8.8 Integrales impropias ■ Evaluar una integral impropia que tiene un límite de integración infinito. ■ Evaluar una integral impropia que tiene una discontinuidad infinita.
Integrales impropias con límites de integración infinitos La definición de una integral definida b
∫ f ( ( x ) dx a
[ a ,b ] sea finito. Además, el teorema fundamental del cálculo por el que a ,b ] . se han estado evaluando las integrales definidas, definidas, requiere que ƒ sea continuo en [ En requiere que el intervalo
esta sección se estudiará un procedimiento para evaluar integrales que normalmente no satisfacen ƒ tiene un estos estos requisi requisitos tos porque cualquier cualquiera a de los dos límites límites de integra integració ción n son infinitos, infinitos, o número finito de discontinuidades infinitas en el intervalo
[ a ,b ] . Las integrales que poseen estas
características son las integrales impropias. Notar que en una función se dice que
discontinuidad infinita en c si, por la derecha o izquierda , lim f ( ( x ) =∞ o lim f ( ( x x )=−∞ x→ c
x→ c
ara o!tener una idea de cómo evaluar una integral impropia, considerar la integral b 1 dx −1 b −1 = = + 1 =1− 2 x 1 b b 1 x
∫
[ ]
La región n acotada tiene un área de "
Figura 8.17
ƒ
tiene una
la cual cual pued puede e inter interpre pretar tarse se como como el área área de la regió región n som!r som!rea eada da most mostrad rada a en la figura figura #."$. #."$. %omando el límite como b → ∞ produce ∞
∫ x
= lim 2
1
( ) ( ) b
dx
b →∞
∫ xdx 2
= lim 1− b→ ∞
1
1
b
=1
Esta integral impropia se interpreta como el área de la región no acotada entre la gráfca 2 de f ( ( x )=1 / x y el eje x
(a la derecha de x =1 )
DEFINICIÓN DE INTE!"#E$ I%&!'&I"$ C'N #(%ITE$ DE INTE!"CIÓN INFINIT'$ 1. &i ƒ es continuo en el intervalo ¿ , entonces ∞
b
a
b→ ∞ a
∫ f ( ( x ) dx = lim ∫ f ( ( x ) dx . ). &i ƒ es continuo en el intervalo ¿ , entonces b
b
∫ f ( ( x ) dx = lim− ∫ f ( ( x ) dx .
−∞
a→ ∞ a
*. &i ƒ es continuo en el intervalo (−∞ , ∞ ) , entonces ∞
c
∞
−∞
−∞
c
∫ f ( ( x ) dx =∫ f ( ( x) dx +∫ f ( ( x) dx
donde c es cualquier número real 'ver e(ercicio ")*+. En los primeros primeros dos casos, casos, la integral integral impropia impropia con+erge si el límite eiste, en caso contrario, la integral impropia di+erge. En el tercer caso, la integral impropia a la i-quierda diverge si cualquiera de las integrales impropias a la derecha divergen.
EJEMPLO 1 ,na integral impropia di+ergente Evaluar ∞ dx . 1 x
∫
la cual cual pued puede e inter interpre pretar tarse se como como el área área de la regió región n som!r som!rea eada da most mostrad rada a en la figura figura #."$. #."$. %omando el límite como b → ∞ produce ∞
∫ x
= lim 2
1
( ) ( ) b
dx
b →∞
∫ xdx 2
= lim 1− b→ ∞
1
1
b
=1
Esta integral impropia se interpreta como el área de la región no acotada entre la gráfca 2 de f ( ( x )=1 / x y el eje x
(a la derecha de x =1 )
DEFINICIÓN DE INTE!"#E$ I%&!'&I"$ C'N #(%ITE$ DE INTE!"CIÓN INFINIT'$ 1. &i ƒ es continuo en el intervalo ¿ , entonces ∞
b
a
b→ ∞ a
∫ f ( ( x ) dx = lim ∫ f ( ( x ) dx . ). &i ƒ es continuo en el intervalo ¿ , entonces b
b
∫ f ( ( x ) dx = lim− ∫ f ( ( x ) dx .
−∞
a→ ∞ a
*. &i ƒ es continuo en el intervalo (−∞ , ∞ ) , entonces ∞
c
∞
−∞
−∞
c
∫ f ( ( x ) dx =∫ f ( ( x) dx +∫ f ( ( x) dx
donde c es cualquier número real 'ver e(ercicio ")*+. En los primeros primeros dos casos, casos, la integral integral impropia impropia con+erge si el límite eiste, en caso contrario, la integral impropia di+erge. En el tercer caso, la integral impropia a la i-quierda diverge si cualquiera de las integrales impropias a la derecha divergen.
