REF L EXI EX I ÓN
REFL EXI ÓN ESPECULA ESPECULA R
REF L EXI ÓN D I F USA USA
REF L EXI EX I ÓN
NORMAL
RAYO INSIDENTE
RAYO REFLEJADO
’
=
’
REF L EXI EX I ÓN
NORMAL
RAYO INSIDENTE
RAYO REFLEJADO
’
=
’
Ejemplo:
N 2
C
N 1
A
B 25°
120 °
REF RACCI ÓN NORMAL
RAYO INSIDENTE
RAYO REFLEJADO
θ 1 θ 1 ’ AIRE
v 1
VIDRIO
v 2
θ 2 RAYO REFRACTADO
REF RACCI ÓN Si un rayo de luz que viaja a través de un medio transparente encuentra una frontera que lleva a otro medio transparente, parte del rayo se refleja y parte entra en el segundo medio. La parte que entra en el segundo medio se dobla en la frontera y se dice que se refracta . El ángulo de refracción , θ 2, depende de las propiedades de los dos medios y del ángulo de incidencia a través de la relación
senθ 2 senθ1
=
v2 v1
= cte
Donde v 1 es la rapidez de la luz en el medio 1 y v 2 es la rapidez de la luz en el medio 2.
REF RACCI ÓN NORMAL
NORMAL
v 1 v 1
θ 1
θ 1
AIRE
VIDRIO
v < v 2 1
VIDRIO
v > v 2 1
AIRE
θ 2 θ 2
I NDI CE DE REFRACCI ÓN En general la rapidez de la luz en cualquier material es menor que su rapidez en el vacío, en donde viaja a su máxima rapidez. El índice de refracción n se define como la relación
n≡
Rapidez de la luz en el vacío Rapidez de la luz en el medio
=
c v
El índice de refracción es número adimensional mayor que la unidad, además n es igual a la unidad en el vacío Sustancia
Índice de refracción
Sólidos a 20°C Circona cúbica Diamante (C) Fluorita (CaF2) Vidrio de cuarzo (SiO2) Fosfuro de galio Vidrio, óptico Cristal Hielo (H2O) Poliestireno Cloruro de sodio (NaCl)
Sustancia
Índice de refracción
Líquidos a 20°C 2.20 2.419 1.434 1.458 3.50 1.52 1.66 1.309 1.49 1.544
Benceno Disulfuro de carbono Tetracloruro de carbono Alcohol etílico Glicerina Agua
1.501 1.628 1.461 1.361 1.473 1.333
Gases a 0°C, 1 atm Aire Dióxido de carbono
1.000293 1.00045
I NDI CE DE REFRACCI ÓN A medida que la luz viaja de un medio a otro, su frecuencia no cambia pero su longitud de onda si.
v = f λ v1
= f λ1 v1
=
= f 2 = f
y
v2
≠ v2 λ1
n1
f 1
λ1
v 1 v 2
c
= f λ2
≠ λ2
λ2
n2
v1
1
2
=
c v2
I NDI CE DE REFRACCI ÓN Se obtiene una relación entre el índice de refracción y la longitud de onda al relacionar las ecuaciones anteriores
λ1 λ2 De la cual se obtiene
=
v1 v2
c
=
c
λ1 n1
n1 n2
=
n2 n1
= λ 2 n2
Expresando la ecuación en términos de los ángulos de viaje de los rayos, se tiene
Ley de Snell
n1 senα
= n2 senβ
Ejemplo: Un haz de luz de 500 nm de longitud de onda que viaja en el aire incide sobre una placa de material transparente. El haz incidente forma un ángulo de 40.0° con la normal, y el haz refractado forma un ángulo de 26.0° con la normal. Determine el índice de refracción del material. Usando n = 1.00 para el aire se obtiene
n1 senθ1 = n2 senθ 2 n2
=
n1 senθ1
sen 40.0°
= (1.00)
sen 26.0°
senθ 2
=
0.643 0.438
Cuál es la longitud de onda de la luz en el material?
