FISICA II PRACTICA DE LABORATORIO Nº 03 TEMA: Péndulo Compuesto I. OBJETI OBJETIVO VO..
1.1. 1.1. 1.2. 1.2. 1.3. 1.3.
Verific rificar ar las leyes leyes del del pénd péndul ulo o com compu puest esto o Calcul Calcular ar la acelera aceleració ción n de la de de la graved gravedad ad e l radio radio de giro giro del del péndul péndulo o físico físico Verific rificar ar la la revers reversib ibil ilid idad ad del del pén péndu dulo lo fís físic ico. o.
II. MATE MATERIAL RIAL A UTILIZAR UTILIZAR
-
-
Un pénd péndul ulo o físi físico co el el ue ue cons consta ta de de una una barr barraa met met!l !lic icaa plan plana" a" #om #omog ogén énea ea"" ue ue pos posee ee orificios euidistantes con relación al centro de masa" los cuales ser!n usados como centros de suspensión. $os prensas con tornillos Una prensa con tornillo y cuc#illa Un soporte de madera Una regla gr graduada en en milímetros Un cronometro Una balan%a.
III. MARCO TEORICO TEORICO Y CONCEP CONCEPTUAL TUAL 1.
Péndu! "#$%&
&l péndulo simple es un sistema ue e'#ibe movimiento periódico oscilatorio. Consta de una masa puntual (m) suspendida ue un punto fi*o mediante un #ilo fle'ible e ine'tensible de peso despreciable y de longitud (+). si la masa es despla%ada un !ngulo , peueo a partir de la posición vertical y liberada desde el reposo se observa ue la masa describe un movimiento armónico simple en un plano vertical de periodo T" e'presado por T =
2π
L g
Fig. 1 El péndulo simple simple
'.
E %éndu! C!$%u&"(!
Cuando las dimensiones del cuerpo suspendido no son peueas en comparación con la distancia del e*e de suspensión al centro de gravedad" el péndulo es denominado (/éndulo físico) o (/éndulo compuesto). Cualuier cuerpo rígido instalado de manera ue pueda oscilar en un plano vertical en torno de alg0n e*e #ori%ontal ba*o la acción de la gravedad" constituye un péndulo compuesto. &l movimiento de tal cuerpo es una vibración angular alrededor del e*e suspensión. /ara determinar el periodo de un péndulo físico consideremos un cuerpo rígido en forma de barra rectangular de masa m" suspendida de un e*e transversal ue pasa por el punto " tal como se muestra en la figura siguiente A
A
d1 d2 #
$
+
#1 4
θ
+ #2
4
5 5 B
B
Fig. 2 Péndulo Compuesto o físico mgh θ = 6 &cuación diferencial del péndulo físico θ + I s
7odo péndulo físico o compuesto" es cualuier cuerpo rígido ue puede oscilar en torno a un e*e #ori%ontal ue no pasa por su centro de gravedad. /ara peueas amplitudes de oscilaciones" el /éndulo 8ísico oscila con movimiento armónico simple" con un periodo dado por
T =
2π
I mgd
99999999. :1;
iendo
I m g d
: : : :
&l momento de inercia respecto al e*e de suspensión. +a masa del cuerpo. +a aceleración gravitatoria. &s la distancia ue separa al centro de gravedad del e*e de suspensión.
= I G + mh
2
&l momento de inercia con respecto de el centro de gravedad en función de el )*d#! d& +#)! , -: I G = mK G2 +uego la ecuación :1; puede e'presarse como T = 2π
k 2 + d 2 999 :2; gd
iendo k
&l radio del giro del cuerpo respecto al e*e ue pasa por centro de gravedad.
el
&sta ecuación e'presa el periodo del péndulo físico en términos de la geometría del cuerpo. &s decir" el periodo es independiente de la masa" dependiendo solo de la distribución de masa :=4;. +a ecuación (2), puede verificarse si tomamos los periodos de oscilación 7i correspondientes a u n con*unto de valores di y al llevarlo a un grafico 7 vs. d" se obtendr! una curva como la ue se indica en la figura 1. &sta curva tiene dos ramas ue corresponden a presionar al e*e de suspensión a un lado u otro del centro de gravedad del cuerpo. Como ambas ramas son idénticas" respecto al e*e de la vertical" en la pr!ctica basta con #acer observaciones a un lado del centro de gravedad de la varilla.