EJEMPLO 1 ,na integral impropia di+ergente Evaluar ∞ dx . 1 x
∫
Esta región acotada tiene un área infinita
Figura 8.18
$olución ∞
∫ 1
dx = lim x b →∞
b
Tomar omar ellímit ellímitee comob comob → ∞. ∫ dx x 1
¿ lim [ ln x ] b Aplicar la regla log . 1
b →∞
Aplicar elteorema elteorema fundament fundamental al del cálculo cálculo . ¿ lim ( ln b −0 ) Aplicar b →∞
Evaluarr ellímite ellímite . ¿ ∞ Evalua
er figura #."#
N'T" /ntentar comparar las regiones mostradas en las figuras #."$ 0 #."#. Ellas parecen similares1 sin em!argo, la región en la figura #."$ tiene un área finita de " 0 la región en la figura #."# tiene un área infinita
EJEMPLO 2 Integrales impropias con+ergentes Evaluar cada integral impropia. ∞
∫e
− x
a¿
∞
dx b ¿
0
∫ x 1+1 dx 2
0
$olución ∞
∫e
− x
a¿
0
∞b
dx = lim
∫e
b→ ∞ 0
− x
∞
b
∫ x + 1 dx = lim ∫ x 1+1 dx
dx b ¿
1
2
0
b→ ∞ 0
2
¿ lim [ −e− x ] b = lim [ arctan x ] b 0
b →∞
0
b→∞
¿ lim (−e−b + 1 ) = lim arctan b b →∞
¿ 1=
b→∞
π 2
er er figura #."2.
er figura #.)*.
El área de la región acotada es "
El área de la región n acotada es
Figura 8.1-
π / 2
Figura 8.)
En el e(emplo siguiente, notar cómo la regla de L345pital puede usarse para evaluar una integral impropia.
EJEMPLO 3 ,sando la regla de #/0pital con una integral impropia Evaluar ∞
∫ (1− x ) e− dx x
1
$olución 6sar la integración por partes, con
∫ (1− x) e− dx=−e− ( 1 − x ) −∫ e− dx x
x
− x
dv = e dx
x
¿− e− x + x e− x +e− x +C ¿ x e− x +C Ahora, aplicar la definición definición de una una integral integral impropia. impropia.
0
u=( 1− x ) .
∞
− xe ] b ∫ (1− x) e− dx= lim [ xe 1 x
x
b→∞
1
( ) lim b
¿
b→∞ b
e
−
1 e
or último, usando la regla de L345pital en el límite derecho produce lim b
lim 1
b→ ∞ b
b→∞ b
e
=
e
=0
de lo que es posi!le concluir que ∞
∫ (1− x) e− dx= −e1 x
1
er figura #.)".
El área de la región acotada es
¿ 1 / e ∨¿
Figura 8.21
EJEMPLO 4 #ímites superior e inferior de integración infi nitos Evaluar ∞
∫
−∞
x
e dx 2 x 1+ e
Notar que el integrando integrando es continuo continuo en (−∞ , ∞ ) . ara evaluar la integral, se puede $oluci $ol ución ón Notar descomponer en dos partes, eligiendo c =0 como un valor conveniente.
∞
∫
−∞
¿
0
x
∞
x
x
e e e = + dx dx dx 2 x 2 x 2 x 1+ e 1 1 + + e e 0 −∞
∫
[
x
lim arctan e
b →− ∞
]
∫
0
b
b + lim [ arctan e ] 0 x
b→ ∞
¿
lim b →− ∞
(
π 4
arctan e
b →∞
π
π
π
4
2
4
¿ −0 + − ¿
) (
−arctan e b + lim
b
−
π 4
)
π 2
EJEMPLO 5 En+ío de un módulo espacial a ór2ita En el e(emplo 7 de la sección $.8, se requerían "* *** toneladas por milla de tra!a(o para propulsar un módulo espacial de "8 toneladas m9tricas a una altura de #** millas so!re la %ierra. :;uánto tra!a(o se requiere para propulsar el módulo a una distancia infinita fuera de la superficie de la %ierra<
El tra!a(o requerido para mover un módulo espacial a una distancia acotada fuera de la %ierra es 11
aproimadamente
6.94 =1 0
li!ras=pie
Figura 8.)* $olución Al principio podría pensarse que se requeriría una cantidad infinita de tra!a(o. ero si 9ste fuera el caso, sería imposi!le enviar los cohetes al espacio eterior. >a que esto se ha hecho, el tra!a(o requerido de!e ser finito. &e puede determinar el tra!a(o de la manera siguiente. 6sando la integral del e(emplo 7, sección $.8, reempla-ar el límite superior de ? #** millas por ∞ 0 escri!ir ∞
W =
dx ∫ 240000000 x 2
4000
¿
¿
lim b →− ∞
lim b →− ∞
[
−240000000 x
(−
240000000
b
]
b 4000
+
240000000 4000
)
¿ 60000 milla− tonelada 11
! 6.984 " 10 pie−libra. er figura #.)7.
