LONGITUD DE CURVA Y RECTA TANGENTE
La longitud de arco de la porción de curva que va desde el punto P ( t a ), hasta el punto Q ( t b ), se calcula con: L
b
a
f (t ) dt
, a t b
Analizar si F es una parametrización regular.
Dada la parametrización de la curva : F (t ) (cos t , sent sent,1n(cos t )) , t 0, . 2 a) Encontrar la longitud de arco de la curva que se inicia en el punto (1,0,0) hasta el punto 1 3 , , 1n2 . 2 2 b) Hallar la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva en el punto Q donde el plano P : x y interseca a la curva
cos t , ln ln se sect ) , sent, co Sea la curva : F (t ) (sent
2( x 2) 2 z 2 8 Dada la curva : . Hallar: 4 x y a) La longitud de arco de desde el punto P 4,0,0 hasta el punto Q (2,2,2 (2,2,2 2)
b) La curvatura k(t) y la torsión t de la curva en todo punto de la curva .
Si : P F (t ) , t es una curva regular en
y v es un vector fijo. Si para todo t , F (t ) y v son ortogonales y F (0) es también ortogonal a v . Probar que F (t ) es ortogonal a v , para todo t . n
Dada la parametrización de la curva : 3
2 2 F (t ) tu t v 2 t (u v ) , t 0, ; 3 2
donde u y v son dos vectores unitarios fijos en 3
que forman un ángulo de
3
radianes.
t 0, / 2 . Hallar la ecuación de la recta
tangente en el punto F (t 0 ) si la longitud de la curva entre los puntos F (0) y F (t 0 ) es ln(2 3 ) .
:
Recordar que: sec u du ln sec u tan u C
Considere la curva con parametrización F (t ) (t t 2
1
, t t 2 ), t R. 4
a) Hallar la función longitud de arco de , definida desde el punto donde la recta tangente a es paralela a la recta y = x. b) Encontrar la longitud del arco que une el punto donde la recta tangente a es horizontal, con el punto hallado en la parte a). Determinar los extremos de dicho arco. :
a u du 2
2
u 2
a u 2
2
a
2
2
ln(u a u ) c. 2
2
F (t ) 1 cos t ,1 cos t , 2sent ,
Sea:
t 0, 2 una parametrización de una curva
halle el punto Q de de modo que la longitud de arco medida desde su punto inicial hasta el punto Q sea
3 2 4
unidades.
a) Analizar si C es una curva regular. b) Hallar la longitud de C.
VECTORES UNITARIOS Sea una curva , definida por la función parametrizada f (t ) (x(t ) , y( t ) , z ( t ) ) , se definen
Halle la longitud de la curva definida por la parametrización F (t ) ln(cos t ), ln(sent), 2 t ,
los vectores unitarios, curvatura y torsión como: VECTOR TANGENTE: f (t ) T (t )
f (t )x f (t ) x f (t ) N (t ) f (t )x f (t ) x f (t )
VECTOR BINORMAL: B(t )
t 3 ,1 t ,1 t , a) Sea F (t ) 1 2 t, e , t t 1 ,
t 0
f (t ) x f (t )
¿Es F una parametrización regular? Justifique su respuesta. b) Calcular la longitud de la curva x
f (t ) x f (t ) f (t ) x f (t )
t 0
x2 y 2 z 2 2 x2 y2 : ; y x
f (t )
VECTOR NORMAL:
t , 6 4
0
, y
(t )
CURVATURA:
f
3
f (t ) x f (t ) f (t ) (t )
TORSIÓN:
f (t )x f (t )
2
2 t 1 2 a) Sea F (t ) ln(t 1), , 2t 2 t 1
i)
Dadas las curvas: : F (t ) =(1+t, et+1, t2+1), t 0, y
Dar el dominio de la función F.
ii)
Hallar el punto o los puntos de la curva descrita por F donde la recta que pasa por el punto (-2,-1,-6) es tangente a la curva en b) Dada la curva : (t ) (t, ln(sec t ), 3) , 0 t
2
hallar la longitud de la curva
comprendida entre el punto R(0,0,3), y el punto.
, ln 2, 3 . 4
C: G(r)= (
3 1 r
, e4r, 1+ 2r), r 0, .
a) Encontrarla ecuación del plano osculador de la curva en Q , punto intersección de las curvas y b) Calcular la curvatura y la torsión de en el punto Q
Q
Sea la curva descrita por la parametrización: (t ) (t cos t , tsent ,
2 2 3
t 3/ 2 ) ,
t 0, .
Sea AO el segmento que une A(-3,0,0)con el origen de coordenadas. Llamaremos C a la unión del segmento AO con la curva .
Considere la curva parametrizada por 1 3 F (t ) t 2 , t, t 3 t , t . 4 4 a) Probar que la curvatura k(t) de es diferente de cero en todo punto F (t ) b) Si dado t , (t ) denota el ángulo que forma el vector v=(0,0,1) con el vector
binomial B(t) a la curva en todo punto F (t ) , probar que la torsión es
c) Hallar la curvatura k (t ) en cualquier punto de la curva .
(t ) cos2 (t )
la curva parametrizada t 2t 2 3 F (t ) t , , , t 4 , t t 2 1 2 1
Sea
por
a) Hallar la ecuación cartesiana del plano osculador a la curva en el punto. Q=(1,1,2). b) Calcular la curvatura y la torsión de en el punto Q.
Sea
la
curva
: F (t ) (2 sent, t 2, 1 t 2 sent ) , t [0, ] . Hallar los vectores unitarios T(t), B(t), 2
2
N(t), la curvatura k(t) y torsión (t ) de la curva en el punto Q, donde el vector tangente a es paralelo al plano YZ.