F#+. 3: An#"#" +)*/#! d& %éndu! !$%u&"(!
&n la grafica de la figura 1" podemos observar ue el valor mínimo del periodo 7" le corresponde una distancia d > ?" ue es el valor del radio de giro. /ero" este procedimiento para #allar ?" no resulta suficiente #ay ue tra%ar sobre una serie de valores e'perimentales no resulta muy apropiado" para lo cual se prefiere e'presar la ecuación :2;" de la siguiente manera.
dT 2 =
@π
2
d 2
g
+
@π
2
d 2
g
9…….. (3)
Aue es una ecuación de la forma y = ax +b :ecuación de la recta;" de modo ue si se grafica dT 2 vs. d 2" resultara una recta cuya pendiente ser! a = 4π 2 /g y la constante b = 4 π 2k 2 /g. con estas e'presiones se puede determinar los valores de la gravedad (g) y el radio de giro (k) IV. METODOLO-IA
Un péndulo e'perimental consiste en una varilla" #omogénea ue posee orificios euidistantes con relación al centro de masa" la ue suspendida sucesivamente con respecto a varios e*es en diferentes puntos a lo largo de su longitud" determin!ndose en cada posición el periodo correspondiente y la distancia del centro de masa al e*e de oscilación. i #acemos un diagrama periodo versus distancia del centro de masa al e*e de suspensión" la naturale%a del gr!fico muestra las propiedades físicas del péndulo compuesto. $e los valores del periodo y de la longitud correspondiente del péndulo simple euivalente determinado del gr!fico" se calcula la aceleración de la gravedad. $e la masa del péndulo y de su radio de giro obtenido de la gr!fica" se calcula el momento de
obre la mesa se apoyo sobre su base mayor su*eta el soporte de madera" con las morda%as simples
b.
obre la base menor del soporte de madera su*etamos la morda%a con cuc#illa
c.
Ubicamos el centro de gravedad 4 de la barra suspendida esta #ori%ontalmente en la cuc#illa. &l punto de apoyo de la barra en euilibrio #ori%ontal ser! el centro de gravedad de la barra
d.
uponiendo ue la barra verticalmente por el orificio mas cercano a uno de los e'tremos en el borde la cuc#illa" y lo #icieron oscilar separ!ndola ligeramente de su posición de euilibrio no mas de 16B.
e.
Con el cronómetro mida por tres veces el tiempo correspondiente de 16 oscilaciones completas y a partir del tiempo determine el periodo. egistramos las lecturas en la tabla <.
f.
e repitió los pasos para cada orificio euidistante del péndulo físico. egistramos los valores en la tabla <.
g.
e retiro la barra del soporte y con una regla se midió las distancias de todos los puntos de suspensión medidos con respecto a uno de los e'tremos de la barra" se repitió esta operación por 3 veces.
#.
Con la balan%a se determino la masa de la barra.
i.
