I.E.P “SAN AGUSTÍN” ALGEBRA 1° AÑO SECUNDARIA ====================================================== ======
AL JWARIZMI Abu Jafar Mohammet ibn Mose Al – Jwarizmi fue uno de los mejores matemáticos árabes de la Edad Media. Si bien no sabemos mucho acera de su vida privada, conocemos a profundidad su obra matemática que afortunadamente llegó a nosotros gracias a las traducciones al latín que de ella se hicieron durante la Edad Media y el Renacimiento Al. Jwarizmi vivió del año 780 al 835. Nació en una ciudad llamada Jwarizm que actualmente se llama Jiva y está en Uzbekistán. Vivió en la corte del califa Abdulá al – Mamún quien había fundado una academia de ciencias que se llamaba “La Casa de la Sabiduría”, en la que trabajaban los mejores científicos y matemáticos, entre ellos, por supuesto, Al – Jwarizmi. De esta academia salió la primera expedición que realizaron los árabes para calcular la circunferencia de la Tierra y en la que se realizaron varios experimentos de navegación y observaciones astronómicas. Al – Jwarizmi fue un miembro muy activo de esta expedición. En la “Casa de la Sabiduría” se desempeñó como bibliotecario, matemático y astrónomo y escribió varios textos, fundamentalmente de matemáticas. El más importante de todos ellos es, sin duda, “Al – jabar wa´l Muqabala, que es un tratado sobre cómo plantear y resolver ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana. El libro empieza así: “Este interés por la ciencia, con la que Alá ha dotado al califa Al Mamún, caudillo de los creyentes, me ha animado a componer esta breve obra sobre el cálculo por medio del álgebra, en la que se contiene todo lo que es más fácil y útil en Aritmética, como por ejemplo todo aquello que se requiere para calcular herencias, hacer repartos justos y sin equívocos, resolver pleitos, realizar comercio y transacciones con terceros, todo aquello en donde esté implicada de agrimensura, la excavación de pozos y canales, la geometría y varios asuntos más. Con el paso de los siglos los matemáticos reconocieron que la obra de Al – Jwarizmi, era tan importante que se hicieron varias traducciones al latín, que era el idioma en el que se escribía la ciencia en la Europa de esa época. Para finales del siglo XVI nadie tenía dudas ya: Al – Jwarizmi era el verdadero padre del álgebra.
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I.E.P “SAN AGUSTÍN” ALGEBRA 1° AÑO SECUNDARIA ====================================================== ======
¿Qué observan?; ¿Cómo son los lados de las figuras?, ¿Cuál es el área de cada figura? Determina el área en cada caso:
b
b
Expresión Algebraica Es un conjunto de números (constantes) y letras (variables) separados por los signos de las operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación); los exponentes son racionales y fijos.
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I.E.P “SAN AGUSTÍN” ALGEBRA 1° AÑO SECUNDARIA ====================================================== ======
TERMINO ALGEBRAICO Es una expresión algebraica cuyas bases no están relacionadas por las operaciones de adición o sustracción.
Elementos de un Término Algebraico
GRADO DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO • GRADO ABSOLUTO Se calcula sumando el exponente de sus variables. Ejemplo: 6 x5 y9 z4 GA = 5 + 9 + 4 = 18 • GRADO RELATIVO Está dado por el exponente de la variable referida. Del Ejemplo anterior: GRx = 5, GR y = 9, GRz = 4
TERMINOS ALGEBRAICOS SEMEJANTES Dos o más términos son semejantes si tienen la misma parte literal.
Ejemplo:
7 4 4 x ;x 2
1.
-2x4 ;
2.
5m; 2m; -m; 10m
3.
6xy2; - 3xy2;
1 xy 2 3 -3-
I.E.P “SAN AGUSTÍN” ALGEBRA 1° AÑO SECUNDARIA ====================================================== ====== CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se clasifica en racionales e irracionales (sólo trabajaremos las primeras). • Expresiones algebraicas racionales Cuando no aparece variables bajo el signo radical. Ejemplo:
2 x 2 + y;3a 2 b −
1 x2 − y3 c; 2 4
Puede ser de dos tipos: a) Expresiones algebraicas enteras (no aparecen variables en los denominadores, es decir las variables están afectadas sólo de exponentes enteros NO NEGATIVOS) Ejemplo: 1)
2x7y2
1 8 x − 3x 6 + 6 3 2 1 abc − 3) a4 3 2 2)
b) Expresiones algebraicas fraccionarias Cuando aparece alguna variable en los denominadores, es decir al menos una de las variables está afectada de exponente entero NEGATIVO. Ejemplo: –5
1)
3x
2)
5x2y3z-1
3)
2x2 +
4)
6a4 + 5b2 - 3c-3
5 +1 x
EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1) ¿Cuál es el área de las siguientes figuras? X
x
a)
x
b) x
x
x x
y
x
x
y
Atotal = x2+x2+ Atotal = xy+xy+ xy+ x2+x2+x2 = 5x2 c)
b
xy+xy = 5xy d) b
a
b a
a -4-
I.E.P “SAN AGUSTÍN” ALGEBRA 1° AÑO SECUNDARIA ====================================================== ====== b
a
b
a 2
b
2
2
a
As= a – (b +b +
As= ab+ab+
b2+b2)= a2-4b2
ab +ab= 4ab
2) Determinar el número de términos que tiene la respectiva expresión algebraica. Expresión Algebraica
N° de Términos
5
15xy z x2 +
1
3 xy – 10
6x5 + 9x2 -
3
2 x – 12
4
3) Dada la siguiente expresión algebraica, determina el grado absoluto y relativo. Expres. Algebraica GA 2
-12X YZ 3 X3Y5Z 9
11
½XY
-15X4Z5
GRX GRY GRZ
4
2
1
1
9
3
5
1
20
9
11 –
9
4
-
5
4) Reduce las siguientes expresiones: a) 3x + 2x – 5x + 10x = 10x
b) 12x 2 + 3 x - 15x 2 - 9 x +10 – 5x +12 – 3x2 – 11x + 22
c) 17m 2 n - 15mn 2 + 16mn 2 + 25nm 2 - 3n 2 m = 42m2n – 2mn2 5) Identifica el COEFICIENTE y la PARTE LITERAL en cada uno de los siguientes términos. Término
coeficiente
Parte Literal
Algebraico -12x9y7 m5n7 -
4 5 2 x yz
-16p2q4 1/2m2n5
-
-12
x9y7
1
m 5n 7
2
x4yz5
-16
p 2q 4
½
m2n5 -5-
I.E.P “SAN AGUSTÍN” ALGEBRA 1° AÑO SECUNDARIA ====================================================== ====== - 0,32 x4 y7 - o,32 x4y7
CONSTRUYENDO CONSTRUYENDO MIS MIS CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO SS 1) ¿Cuál es el área de las siguientes figuras?
c) -b–
---------- a -------2) Identifica el coeficiente y la parte literal de cada uno de los siguientes monomios: TERMINO ALGEBRAIC O
COEFICIENT E
PARTE LITERAL
-6-
I.E.P “SAN AGUSTÍN” ALGEBRA 1° AÑO SECUNDARIA ====================================================== ====== 3X2Y 9X 7Y9 - 0,2ab4C5 125 x34Z 0,249 a3bc2
3)
4)
Identifica los términos semejantes en cada uno de los polinomios siguientes: a)
2 xy − 3ab 2 + 5 xy + 6ab 2
b)
ab2 – 2xy2 + 3ab2 + xy2 – 7ab2
c)
5x2a – 2xz2 + 3ac + 3x2z+ 7xz2 - ac
d)
10x2y3z – 6x2y2z – 8x2y3z + 3x2y2z
e)
16a3b – 9ab3 + 3a3b - 16a3b – ab3
¿De qué grado es cada una de la siguientes expresiones algebraicas. a)
4 x2y3
b) – 12a3 b4
⇒
------ -- --------
⇒
------ -- --------
-7-
I.E.P “SAN AGUSTÍN” ALGEBRA 1° AÑO SECUNDARIA ====================================================== ====== c) - 8x3yz6 d)
⇒
5 7 4 2 xy z 9
e) 0,6x2yz4 f) 2,4x4y6z g) -6x3y3z6
------ -- --------
⇒
⇒ ⇒ ⇒
------ -- --------
------ -- --------
------ -- --------
------ -- --------
5) Halla el grado absoluto y relativo con respecto a la variable k, y, z de cada una de los siguientes expresiones algebraicas. EXPRESIÓN ALGEBRAIC A 9x3yz4 -0,3x2y9
GA
GRx GRy GRz
1 8 5 x y 2 2 xyz
6x7y9 10xy4z5 9x3y2z3 3x 2 y 5 z
REFORZANDO MIS CAPACIDADES
-8-
I.E.P “SAN AGUSTÍN” ALGEBRA 1° AÑO SECUNDARIA ====================================================== ======
1)
Identifica el coeficiente y la parte literal de cada uno de los siguientes monomios. TERMINO ALGEBRAIC O
COEFICIENT E
PARTE LITERAL
- 6z2y
2 3 2 z y 4 0,028 x3y2z -
2 3 4 a bc 7
- 0,83xy4z5 2)
Identifica los términos semejantes en cada uno de los siguientes polinomios. a)
x4y + 2xy4 – 3x4y + 5xy4 – x4y
b)
8xy3 – 5a2c – 11ky3 + 16a2c
c)
2 3 xz − 0,2 zy 3 + 0,8 xz 3 + 9 zy 3 7
d) 3a2b2–3a3b2 –5z3–6a3b2+9z3 – 4a2b3 e) 15mn2 – 6m2n+13mn2 – 9m2n + mn2
3)
Determina el grado en cada uno de las siguientes expresiones algebraicas.
