La integral de
porr Davi po David d Ri R icardo Sánchez
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Estudiante de Cálculo Integral de Honores Universidad de Los An Andes des Bogotá - Col Colombia ombia Semestre 1 del 2005
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Ca lcular ar la integral Problema: Calcul
.
Problema tomado de Michael Spivak, Calculus, Calculus, 2ª edición, Editorial Reverté, México, 1993, pág. 530 ( Ejercici ( Ejercicio o 7-ix del Capítulo 18: Integraci 18: Integración ón en términos elementales elementales).
sustitución Solución: Se hace la sustitución Derivando se obtiene ob tiene
. Entonces
y
.
(Comentarios del profesor Aquiles Páramo) Páramo)
. De esta manera: manera: ¡David comienza ¡David comienza con u nas sus tituci tituciones ones espectaculares!
Ahora, téngase en cuenta que
se puede factorizar de la siguiente siguiente forma: .
Así la integral se puede expresar como:
En realidad, realidad, este “téngase en cu enta” es cos a de pres tidigitaci tidigitación. ón. Es un “as ” sacad o de la mang manga. a. Después de masticarl masticarlo o un poco, creo que la maniobra empleada por David se puede analizar así: se piensa piensa en com como o un cuadrado, es decir: decir: . Así pues se tiene:
Entonces se co mpleta el cuadrado:
Los discriminantes de los dos factores cuadráticos que aparecen en el denominador del integrando son:
. Ahora lo que se v e es un a diferenci diferenciaa de cuadrados y por lo tanto
ecuación para hacer la descomposición en fracciones parciales:
Entonces
Desarrollando y agrupando se tiene:
Aquí h ay que recordar que dos po linomios s on iguales s i son del mismo g rado y si su s coeficientes son iguales.
Lo que conduce al siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Remplazando [1] en la ecuación [3] y remplazando [4] en la ecuación [2], el sistema se reduce a:
Por la ecuación [1]
. Entonces la ecuación [5] conduce a que y
y así:
.
De una manera semejante, por la ecuación [4] conduce a que y así
. Entonces la ecuación [6]
. Por lo tanto, volviendo atrás, nuestra integral se convierte en: David h ace su expos ición en clase.
Consideremos por separado estas dos integrales. La primera es:
Para integrar esta expresión utilizamos la técnica de completar el cuadrado:
¡Muy de acuerdo con hacer esta separación de la integral! Creo que resulta muy cómoda.
.
¡Otra separación! Por lo vis to la integral original va a convertirse en cuatro integrales p or separado!
Separamos esta integral nuevamente en dos:
La primera de estas integrales es:
Que puede integrarse con la sustitución simple
, por lo que
. Así que:
. Para restituir todas las sustituciones, procedemos de la siguiente manera:
La segunda de las integrales de
Comenté este interesante problema con mi colega, el profeso r Robe rto Ortiz, y és te muy gen tilmente me remitió al texto de Cálculo diferencial e integral del matemático ruso Marón dond e se trata de la integral impropia
es:
.
. Consu lte al final los Comentarios adicionales.
Esta expresión se integra fácilmente con la fórmula de arcotangente:
Recordar que la fórmula de arco tang ente u tilizada aquí po r David es: .
. Y restituyendo todas las sustituciones:
Y para la segunda:
Si reunimos todos los resultados que hemos obtenido por separado en [8], [9], [10] y [11] y los combinamos de acuerdo a la expresión [7], tenemos finalmente:
¡Felicitaciones , David! ¡Bien trabajado!
Comentarios adicionales Por el profeso r Aqu iles Páramo
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Comentario 1. Por una gentil sugerencia de mi colega, el profesor Roberto Ortiz, del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Los Andes, he consultado el texto de Cálculo Diferencial e Integral del matemático ruso Marón (И. А. МАРОН , Дифференцалъное и интегальное исчисление в примерах и задачах, Москва, 1970, pág. 351) en donde éste calcula la integral impropia
. De acuerdo a lo expuesto anteriormente por David Ricardo Sánchez se puede comenzar poniendo y si
y se tiene , entonces
. Además si
. Por lo tanto: .
, entonces
Gráfica de la función
.
El área sombreada corresponde a la integral impropia .
Como estas dos integrales son iguales, entonces: . Ahora ponemos
y así
. Además si
, entonces
y si
, entonces
. Por lo tanto:
.
Comentario 2. Cuando la integral
se calcula con el programa de integración simbólica de Maple 7 se obtiene la
siguiente respuesta: > int(sqrt(tan(x)),x);
Me pregunto cómo se unirá esto con la respuesta de David Ricardo Sánchez.
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