ≤ u(x ). Tomemos ahora y ≥ 0 tal que py = pω y consideremos la secuencia y = (1 − )y → y, para la cual py = (1 − ) pω < pω y por lo tanto u(y ) ≤ u(x ), en el l´ımite u(y) ≤ u(x ). Lo que hemos probado es que ∀y ≥ 0 tal que py ≤ pω tenemos u(y) ≤ u(x )  de donde 0

L + nk

pω pω pω p1 p2 pL nk nk

nk

k

nk

nk

nk

1 n

n

n

1 n

n

y por lo tanto x = x.

{ ∈ R |αpx ≤ αpw} = {x ∈ R | px ≤

2. Directo al observar B(αp,w) = x pw = B( p, w)

}

L +

L +

3. Al ser las preferencias localmente no saciadas la soluci´ on de (1.7) no puede ser interior, luego px( p) = pω de donde pz ( p) = p(x( p) ω) = 0. 4. Por definición x( p) s > máx ω .



1.4.

≥ 0 luego z ( p) 

Ejercicios

1. Muestra que si  es racional entonces:

 es irreflexiva y transitiva. b ) ∼ es reflexiva, transitiva y simétrica. c ) Si x  y  z entonces x  y.

a )

9

= x ( p)

− ω



− ≥ −ω . Basta tomar 

 y la indiferencia ∼ que se derivan de una preferencia

2. Define la preferencia estricta lexicográfica  en R n+ .

3. Muestra que la preferencia lexicogr´ afica es racional, fuertemente mon´ otona y estrictamente convexa. 4. (Tomado de [4]). Sea  una preferencia sobre X . Decimos que es negativamente transitiva cuando x y implica que z X (x z ) (z y). Demuestre que  es transitiva si y solo si es negativamente transitiva.

 

∀ ∈



 ∨ 



5. (Tomado de [4]) Sobre un conjunto X definimos una relaci´ on , que llamaremos preferencia estricta, a partir de la cual definimos , que llamaremos preferencia débil:

⇐⇒ y  x

xy y dos propiedades:

A La preferencia estricta x y e y x.



 es asimétrica si no existe en X ningún par x e y tal que





es negativamente transitiva si siempre que x NT La preferencia estricta cualquier z X cumple x z o z y, pudiendo ser ambas ciertas.

∈





 y

Probar que si la preferencia estricta cumple A y NT entonces la preferencia débil  es completa y transitiva. ¿Es la rec´ıproca también verdad?



6. (Tomado de [1]) Para una  preferencia sobre X , definimos la propiedad:

P: x,y,u,v si x  u y y  v entonces αx + (1

∀

− α)y  αu + (1 − α)v ∀α ∈ [0, 1]

Estudiar si P implica la convexidad de  y/o si la convexidad de  implica P. 7. Muestre que si una preferencia  sobre X es Localmente No Saciada toda curva de indiferencia C z = x X x z para z X no tiene puntos interiores.

{ ∈ | ∼ }

∈

8. Sea  una preferencia racional sobre RL+ y propiedades:

 su preferencia estricta. Definimos las

∀ ∈ R con x  y se tiene x  y. FtM : ∀x, y ∈ R con x  y implica x  y. LnS : ∀x ∈ R y ∀ > 0, ∃y ∈ V (x, ) tal que y  x. DD : ∃v ∈ R tal que ∀x ∈ R , ∀α > 0: x + αv  x Se sabe que FtM =⇒ M =⇒ LnS. Ubica DD en esta secuencia M : x, y

L +

L +

L +

L +

L +

9. Prueba que toda preferencia representable por una func´ıon continua es continua. 10. Encuentra un ejemplo de una preferencia no continua sobre R n+ que sea representable por una funci´ on de utilidad.

10

11. Sea  una preferencia sobre X Rn y u : X R una utilidad que la representa. Demuestra que si  es convexa entonces x, y X, α [0, 1] se cumple que u(αx + (1 α)y m´ın u(x), u(y) (u es cuasic´ oncava).

∈

− ≥

{

→ ∀ ∈ ∀ ∈

}

12. (Tomado de [1])Decimos que una funci´ on u : R L+ R es estrictamente quasi-c´ oncava L (EQC) si para todo par de canastas x, y R+, x = y y 0 < α < 1 se cumple:

→ ∈  u (αx + (1 − α)y) > m´ın{u(x), u(y)}

Dadas una preferencia  y una utilidad u que la representa, pruebe que u es EQC si y solo si  es estrictamente convexa.



13. Muestra que si X es finito y es una preferencia racional sobre X entonces existe una func´ıon de utilidad que representa a .



 sobre R × R −

L 1 +

14. (Tomado de [1]) Una preferencia bien si:

es cuasilineal respecto del primer

∼ y ⇒ (x + (α, 0, . . . , 0)) ∼ (y + (α, 0, . . . , 0)) para todo α b ) (x + (α, 0, . . . , 0))  x para todo x y α > 0 Muestra que  sobre R × R − es cuasilineal respecto del primer bien si y solo si es a ) x

L 1 +

representable por una func´ıon de utilidad u(x) de la forma: u(x) = x 1 + v(x2 , . . . , xL )

15. Sea la preferencia lexicogr´ afica sobre el conjunto X = 0, 1 n . Muestra que es representable y encuentra una func´ıon de utilidad que lo haga.

{ }

n 16. Una preferencia sobre R+ es homotética si cumple con: x y αx αy para todos n x, y X y α 0. Muestra que sobre R+ es homotética si y solo si es representable por una func´ıon de utilidad u(x) homogénea de grado uno.

∈

≥



∼ ⇒ ∼



n 17. Sea la función de utilidad u : R + λ > 0: x y λx λy.

→ R homogénea de grado 1. Muestra que para todo

∼ ⇒ ∼

18. Encuentra la demanda (func´ıon o correspondencia) para cada una de las siguientes utilidades:

a ) U (x1 , x2 ) = ax 1 + bx2 b ) U (x1 , x2 ) = 2x1 + 3x2

{ } d ) U (x , x ) = m´ın{x , 3x } c ) U (x1 , x2 ) = m´ın ax1 , bx2 1

2

1

2

e ) U (x1 , x2 ) = x a1 xb2

f ) U (x1 , x2 ) = x 21 x42 1

g ) U (x1 , x2 ) = (xρ1 + xρ2 ) ρ 0,5 2 h ) U (x1 , x2 ) = (x0,5 1 + x2 )

11

i ) U (x1 , x2 ) = x 1 +

√ x

2

j ) U (x1 , x2 ) = x 1 + ln x2 k ) U (x1 , x2 ) = x 1 + ln (1 + x2 ) 2

2

−(x − a) − (x − b) m ) U (x , x ) = −(x − 9) − (x − 1) l ) U (x1 , x2 ) =

1

1

1

2

2

2

2

2

19. Demuestre que si las preferencias de un consumidor son estr´ıctamente convexas su demanda x( p, ω) es una función. Esto es: existe una u ´ nica canasta que resuelve el problema de maximización. 20. Sea la función x( p) la demanda Walrasiana de un consumidor con dotaci´ on inicial ω fija. Muestra que esta func´ıon cumple el Axioma Débil de la Preferencia Revelada (ADPR):

∀ p, p ∈ R

L ++ :

p x( p )

·

≤ p · ω ∧ x( p) = x( p) ⇒ p · x( p) > p · ω

21. (Tomado de [1]) Considere la utilidad sobre R 3+ : u(x1 , x2 , x3 ) =

√ x + √ x + x + 1

2

2

x3 1 + x3

perteneciente a un consumidor con dotaci´ on inicial ω = (1, 1, 1). oncava, fuertemente mon´ otona y continua. a ) Muestre que u es estrictamente c´

b ) Muestre que para x3 > 0: (x1 , x2 + x3 , 0)

 (x , x , x ) 1

2

3

c ) Muestre que si p2 = p 3 entonces x3 ( p) = 0 d ) Considere la secuencia de precios pn = (1, 1/n, 1/n). e ) Estudie y comente los l´ımites de x2 ( pn ) y x3 ( pn ). 22. (Tomado de [6]) En el problema:

·

p x u(x) u x 0

Min s.a.

≥

≥

Definimos la función e( p, u) como el valor o´ptimo y la correspondencia h( p, u) como el conjunto de canastas donde se encuentra e( p, u). Demuestra que: oncava en p. a ) e( p, u) es homogénea de grado uno y c´

b ) Si u( ) representa a una preferencia localmente no saciada: x u(x) = u.

·

·

∈

h( p, u)

c ) Si u( ) representa a una preferencia convexa h( p, u) es de imagen convexa. 12

⇒

=

d ) Si la convexidad de las preferencias es estricta h( p, u) es función. 23. Sea un consumidor con unas preferencias racionales, localmente no saciadas y homotéticas. Muestra que su demanda cumple:

∀α > 0 : x(αp,w) = α1 x( p, w) 24. (Tomado de [1])Sea X : RL++ RL+ la demanda de un consumidor con preferencias racionales, continuas, fuertemente mon´ otonas y estrictamente convexas. Tomemos una n L secuencia p en R++ convergente a p RL+ . Pruebe que si p1 > 0 entonces la secuencia ( de las cantidades demandadas del bien 1) X 1 ( pn ) en R + es acotada.

→

{ }

∈

{

}

25. (Tomado de [5])Demuestre que si las preferencias de un consumidor son estr´ıctamente convexas su demanda x( p, ω) es una funció n. Esto es: existe una u ´ nica canasta que resuelve el problema de maximizaci´ on.

13

Cap´ıtulo 2 Equilibrio Walrasiano para Econom´ıas de Intercambio Puro Consideremos una econom´ıa de L bienes e I consumidores. Cada consumidor i está definido por su dotaci´ on inicial ωi y su preferencia i , as´ı la econom´ıa es la colecci´ on: i

i

E = {(ω ,  )|i = 1, . . . I } Asumiremos que ω = I i=1 ωi 0, es decir que en el agregado la econom´ıa en su conjunto dispone de cantidades positivas de todos los bienes considerados.



2.1.



Exceso de Demanda Agregada

Dada una econom´ıa, las transacciones entre los agentes est´ an determinadas por el vector L de precios. Dado p R++ cada consumidor i decide su consumo o´ptimo y su acci´ o n en el i mercado est´ a dada por su Exceso de Demanda z ( p), la suma de todos ellos nos dará la Funci´ on Exceso de Demanda Agregada, Z : RL++ RL definida como:

∈

−→

I

Z ( p) =



z i ( p)

i=1

La FEDA hereda las propiedades la FED individual:

Teorema 2.1 Si las preferencias son racionales, continuas, estrictamente convexas y fuertemente mon´ otonas, para todo p RL++ tenemos:

∈

1. Z ( p) es continua. 2.

∀α > 0 : Z (αp) = Z ( p)

3. pZ ( p) = 0 Z ( p) > −s ∃s > 0 tal que ∀ p ∈ R : m´ın = 0 con p = 0 para cierto  : máx Z ( p ) → + ∞ 5. Si p → p  L ++

4.

n

=1,...,L









Demostraci´ on 14



n

 Los puntos 1 al 4 son directos a o partir del Teorema 1.15. Veamos el punto 5. Sea p → p  = 0 si perder generalidad supongamos p = 0 y p > 0. Como ω  0 tenemos que p ω = pω  0 y por lo tanto al menos para alg´ un i pω  0. Demostraremos que para este consumidor: l´ım máx x ( p ) = +∞ →∞ n

I i=1



I i=1

i

i



i

n





i 

I i=1

1

2

i

n

supongamos que no, que la secuencia máx xi ( pn) es acotada, por lo tanto podemos tener subsecuencia convergente, xnk = x i ( pnk ) x.

→

Como pnk xi ( pnk ) pnk ωi , en el l´ımite px pω i . Sea y 0 tal que py < pω i para nk suficientemente grande también pnk y < pnk ωi y por lo tanto u(y) u(xnk ), tomando l´ımites nuevamente u(y) u(x). Tomemos ahora y 0 tal i n que py = pω y consideremos la secuencia y = (1 n1 )y y, para la cual 1 n i i n py = (1 n ) pω < pω y por lo tanto u(y ) u(x), en el l´ımite u(y) u(x). Lo que hemos probado es que y 0 tal que py pω i tenemos u(y) u(x). Pero para la canasta y = x+(1, 0, . . . , 0) cumple py = px = pω i y por la monotonicidad fuerte u(y) > u(x).

≤

−

≤ ≤ ≤ ≤

∀ ≥

−

≥

≤

≥

→

≤

≤



2.2.

Equilibrio

Diremos que un precio p es de equilibrio si los excesos de demandas agregados son nulos, de esta forma si alg´ un agente quiere comprar siempre encontrar´ a un vendedor y viceversa. Formalmente tenemos:

E

Definici´ on 2.2 (Equilibrio) Para una econom´ıa con funci´ on exceso de demanda agre∗ L L gada Z : R++ R diremos que p es un precio de equilibrio si Z ( p∗ ) = 0.

−→

En lo que resta de este cap´ıtulo nos ocuparemos de probar la existencia de equilibrio.

Teorema 2.3 Si la funci´ on exceso de demanda agregada Z : RL++ RL cumple las cinco propiedades del Teorema 2.1 entonces existe un vector de precios de equilibrio p∗ .

−→

La demostraci´ on la haremos a través de una serie de lemas y usaremos:

Teorema 2.4 (Punto Fijo de Kakutani) Si una correspondencia 1 φ : A ⇒ A, con A no vac´ıo, compacto y convexo, es Semi Continua Superiormente y de imagen convexa no vac´ıa entonces tiene un punto fijo x∗ A en el sentido que x∗ φ(x∗ ).

∈

∈

La estrategia de la prueba es definir a partir de Z una correspondencia que cumpla las condiciones del teorema de Kakutani para obtener un punto fijo y luego probar que dicho punto fijo es el equilibrio buscado. Empecemos por notar que la homegeneidad de Z nos permite normalizar los precios y conL siderar solo a aquellos que pertenecen al simplex positivo de RL : ∆+ = p RL++ =1 p = 1 .