λ1 n1 λ2
=
= λ2 n 2
500 mn × 1.00 1,47
= 374 nm
= 1.47
Ejemplo: Un rayo luminoso de 589 nm de longitud de onda que viaja a través del aire incide sobre una placa plana y lisa de vidrio óptico a un ángulo de 30.0° con la normal. Determine el ángulo de refracción.
senθ 2
=
n1 n2
senθ1
1.00 = ( sen 30.0°) = 0.329 1.52
θ 2 = sen −1 (0.329) = 19.2°
Ejemplo: Un láser en un reproductor de discos compactos genera una luz que tiene una longitud de onda de 780 nm en aire. a. Encuentre la rapidez de esta luz una vez que entra en el plástico de un disco compacto (n = 1.55)
v=
c n
=
3.00 × 10 8 m s 1.55
= 1.94 × 108 m s
b. Cuál es la longitud de onda de esta luz en el plástico?
λ2
=
λ1 n1 n2
=
780 nm × 1 1.55
= 503 nm
c. Encuentre la frecuencia de la luz en el aire y en el plástico
f =
v λ
=
3.00 × 108 m s 780 nm × 1 m 1.0 × 10 9 nm
=
1.94 × 10 8 m s 503 nm × 1 m 1.0 × 10 9 nm
= 3.85 × 1014 Hz
DI SPERSI ÓN Y PRI SM AS Para un material determinado, el índice de refracción varía con la longitud de onda de la luz que pasa a través del material, dicho comportamiento se llama dispersión . Puesto que n es función de la longitud de onda, la ley de Sneell indica que la luz de diferentes longitudes de onda se desvía a diferentes ángulos cuando incide sobre un material refractante.
n 1.54
Vidrio óptico
1.52 1.50
Acrílico
1.48 Vidrio de cuarzo
1.46
400
500 600 λ, nm
700
corresponde al ángulo de desviación.
DI SPERSI ÓN Y PRI SM AS Si un haz de luz blanca incide sobre un prisma, los rayos que emergen se dispersan en una serie de colores conocida como espectro visible . Haz de luz blanca
Rojo
Rojo naranja, amarillo, verde, azul, índigo y violeta. El ángulo de desviación depende de su longitud de onda, la luz violeta se desvía más, mientras que la roja se desvía menos, los otros colores están en medio de estos.
λ1 λ2
=
v1 v2
Prisma Violeta
=
sen θ1 sen θ 2
=
n2 n1
REF L EXI ÓN TOTAL I NTERNA Normal n 2 < n 1
1
2
θ2 n 1 n 2
Normal 3
n 2 < n 1
4
θ1
5
La reflexión total interna se presenta cuando la luz se intenta mover de un medio con índice de refracción grande hacia un medio con índice de refracción pequeño.
n 1 n 2
θc
Para algún ángulo de incidencia θc llamado ángulo crítico, el rayo de luz refractado se mueve paralelo a la frontera, así que θ2 = 90°. Para ángulos de incidencia mayores que θc , el rayo se refleja en la frontera.
REF L EXI ÓN TOTAL I NTERNA n1 sen θ c
sen θ c
=
= n2 sen 90° = n2 n2 n1
( para n1
> n2 )
Módelo matemático de una onda y = Asen(wt + φ )
y = Asen(2πυt + φ )
w = 2πυ Velocidad angular
frecuencia
campo eléctrico
amplitud
ángulo de fase
Principio de superposición :
y = A1 sen(2πυ1t + φ1 ) + A2 sen(2πυ2t + φ2 ) + L L
Interferencia constructiva
•
Igual ν
•
Diferencia en A
•
Diferencia < en φ
+ An sen(2πυnt + φn )
Interferencia destructiva
•
Igual ν
•
Diferencia en A
•
Diferencia > en φ
EXPERIM ENTO DE LA DOBLE RENDI JA DE YOUNG
s1 s2
EXPERIM ENTO DE LA DOBLE RENDI JA DE YOUNG
En S1 y S2, las ondas salen en fase y llegan a P en fase, se da una interferencia constructiva , por lo tanto una fr anja bril lante.