Integrales impropias con discontinuidades infinitas El segundo tipo !ásico de integral impropia es uno que tiene una discontinuidad infinita en o entre los límites de integración.
DEFINICIÓN DE INTE!"#E$ I%&!'&I"$ C'N DI$C'NTIN,ID"DE$ INFINIT"$ 1. &i ƒ es continuo en el intervalo ¿ 0 tiene una discontinuidad infinita en b, entonces c
c→b
−¿
∫ f ( x )dx . a
b
∫ f ( x ) dx =lim¿ ¿ a
). &i ƒ es continuo en el intervalo ¿ 0 tiene una discontinuidad infinita en a, entonces b
c→a
+¿
∫ f ( x ) dx . c
b
¿ ∫ f ( x ) dx = lim ¿ a
3. Si ƒ es continuo en el intervalo
[ a ,b ] ,
excepto para algún c en (a, b) en que
ƒ
tiene una discontinuidad infnita, entonces b
c
b
a
a
c
∫ f ( x ) dx =∫ f ( x ) dx +∫ f ( x ) dx En los primeros dos casos, la integral impropia con+erge si el límite eiste, de otra forma, la integral impropia di+erge. En el tercer caso, la integral impropia en la i-quierda diverge si alguna de las integrales impropias a la derecha diverge.
EJEMPLO 6 Una integral impropia con una discontinuidad infnita Evaluar 1
∫ dx x 3
√
0
@iscontinuidad infinita en
x =0
Figura 8.)3 Solución El integrando tiene una discontinuidad infnita en
x =0 , como se muestra en
la fgura !"#! Se puede evaluar esta integral como se muestra a$ajo! +¿
b →0
[ ] x
2 /3
1
2/ 3 b
1
∫ x− /
1 3
dx =lim ¿ ¿
0
+¿ 3
b→0
( 1−b / ) 2 3
2 ¿ lim ¿ ¿
¿
3 2
EJEMPLO 7 ,na integral impropia di+ergente Evaluar 2 dx 3 0 x
∫
$olución ;omo el integrando tiene una discontinuidad infinita en x =0 , se puede escri!ir
+¿
b→0
[ ] −1 2 x
2
2
b
2
¿ ∫ xdx = lim ¿ 3
0
+¿
b→0
(
−1 8
+
1 2b
2
)
¿ lim ¿ ¿
¿∞ Así pues, se puede concluir que la integral impropia diverge.
EJEMPLO 8 ,na integral impropia con una discontinuidad interior Evaluar 2 dx 3 −1 x
∫
2
La integral impropia
∫ xdx −1
3
diverge
Figura 8.)4 $olución Esta integral es impropia porque el integrando tiene una discontinuidad infinita en el punto interior x =0 , como se muestra en la figura #.)8. Así, se puede escri!ir 2
0
2
dx dx dx = + 3 3 3 0 x −1 x −1 x
∫
∫
∫
@el e(emplo $ se sa!e que la segunda integral diverge. Así, la integral impropia original tam!i9n diverge.
N'T" ;uando se investiga si una integral es impropia o no, ha0 que averiguar si tiene discontinuidad infinita en un punto terminal o en un punto interior del intervalo de integración. or e(emplo, si no se hu!iera reconocido que la integral en el e(emplo # era impropia, se ha!ría o!tenido el resultado incorrecto. 2
[ ]
1 ∫ xdx = − 2 x 3
−1
2
2 −1 1 3 = + = Evaluaci#n incorrecta. −1 8 2 8
La integral en el próimo e(emplo es impropia por dos ra-ones. 6n límite de integración es infinito, 0 el integrando tiene una discontinuidad infinita en el límite eterior de integración.
EJEMPLO 9 ,na integral do2lemente impropia Evaluar ∞ dx x ( x + 1 ) 0 √
∫
El área de la región infinita es
π
Figura 8.)5 Solución %ara evaluar esta integral, elegir un punto conveniente (por ejemplo, escri$ir ∞
∫ 0
1
∞
dx dx dx = + √ x ( x + 1 ) 0 √ x ( x + 1 ) 1 √ x ( x + 1 )
∫
∫
x =1 ) y
+¿
b→0
[ 2arctan √ x ]
1
c
b + lim [ 2arctan √ x ] 1 c →∞
¿ lim ¿ ¿
¿2
() () () π 4
−0 + 2
π 2
−2
π 4
¿ π er figura #.).