⇒
a)
4x3y7
b)
6x4y2z
⇒
------ -- -------
c)
3 2 6 x y 8
⇒
------ -- -------
d) 0,6x2yz4
⇒
------ -- -------
e) 0,83ab3c2 ⇒
4)
------ -- -------
------ -- -------
f) 4xy8
⇒
------ -- -------
g) 25xy4z
⇒
------ -- -------
Determina el grado absoluto y relativo de las siguientes expresiones algebraicas. EXPRESIÓ GA N ALGEBRAIC A -2x3z4
GRx
GRy
GRz
-9-
I.E.P “SAN AGUSTÍN” ALGEBRA 1° AÑO SECUNDARIA ====================================================== ====== 0,3x3y9z5
1 4 8 x z 3 5 xyz
0,3x9y10 0,9x4y8 − 2x3 y 2 z 7x4 y5 z3
16x4y8z3 -3x3y2z10 13x9y11 1,3y4z5 0,52y10 3x y z 3
-8x9yz12 21x4y7 6y10 z10 -7x4 y4z4 12x3y2z10 2 x 12 y 10 z
- 10 -
REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES Para reducir términos semejantes, se suman los coeficientes, y se pone la misma parte literal. Ejemplo: 1) Reducir:7x5 + 9x5 = (7+9)x5= 16x5 2) Reducir:
6m 2 − 2n + 10m 2 + 7 n − 9 = 16m 2 + 5n − 9
3) Reduce el polinomio: 12xy3 – 5xy3 + 4xy3 Solución: 12xy3 – 5xy3 + 4xy3=(12 – 5 + 4) xy3 =
11xy3
4) Reducir: 1,3xy2 + 0,2x2y – 3,3xy2+ x2y Solución: = 1,3xy2 + 0,2x2y – 3,3 x y2 + x2 y = (1,3 – 3,3) xy2 + (0,2 + 1) x2 y = - 2xy2 + 1,2 x2y
CONSTRUYENDO CONSTRUYENDO MIS MIS CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO SS
Reducir:
1) x + 2
2) 8a + 9a
3) 11b + 9b – 10b + 5b – 3b
4) 4ax + 5ax + 10ax
5) – 14xy + 32xy – 10xy + 20xy
6) 40x3y – 51x3y+ 25x3y + 8x3y
7) – 15xy + 40xy – 20xy + 16xy
8) 7ab – 11ab + 20ab – 31ab
9) a + 6a – 20a + 150a – 80a + 31a
10) -a2b+15a2b+a2b–85a2b–131a2b+39a2b
11) 7a – 9b + 6a –4b
12) 5x –11y – 9 + 20x –1-y
13) –6m + 8n + 5 –m – n – 6 m – 11
16) – a + b - c + 8 + 2a + 2b – 19
– 2c – 3a –3 – 3b + 3c
17)
7 4 2 5 4 2 11 4 2 a b − a b − a b + a 4b 2 3 2 6
18) 5pq2 + 3p2q – 3pq2 – 2pq2
14) – 81 x+ 19y–30z+6y+80y + x – 25y
15) – 3a+4b – 6ª+81b–114b+31a- a – b
19) – 1,025p2q + 1,025pq2 +2,9p2q– 3,1p2q
20)
5 3 x 3 y +3 3 xy 3 − 2 3 x 3 y +8 3 xy 3
REFORZANDO MIS CAPACIDADES Reducir: 1)
- 8m - m + 6m – 3 m
2)
- 9m - 7m - 5m + 12 m
3)
6ax+1 + 8ax+1 - 3ax+1
4)
- mx+1 – 5mx+1
5)
1 1 a+ a 2 2
6)
-a–
7)
– 25x2y + 32x2y –20x2y + 16x2y
8)
– m2n + 6m2 - 9m2n + 15m2n
7 a 3
9)
55a3b2 – 81a3b2 + 42a3b2
10) 25x2 - 50x2 + 11x2 + 14x2
11) a + b – c – b – c + 2c – a
12) 5x - 11y – 9 + 16x – 30y +15
13) - a + b + 2b – 2c + 3a + 2c – 3b
14) 15a2 –6ab - 8a2+20 – 5ab – 31+a2- ab
15) - 71a3b - 84a4b2 + 50a3b + 84a4b2 - 45a3b + 18a3b
16) - 0,5p3q - 2,7p3q +0,1p3q - 3,2p3q
17) 5 2a 4 − 3 5a 4 − 6 2a 2 − 8 2a 2
18)
1 9 1 3 1 x + x + x 9 − x + 6 x 10 2 3 2 3
19) - 9b+3ab2 + 12b - 15ab2+6b
20)
1 2 1 1 4 5 x + y − x2 + y + x2 − y 2 5 3 5 6
21) - 7c + 21c + 14c – 30c + 82c
22) -mn + 14mn - 31mn – mn + 20mn
23) a2y – 7a2y – 93a2y + 51a2y+48a2y
24) – a + a - a + a – 3a + 6a
25) – 7ax - 30ax - 41ax – 9ax + 73ax
26) -9b – 11b - 17b -81b – b + 110b
27) 84m2 x – 50/m2 x – 604m2x
28) 40a – 81a + 130a + 41a – 83a – 91a
29) -21ab+52ab- 60ab + 84ab – 31ab – ab – 23ab
30) 0,3a + 0,4b + 0,5c - 0,6a – 07b – 0,9c + 3a 3b – 3c
VALOR NUMÉRICO Observa la siguiente figura:
¿Cuál es el volumen del cubo? Hallar V, si a = 2; 3; 4; 5 El valor numérico de una expresión Algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números. EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1) Hallar EL V.N de: 9xz para x = 2 y z = 3 SOLUCION : Sustituimos x por su valor 2 y Z por su valor 3. Luego multiplicamos 9(2) (3) = 54 El valor numérico es 54
2) Encuentra el valor numérico de: 3x3 – 5x2 + 2x – 1 para x = -1 SOLUCION: •
Reemplazamos x por su valor (-1) 3 (-1)3 - 5(-1)2 + 2(-1) - 1
•
Efectuamos las potencias 3 (-1) - 5(1) + 2(-1) - 1
•
Multiplicamos y hallamos la suma - 3 - 5 - 2 – 1 = - 11 El valor numérico es - 11
3)
Hallar el valor numérico de: S = (2X – 1)2 + (2Y –1)2 + 2(Z – 1)2 Para x = - 2
y = -1
z= 3
SOLUCION : • Reemplazamos los valores dados x, y, z en S S = [ 2( −2) −1] + [ 2(−1) −1] + [ 2(−3) − 1] 2
•
2
Operando al interior de los corchetes
S = [ − 4 − 1] + [ − 2 − 1] + [ − 6 − 1] 2
2
2
S = [ − 5] 2 + [ − 3] 2 + [ − 7] 2 •
Efectuando las potencias indicadas S = 25 + 9 + 49
•
Sumando :
S = 83
2
El V.N de S para los valores dados es 83.
4)
Reduce los términos semejantes y halla el valor numérico de 3m – 5n – 9m + 10n, para m = -
1 ; 3
n=
2 5
SOLUCION : • Reducimos los términos semejantes 3m – 5n – 9m + 10n = (3 – 9)m + (-5 + 10)n = -6m + 5n •
Se reemplazan los valores de m y n en 5n – 6m =
2 1 -6 =2+2=4 5 3
5
El valor numérico es 4. 5)
Si se sabe que: P(x) = 3x4 – 2x3 + x2 – x – 2 Hallar P
(-2)
SOLUCION : • P •
Asignamos a x el valor de –2
(-2)
= 3(-2)4 – 2(-2)3 + (-2)2 – (- 2) - 2
Operando P(-2) = 68 Respuesta
CONSTRUYENDO CONSTRUYENDO MIS MIS CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO SS
1)
El volumen de un cilindro de radio r y la altura h, se calcula usando la siguiente fórmula. V =
πr 2 h
Halla el volumen de un cilindro cuyo radio mide 4m. y cuya altura mide 6m.
2)
Halla el valor numérico del polinomio siguiente : 5x3 – 3x2 + 2x + 1 cuando:
⇒
a)
x=1
b)
x=-2
c)
x=
d)
x= 2
⇒
e)
x= 3
⇒
⇒
1 ⇒ 2
3)
Sabiendo que x = 2; y=-1; a=2; c=-2; hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas. a)
3xy2 + 8x – 7
b)
3ac2 – cy
c)
– 3x + 5y + a2 – c2
d)
x2 y3 – 7y + xy
e)
5c3 – 3xy + y2
f)
4)
4 x 3 − 3ac 2y2
Hallar el V.N de mn 8b 3 a 4
Para a = 1, b=2 m=
5)
1 1 ; n= 2 3
Encontrar la energía potencial (Ep) de un farol situado a 5m de altura, si su masa “m” es de 12 Kg. Dato:
Ep = m x g x h
g = 10m/s2
REFORZANDO MIS CAPACIDADES 1) Si a = -2, b=1; c= 3; d= x = - 2;
y = - 1;
1 , 2
z=-4
Calcula el V.N de las siguientes expresiones a) A = a + b + c b) M = 2d – x2 – y3 c) F = X2 – 2y + z d) G = 2acd - x2 y3 z
2)
Efectúa los siguientes cálculos de V.N a) Si P(x) = x3 – x + 2 Hallar P(1) b) Si P(x) = 3x2 + x - 2 Hallar P(2) c) Si P(x) = x2 + x - 1 Hallar P(-1) d) Si P(x) = 5x3 – 3x + 6 Hallar P(-3)
3)
Hallar el V.N de la expresión siguiente:
3m 3
4)
n
3
para m =
1 3
n; =
Sabiendo que x = 2; siguientes expresiones. a) 5ac – 3ac2 + xy2 b) 6ª - 3c2 + 5xy c) 4x y2 – 5yx2 + ac2 d) 5ax – 3c2 + 2xy e)
xy 2 + 3ac 2 4 yc
f)
x 2 y 4 + 8 xy − 4 xy 2
g) 10ac2 - 3xy2 + 2c h) i)
-9x2y + 2a2 c – 9ac 2 axy – 3xy + 9xc
1 3
y= -1;
a = 2; c = -2. Hallar el valor numérico de las
j)
–10x2y + 12ac – 15xy
k)
3 xy 2 + 2 xa 2 5 xc
5)
Hallar la velocidad “v” de un móvil que se desplaza 5 km en 10 h. 5 km en 10 h.
6)
Hallar el V.N de la expresión 5 6x2y3 16xy x = 2; y= -1
7)
Sea a=2;
b=
1 3
x=
1 6
Hallar el valor numérico de:
3a 2 5ab b − + 4 x ax
8)
Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas. Si x = 4; b = -2 a)
3
y
z= 64;
c=4
x + 8ab − 2c + b
y + 3 z + c 2 − ac 3 + b 2
b)
c)
y = 81;
2
zy −
8abc 3ac 2 + b4 y
a= 3
d)
2 z − 7b 2c + 6ab + c
e)
xy − 2 xz + ab 2 + c
MONOMIOS ¿Cuál es el área de las figuras (1) y (2)?
Las expresiones algebraicas en las que se operan productos y potencias, pero no sumas ni restas, se llaman monomios. De la Fig (1) x2 + x2 + x2 + x2 + x2 = 5x2 Fig (2) xy + xy + xy + xy = 4xy • GRADO DE UN MONOMIO El grado absoluto se obtiene sumando los exponentes de los factores de la parte literal. Ejemplo:
15x4y4z 2a3bc
GA = 10 GA = 5
• VALOR NUMERICO DE UN MONOMIO Valor numérico de un monomio M(x) para x = a, se obtiene al sustituir x por a: Ejemplo: M
(x=2)
= 2x3 = 2(2)3 = 16
M
(x=4)
= -10x2 = -10(4)2 = -160
• MONOMIOS SEMEJANTES Los que tienen la misma parte literal y por tanto el mismo grado. Ejemplo: - 3x2; 2x2; -4x2
3xy
3;
1 xy 3 3 ;
- 2xy3
• EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1. ¿Cuál es el área de las siguientes figuras?