{ ∈

}

1

Ver Anexo

15

|



Definamos la correspondencia f : ∆ ⇒ ∆ como: q ∆ Z ( p)q Z ( p)q  , q 

si

q

si

 { ∈ |  { ∈ |  { ∈ |  { ∈ |

f ( p) =

también podemos escribir:

≥ ∆ pq = 0}

∀ ∈ ∆} }

q ∆ q  = 0 si Z  ( p) < máxi Z i ( p)

f ( p) =

q ∆ q  = 0 si p > 0

∈ p ∈ ∆ \ ∆ p ∆ +

+

∈ p ∈ ∆ \ ∆ p ∆ +

si

}

si

+

Como ∆ es no vac´ıo, compacto y convexo, para poder aplicar el Teorema de Kakutani sólo falta probar:

Lema 2.5 La correspondencia f es SCS y de imagen convexa Demostraci´ on

 La convexidad es directa, veamos la semi continuidad superior. Sean las secuencias p → p, q → q con q ∈ f ( p ) debemos probar que q ∈ f ( p). Si p ∈ ∆ entonces p  0 y para n suficientemente grande p  0 y Z ( p )q ≥ Z ( p )q  , ∀q  ∈ ∆, tomando limites y usando la continuidad de Z : Z ( p)q ≥ Z ( p)q  , ∀q  ∈ ∆ y por lo tanto q ∈ f ( p). Si p ∈ ∆ \ ∆ y p > 0 entonces existe  > 0 tal que para n suficientemente grande p > . Si p ∈ ∆ \ ∆ entonces q = 0. Si p ∈ ∆ n

n

n

n

+

n

+

n 

n

n

n



n

n 

+

n

+

entonces

1 n p Z  ( pn)  1 = p jn Z j ( pn )   j = s p jn   j = s <  n Luego Z  ( p ) es acotado pero como p ∆ ∆+ tenemos que m´ ax j Z j ( pn ) + luego, para n suficientemente grande m´ ax j Z j ( pn) > Z  ( pn) y por lo tanto q n = 0. Resumiendo tenemos que si p > 0 entonces para n suficientemente grande q n = 0 y su l´ımite q  = 0 tambi´ en, lo que prueba que q f ( p) Z  ( pn)

≤

 −  ≤ ∈ \

→ ∞

∈



El lema anterior y el Teorema de Kakutani nos permite afirmar la existencia de un punto fijo para la correspondencia f , el lema siguiente nos dice que dicho punto fijo es el equilibrio buscado.

Lema 2.6 Si p∗ es un punto fijo de f entonces p∗

∈ R

Demostraci´ on

L ++

y Z ( p∗ ) = 0.

 Si p∗ ∈ f (∗ p∗) y p∗ ∈ ∆ ∗\ ∆ entonces p∗ p∗ = 0∗ lo cual es imposible. Por otro lado si Z ( p )  = 0 como p ∈ ∆ tendr´ıamos f ( p ) ⊂ ∆ \ ∆ lo cual también es imposible.  +

+

+

Una vez establecida la existencia se pueden estudiar diversas caracter´ısticas del equilibrio como eficiencia, unicidad, estabilidad, robustez etc. En la siguiente secci´ on veremos el tema de unicidad y dejaremos para un cap´ıtulo aparte el estudio de la eficiencia. 16

2.3.

Unicidad

Si nuestro modelo intenta describir con el concepto de equilibrio el resultado de la interacción de los agentes, luego de mostrar que el equilibrio existe un buen resultado teórico ser´ıa poder asegurar su unicidad. Lamentablemente esto no es posible, veremos un ejemplo en el cual tendremos m´ as de un equilibrio. 8 Ejemplo 2.7 (Tomado de [ 5] ) El consumidor 1 tiene utilidad u1 (x1 , x2 ) = x1 1/8x− 2 y 8 dotaci´ on inicial (2, r), el consumidor 2 tiene utilidad u2 (x1 , x2 ) = x2 1/8x− on 1 y dotaci´ inicial (r, 2). Estas utilidades representan preferencias completas, continuas, convexas y estrictamente mon´ otonas. Para esta econom´ıa, normalizando los precios con p2 = 1, el exceso de demanda para el primer bien es:

−

−

Z 1 ( p1 , 1) = r( p1 )−1

− ( p )− 1

8/9

+ ( p1 )−1/9

−r

Es f´ acil ver que Z 1 (1, 1) = 0 luego los precios (1, 1) son de equilibrio. Seg´ un el valor de r 8/9 1/9 2 0,7717 tenemos podemos tener un par de equilibrios m´ as, por ejemplo si r = 2 que Z 1 (2, 1) = 0 y Z 1 (0,5, 1) = 0.

−

≈

En general se puede probar (Sonnenschein-Mantel-Debreu) que dada una funci´ o n que i i cumpla las cinco propiedades del Teorema 2.1 existe una econom´ıa = (ω ,  ) i = 1, . . . I que genera dicha funci´ on como su Exceso de Demanda Agregada. Luego si queremos tener unicidad, debemos restringir nuestra econom´ıa a un subconjunto menor que el estudiado. Lo que si se puede lograr sin mucho esfuerzo es probar que genéricamente toda econom´ıa tiene un n´ umero finito (e impar) de equilibrios aislados. Estas resultados son los que veremos a continuaci´ on. Empecemos estableciendo un resultado para la unicidad local. Para esto normalicemos ˆ ( p) = (Z 1 ( p), Z 2 ( p), . . . , ZL −1 ( p)), asumiremos que esta funci´ pL = 1 y definamos Z on tiene ˆ ˆ derivadas parciales continuas formando la matriz D( p) = D ( p ,...,pL ) Z ( p)

E {

1

|

}

−1

ˆ p∗ ) es regular, es Definici´ on 2.8 (Regularidad) Un equilibrio p ∗ es regular si la matriz D( decir tiene determinante no nulo (equivalentemente tiene inversa o es de rango completo). Una econom´ıa es regular si todos sus equilibrios sin regulares. Es posible demostrar que especificando adecuadamente el espacio de todas las econom´ıas, el conjunto de econom´ıas regulares es abierto y denso. En términos técnicos, la propiedad de ser regular es genérica. En términos menos técnicos, las econom´ıas no regulares son muy raras y si se perturban se convierten en regulares.

Proposici´ on 2.9 Bajo la normalizaci´ on pL = 1 todo equilibrio regular es localmente unico, ´ es decir aislado. Demostraci´ on

 La demostración recae∗en el Teorema de la Función Impl´ıcita. Si p∗ es un ˆ ( p) − q = 0, un sistema equilibrio tenemos que ( p , 0) es soluci´ o n de F ( p, q ) = Z de L − 1 ecuaciones para las 2L − 2 variables ( p , . . . , p − , q , . . . , q − ). Este sistema define localmente en ( p∗ , 0) a ( p , . . . , p − ) como función (q , . . . , q − ) ˆ ∗ )  si el Jacobiano D F ( p, q )| = 0 al ser p∗ = 0. Como D F ( p, q )| = D( p ˆ ( p) = 0 tiene como u regular, tenemos que localmente F ( p, 0) = Z ´ nica solución a ∗ p .  1

1

p

L 1

p

( p ,0) ∗

17

L 1

1

L 1

1

( p ,0) ∗

L 1

Proposici´ on 2.10 En una econom´ıa regular con la normalizaci´ on pL = 1 el n´ umero de equilibrios es finito. Demostraci´ on

 Consideremos el conjunto de equilibrios normalizados: E = { p = ( p , . . . , p − , 1)|Z ( p) = 0} 1

L 1

Si tuviéramos en E una secuencia de precios que tienda a un vector con alguna componente nula, la propiedad del comportamiento en la frontera de Z nos dar´ıa que alg´ un exceso de demanda tender´ıa a infinito,lo cual es imposible si los precios son de equilibrio. Luego todos los precios de equilibrio tiene una cota inferior. De la misma manera no podemos tener precios arbitrariamente grandes por esto equivale a que el precio del bien L tienda a cero. Luego el conjunto E es acotado. Por otro lado como el exceso de demanda es continuo E es cerrado. En la proposición anterior vimos que E es discreto. Al ser E un conjunto compacto (cerrado y acotado) y discreto de un espacio euclideano, debe ser finito.



Podemos dar un peque˜ no paso más y afirmar que el número de equilibrios de una econom´ıa regular debe ser impar. Como ya dijimos al comienzo de esta sección si queremos conseguir unicidad global debemos restringir nuestra econom´ıa. Una manera cl´ asica de hacerlo es asumir que el exceso de demanda agregada cumple el Axioma Débil de las Preferencias Reveladas, una propiedad que cumple cada exceso de demanda individual (de cada agente) pero que no se conserva al agregarlos.

Definici´ on 2.11 (ADPR) Dada una FEDA Z decimos que cumple el Axioma Débil de las Preferencias Reveladas (ADPR) si para todo par de precios p y p tales que Z ( p) = Z ( p ), si pZ ( p ) 0 entonces p Z ( p) > 0 .



≤

El ADPR nos garantizará la unicidad del equilibrio.

Proposici´ on 2.12 Si Z cumple ADPR el conjunto E de precios de equilibrio es convexo. Demostraci´ on Z ( p) = 0 = Z ( p ) y una combi Tomemos dos precios de equilibrio p y p con nación convexa de estos p = αp + (1 − α) p que no sea un precio de equilibrio: Z ( p )  = 0. Por la Ley de Walras: p Z ( p ) = αpZ ( p ) + (1 − α) p Z ( p ) = 0 α

α

α

α

α

α

Ambos t´ erminos de la suma no pueden ser positivos, al menos uno de los dos debe ser no negativo. Sin perder generalidad supongamos que pZ ( pα ) 0, por el ADPR debemos tener que p α Z ( p) > 0 lo cual contradice Z ( p) = 0.



≤

Es fácil ahora ver que una econom´ıa regular cuya FEDA cumple ADPR debe tener un u ´ nico equilibrio.

Teorema 2.13 Una econom´ıa regular con una FEDA Z que cumple el ADPR tiene un unico ´ equilibrio. 18

2.4. .4.

Efic ficie ien ncia

En la sección on anterior hemos estudiado el equilibrio de mercado, donde los intercambios se dan de acuerdo acuerdo a ciertos ciertos precios, precios, ah´ ah´ı nos centram centramos os en la existen existencia cia de unos precios L p R ++ que equilibrarán an el mercado. Este vector de precios genera para cada consumidor i = 1, . . . , I una una canasta de consumo x consumo xi ( p). p). En ese sentido el vector (x (x1 ( p) p), . . . , xI ( p)) p)) RL+×I es una reasignación on de las dotaciones iniciales por medio del intercambio en el mercado de acuerdo a los precios dados. La pregunta que nos hacemos en esta sección on es sobre la bondad de esta reasignaci´ on en el sentido de eficiencia. El intercambio entre dos agentes se da cuando es favorable para ambos, al adoptar el mercado como mecanismo estamos limitando las posibilidades de intercambio. Sin limitaciones en los intercambios se puede lograr cualquier asignaci´ on on factible.

∈

∈

Definici´ on on 2.14 (Asignaci´ on on factible) Dad Dadaa una econo econom m´ıa L×I 1 I una asignaci´ on factible es un vector (x , . . . , x ) R+ tal que

i

i

E E = { (ω ,  )|i = 1, . . . I }

∈

I i i=1 x



= ω = ω =



I i i=1 ω

Podemos redefinir el concepto de equilibrio equilibrio dando énfasis enfasis a la asignaci´ asignacion ´ de los recursos y no a los precios.

Definici´ on on 2.15 (Asignaci´ on on de Equilibrio) Una asignaci´ on (x1 , . . . , xI ) factible es de pω i y si ui (x) > ui (xi ) equilibrio si existe p RL++ tal que para todo i = 1, . . . , I , pxi entonces px > pω i

∈

≤

La pregunta que surge es si, a partir de una asignación on de equilibrio, todav´ todav´ıa se pueden lograr intercambios beneficiosos para ambas partes involucradas (obviamente fuera del ´ mercado). Este concepto de eficiencia es capturado por el de Optimo de Pareto.

´ Definici´ on o n 2.16 (Optimo de Pareto Fuerte) Una asignaci´ on factible (x1 , x2 , . . . , xI ) es ´ un Optimo de Pareto Fuerte si   (x1, . . . , xI ) factible tal que: i

i

i

i

∀i = 1, . . . , I u (x ) ≥ u (x ) 2. ∃ j tal que u (x ) > u (x ) 1.

j

j

j

j

´ mo de Pareto D´ Definici´ on o n 2.17 (Optimo Opti ebil) ebil ) Una asignaci´ on factible (x1 , x2 , . . . , xI ) es ´ un Optimo de Pareto Débil ebil si  (x1 , x2 , . . . , xI ) factible tal que: i

i

i

i

∀i = 1, . . . , I u (x ) > u (x ) Proposici´ on on 2.18

´ ´ imo de Pareto Débil. 1. Todo Optimo de Pareto Fuerte es un Optimo Opt ebi l.

2. Si las preferencias preferencias de los consumidor onsumidores es son continuas continuas y fuertement fuertementee mon´ otonas, todo ´ ´ Optimo de Pareto Débil ebil es un Optimo de Pareto Fuerte. Demostraci´ on on

 1. Directo Directo 19

2. Mostraremos Mostraremos que, bajo los supuestos, si una asignaci´ asignaci´ on no es Pareto Fuerte entonces entonc es no es Pareto Débil. ebil. Sea (x (x1 , x2 , . . . , xI ) una asignación on que no es Pareto Fuerte, entonces existe 1 2 una asignaci´ on on factible (x (x , x , . . . , xI ) tal que:

a ) i = 1, . . . , I ui (xi ) u i (xi ) que u j (x j ) > u j (x j ) b ) j tal j tal que u

∀ ∃

≥

Por la conti Por continu nuid idad ad de las las prefer preferenc encia iass para para α suficientemen suficientemente te peque˜ no: no: j j j j u ((1 α)x ) > u (x ) y por la monotonicidad fuerte: i = 1, . . . , I , i = j on on ui (xi + I −α 1 x j ) > ui (xi ) ui (xi ). Luego hemos conseguido una asignaci´ factible en e n la cual todos t odos los consumidores consumido res están an mejor, luego (x (x1 , x2 , . . . , xI ) no es Pareto Pare to Débil. ebi l.

−

∀

≥





´ En general un Optimo de Pareto es una asignación on de los recursos r ecursos de una econom´ econom´ıa tal t al que a partir de ella nadie puede mejorar sin que alguien empeore. Hay que notar que este concepto no nos permite decir si una asignaci´ on es mejor que otra en general. Tampoco hay on ninguna noci´ on on de equidad o justicia justicia impl´ impl´ıcita, por p or ejemplo una asignaci´ asignacion oń (ω, 0, . . . , 0) es un un optimo o´ptimo de Pareto, si el consumidor 1 tiene t iene preferencias pr eferencias monótonas. otonas. En la siguiente sección on veremos la respuesta resp uesta a la pregunta inicial de este e ste cap c ap´´ıtulo.

Primer y Segundo Teorema del Bienestar Bajo suposiciones suaves toda asignaci´ on on de equilibrio es un óptimo optimo de Pareto.

Teorema 2.19 (Primer Teorema del Bienestar) Si las preferencias de los consumido´ res son Localmente No Saciadas, todo Asignaci´ on de Equilibrio es un Optimo de Pareto Fuerte Demostraci´ on on 1

2

I

(x , x , . . . , x ) una asignación on de equilibrio con precios de equilibrio p equilibrio p.. Sea  Sea (x una asignación on (y , y , . . . , y ) con u(y ) ≥ u(x ) para todo i y (spg) u(y ) > 1

2

I

i

i

1

u(x1 ). Como x1 es la demanda de 1 a precios p debemos tener que py 1 > px1

Para los dem´ as consumidores si fuera verdad que py i < pxi por la No Saciedad as Local existirá un un z z i tal que pz i < pxi y u( u (z i ) > u(y i ) u( u (xi ) Lo cual contradice el hecho que xi es la demanda de i a precios p. Luego debemos tener que

≥

py i

I I i i i=1 y = i=1 py I i i=1 y = ω, con

 

Sumando tenemos que p que p pω y pω y no podr po dr´´ıamos tener no es factible.



