INTEGRALES ITERADAS
Introducción De manera similar al proceso de la diferenciación parcial podemos definir la Integración parcial. Si es una función tal que su derivada parcial con respecto a y es una función f, esto es entonces la integral parcial de f con respecto a y es entonces la integral parcial de f con respecto a y es:
Donde la función
desempeña la parte de la “constante de integración”. De manera similar, entonces la integral parcial de f con
si es una función tal que respecto a x es:
En otras palabras, para evaluar la integral parcial una constante), en tanto que en
mantenemos x fija (como si fuera
mantenemos y fija.
Solución a) Al mantener a x fija.
b) Al mantener ahora y fija.
Integración parcial definida Al evaluar una integral definida podemos prescindir de las funciones integral
También en este caso, si parcial definida con
es una función tal que y respecto ha
se
entonces la define como:
1
Si es una función tal que respecto a x es:
entonces la integral parcial definida con
Ejemplo.
a)
b)
2
Regiones de tipo I y II La región que se ilustra en la figura 1.1 a),
Donde las funciones fronteras b), la región
Donde
son continuas, se denomina región tipo I. En la figura 1.1
son continuas, se denomina región tipo II.
Fig. 1.1 Integrales iteradas Puesto que la integral parcial definida es una función de x únicamente, podríamos, como alternativa, integrar la función resultante con respecto a x . Si f es continua sobre una región R de tipo I , definimos una integral iterada de f sobre la región mediante
La idea básica es realizar integraciones repetidas o sucesivas. El proceso de dos pasos empieza con una integración parcial definida que produce una función de x , la cual se integra después de la manera usual de El resultado final de las dos integraciones será un número real. De manera similar, definimos una integral iterada de una función f continua sobre una región R tipo II por medio de
R recibe el nombre de región de integración. 3
Ejemplo Evalúe la integral iterada de
sobre la región que se muestra en la Figura 1.2
Figura 1.2 Región R del ejemplo
Ejemplo
Solución
4
INTEGRALES DOBLES Y VOLUMEN
Introducción Las integrales iteradas de la sección anterior proporcionan los medios para evaluar una integral doble sobre una región tipo I o tipo II o una región que puede expresarse como una unión de un número finito de estas regiones. El siguiente resultado se debe al matemático italiano Guido Fubini (1879-1943).
Teorema de Fubini.
Si bien el teorema es difícil de probar, podemos tener alguna idea intuitiva de su importancia al considerar volúmenes. Sea Runa región de tipo I y continua y no negativa sobre R . El área A del plano vertical que se muestra en la Figura 2.1 es el área bajo la traza de la superficie en el plano x=constante y en consecuencia está dado por la integral parcial
Al sumar todas estas áreas de de la superficie:
obtenemos el volumen V del sólido sobre R y debajo
Figura 2.1 El area A(x) del pano vertical es una integral definida de f
El volumen está también dado por la integral doble
En consecuencia,
5
Área mediante integración doble. Emplee la integral doble para determinar el área de la región acotada por las gráficas de
y
Figura 2.2 Región R del ejemplo
Nota:
6
Volumen mediante doble integración Utilice la integral doble para calcular el volumen Vdel sólido en el primer octante que está acotado por los planos de coordenadas y las gráficas del plano y el cilindro
el volumen está dado por
Figura 2.3 Superficies en a); región de integración en b)
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INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES
Introducción Suponga que Res una región acotada por las gráficas de las ecuaciones polares y que f es una función de r y que es continua sobre R . Con el fin de definir la integral doble de f sobre R , empleamos rayos y círculos concéntricos para dividir la región en una retícula de “rectángulos polares” o subregiones
Donde
denotan el radio promedio
Figura 3.1 Partición de R usando coordenadas polares Eligiendo un punto muestra
en cada R
la integral doble de f sobre R es
La integral doble se evalúa entonces por medio de la integral iterada
Por otro lado, si la región R es como se indica en la Figura 3.2 la integral doble de f sobre R es entonces
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Figura 3.2 Región R de integración
Cambio de variables: Coordenadas rectangulares a polares En algunos casos una integral doble que es difícil o incluso imposible de evaluar utilizando coordenadas rectangulares puede evaluarse fácilmente cuando se recurre a un cambio de variables. Si suponemos que f es continua sobre la región R , y si R puede describirse en coordenadas polares como entonces
La ecuación es particularmente útil cuando f contiene la expresión
puesto que, en
coordenadas polares, no podemos escribir
Ejemplo Use coordenadas polares para evaluar
9
hemos dibujado la región R de integración en la Figura
A partir de 3.3
Puesto
que
la
descripción
De acuerdo con
polar
de
la
circunferencia la integral
original se convierte en
Figura 3.3 Región R de integración del ejemplo
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CENTRO DE MASA Y MOMENTO DE INERCIA
Láminas con densidad variable: centro de masa Si una lámina que corresponde a una región R en el plano xy tiene una densidad variable (unidades de masa por área unitaria), donde r es no negativa y continua sobre R , entonces definimos su masa m por la integral doble
Definimos las coordenadas del centro de masa de la lámina por
Donde
Son los momentos de la lámina alrededor de los ejes y y x , respectivamente. El centro de masa es el punto donde consideramos que se concentra toda la masa de la lámina. Si es una constante, se dice que la lámina será homogénea y su centro de masa recibe el nombre de centroide de la lámina.
