SECCIÓN 8.8
8.8
1
dx
2.
5 x 3
0 1
3.
x
5 x 6
4.
dx
e
x
6.
dx
0
7.
ta de gracación para intentar evaluar la integral. Determinar si la herramienta de gracación da la respuesta correcta.
dx x 3
sen x 4
x 2
8.
dx
15.
ln x dx 2
x dx dx cos x
17.
9.
x
0
dx
10.
x 1
2
16.
dx
x
0
18.
19.
20.
dx
x
3
22.
dx
x 3
dx
24.
x
x 3
4
1
2
4
5
2
0
1
x 12
dx
12.
33.
1
dx x 1 23
0
x ln x 3
y
16 x
x
x
2
37.
0
2
dx
14.
0
dx x
34. 36.
12
e x
1
0
1
sen
x 2
41.
38.
dx
43.
3 8 x
dx
40.
e x
0
x
2
dx
dx
dx
2
2
x
x
−1
0
ln x 2 dx 2
44.
tan d
sec d
0 2
2
x 4 x 2
x
2
dx
4
1
x 1 3
dx
46.
0 5
1
2
49.
dx
0
2
4
47.
9
e
42.
x ln ln x dx
4
45.
1
dx
12 12 x
0
0
1
x
12
1
y
10
0
0
y
5
1
e 3 x dx
1
x
0
0
0
x
>
dx
x 3 2
8
39. e
x
0
cos x dx
1
a
En los ejercicios 37 a 54, determinar si la integral impropia es divergente o convergente. Evaluar la integral si converge, y ver icar los resultados con los obtenidos usando una herramienta de gracación para hacer la gráca.
2
ln x
1 e e
32.
0
1
13.
ax
dx
y
dx
sen bx dx ,
e
1
4
x
30.
dx
2
0
35.
2
28.
1
2
x
0
31.
x 1e
x
11.
26.
dx
cos x dx
e
4
x
x
0
29.
10
4 dx
xe
x 2e
0
20
dx
0
27.
4
4 x
xe
0
30
2
0
dx
4 x
1
40
3
x 5
1
0
25.
1 3
1
23.
50
1
sec x dx
0
1
9
e
1
y
2
x 1
2
8
En los ejercicios 19 a 36, determinar si la integral impropia es divergente o convergente. Evaluar la integral si es convergente.
21.
1
dx x 332
y
3
dx
3
3
4
2
x dx dx csc x
0
4
1
dx
2
0
4
2
1
En los ejercicios 9 a 14, explicar por qué la integral es impropia y determinar si es divergente o convergente. Evaluar las que sean convergentes. 4
1
0
Redacción Redac ción En los ejercicios 15 a 18, explicar por qué la evaluación de la integral es incorrecta. Usar la integración en una herramien-
1
2
5.
2
1
2 x 5 2
0
587
Ejercicios
En los ejercicios 1 a 8, decidir si la integral es impropia. Explicar el razonamiento. 1.
Integrales impropias
48.
0 3
dx
50.
1
1
25 25 x 2 1 25 x 2
dx
dx
2
x 283
dx
CAPÍTULO 8
588
51.
1
x x
2
3
53.
9
52.
dx
4
54.
dx
1
x x
2
5
x x 6
0
Técnicas de integración, regla de L’Hôpital e integrales impropias
1
1
x ln x
25
dx
Desarrollo de conceptos (continuación) 73.
dx
74.
1
dx
x
p
1
56.
1
0
1
x
p
1
x 3
dx 0.
Considerar la integral
3
0
10
x 2
2 x
dx .
Para determinar la convergencia o divergencia de la integral, ¿cuántas integrales impropias deben analizarse? ¿Qué debe ser verdadero en cada integral para que la integral dada converja?
dx
Usar la inducción matemática para vericar que la integral siguiente converge para todo entero positivo n.
57.
1
1
En los ejercicios 55 y 56, determinar todos los valores de p para los que la integral impropia es convergente. 55.
Explicar por qué
Área En los ejercicios 75 a 78, encontrar el área no acotada de
x ne
dx
x
la región sombreada.
0
58.
