PRESENTACION El presente diseño de aprendizaje se ha elaborado con esfuerzo y dedicación; por ello este se fundamenta en un un enfoque constructivista; y no solo eso, pues es un texto sumamente sumamente accesible con un planteamiento novedoso y una exposición interesante y amena con la finalidad de crear condiciones favorables para que el alumno logre con éxito el desarrollo de sus habilidades y capacidades como: Comunicación Matemática, Resolución de problemas, Razonamiento y Demostración. Por otro lado espero que el contenido referido al Ángulos Múltiples “
”
sirva como
referencia para mejorar la enseñanza en el área de matemática, porque ya sabemos el docente debe estar en constantemente capacitación y preparación para afrontar con éxito las exigencias que el sistema educativo propone y asimismo erradicar el miedo que sienten los alumnos hacia la asignatura de matemática. Espero haber cumplido con mi cometido y agradezco de antemano todo tipo de críticas en aras de mejorar el texto que ponemos en vuestras manos y así poder estar acorde con las exigencias de la especialidad de matemática.
Atentamente
TA NDA YPÁN PERED A, T eresa resa I sabel abel
ÍNDICE PRESENTACIÓN SESIÓN DE APRENDIZAJE………………………………………………….……………. 4 I.
DATOS DE INFORMATIVOS……………………………………………………….… 4
II.
TEMA……………………………………………………………………………………....4 TEMA…………………………………………………………………………………… ....4
III.
UNIDAD DIDACTICA…………………………………………………………………..…4
IV.
APRENIZAJES ESPERADOS…………………………………………………………..…4
V.
CAPACIDADES……………………………………………………………………...… .…5
VI.
ACTITUDES………………………………………………………………….…………… .6
VII.
SELECCIÓN DE CONTENIDOS Y DIVERSIFICADOS E INDICADORES DE EVALUACIÓN………………………………………………..….7
VIII.
CONTENIDO TRANSVERSAL……………………………………………………..…...7
IX.
PRE- REQUISITOS……………………………………………………………….…….. .8
X.
DISEÑO DE EVALUACIÓN………………………………………………..…………...8 EVALUACIÓN………………………………………………..…………...8
XI.
SECUENCIA DIDACTICA…………… DIDACTICA…………………………………… …………………………………….………..….9 …………….………..….9
ANEXOS……………………………………………………………………..….…………..14 ANEXOS…………………………………………………………………… ….…………..14
SUSTENTO CIENTIFICO………………………………………………………………..15 INTRODUCCION………………………………………..……………………..………..…16 CAPITULO I: ANGULOS MULTIPLES EN EL CONTEXTO DE LA MATEMÁTICA…………….…………………………………………..…………..17 MATEMÁTICA…………….…………………………………………..…………..17 CAPITULO
II:
DESARROLLO
CIENTIFICO
DE
ANGULOS
MULTIPLES…………………….………………………………………..……………. .18 CAPITULO III: APLICACIÓN DEL TEMA EN OTROS CONTEXTOS…………………………………………………………………………….. ..24 CONCLUCIONES……………………………………………………………………… ....27 REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍCAS………………………………………….………....28 BIBLIOGRAFÍCAS………………………………………….………....28 …………….……………………………………................29 .............29 SUSTENTO PEDAGOGICO…………….……………………………………... INTRODUCCION……………………………………………………………………….. ..30 P’EDAGOGICOS…………………………...…….. ..31 CAPI CAPI TULO I: FUNDAMENTOS P’EDAGOGICOS…………………………...……....31 1. EDUCACIÓN………………………………………………………………………....31 1.1.
CONCEPCIÓN CONCEPCIÓN DE EDUCACIÓN……………………………………..….31
1.2.
PILARES DE LA EDUCACIÓN………………………………………….…33 1.2.1. APRENDER A CONOCER………………………………………...33 CONOCER………………………………………...33 1.2.2. APRENDER A HACER……………………………………….…....33 HACER……………………………………….…....33
ÍNDICE PRESENTACIÓN SESIÓN DE APRENDIZAJE………………………………………………….……………. 4 I.
DATOS DE INFORMATIVOS……………………………………………………….… 4
II.
TEMA……………………………………………………………………………………....4 TEMA…………………………………………………………………………………… ....4
III.
UNIDAD DIDACTICA…………………………………………………………………..…4
IV.
APRENIZAJES ESPERADOS…………………………………………………………..…4
V.
CAPACIDADES……………………………………………………………………...… .…5
VI.
ACTITUDES………………………………………………………………….…………… .6
VII.
SELECCIÓN DE CONTENIDOS Y DIVERSIFICADOS E INDICADORES DE EVALUACIÓN………………………………………………..….7
VIII.
CONTENIDO TRANSVERSAL……………………………………………………..…...7
IX.
PRE- REQUISITOS……………………………………………………………….…….. .8
X.
DISEÑO DE EVALUACIÓN………………………………………………..…………...8 EVALUACIÓN………………………………………………..…………...8
XI.
SECUENCIA DIDACTICA…………… DIDACTICA…………………………………… …………………………………….………..….9 …………….………..….9
ANEXOS……………………………………………………………………..….…………..14 ANEXOS…………………………………………………………………… ….…………..14
SUSTENTO CIENTIFICO………………………………………………………………..15 INTRODUCCION………………………………………..……………………..………..…16 CAPITULO I: ANGULOS MULTIPLES EN EL CONTEXTO DE LA MATEMÁTICA…………….…………………………………………..…………..17 MATEMÁTICA…………….…………………………………………..…………..17 CAPITULO
II:
DESARROLLO
CIENTIFICO
DE
ANGULOS
MULTIPLES…………………….………………………………………..……………. .18 CAPITULO III: APLICACIÓN DEL TEMA EN OTROS CONTEXTOS…………………………………………………………………………….. ..24 CONCLUCIONES……………………………………………………………………… ....27 REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍCAS………………………………………….………....28 BIBLIOGRAFÍCAS………………………………………….………....28 …………….……………………………………................29 .............29 SUSTENTO PEDAGOGICO…………….……………………………………... INTRODUCCION……………………………………………………………………….. ..30 P’EDAGOGICOS…………………………...…….. ..31 CAPI CAPI TULO I: FUNDAMENTOS P’EDAGOGICOS…………………………...……....31 1. EDUCACIÓN………………………………………………………………………....31 1.1.
CONCEPCIÓN CONCEPCIÓN DE EDUCACIÓN……………………………………..….31
1.2.
PILARES DE LA EDUCACIÓN………………………………………….…33 1.2.1. APRENDER A CONOCER………………………………………...33 CONOCER………………………………………...33 1.2.2. APRENDER A HACER……………………………………….…....33 HACER……………………………………….…....33
1.2.3. APRENDER A SER………………………………………………....34 1.2.4. APRENDER A VIVIR JUNTOS…………………………………....34 2. PRINCIPIOS DE LA EDUCACIÓN………………………………………………..35
3.
2.1.
PRINCIPIOS DE LA INDIVIDUALIDAD………………………………….35
2.2.
PRINCIPIO DE ACTIVIDAD………………………………………………..35
2.3.
PRINCIPIO DE SOCIALIZACION……………………………………….….36
PEDAGOGÍA………………………………………..……………………………….……37 3.1.
DEFINICIÓN……………………………………………………………..…. 37
3.2.
CONCEPCION DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE………….……………..37 3.2.1. APRENDIZAJE…………………………………………………….…..37 A. DEFINICION: ……………………………….…………………..…37 B. TEORIAS……………………..………………………….………….38 3.2.2. ENSEÑANZA………………………………………………………. ENSEÑANZA……………………………………………………….….40 A. DEFINICION…………………………………………………. DEFINICION………………………………………………….…...40 B. PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE…………………..41 a) PRINCIPIO DE MOTIVACIÓN…………………………. MOTIVACIÓN…………………………..…… .……42 42 b) PRINCIPIO DE ESTRUCTURACION……………… ESTRUCTURACION……………………… ………...43 ...43 c) PRINCIPIO DE SECUENCIACION…………………………..43 d) PRINCIPIO DE ACTIVIDAD………………………………....43 ACTIVIDAD……………………………… ....43 e) PRINCIPIO DE SISTEMATIZACION……………………… SISTEMATIZACION………………………...44 ...44 f) PRINCIPIO DE REFORZAMIENTO…………………………..44 REFORZAMIENTO………………………… ..44
CAPITULO II : FUNDAMENTOS DIDACTICOS...………………………….…………45
1. DIDACTICA:
1.1. CONCEPCION DE DIDACTICA………………………………………..45 2. DISEÑO INSTRUCCIONAL………………………………………………...45 DEL DISEÑO INSTRUCCIONAL……………………….…...46 2.1. FASES DEL 2.1.1. FASE DE INICIACION………………… INICIACION………………………………………… ……………………….46 .46 2.1.2 FASE DE DESARROLLO…………………………………….….4 DESARROLLO………… ………………………….….477 2.1.3 FASE DE CULMINACION……………… CULMINACION………………………………………4 ………………………488 METODOLOGICAS……………………………….…...49 CAPITULO APITULO II I: ESTRATEGIAS METODOLOGICAS………………………………. EDUCATIVOS…………………………… ..52 CAPI CAPI TULO IV: MEDIOS Y MATERIALES EDUCATIVOS……………………………..52 CAPI CAPI TULO V: EVALUACION……………………………………………………… .……54
CONCLUCIONES……………………………………………………………………… ...…56 ...…56 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS…………………………………………………… ....58
“ Liceo Trujillo ” Secundaria de Menores Quinto “B” Matemática 3 Horas Reyna La Portilla, Milton Tandaypan Pereda, Teresa Isabel Vílchez Siccha, Arquímedes Razones Trigonométricas de Ángulos Compuestos y Múltiples
Para poder lograr el aprendizaje significativo es muy importante que el alumno tenga conocimientos previos al tema para así poder asociar conocimientos nuevos sin dificultades. De tal manera que el estudiante al término de la presente sesión estar en capacidad de: Determinar el valor de la razón trigonométrica seno, coseno y tangente del ángulo duplo con precisión. Determinar el valor de la razón trigonométrica seno, coseno y tangente del ángulo mitad con exactitud. Determinar el valor de la razón trigonométrica seno, coseno y tangente del ángulo triple. Demostrar identidades trigonométricas, aplicando funciones trigonométricas de ángulos múltiples estudiados. Resolver un listado de ejercicios aplicando razones trigonométricas de ángulos múltiples con precisión. Resolver un conjunto de problemas aplicando razones trigonométricas de ángulos múltiples. Aplicar las diversas relaciones que se presentan en las funciones trigonométricas del ángulo doble, mitad y triple a situaciones problemáticas especificas.