La
Desde el punto A (0,4,-2) se trazan rectas que intersecan a la recta L : x y 2, z 0. Dichas rectas están contenidas en un plano P. La intersección del plano P con el cilindro L : x
2
y2 4 determina una curva .
a) Parametrizar la curva indicando el dominio de la parametrización. b) Hallar la ecuación del plano osculador en el plano (0,2,0).
Sea la curva
t3 2 t 3 : F (t ) t , t , t , 3 3
t R.
a) Halle la curvatura k (t) de la curva en un punto genérico P = F(t) de . b) Halle la ecuación del plano osculador de en el punto donde la curvatura tiene el valor 1.
parametrización F (t ) e2t , e2t , 2 t ,
t 0 describe a una curva
.
a) Calcular la curvatura k(t) en cualquier punto de
b) La curva interseca al plano XY en el punto Q. Hallar la ecuación cartesiana del plano osculador y el vector normal principal unitario N en el punto Q.
Los puntos (x, y, z) de la curva satisfacen la x y 2 . ecuación de Hallar una parametrización de sabiendo que todos sus planos osculadores son perpendiculares al plano P : x z 0 y que los puntos R (1, 1,0) , S (1,1,0) pertenecen a .
x2 y 4 Dada la curva : x y z a) Parametrizar , indicando el dominio de la parametrización. b) Hallar los vectores unitarios T y B en el punto Q , donde la recta tangente es perpendicular al eje Y.
z x e y Dada la curva : , y 0 . Halle la z y 4 curvatura de en el punto Q e3 ,3,1 .
3a2 y bx 2 , Sea : cxy abz 9 a) Parametrizar .
abc 0
b) Hallar la ecuación cartesiana del plano osculador en cualquier punto de . c) Hallar la curvatura de en el punto donde el vector tangente a es paralelo al plano 2bx ay 7 0.
2 2 2 x y z 1 Dada la curva : 2 que pasa y 2 x z 1
por el punto (1,1,1) . a) Demuestre que la curva es regular. b) Halle la curvatura de en el punto (1,1,1) .
Sea
la
curva
parametrizada
por
F t 3t , 3t , t , t 1. 2
3
a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la curva cuyos puntos son las intersecciones de las rectas tangentes a con el plano osculador a en el punto (3, 3, 1) b) Hallar la curvatura de en el punto (3,3,1).
Sea F(t) la parametrización de la curva C que describe una partícula que parte del origen en el instante t=0 y tiene vector velocidad (2,3,4) en el instante t=1 . Si el vector aceleración de la partícula es: A(t ) (0,2,6t), t 0. a) Hallar la función vectorial F (t ) ( x( t ) , y(t ) , z (t ) )
La curva es descrita por la función vectorial F definida por: t , z cos( t ),sin 2( t ), 2 2 C : (0, 0, 0) 3 3 (2cos( t ),sin 2( t), t), 2 2
i. ii.
t 0,
La curva es parametrizada por la función:
, 2 2
F (t ) (sent,cos t ,ln(sect )) , t t , 2
Hallar F (t ) indicando su dominio. Analizar si f es una parametrización regular en
0,2 iii.
b) Hallar la ecuación cartesiana del plano osculador a la curva C de la parte (a) en el punto F(1)
Hallar el plano osculador de la curva en el punto 2,1, 4
x 2 y 2 1 Dada la curva : z ; 0 z ln 2 xe 1 a) Hallar la longitud de b) Hallar la curvatura de en el punto Q tal que la
longitud del arco comprendido entre el punto de intersección de con el plano XY y el punto Q , es igual a ln( 2 ) 1
Hallar: a) La curvatura k(t) en cualquier punto F(t) de la curva. b) La longitud del arco de ,la curva comprendido
y el punto donde la 3
entre el punto F
curvatura tiene el valor
2
CURVAS DE NIVEL
Sea la función f ( x, y )
x 2 y 2 1 y 2
a) Las intersecciones de la gráfica de f con los planos XY, XZ. b) Dibujar las curvas de nivel k para valores de 1 k 0, ,1,2 2
c) Hacer un esbozo de la gráfica de f 3 Una partícula se mueve en según la C : F(t ) x(t ), y(t ), z (t ) , trayectoria
partiendo del punto P 0 (1,1,0) en el instante t = 0. En cada instante t 0 la velocidad de la partícula es: V (t ) (et , et , 2) a) Hallar la trayectoria F(t) . b) Calcular la curvatura k(t) en el instante cuando t=0. c) Hallar las componentes tangenciales at (t ) y normal an (t ) de la aceleración en el punto F(0).
LÍMITES Definición: lim El límite
( x , y ) ( x0 , y0 )
f ( x, y) L se define:
0 , 0 , tal que si: 0 (x, y) (x o , yo ) (x xo )2 (y yo )2
f (x, y) L
Sugerencia : puede usar la desigualdad :
Demostrar, usando la definición del límite que :
2
Lim x -y - 1 2
xy x
+ xy + y 2 2(x 2 + y 2)
(x,y)(1,2)
CONTINUIDAD
Analizar la continuidad en R 2 de la siguiente función
8 x3 y3 2 2, f ( x, y) 4 x y 0 ,
Se dice que una función f ( x, y) es continua en el punto ( xo , yo ) , si cumple: i) ii) iii)
f ( xo , yo ) existe lim
f ( x, y) existe
lim
f ( x, y) f ( xo , yo )
( x , y ) ( xo , yo ) ( x , y ) ( xo , yo )
si x, y 0, 0
.