EJEMPLO 10 ,na aplicación 6ue in+olucra longitud de arco 6sar la fórmula de la longitud de arco para demostrar que la circunferencia del círculo 2 2 x + $ =1 e 2 π
La circunferencia del círculo es
2 π
Figura 8.)7 $olución ara simplificar el tra!a(o, considerar el cuarto de círculo dado por 0 % x %1
$ =√ 1− x
. La función y es deriva!le para cualquier x en este intervalo, ecepto
consiguiente, la longitud de arco del cuarto de círculo está dada por la integral impropia 1
∫ √ 1 +( $ ' ) dx 2
&=
0
1
¿∫ 0
√
(
)
− x 2 dx 1+ 2 √ 1 − x
2
, donde
x =1 . or
1
dx
¿∫
√ 1− x
0
2
Esta integral es impropia porque tiene una discontinuidad infinita en 1
∫
&=
0
b →1
x =1 . Así, se puede escri!ir
dx
√ 1− x −¿
2
[ arcen x ] b 0
¿ lim ¿ ¿
π
¿ −0 2
¿
π 2
or último, multiplicando por ?, concluir que la circunferencia del círculo es
4 =2 π ,
como se
muestra en la figura #.)$. Esta sección conclu0e con un teorema útil que descri!e la convergencia o divergencia de un tipo común de integral impropia. La prue!a de este teorema se de(a como e(ercicio 'ver e(ercicio 88+.
TE'!E%" 8.4 ,N TI&' E$&ECI"# DE INTE!"# I%&!'&I" p
∫ 1
{
1
dx = p −1 , i p > 1 p x diverge,i p% 1
EJEMPLO 11 "plicación a un sólido de re+olución El sólido formado al girar 'alrededor del e(e f ( x )=1 / x
x + la región no acotada que queda entre la gráfica de
0 el e(e x ( x ( 1) se llama la trompeta de a2riel. 'er figura #.)#.+ Bostrar que este
sólido tiene un volumen finito 0 un área de superficie infinita.
&a trompeta de 'a$riel tiene un v lumen fnito y un área de superfcie infnita Figura 8.28
$olución 6sando el m9todo de los discos 0 el teorema #.8, determinar el volumen para ser ∞
()
2
1
∫ x
) = π
1
( − )=
¿ π
1
2
1
dx Teorema 8.5, p= 2> 1.
π
El área de la superficie está dada por ∞
∫ 1
∞
∫ x1
& =2 π f ( x ) √ 1 +[ f ' ( x ) ] dx =2 π 2
1
√
1+
1
x
4
dx
orque
√
1+
1
x
4
>1
en el intervalo
¿ , 0 la integral impropia
∞
∫ x1 dx 1
diverge, se puede concluir que la integral impropia ∞
∫ x1 1
√
1+
1
x
4
dx
tam!i9n diverge. 'er e(ercicio 8#.+ Así, el área de la superficie es infinita.
8.8 Eercicios
En los ejercicios 1 a 8, decidir si la integral es impropia. Explicar el razonamiento. 1
∫ 5 xdx−3
1.
0
&oluciónC D= 2
∫ xdx
2.
3
1
&oluciónC D= 1
∫ x 2− x5− x5+ 6 dx
3.
2
0
&oluciónC D= ∞
∫ ln ( x ) dx 2
4.
1
&oluciónC D= 2
∫ e− dx x
5.
0
&oluciónC D= ∞
∫ cos x dx
6.
0
&oluciónC D= ∞
7.
x dx ∫ en 4 + x
−∞
2
&oluciónC D= π / 4
8.
∫ cc x dx 0
&oluciónC D=
En los eercicios - a 13 e9plicar por 6u: la integral es impropia ; determinar si es di+ergente o con+ergente. E+aluar las 6ue sean con+ergentes. 4
∫ √ 1 x dx
9.
0
&oluciónC
D= 4
∫ ( x −13 ) / dx
10.
3 2
3
&oluciónC
D= 2
∫ ( x −11 ) dx
11.
2
0
&oluciónC
D= 2
∫ ( x −11 ) / dx
12.
2 3
0
&oluciónC
D= ∞
∫ e− dx x
13.
0
&oluciónC
D= 0
14.
∫e
3 x
−∞
&oluciónC
dx
D=
Redacción En los eercicios 14 a 18 e9plicar por 6u: la e+aluación de la integral es incorrecta. ,sar la integración en una
∫ x1 dx =−2
15.
