“Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria”
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y MECATRONICA
CARRERA PROFESIONAL DE ING. ELECTRICA Y DE POTENCIA CURSO
: LABORATORIO DE FISICA
TEMA
: AJUSTE DE CURVAS
DOCENTE
: MURILLO PARIONA, DENIS AMERICO
CICLO
: 2013-I
ALUMNO
: MIRANDA SALAZAR,JONATHAN MICHEL
LIMA – PERÚ 2013
OBJETIVO GENERAL Encontrar las relaciones matemáticas más adecuadas entre cantidades físicas medidas en el laboratorio.
OBJETIVOS ESPECIFICOS ♦ Encontrar la función que ilustre lo mejor posible la correlación entre dos variables físicas dependientes obtenidasexperimentalmente. ♦Graficar los valores obtenidos en el laboratorio y seleccionar el papel adecuado para mostrar la relación entre variables demanera simple. ♦ Interpretar los resultados experimentales a partir de las gráficas y el ajuste de curvas por el método de mínimos cuadrados.
INTRODUCCIÓN En este trabajo presentamos de forma concreta la definición y utilización del proceso del ajuste de curvas y los métodos para alcanzar éste como por ejemplo el método de mínimos cuadrados para lograr linealizar o ajustar una gráfica que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales, de forma más general se podría decir que ajustará la gráfica exactamente a cuatro restricciones. El término mínimos cuadrados describe el problema muy frecuente de resolver sistemas de ecuaciones lineales sobre determinados, esto es, sistemas lineales con más ecuaciones que incógnitas. Este método es usado para no encontrarnos con muchas variables donde lleguemos a procesos complejos donde tengamos que analizar a éstos de forma simultánea. El ajuste de curvas está basado en las tablas de experimentación que contiene datos que deben ser graficados para conocer su comportamiento y poder elegir el método más apropiado de utilizar para llegar a fines predictivos.
ANÁLISIS DE FUNCIONES AJUSTE DE CURVAS Tópicos relacionados. Métodos de mínimos cuadrados, matrices y determinante, asíntotas, interpolación, extrapolación, sumatorias. 1. Objetivos. 2.1. Encontrar la función matemática que relaciona dos cantidades físicas medias experimentalmente. 2.2. Hacer uso de la técnica linealización por el método de mínimos cuadrados. 2.3. Predecir resultados asciendo interpolaciones y extrapolación a laecuación de ajuste Calculada
MARCO TEORICO El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Esta sección es una introducción tanto a la interpolación (cuando se espera un ajuste exacto a determinadas restricciones) y al ajuste de curvas/análisis de regresión (cuando se permite una aproximación). Mínimos cuadrados: Es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático. En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger. Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados). La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía.
Ajuste de curvas lineal: Alineación, encontrando patrones o modelos adecuados para encontrar la tendencia de una disposición de datos en diferentes observaciones de tiempo. Se utiliza en diseños de tipo experimental porque permiten establecer relaciones funcionales que intentan predecir y las relaciones funcionales. Para la lineal se requiere: • Graficados.
• Datos secuenciados y ordenados. • Interés por establecer la tendencia que permita conocer la forma real de curva. Yc = a + bx METODO GEOMÉTRICO Una función es lineal cuando las variables aparecen elevadas solo a la primera potencia. Una función es lineal que relaciona “X” con “Y” se representa algebraicamente como: Y = a + bx 362
CUESTONARIO *¿Que entiende usted por desviación en el ajuste de una curva? En el análisis estadístico existe una medida de la dispersión de los datos obtenidos llamada desviación típica o estándar que no necesariamente está ligada al ajuste mediante una curva. Si se refiere en concreto a un parámetro del ajuste, es probable que esta desviación se refiera concretamente a la diferencia entre tus datos y la curva. Ya que el ajuste es una aproximación a la exactitud.
*COMPROBAR SUS RESULTADOS USANDO EL SOFTWARE LOGGER PRO. * Que otro tipo de ajustes de datos experimentales existe ,de algunos ejemplos Ajuste parabólico, Ajuste elíptico, Ajuste circular, Ajuste hiperbólico,
Ajuste logarítmico, Ajuste algorítmico. * Investiguen datos de algunos experimentos que pueden ser ajustados a una recta, una parábola y un exponencial y ese respectivo ajuste por mínimos cuadrados. - Una grafica en forma de reta seria la que representa la velocidad vs. el tiempo de un cuerpo que se desplaza con un movimiento rectilíneo uniformemente variado. - La función exponencial, se usa para el aumento de alguna variable, por ejemplo en el tiempo, ejemplo: Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La dosis inicial es de 10 mg y la cantidad en el cuerpo t horas después está dada por A(t) = a) Calcule la cantidad del fármaco restante en el organismo 8 horas después de la ingestión inicial. R/1.68 mg. b) ¿Qué porcentaje del medicamento que está aún en el organismo se elimina cada hora? R/20%. *¿Cómo aplicaría este tema en sucarrera profesional? - El laboratorio uno y dos, me ayudarían a entender mejor aun conjunto de datos, relacionados entre si, que vistos en una tabla, no significarían mucho o no se entenderían. - Por ello ahora nosotros podemos expresar ello correctamente, con la ayuda de gráficos, que responden a una ecuación matemática con forma definida. - De esa forma se entiende mejor los fenómenos que describen los datos y se pueden tomar decisiones mas acertadas.
