UNASAM – FIC PENDULO SIMPLE
PENDULO SIMPLE I.
OBJETIVO(S): Estudiar el movimiento de un péndulo simple. Verificar Verificar si el período de un péndulo depende de varias propiedades del péndulo simple. Medir la aceleración de la gravedad local utilizando un péndulo simple y un cronómetro.
II.
MARCO TE TEÓICO Y CONCEPTUAL: El péndul péndulo o simple simple es un sistema sistema mecáni mecánico co que exhie exhie movimi movimient ento o periód periódico ico oscilatorio. El péndulo simple consiste en una ola de masa m suspendida de un punto fi!o mediante una cuerda flexile e inextensile de longitud L L como se muestra en la figura ".#a. $i la masa se desplaza un ángulo peque%o peque%o & a partir de la posición vertical y se liera desde el reposo se oserva que la masa descrie un movimiento armónico simple siempre y cuando se desprecie la fricción entre ella y el aire.
(a)
(b) (b)
Figura Figura 2.. 2.. 'a) Representación de un péndulo simple, (b) diagrama de cuerpo libre de m.
(el diagrama de cuerpo lire de la partícula de masa m se oserva que sore ésta g de la masa act)an act)an** la tensión tensión T + a lo largo largo del del hilo y el peso peso W = m ⃗ pendular. ,a componente tangencial del peso
mgsenθ siempre se encuentra
dirigida dirigida hacia la posición posición de equilirio+ equilirio+ de dirección opuesta al desplazamient desplazamiento o ⃗s . -or tanto+ la fuerza tangencial es una fuerza de restitución+ de tal manera que cuando se aplica la segunda ley de e/ton en dirección tangencial+ se tiene
1
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∑ F
t
= mat
'".#0 "
− mgsenθ = m
(onde
d s dt "
'"."0
s⃗ es el desplazamiento medido a lo largo del arco de circunferencia
descr descrit ito o por por el pénd péndul ulo o y el sign signo o nega negativ tivo o '10 '10 indi indica ca el hech hecho o de que que la componente tangencial mgsenθ act)a en dirección opuesta al desplazamiento 'es decir está dirigida hacia la posición de equilirio0. -or otro lado la magnitud del desplazamiento es s = Lθ + siendo la longitud del péndulo L péndulo L constante+ la ecuación ".# se escrie m
d " ( Lθ ) dt "
= mL
d "θ dt "
&+ θ&
= − mgsenθ
'".20
g senθ = 3 L
'".40 Esta es ecuación diferencial no lineal+ cuya solución exacta es un desarrollo en serie de infinitos términos. $in emargo+ si las oscilaciones son peque%as+ es senθ ≅ θ + decir el ángulo & es peque%o+ se puede utilizar la aproximación donde el ángulo & se expresa en radianes. -or lo tanto la ecuación diferencial '".40 se escrie &+ θ&
g
θ
L
=3
'".50
,a ecuación '".20 es la ecuación deferencial de un movimiento armónico simple+ es decir+ m descrie un M.6.$. y la solución de la ecuación '".50 es de la forma θ = θ 3 sen ( ωt + ϕ )
'".70 (onde &3 es el máximo desplazamiento angular+ 8 es el desfasa!e y 9 es la frecuencia natural circular+ la misma que queda expresada como
ω =
"π
T
=
g L
'".:0 El período del movimiento pendular está dado por
2
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T = "π
L g '".;0<