si x, y 0, 0
MÉTODO DE LOS CAMINOS
Caso contrario se dice que es discontinua en ( xo , yo )
TEOREMA DEL SANDWICH
Demuestre que no existe el siguiente límite lim
( x , y )( 0, 2)
Demostrar
que
la
( y 2) 6 x( y 2) 4
Analizar la existencia de cada uno de los siguientes límites:
es
continua en (0,0)
a)
lím
( x, y ) (0,0 )
x2 y 2 x 2 y 2
( x y) 2
cos x 1
Sea 1 1 x xsen , si (x, y) (0,0) cos x2 y2 x2 y 2 x 2 y 2 f ( x, y) 0 , si ( x, y) (0,0)
Analizar la continuidad de f en (0,0)
b) c)
lím
( x , y ) ( 0,0 )
lím
( x, y ) ( 0,0 )
la 2
x y x2
función
x
2
2
y cos( xy) 1 x
4
4
x 2 y 2
Sugerencia para (c):
t R1 cos t 1 Dada
.
función
x3 y , ( x, y) (0, 0) f ( x, y) x4 y 2 0 , ( x, y) (0, 0)
f ( x, y)
x4
t 2
2
1 24
t 4 cos , donde
se encuentra entre 0 y t.
2
xy y 2 0
,
( x, y ) (0, 0)
Dada
,
( x, y) (0, 0)
x 4 ( x y) 2 , ( x , y) (0, 0) f ( x, y ) ( x y ) 2 0 , ( x, y) (0, 0)
Demostrar que Lim f(x , y) 0 (x , y)(0 , 0)
la
función
Demostrar que f no es continua en (0, 0) Dada
f ( x, y)
la
función
x 2 y 2 x2
Demostrar que
xy y 2 0
Lim
(x , y)(0 , 0)
,
( x, y ) (0, 0)
,
( x, y) (0, 0)
f(x , y) 0
DERIVADAS
( x, y) para (x, y) (0, 0). x b) Calcular (0,0). x c) ¿Es la función continua en el punto (0, 0)? x a) Calcular
Sea la función f : 2 , se definen las derivadas parciales de f en el punto: f x (x 0 , y0 ) D1f (x 0 , y 0 ) lim h 0
h, y0 ) f (x 0, y 0 )
f (x 0
h
f y (x 0 , y0 ) D 2f (x 0 , y 0) lim h 0
f (x 0 , y0
h) f (x 0, y 0 ) h
x
a) Dada la función u( x, y) y3e f ( x, y ) , g ( x, y) tales que:
Justificar su respuesta.
2
y
, y 0 ; halle
u f ( x, y)e x
x2
y
,
i) ii)
lim
b) Analice la existencia de la derivada parcial con respecto a y de la función
sin( y ) f ( x, y) x2 y 2 0
( x, y) (0, 0) ( x, y) (0, 0)
x
La
1 2
y x .
Calcule
función:
x f ( x, y) x arctan y ln( x2 y2 ) y Satisface la ecuación f f x ( x, y) y ( x, y) f ( x, y) Ay x y ,donde y > 0.Hallar el valor de la constante. A .
Sea la función definida por x2
3
y2 0
k 2
0
f( x, y) f ( x, y) , y x
gradiente como: f ( x, y )
.
f f (3, 2) (2, 3) . x y
xy
2
Dada la función f : 2 , analizar la diferenciabilidad de f en (0,0)
f ( x, y) y
f ( x, y)
h
Obs: Si f es diferenciable entonces se define el vector
Según valores R.
Sea
f ( xo h, yo k ) f ( xo , yo ) h f x ( xo , yo ) kf y (xo , y o )
( h,k )( 0, 0)
x2
u g ( x, y)e y y
Decimos que una función f ( x, y) es diferenciable en el punto ( xo , yo ) , si se cumple que: f y ( xo , yo ) y f x ( xo , yo ) existen.
si ( x, y) (0, 0) si ( x, y) (0, 0)
3
a)
f ( x, y) xy .
b)
f ( x, y) xy
c)
f ( x, y )
,
1 2
xy x2
, ( x, y ) (0, 0).
y2
, ( x, y ) (0, 0).
0
d)
g ( x, y) 2 x y 1
e)
x2 y , f ( x, y ) x 2 y 2 0 ,
xy
si ( x, y ) (0, 0) si ( x, y ) (0, 0)
Dada la función
( x y)n , f ( x, y) x2 y 2 0 ,
si
( x, y) (0, 0)
si
( x, y) (0, 0)
.
Analizar la diferenciabilidad de f en (0,0), según los valores de n .
b) Usando la definición demostrar que f es diferenciable en el origen.
Sea
sen2 ( x y) f ( x, y) x y 0
si ( x, y) (0, 0)
Dada la función f :
si ( x, y) (0, 0)
la
diferenciabilidad
h x, y ln x x2 ( y 1)2
, definida por:
x 4 y 3 sin y , si ( x, y ) (0, 0) f ( x ) x 2 y 2 0 , si ( x, y ) (0, 0)
a) Analizar la continuidad de f en 2 b) Analizar la diferenciabilidad de f en (0,0).
Analizar
2
de
en (0,0) y
hallar h(0,0) .
a) Demostrar que f es diferenciable en 2 (0, 0) b) Aplicando la definición, demuestre que f es diferenciable en (0, 0)
Sea la función Analice la diferenciabilidad de la función.
xy 2 2 f ( x, y) ( x y ) 0,
( x, y) (0, 0)
en
( x, y) (0, 0)
el punto (0,0). 1
i.
Para a .
ii.
Para a .