Determina
Pensami- ento creativo
G E O Determina M Razona- E miento y T demos- R tración I A Determina
Demuestra Y
Resuelve
Solución de Resolució problemas n Resuelve de roblemas
Aplica
M E D I D A
Seno, Coseno, Tangen-te del ángulo duplo y sus aplica- ciones Seno, Coseno, Tangen-te del ángulo mitad. Seno, Coseno, Tangen-te del ángulo triple. Ejercicios y proble- mas aplican-do R.T. de ángulos múltiples.
Determina el valor de la razón trigonométrica seno, coseno y tangente del ángulo duplo con precisión.
Los alumnos prestan atención al docente durante la clase.
Los alumnos podrán cambiar sus ideas y habilidades.
Los alumnos resuelven y presentan sus ejercicios en el tiempo indicado.
Cumplen con sus tareas encomendadas en forma individual y grupal.
Determina el valor de la razón trigonométrica seno, coseno y tangente del ángulo mitad con exactitud. Determina el valor de la razón trigonométrica seno, coseno y tangente del ángulo triple. Demuestra identidades trigonométricas, aplicando funciones trigonométricas de ángulos múltiples estudiados. Resuelve un listado de ejercicios aplicando razones trigonométricas de ángulos múltiples con precisión. Resuelve un conjunto de problemas aplicando razones trigonométricas de ángulos múltiples. Aplica las diversas relaciones que se presentan en las funciones trigonométricas del ángulo doble, mitad y triple a situaciones problemáticas especificas.
Trabajo y producción.
Valoración del patrimonio cultural, histórico y regional.
Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Funciones trigonométricas de un ángulo
Razones trigonométricas de ángulos compuestos (Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de dos ángulos).
Determina el valor de una razón trigonométrica,
Lista de cotejos de
aplicando fórmulas del seno, coseno y tangente del ángulo duplo, mitad y triple con exactitud.
intervenciones orales.
Demuestra identidades trigonométricas aplicando funciones trigonométricas, aplicando funciones
Practica calificada.
trigonométricas de ángulos múltiples.
Resuelve un listado de ejercicios, aplicando
Prueba control.
razones trigonométricas de ángulos múltiples con exactitud.
Prueba objetiva.
Resuelve un conjunto de problemas, aplicando funciones trigonométricas de ángulos múltiples. Presenta las tareas asignadas en el tiempo propuesto.
Ficha de observación
Trabaja en el aula. Elabora sus trabajos con originalidad. Lista de cotejos
Saludo cordial a los alumnos recordándoles el orden y la limpieza.
Pizarra
La docente presenta una situación problemática (caso del péndulo) para ayudarlos a sumergirse en el tema.
Observación
Participativa
Tizas
Los alumnos observan la situación y la docente pregunta: ¿Qué
Anticipa procesos cognitivos para descubrir el tema a estudiar
relación tiene el caso presentado con el tema a estudiar? Los alumnos participan dando lluvia de ideas para tratar de
Análisis
Interrogativa Recurso verbal
descubrir el tema. Finalmente los alumnos orientados por la docente deducen el tema a estudiar denominado
Expositiva
Recurso verbal
La docente expresa: Al finalizar la clase ustedes estarán en condiciones de determinar el
valor de la razón trigonométrica seno, coseno y tangente del ángulo doble, mitad y triple con precisión. Aplicar las diversas relaciones que se presentan en las funciones
7
trigonométricas del ángulo doble, mitad y triple a situaciones problemáticas especificas.
Recupera saberes previos
La docente hace un sondeo de los saberes previos de los alumnos del tema anterior de funciones de ángulos compuestos.
Aplicación
Expositiva
Pizarra
Análisis
Participativa
Tizas
Observación
Colectiva
Pizarra
Aplicación
Escrita
Tizas
Determina el valor de una razón trigonométrica, aplicando fórmulas del seno, coseno y tangente del ángulo duplo, mitad y triple con exactitud.
La docente demostrara en la pizarra la deducción de las identidades Del Angulo Doble y poder completar el instructivo Los
son aquellos cuya forma es , y la identidades de
este tipo de ángulos se deducen a partir de las identidades de los ángulos compuestos, dándole a este la forma de
: Se deduce reemplazando α por β en la fórmula del seno de la suma de dos ángulos.
Hagamos (
) , con lo que obtendremos que:
Observación
Expositiva
Recurso verbal
Analiza la formación de ángulo doble, mitad y triple, etc.
Analiza y evalúa la s formulas encontradas.
trigonométricas del ángulo doble, mitad y triple a situaciones problemáticas especificas.
Recupera saberes previos
La docente hace un sondeo de los saberes previos de los alumnos del tema anterior de funciones de ángulos compuestos.
Aplicación
Expositiva
Pizarra
Análisis
Participativa
Tizas
Observación
Colectiva
Pizarra
Aplicación
Escrita
Tizas
Observación
Expositiva
Recurso verbal
Determina el valor de una razón trigonométrica, aplicando fórmulas del seno, coseno y tangente del ángulo duplo, mitad y triple con exactitud.
La docente demostrara en la pizarra la deducción de las identidades Del Angulo Doble y poder completar el instructivo Los
son aquellos cuya forma es , y la identidades de
este tipo de ángulos se deducen a partir de las identidades de los ángulos compuestos, dándole a este la forma de
: Se deduce reemplazando α por β en la fórmula del seno de la suma de dos ángulos.
Hagamos (
) , con lo que obtendremos que:
2 α
α
Analiza la formación de ángulo doble, mitad y triple, etc.
Analiza y evalúa la s formulas encontradas.
α
Análogamente se deducirán las demás identidades tanto con ángulo
Aplicación
Colectiva
8
doble como mitad y triple estas se desarrollaran conjuntamente con la participación amena de los alumnos.
Interrogativa
Luego se les presentara algunos ejercicios de aplicación para que resuelvan durante la clase.
El docente forma grupos de trabajo y proporciona una hoja de trabajo
a los grupos.
Observación
Colectiva
Análisis
Participativa
Aplicación
Expositiva
Luego se sortea un representante de cada grupo para que participe en la pizarra exponiendo un ejercicio que por sorteo le toque.
Escrita
Observación Esta se aplica durante el desarrollo de la sesión , corrigiendo errores, aclarando dudas y confirmando aciertos. Pero obviamente se califica en una ficha evaluativa de
tizas
Resolver un conjunto de problemas aplicando razones trigonométricas de ángulos múltiples.
Pizarra
Los alumnos analizan y desarrollan cooperativamente los ejercicios propuestos; aplicando lo aprendido.
Material impreso
Análisis
Recurso verbal Aplicar las diversas relaciones que se presentan en las funciones trigonométricas del ángulo doble, mitad y triple a situaciones problemáticas especificas.
Explicativa
Recurso verbal Evalúa y se autoevalúa para Tizas superar algunos conflictos de Participativa aprendizaje Pizarra Interrogativa
participación.
Aplicación
Individual
Material
Investiga sobre los ángulos
doble como mitad y triple estas se desarrollaran conjuntamente con la participación amena de los alumnos.
Interrogativa
Luego se les presentara algunos ejercicios de aplicación para que resuelvan durante la clase.
El docente forma grupos de trabajo y proporciona una hoja de trabajo
a los grupos.
Observación
Colectiva
Análisis
Participativa
Material impreso tizas
Resolver un conjunto de problemas aplicando razones trigonométricas de ángulos múltiples.
Pizarra
Los alumnos analizan y desarrollan cooperativamente los ejercicios Aplicación
propuestos; aplicando lo aprendido.
Expositiva
Luego se sortea un representante de cada grupo para que participe en la pizarra exponiendo un ejercicio que por sorteo le toque.
Escrita
Observación Esta se aplica durante el desarrollo de la sesión , corrigiendo errores, aclarando dudas y confirmando aciertos. Pero obviamente se califica en una ficha evaluativa de
Análisis
Recurso verbal Aplicar las diversas relaciones que se presentan en las funciones trigonométricas del ángulo doble, mitad y triple a situaciones problemáticas especificas.
Explicativa
Recurso verbal Evalúa y se autoevalúa para Tizas superar algunos conflictos de Participativa aprendizaje Pizarra Interrogativa
participación.
