Exercícios Resolvidos 1) Urna contem 5 bolas bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se Extraem-se simultaneamente 3 bolas. Achar a probabilidade de a) Nenhuma ser vermelha b) Todas sejam da mesma cor solução a) B= {branca} V = {vermelha} A = {Azul} Nenhuma ser vermelha: {AcAcAc} P(Nenhuma ser vermelha) = P(A c∩Ac∩Ac) = ( 8 / 12 ) x (7 / 11 ) x (6/10 ) = 0,2545 b) Todas da mesma cor: {AAA}{BBB}{VVV} P(Todas da mesma cor) = P(A ∩A∩A) +P(B∩B∩B) +P(V∩V∩V) = (4/12 ) x(3/11) x (2/10)+ (5/12) x (4/11) x ( 3/10) + (3/12) (3/12) x (2/11) x (1/10) = 0,0682
2) Considere o quadro a seguir, representativo da distribuição da renda anual de produtores rurais e duas cooperativas em uma determinada região:
Renda Anual 15 a 20 20 a 25 25 a 30 30 a 35 Total
Cooperativas A B 55 25 35 35 10 80 5 5 105 145
Total 80 70 90 10 250
Observando os dados acima verifique a probabilidade de um cooperado aleatoriamente escolhido ser: a)
da Cooperativa A A = {Coop. A} P(A) = 105/250 = 0,42
b ) ter renda entre 15 e 20 R1 = {renda entre 15 e 20} P(R1) = (55+25) / 250 = 80/250 = 0,32 c ) ter renda entre 25 e 30 dado que é da cooperativa B
R2 = {renda entre 25 e 30} B = {Coop. B} P(R2 | B ) = P ( R2 ∩ B) = 80 / 250 = 80 / 145 = 0,55 P(B) 145 / 250 d) O tipo de cooperativa é independente da renda? Justifique. Os eventos são independentes se P (A ∩B) = P( A ) x P( B ) Como os elementos de cada célula da tabela representa os interseções entre os eventos, devemos verificar e elas são iguais a multiplicação dos valores da ultima linha e ultima coluna. Se apenas um for diferente, já temos motivo para dizer que são eventos independentes. A = {Coop. A} R1 = {renda entre 15 e 20} P(A ∩ R1) = 55/250 = 0,22 P(A) x P(R1) = 0,42 x 0,32 = 0,1344 Como temos P(A ∩ R1) diferente de P(A) x P(R1), já é condição suficiente para dizer dizer que os eventos não são independentes.
3) Jogam-se dois dados, qual é a probabilidade de o produto dos números das faces superiores estar entre 12 e 15 (inclusive?) Solução: Devemos construir uma tabela de produtos, que é o nosso espaço amostral (E):
Dado1 1 2 3 4 5 6
Dado2 1 2 1 2 2 4 3 6 4 8 5 6
3 3 6 9 12 10 12
4 4 8 12 16 15 18
5 5 10 15 20 20 24
6 6 12 18 24 25 30
30 36
N(E) = 36 A = {12,15} N(A) = 6
P(A) = 6/36 = 1/6
4) Admitindo que a probabilidade de uma família ter um filho do sexo masculino (H) é 0,51, calcule a probabilidade de de uma família de 3 filhos ter: a) Somente um filho do sexo masculino b) Dois filhos do sexo feminino
c ) pelo menos 1 do sexo feminino Solução: a) P(H) = 0,51 P(M) =0,49 1 filho do sexo masculino: {HMM , MHM, MMH} P(1 do sexo masculino) = P(H)P(M)P(M) + P(M)P(H)P(M)+P(M)P(M)P(H) = (0,51x0,49x0,49) + (0,49x0,51x0,49) + (0,49x0,49x0,51) (0,49x0,49x0,51) = 0,12+0,12+0,12 = 0,36 0,36 b) P(2 do sexo masculino) = P(1 do sexo masculino) = 0,36 c) pelo menos 1 do sexo feminino: {M,H,H} {H,M,H} {H.H,M} {M,M,H} {M,H,M} {H,M,M}{M,M,M} P(pelo menos 1 do sexo feminino) f eminino) = 0,49x0,51x0,51+0,51x0,49x0,5 0,49x0,51x0,51+0,51x0,49x0,51+0,51x0,51x0,4 1+0,51x0,51x0,49+ 9+ 0,49x0,49x0,51+0,49x0,51x0, 0,49x0,49x0,51+0,49x0,51x0,49+0,51x0,49x0 49+0,51x0,49x0,49+0,49x0,49x ,49+0,49x0,49x0,49 0,49 = =0,127+0,127+0,127+0,122+0,122+0,12 =0,127+0,127+0,127+0,122+0,122+0,122+0,118 2+0,118 = 0,865
5) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de se obter a soma dos pontos igual a 8 ou dois números iguais ? O espaço amostral seria: A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1, {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6).....(6,1),(6,2),(6,3 5),(1,6).....(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} ),(6,4),(6,5),(6,6)} n(A) = 36 os eventos seriam: E1 : soma 8 ; {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2),} n(E1) = 5 --> p(E1) = 5/36 E2 : números iguais ; {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } n(E2) = 6 --> p(E 2) = 6/36 E1∩ E2 : {(4,4)} n(E1∩ E2) = 1 -> p(E1∩ E2 ) = 1/36 Então: p(E1∪E2) = p(E1)+ p(E2) – p(E1∩ E2 ) =5/36 + 1/6 - 1/36 = 5/18
6) Uma urna contem x bolas brancas e 3x bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Uma bola é extraída ao acaso. Determine o menor valor possível de x a fim de que a probabilidade de a bola ser sorteada ser preta seja maior que 70%.
Pelos dados temos que: 3x / (4x + 3) > 0,7 resolvendo temos que
0,2x > 2,1 ou seja x > 10,5 Como x deve ser inteiro logo x = 11
7) Uma urna tem 3 bolas brancas, duas pretas e serão extraídas duas bolas. A ) calcule a probabilidade de serem uma de cada cor. Branca: {B} Preta: {P} Uma de cada cor: {BP} {PB} P(Uma de cada cor) = P(B) x P(P) + P(P) x P(B) = (3/5) x (2/4) + (2/5) x (3/4) = 0,3+0,3= 0,6 B) Calcule a probabilidade de se retirar uma bola branca na segunda retirada, sabendo-se que a primeira bola retirada foi uma Preta, em duas situações: Com reposição e sem reposição. Com Reposição P(B | P) = P( P ∩ B) = (2/5) x (3/5 ) = 3 / 5 = P(B) -> Eventos independentes 2/5 P(P) Sem Reposição P(B | P) = P( P ∩ B) = (2/5) x (3/4 ) = 3/4 2/5 P(P)
8) Se no problema anterior as bolas fossem retiradas uma a uma com reposição, qual seria a nova probabilidade?
Neste caso seriam eventos independentes, logo teríamos que somar as suas probabilidades Então, teríamos Se primeiro branca e depois preta : p(E 1) = 3/5 . 2/5 = 6/5 Se primeiro preta e depois branca : p(E 2) = 2/5 . 3/5 = 6/5 A probabilidade total seria então 12/25
9) Uma clinica especializada trata de 3 tipos de moléstias em animais: A, B e C. 60% dos que procuram a clínica são portadores da moléstia A, 30% são portadores de B e 10% de C. As probabilidades de cura de cada moléstia nesta clinica são, respectivamente, 0,8 ; 0,9 ; 0,75. Qual a probabilidade de:
a) Chegar uma paciente da moléstia B e ser curado? b) Um paciente qualquer ser curado?
Então, temos a) p(B e curado) = 0,3 x 0,9 = 0,27 b) p(curado) = 0,6 x 0,8 + 0,3 x 0,9 + 0,1 x 0,75 = 0,825
10) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual a probabilidade de observarmos, no máximo, 1 cara?
Então, temos : n = 3 ( número de vezes) p = 1/2 (probabilidade de dar cara) q = 1/2 (probabilidade de não dar cara)
K = {Cara} C = {Coroa} Máximo 1 cara: {C,C,C} {K,C,C} {K,C,C} {C,K,C} {C,C,K} P(máximo 1 cara) = P(C) P(C) P(C)+ P(K) P(C) P(C)+ P(C) P(K) P(C)+ P(C) P(C) P(K) = (1/2x1/2x1/2)+(1/2x1/2x1/2)+(1/2x1/2x1/2)+(1/2x1/2x1/2) (1/2x1/2x1/2)+(1/2x1/2x1/2)+(1/2x1/2x1/2)+(1/2x1/2x1/2) = 1/2
