Alguns exerc´ıcios ıcios amais para vocˆes es (as resolu¸c˜ oes oes dos exerc´ıcios ıcios anteriores come¸cam cam na pr´oxima oxima pagina): Seja A um um dom do m´ınio. Mostre que se A se A[[X ] ´e Euclidi Eucl idiano ano ent˜aao A o A ´ ´e um corp co rpoo • Seja A (considere o ideal (a, ( a, X ) onde a onde a ∈ A − {0}). Sejam I ,, J dois J dois ideais de um anel comutativo unit´ ario ario A, e defina • Sejam I I + + J := { i + j : i ∈ I , j ∈ J }
n
I J := {
ik jk : n ∈ N, i1 , . . . , in ∈ I , j1 , . . . , jn ∈ J }.
k =1
Mostre que I que I + + J e I e I J s˜ s˜ao ao ideais de A de A.. Os ideais I ideais I e e J J s˜ ao ao ditos “coprimos” se I se I + + J = A. A . Mostre que se I se I , J s˜ ao ao coprimos ent˜aao I o I J = I ∩ ∩ J . Usando ∼ o teorema de isomorfismo mostre que se I , J s˜ ao ao coprimos ent˜aao A/IJ o A/IJ = A/I × A/J (teorema eorema chinˆes es dos restos). restos) . × A/J (t ], calcule o inverso de X 6 − 2 modulo 2X 2X 3 + 1 e viceversa. viceversa. • Em Q [X ], por v i (P ( P (X )) )) := P := P ((i). Mostre que I que I m(vi ) = • Seja vi : Q [X ] → C definido por v 1 a ib escreva a+ib = (a+ib)(a ib) . Q[i] ´e um corpo. Dica: escreva −
−
Seja I = { α ∈ Z [i] : N ( N (α) e´ par }, o conjunto dos inteiros gaussianos de • Seja I norma par (lembre-se que N ( N (a + ib + ib)) := a := a 2 + b2 e mostrei hoje que Z[i] ´e Euclidiano com ϕ = N = N ). ). Mostre que I que I Z[i] e encontre um gerador de I de I (que ´e um ideal principal princip al pois p ois Z [i] ´e Euclidi Eucl idiano) ano).. ao ´e um u m ideal i deal maximal de Z [i] (Dica (Dica:: 2 = (1 (1 + i)(1 − i)). • Mostre que (2) n˜ao Seja f : A → B um homomorfismo de aneis comutativos unit´arios arios e supo• Seja f nha que A, que A, B = {0}. Mostre que se A ´e um corpo corp o ent˜aao f o f ´e inj i njet etiva iva.. f (r) = r para todo • Seja f : C → C um homomorfismo de aneis tal que f ( r ∈ R. Mostre que tem somente dois casos: f ´ ´e a identidad ident idadee ou o u f ( f (a + ib) ib) = 2 a − ib. ib. Dica: calcule f ( f (i) + 1. = { 0} um anel comutativo unit´ario ario tal que A/I ´ ´e um dom´ do m´ınio ın io de • Seja A integridade para todo ideal I de A diferente de A. Mo Most stre re que que A ´e um corpo. Dica: dado a dado a ∈ A diferente de zero considere o ideal ( a2 ).