(onde L es la longitud medida desde el punto de suspensión hasta el centro de masa de la esfera y g es la aceleración de la gravedad local. (ee oservarse además que la masa m de la esfera y la amplitud máxima de las oscilaciones & 3+ no aparecen en esta expresión. El período de un péndulo 'dada nuestra hipótesis0 no es dependiente de m y &3 al menos de acuerdo a la teoría. $in emargo+ si nuestras hipótesis no se aplican al estudio del péndulo 'el cale es pesado+ la esfera tiene una gran y complicad forma+ la amplitud es grande+ etc.0+ podría esperarse que esta fórmula no predice correctamente el período del péndulo. =na investigación científica correcta trata de incluir todos menos uno de los factores que influyen constantemente. ,os factores que permanecen constantes son llamados controles. El )nico factor que camia durante la experimentación se llama variable independiente. ,a propiedad del sistema físico que se mide para determinar el efecto de camio de la variale independiente es llamada variable dependiente. $i logramos mantener todos los demás factores constantes+ cualquier camio en el resultado de un experimento deería provenir de la variale independiente. (e este modo+ tratamos de de!ar fuera los efectos individuales que cada uno de los factores e!erce sore el fenómeno que estamos estudiando. En este experimento+ =d. podrá determinar experimentalmente la validez de la fórmula teórica para el período '>0 de un péndulo simple . Va a estudiar la forma en que el período de un péndulo simple 'la variale dependiente0 es afectada cuando se varía tanto la masa m de la esfera+ así como la amplitud & 3 de las oscilaciones+ o la longitud del péndulo 'la variale independiente0 y manteniendo los otros factores 'los controles0 constantes. >amién se utilizará los resultados de estos experimentos para medir el valor de la aceleración de la gravedad g experimentalmente.
III.
MATERIAL A UTILI!AR . 2. ". #. $. %. &. '.
IV.
=n soporte universal con dos varillas de acero y una nuez. =na prensa. =na regla graduada en mm. =n péndulo simple. =n cronómetro. =n nivel de uru!as. =n vernier o un micrómetro =na alanza
METOOLO*A: #. E+PERIMENTO . I,-/0iga1i, /3br 4a 56,5,1ia 54 6r7353 (T) 5 4a a864i0u5 5 4a 3/1i4a1i, (9 ).
3
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En este experimento se trata de medir los períodos '> i0 del péndulo para diversas amplitudes &i+3+ manteniendo una longitud ',0 fi!a así como una masa tamién constante m# durante el experimento y representar en una gráfica la relación entre amos. -ara ello se sigue el siguiente procedimiento.
a) =tilizando la esfera de acero+ realizamos la instalación mostrada en la figura ".". En la parte superior+ el hilo se amarro de tal manera que se pueda camiar la longitud con facilidad.
(a) Figura 2.2.
(b)
I,/0a4a1i, 54 6;,5u43 /i864
b) ?i!amos la longitud L del péndulo a un valor de # m aproximadamente midiendo la longitud del hilo con la regla y con el micrómetro el diámetro de la esfera ' L= Lhilo + R E 0. @egistramos dicho valor con su respectivo error.
1) Aon la alanza medimos la masa m de la esfera. @egistramos dicho valor con su error.
5) (esplazamos lateralmente a la masa pendular m un ángulo de 5B a partir de la posición de equilirio y lo lieramos desde el reposo+ midiendo el ángulo con un transportador.
) Aon el cronómetro medimos el tiempo requerido para 10 oscilaciones. @epetimos este paso por tres veces y registramos sus datos en la tala C.
<) (eterminamos el período del péndulo para dicho ángulo usando la ecuación ( T =t / n ) + donde t es el tiempo y n el n)mero de oscilaciones.
4
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g) @epetimos los pasos 'd0 y 'e0 y 'f0 para ángulos de #3B+ #5B+ "3B+ "5B y 23B. Drdene los datos en la tala C y haga una gráfica representando el período en función de la amplitud.
Tab4a I. Relación período (T) – amplitud de oscilación (θ 0 ) para el movimiento pendular .
