Aquesta obra està orientada, de manera general, a les enginyeries tècniques i, d'una manera específica, a l'assignatura Àlgebra i Equacions Diferencials que s'imparteix a diverses titulacions de l'EUPVG. El seu objectiu és recollir en un sol volum tot el material referent a nombres complexos, equacions diferencials i transformada de Laplace, que es troba dispers en la nombrosa bibliografia existent i adaptar-lo a les necessitats, al nivell i als interessos dels estudiants de les diverses titulacions. Un dels trets innovadors és que es presenten nombrosos exemples extrets de problemes i situacions propis de les diverses branques de l'enginyeria, i que per a molts dels mètodes i exercicis es proporciona el codi per resoldre'ls amb MapleV. Cal destacar que també s'hi inclouen, aprofitant el desenvolupament natural del temari, les idees bàsiques de la teoria de sistemes en la formulació d'espai d'estats i la seva relació amb la funció de transferència.
EDICIONS UPC
UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA
Àlgebra i equacions diferencials
Batlle - Massana - Zaragozá
33
AULA POLITÈCNICA / EUPVG
Carles Batlle - Immaculada Massana Marisa Zaragozá
Àlgebra i equacions diferencials
Carles Batlle és Llicenciat i Doctor en Física per la Universitat de Barcelona i professor titular d'universitat. Immaculada Massana és Llicenciada en Matemàtiques per la Universitat de Barcelona i professora titular d'escola universitària. Marisa Zaragozá és Llicenciada en Matemàtiques per la Universitat de València i Doctora en Matemàtiques per la UPC, i professora titular d'escola universitària. Tots tres estan adscrits al Departament de Matemàtica Aplicada i Telemàtica de la UPC i imparteixen la docència a l'Escola Universitària Politècnica de Vilanova i la Geltrú (EUPVG), des de fa més de 10 anys en diverses titulacions i assignatures. Actualment Carles Batlle i Immaculada Massana desenvolupen la seva recerca en el camp de la dinàmica dels sistemes caòtics, mentre que Marisa Zaragozá treballa en teoria de grafs.
EDICIONS UPC
AULA POLITÈCNICA / ETSEIB
Carles Batlle - Immaculada Massana Marisa Zaragozá
Àlgebra i equacions diferencials
EDICIONS UPC
Aquesta obra fou guardonada en el setè concurs "Ajut a l'elaboració de material docent" convocat per la UPC.
Primera edició: setembre de 2000
Aquesta publicació s'acull a la política de normalització lingüística i ha comptat amb la col·laboració del Departament de Cultura i de la Direcció General d'Universitats, de la Generalitat de Catalunya. En col·laboració amb el Servei de Llengües i Terminologia de la UPC. Disseny de la coberta: Manuel Andreu ©
Els autors, 2000
©
Edicions UPC, 2000 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es A/e:
[email protected]
Producció:
CBS - Impressió Digital Pintor Fortuny 151, 08224 Terrassa (Barcelona)
Dipòsit legal: B-30.114-2000 ISBN: 84-8301-405-X Són rigorosament prohibides, sense l'autorització escrita dels titulars del copyright, sota les sancions establertes a la llei, la reproducció total o parcial d'aquesta obra per qualsevol procediment, inclosos la reprografia i el tractament informàtic, i la distribució d'exemplars mitjançant lloguer o préstec públics.
Index Presentacio
iii
1 Els nombres complexos
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
Per que els nombres complexos? . . . . . . . . . . . Formes cartesiana i polar dels nombres complexos . Formula d'Euler i forma exponencial . . . . . . . . Una aplicacio a la teoria de circuits . . . . . . . . . Arrels de polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funcions trigonometriques i hiperboliques . . . . . Descomposicions en fraccions simples . . . . . . . .
2 Equacions diferencials
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Que es una equacio diferencial? . . . . . . . . . . Alguns problemes on apareixen EDO . . . . . . . EDO de variables separables . . . . . . . . . . . . Models de poblacio i desintegracio radioactiva . . Solucio aproximada d'equacions diferencials . . . Eines de software . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoremes d'existencia i unicitat . . . . . . . . . .
. . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
3 Equacions diferencials lineals
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
EDO lineals de primer ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EDO lineals d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propietats de les solucions de les EDO lineals homogenies d'ordre 2 . . . . . . . Resolucio de les EDO lineals homogenies a coe cients constants d'ordre 2 . . . Propietats de les solucions de les EDO lineals no homogenies d'ordre 2 . . . . . Resolucio de les EDO lineals no homogenies a coe cients constants d'ordre 2 . Resposta d'un sistema de segon ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Transformada de Laplace
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
La transformada de Laplace . . . Propietats elementals . . . . . . . Mes propietats . . . . . . . . . . Altres resultats importants . . . Transformada inversa de Laplace La delta de Dirac . . . . . . . . . Producte de convolucio . . . . . . Exemples amb MapleV . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . .
. . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . .
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
.. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . .
. . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . .
. . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1 5 16 20 28 32 39 43
43 48 58 65 70 81 86
93
93 97 98 102 105 107 123 135
136 138 140 143 145 147 155 157
Index
ii
5 Sistemes d'equacions diferencials lineals
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
Sistemes d'equacions diferencials lineals . . . . . . . . . . Funcio de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equacions d'ordre superior i formulacio a l'espai d'estats . Eines de software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. ..
. . . . .
.. .. .. .. ..
. . . . .
. . . . .
.. .. .. .. ..
. . . . .
.. .. .. .. ..
. . . . .
169
169 172 177 178 180
Bibliogra a
181
Index de taules
183
Index de gures
185
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
Presentacio A la UPC la introduccio dels nous plans d'estudis, amb la seva estructura quadrimestral, la reduccio general d'hores lectives de pissarra i, en molts casos, alteracions signi catives en el pes relatiu de les materies, ha provocat forts canvis, alguns absolutament radicals, en els continguts i estructures de les assignatures de les arees basiques, com ara fsica i matematiques. A l'EUPVG una de les assignatures que mes ha patit la transicio es la que, en els antics plans d'estudis d'Enginyeria Tecnica Industrial i d'Enginyeria Tecnica de Telecomunicacions, era coneguda com Algebra , i que tenia 150 hores anuals lectives teoriques. L'assignatura estava dividida en dos blocs, un primer d'algebra lineal i un segon d'equacions diferencials. El primer bloc, a mes d'introduir la teoria d'espais vectorials i aplicacions lineals, incloent-hi com a mnim la diagonalitzacio d'endomor smes, servia per proporcionar les eines que s'usaven despres en tractar els sistemes d'equacions diferencials. El segon bloc comencava amb les equacions diferencials de primer ordre, les equacions diferencials lineals d'ordre superior i la transformada de Laplace, continuava amb els sistemes d'equacions diferencials lineals de primer ordre i acabava amb idees elementals sobre l'estabilitat de les solucions dels sistemes d'equacions diferencials lineals i no lineals. En de nitiva, un contingut forca classic per al qual no era gaire problematic trobar un parell de llibres que cobrissin tot el temari. L'hereva de l'Algebra en els plans d'estudis reformats de l'EUPVG s'anomena, una mica enganyosament, Algebra i Equacions Diferencials, en endavant ALED, amb 7; 5 credits lectius totals. A la practica, descomptades les hores que es dediquen a activitats exclusivament avaluatives, aixo vol dir 60 hores de classe, un 40% del temps de l'antiga assignatura. La Seccio de Matematica Aplicada de l'EUPVG es va posar, ja un any abans de l'entrada en funcionament dels nous plans, a retallar el temari i a coordinar-lo amb la resta d'assignatures de matematiques, tambe fortament afectades. La