Solución analítica de la integral de raíz cuadrada de tangente de x con respecto a x

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias David Alejandro Segura Sabogal 2517921 Geología Resolver la siguiente integral:

∫ √𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒅𝒙 Hacemos las siguientes sustituciones. 𝑢 = √tan 𝑥 𝑥 = tan−1 𝑢 𝑢2 = tan 𝑥

𝑑𝑥 =

2𝑢 𝑑𝑢 1+𝑢4

= ∫𝑢 ∗

=∫

2𝑢 𝑑𝑢 1 + 𝑢4

2𝑢2 𝑑𝑢 1 + 𝑢4

Se factoriza el denominador =∫

2𝑢2 (𝑢2 − √2𝑢 + 1)(𝑢2 + √2𝑢 + 1)

𝑑𝑢

Por fracciones parciales 𝐴𝑢 + 𝐵 (𝑢2 − √2𝑢 + 1)

+

𝐶𝑢 + 𝐷 (𝑢2 + √2𝑢 + 1)

=

2𝑢2 (𝑢2 − √2𝑢 + 1)(𝑢2 + √2𝑢 + 1)

(𝐴𝑢 + 𝐵)(𝑢2 + √2𝑢 + 1) + (𝐶𝑢 + 𝐷)(𝑢2 − √2𝑢 + 1) = 2𝑢2 Operando y luego agrupando 𝐴𝑢3 + 𝐵𝑢2 + √2𝐴𝑢2 + 𝐴𝑢 + √2𝐵𝑢 + 𝐵 + 𝐶𝑢3 − √2𝐶𝑢2 + 𝐶𝑢 + 𝐷𝑢2 − √2𝐷𝑢 + 𝐷 = 2𝑢2 𝑢3 (𝐴 + 𝐶) + 𝑢2 (√2𝐴 + 𝐵 − √2𝐶 + 𝐷) + 𝑢(𝐴 + √2𝐵 + 𝐶 − √2𝐷) + (𝐵 + 𝐷) = 2𝑢2 Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones 𝐴 + 𝐶 = 0 [1] √2𝐴 + 𝐵 − √2𝐶 + 𝐷 = 2 [2] 𝐴 + √2𝐵 + 𝐶 − √2𝐷 = 0 [3] 𝐵 + 𝐷 = 0 [4] Sustituyendo a [4] en [2] √2𝐴 − √2𝐶 = 2 [5] Sustituyendo a [1] en [3]

√2𝐵 − √2𝐷 = 0 [6] Se pueden hallar todos los valores teniendo en cuenta las siguientes igualdades A =-C y B= -D Para hallar C… −√2𝐶 − √2𝐶 = 2 −2√2𝐶 = 2 𝑪=− Para hallar A…

√𝟐 𝟐

√2𝐴 + √2𝐴 = 2 2√2𝐴 = 2 𝑨= Para hallar D…

√𝟐 𝟐

−√2𝐷 − √2𝐷 = 0 𝑫=𝟎 Para hallar B… √2𝐵 + √2𝐵 = 0 𝑩=𝟎 La integral queda así: √2 √2 𝑢 𝑢 2 2 ∫ − 𝑑𝑢 𝑢2 − √2𝑢 + 1 𝑢2 + √2𝑢 + 1 𝑢 𝑢 √2 √2 ∫ 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢 2 𝑢2 − √2𝑢 + 1 2 𝑢2 + √2𝑢 + 1 --------------------------------------------------Parte a Parte b

=

Parte a: ∫

𝑢 𝑢2

− √2𝑢 + 1

𝑑𝑢

Completando el cuadrado del denominador =∫

𝑢 1 1 𝑢2 − √2𝑢 + 2 + 1 − 2

=∫ Hacemos las siguientes sustituciones

𝑢 1 √2 (𝑢 − 2 )2 + 2

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑧=𝑢−

√2 2

𝑢=𝑧+

√2 2

𝑑𝑧 = 𝑑𝑢 √2 = ∫ 2 2 𝑑𝑧 𝑧 +1 𝑧+

𝑧 1 √2 𝑑𝑧 + ∫ 𝑑𝑧 +1 2 𝑧2 + 1 2 ---------------- ---------------Parte 1 Parte 2

=∫

𝑧2

Parte 1: Hacemos las sustituciones 𝑧2 = 𝑣

𝑧𝑑𝑧 =

𝑑𝑣 2

1 𝑑𝑣 ∫ 2 𝑣+1 2 1 1 = 𝐿𝑛 | 𝑣 + | + 𝐶 2 2 1 1 = 𝐿𝑛 | 𝑧 2 + | + 𝐶 2 2 Parte 2: Hacemos las sustituciones 𝑧=