1
Resolu¸co˜es. 1. 19/04/16. Seja G um grupo abeliano aditivo e seja R = End(G) o con junto dos homomorfismos de grupo G → G (os endomorfismos de G). Mostre que R ´e um anel (em geral n˜ao comutativo) com as opera¸c˜oes +, ◦ definidas por (f + g)(x) := f (x) + g(x) e (f ◦ g)(x) := f (g(x)) (soma e composi¸c˜ao). A soma ´e associativa pois ((f + g) + h)(x) = (f + g)(x) + h(x) = (f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)) = f (x) + (g + h)(x) = (f + (g + h))(x) para todo x ∈ G, logo (f + g) + h = f + (g + h). O elemento neutro de + ´e a fun¸ca˜o nula, f (x) = 0 para todo x ∈ G. O oposto de f ´e − f definido por (−f )(x) := −f (x). Se trata de endomorfismos de G. A composi¸c˜ao ◦ ´e associativa pois ((f ◦ g) ◦ h)(x) = (f ◦ g)(h(x)) = f (g(h(x))) = f (g ◦ h(x)) = (f ◦ (g ◦ h))(x). O elemento neutro de ◦ ´e a fun¸c˜ao identidade, f (x) = x para todo x ∈ G (´e um endomorfismo de G). Propriedades distributivas:
• (f ◦(g+h))(x) = f ((g+h)(x)) = f (g(x)+h(x)) = f (g(x))+f (h(x)) = (f ◦ g)(x) + (f ◦ h)(x), logo f ◦ (g + h) = f ◦ g + f ◦ h. Observe que usamos o fato que f respeita a opera¸ca˜o de G. • ((f +g) ◦ h)(x) = (f +g)(h(x)) = f (h(x))+ g(h(x)) = (f ◦ h+g ◦ h)(x), logo (f +g) ◦ h = f ◦ h+g ◦ h. Observe que aqui usamos simplesmente a defini¸ca˜o de soma em R. 2. 19/04/16. Seja G o grupo aditivo c´ıclico Z/nZ = {0, 1, 2, . . . , n − 1 }. Mostre que E nd(G) (definido no exerc´ıcio acima) ´e um anel comutativo. Sabemos pelo exerc´ıcio anterior que End(G) ´e um anel com + e ◦. Se f ∈ End(G) e m + n Z ∈ G ent˜ ao m ´e uma soma 1 + 1 + . . . + 1 logo (identificando m com a classe m + n Z) f (m) = f (1 + 1 + . . . + 1) = f (1) + f (1) + . . . + f (1) = mf (1), assim f ´e completamente determinado pela imagem de 1, f (1) (observe que mf (1) ´e um produto em Z /nZ visto como anel). Se f, g ∈ End(G) ent˜ ao f ◦ g(m) = f (g(m)) = f (mg(1)) = mg(1)f (1), e g ◦ f (m) = g (f (m)) = g(mf (1)) = mf (1)g(1), ent˜ ao como g(1)f (1) = f (1)g(1) (pois Z/nZ, visto como anel, ´e comutativo) obtemos f ◦ g = g ◦ f . Isso mostra que E nd(G) ´e um anel comutativo. Observe tamb´em que End(Z/nZ) (o anel dos endomorfismo do grupo aditivo Z /nZ) ´e isomorfo a Z /nZ (o anel quociˆente Z /nZ) via o isomorfismo ϕ : End(Z/nZ) → Z/nZ definido por ϕ(f ) := f (1). 3. 19/04/16. Mostre que Z/nZ com as opera¸co˜es (x + n Z) + (y + n Z) := ´ (x + y) + nZ e (x + nZ) · (y + nZ) := xy + nZ ´e um anel comutativo. E um dom´ınio de integridade? J´ a vimos em sala de aula que Z/nZ ´e um anel quociˆente comutativo. Observe que se n n˜ao ´e primo ent˜ao existem a, b inteiros maiores de 1 tais que ab = n, assim no quociˆente (a + nZ)(b + nZ) = n + nZ = 0, logo Z/nZ n˜ ao ´e um dom´ınio de integridade. Por outro lado se n = p ´e primo ent˜ ao
2