Aplicación La docente entrega un material impreso
conteniendo
Individual
Material impreso
Investiga sobre los ángulos múltiples.
ejercicios sobre ángulos múltiples, para ser resueltos en casa y presentados en sus cuadernos. 9
SANDOVAL PEÑA, Juan Carlos. “TRIGONOMETRÍA Primer nivel” Colección Racso. Primera edición 2005 GOÑI GALARZA, JUAN . “TRIGONOMETRIA” Editorial Ingeniería EIRL. Primera edición 2003. SANTILLANA. “NUEVO SÍMBOLO 5”. Editorial Santillana S.A. Lima – Perú. 2000. COVEÑAS NAQUICHE, Manuel. “MATEMÁTICA 5” Editorial Bruño. Lima Perú. Segunda edición. 2006. ROJAS PUEMAPE, Alfonso. “MATEMÁTICA APLICADA 5”Colección Scanner. Editorial San Marcos. Lima – Perú.
SANDOVAL PEÑA, Juan Carlos. “TRIGONOMETRÍA Primer nivel” Colección Racso. Primera edición 2005 GOÑI GALARZA, JUAN . “TRIGONOMETRIA” Editorial Ingeniería EIRL. Primera edición 2003. SANTILLANA. “NUEVO SÍMBOLO 5”. Editorial Santillana S.A. Lima – Perú. 2000. COVEÑAS NAQUICHE, Manuel. “MATEMÁTICA 5” Editorial Bruño. Lima Perú. Segunda edición. 2006. ROJAS PUEMAPE, Alfonso. “MATEMÁTICA APLICADA 5”Colección Scanner. Editorial San Marcos. Lima – Perú.
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11
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PRESENTACION El presente sustento científico correspondiente al tema de Ángulos Múltiples está estructurado en tres capítulos. El primero es Ángulos Múltiples en el contexto de la Matemática, el segundo es el desarrollo científico del tema y por último las aplicaciones del tema en otros contextos. En la actualidad uno de las ramas que ha ido cobrando vital importancia dentro de las matemáticas, es la Trigonometría, pues esta nos ayuda a realizar una exploración inicial de las matemáticas superiores y nos muestra de un modo sencillo todo lo que rodea a la figura llamada triangulo, a quien consideramos de gran interés en el ámbito matemático. En este sustento se destaca la importancia y la utilidad de reconocer los Ángulos Múltiples que debido a su funcionalidad no solo dentro del aula, sino también en situaciones cotidianas ha hecho que se le asigne un lugar dentro del diseño curricular nacional. Además de desarrollarse este tema, se va a potenciar ciertas habilidades, como la capacidad de razonamiento y demostración y para poder destacarse en esta capacidad necesitara desarrollar capacidades previas, las cuales facilitaran su aprendizaje.
13
INTRODUCCIÓN La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios. Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de 1°, desde 0° a 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triángulos esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría fue la introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función
14
seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era una proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas. A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica. Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura transversal, el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas independientes. El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de 15
funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés François Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sen nq y cos nq, en función de potencias de senq y cos(q). Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos oblicuos. Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos
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CAPITULO I: ANGULOS MULTIPLES EN EL CONTEXTO DE LA MATEMATICA 1.1. UBICACIÓN DEL TEMA EN EL ÁREA El presente tema de aprendizaje de clase sobre ―Ángulos Múltiples‖. Se encuentra ubicado en el área de matemática y de acuerdo al Diseño Curricular Nacional (D.C.N.) se ubica dentro del componente de Geometría y Medida.
1.2. IMPORTANCIA DEL TEMA EN EL LOGROS DE LAS CAPACIDADES En ésta sesión se pretende que el alumno logre comprender la definición de Ángulos Múltiples, determine el valor de la razón trigonométrica seno, coseno y tangente del ángulo duplo, mitad y triple con precisión y demuestre identidades trigonométricas, aplicando funciones trigonométricas de ángulos múltiples estudiados, para luego poder aplicar en los ejercicios propuestos por ello se trabajará el valor de la perseverancia y responsabilidad. El propósito de la presente sesión de aprendizaje es para desarrollar las capacidades y destrezas de los alumnos como por ejemplo mejorar su capacidad de análisis, interpretación, en los aprendizajes para que se aprendan a aprender. Además para que desarrollen sus habilidades en diversos campos y logren conocerse así mismo y al mundo que lo rodea.
1.3. RELACIÓN DEL TEMA CON SABERES PREVIOS Y SABERES POSTERIORES Para desarrollar el tema ―Ángulos Múltiples ―es necesario que el alumno tenga conocimiento previo sobre Razones trigonométricas de un ángulo en posición norma, funciones
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trigonométricas de un ángulo, razones trigonométricas de ángulos compuestos (Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de dos ángulos).
CAPITULO II: DESARROLLO CIENTIFICO DE LOS ANGULOS MULTIPLES F UNCI ONES TRIGONOM ETRI CAS DE ANGULOS M UL TI PLES Habiendo encontrado las funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos, procederemos a encontrar los cases especiales de gran utilidad que son los arcos dobles, mitad y triple. Este estudio permitirá dar la generalización de la operación trigonométrica para más de dos ángulos.
1.
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO DOBLE Sabemos que 2α=(α + α), entonces tendríamos que: α = β A.
Seno del ángulo dobl e
Remplazando en: sen(α+ β)= sen(α).cos(β) + cos(α)sen(β) Obtenemos
sen(α +α)= sen(α).cos(α) +cos(α) sen(α)
Ordenando
sen (2 α) = sen(α).cos(α) +sen(α)cos(α)
Por lo tanto
sen 2 α
= 2 sen
α
cos
B. Coseno del ángulo dobl e
De la misma forma, hacemos con: Cos(α + β) = cosα.cos β -senα.sen β Remplazando:
Cos(α + α ) = cosα.cos α - senα.sen α
α 18
Obtenemos:
***Otras formulas del coseno muy útiles: Además sabemos que: sen2α + cos2α =1 sen2α= 1- cos2α Remplazando en:
cos 2α= cos2α -
sen2α
cos 2α= cos2α - ( 1- cos2α ) Ahora:
cos 2α= cos2α - 1 + cos2α
Obtenemos:
α= 1 α Remplazamos en: cos 2α = α α α α α Pero también tenemos que:
cos2
cos2
- sen2
- sen2
cos 2 = ( 1 - sen2
) - sen2
Resulta:
C. Tan gente del ángulo doble
A continuación recordemos que: tan( )
Remplazando:
tan( . )
tan tan 1 tan . tan
tan tan ... 1 tan . tan . ..
2 tan
Obtenemos:
2 1
19
t an
2.
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO MITAD
Ahora intentaremos expresar en función de un angulo mitad ( ) en términos de un angulo simple (θ ). A.
Seno y coseno del ángulo mi tad
Se sabe que: de donde obtenemos:
2=1cos2 =
= =√
y haciendo:
, se tiene:
=√
Observación: El signo depende del cuadranTe al cuál pertenece el ángulo B.
Tangente y cotangente del ángulo mi tad :
Dividiendo las dos relaciones anteriores, se tiene:
=√
=√
F ormulas racionali zadas del ángu lo mi tad
=
=
Luego sumando y restando ambas ecuaciones, se obtiene:
20
= 3.
=
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO TRIPLE Los ángulos triples son aquellos que tienen la forma (3α) y sus formas fundamentales son: A.
Seno del ángul o tr iple:
Sen 3α = sen (2α+α) = sen 2α.cosα + cos 2α. Sen α = (2 sen α .cos α).cos α + (1-2 sen2 α) sen α = 2 sen α .cos2α + (1-2 sen2 α) sen α = sen α (2 cos2α + 1-2 sen2 α) = sen α (1+ 2 cos2α -2 sen2 α) = sen α [1+ 2( cos2α - sen2 α)] = sen α [1+ 2( cos2 α)] = sen α [1+ 2(1-2sen2 α)] = sen α [1+ 2 - 4sen2 α] = sen α [3 - 4sen2 α]
Sen 3α=3sen α - 4sen3 α B.
Coseno del ángul o tr iple:
Si:
cos 3α = cos (2α+α)
Entonces: cos(3α)=cos 2α.cosα – 2 sen α .cos α . sen α =(2 cos2α-1)cos α - 2 se α.cosα.senα Efectuando obtenemos:
cos 3α=4cos3 α – 3 21
C.
Tan gente del ángu lo tr ipl e :
Determinamos ahora tangente de 3α Si sabemos que: tan 3α = tan (2α+α) a partir de :
tan( )
tan(2 )
tan tan 1 tan . tan
tan 2 tan 1 tan 2 . tan 2 tan
Obtenemos:
Entonces:
tan 2 1 tan tan 3 2 tan 1 ( ). tan 2 1 tan
tan 3
3 3 tan tan 2 1 3 tan
22
CAPITULO III: APLICACIÓN DEL TEMA EN OTROS CONTEXTOS APLI CACI ONES EN MATEM ATI CA:
Utilizando las formulas del ángulo doble hallar Sen, cos y tan de: 4α, 6α,8α Utilizando las formulas del ángulo mitad hallar Sen, cos y tan de:
,
Utilizando las formulas del ángulo triple hallar Sen, cos y tan de: 4α, 6α, 8 α, 18 α
Hallar sen de 2ө, sabiendo que: ; Solución:
Por las identidades Pitagóricas podemos afirmar:
Como
está en el tercer cuadrante:
Las aplicaciones más acertadas se dan en el área de matemática.
