“Año del Centenario de Machu Picchu para el mundo”
FACULTAD DE INGENERÍA MECNICA !" La#oratorio de F$%ica II
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE PROFESOR:
Pachas Sa Salhuana, Jose Te Teodoro
INTE INTEGR GRAN ANTE TES: S: Ch Chap appa pa Fuen Fuente tes, s, Omar Omar Albe Alber roo A!chas Naupar, Renato "#uel SECCIONES:
$%&
Lima – Perú 5 de mayo del 2011
PRÓLOGO
Para entender movimientos complejos en el espacio, es necesario partir de lo elemental, hasta hacerlo “un movimiento casi perfecto”. Este es el caso del movimiento Armónico Simple, en el cual la energía se conserva hasta el infinito, es decir, nunca se transforma a otro tipo de energía que no haga que el sistema siga oscilando. Este movimiento elemental es algo irreal, como a mencionado !usca la perfección, el com"n de las personas ha visuali#ado movimientos que se acercan mucho a un $.A.S. pero no llegando a serlo, la fuer#a que m%s afecta al no cumplimiento de este movimiento es la gravedad. &n movimiento para ser llamado armónico simple, tiene que cumplir requisitos como' ∼ Ser periódico. ∼ $ovimiento en “vaiv(n”. ∼ )o presencia de fuer#as e*ternas. ∼ &na amplitud de oscilación no varia!le. Pero conoceremos m%s acerca de este movimiento conforme avancemos en la redacción an%lisis de este informe. +am!i(n conoceremos conceptos como' ∼ Amplitud. ∼ Periodo. ∼ recuencia -ineal. ∼ recuencia Angular $ediante las conclusiones recomendaciones, e*presaremos los resultados lo que nos deja esta e*periencia, adem%s de entender un poco m%s so!re este movimiento.
Índice
Objetivos
Representación esquemática 4
Fundamentación teórica 5
Hoja de datos 8 Cálculos !rá"cos # resultados $
Conclusiones # recomendaciones %4 &iblio!ra'(a %5
)p*ndice %+
4
onocer las condiciones para un movimiento armónico simple alcular la constante de fuer#a del resorte con el m(todo de los mínimos
cuadrados junto con los datos que se tomaran en este e*perimento /erificar las lees física que rigen el $.A.S.
0.1 So!re el soporte universal se coloca el resorte al cual le mediremos su masa longitud como datos iniciales con una regla milimetrada. 2.1 $edimos las 3 masas a emplear en la !alan#a para luego utili#arlas junto al resorte como un solo sistema. 4.1 on cada masa oscilando se mide el tiempo de 35 oscilaciones, con tres distintas amplitudes sin necesidad de tomar apuntes so!re las medidas de dichas amplitudes.
3.1 Al tener todos los datos en la ta!la 2 se calculan los dem%s par%metros como frecuencia el promedio de los 4 tiempos tomados lo consideramos el periodo, todo esto con las formulas del $.A.S.
Movimiento Armónico Simple
Es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica 6seno o coseno7 !ajo la acción de una fuer#a recuperadora el%stica, proporcional al despla#amiento en ausencia de todo ro#amiento. En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuer#a ejercida so!re la partícula es directamente proporcional a su elongación
Aplicando la segunda le de )e8ton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial'
-a solución de la ecuación diferencial puede escri!irse en la forma
9onde' ' es la elongación de la partícula. ' es la amplitud del movimiento 6elongación m%*ima7. ' es la frecuencia angular ' es el tiempo. ' es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vi!ración 6o fase7 en el instante t : 5 de la partícula que oscila.
[PRIMER LABORATORIO E !ISICA II"
,-./F.0
Adem%s, la frecuencia 6ƒ7 de oscilación puede escri!irse como'
; por lo tanto el periodo 6+7 como'
-a velocidad se o!tiene derivando la ecuación de la posición o!tenida en el apartado anterior respecto al tiempo'
+am!i(n la velocidad se e*presa así'
v =√ A − X 2
+
2
[PRIMER LABORATORIO E !ISICA II"
,-./F.0
-a aceleración es la variación de la velocidad respecto al tiempo se o!tiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo'
-as fuer#as involucradas en un movimiento armónico simple son fuer#as conservativas centrales. Por tanto, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial 6E p7 asociado a la fuer#a, de tal manera que su suma con la energía cin(tica 6E c 7 permane#ca invaria!le a lo largo del despla#amiento'
Esta "ltima magnitud E m reci!e el nom!re de energía mec%nica. Para hallar la e*presión de la energía potencial, !asta con integrar la e*presión de la fuer#a 6esto es e*tensi!le a todas las fuer#as conservativas7 cam!iarla de signo, o!teni(ndose'
-a energía potencial, como la fuer#a, alcan#a su m%*imo en los e*tremos de la traectoria 6cuando hace parar a la partícula reiniciar la marcha en sentido contrario7 , tam!i(n como la fuer#a, tiene valor nulo 6cero7 en el punto x : 5, es decir el punto central del movimiento.
