SOLUCIONES SOLUCIO NES DIARIAS Programación Lineal Asesor : Luis Dávila Grado : Quinto de Secundaria Sección : C Integrantes: Borgoño, Alessandra Jacinto, Katia Matihues, Marcia Rodriguez, Christian Salinas, Jorge Luis http://un20enmate.blogspot.com/
2011
Índice
1. Presentación
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2. Introducción
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3. Fundamentación Teórica
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4. Experiencia de campo: Análisis de de resultados resultados
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5. Conclusiones
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6. Bibliografía
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Presentación
Nosotros somos alumnos de 5to año de secundaria del Colegio América Callao High School con distintas habilidades pero con una sola meta, un proyecto matemático acerca de la programación lineal bajo la supervisión de Licenciado en Educación Luis Dávila. Nuestro proyecto comenzó como una simple asignatura, sin embargo el interés fue incrementando con el pasar de los días, y actualmente es una meta personal contribuir en el aprendizaje de otras personas sobretodo adolescentes como nosotros. El Principal Objetivo de “Soluciones diarias “ es explicar que es una programación lineal, para que se utiliza y como contribuye con el desarrollo de empresas actuales mostrando ejemplos y videos, los cuales la mayoría de veces nosotros realizaremos. Titulamos a nuestro proyecto soluciones diarias, por los diversos problemas que utilizamos en nuestros ejemplos, los cuales son de la vida diaria. Este es nuestro primer proyecto matemático, sin embargo no esperamos que sea el único, ya que si bien requiere mucho esfuerzo y dedicación, sabemos que obtendremos resultados satisfactorios. Como meta próxima esperamos no solo quedarnos en el criterio de programación lineal si no en otros aspectos de las matemáticas y porque no de literatura o ciencias. Esperamos este proyecto que a sido preparado para ustedes, sea de su agrado.
Atte. Los autores.
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2. Introducción
La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito sobre todo, de las Ciencias Sociales. Nos centraremos en aquellos problemas simples de programación lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales. Para sistemas de más variables, el procediendo no es tan sencillo y se resuelven por el llamado método Simplex (ideado por G. B. Danzig, matemático estadounidense en 1951). Recientemente en 1984, el matemático indio estableció en Estados Unidos, Narenda Karmarkar, ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkarm, que es más rápido que el método Simplex en ciertos casos. Los problemas de este tipo, en el que intervienen gran número de variables se implementan en ordenadores.
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3. Fundamentación Teórica
Como se dijo anteriormente la Programación Lineal es un procedimiento matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. Remontándonos a su historia, el problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se encuentra, al menos, a Fourier. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria. Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, demostró que el problema de la programación lineal era resoluble en tiempo polinomial. Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deberán ser revisadas. 3.1. Conocimiento previo Antes de continuar explicando, se tiene que saber diferentes conceptos matemáticos básicos para poder entender cada punto específico de la Programación Lineal. 3.1.1. Variables Las variables son números reales mayores o iguales a cero.
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En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un número entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera . 3.1.2. Inecuaciones lineales con 2 variables variables Una inecuación lineal con 2 variables es una expresión de la forma: a x + b y ≤c (Donde el símbolo ≤ puede ser también ≥, < o >), donde a, b y c son números reales y x e y las incógnitas. Para resolver estas inecuaciones, hay que representar gráficamente en el plano la recta dada por la correspondiente ecuación lineal y marcar una de las dos regiones en que se divide en plano. Si la inecuación te dice que es > o ≥, pintas la parte superior y si te dice que es < o ≤ pintas la parte inferior.
Por ejemplo. : 2 x + 3 y ≥ −3 2 -1
y≥ - x
3.1.3. Sistema de inecuaciones lineales lineales con dos variables Un sistema de inecuaciones lineales, es un conjunto de inecuaciones del tipo anterior y resolverlo consistirá en resolver gráficamente cada inecuación, dar la solución y esta será el área en común a todas las soluciones. Por ejemplo: y > 5x+ 2 y > 2x - 1 La solución sería la parte verde oscura.
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3.2. Pasos Para resolver un problema de Programación Lineal, se tiene que seguir determinados pasos. 3.2.1. Recolección de datos Se identifican las incógnitas del problema, las cifras claves, para esto se hace un cuadro en el cual se pone de manera ordenada cada dato. 3.2.2. Función objetiva En este paso se identifica que es lo que te piden, es decir si te piden minimizar algo o maximizar. 3.2.3. Datos de restricción A partir del cuadro se crean las restricciones en forma de inecuaciones. Estas son las inecuaciones que limitan el área factible. La mayoría de veces se pone como inecuaciones (x≥0; y≥0) ya que las respuestas son positivas. 3.2.4. Grafica Se representa gráficamente cada restricción y así se puede apreciar el área en común con cada inecuación. Esto nos ayuda para que se vea con mayor precisión.
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3.2.5. Identificar la región factible Tenemos un área donde todas las inecuaciones son interceptada, esta vendría a ser la región factible, que es decir que de esta zona va a salir la respuesta a nuestro problema. 3.2.6. Hallar los vértices Dependiendo de la función objetiva, si es maximizar se cogen los vértices más alejados del punto (0,0), y si es minimizar se cogen los vértices más cercanos al punto (0,0). 3.2.7. Analizando los vértices Las coordenadas de los puntos se remplazan en la función objetivo. Si era maximizar la respuesta mayor es la correcta, sin embargo si te piden minimizar tiene que ser el menor número entre los vértices analizados. 3.2.8. Conclusión Este es el último paso, y aquí se pone cual sería la mejor decisión a tomar, frente el planteamiento de un problema.