23
La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia leas relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto la trigonometría se vale del estudio de las funciones o razones trigonométricas las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.
La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio
de
las
esferas,
de
la
geometría
del
espacio.
Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites por satélites
24
25
INTRODUCCION
En la tarea educativa el rol que juega el docente es fundamental por ello surge la necesidad de una formación pedagógica que contribuya eficazmente a nuestro labor desterrado la improvisación. En los tiempos antiguos se consideraba que la enseñanza de la matemática era un arte. Es decir, susceptible de ser analizada o controlada y sometida a reglas. Por lo tanto el conocimiento matemático aporta al estudiante, la estructura mental sobre la cual deben asentarse, sólidamente, el resto y la totalidad de sus conocimientos y experiencias de aprendizaje, dentro de estas, sus capacidades fundamentales de pensar creativamente y en forma critica, de tomar decisiones y solucionar problemas. Aprender a pensar es, en cierta forma, aprender a pensar matemáticamente. Un docente de matemática tiene una tarea importante que es el encaminamiento de los alumnos. Si dedica su tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matara en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual. La finalidad del presente sustento pedagógico es la de proporcionar los bases teóricas utilizadas en la sesión de aprendizaje correspondiente al tema de ―Ángulos Múltiples‖.
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CAPITULO I I.
ENFOQUE DEL AREA DE MATEMATICA LA DEFINICIÓN DE LA MATEMATICA Descartes, en el Siglo XVII, decía que la matemática es la ciencia del orden y la medida, mientras que para Gauss, ya en el Siglo XVIII, la matemática era la reina de las ciencias, siendo la aritmética la reina de la matemática, por la predominancia que siempre ha tenido el número y las operaciones con números en la construcción del edificio matemático que hoy conocemos. Por su parte, Eric T. Bell expresó que la matemática es, a la vez, la reina y la sirvienta de las ciencias, en franca alusión a su utilización en la formalización de sus contenidos por ciencias como la economía, la química, la física y hasta la lingüística. Debido al énfasis creciente del método deductivo en todas las ramas de la matemática, C. S. Peirce en la mitad del Siglo XIX, afirmó que la matemática es la ciencia de llegar a conclusiones necesarias siguiendo el patrón hipótesis -deducción- conclusión. Sin embargo, a inicios del mismo Siglo XIX, David Hilbert definía la matemática como la ciencia que no estudia objetos sino relaciones entre objetos en donde es posible verificar, que se puede reemplazar un objeto por otro siempre y cuando la relación entre ellos no cambie. El grupo Bourbaki, por su parte, manifiesta que la matemática es la ciencia que estudia las estructuras matemáticas. Desde esta perspectiva, una estructura es entendida como un conjunto de objetos abstractos, definidos axiomáticamente
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utilizando la lógica y la notación matemática, que se relacionan e interactúan entre sí y que tienen un sentido, dirección o propósito. La manera de definir la matemática cambia constantemente y, como es de verse, cada generación o cada connotado matemático, desde sus propias perspectivas, han llegado a definirla de acuerdo con el nivel de comprensión que tienen de ella y según su modo particular de hacer matemática. La matemática se ha beneficiado mucho del genio individual, pero es sólo la apropiación y el uso que de ella hacen las personas y la sociedad, los que la han hecho florecer hasta los niveles en que ahora se le conoce. Como modo especial de manejar los números, las magnitudes, los símbolos y las representaciones, es un arte exclusivo de la humanidad y, por las aplicaciones que ella tiene en la vida cotidiana es, a la vez, una ciencia aplicada en cualquiera de sus dimensiones: individual, cultural, humanística y tecnológica.
1. ACERCA DEL PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO El pensamiento lógico-matemático es aquella capacidad que nos permite comprenderlas relaciones que se dan en el mundo circundante y la que nos posibilita cuantificarlas y formalizarlas para entenderlas mejor y poder comunicarlas. Consecuentemente ,esta forma de pensamiento se traduce en el uso y manejo de procesos cognitivos tales como: razonar, demostrar, argumentar, interpretar, identificar, relacionar, graficar, calcular, inferir, efectuar algoritmos y modelizar en general y, al igual que cualquier otra forma de desarrollo de pensamiento, es susceptible de aprendizaje. Nadie nace, por ejemplo, con la capacidad de razonar y demostrar, de comunicarse matemáticamente o de resolver problemas. Todo eso se
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aprende. Sin embargo, este aprendizaje puede ser un proceso fácil o difícil, en la medida del uso que se haga de ciertas herramientas cognitivas. Es importante dejar establecido que el pensamiento lógico-matemático se construye siguiendo rigurosamente las etapas determinadas para su desarrollo en forma histórica, existiendo una correspondencia biunívoca entre el pensamiento sensorial, que en matemática es de tipo intuitivo concreto; el pensamiento racional que es gráfico representativo en matemática y el pensamiento lógico, que es de naturaleza conceptual o simbólica. El siguiente esquema nos muestra ese proceso:
2. ESTUDIO, APRENDIZAJE Y ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA
Por mucho tiempo se ha intentado reducir el trabajo educativo sólo a la interacción profesor-alumno, enfoque mediante el cual se pretende enmarcar a la educación dentro del proceso enseñanza-aprendizaje y de la escuela, como si la sociedad y el ambiente en general
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en el que se vive, no ejercieran sobre la persona que aprende una influencia muchas veces más determinante y decisiva que la influencia ejercida por la Institución Educativa. Y es que, mientras ésta se encontraba preocupada por trasmitirle al estudiante un conjunto de contenidos curriculares, muchos de ellos completamente desconectados de la realidad circundante, la sociedad y el ambiente siempre lo han estado educando en la vida y para la vida. Si bien es cierto que en la mayoría de las propuestas curriculares actuales, se ha producido el drástico viraje de la enseñanza de contenidos al desarrollo de capacidades viraje que alcanza también a la matemática — en el caso particular de ésta, suele ocurrir que los contenidos constituyen un medio casi irremplazable para desarrollar las capacidades de razonar y demostrar, comunicarse matemáticamente y resolver problemas. Desde esta perspectiva, en matemática puede resultar casi imposible, por ejemplo, resolver un problema de trigonometría si previamente el estudiante no ha tenido información sobre las relaciones que se dan en el triángulo rectángulo, y las conexiones que se producen entre estas relaciones y los ángulos y arcos de una circunferencia de radio 1. Por lo tanto, existirá la necesidad de ―estudiar‖ esos conocimientos como paso previo para resolver problemas de ese tipo, es decir, para resolver problemas de trigonometría hay que aprender trigonometría. Sin embargo, es evidente que, aprendiendo a manejar conocimientos trigonométricos se desarrolla, por ejemplo, fundamentalmente, la capacidad de resolver problemas y, colateralmente, las capacidades de razonar y demostrar así como de comunicarse matemáticamente. Los conocimientos trigonométricos, por lo tanto, no constituirán el propósito del aprendizaje, sino sólo serán uno de los medios que el docente utilizará para desarrollar capacidades en sus estudiantes.
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3. HACIA UNA DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS La ―didáctica‖ de la matemática tiene como propósito, llegar a describir y caracterizar los procesos cognitivos de aprendizaje, necesarios para desarrollar en los estudiantes, la capacidad de pensar matemáticamente y de hacer matemática en la vida cotidiana, teniendo al docente como mediador de tales procesos. La didáctica, como una forma de sistematización de experiencias exitosas para aprender y enseñar contenidos matemáticos — medios para desarrollar capacidades — más que una ciencia, es una disciplina tecnológica que contiene prescripciones o sugerencias de ―cómo hacer X para lograr Y‖. Es decir, la didáctica nos sugiere formas, maneras, modos, técnicas, procedimientos, algoritmos, actividades, procesos y otros recursos de carácter instrumental, para mediar o facilitar el desarrollo de capacidades como: aprender a pensar matemáticamente, aprender a aprender, aprender a comunicarse en lenguaje matemático, razonar y demostrar, etc., teniendo como medios fundamentales a los contenidos acumulados históricamente por la ciencia de la matemática. Ahora bien, tal como se ha podido apreciar en párrafos anteriores, existiendo un contenido de la matemática que ha sido generado por la humanidad en muchos siglos, no es posible ―descubrir con cada estudiante esa matemática‖. Lo que tiene que hacerse es ―estudiarla‖, es decir, informarse sobre lo existente en esa ciencia formal, mediante procesos cognitivos tales como la resolución de problemas. No es posible soslayar el hecho de que la resolución de problemas es una capacidad compleja que permite, a su vez, potenciar y desarrollar otras capacidades de semejante complejidad como la comunicación matemática y
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el razonamiento o la demostración, entre otras, o la comprensión lectora, la producción de textos escritos, el manejo de información, etc. Por lo tanto, si se pretende identificar una didáctica de la matemática, ésta es, sin lugar a dudas, la resolución de problemas.
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CAPITULO II II.