e um dom´ınio de integridade, pois um produto (a + pZ)(b + pZ) ´e Z/nZ ´ igual a zero se e somente se ab ∈ pZ, isto ´e, p divide ab. Mas como p ´e primo, e divide ab, p divide um entre a e b, logo uma das classes a + pZ e b + pZ e´ zero. Isso mostra que Z/nZ e´ um dom´ınio de integridade se e somente se n ´e um n´ umero primo (e nesse caso se trata de um corpo pois um dom´ınio de integridade finito ´e sempre um corpo: veja o pr´oximo exerc´ıcio). 4. 19/04/16. Seja A um dom´ınio de integridade de cardinalidade finita. Mostre que A e´ um corpo. [Dica: dado a ∈ A diferente de zero considere a fun¸ca˜o A → A dada pela multiplica¸ca˜o por a.] Dado a ∈ A diferente de zero, queremos mostrar que a tem inverso em A, em outras palavras, que existe b ∈ A tal que ab = 1. Considere a fun¸c˜ao f : A → A dada por f (x) := ax. Ela ´e injetiva pois se f (x) = f (y) ent˜ ao ax = ay logo a(x − y) = 0 e como a = 0 e A ´ e um dom´ınio de integridade, obtemos x − y = 0, isto ´e, x = y. Isso mostra que f ´e injetiva. Como A ´e um conjunto finito, o princ´ıpio da casa dos pombos mostra que f ´e sobrejetiva, assim existe b ∈ A tal que f (b) = 1, isto ´e, ab = 1. 5. 19/04/16. Sejam A, B aneis e seja A × B o produto direto de A e B, com as opera¸c˜oes (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b)(c, d) = (ac, bd), elementos neutros (0, 0) e (1, 1). Mostre que A × B ´e um anel e que n˜ao ´e um dom´ınio de integridade. A verifica que A × B ´e um anel ´e facil. N˜ao ´e um dom´ınio pois (1, 0) = (0, 0), (0, 1) = (0, 0) mas (1, 0)(0, 1) = (0, 0). 6. 19/04/16. Dado um dom´ınio de integridade A, mostre que f : A → K (A), a → a1 ´e um homomorfismo injetivo de aneis. Temos f (1) = 1/1, f (a + b) = a/1 + b/1 = (a + b)/1 e f (ab) = ab/1 = ´ injetivo pois ker(f ) = { 0}, (a/1)(b/1), logo f ´e homomorfismo de aneis. E de fato se f (a) = 0 ent˜ao a/1 = 0, isto ´e, a · 1 = 1 · 0 logo a = 0. 7. 26/04/16. Seja f : A → B um homomorfismo de aneis e seja J um ideal ´ de B. Mostre que f 1 (J ) = {a ∈ A : f (a) ∈ J } ´e um ideal de A. E verdade que se I ´e um ideal de A ent˜ ao f (I ) ´e um ideal de B? ´ claro que 0 ∈ I pois f (0) = 0 ∈ J . Se x, y ∈ J ent˜ Seja I := f 1 (J ). E ao f (x + y) = f (x) + f (y) ∈ J pois f (x), f (y) ∈ J logo x + y ∈ I , e se x ∈ I e a ∈ A ent˜ ao f (ax) = f (a)f (x) ∈ J pois f (a) ∈ B, f (x) ∈ J e J ´e um ideal de B, logo ax ∈ I . Em particular escolhendo a = −1 obtemos que se x ∈ I , − x ∈ I . Isso mostra que I ´e um ideal. Se I ´e um ideal qualquer de A ent˜ ao em geral f (I ) n˜ ao ´e um ideal de B, por exemplo considere a ´ claro que Z ´e ideal de Z mas f (Z) = Z inclus˜ ao f : Z → Q , f (z) := z. E n˜ ao ´e ideal de Q (pois os u ´ nicos ideais de Q s˜a o (0) e Q, sendo Q um corpo). −
−
3
8. 26/04/16. Seja f : A[X ] → A a fun¸ca˜o definida por f (P (X ) ) := P (0). Mostre que f ´e um homomorfismo de aneis e que I = ker(f ) = { XP (X ) : P (X ) ∈ A[X ]}.