Solución : Atotal(a)=x2 + x2 + x2+ x2 + x2 + x2 = 6x2 Btotal(b)= xy + xy + xy + xy = 4xy 2. Determina el grado absoluto y el grado relativo de las siguientes expresiones algebraicasEXPRESIONE S GA GRx GRy GRz
ALGEBRAICA S - 7xyz -2 2 x 3 y 3x3y4z 7x7y8z10
3 4
1 3
1 1
1 -
8 25
3 7
4 8
1 10
3. En cada caso indica el grado absoluto del monomio e indica el valor numérico. a)
7xy5; x=2; y = -1 Solución : 7(2) (-1)5 = 7(2) (-1) = 14 Respuesta: El valor numérico es -14 y el GA = 1 + 1 + 5 = 7
b)
-3a3b2;
a =3;
b=2
Solución : -3(3)2 (2)2 = -3(9) (4) = 108 Respuesta: El valor numérico es 108 y el GA = 3 + 2 = 5
c)
-9abc2; a=2;
b = 1; c=1
Solución : -9(2) (1) (-1)2 = 18 Respuesta: El valor numérico es 18 y el GA = 1 + 1 + 2 = 4
4. Calcular el valor numérico de la expresión E para x = -3 E=
x− y−m x2 + y3 + 2
a) 0
b) –1
c) –2
Solución :
− 3 − (−2) − ( −1) ( −3) 2 + (−2) 3 + 2 − 3 + 2 +1 0 0 = = =0 9 −8 + 2 1+ 2 3
d)
1 1 e) 3 4
y = -2;
m = -1
5.
Hallar “m” si el siguiente monomio es de 2° grado. - 7 7 x m −3 a) 5 b) 4 c) 3 d) -2 e) –5 Solución: Por dato el exponente de la variable x es 2. m–3=2 Luego: m=5 Rpta. (a)
6.
¿Cuál es el grado del término: 4x-1; y-1 a) -1 b) -2 c) 1 d) 2 e) No tiene grado Solución : El grado es un número relacionado con los exponentes de un polinomio, por lo tanto tal número siempre es natural. Rpta. (e)
7.
Dar el grado del siguiente término -
3 6 −8 3 x y z 4
a) 1 b) 2 c) 3 e) No tiene grado
d) 4
Rpta. (e) 8.
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas? I) II) III) IV)
El grado de un monomio puede ser negativo. Todo término algebraico tiene grado. El grado de un monomio puede ser una fracción. En un monomio el grado está dado por el mayor exponente de todas sus letras. a) I y II d) sólo III
b) I y III c) sólo I e) Todas
Rpta. (e)
CONSTRUYENDO CONSTRUYENDO MIS MIS CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO SS 1) ¿Cuál es el grado del siguiente término? P(x,y,z) = -
3 4
5 xywzt
a) 1 b) 4 e) No tiene grado
c) 5
d) –5
2) Hallar el valor de “m” si se sabe que el siguiente monomio es de noveno grado respecto a “y”, y de sexto grado respecto a “x”. -
1 3
a) 1
7x
m+t
b) 2
y
c) 4
t+7
d) 8
e) 0
3) Calcula a – b en el siguiente monomio si además se sabe que GR x = 15; GRy = 10 a) 5
7 3 5
b) 7
x a +b y b +8 c) 9
d) 11
e) 15
4) Hallar “t” en el siguiente monomio si se sabe que es de 7° grado respecto a “x” y que su grado absoluto es 12. M
(x;y)
a) 1
=+3 b) 2
7 x t +c y 8 −c
c) 3
d) 4
e) 5
5) Calcular el coeficiente del siguiente monomio, sabiendo que es de octavo grado. M
(x;y)
= 15 a2 xa+1. y2
a) 175 d) 255
b) 215 e) 375
c) 225
REFORZANDO MIS CAPACIDADES 1)
¿Cuál es el área de las siguientes figuras?
2)
Determina el grado absoluto y relativo de las siguientes expresiones algebraicas. EXPRESIÓN ALGEBRAIC A
1 9 5 2 x y z 7 -
3xy 4
2
5 x 9 yz 2
GA
GRx GRy GRz
0,7x10z4 -
3)
−1 5 6 y z 3
En cada caso indica el grado absoluto del monomio e indica el valor numérico. a) -7ab2c2 a=2; 2
b=1;
3
b) 15m n p c) 8a3b2 3
d) 6a b c 4)
;m=2; n=-2; p=1
a=5 ;
2 4
a = 3;
2 15
1 3 50 d) 3
c= 2
2t
13 20 c) 3 3 50 e) − 3 b)
Hallar el grado absoluto del siguiente término.
−
2 3 15 − x 7
3
y
a) 5 d) 15
3
b) 10 c) 12 e) No tiene grado
Hallar el coeficiente del siguiente monomio sabiendo que es de 8° grado.
M
(x;y;z)
a) –48 7)
b= -1
m3xm+t y
a)
6)
b=1
Encontrar el coeficiente del siguiente monomio si GRx = 9; Gry = 8. M(x;y) =
5)
c= -1
= -3a2xyz2+a b) –12 c) -9
d) –6
e) –3
Deducir 3,2ab5 + 6,8b5a – 3,7 (ab)5 + 3,7a5b5 a) ab5
8)
c) 9ab5
d) 10ab5
e) 10a5b5
¿Cuál es el triple de m si los siguientes términos son semejantes? 4x2m+3; -2 7 x 15 a) 3
9)
b) –ab5
b) 6
c) 9
d) 12 e) 18
Calcular el valor de a + 2b, si los tres términos siguientes son semejantes.
2ya+b ; 0,5 y a) 2
b) 5
c) 7
d) 9
7+b
; 2
7
y9
e) 11
10) Cuál es el término de mayor coeficiente si todos son semejantes con variable x? T1 = 6m xm+1 T3 = 13m x9
t2 = 3m2xm+1 t4 = 18mx 1+m
a) 101x9 b) 104x9 d) 144x9 e) 166x9
•
c) 172x9
ADICION Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS SEMEJANTES ¿Cuál es la suma de las áreas de los rectángulos?
a1= ( 2x) (x) = 2x2 a2 = (4x) (x) = 4x2 a3= ( 2x) (x) = 2x2 S = A1+ A2 + A3 = 2x2 + 4x2 + 2x2= 8x2 La adición y la sustracción de monomios semejantes se realiza sumando o restando los coeficientes y dejando la misma parte literal. •
REDUCCIÓN DE UN POLINOMIO QUE CONTENGA TERMINOS SEMEJANTES DE DIVERSAS CLASES Para reducir un polinomio que contiene términos semejantes se indica cada clase con marcas distintas y se reduce separadamente cada una de ellas. Ejemplo 1:
Reducir el polinomio
4x2 – 8x + 6x2 + 5x – 3x2 + 7x Resolución : En el polinomio dado, marcamos los términos semejantes de la manera siguiente
4 x 2 − 8 x + 6 x 2 + 5 x − 3x 2 + 7 x
= (4 + 6 - 3)x2 +(5+7-8)x = 7x2 + 4x
Ejemplo 2: Deducir el polinomio 13a2 – 5b2 + 13ab + 8a2 – 10b2 – 2ab + 6b2 – 8ab Resolución :
13a 2 - 5b 2 + 13ab + 8a 2 -10b 2 −2ab + 6b 2 − 8ab = (13+8)a2 +(-5-10+6)b2 + (13-2-8)ab = 21a2 + (-9)b2 + 3ab
Ejemplo 3: Reducir el polinomio X2y3 – 10x3y2 + 6xy2 + 5x2y3 – 8x3y2 – 12xy + 7x3y2 – 11xy2 + 7xy Resolución : 1x2y3 - 10x3y2+6xy2+3x2y3-8x3y2 - 12 xy + 7x3y2 – 11xy2 + 7xy = (1+5) x2y3 + (-10 – 8+7)x3 y2 + (6 – 11)xy2 + (-12 + 7)xy = 6x2y3 – 11x3y2 – 5xy2 – 5xy 4)
De: a) 7 + a
Resta 5 -a
Resolución : 7 + a – (5 –a) = 7 + a – 5 +a = 2 + 2a
b) 6 + x ; 3 – x Resolución : 6 + x – (3 –x) = 6 + x – 3 +x = 3 + 2x c) 2m + 1 ; 2m Resolución : 2m + 1 – 2m = 1 d) 6a + 4 ; 3b + 3 Resolución : 6a + 4 –(3b + 3) = 6a + 4 – 3b – 3 = 6a – 3b + 1
CONSTRUYENDO CONSTRUYENDO MIS MIS CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO S
1) Halla el resultado de las siguientes operaciones con monomios a)
x3 + 5x3 – 3x3 + 2x3
b)
2xyz + 9xyz – 4xyz + 6xyz
c)
5an – 4an + 11an
d)
axq – 6axq – 3axq
2) Reducir los términos semejantes en cada uno de los polinomios siguientes. a)
6x + 7a - 10x + 3x – 8a
b)
15ay + 13a - 7z + 6a - 13ay + 4z
c)
xy – 5x2 + 8y2 + 11xy – 25x2 – 30y2
d)
12x3 + 5xy2 – 8xyz3 - 7xy2 z - 6x3+ 2xyz3
3) Reducir los términos semejantes en cada uno de los polinomios siguientes. a)
8y2 - 5x2 + xy - 25x2 – 30y2 + 11xy + 14x2 + 26y2 + 6x2 + 13xy
b)
– 5n + 8yn – 10zn + 15xn – 16yn + 20zn + 48xn – 15zn - 14xn + 12yn
4) De
;
Resta
a)
7 + 3a
;
5 – 9ª
b)
6 + 10m
;
5m – 3
c)
15 + pq
;
6 – qp
d)
10 - ab
;
-5 ab + 10
5) Si los términos : t1 = (a + 1) xb+2 y4 t2 = (2 – a) x4 y0 Son semejantes, hallar la suma t1 + t2 a) x4y4
b) 3x4y4
d) -3x4y4
e) Imposible
c) –3xy
REFORZANDO MIS CAPACIDADES 1. Halla el resultado de las siguientes operaciones con monomios a)
3x2 + 8x2
b)
11ac – 7ac
c)
– 3ab – 5ab + 4ab
d)
7x2y + 3x2y - 8x2y
e)
13xm + 7xm – 16xm
f)
7xy4 + 2xy4 – 6xy4
g)
8yz3 - 3yz3 – 4yz3
h)
xyn – 3xyn + 5xyn
2. Reducir los términos semejantes en cada uno de uno de los polinomios siguientes. a)
5a + 3y + 9y – 11ª + 8y
b)
23mx + 18my + 5mx – 7ny + 4mx – 20ny
c)
4b2 – 6xyz – 2a2 + 3b2 + 8xyz – a2
d)
3axn – 5xan + a2x – 2axn +8xan - 4a2x
3. Reducir los términos semejantes en los siguientes polinomios 2ab3 – 3a2b2 + 9a2b - 8a3 – 10a2b2 – 9a2b + 15a3 - 7ab3 + 13a2b2 b) 2xy - 3x2y + 5xy2+ 8x2y - 4xy2- 6xy a)
- 4xy2 + 10xy - 6x2y
c) 6xyz3 – 3xy3z – 2x3yz +7x3yz - 9xy3z – 12xyz3 4. Resta a) b) c) d)
;
De
6ab ; 7ab 12a + 4 ; 15a + 2 6a + 3 ; 6b + 3 10a – m ; 10a + n
5. Resta
;
De
a)
5x + y ; 3x + y
b)
10a – m
; 13a – 2m
c)
12a + 3
; 13 – 10a
d)
15pq – 3
; pq + 15
6. Si los términos:
t1 = (5 - b)x
m+3
y6
t2 = (3 + b) x8 yn Son semejantes, hallar la suma t1 + t2 a) (-8 + a)x6y8
b) (8-a)x8y6
d) - 8x8y6
e) 8x8y6
c) x8y6
• MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS ¿Cuál es el volumen del paralelípedo de la figura?
