Ok Algebra I

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA

UNIDAD ACADÉMICA SANTA CRUZ Facultad de Ciencia y Tecnología

Ingeniería de Sistemas

PRIMER SEMESTRE

SYLLABUS DE LA ASIGNATURA ASIGNATURA ÁLGEBRA

Revisado por: Lic. Rodolfo E. Arana Gonzales Gestión Académica I/2008

U N I V E R S I D A D

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A Q U I N O

B O L I V I A


UDABOL UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01

VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD

Ser la Universidad líder en calidad educativa. MISIÓN DE LA UNIVERSIDAD

Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad. Estimado (a) estudiante: El Syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte brindarte una educación educación de la más alta calidad. calidad. Este documento documento te servirá servirá de guía para que organic organices es mejor mejor tus proces procesos os de aprend aprendiza izaje je y los hagas hagas mucho mucho más produc productiv tivos. os. Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.

Aprobado por:

Fecha: Enero del 2008 SELLO Y FIRMA JEFATURA DE CARRERA


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UDABOL UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01

VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD

Ser la Universidad líder en calidad educativa. MISIÓN DE LA UNIVERSIDAD

Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad. Estimado (a) estudiante: El Syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte brindarte una educación educación de la más alta calidad. calidad. Este documento documento te servirá servirá de guía para que organic organices es mejor mejor tus proces procesos os de aprend aprendiza izaje je y los hagas hagas mucho mucho más produc productiv tivos. os. Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.

Aprobado por:

Fecha: Enero del 2008 SELLO Y FIRMA JEFATURA DE CARRERA


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SYLLABUS Álgebra Asignatura: MAT – 101A Código: Ninguno Requisito: 100 horas Carga Horaria: Horas Teóricas 50 horas Horas Prácticas 50 horas 10 Créditos:

I. OBJETIVOS ASIGNATURA.

GENERALES

DE

LA

En esta asignatura tenemos objetivos de dos tipo tipos: s: uno uno enca encami mina nado doss a la form formac ació ión n Científica y otros a la Formación Personal. Form Formac ació ión n Cien Cientí tífifica ca:: Se pret preten ende de que que el alumno alumno domine domine todo todo lo relaci relaciona onado do con con el álgebra y su uso en el estudio de los conjuntos, os, la lógica y las estructuras algebraicas. Al final del curso el estudiante conocerá el uso de símbolos en la representación de la realidad. realidad. Podrá usar expresione expresioness algebraicas algebraicas para resolver problemas. Nos ponemos como meta que el alumno adquie quierra nuevos conc concep epto tos, s, técn técnic icos os y resu resultltad ados os que que son son import ortantes para su formación como universitario, y porque dichos conocimientos son necesarios necesarios para la comprens comprensión ión de otras asignaturas del curriculum.

II. PROGRAMA ASIGNATURA.

ANALÍTICO

DE

LA

TEMA II. Ecuaciones 2.. 2..11 Ecuaci Ecuaciones ones Algeb Algebrai raicas cas.. 2..2 2..2 Ecua Ecuaccione ioness de de pr primer imer grado rado con una una incógnita. 2..3 Problemas de de ap aplicación ión de de ecuaciones de primer grado con una incógnita. 2..4 2..4 Siste istem ma de ecua ecuaccione ioness lin linea eale less de de 2 x 2 2..4.1. Método de Su Sustitución ión. 2..4.2. Método de Reducción. 2..5 Aplic licacione ones de de sis sisttemas de de ecuaciones lineales de 2x2 2..6 2..6 Ecua Ecuaccione ioness de grado ado superi perior or 2..6.1. Ecuacion iones Cua Cuadrá drática icas 2..6.2. Ecuaciones Polinómicas. 2..7 Ecuacione ones ex expone onenciales les y logarítmicas con una incógnita 2..8 2..8 Sist Sistem ema a de ecua ecuaci cion ones es expo expone nenc ncia iale less y logarítmicas de 2 x 2 2..9 2..9 Apli Aplica caccione ioness de de las las Ecuac cuaciiones ones de grado superior. TEMA III. Inecuaciones Inecuaciones 3..1 3..1 Defi Defini nici ción ón y cara caraccterí teríst stic icas as de los los conjuntos numéricos. 3..1.1. Nota otación de conjuntos por extensión. 3..1.2. Nota otación de conjuntos por comprensión. 3..2 3..2 Desi Desigu gual alda dade des, s, teor teorem emas as e int inter erva valo los. s. 3..3 Inecuacion iones Lineales les. 3..4 3..4 Inec Inecua uaccione ioness de de gr grado ado sup super erio ior. r. 3..5 3..5 Inec Inecua uaccione ioness ccon on val valor absol bsolut uto. o.

UNIDAD I: INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA TEMA I. Introducción al álgebra 1.1. Álgebra 1.2. Propiedades de los números reales 1.3. Expresione ones algebraica icas 1.4. Operac raciones alge lgebraica icas 1.4.1. 1.4.1. Suma Suma algebr algebraic aica a 1.4.2. 1.4.2. Resta Resta algebr algebraic aica a 1.4.3. 1.4.3. Multip Multiplic licaci ación ón algebra algebraica ica 1.4.4. 1.4.4. Divisi División ón algebr algebraic aica a


1.4.5. 1.4.5. Divisi División ón sintét sintética ica 1.5 1.5. Redu Reducc cció ión n de de té términ rminos os seme emejant jantes es Productos y cocientes notables 1.6. 1.7. Factorización 1.8. Fraccione ones Algebraicas 1.9 1.9. Máxim ximo com común ún div divisor isor y mínim ínimo o común múltiplo 1.10 1.10.. Op Oper erac acio ione ness con con frac fracccione ioness algebraicas 1.11 1.11.. Simp Simplilififica caci ción ón de Fra Fracc ccio ione ness algebraicas.

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3..6

Probl oblemas de Aplicación. ón.

TEMA IV. Logaritmos. 4..1 Leyes de exponentes. 4..2 ..2 Prob roblem lemas de aplic plicac ació ión n de de le leyes exponenciales. 4..3 Definici ición de logaritm itmo. 4..4 ..4 Prop ropieda iedade dess de de los los logar ogarit itm mos. os. 4..5 Probl oblemas de de ap aplicación de propiedades de logaritmos.

6..5.2. Angulo de inclinación. 6..5.3. Ecuaciones de la recta. 6..6 Cónicas. La circunferencia: Ecuación general y 6..7 radical. 6..8 6..8 La pará parábo bola la:: Ecua Ecuacción ión gen gener era al y radical. 6..9 6..9 La Elip Elipse se:: Ecu Ecuac ació ión n gen gener eral al y radi radica cal.l. 6..1 6..100 La Hip Hipér érbo bola la:: Ecua Ecuacción ión gene genera rall y radical.

TEMA V. Trigonometría Trigonometría 5..1 Definici ición de de Tri Trigono onometría ría 5..2 5..2 Círcu írculo lo y siste istem ma de de med medic ició ión n de de ángulos. 5..3 5..3 Raz Razones ones tri trig gonom onomét étrricas icas y te teorem orema a de Pitágoras. 5..4 5..4 Ide Identid ntidad ades es trigon igonom omét étri riccas. as. 5..5 5..5 Ecuac cuaciiones ones trigon igonom omét étri rica cass. 5..6 Ley de senos y cosenos. 5..7 5..7 Aplic plicac aciión de la trigon igonom omet etrí ría a

UNIDAD II: LÓGICA Y CONJUNTOS TEMA VII. Lógica y Conjuntos. 7.1. Definición. 7.2. Lógica preposicional. 7.3. Noción intuitiva de conjunto. 7.4.- Operaciones entre conjuntos. 7.5. Diagramas de Venn-Euler. 7.6. Relación entre la teoría de conjuntos y la Lógica proposicional. 7.7. Las proposiciones con cuantificadores.

TEMA VI. Geometría Plana. 6..1 Definición. 6..2 Sist istemas de coorden denadas das. 6..3 Relaciones y Fu Funciones 6..4 Distancia en entre do dos pu puntos. 6..5 La recta. 6..5.1. Pendiente.

TEMA VIII. Inducción Matemática. 8. Principio de Inducción Matemática 8.1 Conjuntos Inductivos. Inductivos . 8.2 Definición. 8.3 Teorema fundamental de Inducción Matemática.

III.- ACTIVIDADES A REALIZAR POR LAS BRIGADAS UDABOL Tipo de Asignatura: De acuerdo a las características de la carrera y de la materia Álgebra es una materia de TIPO A. actualidad idad los estudian estudiantes tes de coleg colegios ios y Diagnost Diagnostico ico para la detecció detección n del problem problema: a: En la actual estudiantes universitarios en el área de la Ingeniería no valoran la importancia y aplicación de las materias de las ciencias exactas, como ser Álgebra, Calculo I, Física I, etc. en el diario vivir de la sociedad en general. Nomb Nombre re del del proye proyecto cto:: APLI APLICAC CACIÓN IÓN E IMPO IMPORTA RTANCI NCIA A DE LAS LAS CIENC CIENCIAS IAS EXACT EXACTAS AS EN LA FORMACIÓN PROFESIONAL DEL INGENIERO. Contribución Contribución de la asignatura al proyecto: La asignatura aportara al proyecto, con los trabajos que serán expuestos en la feria de ciencias exactas, los cuales estarán enfocados específicamente en la aplicación del Álgebra. TRABAJO A REALIZAR POR LOS ESTUDIANTES Profundizar los

LOCALIDAD, AULA O LABORATORIO Aula


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INCIDENCIA SOCIAL

FECHA PREVISTA

Estudiantes de

En el transcurso

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conceptos y solución a problemas específicos del álgebra. Identificar en la ciudad la aplicación e incidencia del álgebra. Plasmar en maquetas la actividad anterior Presentar sus proyectos en la feria de ciencias exactas

•

Primer Se Semestre

del se semestre

Calles, Avenidas, construcciones, etc.

Estudiantes de Primer Se Semestre

Laboratorio

Estudiantes de Primer Semestre

Semana 14 y 15

Loby de la Universidad

Alumnos de la Universidad y estudiantes de colegios

24 de Junio

Semana 10 10 a la Semana 14

IV. EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES. DIAGNOSTICA Se realizará un examen examen diagnostic diagnostico o el primer día de clases, así como pregunta de control al comienzo de cada tema. Se calificarán como B; R o M. y no se les asignará puntaje.

•

PROCESUAL Durante el semestre se realizarán exámenes prácti prácticos cos,, talle talleres res,, expos exposici icione oness que serán serán propuestos por el docentes, además de Work Pape Paper, r, Dif’ Dif’ss y trab trabaj ajos os prác práctitico coss que que se espe especi cififica can n en el pres presen ente te Syll Syllab abus us,, las las cuales tendrán una ponderación de 0 a 50 puntos, tantos en el primer y segundo parcial. Las activi actividade dadess de brigad brigadas as que se lleven lleven acabo en el primer y segundo parcial también serán evaluadas sobre 0 a 50 puntos. En la tercera etapa los exámenes prácticos, taller talleres, es, exposi exposicio ciones nes,, Work Work Paper, Paper, Dif’s Dif’s y trabajos trabajos prácticos prácticos tendrán tendrán una ponderación ponderación de 0 a 20 puntos, la presentación del proyecto de la materia en la feria de ciencias exactas será evaluada sobre 0 a 20 puntos.

•

DE RESULTADOS Se realizan 3 evaluaciones: 2 parciales con contenido teórico – práctico los cuales serán evaluados sobre 50 puntos y el examen final será evaluado sobre 60 puntos en la tercera etapa.


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V. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA. • Lazo, Lazo, Sebast Sebastián ián:: Álgebra Con Trigonomet Trigonometría ría y Geometría Geometría,, Editor Editorial ial Soipa Soipa Ltda, La Paz, 2006. (Sign ignatu atura Topog Top ográ ráfifica ca:: 512.1 512.1 L45, L45, 512.1 512.1 L45 c.2) c.2).. • Goñi Goñi Gala Galarz rza, a, Juan Juan:: Álgebra, Álgebra, Latinas Latinas Editores Editores Oruro, Oruro, 1993. (Signatura (Signatura Topográfica: 511 G58) • Goñi Galarza, Galarza, Juan: Juan: Geometría plana y del espacio. espacio. Latina Latinass Editor Editores. es. Orur Oruro. o. 19 1999 99.. (Sig (Signa natu tura ra Topog Topográf ráfic ica: a: 516.22 G58) • Rojo Rojo,, Arm Armando ando,, Álgebra I , décimo octava edición, Librería Editorial El Ateneo, Cochabamba, 2003. (Signatura Topográfica: 512 R63 t.1, 512 R63 t.1 c.2) • Gutierrez , Pedro: La práctica del del Calc alculo ulo Difer iferen enccial ial e Inte Integr gra al, Editor Editorial ial la Hoguera Hoguera,, 199 1990. 0. (Signa (Signatura tura Topo Topogr gráf áfic ica: a: 515. 515.33 33 G9 G97 7 v.1, v.1, 515. 515.33 33 G97 G9 7 v.2, v.2, 515. 515.33 33 G9 G97 7 v.1 v.1 c.2, c.2, 515. 515.33 33 G97 v.2 c.2) • Bald Baldor or,, Aure Aurelilio: o: Álgebra Álge bra,, Décimo tercera edición, México, 1995. (Signatura Topográfica: 512 B19). COMPLEMENTARIA. Cáceres, Braulio: Lógica y Teoría • de Conjuntos., Conjuntos., Bolivia, Santa Cruz, 1992.

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•

Ross W: Matemáticas discretas, Editorial. Prentice Hall, Mexico, 1994. • Lehman, Geometría analítica, México, Editorial Limusa, 1990.