Prueba de comparación de integrales impropias En algunos casos, es imposible encontrar el valor preciso de una integral impropia, aunque es importante determinar si la integral converge o diverge. Suponer que las funciones f y g son continuas y que 0 ƒ( x) g( x) en el intervalo [a, ). Se puede mostrar que si a f ( x) dx converge, entonces a g( x) dx igualmente lo hace, y si a g( x) dx diverge, entonces a f ( x) dx también diverge. Esto se conoce como la prueba de comparación de integrales impropias. a) Utilizar la prueba de comparación para determinar si 1 e x2 dx converge o diverge. (Sugerencia: Utilizar el hecho de que e x2 e x para x 1.) b) Usar la prueba de comparación para determinar si
x 1
76. y ln x
<
y
y
75. y e x,
3
3
2
2
1
1
x
x
−3
−2
−1
1
1
2
3
4
−1
2
2
1
1
5
x
dx converge
1
el hecho de que
1 5
x
1
77.
o diverge. (Sugerencia: Utilizar
1 5
x
La bruja de Agnesi: y
para x 1.)
1
0
1
x 5
61.
1
1
1
2
67.
5
x
1
x
69.
1
5
1
x 4e
2
3 x x 1
e x
dx
66.
x
x
dx
x
0
sen x 2
68.
dx
70.
2
dx
x 1
dx
1
1
8 2
x
4
y
3
6
2
4
x x 1 1
e x x
dx
dx
1
x ln x
dx
Desarrollo de conceptos Describir los diferentes tipos de integrales impropias. 72. Definir las condiciones de convergencia o divergencia al trabajar con integrales impropias.
1
2
x
−6 −4 −2 −2
3
−2
−4
−3
−6
2
4
6
Área y volumen En los ejercicios 79 y 80, considerar la región que satisface las desigualdades. a) Encontrar el área de la región. b) Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región alrededor del eje x. c) Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región alrededor del eje y. 79. y
e
, y
x
0, x
0
80. y
1
x 2
, y
0, x
1
Longitud de arco Dibujar la gráca del hipocicloide de cuatro cúspides x23 y23 4 y encontrar su perímetro. 82. Longitud de arco Encontrar la longitud de arco de la gráca de y 16 x 2 sobre el intervalo [0, 4]. 83. Área de una super cie La región acotada por ( x 2)2 y2 1 se gira alrededor del eje y para formar un toro. Encontrar el área de la supercie del toro.
81.
71.
−3 −2 −1 −1
1
1
64.
dx
1 2
5 x
dx
x
y
x
1
0
2
1
62.
dx
65.
1
0
63.
60.
dx
1 2
La bruja de Agnesi:
y
En los ejercicios 59 a 70, usar los resultados de los eje rcicios 55 a 58 para determinar si la integral impropia converge o diverge.
59.
78.
SECCIÓN 8.8
Área de una super cie Encontrar el área de la supercie formada al girar la gráca de y 2e x en el intervalo [0, ) alrededor del eje x.
84.
92.
Propulsión En los ejercicios 85 y 86, usar el peso del cohete para
distancia innita fuera de la supercie de la Tierra?
b) ¿Qué tan lejos ha viajado el cohete cuando la mitad del trabajo total ha ocurrido?
Cohete de 5 toneladas
85.
86.
Cohete de 10 toneladas
0
Encontrar F .
a) ¿Cuánto trabajo se requiere para propulsar el cohete a una
589
Fuerza gravitacional Una varilla uniforme “semiinfinita” ocupa el eje x no negativo. La varilla tiene una densidad lineal la cual mide un segmento de longitud dx que tiene una masa de dx. Una partícula de masa M se localiza en el punto (a, 0). La fuerza gravitatoria F que la varilla ejerce en la masa está dada por F
contestar cada pregunta. (Usar 4 000 millas como el radio de la Tierra y no considerar el efecto de la resistencia al aire.)
Integrales impropias
GM dx , donde G es la constante gravitatoria. a x 2
¿Verdadero o falso? En los ejercicios 93 a 96, determinar si la armación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falso. 93.
