INTERÉS COMPUESTO
PROF. PROF. MAG. ALFREDO ALFRED O VENTO ORTIZ ORTIZ
EL RÉGIMEN DE INTERÉS COMPUESTO Una operación financiera es concertada en el régimen del interés compuesto si los intereses generados en cada período (llamado “período de capitalización”), se desembolsan o se suman al capital inicial en dicho período . Cabe observar que en el interés compuesto el capital crece exponencialmente. La tasa de interés con la cual se calculan los intereses en este régimen se denomina tasa efectiva y ésta sólo se puede transformar utilizando operaciones de exponenciación. 2
CÁLCULO DEL VF PARA UN PERÍODO Suponga que usted dispone de un capital inicial de S/. 150, que otorga una Tasa Efectiva Mensual de 5%. Calcule el Valor Final a un período. Solución Capital inicial = S/. 150 TEM= 5% Por lo tanto el VF generado por S/. 1 luego de un mes será: VF = 1 + 0.05 = 1.05 (Factor de capitalización por período)
De este modo el VF generado por S/. 150 luego de un mes será: VF = 150 *(1.05) VF = 150*(1.05) 150 0
(1.05) 1 mes 3
CÁLCULO DEL VF CON VARIOS PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN En el contexto del ejercicio anterior, calcule el Valor Final al cuarto período. Solución Capital inicial = S/. 150 TEM= 5% Factor de capitalización mensual =(1.05)
Por lo tanto, S/. 1 al comenzar el segundo período se convertirá en S/. 1.05 al final del segundo período. Entonces, para el segundo período se tendría: VF2 = 150 (1.05)2 VF 2
VF 1 150 0
(1.05)
(1.05) 1
2
3
4 4
CÁLCULO DEL VF CON VARIOS PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN En el contexto del ejercicio anterior, calcule el Valor Final al cuarto período. Solución Capital inicial = S/. 150 TEM= 5% Factor de capitalización mensual =(1.05) Si empleamos el mismo razonamiento para los siguientes períodos, obtendremos los equivalentes futuros del capital inicial 150:
VF1=150(1.05)
VF4=150(1.05) 4
VF3=150(1.05)3 VF2=150(1.05) 2
150 0
1
2
3
4
5
OPERACIONES BÁSICAS DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS CAPITALIZACIÓN “SUMAR INTERESES A UN CAPITAL INICIAL” Si deseamos hallar el equivalente futuro (VF) de un capital inicial (VA), simplemente debemos multiplicar sucesivamente su magnitud por los factores de capitalización de cada período. ACTUALIZACIÓN “RESTAR INTERESES A UN CAPITAL FINAL” Si deseamos hallar el equivalente actual (VA) de un capital futuro (VF), simplemente debemos dividir sucesivamente su magnitud entre los factores de capitalización de cada período. 6
PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: ECUACIÓN DE VALOR “En una operación financiera, el dinero no se crea ni se
destruye, sólo se transforma a la tasa efectiva de dicha operación”
Siempre se deberá cumplir que a la tasa de la operación (llamada TIR), todos los ingresos deben ser “equivalentes” con todos los egresos, por lo tanto, sus valores actuales o valores futuros deben ser iguales. El planteamiento de dicha igualdad constituye lo que denominados la “ecuación de valor”, la cual debemos utilizar para resolver TODOS los problemas referidos a las matemáticas financieras. 7
Ejemplo 1: Con tasas fijas Una empresa obtiene un pagaré vencido de valor nominal S/. 5,000, a una TEM de 2% y con vencimiento a 120 días. Determine el importe a pagar en la fecha de vencimiento. Diseñamos el flujo de caja S/.5000
2% 0
2% 1
2% 2
2% 4
3
VF=? 8
Solución 1: Con tasas fijas 5000 Factor de capitalización
(1.02) 0
(1.02) 1
(1.02) 2
(1.02) 3
Se plantea el valor final de la siguiente manera:
4 VF =?
VF = 5 000 x (1,02) x (1,02) x (1,02) x (1,02) VF = 5 000 (1,02)4 = 5 412,16
9
Solución 1: Con Excel 1. 2. 3. 4.
Ingresar a la opción funciones – fx. En “usadas recientemente” seleccionar “Financieras” . Seleccionar VF. Ingresar Aceptar.
Tasa Nper Va VF
2% 4 5,000.00 5,412.16 10
Ejemplo 2: Con tasas fijas Una empresa invierte S/. 3000 en la compra de un papel comercial. Hallar el monto generado a fines del mes 15, si el rendimiento que ofrece este activo financiero es una TEM de 2,5%. Diseñamos el flujo de caja
VF=? 2.5%
0
2.5%
1
2.5%
2
13
2.5%
14
15 meses
3000 inversión 11
Solución 2: Con tasas fijas Factor de capitalización
(1,025) (1,025) 1 2 0
VF =? (1,025) (1,025) 13 14 15
3 000
Se plantea el valor final de la siguiente manera: VF= 3 000 (1,025)15 VF= 4 344,89
12
Solución 2: Con Excel 1. 2. 3. 4.