4. Experiencia de campo: Análisis de resultados
Este proyecto tuvo muchas partes, comenzando por la creación del BLOG, el cual día tras día fue siendo actualizado, agregamos tanto artículos como power point´s como videos o imágenes. Luego de esto pasamos a la elaboración del problema o situación, para dicha actividad fuimos a una vidriería, llama VIDRIERÍA ROCIO, la cual está ubicada en la cuadra 53 de la Ex Av. Colonial, ahí hacen cuadros de todos los tamaños, espejos, vitrinas, entre otras cosas más. Nuestro grupo se centro en los cuadros c uadros con marcos de madera. El primer día fueron a grabar la pequeña entrevista tres de los integrantes del grupo; en la entreviste el dueño se mostró muy amigable y dispuesto a colaborar. Por esa razón es que pudimos plantear lo siguiente: 8
En una vidriería se venden dos tamaños de cuadros. El tipo A cuesta 25 soles usando 1.8m de madera y 1.6m2 de vidrio, y el de tipo B cuesta 35 soles usando 2.1 m de madera y 2.25m2 de vidrio. Dicha vidriería tiene en stock 30 m de madera y 222 m2 de vidrio. Para Para que el dueño maximice maximice su ganancia, ¿Cuántos cuadros del tipo A y B debe vender? Tipo A:
Costo:
25 soles por 1.8m de madera y 1.6m2 de vidrio
Tipo B:
Costo:
35 soles por 2.1m de madera y 2.25m2 de vidrio.
Como primer paso para la formulación matemática de este problema, se tabula la información dada (Tabla 1). Si llamamos x a la cantidad de cuadros de tipo A e y a la cantidad de cuadros de tipo B. Entonces la ganancia total P, está basada en: P = 25x + 35y
Que es la función objetivo por maximizar.
Tipo A Tipo B Total
Madera 1.8x 2.1y 1.8x + 2.1y
Vidrio 1.8x 2.25y 1.8x + 2.25y
Precio S/. 25 S/. 35
La cantidad total de madera para utilizar es 1.8x + 2.1y la l a cual no puede exceder, pero si puede ser igual a los 30 metros de madera. madera. Así se tiene la inecuación: 1.8x + 2.1y ≤ 30
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La cantidad total de vidrio que usaremos es 1.8x + 2.25y la cual no puede exceder pero si puede ser igual a 222 metros cuadrados de vidrio. Así se tiene la inecuación: 1.8x + 2.25y ≤ 222
Como si o si vamos a utilizar cierta cantidad de algo, las variables tienes que ser positivas. x≥0 y≥0
En resumen, el problema en cuestión consiste en maximizar la función objetivo P = 25x + 35y, sujeta sujeta a las desigualdades desigualdades x≥0 y≥0 1.8x + 2.25y ≤ 222 1.8x + 2.1y ≤ 30
Solución Gráfica
Los problemas de programación lineal en dos variables tienen interpretaciones geométricas relativamente sencillas; por ejemplo, el sistema de restricciones lineales asociado con un problema de programación lineal bidimensional- si no es inconsistente- define una región plana cuya frontera está formada por segmentos de recta o semirrectas, por lo tanto es posible analizar tales problemas en forma gráfica.
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(0,14)
.
(7,7)
.
(16,0)
La región morada (más oscura) es la región factible El objetivo es encontrar – entre todos los puntos de la región factible - el punto o los puntos que optimicen la función objetivo P . Tal solución factible es una solución óptima y constituyen la solución del problema de programación lineal en cuestión. Como ya se ha observado, cada punto P(x,y) en la región factible es un candidato para la solución óptima del problema en cuestión, por ejemplo, es fácil ver que el punto (0,14) está en y, por lo tanto, entra en la competencia. El valor de la función objetivo P en el punto (0,14) está dado por P=25(0)+35(14)= 490 . Ahora si se pudiera calcular el valor de P correspondiente a cada punto, entonces el punto (o los puntos) que proporcione el valor máximo de P formará el conjunto solución buscado. En este caso se encontraron 3 puntos: (0;14) (7;7) (16;0) Al ubicar cada punto se remplaza en la función objetivo P como se hizo con el primer punto.
F (0;14): 25x + 35y 0 + 490 490
F(7;7): 25x + 35y 175 + 245
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F(16;0): 25x + 35y 400 + 0 400
Es primer punto es el de mayor cantidad. Respuesta
La mejor decisión a tomar es que el vidriero haga 14 cuadros grandes ya que de esta manera hace que su ganancia sea superior y así utiliza los materias primas de tal manera que le sacamos provecho.
5. Conclusiones
Con este trabajo de programación lineal hemos podido determinar que tiene muchas aplicaciones en la vida diaria, y es importante porque nos ayuda a encontrar una manera de optimizar o minimizar según lo que el problema indica. Se puede utilizar para aprovechar los recursos que nos brinda una cuenca hidrográfica, así administramos correctamente cuánto de agua se puede reservar para después utilizarla en épocas de afluencia. También nos sirve para resolver problemas de flujo de redes y mercancías; así como para solucionar problemas de trasporte. Es utilizada como base para la aplicación de algoritmos diseñados para resolver otro tipo de problemas de optimización. En esta oportunidad, hemos aplicado este método para optimizar las ganancias de una microempresa. Encontramos que podíamos plantear una nueva forma de cómo hacer las cosas, qué se podría hacer para obtener una mejor ganancia y aumentar la economía. Gracias a este trabajo nos pudimos dar cuenta que las matemáticas no quedan solo en el papel sino que son útiles para nuestra vida y que en muchos casos la usamos pero ni nos damos cuenta.
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6. Bibliografía
http://www.investigacion-operaciones.com/Solucion_Grafica.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal http://www.programacionlineal.net/programacion_lineal.html http://orbita.starmedia.com/~arivera/lineal.htm http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T08.pdf
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