Si ƒ es continua en [0, ) y lím f x 0, entonces 0 f x dx x converge. Si ƒ es continua en [0, ) y 0 f x dx diverge, entonces lím f x 0. x Si ƒ ′ es continua en [0, ) y lím f x 0, entonces, x 0 f x dx f 0. Si la gráca de ƒ es simétrica con respecto al origen o al eje y, entonces 0 f x dx converge si y sólo si f x dx converge. a) Demostrar que sen x dx diverge. a b) Demostrar que lím a sen x dx 0. a c) ¿Qué indican los incisos a) y b) acerca de la denición de integrales impropias?
→
Probabilidad Una función no negativa ƒ se llama función de densidad de probabilidad si
94. 95.
f t dt
1.
96.
La probabilidad de que x quede entre a y b está dada por x
b
→
b
→
P a
97.
f t dt.
a
→
El valor esperado de x está dado por
E x
Para discusión
t f t dt.
98. En los ejercicios 87 y 88, a) mostrar que la función no negativa es una función de densidad de probabilidad, b) encontrar P(0 x x). 4) y c) encontrar E(
Para cada integral, encontrar el número real no negativo b que haga que la integral sea impropia. Explicar el razonamiento.
87.
f t
t 0 t < 0
0,
88.
f t
2 2t 5 , 5e
0,
b
a) 1 t 7 , 7e
2
x
0
t 0 t < 0
1
9
x dx 7 x 12
b
c)
x 2
0
b)
dx
Costo capitalizado En los ejercicios 89 y 90, encontrar el costo capitalizado C de un recurso a) para n 5 años, b) para n 10 años y c) para siempre. El costo capitalizado está dado por
d )
C 0
1
C 0 $650 000
90. C 0 $650 000
c(t ) $25 000
c(t ) $25 000(1 0.08t )
r 0.06
r 0.06
Teoría electromagnética El potencial magnéticoP en un punto en el eje de un circuito circular está dado por P
2 NIr
k
c
dx
10
ln x dx
b b
f )
tan 2 x dx
0
a)
donde C0 es la inversión original, t es el tiempo en años, r es el interés compuesto continuo del interés anual y c(t ) es el costo anual de mantenimiento.
91.
4 x
0
1
cos x dx sen x
99. Redacción
c te rt dt
0
89.
1
n
C
b
0
b
e)
1
dx 32
r 2 x 2
donde N , I , r, k y c son las constantes. Encontrar P.
Las integrales impropias
1
1 dx x
y
1
1 dx x 2
divergen y convergen, respectivamente. Describir las diferencias esenciales entre los integrandos que son causa del distinto comportamiento. b) Dibujar una gráca de la función y sen x x sobre el intervalo (1, ). Usar el conocimiento de la integral denida para inferir si la integral
1
sen x dx x
converge o no. Dar las razones de la respuesta. c) Usar una iteración de integración por partes en la integral en el inciso b) para determinar su divergencia o convergencia.
CAPÍTULO 8
590
Considerar la integral
100. Exploración
2
1
0
Técnicas de integración, regla de L’Hôpital e integrales impropias
(Fuente: National Center for Health Statistics) a)
4 dx tan x n
donde n es un entero positivo. a) ¿La integral es impropia? Explicar. b) Usar una para hacer la gráca del integrando para n 2, 4, 8 y 12. c) Usar las grácas para aproximar la integral como n → . Usar un sistema algebraico por computadora para evaluar CAS d ) la integral para los valores de n en el apartado b). Hacer una conjetura sobre el valor de la integral para cualquier entero positivo n. Comparar los resultados con la respuesta en el apartado c). 101. Función gamma La función gamma Γ (n) se dene por n
Usar una herramienta de gracación para representar grácamente el integrando. Usar la herramienta de gracación para vericar que el área entre el eje x y el integrando es 1. Usar una herramienta de graficación para aproximar P(72 x < ). Aproximar 0.5 P(70 x 72) usando una herramienta de gracación. Usar la grá ca en el inciso a) para explicar por qué este resultado es igual a la respuesta del inciso b).
b) c)
112.
a)
Dibujar el semicírculo y
b)
Explicar por qué
x n 1e x dx ,
n
>
0.