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VI. PLAN CALENDARIO.

SEMANA

ACTIVIDADES

1 2

TEMA I Introducción al Álgebra: 1.1 hasta 1.3 TEMA I : 1.4 hasta 1.6

3

TEMA I : 1.7, 1.8, 1.9 hasta 1.11

4

TEMA II Ecuaciones: 2.1 hasta 2.4.2

5

TEMA II 2.5 hasta 2.7

7 8 9

TEMA III Inecuaciones: 1ª EVALUACIÓN 3.1 hasta 3.3 TEMA III : 3.4 hasta 3.6 TEMA IV Logaritmos: 4.1 y 4.2 TEMA IV : 4.3 y 4.7

10

TEMA V Trigonometría: 5.1 y 5.4

11 13

TEMA V : 5.5 y 5.7 TEMA VI Geometría Analítica: 6.1 hasta 6.4.3 TEMA VI : 6.5 y 6.9

14

TEMA VII Lógica Proposicional: 7.1 y 7.2

15

TEMA VII : 7.3 y 7.7

16

TEMA VIII Inducción matemática: 8.1 a 8.3

17

EVALUACIÓN FINAL

18

EVALUACIÓN FINAL

19

SEGUNDA INSTANCIA

6

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2ª EVALUACIÓN

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OBSERVACIONES.

Ejercicios sobre el Tema Ejercicios sobre el Tema Presentación de notas

Ejercicios sobre el Tema Presentación de notas Ejercicios sobre el Tema Presentación de trabajos en la Feria Presentación de notas Presentación de notas Presentación de notas

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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 1 UNIDAD O TEMA: 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA TITULO: I. OPERACIONES ALGEBRAICAS FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer etapa. 1.1. Álgebra El álgebra es la parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incógnita o variable. En álgebra se usan fórmulas para representar relaciones numéricas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces, generalmente en el cuerpo de los números reales . La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado que tiene como lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 =c 2 El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un U N I V E R S I D A D

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conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas. Las operaciones algebraicas son: suma, resta, multiplicación y división de monomios o polinomios.

1.2. Propiedades de los números reales 1. La suma y la multiplicación son operaciones binarias dentro de los números reales . 2. La suma y la multiplicación son conmutativas. 3. La suma y la multiplicación son asociativas. tienen un elemento neutro aditivo 4. Los único, a saber, el cero. 5. Los tienen un elemento neutro multiplicativo único, a saber el uno. 6. Todo número real a tiene un opuesto o inverso aditivo único, -a. 7. Todo número real a tiene un opuesto o inverso multiplicativo único, 1/a. 8. Propiedad distributiva del producto sobre la suma: para cualesquiera números reales a, b, c: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 9. La suma de dos reales positivos es positiva. 10. El producto de dos reales positivos es positiva. 11. Ley de la tricotomía: Para todo a є R es verdadera solamente una de las siguientes proposiciones: a) a es positivo b) -a es positivo; esto es a es negativo. c) a es cero. A Q U I N O

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Ley de exponentes. Exponentes con la misma base: an.am = an+m Potencia de potencia: (an )m = an.m Ley de signos. Para la suma: • Signos iguales se suman y al resultado se pone mismo signo. • Signos desiguales se restan, y al resultado se pone el signo del mayor (valor absoluto). Para la multiplicación: + * + = + + * - = - * + = - * - = +

1.3. Expresiones Algebraicas Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos.

Monomio. Un solo término de la forma ax n. Por ejemplo: Grado de un monomio. El grado de monomio es la suma de los exponentes de todas y cada una de las variables. Por ejemplo, el grado del monomio 4x 3y 2 es 5.

Binomio. Suma de dos monomios. Por ejemplo: Trinomio. Suma de tres monomios. Por ejemplo:

Teorema del resto Se llama valor de un polinomio P ( x ) = a0 x n + a1 x n -1 +…+ an -1 x + an para x = c , y se designa P (c ), el valor numérico que toma el polinomio cuando se sustituye la indeterminada, x , por el número c y se realizan las operaciones. Por ejemplo, si P(x) = 3x 4 - 5x 2 + 3x - 20 para x = 2 se obtiene: P(2) = 3·2 4 - 5·2 2 + 3·2 - 20 = 14 Al dividir un polinomio P(x) por x - a, puesto que el divisor es un polinomio de grado 1, el resto es, necesariamente, de grado cero (es decir, es un número): P(x) | x - a R(x) Q(x) El teorema del resto afirma que “el resto de dividir un polinomio P(x) por x - a es, precisamente, el valor del polinomio cuando x vale a”, es decir, R = P (a), pues como P ( x ) = ( x - a)C ( x ) + R , al darle a x el valor a se obtiene P (a) = (a - a)C (a) + R = 0 + R = R

1.4. Operaciones algebraicas

Polinomio. En general, un polinomio es una función de la forma: P ( x) = a x n

el grado absoluto de un polinomio como el grado del término cuya suma de exponentes es el mayor. Esto último se aplica a polinomios de mas de una variable. -El término de primer grado se llama término lineal. -El término de grado cero se denomina término independiente.

+ a −1 x n−1 + a − 2 x n −2 + ... + a1 x1 + a0 x 0

donde x es una variable escalar, n es un entero no negativo y los a0,...,an son escalares fijos que reciben el nombre de coeficientes del polinomio P. La potencia más alta de x (n si el coeficiente an es distinto de cero) se denomina grado de P .

Suma o adición Para sumar dos polinomios se escriben uno a continuación de otro, intercalando entre ambos el signo de la adición, y se reducen términos semejantes. Para que entiendas mejor: Para sumar dos polinomios se agrupan los Términos del mismo grado y se suman sus coeficientes. El resultado es otro polinomio. Ejemplos: Sean los polinomios: P(x) = -2 x 4 +5 x 3 – 3 x + 1

Grado de un polinomio: Es el grado (relativo) del término de mayor grado. También se define U N I V E R S I D A D

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Q(x) = 3 x 3 – 6 x 2 – 5 x – 2

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Sumar aplicando la regla 4

3

2

P(x) + Q(x) = -2 x + (5 + 3) x – 6 x + (-3 –5) x + (1 – 2) = -2 x 4 +8 x 3 – 6 x 2 – 8x - 1 Disposición práctica -2 x 4 +5 x 3 + 0 x 2 – 3 x + 1 3 x 3 – 6 x 2 – 5 x – 2 --------------------------------------2 x 4 +8 x 3 - 6 x 2 – 8 x – 1

Resta o sustracción La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. Ejemplos: Para restar Q(x) de P(x) se debe sumar a P(x) el polinomio opuesto de Q(x). P(x) - Q(x) = P(x) + [- Q(x)] Sean los polinomios: P(x) = -2 x 4 +5 x 3 – 3 x + 1 Q(x) = 3 x 3 – 6 x 2 – 5 x – 2 Determinaremos el polinomio diferencia de dos formas diferentes. Aplicando la regla P(x) - Q(x) = -2 x 4 + 5 x 3 - 3 x + 1 + (-3) x 3 + ( 6)x 2 + ( 5) x + 2 = -2 x 4 +2 x 3 + 6 x 2 + 2x + 3 Disposición práctica -2 x 4 +5 x 3 + 0 x 2 – 3 x + 1 -3 x 3 + 6 x 2 + 5 x + 2 ------------------------------------2x 4 +2 x 3 + 6 x 2 + 2 x + 3

Multiplicación Para la multiplicación se tienen que multiplicar los términos entre ellos. Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno por cada uno de los términos del otro y luego se suman los coeficientes de los términos semejantes. Para operar se deben tener en cuenta la propiedad distributiva del producto sobre la suma de números reales y la ley del producto de potencias de la misma base. Sean nuevamente los polinomios: P(x) = -2x4 +5x3 – 3x + 1 Q(x) = 3x2 – x + 2 determinar el polinomio producto P(x).Q(x) Aplicando la regla

Disposición práctica -2 x 4 +5x 3 – 3x + 1 3x 2 – x + 2 ----------------------------------6x 6 + 15x 5 + 0x 4 – 9x 3 + 3x 2 2x 5 – 5x 4 + 0x 3 + 3x 2 – x - 4x 4 + 10x 3 + 0x 2 - 6x + 2 ---------------------------------------------------- 6x 6 + 17x 5 – 9x 4 + x 3 + 6x 2 – 7x + 2

División La división es una operación que tiene por objeto dado el producto de dos factores (dividendo) P(x) y el otro de los factores (divisor) Q(x) hallar el otro tercer factor llamado (cociente) D(x). El grado del divisor debe ser menor o igual que el grado del divisor. Luego se procede a dividir término a término, hasta obtener un resto R(x) cuyo grado sea menor que el grado del divisor. Si el resto es cero se dice que la división es exacta. La reversión de los pasos efectuados en los cálculos muestra que: P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) Ejemplo: dividir P(x) entre Q(x) P(x) = 6x 4 + 7x 3 + 12x 2 + 10x +1 Q(x) = 2x 2 +x +4 6 x 4 + 7x 3 + 12x 2 +10x +1 –6 x 4 – 3x 3 – 12x 2 4x 3 + 0x 2 + 10x +1 –4x 3 – 2x 2 – 8x . –2 x 2 + 2x +1 2 x2 + x + 4 3x + 5

|2x 2 +x +4 6x 2 +2x -1 Cocient e Resid uo

División sintética

P(x).Q(x) = 3x 2 P(x) + (-x) P(x) + 2 P(x) U N I V E R S I D A D

= (-2x 4 +5x 3 – 3x + 1) 3x 2 + (-2x4 +5x 3 – 3x + 1) (-x) + (-2x 4 +5 x 3 – 3x + 1) 2 = = - 6x 6 + 15x 5 - 9x 3 + 3x 2 + 2x 5 – 5x 4 + 3x 2 – x – 4x 4 + 10x 3 – 6x + 2 = = - 6x 6 + 17x 5 - 9x 4 + x 3 + 6x 2 – 7x + 2

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Cuando el divisor es un binomio de la forma x – a se puede aplicar la división sintética:

Ejemplo: dividir 5x 3 + 3x 2 + 4x + 5 entre x – 2 18)

x 4 – 2x 2 + 4x – 6

entre x 2 + 5 19)

CUESTIONARIO WORK PAPERS # 1 20)

Resolver las siguientes operaciones algebraicas:

I. 1) 2x }

21)

3x 2 + 4x –2

entre 6x – 3 4 x m − x m − 2 x ; entre: x m + x 6 5 4 2 m + m − 4 m − 4m + m − 1 ; entre: m3 + m2

−

4m − 1

5x +5 – {5x – 4 -[-2x +5- (2 – x)] –

-3x 2 +4x – {2x – 7x 2 -[-6x +2x 2 - (5 – x)] – 2x 2 } 3) 2xy +5 – {3x – 4 -[-6xy +5x- y(3 – 3x)] – 4x } 4) z 3 {– 3x[-2y + 5x – ( 8x +3y )] – Z 3 – 2(xy + 3)} 5) (3x +1) – [-4x + 5 - (2 – 8x)] – 5x 6) -3x 2 + 4x{2x – 7 -[-( 3x +2 )( 2 – x )] – 2x 2 } 7) 4xy - 2{3x – 4[-6xy +5x - 2y(3 – 5x)] – 7xy } 8) (3x - 1)[-2x -4 (2 – x)] 9) (-3x 2 + 4x –2)(2x – 7x 2 – 2) 10) (2y +5)(–3x – 4)(5x – y) 11) (z 3 – 3x 2 + 5x – 8)(-3y – 2xy + 3) 12) (a 5 b 7 − a 4 b 8 + 8a 2 b 5 − 3a 2 b 3 ) por 2)

3 4

(8a b

+ 7 a b − 5a b + 7 a b 5 4

4 6

8 4

)

(17a b c − 4a b c 3 4

13)

4 8 2

+ 8a b − 3a b 8 5

6 7

)

22)

4

(a 15) 16) 17)

4

5 7 4

b c

2

−

4 8

a b

+

8a

2 5 7

b c

−

3a

2 3

b

−

5a

2 5 3

b c

)

x – x - 2x – 1 entre x + x + 1 x 5 + Y 5 entre x + Y x 6 + 6x 3 – 2x 5 – 7x 2 – 4x + 6 entre x 4 – 3x 2 + 2 U N I V E R S I D A D

D E 11

−

8m − 3m 2

23) 24)

x

25)

2

m 4 + 18m 3

2a − 2

4 x 2 a − x a 3 + x a 1 − x a 2 a x

+

4 ; entre:

2

+ x

2a− 3

−

(2 a 5b 9c 9 − 9a 7b 2 c8 − 13a 2b 3 + 2 1a 4b9 )

+

m − 3m + 4 x 10 − y 10 ; entre: x 2 − y 2

por (5a 3b 4c + 7a b3c 4 − 13a 2b3 + 7a 3b 7 ) 14)

3m 7 − 11m 5

−

−

+

ab n

1

−

−

4

− x

2a− 7 ;

−

−

a x 1b + b n ;entre: a − b −

II. Otros ejercicios Dados los siguientes polinomios :

A Q U I N O

entre:

B O L I V I A


Determine el polinomio que resulta de cada operación: a) p(x) + q(x) b) p(x) - h(x) c) r(x)× h(x)

; ;

d) p(x) ÷ t(x

t(x) = x+1


D E 12

A Q U I N O

B O L I V I A


PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 2 UNIDAD O TEMA: 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA TITULO: REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer etapa. 1.5. Tecnicismo Algebraico Términos Semejantes Los términos algebraicos que difieren únicamente en su coeficiente se llaman términos semejantes, o sea, son semejantes aquellos términos algebraicos que tienen la misma parte literal. Puesto que un término con coeficiente 0 se reduce a 0, y en un término que contenga un factor o divisor literal con exponente 0 se puede sustituir dicho factor o divisor por 1, es por ellos que se aplica la siguiente Definición: Dos términos son semejantes cuando son ambos numéricos o cuando ambos se componen de los mismos factores o divisores literales con exponentes correspondientes iguales. En este último caso los coeficientes numéricos pueden ser números cualesquiera distintos de cero. Ejemplos: Son términos semejantes: + 5 y - 2 2ab y -4ab - 3ª y 4ª