Vp = Abase x h = (3x) (x) (2x) = 6x3 La multiplicación de monomios se realiza multiplicando los coeficientes y luego la parte literal aplicando la ley de exponentes. An xam = a n+m EJEMPLOS DE APLICACION Efectúa: (a) (2xy2) (-3xy5)
Solución : (2xy2) (-3xy5) = -6x2 y7 (b) (-3x3y) (-2x2yz) Solución : (-3x3y) (-2x2yz) = 6 x5y2z
c) (-3x2z) (-2x3y2z) (-4xyz) Solución : (-3x3y) (-2x2 yz) (-4xyz) = -24x6 y3 z3 = 24x6y3z3 d) (10abc) (-3a2b) (abc3) Solución : (10 abc) (-3a2b) (abc3) = 30a4b3c4
PRODUCTO DE MAS DE DOS MONOMIOS Para obtener el producto de más de dos monomios se aplica la propiedad asociativa: se halla el producto de los dos primeros y luego el producto de este resultado con el tercer factor y así sucesivamente, hasta el último. EJEMPLOS DE APLICACION Ejemplo 1: Hallar el producto de: 8x2 por 5x4 por 3x5 Resolución: 8x2 . 5x4 . 3x5 = (8x2 . 5x4) . 3x5 8x2 . 5x4 . 3x5 = (40x2+4 ) 3x5 = (40x6) 3x5 = 40.3x6+5 )
∴ 8x
2
. 5x4 . 3x5 = 120x11
Ejemplo 2: Hallar el producto de: (3ab2c) (-4a3b2) (5cd3) Resolución: (3ab2c)(-4a3b2)(5cd3)=
[3.(−4).5][a.a 3 .b 2 .b 2 .c.cd 3 ] (3ab2c)(-4a3b2)(5cd3)= 601+3. b2+2.c
∴
1+1
.d3
(3ab2c)(-4a3b2)(5cd3)= 60a4.b4.c2.d3
Ejemplo 3: Hallar el producto de: (-5a3bc3) (-2abc3) (3ac4) Resolución: (-5a3bc3) (-2abc3) (3ac4) =
[(−5)(−2)(3)]
[a
3
.a.a.b.b.c 3 .c 3 .c 4
(-5a3bc3) (-2abc3) (3ac4) = 30a
3+1+1
.b1+1.c3+3+4 ∴(-5a3bc3)(-2abc3)(3ac4) = 305 b2 c10
]
CONSTRUYENDO CONSTRUYENDO MIS MIS CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO SS 1)
Halla el producto de cada operación a)
b)
x2.x5 =
(3x) (7x2)
c) (-5a3 bc3) (-8a2b3)
d) (9ab2m) (-3ab3m)
2)
3)
Efectúa : a)
(6xy5) (-3x2yz3)
b)
(-10bc) (-6a2b) (- 2abc)
c)
(-5mn)(2m2) (- 3n3)
d)
(0,2p2q) (0,1pq2) (-3p4 q)
1 2 3 m n 15
Halla el producto de cada operación a) (2a3) (5a2b) (a3 b3)
b) (8a3bm) (-9a2 b2) (a3m2n) (6bn3)
c) (9a3b4) (-7a4 m7) (-11m2n) (5x3b)
4)
En cada espacio libre, escribe el factor que falta. a) b) c) b)
3x 4xy2 25xy3z2 18x4
= = = =
15x3 12x3 y6 50x2y4z3 72x4 y2
REFORZANDO MIS CAPACIDADES
1) Halla el producto de cada operación a)
x3 . x8
b)
(-6a3 b) (9a2 b4)
c)
(-3x2 yz4) (-7xy3 z6)
d)
(-5x3 y2w) (18x3 w4y )
e)
(7ab2yc)(-7aby3c2)
f)
(8m3n2y) (-3mn4z5)
g)
(-12a5m2yx - 6ab3 my4)
h)
(16x3y2) (9x4 y6)
2) Halla el producto de cada operación
3)
a) b) c)
(4am2) (-6a2m) (-2a2m2) (-3b2m4) (7m2n) (-5a3m) (12x4 yz3) (-8y3xz2) (2xy)
d)
(6xn z) (8a3x2) (-4a2x3) (-3xn)
e)
(-11x3 y) (-7xz4) (2w3y4) (-w2z4)
Efectúa: a) (10x y3z) (-3xyx) (-30x3y5 z4) b) (0,3m4n5) (0,1m5n4)
3 4 5 p q pq 8 5 9
c)
1 4 2 4 1 2 7 m n m n m n 3 7 12
d) −
4) En cada espacio libre, escribe el factor que falta: a) b) c) d) e)
2x2 -7a2x4 18a3bc2d4 45x4y2 -13x3yz6
= 6x4 = 21a3x6 = 54a5b3c3d6 = 225x10 y8 = 169x8y5 z8
f)
4mnx4y3
= -60m3n5x7y5
Ejemplo: (-3xy2z)4 = +81 x12 y8 z4 Sea el exponente natural se eleva el coeficiente a dicho exponente y cada variable al producto del exponente por el de la potencia. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
1. Calcula las potencias indicadas: a) (17x3y5z)2 Solución : (17x3y5z)2 = 289x6y10z2
b) (-2abc4)3 = Solución : (-2abc4)3 = 8a3b3c12
2. Hallar el valor “a” para que el grado del siguiente monomio sea igual a 10.
[2
2
x a+2 y
a) 2
]
2
b) 4
c) –2
Solución :
[2
2
x a +2 y
]
2
[
= 4 x 2 ( a+2) y 2 = 4x 2 a+4 y
]
2
El grado absoluto GA = 2a + 4 +2 = 10 = 2a + 6 = 10 2a = 4 a=2
Rpta. (a)
d) 6
e) 10
CONSTRUYENDO CONSTRUYENDO MIS MIS CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO SS
1. Halla el resultado de: a)
(x3)2
b)
(2xy2)4
c)
(-4m2n2p3)3
d)
2.
(-2a3bz2)4
Calcula las potencias indicadas a) (- 12a3b2c4)2
b) (- 8b4b5cd3)3
c) (- 9m4n3c2)2
d) (10x10y9z8)3
3.
Hallar el valor de “m” para que el grado del siguiente monomio sea 16.
[3 a) 10 b) 7
3
x m−2 y 2
]
2
c) 14
d) 6
e) 8
4.
Halla el resultado de: a) (x3)2. (8x4)2
b)
x2y. (3x2y4)4
c) a4. (-2ab3)2 (-3a)3
d)
4x2b(-2xb)6
e) (5x2y)2. (2xy2) 3
f) 5a3. (2ab3)4
REFORZANDO MIS CAPACIDADES 1)
Halla el resultado de: a)
(a2b)3
b)
(2a3x)3
c)
(7x2y)3
d)
(3am2n3)4
e)
(xy2z4)5
f)
(-3y2 z4)5
g) (- 6a2b3c)2 h) (25xy2zt2)2
i)
(12x3yz4)2
j) (5a8b4c2)4 k) (- 7x2yz4)3 l) (- 3x4y2w5)5
2)
3)
Halla el resultado de: a)
6a3y5 (2a2y2)
b)
(3ab3)2(2ab)3
c)
(2x3)4 . (x3y)2
d)
(-3ab2)2. (-3ax) 2
e)
(-7xy3)3. (-3ax) 2
f)
(8abc3)2. (5a2bc) 2
Calcula las potencias indicadas: a) (16xy7z5)3 b) (-3a4b3c2)4 c) (-4m4n7)9 d) (16
4)
5 7 2 2 a bc )
Hallar el valor de “a” para que el grado del siguiente monomio sea igual a 20.
[5
2
x a +5 y 2
a) 2
]
b) 5
2
c) 3
d) 1
e) 0
Para hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y a continuación se escriben las letras en orden alfabético poniéndole a cada una un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor. Ejemplo 1: Halla el cociente de dividir: Recuerda 16x4 : 8x2Recuerda que: que: Resolución : 4
16 x 8x 2
amm:4 :aan n== a 16 x m - n 4 −2 - n= 2 x = = a 2 8= a xm
= 2x2 Ejemplo 2: Halla el cociente de dividir: 24x6 : (-4x3) Resolución :
24 x 6 24 x 6 = − 4 x 3 − 4 x 3
= −6 x 6−3
= - 6x3
Ejemplo 3: Halla el cociente de dividir: (- 28x4y6) : (7x3y2) Resolución :
− 28 x 4 y 6 − 28 x 4 y 6 = 4 x 4 −3 y 6 −2 = = 7 x3 y 2 7 x 3 y 2 = - 4xy4 Ejemplo 4: Halla el cociente de dividir: (- 45x5y6z3) : (-9x3y4 z) Resolución :
45 x 5 y 6 z 3 − 45 x 5 x 6 z 3 5 −3 6 −4 3 −1 3. 4. = = = 5 x . y .z − 9 x3 y 4 z −9 x y z = 5x2y2z2
Ejemplo 5: Halla el cociente de dividir: (60am+2bn+3) : (4a2b5) Resolución :
60a m +2b n +3 60 a m +2 . b n +3 = : 5 = 15a m +2 −2 .b n +3 −5 2 5 2 4a b 4 a b = 15am . bn-2
CONSTRUYENDO CONSTRUYENDO MIS MIS CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO SS
1.
Halla el cociente de las divisiones siguientes: a) (12x5y2)
÷ (3x y)
b) (22x8y4)
÷ (2x y )
c) (30x8y3z)
2
5
÷ (-6x yz)
d) (-42a3b4 c2)
2.
3
3
÷ (7a b c) 3
2
Efectuar las operaciones y hallar la reducción
36 x 2 25 x 3 2x 2 4x 3 − + 15 3 x − − 2 a) 4x x 5x 2 x
x 3 3 x 2 36 x 4 + − 3 9x 2 x
b) 18
3x 3 3 x 2 + 18 − 2 x
3) Simplificar:
A=
4)
(3 x 2 y ) 3 ( 2 xy 2 ) 2
Reducir:
48 x 3 y 2 28 x 3 y 2 − 6x 2 y 4x 2 y a) 2xy d) 0
5)
b) xy e) –2xy
c) –xy
Reducir: B=
(12ab) 3 (16c) 4 (3a ) 3 (2 6 )b 3 (216 )c 4
a) 1 d) abc
b) 2 e) ab
c) 3
REFORZANDO MIS CAPACIDADES 1)
Halla el cociente de las divisiones siguientes: a) (–56a5b6z) : (– 86abz) = ..............
b) (-48x6b7 xn) : (-12x4b3 xn)..............
c) (55x6y7z4t8) : (-5x4y2 zt3)...............
d) (-72xm+3yn+4) : (-6xmy4)............…..