Ejemplo Una lámina tiene la forma de la región R en el primer cuadrante que está acotado por las gráficas de
Determine su centro de masa si la densidad es
Figura 4.1 Lamina del ejemplo
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De la Figura.4.1vemos que
Ahora,
De manera similar,
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Por consiguiente, las coordenadas del centro de masa de la lámina son:
Las coordenadas aproximadas del centro de masa son (0.29, 068).
Momentos de inercia Las integrales y reciben el nombre de primeros momentos de una lámina alrededor del eje x y el eje y , respectivamente. Los llamados segundos momentos de una lámina o momento de inercia en torno a los ejes xy y son, a su vez, definidos por las integrales dobles
Un momento de inercia es el equivalente rotacional de la masa. Para el movimiento traslaciónal, la energía cinética está dada por donde m es la masa y y es la velocidad lineal. La energía cinética de una partícula de masa m que rota a una distancia r del eje es donde alrededor del eje de rotación y v es su w velocidad angular.
es su momento de inercia
Ejemplo Encuentre el momento de inercia alrededor del eje y del delgado disco homogéneo de masa m que se presenta en la Figura 4.2
Figura 4.2 Disco del ejemplo 13
Puesto que el disco es homogéneo, su densidad es la constante
Por consiguiente
Radio de giro El radio de giro de una lámina de masa m y el momento de inercia I alrededor de un eje se definen por medio de
implica que el radio de giro se interpreta como la distancia radial que la lámina, considerada como una masa puntual, puede girar alrededor del eje sin cambiar la inercia rotacional del cuerpo. En el ejemplo 3, el radio de giro es
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AREA DE UNA SUPERFICIE
desde
está dado por
El problema en tres dimensiones, que es la contraparte del problema de la longitud de arco, es encontrar el área de la porción de la superficie dada por la función que tiene primeras derivadas parciales continuas sobre una región cerrada R en el plano xy . Una superficie S de este tipo se dice que es continua. Construcción de una integral Suponga, como se muestra en la Figura 5.1 a), que una partición interior P de R se forma utilizando líneas paralelas a los ejes x y y . La partición P consiste entonces de n elementos rectangulares
que yacen por completo dentro de R . Deje que
de área
denote cualquier punto en un elemento proyectar los lados de
hacia arriba, determinamos dos cantidades: una porción del parche
la superficie y una porción de suponer que cuando
Como se advierte en la figura 6.1 a), al
de un plano tangente en
es pequeño, el área
de
.Parece razonable
es aproximadamente la misma que el área
del parche Para determinar el área de vamos a elegir en una esquina de como se muestra en la figura 5.1b). Los vectores indicados u y v , los cuales forman dos lados de están dados por Donde son las pendientes de las rectas que contienen a u respectivamente. En este caso sabemos que donde
y
v ,
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Figura 5.1 Superficie en a); ampliación de R,S,T en b) En otras palabras,
En consecuencia, el área
es aproximadamente
Al tomar el límite de la suma anterior cuando
se llega a la siguiente definición
DEFINICION AREA DE LA SUPERFICIE Sea f una función para la cual las primeras derivadas parciales
son continuas sobre
una región cerrada R. Entonces el área de la superficie sobre R está dada por
EJEMPLO Determine el área de la superficie de la porción de la esfera
que está sobre el
plano x y y dentro del cilindro Si se define
entonces 16
Y
Y por ello Por consiguiente
, Donde R se indica en la Figura 5.2. Para evaluar esta integral doble, cambiamos a coordenadas polares. El círculo
se convierte en
Figura 5.2 Superficie del ejemplo
Diferencial del área de la superficie La función
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INTEGRALES TRIPLES
Introducción Los pasos que conducen a la definición de la integral definida tridimensional, o integral triple, son bastante similares a los de la integral doble. definida sobre una región cerrada y acotada D del espacio tridimensional.