2 1 2
Analizar la diferenciabilidad de la función: x3 y3 , si ( x, y ) (0, 0) f ( x, y) x2 y 2 0 , si ( x, y) (0, 0) a) En 2 (0,0) b) En el punto (0,0)
xy 2 2 f ( x, y) x y 0
si x, y 0, 0
.
si x, y 0, 0
a) ¿Es f diferenciable en (0,0)? Justifique su respuesta. b) Calcular en qué puntos de la circunferencia x 2 y 2 1, el módulo del gradiente de f es máximo.
Usando la definición de función diferenciable, demostrar que la función x 2 y 2 , si x , y 0 , 0 f x , y x y 0 , si x , y 0 , 0 es diferenciable en (0,0).
Sea f : R 2 R una función de clase C 2 . Se e ( x 1) y , si x y Dada la función f ( x, y ) . si x y 0 ,
Analizar la existencia de
f (1,1) x
Sea la función 2 x 2 y 2 , si ( x , y ) (0, 0) f ( x , y ) (2 x 4 y 2 ) 2/3 0 , si ( x, y ) (0, 0) a) Demostrar que f es continua en el origen.
2 define la función g : R R por la condición
g ( x, y ) f ( x 2 , y 2 ). Si h ( x, y)
g ( x, y). x
Hallar el gradiente de h, h( x, y) en términos de las derivadas parciales de f .
Mediante la definición de función diferenciable demostrar que f ( x, y) xy es diferenciable en el punto (1,1)
2
a) Dada la función f : 2 , definida 1 , si x 0, y 0 por f ( x, y) x y , si x 0 ó y 0
Se define la derivada direccional de la función f en el punto ( x, y ) en la dirección del vector unitario u (u1 , u2 ) : Du f ( x, y) lim
f ( x hu1 , y hu2 ) f ( x, y)
h0
h
Si f es una función diferenciable en ( x, y ) , entonces la derivada direccional se puede calcular como: Du f( x, y ) f( x, y) u
Si se conoce el ángulo que forma el vector unitario, se tiene u (cos , sen ) , además: f ( x h cos , y h sen ) f (x, y ) h 0 h
Du f ( x , y ) lim
Dirección de la máxima derivada direccional, o máxima razón de cambio: f ( x, y )
Valor de la máxima derivada direccional:
ii.
Analizar si existe la derivada direccional de f en (0,0) en las direcciones unitarias u (a, b) 2 con a 0 y b 0. Analizar la diferenciabilidad de f en (0,0).çç
Sea
la
función
x2 y2 , si( x, y) (0, 0) f ( x, y) x2 y 2 0 , si( x, y) (0, 0) a) Analizar si f es diferenciable en todo 2 . b) Hallar todos los vectores unitarios U tales que DU f (0,0) existe c) Hallar todos los vectores unitarios tales que
f ( x, y )
DU f (1, 1) 0
Dada la función e x y 1 , si ( x, y) (0, 0) f ( x, y) x 2 y 2 1 , si ( x, y) (0, 0) . 2
i.
2
Hallar los vectores unitarios tales que Du f (0,0) existe.
u (a, b)
Dada la función 2
e xy 1 , f ( x, y ) xy 1 ,
si x 0, y 0 si x 0 ó y 0
a) Analizar la existencia de Du f ( x, y) si x 0, y
0, para todo vector unitario u (a, b) Dada la función f :
2
definida por
x r y3 , si ( x, y ) (0, 0) 3 f ( x, y) ( x 4 y 2 ) 2 0 , si ( x, y) (0, 0) a) Analizar la diferenciabilidad de f en el punto (0,0) para r = 2. b) Para r = 1, hallar la derivada direccional de f en el punto (0,0) en todas las direcciones unitarias u (a, b) 2 donde existan.
2
.
En caso afirmativo, calcular el valor de Du f (1,1)
0 , u (0,1) c) Hallar Du f ( x,0) , x 0 , u (1, 0) b) Hallar Du f ( x,0) , x
5 5 Sea la función g( x, y) e x seny e y senx . Hallar los vectores unitarios U tales que . ¿+
Sea
la
función
x 5 y , si ( x , y ) (0, 0) 5 2 2 f ( x , y ) x y 2 0 , si ( x , y ) (0, 0) a) Analizar si f (0,0) es diferenciable en (0,0)
b) Hallar todos los vectores unitarios
U tales que
DU f (0,0) existe
cada punto ( x0 , y0 ) A , existe al menos una dirección U tal que la derivada direccional de f en ( x0 , y0 ) según la dirección U , es nula.
Sea
f ( x, y)
xy x2 y 2
0
, si
( x, y) (0, 0)
, si
( x, y) (0, 0)
1 1 , 2 2
b) Calcular Du f (1,1) , para u
2 2 1 ( x y ) sen 2 2 f ( x, y) (x y ) 0
, si ( x, y) (0,0). si ( x, y) (0,0).
f f (0,0), (0,0). x y
2
Analizar según los valores de : a) La diferenciabilidad de f en (0,0) b) La existencia de Du f (0,0) en toda dirección unitaria u (a, b)
función:
a) Hallar de manera que existan
definida por f ( x, y) (2x 3 y)(1 xy ) ; 0 . f :
la
a) Analizar la diferenciabilidad de f en (0,0)
Sea
Dada
2
b) Hallar de manera que f sea diferenciable en el punto (0,0). c) Sea g ( x, y) ( x2 y2 ). f (x, y ) y .
Hallar
todos
los u (u1 , u2 ) R 2 tales existen.