Encontrar Γ (1), Γ (2) y Γ (3). Usar la integración por partes para mostrar que Γ (n 1) nΓ (n). c) Escribir Γ (n) usando notación factorial donde n es un entero positivo. n1 I , donde Demostrar que I n n 2 n1 a) b)
I n
0
x 2n 1 dx , x 2 1n 3
113.
a)
x 2 14
0
c)
x 5
x 2 1 6
0
dx
b)
114.
1
x
2
2
1
c x 1
dx
¿Para qué valor de c la integral converge?
cx 2
x 2
1
1 dx 3 x
Evaluar la integral para este valor de c.
115.
0
x 3
x 2 1 5
dx
Volumen Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la grá ca de ƒ alrededor del eje x. f x
dx
Transformada de Laplace Sea ƒ (t ) una función de nida para todos los valores positivos de t . La transformada de Laplace de f (t ) se dene por
4 x 2 dx
Evaluar la integral para este valor de c.
116.
F s
0
1.
x
¿Para qué valor de c la integral converge?
Entonces evaluar cada integral.
2
2 dx
2 2 4 x
n
4 x 2.
sin evaluar cualquier integral.
0
102.
2
e st f t dt
0
x ln x , 0,
0 < x x 0
2
Volumen Encontrar el volumen del sólido generado al girar la región no acotada que queda entre y ln x y el eje y ( y 0) alrededor del eje x.
u-Sustitución En los ejercicios 117 y 118, volver a escribir la integral impropia como una integral propia usando la sustitución de u dada. Entonces usar la regla de los trapecios con n 5 para aproximar la integral.
si la integral impropia existe. Se usa la transformada de Laplace para resolver las ecuaciones diferenciales. En los ejercicios 103 a 110, encontrar la transformada de Laplace de la función. 103.
f t
1
104. f t
t
105.
f t
t 2
106. f t
eat
107.
f t
cos at
108. f t
sen at
109.
f t
cosh at
110. f t
senh at
111. Probabilidad normal La altura media de hombres estadounidenses entre 20 y 29 años de edad es 70 pulgadas, y la desviación estándar es 3 pulgadas. Un hombre de 20 a 29 años de edad es elegido al azar de entre la población. La probabilidad de que sea de 6 pies de alto o más es
P72
x <
72
1 3 2
e x 70 18 dx . 2
117. 118. 119.
1
0
sen x dx , x
1
cos x
1 x
0
u
x
dx ,
u
1 x
a)
Usar una herramienta de gracación para representar 2 grácamente la función y e x .
b)
Mostrar que
1
2
e x dx
0
ln y dy.
0
120. Sea
f x dx convergente y sean a y b los números reales
donde a b. Mostrar que
a
f x dx
a
b
f x dx
f x dx
b
f x dx .
Chapter 7
102
Integration Techniques, L’Hôpital’s Rule, and Improper Integrals
89. False. L’Hôpital’s Rule does not apply since
lim x2
x
→0
1
x
x
→
0.
x2 x 1 1 lim x 1 1 x 0 0 x x
lim
→
91. True
93. (a) sin BD
cos DO
⇒
Area ABD
(b) Area of sector:
1 bh 2
1 1 2
1 1 cos sin sin sin cos 2 2
1 2
1 1 1 Area OBD cos sin 2 2 2
Shaded area: (c) R
AD 1 cos
1 1 sin cos 2 2
12 sin 12 sin cos sin sin cos sin cos 12 12 sin cos
(d) lim R
→ 0
lim
sin 12 sin 2 12 sin 2
lim
cos cos 2 3 sin 2 sin 2 cos 4 cos 2 lim lim 0 0 1 cos 2 2 sin 2 4 cos 2 4
→ 0
→ 0
→
→
95. lim f x g x x
→
a
y f x g x
ln y
g x ln f x
lim g x ln f x
x
→
a
As x → a, ln y →
,
⇒
lim f x g x
x
0. Thus,
0.