OBSERVACIONES -Se pudo observar que el ajuste de curvas presenta errores ya que este no es necesariamente exacto. -Se observó que el alumno debe ser el que elige y marca la mejor recta que se ajusta mejor a las medidas. -En algunas de estas operaciones dadas en el proceso de este ajuste de curvas podemos encontrar el uso de logaritmos y sumatorias. -Existen otros métodos para hacer que una curva se ajuste a una línea recta como el método de cambio de variable y la aplicación del logaritmo de base 10.
CONCLUSIONES - En conclusión este experimento estuvo interesante por que nos permitió aprender, como graficar, los distinto fenómenos que nos podemos encontrar, y poderlos expresar en de una forma matemática usando formulas y ecuaciones. - Aprendimos a ajustar las curvas para que estas, tengan una forma definida y puedan ser expresadas matemáticamente. - Aprendimos como linear por el método de límites cuadrados. SUGERENCIAS - Debemos tener cuidadoal momento de linealizar, pues nos podríamos confundir de variables, y debemos utilizar varios decimales. - Podemos utilizar un sistema de matrices para resolver directamente el sistema de ecuaciones.
- Podemos utilizar hojas de cálculo y otros programas para realizar las tablas y cálculos.
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS.-
* Problemas y ejercicios de análisis matemáticos, B. Demidovich, Ed. Mir, Moscú, URSS, 1973, Cap 1, Pag. 7 – 19. * Tópicos de calculo I, M. Tittac & L. Toro, ed. “San marcos”, Lima Perú, 1990 Cap 1
Usando las fórmulas de la parábola mínima cuadrática hallamos: * ∑ yi = aN + b ∑ xi + c ∑ (xi)2 192,5 = a(12) + b(-1,4) + c(178,68) 1,08=a(0,07) - b(0,008) + c (ecuación 1) * ∑ xi yi = a∑ xi + b ∑ (xi)2 + c ∑ (xi)3 -81,91= a(-1,4) + b(178,68) + c (-80,25) 1,02= a(0,02) - b(2,22) + c (ecuación 2) * ∑ (xi)2 yi = a∑ (xi)2 + b ∑ (xi)3 + c ∑ (xi)4 5174= a(178,68) + b(-80,25) + c(4711,12) 1,098= a(0,038) - b(0,017) + c (ecuación 3) 4. Restando la ecuación 1 con la ecuación 2 tenemos: 0,06 = 0,05a + 2,212b 1,2 = a – 44,24b (ecuación 4) 5. Restando la ecuación 3 con la ecuación 2 tenemos 0,078 = -0,032a – 0,009b 2,44 = -a – 0,28b (ecuación 5) 6. Sumando la ecuación 4 y 5 tenemos: 3,64 = – 44,52b b = -0,08 7. Reemplazando b en las otras ecuaciones: a = -2,41, c = 1,25 8. La ecuación final es: y = -2,41 – 0,08x + 1,25x
OBJETIVOS: - Conocer el concepto e importancia de las Gráficas De Funciones; realizando un análisis detallado e identificar el comportamiento de un fenómeno físico a partir de estas gráficas.