1 2
valores unitarios que Du g (0,0)
Considerar la función Sean
f ( x.y , z) 1
x
2
4
y
2
9
z 2 y
P 0 (1,0,0) ¿En qué dirección U = (a,b,c) se obtiene la derivada direccional máxima de f en y cuál es su valor?
xy ln( x2 y2 ) si ( x, y) (0, 0) f ( x, y) si ( x, y) (0, 0) 0 a) Demostrar que f es diferenciable en todo
2
Sugerencia: Recordar que lim t ln t 0. t 0
b) Calcular Df (0, e), donde e es la base de los logaritmos naturales. “
”
Sean f : R n R una función diferenciable en R y g : R R, una función diferenciable en n
R, tales que g es estrictamente creciente en R; demuestre que las derivadas direccionales máximas de f y g f enP R n se alcanzan en la dirección del mismo vector unitario U.
2 Sean f : 2 diferenciable en y P 2 . Si DU f ( P ) 1 , DV f ( P ) 2 con U (0, 1) y V (1,0) , hallar Df ( P )
Sea f una función tal que sus derivadas parciales de primer orden existen y son continuas sobre un conjunto abierto A de 2 , demuestre que en
Dados la función 2 2 f ( x, y, z ) x sen(x y ) z y el punto Q (1, 1, 0) . Calcular: a) La derivada direccional de la función f en el punto Q en la dirección del vector tangente
x y z 0 C . unitario a la curva : 2 2 x z 2 1 b) La dirección en la cual la función f tiene en el punto Q el mayor decrecimiento. ¿Cuál es su valor?
Sea la función f ( x, y) x x y . a) Estando en el origen del sistema hallar las direcciones unitarias v (v1 , v2 ) en las cuales existe la derivada direccional. b) Estando en el punto (2, 2) hallar la dirección de máximo crecimiento de la función y la tasa de máximo decrecimiento.
Hallar las direcciones unitarias V (v1 , v2 ) para las cuales existe la derivada direccional en el origen para la función: x xy , si ( x, y ) (0,0) 2 2 . f ( x, y ) x y 0 , si ( x, y) (0,0)
Hallar la máxima derivada direccional de la función definida por f ( x, y) ln(2x y) y x , en el punto 2
(1,5). P 0
Dada una función diferenciable , sean z=(x,y), x r cos , y rsen . Expresar
f ( x, y) en términos de las coord. polares r , z z y las derivadas parciales . , r
Sea
la
Demostrar
si
xy z 2 0 entonces
Du f ( x, y, z ) existe u R vector unitario 3
¿Para qué puntos x0 y0 z 20
3 x2 y y2 z 2 0 Sea : . Hallar la 2 x z x y 2 3 0 derivada direccional de f ( x , y , z ) x 2 y z 2 en el punto P 0 (1, 1,1), según la dirección paralela a la tangente a en P 0 .
Sea F : R 3 R una función diferenciable tal que: F x y, h x, y , x y 0. donde h es una función diferenciable en todo R 2 . Hallar el gradiente de h en (1, 1) sabiendo que h(1,1) 1 y F (2,1,0) (1,1, 1).
Sea f : R 2 R diferenciable en el punto (0, 0)
tal que f (0,0) (0,0) . Si v ( a, b) es un vector unitario tal que D f (0,0) 2 . Analizar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando en cada caso su respuesta. i) ii) iii) iv)
f (0,0) son ortogonales. f (ta, tb) f (a, b) Lim 2. v y t 0
t f (0, 0) 2.
Existe el Lim
( x , y ) ( 0,0 )
f ( x, y) .
2 1/3 f ( x, y, z ) (xy z ) .
función que
sea 3 2 , en la dirección de x, y crecientes sobre la bisectriz del primer cuadrante.
0 existe
( x0 , y0 , z 0 ) tales que
f ( x , y , z ) ? Hallar x 0 0 0
todos los U (u1, u2 0) unitarios para los cuales
Dada la función f ( x, y) x x y . a) Graficar su dominio b) Si (a, b) satisface a (a b) 0 , hallar todos los vectores unitarios U (u1 , u2 ) para los cuales existe DU f (a, b) .
existe Du f (0,0,0) Dada Hallar las constantes a y b para que la derivada direccional máxima de la función f ( x, y ) e axby cos( x y ) en el punto ( 0 , 0 )
la
función
f ( x, y, z ) x 2 cos ( x y ) z 2 . Hallar la derivada direccional de f en el punto Q =(1, -1, 1) y en la dirección de una normal al plano tangente en Q de la correspondiente superficie de nivel de f .
Sea f : R 2 R una función diferenciable tal que f f 0 , f ( x, y) 0 ( x, y ) R 2 . x y
Sea u = f(x,y) una función diferenciable. que x r cos , y rsen . Demuestre
u u 1 u (cos ) ( sen ) , x r r u u 1 u ( sen ) (cos ) . y r r
Considere la función F : R2 R dada por F ( x, y)
x f ( x, y)
.
Demostrar
que:
F F F ( x, y) ( x, y) ( x, y) x x y
Sean z C ( x , y) , f de clase C 2 en todo x a r cos , y brsen a 0, b 0 son constantes. 2
2
a) Hallar las Q( x, y)
2
Dada una función f de clase C en , sea z f ( x, y) , donde x v2 u 2 , y v u . Hallar el valor de la constante A, y las funciones tales que h(u, v) , k (u, v)
r2
2 z 2 z z 2 z 2 z A h(u, v) 2 k (u, v) u 2 vu x x xy
2 z
Sea z = f(x,y) una función de clase C 2 en R 2 . El
x 1 (2u v) 3 . Establece la cambio de variables 1 y (u v) 3 relación
2 z 2 z 2 z 2 z ( , ) ( , ) ( , ) . P x y Q x y R x y r 2 x2 xy y2
2 z b) Si f ( x, y ) e , calcular 2 1, . r 4 xy
R 2 . El
cambio
x u v
z z z z g (u ) h (x , y ) 2 2 k (x , y ) uv u xy x y 2
funciones polinómicas P( x, y) , y R( x, y) tales que:
Sea z f ( x, y ) una función de clase C 2 en
Sean z f ( x, y ) , x e v secu , y ev tan u donde f es una función de clase C 2. Hallar las funciones g (u) , h( x, y ) y k ( x, y ) tales que 2
2
2
,
función z z g (u, v) .
