EXPERIENCIA DE LABORATORIO: LABORATORIO: PÉNDULO DE TORSIÓN Andrés Jiménez López, Jordan Peña Pinedo, Odalis Ramírez Barrios, Milly Sandoval Caballero,avid !anes Carmona" #niversidad del A$l%n$i&o epar$amen$o de Cien&ias B%si&as 'e&(a de en$re)a* Mayo + de -./
RESUMEN M0&( M0&(os os $ip $ipos os de movi movimi mien en$o $o se se repi$en repi$en 0na y o$ra vez, la vibra&ión vibra&ión de 0n &ris$ &ris$al al de &0arz &0arzo o en 0n relo relo11 de p0lso, el pénd0lo os&ilan$e de 0n relo1 relo1 &on pedes pedes$al $al,, las vibra vibra&io &iones nes sonoras prod0&idas por 0n &larine$e o 0n $0bo de ór)ano y el movimien$o periódi&o periódi&o de los pis$ones pis$ones de 0n mo$or de a0$omóvil" A es$o se &ono&e &omo movimien$o periódi&o 0 os&ila$orio" os&ila$orio" 2l pénd pénd0l 0lo o de $ors $orsió ión n es 0n &aso &aso espe&ial espe&ial de movimien$o movimien$o os&ila$orio os&ila$orio,, m%s e3a&$amen$e de pénd0lo" A0n40e no es 0n pénd0lo en sen$ido es$ri&$o, es$ri&$o, p0es$o p0es$o 40e las os&ila&i os&ila&iones ones no se debe deben n a la 50erz 50erza a de la )ravedad, las 5órm0las ma$em%$i&as 40e 40e des& des&ri ribe ben n s0 movi movimi mien en$o $o son son similares a las de 0n pénd0lo simple" Así el pénd0lo 0lo de $orsión es 0n me&anismo 40e nos permi$e (allar el mome momen$ n$o o de iner iner&i &ia a de di5er di5eren en$e $ess ob1e$os o de 0n &on10n$o de ob1e$os, $eniendo $eniendo en &0en$a el an%lisis an%lisis de s0 perí período odo de os&il os&ila& a&ió ión n y la rela rela&i &ión ón &on 0n %n)0lo de )iro dado"
iner&ia iner&ia de di5eren$es di5eren$es ob1e$os" ob1e$os" Para ello ello se se es$ es$abl able&i e&ieron eron al al)0na )0nass 5órm0las 5órm0las ma$em%$i&as ma$em%$i&as y se $0vo en &0en$a &0en$a el &%l&0l &%l&0lo o de error error de las medi&iones ob$enidas" e la misma 5orma se (alló el &en$ro de masa para varios &0erpos &olo&ados en dis$in$os p0n$ p0n$os os del del pén pénd0l d0lo y &on &on los los res0 res0l$l$ad ados os se &omp &ompar arar aron on los los valores &al&0lados e3perimen$almen$e &on o$ras e&0a&iones $eóri&as" PALABR LABRAS AS CLA CLA62* Pénd0 énd0lo lo de $orsión, $orsión, 7n)0lo de )iro, '0erza de res$ res$i$i$0& 0&ió ión, n, Mome Momen$ n$o o de iner iner&i &ia, a, Cen$ro de masa"
1. INTRODUCCIÓN #no de los mov moviimien$os m%s m%s impor impor$a $an$ n$es es,, en el es$0di es$0dio o de las las os&i os&ila la&i &ion ones es o vibr vibra& a&io ione nes, s, es el movimien$o des&ri$o por el pénd0lo de $orsi rsión8 el &0al des&rib ribe 0n movimien$o )ira$orio 40e par$e de s0 posi&ión ini&ial y l0e)o re)resa a ella desp0és de (aber $enido 0na vibra vibra&i &ión ón"" 2s mene menes$ s$er er para para el es$0dio de es$e movimien$o, movimien$o, $ener en &0en$ &0en$a a 0n %n)0 %n)0lo lo 9 de )iro )iro 40e 40e represe represen$a n$a el despl desplaza azamie mien$o n$o"" Así Así &omo $ambién $ambién el momen$o de iner&ia de la vari varilllla a 40e 40e 5orm 5orma a el el e1e e1e de ro$a ro$a&i &ión ón de di&( di&(o o sis$ sis$em ema a de ro$a&ión o $orsión, y el $iempo en 40e
2l presen$e in5orme se desarrolla a manera de ar$í&0lo ar$í&0lo &ien$í5i& &ien$í5i&o, o, en él se es$ es$0dia 0dia la rela rela&i &ión ón de los los %n)0los de )iro para 0n pénd0lo de $orsión, &on los períodos de os&ila&ión de di&(o pénd0lo" Con los da$os ob$enidos ob$enidos en la e3perien&ia, e3perien&ia, se de$erminaron los momen$os de 1
