Integrales no elementales 1.1 1.1
Cons Consid ider erac acio ione ness te´ te´ oricas oricas
¿Es posible integrar todas las funciones continuas? La respuesta es no, al menos no en t´ erminos erminos de las funciones con las que estamos familiarizados. Las funcione funcioness con las que se trabaja trabaja com´ unmente unmente se llaman llaman funciones Estass son los polino polinomi mios os,, funfunfunciones elementales elementales. Esta a x ciones ciones racionales racionales,, funciones funciones potencia (x ), funciones funciones exponenciales exponenciales ( a ), funciones funcion es logar´ıtmicas, ıtmicas , funciones funcion es trigonom´ trigono m´etricas etricas y trigonom´ trigon om´etricas etricas inversas, funciones funcion es hiperb´ hi perb´olicas, olicas, funciones hiperb´olicas olicas inversas y todas las funciones que pueden ser obtenidas de las anteriores mediante las operaciones de adici´on, on, sustracci´on, on, multiplicaci´on, on, divisi´on on y composici´on. on. Por ejemplo, la funci´on on x2 1 + ln(cosh x) xesen 2x f (x) = 3 x + 2x 1 es una funci´on on elemental. Si f es una funci´on on elemental, entonces su derivada f es una funci´on on elemental, pero su antiderivada F (x) no necesariamente es una funci´on on elemental. Considere f (x) = ex . Puesto que f es continua entonces es integrable y si se define la funci´on on F como
−
−
−
2
x
F (x) =
2
et dt
0
2
entonces se sabe por la parte 1 del Teorema Fundamental del C´alculo alculo que F (x) = e x . Por lo tanto, f (x) = ex tiene una antiderivada F , pero se puede demostrar (utilizando conceptos avanzados de Variable Compleja) que F no es una funci´on on elemental. El desarrollo de computadoras y calculadoras que encuentran antiderivadas por manipulaci´on simb´ olica ha llevado a renovar olica el inter´es es en determinar determi nar cu´ales ales antiderivadas pueden ser expresadas como combinaciones finitas de funciones elementales y cu´ales ales no. Las integrales integrales de funciones funciones que no tienen tienen antideriv antiderivadas adas elementales elementales son llamadas llamadas integrales no elementales. ¿Qu´e se puede hacer entonces cuando se desea evaluar una integral definida que no tiene primitiva (o antiderivada) antiderivada) elemental? B´asicamente, asicamente, hay dos situaciones en las cuales es imposible encontrar el valor exacto de una integral definida. b La primera situaci´on on surge del hecho de que para evaluar a f (x)dx usando el Teorema Fundamental del C´alculo alculo necesitamos conocer una antiderivada de f . Algunas veces, sin embargo, es dif´ıcil ıcil o incluso imposible evaluar evaluar exactamente integrales como la funci´on on error (que mide la probabilidad de errores aleatorios):
2
erf (x) =
2
√ π
x
e
t2
−
dt
0
e integrales como
2
sen (x )dx
1 +
y
x4 dx
las cuales aparecen en aplicaciones aplicaci ones en Ingenier Ingenie r´ıa y en F´ısica. Algunas Algunas otras son:
e
e
x
x3
dx,
1 ln
+ 1 dx,
x x
dx,
ln(ln x)dx,
e ln x dx y
sen
1 −
x
x
dx,
cos(ex )dx
k 2 sen 2 x dx,
0 < k < 1
A´ un un cuando parezcan f´aciles aciles es posible demostrar que no hay manera de expresarlas como combinaciones finitas de funciones elementales y lo mismo aplica para integrales que surgen de ellas por sustituci´on. on. Es importante aclarar que TODAS las funciones en los integrandos de los ejemplos anteriores tienen antiderivadas, por ser continuas, pero ninguna de estas antiderivadas es elemental. La otra situaci´on on surge cuando la funci´on on es determinada de un experimento cient´ cient´ıfico a trav´ es es de lecturas de instrumentos o de datos recolectados y podr p odr´´ıa no haber una f´ormula ormula para la funci´on on (hay que recordar que por definici´on on una funci´on on es un conjunto de pares ordenados en el que para pares ordenados diferentes no se repite el primer n´umero y las componentes de cada par ordenado podr´ıan ıan o no estar relacionadas mediante una f´ ormula). ormula).
1
En ambos casos el ´unico recurso es encontrar un valor aproximado de la integral y los m´etodos num´ ericos como la Regla del Trapecio o la Regla de Simpson ofrecen una manera pr´actica de encontrar este valor aproximado. El desarrollo en serie de potencias es otra alternativa. En la siguiente secci´on se enlistan algunos resultados que permiten distinguir si cierto tipo de funciones tienen primitiva elemental (adem´as de las que ya se mencionan en esta secci´on).
1.2
Criterios para integrales no elementales
1. Si g (x) es un polinomio de grado mayor o igual a 2, la integral
eg(x) dx no es elemental.
2. Si f (x) es un polinomio de grado mayor o igual a 2, las integrales
sen[f (x)] dx y
cos[f (x)] dx no son elementales.
3. Si P (x) y Q (x) son polinomios tales que Q(x) tiene ra´ıces no repetidas, grad Q(x) = m la integral P (x) dx Q(x)
no es elemental.
4. Si 0 < k < 1 la integral
no es elemental.
k 2 x2
(1 −1 −)(1 − x2
k2 x2 )
dx
5. Si P (x) es un polinomio de grado mayor a 1 con ra´ıces no repetidas, entonces y = 6. La integral binomial
m
≥ 3 y gradP (x) < 2 − 1, entonces
( ) no tiene una primitiva elemental. P x
xk (b + ax h )q dx,
donde a y b son reales y h , k y q son racionales ( y a , b , h , k y q son todos no nulos), es elemental s´ı y s´ olo s´ı al menos uno de los tres n´ umeros k + 1 k + 1 + q q, , h
h
es entero.
1.3
Bibliograf´ıa
1. STEWART, James. C´ on. M´ exico, International Thomson Editores, 2002. alculo Trascendentes Tempranas . Cuarta edici´ 2. THOMAS, George y Finney, Ross L. C´ on. M´exico, Addison Wesley Longman de M´exico, alculo Una Variable . Novena edici´ 1998. 3. IVORRA, Carlos. Funciones sin primitiva elemental . [en l´ınea]. Espa˜na.
http://www.uv.es/ivorra/Libros/Primitivas.pdf . [Consultado el 30 de abril de 2013].
2