de
variables
y u v transforma la f ( x, y) en una función 2
2 z a) Hallar (simplificando) . v u 2 z b) Calcular el valor de (1, 5) conociendo x y 2 z 2 z (1,5) 2 , (1, 5) 50 y que y 2 x 2 2 z además (2,1) 232 . v u
2 z 2 z 2 z 2 z 2 z A 2 B C 2 . uv v2 x xy y Encuentre las constantes reales A, B y C
donde
,
Dados: z f ( x, y ) , x
u 1 v
,
y
v 1 u
z (en función de las derivadas parciales u 2 2
Calcular x 2
w 2 w y en el punto (1, 1) si x y
x y , donde f es una función xy continua de clase C 1 verificando f (0) 2 . w f
Hallar
de z con respecto a x e y). Si
z z 2 z 2 z 2 z 3, 6, 2 3, 2 2, 0; x y x y y x 2 z (1 , 2). u = 1, v = 2. Calcular u 2
Sea f : R 2 R , z f (u, v) tal que u x 2 y , v y 2 x .Sea
g ( x, y) ( x y, y 2
2
2
x) ,
2
f y g funciones de clase C enR . Definamos
Dada la superficie S : z x 2 y2 a) Hallar la ecuación cartesiana del plano tangente P a la superficie S en el punto Q (a, b, a2 b2 ).
z z 3, 14 u v
b) Sea P (u, v, w) la proyección ortogonal del origen de coordenadas sobre el plano tangente P a S en el punto Q. Sabiendo que u 2 v2 w2 f (a, b) , hallar f (a, b)
Hallar la ecuación del plano tangente a la gráfica de h( x, y ) ( f 0 g )( x, y ) en el punto (2 , 3).
Hallar la ecuación cartesiana del plano tangente P
la función compuesta: h( x, y ) ( f0 g )(x , y ). a) Hallar h( x, y) . b) Si se sabe que h(2, 3) = 37,
S : arctan x y e
Considerar la función z = f(x, y) con derivadas de segundo orden continuas y tal que x uv , y u 2 v. Verificar que z satisface la ecuación. zuu v 2 z xx (4uv) z xy 4u 2 z yy 2z y
2 Sea f : R R una función de clase C 2 . Se
define la función g : R 2 R por la condición g ( x, y ) f ( x 2 , y 2 ). Si h ( x, y)
g ( x, y). x
Hallar el gradiente de h, h( x, y) en términos de las derivadas parciales de f .
z f ( x, y) donde
Si
x e s cos t ,
y e s sent , entonces 2 2 2 2 z z A( s, t ) z z . x y s t Calcular A (s, t).
PLANO TANGENTE
F :
3
, tal que: F ( x, y, z) f (x, y ) z .
0,
y 0 que contiene a la recta L : x 2, y 0
Dada S ( x, y, z)
la
superficie 3 : z x2 y 2 . Hallar la
ecuación cartesiana del plano tangente P a la superficie S que contiene al punto M (0,3,4) y es perpendicular al plano : x 2 y 2 z 0 .
Los planos tangentes a la gráfica de la función f ( x, y) 2 x2 2 x y2 1 en el punto P0 (a, b,1) son perpendiculares al plano P : x y 2 z 1 . Hallar los valores de a , b y las ecuaciones cartesianas de dichos planos tangentes.
a) Hallar todos los
superficie S ( x, y, z) : z e x y sen( x y) cuyo
puntos
de la
plano tangente es paralelo al plano P:x+y-z=0. b) Dada la superficie S
Sea una función f : 2 definida por z f ( x, y ) , entonces construimos una función
2
y z
a la superficie
( x, y, z)
3
0 : xyz 1, donde x, y, z
demostrar que los planos tangentes en cualquier punto de S forman con los tres planos coordenados un tetraedro de volumen constante.
Luego la ecuación del plano tangente a la superficie f está dado por: ( P P0 ) n 0 , con n F (P 0 )
Sea
la
superficie 3
S : x2 y2
( x2 y2 ) 2 z 0
a) Hallar la ecuación cartesiana del plano P tangente a S en un punto genérico (h, k , l ) (0,0,0)
b) Sea θ el ángulo entre los vectores normales al plano P y al plano XY respetivamente. c) Calcular lim cos .
Sea
la
superficie
x . y
S : z 1 y arctan
( h, k ) ( 0, 0)
Considere la superficie S : z f :
2
una
función
Demostrar que todos los planos tangentes a S tienen un punto en común. Hallar dicho punto
x f ( x, y)
no
, donde
nula
y
diferenciable en todo . Si f (6,5) 3 y f (6,5) (1,3) , halle la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie S en el punto (6,5,2) . 2
Halle la ecuación del plano tangente a la superficie 2 2 2 S : x 2 y 14 z 332 en el punto P0 ( x0 , y0 , z 0 ) sabiendo que la recta tangente a la 2 2 ; z x 2 y curva : 2 2 z 2 x 3 y 1
y 0
. En el punto
(2,1,6) es perpendicular a dicho plano
y 0 . x Demostrar que todos los planos tangentes a S se intersecan en un punto y hallar dicho punto Sea
la
superficie
S : z x arctan
Hallar el punto P 0 sobre la superficie S : x3 2 y 2 z 2 27 donde el plano tangente a
x 2 1 Sea: f ( x, y ) 2 . y 1 Hallar la ecuación cartesiana del plano P tangente a la gráfica de f, sabiendo que es perpendicular al
plano M : x 2z 0 y que además la coordenada y del punto de tangencia es igual a 1.