E=6ri8,03 I: L L0 ! "L >.$8?88 @ m mo ! "m > #$."$g ?.g Ti863 (/) Pr7353 Pr385i3 6mplitud T promedio 0 02 0" T T2 T" 5B #3B #5B "3B "5B 23B
"3.22 "3.23 "3.4# "3.2# "3.2: "3.2
"3.43 "3.24 "3.2# "3.25 "3.2 "3.4"
"3.2 "3.2; "3.25 "3.22 "3.2; "3.4"
".322 ".323 ".34# ".32# ".32: ".32
".343 ".324 ".32# ".325 ".32 ".34"
".32 ".32; ".325 ".322 ".32; ".34"
".32: ".324 ".327 "+322 ".32; ".34#
#.2 E=6ri8,03 II. I,-/0iga1i, 5 4a 56,5,1ia 54 6r7353 (T) 5 4a 8a/a (8) 54 6;,5u43. En este experimento se trata de medir los períodos ' T i0 del péndulo para diversas masa mi manteniendo constantes la amplitud & 3 y la longitud ' L0 durante todo el experimento y representar en una gráfica la relación que aparece entre el período y la masa del péndulo. -ara ello se sigue el siguiente procedimiento.
a) =tilizando la esfera de acero+ realizamos la instalación mostrada en la figura ".".
b) ?i!amos la longitud , del péndulo a un valor de 1 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo con la regla y con el micrómetro el diámetro de la esfera ' L= Lhilo + R E 0. @egistramos dicho valor con su respectivo error.
1) Aon la alanza medimos la masa de la esfera. @egistramos sus valores con su respectivo error en la >ala CC.
5) Aonsideramos una amplitud constante medimos con el transportador un ángulo entre θ ≅ 5 ° −10 ° . @egistramos el valor escogido en la >ala CC.
5
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E=6ri8,03 II: L L0 ! "L >18?88@ Ti863 (/) Masa 'g0 0 02 0" T 3.; #3.34 45.25
#.;7 "3 "3.2#
)
θ0
θ
! " θ0
> ' ? Pr385i3
T"
T promedio
o
Pr7353 T2
#.;; #." #.;7 #.;; #." "3.3 "3.## " ".33 ".3## 2.034 "3.2: "3.24 ".32# ".32: (esplazamos lateralmente a la esfera hasta el de!amos oscilar liremente.
#.; ".33: ".324 ángulo escogido y
<) Medimos el tiempo que demora la esfera en dar 10 oscilaciones. @egistramos sus valores en la >ala CC.
g) (eterminamos el período del péndulo para dicho ángulo usando la ecuación ( T =t / n ) + donde t es el tiempo y n el n)mero de oscilaciones.
) @epita los pasos desde 'a0 hasta 'g0 para las demás esferas. @egistre sus valores en la >ala CC.
Tab4a II: Relación período (T) – masa (m) para el movimiento pendular
#." E=6ri8,03 III. I,-/0iga1i, 5 4a 56,5,1ia 54 6r7353 (T) 5 4a 43,gi0u5 (L) 54 6;,5u43. En este experimento se trata de medir los períodos ' T i0 del péndulo para diversas masa ,i manteniendo constantes la amplitud & 3 y la masa del péndulo 'm0 durante todo el experimento y representar en una gráfica la relación que aparece entre el período y la longitud del péndulo. -ara ello se sigue el siguiente procedimiento.
a) =tilizando la esfera de acero de mayor diámetro+ realizamos la instalación mostrada en la figura "."a.
b) Aon la alanza medimos la masa de la esfera. @egistramos sus valores con su respectivo error en la >ala CCC.
1) Aonsideramos una amplitud constante midiendo con el transportador un ángulo entre
θ ≅ 5 ° −10 ° . @egistramos el valor escogido en la >ala CCC.
5) ?i!amos la longitud , del péndulo a un valor de 120 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo con la regla y con el micrómetro el diámetro de
6
UNASAM – FIC PENDULO SIMPLE la esfera ' L= Lhilo + R E 0. @egistramos dicho valor con su respectivo error en la tala CCC.
) (esplazamos lateralmente a la esfera hasta el ángulo escogido y dé!amos oscilar liremente.