- Emplear adecuadamente los diferentes papeles gráficos según el conjunto de datos que se requiera analizar. -Analizar y comparar los diferentes resultados obtenidos de los experimentos realizados. - Reconocer y plantear situaciones en las que existan problemas susceptibles de ser formulados en términos matemáticos, resolverlos y analizar los resultados utilizando los recursos apropiamos MARCO TEORICO: COORDENADAS EN EL PLANO. Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas perpendiculares, llamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas: -El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas. - El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas. El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas. Las coordenadas de un punto cualquiera Z se representan por (x, y). Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante. Fundamento teorico Tabla de datos.-Para investigar la relacion en tre dos cantidades fisica en laboratorio, debemos realizarmediciones experimentales las cuales nos proporcionaran por lo Menos dos listas de numeros alos cuales les llamaremos datos . estos datos se organizan en forma de tablas con sus respectivas columnas o filas y adoptan el nombre de tabla de datos experimentales . Graficas.- La funcion del experimentador es descubrir la relacion que existe entre las dos columnasde una tabla de
datos experimentales. una forma conveniente de establecer esta relacion esw mediante una presentacion grafica de tales datos .para construir una grafica, debemos ayudarnos con un plano cartesiano donde larecta horizontal es denominada EJE de abscisas yla vertical , EJE delas ordenadas. Acontinuacion anunciaremos algunis conceptos que seran necesario para familiarizarnos con una GRAFICA Funcion.- Una cantidad Y (variable dependiente)esfuncion de otra cantidad X (variable independiente), si su valor se determina por el valor dela variable X. Una funcion se expresa matematicamente dela forma Y—f(x), ynos dice ―y depende de x‖o‖y es una funcionde x ―como ejemplo, cuya expresion seria v—f(t). Variable.- Son las cantidades fisicas que intervienen en el experimento y cuyo comportamiento se desea estudiar .como se menciono arriba , estas puden ser: -Variable independiente : Es la variable que podemos controlar y que podemos variar en un proceso experimental. Dos ejemplos tipicos en fisica son el TIEMPO y la MASA. -Variable dependiente : Es aquella variable cuyo valor depende del que toma la variable independiente . Constante: Son aquellas que toman un valor fijo , no canbian nunca durante el experimento ni en la formula o ecuacion planteada . Papel grafica milimetrado : Es un papel que endireccion horizontal y vertical ,esta dividido en segmentos de 1mm de longitud .por su facil uso se aplica atodas las funciones
(VER ANEXO N1: modelo de papeles –comparacion grafica). Papel semilogaritmico :Es un papel que en direccion vertical esta dividido en segmentos de escala logaritmica y en direccion horinzotal esta dividido en escala milimetrica(VER ANEXO N 1: MODELO DE PAPELES – COMPARACION GRAFICA). Este tipo de papeles util cuando X e Y estan relacionados por una funcion de tipo exponencial. Papel logaritmico: Es un papel que en direccion horizontal y vertical esta dividido en segmentos en escala logaritmica con particularidad de que cada segmento esta en una proporcion de orden 10 con respecto al segmento anterior (VER ANEXO N 1 :MODELO DE PAPELES – COMPARACION GRAFICA ). Este tipo de papel es util cuando X e Y estanrelacionadas por una funcion de tipo potencial :
PARTE EXPERIMENTAL Equipos y Materiales: Tres hojas de papeles gráficos milimetrados. Tres hojas de papeles gráficos semilogaritmico. Tres hojas de papeles gráficos logarítmico Calculadora científica Una regla 0,3m, 1/1000m. PASOS A SEGUIR PARA CONSTRUIR UNA GRAFICA.
-Seleccionar y denominar las escalas y coordenadas adecuadas. Ubicaremos las varibles independientes paralelos al eje Y y las variables independientes parales al eje X. Escogemos una escala de modo que un cuadro sea multiplo de uno , dos,cinco,diez (puede ser de cuatro) unidades de manera que la grafica se lea con facilidad. Dibujamos las escalas a uno a dos cuadros de margen de cada eje y enumeramos las escalas de manera que la curva resultante no este confinada aun area pequeña de la grafica. No es esencial que la grafica contenga el punto( cero,cero).por ejemplo puede comenzar desde el punto(0,8), pero si debe estar ubicado y escrito este punto en la grafica. La división más pequeña de la gráfica debe ser menor o igual al límite de error delos puntos que se localice. Marque las coordenadas de cada eje. Asigne magnitudes y unidades. No marcar todos los cuadros. Marcar cada 2,4 o 5 (cinco es recomendado).
Localizar los puntos que representan los datos en el papel gráfico. Se deben localizar lo puntos determinados experimentalmente usando líneas horizontales y verticales en la forma de un signo " + ", que permite considerar una coordenada cada vez.
Si trazamos más de una curva en un papel gráfico, se deben de usar diferentes símbolos (Líneas " + ", puntos, etc...) para cada grafica diferente si es posible, usar diferentes colores. Hacer una leyenda respectiva. Ajustar la curva entre los puntos (sebera en el siguiente laboratorio). Preparar el título y la descripción del grafico El titulo se debe colocar dentro del margen del papel grafico en una posición que no interfiera con la curva. El titulo debe incluir una descripción minuciosa del propósito dela gráfica, además debe de estar enumeradas correlativamente. El contenido exacto dela descripción depende delas políticas del docente o departamento. Procedimiento (toma de datos). Se graficaran y analizaran los resultados de tres experimentos: La posición de un auto móvil que baja por la pendiente de una colona fue observada en diferentes tiempos y los resultados se resumen en la siguiente tabla: medida (en metros) del espacio recorrido por un móvil que se mueve en línea recta a velocidad constante en función del tiempo expresado en segundos. Tabla Nº1 t (s) 1.1 2.9
e (m) 8.45 14.75
4.1 6.6 8.0 9.8 10.5 12.1 13.9 15.5
18.95 27.7 32.60 38.90 41.35 46.95 53.25 58.85
Medida (en metros) del espacio recorrido por un móvil que se mueve en línea recta con aceleración constante en función del tiempo expresado en segundos. Tabla Nº2 t (s) e (m) 1.0
1.0
2.2
4.84
3.4
11.56
4.4
19.36
5.9
34.81
7.1
50.41
Medida dela actividad radiactiva del radón, donde el día uno se detectó una desintegración de 4.3 x 10
núcleos .Los porcentajes dela muestra sin desintegrar, para distintos días se muestran en tabla Nº 3.