∼ A. Mostre que A[X ]/I = f ´e homomorfismo de aneis p ois f (0) = 0, f (1) = 1 e f (P (X ) + Q(X )) = P (0) + Q(0) = f (P (X )) + f (Q(X )) e f (P (X )Q(X )) = P (0)Q(0) = f (P (X ))f (Q(X )). f ´e sobrejetivo pois se a ∈ A ent˜ ao visto a como polinˆomio (constante) temos f (a) = a. Vamos mostrar que I = ker(f ) = ao ⊇ ´e facil pois f (XP (X )) = {XP (X ) : P (X ) ∈ A[X ]}. A inclus˜ 0P (0) = 0, vamos mostrar a inclus˜ao ⊆. Seja F (X ) ∈ I = ker(f ) (isto ´e, F (0) = 0), escrevemos F (X ) = a 0 + a1 X + a2 X 2 + . . . + an X n , assim F (0) = 0 significa a0 = 0, logo F (X ) = a 1 X +a2 X 2 +. . .+an X n = X (a1 + a2 X + . . . + an X n 1 ). Logo escolhendo P (X ) = a 1 + a2 X + . . . + an X n 1 obtemos que F (X ) pertence a {XP (X ) : P (X ) ∈ A[X ]}. O fato que ∼ A segue do teorema de isomorfismo. A[X ]/I = −
−
9. 26/04/16. Sejam A(X ) = 6X 4 + X 2 + 1, B (X ) = X 2 − 2 em Z [X ]. Fa¸ca a divis˜ao com resto de A(X ) por B (X ). 6X 4 + X 2 + 1 6X 4 − 12X 2 13X 2 + 1 13X 2 − 26 27
X 2 − 2 6X 2 + 13
Obtemos que A(X ) = B(X )Q(X )+R(X ) onde Q(X ) = 6X 2 +13 (quociˆente) e R(X ) = 27 (resto). 10. 26/04/16. Sejam A(X ) = −2X 5 − 2X 4 − 6X 3 − X 2 − X − 3, B(X ) = −X 2 − X − 3 em Z [X ]. Fa¸ca a divis˜ao com resto de A(X ) por B (X ).
−2X 5 − 2X 4 − 6X 3 − X 2 − X − 3 −X 2 − X − 3 2X 3 + 1 −2X 5 − 2X 4 − 6X 3 −X 2 − X − 3 −X 2 − X − 3 0 Obtemos que A(X ) = B(X )Q(X )+R(X ) onde Q(X ) = 2X 3 +1 e R(X ) = 0. Em outras palavras B (X ) divide A(X ). 11. 26/04/16. Seja A um dom´ınio de integridade e sejam P (X ), Q(X ) ∈ A[X ]. Mostre que o grau(P (X )Q(X )) = grau(P (X )) + grau(Q(X )). Escrevemos P (X ) = an X n + P (X ) e Q(X ) = bm X m + Q (X ) com grau(P ) = n, grau(Q) = m assim an = 0, bm = 0 e grau(P ) < n, grau(Q ) < m. Fazendo o produto P (X )Q(X ) obtemos an bm X n+m +
4
R(X ) com grau(R(X )) < n + m, e como A ´e um dom´ınio de integridade e a n = 0, b m = 0, obtemos a n bm = 0 logo grau(P (X )Q(X )) = n + m. 12. 26/04/16. Escreva e demonstre o teorema de isomorfismo para espa¸cos vetoriais sobre R. Se V ´e um espa¸co vetorial e W ´e um subespa¸co, V /W = {v + W : v ∈ V } ´e um espa¸co vetorial com a multiplica¸c˜ao por escalar dada por a(v + W ) := av + W (para todo a ∈ R, v ∈ V ). Consegue calcular dim(V /W )? Um homomorfismo de espa¸cos vetoriais (sobre um corpo k) ´e uma fun¸c˜ao linear f : V → U entre espa¸cos vetoriais V, U . Seja W = ker(f ). V /W = {v +W : v ∈ V } ´e um espa¸co vetorial com multiplica¸c˜ao por escalar dada por a(v + W ) := av + W (observe que para definir V /W n˜ ao precisamos de nenhuma condi¸ca˜o ulterior em W , basta que W seja um subespa¸co). Temos que ϕ : V /W → U dada por ϕ(v + W ) := f (v) ´e um isomorfismo de espa¸cos vetoriais: de fato, ´e um isomorfismo de grupos aditivos pelo teorema de isomorfismo de grupos, e ´e k-linear pois ϕ(a(v + W )) = ϕ(av + ∼ I m(f ). Lembre-se que W ) = f (av) = af (v) = aϕ(v + W ). Logo V /W = dim(V ) = dim(ker(f )) + dim(Im(f )) e ker(f ) = W , logo dim(V /W ) = dim(Im(f )) = dim(V ) − dim(W ). 