<) Medimos el tiempo que demora la esfera en dar 10 oscilaciones. @egistramos sus valores en la >ala CCC.
g) (eterminamos el período del péndulo para dicho ángulo usando la ecuación ( T =t / n ) + donde t es el tiempo y n el n)mero de oscilaciones. ) @epetimos los pasos desde 'a0 hasta 'g0 para las demás longitudes. @egistramos sus valores en la >ala CCC.
Tab4a III: Relación período (T) – longitud (L) para el movimiento pendular E=6ri8,03 I: ,ongitud 'm0 #+"3 #+#3 #+33 3+3 3+;3 3+:3 3+73 3+53
θ0
θ
! " θ0
o
0
Ti863 (/) 02
"".43 "#.24 "3.25 #.23 #;.4; #7.;2 #5.# #4.#5
"".57 "#.42 "3.22 #.#7 #;.54 #7.77 #5.:; #4."2
> ? @ m mo ! "m > #$."$g ? Pr7353 6r385i3 0" T T2 T" T promedio
"".54 "#.2 "3.2 #.#: #;.47 #7.:: #5.;2 #4.#
"."43 ".#24 ".325 #.23 #.;4; #.7;2 #.5# #.4#5
"."57 ".#42 ".322 #.#7 #.;54 #.777 #.5:; #.4"2
"."54 ".#2 ".32 #.#: #.;47 #.7:: #.5;2 #.4#
"."5 ".#2 ".327 #."# #.;4 #.7:5 #.5;4 #.4#
#.# M3543 8a08D0i13 En las secciones anteriores pudimos encontrar que el período de un péndulo depende de su longitud pero no de su masa. 6hora vamos a tratar de determinar de qué manera el período depende de la longitud de péndulo. -ara entender detalladamente como el período y la longitud están relacionados necesitamos construir un modelo matemático. En esta ecuación nuestro modelo sería una ecuación que exprese la relación detallada entre el período del péndulo y la longitud del mismo. >endremos en cuenta dos modelos para evaluar cómo el período del péndulo está relacionado con su longitud.
#odelo lineal : T = AL + B + donde 6 y F son constantes. 2
#odelo cuadr$tico: T =CL+ D + donde A y ( son constantes. 7
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uestro o!etivo es determinar dos cosas
Pri8r3: Gninguno de los dos modelos descrien correctamente los datos 'dentro de las incertidumres0H.
Sgu,53: en caso afirmativo+ Gcuáles son los valores de las constantes en el modeloH -ara evaluar la situación presentada construimos dos gráficas usando el programa Excel. =na será una gráfica de T 'en el e!e de las y0 frente a L 'en el e!e de las x0. El modelo lineal predice que los datos se encuentran a lo largo de de una línea recta en un gráfico T vs L. El segundo gráfico corresponde a una relación T 2 vs L. El modelo cuadrático predice que los datos podrían fi!arse sore una línea recta en el gráfico T 2 vs L. -ara construir estos gráficos ara el programa Excel y construya una tala de datos con columnas para L+ T y T 2. Iraficando los puntos cada vez que midió el período 'tal que para cada longitud podría graficar tres valores del período0. 6 continuación puede crear las gráficas T vs L y T 2 vs L y usando el Excel construir la Jme!or línea rectaK 'la recta que me!or se a!usta a los datos experimentales0. (ee estar seguro además que las unidades han sido utilizadas adecuadamente y que la línea recta es graficada adecuadamente y a partir de ella se otiene el coeficiente de regresión lineal así como la ecuación de la recta de a!uste que no permita determinar la pendiente y las intersecciones con los e!es coordenados.