2
−1
&oluciónC
D= 2
∫ ( x−−21 )
16.
3
dx =
−2
&oluciónC D= ∞
∫ e− dx= 0 x
17.
0
&oluciónC
D= π
∫ ecxdx=0
18.
0
&oluciónC D=
8 9
En los eercicios 1- a *5 determinar si la integral impropia es di+ergente o con+ergente. E+aluar la integral si es con+ergente. ∞
∫ x1 dx
19.
3
1
&oluciónC
D= ∞
∫ x3 dx
20.
5
1
&oluciónC
D= ∞
∫
21.
1
3 3
√ x
dx
&oluciónC
D= ∞
∫
22.
1
4 4
√ x
&oluciónC
dx
D= 0
23.
∫ x e−
4 x
dx
−∞
&oluciónC
D= ∞
∫
− x / 4
24. x e
dx
0
&oluciónC
D= ∞
∫
2
− x
25. x e
dx
0
&oluciónC
D= ∞
∫ ( x −1 )e− dx x
26.
0
&oluciónC
D=
∞
∫ e− cos x dx x
27.
0
&oluciónC
D= ∞
∫ e−
ax
28.
enbxdx,a > 0
0
&oluciónC
D= ∞
∫ x ( ln1 x ) dx
29.
3
4
&oluciónC
D= ∞
∫ ln x x dx
30.
1
&oluciónC
D= ∞
31.
∫ 16 4+ x dx 2
−∞
&oluciónC
D= ∞
∫
32.
0
x
3
( x + 1 ) 2
2
dx
&oluciónC
D= ∞
∫ e +1e− dx
33.
x
0
&oluciónC
x
D= ∞
x
e
∫ 1 +e dx
34.
x
0
&oluciónC
D= ∞
∫ cos πxdx
35.
0
&oluciónC
D= ∞
∫ en x2 dx
36.
0
&oluciónC
D=
En los eercicios *7 a 43 determinar si la integral impropia es di+ergente o con+ergente. E+aluar la integral si con+erge ; +erificar los resultados con los o2tenidos usando una
1
∫ x1 dx
37.
2
0
&oluciónC
D= 5
dx ∫ 10 x
38.
0
&oluciónC
D= 8
∫
39.
0
1 3
√ 8− x
dx
&oluciónC
D= 12
∫ √ 129− x dx
40.
0
&oluciónC
D= 1
∫ x ln x dx
41.
0
&oluciónC
D= e
∫ ln x dx 2
42.
0
&oluciónC
D= π / 2
43.
∫ tan * d* 0
&oluciónC
D= π / 2
44.
∫ ec*d* 0
&oluciónC
D= 4
∫
45.
2
2
x √ x − 4
&oluciónC
2
dx
D= 2
∫
46.
0
1
√ 25 − x
2
dx
&oluciónC
D= 4
∫
47.
2
1
√ x 2− 4
dx
&oluciónC
D= 5
∫ 25 −1 x dx
48.
2
0
&oluciónC
D= 2
∫
49.
0
1 3
√ x −1
dx
&oluciónC
D= 3
∫ ( x −22 ) / dx
50.
8 3
1
&oluciónC
D= ∞
∫
51.
3
2
x √ x −9 2
dx
&oluciónC D= ∞
∫
52.
5
2
x √ x −25 2
dx
&oluciónC D= ∞
∫ √ x ( x2 +6 ) dx
53.
0
&oluciónC
D= ∞
∫ xln1 x dx
54.
1
&oluciónC
D=
En los eercicios 44 ; 45 determinar todos los +alores de p para los 6ue la integral impropia es con+ergente. ∞
∫ x1 dx
55.
p
1
&oluciónC
D= 1
∫ x1 dx
56.
p
0
&oluciónC
D=
47. 6sar la inducción matemática para verificar que la integral siguiente converge para todo entero positivo n. ∞
∫ x
n
− x
e dx
0
&oluciónC
D=
48. Prueba de comparación de intera!e" impropia" En algunos casos, es imposi!le encontrar el valor preciso de una integral impropia, aunque es importante determinar si la integral converge o diverge. &uponer que las funciones f 0 g son continuas 0 que 0 %ƒ ( x ) % g ( x ) en el intervalo ∞
∫ f ( x ) dx
¿ . &e puede mostrar que si
a
∞
∫ g ( x ) dx a
∞
converge, entonces
∫ g ( x ) dx a
igualmente lo hace, 0 si
∞
∫ f ( x ) dx
diverge, entonces
a
tam!i9n diverge. Esto se conoce como la prue!a de
comparación de integrales impropias. ∞
∫ e−
x
dx
converge o diverge. 'Sugerencia:
∫ x 1+1 dx
converge o diverge. ' Sugerencia:
a+ 6tili-ar la prue!a de comparación para determinar si 6tili-ar el hecho de que
− x 2
e
− x
2
1
para x ( 1 .+
%e
∞
b+ 6sar la prue!a de comparación para determinar si 1
6tili-ar el hecho de que &oluciónC
5
%
1
x + 1 x
5
para
x ( 1 .+
5
1
D=
En los eercicios 4- a 7 usar los resultados de los eercicios 44 a 48 para determinar si la integral impropia con+erge o di+erge. 1
∫ x1 dx
59.