13. 28/04/16. Usando o algoritmo de Euclide encontre um gerador do ideal (360, 12705) de Z (ideal gerado). 12705 360 1 0 12705 0 1 360 1 105 −35 106 45 −3 7 15 −247 Os quociˆentes s˜ao 35, 3, 2. O algoritmo terminou pois o pr´ oximo resto seria zero (15 divide 45). Obtemos que 12705 · 7 + 360 · (−247) = 15 = M DC (12705, 360). 14. 28/04/16. Usando o algoritmo de Euclide encontre um gerador do ideal (X 5 + 2X 3 + X 2 + 1, X 2 + X − 2) de Q[X ] (ideal gerado). Em outras palavras, encontre o maior divisor comum dos dois geradores. X 5 + 2X 3 + X 2 + 1 1 0 1 1 6
A(X )
X 2 + X − 2 0 1 3 −X + X 2 − 5X − 16 X 3 + 16 X 2 − 56 X + 1 B(X )
5
X 5 + 2X 3 + X 2 + 1 X 2 + X − 2 −6X 2 + 10X + 1 8 X 11 3 − 6 1935/384
onde A(X ) = 1 − 16 (− 94 X + 141 ) e B(X ) = − X 3 + X 2 − 5X − (− 16 X 3 + 64 1 2 X − 56 X + 1)(− 94 X + 141 ). 6 64 384 Observe tamb´em (mesmo que n˜ao seja pedido do exerc´ıcio) que 1935 A(X ) 384 5 3 2 2 ´e o inverso de X + 2X + X + 1 no anel Q [X ]/(X + X − 2) e 1935 B(X ) ´e o inverso de X 2 + X − 2 no anel Q [X ]/(X 5 + 2X 3 + X 2 + 1). O maior divisor comum entre X 5 + 2X 3 + X 2 + 1 e X 2 + X − 2 ´e 1 (observe que o maior divisor comum ´e definido a menos de multiplicar por um elemento invert´ıvel, isto ´e, uma constante n˜ao nula). Eles s˜ao polinˆomios coprimos. Isso implica que (X 5 + 2X 3 + X 2 + 1, X 2 + X − 2) = (1) = Q[X ].
15. 28/04/16. Seja A um anel (comutativo unit´ario) e seja f : A[X ] → A a fun¸ca˜o definida por f (P (X )) := P (0), isto ´e, f (a0 + a1 X + . . . + an X n ) := a0 . Usando o teorema de isomorfismo, mostre que A[X ]/(X ) ∼ = A (onde (X ) ´e o ideal principal gerado por X ). Se trata do exerc´ıcio 8, pois (X ) = { XP (X ) : P (X ) ∈ A[X ]}. A u ´nica coisa diferente ´e a nota¸c˜ao (X ). 16. 28/04/16. Seja B um anel (comutativo unit´ario) e seja A um subanel de B. Dado b ∈ B considere a fun¸ca˜o vb : A[X ] → B definida por vb (P (X )) := P (b): vb (a0 + a1 X + . . . + an X n ) := a 0 + a1 b + . . . + an bn . Mostre que se trata de um homomorfismo de aneis. Considere agora o caso A = R e B = C , b = i (assim i 2 = − 1). Mostre que ker(vi ) ´e o ideal principal gerado por X 2 + 1 (Dica: dado P (X ) ∈ ker(vi ) fa¸ca a divis˜ao com resto de P (X ) por X 2 +1). Usando o teorema de isomorfismo, deduza que C∼ = R[X ]/(X 2 + 1). Esse exerc´ıcio foi resolvido em sala de aula (notas de aula do dia 3 de maio). 