se realiza s0 os&ila&ión, es de&ir, s0 periodo"
5orma el $ema péndulo de torsión; adem%s de 40e &on los res0l$ados 40e se ob$0vieron en la pr%&$i&a, aprenderemos 0na 5orma sen&illa de (allar el momen$o de iner&ia de di5eren$es &0erpos en rela&ión al período de varillas &on la ay0da de es$e $ipo de pénd0lo, p0es es$e momen$o de iner&ia es de )ran impor$an&ia en el es$0dio de la 5ísi&a y de la es$%$i&a"
2l Pénd0lo o balanza de $orsión 50e diseñado ori)inalmen$e por el )eólo)o bri$%ni&o Jo(n Mi&(ell, y me1orado por el 40ími&o y 5ísi&o de la misma na&ionalidad :enry Cavendis(" 2l ins$r0men$o 50e inven$ado de 5orma independien$e por el 5ísi&o 5ran&és C(arles;A0)0s$in de Co0lomb en el año .+++, 40e lo empleó para medir la a$ra&&ión elé&$ri&a y ma)né$i&a" 1
2. DISCUSIÓN TEÓRICA Movimiento Armni!o Sim"#e $MAS% 2l movimien$o armóni&o simple =MAS>, $ambién denominado movimien$o vibra$orio armóni&o simple =M6AS>, es 0n movimiento periódico , os&ila$orio y vibra$orio en a0sen&ia de 5ri&&ión, prod0&ido por la a&&ión de 0na 50erza re&0peradora 40e es dire&$amen$e propor&ional a la posi&ión pero en sen$ido op0es$o" ! 40e 40eda des&ri$o en 50n&ión del tiempo por 0na 50n&ión sinodal =seno o &oseno>" Si la des&rip&ión de 0n movimien$o re40iriese m%s de 0na 50n&ión armóni&a, en )eneral sería 0n movimien$o armóni&o, pero no 0n MAS"
La pr%&$i&a de es$e labora$orio, nos permi$ir% analizar de 0na me1or manera el 5enómeno des&ri$o por el movimien$o del pénd0lo de $orsión, &0yas &ara&$erís$i&as, dependen en )ran 5orma del momen$o de iner&ia in$rínse&o en la varilla 40e se 0$ili&e para realizar el e3perimen$o" 2s$e momen$o de iner&ia es 0no de los ob1e$ivos a en&on$rar &on la realiza&ión de men&ionada a&$ividad, en la &0al se $raba1ó de manera sen&illa y e5i&az para ob$ener da$os &on)r0en$es &on el &ompor$amien$o esperado"
Pro"ie&'& C'r'!ter()ti!' &e# M*S
2n el presen$e $raba1o se dis&0$ir%n los res0l$ados ob$enidos en la pr%&$i&a, es$0di%ndolos de manera &0idadosa, median$e s0 $ra$amien$o &on la ay0da de las e&0a&iones de momen$o de iner&ia y movimien$o os&ila$orio para pénd0lo de $orsión, (alladas en la $eoría 40e des&riben di&(o sis$ema" Con es$o en&on$raremos 5%&il el mane1o de movimien$os 40e $en)an rela&ión &on es$e, y asimilaremos de me1or
Si 0na par$í&0la os&ila a par$ir de 0na posi&ión de e40ilibrio ba1o la in5l0en&ia de 0na 50erza 40e siempre es propor&ional a la posi&ión de la par$í&0la respe&$o a s0 posi&ión de e40ilibrio, en$on&es de&imos 40e $iene 0n movimien$o armóni&o simple" 2s$a 50erza 40e siempre diri)e a la par$í&0la (a&ia s0 posi&ión de
2
e40ilibrio 40e res$a0radora"
se
llama
50erza Siendo la frecuencia angula r de las os&ila&iones, a par$ir de la &0al de$erminamos el período de las mismas*
P+n&,#o Sim"#e o M'tem-ti!o
ω=
√
√
g l ⇒ T = 2 π l g
Per(o&o &e o)!i#'!in 2l as$rónomo y 5ísi&o i$aliano Dalileo Dalilei, observó 40e el periodo de os&ila&ión es independien$e de la ampli$0d, al menos para pe40eñas os&ila&iones" 2n &ambio, és$e depende de la lon)i$0d del (ilo" 2l período de la os&ila&ión de 0n pénd0lo simple res$rin)ido a os&ila&iones de pe40eña ampli$0d p0ede apro3imarse por*
Figura 1.Péndulo Simple