5
0
&oluciónC
D= 1
∫
60.
0
1
dx
5
√ x
&oluciónC
D= ∞
∫ x1 dx
61.
5
1
&oluciónC
D= ∞
∫
4
− x
62. x e 0
&oluciónC
dx
D= ∞
∫ x 1+ 5 dx
63.
2
1
&oluciónC
D= ∞
∫ √ x1−1 dx
64.
2
&oluciónC
D= ∞
∫
65.
2
1
√ x ( x −1) 3
dx
&oluciónC
D= ∞
∫ √ x ( x1 +1 ) dx
66.
1
&oluciónC
D= ∞
∫
67.
1
− x
2 +e
x
&oluciónC D=
dx
∞
∫ e 1+ x dx
68.
x
0
&oluciónC D= ∞
∫ 1− xen x dx
69.
2
1
&oluciónC D= ∞
∫ √ x1ln x dx
70.
2
&oluciónC
D=
Desarrollo de conceptos 71. @escri!ir los diferentes tipos de integrales impropias. &oluciónC
D=
7). @efinir las condiciones de convergencia o divergencia al tra!a(ar con integrales impropias. &oluciónC D=
esarrollo de conceptos !continuación" #3. Explicar por qu 1
∫ x1 dx + 0 3
−1
&oluciónC
D=
#$. onsiderar la integral 3
dx . ∫ x 10 −2 x 2
0
%ara determinar la convergencia o divergencia de la integral, *cuántas integrales impropias de$en anali+arse *-u de$e ser verdadero en cada integral para que la integral dada converja &oluciónC
D=
#rea En los eercicios 74 a 78 encontrar el =rea no acotada de la región som2reada. x
75. $ =e ,−∞ < x % 1
&oluciónC D= 76. $ =−ln x
&oluciónC D=
77. La !ru(a de AgnesiC 1 $ = 2 x + 1
&oluciónC D=
78. La !ru(a de AgnesiC 8 $ = 2 x + 4
&oluciónC D=
#rea $ %o!umen En los eercicios 7- ; 8 considerar la región 6ue satisface las desigualdades. a> Encontrar el =rea de la región. b> Encontrar el +olumen del sólido generado al girar la región alrededor del ee & . c > Encontrar el +olumen del sólido generado al girar la región alrededor del ee $ . − x
79. $ % e
, $ ( 0, x ( 0
&oluciónC
D= 80. $ %
1
x
&oluciónC
2
, $ ( 0, x ( 1
D=
81. Lonitud de arco @i!u(ar la gráfica del hipocicloide de cuatro cúspides encontrar su perímetro. &oluciónC
D=
2/ 3
x + $
2 /3
=4
0
8). Lonitud de arco Encontrar la longitud de arco de la gráfica de [ 0, 4 ] .
$ =√ 16 − x
2
so!re el intervalo
&oluciónC D=
8*. #rea de una "uper'icie La región acotada por
( x −2 )2+ $ 2=1 se gira alrededor del e(e y para
formar un toro. Encontrar el área de la superficie del toro. &oluciónC
D=
83. #rea de una "uper'icie Encontrar el área de la superficie formada al girar la gráfica de − x $ =2 e en el intervalo ¿ alrededor del e(e x . &oluciónC D=
Propu!"ión En los eercicios 84 ; 85 usar el peso del co a> @Cu=nto tra2ao se re6uiere para propulsar el co @Bu: tan leos
D=
85. ;ohete de "* toneladas &oluciónC D=
Probabi!idad ,na función no negati+a ( se llama 'unción de den"idad de probabi!idad si ∞
∫ f ( t ) dt .