≥ px

20

i

= py 1 + I i=2 py i > px1 + I i=2 pxi = lo cual la asignación on (y1 , y 2 , . . . , y I )





Se puede tener el mismo resultado cambiando la hip´ otesis de No Saciedad Local por la otesis de Convexidad Convexidad Estricta. ´ El Segundo Teorema Teorema del Bienestar nos dice que to do Optimo de Pareto es “algo parecido” a un equilibrio de mercado si se redistribuyen las dotaciones iniciales. Para establecer este resultado resultado usaremos: usaremos:

Definici´ on on 2.20 (Soporte) Una asignaci´ on (x1 , . . . , xI ) factible es soportada por p p = 0 si para todo i = 1, . . . , I si ui (x) u i (xi ) entonces px px i



≥

≥

∈R

L +,

En relaci´ on o n a la definición on de Asignación on de Equilibrio hay que notar primero que no se exige que todos los precios sean positivos, p puede tener algunos precios, pero no todos, nulos. Tambi´ en en vemos que es posible tener x con ui (x) > ui (xi ) y px pxi , es decir no se pide que xi sea optimal. Estas diferencias no son tan inocentes como parecen, a´ un as´ı la un i i diferencia más a s importante es que no se pide que px pω . Es decir que un consumidor puede recibir una canasta cuyo valor a precios p precios p sea sea mayor que el de su dotaci´ on on inicial. Esto indica que de la asignaci´ on de dotaciones iniciales a la asiganción on on soportada por p por p ha ha habido una redistribuci´ redistribuci´ on on de la riqueza. El siguiente resultado nos da una primera relaci´ on precisa entre los dos conceptos: on

≤

≤

Proposici´ on on 2.21 Si las preferencias son localmente no saciadas toda asignaci´ on de equilibrio es soportada por el precio de equilibrio. Demostraci´ on on 1

I

(x , . . . , x ) la asignación on de equilibrio y p el precio de equilibrio. Como  Sea (x las preferencias son LNS, px = pω para todo i = 1, . . . , I . Entonces debemos mostrar solamente que u que u (x) = u (x ) implica implica px ≥ pω . Supongamos que no, que px < pω , por LNS existe x ¯ tal que px¯ < pω y u (x¯) > u (x) = u (x ), lo cual contradice la optimalidad de x de x .  i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

Queda la pregunta de cu´ ando ando una asignación on (x1 , . . . , xI ) soportada por p por p puede puede ser considerada siderada una asignaci´ asignaci´ on de equilibrio. Por el efecto de la redistribuci´ on on de la riqueza sabemos on que esto no es en general posible a partir de las dotaciones iniciales, debemos redistribuirlas. El caso más as sencillo es pensar que las redistribuimos directamente a (x (x1 , . . . , xI ).

Proposici´ on on 2.22 Si las preferencias son continuas y fuertemente mon´ otonas. Para una 1 I L i asignaci´ on (x , . . . , x ) soportada por p R + , p = 0 con px > 0 para todo i = 1, . . . , I se px > pxi cumple que p 0 y para todo i = 1, . . . , I si ui (x) > ui (xi ) entonces px

∈





Demostraci´ on on i

i

i

que u (x¯) > u (x ) entonces entonces p p x ¯ = px = px  Supongamos x¯ tal que u

i

> 0 y tomemos λ tomemos λ x ¯ con co n i i i 0 < λ < 1. Por continuidad, para λ suficientemente cerca de 1: u (λx¯) > u (x ) y p(λx ¯) = λ( p¯ px¯) < px¯ = pxi > 0. Lo cual contradice la suportabilidad de (x1, . . . , xI ) por p. Ahora por la monotonicidad fuerte, para todo  = 1, . . . , L, L, ui (xi + e ) > ui (xi ), luego p(xi + e ) > pxi de donde p > 0.



Podemos ahora formular: 21

Teorema 2.23 (Segundo Teorema del Bienestar) Si las preferencias de todos los consumidores son estrictamente convexas, fuertemente mon´ otonas y continuas, entonces todo ´ Optimo de Pareto Débil es soportado por un vector de precios p RL+.

∈

Demostraci´ on ´ de Pareto Débil. Para cada consumidor i defini Sea (x , x , . . . , x ) un Optimo mos V = {y ∈ R |y  x } y luego el conjunto V = { y − ω|y ∈ V ∀i}. 1

i

2

I

i

L +

i

i

i



I i=1

i

i

i

Como las preferencias son convexas, cada V i es convexo y por lo tanto tambi´ en i los es V . Por la no saciedad local , cada V es no vac´ıo y por lo tanto también los es V . Además V RL+ = , si no fuera as´ı tendr´ıamos una asignación (y 1 , . . . , y I tal que I i=1 y i ω 0, es decir factible con yi i xi para todo i, esto es impo´ sible por ser (x1 , x2 , . . . , xI ) un Optimo de Pareto Débil. Tenemos dos conjuntos L (V y R+ ) convexos, no vac´ıos y disjuntos, luego existe un hiperplano separador para ambos: p RL , p = 0 y r R tal que: y V , py r y y RL+ , py r. Como 0 RL+ tenemos r 0 luego y V , py 0.

−

∩− ∅ − ≤



∈





∈

∀ ∈ ≥ ∀ ∈ − ≤ ∈− ≥ ∀ ∈ ≥ Supongamos ahora para cierto j un x ∈ R tal que x  x . Por la monotonicidad fuerte para cada i tenemos un y tal que y  x . Como las preferencias son estrictamente convexas, para α ∈]0, 1[: αy + (1 − α)x  x para i  = j y para j: αy + (1 − α)x  x L +

i

j

i

i

i

j

i

j

i

i

i

j

j

Luego



(αy i + (1



i= j

y por lo tanto p



i

j

− α)x ) + (αy

(αy i + (1



i= j

haciendo α tender a 0: p

i

+ (1

j

− α)x ) + (αy

− α)x) − ω ∈ V

+ (1

− α)x) − ω ≥ 0

  − ≥  − −  ≥ xi + x

ω



0



i= j

Como (x1 , x2 , . . . , xI ) es factible

p

i= j x



i

= ω

x j + x

x j , reemplazando:

0

Hemos probado es que si x  j x j entonces px px j , resta probar que p R L+. Para esto tomemos el -ésimo vector canónico e RL, por la monotonicidad fuerte para todo i : xi + e i xi luego p(xi + e ) px i , de donde p 0.

≥ ∈ ≥



∈ ≥ 

Para que un o´ptimo de Pareto sea realmente una asignaci´ on de equilibrio con redistribución, la condición clave está dada en la proposici´ on 2.22, la riqueza de cada individuo debe ser positiva. 22

2.5.

N´ ucleo y Econom´ıas Repetidas

Sea una econom´ıa i

i

E = {(ω ,  )|i = 1, . . . I }

en la sección anterior hemos estudiado las asignaciones factibles que no pueden ser mejoradas de manera conjunta para todos los consumidores de una econom´ıa. En esta secci´ on estudiaremos cu´ ales son aquellas asignaciones factibles que no pueden ser mejoradas para ning´ un subconjunto de consumidores. Esta idea tiene estrecha relaci´ on con la teor´ıa de los juegos cooperativos de donde toma prestados los términos de coalici´ on, bloqueo y núcleo.

Definici´ on 2.24 (Coalici´ on) Una coalici´ on es cualquier subconjunto no vac´ıo de I . Abusando de la notaci´ on denotaremos por S tanto a la coalici´ on c´ omo al consumidores en ella. Definici´ on 2.25 (Bloqueo) Una coalici´ on S I bloquea a una asignaci´ on factible (xi )i∈I on (ˆ xi )i∈S RL+×S tal que: RL+×I si existe una asignaci´ 1. Para todo i S : xî

∈

2.

xi i∈S ˆ



≤



i S w

∈



i

xi

∈

⊂

∈

i

Es decir que una coalición bloquea una asignaci´ on para toda la econom´ıa si los miembros de ella pueden repartirse sus dotaciones iniciales (2) de manera que todos los consumidores de la coalici´ on mejoran sus situaci´ on respecto de la asignaci´ on propuesta (1). en otras palabras, en la asignaci´ on propuesta, en términos de valor subjetivo la coalici´ o n aporta m´ a s a la econom´ıa de lo que recibe de ella. Es f´ a cil ver que un óptimo de Pareto es una asignaci´ on que no es bloqueada por la coalición de todos los consumidores. En virtud de estas interpretaciones, una asignaci´ on aceptable ser´ a aquella que no sea bloqueada por ninguna coalici´ on.

Definici´ on 2.26 (N´ ucleo) El n´ ucleo de una econom´ıa ( ) es el conjunto de todas las asignaciones factibles que no son bloqueadas por ninguna coalici´ on.

N E

De la definición es directo que toda asignaci´ on del n´ ucleo debe ser un o´ptimo de Pareto. Por otro lado se puede reformular la demostraci´ on del Primer Teorema del Bienestar y ver que toda asignaci´ on de equilibrio pertenece al n´ ucleo. Los detalles de la demostració n se dejan como ejercicio.

Teorema 2.27 Dada una econom´ıa con preferencias continuas, estrictamente convexas y fuertemente mon´ otonas: ( ) ( ) ( )

E W E ⊂ N E ⊂ P E

W E

Donde ( ) como el conjunto de todas las asignaciones de un Equilibrio Walrasiano y ´ ( ) como el conjunto de todos los Optimos de Pareto Débiles. Como ya se dijo, la primera inclusión del anterior teorema puede ser vista como una extensión del Primer Teorema del Bienestar. Si tomamos ahora el Segundo Teorema del Bienestar, sabemos que bajo ciertas condiciones, todo OPd es un EW luego de redistribuir las dotaciones adecuadamente, por lo tanto tambi´ en pertenece al n´ ucleo luego de la redistribución. En esta l´ınea se tiene en realidad un resultado m´ as fuerte, que puede ser resumido de manera poco precisa en la idea que “si la econom´ıa es grande el n´ ucleo es peque˜ no”. Para formalizar esta ideas usaremos la construcción te´ orica de “econom´ıas replicadas”.

P E

23

i

Definici´ o n 2.28 (N -Réplica) Dada una econom´ıa mos un N -replica a la econom´ıa:

i

E = {(ω ,  )|i = 1, . . . I } considera-

E N = {(ω

ij

, ij ) i = 1, . . . I , j = 1, . . . N

|

} donde cada consumidor con ´ındice ij es idéntico al consumidor de E con ´ındice i. En lo que sigue mostraremos que conforme crece N , el n´ u cleo de la N -réplica se contrae y converge al conjunto de las asignaciones de equilibrio. El primer resultado simplifica el manejo del n´ ucleo de las sucesivas réplicas.

Proposici´ on 2.29 Dada una econom´ıa con preferencias continuas, estrictamente convexas y fuertemente mon´ otonas, en toda asignaci´ on del n´ ucleo de una N -réplica, todos los consumidores del mismo tipo reciben la misma canasta, si (x11 , . . . , x1N , . . . , xin , . . . , xI 1, . . . , xIN ( N ) entonces para todos i, n, m: xin = x im

E

∈

N E

Demostraci´ on

 Consideremos una asignación x en la que al menos un par de consumidores

del mismo tipo no obtienen la misma canasta, probaremos que esta asignación es bloqueada por cierta coalici´ o n y por lo tanto no pertenece al n´ ucleo. Sin perder generalidad podemos especificar los ´ındices los consumidores y suponer una asignaci´ on para la N -réplica tal que x11 = x 12 con i1 el consumidor de tipo i peor tratado entre los de su tipo: xin i xi1 con x1n 1 x11 .



Definimos:



N

1 x ˆ = xin N n=1



i

como las preferencias son estrictamente convexas tenemos que x î i xi1 1 xˆ1 x11



{

(2.1)

}

Consideremos entonces la coalici´ on S = 11, 21, . . . , i1, . . . I 1 y para esta la 1 I asignació n: xˆ = (ˆ x , . . . , ˆ x ). Esta asignaci´ on es S -factible: I

I

N

1 1 xin = N n=1 N

   xî =

i=1

i=1

I

N

1 xin = N n=1

 i=1

I

N

i=1

I

1 ωi = N ωi = N i=1 n=1





Entonces por 2.1, tenemos que la coalici´ on S bloquea x

I

 

ωi

i=1

La proposici´ on anterior nos permite representar al n´ ucleo de cualquier réplica indicando la canasta que reciben los consumidores de acuerdo a su tipo: C N = (x1 , . . . , xI )

{

IL

1

I

1

I

∈ R |(x , . . . , x , . . . , x , . . . , x ) ∈ R

ILN

N (E N )}

pertenece a

Como toda asignaci´ on de equilibrio de una N -réplica está en su n´ ucleo, entonces también cumple la propiedad de que todos los consumidores del mismo tipo reciben la misma canasta. Entonces es directo que toda asignaci´ on de equilibrio de una N -réplica es la correspondiente N -réplica de una asignaci´ on de equilibrio de la econom´ıa original. De esta forma ( ) N representa a ( ) para todo N . Daremos ahora un resultado sencillo pero importante:

W E

W E

24

Teorema 2.30 Dada una econom´ıa con preferencias continuas, estrictamente convexas y fuertemente mon´ otonas, para todo N = 1, 2, . . . :

E

W (E ) ⊂ C ⊂ C N +1

N

Demostraci´ on

 La inclusión W (E ) ⊂ C

⊂

⊂

directa. Para ver que C N +1 C N basta notar que toda coalici´ on que se forme en un N -réplica se puede formar en una N + 1réplica, as´ı que si una asignación no es bloqueada en la N + 1-réplica no puede ser bloqueada la N -réplica. N +1 es



Una lectura de este resultado es que conforme vamos replicando la econom´ıa el n´ ucleo se contrae, mientras las asignaciones de equilibrio permanecen las mismas. Veremos a continuaci´ on que en el l´ımite el n´ ucleo coincide con las asignaciones de equilibrio.