FUNDAMENTACION DE LOS CONTENIDOS PEDOGOGICOS 1. EDUCACIÓN: 1.1.CONCEPCION DE EDUCACION: Según CAPELLA, Jorge (1989, p.22) sostiene que: ―La educación es un proceso constante el cual los sujetos y los pueblos pasan de ser meros sujetos para convertirse en agentes de su propio destino, gracias a su capacidad creadora‖. Según DE LA TORRE ZERMEÑO, Francisco ( 2005 ;p.14) la educación es el proceso social mediante el cual se transmiten y preservan los valores y productos culturales, con el fin de que éstos se vean enriquecidos y procuren una mejor forma de vida para la sociedad en general y para el individuo en particular. Según PEREZ, Rosa y CASTILLO, Elías (1998, p.46) afirma que: ―la educación es un proceso permanente, dinámico, integral y armónico que tiene por fin perfeccionar al ser humano para que pueda alcanzar todas sus metas e insertarse de manera activa en el medio social‖. Asimismo RODRIGUEZ, Walabonzo (1995, p.44) refiere que: ―la educación es un proceso multilateral que procesa el desarrollo del hombre sano, fuerte y dinámico; libre en el pensar, hablar y actuar, con una clara visión del mundo y puesto todos sus esfuerzos al servicio de la humanidad‖.
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MOYA, Alberto coincide con CAPELLA al decir que: ―La educación es un hecho social muy complejo. Es un proceso de creación/recreación de los conocimientos y valores‖. En todas las defi ni ciones se pueden obser var i deas comu nes de los cual es podemos inferir que el hombre es transformado y desarrollado por la educación para servir a la humani dad. Es decir ; la educación busca for mar ciu dadanos que tomen con cienci a de su reali dad, ya que estamos cada día frente a un mu ndo más competiti vo y caóti co. Por ello nuestra concepción educati va está encami nada a la pr ácti ca de valores como igual dad, justicia, soli dari dad entr e otr os lo cual mi sesión de clase estáencami nada a dichos valores. Asícomo esti mular su capacidad creadora, tr ansfor madora y libr e para su beneficio per sonal y social.
1.2.PILARES DE LA EDUCACIÓN En 1991, la Conferencia General de la UNESCO solicito al director general que convoque a una ―Comisión Internacional‖ para que reflexionara sobre la educación y el aprendizaje en el siglo XXI. FEDERICO
MAYOR
conformó
la
comisión
integrada
por
catorce
personalidades y precedida por el conocido intelectual y humanista JACQUES DOLORS.
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Como resultado de los estudios realizados a nivel mundial, dicha comisión elaboró un informe denominado sugerentemente ―LA EDUCACIÓN ENCIERRA UN TESORO‖, más conocido como Informe DOLORS. Según la UNESCO, el proceso educativo contemporáneo a lo largo de la vida del hombre se basa en 4 pilares.
1.2.1 APRENDER A CONOCER: Aprender a conocer, es una verdadera necesidad y supone una necesidad, en termino aprender que a su vez implica el ejercicio y desarrollo de capacidades intelectuales básicas como la memoria, la capacidad crítica y la capacidad creativa, la capacidad de pensar y el rigor lógico. Así mismo siendo el conocimiento múltiple y evolutivo es imposible conocerlo todo de allí que lo más importante sea el dominio de las estrategias antes de la adquisición y acumulación de contenidos Asípues, la f in ali dad de nu estr a clase es que alu mno r esuelva ejercicios de fun cion es trigonomé tr icas de Ángul os Múltiples haciendo el uso pertinente de las razones ya conocidas en el
1.2.2. APRENDER A HACER: Consiste en poner en práctica los conocimientos adquiridos para enfrentar diversas situaciones e insertarse eficaz y eficientemente en el mundo del trabajo, valorizándolo como medio de desarrollo personal y social.
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Significa también desarrollo del ingenio de la necesidad de asumir riesgos, e incluso de la capacidad para enfrentar y resolver problemas en beneficio de la sociedad. Este pil ar de la educación se encuentra pr esente en mi sesión de aprendizaje, cuando l os alumn os aplican eficaz y cui dadosamente defin ici ón y fun ciones tr igonomé tr icas de los Ángulos Múlti ples.
1.2.3. APRENDER A SER: Este aprendizaje comprende el desarrollo del cuerpo, mente, la inteligencia, la sensibilidad, etc. Es decir una persona bien preparada académicamente con actitudes positivas, valores, con capacidad de cooperar y organizarse automáticamente con actitud crítica, iniciativa y vocación de servicio para el florecimiento de su propia personalidad, su juicio, su autonomía, su responsabilidad y para determinar por sí mismo que deben hacer en las diferentes circunstancias de la vida. Este pilar de la educación se encuentr a presente en m i sesión de clase cuando los alum nos respetan la opi nión de sus demás compañ eros cumplen ordenadamente las actividades propuestas y aportan ideas para corregir error es y aclar ar dudas de sus compañ eros.
1.2.4. APRENDER A CONVIVIR JUNTOS: Implica que el alumno desarrolle sus capacidades para fortalecer su autoestima a través de práctica de valores, el respeto así mismo y hacia los demás también
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deberá desarrollar la comprensión, paciencia y tolerancia hacia sus compañeros; a través de la participación en organizaciones sociales orientadas a la justicia la solidaridad y la democracia. Aprender a vivir con los demás. Este aprendizaje constituye una de las principales empresas de la educación contemporánea. En mi sesión de clase el saber convi vir seránecesar io para que los alumnos r espeten entre si sus ideas y para cr ear un cli ma de conf ian za y recipr ocidad y per mi tié ndonos desarroll ar con efi ciencia y eficacia que nos per mi te desar r ollar con gr an é xito el pr oceso enseñ anza-apr endi zaje .
2. PRINCIPIOS DE LA EDUCACION Según PEREZ, Rosa y CATILLO, Elías (1998, p. 48) los principios educativos son:
2.2. PRINCIPIO DE INDIVIDUALIDAD Es el sello peculiar que hace que pertenezcamos al género humano, no obstante las matices como raza, lengua, cultura, etc. Sin embargo existen rasgos que tipifican a unos hombres de otros, tales como la capacidad biológica o mental, los intereses vocacionales, las preferencias valorativas, etc. que hacen que cada hombre posea un perfil sui generis.
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De tal modo podemos afirmar que no hay dos personas idénticas de igual manera tampoco hay dos alumnos idénticos, hay diferencias individuales que requieren un tratamiento didáctico diferente. Se debe tener un ampli o conocimi ento del compor tamiento e inquietudes de cada alu mno, atendi endo a sus necesidades y respondi endo a sus preguntas para lograr un mejor aprendizaje entr e ell os.
2.3. PRINCIPIO DE ACTIVIDAD La actividad es ley fundamental de la niñez. Se considera que no hay niño sin actividad: estos son activos por naturaleza los padres y maestros no deben contravenir dicha actividad solo canalizarla, orientarla para que no devenga en dañina. La experiencia enseña que el conocimiento logrado con el esfuerzo, el hacer (actividad), la participación del alumno es más consistente y duradero. El aprovechamiento didáctico de la actividad del niño se expresa en el aprender haciendo. Dur ante la sesión de clase, el al umno participar a contestando las in terr ogantes planteadas por el docente formador y en la resolución de ejercicios sobre Ángul os M últipl es.
2.4.
PRINCIPIO DE SOCIALIZACION
El principio de socialización es importante porque a través de él, aprendemos a vivir y a convivir con los demás, se aprenden las normas que rigen una sociedad, se asimilan los patrones sociales y culturales de un pueblo. La preocupación
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porque la enseñanza tenga un verdadero acento socializador a dado lugar a la aparición y a la propagación de contenidos y actividades en dinámica grupal. La socialización es importante dentro del aula porque permite al alumno fomentar el compañ eri smo, cooperaci ón, r espeto, etc. Esenciales para logr ar un buen aprendi zaje.
3. CONCEPCION DE ENSEÑANZA Según CRISOLOGO ARCE, Aurelio (1999, p. 53) afirma que: ―la enseñanza es la serie de actos que realiza el docente con el propósito de crear condiciones que le den a los alumnos la posibilidad de aprender, es decir, de vivir experiencias que le permitan adquirir nuevas conductas o modificar los existentes‖. RODRIGUEZ, Walabonzo (1995, p. 47) sostiene que: ―la enseñanza es un proceso de tr ansmisión de conocimientos y otras formas culturales‖. La enseñanza se reduce a la transmisión de conocimientos, a la recitación de la lección por parte del maestro. Se dice que la enseñanza, si ha de subsistir en la escuela nueva será para enseñar a los alumnos a aprender las técnicas de cómo se estudia y de cómo se aprende las técnicas de investigación, de trabajo en grupo, etc. En si, l a enseñ anza es un proceso, conjunto de hechos, debidam ente plan ificado, para el logro de conocimientos y actitu des como resul tado de la tr ansmisión de aquell os.
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4.
CONCEPCION DE APRENDIZAJE RODRIGUEZ, Walabonzo (1990, p. 10) sostiene que: ―el aprendizaje es un proceso mediante el cual el sujeto adquiere una implicación de sus conocimientos, actitudes, la que modificara su personalidad‖. CALDERON INFANTES, Ulises (2000, p. 10) refiere que: ―el aprendizaje es la adquisición de capacidades o competencias como producto de la relación dialéctica del alumno en el medio ambiente estimulante‖. Así mismo afirma que: el aprendizaje es el resultado de la percepción y procesamiento de la información que realiza el alumno en su sistema nerviosos central. GIL MALCA, Guillermo (1990, p. 10) afirma que: ―el aprendizaje es el proceso a través del cual el ser humano adquiere o modifica de una manera más o menos permanente un determinado comportamiento, interactuando con el medio ambiente‖. En defini tiva en apr endizaje es un proceso en l a cual el ser hu mano es el prin cipal constr uctor de sus conocimi entos, actitudes y no es un medio de repeti ción de datos memori zados. Es decir el aprendi zaje es integral; como cambio de conducta qu e se da inter namente, es personal , propio de cada individuo.