−∞
#a pro2a2ilidad de 6ue & 6uede entre a ; b est= dada por b
∫
( a % x % b )= f ( t ) dt . a
El +alor esperado de & est= dado por ∞
E ( x )=
∫ tf (t ) dt
−∞
En los eercicios 87 ; 88 a> mostrar 6ue la función no negati+a es una función de densidad de pro2a2ilidad b> encontrar (0 % x % 4 ) ; c > encontrar E ( x ) . 87. f ( t )=
&oluciónC
{
1 −t / 7 e ,t(0 7 0, t < 0
D=
88. f ( t )=
{
2 −2 t /5 e ,t(0 5 0, t < 0
&oluciónC
D=
)o"to capita!i*ado En los eercicios 8- ; - encontrar el costo capitaliado ) de un recurso a> para n =5 aos b> para n =10 aos ; c > para siempre. El costo capitaliado est= dado por n
∫ c(t ) e−
rt
C =C 0 +
dt
0
donde ) es la in+ersión original t es el tiempo en aos r es el inter:s compuesto continuo del inter:s anual ; c (t ) es el costo anual de mantenimiento. 89. C 0= - 650000, c (t )= - 25000, r =0.06
&oluciónC
D=
90. C 0 =- 650000, c ( t )= - 25000 ( 1 + 0.08 t ) , r =0.06
&oluciónC
D=
-1. +eor,a e!ectroman-tica El potencial magn9tico P en un punto en el e(e de un circuito circular está dado por =
2 π/r
0
∞
∫ c
1 2 3/ 2
( r + x ) 2
dx
donde , / , r , 0 $ c son las constantes. Encontrar &oluciónC
D=
.
-). .uer*a ra%itaciona! 6na varilla uniforme semiinfinitaF ocupa el e(e x no negativo. La varilla tiene una densidad lineal
1
la cual mide un segmento de longitud
1 dx . 6na partícula de masa M se locali-a en el punto
dx
que tiene una masa de
(−a , 0 ) . La fuer-a gravitatoria F que la
varilla e(erce en la masa está dada por ∞ 341 2 = dx 2 0 ( a + x )
∫
donde G es la constante gravitatoria. Encontrar F . &oluciónC D=
/erdadero o 'a!"o En los eercicios -* a -5 determinar si la afirmación es +erdadera o falsa. $i es falsa e9plicar por 6u: o dar un eemplo 6ue demuestre 6ue es falso. -*. &i ƒ es continua en ¿ 0
∞
lim f ( x ) =0
, entonces
x → ∞
∫ f ( x ) dx 0
converge.
&oluciónC
D= ∞
-3. &i ƒ es continua en ¿
0
∫ f ( x ) dx 0
lim f ( x ) + 0 .
diverge, entonces
x → ∞
&oluciónC
D=
-4. &i f ' es continua en ¿ 0
lim f ( x )=0 x → ∞
∞
, entonces,
∫ f ( x ) dx=−f ( 0 ) . 0
&oluciónC D= ∞
-5. &i la gráfica de
ƒ
es sim9trica con respecto al origen o al e(e y , entonces
∞
converge si 0 sólo si &oluciónC
∫ f ( x ) dx
−∞
converge.
∫ f ( x ) dx 0
D= ∞
-7. a+ @emostrar que
∫ enxdx
−∞
diverge.
a
b+ @emostrar que
lim
∫ en xdx = 0
x → ∞ −a
c + :Gu9 indican los incisos a+ 0 b+ acerca de la definición de integrales impropias< &oluciónC D=
&ara discusión -8. ara cada integral, encontrar el número real no negativo b que haga que la integral sea impropia. Eplicar el ra-onamiento. b
∫ x 1− 9 dx
a¿
2
0
b
∫ √ 41− x dx
b¿
0
b
∫ x −7 x x + 12 dx
c¿
2
0
10
∫ ln x dx
d¿
b
b
e¿
∫ tan2 x dx 0
b
f ¿
∫ 1−cosen x x dx 0
&oluciónC
D=
--. Redacción a+ Las integrales impropias ∞
1
∞
∫ x dx $ ∫ x1 dx 2
1
1
divergen 0 convergen, respectivamente. @escri!ir las diferencias esenciales entre los integrandos que son causa del distinto comportamiento. b+ @i!u(ar una gráfica de la función $ = enx / x so!re el intervalo ( 1, ∞ ) . 6sar el conocimiento de la integral definida para inferir si la integral ∞ en x dx x 1
∫
converge o no. @ar las ra-ones de la respuesta. c + 6sar una iteración de integración por partes en la integral en el inciso b+ para determinar su divergencia o convergencia. &oluciónC
D=
1. E&p!oración ;onsiderar la integral π / 2
4 dx ∫ 1 +( tan x ) n
0
donde n es un entero positivo. a+ :La integral es impropia< Eplicar. b+ 6sar una para hacer la gráfica del integrando para c + 6sar las gráficas para aproimar la integral como
n =24,8 $ 12,
n → ∞ .
d + 6sar un sistema alge!raico por computadora para evaluar la integral para los valores de n en el apartado b+. 4acer una con(etura so!re el valor de la integral para cualquier entero positivo n. ;omparar los resultados con la respuesta en el apartado c +. &oluciónC
D=
11. .unción amma La función gamma 5 ( n ) se define por ∞
∫
5 ( n )= x
n− 1
− x
e dx,n >0.