Dada una función z f ( x, y ) diferenciable en todo 2 , se sabe que el plano tangente a la gráfica de f en el punto (1,2) es: 2x+3y+4z = 1. ¿Se puede calcular con estos datos la derivada direccional de f en (1,2) en la dirección de la recta que une dicho punto (1,2) con el punto (3,4)? Si la respuesta es afirmativa, calcular dicha derivada direccional.
S es perpendicular a x 5 y 7 1 z . Además L : 3
2
2
la
recta
hallar
la
ecuación cartesiana del plano tangente a S en P 0 .
xy . 3
Dada la función f ( x, y, z) e xz cos
Calcule el valor de c para que el punto P = (1, 21, -1) pertenezca a la superficie S
( x, y, z)
3
: f ( x, y, z ) c. Asimismo,
halle la ecuación del plano tangente a S en P.
El plano tangente a la gráfica de la función y 2 f ( x , y ) 3x en el punto (2, a, b) 4 2
es
ortogonal al plano y + z = 0.Hallar a, b y la ecuación cartesiana de dicho plano tangente. Sean S : y 2 x 2 z 2 4 una superficie en R3 y el plano tangente a S en el punto P0 (a, b,2). Si se sabe que es perpendicular al plano P : x y z 8, determine la ecuación cartesiana del plano .
Sea S : x y z 1 a) Hallar la ecuación cartesiana del plano tangente a S en cada punto ( 1 , b, c) de S 4
b) Hallar la ecuación cartesiana de la superficie formada por las rectas que pasan por el origen y son perpendiculares a los planos tangentes a S obtenidos en la parte a).
tangente en Q de la correspondiente superficie de nivel de f .
Sea el plano tangente a la superficie S : x 3 y 4z 8 en el punto Q (a, b,1) S y sea L: 2x + 3y = 8; z = 0 recta de intersección de con el plano coordenado XY. 2
2
2
Sea f : R 2 R una función diferenciable tal que f f 0 , f ( x, y) 0 ( x, y ) R 2 . x y
Hallar dicho punto Q y la ecuación cartesiana del plano .
Considere la función F : R2 R dada por Si una curva C es intersección de dos superficies, su recta tangente en cada punto P0 C , es la intersección de los respectivos planos tangentes a las superficies en el punto P 0 . Usar este hecho para hallar las dos ecuaciones cartesianas de la recta tangente a la curva de intersección de las superficies x x2 y 2 , 4 x2 y 2 z 2 9, en el punto (-1, 1, 2).
Sea la función f ( x, y) 3 3x2 ( y 2)2 . Hallar los puntos de tangencia en la gráfica de f donde los planos tangentes contienen a la recta L : x 1, z 0.
F ( x, y)
x f ( x, y)
.
Si
f (7,4) 9
y
f (7, 4) 6 , hallar la ecuación cartesiana del x plano tangente a la gráfica de F ( x, y ) en el punto (7, 4, F (7, 4)).
EXTREMOS RELATIVOS ó MÁXIMOS Y MÍNIMOS
i) f x 0 , f y 0
Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie xyz a 3 (a es una constante positiva) en cualquier punto ( x0 y0 z 0 ) de la misma. Demostrar que el volumen del tetraedro limitado por dicho plano y los planos coordenados es una constante que no depende de x0 y0 z 0 . Hallar el valor de dicha constante.
ii)
f xx f yx
f xy
f yy
iii) Si 0 y f xx 0 Punto de Máximo Si 0 y f xx 0 Punto de Mínimo Si 0 y Punto de Silla
Hallar la ecuación del plano tangente a la 2 2 superficie S : z x y , si este plano contiene a la recta L : P = (1 , 0 , 2 ) + t( 1 , 1 , 0 ) , t R.
Si 0 y No se afirma nada
–
Sea la superficie S : z Ln ( xyz ). Hallar la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie S en el punto (e, 1, 1)
Hallar los puntos críticos de f y determinar su naturaleza. a)
f ( x, y) x3 y 5x2 y 3x y2
b)
f ( x, y) x y3 5xy2 x2 y
c) d) Dada la función f ( x, y, z ) x 2 cos ( x y ) z 2 . Hallar la derivada direccional de f en el punto Q =(1, -1, 1) y en la dirección de una normal al plano
f ( x, y ) x3 y xy 2 25x 2 y f ( x, y) x4 y 4 4 xy 2 x 2 2 y 2
e)
f ( x, y ) x3 y xy 2 x 2 y
f)
f ( x, y) 2 x4 2 x2
3xy2 y3
h)
1 8 x5 x 2 y y 3 5 2 3 2 2 f ( x, y ) 2 xy xy x y
Dada la función IR 2 IR, definida por
i)
f ( x, y) 6 x2 2 x3 3 y3 6 xy
f ( x, y) x
j)
f ( x, y) x3 3xy2 15x 12 y
g)
f ( x, y )
1
i) ii)
Hallar los puntos críticos de f y analizar su naturaleza según los valores de la constante ( a ó k ). a) c)
y , a 0; 3 2 2 f ( x, y ) x y k x y x y , k 1 .
d)
f ( x, y) xy
b)
e)
f ( x, y ) ax y x
x2 y ax y 2 , a 0 3 2 2 f ( x, y ) x y k x y 5x y , k 0 Dada la función: f ( x, y) xy(x a)( y b). Donde a y b son constantes fijas y diferentes de 0. a) Halle una relación entre a y b, de modo que f tenga 3 puntos críticos ubicados en la semirecta y x, y 0. b) Determine la naturaleza de los puntos críticos hallados en a).