17. 03/05/16. Qual ´e o n´ucleo de vi : Z[X ] → C, P (X ) → P (i)? Aplique o teorema de isomorfismo para escrever Z [i] como quociˆente de Z [X ]. Vamos mostrar que ker(vi ) = (X 2 + 1). Para fazer isso mostraremos as duas inclus˜o es. Se P (X ) ∈ (X 2 + 1) ent˜ao P (X ) = (X 2 + 1)A(X ) com A(X ) ∈ Z[X ] e vi (P (X )) = vi ((X 2 + 1)A(X ) ) = (i2 + 1)A(i) = 0 pois i2 = −1. Isso mostra ⊇. Agora mostraremos a inclus˜ao ⊆. Seja P (X ) ∈ ker(vi ), e fazemos a divis˜a o com resto de P (X ) por X 2 + 1 (pode ser feita, embora Z[X ] n˜ ao seja um dom´ınio Euclidiano, pois o 2 coeficiente de grau m´aximo de X + 1 ´e 1, que ´e invert´ıvel em Z!), obtendo P (X ) = Q(X )(X 2 + 1) + R(X ) com R(X ) = 0 ou grau(R(X )) < 2. Se R(X ) = 0 ent˜ao grau(R(X )) < 2 logo R(X ) = a + bX com a, b ∈ Z, assim R(i) = P (i) − Q(i)(i2 + 1) = 0 (pois P (X ) ∈ ker(vi )) implica que 0 = R(i) = a +bi. Se b = 0 ent˜ ao a +bi = 0 implica a = 0 assim R(X ) = 0,
6
o que ´e falso, ent˜ao b = 0 e a + bi = 0 implica i = − a/b ∈ Q, contradi¸c˜ao. Logo R(X ) = 0 e P (X ) = Q(X )(X 2 + 1) ∈ (X 2 + 1). Isso mostra que ker(vi ) = (X 2 + 1), logo pelo teorema de isomorfismo Z[i] = I m(vi ) ∼ = Z[X ]/(X 2 + 1). 18. 03/05/16. Calcule o n´ ucleo de v i+1 : Q[X ] → C, v i+1 (P (X )) := P (i + 1). Seja α := i + 1. Observe que (α − 1)2 = −1, logo α ´e raiz do polinˆomio (X −1)2 +1 = X 2 −2X +2. Por outro lado, α n˜ao ´e raiz de um polinˆomio de grau 1 pois se aX + b ∈ Q[X ] tem α como raiz, aα + b = 0 implica que α = −b/a ∈ Q, contradi¸ca˜o. Logo X 2 − 2X +2 ´e um polinˆomio de grau m´ınimo entre os polinˆomios que tˆem i+1 como raiz, logo ker(vi+1 ) = (X 2 − 2X +2) (veja a demonstra¸ca˜o do fato que os ideais de um dom´ınio Euclidiano s˜ ao principais, notas de aula do dia 28 de abril). Pode-se mostrar que ker(vi+1 ) = (X 2 − 2X + 2) tamb´ em mostrando as duas inclus˜ oes como feito no exerc´ıcio anterior. 19. 03/05/16. Seja A um dom´ınio de integridade e sejam a, b ∈ A. Mostre que (a) = (b) se e somente se existe um elemento invert´ıvel u ∈ A tal que b = au. Suponha (a) = (b), assim a divide b e b divide a. Escrevemos b = ac e a = bd, assim a = bd = acd logo a(1 − cd) = 0. Como A e´ um dom´ınio de integridade, isso implica que tem dois casos: a = 0 ou 1 − cd = 0. No primeiro caso a = 0 assim (a) = (0) = { 0} e (a) = (b) implica que b = 0 logo b = a · 1 (pois a = b = 0) e podemos escolher u = 1. Suponha agora que a = 0, assim estamos no segundo caso, 1 − cd = 0, assim cd = 1, logo c ´e invert´ıvel. Como b = ac, podemos escolher u = c. Agora suponha que b = au com u invert´ıvel. Para mostrar que (a) = (b) basta mostrar que a divide b e b divide a. Como b = au, ´e claro que a divide b. Por outro lado como u ´e invert´ıvel a = bu 1 logo b divide a. −