A.
TEORÍAS DEL APRENDIZAJE Hay muchas teorías que explican cómo se realiza el aprendizaje en los alumnos, pero para mí sesión de clase se ha considerado una de ellas:
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1.
LA TEORÍA DE
DAVID AUSUBEL Y EL
APRENDIZAJE
SIGNIFICATIVO. AUSUBEL es famoso principalmente por sus trabajos sobre métodos de plantear experiencias tendientes o lograr la eficiencia óptima en el aprendizaje. Así mismo plantea que el dominio de las asignaturas se consigue por medio del aprendizaje receptivo; mientras que los problemas de la vida diaria se resuelven aplicando el aprendizaje por descubrimiento. Para AUSUBEL el principal proceso de la enseñanza es que el aprendizaje sea significativo. Partiendo de la premisa de que cada individuo tiene una estructura cognoscitiva la cual integra y procesa la información tomando en cuenta los factores afectivos.
2.
APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO El concepto más importante de la teoría de AUSUBEL es el aprendizaje significativo, que es un proceso por el cual una información se relaciona con un aspecto relevante de la estructura del conocimiento del individuo. Este proceso involucra una interacción entre la información nueva y una estructura específica del conocimiento que posee el aprendiz, a la cual AUSUBEL le llama CONCEPTO INTEGRADOR (CALDERÓN, Ulises. Pág. 47-48)
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Según CALDERÓN, Ulises (Pág. 18) ―El aprendizaje significativo ocurre cuando la información se lanza a los conceptos o proposiciones integradores que existen previamente en la estructura cognoscitiva del que aprende‖ En este sentido AUSUBEL ve el almacenamiento de información en el cerebro humano como un proceso altamente organizado. Esta teoría se da en mi sesión de clase cuan do a los alumnos les hacemos r ecordar t emas anteriores con el f in de asimi lar mejor la i nf ormación que se les va a bri ndar .
3.
LAS INTELIGENCIA MÚLTIPLES: GARDNER plantea la existencia de siete (en la actualidad son ocho) tipos de inteligencia, pero en mi sesión de aprendizaje nos ocuparemos de ellas.
Inteligencia Lógico-Matemática: por esta inteligencia el individuo es capaz de percibir, discriminar, transformar y expresar las informaciones matemáticas que se le presentan a diario; como por ejemplo el contenido de mi sesión de clase.
5.
PROCESO DE ENSEÑANZA- APRENDIZAJE Debido a que la enseñanza corresponde al maestro y el aprendizaje al alumno nos damos cuenta que ambas terminologías no pueden estar separadas porque son correlativas y juntas van a construir la educación. Al respecto diversos autores dan su punto de vista al proceso de enseñanza- aprendizaje.
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Según GUSDORF, Churchill (1995, p. 155) ―la enseñanza – aprendizaje es un proceso mediante el cual un sujeto o un grupo adquieren nuevas capacidades y conocimientos que les permitan modificar positivamente su conocimiento‖. Asimismo RODRIGUEZ, Walabonzo (1995, p. 46) sostiene que : ―es el proceso a través del cual el ser humano adquiere y modifica de una manera mas o menos permanente un determinado comportamiento, interactuando con el medio ambiente o reaccionando ante una situación dada. Aplicando esto al proceso de enseñanza- aprendizaje podemos decir que aprender por acción directa de la enseñanza es la formación o mejoramiento del comportamiento del alumno a través de situaciones planificadas y dirigidas hacia un fin educativo‖. En el pr oceso de enseñ an za – aprendi zaje, el docente se convi er te en un mediador o f acili tador, quien plani fica situ aciones donde el al umn o constr uye su propio aprendizaje.
6.
PRINCIPIOS DE LA ENSEÑANZA – APRENDIZAJE Para GALVEZ VASQUEZ, José (1999, p. 12) ―los principios son las ideas rectoras, imágenes, directrices, normas esenciales y fundamentales que orientan el trabajo en clase‖.
6.1.
PRINCIPIO DE MOTIVACION Según GALVEZ VASQUEZ, José (1999, p. 14) afirma que: ―motivar es despertar el interés y la atención del alumno por los valores contenidos en materia exaltando en ellos el deseo de
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aprenderlas el gusto de estudiarlos y satisfacción de cumplir con las actividades de desarrollo‖. Este pri ncipio de llevo a cabo dur ante la sesión de clase, pues se busca que el al um no mediante situ aciones pr oblemáti cas del contexto r eal (al i ni cio de la sesión) l lame la atención del alumno, para que este pueda compr ender que los conocimientos que va adqui r ir las fun ciones de los Ángul os M últiples.
6.2.
PRINCIPIO DE ESTRUCTURACION GIL MALCA, Guillermo (1990, p. 23) sostiene que: ―el aprendizaje puede incrementarse seleccionando métodos de enseñanza que se adecuen al nivel de desarrollo cognitivo y de comprensión del alumno. El docente debe establecer las relaciones significativas entre lo que el alumno va aprender y lo que ya sabe. El pr esente diseñ o estáde acuer do al nivel de desar rollo cogniti vo de los alumnos y se tendr á en cuenta los conoci mi entos previos (prer requisitos) que el alumno maneje para l uego estr uctur ar con los nuevos conocimi entos que deberáaprender.
6.3.
PRINCIPIO DE ADECUACION Todo método pedagógico procura adecuar los datos de temas y cursos a la capacidad de los alumnos con quienes se aplica. Debe tenerse en todo momento y en cualquier nivel educativo.
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Este principi o está pr esente en el m omento de la or ientaci ón del apr endizaje cuando al dar los conocimi entos se procu re que sé anl o más asequible a los alumnos, con el f in de que los alumnos puedan entender sin mucha dif icul tad de acuerdo como van avanzando.
6.4.
PRINCIPIO DE SECUENCIACION GIL MALCA, Guillermo (1990,p. 24) sostiene que : ―este principio explica que la presentación ordenada desde un punto de vista lógico y psicológico de los contenidos de enseñanza influye en forma determinante para que loa alumnos logren los aprendizajes previstos. Teni endo en cuenta este pr in cipi o se ha or denado los contenidos a desar rollar se de tal manera qu e se logr en los objetivos del diseñ o.
6.5.
PRINCIPIO DE ACTIVIDAD Este principio es considerado como uno de los más importantes dentro de la didáctica moderna y la nueva educación, ya que considera al hecho educativo como un simple hecho de depositar conocimientos de la mente de los alumnos, sino que busca la participación constante de estos ya sea dentro o fuera del aula. GALVEZ VASQUEZ (1999, p. 25) afirma que si el alumno aprende haciendo sus aprendizajes serán muchos más eficientes y significativos. Este princi pio se dio con stantemente dur ante toda la cl ase, puesto que los alumnos participaron aportando i deas para e4l desarr oll o de
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la situación pr oblemáti ca, así como tambié n par ti ciparan en l a solución de los ejerci cios pr opuestos de fun ciones de ángu los múltiples.
6.6.
PRINCIPIO DE SISTEMATIZACION GALVEZ VASQUEZ (1999, p. 26) sostiene que desarrollar una clase es otro de los principios básicos de la sesión de enseñanzaaprendizaje, consiste en dosificar los contenidos a desarrollar de una manera adecuada y de acuerdo al nivel de aprendizaje de los alumnos. La aplicación de este principio se realiza mediante la correcta organización y estr uctur ación de los contenidos, obj etivos, mé todos y medios y m ateri ales que facil iten el desempeñ o del docente formador.
6.7.
PRINCIPIO DE LIBERTAD Libertad y confianza forma el carácter del alumno, aquella debe crecer a medida que crece el alumno, que lo conocemos mejor y que hace su trabajo. Este principio en toda la sesión de clase pues se da paso libr e a las intervenciones y opiniones de los alumnos respecto al tema, al avance de ell os mismos, al de sus compañ eros y a la función del docente formador en ese momento.
6.8.
PRINCIPIO DE REFORZAMIENTO GALVEZ
VASQUEZ (1999, p. 14)
afirma que: ―con este
principio se llega a establecer que el docente no solo debe impartir 46
experiencias y dejarlos al azar, sino que la tarea principal es reforzar, consolidar la adquisición de las mismas mediante un conjunto de medios y procedimientos adecuados‖. Este principio aclara la importancia del refuerzo sobre el apr endizaje del alum no y en la sesión de clase lo podemos observar en el momento de la i ntensificación de la r etención, en donde se aclar an las dudas, se les da nu evas orientaciones para lograr un buen aprendi zaje.
CAPITULO III III.
FUNDAMENTO DIDACTICO 1. DIDACTICA 1.1.
CONCEPCION DE DIDACTICA Según CHEWSKI, Tomas (1996, p. 23) la didáctica es la teoría general de la enseñanza. Investiga una disciplina particular de la pedagogía, las leyes del proceso unitario de la instrucción y la educación en la base. La didáctica debe describir el proceso de enseñanza en su forma general y descubrir las leyes de este proceso. Asimismo debe formular los principios fundamentales de la organización de la clase pues instruir quiere decir, ante todo, organizar el aprendizaje de los alumnos.
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La didácticas debe de informar a los maestros sobre los métodos en la enseñanza de los alumnos es decir: como se enseña, y los diversos caminos por los cuales el alumno debe ser llevado para cumplir los objetivos propuestos.