2 Sean f : 2 diferenciable en y g : diferenciable en , P0 Dom( g f ) . Demostrar que si P 0 es un
punto crítico de f entonces P 0 también es punto crítico de g f
Sea g : R R una función de clase C 1 verificando g (0) 0 y g '(0) 0 . Sea
Hallar todos los valores de k para los cuales f tiene un punto de silla en (0,0). Hallar todos os valores de k para los cuales f tiene un mínimo relativo en (0,0).
la
función
f ( x, y ) 2x y x y x y . 2
4
3
kxy y 2 .
Dada
f (x,y) = x 3 +y 3 -3axy 4
2
3
2
2
a) Hallar todos los puntos críticos de f . b) Demostrar que i) ii)
(1, 1 ) es un punto de máximo relativo de f . 2 (0, 0) es un punto de silla de f .
Usando el método de Multiplicadores de Lagrange, encontrar los extremos relativos de la función f x, y, z x yz sujeta x2 y2
z 2 a2 , donde a es una constante positiva. Además indicar los puntos donde se alcanzan dichos extremos Dada S {(x, y, z)
la 3
:
x 2 4
superficie
y2 25
z 2 5
1 . Hallar
las dimensiones del tetraedro de menor volumen que se puede formar con los tres planos coordenados y un plano tangente a la superficie S en un punto del primer octante.
x2 y
f ( x, y)
g (t )dt .Demostrar que (0,0) es un
y 2 x
punto crítico de f y determinar su naturaleza.
2 2 Dada la función f ( x, y) y e yx mx e y x halle todos los valores de m para los cuales f tiene un punto de silla en (0,0) y todos los valores de m para los cuales f alcanza un mínimo relativo en (0,0).
Sea la función f ( x, y, z ) x 2 y 2 bx y az donde a , b son constantes reales tales que a b 2 . Hallar los valores de a y b de manera que f tenga un extremo relativo en el punto (1,1,1) sujeta a la restricción 2 2 2 x y z 3 .
Usando el método de Multiplicadores de Lagrange, encontrar el punto de la superficie S
x, y, z : x2 y2 z2 4 11
más
Use el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los puntos de s donde f es mínimo. : Use (u,v,w) para designar a un punto variable del plano tangente.
cercano al punto Q=(3,1,-1)
Usando el método de Multiplicadores de Lagrange, hallar la mínima distancia del origen de coordenadas a la superficie S : xy z2 2
Hallar
los
puntos del elipsoide x2 2 y2 3z 2 1 tal que la suma de sus coordenadas sea máxima y aquellos donde la suma sea mínima. Calcular dichas sumas máximas y mínimas.
Sea f ( x, y, z ) x n y n z n , donde n es un entero par positivo. Hallar a 0 si se sabe que un valor extremo relativo de la función f , sujeta a la restricción x y z a , es igual a 3 .
Use el método de los Multiplicadores de Lagrange para encontrar los valores máximo y mínimo de la función f ( x, y) 50 4x2 4 xy y 2 , sujeta a la restricción x 2 y 2 25 .
Halle Usando Multiplicadores de Lagrange calcular los puntos de la superficie S : x 2 y 2 z 2 27 más cercanos al origen.
Usando el método de Multiplicadores de Lagrange, hallar los puntos de la superficie S : x2
y 2 z 2
punto (1, 2, 2)
1 9
que están más cerca del
Usando multiplicadores de Lagrange, determinar 2 todos los puntos de la superficie L : y xz 4 que están más cercanos del origen de coordenadas.
Un triángulo cuyo lados tienen longitudes x,y,z; tiene un perímetro fijo 2s. Demuestre que de todos los triángulos con dicho perímetro fijo, el de mayor área es el equilátero. Sugerencia: Área del triángulo= s(s x)(s y)(s z )
Dada la superficie S : xyz 1, sea f(x,y,z) el cuadrado de la distancia del origen al plano tangente a la superficie en el punto ( x, y, z) S .
los
f ( x, y, z ) x
extremos 2
relativos
de
y 2 (z 1)2 sujeto a las
restricciones: x 2 y 2 z 2 , x y z 2.
Encuentre los extremos relativos de la función: f ( x, y, z) x z en la esfera S
( x, y, z)
3
: x 2 y 2 z 2 1.
Hallar el punto de la esfera x2 y 2 z 2 a 2 cuya suma de coordenadas sea máxima.
Calcular el volumen máximo de un paralelepípedo tal que el área total (área lateral más el área de las bases) es 72 unidades cuadradas y el cuadrado de la longitud de sus diagonales es de 72 unidades.
Dada la curva
C :
6 x y2 8 0 , 2 x z 0 x
2
usar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el punto de C más cercano al origen, sabiendo que para cada punto (x, y, z) de C, la primera coordenada es negativa. Sea f es una función de dos variables diferenciable en P y sean
U y V dos vectores unitarios ortogonales de R2 . Demostrar que:
DU f (P) 2 DV f (P) 2
2
f (P ) .
Hallar los valores máximos y mínimos de la función f ( x, y, z) x yz , sujetos a las restricciones x y z 3, x 2 y 2 z 2 9.
Sea f ( x, y, z) x2 y 2 bxy az , en donde a y b son constantes reales tales que a2 b2 8. Hallar a y b de manera que el punto (1, 1, 1) sea un extremo relativo de f sujeta a la restricción x2 y 2 z 2
3.
El plano x y + z 2 = 0 corta al cilindro x2 y 2 8 0 en una elipse E. Hallar los puntos de E más cercanos al origen y el punto de E más alejado del origen. –
–
Hallar los puntos sobre la superficie x y 2 z 3 2 que sean más cercano al origen.