2)
Halla el cociente de las divisiones siguientes:
a) (-144xn+8ym+4z4+p) : (-6x6+ny2-nz3+p) b) (-625a3x+yb2x+3yc3n+5):(-5ay+2xb2y+xc3+2n) c) (128x3+ay5+bz6+4c):(16xa+1yb+3z4c+5) d) (224x3m+n+pym+3n+q):(7x2m+n+py2n+m+q)
3)
Si A = 3x(2y) B = (3y) (2z) Hallar : AB
4)
÷ Z – 36xy
a) o
b) 12x2y
d) 18x2y
e) 2xy2
2
c) 18xy
Si P = x (x+1) Q = x (x -1)
5)
Halla el valor de
P −Q 2x
a) 1
c) x
b) 0
d) 2x e) –1
Simplificar:
( P Q + PQ ) ÷ PQ 2
P=x+1
2
y
si
Q= x–1
a) 0
6)
b) 1
c) x
d) 2x e) 3x
Efectuar las operaciones y hallar la reducción:
x3
3x 4 − 5x 4
6 x 5 − 3x 5
4x3
− + + a) 36 3x 2 − x 2 − 4 x 3 + x 3 9 x x b)
36 x 2 y 3 25 x 2 y 4 z − −8 4 xy 2 5x 2 y 3 z
16 x 2 y 3 7 x 2 y 3 z 2 4 x 2 y − xy 2 z 2
Carla tiene un terreno rectangular. Una parte será construida para vivienda y el resto para el jardín exterior. Este tendrá forma de letra ele y uno de sus anchos será el doble del otro. Como muestra la figura.
-2j 2j Casa J
a-j a
Jardín
a) ¿Cuál es el perímetro del jardín y de la casa? Pj= + a + 2j + (a-j) + ( -2j) j Pc= ( -2j) + ( -2j) + (a –j) + (a –j)
b) ¿Cuál es el área de la casa y del jardín? Aj = .a – ( -2j) (a-j) a)
Ac= ( -2j) (a-j)
Con dichos enunciados en lenguaje matemático resolvemos las operaciones con polinomios. POLINOMIOS Es una expresión algebraica racional entera que consta de dos o más términos. Si los coeficientes de sus términos son números reales, se dice que es un polinomio en R. •
NOTACIÓN POLINOMICA: Un polinomio cuya única variable es “x”.
P(x)= a0x0 + a1x1 + a2x2 +....+ anxn
•
CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO 1) Cantidad finita de términos 2) Los exponentes de las variables deben ser ENTEROS POSITIVOS O CERO. 3) Los denominadores no deben tener variables. Ejemplos : 1) 4x2 - 5x+ 2) 5m5-
1 2
Si es polinomio
7 3 7 m - 2 m+2-2 3 2 Si es polinomio
3) 6z3 - 2
7 z4 -
5 2
2z -
1 7
Si es polinomio 4) 8x3 + 5x2 – 6 + x No es polinomio 5) 5x4 + 2x2 – 5a +
1 x4
No es polinomio
3 m2
6) 3
− 3 − ( −2) − (−1) (−3) 2 + ( −2) 3 − 2 No es polinomio
7) 1 + x + x2 + x3 + x4 +......... No es polinomio •
TERMINOS DE UN POLINOMIO Los monomios o sumandos de un polinomio son los términos de un polinomio.
Con 1 sólo término recibe el nombre de MONOMIO. Con 2 términos recibe el nombre de BINOMIO. Con 3 términos recibe el nombre de TRIMONIO.
EJEMPLOS DE APLICACIÓN: 1) ¿Cuál es el valor de “a” si se sabe que los términos 6 7 x a +3 y −5 2 x 12 son semejantes? a) 6 d) 2
b) 12 e) 3
c) 9
Solución : Si son términos semejantes, los exponentes de sus variables son iguales, es decir: xa+3 = x12
→
a + 3 = 12 a=9
Rpta. ( c ) 2) Calcular m + 1m sabiendo que t1 y t2 son términos semejantes: t1 = 0,2 ym+2 ; t2 = - 5 11y 8 a) 6 d) 8
b) 7 e) 9
c) 5
Solución : Sean t1 y t2 términos semejantes:
⇒ y m+2 = ⇒ m+2 = 8
m=6 Luego: m + 1 = 8 + 1 = 9 Rpta. ( e)
3) Calcular la suma de coeficientes de los siguientes términos semejantes, sabiendo que la única variable es “x”. 3axa+5 ; - 7ax8 a) -10 d) 12
b) -8 c) -12 e) 6
Solución : Si son términos semejantes xa + 5 = x 8 ⇒ a + 5 = 8 a = 3 Reemplazamos el valor de “a” en los coeficientes de los términos y sumamos 3(3) + - 7(3) = 9 – 21 = -12 Rpta. ( c ) 4) Calcular el valor de a + 2b si los tres términos siguientes son semejantes: 2y
a+b
; -0,32y
a) 9 d) 7
7+b
; 7 3y9
b)11 c) 5 e) 2
Solución : Si son términos semejantes y
a+b
=y
7+b
= y9
⇒
a + b = 9 ....... ( 1 ) 7 + b = ⇒ b = 2 .... ( 2 ) Si b = 2 Reemplazando (2) en ( 1) a+2=9 a=7
Luego: a + 2b = 7 + 2(2) = 7 + 4 = 11 Rpta. ( b)
5) Dar la suma de los coeficientes de los siguientes tres términos semejantes que tiene a x como única variable: 3,2mxm+a a) 3,3 d) 5,2
; - 0,2m2x2+a ;
0,5mx6
b) 5,8 c) 5,6 e) 6,6
Solución : Si son términos semejantes
⇒ x
m+a
= x
2+a
= x6
⇒ m+a = 6 ........... ( 1) 2 + a = 6 ⇒ a + 4 .... ( 2 ) Reemplazando (2) en ( 1) m+4=6 m=2 Luego la suma de los coeficientes de los términos semejantes será 3,2 ( 2) + - 0,2 ( 2)2 + 0,5 (2) = 6,4 – 0,2 (4) + 1,0 = 6,4 – 0,8 + 1,0 = 7,4 – 0,8 = 6,6 Rpta. ( e)
CONSTRUYENDO CONSTRUYENDO MIS MIS CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO SS
1. Hallar el menor coeficiente si los términos dados son semejantes, de variable “y”. -
3 cy
a) 2 d) -3
c+5
3 c2y
; 2
e) -
3 c3y3
;-3
b) -2
3 3
5+c
3
c) 8
3
3
Rpta. ( ) 2.
Escribe (P) en caso que la expresión sea un polinomio y (H) en caso que no lo sea. a) 2x-5x2+6x5
(
b) 3x-2 + 3x-1 – 4 + 3x
(
c) 6
)
)
x -6x-2 + 3x
d) 3x-2y3z4 e)
3.
6 x − 2 xy 2x − y
(
)
(
)
)
Escribe (M), (B) ó (T) si la expresión es un monomio, binomio o trinomio respectivamente. a) 4x+3x2+2x2
(
)
b) 5xy - 5xy2 + 5x
4.
(
(
c) (2+3+51x
(
)
d) 2xy – 3x2y2
(
)
e) 6x + 8x3 - 2x 5
(
)
)
Calcular b-a sabiendo que t1 y t2 son semejantes de variables x e y. t1 = a3bx-3y2 ; t2 = ab3xay a) 1 d) -7
b) –1 e) 5
a+b+1
c) 7
5.
De los dos términos del problema anterior, ¿Cuál es el menor coeficiente? a) -108 d) 192
b) –192 e) 111
c) 108 Rpta. ( )
6.
Reducir a un solo término: 3x2 + 5x + 2 a) 10x2 d) 10x3
b) 30x c) 30x3 e) Imposible Rpta. ( )
REFORZANDO MIS CAPACIDADES 1. Reducir a un solo término 7xy4 - 9xy + 2y4x a) 6xy4 d) –9xy4
b) 9xy4 c) 0 e) imposible
2. Escribe (P) en caso que la expresión sea un polinomio y (N) en caso que no lo sea.
a) 2x2+6x2
- 3x2
b)
4 x 3 − 6 x 2 − 8 x + 10 7
c)
3 x + 22x2 - 30x3
(
)
(
)
d) 4x0 + 3x0 + 4x1 e) x-2 + x-1 +x0+ 3x1 3.
(
(
)
(
)
)
Reducir los siguientes términos semejantes: - 11 a) -
8 a2b5 + 7
2 5 2 ab
b) 0
2 5 2a b
d)
2 5 2 ab +3
c) -2
50 b5a2
2 5 2 ab
e) Imposible
4. El siguiente polinomio es reducible a un solo término ¿Cuál es el coeficiente de dicho término? P(x) = (a - c) x a+1 - 3acx7+(a+c)x 5 - c a) 40x7 b) 25x7 c) 48 x7 7 7 d) 17x e) x 5. Si todos los términos del siguiente polinomio son semejantes ¿Cuál es el polinomio reducido? P(y) = (m + t) y m+ t + y8 - (m - t) y t + 7 a) y8 b) 6y8 c) 15y8 8 8 d) 3y e) 9y 6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son falsas? I.
X7 + X3 = X10
II. 6y2 + 4y3 = 10y5 III. Un monomio siempre es una expresión racional entera. IV. Un término algebraico cualquiera puede ser racional entero o racional fraccionario e inclusive irracional. 7.
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? I.
3
2 X es un monomio de grado 3.
1 II. P(x) = x + x Es un polinomio.
III. P(x) =
7 x 7 − 6,2 x 3 +
1 3
Un polinomio en R.
2 IV. P(x)= x + 5 x + 1 polinomio en R.
a) Sólo II. d) I y III
b) Sólo I. e) Sólo III
c) Todas
8. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas? I.
3X3 - 10X +
1 es un POLINOMIO 3
II. 6 x 3 + 2 x No es un POLINOMIO III. 1 + y2 + y3 + ........ No es un POLINOMIO IV. 10X-1 + 6X2 + 2 es un POLINOMIO a) Sólo I. b) Sólo I y II. d) Sólo IV. e) Todas
c) Sólo III
9. ¿Cuál es el valor de “a” si se sabe que los términos son semejantes?
2 3 x 2 a +1 ; a) 8 d) 9
1 12 +a x 2
b) 10 e) -10
c) 11
10. Calcular m2 – 3 sabiendo que t1 y t2 son términos semejantes. t1 = 0,23ym+12 t2 = -6,2 5 y a) 4 d) 1
2m+10
b) 3 e) 5
c) 0
GRADO DE UN POLINOMIO a)
GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO (GA) Esta dado por el mayor de los grados absolutos de sus términos. Ejemplo:
El mayor es 8, luego GA = 8 b) GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (GR) Esta dado por el mayor de los exponentes de la variable referida. Ejemplo : P = (x,y) = 3x4y - 5x3y7 + 2x5y - y4 GRx = 5 GRy = 7 EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1)
Escribir los grados correspondientes a cada una de las expresiones dadas. EXPRESIÓN
GA
GRx
GRy
GRz
GRt
7 2
1 3
4 1
-
10
1
8
-
1
1 2
1 2
1 1
-
-
-5x7yz4 12 2 3 -2 7 x y z 6
1 8 xy t 5 X+y 2x2+x+y 2)
¿Cuál es el grado de la siguiente expresión? P
(x)
a) 4 d) 8
= 1 + x +2x2 + 3x3 + 4x4 +…… b) 10 e) No tiene grado
c) 6
Solución : Es una expresión de infinitos términos por lo tanto no es polinomio y no tiene grado. Respuesta (e) 3)
Dar el grado del siguiente polinomio P(x) = 6 + xm - 3 a) m d) m+7
1 m+3 x 5
m+7 + 2x
b) 6 e) 12
c) 10
Solución : El grado o grado absoluto, está dado por el mayor de los grados absolutos de sus términos. El polinomio es un trinomio de grado m+7. Respuesta ( d ) 4.