primera decisio i la mes important va ser eliminar tot el bloc d'algebra lineal. La consequencia interna mes important es un canvi en la manera que es poden explicar els sistemes d'equacions diferencials. Les consequencies externes depenen de la titulacio concreta. Son importants de cara a que l'estudiant pugui seguir cursos avancats de teoria de control o de tractament del senyal que es basen en la formulacio en espai d'estats. Aquesta primera reduccio radical, no era, pero, su cient per encabir l'assignatura en el nou marc, i va ser necessari suprimir tambe la introduccio a l'estudi de l'estabilitat dels sistemes d'equacions diferencials. De nou els camps mes afectats son els relacionats amb la teoria de control avancada. Amb tot aixo, el programa de l'assignatura d'ALED que es va dur a terme els dos primers anys d'implantacio dels nous plans d'estudis a l'EUPVG estava constitut per quatre blocs, aproximadament amb el mateix pes: 1. Equacions diferencials de primer ordre. 2. Equacions diferencials lineals d'ordre superior. 3. La transformada de Laplace. 4. Sistemes d'equacions diferencials lineals. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
iv
Presentacio
Val a dir que en el quart bloc, els sistemes d'equacions diferencials, calia fer tota classe d'equilibris, no sempre reeixits, per poder exposar-ne el contingut de forma coherent a estudiants amb un desconeixement previ quasi total dels metodes de l'algebra lineal. La situacio respecte a aquest bloc era, en qualsevol cas, insatisfactoria i, quan per problemes en la coordinacio dels continguts de la resta de materies de l'area de matematiques, l'ALED va haver d'assumir els continguts elementals relacionats amb els nombres complexos, vam decidir eliminar tot el bloc i establir el temari seguent, vigent als cursos 1997-98 i 1998-99: 1. Els nombres complexos. 2. Equacions diferencials de primer ordre. 3. Equacions diferencials lineals d'ordre superior. 4. La transformada de Laplace. Els sistemes d'equacions diferencials queden, si hi ha temps, com un exemple d'aplicacio de la transformada de Laplace. A part de l'evolucio historica que hem intentat descriure en els paragrafs anteriors, quan hom s'enfronta a aquest temari en el context de les titulacions de l'EUPVG pot fer-ne algunes consideracions. La primera, ja manifestada abans, es que l'estudiant queda desnodrit de quasi tots els fonaments matematics en que es basa la teoria de control moderna, es a dir, la formulacio en l'espai d'estats, en termes de sistemes d'equacions diferencials de primer ordre. La segona re exio es que la transformada de Laplace es redueix a un conjunt de propietats, que poden demostrar-se o no, i a un seguit de manipulacions estandard per tal d'obtenir les antitransformades. Dedicar unes quinze hores a aixo sembla una mica desproporcionat ja que, essencialment, qualsevol antitransformada de les que demanem als nostres estudiants es pot calcular, si s'es prou persuasiu amb la maquina, amb una ratlla de MapleV. Semblaria mes pro tos intentar aprofundir en els aspectes conceptuals i d'aplicacio de les funcions impulsives, la delta de Dirac, i, en la lnia de la primera re exio, introduir si mes no les beceroles de la teoria de sistemes: els sistemes lineals invariants en el temps, la funcio de transferencia i la resposta impulsiva. Finalment, la tercera re exio es que al mercat no hi ha cap obra que s'adapti al programa vigent, i menys si la cerquem en catala i que incorpori les idees sobre la teoria de sistemes que acabem d'esmentar. E s en aquestes circumstancies que un grup de professors de Matematica Aplicada de l'EUPVG vam iniciar l'elaboracio d'un material que s'adaptes al temari real d'ALED i alhora permetes ampliar-lo en els aspectes que hem esmentat. Volem que el nostre treball fos util i innovador, i que, en part, es pogues utilitzar en altres escoles tecniques. La innovacio creiem que l'hem aconseguida mitjancant nombrosos exemples trets d'aplicacions simples i no tan simples del mon de l'enginyeria, i amb explicacions de com els calculs mes pesats es poden resoldre i illustrar amb MapleV. Si be en aquest text no expliquem com fer-ho, creiem tambe que Matlab i la seva interf cie Simulink son una magn ca eina per \veure" les solucions d'una equacio diferencial i efectuar tota classe d'experiments autodidactes. La utilitat del nostre esforc es quelcom que s'haura de veure. Hem estructurat el llibre en cinc temes: 1. Els nombres complexos 2. Equacions diferencials 3. Equacions diferencials lineals © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
