Programación Lineal, Modelos varios PROFESOR:
FELIPE CASELLI
INGENIERO CIVIL INDUSTRIAL
MASTER EN INGENIERÍA DE NEGOCIOS
DOCTOR © GESTIÓN A VANZADA DE EMPRESAS EN UNA ECONOMÍA GLOBALIZADA
Objetivos Fijar los requerimientos para establecer un modelo de programación lineal. • Comprender la formulación de diversos modelos de PL •
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Programación Lineal •
Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales.
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Programación Lineal •
La importancia de la programación lineal: Ciertos problemas se describen fácilmente a través de la programación lineal. – Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales. – La salida generada por el programa que resuelve el modelo de programación lineal entrega información útil para responder nuevas condiciones sobre el –
“qué pasa si” (análisis de sensibilidad).
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Programación Lineal •
Lo anterior quiere decir que el modelo debe cumplir con dos propiedades: Proporcionalidad: La contribución de cada variable de decisión a la Función Objetivo (FO) y sus requerimientos en las restricciones debe ser directamente proporcional al valor de la variable (ej. Con el descuentos por volumen no se cumple la proporcionalidad) – Aditividad: La contribución total de todas las variables en la FO y sus requerimientos en las restricciones, debe ser la suma directa de las contribuciones o requerimientos individuales de cada variable (si el aporte de una variable depende del valor de otra variable, la aditividad no se cumple) –
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Programación Lineal •
Como ya se ha definido, un modelo de programación lineal esta compuesto de lo siguiente: – – – –
Un conjunto de variables de decisión Una función objetivo (con una condición de optimización) Un conjunto de restricciones Conjunto de parámetros o datos
• Asimismo, la solución óptima del modelo de PL
pertenecerá a un:
Espacio factible: conjunto de soluciones posibles que cumplen con las restricciones dadas por el modelo – Vértice factible: punto de intersección de las rectas que delimitan el espacio factible de soluciones –
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PROBLEMA GENERAL DE LA IO Condición de optimización
Variables de Decisión
Encontrar x para
Medida de desempeño
Maximizar o Minimizar f(x 1,….,xn) s.a
Función Objetivo
Restricciones gi(x1,….,xn) ≤ ri i=1,….,m = ≥ ≤
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METODOLOGÍA DE LA Investigación de Operaciones: Definición del Sistema (Identificación del Problema) Alternativas
• Objetivo • Ámbitos
de solución Dimensión espacial Esencial: Dimensión temporal Objetivo del modelo Nivel de las decisiones Comprensión del sistema Separabilidad de las decisiones Tiempo, tecnología y recurso humano disponible Grado de precisión numérica
En ocasiones será mejor utilizar métodos heurísticos COI 401 -FCB
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Planificación de la Producción La planificación de la producción es uno de los ejemplos más concurrentes de programación lineal en la gestión de empresas. Se desea determinar la cantidad de los diferentes productos de la empresa que se han de producir considerando los recursos disponibles. • El criterio que orienta la selección de alternativas está generalmente asociado a minimizar los costos de producción o a maximizar los ingresos o los beneficios obtenidos de la explotación. •
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n ó i c c u d o r p a l e d n ó i c a c i f i n a l p o l p m e j
La empresa ABRAX Ltda. Fabrica puertas y ventanas de madera. Existen dos modelos de puertas y ventanas: dobles y simples. El insumo más importante es la madera. • El proceso de corte de las partes se realiza en dos sierras eléctricas de precisión y el barnizado lo efectúa personal experimentado. Las cantidades de madera y los tiempos de corte y barnizado que requiere cada producto se muestran en la tabla 1. •
Producto
Madera (m2)
Corte (horasmáquina)
Barnizado (horashombre)
Puertas dobles
4
1,5
2
Puertas Simples
2,5
1
1,2
Ventanas Dobles
3
2
1,5
Ventanas Simples
1,8
0,8
0,8
Los proveedores de madera pueden entregar hasta 900 m 2 en un mes. Además se pueden utilizar hasta 400 horas de sierra para el proceso de corte y 300 horas-hombre para el barnizado. La empresa está comprometida con una constructora para entregar 20 puertas simples y 12 ventanas dobles en el mes. Los precios de venta unitarios y costos unitarios de producción, en miles de pesos (M$), se muestran en la tabla 2. • Se desea determinar un plan de producción para el mes que maximice el beneficio total y cumpla con los compromisos de entrega, suponiendo que todo lo que se produce se vende. •
Producto
Precio (M$)
Costo unitario (M$)
Puertas dobles
120
80
Puertas Simples
80
50
100
75
Ventanas Dobles Ventanas Simples
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Mezcla de alimentos El administrador de un plantel cunícola (crianza de conejos) desea determinar la composición de 1.000 kg de alimento que cumpla con los requerimientos nutritivos establecidos para el normal crecimiento de los conejos q que tenga el menor costo posible. En la elaboración del alimento pueden utilizarse los ingredientes cuyas características nutritivas y costo se señalan en la tabla 2. • La dieta debe tener las siguientes características: •
Elemento
Requisito
Proteína
15%
Fibra
Mínimo 25%
Hidratos de carbono
Mínimo 20% y máximo 40%
Calorías
Mínimo 800/kg y máximo 1800/kg
Harina de pescado
Máximo 10% Proteínas (%)
Fibra (%)
Hidratos de carbono (%)
Calorías (calorías/kg)
Costo ($/kg)
Harina de soya
9
12
50
1000
45
Harina de pescado
55
-
4
1950
100
Trigo
7
6
66
1750
70
Alfalfa
12
25
35
450
45
Avena
8,5
11
1700
80
Ingredientes
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Mezcla de componentes •
La empresa GASOL Ltda.., produce y vende dos tipos de gasolina: corriente y especial. Para ello utiliza dos tipos de petróleo crudo: liviano y pesado, que tienen un costo de US$15 y US$20 por barril, respectivamente. Las características de los dos tipos de petróleo se señalan en la tabla 1. Densidad Octanaje Disponibilidad (barriles) Costo (US$/barril)
•
Gasolina corriente Gasolina especial
•
Petróleo pesado 0,85 102 600 20
Las especificaciones exigidas para los productos finales: gasolina corriente y especial, y los precios de venta se muestran en la tabla 2. Combustible
•
Petróleo liviano 0,65 70 800 15
Densidad (kg/lt) Min = 0,70 Max = 0,75 Min = 0,70 Max = 0,75
Octanaje
Precio (US$/barril)
85
25
94
30
Cada barril puede contener 40 kg de petróleo liviano, o 50 kg de petróleo pesado o 60 lt de gasolina. El octanaje de los combustibles corresponde a la media de los octanajes de sus componentes ponderada por su volumen. El encargado de la producción de combustibles necesita determinar qué tipos de mezclas utilizar para cada combustible y cuál debe ser el COI nivel401 de producción de manera que se obtenga la18mayor -FCB
PROBLEMA DE TRANSPORTE •
El ministerio de salud distribuye leche desde 2 centros de distribución c/u de ellos tiene una capacidad de 90 toneladas al mes y la leche se distribuye en 3 consultorios distintos, la siguiente tabla muestra los costos unitarios del envío de una tonelada de leche desde cada centro a cada consultorio. El ministro desea enviar el mismo número de toneladas a cada consultorio y minimizar el costo total. Consultorio 1 Consultorio 2 Consultorio 3
CD1 CD2
1 2
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Definición del problema Consultorios
Centros de Distribución s t a a1 e r d f e a d i O n e a 2 U d
1
b1
2
b2
3
b m
1 2
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e d a s d e n d a a m d i e n D U
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