2
Tabla Nº3 3 4 5 6
t (días)
1
A (t) %
83 69 57 47
7
8
39 32 27 22
9
10
18 15
Cuestionario 1. Usando las gráficas obtenidas en el paso 1 del procedimiento, halle la pendiente y el ángulo de inclinación delas graficas lineales delos diferentes papeles. use las ecuaciones (2), (7) y (15) respectivamente. (use calculadora científica para ello). Tabla 1: m= △y△x= 32.60-18.958.0 - 4.1= 3.5 θ=tan-1m= 74.05o Tabla 2: m= logy2-logy1logx2-logx1= log19.36-log4.84log4.4-log2.2=2 θ=tan1m= 63.43o Tabla 3: m= logy2-logy1x2- x1= log27-log477-4= -0.08 θ=tan-1m= -4.57o
2. Según la tabla N3 ¿cuantos núcleos habían al inicio (día cero)? Y ¿Cuántos núcleos quedaran por desintegrar el día Nº7? ECUACIÓN: y = 100.e-0.23X 1. REEMPLAZANDO: y = 100.e-0.23 X 0 y = 100
2. REEMPLAZANDO: y = 100.e-0.23 X 7 y = 20
3. Calcule el valor de E paso a paso para cada factor primero: realizar el cálculo para cada factor con aproximación a centésima (use las reglas de redondeo, ver anexo 2). SEGUNDO: realizar el cálculo para cada factor con todos los decimales que pueda dar la calculadora que está usando. E= ln1000.loge3.cos-1-0.25.sin237oπ.tan-110 = 6.91.1.30.104.48.(0.36)1.77.(84.29)= 337.8757824149.1933=2.26468469
4. Busque información sobre la existencia de otro papeles, además del milimetrado, logarítmico y semilogaritmico. -Papel polar.- Se parte de un punto y una semirrecta que nace en ese punto. -Papel isométrico.- Es una teselación del plano con triángulos equiláteros congruentes -Papel cuadriculado.- Es una teselación del plano con cuadrados congruentes. 5. ¿Cuáles son las características de una función? Explique Una función es toda relación entre dos variables en donde a cada valor de una de ellas que se la llama variable independiente, le corresponde un único valor de la otra variable, que se llama
variable dependiente. Características de funciones: • Variabilidad: se produce entre dos variables. • Correspondencia: a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. • Unicidad: cada valor de la variable independiente tiene que tener una única imagen. Formas de definir una función: • Diagrama de Venn • Tabla • Fórmula • Gráfico Cartesiano 6. como aplicaría este tema en su carrera profesional? Este tema es aplicado en diferentes profesiones mucho mas en los ingenieros debido a que ellos necesitan hallar las probabilidades de algunas cosas o el comportamiento de una demanda en o sobre la resistencia de un material para las obras. OBSERVACIONES -Notemos que las escalas sobre cada eje pueden ser diferentes; -La línea recta en cualquiera de los papeles muestra la ecuación que debe tener en cualquier intervalo de distancia-tiempo. -Ambas magnitudes se pueden expresar proporcionalmente siempre y cuando una de ellas este acompañada de una potencia elevada. RECOMENDACIONES -Usar Calculadora científica para los procesos de calcular datos con exactitud.
- Tener paciencia en colocar correctamente los puntos en el gráfico y al momento de dibujar los ejes correctamente. - SI deseas ganar tiempo, busca ayuda en el uso del software Logger Pro, porque requiere de tiempo en aprender a usarlo de manera adecuada. CONCLUSIONES -Con las tres diferentes tipos de ecuaciones de la recta se puede tabular cualquier tiempo-distancia que se desee. -Muestra que una aceleración constante puede recorrer grandes distancias, cada ves más, por cada intervalo de segundo. -En la realidad un automóvil puede mantener una aceleración constante por un determinado intervalo de tiempo, ya que si sigue alcanzaría su limite de velocidad máxima.