Presentacio
v
4. Transformada de Laplace 5. Sistemes d'equacions diferencials lineals En el tema dels nombres complexos introdum les seves formes binomica, polar i, mitjancant la formula d'Euler, exponencial, i les operacions amb cadascuna d'elles. Tambe de nim el logaritme d'un nombre complex i les funcions trigonometriques i hiperboliques. Mencionem el teorema fonamental de l'algebra i ensenyem les manipulacions elementals amb polinomis. Emprant la tecnologia introduda, mostrem com es poden obtenir les formules dels angles multiples i com es construeixen les funcions trigonometriques i hiperboliques inverses. L'aplicacio mes important del tema es l'obtencio del regim estacionari en circuits de corrent altern. Tambe illustrem la utilitzacio dels nombres complexos en l'elaboracio del lloc de les arrels i dels diagrames de Bode i Nykist de sistemes realimentats de baix ordre. El tema d'equacions diferencials preten donar les idees mes basiques i, alhora, algunes d'avancades sobre les equacions diferencials, sense entrar en metodes analtics sistematics de resolucio. Aix, tractem les questions d'existencia i unicitat de solucions i la resolucio numerica, i comencem a introdur l'us de Simulink. En el tema d'equacions diferencials lineals s que estudiem aquest tipus d'equacions, tant amb coe cients constants com variants, de forma sistematica. Com a exemple paradigmatic, s'estudia la resposta dels sistemes de segon ordre. La transformada de Laplace s'introdueix en el tema seguent i, a part de les propietats estandard, es dedica forca temps a parlar de la delta de Dirac i de la seva importancia en la modelitzacio idealitzada de fenomens fsics impulsius. En lloc de donar tot el pes del tema a les manipulacions que permeten antitranformar una expressio, mencionem els casos mes importants i mostrem com obtenir, i sobretot interpretar, els resultats amb MapleV. El darrer tema es, en cert sentit, un experiment en aquest nivell. Basant-nos en el que s'ha vist en els dos temes previs, s'introdueix la idea de sistema de control en l'espai d'estats i quina funcio de trasferencia te associada, aix com la relacio amb la resposta impulsiva. El teorema de convolucio, presentat en el tema sobre la transformada de Laplace, te aqu un paper fonamental. Tambe veiem com, donada la funcio de transferencia, es pot obtenir una formulacio en l'espai d'estats. El nostre objectiu es que, acabat aquest tema, l'estudiant estigui preparat per atacar l'estudi frequencial dels sistemes lineals invariants en el temps i, mes endavant, per poder comencar amb bon peu cursos de teoria de control moderna. Els requisits per poder seguir el llibre sense di cultats son mnims. Cal saber operar amb polinomis, derivar, integrar funcions elementals i operar amb matrius, incloent-hi el calcul de determinants i inverses. Alhora, per poder entendre la importancia dels conceptes exposats i poder seguir els exemples, cal saber una mica de fsica almenys de la mecanica i la teoria de circuits elementals. El nombre de demostracions que desenvolupem de manera explcita es molt petit. Indiquem el nal d'una demostracio amb el smbol . Finalment, voldrem agrair a Joan Boadas i Jaume Munne, companys nostres de l'EUPVG, l'atenta revisio que han fet de moltes parts d'aquest treball. Els evitables errors que sens dubte perduren son culpa exclusiva dels autors. Vilanova i la Geltru, marc 2000