D E 13

CUESTIONARIO WORK PAPER # 2 Reducir a términos semejantes los siguientes polinomios. 1.- 7 a – 9b + 6 a – 4 b 2.- a + b – c –b – c + 2 c – a 3.- 5x – 11y – 9 + 20x – 1 – y 4.- - 6m + 8n + 5 – m – n – 6m – 11 5.- - a + b + 2b – 2c + 3ª + 2c – 3b 6.- - 81x + 19y – 30z + 6y + 80x + x – 25y 7.- - 71 a3b – 84 a4b2 + 50 a3b + 84 a4b2 – 45a3b + 18 a3b 8.- 5a2 - 6ab - 8ab + 20 - 5ab – 31 + a 2 - ab 9.- x 4y - x 3y 2 + x 2 y 3 - 8x 4y - x 2 y 3 - 7x 3y 2 – 9 + 21x 4y - y 5 + 50 10.- 0,3a + 0,4b + 0,5c - 0,6a - 0,7b - 0,9c + 3a - 3b - 3c 1

1

3

11.- x + y + 2 x − 3 y − x − 2

-2

3

-2

-2

4

1 6

y+

-2

3 4

− -2

1 2

12.- 5 x y + 3 xy – 2 x y + 3 x y + 4xy 13.- 2 ab-1 + 5 a-1b + 6 a -2 b-3 + 6 ab-1 + 3 a-1b 14.- ⅔ xy - ⅛ xy + ½ x 2 y 2 - ¾ xy + 2 x 2 y 2 15.- x -2 + x -1 + 2 x 0 + 3 x + 6 x -1 + 2 x -2 + 4 x 0 16.- 4 x ny m + 2 xny m – 5 x 2 y m – 3 x ny m + 6 x 2 y m 17.- ⅛ x - ⅜ x + ¾ x - ⅞ x 18.- o.4 x 2 y + 31 + ⅜ xy 2 – 0.6 y 3 - ⅔ x 2 y – 0.2 xy 2 + ¼ y 3 – 6

A Q U I N O

B O L I V I A


PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 3 UNIDAD O TEMA: 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA TITULO: PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer etapa. 1.6. Productos Notables. Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas cuyos resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación. Entre estos productos tenemos: binomio al cuadrado, diferencia de cuadrados, binomio al cubo y producto de dos binomios. El Binomio al cuadrado es el cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. (a + b)² = a² + 2ab + b² (a – b)² = a² – 2ab + b² Ejemplo: a) Desarrollar la siguiente expresión algebraica aplicando el producto notable: el binomio al cuadrado: 2

 3 x +1 − 1 y 2a + 2  =  a  2   ( 3 a x + 1)

2

Ejemplo: a) Desarrollar la siguiente expresión algebraica aplicando el producto notable: diferencia de cuadrados: (3 xy − 5)(3 xy + 5) = (3 xy ) 2

= 9 x 2 y 2 − 25 El Binomio al cubo es el cubo del primero más el triple producto del cuadrado del primero más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ Ejemplo: a) Desarrollar la siguiente expresión algebraica aplicando el producto notable: diferencia de cuadrados: ( 3 xy − 5x ) 3 = (3 xy ) 3

(

)

=

+ 45 x 3 y − 125 x 3

El Cuadrado de un trinomio se desarrolla de la siguiente manera:

1

+ + = 9 x 2 x + 2 − 3 x x +1 y 2 a 2 + y 4a 4

4

La Diferencia de cuadrados llamada también Binomios Conjugados es el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. (a + b) (a – b) = a² - b²


+ 3(3 xy ) 2 ( −5 x ) + 3(3 xy )(−5 x) 2 + (−5 x) 3

27 x 3 y 3 − 135 x 3 y 2

2 + 2( 3 a x+ 1)   − 1 y 2 a + 2   + − 1 y 2a + 2  2  2

− (5) 2

D E 14

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

A Q U I N O

B O L I V I A


( a + 3b )2 ( 2a – 5b )2 ( a – b + c ) 2 6) ( x + 10y ) ( x – 10y ) 7) ( x – 8 ) ( x + 6 ) 8) ( 2x + 3 ) ( 5x + 1) 9) ( 2a + b ) 3 10) ( a – 2b ) 3 11) ( x + 5 ) ( x 2 - 5x + 25 ) 12) (6a2 +2ab 5 )3

Cocientes Notables. Se llama cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden ser escritos por simple inspección. Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de dos cantidades:

− b2 = a−b ; a+b

a2

3) 4) 5)

− b2 =a+b a −b

a2

Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de dos cantidades:

2. Hallar los siguientes cocientes: 1) 4a2 + 6ab + 8ac 2a 2) 9c 2 + 6cd + d 2 3c + d 3) x 2 – 4xy + 4y 2 x – 2y 4) a2 – 64 a + 8 5) 25 – y 2 5 – y

+ b3 = a 2 − ab + b 2 a+b a3 − b3 = a 2 + ab + b 2 a −b

a3

Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de dos cantidades: Ejemplos :

+ b4 = a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 a+b

a4

3a2 b2 c 2 – 2abc + ab2 c abc 7) 16x 4 + 8x 2 y 2 + y 4 4x 2 + y 2 8) 9p2 – 24pq + 16q2 3p – 4q 9) a4 – 16 a2 + 4 10) 81 – z 4 9 – z 2 6)

−b4 = a 3 − a 2 b + ab 2 − b 3 a+b 5 5 a −b = a 4 + a 3b + a 2b 2 + ab3 + b 4 a−b a4

+ b5 = a 4 − a 3 b + a 2 b 2 − ab 3 + b 4 a+b

a5

En resumen: Los resultados anteriores pueden expresarse abreviadamente de este modo:

Problemas elementales: En un patio rectangular se construye 1) una piscina cuyas dimensiones se muestran en la figura. Si el piso alrededor de la piscina tiene un ancho constante, ¿cuál es el área total de éste?

an – bn es siempre divisible por a – b, siendo n cualquier numero par o impar .( –/– siempre ) 2. an – bn es solo divisible por a + b, cuando n es un numero par. (–/+ n par) 3. an + bn es solo divisible por a + b, cuando n es un numero impar . (+/+ n impar) 4. an + bn nunca es divisible por a – b ni por a + b, siendo n un numero par. (+/– nunca) 1.

+

x

b

x

CUESTIONARIO WORK PAPERS # 3 1. Hallar los siguientes productos: 1) 3x 2 ( x – y + z ) 2) ( a – b ) ( x+ y )


2)

D E 15

a

Demuestre que la diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es divisible por 8.

A Q U I N O

B O L I V I A


PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

UNIDAD O TEMA: 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA WORK PAPER # 4 TITULO: Factorización FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Primera etapa. 1.7. Descomposición Factorial La Factorización es la descomposición de una expresión algebraica de varios términos, en un producto de factores equivalente. a2 + ab = a(a + b) Los factores a y (a + b) que multiplicadas entre sí dan como producto a2 + ab, son factores o divisores de a2 + ab, es por ello que descomponer en factores o factorar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores. A continuación resumimos los diez casos más comunes de Factorización:

CASO I CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN Se trata de encontrar un o más factores comunes de tipo monomio o polinomio dentro de una expresión. a2 + 2 a = a(a + 2 a) 10b – 30 ab2 = 10b(1 – 3ab)


D E 16

Consiste en encontrar grupos de términos que contengan factores comunes, que a su vez volverán a ser factores comunes. ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (a + b) (x + y) CASO III TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Consiste en encontrar en un trinomio, raíces cuadradas exactas de dos de sus términos, de modo que su producto multiplicado por 2 sea igual al término restante. 25 + 10b + b 2 La raiz cuadrada de 25 es 5 La raiz cuadrada de b2 es b El doble producto de ambos es 2.5.b es 10b Por tanto se trata de un trinomio cuadrado 25 + 10b + b 2 = (a + b) 2 perfecto.

CASO IV DIFERENCIAS DE CUADRADOS PERFECTOS Se determinan las raíces cuadradas de cada uno de los términos

A Q U I N O

B O L I V I A


CASO V TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN x 4 + x 2 y 2 + y 4 no es un cuadrado perfecto ya que falta en el 2do. Término 2x 2 y 2 , por lo tanto es necesario adicionarle x 2 y 2 pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad: x 4 + x 2 y 2 + y 4 + x 2 y 2 - x 2 y 2 x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 – x 2 y 2 = (x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 ) – x 2 y 2 = (x 2 + y 2 )2 – x 2 y 2 = (x 2 + y 2 + xy) (x 2 + y 2 – xy) = (x 2 + xy + y 2 ) (x 2 – xy 2 +y )

CASO VI TRINOMIO DE LA FORMA x 2 + bx + c x 2 + 5x + 6 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x 2 o sea x: x 2 + 5x + 6 (x ) (x ) En el primer binomio después de x se pone el signo + porque el segundo término del trinomio + 5x tiene signo +. En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de + 5x por el signo de +6 y se tiene que + por + da +, o sea: x 2 + 5x +6 (x + ) (x + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos números que cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Esos números son 2 y 3, luego: x 2 + 5x + 6 = (x +2) (x + 3) CASO VII TRINOMIO DE LA FORMA ax 2 + bx + c 6 x 2 – 7x – 3 Multipliquemos el trinomio por el coeficiente de x2 que es 6 y dejando indicado el producto de 6 por 7x se tiene: 36 x 2 – 6(7x) – 18, pero 36x 2 = (6x)2 y 6(7x) = 7(6x), luego podemos escribir: (6x)2 – 7(6x) – 18 descomponiendo el nuevo trinomio: U N I V E R S I D A D

D E 17

(6x - ) (6x + ), Buscamos dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18. Estos son 9 y 2. Tendremos entonces: (6x – 9) (6x + 2) Como habíamos multiplicado el trinomio por 6 al comienzo debemos dividirlo por la misma cantidad para que no varíe, tendremos: (6x – 9) (6x+2) = (6x – 9) (6x + 2)=(2x – 3) (3x+ 1) 6 3 x 2 2 por lo tanto: 6x – 7x – 3 = (2x – 3)(3x + 1)

CASO VIII CUBO PERFECTO DE BINOMIOS Para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir las siguientes condiciones: I. Tener cuatro términos (ordenados) II. Que el primero y el último término sea cubos perfectos. III. Que el 2do. término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. IV. Que el 3er. Término sea más o menos el triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último. Ej. Halla si 8x 3 + 12x 2 + 6x + 1 es el cubo de un binomio Veamos si cumple las condiciones expuestas anteriormente: - Tiene cuatro términos - La raíz cúbica de 8 x 3 es 2x La raíz cúbica de 1 es 1 - 3(2x)2 (1) = 12 x 2 , segundo término - 3(2x) (1)2 = 6x , tercer término Cumple las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la expresión es el cubo de (2x + 1), es decir, de otro modo la expresión es equivalente a (2x + 1) 3 CASO IX SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS Regla 1: La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: i. La suma de sus raíces cúbicas

A Q U I N O

B O L I V I A


ii.

El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. Ej: x 3 + 1 La raíz cúbica de x 3 es x ; la raíz cúbica de 1 es 1. Según la regla i: x 3 + 1 = (x + 1) [x 2 – x(1) + 12 ] = (x + 1) (x 2 – x + 1) Regla 2: La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: i. La diferencia de sus raíces cúbicas. ii. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. Ej: x 3 – 8 La raíz cúbica de x 3 es x ; la raíz cúbica de 8 es 2 . Según la regla i: x 3 – 8 = (x – 2) [x 2 + x(2) + 2 2 ] = (x – 2) (x 2 + 2x + 4)

CASO X SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES Por ejemplo: m5 + n5 Dividiendo entre m + n los signos del cociente son alternativamente + y - : m5 + n5 = m4 – m3n + m2 n2 – mn3 + n4, m+n luego: m5 + n5 = (m + n) ( m 4 – m3n + m2 n2 – nm3 + n4 ) La diferencia se realiza con las mismas reglas, excepto que los signos del cociente son todos +. CASOS ESPECIALES Factorización de polinomios: Para factorizar un polinomio se utiliza el método de Rufini el cual consiste en expresar un polinomio en producto de binomios. Método de Ruffini Se aplica a polinomios de grado n. Consiste en buscar un valor “ x=a”; tal que este valor reemplazado al polinomio da como resultado cero (Recuerde el teorema del resto). Luego el término (x - a) será un factor del polinomio original. En un polinomio P(x) existirán “n” valores de “ x ” según sea el grado del polinomio. Para


D E 18

factorizar el polinomio utilizando el método de Rufini se sigue los siguientes pasos: 1. Ordenar el polinomio en forma descendente. 2. Copiar los coeficientes del polinomio y si falta un término asignarle coeficiente cero. 3. Buscar un valor tal que al realizar la operación se elimine el último término. Se pueden probar con factores del termino independiente. 4. Una vez encontrado los valores de “ x ” copiarlos como productos de binomios. Ejemplo x 4

− 4 x 3 + 3 x 2 + 4 x − 4

Los factores de -4 son 1, -1, 2, -2, 4, -4 1 x=1 . 1 x=2 . 1 x=-1 . 1 Por tanto: x 4

-4 1 -3 2 -1 -1 -2

3 -3 0 -2 -2 2 0

4 0 4 -4

-4 4 0

− 4 x 3 + 3 x 2 + 4 x − 4 = ( x − 1)( x − 2)( x + 1)( x + 2)

CUESTIONARIO WORK PAPER 4 1. 5 a2 + a 2. m2 + 2mx + x 2 3. x 2 – 36 4. 9 x 2 – xy + y 2 5. 27 a3 – 1 6. x 5 + m5 7. a3 – 3 a2 b + 5 ab2 8. 2 xy – 6y + xz – 3z 9. 4 x 4 + 3 x 2 y 2 + y 4 10. x 8 – 6 x 4y 4 + y 8 11. a2 – a – 30 12. 15 m2 + 11m – 14 13. 8 m3 – 27 y 6 14. 16 a2 – 24ab + 9 b 2 15. x 4 + 4x 2 – 21 16. 6 x 2 + 19x -20 17. a(x + 1) – b(x + 1) + c(x + 1) 18. 1 – a2 b4 19. x 6 + 4 x 3 – 77 20. 1 + (a – 3) 3 21. 343 + 8 a 3 22. 6am – 4an – 2n + 3m 23. 16 – (2ª + b) 2

A Q U I N O

B O L I V I A


24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.

n2 + n – 42 x 3 – 64 x 4 (x + 1)2 – 81 a2 – (b + c)2 7 x 2 + 31x – 20 81 x 4 + 25 y 2 – 90 x 2 y c 4 – 4 d 4 9 n2 + 4 a2 – 12an x 2 + 3x – 18 1 + 18ab + 81 a 2 b2 4 a6 – 1

a4 + 3 a2 b – 40 b2 8(a + 1)3 – 1 1 + 1000x 6 49 a2 – x 2 – 9y 2 + 6 xy x 2 - y 6 4 81 4 40. x + 11 x 2 – 390 41. (x + y) 2 + x + y 42. a2 - b2 + a3 – b3

35. 36. 37. 38. 39.