a
97. f ab a
and hence y
b
f t t b dt f ab a
a
f t t b
a
b
b
f t dt
a
b
f ab
dv f t dt ⇒ u t b
⇒
v f t du dt
Section 7.8
Improper Integrals
1. Infinite discontinuity at x 0.
4
0
1
x
4
dx lim b
→0
b
1
x
dx
4
lim
b
→0
lim
b
Converges
a f aa b f t
→0
2 x
b
4 2 b 4
a
f b f a
Section 7.8
3. Infinite discontinuity at x 1.
2
0
1
x
dx 2
1
1
1
x
0
dx 2
1
b→1
lim
b→1
0
1
1
x 12
1
b
lim
2
dx lim 2
x 1 1
x 1
c →1
b
lim
c →1
0
Improper Integrals
103
dx
2
c
1
x 12 1
x 1
dx
2
1
1
c
Diverges
1
5. Infinite limit of integration.
x
dx lim
e
b →
0
7.
b
e x dx
because the i ntegrand is not d efined at x Diverges
0
lim
b →
b
e x
1 dx 2 2 x 1
0
1
0.
1
0
Converges
9.
1
1 dx x2
lim
b→
lim
b
11.
3 x
1
b
3
dx lim
b→
b
1 x
b →
1 dx 2 x 1
1
lim
b→
1
3 x13 dx
1
9 23 x 2
b
1
Diverges
13.
0
xe2 x dx lim
b →
0
xe2 x dx lim
b →
b
1 2 x 4
0
1e2 x
lim
b →
b
1 1 4
2b 1e
2b
(Integration by parts)
Diverges
15.
x2e x dx lim
b →
0
Since lim
b→
17.
b→
0
e x cos x dx lim
b→
1 0 2
4
1 dx xln x3
b
e x x2
2 x
2
0
lim
b→
b2 2b 2 2 2 eb
x2e x dx lim
b2 2b 2 0 by L’Hôpital’s Rule. eb
0
19.
b
lim
b→
lim
b→
1 x e cos x 2
b
1 dx x
ln x
3
4
1 ln x2 2
1 ln b2 2
1 1 2 2 ln 22
sin x
0
1 2
1
b
21.
2 4
x
0
dx 2
4
b
4
1 ln 42 2
1 8ln 22
lim
b →
x
dx 2
x2
dx
c
2 4
2 4
0
0
b
2
2
x
dx lim
4 0
c →
lim
dx
c
b →
x2
arctan x2 lim arctan x2 0 2 2 0 0
2
b
c→
0
Chapter 7
104
23.
Integration Techniques, L’Hôpital’s Rule, and Improper Integrals
1
dx lim b e x e x
→
0
27.
1
1 dx x2 0
b→
b→0
x
25.
b
lim
b→
0
Diverges since sin x does not approach a limit as x → .
0
4
1 sin x
b
cos x dx
0
x
2
1
lim
dx 1 e2 x
0
e x
arctane
lim
b
4
1
1
b
Diverges
29.
8
0
31.
3 8 x
dx lim
b→8
1
1 3 8 x
0
x2 ln x 2
x ln x dx lim
b→0
0
33.
b
1
2
tan d
lim
b → 2
0
dx lim
2
8
41
b →8
x2 4
1
lim
b→0
b
3
b
x 23
6
0
b2 ln b b2 1 since lim b2 ln b 0 by L’Hôpital’s Rule. b 0 2 4 4 →
4
b
ln sec
35.
2
0
4
2
x x 4 2
dx lim b→2
Diverges
b x
x2 4
arcsec
37.
4
2
39.
1
x2 4
2
0
1
x 1 3
b→2
ln 4
2 3
ln 2
3 1.317
lim
dx
1
0
0
4
x 1
x x 6
Let u
4
x x 6
Thus,
0
32 x
1
0
x, u2
x,
dx
4
x x 6
123
uu 6 2
dx lim
b→0
8
6
8 2 6
6
dx.