e midió las dimensiones de la barra" se registró los valores en la tabla <. T** I. $atos para estudiar el /éndulo físico Nº 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 19 20 21
1 4.60 9.65 14.60 19.60 24.53 29.50 34.50 39.50 44.45 49.40 55.90 61.00 66.00 71.00 76.00 0.90 6.10 91.00 96.00 101.00 106.00
longitud d (cm) 2 3 d 4.65 4.63 4.627 9.63 9.64 9.640 14.61 14.5 14.597 19.50 19.55 19.550 24.50 24.51 24.513 29.4 29.51 29.497 34.49 34.51 34.500 39.51 39.52 39.510 44.46 44.50 44.470 49.50 49.51 49.470 55.90 55.91 55.903 61.02 61.05 61.023 66.05 66.0 66.043 71.02 71.04 71.020 76.05 76.10 76.050 0.91 0.92 0.910 6.15 6.05 6.100 91.02 91.05 91.023 96.04 96.02 96.020 101.03 100.02 100.63 106.01 106.00 106.003
+a masa de la barra +a longitud de la barra
m
=
1 24.95 24.26 23.96 23.4 23.42 23.99 24.62 26.57 29.77 36.60
Tiempo t (s) 2 3 24. 24.90 24.40 24.30 24.06 24.02 23.65 23.50 23.39 23.40 23.94 23.96 24.60 24.63 26.67 26.60 29.75 29.76 36.61 36.5
t 24.910 24.320 24.013 23.543 23.403 23.963 24.617 26.613 29.760 36.597
Periodo T(s) 1.66 1.62 1.60 1.57 1.56 1.60 1.64 1.77 1.9 2.44
36.55 29.75 26.55 24.60 23.9 23.40 23.45 23.95 24.25 24.90
36.60 29.7 26.57 24.65 23.25 23.41 23.50 23.9 24.40 24.92
36.50 29.763 26.553 24.623 23.730 23.403 23.490 23.943 24.353 24.923
2.44 1.9 1.77 1.64 1.5 1.56 1.57 1.60 1.62 1.66
36.59 29.76 26.54 24.62 23.96 23.40 23.52 23.90 24.41 24.95
[email protected] g .
L = 116.F.!m.
V. CUESTIONARIO
F.1.
Con los datos de la tabla < trace la grafica similar ala figura 3 de la guía de pr!ctica" colocando el periodo 7 en el e*e de ordenadas y la distancia d en el e*e de abscisas. 7race cualuier recta #ori%ontal G paralela al e*e de las abscisas para un periodo mayor ue el periodo mínimo. HAué representan los cuatro puntos de intersección con la recta con las curvasI +os cuatro puntos de intersección a la curva" representan al periodo ue es el mismo en los cuatro puntos dos de cada lado del centro de gravedad a estos puntos se llama (centro de oscilación) con respecto al e*e de suspensión
F.2.
Utili%ando la gr!fica obtenida en el paso anterior" determine 7 mediante la ordenada de la recta tra%ada y la longitud + del péndulo simple euivalente mediante el promedio de los valores 5 y 5G y utili%ando la ecuación :1; de la guía calcule la aceleración de la gravedad. $el gr!fico ue se muestra al final de todo el informe obtenemos los siguientes valores T
=
1.JF1. s"g
7ambién 5 > K1.@2 cm. G5G > K1.F6 cm. +uego
( S# + S # ) = K1.@J!m. = 6.K1@Jm. L = L
L
2
+uego utili%amos la ecuación :1; T =
⋅ ⋅
2 π
L g
$e donde tenemos
g g
3.
=
=
@
⋅
π
2
L
⋅
T 2 16.3@K
mMs2.
partir de la gr!fica 7 vs d determine el radio de giro =4. $e la grafica 7 vs. $" la gr!fica se encuentra al final del informe. &l radio de giro ser! K G = 6.3FKm
@.
Utili%ando el valor de la masa de la barra y el radio de giro obtenido" determine el momento de inercia" con respecto al e*e ue pasa por el centro de la gravedad < 4. utilice la ecuación :K; de la guía. Calculamos el momento de inercia para la barra. I G = mK G2 abemos m > 1.E@ED =g. = 4 > 6.3FK m. &ntonces I G = 6.2@E =g.m2.
F.
Utilice los e*es paralelos para determinar el momento de inercia
abemos ue I S
= I G + mh
2
N tenemos ue m > 1.E@ED =g. <4 > 6.2@DE =g.m 2. # > 6.F61 m. +uego con los datos y la formula encontramos ue I S = 6.K3D =g.m2
J.
HCon relación a ue línea son simétricas las curvasI HCual es el periodo cuando # > 6I Como observamos en el gr!fico 7 vs. d. +as curvas son simétricas respecto al e*e del centro de gravedad" en nuestra grafica #emos tra%ado una línea vertical ue pasa por el centro de gravedad de la masa de la barra. &l periodo cuando # > 6 &n la ecuación :E; de la guía de laboratorio.