Ejercicios Resueltos 1. x 3 − 4 x − x 2 + 4 (grupos)

4. x10 + 32 y 5 (+/+)

3 2 ( x − 4 x) − ( x

= ( x 5 + 2 y)( x 4 − 2 x 3 y + 4 x 2 y 2 − 8 xy 3 + 16 y 4 )

− 4) = x( x 2 − 4) − ( x 2 − 4) = ( x − 1)( x 2 − 4) = ( x − 1)( x + 2)( x − 2)

5. x 4 − 81 Primera forma:

− 34 = ( x − 3)( x 3 + 3 x 2 + 9 x + 27 ) = ( x − 3)[ x 2 ( x + 3) + 9( x + 3)] = ( x − 3)( x + 3)( x 2 + 9)

x 4

De aquí: x 3 − 4 x − x 2 + 4 = ( x − 1)( x + 2)( x − 2)

Otra forma:

− 34 = ( x + 3)( x 3 − 3 x 2 + 9 x − 27) = ( x + 3)( x 2 ( x − 3) + 9( x − 3) = ( x + 3)( x − 3)( x 2 + 9)

x 4

2. 2 x 4 − 32 (combinación) 2 x 4 − 32 = 2( x 4 − 16)

= 2( x 2 + 4 )( x 2 − 4 ) = 2( x 2 + 4 )( x − 2)( x + 2)

6. x 4 − 4 x 3 + 3 x 2 + 4 x − 4 (Rufini) Los factores de -4 son 1, -1, 2, -2, 4, -4

De aquí: 2 x 2

− 32 = 2( x 2 + 4 )( x − 2)( x + 2)

3. 4 x 2 + 24 x + 32 − 16 y 2 + 16 y (combinación) Sumando y restando 4:

= 4 x + 24 x + 36 − 16 y + 16 y − 4 = 4( x 2 + 6 x + 9 − 4 y 2 + 4 y − 1) = 4[( x 2 + 6 x + 9) − (4 y 2 − 4 y + 1)] = 4 ( x + 3) 2 − (2 y − 1) 2 = 4{[( x + 3) + (2 y − 1)][( x + 3) − (2 y − 1)]} = 4[ ( x + 3 + 2 y − 1)( x + 3 − 2 y + 1)] 2

2

Finalmente:

x 4

-4 1 -3 2 -1 -1 -2

3 -3 0 -2 -2 2 0

4 0 4 -4

-4 4 0

− 4 x 3 + 3 x 2 + 4 x − 4 = ( x − 1)( x − 2)( x + 1)( x + 2)

Ejercicios propuestos 1 2 x 2 + 11x + 15 (Trinomio de la forma 2) Resp. ( x + 3)(2 x + 5)

= 4( x + 2 y + 2)( x − 2 y + 4) U N I V E R S I D A D

1 x=1 . 1 x=2 . 1 x=-1 . 1 Por tanto:

D E 19

A Q U I N O

B O L I V I A


Resp. ( x + 4)( x − 2)( x + 2) x − 2)

2 x − xy − 2 y (Trinomio de la forma 1) Resp. ( x − 2 y )( x + y) 2

2

4 x 2 + 9 x + 6 − y 2 (trinomio perf. y dif. cuad.) Resp. ( x + y + 3)( x + y + 3)

3 x 4 − 20 x 2 + 64 (Trinomio de la forma 1 y dif. cuad.)

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 5 UNIDAD O TEMA: 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA TITULO: FRACCIONES ALGEBRAICAS FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer etapa. 1.8. Fracciones algebraicas Es el cociente indicado por dos expresiones algebraicas, como ser:

−

3 x

y

 

m.c.m. es el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.

numerador denominador

Ejemplo: a) Encontrar el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios: 2 2 2 4a x 2 − 8axy + 4a y y 6b x − 6b y

Mínimo Común Múltiplo de monomios (M.C.M.).- Se factorizan los coeficientes y se toman los factores con mayor exponente. En el caso de las literales se toman las literales con mayor exponente sin que éstas se repitan.

4a x2 − 8axy + 4a y 2

x

Encontrar el mínimo común múltiplo de los siguientes monomios: a)

36 a2 m x2 ,

de donde

= x,

y

2

= y,

2( x)( y ) = 2 xy

4a ( x2 − 2 xy + y ) = 22 a ( x − y )

6b 2 x − 6b 2 y

2

2

=

2 6b ( x − y ) = 2.3b 2 ( x − y )

36 = ( 2 ) (3 ) 2

24 = ( 2 )(3)

2

Por otra parte:

24 b2 m4

10 = ( 2)(5) 2

= 4a( x2 − 2 xy + y2)

( x2 − 2 xy + y )

Ejemplo

10 a3 x,

2

Por tanto, el M.C.M. entre ambos polinomios será:

3

32 2

2

(2 )(3 )(5)

Literales con mayor exponente: a x b m Entonces: (23)(32)(5)(a3 x2 b2 m4) = 360 a3 x2 b2 m4 3

4

Mínimo común múltiplo de polinomios (m.c.m.) En el caso de los polinomios se aplica la factorización a cada polinomio, luego en


D E 20

12 ab 2 ( x − y ) 2

1.9. Máximo Común Divisor de monomios (M.C.D.).- Se factoriza cada monomio y se toman los factores comunes con menor exponente. Ejemplo

A Q U I N O

B O L I V I A


a)

Encontrar el máximo común divisor de las siguientes expresiones: 2 12 x 2 y z 3 ; 18 x y z ; 24 x3 y z 2 12 x 2 y z 3 = ( 2) (3) x 2 y z 3 2

18 x y z = ( 2)(3) x y z 2

2

2

24 x3 y z 2 = ( 2) (3) x3 y z 2 M .C . D. = ( 2)(3) xyz = 6 xyz 3

Simplificación de factores: Sé factoriza tanto numerador como denominador, se cancelan los factores iguales y, se agrupan los factores que quedan, en un solo término. Ejemplo: Simplificar la siguiente expresión: a) 4 a 2 b5 6 a 3 b3 m 2

5

4a b 6 a 3 b3 m

=

2

5

(2)(2) a b ( 2)(3) a 3 b 3 m

=

2b

División: Para realizar la división de fracciones se cambia la operación de la división por la multiplicación con solo invertir el numerador por el denominador y el denominador por el numerador del segundo termino, una vez invertido se factorizan tanto numerador como denominador y se aplica el procedimiento de la multiplicación de fracciones. CUESTIONARIO WORK PAPER # 5 1. Realizar las siguientes operaciones con fracciones algebraicas:

2

3am

1.10. Operaciones Algebraicas Las operaciones que se puede realizar con dos o más expresiones algebraicas son: Suma, Resta, Multiplicación y División. Suma de fracciones: Se obtiene el común denominador a través del mínimo común múltiplo, dicho denominador se dividirá entre los denominadores de cada fracción; el cociente que resulte será el nuevo numerador, el cual se simplificará con términos semejantes. Una vez simplificado se observa si el numerador se puede simplificar 1. Se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores 2. Se divide el mínimo común múltiplo entre cada uno de los denominadores 3. Se multiplica resultado obtenido en el paso 2 por su respectivo numerador. 4. Se sustituyen los nuevos numeradores y denominador y se procede a la simplificación.

Resta de fracciones: Se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores y se aplica el procedimiento de la suma recordando que el sustraendo es afectado por el signo de la operación.


Multiplicación: Se factoriza tanto numerador como denominador en cada factor de la multiplicación, se establece la multiplicación de fracciones numerador por numerador y denominador por denominador. Finalmente se simplifica cada multiplicación.

D E 21

1

1)

1

+

3 x + 3

2 x − 2

x

2)

− ax

a2 2

3)

a +1

+

a + x ax

a ( a + 1)

x

4)

+

2

1

+

x2

a

+

+

−1

ax − x 2

a +1 ( a + 1)

3

−1

xy − y 2 y 3 x 4 x 2 + − 2 5) y y − 1 y − 1

6)

7ab ab + 1

a

+

( a − b)

7) 1

−

a−b

2

+

( a + b)

y − x

−

3 x + xy − y

x 3 + y 3 − xy + y x − y  1 + 1 − x  ( a + b + x )   a b ab   8) 2 1 1 2 x + 2+ − 2 2 2 x

2

2

a

b

2

ab

2

a b

 a   a + b  − b    1 − a − b  b   

9 ) 2a + 

A Q U I N O

2

B O L I V I A


10)

 2 1   2 1   x − 2    y − x 2  y    2 2 1   y + 1      x −   x   y  


D E 22

A Q U I N O

B O L I V I A


Ejercicios resueltos 1. Simplificar

x − y x + y

−

+

x + y x − y x

4 x 2

2

− y 2

El m.c.m. de los denominadores es (x - y)(x + y) ( x − y ) 2 − ( x + y ) 2 + 4 x 2 = ( x − y )( x + y )

 2 1   2 1   x 2 y 2 − 1   x 2 y 2 − 1     x − 2  2   y − x 2    x 2   y y        = = 2 2 2 2  ( xy + 1)   ( xy − 1)  1   y + 1       x −    2   y 2    x x y        

− 2 xy + y 2 ) − ( x 2 + 2 xy + y 2 ) + 4 x 2 = ( x − y )( x + y ) 4 x 2 − 4 xy = 4 x ( x − y ) = 4 x = ( x − y )( x + y ) ( x − y )( x + y ) ( x + y ) =

 2 1   2 1   x − 2    y − x 2  y  =   2. Simplificar 2 2 1   y + 1      x −   x   y  

( x 2

( x 2 y 2 − 1)( x 2 y 2 − 1) = ( xy + 1) 2 ( xy − 1) 2

( x 2 y 2 − 1)( x 2 y 2 − 1) ( xy + 1)( xy + 1)( xy − 1)( xy − 1)

( x y − 1)( x y − 1) = = ( x y − 1)( x y − 1)


D E 23

2

2

2

2

2

2

2

2

A Q U I N O

1

B O L I V I A


PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 6 UNIDAD O TEMA: 2. ECUACIONES TITULO: ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer período Ecuaciones algebraicas Una ecuación algebraica es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica la igualdad de la ecuación para determinados valores de la incógnita. Las Incógnitas de una ecuación son representadas por las ultimas letras del alfabeto: x, y, z, etc. Transposición de términos Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro, para realizar estos cambios se deben cumplir las siguientes reglas: 1. Toda expresión que este sumando en un miembro; pasa a restar al otro miembro. 2. Toda expresión que este restando en un miembro; pasa a sumar al otro miembro. 3. Toda expresión que este multiplicando en un miembro, pasa al otro miembro a dividir. 4. toda expresión que este dividiendo en un miembro, pasa al otro miembro a multiplicar. Raíces o solución de una ecuación: Las raíces de una ecuación son valores que reemplazados en las incógnitas o variables satisfacen la igualdad de la ecuación. Una ecuación tiene uno, dos o mas soluciones esto dependerá del grado de la ecuación. Grado de una ecuación: Las ecuación pueden ser lineales o de primer grado, U N I V E R S I D A D

D E 24

cuadráticas o de segundo grado y polinómicas de grado mayores o iguales a 3. El grado de la ecuación es el mayor exponente que tienen la variable o exponente.