42u du
1
x 1 3
0
b
lim
c →1
dx
32 x
b
0
x x
3
4
2
1
4
2u du
dx
ln 2
3
lim
dx
x2 4
1
b→1
41.
ln x
dx
8
8
6
du 2
u 6
1
6
2 6 3
4
8
6
.
x
6
8
6
3
c
2
3 2
0
dx
arctan
arctan
arctan
123
x x 6
1
2
4
6
1
C
8
6
→
0
8
6 2
8
6
c
x 6
x arctan lim c 6 6 b 8
arctan
arctan
1
1
6
x 2
b→2
dx
b lim arcsec 2 arcsec 2 lim
b→2
2
C
3
4
b
Section 7.8
43. If p 1,
1 dx x
1
Diverges. For p
lim
b→
1
b→
This converges to
xe
dx lim
b→
0
lim
b→
lim
1
x 1 p 1 p
1
b→
1
b 1 p 1 . 1 p 1 p
xe x dx
0
b
e x x
e x
Parts: u x, dv e
x
dx
0
eb
lim
b→
b→
b
eb 1
1 eb
b→
b
lim ln x .
b
lim ebb
1 if 1 p < 0 or p > 1. p 1
45. For n 1 we have x
lim
1 dx x
105
1,
1 dx x p
b
Improper Integrals
b
1
1
(L’Hôpital’s Rule)
Assume that
x ne x dx converges. Then for n 1 we have
0
x n 1e x dx x n 1e x n 1 x ne x dx
by parts u
xn 1, du
n 1 xn dx, dv e
x
dx, v e x.
Thus,
xn 1e x dx lim
b →
0
47.
b
xn 1e x
0
n 1
xne x dx 0 n 1
0
1
49.
53. Since
x2 5
≤
3 x x 1
55. Since e x
2
≤
3
1.
(See Exercise 43, p
1 on 1, and x2
1
1 1 1 converges. dx x3 31 2
1
(See Exercise 44, p 1
1 dx diverges. x3 0
51. Since
xne x dx, which converges.
0
≥
1 3 x2
1 dx converges by Exercise 43, x2
1
on 2, and
2
e x on 1, and
1 3 x2
1 dx converges. x2 5
dx diverges by Exercise 43,
2
e x dx converges (see Exercise 5),
0
3.
1
1 3 x x 1
dx diverges.
2
e x dx converges.
0
1
57. Answers will vary. See pages 540, 543.
59.
1 dx x3 1
0
1 dx x3 1
1
1 dx x3 0
These two integrals diverge by Exercise 44. 61. f t 1
63. f t t 2
F s
0
e st dx lim
b→
1 st e s
b 0
1 , s > 0 s
F s
t 2e st dx lim
b →
0
s1 s t 3
2 , s > 0 s3
2
2
b
2 st 2e st
0
Chapter 7
106
Integration Techniques, L’Hôpital’s Rule, and Improper Integrals
65. f t cos at
F s
e st cos at dt
0
b→
0
e st s cos at a sin at s2 a2
lim
st
cosh at dt
e
0
b→
1
st
e
0
lim
2
0
s s , s > 0 s2 a2 s2 a2
67. f t cosh at
F s
b
1 1 et s a 2 s a
s 1
1
a
s a
1
s
eat eat 1 dt 2 2
a
et s a
et s a et s a dt
0
b
0
0
1 1 2 s a
1
s a
s , s > a s2 a2
69. (a) A
e x dx
(b) Disk:
0
lim
b→
b
e x
1
0
V
1
lim
b→
V 2
xe x dx
0
lim
b→
b
e x x
2
1
0
2
x23 y23 4
71.
2 13 x 3
2 13 y y 0 3 y
y13 x13
1 y 2
1
s 4 y
8
(0, 8)
2
(− 8, 0)
(8, 0) x
−8
−2
−8
x
2 dx
0
(c) Shell:
e
0
2
(0, − 8)
8
8
2
y 23 x 23
dx x 0 1 3
x23 y23 x 23
lim
b→0
8 32 x
4 2 x23 x1/3
8
2 3
b
48
1 2 x e 2
b
0
2
Section 7.8
73. n
xn 1e x dx
0
(a)
1
e x dx lim
b→
0
2
n
75. (a)
t
(c)
0
x
1
0
2 x
b→
n
x
b →
b
x
2e x
b
xne x
2
0
b
lim n xn 1e x dx
b→
0
0
nn
u xn, dv e
x
dx
0
n 1!