2. DISEÑO INSTRUCCIONAL Llamado también plan de lección, esquema de aprendizaje, esquema de clase. Para definir mejor este término citaremos a GALVEZ VASQUEZ, José (1999, p. 37) quien afirma que el diseño instruccional es el conjunto de pasos establecidos en función a determinada concepción educativa, donde se establecen los diversos pasos o momentos de una clase. Es necesario recalcar que el diseño instruccional es útil para orientar la labor del docente, facilitando la actividad del alumno en el momento de su ejecución. Es decir el di señ o instr uccional es muy impor tante porque orienta l a labor del pr ofesor, f acili tando la actividad del al umn o en el momento de su ejecuci ón.
2.1.
FASES DEL DISEÑO INSTRUCCIONAL 2.1.1. FASE DE INICIACION a)
MOTIVACIÓN:
Consiste
en
predisponer
al
educando
a
que
aprenda
consecuentemente, realicen esfuerzos para alcanzar los estímulos previamente establecidos. En este momento se debe desarrollar una actividad interesante e impactante, que capture la atención y el 48
interés de los alumnos para que se concentren en el tema. Se realiza al comienzo de una actividad de aprendizaje y durante su desarrollo según las necesidades. En el pr esente diseñ o la motivación estuvo dada al pr esentar un juego en el cual el alumno en base a sus saber es previos puede dar solu ción a l a inter rogante la reflexi ón sobre el pé ndu lo.
b)
DECLARACION DE OBJETIVOS
Es la información de lo que se espera que logren los alumnos. Se les da a conocer de modo natural y se procura que ellos tomen conciencia de ellos mismos. En nu estr a sesión, los objetivos a lograr son enu nci ados a los alumn os en f orma oral.
c)
ESTIMULACION DE LA RECORDACION
Es la actividad o la actualización de los requisitos en los alumnos. En este momento se verifica si el alumno tiene conocimientos previos, de no ser así, el docente debe dictar los conocimientos. Este momento es impor tante porque se podrá observar si el alu mno tiene los conocim ientos necesarios para el desarroll o de los nuevos conteni dos.
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d)
RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS
D. AUSUBEL (1995, p.42) dice: ―La práctica del aprendizaje comprensivo arranca de una muy concreta propuesta: partir siempre de lo que el alumno tiene, conocer respecto de aquello que se pretende aprender. Solo desde esa plataforma se puede conectar con los intereses del alumno y éste puede remodelar y ampliar sus esquemas perceptivos‖. El docente siempre antes de iniciar una clase debe examinar brevemente qué sabe el alumno del tema y no considerarlo como alguien que no sabe nada y necesita saber todo. Este momento es de gran vital importancia, debido a que se podrá observar si el alumno tiene los conocimientos necesarios para el desarrollo exitoso de los contenidos que se le va a dar. L os saber es con qu e cuenta el alu mno no se evaluaran en esta sesión puesto que el tema es corr elacional al anterior, con las notas obteni das de ángulos compuestos se podr án evalu ar sus saber es pr evios.
2.1.2.FASE DE DESARROLLO a) ACONSTRUCCIÓN DEL APRENDIZAJE: Es la etapa fundamental donde se desarrollan las capacidades en los alumnos. Se sugiere priorizar los métodos y técnicas en los que los alumnos están en permanente actividad, que ellos mismos, guiados por el docente vayan logrando lo propuesto
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En mi sesión se da cuando se desarr oll a de manera organi zada el tema, basándonos en el mapa con ceptual y que se har áde manera conjun ta con los alumn os asim ismo se util izo el mé todo i nductivo- deducti vo porque sus pr ocedimi entos de observación, an álisis, comparación y aplicación son fu ndamental es para el desarr oll o de nu estr o tema.
b) INTENSIFICACIÓN DE LA RETENCIÓN: los preparativos de enseñanza para intensificar la retención de aquello que se ha aprendido toma la forma de repasos espaciados. Este espaciamiento significa exigir recordación a intervalos razonables, de un día
o mas después del aprendizaje inicial, se acostumbra
proporcionar una cantidad de ejemplos en los que pida la aplicación de una capacidad recientemente aprendida en forma inmediata, después de que se haya completado el desarrollo de la clase. (ROBERT GAGNE, 1975, p. 127). Es aquel momento en el que se verifica si el alumno ha logrado retener las partes esencial del tema que se expuso. En mi sesión
se da cuan do se entr egará una copia
sobre las
fun ciones de ángu los múltiples e identi fican sus formas (
)
que se desarroll a conju ntamente con el ponente e inmediatamente despué s se entr ega otr o i mpr eso ( demostrar án
lo
) en el cual l os alumnos
aprendido du rante los momentos anteri ores,
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especial mente en la or ientación del apr endizaje, obteni endo de esta manera un apr endizaje más sólido y dur adero.
2.1.3.FASE DE CULMINACIÓN a) TRANSFERENCIA: En esta etapa se presentan situaciones y actividades nuevas en las que los alumnos deben demostrar lo que han aprendido. L os alu mnos resolvieron el (
) el cual contiene ejercici os de
aplicación del tema luego sustentar on el por quése sus respuestas. Es la etapa en l a que el docente formador consoli dara ideas, corr ige
. er rores y ver if icara aciertos
b) REALIMENTACIÓN: Es la acción culminante de la clase, y es aquí en donde los alumnos son capaces de demostrar lo aprendido y que en la mayoría de los casos es comprobado a través de la evaluación. En el tr anscurso de la clase la reali mentación lo reali zamos a medida que avancemos con el tema, aclarando las dudas que puedan presentarse durante el desarrollo de los ejercicios sobre razones tr igon omé tr icas de ángulos múlti pl es.
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CAPITULO IV IV.
ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS 1. CONCEPTO: Para GAGNÉ (1975, Pág. 122): “Las estrategias metodológicas no es otra cosa que un plan organizado de actividades de aprendizaje que pone en marcha métodos, técnicas, medios y materiales educativos con el propósito de lograr los objetivos tratados‖.
a)
MÉTODO: Según CRISÓLOGO ARCE, Aurelio (1999; 99) el método es el conjunto de actos. Lógicamente ordenados que el docente realiza en todas las etapas de aprendizaje, es decir en la organización, conducción y evaluación del aprendizaje. Según GÁLVEZ VÁSQUEZ, José (1999, Pág. 35): ―El método es el conjunto de procedimientos, de todo proceder constante, intencionado y ordenado que sigue el docente, los alumnos o cualquier persona para lograr determinados fines y objetivos en el menor tiempo posible ahorrando trabajo y energía‖ En concl usión el mé todo es el conjun to de procedimi entos lógicamente or denados.
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Que el docente r ealiza en todas las etapas de apr endizaje par a logr ar determinados fi nes.
a) MÉTODO DEDUCTIVO: Es cuando el asunto estudiado procede de lo general a lo particular. Este método se aplica en la técnica expositiva.
b) MÉTODO INDUCTIVO: Es cuando el asunto estudiado se presenta por medio de casos particulares para luego llegar a algo general.
c) MÉTODO INDUCTIVO-DEDUCTIVO Como nosotros sabemos el aprendizaje no queda solo en la generalización o ley sino que necesita de la comprobación es porque llegamos a la conclusión de que los dos juntos son de gran importancia para lograr los objetivos trazados en esta sesión de aprendizaje. Es por eso que se les pide a los alumnos que tomen atención para que puedan compr ender y entender l as r azones tr igonomé tr icas de los ángulos múlti ples y así puedan apli carl as de manera exi tosa en la solu ción de otr os problemas.
2. PROCEDIMIENTO DIDÁCTICO
Para GÁLVEZ VÁSQUEZ, José (1999, p. 648) ―El procedimiento es el conjunto de medios prácticos que se emplean en la aplicación del método‖
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CALDERÓN INFANTES, Ulises (2000, p. 134) sostiene que: ―El procedimiento es el medio concreto y preciso para ir por el camino determinado por el método‖. En conclu sión
el pr ocedimiento es el conj un to de medios prácticos,
concretos y precisos que se emplean en la aplicación del mé todo.
En esta Sesión de Aprendizaje se han empleado los siguientes procedimientos:
a) Observación: Es el examen atento y reflexivo que efectúa el docente y los alumnos acerca de las cosas, objetos y fenómenos haciendo uso de los sentidos y que escolta al proceso de elaboración. En mi sesión se da cuando se les presenta el desenl ace del pé ndulo pues es allí donde se logra captar la atención y obser vación de los alu mnos.
b) Análisis: Es la descomposición del todo en sus partes pero siempre manteniendo una relación. Esto sucede cuando los alumnos observan y analizan las formulas y las presentan un for mul ari o elaboradas a su pr opia creatividad.
c) Aplicación: Es la utilización de los principios dados después de haber sido adquiridos.
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En mi sesión de clase se da cuando resuelven un ejercicio de razones tr igon omé tr icas de ángulos múltipl es (
)
3. TÉCNICAS: Según GÁLVEZ VÁSQUEZ, José (1999; 35) ―Las técnicas son los recursos, las habilidades, destrezas, mecanismos, medios que el ser humano emplea para hacer algo con mayor eficiencia y eficacia‖ CRISÓLOGO, Aurelio (2004, p.)dice: Es el conjunto de reglas y habilidades que permiten al hombre realizar con
eficacia determinadas
actividades. En efecto las té cni cas
es el con jun to de reglas, habilidades, destr ezas,
mecanismo y medios que el hombre emplea para realizar con eficacia determinadas acti vidades.