Hallar m si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 10. P(x) = 7 +5xm+6 - 3xm+7 a) 1 b) 5 d) 4 e) 2 Solución :
c) 3
En el trinomio el mayor grado absoluto de sus términos es “m+7”,
⇒ m + 7 = 10 m = 3 Respuesta ( c ) 5.
Calcular “a” si el siguiente polinomio es de cuarto grado. P(x) = 3
2 + 9 x a −4 −
1 a −3 x 2
a) 7 b) 2 d) 6 e) 5 Solución :
c) 4
En el trinomio el mayor grado absoluto de sus términos es a - 3
⇒a
- 3= 4
,
a=7
Respuesta ( a )
CONSTRUYENDO CONSTRUYENDO MIS MIS CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO SS 1)
Escribir los grados correspondientes a cada una de las expresiones dadas. EXPRESIÓN 6x3yz4 X3 +xy - t5
GA
GRx
GRy
GRz
GRt
1 7 t − x 3 yz + t 4 3 M(x)= 9m4x P(x;y)=
3 7 xy 3 − x 4 z 3
2)
Hallar m+n si el siguiente polinomio es de grado 8 respecto a “y” y de 3° grado respecto a “x”. m −2 + 2 x m y n −3 + P(x,y)= 11x
a) 9 d) 11
3)
1 m +1 n −2 x y 1+ 3
b) 12 e) 17
c) 15
Del siguiente polinomio se conocen los siguientes datos: GRx = 7 ;
GRy = 8
P(x,y)= 2 x m +1 − 3 x m y n + 5 y n +2 ¿Cuál es el GA de P(x,y)? a) 12 d) 14
4)
b) 10 e) 11
c) 9
Hallar “m” si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 14. m −9 + 3 x m +8 + P(x)= 16 − 6 x
a) 23 d) -9
b) 6 e) 8
5 m x 3
c) 14
5.
Hallar la suma de coeficientes de: P(x) si este polinomio es grado 7 m P(x)= 3 x −
a)
d)
17 3 23 3
1 m +2 x − x m +4 3 b)
5 3
e) −
c)
11 3
23 3
REFORZANDO MIS CAPACIDADES 1.
Escribir los grados correspondientes a cada una de las expresiones dadas. EXPRESIÓN GA GRx GRy GRz GRt
0,35tz 1-9ytz 3x2y-2 2 y 2t −t 2
M(x,y)= 6 2a 7 x 7 y 7
E(y,t)= 2y2 – 3t3 2.
¿Cuál es el grado absoluto de la siguiente expresión?
P = (x,y) = 6x4y5 - 0,2x9y + 18xy20 a) 9 d) 20 3.
b) 21 e) 10
c) 40
¿Cuál es el grado absoluto de la siguiente expresión? P(x,y) = 2
3 x 4 y −5 x −3 y 8 +10 2 x −1 y 9
a) 8 b) 5 d) No tiene grado
4.
c) 18
e) 10
Dar el grado del siguiente polinomio. P(x,y)=0,3
2x9 y 7 −
1 3 2
x 4 y 9 + 0,28 x 5 y 5
a) 16 b) 13 d) No tiene grado 5.
c) 10 e) 39
Dar el grado del siguiente polinomio. m +2 + M(x) = 10 +xm-5 - 2 3 x
1 m x 8
a) m b) m+2 d) No tiene grado 6.
c) m-5
e) 1
¿Cuál de las siguientes afirmaciones son ciertas? I. Un polinomio es una expresión algebraica racional entera. II. El grado es una característica sólo de los polinomios. III. Si los coeficientes de un polinomio son números reales, entonces se trata de un polinomio en R. IV. Al establecer el grado de un polinomio sólo se toman en cuenta los exponentes de las variables. a) Sólo I. d) I y II
7.
b) Sólo II. e) Todas
Calcular “a” si el siguiente polinomio es de 8° grado. P(x) = 6 5 +
1 a +8 1 a +3 x − x 3 7
a) 5 b) 0 d) No tiene grado 8.
c) Sólo III
c) 8
e) 11
Hallar la suma de coeficientes de P(x) si este polinomio es de grado 10. P(x) = 2mxm -
a) 14
1 m +2 x − x m +3 2
b) 28
c)
25 2
d)
9.
25 3
e) 7
Hallar la suma de coeficientes de P(x) sabiendo que es de GA =12. P = (x) = 2a2xa+1 - 3axa+5 + 7axa+10 a) 14 d) 6
b) 12 e) 16
c) 8
10. Hallar el valor de m si el polinomio. P(x,y) = es de GRx = 10 P(x,y)=
291 x m +7 y 8 − 3 7 x m +3 y 2
a) 1 d) 7
b) 5 e) 6
c) 3
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO Ejemplo: P
(x)
= 2x3 + 3x2 + 3; x = 2
Hallar V.N P
(2)
= 2(23) + 3(22) + 3
= 16 + 12 + 3 = 31 El V.N de un polinomio es el resultado de sustituir x por a.
EJEMPLO DE APLICACIÓN 1)
Hallar el V.N de 3xy2 + 3x2y para x = 6; y = -2 a) -144 d) -88
b) -188 e) -44
c) -288
Solución : 3(6) (2)2 + 3 (-6)2 (-2) = -18(4) – 6(36) = -72 – 216 = -288
2)
Rpta. ( c )
Calcular el V.N de la expresión E para x = -3, y = -2 y m = 1 E=
2x − y − m x2 + y3 + 2
1 19
a) −
3 19
b) −
c) +
3 19
d) 19
e) 0
Solución : E=
2(−3) − (−2) − ( −1) ( −3) 2 + ( −2) 3 + 2
E=
− 6 + 2 +1 − 3 = 9 +8+ 2 19 Rpta. ( b )
3)
Calcular el V.N de S para a=
3 y b = -2.
S = (a 2 + b3 ) : (a 4 − b 2 )
1 3 1 e) 18
a) -2
b)
d) -1
[( S=
) ( 3) 3
2 4
+ ( − 2)
− ( − 2)
3 2
c)
1 5
] = 3 − 8 = − 5 = −1 9−4
5
Rpta. ( d ) 4)
El V.N. de F es 7 para x = 1, y = 2 ¿Cuál es el valor de a? F = ax2 + y2 a) 6 d) 4
b) 7 e) 5
c) 3
Solución : F = a (1)2 + (2)2 = 7 a+4=7 a= 3 Rpta. ( c ) 5)
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? I. El valor numérico (V.N) de una expresión algebraica es siempre un número entero. II.
Dado P
(x)
III. M(a,x)=3
= x2 + 2x + a2 las únicas variables son a y x. 2 7 2 a x es un monomio cuya única variable es x.
IV. En el monomio M(x) = -7 11a 5 x 7 el coeficiente es -7 11 a) Sólo I. d) I y II
b) Sólo II. c) Sólo III e) Todas Rpta. ( e )
CONSTRUYENDO CONSTRUYENDO MIS MIS CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO SS 1. Dado P(x) = 3x3+2x2+x+4; Hallar P(2) - P(1)
Rpta. 28 2. Dado Q(x) = 2x3 – 3x2 + 5x – 3, hallar Q (3) - Q (4)
Rpta. 58
3. Si P(x;y) = x2 + 2xy –y2 . Hallar P(2;1) + P(1;2) Rpta. 8 4. Si Q(x;y) = 3x3 – 2x2 y + 3xy2 – 2y3 ; hallar
Q (3;2) - 2Q Rpta. 65 5.
El V.N de x2 + xmy + y2 para x = debió haber dado a m. a) 2 d) 6
6.
(2;3)
b) 3 e) 10
c) 5
Si P(x+1) = 3x – 2 Calcular P ( p ( 2) ) + P ( P ( P ( 2)) ) a) 15 d) 12
b) -13 e) -10
c) 0
REFORZANDO MIS CAPACIDADES 1.
Si P(x) = 3x-1, calcular P (1) P(0)
2.
Si P(x) = 2x+1,
P(1)
calcular
3.
Sea P(x) = 3x+1; Q(x) = 2x-3 Calcular:
4.
Si P(x) =
P( 0 ) P( 2 )
+
Q( 3) P (o )
x x −1 y Q(x) = +1 2 3
Calcular:
5.
+ P( −1)
P( 0 )
P( 2 ) .Q( 3) 1 + P( 7 ) + Q(8)
Si P(x) = x2+2x+1 y Q(x) = 2x-1 halla
18 e y =
2 es 50. Calcular el valor que se le
[
]
[
P Q(3) + P Q(1)
] P( 4 ) + P( 5)
6.
Si P(x) = x2+2x+1,halla
7.
Si P(x) = 2x + 4, Q(x) = P(x+1). Calcula Q(1) a) 2 d) 8
8.
b) 4
c) 6 e) 10
Si P(x) = 3x + 1 Q(x) = P(X+1) .Calcular Q [Q (o )] a) 2 d) 16
9.
b) 4 e) 32
c) 8
Si el polinomio P(x) = x2 - 6x +9 determinar el valor de
a)
5 7
d)
3 4
b) 1
e)
c)
2 3
1 4
10. Sabiendo que: f(x-1) = (1 + x) (1 + x2) (1 +x3)(1 + x4)(1 + x5) Calcule f(o) a) 1 d) 2
b) 0 e) 32
c) -1
P( 2 ) + P( 3) P( 3) + P( 4)
ADICION Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Estas operaciones se resuelven eliminando los paréntesis de cada polinomio (tomando en cuenta la regla de los signos) y reduciendo los términos semejantes. Ejemplo: Efectuemos la operación : (5x2 + 3) + (3zx2 + 2x2y) – (7z2+ 4x2y - 8) = 5x2y + 3 + 3z2 - 2x2y – 7z2 - 4x2y + 8 = x2y – 4z2 + 11
EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1.
Efectúa las siguientes operaciones con polinomios. a) (7a2 + 6) + (4a2 - 9) Solución : 7a2 + 6 + 4a2 – 9 = 11a2 - 3
b) - (2p3 – 4pq) - (pq - qp3) Solución : -2p3 – 4pq - pq - p3q = -2p + 3pq + p3q
c) (4a2 + 5b2) + (7a2 – 9b2) Solución : 4a2 + 5b2 + 7a2 – 9b2 = 11a2 – 4b2
d)
(3pq2 – 4p2q) - (8p2q - 4pq2)
SOLUCIÓN: 3pq2 + 4p2q – 8p2q + 4 pq2 = 7pq2 – 4 p2q
2.
