Integral Raiz de Tan(x)

Calculo Integral "Ejercicios de Retos“  tan(x) (x) dx Metodos de Solución "Cambio de Varible,Fracciones Parciales e Integración Directa“ Efectuamos el primer Cambio de Variable teniendo en cuenta la siguiente Identidad Trigonométrica Pitagorica 1+tan x = sesec(x) 2udu u = tan x → 2udu = sec x dx → dx = sec2udu → d x = (x) 1 + u  2udu 2u  tan(x) dxdx =  u 1 + u =  1 + u du → Aplicamos Aplicamos Fracciones Fracciones Parciales Parciales Factorizamos el denominador de la fracción completando el trinomio cuadrado perfecto Sumamos y restamos respectivamente 2u a la expr expresesióiónn 1 + u u + 2u − 2u +1 → u + 2u + 1 − 2u2u → u + 1  − 2u "Factorizamos la Diferencia de Cuadrados“  b + b b "F la G al Dif ci d C drad drad "

  2u 2u  1+ u  du =  u + 2u+ 1 u − 2u+1 du → Fracciones parciales Caso III 2u Au+B + Cu+D = u + 2u+1 u − 2u+ 1 u + 2u+ 1 u − 2u+1  − 2u+1 + Cu+D u + 2u+1 2u Au+Bu A = C  → A = C = → B B u + 2u+1 u − 2u+1 u + 2u+1 u − 2u+ 1 2u = Au3 − 2Au +Au+Bu − 2Bu+B+Cu3 + 2Cu +Cu+Du + 2Du +D Agrupamos terminos por el grado de la potencia e igualamos termino a termino en la igualdad A+C=0 − 2A + B+ 2C+D = 2 A − 2B +C+ 2D = 0 B+D=0 Tomamos los coeficientes de cada varible y organizamos una matriz 4x4 y resolvemos haciendo uso de un programa 1 0 1 0 A 0 −2 1 2 1 B = 2 1 21 2 C 0

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones los valores obtenidos para las variables fueron los siguientes A = − 22 ; B= 0 ; C = 22 ; D = 0 Dichos valores seran sustituidos en la descomposicion en fracciones parciales anteriormente realizada  2u Cu+D  du  u + 2u+ 1 u − 2u +1  du =  u +Au+B du + 2u+ 1 u − 2u + 1 − 2 u+(0) 2 u+(0)  2u  u + 2u+ 1 u − 2u + 1  du =  u2+ 2u+ 1 du + u2− 2u + 1  du  2u  u + 2u + 1 u − 2u+ 1  du = −2 2  u + u2u+ 1 du + 22  u − u2u+ 1  du Completamos el trinomio cuadrado perfecto para cada integral por seperado u + 2u+ 1 → Completamos el Trinomio Cuadrado Perfecto para la primera integral Tomamos el coeficiente del termino lineal lo dividimos entre dos y lo elevamos al cuadrado es decir ∶

Retomando lo anterior procedemos a sumar y restar respectivamente 12 a → u + 2u+ 1  1 1 1 1 1 1   u + 2u+ 2 − 2 +1 → u + 2u + 2 + 2 → u + 2 + 2 u + 2u+ 1 → Completamos el Trinomio Cuadrado Perfecto para la segunda integral Tomamos el coeficiente del termino lineal lo dividimos entre dos y lo elevamos al cuadrado es decir ∶ 2  = 2 = 1 → Sumamos y restamos respectivamente dicho termino a la expresión incial 2 4 2 Retomando lo anterior procedemos a sumar y restar respectivamente 12 a → u − 2u+ 1  1 1 1 1 1 1 u − 2u+ 2 − 2 +1 → u − 2u + 2 + 2 → u − 2 + 2 Una vez realizado el procedimiento de completación de un trinomio cuadrado perfecto para cada integral Sustituimos dichas expresiones en las integrales a calcular. 2 2 2 2

Para las integrales a calcular efectuamos principalmente un cambio de variable para cada una de ellas I = −2 2  1u  1 du → Aplicamos un cambio de variable haciendo uso de la variable nueva (t) u+ 2 +2 t = u + 12 → u = t − 12 → du = dt I = 22 

u du → Aplicamos un cambio de variable haciendo uso de la variable nueva (p)  1 1 u− 2 + 2 p = u − 12 → u = p + 12 → du = dp Evaluamos el cambio de variable para la integral I  y organizamos las expresiones

I = −2 2 

u



1 t −  du = −2 2  12  dt = −2 2  t 1  dt + −2 2 −1  dt 1

Evaluamos el cambio de variable para la integral I  y organizamos las expresiones 1 p+ I = 22  1u  1  du = 22   12  dp = 22   p 1  dp + 22 12  dp 1 p +2 p +2 p +2 u− 2 + 2 Ahora procedemos a integrar de forma separada cada una de las integrales resultantes en los cambios de variable Integrales resultantes de I y su correspondinte cambio de variable − 2  t dt → Multiplicamos la expresión por 2 → − 2 1  2t  dt 2 t + 12 2 2 2 t + 12 Recodemos la siguiente formula de Integración Directa →  f´(x) f(x)  dx = ln f(x) + C − 2 1  2t  dt = − 2  2t dt → f x = t + 1 f´ x = 2t → − 2  2t  dt = − 2 ln t + 1 +C 2 2 t + 12 4 t + 12 2 4 t + 12 4 2 − 2 −1  dt = 1  dt → Aplicamos la siguiente fomula de integración directa 2 2 t + 12 2 t + 12

Para la integral → 12  dt 1 a = 12   ; y=t ; 1a = 2 t +2 1  dt = 1 2 arctan t +C → 1  dt = 2 arctan 2 t +C 1 2 t + 12 2 2 t + 12 2 2 Integrales resultantes de I y su correspondinte cambio de variable 2  p dp → Multiplicamos la expresión por 2 → 2 1  2p  dp 2 p + 12 2 2 2 p + 12 Recodemos la siguiente formula de Integración Directa →  f´(x) f(x)  dx = ln f(x) + C 2 1  2p  dp = 2  2p dp → f x = p + 1 f´ x = 2p → 2  2p  dp = 2 ln p + 1 +C 2 2 p + 12 4 p + 12 2 4 p + 12 4 2 2 1  dp = 1  dp → Aplicamos la siguiente fomula de integración directa 2 2 p + 12 2 p + 12

Para la integral → 12  dp 1 a = 12   ; y=p ; 1a = 2 p +2 1  dp = 1 2 arctan p +C → 1  dp = 2 arctan 2 p +C 1 2 p + 12 2 2 p + 12 2 2 Una vez vez solucionadas las integrales resultantes ,retomamos la solución del ejercicio inicial,pero antes regresamos en los cambios de variable realizados para obtener las soluciones a dichas integrales . Soluciones a las integrales I ; I → t = u + 12 ; p = u − 12  1 − 2 1 → 4 ln u+ 2 + 2 +C 1  dt = 2 arctan 2 t +C → 2 arctan 2 u + 1 + C = 2 arctan 2u+1 +C 2 t + 12 2 2 2 2 2  2p  dp = 2 ln p + 1 +C → 2 ln u− 1  + 1 +C 4 p + 12 4 2 4 2 2

− 2  t  dt = − 2 ln t + 1 +C 2 t + 12 4 2

1  dp

2

2

1

2