Cálculo de Probabilidades Exercícios Resolvidos
UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA ESPECIALIZAÇÃO ESPECIALIZAÇÃ O EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA MATEMÁTICA PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ
Exercícios Resolvidos 1) (UFF - RJ) Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas numeradas de 1 a 75 e um participante concorre com a cartela reproduzida abaixo. Qual é a probabilidade de que os três primeiros números sorteados estejam nessa cartela? 1ª solução: Total de casos possíveis: B I N G O 5 12 14 13 11
18 21 30 16 27
33 31 44 41
48 64 51 68 60 71 46 61 49 73
C75,3 =
75! 3! . 72!
!
75 . 74 . 73 . 72! 6 . 72!
C24,3 =
24! 3! . 21!
!
24 . 23 . 22 . 21! 6 . 21!
2 024 p= 67 525
$
2ª Solução: Pelo princípio multiplicativo das probabilidades 24 p 75
23 74
67 525
!
2 024
Total de casos favoráveis:
!
.
22 73
.$
0,03
3
0,03 = 3%
2) (Concurso para Professores ± Ensino Fundamental ± SME Valença RJ ± 1998)
A turma 801 da Escola Esperança é constituída de 12 meninas e 8 meninos. Com o objetivo de organizar uma gincana na escola, deseja-se selecionar 3 alunos para representantes de turma. Qual a probabilidade aproximada de que essa comissão de representantes tenha exatamente 2 meninas e 1 menino? Solução:
Total de comissões que podem ser formadas: 20! 20 . 1 . 18 . 1 ! C 20 , 3 ! ! ! 11 0 comissões 1 ! . 3! 1 !. Total de comissões com 2 meninas e 1 menino: C12 , 2 x C 8 , 1
Probabilidade pedida: p = 528 / 1140
$
!
66 x 8 ! 528
0,46 ou 46%
3) A chance de um time ser campeão, em termos de favorabilidade é de 180%. Expresse essa chance em termos de probabilidade. Solução: F = 180 / 100 = 9 / 5 Logo, temos 9 casos favoráveis contra 5 desfavoráveis. Em termos de probabilidade, teremos: P = 9 / 14 $ 0,64 ou 64% Conclusão: A probabilidade desse time ser campeão é de 64%, aproximadamente.
Probabilidade Condicional De um modo geral, a probabilidade condicional de um evento A, na certeza da ocorrência de um evento B (de probabilidade não nula) é denotada por P(A|B) e definida como:
B
AB
A
Na prática, o que fazemos é considerar uma restrição do Espaço Amostral ao conjunto B, já que temos a certeza de que ocorreu.
Exemplo 1: Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada naipe (ouros, copas, paus e espadas). Determine a probabilidade de sortearmos uma carta e sair um rei, sabendo que a carta sorteada foi de ouros. 1ª SOLUÇÃO: Pela fórmula Evento A = sair um rei, p = 4/52 = 1/13, já que o baralho comum possui 4 reis, dentre as 52 cartas. Evento B = sair uma carta de ouros p = 13/52, já que o baralho comum tem 52 cartas, sendo 13 de cada naipe. Evento A B = sair um rei de ouros = 1/52, pois só existe um rei de ouros entre as 52 cartas. Aplicando a fórmula dada, teremos: p (A/B) !
p(A B) p(B)
!
1 52 13 52
!
1 13
2ª SOLUÇÃO: Poderíamos obter diretamente a resposta, considerando que, como saiu uma carta de ouros, o universo se restringe às 13 cartas de ouros, das quais, uma é o rei, logo a probabilidade procurada é p = 1/13.
O exemplo mostrado serve para ilustrar uma importante situação no cálculo das probabilidades: aquela na qual a probabilidade condicional de A na certeza de B é igual à probabilidade de A (ou seja a ocorrência de B não influi na probabilidade de ocorrência de A). Nesse caso, dizemos que os eventos A e B são INDEPENDENTES. E, nesse caso, temos:
p(A B) p(A/B) ! P(A) ! p(B) p(A B) = p(A) . P(B)
EVENTOS INDEPENDENTES
Exemplo 2: Uma moeda honesta e um dado são lançados. Qual a probabilidade de obtermos cara e um número primo? SOLUÇÃO: Como são eventos independentes, teremos: p = ½ . 3/6 = ¼ = 25%.
Exemplo 2) (UNIRIO ± 2008) Leia a tirinha abaixo:
Lúcio está certo: desde o dia 07/07/2007, existem dois grupos de 7 Maravilhas do Mundo: as 7 do Mundo Antigo e as 7 do Mundo Moderno e nenhuma pertence a ambos os conjuntos. Suponha que se escolham, aleatoriamente, duas entre essas 14 Maravilhas. Determine a probabilidade de ambas estarem em um mesmo grupo. SOLUÇÃO: Como são eventos independentes, para que as sorteadas estejam num dos grupos, teremos a probabilidade igual a 7/14 x 6/13 = 3/13. Como são dois grupos, a resposta será 6/13.
EXEMPLO 3: Um sistema de segurança tem dois dispositivos que funcionam de modo independente e que tem probabilidades iguais a 0,2 e 0,3 de falharem. Qual é a probabilidade de que pelo menos um dos dois componentes não falhe? SOLUÇÃO: Como são dispositivos INDEPENDENTES (A = falha o primeiro, B = falha o segundo), a probabilidade de que os dois falhem (A B) será dada por p = 0,2 x 0,3 = 0,06. Como que se deseja é que, ao menos um deles não falhe, estamos diante da probabilidade complementar do evento calculado anteriormente, logo, a probabilidade procurada será igual a: p = 1 ± 0,06 = 0,94 = 94%.