√2 𝑡𝑎𝑛𝜃 2

𝑑𝑧 =

√2 sec 2 𝜃 𝑑𝜃 2

𝜃 = tan−1 √2𝑧 √2 sec 2 𝜃 √2 2 ∫ 𝑑𝜃 2 1 tan2 𝜃 + 1 2 2 2√2 sec 2 𝜃 √2 2 = ∫ 𝑑𝜃 2 sec 2 𝜃 = ∫ 𝑑𝜃 =𝜃+𝐶

= tan−1 √2𝑧 + 𝐶 Al finalizar haciendo todas las sustituciones correspondientes, la Parte a queda así 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑎:

1 1 𝐿𝑛 | 𝑧 2 + | + tan−1 √2𝑧 + 𝐶 2 2

=

1 1 1 √2 𝐿𝑛 | 𝑢2 − √2𝑢 + + | + tan−1 √2(𝑢 − ) + 𝐶 2 2 2 2 1 = 𝐿𝑛| 𝑢2 − √2𝑢 + 1| + tan−1 ( √2𝑢 − 1) + 𝐶 2

Parte b De manera muy similar a la parte a: ∫

𝑢 𝑢2 + √2𝑢 + 1

𝑑𝑢

Completando el cuadrado del denominador =∫

𝑢 1 1 𝑢2 + √2𝑢 + 2 + 1 − 2

=∫

𝑢 1 √2 (𝑢 + )2 + 2 2

𝑑𝑢

𝑑𝑢

Hacemos las siguientes sustituciones 𝑧=𝑢+

√2 2

𝑢=𝑧−

√2 2

𝑑𝑧 = 𝑑𝑢 √2 𝑧− 2 =∫ 2 𝑑𝑧 𝑧 +1

𝑧 1 √2 𝑑𝑧 − ∫ 𝑑𝑧 +1 2 𝑧2 + 1 2 ---------------- ---------------Parte 1 Parte 2 =∫

𝑧2

Parte 1 (idéntica a la parte 1 de la parte a) Hacemos las sustituciones 𝑧2 = 𝑣

𝑧𝑑𝑧 =

𝑑𝑣 2

1 𝑑𝑣 ∫ 2 𝑣+1 2 1 1 = 𝐿𝑛 | 𝑣 + | + 𝐶 2 2

1 1 = 𝐿𝑛 | 𝑧 2 + | + 𝐶 2 2

Parte 2: Hacemos las sustituciones (idéntica a la parte 2 de la parte a) 𝑧=

√2 𝑡𝑎𝑛𝜃 2

𝑑𝑧 =

√2 sec 2 𝜃 𝑑𝜃 2

𝜃 = tan−1 √2𝑧 √2 sec 2 𝜃 √2 ∫ 2 𝑑𝜃 2 1 tan2 𝜃 + 1 2 2 2√2 sec 2 𝜃 √2 = ∫ 2 2 𝑑𝜃 2 sec 𝜃 = ∫ 𝑑𝜃 =𝜃+𝐶 = tan−1 √2𝑧 + 𝐶

Al finalizar haciendo todas las sustituciones correspondientes, la Parte b queda así

𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑏:

=

1 1 𝐿𝑛 | 𝑧 2 + | − tan−1 √2𝑧 + 𝐶 2 2

1 1 1 √2 𝐿𝑛 | 𝑢2 + √2𝑢 + + | − tan−1 √2(𝑢 + ) + 𝐶 2 2 2 2 1 = 𝐿𝑛| 𝑢2 + √2𝑢 + 1| − tan−1 ( √2𝑢 + 1) + 𝐶 2

La integral indefinida con respecto a “𝑢”queda de la siguiente manera

=

√2 1 √2 1 [ 𝐿𝑛| 𝑢2 − √2𝑢 + 1| + tan−1( √2𝑢 − 1)] − [ 𝐿𝑛| 𝑢2 + √2𝑢 + 1| − tan−1 ( √2𝑢 + 1)] + 𝐶 2 2 2 2

=

√2 √2 √2 √2 𝐿𝑛|𝑢2 − √2𝑢 + 1| + tan−1 ( √2𝑢 − 1) − 𝐿𝑛|𝑢2 + √2𝑢 + 1| + tan−1 ( √2𝑢 + 1) + 𝐶 4 2 4 2

𝑢2 − √2𝑢 + 1 √2 √2 √2 = 𝐿𝑛| |+ tan−1 ( √2𝑢 − 1) + tan−1 ( √2𝑢 + 1) + 𝐶 2 4 2 2 𝑢 + √2𝑢 + 1 Finalmente la integral

∫ √𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒅𝒙 =

𝐭𝐚𝐧 𝒙 − √𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 𝟏 √𝟐 √𝟐 𝑳𝒏| |+ [𝐭𝐚𝐧−𝟏( √𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝒙 − 𝟏) + 𝐭𝐚𝐧−𝟏( √𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 𝟏)] + 𝑪 𝟒 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝒙 + √𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 𝟏