Ejemplo: Indicar el grado de las siguientes ecuaciones ecuación de 1er grado 5 x − 3 = 4 2 ecuación de 2do grado 2 x − 3 x + 6 = 3 3 2 7 x − 3 x + 2 x = −6 ecuación de 3er grado x 5 + 14 x 2 − 11x = 340 ecuación de 5º grado Solución de las ecuaciones Existe un teorema que indica que el grado de una ecuación determina el número de soluciones que tiene la ecuación. En estas soluciones se incluyen las soluciones complejas. Ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita: Son aquellas ecuaciones que tienen grado uno; para resolver este tipo de ecuación solo se debe despejar la variable o incógnita. Ejemplo: Resolver:

a)

3 x − 3 = 9 3 x − 3 = 9 3 x = 9 + 3

x =

12 3

A Q U I N O

⇒

x = 4

B O L I V I A


b)

Resolver:

( x − 3)( x + 1)

x − 3 x + 1 = 2

=2

⇒

x = 3

CUESTIONARIO WORK PAPER # 6 1. Resolver las siguientes ecuaciones lineales algebraicas 1 ) x − 3 = 3x + 5 2)3(a-4x)+7(2x-a)-5(3x+2a)= 0 3 ) 6 x − (2 x + 1) = −{−5 x + [−(−2 x − 1)]} 4 ) 3( 2 x + 1)( − x + 3) − ( 2 x + 5) 2 = −{−[ − 3( x + 5)] + 10 x 2 } 5) 6)

2 x + 7 3 2 3

−

−

2( x 2

6 x 2 9 x 2

−1

− 4)

5 x

=

−

4 x 2

−6

15 x

=

7 x 2

+6

3 x 2

Problemas resueltos y propuestos Ejercicio 7.- El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano ? Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este caso llamemos: x = edad del hermano menor. A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: Será:

2 3 x − 1

2. Problemas sobre ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita. 1) Un Hacendado ha comprado caballos y vacas por $us 40000. Por cada caballo pagó $us 600 y por cada vaca $us 800. Si compró 6 vacas menos que caballos, ¿Cuantas vacas y cuantos caballos compró? 2) En cada día, de lunes a jueves, gano $us 6 más que lo que gano el día anterior. SI el jueves gané el cuadruplo de lo que gané el lunes, ¿Cuánto gané cada día? 3) % personas han comprado un negocio contribuyendo por partes iguales. Si hubiera habido 2 socios más, cada uno hubiera pagado $us 800 menos. ¿Cuánto costó el negocio? 4) Una liebre lleva una ventaja inicial de 60 de sus saltos a un perro. La liebre da 4 saltos mientras el perro da 3, pero el perro en 5 saltos avanza tanto como la liebre en 8. ¿Cuántos altos debe dar el perro para alcanzar a la liebre? 5) Dos autos que llevan la misma velocidad pasan en el mismo instante por dos puntos, A y B, distante entre si 186 Km y van uno hacia el otro. ¿A que distancia de A se encontraran?

x + 3 : edad del hermano mediano x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor

Ecuación: suma de las edades de los hermanos = 40 ; x + x+3 + x+7 = 40, Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es:

Edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 años. Ejercicio 8.- En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor ?. (Sol: 12, 24, 108). Ejercicio 10.- Plantea y resuelve los siguientes problemas: a) El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín ? (Sol: 9 y 20 m) b) Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido. (Sol: 4).


D E 25

A Q U I N O

B O L I V I A


PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 7 UNIDAD O TEMA: 2. ECUACIONES TITULO: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES – ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR FECHA DE ENTREGA PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer período Sistema de ecuaciones lineales: Para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas se los realiza utilizando los siguientes métodos: Sustitución, Igualación y Reducción. Método de sustitución: Este método consiste en despejar una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra ecuación para obtener una de las variables; una vez obtenida una de las variables esta se reemplaza en una de las ecuaciones para obtener la otra variable.

4( −24 − 5 y ) − 3 y = 19 − 96 − 20 y − 3 y = 19 − 23 y = 19 + 96 115 y = ⇒ y − 23

= −5

y = -5; reemplazo en la ecuación 1 x =

− 24 − 5 y

⇒

2

x =

− 24 + 25 2

=−

⇒ x =

1

− − 2

2

Por lo tanto la solución del sistema de ecuación

Ejemplo:

es x =

a) Determinar los valores de las variables en el siguiente sistema de ecuación :

2 x + 5 y = −24 8 x − 3 y = 19 

Despejamos la variable “x” de la primera ecuación: 2 x + 5 y = −24 2 x = −24 − 5 y − 24 − 5 y x = 2

1 2

; y = −5

Método de reducción : Este consiste en prepararan las dos ecuaciones (multiplicando por los números convenientes) para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas, una vez multiplicadas se suman ambas ecuaciones y desaparece una incógnita de donde se despeja una de las variables; una vez obtenida una de las variables esta se reemplaza en una de las ecuaciones para obtener la otra variable. Ejemplo:

Reemplazo la “x” en la segunda ecuación:

Determinar los valores de las variables en el siguiente sistema de ecuaciones: a)

8 x − 3 y = 19

4 x − 2 y = −6 6 x − y = 3 

 − 24 − 5 y  − 3 y = 19 8   2  U N I V E R S I D A D

D E 26

A Q U I N O

B O L I V I A


Para eliminar la variable “y” multiplicamos por -2 a la segunda ecuación: 4 x − 2 y = −6 − 12 x + 2 y = −6

−8 x + 0 = −12 − 12 x = −8

x =

⇒

63 años. Halle las edades actuales de los novios. (Resp. 28, 21) 2)

Un tren sale de Cochabamba hacia Santa Cruz, a 216 km de distancia, a las 9.00 a.m . Una hora más tarde, un tren sale de Santa Cruz hacia Cochabamba. Se encuentran al mediodía. Si el segundo tren hubiese partido a las 9.00 a.m y el primero a las 10.30 a.m, también se hubieran encontrado al mediodía. Averigüe la velocidad de cada tren. (Resp. 36 Km/h, 54 Km/h)

3)

Para el día de comienzo del Forum sobre Ingeniería de Sistemas, se vendieron 1000 boletos. Los asientos de platea costaron 8 Bs., los del medio 6 Bs., y los del fondo 5 Bs. El número combinado de boletos vendidos para platea y del medio excedían por 400 el doble de los boletos del fondo. El total de ingresos para ese Forum fue de 6280 Bs.. ¿Cuántos boletos se vendieron de cada uno? (Resp. 240, 560, 200)

4)

En una fábrica de Telecomunicaciones se fabrican dos tipos de antenas parabólicas que se venden a 3 y 5 $us, respectivamente. Si se venden 140 antenas de los dos tipos, los ingresos obtenidos son de 526 $us. ¿Cuántas antenas se vendieron de cada tipo? (Resp. 87, 53)

5)

La familia González, la familia López y el matrimonio Ugarte almorzaron en el mismo restaurante. Los González, que comieron 3 bifes, 2 ensaladas y 5 gaseosas, gastaron 53 Bs. Los López que comieron 5 bifes, 3 ensaladas y 9 gaseosas, gastaron 91 Bs. ¿Cuánto gastaron los Ugarte que comieron entre los dos, 1 bife, 1 ensalada y 1 gaseosa?

3 2

x = 5; reemplazo en la ecuación 1 4 x − 2 y

= −6

 3  − 2 y = −6 ;   2  2 y = −6 − 6

4

y

=

− 12 2

⇒

6 − 2y

y

= −6

= −6

CUESTIONARIO WORK PAPER # 7 1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales : 1) 2) 3)

4)

5)

2 x + 5 y = 26 3 x − 4 y = −7  7 x − 4 y = 5 9 x + 8 y = 13   x + 2 y = 1  x + 3 y = 5   2 x + 9 y = 9  7 3 4  x + y = 7  4 5 − x + 2 y = −3  3 5  4 x 3 y − − = 4  5 7

2. Problemas de aplicación 1) Jorge se arriesga a preguntar la edad de su novia y ella le responde: Tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tienes, y cuando tú tengas la edad que tengo nuestras edades sumarán


D E 27

6) Roxana cuenta que cuando cumplió años en el 2005 descubrió que su edad era igual a la suma de las cifras del año de su nacimiento. ¿Cuántos años tenía? 7)

Las personas que asistieron a un examen de grado se estrecharon las manos. Uno de ellos advirtió que los estrechones de mano

A Q U I N O

B O L I V I A


fueron 66. ¿Cuántas personas asistieron al examen? (Resp. 12 pers.) 8)

Un Docente gasta la mitad de su sueldo mensualmente en el alquiler de la vivienda y alimentos de su familia y 3/8 del sueldo en otros gastos. Al cabo de 5 meses ha ahorrado 400 Bs.. ¿Cuál es su salario mensual? (Resp. Bs. 640)

9)

Un comerciante de implementos petroleros vende dos plantas generadoras: la primera en 8920 $us. y la segunda en 1200 $us. Según el comerciante , la ganancia por la segunda planta fue de 40% sobre su precio de costo y una pérdida de 20% por la venta de la primera. Determine la ganancia total obtenida por el comerciante.

10) Un ingeniero se va a retirar del negocio de las computadoras y las reparte entre sus cuatro hijos. El primero recibe la mitad, el segundo la cuarta parte, el tercero la quinta parte y el último las 7 últimas computadoras. ¿Cuántas computadoras se repartieron? 11)

El sábado Juan compró 6 disquetes para su computadora. Dos días después el precio de los disquetes se redujo en 1.2 Bs. por unidad. Alida compró 10 disquetes en la oferta y pagó 4 Bs.. más que Juan por los disquetes. ¿Cuál era el precio original?

12) Dos remolques deben trasladar cierto número de equipos petroleros a un mismo depósito. El primero lo pude hacer tres veces más rápido que el segundo. Juntos pueden completar el trabajo en 12 horas. Determine el tiempo que tardaría cada uno en trasladar todos los equipos por sí solo. 13) En un prado la hierba crece en todas partes con igual rapidez y espesura. Se necesitan 70 hombres para cortar en 24 días y 30 hombres para hacerlo en 60 días. ¿Cuántos hombres serían necesarios para cortar toda la hierba en 96 días? 14) Durante el día de las Brigadas Udabol se habilitaron 900 asientos en los micros que U N I V E R S I D A D

D E 28

trasladarían a los estudiantes. Se les dieron 2 papeletas rojas a Medicina, 3 papeletas verdes a Ingeniería y 4 papeletas azules a Empresariales. En cierto monitoreo con todos los asientos ocupados, la mitad de los asientos de Empresariales era igual a Medicina e Ingeniería juntos. Si las papeletas totalizaron 3200. ¿Cuántos de Medicina asistieron a la reunión? 15) Isaac Newton nació en el siglo XVII y murió en el siglo XVIII. Sabiendo que el número formado por los dos últimos dígitos del año de nacimiento aumentado en 12 es el doble del número formado por los dos últimos dígitos del año de su muerte, u éste último número aumentado en la unidad es dos tercios del primero. Determinar, a que edad murió Newton?

Ecuaciones cuadráticas Son aquellas ecuaciones que tienen grado dos, las ecuaciones cuadráticas tienen la siguiente forma: ax 2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0 Esta ecuación se resuelve de la siguiente manera:

+ b(ax) + ac = 0 ( ax) 2 + b( ax) = −ac ( ax) 2

( ax)

2

+ b( ax) +

b2 4

= −ac +

b2 4

2

 ax + b  = −ac + b 2   4  2  2  ax + b  = ± − ac + b 2   4  2  b b 2 − 4ac ax + = ± 2

ax = −

4

b 2

±

b2

− 4ac 2

En consecuencia: x =

−b±

b

2

− 4ac

2a

Esta expresión encierra dos fórmulas, que se pueden expresar en la siguiente forma:

A Q U I N O

B O L I V I A


=

x1, 2

±

– b

b 2 – 4 a c 2a

Ejemplo:

Una ecuación cuadrática tiene solución real solo si: (b 2 – 4 a c) ≥ 0 esta expresión es denominado discriminante de la ecuación.

Ejemplo: a) Resolver la siguiente cuadrática: 3x2 + 5x −2 = 0 x

=

– 5

x

=

– 5

±

ecuación

5 2 – 4 × 3 × ( – 2 ) 2×3

±

25

+

6 7

x 1

=

– 5

x 2

=

– 5 – 7

6 6

b) Resolver cuadrática: 2x 2 − 8x = 0

+

24

=

=

1

=

– 2

la

– 5

±

7

6

3

siguiente

ecuación

A veces también es posible resolver la ecuación cuadrática, factorizando: 2 x 2 − 8 x = 0 2 x (x − 4) = 0 2 x = 0 ⇒ x 1 = 0 x − 4 = 0 ⇒ x 2 = 4

Ecuaciones Polinómicas o de grado superior: Las ecuaciones polinómicas son igualdades de grado mayor o igual a 3 y para resolverlas es recomendable expresar la ecuación en factores aplicando cualquiera de los casos de factorización anteriormente estudiados, posteriormente se procede a igualar cada factor a cero, de donde vamos a obtener cada una de las raíces de la ecuación. En el caso de ecuaciones no factorizables por métodos analíticos, se pueden aplicar procesos de aproximación denominados “métodos numéricos”, los cuales permiten obtener soluciones o “raíces acotadas” de la ecuación. Uno de estos métodos es el llamado “método de Newton-Raphson”. Habitualmente estos métodos requieren de matemáticas avanzadas. Formula de Newton

CONTINUACIÓN PAPER # 7

Naturaleza de las raíces : Sea la ecuación: ax + bx + c = 0 , con a , b y c números reales y a≠ 0, x 1 y x 2 sus raíces, entonces:

2

1.

Determinar la naturaleza de las raíces de las siguiente ecuación cuadrática, sin resolverlas: x 2 +2x + 3 = 0 x 2 + 2 x + 3 = 0 b 2 – 4 a c = 2 2 –4 * 1 * 3 = – 8 Las raíces no son reales. Son complejas conjugadas

b 2 – 4 a c > 0 ⇔ x 1 y x 2 son reales y distintas.

1)

3.