T = 2π
K G2
+h
2
gh
= 2π
K G2 gh
+
h
i # > 6" entonces
T = ∞ &sto uiere decir" cuando # > 6 el e*e de suspensión se encuentra en el centro de gravedad y a#í el periodo del péndulo físico es m!'imo" tiende al infinito. K.
HCual es el valor del periodo mínimo con el cual el péndulo físico puede oscilarI HCu!l es la longitud del péndulo simple ue tiene el mismo periodoI eg0n la gr!fica se puede observar ue el periodo mínimo de oscilación del compuesto es T 2 1.40 "&+.
péndulo
/ara #allar la longitud del péndulo simple tenemos la siguiente ecuación LL
+uego D.
LL =
=
2 K G
6.K1F
$.
H/or ué se obtiene el me*or valor de la aceleración de la gravedad" cuando se utili%a un valor de # correspondiente al periodo mínimoI
Utili%ando la distancia del periodo mínimo se obtiene la me*or aceleración por la curva siempre pasa por el punto mínimo donde el error es m!s peueo respecto a los dem!s puntos. E.
Con los valores de la tabla < y utili%ando la ec. :E; trace un grafico colocando en el e*e de las ordenadas :#7 2; y en el e*e de las abscisas :# 2; y a partir de la grafica determine el valor de g y = 4. Compare los valores con los obtenidos en :F.1; N :F.3;. Use el a*uste por mínimos cuadrados. C*u! d& * )&(*: /ara los primeros 16 datos
*. n
5
Y# 2 5('
T
6# 25'
2J2E.2EK
[email protected] 1K6J.2@1 1321.FJF
6#'
1 2 3 @
F1.2KK @J.2J3 @1.36K 3J.3F3
1.JJ1 1.J21 1.J61 1.FK6
1@1.@11 121.J13 16F.DJ3 DE.FFK
JE13266.31E @FD6DJK.61F 2E112FK.3J@
[email protected]
3K1D12.KJ3 2J62DD.K@3 1D6J2K.6JK
[email protected]
F J K D E 16
31.3E6 2J.@6K 21.@63 1J.3E3 11.@33 J.@33 TOTAL
1.FJ6 1.FED 1.J@1 1.KK@ 1.ED@ 2.@@6
KJ.@12 EDF.332 EK6DKE.3@K JK.3EF JEK.312 @DJ2@@.6DK FK.J@@ @FD.163 26EDFD.6J3 F1.J6@ 2JD.K@1 K2221.E2D @F.66F 136.K21 1K6DD.66E 3D.2EF @1.3DD 1K12.E@D 789.788 1037.88 178084'.718
KF2E1.JFE @JEEF.112
[email protected] 13DJD.12D FDD3.6@2
[email protected] 1101113.370
Oediante las siguientes formulas #aremos el a*uste de las curvas.
Y = a + b X
∑ [h ] ⋅ ∑ [h ⋅ T ] − ∑ [( h ) ⋅ ( h ⋅ T )]∑ [h ] a= $ ⋅ ∑ [ h ] − ( ∑ [ h ]) 2
2
2
2
i
2
i
2
2
i
2
2
i
2
i
* 2 38.317 $. "'
b=
$
Y#6#
∑ ( h ⋅T ⋅ ( h − ∑ ( h ⋅ T ∑ h $ ⋅ ∑ [ h ] − ( ∑[ h ] ) 2
2
2
i
2
2
i
2
2 i
2
i
2 0.038 "';$.
+a ecuación de la recta a*ustada ser!