Sea
1. Por medio de una retícula tridimensional de planos verticales y horizontales paralelos a los planos de coordenadas, forme una partición P de D en n subregiones (cajas) volúmenes
2. Considere que
de
que se encuentre por completo dentro de D. es la norma de la partición o longitud de la diagonal más larga de la
Caja
3. Elija un punto muestra
en cada subregión
4. Forme la suma
Figura 6.1 Punto de muestra D Una suma de la forma
donde
denota el volumen de cada partición utilizado, donde todos los
es un punto arbitrario dentro de cada
recibe el nombre de suma de Riemann. El tipo de
yacen por completo dentro de D, se denomina partición
interior de D.
DEFINICION INTEGRAL TRIPLE Sea f una función de tres variables definida sobre una región cerrada D del espacio tridimensional. Entonces la integral triple de f sobre D, denotada por medio de
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se define como
Como en nuestras discusiones anteriores sobre la integral, cuando f es continua sobre D, entonces el límite existe; esto es, f es integrable sobre D. Las propiedades de integración básicas de una integral triple son las mismas que aquellas de la integral doble dadas.
Evaluación mediante integrales iteradas Si la región D está acotada por arriba por la gráfica de gráfica de como
una
y acotada por abajo por la
entonces es posible demostrar que la integral triple puede expresarse integral
doble
de
la
integral
parcial
esto
es
donde Res la proyección ortogonal de D sobre el plano xy . En particular, si Res una región de tipo I definida por:
entonces, como se ilustra en la Figura 6.2, la integral triple de f sobre D puede escribirse como una integral iterada:
Para evaluar la integral iterada empezamos evaluando la integral definida parcial
en la cual x y y se mantienen fijas.
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Figura 6.2 Región de tipo I en el plano xy Por otro lado, si Res una región de tipo II: entonces se convierte en
En una integral doble hay sólo dos posibles órdenes de integración:
Las integrales
triples en (3) y (4) ilustran dos de seis posibles órdenes de integración:
Las dos últimas diferenciales nos indican el plano de coordenadas en el cual se localiza la región R. Por ejemplo, la integral iterada cor respondiente al orden de integración dx dz dy tendría la forma
La interpretación geométrica de esta integral y la región R de integración en el plano yz se muestran en la Figura 6.3.
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Figura 6.3 Región de tipo I en el plano yz
APLICACIÓN A continuación se listan algunas de las aplicaciones estándar de la integral t riple. Volumen: Si
es la densidad (masa por volumen unitario), entonces la masa del sólido D
está dada por
Primeros momentos: Los primeros momentos del sólido alrededor de los planos de coordenadas indicados por los subíndices están dados por
Centro de masa: Las coordenadas del ce ntro de masa de D están dadas por
Centroide: Si
constante, el centro de masa de D recibe el nombre de centroide del
sólido. Segundos momentos: Los segundos momentos, o momentos de inercia, de D alrededor de los ejes de coordenadas indicados por los subíndices están dados por
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Radio de giro: Si I es un momento de inercia del sólido en tor no a un eje dado, entonces el radio
de giro es
EJEMPLO Encuentre el volumen del sólido en el primer octante acotado por las gráficas de
Como se indica en la Figura 6.4a), la primera integración con respecto a z será de 0 A Además, de la figura 6.4b) vemos que la proyección del sólido D sobre el plano x y es una región de tipo II. Por consiguiente, a continuación integramos, con respecto a x , de y /2 a La última integración es con respecto a y de 0 a 1. De tal manera,
Figura 6.4 Solido del ejemplo
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