?ambién llamado pénd0lo ideal, es$% &ons$i$0ido por 0n (ilo ine3$ensible de masa despre&iable, sos$enido por s0 e3$remo s0perior de 0n p0n$o 5i1o, &on 0na masa p0n$0al s01e$a en s0 e3$remo in5erior 40e os&ila libremen$e en 0n plano ver$i&al 5i1o" Al separar la masa pend0lar de s0 p0n$o de e40ilibrio, os&ila a ambos lados de di&(a posi&ión, desplaz%ndose sobre 0na $raye&$oria &ir&0lar &on movimien$o periódi&o" Si &onsideramos $an sólo os&ila&iones de pe40eña ampli$0d, de modo 40e el %n)0lo 9 sea siempre s05i&ien$emen$e pe40eño, en$on&es el valor del sen9 ser% m0y pró3imo al valor de 9 e3presado en radianes =sen9 @ 9, para 9 s05i&ien$emen$e pe40eño>, y la e&0a&ión di5" del movimien$o se red0&e a* l θ´ gθ=0
LEES DEL PENDULO SIMPLE Le/ &e #' in&e"en&en!i' &e #') m')'): 2s$a ley &on&re$amen$e di&e 40e en dos pénd0los &on la misma lon)i$0d pero de di5eren$es masas el periodo de los pénd0los es i)0al por40e el periodo es independien$e de la masa y de s0 na$0raleza" Le/ &e# i)o!roni)mo: 2l periodo de os&ila&ión de 0n pénd0lo es independien$e de la ampli$0d" Siempre 40e és$as sean s05i&ien$emen$e pe40eñas &omo para 40e la apro3ima&ión sen9 @ 9 sea a&ep$able" Le/ &e #') #on0it,&e): A mayor lon)i$0d mayor periodo de os&ila&ión, y a menor lon)i$0d menor periodo de
0e es idén$i&a a la e&0a&ión di5" &orrespondien$e al MAS, re5iriéndose a(ora al movimien$o an)0lar en l0)ar de al movimien$o re&$ilíneo, &0ya sol0&ión es*
3
os&ila&ión, es de&ir son dire&$amen$e propor&ionales" Le/ &e #') '!e#er'!ione) &e #' 0r've&'&: la a&elera&ión de la )ravedad e1er&e 0na a&&ión primordial 40e in5l0ye en el $iempo de os&ila&ión del pénd0lo" 2n e5e&$o, diversas e3perimen$a&iones &on 0n mismo pénd0lo, en dis$in$os l0)ares de la $ierra =)ravedad, dis$an&ia> &omprobaron 40e la a&&ión de la a&elera&ión de la )ravedad modi5i&a el $iempo de os&ila&ión del pénd0lo"
0n dis&o me$%li&o, s0spendido de 0na varilla y es$a se en&0en$ra 0nida al &en$ro de di&(o dis&o &omo m0es$ra la 5i)0ra ."
. MÉTODOS EXPERIMENTALES 2n la pr%&$i&a de Péndulo de torsión se (izo én5asis en el &%l&0lo de los momen$os de iner&ia para 0n dis&o me$%li&o de masa m. 2llo $eniendo en &0en$a la rela&ión de período y desplazamien$o an)0lar para di&(o sis$ema, así &omo $ambién de las dis$an&ias o radios de al)0nos ob1e$os de )eome$ría re)0lar, &omo lo son dos &ilindros de masa &ono&ida" e es$a rela&ión de dis$an&ias, desplazamien$os an)0lares y períodos podremos ded0&ir e3perimen$almen$e el momen$o de iner&ia"
. AN*LISIS DE RESULTADOS DISCUSIÓN Cálculos para el disco metálico: •
Se $omaron 0n nEmero de os&ila&iones 5i1as para $odos los an%lisis, es$e 50e de .- v0el$as por even$o" Man$eniendo &ons$an$e el %n)0lo de )iro θ, se &al&0ló el $iempo 40e $ardaban di&(as os&ila&iones en rela&ión &on la varia&ión del radio o dis$an&ia del e1e de ro$a&ión o varilla (as$a 0no de los e3$remos del dis&o y al &en$ro de las &ir&0n5eren&ias" Adem%s para la e3a&$i$0d y pre&isión, se realizaron / medidas por da$o"
Masa del dis&o ma&izoF G"H.I)
•
Radio del dis&o ma&izoF -".m
•
Momen$o de iner&ia del dis&oF 1
Idisco= m R
2
2
0.13 m
¿ ¿
1
¿ ( 4.61 Kg )∗¿
F-"-K
2
Kgm
2
Periodo del disco
´= T
2l sis$ema de pénd0lo de $orsión &onsis$e en 0n ob1e$o, en es$e &aso 4
0.904 + 0.900 + 0.903 + 0.900 + 0.890 5
´ =0.899 s T
Error por exceso=0.904 s −0.899 s =0.005 s Error por defecto= 0.899 s − 0.890 s =0,009
Error absoluto =
0.009 s −0.005 s 2
0.002 s
Error relativo =
0.899 s
T =2 π
=0,002 s
√
Id K
× 100 =0.22
1
IF
2
)
2
I ad F I aro I disco I ad F0.039Kgm2 + 0.06Kgm2 F0.099Kgm2
. !" #,#$ m
F."K.