1
[PRIMER LABORATORIO E !ISICA II"
,-./F.0
inalmente, al ser la energía mec%nica constante, puede calcularse f%cilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula por lo tanto la energía potencial es m%*ima, es decir, en los puntos x : < A x : A. Se o!tiene entonces que,
-a ecuación mostrada nos muestra lo constante de su energía, adem%s se tiene la siguiente grafica'
8
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,-./F.0
Resorte:
-5 : =0,0 cm mr : =2,= g
Oscilaciones:
$
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,-./F.0
0.1 9etermine la constante del resorte > promediando los resultados del paso 2. 9e la +a!la )?0'
Estos datos se ajustan por mínimos cuadr%ticos, de la cual se o!tiene la siguiente relación' ;:A*@ 9onde' A:> 6constante el%stica del resorte7 n
n
n
∑ t =an + b ∑ l + c ∑ l i
i
i=1
i= 1
n
2
i
i=1
n
n
n
∑ t i=a ∑ li + b ∑ li +c ∑ l i 2
i= 1
i= 1
n
n
∑ t =a ∑ l i
i=1
i= 1
i=1
n 2
i
3
n
+ b ∑ l i + c ∑ li 3
i=1
i =1
4
i =1
>: =3.B0= )Cm
%2
[PRIMER LABORATORIO E !ISICA II"
,-./F.0
2.1 9etermine la frecuencia promedio con cada una de las masas compare' 2
2 2
f 0 Cf con m2Cm0
(
1.645
(
1.353
(
1.353
(
1.645
(
1.645
(
1.175
1.353
)
=1.478
D
)
=1.667
D
)
=1.326
D
)
=2.464
D
)
=1.96
)
=1.257
2
749.75 502
=1.483
Error : 5.44F 2
2 3
f 2 Cf con m3Cm2
1.048
2
1248.5 749.75
=1.665
Error : 5.00B 2
2 4
f 2 Cf con m4Cm2
1.175
2
998.5 749.75
=1.331
Error : 5.4FG 2
2 3
f 0 Cf con m3Cm0
1.048
2
1248.5 502
=2.487
Error : 5.B2= 2
2 4
f 0 Cf con m4Cm0
1.175
2
D
998.5 502
=1.978
Error : 5.B0 2
2 3
f 4 Cf con m3Cm4
1.048
2
D
1248.5 998.5
=1.251
Error : 5.3FF
9e la ecuación'
ω=
√
k m
2 πf =
2
f . m =
√
k m k 2
4 π
: cte
-os resultados de!erían ser iguales, pero solo se apro*ima de!ido al margen de error de la!oratorio.
%%
[PRIMER LABORATORIO E !ISICA II"
,-./F.0
4.1 Adicionando a cada masa un tercio de la masa del resorte vuelva a comparar las ra#ones de la ecuación6F7 /er ap(ndice. H+iene alg"n comentarioI 2
0
C
2
2
con 6m2 @ mresorte C47 C6m0 @ mresorteC47
↓
↓
0,3FJ 0,3FG Porcentaje de error : 5,04=
2
2
C
2
4
con 6m4 @ mresorteC47 C6m2 @ mresorteC47
↓
↓
0,42= 0,423 Porcentaje de error : 5,5F=
2
0
C
2
4
con 6m4 @ mresorteC47 C6m0 @ mresorteC47
↓
↓
0,BG5 0,B== Porcentaje de error : 5,2==
2
2
C
2
3
con 6m3 @ mresorteC47 C6m2 @ mresorteC47
↓
↓
0,GGG 0,G=5 Porcentaje de error : 5.BG54
2
0
C
2
3
con 6m3 @ mresorteC47 C6m0 @ mresorteC47
↓
↓
2,3G4 2,34G Porcentaje de error : 0,5BG 2
4
C
2
3
con 6m3 @ mresorteC47 C6m4 @ mresorteC47
↓
↓
0,2=F 0,23G Porcentaje de error : 5,JF=
uando se quiere hallar la frecuencia natural de un sistema amortiguado se considera la masa del resorte se le aumenta la tercera de dicha masa a la masa del !loque para poder lograrlo, de allí la relación con esta pregunta.