0
a+ Encontrar 5 ( 1 ) , 5 ( 2)
0
5 ( 3 ) .
b+ 6sar la integración por partes para mostrar que
5 ( n + 1 )= n 5 ( n ) .
c + Escri!ir 5 ( n ) usando notación factorial donde n es un entero positivo. &oluciónC
D=
1). @emostrar que ∞ 2n − 1 n −1 x / n= / , donde / n =∫ dx ,n( 1. n +3 2 n + 2 n− 1 0 ( x + 1 )
( )
Entonces evaluar cada integral. ∞
∫
a¿
0
∞
x
0
∞
∫
c¿
0
dx
5
dx
6
dx
( x +1 )
∫(
b¿
4
2
x
3
x + 1 ) 2
x
5
( x + 1 ) 2
&oluciónC
D=
+ran"'ormada de Lap!ace $ea ƒ ( t ) una función definida para todos los +alores positi+os de t . #a transformada de #aplace de f ( t ) se define por ∞
∫
−t
2 ( )= e
f ( t ) dt
0
si la integral impropia e9iste. $e usa la transformada de #aplace para resol+er las ecuaciones diferenciales. En los eercicios 1* a 11 encontrar la transformada de #aplace de la función. 103. f ( t ) =1
&oluciónC
D= 104. f ( t ) = t
&oluciónC
D= 105. f ( t ) = t
2
&oluciónC
D= 106. f ( t ) =e
at
&oluciónC
D= 107. f ( t ) = cos at
&oluciónC
D= 108. f ( t ) =en at
&oluciónC
D= 109. f ( t ) =cosh at
&oluciónC
D= 110. f ( t )= en6at
&oluciónC
D=
111. Probabi!idad norma! La altura media de hom!res estadounidenses entre )* 0 )2 aHos de edad es $* pulgadas, 0 la desviación estándar es 7 pulgadas. 6n hom!re de )* a )2 aHos de edad es elegido al a-ar de entre la po!lación. La pro!a!ilidad de que sea de pies de alto o más es ∞
1
∫ 3 √ 2 π
(72 % x < ∞) =
72
(
e− x −7
)2 / 18
dx.
a+ 6sar una herramienta de graficación para representar gráficamente el integrando. 6sar la herramienta de graficación para verificar que el área entre el e(e x 0 el integrando es ". b+ 6sar una herramienta de graficación para aproimar ( 72 % x < ∞ ) . c + Aproimar
0.5− ( 70 % x % 72 )
usando una herramienta de graficación. 6sar la gráfica en el inciso
a+ para eplicar por qu9 este resultado es igual a la respuesta del inciso b+. &oluciónC
D=
2 11). a+ @i!u(ar el semicírculo $ =√ 4 − x .
b+ Eplicar por qu9 2 2 2 dx
∫ −2
√ 4 − x
2
=∫ √ 4 − x 2 dx −2
sin evaluar cualquier integral. &oluciónC D=
11*. :ara qu9 valor de c la integral converge< ∞
∫ 0
( √
1
−
c
x + 1 x + 1 2
)
dx
Evaluar la integral para este valor de c . &oluciónC D=
113. :ara qu9 valor de c la integral converge< ∞
(
∫ x cx+2 − 3c x 1
2
)
dx
Evaluar la integral para este valor de c .
&oluciónC D=
114. o!umen Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la gráfica de ƒ alrededor del e(e x . f ( x )= xln x , 0 < x % 2 0, x =0
{
&oluciónC D=
115. o!umen Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región no acotada que queda entre $ =−ln x 0 el e(e y ( $ ( 0 ) alrededor del e(e x . &oluciónC D=
u u"titución En los eercicios 117 ; 118 +ol+er a escri2ir la integral impropia como una integral propia usando la sustitución de u dada. Entonces usar la regla de los trapecios con n =5 para apro9imar la integral. 1
x dx,u =√ x ∫ en √ x
117.
0
&oluciónC D=
1
x dx,u= √ 1− x ∫ √ cos 1− x
118.
0
&oluciónC D=
11-. a+ 6sar una herramienta de graficación para representar gráficamente la función b+ Bostrar que ∞
∫e
− x 2
1
0
&oluciónC D=
∫
dx = √ −ln $ d$ 0
− x2
$ = e
.