E

Teorema 2.31 Dada una econom´ıa con preferencias continuas, estrictamente convexas y fuertemente mon´ otonas, para todo N = 1, 2, . . . :

W (E ) =

∞



C N

N =1

Demostraci´ on

 La inclusión W (E ) ⊂ ∞ C se infiere del teorema anterior. Para W (E ) ⊃ ∞ C , probaremos que si x ∈ C para todo N entonces x ∈ W (E ). Empecemos definiendo los conjuntos U = {y ∈ R |y  x } V = U − ω Como las preferencias son fuertemente mon´ otonas si y > x , y ∈ U y por la tanto y − ω ∈ V , en particular ambos conjuntos son no vac´ıos. También son convexos por la convexidad de las preferencias. Tomemos ahora el conjunto ∪ V , cómo





N

N =1

N

N =1

N

i i

L + i

i

i

i

i

i

i

i

I i=1

no podemos asegurar su convexidad consideremos su c´ apsula convexa:

   I

V =

I

i i

αv v

i=1

Si 0 V entonces tendr´ıamos v i

∈

i

i

i

∈ V , α ≥ 0,

∈ V

i

y αi

αi v i = 0

i=1

Tomando v i = y i

−ω

i

con yi

i

∈ U

tenemos que:

I



I i i

αy =

i=1

 i=1

25

αi = 1

i=1

≥ 0 tales que:

I



  

αi ω i

I i=1

αi = 1 y

i

Como algunos αi pueden ser nulos (pero no todos!) tomemos el conjunto S = i αi > 0 y reescribimos αi y i = αi ω i

{|

}





∈

∈

i S

i S

A partir de este conjunto S contruiremos una coalici´ on que en cierta réplica bloquea a x. Tomemos la N -réplica y para cada tipo i S de consumidor tomemos ni agentes, donde ni es el menor entero mayor o igual a N αi :

∈

Nαi operando obtenemos:

ni

i

i

≤ n ≤ N α + 1 i

− 1 ≤ Nα ≤ 1 n n i

i

cuando N tiende a infinito tambi´ en lo hace ni , por lo tanto: Nαi =1 N →+∞ ni l´ım

Luego como yi i xi y las preferencias son continuas, para N suficientemente i grande: Nα y i i xi Para dicho N tomamos la coalición formada por ni agentes ni i de tipo i S y le asignamos a cada uno la canasta Nα y i preferida a xi . Esta i n asignación es factible para la coalición:

 

∈

 ∈

i S

Nα ni i n

i

yi =



N αi y i = N

∈



αi yi = N

∈

i S



αi ω i =

∈

i S



Nαi ωi

∈

i S

i S

≤



ni ω i

∈

i S

Esto es imposible por que la asignación x está en el n´ ucleo de toda N -réplica, luego no puede ser cierto que 0 V .

∈

Como V es convexo y 0 / V por el Teorema de Separaci´ on, existe p RL , p = 0 tal que p v p 0 = 0 para todo v V . Como en V podemos tener vectores con cualquiera de sus componentes arbitrariamente grande se concluye que p R L+. Ahora, para todo i si y i xi entonces y ωi V i V y p y p ω i . Para terminar la demostraci´ on necesitamos mostrar que p 0, p xi = p ωi y que y i xi p y > p ω i .

∈

· ≥ ·

∈

∈



 ⇒ ·

− ∈

⊂ 

·



· ≥ · · ·

∈

Por la monotonicidad de las preferencias, para todo i: xi + ( ,  , . . . , ) i xi con  > 0, luego p (xi + ( ,  , . . . , )) p ω i si hacemos  0 tendremos que i i p x p ω , sumando sobre i:

· ≥ ·

·

≥ ·

I

→

I

 · ≥ ·   · ≤ · p xi

p ω i

i=1

i=1

por otro lado x es una asignación factible, luego por p RL+ :

∈



I

I i=1

I

p x

i

p ω i

i=1

i=1

26

xi

≤



I i=1

ω i , multiplicando

Luego



I i=1 p

·x

i

I i=1 p



=

·ω

i

por lo que para cada i p xi = p ω i

· · Consideremos ahora y  x con p · y = p · ω . Por monotonicidad y  = 0 y por continuidad de las preferencias, para 0 < δ < 1: δy  x , luego p · δy ≥ p · ω . i

i

i

i

i

i

Luego tenemos:

δ ( p y) < p y = p ωi

·

·

· ≤ p · δy = δ ( p · y)

contradicci´ on que prueba que i

i

i

 x ⇒ p · y > p · ω Finalmente tomemos x + e  x , luego p · (x + e ) > p · ω y

i



i

i

i



i

= p xi , de donde

·

p > 0

 2.6.

Ejercicios

1. Sea el consumidor 1 con preferencias representadas por U 1 (x1 , x2 ) = x 1 x2 y con dotación inicial ω 1 = (2, 6). El consumidor 2 tiene U 2 (x1 , x2 ) = m´ın x1 , x2

{ } y dotación inicial ω = (4, 1). Considerando p ∈ R : 2 ++

2

on (correspondencia) de demanda de cada consumidor. a ) Encuentra la funci´

b ) Encuentra la funci´ on (correspondencia) de exceso de demanda de la econom´ıa (Z ( p1, p2)). c ) Verifique si Z cumple las cinco propiedades usuales de una FED d ) ¿Existe equilibrio en esta econom´ıa?. ´ de Pareto?. e ) ¿Cuáles son los Optimos 2. Sea el consumidor 1 con preferencias representadas por U 1 (x1 , x2 ) = (x2 + 1)ex

1

y con dotación inicial ω 1 = (2, 1). El consumidor 2 tiene U 2 (x1 , x2 ) = x 1 x2 2 y dotación inicial ω2 = (2, 3). Considerando p R ++ :

∈

27

a ) Encuentra la funci´ on (correspondencia) de demanda de cada consumidor. on (correspondencia) de exceso de demanda de la econom´ıa b ) Encuentra la funci´ (Z ( p1, p2)).

c ) Verifique si Z cumple las cinco propiedades usuales de una FED d ) ¿Existe equilibrio en esta econom´ıa? ¿Cuál es? ´ de Pareto? e ) ¿Cuáles son los Optimos 3. Sea el consumidor 1 con preferencias dadas de la siguiente manera: (x1 , x2 )

 (x , x ) ⇐⇒ 1

2

(x1 o (x1

2

< (x1

− 3)

2

2

= (x1

− 3)

2

− 3) − 3)

y x2 > x2

y con dotación inicial ω 1 = (2, 6). El consumidor 2 tiene U 2 (x1 , x2 ) = x 1 x2 , ω 2 = (4, 0). Considerando p R 2++:

∈

on (correspondencia) de demanda de cada consumidor. a ) Encuentra la funci´

b ) Encuentra la funci´ on (correspondencia) de exceso de demanda de la econom´ıa (Z ( p1, p2)). c ) ¿Es Z homogénea de grado cero?, es continua?, se cumple pZ ( p) = 0? d ) ¿Qué pasa con Z ( pn ) cuando p n tiende a (0, 1)?. e ) ¿Existe equilibrio en esta econom´ıa?. ´ ales son los Optimos de Pareto?. f ) ¿Cu´ Responde a todas las preguntas anteriores, ahora considerando que las dotaciones iniciales son: ω1 = (0, 4) y ω 2 = (6, 2). 4. Sea una econom´ıa de dos bienes y dos consumidores. El consumidor A con preferencias representadas por U A (x, y) = (x 6)2 (y 4)2

− − − −

con dotaci´ on inicial ω A = (5, 2). El consumidor B tiene U B (x, y) =

2

−(x − 5) − (y − 5)

2

y dotación inicial ωB = (3, 4). ´ on ((0, 0); (8, 6)) un Optimo de Pareto?, ¿Fuerte?, ¿Débil? a ) ¿Es la asignaci´

b ) Encuentra la demanda de cada consumidor. c ) Encuentra el exceso de demanda de la econom´ıa (Z ( px , py )). d ) ¿Existe equilibrio en esta econom´ıa? ¿Cuál es? e ) Verifica si Z cumple las 5 propiedades de la FEDA usadas para la demostraci´ on de la existencia de equilibrio. 28

f ) Si alguna propiedad no se cumple, busque una explicaci´ on. 5. Dados a, b

∈ R \ {0} y ω ∈ R L

L ++ ,

estudie si la funció n Υ : RL++

−→ R

Υ( p) =

L

definida por

· − p·ba · p · ω

p a b p ω

puede ser una funci´ on exceso de demanda de acuerdo a las propiedades. 6. Si la siguiente función Z ( p1 , p2 ) =



ap2 dp1 + ep2 gp 1 p1 + l + , + bp1 + cp2 fpi hp1 + kp 2 mp2



es el exceso de demanda de una econom´ıa de intercambio puro.

a ) Para cada una de las posible propiedades de las preferencias de los consumidores de esta econom´ıa: Continuidad, Convexidad, convexidad estricta, monotonicidad, monotonicidad fuerte y no saciedad local: ¿Qué restricciones sobre los par´ ametros a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n imponen? b ) Suponiendo que dichas preferencias son continuas, estrictamente convexas y fuertemente mon´ otonas, encuentra los precios de equilibrio de esta econom´ıa. 7. Sea el consumidor 1 con preferencias representadas por U 1 (x1 , x2 ) = x 1 x2 y con dotación inicial ω 1 = (2, 6). El consumidor 2 tiene

{ } y dotación inicial ω = (4, 1). Considerando p ∈ R : U 2 (x1 , x2 ) = m´ın x1 , x2 2 ++

2

on (correspondencia) de demanda de cada consumidor. a ) Encuentra la funci´ on (correspondencia) de exceso de demanda de la econom´ıa b ) Encuentra la funci´ (Z ( p1, p2)).

c ) Verifique si Z cumple las cinco propiedades usuales de una FED d ) ¿Existe equilibrio en esta econom´ıa?. 8. Sea el consumidor 1 con preferencias representadas por U 1 (x1 , x2 ) = (x2 + 1)ex

1

y con dotación inicial ω 1 = (2, 1). El consumidor 2 tiene U 2 (x1 , x2 ) = x 1 x2 2 y dotación inicial ω2 = (2, 3). Considerando p R ++ :

∈

on (correspondencia) de demanda de cada consumidor. a ) Encuentra la funci´ 29

b ) Encuentra la funci´ on (correspondencia) de exceso de demanda de la econom´ıa (Z ( p1, p2)). c ) Verifique si Z cumple las cinco propiedades usuales de una FED d ) ¿Existe equilibrio en esta econom´ıa? ¿Cuál es? 9. Sea el consumidor 1 con preferencias dadas de la siguiente manera: (x1 , x2 )

 (x , x ) ⇐⇒ 1

2

(x1 o (x1

2

< (x1

− 3)

2

2

= (x1

− 3)

2

− 3) − 3)

y x2 > x2

y con dotación inicial ω 1 = (2, 6). El consumidor 2 tiene U 2 (x1 , x2 ) = x 1 x2 , ω 2 = (4, 0). Considerando p R 2++:

∈

a ) Encuentra la funci´ on (correspondencia) de demanda de cada consumidor. on (correspondencia) de exceso de demanda de la econom´ıa b ) Encuentra la funci´ (Z ( p1, p2)).

c ) ¿Es Z homogénea de grado cero?, es continua?, se cumple pZ ( p) = 0? d ) ¿Qué pasa con Z ( pn ) cuando p n tiende a (0, 1)?. e ) ¿Existe equilibrio en esta econom´ıa?. Responde a todas las preguntas anteriores, ahora considerando que las dotaciones iniciales son: ω1 = (0, 4) y ω 2 = (6, 2). 10. Sea Z ( p1 , p2 ) = (B p p , A p p ) (A, B). Muestra que Z cumple las cinco propiedades demostradas para las funciones exceso de demanda. Encuentra la forma que toma la correspondencia f ( p) de la demostración de existencia de equilibrio. 2

1

1

2

−

11. Considera una econom´ıa de intercambio puro 2x2 con los siguientes consumidores: u1 (x, y) = 2x + y y w = (2, 3). u2 (x, y) = xy 3 y w = (1, 2).

a ) Encuentra la demanda de cada consumidor. b ) Encuentra el equilibrio Walrasiano. c ) Determina el conjunto de los o´ptimos de Pareto d ) Dibuja la ca ja de Edgeworth, ubica los óptimos de Pareto, la curva de contrato y el equilibrio Walrasiano 12. Dibuja la Caja de Edgeworth con U 1 (x1 , x2 ) = x1 + x 2 , ω1 = (1, 2), U 2 (x1 , x2 ) = m´ın x1 , x2 , ω2 = (3, 4), identificando el equilibrio, el conjunto de Optimos de Pareto y la curva de contrato.

{

}

13. Considera una econom´ıa de intercambio puro de dos consumidores: 30

Consumidor A: U A (xA1 , xA2 ) = x A1 xA2 Consumidor B: U B (xB1 , xB2) = x B1 xB2

− √ x − √ x

B1 ,

ωA = (1, 0).

B2 , ω B

= (0, 1).

Encuentra el equilibrio Walrasiano (los consumidores son precios-tomantes y solo eligen su consumo) y verifica si es un óptimo de Pareto. ¿Puedes explicar qué sucede? 14. Considera una econom´ıa de intercambio puro 2x2 con los siguientes consumidores: u1 (x, y) = 2x + y y w = (2, 3). u2 (x, y) = xy 3 y w = (1, 2).

a ) Encuentra la demanda de cada consumidor. b ) Encuentra el equilibrio Walrasiano. c ) Dibuja la caja de Edgeworth y ubica el equilibrio Walrasiano. 15. Encuentra los precios de equilibrio para la economia de intercambio puro de L bienes α L formada por N consumidores. El consumidor i tiene funcion utilidad U i (x) = j=1 x j ij L con j=1 αij = 1 y dotacion inicial wi . Puedes probar primero con L = 3, N = 4.





16. Considere una econom´ıa de intercambio puro de dos bienes y dos consumidores (a, b > 0): Consumidor 1: u1 (x1 , y1) = (x1 )a y1 con dotaci´ on inicial ω1 = (1, 0). Consumidor 2: u2 (x2 , y2) = x 2(y2 )b con dotaci´ on inicial ω2 = (0, 1). Encuentre los precios(asuma p1 = 1) y la asignación de equilibrio. 17. Considera una econom´ıa de intercambio puro de dos consumidores: Consumidor A: U A (xA1 , xA2 ) = x A1 xA2 Consumidor B: U B (xB1 , xB2) = x B1 xB2

− √ x − √ x

B1 ,

ωA = (1, 0).

B2 , ω B

= (0, 1).

Encuentra el equilibrio Walrasiano (los consumidores son precios-tomantes y solo eligen su consumo). 18. ¿En cuál parte de la demostración de la existencia de equilibro se usa la propiedad:

∃s > 0 tal que ∀ = 1, . . . , L , ∀ p ∈ R

L ++

: Z  ( p) >

−s

19. Considere una econom´ıa de intercambio puro de dos bienes y dos consumidores (a, b > 0): Consumidor 1: u1 (x1 , y1) = (x1 )a y1 con dotaci´ on inicial ω1 = (1, 0). Consumidor 2: u2 (x2 , y2) = x 2(y2 )b con dotaci´ on inicial ω2 = (0, 1). Encuentre los precios(asuma p1 = 1) y la asignación de equilibrio.