1 =

+

xi

f ( xi ) f ' ( xi )

CUESTIONARIO

1) 2)

( x − 2) 2 ( x + 4) 2

( x + 5 ) ( x + 2 ) - 3 ( 4 x - 3 ) = ( 5 - x ) 2 8 x − 5

= 5−

3 x + 7

2 x + 5 3 x + 2 2 4 ) x − 8 x + 15 = 0

b 2 – 4 a c < 0 ⇔ x 1 y x 2 no son reales, son complejas conjugadas

6 ) x −

5 ) x 2 = 2( x + 3)

D E 29

WORK

=1

b 2 – 4 a c = 0 ⇔ x 1 = x 2 y además son reales.


+

Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado

3) 2.

xi

A Q U I N O

1 x

=0

B O L I V I A


7 ) 5 x 2

− 9x + 2 = 0

8 ) 4 x 4 + 19 x 2

−5 = 0

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 8 UNIDAD O TEMA: 3. INECUACIONES TITULO: INECUACIONES FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer período Desigualdad A veces se dan condiciones en las que, en lugar de aparecer el signo igual, se presentan otros signos llamados: “signos de desigualdad”, los cuales permiten establecer diferencias claras entre ecuaciones e inecuaciones. Los símbolos de desigualdad que relacionan dos o más números o expresiones matemáticas entre si son los siguientes: < Menor que, > Mayor que, ≤ Menor igual que, Mayor igual que, Inecuaciones. Se llama inecuación a una expresión de algebraica cuyos miembros están relacionados por uno o varios símbolos de desigualdad. Ejemplo:

a) 3 + 7 > 6 b) x - 1 < x + 5

Las desigualdades pueden ser ciertas o falsas. Esta valoración en el caso de las literales puede depender del valor de la variable. En los ejemplos considerados, la primera y la cuarta son ciertas, la segunda falsa, y la tercera depende del valor que le demos a x.

Intervalo


D E 30

Los intervalos en IR (números reales) se puede representar en la recta real, tales que sus extremos pueden ser cerrados, abierto, abierto a la derecha, abierto a la izquierda. Para hacer la representación gráfica podemos utilizar la siguiente simbología: ;] [: Abierto

; [ ]: Cerrado

Solución de una inecuación. La solución de una inecuación es siempre un conjunto de valores que pertenece a los números reales, es te conjunto a veces puede ser vació; el conjunto de solución son valores que siempre hacen verdadera la desigualdad de la inecuación original. Las inecuaciones según la expresión algebraica que tienen se clasifican en: inecuaciones lineales, cuadráticas algebraicas y de valor absoluto. Inecuaciones lineales. Son inecuaciones que poseen incógnita de primer grado, para resolver solo se debe despejar la variable “x”; al despejar la variable se debe tener en cuenta para cualquier inecuación que al multiplicar por (-1) a una inecuación se invierte el signo de desigualdad. Cada valor de la incógnita que satisface la inecuación se dice que es una solución particular, y el conjunto de todas las soluciones particulares se llama solución general o conjunto solución “C. S.”. Vemos también que A Q U I N O

B O L I V I A


las expresiones de la solución general se corresponden con la de los intervalos:

Si a < 0 , no tiene sentido. Si a = 0 , no tiene sentido. Si a > 0 , CUESTIONARIO WORK PAPER # 8 a ⇒ −

] - ∞ ; a [; ] - ∞ ; a] a ] a ; + ∞ [; [ a ; + ∞ [;

x < a; x menor que a ; x ≤ a; x menor igual que

x − b <

a <

1. Determinar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones y represente las respectivas soluciones en la recta real.

x > a; x mayor que a x ≥ a; x mayor igual que a

Estos intervalos podemos representarlos en la recta real como se observa en los siguientes ejemplos. a) Resuelve la siguiente inecuación y representa en la recta real el conjunto solución: 3 - x > 6 3 - x > 6 -x>6–3 *(-1) x<-3

1 ) x + 7 > − x + 3 2)

9 x

2 2 2 x − 3 x + 1 ≥ 3 x 2 x 2 + 2 x − 6 > 0 x 3 − 5 x ≥ 2 x 2 − 6 x 2 ( x 2 − 3) > 4 x + 1 +2>0 7) x − 1 4 2

3) 4) 5) 6)

8)

-3

C. S.: ] - ∞ ; -3 [

9)

Resuelve la siguiente inecuación y representa en la recta real el conjunto solución: 2 + x ≥ 5 2 + x ≥ 7 x ≥ 7-2 x ≥ 5

b)

>2

3 x − 2 1 x − 2 4

10) 11) 12)

13)

5

14)

C. S.: ] - ∞ ; -3 [

Inecuaciones con valor absoluto

15)

Las inecuaciones con valor absoluto tienen dos formas básicas: x − b > a y x − b < a .

≤

≥

− 5x − 2

x +1 3

x +1 2 −3> x x x + 5

−9 ≤0

− 7 x + 12 x + 4 ≤0 x 2 + 5 x + 6 x

2

2 x 16 − x 2 x + 1

2 − x 1

≥

+

<0 x 3 + x 2

x + 1 x + 3

≥

3 x+2

16)

( x − 2 ) 2 ( x − 1) 3 ( x + 2) 4 ≤0 2 x ( x + 1) ( x + 4)

1) x b a Si a < 0 , es verdadera para todo x. Si a = 0 , es verdadera para todo x ≠ 0 . Si a > 0 ,

17)

3 x + 2

2)

20)

−

>

x − b > a ⇒

x − b

<

18) 19)

x − b < a ∨ −

a


D E 31

A Q U I N O

> x +1 x − 2 > 2 x − 1 x 2 − 2 ≤ 3 x − 2 x x − 1

≥1

B O L I V I A



D E 32

A Q U I N O

B O L I V I A


PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 9 UNIDAD O TEMA: 4. LOGARITMOS TITULO: POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y LOGARITMOS FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Segundo Período Exponente. Es el número que se coloca como superíndice de otro número o letra al que se le llamara base. Si el exponente es entero y positivo indicara el número de veces que se toma como factor a la base. Si no existe el exponente, se supone que esta indicado y, se asume que es 1. Potencia. La potencia de un número es el resultado de tomar al mismo número como base elevado a un exponente. Potenciación Es una operación que tiene por objeto hallar las potencias de un número. a

n

=b

donde : a es la base n es el exponente

Radicación. Es la operación inversa de la potenciación. Se conoce el número de veces que se multiplico (índice de la raíz) y el resultado (radicando), deseando encontrar el número que se multiplicó (raíz). n

b

=

a

n es el índice a es la raíz Nota : si n es par ⇒ b > 0

Una raíz se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario. m n

Leyes de exponentes:

b

m

= bn

Logaritmo. Se denomina logaritmo de un numero, a aquel exponente al que se debe elevar determinada base para obtener el numero, es decir log a b

b es la potencia

donde : b es el radicando

=

n

Donde : a es la base

= a m+ n a m ÷ a n = a m−n ( a ⋅ b) n = a n ⋅ bn am ⋅ an

( a ÷ b) n = an ÷ bn

( a n ) m = a n ⋅m

n es el logaritmo

=1 a1 = a

b es el número

a0

a −n

=

Por definición

1 an


log a b Nota :

D E 33

A Q U I N O

n

=b

a

>0

= n ⇔a

a

≠1 ;

y b

B O L I V I A

>0


Ejemplo: Calcular los siguientes logaritmos:

anti

1) log 10 1000 = ? Entonces el resultado será 3 por que 10 elevado al cubo”3” da como resultado 1000. 2) log 2 8 = ? Entonces el resultado será 3 por que 2 elevado al cubo”3” da como resultado 8. 3) log 4 64 = ? Entonces el resultado será 3 por que 4 elevado al cubo”3” da como resultado 64.

Logaritmo decimal o vulgar Es aquel que tiene por base el número 10. Al ser muy usados no escribir la base (log). Logaritmo Neperiano o Natural Es aquel que tiene por base el número natural “e” y se representan por (ln). Constante natural o número natural ”e” La constante natural es aquel número denotado por la letra “e” y cuyo valor es: e = 2.7182188284 6

Propiedades de logaritmos log a 1 = 0

log a ( u ⋅ v )

= log a u + log a v log a ( u ÷ v ) = log a u − log a v log a u n = n ⋅ log a u

log a a = 1 log a a x a loga x

= x

= x

log a n v

= 1 log a v n

=

log c B log c a

;

log a b

=

a

(log

a

B )

= B

Ecuaciones exponenciales. Se llaman ecuaciones exponenciales a aquellas igualdades en las que la variable aparece como exponente de una determinada base. Ejemplo: b) 7 x + 4 + 21 x − 2 + 495 x

= 21 c ) 2 x − 32 = 0 a ) 7 x

x + 2

e) 5

4 x +3

1 log b a

1

−

a

(log

a

B )

= 625

Sistema de ecuaciones exponenciales. Es un conjunto de igualdades donde cada una de ellas es una ecuación de tipo exponencial. Ejemplo:

2 x.3 x = 0  x y 4 9 = 0 Ecuaciones logarítmicas: Es un conjunto de igualdades donde cada una de ellas posee logaritmos. Ejemplo:

log( x ) + log( y ) = 2 log( x ) − log( y ) = 0 

1)

( x . y. z ).( x 3

2

−1

2

A Q U I N O

−3

. y . z

B

D E 34

4

9  =     4 

Ecuaciones logarítmicas: Se llaman ecuaciones logarítmicas, a aquellas ecuaciones, que presentan a su incógnita afectada por un logaritmo. Para resolver una ecuación logarítmica, se aplican las propiedades de logaritmos o antilogaritmos según se precise, como también los cambios de base que se requieran.

=


− x −5

 3   9  f )   −    2   4 

x −7

Antilogoaritmo log

=7

d ) 3 x - 81 = 0

CUESTIONARIO WORK PAPER # 9 1. Simplificar las siguientes expresiones aplicando leyes de exponentes:

Cambio de base: log a B

log

B O L I V I A

)


1

2)

x 2 . y 3 . 5

x . y 3) 4)

2

3

3

. z 5

4

1

3

. z 2

−

−

3) 4 3 x −9 − 64 = 0 4) 5 2 x +6 − 625 = 0 5) 9 x + 3 x − 6 = 0

4.

 2 z  2 3   x y 3   z x y   2 −1 x x +2 x y

( )

(

)

2) log 2 (8 x + 3) − 9 = 0

x3 y

4)

−3

4  −3 −1  (3 x −1 y 3 z 2 )   x y z    4. x 3 . z       z y x    z −  x − z y +       yx  x − y   x − y −         2

1

3

2

6)

5 4

.5 yx

2

7) 8)

2

2

5 4

2

4

2

2

3

3

5) 6)

2

4

8)

2 z

9)

3 2

243 x. 81 .x

2

6

( + 5x + 7) = 0

4

10) log 7 x

2

100 . z . y 3 243 x y z 7 x

2.

3 2 7 4

−2

x 5 zy

3

yz 1 x −3 z 2 2 x y − 2

Calcular los siguientes logaritmos: 1) log 2 64

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas exponenciales: log( x) + log( y ) = 1 1)  2 2  x + y = 36 2)

3) log 7 2401 4) ln e 2 5) log10 100000

3) 4)

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales: 1) 4 x +1 = 32 2 2) 2 x −1 − 4 x +1 = 0 U N I V E R S I D A D

2

2

2) log 5 100

3.

=0     log 2 log 5  log 4 ( log 5 ( x + 1)   = 0 3     9 log 1 ( x 2 + 7 x + 13) = 0

7) log 5 { log 4 [ log 3 ( log 2 x ) ]}

1

5. 9)

=3 log 3 ( 4 x + 5) = log 3 x 2 log 3 x + log 3 ( x − 6) = 3 log 1 [ log 4 ( log 3 x ) ] = 1

3) log x 64

5)

3

Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas: 1) log( 5 x + 1) − 2 = 0

5)

D E 35

2 log( x) − log( y ) = 1   x = 1  y 3 x 27 y = 81  x y 25 125 = 625

2 x 7 y = 5  x y 3 5 = 3 9 x 2 y = 7  x y 7 5 = 3

A Q U I N O

B O L I V I A



D E 36

A Q U I N O

B O L I V I A


EJERCICIOS RESUELTOS 1.

52 x

5·5

2 x

1

+

3·5 −

− 3·52 x 5

2 x− 1

4.

= 550

4 x ·2 = 3 x ·243

// por 5

x

 4  = 243    3  2 x 4  243  log  = log 2  3  243  4  x log  = log 2  3 

− 3·52 x = 2750 ( 25 − 3)52 x = 2750 52 x = 125 52 x = 53 = 3 ⇒ x = 3 2

x =

log

243

log

2.

x

4

2

2

6 x

−

3.

−6 x )

x −

31

3 x

3

3x

−

5.

= 3 + log

x 10

log x = 3 − 1 log x = 2

2

=

x = 100

− 3 x = 2

cambio de var iable 3 t

2 log x

2 log x = 3 + log x − log 10

x

3

2 4

3 x = 16,68478755

16384

=

= 214 2( x 2 − 6 x) = 14 2 x 2 − 12 x − 14 = 0 x 2 − 6 x − 7 = 0 x1 = 7; x 2 = −1 2 2 ( x

x

3 ·243

=

550 =

25·52 x

2 x

x

4 ·2

6.

= t

log

x( x +3) =log(

x( x + 3) = ( x + 1)

− t = 2

2

2

+ 3 x = x 2 + 2 x + 1 x = 1 x 2

+ 2t − 3 = 0 t 1 = 1 ⇒ 3 x = 1; x = 0 t 2 = −3 ⇒ 3 x = −3; no existe x t 2


x + 1)

D E 37

A Q U I N O

B O L I V I A


PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 10 UNIDAD O TEMA: 5. TRIGONOMETRÍA TITULO: TRIGONOMETRÍA FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Segundo Período Trigonometría Es el estudio de las relaciones numéricas entre los ángulos y lados de los triángulos. Medición de ángulos: En Geometría los ángulos tienen medidas positivas solamente, en cambio, en Trigonometría un ángulo puede tener una medida positiva, nula o también negativa. El sistema sexagesimal, asigna al ángulo completo una medida de 360º, existe otro sistema para medir ángulos, llamado sistema absoluto, cuya unidad es el radián (rad). Un ángulo del centro en una circunferencia tiene la magnitud de 1 rad, si el arco que subtiende tiene una longitud igual al radio de ésta.