%3
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,-./F.0
3.1 alcule la frecuencia para cada masa utili#ando la ecuación G, compare el resultado con las frecuencias o!tenidas con la ecuación 6G7./er ap(ndice.
f =
√
K 2 π m 1
Keconocemos que esta fórmula es teórica la compararemos con la hallada en el la!oratorio'
∼ Para m0' ƒ6+eórico7 : 0,GG3
ƒ 6e*perimental7 : 0,G3=
Porcentaje de error : 0,030
∼ Para m2 ƒ 6+eórico7 : 0,4G2
ƒ 6e*perimental7 : 0,4=4
Porcentaje de error : 5,GG5
∼ Para m4 ƒ 6+eórico7 : 0,0J5
ƒ 6e*perimental7 : 0,0F=
Porcentaje de error : 5,324
∼ Para m3 ƒ 6+eórico7 : 0,5==
ƒ 6e*perimental7 : 0,53J
Porcentaje de error : 5,GG4
=.1Hómo reconocería si el movimiento de una masa que oscila, cumple un movimiento armónicoI ;a sea un movimiento Armónico Simple, Armónico Amortiguado o Armónico or#ado. El movimiento armónico en general cumple ser periódica, oscilatorio su despla#amiento que varia con el tiempo es e*presado mediante funciones seno ó coseno. Si es armónico simpe su amplitud se mantiene constante, de lo contrario es amortiguadoL pero si interviene una fuer#a e*terna que quiere hacer que su amplitud sea constante ser% un amortiguado for#ado.
%
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,-./F.0
G.1HMu( tan pró*imo es el movimiento estudiado aquí, a un movimiento armónico simpleI. Es mu pró*imo a que tam!i(n hemos usado las ecuaciones que rigen su movimiento. A simpe vista no notamos la diferencia pero si dejamos que la masa siga oscilando notaremos que poco a poco disminue su amplitud hasta detenerse, eso hace m%s notorio que es un $.A. Amortiguado.
F.1 Naga una grafica de la masa vs. Periodo cuadrado. &tilice los resultados del paso 2. 9el grafico anterior determine la masa del resorte utili#ado la constante del resorte.
2
2
+:
4 π
k
2
( W + m ) 0
4 π
k
= 0.7255
>:=3.32= )Cm ʌ
m5 : 5.53F>g : 3Fg
%4
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,-./F.0
O!servamos que este movimiento se asemeja!a mucho a un $ovimiento Armónico Simple, pero anali#ando notamos que ha factores que influen en su movimiento tales como la gravedad el ro#amiento del aire.
+am!i(n notamos la influencia del soporte universal, en su “esta!ilidad”, en nuestras mediciones es para tomar en cuenta.
Nemos anali#ado las frecuencias o!tenidas teóricamente e*perimentalmente o!teniendo un error que no pasa del 2
Al encontrar el valor de la constante de la fuer#a del resorte nos damos cuenta que tiene un mínimo margen de error de!ido a que aplicamos el m(todo de los mínimos cuadrados
-a frecuencia ni el periodo dependen de la amplitud
Pudimos o!servar el comportamiento de la velocidad, la dirección de la aceleración en cuento su posición varia!a con el tiempo.
Aumentar el n"mero de oscilaciones alas cuales medir%s el tiempo har% m%s precisa tu medición.
Para hacer tam!i(n m%s preciso el promedio de tiempos medidos, se de!e aumentar igualmente la cantidad de tiempos medidos.
Se compro!ó que para hallar constantes, es as preciso reali#ar un ajuste de mínimos cuadrados pues su incertidum!re es menor.
%5
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Ser8a ísica para las ciencias la ingeniería
-eva. ísica QQ
Sears Remans1 ísica &niversitaria
+ipler1 ísica &niversitaria
,-./F.0
Alonso in1 ísica
http'CC888.uv.esCdia#CmnCnode=.html
http'CC888.sc.ehu.esCs!8e!CfisicaCoscilacionesCmasCmas.htm
http'CCes.8iipedia.orgC8iiC$ovimientoTarm 44nicoTsimpleUEnerg.4.A9aTdelTmovimientoTarm.4.4nicoTs imple
http'CCteleformacion.edu.atolacoruna.esCQSQACdocumentCfisicaQnteracti vaCmasCcinematicaCcaracteristicas.htm
%+
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,-./F.0
uando so!re una masa act"a una fuer#a el%stica' : 1* V607 +enemos como ecuación diferencial del movimiento' d 2*Cdt2 @ Cm * : 5 V627 cua solución general es' *: A cos6 Wt @ X 7 V647 donde' W:
√ k / m V637
+am!i(n se puede escri!ir' Y : 2Zf V6=7 Siendo f la frecuencia W la frecuencia angular o natural Kelacionando las ecuaciones 6=7,637 607 se o!tiene' : 60C2Z7
√ k / m V6G7
+eniendo en cuenta que C* es constante deducimos que la frecuencia depende de la masa “m”, para dos masas suspendidas, por separado, del mismo resorte se o!tiene' 6 f 0 Cf 272 : m2Cm0V6F7
%1
[PRIMER LABORATORIO E !ISICA II"
,-./F.0
En el tra!ajo de la!oratorio esta ecuación requiere de una corrección incrementando al valor de las masas, un tercio de la masa del resorte.
%8