2
( 0.899 s )
Masa de los dos &ilindros F ,- I)
Periodo del disco + Aro
´= T
2
Iaro= ( 4.16 )( 0.11 + 0.13 ) F-"-H)m 2
periodo &omo el momen$o de iner&ia del dis&o se &ono&en se despe1a I de la e&0a&ión y se ob$iene* 2 4 π ∗ Id 2 IF T 2
P0es$o 40e $an$o el
2
p0es$o 40e $an$o el
4 π ( 0.039 kgm
√
Iad K
periodo &omo la &ons$an$e de $orsión de la varilla son &ono&idos se despe1a I ad de la e&0a&ión y se ob$iene* 1 2 2 Iaro= m ( R1 + R2 )
Para &al&0lar la &ons$an$e de $orsión de la varilla se 0$iliza la 5órm0la del periodo en el pénd0lo de $orsión T =2 π
&ono&er el momen$o de iner&ia $o$al =aro dis&o> el &0al se (alla 0$ilizando la 5órm0la del periodo del pénd0lo de $orsión se deno$a I ad &omo el momen$o de iner&ia $o$al
Radio de )iro F -,- m
1.454 + 1.462 + 1.452 + 1.449 + 1.452
Periodo del disco ´ = 10,53 s + s + 10,44 s + 10,53 s =10,5 s T
5
3
´ = 1.454 s T
Error por exceso=10,53 s −10,5 s =0,03 s
Error por exceso=1.462 s −1.454 s= 0.008 s Error por defecto=1.454 s − 1.449 s =0.005
Error absoluto =
Error relativo=
0.008 s −0.005 s
0.0015 s 1.454 s
2
Error por defecto=10,5 s −10,44 s =0,06 s
Error absoluto =
=0.0015 s Error relativo =
0,06 s −0,03 s
0,015 s 10,5 s
2
=0,015 s
× 100 =0,14
Para (allar el momen$o de iner&ia del aro e3perimen$almen$e se debe &ono&er el momen$o de iner&ia $o$al =&ilindrosdis&o> el &0al se (alla
× 100 =0.10
Para (allar el momen$o de iner&ia del aro e3perimen$almen$e se debe 5
0$ilizando la 5órm0la del periodo del pénd0lo de $orsión se deno$a N &omo el momen$o de iner&ia $o$al
√
T =2 π
I ' K
0$ilizando la 5órm0la del periodo del pénd0lo de $orsión se deno$a N &omo el momen$o de iner&ia $o$al
√
T =2 π
P0es$o 40e $an$o el
periodo &omo la &ons$an$e de $orsión de la varilla son &ono&idos se despe1a N de la e&0a&ión y se ob$iene* 2 T ∗ K ' I = 2 I =
( 10,5 s )2∗(3,75 Nm ) 2
4 π
4 π
'
I =
F.-,G
2
2
4 π
FK,+G
Kgm
NFN&ilindros Ndis&o N&ilindrosF N; Ndis&o 2 N&ilindrosF =.-,G Kgm >;=H,G 2
( 10,12 s )2∗(3,75 Nm) 2
Kgm
Kgm
40e $an$o el
periodo &omo la &ons$an$e de $orsión de la varilla son &ono&idos se despe1a N de la e&0a&ión y se ob$iene* 2 T ∗ K ' I = 2
4 π
'
I ' K P0es$o
NFN&ilindros Ndis&o N&ilindrosF N; Ndis&o 2 N&ilindrosF =K,+G Kgm >;=H,G
2 >F G,-H Kgm
2
Kgm
%. !" #,#& m
2 >F , Kgm
'. !" #,#( m
Masa de los dos &ilindros F ,- I)
Masa de los dos &ilindros F ,- I)
Radio de )iro F -,-+ m
Radio de )iro F -,-H m
Periodo del disco ´ = 10,09 s + s + 10,08 s + 10,18 s =10,12 s T
Periodo del disco ´ = 9,82 s + s + 8,99 s + 9,73 s = 9,51 s T