En S1 y S2, las ondas salen en fase y llegan a Q en fase, sin embargo, la onda superior se desplaza una longitud de onda mayor que la primera, se da una
in terf erencia constru ctiva , por lo tanto una franja brillante.
En S1 y S2, las ondas salen en fase y llegan a R fuera de fase, la onda superior se desplaza media longitud de onda más que la primera, se da una interferencia destructiva , por lo tanto una fr anja oscura.
CUANTI F I CACI ÓN DEL EXPERI M ENTO DE L A DOBLE RENDI JA DE YOUNG
L es la longitud a la cual se encuentra la pantalla, S1 y S2 están separadas por una distancia d y la fuente es monocromática. Para alcanzar cualquier punto arbitrario P , una onda desde la rendija inferior viaja una distancia d sen θ mayor que una onda de la rendija inferior. = r 2 - r 1. Esta distancia se llama diferencia de trayectoria . Si
es cero o algún múltiplo entero de la longitud de onda, las dos ondas están en fase en P y se produce interferencia constructiva, = d sen θ = mλ (1) m = 0, ± 1, ± 2,...
CUANTI F I CACI ÓN DEL EXPERI M ENTO DE L A DOBLE RENDI JA DE YOUNG Si es un múltiplo impar de λ/2, las dos ondas llegan al punto P estan 180° fuera de fase y dan origen a interferencia destructiva, generando un punto oscuro, la condición para franjas oscuras en el punto P es = d sen θ = (m+1/2)λ (2) m = 0, ± 1, ± 2,... El número m recibe el nombre de número de orden. La franja brillante central en θ = 0 (m = 0) recibe el nombre de máximo de orden cero. Si se supone que las líneas r 1 y r 2 son paralelas y se quiere determinar la posición de franjas brillantes y franjas oscuras medidas verticalmente de O a P , además se debe suponer que L >> d , y que d >> λ. En tales condiciones θ es pequeño por lo que se puede emplear la aproximación sen θ = tan θ en consecuencia en el triangulo OPQ se ve que
(3)
y =L tan θ = L sen θ Resolviendo las ecuaciones (1) y (3) tenemos
y briyante
=
λ L d
m
Resolviendo las ecuaciones (2) y (3) tenemos
y oscura
=
λ L 1 m + d 2
Ejemplo: Una pantalla de observación está a una distancia de 1.2 m de una fuente de doble rendija. La distancia entre las dos rendijas es 0.030 mm. La franja brillante de segundo orden (m = 2) está a 4.5 cm de la línea central. a. Determine la longitud de onda de la luz.
λ
=
dy 2 mL
=
(3.0 × 10 −5 m) (4.5 × 10 −2 m) 2 × 1.2m
= 5.6 × 10 −7 m = 560 nm
b. Calcule la distancia entre las franjas brillantes adyacentes
ym +1 − ym
=
=
λ L( m + 1) d
−
(5.6 × 10 −7 m) (1.2m) 3.0 × 10−5 m
λ Lm d
=
λ L d
= 2.2 ×10 − 2 m = 2.2 cm
Ejemplo: Una fuente luminosa emite luz visible de dos longitudes de onda: λ = 430 nm y λ’ = 510 nm. La fuente se emplea en un experimento de interferencia de doble rendija en el cual L = 1.5 m y d = 0.025 mm. Encuentre la separación entre las franjas brillantes de tercer orden.
y 3
y 3'
= =
λ L d ' λ L
d
m=3
λ L
m=3
d ' λ L
d
= 7.74 × 10 −2 m = 9.18 × 10 −2 m
La separación entre las dos franjas es
∆ y = y 3' − y 3 = 9.18 × 10 −2 m − 7.74 × 10 −2 m = 1.4 × 10 −2 m = 1.4 cm
CAM BI O DE F ASE DEBI DO A LA REF LEX I ÓN Una onda electromagnética experimenta un cambio de fase de 180° en la reflexión de un medio que tiene mayor índice de refracción que en el medio en el cual la onda está viajando.