Efectúa E + F si : E = 1 + x – x2 F = x2 - x – 1 a) 0 d) 1
b) 2 c) x e) 2 + 2x + 2x2 Solución : Ordenando E = x2 + x + 1 F=
x2 − x −1 =0 0x 2 − 0x + 0
Rpta. ( a ) 3.
Efectuar M = 3a2 – b - c2 S = b + c2 - 3a2 a) 0 d) 2a
b) 2 c) a2 e) 6a2 – 2b – 2c2
Solución : Ordenando M = 3a2 – b - c2 + S=
+ 3a 2 − b − c 2 6a 2 − 2b − 2c 2
Rpta. ( e )
4. Reducir: pq5 + 3p2q4 + 6pq5 - 2 p2q4 + 3pq5 a) - 8pq5 b) 9pq5 +5p2q4c d) 8pq5 + p2q4 e) p2q4 Solución : -pq5 + 3p2q4 + 6pq5 - 2 p2q4 + 3pq5 = 8pq5 + 2 p2q4 Rpta. ( d )
c) 0
CONSTRUYENDO CONSTRUYENDO MIS MIS CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO SS 1. ¿Cuántos términos tiene el polinomio que resulta de P( x) + Q(x) Si P( x) = x5 + x3 + 2x Q= x4 + x2 – 2 ? a) 7 d) 4
b) 6 e) 5
c) 3
2) Sean los polinomios P( x) = 3x5 + 2x4 + 6x3 - 2x2 P( x) = 2x3 + 2x + 3 El coeficiente de x3 que resulta en P( x) = -2Q( x) es : a) 3 d) -3
b) 2 e) 4
c) -2
3. Si P( x) = 3x4 + 2x3 + 3x2 N( x) = 6x2 - 2x3 + 2x4 El resultado de P( x) – N( x) es: a) x4 + 4x3 – 3x2 b) x4 – 4x3 + 3x2 c) 3x4 – 3x3 d) 2x4 – 4x3 e) x4 – 4x3 + 3x2 4. Si P( x) = ax2 - bx Q( x) = 2ax2 - 3bx El coeficiente de x que resulta en P( x) - Q( x) a) a - b b) –3b c) –4b d) 2b e) 4b 5. Sean P( x) = (3a –1)x2 + 3x + 2 Q( x) = 4x2 - bx - 2 Y P( x) + Q( x) = 0, halla a + b a) a d) -1
b) 2
c) 3 e) -2
REFORZANDO MIS CAPACIDADES 1. Dado los polinomios: P( x) = 2x2 + 3x - 5 Q( x) = x2 - x + 7 R( x) = 3x2 + 8x - 10 Hallar a) P( x) + Q( x) b) R( x) ) + P( x) c) Q( x) ) - P( x) d) R( x) ) - Q( x) e) P( x) + Q( x) - R( x) 2. Las adiciones se pueden ordenar verticalmente. Halla el resultado de cada adición de polinomios. a)
P( x)
: 13x3 – 3x2 + 5x – 64 +
Q( x) )
: 24x3 – 8x2 - 7x – 48
R( x) )
:
17x2 - 13x – 50
P( x) + Q( x) ) + R( x) :
b)
R( y) )
:
1 5 3 3 5 2 y + y − y + 2 4 7
Q( y)
:
3 5 2 4 1 3 y + y − y 4 3 5
R(y) + Q( y) : 3. Dado el polinomio R( x) : 30x3 - 7x2 - 0,5x + 7,8 determinar un R( x) : T( x) : R( x) + T( x) :
polinomio T( x)
para que la suma
4. De a2 + b + 1 restar la suma de a2 – 2b con 3b + 1 a) a2 + b d) a2 b
b) 2 a2 + b e) 0
c) 2a2 +b
5. Cuánto le falta a 1 – x para ser igual 1 + x? a) 3x d) 1
b) 2x e) –2x
c) 2
6. Si P( x) = 1 - x2 + x Q( x) = 2 – x R( x) = x2 + 2 ¿Cuánto le falta a la resta de Q menos R para ser igual a la suma de P más Q? a) 3 + x b) 2x2 – x - 2 c) x2 – x + 1 d) x - 3x2 + 1 e) 1 – 3x + x2 7. ¿Cuánto le falta a B para que sumado con C dé A? A=x+
a) x -
x 1 1 ; B = 2x ; c=1 2 3 2
1 2
1 +6 2 1 c) x + 2 1 1 d) x2 6 x e) 1 3 b)
8. ¿Cuánto hay que restar de –7x2 + 6x + 1 para obtener 6x – 7x2 - 7 a) 8 b) – x2 + x - 2 2 d) x - x – 5 e) x - 7
c) 2x-3
9. Restar de A, lo que queda de quitarle c a b. a = 5x2 + x + 3 b = 3x2 – 5x2 – 1 c = 3x2 + 2x – 7 d = 3x2 + x – 1 e = 13x2 – 5 f = 2x - x2 + 2 g = 11x2 – 5x + 1 h = 8x2 – x + 8 10.
Efectuar 6 + (x2 + x – 1) (x + 2) -x(x2 3x + 1) a) 5 d) x -1
b) 2x e) x + 1
c) 4
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Se resuelve aplicando, la propiedad distributiva una o mas veces según sea necesario. Ejemplo: - 6x2y (4x3y2 – 3yz4) = (-6x2y) (4x3y2) + (-6x2y) (-3yz4)
= -24x5y3 + 18x2y2z4)
EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1. Efectúa las siguientes multiplicaciones. a) -3(5x4y + 8x2y) Solución :
b) -5abc2(4ac3 + 1,2ab2) Solución : -20a4bc5 – 6,0a4b3c2
c)
Solución : 4x2 - 10x + 10x – 25 = 4x2 - 25 d)
7 6 2 3 9 2 2 3 xy x y + x y − 3 7 14 2
Solución :
7 3 6 2 3 7 3 9 3 2 xy x y + xy x y 3 7 3 14 7 − 3 + xy 3 3 2 = 2x3y6+
3 4 5 7 3 x y − xy 2 2
2. Efectuar (x – 2) (2 + x) + 4 a) 2x2
b) x + 5
d) x2 + 1
c) x2
e) 2x2 - 3
Solución : (x – 2) (2 + x) + 4 2x + x2 - 4– 2x + 4 = x2 Rpta. ( c ) 3. (x2 –1) (x2 + 2) - (1+ x2) (x2 - 2) a) x2 + 1
b) -2x2
c) x2- 1
e) 2x2
d) x + 1 Solución :
(x2 –1) (x2 + 2) - (1+ x2) (x2 - 2) = x4 + 2x2 - x2 – 2 – (x2 – 2+ x4 - 2x2) = x4 + x2 - 2 – (-x2 – 2+ x4) = x4 + x2 - 2 + x2 + 2- x4 = 2x2 Rpta. ( e )
4. Efectuar: (x + a) (a + b) + (a - b) (x - b) - (a + b) (a - b) – 2b2 a) 2ax
b) ax + b
d) ax + 2b
c) ax - b2 e) –2ax
Solución : (x+a)(a+b)+(a - b)(x - b)–(a+b)(a - b)–2b2
ax + bx + a 2 + ab + ax − ab − bx + b 2 − a 2 + ab − ab + b 2 − 2b 2 2ax + 2b 2 − 2b 2 = 2ax
Rpta. ( a ) 5. Efectuar:
(32x2 - 20x3)+ 2 x − a) 11x-6
1 2 (5 + 10 x −15 x) 5
b) 12x + 3 c) 13x-1
d) 17x - 1 e) 6x + 2 Solución :
(32x2 - 20x3)+ 2 x −
1 2 (5 + 10 x −15 x) 5
32x2- 20x3+10x + 20x3 –30x2 – 1 - 2x2 + 3x = 13x –1 Rpta. ( c )
CONSTRUYENDO CONSTRUYENDO MIS MIS CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO SS
1. Si R(x) = 6x(2x – 1) + x (3x –2) Q(x) = x(2x – 1) + 3(x2 –2x+1) Hallar N(x) = R(x) + Q(x) 2. Si P(x) = 3x (1+2x-x2) – 6x + x2 Q(x) = x (1+x) – 3x(1 + x) Hallar A(x) = Q(x) - P(x) 3. Escribir El resultado de las siguientes multiplicaciones a)
(2x +y) (x –2y)
b)
(xy -1) (2x –2)
c)
(2 + x2) (3x –1)
d)
(x -1) (x +1)
4. Hallar el área de la figura
5. Si P(x;y) = 2xy (x + y) + 3(3x2y+2y2x) Q(x;y) = (x + y) x + y – 2xy (4-3) (x+y) El número de términos de: A(x;y) = P(x;y) + Q
(x;y) es
a) 0
d)3
b) 1
c) 2
e)4
REFORZANDO MIS CAPACIDADES 1) Dado los polinomios: P(x) = 5x2 – 6x + 4 Q(x) = 8x2 – 5x + 3 R(x) = x3 – 2x2 – 5x + 4 Hallar el resultado de las siguientes operaciones a)
4 P(x)
b)
7x2 Q(x)
c) – 8 R(x) d) –5x2y P(x) e) – 10xy2Q(x) f) -7x2y3 R(x)
2) Efectuar ls siguientes multiplicaciones y hallar el resultado reducido. a)
(x+5) (x + 2)
b)
(2x + 3) (x + 1)
c)
(3x - 2y) (5x + 3y)
d)
(x - 3) (x - 3)
e)
(x + 7) (x - 7)
f)
(x - y) (x + y)
3) Hallar el área de la siguiente figura.