Cociente entre las longitudes del cateto opuesto al ángulo en y de la hipotenusa: sen ( α )

=

b c

Coseno del ángulo en α cos (α): Cociente entre las longitudes del cateto adyacente al ángulo en  y de la hipotenusa: cos ( α )

=

a c

Tangente del ángulo en α tg (α): Cociente entre las longitudes del cateto opuesto y del cateto adyacente al ángulo en α: tg ( α )

=

b a

Cotangente del ángulo en α ctg (α): Cociente entre las longitudes del cateto adyacente y del cateto opuesto al ángulo en : ctg ( α )

En este sistema el ángulo completo mide 2 π rads, por lo tanto: 1π rad equivalente a 180º

=

a b

Secante del ángulo en α sec (α): Cociente entre las longitudes de la hipotenusa y del cateto adyacente al ángulo en :

Razones trigonométricas en un triangulo rectángulo. Un triangulo rectángulo es aquel triangulo en el cual uno de sus ángulos es de 90º. Dado el triángulo rectángulo en C se tiene las razones trigonométrica del seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

sec ( α )

c a

Cosecante del ángulo en α csc (α): Cociente entre las longitudes de la hipotenusa y del cateto opuesto al ángulo en : csc ( α )

c

b

=

=

c b

Teoremas

α

Seno del ángulo en a α sen (α): a


D E 38

A Q U I N O

B O L I V I A


En cualquier triangulo rectángulo se cumplen los siguientes teoremas:

Teorema 1: La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de cuadrados de los otros catetos. Teorema de Pitágoras c

2

=a

2

+b

2

Teorema 2: Dado un ángulo, el valor de cualquier razón trigonométrica depende únicamente de la magnitud de dicho ángulo. Teorema 3: Si α + β = 90º, entonces: sen (α ) = cos (β ) cos (α ) = sen (β ) tg (α ) = ctg (β ) ctg (α ) = tg (β ) sec (α ) = csc (β ) csc (α) = sec (β )

sen ( A )

30º 45º 60º 90º 180º 270º

0

π

1

6

2

π 4

π 3

π 2

π 3 π 2

2 2 3 2

1

b

sen (C ) =

c

Ley de los cosenos. La ley de coseno se aplica a cualquier triangulo oblicuángulo. La ley de coseno se aplica cuando se conocen las medidas de: a) Los tres lados. b) Dos lados y el ángulo comprendido por ellos. Dado el triángulo ABC:

0 3

3 2

3

2

1

2 1

3

2

1

0

indefini da

0

–1

0

0

indefini da

– 1

sen ( B) =

a

Tabla de razones trigonométricas de algunos ángulos A sen (α ) cos (α ) tg (α ) 0

Dado un triángulo ABC cualquiera:

Siempre se cumple las siguientes relaciones:

Teorema 4: Si n ∈ Z, entonces: sen (α + 360º × n ) = sen (α ) cos (α + 360º × n ) = cos (α ) tg (α + 180º × n ) = tg (α )

0º

Ley de los senos. La ley de los senos se aplica a cualquier triangulo oblicuángulo, los triángulos oblicuángulo son aquellos en que sus ángulos son diferentes entre si. La ley de senos se aplica cuando se conocen las medidas de: a) Dos lados y uno de los ángulos opuestos a ellos. b) Dos ángulos y un lado.


D E 39

a2

=

b 2

+

c 2 - 2 b c cos ( A )

b 2

=

a2

+

c 2 - 2 a c cos ( B )

c2

=

a2

+

b 2 - 2 a b cos ( C )

CUESTIONARIO WORK PAPER # 10

A Q U I N O

B O L I V I A


ve pasar un automóvil frente a él y un minuto más tarde lo ve pasar bajo un ángulo β = 35 a la derecha de la posición anterior. Calcular la velocidad aproximada del automóvil.

1. Resolver los siguientes problemas mediante la aplicación de trigonometría. 1)

En un triángulo se conocen α = 45º , β = 105º y c = 2 . Determine sus lados y sus ángulos.

2) Dos lados de un paralelogramo miden 5 m. Y 8 m., formando un ángulo de 40º. ¿Cuánto miden las diagonales? 3) Desde la cúspide de un faro de 80 m. De altura, se observan hacia el oeste dos botes según ángulos de depresión de 60º y 30º. Calcule la distancia que separa a los botes. 4)

Un asta de bandera está enclavada en lo alto de un edificio. Desde un punto situado en el suelo, a 12 m. del edificio, se observa el techo del edificio según un ángulo de elevación de 30º y la punta del asta según un ángulo de elevación de 60º. Calcule la altura del edificio y la longitud del asta.

5) Desde un punto A situado en el suelo se observa hacia el norte el campanario de una iglesia según un ángulo de elevación de 30º y desde un punto B, situado en el suelo se observa el campanario hacia el oeste según un ángulo de elevación de 60º. Si AB = 100 m., calcule la altura del campanario. 6) A medio día, dos aviones de búsqueda se disponen a salir de Santiago de Chile para rastrear un helicóptero que cayó en el Océano Pacífico. El avión A viaja directamente al Oeste a una velocidad de 400 km/hora, el avión B viaja hacia el Noreste a 500 km/hora. A las 14:00 horas el avión A encuentra a los sobrevivientes del helicóptero y llama por radio al avión B para que acuda y ayude en el rescate. ¿A qué distancia está el avión B del avión A en ese instante? 7)

8) La distancia entre dos edificios de tejado plano es de 70 mts. Desde la azotea del menor de los edificios, cuya altura es de 40 mts, se observa a la azotea del otro con un ángulo de elevación de 50º. ¿Cual es la altura del edificio más alto? 9)

Desde la ventana de un edificio a 43 m de altura, se observa un auto con un ángulo de depresión de 45º. ¿A que distancia desde la base del edificio se encuentra el automóvil?

10) Dos lados de un paralelogramo miden 9 m. Y 17 m., formando un ángulo de 40º. ¿Cuánto miden las diagonales?

2. Demostrar las siguientes identidades trigonométricas senα + cos α

1

= 1+ senα tan α 2) tan α + cot g α = sec α cos ecα 3) (tan α cos ecα ) 2 − ( senα sec α ) 2 = 1 1)

4) 5) 6)

secα

= senα tan α + cot α cos ecα 1 + cot α =

sec α 1 + tan α 1 − senα cos α cosα

=

1 + senα 1 − tan 2 α

7) 1 − 2sen 2α = 8) 1

+

1

1 + tan 2 α

= 2 cos ecα . cot α

sec α − 1 secα + 1 1 1

9)

1 + senα

+

1 − senα

= 2 sec2 α

Un observador que se encuentra a 2 kilómetros de distancia de un camino recto,


D E 40

A Q U I N O

B O L I V I A


10)

5) cot α − 2sen(2α ) = 1

tan α + cot α = 1 + tan α + cot α 1 − cot α 1 − tan α

6) tan 2 α + 5 tan α + 6 = 0

3. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas: 1) 2 sen α − 1 = 0 π 2) cos α − = 0

7) sen 2α + 8senα + 12 = 0 8) cos 3 α − 4 cos α = 0 9) sen(4α ) + sen(2α ) = 0

4

3) tan(80 − α ) = tan α 4) cosα = 3.senα


10)

D E 41

sen( 2α ). cos ecα

A Q U I N O

tan α

− cot α .sec α = 1

B O L I V I A


PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 11 UNIDAD O TEMA: 6. GEOMETRÍA ANALÍTICA TITULO: GEOMETRÍA ANALÍTICA FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Segundo Período Geometría analítica Sistema de coordenadas rectangulares Un sistema de coordenadas en el plano esta formado por dos rectas perpendiculares entre si, llamadas ejes de coordenadas o abscisa “eje x” y ordenada “eje y” que pertenecen a los números reales.

Se llama pendiente de una recta a la tangente del ángulo de inclinación que forma la recta con el semieje positivo de abscisas, medido siempre en sentido contrario al de las agujas de un reloj.

y II

I

x III

IV

Dados dos puntos por los cuales pasa la recta A, B su pendiente se calcula así:

Distancia entre dos puntos. La distancia que existe en una línea de segmentos formados por dos puntos esta definida por el teorema de Pitágoras que dice: y y2

y1

B

A x1

d =

x2

x

y 2 − y1 x 2 − x1

La recta. La recta es una sucesión de puntos que es considerada como una trayectoria de puntos que no cambian de dirección, o bien, en términos del espacio, es la intersección de dos planos. Además tenemos los siguientes conceptos: La recta en un plano cartesiano puede estar representada por las siguientes ecuaciones Forma general de la ecuación de la recta:  La encontramos haciendo operaciones con cualquiera de las formas antes mencionadas, su representación es: ax + by + c = 0.

( x 2 − x1 ) 2 − ( y 2 − y1 ) 2

Pendiente de una recta. U N I V E R S I D A D

m = tan α =

D E 42

A Q U I N O

B O L I V I A




  

Forma pendiente-ordenada, la ecuación es: y = mx + b (b es la intersección con el eje Y ). Forma punto-pendiente, la ecuación es: y – y 1 = m(x – x 1 ). Forma punto-punto, la ecuación es: y – y 1 = [ (y 2 – y 1 ) / (x 2 – x 1 ) ] (x – x 1 ) Forma abscisa-ordenada, la ecuación es: x/a + y / b = 1 (donde a es la intersección con el eje x y b la intersección con el eje y).

Ecuación pendiente-ordenada. Esta ecuación esta dada cuando se conoce como datos la pendiente de la recta y la ordenada.

Esta ecuación esta dada cuando se conoce dos puntos de la recta P(x 1, y1), P(x2, y2). y

y1

.

Sea m = tan α = y − y1

y 2 − y1 x 2 − x1

=

x

x2

, entonces:

− y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

y 2

Ecuación abscisa-ordenada. Esta ecuación esta dada cuando se conoce la intersección de la recta con el ejex y eje y.

α

)

P x1

y b

P

y2

x

y

y

Donde:

m

b

= mx + b

. .

= tan α : es la pendiente

b = parámetro lineal por donde la recta corta al eje y

x a

Ecuación punto-pendiente. Esta ecuación esta dada cuando se conoce un punto de la recta P(x 1, y 1) y su pendiente de la recta.

a

y

x a

y1

P

α

y − y1

y b

=1

Donde:

)

“a” es la abscisa “b” es la ordenada Rectas paralelas. Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales es decir:

x

x1

+

= m( x − x1 )

Donde la pendiente es: m = tan α

m1

= m2

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. U N I V E R S I D A D

D E 43

A Q U I N O

B O L I V I A


punto fijo se llama centro y la distancia constante radio.

y

Dada la forma ordinaria (x - h)2 + (y - k) 2 = r 2 desarrollamos los cuadrados y tenemos:

x

x 2 – 2hx + h2 + y 2 – 2ky + k 2 = r 2 agrupando términos: x 2 + y 2 + (-2h)x + (-2k)y + (h 2 + k 2 – r 2 ) = 0

Rectas perpendiculares. Dos rectas son perpendiculares entre si y solo si forman un ángulo de intersección de 90°, es decir: m1

=−

reemplazando tenemos: x 2 + y 2 + Dx +Ey + F = 0 Por último tenemos: La ecuación general de la circunferencia:

1 m2

x

y

2

+y

2

x +D

E y +

0 +F =

La circunferencia cuyo centro es (h, k) y de radio r tiene por ecuación: (x - h)2 + (y - k) 2 = r 2 y recibe el nombre de ecuación en forma ordinaria. Y

x

P

R

Ángulo entre dos rectas. Si dos rectas se intersectan entre si, el ángulo de intersección entre ambas rectas esta dado por la siguiente ecuación:

C

e n

a

d

t r o

i o

(

( h

r

,

u

n

t o

)

k )

y X

θ) x

θ

 m −m  = arctan  1 2  1 + m1 ⋅ m 2 

La circunferencia. Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano; el


D E 44

La parábola. La parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. Al punto fijo se le llama foco y la recta fija es la directriz . La recta que es perpendicular a la directriz y que pasa por el foco se llama eje focal , la intersección de la parábola con el eje focal se denomina vértice.

A Q U I N O

B O L I V I A


La cuerda focal es el segmento de recta perpendicular al eje focal y que pasa por el foco, en nuestra gráfica, esta es el lado recto.

de ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. Y

Y

D V

i r e

c

t r i z

é r t i c e

( h

,

k

) C

A

F

C

F

F

’

b L

F L

a

d

o

r e

o

c

V

C

F

o

V

c

c t o l a c o f

a

A

’

e j E

X

Si el eje es paralelo al eje Y la ecuación es de la forma ( x − h ) 2 = 4 p ( y − k ) y sus elementos son:   





 







X

’

La ecuación de una elipse con C(h, k) y eje focal paralelo al eje X es:

( x − h ) 2 a2

( x − h ) 2 b2

Foco(h + p, k) Directriz x = h – p Eje focal y = k Donde 4|p| es la magnitud del lado recto y siendo |p| la distancia entre el foco y el vértice. Si p > 0 la parábola se abre a la derecha. Si p < 0 la parábola se abre a la

+

( y − k ) 2 b2

=1

+

( y − k ) 2 a2

=1

En donde para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b es la del semieje menor, c es la distancia del centro hacia cada foco y a, b, c están ligadas por la siguiente relación: 2 2 2 a = b + c , en donde c es la distancia desde el centro de la elipse hacia su foco. También para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es: LR =

2b 2 a

La excentricidad de una elipse es: e =

. c a

.