I NTERF ERENCI A EN PEL ÍCUL AS DEL GADAS Capas de aceite en agua, burbujas de jabón. Los diversos colores que se observan cundo incide la luz blanca sobre estas películas son el resultado de la interferencia de ondas reflejadas en las dos superficies de la película. Considere una película de espesor t e índice de refracción n . Suponga que los rayos luminosos que viajan en el aire son casi normales a las dos superficies de la película. Observe. - Una onda que viaja de un medio de índice de refracción n 1 hacia un medio de índice de refracción n 2 experimenta un cambio de fase de 180° en la reflexión cuando n 2 > n 1 , y no experimenta cambio de fase en la onda reflejada si n 2 < n 1 . - la longitud de onda de la luz λn en un medio cuyo índice de refracción es n es
λn
=
λ n
λ longitud de onda en el espacio libre
I NTERF ERENCI A EN PEL ÍCUL AS DEL GADAS En la figura anterior, donde n pelicula > n aire. El rayo 1 que se refleja en la superficie superior (A), experimenta un cambio de fase de 180° respecto de la onda incidente, y el rayo 2, el cual se refleja en la superficie inferior (B), no experimenta cambio de fase debido a que se refleja de un medio con menor índice de refracción (aire), por tanto el rayo 1 está 180° fuera de fase en relación con el rayo 2, lo cual es eqquivalente a una diferencia de trayectoria de λn/2. Si embargo, se debe considerar que el rayo 2 viaja una distancia adicional 2t antes de que las ondas se recombinen en el aire de la superficie A. Si 2t = λn/2, los rayos 1 y 2 se recombinan en fase, interferencia constructiva .
2t = (m + ½) λ n
m = 0, 1, 2,… como λ n = λ /n,
2nt = (m + ½) λ
entonces:
m = 0, 1, 2,…
Si la distancia adicional 2t recorrida por el rayo 2 corresponde a un múltiplo de λ n , las dos ondas se combinan fuera de fase y el resultado es interferencia destructiva. La ecuación general para la interferencia destructiva es:
2nt = m λ
m = 0, 1, 2,…
Ejemplo: Calcule el espesor mínimo de la película de una burbuja de jabón ( n = 1.33) que origina interferencia constructiva en la luz reflejada si la película se ilumina con luz cuya longitud de onda en el espacio libre es λ = 600 nm.
2nt = (m + ½) λ
m = 0, 1, 2,…
El espesor mínimo de la película para interferencia constructiva en la luz reflejada corresponde a m = 0, de la ecuación anterior 2nt = λ /2 , despejando t se tiene
t =
λ 4n
=
600 nm 4 × 1.33
= 113 nm
Qué otro espesor de película produce interferencia constructiva? Respuesta: 338 nm, 564 nm, 789 nm, y así sucesivamente.
DI F RACCI ÓN La difracción ocurre cuando las ondas pasan por pequeñas aberturas, alrededor de un obstáculo o por bordes afilados. Si se coloca un objeto opaco entre una fuente puntual y una pantalla, no existen fronteras definidas en la pantalla entre la región sombreada y una región iluminada. La región iluminada arriba de la sombra del objeto contiene franjas de luz brillantes y oscuras alternándose. A este despliegue se le conoce como patrón de difracción .
DI F RACCI ÓN D E F RAUNH OF ER Esta ocurre cuando los rayos que pasan a través de una rendija angosta son casi paralelos entre sí. Esto puede lograrse si se coloca una pantalla lejos de la abertura usada para crear la difracción, o usando un lente convergente para enfocar los rayos una vez que éstos han atravesado la abertura. Se observan franjas alternantes oscuras y brillantes a cualquier lado de la franja brillante central.