Ingresar a la opción funciones – fx. En “usadas recientemente” seleccionar “Financieras” . Seleccionar VF. Ingresar Aceptar.
Tasa Nper Va VF
2.5% 15 3,000.00 4,344.89 13
Ejemplo 3: Con tasas fijas Faltando 8 meses para su vencimiento, una empresa descuenta una letra de valor nominal S/. 6540. Si en esta operación se utilizará una TEM de 2,2%, determine el importe neto a recibir. Diseñamos el flujo de caja 6540 2.2%
0
2.2%
1
2.2%
2
6
2.2%
7
8
VA =? 14
Solución 3: Con tasas fijas Factor de capitalización
(1,022) (1,022) 0 1 2
6540 (1,022) (1,022) 6 7 8
VA =? El Valor Actual se plantea de la siguiente manera:
VA = 6 540 / (1.022)8 = 5 495,04 15
Solución 3: Con Excel 1. 2. 3. 4.
Ingresar a la opción funciones – fx. En “usadas recientemente” seleccionar “Financieras” . Seleccionar VA. Ingresar Aceptar. Tasa Nper Vf VA
2.2% 8 6,540.00 5,495.04 16
Ejemplo 4: Con tasas fijas Un capital de S/. 8000 ha generado un monto de S/. 12800 luego de 30 meses. Hallar la TEM a la cual estuvo sujeta. Valor final 12800
Diseñamos el flujo de caja
i = tasa decimal mensual
i 0
i 1
i 2
28
i 29
30
8000 Valor actual 17
Solución 4: Con tasas fijas i = tasa decimal mensual Factor de capitalización
(1+i) (1+i) 0 1 2
12800 (1+i) 28
(1+i) 29
30 meses
8000 Planteamiento para hallar la tasa decimal mensual: 12800 = 8000 (1+i) 30 i = (12 800 / 8 000) (1/30) - 1 = 0,015790 i% = 1,5790% 18
Solución 4: Con Excel 1. 2. 3. 4.
Ingresar a la opción funciones – fx. En “usadas recientemente” seleccionar “Financieras” . Seleccionar TASA Ingresar Aceptar.
Nper Va Vf TASA
30 8,000 12,800 1.5790% 19
Ejemplo 5: Con tasas fijas Un capital de S/. 9000 ha generado un monto de S/. 15300, si estuvo sujeto a una tasa de 3,5% mensual. Hallar el plazo de la operación. Valor Futuro 15300
Diseñamos el flujo de caja 3.5%
0
3.5%
1
3.5%
2
(n-2)
3.5%
(n-1)
n
9000 Valor Actual 20
Solución 5: Con tasas fijas Factor de capitalización
(1,035) (1,035) 0 1 2
15300 (1,035) (1,035) (n-2) (n-1) n
9000 Planteamiento para hallar el número de períodos:
15 300= 9 000 (1.035)n n = Log (15 300 / 9 000) / Log (1.035) n = 15,42 21
Solución 5: Con Excel 1. 2. 3. 4.
Ingresar a la opción funciones – fx. En “usadas recientemente” seleccionar “Financieras” . Seleccionar NPER Ingresar Aceptar. Tasa Va Vf NPER
3.50% 9,000 15,300 15.42 22
VALUACIÓN Y VALOR ACTUAL (VA)
El valor actual se utiliza para determinar el valor económico actual de un capital futuro.
Se le debe entender como el resultado de restar a un capital futuro la mínima utilidad o ganancia esperada por el inversionista.
En su cálculo se debe utilizar el COK del inversionista. 23
CÁLCULO DEL MÁXIMO PRECIO A PAGAR
VF Ganancia
VA
VA (1+i) 0
(1+i) 1
(1+i) 2
(1+i) 3
4 . . . . n
VA = VF - Ganancia =
VF (1+COK)n VA = máximo precio a pagar
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Ejemplo 6: Valuación de activo Suponga que usted puede comprar hoy día una máquina la cual espera venderla dentro de 5 meses a un precio de S/. 8 000. Si su COK es 3,5% mensual, ¿cuánto es lo máximo que usted estará dispuesto a pagar por dicha máquina?. 8 000
3.5 % 0
3.5 % 1
3.5 % 2
3.5 % 3
3.5 % 4
5
VA = ? 25
Solución 6: Valuación de activo 8000
(1.035) (1.035) (1.035) (1.035) (1.035) 0 1 2 3 4 5 VA=?
VA = 8 000 = 6 735,79 (1,035)5 26
Ejemplo 7: Valoración de activo financiero Una empresa desea comprar un papel comercial por el cual recibirá S/. 6 788,45 dentro de 158 días, si su COK es 2,5% TEM, determine el máximo precio que estará dispuesta a pagar por dicho activo financiero. 6,788.45
0
1
2
3
4
158 días
VA =? 27
Solución 12: Valor Actual con tasas fijas 6 788.45 (1.025) (1.025) (1.025) (1.025) (1.025) 0 1 2 3 4 158 días
VA = 6 788.45 = 5 960.62 (1,025)(158/30)
VA =? VF n i% VA
6788.45 5.27 2.5% 5,960.62 28