31

Figura 2.1: Caja de Edgeworth para la Pregunta 20 20. La caja de Edgeworth de la Figura 2.1 muestra las preferencias de dos consumidores: Los consumidores tienen unas preferencias por regiones:

∼ 42  31 ∼ 32 ∼ 33  22 ∼ 23 ∼ 24  14 ∼ 13 B 14 ∼ 24  13 ∼ 23 ∼ 33  22 ∼ 32 ∼ 42  31 ∼ 41 A 41

a ) Encuentra los o´ptimos de Pareto. an en la regió n 23, cual es el n´ ucleo? b ) Si las dotaciones iniciales est´ o n: u ¨ na asignaci´ o n es un o´ptimo débil de Pareto si c ) Considera la siguiente definici´ no existe otra asignaci´ on preferida por todos los agentes”. 1) Formaliza la definici´ on. 2) ¿Cuales son los óptimos débiles de Pareto de este ejercicio? 3) ¿Cual es la relación entre las dos definiciones de optimalidad Paretiana? ¿Cuando las dos definiciones son equivalentes? 21. (Tomado de [6]) Supongamos una econom´ıa de intercambio puro donde todos los consumidores tienen las mismas preferencias. ¿Cu´ ales son los requisitos m´ınimos sobre estas preferencias para que la asignaci´ on donde todos reciben la misma canasta sea un ´ Optimo de Pareto? 22. (Tomado de [5]) Suponga una econom´ıa de intercambio puro con 2 bienes y 2 consumidores idénticos, es decir con la misma dotaci´ on inicial y las mismas preferencias (racionales, continuas, fuertemente mon´ otonas y estrictamente convexas). Dibuje la ca´ ja de Edgeworth, estudie los Optimos de Pareto, el n´ ucleo y el Equilibrio Walrasiano.

32

23. Dibuja la Caja de Edgeworth con U 1 (x1 , x2 ) = x1 + x 2 , ω1 = (1, 2), U 2 (x1 , x2 ) = m´ın x1 , x2 , ω2 = (3, 4), identificando el equilibrio, el conjunto de Optimos de Pareto y la curva de contrato.

{

}

E

24. Sea una econom´ıa de intercambio con L bienes y N consumidores (i , ωi ) con preferencias estrictamente convexas. En esta econom´ıa la asignaci´ on factible (x1 , . . . , xN ) es un o´ptimo de Pareto. Si consideramos ahora la econom´ıa 2 de L bienes y 2N consumidores donde, para i = 1, . . . , N , el consumidor i y el consumidor i + N son idénticos al consumidor i de , pruebe que la asignaci´ on (x1 , . . . , xN , x1 , . . . , xN ) es un o´ptimo de 2 Pareto de . ¿Se puede relajar la suposición sobre las convexidad de las preferencias?

E

E

E

25. (Tomado de [5])Supongamos una econom´ıa de intercambio puro donde todos los consumidores tienen las mismas preferencias. ¿Cu´ ales son los requisitos m´ınimos sobre estas preferencias para que la asignaci´ on donde todos reciben la misma canasta sea un ´ Optimo de Pareto? 26. (Tomado de [1])Sea una econom´ıa de intercambio puro con dos consumidores, i = 1, 2, con preferencias representadas por utilidades U i : RL+ R continuas, fuertemente monótonas y estrictamente convexas. y dotaciones iniciales ωi RL++ . Muestre que ´ una asignaci´ on (x1 , x2 ) RL+ RL+ es un Optimo de Pareto Fuerte si y solo si existen αi 0 con α1 + α2 = 1 tal que (x1 , x2 ) es solución de:

→

≥

∈

×

máx s.a.

∈

α1 u1 (x1 ) + α2 u2 (x2 ) x1 + x2 ω 2 + ω2 x1 0 x2 0

≥ ≥

≤

27. Sea una econom´ıa de dos bienes y dos consumidores. El consumidor 1 con preferencias representadas por U 1(x1 , x2 ) = 2x1 + x2 y dotación inicial ω1 = (3, 5). El consumidor 2 tiene U 2 (x1 , x2 ) = x 31 x62 y dotación inicial ω2 = (6, 4).

a ) Dibuje la caja de Edgeworth identificando las dotaciones iniciales, los o´ptimos de Pareto y el n´ ucleo de la econom´ıa. o n del n´ ucleo preferida por el consumidor 1 y muestre que no b ) Tome la asignaci´ está en el n´ ucleo de la 2-réplica (revise la demostraci´ on sobre la convergencia del núcleo). 28. (Tomado de [1]) Dada una econom´ıa de intercambio puro, decimos que una asignaci´ on factible (x1 , . . . , xI ) es una asignación de:

QuasiEquilibrio con Redistribuci´ on si existe p que: 33

∈ R

L +

y (W 1 , . . . , , W I )

∈ R

I +

tal

a )

I i=1

 

W i = p ω ¯

b ) Para cada i, si x c )

d )

I i=1

xi entonces pxi

i

≥ W

xi = ω ¯ y es una asignación de: Equilibrio con Redistribuci´ on si existe p que: I i=1

 

I i=1

∈ R

L ++

y (W 1 , . . . , , W I )

∈ R

I +

tal

W i = p ω ¯

e ) Para cada i, si x f )

i



i



xi entonces pxi > W i

xi = ω ¯ Pruebe que si (x1 , . . . , xI ) es un QER con W i > 0 para todo i, entonces es un ER.

34

Cap´ıtulo 3 Empresas Las empresas son agentes econ´ omicos con la capacidad de transformar canastas de bienes. Tendremos J N empresas, cada una identificada por un indice j = 1, . . . , J . Cada empresa j está definida por sus posibilidades de transformaci´ on de canastas, lo que llamaremos tecnolog´ıa. El objetivo de cada empresa ser´ a maximixar su beneficio bajo las restricciones dadas por su tecnolog´ıa. El resultado de esta maximizaci´ on ser´ a su función oferta y su función beneficio. Al ser nuestro modelo una econom´ıa totalmente cerrada el beneficio es repartido entre los consumidores de acuerdo a la participaci´ on de cada uno de ellos en cada empresa.

∈

3.1.

Tecnolog´ıas

De manera formal cada empresa j tendr´ a una tecnolog´ıa definida por un conjunto Y j RL . A cada elemento y Y j se le llama plan de producción factible, y tiene la siguiente interpretaci´ on:

⊂

∈

Si y < 0 el bien  es usado como insumo en la cantidad y =

| | −y . 

Si y > 0 el bien  es producido en la cantidad y = y .

| |

Si y = 0 el bien  no forma parte del plan de producci´ on. De esta forma, el plan de producci´ on y representa la transformaci´ o n de la canasta m´ın y, 0 en la canasta m´ ax y, 0 . En lo que sigue asumiremos siempre que toda tecnolog´ıa es un conjunto no vac´ıo y cerrado. Otras propiedades que podemos pedir a una tecnolog´ıa son las siguientes:

−

{ }

{ }

Definici´ on 3.1 (Posibilidades) Una tecnolog´ıa Y

⊂R

L

presenta:

∈

1. Posibilidad de Inactividad , si 0 Y 2. Posibilidad de Libre Deshecho, si y Y y y 

∈

≤ y implica y ∈ Y .

∈

≥ 0 implica y = 0. 4. Acotada Superiormente, si existe K ∈ R tal que todo y ∈ Y cumple y ≤ K para 3. No Gratuidad , si y Y con y



todo  = 1, 2, . . . , L.

35

La posibilidad de inactividad indica que la empresa siempre puede dejar de operar sin incurrir en costos. Libre deshecho implica que la empresa siempre puede usar m´ as insumos de los necesarios y/o ofrecer al mercado menos de lo f´ısicamente producido. La no gratuidad nos dice que no es posible producir alg´ un producto sin usar ning´ un insumo. La acotaci´ on superior limita la cantidad máxima que se puede obtener de todo producto. Hay varias propiedades relacionadas con la “forma”de Y , nosotros necesitamos:

Definici´ on 3.2 (Convexidad) Una tecnolog´ıa Y RL se dice convexa cuando Y como subconjunto de RL es convexo. La tecnolog´ıa ser´ a estrictamente convexa si Y es estrictamente convexo, es decir que cumple:

⊂

◦    ∀y, y ∈ Y, y = y , ∀α ∈]0, 1[: αy + (1 − α)y ∈ Y

3.2.

Oferta y Beneficio



Dados los precios p 0 el beneficio para la empresa de realizar el plan de producci´ on y es simplemente py. Este beneficio podemos expresarlo como

{ } { } { } − p(− m´ın{y, 0}) = I − C = p máx{y, 0} es el ingreso por la venta de los productos y C = p(− m´ın{y, 0}) es

py = p máx y, 0 + p m´ın y, 0 = p máx y, 0

y

y

donde I y y el costo total de los insumos usados. El objetivo de cada empresa ser´ a maximizar su beneficio bajo las restricciones dadas por su tecnolog´ıa: Max py s.a. y Y

(3.1)

∈

Este problema no necesariamente tiene soluci´ on:

Teorema 3.3 Dada una tecnolog´ıa Y no vac´ıa, cerrada y acotada superiormente, entonces p RL++ existe yˆ Y tal que y Y : pˆ y py .

∀ ∈

∈

∀ ∈

≥

Demostraci´ on

 Como Y es no vac´ıa tomemos y¯ ∈ Y y definamos: Y = {y ∈ Y | py ≥ p y¯} p

Es obvio que Y p es no vac´ıo y que si existe el plan de producci´ on yˆ buscado, este debe estar en Y p y maximizar también el producto py. Como el producto interno es una aplicaci´ on continua, si Y p es compacto la existencia de y estar´ ˆ a asegurada. L Como Y p = Y y R py p¯ y , es la intersección de dos cerrados, entonces es cerrado. Probemos ahora que tambi´ en es acotado.

{ ∈

| ≥ }

Para cada  = 1, 2, . . . , L definimos: k =

p¯ y

− K



p

36

i= pi



y K = m´ın k =1,...,L

Si tenemos y

∈ Y tal que para cierto : y

py = p  y +



pi yi < p K + K



< K entonces:



−

− ≤ py¯

pi = p  K + ( p¯ y p k ) = p y¯ + p (K k )



i=

∈



i=

es decir y / Y p . En resumen si y

∈ Y entonces para todo : K ≤ y ≤ K p



 El teorema anterior nos asegura la buena definici´ on de la función: π( p) = Max py s.a. y Y

∈

y de la correspondencia:

{ ∈ Y | py = π( p)}

y( p) = y

ambas con dominio en RL++ . La función π( p) es la función beneficio (m´ aximo) de la empresa y la correspondencia y( p) es la oferta de la empresa. Hay que notar que los elementos de y( p) tienen entradas positivas y negativas. Las positivas son efectivamente las cantidades, de los bienes correspondientes, ofrecidas en el mercado por la empresa. Las entradas negativas son a su vez las cantidades, de los bienes correspondientes, demandadas en el mercado por la empresa. En el cap´ıtulo siguiente, donde vemos econom´ıas con producci´ on, el beneficio y la oferta formaran parte de la determinaci´ on del equilibrio. Estableceremos aqu´ı sus propiedades.

Teorema 3.4 Dada una tecnolog´ıa Y no vac´ıa, cerrada y acotada superiormente, el beneficio y la oferta correspondientes cumplen: 1. π( p) es homogénea de grado 1 y convexa 2. y( p) es homogénea de grado 0. 3. Si Y es convexa, y( p) es de imagen convexa. Si Y es estrictamente convexa, y( p) es de imagen unitaria. 4. y(RL++ ) es acotado superiormente. Demostraci´ on

 37

1. Para ver la homogeneidad, tomemos α > 0: π(αp) = M axy∈Y (αp)y = M axy∈Y α( py) = α (Maxy∈Y py) = απ( p) Por su parte la convexidad se establece de la siguiente manera, con α y p, p RL++:

∈

∈ [0, 1]

− α) p) = M ax ∈ (αp + (1 − α) p)y = M ax ∈ αpy + (1 − α) py ≤ M ax ∈ αpy + M ax ∈ (1 − α) py = αMax ∈ py + (1 − α)Max ∈ py = απ( p) + (1 − α)π( p ) 2. y(αp) = {y ∈ Y |(αp)y = π(αp)} = {y ∈ Y |α( py) = απ( p)} = {y ∈ Y | py = π( p)} = y( p) 3. Sea Y es convexa, tomemos α ∈ [0, 1] y y, y  ∈ y( p), es decir py = py  = π( p), π(αp + (1

y Y

y Y

y Y

y Y

y Y

y Y

de donde:

− α)y) = α( py) + (1 − α)( py) = απ( p) + (1 − α)π( p) = π( p) con lo cual αy + (1 − α)y ∈ y( p). Ahora sea Y es estrictamente convexa, supongamos y, y ∈ y( p) con y  = y  y tomamos α ∈ ]0, 1[. Entonces αy + ◦ (1 − α)y  ∈ Y y para  > 0 suficientemente peque˜ no αy + (1 − α)y + p ∈ Y con p(αy + (1 − α)y + p) = π( p) + || p|| > π( p) p(αy + (1

2

lo cual es una contradicci´ on ya que π( p) es el beneficio m´ aximo en Y . 4. y(RL++ )

⊂ Y que es acotado superiormente.

 Teorema 3.5 Dada una tecnolog´ıa Y no vac´ıa, cerrada, acotada superiormente y estrictamente convexa la funci´ on de oferta y( p) es continua. Demostraci´ on

 Tomemos una secuencia de precios p mostrar que y( p ) → y( p).

n

n

en RL++ que tienden a p

∈R

L ++ ,

debemos

Primero mostraremos que la secuencia y( pn ) es acotada, por la parte 4 del Teorema anterior tenemos una cota superior. Para la cota inferior, solo tenemos que preocuparnos de los términos y ( pn ) < 0. Notemos primero que como pn es convergente a p RL++ entonces existen r > 0 y s > 0 tal que  = 1, . . . , L y n = 1, 2, 3, . . . : r < pn < s. Fijemos ahora y¯ Y y definimos:

∀

∈

M :=

∀

∈

  ≤  s¯ y +

y¯ <0

r¯ y

y¯ >0



pn ¯ y + pn ¯ y = p n y¯ y¯ <0 y¯ >0

n

n

≤ p y( p )

Ahora si y ( pn) < 0: ry ( pn)

n  

n

≥ p y ( p ) ≥



pn y ( pn )

y ( pn )<0

38

≥ M −



pny ( pn)

y ( pn )>0

≥ M −



sy ( pn )

y ( pn )>0

≥ M −



≥ − LsK

sK M

y ( pn )>0

Con lo que hemos obtenido la cota inferior: y ( pn )

≥ M −rLsK

Supongamos ahora que y( pn )  y( p) , esto es que existe δ > 0 y una subsecuencia y( pnk ) tal que y( pnk ) y( p) > δ . Como subsecuencia de y( pn ), y( pnk ) también esa acotada y por lo tanto posee una subsecuencia convergente: y( pnkm ) yˆ que nkm nkm cumple yˆ y( p) > δ Ahora para todo y Y tenemos que: p y( p ) p nkm y, tomando l´ımites, como el producto interno es continuo: p yˆ py para todo y Y , es decir yˆ = y( p) lo cual contradice yˆ y( p) > δ .

||

|| −

3.3.