#.$ CD41u43 5 4a a14ra1i, 5 4a gra-5a5 ,o más inmediato sería aplicar la ecuación '".;0< del período de un 2 2 péndulo en función de su longitud L para hallar g= 4 π L / T . $in emargo+ aunque el período puede medirse con astante precisión+ su longitud 'distancia desde el centro de masa de la masa pendular hasta el punto de suspensión0 no es ien determinada. -or el contrario+ los incrementos en la longitud del péndulo se miden con un error tan peque%o como la sensiilidad de la escala graduada de la que se dispone+ ya que en esta medida no influye la posición del centro de masas de la esfera. -ara = + esto consideremos una longitud l L L0 + donde r es una longitud 0
cualquiera. Entonces se tiene
T
"
"
= 4π
L + L3 g
"
"
=
4π
g
L+
4π
L3
g
6 partir de esta ecuación podemos determinar la pendiente de la recta la misma que está dada por
8
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A =
4π
"
g
"
⇒ g =
4π
A
Aomo la constante 6 se puede expresar con tanta precisión como se requiera+ el error relativo de la aceleración de la gravedad g es el mismo de la pendiente 6
∆ g
g V.
=
∆A
A
CALCULOS Y RESULTAOS: $.. P3r u; / ,1/ari3 u 4a/ a864i0u5/ 5 4a/ 3/1i4a1i3,/ 5b, /r 6uGa/H or !ué en ellas la energía mec"nica !ue se utili#a es pe!ue$a y a si podemos demostrar experimentalmente en el laboratorio !ue la masa no intervienen el periodo de la oscilaci%n. &ientras !ue si la amplitud lo tomamos demasiado grande 'abría demasiada variaci%n( y no se cumpliría !ue el periodo es independiente de la masa.
$.2. C3, 43/ 5a03/ 5 4a Tab4a I 5ibu u,a grD
E=6ri8,03 I: L L0 ! "L >.$8?88 @ m mo ! "m > #$."$g ?.g Ti863 (/) Pr7353 Pr385i3 6mplitud T promedio 0 02 0" T T2 T" 5B #3B #5B "3B "5B 23B
9
"3.22 "3.23 "3.4# "3.2# "3.2: "3.2
"3.43 "3.24 "3.2# "3.25 "3.2 "3.4"
"3.2 "3.2; "3.25 "3.22 "3.2; "3.4"
".322 ".323 ".34# ".32# ".32: ".32
".343 ".324 ".32# ".325 ".32 ".34"
".32 ".32; ".325 ".322 ".32; ".34"
".32: ".324 ".327 ".322 ".32; ".34#
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E=6ri8,03 II: L L0 ! "L >18?88@ Ti863 (/) Masa 'g0 0 02 0" T 3.; #3.34 45.25
"3.#: "3 "3.2#
"3.2" "3.3 "3.2:
"3.27 "3.## "3.24
θ0
".3#: " ".32#
! " θ0
Pr7353 T2
> ' ? Pr385i3
T"
T promedio
".32" ".33 ".32:
".327 ".3## 2.034
".3"; ".33: ".324
θ
o
Periodo(T) - Amplitud( ) 2.04
2.04 2.04 2.04 2.04
T=f ()
2.03 2.03 2.03 2.03
0
1
2
3
4
5
6
7
amplitud de oscilacion
)eg*n la gr"+ica no 'ay dependencia entre el periodo y la amplitud por!ue para un "ngulo determinado los periodos varían no en +orma proporcional por tanto el periodo es independiente de la amplitud de oscilaci%n.
$.". C3, 43/ 5a03/ 5 4a Tab4a II 0ra1 u,a grD
10
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Periodo(T)M!"! 2.04 2.04
2.03
2.03
2.03
2.03 2.02
T$%(#)
2.02 2.01 2.01
2.01 2 2 1.99 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
#
)eg*n la gr"+ica no se muestra una dependencia entre el periodo y la masa. ,ebido a !ue no depende muc'o de la masa sino de la longitud y la gravedad del lugar.