20. 03/05/16. Conte os ideais de Z/12Z. Pelo teorema de correspondˆencia, os ideais de Z /12Z = Z/(12) correspondem aos ideais de Z que contˆem (12), e como os ideais de Z s˜ao principais (sendo Z um dom´ınio Euclidiano), um ideal que contem (12) tem a forma (a) onde a e´ um divisor de 12, isto ´e, a ∈ {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. Como 1 e −1 s˜ao invert´ıveis, pelo exerc´ıcio anterior (a) = (−a) logo as possibilidades para (a) s˜ ao (1), (2), (3), (4), (6), (12), assim Z/12Z tem 6 ideais. O mesmo argomento mostra que o n´umero de ideais de Z/nZ ´e igual ao n´ umero de divisores positivos de n (isso ´e razoavel pois no caso de Z /nZ todos os subgrupos aditivos s˜ao ideais, e o n´ umero de subgrupos de um grupo c´ıclico C n ´e o n´ umero de divisores posit´ıvos de n). 21. 03/05/16. Mostre que Z/nZ ´e um corpo se e somente se n ´e um n´ umero primo. Veja o exerc´ıcio 3 acima. 7
22. 03/05/16. Mostre que se n > 1 ´e um inteiro, (n, X ) Z[X ] n˜ ao ´e um ideal principal. Suponha por contradi¸c˜ao que (n, X ) seja principal, (n, X ) = (P (X )) para algum P (X ) ∈ Z[X ]. Em particular P (X ) divide n e X , logo a u ´ nica possibilidade ´e P (X ) = 1 (como no caso j´a visto de n = 2), em particular (n, X ) = (P (X ) ) = (1) = Z[X ], logo existem A(X ), B(X ) ∈ Z[X ] tais que nA(X ) + X B(X ) = 1. Substituindo X = 0 obtemos nA(0) = 1, contradi¸c˜ao pois n ´e um inteiro maior doque 1 e A(0) ´e um inteiro (os u ´nicos inteiros invert´ıveis s˜a o 1 e − 1). 23. 03/05/16. Mostre que (X ) ´e um ideal maximal de Q [X ] (considere v 0 ). Usando v 0 (o homomorfismo de substitui¸c˜ao v 0 (P (X )) := P (0)), j´ a vimos ∼ que Q[X ]/(X ) = Q (nos exerc´ıcios 8 e 15). Logo Q[X ]/(X ) ´e um corpo (sendo um anel isomorfo a Q, que ´e um corpo), ent˜ ao (X ) ´e um ideal maximal de Q [X ] (lembre-se que A/I ´e um corpo se e somente se I ´e um ideal maximal). 24. 03/05/16. Mostre que (X 2 − 1) n˜ ao ´e um ideal maximal de Q[X ] (quantos ideais tem o quociˆente?). Como visto em sala de aula, o quociˆente Q [X ]/(X 2 − 1) tem quatro ideais (correspondentes aos divisores 1, X − 1, X + 1, X 2 − 1 de X 2 − 1), logo n˜ ao ´e um corpo (um corpo tem somente dois ideais, os dois ideais triviais (0) e (1)), logo (X 2 − 1) n˜ ao ´e um ideal maximal (lembre-se que A/I ´e um corpo se e somente se I ´e um ideal maximal). 25. 