DI F RACCI ÓN DE RENDI JAS ESTRECHAS Si tomamos el ancho de la rendija como finito se puede deducir algunos rasgos de la difracción si se examinan ondas provenientes de diversas partes de la rendija.
cada parte de la rendija actúa como una fuente de ondas luminosas. Por tanto, Según el principio de Huygens,
la luz de una parte de la rendija puede interferir con la luz de otra parte, y la intensidad de la luz resultante en una pantalla depende de la dirección θ .
Si se divide la rendija en dos mitades, y se tiene en cuenta que todas las ondas están en fase cuando dejan la rendija, considere los rayos 1 y 3.
DI F RACCI ÓN DE RENDI JAS ESTRECHAS
Los rayos 1 y 3 viajan hacia la pantalla de observación lejos, el rayo 1 viaja más lejos que el rayo 3 por una cantidad igual a la diferencia de trayectoria (a/2) sen θ , donde a es el ancho de la rejilla. Si la diferencia de trayectoria es exactamente la mitad de una longitud de onda (180°), entonces las dos ondas se cancelan y se produce una interferencia destructiva; esto es cierto, para dos rayos que se originan en puntos separados por la mitad del ancho de la rendija, pues la diferencia de fase entre dos de dichos puntos es 180°.
DI F RACCI ÓN DE RENDI JAS ESTRECHAS Las ondas provenientes de la mitad superior de la rendija interfieren destructivamente con las ondas provenientes de la mitad inferior de la rendija cuando
a
senθ 2
=
λ 2
o cuando
senθ
=
λ a
Si se divide la rendija en cuatro partes iguales, la pantalla también está oscura cuando
senθ La condición general para interferencia destructiva es
senθ
=m
λ a
=
2λ a
Si se divide la rendija en seis partes iguales, la pantalla también está oscura cuando
m = ±1,
± 2, ± 3,...
senθ
=
3λ a
DI F RACCI ÓN DE RENDI JAS ESTRECHAS
senθ
=m
λ a
m = ±1,
± 2, ± 3,...
Esta ecuación determina la presencia de franjas oscuras , pero no indica nada a cerca de la variación de intensidad luminosa a lo largo de la pantalla como se puede ver en la figura en donde se observa una franja ancha brillante central, rodeada por otras franjas brillantes mucho más débiles que se alternan con franjas oscuras. La franja brillante central es el doble de ancha que las otras franjas brillantes.
Ejemplo: donde están las franjas oscuras? Luz de 580 nm de longitud de onda incide sobre una rendija de 0.300 mm de ancho. La pantalla de observación está a 2.00 m de la rendija. Encuentre las posiciones de las primeras franjas oscuras y el ancho de la franja brillante central.
Las dos franjas oscuras que están a los lados de la franja brillante central corresponden a m = ± 1 por lo tanto se encuentra que
senθ
λ
5.80 × 10 −7 m
a
0.300 × 10 −3 m
=± =±
= ±1.93 × 10 −3
Según el triangulo de la figura anterior, θ = y /L 1 , como θ es muy pequeña se /L puede usar la aproximación sen θ >> tan θ de manera que sen θ >> y 1 . por lo que las posiciones de los primeros mínimos desde el eje central están dados por
y1
λ
≈ L senθ = L = ±3.87 × 10 −3 m a
El ancho de la banda brillante central será 7.74 mm.
Es un dispositivo que se usa para analizar fuentes luminosas, se compone de un gran número de rendijas paralelas igualmente espaciadas. Se puede hacer cortando líneas paralelas sobre una placa de vidrio. Los espacios entre las líneas son transparentes a la luz y, en consecuencia actúan como rendijas individuales. Pueden haber rejillas de reflexión o rejillas de transmisión. Las rejillas que tienen muchas líneas demasiado juntas pueden tener espaciamientos de rendija muy pequeños. Una rendija rallada con 5000 líneas/cm tiene un espaciamiento de rendija d = (1/5000) cm = 2.00 x 10 -4 cm.