$.#. C3, 43/ 5a03/ 5 4a Tab4a III 0ra1 u,a grD
%olución&
E=6ri8,03 I: ,ongitud 'm0 #+"3 #+#3 #+33 3+3 3+;3 11
θ0
θ
! "
o
0
Ti863 (/) 02
"".43 "#.24 "3.25 #.23 #;.4;
"".57 "#.42 "3.22 #.#7 #;.54
θ0
> ? @ m mo ! "m > #$."$g ? Pr7353 6r385i3 0" T T2 T" T promedio
"".54 "#.2 "3.2 #.#: #;.47
"."43 ".#24 ".325 #.23 #.;4;
"."57 ".#42 ".322 #.#7 #.;54
"."54 ".#2 ".32 #.#: #.;47
"."5 ".#2 ".327 #."# #.;4
UNASAM – FIC PENDULO SIMPLE
3+:3 3+73 3+53
#7.;2 #5.# #4.#5
#7.77 #5.:; #4."2
#7.:: #5.;2 #4.#
#.7;2 #.5# #.4#5
#.777 #.5:; #.4"2
#.7:: #.5;2 #.4#
#.7:5 #.5;4 #.4#
&'!r Tie 2.5 2 1.5
*+i" Tie
1.42
1 0.5 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
*+i" Tie
)eg*n la gr"+ica se muestra una dependencia entre el periodo y la longitud. ya !ue cuanto mayor es la longitud mayor es el periodo y si la longitud es menor el periodo también ser" menor entonces se puede concluir !ue el periodo es directamente proporcional a la longitud.
$.$. C3,/0ruir u,a 0ab4a 13, 43/ -a43r/ 85i53/ rr3r/ K u,i5a5/ 5 T2 (6r7353 a4 1ua5ra53) K 4a 43,gi0u5 54 6;,5u43 L= L + R E 0
LO (8)
L (¿ ¿ 0 + L R )= x
Periodo ( T )
T = y
xy
x
6.080062 5 5.037405 3 4.149345 2 3.324870 2 2.738458 8 1.966725 6 1.507969 1 1.008813 6
1.44240 1 1.21220 1 1.00200 1 0.81180 1 0.64160 1 0.49140 1 0.36120 1 0.25100 1
2
2
¿
#."3
#."3#
"."53
$.%2$
#.#3
#.#3#
".#2
#.$&$"
#.33
#.33#
".327
#.#$2
3.3
3.3#
#."#
".%2
3.;3
3.;3#
#.;4
".#''
3.:3
3.:3#
#.7:5
2.'
%$3.73
3.73#
#.5;4
2.$
3.53
3.53#
#.4#
2."%
12
UNASAM – FIC PENDULO SIMPLE 6.808
L
28.2203
25.81365 0
6.21360 8
$.%
C3, 43/ 5a03/ 5 4a Tab4a 13,/0rui5a , 4 a1D6i0 $.$ 5ibu u,a grD
/0a grD
y = ax + b xi y i x i y i
∑¿ ¿ ¿ ¿
2
x i
∑¿ ¿
x i
∑¿ ¿ ¿2 ¿
6.808
¿ ¿ ¿2 ∑¿¿ ∑ ¿−¿ n¿ a =¿ y i
∑ x
i
∑ ¿− a (¿) ¿ ¿ = ¿
13
UNASAM – FIC PENDULO SIMPLE
Chart Title 6 5
%(+) $ 4.28+ 0.12 ,- $ 1
4 *+i" Tie
3 Lie!r () 2 1 0 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
1.1 1.2 1.3
*+i" Tie
y = 4.2814x -0.1159
La ecuación es&
'eterminación de la aceleración de la gravedad de . 2
g=
4. π
.L
2
T
! (28 )
*alculo de la pendiente de la recta&
m= A =
− B −(−0.1159 ) = = 0.02707 A
4.2814
Reemplaando en la ecuación& 2 2 4. π 4. π = g= 4.2814 A