Los elementos de una elipse son los que se describen en la figura siguiente:   

La elipse. La elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que las sumas de sus distancias a dos puntos fijos U N I V E R S I D A D

L

La ecuación de una elipse con C(h, k) y eje focal paralelo al eje Y es:

Foco (h, k + p) Directriz y = k – p Eje focal x = h Donde 4|p| es la magnitud del lado recto y siendo |p| la distancia entre el foco y el vértice. Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba.

La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje focal paralelo al eje X es de la forma: ( y − k ) 2 = 4 p( x − h) y sus elementos son los siguientes: 

’

D E 45

    

F y F’, focos. V y V’, vértices C, centro. d(V, V’), eje mayor. CF, lado recto. d(A, A’) eje menor. L’, eje normal. L, eje focal.

A Q U I N O

B O L I V I A


La hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es igual a una constante positiva y menor que la distancia entre los focos. Y L

’

A

La excentricidad de una elipse es: e =

F

C

V

C

V

F

’

F

’

C A

’

F

’

a2

( y − k ) 2

−

b2

X

La ecuación de una hipérbola centro en el punto C(h, k), y eje focal paralelo al eje Y es de la forma: a2

−

( x − h) 2 b2

=1

Donde para cada parábola a es la longitud del semieje transverso, b la del semieje conjugado y c la distancia del centro a cada foco; a, b, c están ligadas por la relación c 2 = a 2 + b 2 . También para lado recto de la hipérbola, la longitud de cada uno de sus lados rectos es: LR =

a

2

.


a

( x − h ) + k

2) Hallar la distancia entre los puntos: P1 (2, 1); P 2 (6, 4).

2. Pendientes, ángulos y grafica. 1) Hallar el ángulo de inclinación que tiene la línea de segmentos formada por los puntos: (5,2), (3,-4). 2) Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta 2X + Y – 8 = 0.

Sus focos son (h , k + c) y (h, k - c). Sus vértices son (h - a, k ) y (h + a, k ).

2b

b

3) Hallar la distancia entre los puntos: P1 (2, 4); P 2 (-6, -3).

=1

Sus focos son (h + c, k) y (h .- c, k). Sus vértices son (h – a, k) y (h + a, k).

( y − k ) 2

.

CUESTIONARIO WORK PAPER # 11 1. Distancia entre dos puntos. 1) Demostrar que las coordenadas de los siguientes puntos, forman un triangulo isósceles : P1 ( - 2 , - 1 ) ; P2 ( 2 , 2 ) ; P3 ( 5 , - 2 )

La ecuación de una hipérbola con centro en el punto C(h, k), y eje focal paralelo al eje X es de la forma:

( x − h ) 2

a

Sus elementos son los que se muestran en la figura:  F y F’, focos.  V y V’, vértices.  L, eje focal.  VV’, eje transverso.  C, centro.  L’, eje normal.  AA’, eje conjugado.  CF, lado recto. Las asíntotas de una hipérbola están dadas por siguiente ecuación: y = ±

L

c

D E 46

3) Hallar el ángulo de intersección de las rectas L1: 6X + 3Y – 15 =0 L2: X + 2Y + 2 =0.

3. Distancia entre dos puntos. 1) Demostrar que las coordenadas de los siguientes puntos, forman un triangulo isósceles : P1 ( - 2 , - 1 ) ; P2 ( 2 , 2 ) ; P3 ( 5 , - 2 )

A Q U I N O

B O L I V I A


1)

2) Hallar la distancia entre los puntos: P1 (2, 1); P 2 (6, 4).

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en P( 5 , - 1 ) y u n radio R= 4 Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en P 1 (4, 4) y es tangente al eje X. 2)

3) Hallar la distancia entre los puntos: P1 (2, 4); P 2 (-6, -3).

Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto P1 (5, 7) y posee un radio R = 3 3)

4. Rectas con sus respectivas grafica. Hallar la ecuación de la recta 1) que pasa por los puntos P 1 ( 3 , 3) ; P2 (5,-3). Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P 1 ( 5 , 4 ) y su pendiente es: m = -3.

7. La parábola con sus respectivas graficas 1) Hallar la ecuación de la parábola que tiene vértice en V (3,2) y foco en: F (5,2).

3) Hallar la ecuación de la recta que corta al eje de las abscisa en 3 y la ordenada en -2.

2) Hallar la ecuación de la parábola que tiene foco en F (6,-2) y por directriz a la recta X = 2.

Hallar la ecuación de la recta que corta a la ordenada en -5 y su pendiente es 2 / 3

3) Determinar la ecuación de la parábola que tiene vértice en V (-5,-3) y tiene directriz en Y = 4

2)

4)

5. Rectas paralelas y perpendiculares con sus respectivas graficas. Hallar la ecuación de la recta 1) que pasa por P 1 (5,4) y es paralela a la recta 2x + 3y - 9 = 0. 2) Hallar la ecuación de la recta que corta a la abscisa en -3 y es paralela a la recta que pasa por los puntos: P1(0,-2); P2(5,2)

8. Graficar las siguientes cónicas 1) x 2 – 4x – 12x + 6 =0 2)

y 2 +6y +2x -3 = 0

3)

x 2 + 2x – 7y+2 = 5

4)

9x 2 + 4y 2 – 36x – 8y – 104 = 0

5)

4x 2 – 25y 2 – 32x + 50y – 61 = 0

1 6 x 2 + 2 5 y 2 - 1 2 8 x 300y+756=0 6)

3) Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas: L1: 7x + 8 Y -2 9 = 0 L2:5X+11Y-26=0 y es perpendicular a la recta: 4X+ 2Y-5=0

6. La circunferencia con sus respectivas graficas.


D E 47

7) 8) 9)

2 5 x 2 + 9 y 2 - 2 2 5 = 0 x 2 + 4 y 2 - 4 x - 8 y - 2 8 = 0 5 x 2 - 4 y 2 - 2 0 x + 2 4 y + 2 0 = 0

2 5 x 2 - 4 9 y 2 100x+294y+884=0 10)

A Q U I N O

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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 12 UNIDAD O TEMA: 7. LÓGICA Y CONJUNTOS TITULO: LÓGICA PROPOSICIONAL FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Tercer Período Proposición Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0). Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p". A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones. Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente: p p' 1 0 0 1 A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p,q y sus tablas de verdad: Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p q, y se lee "p y q".

p q pq 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p Ú q, y se lee "p o q". p 1 1 0 0

q pq 1 1 0 1 1 1 0 0

Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p  q, y se lee "p o q pero no ambas". p q pq 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición


D E 48

A Q U I N O

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necesaria q es falsa. Se escribe p Þ q, y se lee "si p entonces q".

conjuntos.

NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO p 1 1 0 0

q pq 1 1 0 0 1 1 0 1

Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p q, y se lee "si y sólo si p entonces q". p q pq 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Tautología y contradicción Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p  p'. Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p  p'. Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p = "la proposición p es falsa". Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición p Û q es una tautología. Por ejemplo, las proposiciones p  q y q'  p' son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecíproco", y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo. Se pueden obtener fácilmente más "resultados lógicos" a través de su relación con la teoría de


D E 49

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo. Si a es un elemento del conjunto A, se denota con la relación de pertenencia a є A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a ¢ A. Ejemplos de conjuntos: : el conjunto vacío, que carece de  o elementos. N: el conjunto de los números naturales. Z: el conjunto de los números enteros. Q : el conjunto de los números racionales. R: el conjunto de los números reales. C: el conjunto de los números complejos. o o o o o

Se puede definir un conjunto: • por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos. • por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza. Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo: A := {1,2,3, ... ,n} B := {p Z | p es par} Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A  B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a  A  a  B. Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A  B y B A;  esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica). Para cualquier conjunto A se verifica que   A y A  A; B  A es un subconjunto propio de A si A   y B  A.

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El conjunto formado por todos los subconjuntos de A se llama partes de A, y se denota  (A). Entonces, la relación B  A es equivalente a decir B   (A). Ejemplos: Si A={a,b} entonces (A)={ , {a}, {b}, A}. Si a  A entonces {a}  (A).

'=U. U ' = . (A')' = A . A  B  B'  A' . Si A = { x  U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x  U | p(x) es una proposición falsa}.

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, es decir: A  B := { x | x  A  x  B}.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A  B := {a  A | a  B}. Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A  B := (A  B)     A  Si A   (U), a la diferencia U - A se le llama complementario de A respecto de U, y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).

Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir: A B := {x | x  A  x  B}.

Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica: PROPIEDADES 1.- Idempotencia 2.- Conmutativa 3.- Asociativa 4.- Absorción

5.- Distributiva 6.Complementariedad

UNIÓN A  A = A A  B = B  A A  ( B  C ) = ( A  B ) A ( A B ) = A A  ( B  C ) = ( A  B ) C)



o

Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A B = A  B'. En este caso, las llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades:

C (

A



A  A' = U

INTERSECCIÓN A A = A A B = B A A ( B C ) = ( A B ) C A  ( A  B ) = A A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A C) A  A' = 

Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole.

DIAGRAMAS DE VENN Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos.

A  B

A B

Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva. A - B A  B U N I V E R S I D A D

D E 50

A Q U I N O

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


1.- Dados los conjuntos, escribirlos por comprensión. A

B

 

A = { g ; a ; t ; o} E = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 }

2.- Representar en Diagrama de Venn : R={1;2;3;4;5;6};S={2;4;6;8; 10 } 3.- Si A = ( a ; b ; c ; d ; e ; f ; k ) B=(a;c;e;k)

CUESTIONARIO WORK PAPER # 12

Hallar : A - B

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD WORK PAPER # 13 UNIDAD O TEMA: 8. INDUCCION MATEMÁTICA TITULO: INDUCCIÓN FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Tercer Período 8. Principio de Inducción Matemática

8.2 Definición. Un conjunto S de números es un conjunto inductivo sí y sólo sí S tiene las siguientes propiedades:

8.1 Conjuntos Inductivos .

i. 1 ε S

Intuitivamente se obtienen los enteros positivos, tomando como punto de partida un primero designado por "1" y formando 1 + 1 (llamado "2"), 2 + 1 (llamado "3"), y así sucesivamente. En virtud de que no se puede depender del significado un poco oscuro de "y así sucesivamente" y de que se debe tener una base para proporcionar teoremas relativos a los enteros positivos, se da una definición del conjunto de los enteros positivos, basada en el concepto de conjunto inductivo .


D E 51

ii. a ε S ⇒ ( a + 1) ε S

Ejemplo 1. El conjunto S1 = {1, 3, 5, 7, ...} no es un conjunto inductivo, porque no obstante que 1 S1; (1+1) S1. El conjunto Z+ es el conjunto de números con la propiedad de que si k es cualquier conjunto inductivo de números, entonces Z + k. Se dice a veces, que el conjunto de los enteros

A Q U I N O

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positivos, es el "más pequeño" conjunto inductivo de números.

Entonces hay que demostrar que S 1 es cierta y que Sk Sk+1 es cierta.

8.3 Teorema fundamental de Inducción Matemática.

S1= 1 = 12 sk+1 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) Entonces, s k+1 = sk + (2k + 1) = k2+ 2k + 1 = (k + 1)2 Con lo anterior queda demostrado que la suma de los n impares positivos es n 2.

Sea Sn una función proposicional cuyo conjunto de referencia es Z+. Si Sn satisface las siguientes dos condiciones:

CUESTIONARIO WORK PAPER # 13 1. Demuestre que: Entonces Sn es cierta para todo n

Z +. para todo n

Demostración Sea k el conjunto de todos los enteros positivos para el cual S n es cierta. Es decir:

1.

2. Demuestre que: 2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n2 para todo n 1. 3. Demuestre que:

De i. se observa que 1 De ii. se observa que k

k. k

(k + 1)

k.

para todo n

Por tanto k es un conjunto inductivo y por la definición de k se sabe que k Z +. De otra parte Z + k. Por consiguiente Z += k, es decir S n es cierta para todo n Z +.

1

4. Demuestre que:

para

Ejemplo 2.

todo n

Demuestre que la suma de los primeros n enteros impares positivos es n 2. Sea Sk= 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k -1) = k n (hipótesis de inducción)


D E 52

1.

5. Demuestre que: para todo n

1.

A Q U I N O

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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF’s # 1 UNIDAD O TEMA: 1 TITULO: OPERACIONES ALGEBRAICAS FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Período Se pueden aplicar operaciones algebraicas para analizar fenómenos relacionados con su especialidad, como tarea de investigación busque aplicaciones prácticas de su carrera, para ello consulte con especialistas de ramo. . CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):

COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):

GRUPO (máximo cinco integrantes): AP. PATERNO AP. MATERNO


NOMBRES

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FIRMA

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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF’s # 2 UNIDAD O TEMA: 2 TITULO: ECUACIONES Y PROBLEMAS DE ECUACIONES FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN: Segundo Período Las ecuaciones, son herramientas matemáticas, que permite el análisis fenómenos relacionados con su especialidad, como tarea de investigación busque aplicaciones prácticas de su carrera, para ello consulte con especialistas de ramo

CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):




NOMBRES

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FIRMA

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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD DIF’s # 3 UNIDAD O TEMA: 5 TITULO: APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA FECHA DE ENTREGA: PERIODO DE EVALUACIÓN Segundo Período: La trigonometría es una herramienta matemática, que permite el análisis fenómenos relacionados con su especialidad, como tarea de investigación busque aplicaciones prácticas de su carrera, para ello consulte con especialistas de ramo

CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):




NOMBRES

D E 55

A Q U I N O

FIRMA

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Ok Algebra I

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