Teniendo en cuenta mi sesión se han utilizado las siguientes técnicas.
a) TÉCNICA LLUVIA DE IDEAS: Es una técnica grupal mediante la cual los integrantes de un grupo reducido proponen, exponen, con libertad sus ideas sobre la solución de un problema, en forma original o nueva. Se dio al i ni cio de mi sesión de clase.
b) INTERROGATIVA:
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Es una secuencia de preguntas coherentes con el desarrollo de los contenidos del tema. El interrogatorio permite conocer al alumno y resaltar sus aspectos positivos, también se presta como función diagnóstica de las dificultades y deficiencias del alumno. Se empleó cuando expusimos el caso del pé ndulo, pero realmente se apl ico dur ante toda la clase.
c) PARTICIPATIVA: Consiste en fomentar en el alumno un comportamiento activo en la sesión de clase a través de la práctica del conocimiento adquirido, para que este sea el promotor de su propio aprendizaje. Se dio cuando se le pidi ó a los alumnos que observen e identi fiquen r azones tr igonomé tr icas de los ángulos compuestos y asípoder l legar a nuestr as las formulas estudiadas.
d) EXPOSITIVA: Consiste en la exposición oral por parte del docente, de un asunto o tema de clase. Se empl eó en todo el tr anscurso de la cl ase tanto por parte del profesor como de los alu mnos.
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CAPITULO V V.
MEDIOS Y MATERIALES EDUCATIVOS: 1. DEFINICIONES: Para CALERO, Mávilo (1997) ―Los medios y materiales educativos son el conjunto organizado de recursos didácticos que orienta el proceso educativo‖ Según GIL MALCA, Guillermo (1990) ―los medios y materiales educativos constituyen los recursos más valiosos que sirven como portadores y mediadores de la información destinada a los alumnos‖. En conclu sión los medios y materi ales educati vos son el conj un to de recursos or ganizados didácticos que por tan el mensaje educati vo con el fi n f acili tar el aprendizaje de los alumnos .
2. VENTAJAS DE LOS MEDIOS Y MATERIALES EDUCATIVOS:
Son el nexo directo entre el docente y el alumno
Despierta el interés y concentra la atención de los alumnos sobre el tema que se está tratando.
Facilita la comprensión del tema, aumentando la capacidad del aprendizaje y
haciéndolo más duradero.
Aproximan a los alumnos a la realidad de lo que se les quiere enseñar.
Transmite los mensajes a grandes grupos de alumnos en una unidad de tiempo.
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3. EN EL DESARROLLO DE MI SECCIÓN DE APRENDIZAJE SE USARAN LOS SIGUIENTES MEDIOS Y MATERIALES EDUCATIVOS: P Á P E L O G R A F O : Es un recurso que el profesor utiliza para dar informaciones y proporcionar aclaraciones al alumno, así como orientarlos durante todo el proceso enseñanza aprendizaje.
MATERIAL IMPRESO: Son aquellos materiales producidos por la imprenta, cuyo contenido facilita el desarrollo de la actividad, dado que esta muy bien seleccionado y organizado.
MATERIAL IMPRESO: Son aquellos materiales producidos por la imprenta, cuyo contenido facilita el desarrollo de la actividad, dado que está muy bien seleccionado y organizado.
P I Z A R R A : Es el material educativo mas utilizado en las escuelas. Está en el primer lugar al servicio del maestro y sus funciones didácticas se relacionan con el lenguaje escrito.
RECURSO VERBAL: Es la utilización de la palabra oral para transmitir conocimientos, explican instrucciones o actividades durante todo el proceso de enseñanza-aprendizaje, e incluso para formular preguntas que conduzcan al desarrollo del tema y a consolidarlo en los alumnos.
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CAPITULO VI VI.
EVALUACIÓN: 1.
ALGUNAS DEFINICIONES: Según CALDERÓN INFANTES. Ulises (2000, Pág. 107) : ―Evaluación es el proceso de educar, que tiene como elementos esenciales a los objetivos de la educación, el desarrollo del educando, sus progresos de aprendizaje y una técnica de evaluación que sirva de instrumento de medida‖. Para CALDERÓN INFANTES, Ulises (2000, Pág. 107): ―La evaluación debe entenderse como proceso en la que el profesor planifica la evaluación, la implemente mediante la construcción de instrumentos, la administra para recopilar la información requerida, organiza los resultados, las somete a un análisis, para que en función de ello emite juicios de valor que le permita al mismo tiempo tomar decisiones‖ Según el Curso de PLANCAD (2000): ―Evaluación es tomar decisiones sobre el curso de las actividades de aprendizaje, sobre la base de los juicios de valor para reforzar los aprendizajes, corregirlos o cerrar una programación de acuerdo con los resultados obtenidos en dicha evaluación‖ Es decir la evaluación es comprobar y verificar qu é cambios se han producido en los alumnos como consecuencias del proceso E- A.
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2. LOS TIPOS DE EVALUACIÓN QUE SE APLICARON EN LA PRESENTE SESIÓN SON: a)
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA: Se debe realizar esta evaluación tanto al inicio como durante el proceso enseñanza-aprendizaje. Dado que le permite al docente conocer el nivel en el que se encuentra el alumno y lo ponen al tanto de todos los prerrequisitos para el desarrollo del proceso enseñanza-aprendizaje. Esta evaluación se muestr a en mi
clase cuando el alu mn o
parti cipa dando ideas acerca del tema a tr atar, de igu al manera estar ápr esente cuan do se esti mu le mediante la r ecordación de saber es previos de la clase anteri or.
b)
EVALUACIÓN FORMATIVA Según CALDERÓN INFANTES, Ulises (2000. pág. 35) este tipo de evaluación sirve para orientar a los alumnos en el aprendizaje. Debe ejecutarse durante el desarrollo del proceso enseñanzaaprendizaje, permitiendo que el alumno avance en su aprendizaje en forma secuencial y gradual, permitiendo al docente detectar cuáles son los aspectos débiles o no logrados para lo cual tomará las medidas pertinentes con el fin de superarlas. Esta evaluación se muestr a en mi clase cuando los alu mnos parti cipan en la pi zarr a ori entados por l a docente.
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c)
EVALUACIÓN SUMATIVA Es un proceso de descripción y enjuiciamiento del aprendizaje al término del curso. Se dio en el momento que el docente hi zo entr ega del el cu al deber á ser resuelto de manera individual para ser lu ego cali fi cada de acuerdo al avance de cada alu mn o.
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CONCLUSIONES La motivación es de vital importancia en el proceso de enseñanza aprendizaje, por tal motivo se mostró a los alumnos la historia del péndulo como aprendizaje previo con la finalidad de mantener el interés del tema durante el desarrollo de la clase.
Los pilares de la educaciones son importantes en el desarrollo de mi clase porque permiten al alumno corregir errores, respetar ideas y desarrollar con gran éxito
Para la presente sesión de clase e empleado el método inductivo – deductivo el cual es el más adecuado para iniciar mi sesión ya que partiré mostrando los ejemplos reales para finalmente llegar a entender la definición y la identificación de funciones trigométricas de las ángulos múltiples.
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SUGERENCIAS 1. El educador debe tratar en
lo posible de enseñar la matemática centrándose en
situaciones reales y concretas utilizando estrategias metodológicas adecuadas.
2. Despertar el interés en los alumnos por el tema relacionándolo con la realidad, es decir con su contorno (donde viven, estudia, juega, etc.).
3. Para que la educación sea exitosa debe promover que el alumno construya su propio aprendizaje, de esta manera valora lo que aprende.
4. Es importante estimular los avances de los alumnos, elogiarlos cuando tienen éxito y acercarnos a su mundo para comprender mejor su vida, para fortalecer su autoestima.
5. Se obtiene mejor resultado cuando los alumnos planteen sus propios ejemplos y problemas.
6. Propiciar un clima de confianza en el aula, es optimo porque visualizar la participación activa de los alumnos pero siempre manteniendo el respeto entre el alumno- profesor
7. Se debe crear un clima de confianza en el aula, es óptimo porque conduce a la participación activa de los alumnos.
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AUSUBEL, D. y otros. (1995). ―Psicología educati va. Un pun to de vista cognoscitivo” . 3ra Ed. México: Trillas.
CALDERÓN INFANTES, Ulises. (2000). “Didáctica General”. U.N.T. TrujilloPerú.
CALERO PEREZ, Mavilo (1997). “Tecnol ogía educativa” editorial San Marcos Lima- Perú.
CAPELLA RIERA, Jorge (1989). ―Educación, un nu evo enf oque integral ‖. Editorial Cultural y Desarrollo. Tercera edición. Lima-Perú.
CASTILLO C. de P. Carmen (1998). ― L os eventos de capacitación en el mar co de la PLANCAD. Orientaciones Conceptuales a los entes ejecutores” .
Ministerio de
Educación. Lima-Perú. Cajamarca-Perú.
CRISÓLOGO ARCE, Aurelio (2004). ―Nu evo Di ccionari o Pedagógico ‖. Ediciones Abedul. E.I.R.L. Segunda edición. Lima-Perú.
CHEWSKI, Tomas (1996) “ D idáctica general”. Editorial Grimaldo S. A. México. GAGNE, Robert (1975) “ P rincipios básicos del aprendizaje para la instrucción” . Editorial Diana. México
DE LA TORRE ZERMEÑO, Francisco (2005). ―12 L ecciones de Pedagogía, educaci ón y didácti ca ‖. Editorial Alfa Omega S.A. primera edición. México.
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