−

||

||

∈ || − ||



→ ≥

≥

∈

Ejercicios

1. (Tomado de [5]) Sea

{

| ≤ f (x , x , . . . , x − ) ∧ x ≥ 0 i = 1, . . . , L − 1}

Y = (x1 , x2 , . . . , xL−1 , y) y

1

2

L 1

i

Es verdad que Y es convexa si y solo si f es convexa?. 2. (Tomado de [5]) Muestre que si Y es cerrado, convexo y cumple con es de libre desecho (Y RL+ Y ).

− ⊂

−R ⊂ Y entonces L +

3. De un ejemplo de una tecnologia Y que sea aditiva pero no convexa. 4. Dibuja una tecnolog´ıa en R2 que sea irreversible y otra que no lo sea. 5. (Tomado de [5] Sea f la función de producci´ on asociada a una tecnolog´ıa Y con un solo producto(Y = (x1 , x2 , . . . , xL−1 , y) y f (x1 , x2 , . . . , xL−1 )xi 0 ). Muestre que Y tiene retornos a escala constantes si y solo si f es homogénea de grado uno.

{

| ≤

≥ }

{ −

| ≥

≤

}

6. (Tomado de [4]) Sea una empresa con la tecnolog´ıa Y = ( x, z ) x 0 , z f (x) . Demuestra que si Y es de libre disponibilidad (libre desecho, eliminación gratuita) entonces f es no decreciente. 7. Un plan de producción y Y es eficiente si y  Y tal que y y, y = y. Muestre que si y Y maximiza el beneficio para unos precios p 0 entonces es eficiente.

∈

∈

∈



≥



8. (Tomado de [6]) Pruebe que si la tecnolog´ıa Y es de retornos a escala no decrecientes entonces p T se tiene que π( p) 0. Si además 0 Y entonces π( p) = 0.

∀ ∈

≤

∈

9. (Tomado de [5] Para la tecnolog´ıa de la Figura 3.1 :

a ) ¿Qué tipo de retornos exhibe esta tecnolog´ıa? b ) Encuentra el conjunto T de precios para los que el problema de la empresa tiene solución. 39

Figura 3.1: Tecnologia de la Pregunta 9

c ) Encuentra la funcion/correspondencia de oferta de esta empresa. d ) ¿Cómo son sus beneficios? 10. Un plan de producci´ on y Y es eficiente si y  Y tal que y y, y = y. Muestre que si y Y maximiza el beneficio para unos precios p 0 entonces es eficiente.

∈

∈

∈

40



≥



Cap´ıtulo 4 Equilibrio Walrasiano para Econom´ıas con Producci´ on A la econom´ıa definida en el Cap´ıtulo 2, de L bienes e I consumidores, le le adicionaremos J empresas. Cada empresa j = 1, . . . , J está definida por su tecnolog´ıa Y j . Cada consumidor i está definido por su dotaci´ on inicial ωi , su preferencia i y por sus participaciones θi = (θi1 , θ i2 , . . . , θ iJ ) con 0 θij 1 en los beneficios de cada empresa. Estas participaciones deben cumplir I i=1 θij = 1, de manera que nuestra econom´ıa es totalmente cerrada. Entonces una Econom´ıa con Producción es la colecci´ on:



≤

≤

i

i

j ij i=1,...,I , (Y ) j=1,...,J , (θ ) i=1,...,I

E = {(ω ,  )

j =1,...,J

}

J Asumiremos ahora que para ω = I i=1 ω i y Y = j=1 Y j existe y  Y tal que ω + y 0 es decir que en el agregado para la econom´ıa en su conjunto, es posible disponer de cantidades positivas de todos los bienes considerados. De la misma manera que en una econom´ıa de intercambio puro, definiremos una funci´ on exceso de demanda agregada y el cero de esta funci´ on ser´ a el equilibrio. En esa dirección estudiaremos primero las componentes del exceso de demanda agregada.



4.1.



∈



Oferta y Demanda

En una econom´ıa su problema:

i

i

E = {(ω ,  )

j ij i=1,...,I , (Y ) j=1,...,J , (θ ) i=1,...,I

j =1,...,J

}, cada empresa j al resolver

M ax py s.a. y Y j

∈

genera una oferta y j ( p) y unos beneficios π j ( p) = py j ( p). A su vez cada consumidor i resuelve el problema: M ax s.a. px

≤

ui (x) J pω i + j=1 θij py j ( p) x 0

 ≥

41

(4.1)

donde las posibilidades de consumo de cada agente toman en cuenta su dotaci´ on inicial de 1 bienes y su participación en las empresas Cada consumidor genera una demanda x i ( p) y el exceso de demanda de toda la econom´ıa esta definido como: I

J



Z ( p) =

i

x ( p)

i=1

 −

I j

y ( p)

j=1

 −

ωi

i=1

y, al igual que antes, el equilibrio será el vector de precios p ∗ RL++ tal que Z ( p∗ ) = 0. Para demostrar la existencia de equilibrio, probaremos que Z cumple las mismas propiedades del teorema 2.1. Para establecer estas propiedades, usaremos las propiedades de las ofertas y j ( p) probadas en el cap´ıtulo anterior. Para las demandas xi ( p) necesitamos probar en este nuevo contexto sus propiedades. Empezamos con los resultados:

∈

Lema 4.1 Si las tecnolog´ıas Y j son no vac´ıas, cerradas, acotadas superiormente y estrictamente convexas, la funci´ on “riqueza”: J i

i

W ( p) = pω +



θij py j ( p)

j=1

es continua y homogénea de grado 1. Demostraci´ on j

 Directo a partir de la continuidad de cada y ( p) y del producto interno y la homegeniedad de grado 0 de cada y ( p).  j

Proposici´ on 4.2 Si las tecnolog´ıas Y j son cerradas, acotadas superiormente, estrictamente convexas y con 0 Y j . Para todo p RL++ , el conjunto presupuestario:

∈

∈

B i ( p) = x

L +

i

{ ∈ R | px ≤ W ( p)}

es no vac´ıo, convexo, compacto y para todo α > 0 : B i (αp) = B i ( p). Demostraci´ on j

j

i

i

 Como 0 ∈ Y entonces py ( p) ≥ p0 = 0 y W ( p) ≥ pω ≥ 0, por lo tanto 0 ∈ B ( p). Que B ( p) es convexo y cerrado es directo. Para ver que es acotado, basta notar p x ≤ px ≤ W ( p) con lo que si x ∈ B ( p): i

i

i

 

i

0

≤ x ≤ 

W i ( p) p

Finalmente, al ser W i ( p) homogénea de grado 1: B i (αp) = x

L +

i

L +

L +

 1

i

pω +

i

{ ∈ R |αpx ≤ W (αp)} = {x ∈ R |αpx ≤ αW ( p)} = {x ∈ R | px ≤ W ( p)} = B ( p)



J ij j j =1 θ py ( p)

  i

= p ω +

i



J ij j j =1 θ y ( p)

42

i

El siguiente resultado servirá para establecer el paralelo del Teorema 1.15:

Teorema 4.3 Si las preferencias i son racionales, continuas, estrictamente convexas, localmente no saciadas y las tecnolog´ıas Y j son cerradas, acotadas superiormente, estrictamente convexas y con 0 Y j . Entonces para todo p RL++ tenemos que : xi ( p) RL+, soluci´ Existe un unico ´ on de ( 4.1), el cual cumple:

∈ ∈

∈

1. xi ( p) es continua en p. 2.

i

i

∀α > 0 : x (αp) = x ( p)

3. pxi ( p) = W i ( p) Demostraci´ on i

 Al igual que en el caso sin producción, la existencia de x ( p) está garantizada por la continuidad de las preferencias y la compacidad de B ( p)  = ∅, la unicidad i

viene de la convexidad estricta de i y la convexidad de B i ( p). Para cada una de sus propiedades:

1. Debemos mostrar que para toda secuencia de precios p n RL+ covergente a p RL+ se tiene que xi ( pn ) xi ( p). Como W i ( p) es continua: W i ( pn) W i ( p) y entonces la secuencia xi ( pn) es acotada. Usando un argumento similar al de la demostración del Teorema 3.5, si xi ( pn )  xi ( p), podemos construir una subsecuencia de xi ( pn ) convergente a cierto x, ¯ con términos a una distancia mayor que cierto δ > 0 de xi ( p). Para esta subsecuencia: pnk xi ( pnk ) W i ( pnk ) y tomando l´ımites: p¯ x W i ( p), luego x¯ B i ( p). Tomemos ahora cualquier x B i ( p), x = 0 es decir 0 < px W i ( p) y para todo λ ]0, 1[: 0 < λpx < W i ( p). Por continuidad, para k suficientemente grande: 0 < λpnk x < W i ( pnk ), de donde λx B i ( pnk ) y por lo tanto xi ( pnk ) i λx y en el l´ımite x¯ i λx. De donde haciendo λ 1: x¯ i x y por consecuencia x¯ = x i ( p), lo cual contradice x¯ xi ( p) δ > 0.

∈

∈

→

≤

∈

∈

≤



∈ || −

→

≤

∈

→ || ≥

2. La homegeneidad se desprende directamente de B i (αp) = B i ( p). 3. La no saciedad local de las preferencias no permiten una soluci´ on interior a (4.1) y por lo tanto pxi ( p) = W i ( p)



El u ´ ltimo resultado que daremos nos servir´ a para ver el comportamiento en la frontera de la FEDA:

Teorema 4.4 Si las preferencias i son racionales, continuas, estrictamente convexas, fuertemente mon´ otonas y las tecnolog´ıas Y j son cerradas, acotadas superiormente, estrictamente convexas y con 0 Y j . Entonces para toda secuencia de precios convergente a un punto en la frontera: pn ρ con pn RL++ y ρ  0 con alg´ un ρn = 0, tenemos que o bien:

∈ →

∈

máx xi ( pn)

→ +∞

para cierto

i = 1, . . . , I

m´ın y j ( pn)

→ −∞

para cierto

j = 1, . . . , J



o





43

Demostraci´ on

 Para demostrar el resultado por contradicción, supongamos que para todo i =

1, . . . , I y todo j = 1, . . . , J las secuencias: máx xi ( pn ) y m´ın y j ( pn) son acotadas y por lo tanto lo son las secuencias xi ( pn) y y j ( pn ). Al ser acotadas poseen subsecuencias convergentes: xi ( pnk ) x¯i

→

y y j ( pnk )

j

→ y¯

En cada uno de los puntos de estas subsecuencias se cumple: J nk i

nk

nk

i

p x ( p ) = p ω +



θij pnk y j ( pnk )

j=1

tomando l´ımites:

J i

i

ρ¯ x = ρω +

 

θij ρ¯ y j = W i

j=1

J Como hemos supuesto que para ω = I i=1 ωi y Y = j=1 Y j existe y  Y tal J que ω + y  0, sea y  = j=1 y j . Por optimalidad: pnk y j ( pnk ) pnk y j en el l´ımite ρ¯ y j ρy j , de la misma manera ρ¯ y j 0 esto junto con ρω i 0 nos da W i 0. Ahora sumando sobre i:



 ≥

≥

i

i



≥

J

≥

i

∈

≥

J

    ≥        i

i

W =

i=1

ij

ρω +

i=1

j

ρω +

θ ρ¯ y

j=1

i

i=1

J

θij y  j

ω +

i=1

=

j=1

i

i

= ρ

θij ρy  j

i

= ρ(¯ ω + y  ) > 0

j=1 i=1

De donde obtenemos que para al menos un i, W i > 0. Para este consumidor definimos β i = x RL+ ρx W i

{ ∈ | ≤ }

Tomemos ahora x β i , para 0 < λ < 1: λ(ρx) < W i . Por continuidad, para k suficientemente grande,

∈

J nk

nk

i

p (λx) < p ω +



θij pnk y j ( pnk )

j=1

es decir λx B i ( pnk ) y por lo tanto x i ( pn ) i λx de donde, al tomar l´ımites para nk y λ 1: x¯ i x

→

∈

como esto es para todo x β i , lo que hemos obtenido es que x ¯ es maximal para i en β i . Ahora, como ρ  0 con alg´ un ρ n = 0 y W i > 0, β i es no acotado y por lo tanto las preferencias i , fuertemente mon´ otonas, no pueden tener elemento i maximal en β . Al llegar a una contradicci´ on , la prueba queda establecida.

∈





44

4.2.

Funci´ on Exceso de Demanda Agregada y Equilibrio

Dada la econom´ıa = (ω i , i )i=1,...,I , (Y j ) j=1,...,J , (θij ) i j manda agregada esta definida como:

E {

=1,...,I

=1,...,J

I

Z ( p) =



J i

x ( p)

i=1

 −

}, la función exceso de de-

I j

y ( p)

j=1

 −

ωi

(4.2)

i=1

y, al igual que antes, el equilibrio será el vector de precios p ∗ RL++ tal que Z ( p∗ ) = 0. Para demostrar la existencia de tal equilibrio, probaremos para esta Z un resultado similar al Teorema 2.1, con lo cual el Teorema 2.3 garantiza la existencia de equilibrio.

∈

Teorema 4.5 Si las preferencias i son racionales, continuas, estrictamente convexas, fuertemente mon´ otonas y las tecnolog´ıas Y j son cerradas, acotadas superiormente, estrictamente convexas y con 0 Y j . Entonces Z definida por (4.2) cumple

∈

1. Z ( p) es continua. 2.

∀α > 0 : Z (αp) = Z ( p)

3. pZ ( p) = 0 Z ( p) > −s ∃s > 0 tal que ∀ p ∈ R : m´ın 5. Si p → p  = 0 con p = 0 para cierto  : máx Z ( p ) → + ∞ L ++

4.

n

=1,...,L











n

Demostraci´ on

 1. Z ( p) es continua, por ser todas las xi ( p) y y j ( p) continuas. 2. Z es homogénea de grado cero al serlo todas las xi ( p) y y j ( p).

45

3. I

J

i

pZ ( p) = p

j

x ( p)

j=1

I

I

j

px ( p)

pω i

py ( p)

j=1

I

i=1

J

i

I

i

ij

px ( p)

j

pω i

θ py ( p)

i=1

j=1 i=1

I

=

i=1

J

i

i=1

=

ωi

y ( p)

i=1

=

I

    − −  − −  −  −   −  −   −   −  i=1

J

i

θij py j ( p)

px ( p)

i=1

pω i

j=1

I

=

pxi ( p)

W i ( p)

W i ( p)

W i ( p)

i=1 I

=

i=1

= 0

4. La cota inferior se construye a partir de la cota inferior 0 de cada xi y las cotas superiores K i de cada y j . 5. Esto consecuencia inmediata del Teorema 4.4 y de las cotas inferior y superior de xi e y j respectivamente.



4.3.