g= 9.22 m / s
2
La magnitud +ísica ( +inalmente debe ser escrita de la siguiente +orma: g= gi" #g /l error relativo ser":
e r=
#g 0.1159 = =0.01257 g 9.22 Error Asol$to= %& =0.01257
'Error Por(ent$al =1.257
14
UNASAM – FIC PENDULO SIMPLE
$.% C3, 43/ 5a03/ 5 4a Tab4a III 0ra1 u,a grD
,
logT
f ( logL ) = x
2
)*
)
0.0278717 1 0.0136593 6 0 0.0129949 9 0.0258749 7 0.0346978 2 0.0443252 3 0.0457564 1 0.1221183 5
0.0062696 3
y "."5
#+"3
3.25"
3.3:#;#
".#2
#+#3
3.223
3.34#2"
".327 #."#
#.;4
#.7:5
#.5;4
#.4#
#+33
3.23
3.333333
3+3
3.";4
13.345:5:
3+;3
3+:3
3+73
3+53
3."7:
3.""4
3.#;
3.#5"
2.1178
13.37#3
13.#543#
13.""#;4;
13.23#3"
0.699872
-tili#ando mínimos cuadrados:
y = ax + b
15
0.0017133 0
0.0020937 0.0093915 5 0.0239943 2 0.0492165 4 0.0906184 6 0.1832974 9
UNASAM – FIC PENDULO SIMPLE
xi y i x i y i
∑ ¿ ¿ ¿ ¿
2
x i
∑ ¿ ¿
x i
∑ ¿ ¿ ¿2 ¿
− 0.69987 ¿ ¿ ¿2 ∑ ¿¿ ∑ ¿−¿ n¿ a =¿ y i
∑ x
i
∑ ¿−a (¿) ¿ ¿ =¿
,eterminaci%n de la aceleraci%n de la gravedad de #. 2
g=
4. π
.L
2
T
! ( 28 )
alculo de la pendiente de la recta:
m= A =
− B −(−1 ) = =1 /0.40756 A
eempla#ando en la ecuaci%n: 2 2 4. π 4. π = g= 10 A 4.1751 2
g= 9.4557 m / s
16
0.41751
UNASAM – FIC PENDULO SIMPLE
g= gi" #g El error relativo será*
e r=
#g 0.3099987 = =0.03278 g 9.4557 Error Asol$to= %& =0.03278
'Error Por(ent$al = 3.278
$.&. CuD4/ /3, 4a/ 63/ib4/
-no de los errores !ue pudimos cometer +ue el de no medir correctamente las longitudes( el tiempo !ue tarda en dar una oscilaci%n.
3
/l error cometido a la 'ora de la medir de los di"metros de las di+erentes es+eras.
3
4tro de los errores es de no medir adecuadamente el tiempo de las oscilaciones( y de al momento de soltarlos de un extremo( no calcular bien el tiempo con el cronmetro.
$.'
E, u; 6u,03/ 5ura,0 4a 3/1i4a1i, 5 4a 8a/a 6,5u4ar 4a /<ra 0,5rD /u 8aK3r -431i5a5HSu 8aK3r a14ra1i,H. La velocidad es m"xima cuando x 5 0 es decir la partícula o la es+era pasa por la posici%n de e!uilibrio en este caso la velocidad ser" m"xima.
+ =,n √ x m− x 2
2
+ max = ,n x m
@pta
La aceleraci%n es m"xima cuando x 5 x m es decir cuando la partícula se encuentra en los extremos de la oscilaci%n.
x´ = " ,n x 2
x´ =a max=" , n x m 2
,/!