REJI L L A DE DI F RACCI ÓN
Una onda plana incide normal al plano de la rendija; un lente convergente junta los rayos en el punto P . El patrón observado sobre la pantalla es el resultado de los efectos combinados de interferencia y difracción. Las ondas de todas las rendijas están en fase cuando dejan las rendijas. Para direcciones arbitrarias θ medida desde la horizontal, las ondas deben recorrer diferentes longitudes antes de llegar al punto P . la diferencia de trayectoria entre rayos de dos rendijas adyacentes es igual a d sen θ . si la diferencia de trayectoria es igual a una longitud de onda, o algún múltiplo entero de una longitud de onda, entonces todas las ondas provenientes de todas las rendijas están en fase en el punto P y se observa una franja brillante.
REJI L L A DE DI F RACCI ÓN
La condición para máximos en el patrón de interferencia en el ángulo θ es d senθ
= mλ
m = 0, 1, 2, 3,...
d senθ
= mλ
m = 0, 1, 2, 3,...
Esta expresión se puede emplear para calcular la longitud de onda a partir del conocimiento del espaciamiento de la rejilla y del ángulo θ . Si la radiación incidente tiene varia longitudes de onda, el máximo de orden m-ésimo para cada longitud de onda ocurre a un ángulo específico. Todas las longitudes de onda se ven en θ = 0 , lo que corresponde a
m = 0. El máximo de primer orden ( m = 1 ) se observa en un ángulo que satisface la relación θ = λ / d ; los otros se ven a ángulos más grandes.
REJI L L A DE DI F RACCI ÓN
Ejemplo: Luz monocromática de un láser de helio-neón ( λ = 632.8 nm) incide en dirección normal sobre una rejilla de difracción que contiene 6000 líneas por centímetro. Encuentre los ángulos a los cuales puede observarse los máximos de primero, segundo y tercer orden. Calculando la separación de rendija se tiene
d =
1 6000
cm
= 1.667 × 10 −4 cm = 1667 nm
Para el máximo de primer orden ( m = 1 ) obtenemos
senθ 1
=
λ d
=
632.8 nm 1667 nm
= 0.3796
θ1
= 22.31o
Para el máximo de segundo orden ( m = 2 ) obtenemos
senθ 2
=
2λ d
=
2(632.8 nm) 1667 nm
= 0.7592
θ2
= 49.39o
POTENCI A DE RESOLUCI ÓN DE L A REJI L L A DE DI F RACCI ÓN La rejilla de difracción se puede emplear para dispersar un espectro en sus componentes de longitud de onda. Si λ 1 y λ 2 son dos longitudes de onda casi iguales, de modo que una rejilla de difracción apenas pueda distinguirlas, la potencia de resolución R de la rejilla se define como
R
=
λ λ2
− λ1
=
λ
∆λ
λ 1 Donde λ =(λ 1 + λ 2)/2 y ∆λ = λ 2 – Si N líneas de la rendija se iluminan, puede demostrarse que la potencia de resolución en la difracción de orden m -ésimo es
R = Nm La potencia de resolución aumenta con el número de orden y con el número creciente de rendijas iluminadas.
Ejemplo: Dos componentes intensos en el espectro atómico del sodio tienen longitudes de onda de 589.00 nm y 589.59 nm. a. Cuál debe ser la potencia de resolución de une rejilla para distinguir dichas longitudes de onda ?
R =
λ
∆λ
=
(589.00 nm + 589.59 nm ) / 2 589.59 nm - 589.00 nm
= 999
b. Para resolver estas líneas en el espectro de segundo orden, cuántas líneas de la rejilla deben iluminarse?
N =
R m
=
999 2
= 500
líneas