Eficiencia

Veremos en esta secci´ on las versiones de los Teoremas del Bienestar para econom´ıas con producci´ on. Primero daremos las definiciones previas para el caso de econom´ıas con producci´ on.

Definici´ on 4.6 (Asignaci´ on factible) Dada una econom´ıa i

i

j ij i=1,...,I , (Y ) j=1,...,J , (θ ) i=1,...,I

E = {(ω ,  )

j =1,...,J

}

una asignaci´ on factible es un vector (x, y) = (x1 , . . . , xI , y 1 , . . . , y J )

tal que para todo j = 1, . . . , J , y j

j

∈ Y

∈R × ×R ×

L J

y

I

I

J

   i

i

x =

i=1

L I +

ω +

i=1

y j

j=1

Definici´ on 4.7 (Equilibrio) Una asignaci´ on (x, y) factible es de equilibrio si existe p RL++ tal que : 46

∈

1. Para todo j = 1, . . . , J : py j

j

≥ py para todo y ∈ Y

2. Para todo i = 1, . . . , I : ui (x) > ui (xi ) implica px > pω i +

J j=1



θij py j

Definici´ on 4.8 (Soporte) Una asignaci´ on (x, y) factible es soportada por p R L+ , p = 0, si existe (W 1 , . . . , W I ) RI + tal que :

∈

1.

i i=1



W i =



I i i=1 pω

+

∈



J j j=1 py



2. Para todo j = 1, . . . , J : py j

j

≥ py para todo y ∈ Y 3. Para todo i = 1, . . . , I : u (x) ≥ u (x ) implica px ≥ W i

i

i

i

´ ´ Definici´ o n 4.9 (Optimo de Pareto Fuerte) Una asignaci´ on (x, y) es un Optimo de Pareto Fuerte si: 1. Es factible. 2.  (x, y) asignaci´ on factible tal que: i

i

i

i

∀i = 1, . . . , I u (x ) ≥ u (x ) b) ∃ j tal que u (x ) > u (x ) a)

j

j

j

j

´ ´ Definici´ o n 4.10 (Optimo de Pareto D´ ebil) Una asignaci´ on (x, y) es un Optimo de Pareto Débil si: 1. Es factible. 2.  (x, y) factible tal que: i = 1, . . . , I ui (xi ) > ui (xi )

∀

´ ´ Igual que en el caso de intercambio puro, todo Optimo de Pareto Fuerte es un Optimo de Pareto Débil y si las preferencias de los consumidores son continuas y fuertemente mon´ otonas, ´ ´ todo Optimo de Pareto Débil es un Optimo de Pareto Fuerte. También es verdad que bajo suposiciones suaves toda asignaci´ on de equilibrio es un óptimo de Pareto.

Teorema 4.11 (Primer Teorema del Bienestar) Si las preferencias de los consumido´ res son Localmente No Saciadas, todo Asignaci´ on de Equilibrio es un Optimo de Pareto Fuerte Demostraci´ on

 Sea (x, y) una asignación de equilibrio con precios de equilibrio p y definamos: J

W i = pω i +



θij py j

j=1

por No Saciedad Local tenemos que pxi = W i . Sea ahora una asignaci´ on (x , y  ) con u(xi ) u(xi ) para todo i y (spg) u(x1 ) > u(x1 ). Como x 1 es la demanda de 1 a precios p debemos tener que

≥

px1 > px1 47

Para los demás consumidores si fuera verdad que pxi < pxi por la No Saciedad Local existir´ a un z i tal que pz i < pxi y u(z i ) > u(xi ) u(xi ) Lo cual contradice el hecho que xi es la demanda de i a precios p. Luego debemos tener que

≥

pxi

≥ px

i

Sumando tenemos que I

p

I



              

xi = px1 +

i=1

pxi

i=2 I

1

I

i

> px +

px =

i=2

I

J

i

i

W =

i=1

θij py j

pω +

i=1

j=1

J

py j

= p ω ¯ +

j=1

J

≥ es decir p factible.



I i=1



J

py  j = p ω ¯ +

p¯ ω +

j=1

j=1

J j=1

xi > p ω ¯ +

y  j

y  j , como p

0 la asignación (x , y  ) no es

El Segundo Teorema del Bienestar tambi´ en sigue siendo valido:

Teorema 4.12 (Segundo Teorema del Bienestar) Si todas las tecnolog´ıas son convexas y las preferencias de todos los consumidores son estrictamente convexas, fuertemente ´ mon´ otonas y continuas, entonces todo Optimo de Pareto Débil es soportado por un vector L de precios p R+ .

∈

Demostraci´ on ´ de Pareto Débil. Para cada consumidor i  Sea (x , . . . , x , y , . . . , y ) un Optimo definimos V = {x ∈ R |x  x } y luego el conjunto V = V − {ω }. Como 1

I

i

1

J

L +

i

i



I i=1

i

las preferencias son convexas, cada V i es convexo y por lo tanto tambi´ en los es i V . Por la no saciedad local , cada V es no vac´ıo y por lo tanto también los es V . Por otro lado el conjunto Y = estos conjuntos tenemos:

J j=1



Y j también es no vac´ıo y convexo. Para

∩ Y = ∅

V

J si no fuera as´ı, tendr´ıamos una asignaci´ on (x , y  ) tal que I i=1 xi ω = j=1 y  j , es decir factible con xi i xi para todo i, esto es imposible por ser (x, y) un ´ Optimo de Pareto Débil. Tenemos entonces dos conjuntos, V e Y , convexos, no vac´ıos y disjuntos, luego existe un hiperplano separador para ambos: p RL, p = 0 y r R tal que: x V , px r y y Y , py r.







∈



−

∈

∀ ∈

≥ ∀ ∈ ≤ Supongamos ahora para cierto i , un x ∈ R tal que x  x . Basados en la monotonicidad fuerte, para cada i tomemos un x¯ tal que x ¯  x . Como las preferencias son estrictamente convexas, para α ∈]0, 1[: α¯ x + (1 − α)x  x L +

i

i

48

i

i

i

i



i

i



i

i

para i = i  y para i :





α¯ xi + (1

− α)x 

i



xi



Luego



(α¯ xi + (1



i=i

y por lo tanto p

i

− α)x ) + (α¯x



 

i=i

(α¯ xi + (1



i



i

+ (1

i

− α)x ) + (α¯x

haciendo α tender a 0: p

 

i=i

xi + x





− α)x) − ω ∈ V



− α)x) − ω ≥ r

+ (1



− ω ≥ r

(4.3)



Si tomamos x = x i tenemos que: I

  − ≥  −     − ≤    −  ∈ ∈    ≤ xi

p

ω

r

i=1

I i i=1 x

Como (x1 , . . . , xI , y 1, . . . , y J ) es factible tanto también: I

p

x

i

ω

y j

= p

J

i

x

ω

y j

= r = p

i=1

Sea ahora para cierto j  , y

r

j=1

I

p

j=1



Y j luego

j  y + y Y luego:

j = j



J

j

p

y + y



j = j

y j

r = p

j=1



de donde: j

≤ py

py



También para cierto i tomemos x i xi por (4.3) y (4.4): 

p

 

i=i



i

∈ Y y por lo

J

i=1

Luego:

J j j=1 y

ω =

x + x



I



− ω ≥ r = p

luego: px

≥ px 49

i



  − xi

i=1

ω

(4.4)

i i =i x = ω





i

−x



+

J j j=1 y ,



reemplazando: p

Como (x1 , x2 , . . . , xI ) es factible p

−  ≥  −  −  ≥ 

xi + x

i i =i x = ω 



xi + x

r



xi +

J j j=1 y ,

reemplazando:

r

Definiendo W i = px i tenemos las tres condiciones de la definici´ on de soportabiL lidad, solo resta probar que p R+.

∈

Para esto tomemos el -ésimo vector canónico e RL, por la monotonicidad fuerte para todo i : xi + e i xi luego p(xi + e ) px i , de donde p 0.

∈ ≥



4.4.

≥ 

Ejercicios

1. (Tomado de [1])Sea una econom´ıa de dos bienes, dos consumidores y una empresa. El consumidor 1 con preferencias representadas por U 1 (x1, x2) =

√ x

1

x2

con dotaci´ on inicial ω 1 = (3, 0) y 0 < θ1 < 1. El consumidor 2 tiene U 2 (x1 , x2 ) = 2Ln(x1 ) + Ln(x2 ) dotación inicial ω2 = (2, 0) y θ 2 = 1

1

− θ . La empresa tiene tecnolog´ıa √ Y = {(x, y) ∈ R |x ≤ 0 y ≤ −x} 2

on oferta de la empresa. a ) Encuentra la funci´ on ( o correspondencia) de demanda de cada consumidor. b ) Encuentra la funci´ c ) Encuentra la funci´ on ( o correspondencia) de exceso de demanda de la econom´ıa (Z ( p1, p2)). d ) ¿Existe equilibrio en esta econom´ıa? ¿Cuál es? on e ) Verifica si Z cumple las 5 propiedades de la FEDA usadas para la demostraci´ de la existencia de equilibrio. 2. Sea una econom´ıa de dos bienes, dos consumidores y una empresa. El consumidor 1 con preferencias representadas por U 1 (x1 , x2 ) =

√ x

1

x2

con dotaci´ on inicial ω1 = (1, 0) y θ1 = 0,3. El consumidor 2 tiene U 2(x1 , x2 ) = x 1 + Ln(x2 ) dotación inicial ω2 = (2, 0) y θ2 = 0,7. La empresa tiene tecnolog´ıa x Y = (x, y) R2 x 0 y A x 1 donde A > 0 es un factor de productividad.

{

∈ | ≤ 50

≤

− }

a ) Encuentra la funci´ on oferta de la empresa. on (correspondencia) de demanda de cada consumidor. b ) Encuentra la funci´ on (correspondencia) de exceso de demanda de la econom´ıa c ) Encuentra la funci´ (Z ( p1, p2)).

d ) ¿Existe equilibrio en esta econom´ıa? ¿Cuál es? e ) Estudia el efecto del factor de productividad A en el equilibrio (precios y asignación). 3. (Tomado de [5]) Considera una economia de dos bienes (x1 , x2 ) con un (´ unico) consumidor con preferencias continuas, convexas y fuertemente monotonas y una empresa capaz de transformar una cantidad z del primer bien en una cantidad, no mayor que, f (z ) del segundo. f es una funcion creciente y estrictamente concava. Sean ( p, w) los precios de los bienes y (L, 0) la dotacion inicial del consumidor. La empresa maximiza su beneficio tomando los precios como fijos. El consumidor es el propietario de la empresa, siendo su ingreso la suma de la venta del primer bien y los beneficios de la empresa.

a ) Plantea el problema de la empresa y el del consumidor. b ) Encuentra unos precios de equilibrio para U (x1 , x2 ) = x 1 x2 y f (z ) = z 1/2 . 4. Tenemos una econom´ıa formada por dos consumidores:

{

}

Consumidor A: U A (xA1 , xA2 ) = m´ın xA1 , xA2 /4 , ωA = (a, 1), θA = 1/3. Consumidor B: U B (xB1 , xB2) = (xB1 )1/3 (xB2 )2/3, ωB = (1, b), θB = 2/3. y una empresa con tecnolog´ıa:

{

|

≤ 0 , 4x + x ≤ 0}

Y = (x1 , x2 ) 4x2 + x1

1

2

aficamente), india ) Plantea el problema de la empresa y resuélvelo (anal´ıtica o gr´ cando para cual conjunto de precios el problema tiene soluc´ıon (T ∗ ). Escribe la funciones oferta y beneficio.

b ) Considerando solo p T ∗ , plantea y resuelve el problema de cada consumidor.

∈

c ) Escribe la funci´ on exceso de demanda y verifica si cumple todas las propiedades . Si encuentras alguna que no se cumple, identifica el motivo. d ) Existe equilibrio? Si existe encuéntralo, si no existe encuentra el motivo. 5. Considera una econom´ıa de intercambio puro 2x2 con los siguientes consumidores: u1 (x, y) = 2x + y y w = (2, 3). u2 (x, y) = xy 3 y w = (1, 2).

a ) Encuentra la demanda de cada consumidor. b ) Encuentra el equilibrio Walrasiano. 51

c ) Determina el conjunto de los o´ptimos de Pareto d ) Dibuja la ca ja de Edgeworth, ubica los óptimos de Pareto, la curva de contrato y el equilibrio Walrasiano e ) Suponga ahora que los consumidores son propietarios a partes iguales de una p empresa con funci´ on de oferta: S ( p1 , p2 ) = ( 4 p , pp ). Repita los partes (a) y (b).

−

2 2 2 1

2 1

6. (Tomado de [5]) Supongamos una econom´ıa donde los consumidores tienen preferencias continuas y fuertemente mon´ o tonas y existe una u ńica empresa con tecnolog´ıa Y . N Muestra que si existe y Y tal que y + i=1 ωi 0 entonces no puede haber un equilibrio con transferencias donde algunos de los precios sean nulos.



∈

52



Cap´ıtulo 5 Bienestar En los cap´ıtulos anteriores hemos estudiado un modelo de econom´ıa de intercambio con y sin producción, poniendo el énfasis en el mercado como mecanismo de intercambio. En este cap´ıtulo exploraremos una visi´ o n más centralizada para este intercambio/producci´ on. Tomaremos el punto de vista de un planificador central, dictador benevolente o, de manera abstracta, de la sociedad como un todo unificado. Dada una econom´ıa: i

i

j ij i=1,...,I , (Y ) j=1,...,J , (θ ) i=1,...,I

E = {(ω ,  )

j =1,...,J

}

postulamos la (gaseosa) pregunta ¿qué es bueno para ella?. Debe ser natural pensar que la respuesta a esta pregunta debe basarse en las preferencias (utilidades) de los consumidores. Dada la econom´ıa = (ωi , i )i=1,...,I , (Y j ) j=1,...,J , (θij ) i ,...,I , con ω = I i=1 ω i y Y = J j=1



j

E {

=1

j =1,...,J

Y , podemos construir el conjunto X =



I

1

2

I

(x , x , . . . , x )

≥ 0

   i=1

i

x



}

∈ ω¯ + Y



de todas las asignaciones de consumo factibles dadas la dotaci´ on inicial total y la tecnolog´ıas de transformaci´ on disponibles. Sobre este conjunto X cada consumidor tiene sus preferencias, basadas en la canasta que le toca en cada asignaci´ on. Ser´ıa muy positivo que podamos agregar estas preferencias individuales en una “preferencia social”. Lamentablemente el Teorema de Imposibilidad de Arrow nos dice que no hay una manera general de hacer esto convenientemente. Seamos m´ a s precisos en esto de general y conveniente. Lo de general es porque se quiere una regla que se pueda aplicar siempre, para cualquier econom´ıa, es decir estamos buscando una funci´ on que salga del espacio de econom´ıas y le asigne a cada una de ellas una preferencia sobre el X correspondiente. A este concepto se le conoce como el axioma de dominio irrestricto . Lo de conveniente se refiere a tres propiedades: 1. Respeto a la unanimidad : En cualquier econom´ıa si todos los individuos prefieren la asignación x a la asignación y, la preferencia social debe ser también tal que x es preferido a y. 53

2. No dictatorial: La agregación no debe de asignar como preferencia social siempre la preferencia de un individuo en particular. 3. Independencia de las alternativas irrelevantes : La preferencia social entre dos alternativas depende solo de las preferencias individuales sobre ellas.