Y = !.1" + #.#! X Utili%ando la relación
b=
@π
2
g
7enemos ue + 2 10.'0' m s
2
/ara determinar el radio de giro se #ace uso de la siguiente formula
a
=
@π
2
K G
2
g
&ntonces K G
a g
=
@π
2
P K G = 31.DKJ cm. C*u! d& * )&(*: /ara los otros 16 datos
. n
5
T
Y# 2 5('
6# 25'
6#<'
1 2
F.126 16.1@6
2.@@ 1.ED
36.@@E 3E.E23
2J.21@ 162.D26
JDK.1EF 16FK1.DK6
KED.26J @
[email protected]
3 @ F J K D
1F.11K 26.1@K 2F.66K 36.1EK 3F.126 @6.11K
1.KK 1.J@ 1.FD 1.FJ 1.FK 1.J6
@K.3K1
[email protected] J2.FDF K3.F6D DJ.12K 162.21@
22D.F1@ @6F.DDD J2F.333 E11.D3E 1233.@1@ 1J6E.3@K
F221D.@K6 1J@
[email protected] [email protected] D31@@E.KK@ 1F21311.6D2 2FDEEEK.FDD
[email protected] 2263F.3E2 3E13J.3FF JK62K.623 16J22E.EJF 1J@@ED.22D
E 16
@@.KD6 F6.166 TOTAL
1.J2 1.JJ
11D.63K 13D.31@ KF2.D1K
266F.2@D @621621.1@J 2F16.616 J3661F6.266 EJFD.J2D
[email protected]
23JJE3.J33
[email protected] EEDF1E.6EK
Oediante las siguientes formulas #aremos el a*uste de las curvas.
Y = a + b X
∑ [h ] ⋅ ∑ [h ⋅ T ] − ∑ [( h ) ⋅ ( h ⋅ T )]∑ [h ] a= $ ⋅ ∑ [ h ] − ( ∑ [ h ]) 2 2
2
2
i
2
i
2
i
2 2
2
i
i
2
* 2 3.'7$. "' $ b=
Y#=6#
∑ ( h ⋅T ⋅ ( h − ∑ ( h ⋅ T ∑ h $ ⋅ ∑ [ h ] − ( ∑[ h ] ) 2
2
2
i
2
2
i
2
2 i
2
i
2 0.091 "';$.
+a ecuación de la recta a*ustada ser!
Y = $.2%" + #.#&1 X Utili%ando la relación
b=
@π
2
g
7enemos g > EF3.3EF c m s + 2 8.39 m s
2
2
/ara determinar el radio de giro se #ace uso de la siguiente formula
a
@π
=
2
K G
2
g
&ntonces K G
=
a g 2
@π
P K G = 2E.1E2 cm.
C'(P)*)CI, -E '/ *E/0),-'/ % a;
+ 4V&$$ :g; - &n la pregunta :2; se obtuvo g1 > 16.3@K mM s2 - &n la pregunta :E; se obtuvo una gravedad promedio g2 > E.DJD mM s 2
b; $<5 $& 4<5 := 4; - &n la pregunta :3; se obtuvo = 4 1 > 6.3FK m. - &n la pregunta :E; se obtuvo un radio de giro promedio de = 4 2 > 6.36F cm. 16.
$emuestre ue el periodo de un aro delgado colgado a una espiga" es el mismo ue el de un péndulo simple cuya longitud es igual al di!metro plicando momentos respecto al punto (5) en movimiento Q
+uego para !ngulos peueos
∑ & #
= I #α R
' − mg S"$θ = I #θ 2 S"$θ ≅ θ
N adem!s el momento de inercia con respecto a (5) es I #
= I G + md = 2
m'
2
@
+
m'
2
@
&S75SC& m' 2 2
θ
+
mg' 2
θ
=6
=
m' 2
2
/or lo tanto la ecuación diferencial y el periodo 7 son
θ
g
+
θ
'
T =
2π
=
6
' g
&ntonces se comprueba ue 2π
' g
= T = 2π
L g
s *"da d"ms-ad *" " "id d" $ a !gad "s iga a a d" $ 0$d sim".
VI. CONCLUSIONES:
e llegó a comprobó las leyes del péndulo compuesto.
e determinó e'perimentalmente el valor de la aceleración de la gravedad" igual ue en el péndulo simple.
e verifico la reversibilidad del péndulo compuesto ya ue el 4rafico S 61 es simétrico.
VII. BIBLIO-RAFIA
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8ísica 4eneral y &'perimental" Vol < &dit.
2. lonso 8inn
8ísica general.
3. alliday es?nic?
8ísica general :tomo <.;
5 X
# 1 /
5
X
# 2 = 4
/ W