3
3
Error por exceso=10,18 s − 10,12 s =0,06 s
Error por exceso=9,82 s −9,51 s= 0,31 s
Error por defecto=10,12 s −10,08 s =0,04 s
Error por defecto= 9,51 s −8,99 s =0,52 s
Error absoluto = Error relativo =
0,06 s −0,04 s
0,01 s 10,12 s
2
= 0,01 s
Error absoluto =
× 100 = 0,09
Error relativo =
Para (allar el momen$o de iner&ia del aro e3perimen$almen$e se debe &ono&er el momen$o de iner&ia $o$al =&ilindrosdis&o> el &0al se (alla
0,52 s −0,31 s 2
0,105 s 9,51 s
=0,105 s
× 100 =1,10
Para (allar el momen$o de iner&ia del aro e3perimen$almen$e se debe &ono&er el momen$o de iner&ia $o$al =&ilindrosdis&o> el &0al se (alla 6
0$ilizando la 5órm0la del periodo del pénd0lo de $orsión se deno$a N &omo el momen$o de iner&ia $o$al
√
T =2 π
I ' K
dire&$a &on el momen$o de iner&ia del ob1e$o e inversa a la di5eren&ia de períodos de os&ila&ión, y es$os a s0 vez es$%n dependiendo del %n)0lo de )iro"
P0es$o 40e $an$o el
'. Se
di&e 40e es$e sis$ema es armóni&o simple, ya 40e presen$a os&ila&iones periódi&as y por40e e3is$e 0na 50erza de res$i$0&ión 40e llamamos ) 40e (a&e re$ornar el movimien$o al p0n$o de e40ilibrio =9 F -> del sis$ema" e es$a 5orma es$amos di&iendo 40e di&(o movimien$o se en&0en$ra 50n&ión del desplazamien$o an)0lar es de&ir de 0n %n)0lo θ y del momen$o de iner&ia"
periodo &omo la &ons$an$e de $orsión de la varilla son &ono&idos se despe1a N de la e&0a&ión y se ob$iene* 2 T ∗ K ' I = 2 4 π
'
I =
( 9,51 s )2∗(3,75 Nm) 2
4 π
F,H-
2
Kgm
NFN&ilindros Ndis&o N&ilindrosF N; Ndis&o 2 N&ilindrosF =,H- Kgm >;=H,G 2
Kgm
BIBLIO4RA56A Dara)e M0elle de $orsión de 1" las p0er$as de )ara1e ?0$orial de Ri&(ard J Iin&(" Nn&l0ye 0n an%lisis de las 5órm0las desde 0n p0n$o in)enia eril &on ab0ndan$es propiedades de ma$eriales" SerQay, R" A", y JeQe$$, Jr" J" " =--K>"Movimien$o os&ila$orio"S" R" Cervan$es Donz%lez =2d">" *ísica
2 >F ,. Kgm
3. CONCLUSIONES . 2l pénd0lo de $orsión es 0n sis$ema 40e nos permi$e de$erminar el &en$ro de masa o momen$o de iner&ia de al)0nos ob1e$os de 5ormas &ompli&adas, así &omo $ambién de 0n &on10n$o de ob1e$os dis$rib0idos en di5eren$es posi&iones, ello $eniendo en &0en$a la rela&ión de período de os&ila&ión y s0 %n)0lo de )iro"
para ciencias e ingenierías volumen
=+ 2d">" =pp"GG;G/>" Cen)a)e Learnin)" !o0n), :" ", y 'reedman, R" A" =--K>" Movimien$o periódi&o" R" 6" Rivera =2d">" *ísica universitaria volumen . . 2d">" =pp" G;GG->" Mé3i&o* Adisson esley"
%. La &ons$an$e de $orsión para es$e
sis$ema de pénd0lo de $orsión, es
7