$.. Si 4a a864i0u5 5 4a 3/1i4a1i,
17
UNASAM – FIC PENDULO SIMPLE
)i la amplitud +uese demasiado amplio se observaría a primera observaci%n !ue el período de las oscilaciones pendulares es dependiente de la masa. /l período y la +recuencia son independientes de la amplitud( como se re!uiere en el m.v.a.s. A'ora bien( si la 'ip%tesis de amplitudes pe!ue$as no es v"lida( ya no se puede considerar un m.v.a.s. y el período depende de la amplitud. /n este caso( el movimiento !ue describe el péndulo es el movimiento contin*a siendo peri%dico con un período !ue depende de la amplitud en la +orma: ara 'allar el periodo se utili#aría la siguiente ecuaci%n*
T =T 0
[
1
+
1 2
2
sin
2
∅0
2
+
1 2
2
() 3
4
4
2
sin
∅0
2
+!
]
$.. i/1u0a 4a/ 0ra,/<3r8a1i3,/ 5 ,rg7a u 31urr, 5ura,0 4 83-i8i,03 54 6;,5u43. +nergía del movimiento armónico simple
La energía mec"nica del movimiento arm%nico simple es proporcional al cuadrado de su amplitud .
/n la +igura la /nergía potencial y mec"nica de un muelle. 4bservad la energía cinética 6 7/c8. Los puntos x59A se denominan puntos de retroceso( dado !ue el obeto no puede ir m"s all"( con la energía mec"nica de !ue dispone .
Los puntos de corte de las dos curvas se denominan puntos de retroceso( en los !ue se anula la energía cinética de la partícula y es m"xima la energía potencial. ,esde estos puntos( el m%vil se despla#a aumentando su energía cinética a expensas de la energía potencial( 'asta !ue llega al punto de e!uilibrio( en el !ue la energía cinética es m"xima y la potencial nula. /n el experimento del péndulo simple la energía cinética y potencial es proporcional al cuadrado de su amplitud es decir dependen de la amplitud. 18
UNASAM – FIC PENDULO SIMPLE
$. S 44a8a péndulo ue bate segundos a au4 u 6a/a 63r /u 63/i1i, 5 ui4ibri3 u,a - 1a5a /gu,53. (a) CuD4 / 4 6r7353 5 /0 6;,5u43H (b) 0r8i, 4a 43,gi0u5 54 6;,5u43 u ba0 /gu,53/ u0i4ia,53 4a grD
7a8 ,eterminaci%n del periodo del péndulo !ue bate segundos:
T - .
(b) alculo de la longitud del péndulo con el uso de la gr"+ica y la ecuaci%n de la recta
t2 - L 6 5 4 %(L)
%(+) $ 4.28+ 0.12 ,- $ 1
3 Lie!r () 2 1 0 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
1.1 1.2 1.3
L
La ecuación es&
y = 4.281x -0.1159 T 2 = 4.281L -0.1159
alculo de la longitud del péndulo: 2
T =4.281 L−0.019 19
UNASAM – FIC PENDULO SIMPLE 1
2
=4.281 L−0.019
0.981
= 4.084 L
L=0.24 m =24 (m
%. CONCLUSIONES: a. /l período de un péndulo s%lo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la gravedad 7la gravedad varia en los planetas y satélites naturales8. b. ,ebido a !ue el período es independiente de la masa( podemos decir entonces !ue todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo sitio oscilan con períodos iguales. c. A mayor longitud de cuerda mayor período. d. -na característica importante del &.A.). es !ue su período 7o +recuencia8 es independiente de la amplitud A del movimiento.
&. RECOMENACIONES: :.#. 6seg)rese que la amplitud de la oscilación para los experimentos CC y CCC sean peque%as+ en caso de no disponer de un transportador esta situación se consigue desplazando la masa una distancia horizontal de tal manera que dicha distancia sea un décimo de la longitud del péndulo.
Figura 2.". #ecanismo como se puede determinar la medida del $ngulo 20
UNASAM – FIC PENDULO SIMPLE
:.". (urante la experimentación mantener las ventanas y puertas cerradas y los operadores no deen caminar cerca del dispositivo+ deido a que se generan corrientes de aire que afectarían la precisión en las mediciones. :.2.
Aonviene computar el tiempo a partir de una posición que no sea el extremo de la trayectoria de la masa pendular.
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