03/05/16. Seja a ∈ R. Mostre que R[X ]/(X − a) ∼ = R. Queremos aplicar o teorema de isomorfismo. Para fazer isso, considere va : R [X ] → R , o homomorfismo de substitui¸c˜ao va (P (X )) := P (a). Ele ´e sobrejetivo pois se r ∈ R ent˜ ao r ´e um polinˆomio constante e v a (r) = r. Para deduzir que R[X ]/(X − a) ∼ = R usando o teorema de isomorfismo falta mostrar que ker(va ) = (X − a). Vamos mostrar isso mostrando as duas inclus˜ o es. Se P (X ) ∈ (X − a) ent˜ ao P (X ) = Q(X )(X − a) para algum Q(X ) ∈ R[X ] logo va (P (X )) = va (Q(X )(X − a)) = Q(a)(a − a) = 0, assim P (X ) ∈ ker(va ). Isso mostra que (X − a) ⊆ ker(va ). Mostraremos agora que ker(va ) ⊆ (X − a), seja ent˜ao P (X ) ∈ ker(va ). Queremos mostrar que X − a divide P (X ), e para fazer isso fazemos a divis˜ao com resto de P (X ) por X − a (no dom´ınio Euclidiano R[X ] - lembre-se que se k ´e um corpo, k[X ] ´e um dom´ınio Euclidiano) esperando que o resto seja 0. Sejam ent˜ ao Q(X ), R(X ) in R[X ] tais que P (X ) = (X − a)Q(X ) +R(X ) e grau(R(X )) < 1 ou R(X ) = 0. Temos ent˜ao R(X ) = P (X ) − (X − a)Q(X ) logo R(a) = P (a) − (a − a)Q(a) = P (a) = 0 pois P (X ) ∈ ker(va ). Mas se R(X ) = 0 ent˜ao como grau(R(X )) < 1, R(X ) ´e um polinˆomio constante n˜ ao nulo com a como raiz, o que n˜ao ´e poss´ıvel. Isso mostra que R(X ) = 0 assim P (X ) = (X − a)Q(X ) pertence ao ideal principal (X − a). 26. 03/05/16. Encontre o inverso de 691 + I no anel Z /I , onde I = (1039). 8
Aplicando o algoritmo de Euclide temos 1039 691 1 0 1039 0 1 691 1 348 −1 2 343 −1 2 5 −3 3 −137 206 139 −209 2 1 −276 415 Os quociˆentes s˜ao 1, 1, 1, 68, 1, 1. Logo − 276 · 1039+415 · 691 = 1, assim o inverso de 691 + I no anel Z /I ´e 415. De maneira analoga, se J = (691) o inverso de 1039 + J em Z/J ´e −276 + J . 27. 03/05/16. Encontre o inverso de X 5 − 3 + I no anel Q[X ]/I , onde I = (X 2 + 2). Aplicando o algoritmo de Euclide temos X 5 − 3 1 0 1 −(X/4 + 3/16)
X 2 + 2 0 X 5 − 3 1 X 2 + 2 4X − 3 −X 3 + 2X 3 1 + (X/4 + 3/16)(X − 2X ) 41/16
Os quociˆentes s˜ao X 3 − 2X , X/4 + 3/16. O algoritmo termina aqui pois 16 o pr´oximo resto seria zero, de fato 4X − 3 = 41 16 · 41 (4X − 3) (observe que u = 41/16 ´e invert´ıvel em Q[X ], ent˜ ao ele divide todo polinˆomio). Logo −(X/4 + 3/16)(X 5 − 3 ) + ( 1 + (X/4 + 3/16)(X 3 − 2X ))(X 2 + 2) = 41/16 assim reduzindo modulo X 2 + 2 obtemos que −(X/4 + 3/16)(X 5 − 3) ≡ 41/16 modulo X 2 + 2. Multiplicando pelo inverso de 41/16 obtemos que (X/4 + 3/16)(X 5 − 3) ≡ 1 modulo X 2 + 2 (na verdade seria modulo − 16 41 16 (X 2 + 2), mas observe que os ideais ( 16 (X 2 + 2)) e (X 2 + 2) s˜ao iguais 41 41 pois 16 e invert´ıvel - veja o exerc´ıcio 19 acima). Logo o inverso de X 5 −3+I 41 ´ no anel Q[X ]/I ´e − 16 (X/4 + 3/16) + I . 41
9