Teorema 5.1 (Arrow) No existe una regla de agregaci´ on social de dominio irrestricto, respeto a la unanimidad, no dictatorial y con independencia de las alternativas irrelevantes. En base a este resultado los intentos de agregaci´ on de preferencias deben sacrificar alguna de las propiedades pedidas. T´ıpicamente estas son la de dominio irrestricto o la independencia de las alternativas irrelevantes. Nosotros sacrificaremos esta u´ltima.

5.1.

Funci´ on de Bienestar Social

Si asumimos que cada preferencia individual está representada por una funci´ on utilidad y que el rango (valores de llegada) de todas ellas es comparable inter-agentes. En este caso una solución parcial pero sencilla al problema de agregaci´ on es construir, en base a estas funciones de utilidad individuales, un utilidad para toda la sociedad. Esta recibe el nombre de Función de Bienestar Social (FBS). Si tenemos una FBS buscar lo mejor para la sociedad es maximizar este FBS.

Definici´ on 5.2 (Funci´ on de Bienestar Social) Dada la econom´ıa y el conjunto X de asignaciones factibles correspondiente, fijamos para cada preferencia i una funci´ on utilidad i u que la represente, una FBS es:

E

W :

X (x , . . . , xI ) 1

R

−→ −→

1

1

W (u (x ), . . . , uI (xI ))

Una manera má s práctica para definir la FBS es usar como dominio el conjunto de vectores de utilidad que se pueden alcanzar, esto es el conjunto de posibilidades de utilidad: U = (u1, u2 , . . . , uI )

i

{

i

i

| ∃(x, y) factible, con u ≤ u (x ) ∀i = 1, 2, . . . , I } Esto es m´ as conveniente ya que el conjunto X ⊂ R × mientras que U ⊂ R . Es por esto I L

I

que es usual trabajar con FBS definidas sobre U : W :

U (u , . . . , uI ) 1

−→ −→

R 1

W (u , . . . , uI )

Una propiedad que normalmente se exige a una FBS es ser creciente o estrictamente creciente:

Definici´ on 5.3 Una FBS es creciente si u, u U con u u  se tiene W (u) W (u ) y si u u  se tiene W (u) > W (u ) Una FBS es estrictamente creciente si u, u U con u  u se tiene W (u) > W (u )



∀ ∈ ∀ ∈ 54

≥

≥

As´ı, una FBS es creciente si cuando un individuo aumenta su nivel de utilidad y ninguno lo disminuye la FBS no disminuye y si todos aumentan su nivel de utilidad la FBS aumenta. Por otro lado una FBS es estrictamente crecientes si cuando un individuo aumenta su nivel de utilidad y ninguno lo disminuye la FBS aumenta. Las FBS más usadas son:

Utilitarista: W (u1 , u2 , . . . , uI ) =



I i=1

β i ui

Rawlsiana: W (u1 , u2 , . . . , uI ) = m´ıni=1,...,I β i ui

 

CES Asumiendo que los valores ui son positivos: 1

2

I

1

2

I

• W (u , u , . . . , u ) = • W (u , u , . . . , u ) =

 

I i 1 ρ i=1 (β i u )

I i=1

−



1 1−ρ



para ρ = 1

β i ln(ui ) para ρ = 11

Las FBS utilitarista y CES son estrictamente crecientes pero la FBS Rawlsiana es solamente creciente. Otra propiedad interesante es la concavidad de W , que se puede interpretar como “aversión a la desigualdad”2 . La FBS Utilitarista, al ser lineal, es indiferente a la desigualdad mientras la Rawlsiana presenta la máxima aversi´ on. Para las CES se puede controlar este comportamiento con el parámetro ρ. Note que si ρ = 0 tenemos la FBS utilitarista y si ρ + tenemos la Rawlsiana. Como la FBS le asigna a cada vector de posibilidades de utilidad (u1 , u2 , . . . , uI ) U un nivel de bienestar social W (u1 , u2, . . . , uI ), el problema del planificador central ser´ a entonces:

→ ∞

∈

máx

W (u1, u2 , . . . , uI ) s.a. (u1, u2, . . . , uI ) U

(5.1)

∈

Esto es, maximizar el bienestar social de la econom´ıa. Debe ser obvio que la soluci´ on depende de la FBS que se elija. En general no hay ninguna raz´ on positiva que permita preferir alguna FBS en lugar de otra. El uso de una FBS particular es más bien ”ideológico.o subjetivo. Veamos ahora con cierto detalle el problema del planificador (5.1). Empecemos por caracterizar el conjunto U .

Proposici´ on 5.4 Si el conjunto de asignaciones factibles es no vac´ıo, cerrado y acotado y las funciones de utilidad son continuas el conjunto U es cerrado y acotado superiormente. Si las funciones de utilidad son c´ oncavas y todas las tecnolog´ıas convexas, el conjunto U es convexo. Sobre U podemos identificar los vectores de utilidad que corresponden a una asignaci´ on Pareto eficiente. Estos puntos conforman la Frontera de Pareto: P = (u1, u2 , . . . , uI ) U  (u1 , u2 , . . . , uI ) U tal que i : ui

{

∈ |

∈

∀

i

≥ u y ∃i :

ui > ui

}

´ La siguiente proposici´ on identifica P con los vectores de utilidad de los Optimos de Pareto. Equivalente a W (u1 , u2 , . . . , uI ) = I i=1 (ui )β 2 Similar a la aversión al riesgo en otros contextos 1



i

55

´ Proposici´ on 5.5 Una asignaci´ on (x, y) es un Optimo de Pareto si y solo si 1 1 2 2 I I (u (x ), u (x ), . . . , u (x )) P

∈

Para terminar este punto vemos que maximizar una FBS apropiada siempre nos da un resultado asociado a un óptimo de Pareto.

Proposici´ on 5.6 Si la FBS W es creciente el problema del Planificador Central (5.1) tiene soluci´ on en P En la siguiente sección veremos en mayor detalle estos resultados y c´ omo usarlos para estudiar el equilibrio de una econom´ıa.

5.2.

Resultados Anal´ıticos bajo diferenciabilidad

En lo que sigue, trabajaremos con la función utilitarista: W (u) = β 1 u1 + β 2 u2 +

I

··· + β u I

para la cual podemos establecer:

Teorema 5.7 Si u = (u1 , u2 , . . . , uI ) P entonces existen β i 0 no todos nulos tal que en u la FBS W (u1, u2, . . . , uI ) = I i=1 β i ui alcanza su m´ aximo sobre U . I Si la FBS W (u1 , u2 , . . . , uI ) = i=1 β i ui con β i > 0 alcanza su m´ aximo sobre U convexo 1 2 I en u entonces u = (u , u , . . . , u ) P .

 ∈

≥

∈

La maximizaci´ on de la que habla el Teorema anterior es: máx

β 1 u1 + β 2 u2 + + β I uI s.a. (u1 , u2 , . . . , uI ) U

·· · ∈

si no queremos pasar por la construcción del conjunto U este problema se puede escribir como: máx

β 1 u1 (x1 ) + β 2 u2 (x2 ) + s.a. (x, y) es factible

··· + β u (x )

máx

β 1 u1 (x1 ) + β 2 u2 (x2 ) +

··· + β u (x )

I

I

I

I

I

o

I

s.a.

I

J

 −  i

i

x

ω =

i=1 i

x y j

i=1

≥ 0 ∈ Y

j

56

j=1

y j

I

Si cada tecnolog´ıa Y j está definida por una función de producci´ on F j (y j ) β 1 u1 (x1 ) + β 2 u2 (x2 ) +

máx

I

s.a.

I

J

 −  xi

ωi =

i=1 i

i=1

≥

x 0 F j (y j )

I

≤ 0:

I

·· · + β u (x ) I

y j

(5.2)

j=1

≤ 0

Asumiendo diferenciabilidad, concavidad y convexidad donde corresponda y las condicione apropiadas para tener soluciones interiores podemos usar el lagrangiano : L

L

1

1

2

2

I

I

≡ β u (x ) + β u (x ) + ·· · + β u (x ) 1

2

I

I

I

J

J

      − − − − xi

λ

i=1

=1

y j

ωi

i=1

j=1

µ j F j (y j )

j=1

para caracterizar la soluci´ on con las condiciones de primer orden:

∂ yj 

i

i

≡ β ∂ u (x ) − λ = 0 L ≡ λ − µ ∂ F (y ) = 0

∂ xi L

i 

j





j



(5.3)

j

(5.4)

de donde obtenemos las condiciones de optimalidad: ∂  ui λ ∂  F j = = ∂  ui λ ∂  F j 



(5.5)



para cualquier combinaci´ on de i,j, ,  . Por otro lado si consideramos un contexto de Equilibrio Walrasiano con transferencias, cada consumidor i resuelve: máx

ui (xi ) s.a. pxi W i xi 0

≤ ≥

con Lagrangiano: Li y condiciones de primer orden:

i

i

i

i

i

≡ u (x ) − γ ( px − W )

∂ i L ∂x i

i

i

i

≡ ∂ u (x ) − γ p

de donde obtenemos:





=0

∂  ui p = ∂  ui p 

(5.7)



Por su parte, las empresas resuelven: máx

py j s.a. F j (y j ) 57

(5.6)

≤ 0

con Lagrangiano: L j

j

j

j

j

j

j

≡ py − ψ F (y )

y condiciones de primer orden: ∂ j L ∂x j de donde:

j

≡ p − ψ ∂ F (y ) = 0 



∂  F j p = ∂  F j p 

(5.8)

(5.9)



Observemos que en el caso de un Equilibrio Walrasiano con transferencias las condiciones (5.7) y (5.9) nos dicen que todas las relaciones marginales de (5.5) son iguales al ratio de ´ precios pp . Es decir que para cada Optimo de Pareto los valores de los multiplicadores λ  nos dan los precios que lo soportan como Equilibrio Walrasiano. Por otro lado, de (5.3): λ ∂  ui (xi ) = β i 

y de (5.6): ∂  ui (xi ) = γ i p podemos, identificando λ  con p  , observar que para obtener la asignaci´ on de equilibrio como óptimo de Pareto el peso de cada consumidor en la FBS debe ser igual a la reciproca de su multiplicador γ i . Finalmente, el teorema de la envolvente aplicado al problema de cada consumidor, en el contexto de equilibrio con transferencias, nos dice que el valor de γ i es la utilidad marginal del ingreso del consumidor i en la canasta de consumo que obtiene. Como conclusi´ on tenemos que, si usamos una FBS utilitarista para determinar un OP en particular, a mayor peso relativo, menor utilidad marginal del ingreso, por lo tanto mayor riqueza. Visto de otro modo, si tenemos un EW, la FBS utilitarista que lo genera como OP debe ponerle mayor peso relativo a aquellos consumidores que tienen mayor riqueza a los precios de equilibrio. Todo lo dicho hasta ahora puede usarse para construir un método de c´ alculo del equilibrio Walrasiano que veremos en la siguiente secci´ on.

5.3.

M´ etodo de Negishi

El m´ etodo de Negishi es una estrategia para el c´ alculo del Equilibrio Walrasiano (y paralelamente tambi´ en una demostraci´ o n de su existencia). Su bondad radica en que se trabaja en un espacio de dimensi´ o n igual al n´ umero de agentes L y no en el espacio de bienes. En el caso de tener un n´ umero muy grande de bienes, incluso infinitos, pero un número peque˜ no de consumidores, esto es muy conveniente. La idea de Negishi se basa en: ´ Todo Equilibrio Walrasiano es un Optimo de Pareto. ´ Todo Optimo de Pareto se puede encontrar resolviendo un problema como (5.2) 58

´ Todo Optimo de Pareto es un Equilibrio Walrasiano con transferencias. Todo Equilibrio Walrasiano es un Equilibrio Walrasiano con transferencias nulas. Si la econom´ıa no cumple alguna de estas afirmaciones, el método de Negishi no es v´ alido. En base a estas afirmaciones se puede implementar el siguiente algoritmo de c´ alculo de equilibrio: 1. Resolver (5.2) tomando los pesos β i como par´ ametros ´ 2. Calcular los precios, de acuerdo a los β i , que soportan el Optimo 3. Calcular las transferencias, de acuerdo a los β i , necesarias para tener un Equilibrio con transferencias3 . 4. Obtener el juego de par´ ametros que hacen todas las transferencias nulas. 5. Con los pesos β i encontrados determinar los precios y asignaciones de equilibrio.

5.4.

Ejercicios

1. En el Teorema de Imposibilidad de Arrow tenemos, entre otras, las siguientes hip´ otesis:

a ) Preferencia social racional. b ) Independencia de las alternativas irrelevantes. c ) Propiedad Paretiana. d ) Ausencia de dictador. Para cada una de las siguientes funciones de agregación social encuentra cuales de las anteriores propiedades no son satisfechas.

a ) Pluralidad: Primero la alternativa que es la preferida por el mayor número de agentes, luego las siguientes sin contar las ya elegidas. b ) Borda: Para cada agente numerar las alternativas seg´ un sus preferencias. Sumar dichos puntajes y ordenar seg´ un dicha suma. c ) Condorcet: x es preferida o indiferente socialmente a y si x es preferida o indiferente por la mitad o más de los agentes. u n el n´ umero de d ) Pseudo-condorcet: Hacer votaciones por pares y ordenar seg´ elecciones ganadas por cada alternativa.

e ) Agenda: Ordenar al azar (uniformemente) las alternativas y enfrentar a la primera con la segunda en una votación por mayor´ıa, tomar la ganadora y enfrentarla con la tercera en una votaci´ on por mayor´ıa, tomar la ganadora y enfrentarla ..... A la alternativa que gane el u´ltimo enfrentamiento se designa como la primera en la preferencia social. Repetir el procedimiento, sin variar el orden establecido, hasta ordenar todas las alternativas. 3

Ac´ a es donde entran las dotaciones iniciales.

59

2. (Tomado de [1])Considere una econom´ıa de dos consumidores y dos bienes.Los consumidores tienen dotaci´ on inicial ω 1 = (1, 4) y ω 2 = (3, 2) y utilidades: U 1 (x, y) = xy U 2 (x, y) = x 2 y

a ) Resuelva: máx

αU 1 (x1 , y 1 ) + (1 s.a. 0 0

donde 0

≤ α ≤ 1

+ x2 1 + y 2

≤ x ≤ y

1

2

2

2

− α)U (x , y )

≤ 4 ≤ 6

on anterior coincida con la asignación b ) Encuentre el valor de α que hace que la soluci´ de equilibrio de la econom´ıa.

60

Introducción a La Teoría Del Equilibrio General

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