a) 36xy d) 12zy
b) 12xz e) 12x(3y + z)
c) 36zy
4) Efectúa la siguiente operación combinada. a) 4a2 – 2a (3a + 5b2) b) 3a (b + 2c) – 4ab
5) Efectúa 2x (3y - x) + y (x + 2y) 6) Halla el área de la región sombreada
a) d)
3x2 b) x2 – 4 c) 3x2 + 8x 2 3x – 2 e) 2x – 2
7. Halla el área de la región sombreada:
a) 12x2 + 3x b) 15x2 - x c) 11x2 + 22x d) 30x - 4x2 e) 15x2 – 8x
8. Efectúa - 3n (5m3 – n) – 1,5m (-2m2n – 7n) a) - 12m3n + 10,5 mn b) –15m3 n + 3 n2 c) 18m3 + 3n2 + 10,5mn d)
22m3 + 10,5mn
e)
3m3 n + 3 n2
9. Efectúa - 6xy (3x2 + 2xy)+ 3x2 (9x + y2)+ 4x2y2 10. Halla el área de la región sombreada.
x+1
POTENCIACION DE POLINOMIOS Recordemos que:
an = a x a x a x a x …. a = P n veces Es decir: la potencia P es el resultado de multiplicar por si mismo n veces una base a. Si esta base es un POLINOMIO, entonces tendremos POTENCIACION DE POLINOMIOS. Ejemplo: (5x+3)2 = (5x+3) (5x+3) = 25x2= + 15x + 15x + 9 = 25x2= + 30x + 9
EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1. Efectuar:
a) ( x - 1) 2 Solución : ( x - 1)2= ( x - 1) ( x - 1) = x2 - x – x + 1 = x2 - 2x + 1 b) (3x2 + 6) 2 Solución: = (3x2 + 6) 2 = (3x2 + 6) (3x2 + 6) = 9x4 + 18x2 + 18x2+ 36 = 9x4 + 36x2 + 36
1 c) x 2 + 3 3
2
Solución :
1 2 1 2 1 2 x + 3 = x + 3 x + 3 3 3 3 2
=
1 4 x + x2 + x2 + 9 9
=
1 4 x + 2x2 + 9 9
2. Efectuar: ( x + 1) 2 - ( x - 1) 2 a) 2x – 1 d) 7x + 3
b) x + 1 e) 2x
c) 6x – 3
Solución : (x + 1)2 - ( x - 1) 2 = (x + 1) (x + 1) - ( x - 2) ( x - 2) =
x2 + x + x + 1 – (x2 - 2x – 2x + 4)
=
x2 + 2x + 1 – (x2 - 4x + 4) x2 + 2x + 1 – x2 + 4x - 4) 6x – 3
= =
Rpta. ( c ) 3. Efectuar: = 7 ( x – 7 )2 - 7 ( x + 7 )2 a) 196
b) 196x
c)-196x
d) 192x
e) -192x
SOLUCIÓN: = 7 (x - 7) (x - 7)- 7 (x + 7) (x + 7) =7(x2–7x-7x+49)–7(x2 +7x+7x+49) =7( x2–14x+49 ) – 7( x2 +14x+49 )
=7x2 – 7(14x)+7(49)–7x2– 7(14x)-7(49) - 2.7 (14x) = - 14 (14x) = -196x RPTA ( C )
4. Efectuar: ( x3 - 3x) 2 - [ ( x + 1)( x − 1) ] ( x + 2)( x − 2) 2
a)
1
b) 5
c) 7
d) 4
e) 8
Solución :
[
]
2
( x3 - 3x) ( x3 - 3x) - x 2 −1 ( x 2 − 4) x6 - 3x4 - 3x4 + 9x2 – (x2 - 1) (x2 -1) (x2 - 4) x6 - 6x4 + 9x2 – (x4 – 2x2 + 1) (x2 -4) x6 - 6x4 + 9x2 – (x6 – 2x4 + x2 –4x4 + 8x2 -4) = x6 - 6x4 + 9x2 – (x6 – 6x2 + 9x2 –4) = x6 - 6x4 + 9x2 – x6 – 6x2 + 9x2 –4 =4 Rpta (d)
CONSTRUYENDO CONSTRUYENDO MIS MIS CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO SS
1. Ðe que grado es el siguiente polinomio? P(x) = x3 (x5 – 3)2 + 3x (x8 + 1)2 a) 15 d) 14
b) 13 e) 8
c) 17
2. Dar el grado del producto de P(x) y Q(x) sabiendo que: P(x) = (x17 + x2 + 1)2 (x + 5) + x3 - 3 Q(x) = (2x7 - 5x3 + 3)x2 - x – 1 a) 12 d) 44
b) 15 e) 36
c) 22
3. ¿Cuál es el término independiente al elevar al cubo el binomio (x + 4)? a) 4 d) 12
b) 64 e) -12
c) 8
4. Dar el término que no depende de “y” al efectuar (2y + 2)3 a) 4 d) 5
b) 6
c) 8 e) 7
REFORZANDO MIS CAPACIDADES
1. Efectuar: a)
(3m5 + 3)2
b)
(3mn2 - 3)2
c)
(a – 2b)4
d) (x2 - 1)4
2. Efectuar: (x + 3)2 – (x + 1) a) 2x + 1 b) 6x + 9 c) 6x + 8 d) 4x + 8
e) 4x + 9 3. Hallar: (x2 + 3)2 – (x2 - 2)2 (3) + 2x4 – 18x2 – 8 a) 9 b) –12 c) - 8 d) - 11 e) 13 4. ¿Cuál es el grado del producto P(x) y Q(x)
sabiendo que:
P(x) = (2x10 + 3)2 – x3 + 1 Q(x) = (x18 – 3x12) x2 – x + 3 a) 36 d) 20
b) 24 e) 44
c) 56
5. ¿Cuál es el término independiente al elevar al cubo el binomio (3m 2 + 6)? a) 36 d) 216
b) 12 e) -24
c) 18
6. Dar el término que no depende de “z” al efectuar (3z + 8)3 a) 24 b) 64 c) 512 d) 16 e) -32 7. Efectuar : (x + 3)2 - (x - 1)2 + (x - 3)2 - (x + 1)2 a) 18 d) - 6
b) - 2 e) 10
c) 16
8. Efectuar : (x + 5)2 - (x + 2)2 - (x - 2)2 - (x - 5)2 a) 50 b) 25 c) 42 d) - 8 e) 21 9. Dar el término independiente al efectuar (x + 3)2 - (18x + 32) a) - 32 b) 9 c) - 23 d) 41 e) - 9 10.
Dar el grado del producto A(x), B(x) y C(x) si se sabe que:
A(x) = (2x3 - 1)2 x4 + x - 6 B(x) = (x2 - 3)2 x + 5x2 - 1 C(x) = (x - 5)2 a) 10 d) 19
b) 17 e) 14
c) 15
SUMA DE COEFICIENTES Dado un polinomio:
a0 + a1 + a2 + …. + an : Suma de coeficientes a0 : coeficiente principal Para hallar la suma de coeficientes de un polinomio basta igualar a 1 sus variables y operar, el resultado nos da la suma de coeficientes del polinomio.
Ejemplos 1. Si P(x) = 3x2 + 5x + 2, hallar la suma de coeficientes de P(x): Resolución:
P(x) = 3x2 + 5x + 2 P(1) = 3(1)2 + 5(1) + 2 P(1) = 3 + 5 + 2 = 10
∴
Suma de coeficientes de P(x) es 10.
2. Si P(x) = (x + 1)3 + (2x – 1)2 + (3x – 2)4 ¿Cuál es la suma de los coeficientes de P(x)? Resolución: P(x) = (x + 1)3 + (2x - 1)2 + (3x - 2)4 P(1) = (1 + 1)3 + (2 - 1)2 + (3 - 2)4 = 23 + 12 + 14 = 8 + 1 + 1 = 10
∴
Suma de coeficientes de P(x) es 10.
TERMINO INDEPENDIENTE Para hallar el término independiente de un polinomio, respecto a unas variables, basta con igualar a cero dichas variables, operar y el resultado nos da el valor del término independiente del polinomio. P(0) = término independiente del polinomio P(x) Ejemplos 1. Si P(x) = x2 - 5x + 3x + 18 ¿Cuál es el término independiente de P (x)? Resolución : Vemos que el término independiente es 18. Un modo de obtener este término es haciendo x = 0, esto es: P(x) = x2 - 5x + 3x + 18 P(0) = (0)2 – 5(0) + 3(0) + 18 P(0) = 18 (Término independiente de P(x). 2. Si Q(x) = (x + 1)2 – 10(x + 3). Hallar el término independiente de Q(x). Resolución : Q(x) = (x + 2) 3 + (x + 1) 2 - 10(x + 3) P(0) = (0 + 2)3 – (0 + 1) 2 - 10(0 + 3)
∴El término independiente de Q
(x)
P(0) = 23 +12 - 10(3) = 8 + 1 - 30 = -21
es - 21.
1.
2.
CONSTRUYENDO CONSTRUYENDO MIS MIS CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO SS
Hallar la suma de coeficientes en los siguientes polinomios. a)
P(x) = 7x3 + 3x2 - 5x + 2
b)
N(x)= (2x–3)4 + (2x – 1)3 + (x + 1)=
c)
T(x) = (3x – 2)2 + (4x – 3)3 + 6x5
Hallar el término independiente de cada uno de los siguientes polinomios a)
P(x) = 8x3 – 5(x2 + 1) + 7 (x2 – 1)
b)
A(x) = 2x4 – 5x3 - 3x2 – 4 (x2 – 10)
c)
C(x) = 3x2 (x–2) + 4(x3 – 3) (2x4 + 5)
3.
Sean A = x10 - x8 - x4 + 10x2 + 3 B = 3x4 + 2x3 - 5x Hallar el coeficiente principal de B – A
4.
Si f g
(x) (x)
= x2 – 4x – 1 = x3 – 4x – 1
Hallar el término independiente de P(x) = f
5.
(x)
g(x)
Hallar el término independiente del polinomio P(x) = (x + 1) (x + 2) + (x - 1) x (x - 2) a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
6. ¿De cuál de los polinomios su término independiente es diferente de cero? a)
(2x – 1) (4x – 2) (3x)
b) (2x) (6x) - (3x) (2x3)
c) x4 - 3x3 + 4x2 – 5x
d) (2x - 1) (6x - 2) (4x -2) (3x - 1)
e)
(2x - 1) (5x + 2) + (x + 1) (x2 + 2)
REFORZANDO MIS CAPACIDADES 1. Halla la suma de coeficientes de cada uno de los siguientes polinomios. a) Q(x)= 8x3 + 10x2 - 15x - 3 b) P(x)= 8(x2 – 1) + 5(x + 2) - 3 c) M(x)= (x + 1) 3 + (x - 1) 2 + 3(x + 2) 2. Hallar el término independiente de cada uno de los siguientes polinomios. a) Q(x)= 4x2 – 6(x2 + 1) + 7 (x3 + 2) b) R(x)= 3(x + 2)3 +(x + 3)2 - 2(x + 10) c) B(x)= (x2+2)3 - (x3 - 2)3 + (x+2)(x-3) 3. Sean A = x2 + 3x + 2 B = x3 + 3x - 3 Hallar el término independiente de A–B. 4. Sean A = x4 - x3 + 2x2 – 5x- 3 B = 3x4 + 2x3 – 5x Hallar la suma de coeficientes de A + B 5. Sean P (x)= 3x(x3 – 2x + 3) Q (x) = 2x (x2 – 3x + 1) Hallar a) P(0) + Q(0) b) Si N(x) = P Hallar N
(0)
(x)
+ Q(x)
P (x)= (x – 2) (x + 3) (x2 – 2) Q (x) = (x + 1) (x – 2) (x3 – 1)
6. Si
Hallar a) P(2) + Q(2) b) Si A(x) = P (x) + Q(x) Hallar A (2) B (x)= A(x) (x3– 3x2 – 3x+2) A (x) = 4x2 – 3x + 8
7. Si
Hallar el término independiente de B (x)
8. Hallar la suma de coeficientes de: P(x) = (x4 – 3x2 + 2X – 1) (x5-4x2+2x+1) 9. Si P (x) = 3x2 + 4x – 6 y Q(x) =x3 – 2X2 + 3x-1 Hallar la suma de coeficientes de: A(x) si:
A(x) = P(x) . Q(x) a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
10) Hallar el término independiente de P(x) Q(x) Si: P (x) = 4x3 +3x2 + 2x - 3 Q(x) = x4 – 2X3 - 2x2+3x a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