1 t 7 e dt 7
e x 1 lim x e 2 xe lim x e dx
x 2e x dx
0
(c)
1
0
b→
0
n 1
b
b
3
e x
xe x dx lim
0
(b)
Improper Integrals
1 t 7 e dt lim b 7
→
0
et 7
b
0
1
(b)
4
0
1 t 7 e dt 7
et 7
4
0
et 7
1
0.4353 43.53%
tet 7
7
1 t 7 e dt lim b 7
→
0
7et 7
b 0
7
5
77. (a) C 650,000
0.06 t
0
0
(b) C 650,000
e 25,000 $757,992.41 0.06 5
25,000 e0.06t dt 650,000 10
25,000e0.06t dt $837,995.15
0
(c) C 650,000
e 25,000 $1,066,666.67 0.06 b
25,000e0.06t dt 650,000
lim
b→
0
0.06 t
0
79. Let x a tan , dx a sec2 d , a2 x2 a sec .
1 dx 2 a x232
Hence,
P k
1
81.
10 2
x 2 x
k a2
1
a sec2 d 1 2 cos d 3 3 a sec a
1
a2 1
10 x x 2
⇒
k lim a2 b
→
a
x2
k a2 1 1 a2 a2 1
x2 x
θ
b
x
2
+
a
1 1 x sin 2 2 2 a a a x2
1 dx 2 a x232
a2
1
.
x 0, 2.
You must analyze three improper integrals, and each must converge in order for the original integral to converge.
3
0
f x dx
1
0
f x dx
2
1
f x dx
3
2
f x dx
107
Chapter 7
108
83. For n
1,
I 1
Integration Techniques, L’Hôpital’s Rule, and Improper Integrals
x
x
0
2
dx 4
lim
1
b →
1 2
b
x2 1 42 x dx
0
lim
b→
1 1 2 6 x 13
b 0
1 . 6
For n > 1, I n
0
u
x2n 1 dx x2 1n 3
2n 2
, du
x
(a)
x
x
2
0
(b)
1
x3
4
dx
x
0
85. False. f x
1
1 x
b→
1 4
x
2 5
6
lim
dx 5
x5 2
b→
2n 2 x 2n
x2 1
0
(c)
3
x
dx, dv
1 6 x
2
x
x2 14
0
0
2n
lim
x3 2
15
2 x
dx
2
x2
1 3
dx
b
2n 2
1
n
2
0
x dx, v n3 1
b 0
n n
1 2
2n
0
x2n 3 dx x2 1n 2
0
n n
1 I n 1 2
1 n2 2 2 x 1
1 6
2 1 5 24
1 1 4 6
1 24
1 60
1 is continuous on 0, , lim 1 x x
1
0, but
→
0
x
1
1
dx
lim
b →
b
ln x
1
Diverges 87. True
Review Exercises for Chapter 7 1.
x x2
5.
ln2 x dx x
9.
1 dx
1 2
x2 1122 x dx
1 x2 132 2 32
1 2 x 3
ln 2 x2 2
132
3.
2 3
1 2 x e cos 3 x 3
2 1 2 x e sin 3 x 3 3
e2 x sin 3 x dx
1 2 x e cos 3 x 3
2 2 x e sin 3 x 9
e2 x sin 3 x dx
e2 x 2 sin 3 x 13
⇒
v
u
e2 x
⇒
du
sin 3 x dx
x
7.
1 2 x e cos 3 x 3
x 2
1
dx
1 2 x dx 2 2 x 1
1 ln x2 2
1
C
C
C
(1) dv
C
e2 x sin 3 x dx
13 9
3 cos 3 x
2e2 x dx
dx
2 3
e2 x sin 3 x dx
x4
16 arcsin
e2 x cos 3 x dx
1 cos 3 x 3
16
16 x2
C
(2) dv
cos 3 x dx
⇒
v
1 sin 3 x 3
u
e2 x
⇒
du
2e2 x dx
C
0
.
