IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

INSTITUTO NACIONAL JOSE MIGUEL CARRERA

GUIA DE MATEMATICA ELECTIVO Parte II Profesora: Patricia Cuello

2010

IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 1.- Demostrar la identidad: cos 2 x = (sec x + tgx ) 2 2 (1 − senx) Solución: Desarrollando el lado derecho se tiene (sec x + tgx) 2 = sec2 x + 2sec xtgx + tg 2 x 1 2 senx sen 2 x + + cos 2 x cos2 x cos2 x (1 + senx) 2 amplificando la expresión = cos 2 x (1 + senx )2 (1 − senx )2 = ⋅ cos 2 x (1 − senx)2 (1 − sen 2 x )2 cos2 x = = (lado izquierdo) cos 2 x(1 − senx )2 (1 − senx)2

=

2.- Demostrar que:

tg (π + x) tg ( x − π ) + = 2cosecx sec(2π + x) − 1 sec( x − 2π ) + 1

Solución: Utilizando propiedades tg (π + x) = tgx tg (π − x) = −tg (π − x) = tgx 1 sec(2π + x) = = sec( x − 2π ) cos x La expresión queda: tgx tgx 2tgx cos x + = = 2cosecx 2 1 1 sen x −1 +1 cos x cos x 3.- Demostrar las siguientes identidades: π 3π a) tg ( x + ) − tg ( x − ) = 0 4 4 π π b) sen( x − ) + cos( x − ) = 3senx 6 3 1 sen 4 x = senx cos3 x − cos xsen3 x c) 4 1 − cos x = tg 2x d) senx

1 − sen 2 x 1 − tgx = cos 2 x 1 + tgx cos x + senx cos x − senx − f) 2tg 2 x = cos x − senx cos x + senx e)

x+ y x− y cos 2 2 x+ y x− y cos h) cos x + cos y = 2 cos 2 2 2 2 2 (cos α − sen α ) i) = 1 − 2 sen 2α cos 4 α − sen4α tgθ cot gθ + = 1 + tgθ + cot θ j) 1 − cot gθ 1 − tgθ g) senx + seny = 2 sen

k) l) m)

( 90 º − α ) + Cos ( 90 º −α ) + 1 2 Co tg ( 90 º − α ) Sen ( π + α ) Cos ( π + α )

Sen

2

2

Tg α

= − Cos

2

= Co tg α

α

2senx sen 2 x + = cos x tg 2 x cos x

4.- Simplificar: tg (α + β ) − tgα i) ii) sen(α + β ) − sen(α − β ) 1 + tg (α + β )tgα sen 2α tg (π + α ) cos α sen 2α (1 + cos α ) iii) iv) v) vi) tgα tg (π − α ) tgα (1 − s enα ) 1 − cos α 5.- Un niño ve un anuncio publicitario en la pared de un edificio, con un ángulo de elevación de 12º y está situado a 20m. del edificio. Si del suelo a los ojos del niño hay 1.20m. ¿A qué altura se encuentra el aviso? Solución:

y y ⇒ tg12º = ⇒ y = 30 ⋅ tg12º = 6.38m x 30m. 6.38 + 1.2 = 7.58m tgα =

6.- Escribir en radianes los ángulos. Calcular y ubicar en el círculo unitario

sen330º tg 2025º cos120º

sen240º tg 225º cos135

sen 225º tg 405º cos150º

sen1800º

7.- Resolver la ecuación trigonometrica a) 8senx = 2 +

4 cos ecx

x = 30º =

b) cos x(cos x + 5) = 2 + sen 2 x c)

x = 60º =

sen 2 x + senx − 2 = 0

csc x + cot x = 3 e) cos x = 1 − senx d) f)

cos 2 x + cos x + 1 = 0

2 3 = senx cos 2 x h) sen2 x = senx

g)

2 2 i) sen x − cos x =

1 2

j) 4 cos 2 x = 1 − 3cos x k) cos x − 3cos x = 3coxsenx 2

π 6

cos x = 58 cos x = −1

π 3