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1 Els nombres complexos Els nombres complexos son una eina fonamental per a qualsevol enginyer tradicional. Veurem aqu les seves propietats mes importants, algunes de les seves aplicacions i certs resultats que emprarem sovint en altres captols. 1.1 Per que els nombres complexos? La primera vegada que es parla dels nombres complexos s'acostuma a plantejar el problema de trobar un nombre que multiplicat per si mateix doni una quantitat negativa, per exemple 1: x2 = 1: (1.1) Se sap que cap nombre real, ni positiu ni negatiu, veri ca aquesta relacio. El que es fa per tal que (1.1) tingui solucio es introduir la unitat imaginaria, i, que per de nicio veri ca (1.1), es a dir, i2 = 1: (1.2) Es pot pensar que, si per a cada equacio que no te solucio real hem d'introduir un nou ens estrany que per de nicio n'es la solucio, no acabarem mai. El que passa, pero, es que nomes amb els nombres reals i la unitat imaginaria ja podem trobar la solucio de qualsevol equacio polinomica, es a dir, qualsevol equacio de la forma an xn + an 1 xn 1 + + a1 x + a0 = 0; (1.3) amb an, an 1, : : : , a1 , a0 nombres reals i n un enter positiu qualsevol. Per exemple, per a n = 2 tenim l'equacio polinomica de segon grau, que s'acostuma a escriure com ax2 + bx + c = 0: (1.4) Tots sabem que les dues possibles solucions de (1.4) s'escriuen com p b b2 4ac x= : (1.5) 2a Aqu hi apareix l'arrel quadrada de b2 4ac, el discriminant de l'equacio de segon grau. Si aquest discriminant es positiu, llavors hi ha dos nombres reals, p2 p b b 4ac b + b2 4ac i ; 2a 2a © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2
Els nombres complexos
solucio de l'equacio. Si el discriminant es zero sols hi ha un nombre real solucio de l'equacio (es diu que aquesta solucio te multiplicitat dos): b 2a :
Si el discriminant es negatiu, es a dir, si b2 4ac < 0, llavors l'arrel quadrada no existeix, almenys dins dels nombres reals, per la mateixa rao que fa que tot nombre real tingui quadrat positiu. Per tant, en aquest cas no hi ha cap solucio real de l'equacio de segon grau. Aqu entra en joc, pero, la unitat imaginaria. L'unic que cal fer es escriure b2 4ac = (4ac b2 ) = 1 (4ac b2 ) = i2 (4ac b2 ): Llavors p p p p b i2 (4ac b2 ) b i2 4ac b2 b i 4ac b2 x= = = ; 2a 2a 2a i, com que suposem 4ac b2 > 0, l'arrel quadrada que hi apareix es un nombre real. Per tant, la solucio de l'equacio de segon grau en el cas de discriminant negatiu ve donanda com un p nombre real, b=2a, mes/menys un altre nombre real, 4ac b2=(2a), que multiplica la unitat imaginaria. Les combinacions de nombres reals i la unitat imaginaria s'anomenen nombres complexos. Un nombre complex qualsevol es, per tant, de la forma z = A + iB amb A; B 2 R. Noteu que, a causa de la commutativitat tant de la suma com del producte, aixo es pot escriure de diverses maneres, com per exemple A + Bi. A s'anomena la part real del nombre complex z i B n'es la part imaginaria. Sigui, per exemple, x2 + x + 1 = 0: (1.6) La solucio sera p2 1 1 411 x = p2 p2 1 3 1 i3 1 = = 2p 2p 1 i 3 1 3 i: = = (1.7) 2 2 2 Les dues solucions de (1.6) tenen part real 1=2 i part imaginaria +p3=2 i p3=2, respectivament. Es pot pensar que tot aixo esta molt be pero que estudiar les solucions d'equacions com (1.1) o (1.6) te molt poc interes practic. Si, per exemple, estem estudiant un problema de mecanica i arribem a que la longitud d'una certa peca ha de satisfer l'equacio (1.6), llavors vol dir que hem fet alguna cosa malament o que el nostre problema mecanic no te solucio, ja que les dues solucions (1.7) no ens serviran de res: no podem construir una peca que tingui longitud amb part imaginaria! El cert es que (1.6) no te cap solucio real i sols les solucions reals es poden assignar a magnituds fsiques. Resulta, pero, que val la pena estudiar els nombres complexos encara que nomes sigui com un instrument per arribar a resultats nals reals, quan aquests existeixen, que no es el cas de (1.6). Mes endavant donarem mes motius per aprendre a treballar amb els nombres complexos, © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.1 Per que els nombres complexos?
3
pero abans anirem al segle XVI per veure com els nombres complexos van apareixer com una necessitat per poder trobar solucions reals d'equacions. Gerolamo Cardano (1501{1576) va ser un metge, enginyer, matematic i jugador (de jocs d'atzar) del Reneixament italia. Com a enginyer Cardano va inventar el mecanisme anomenat junta de cardan, que va aplicar amb gran exit al carruatge personal de l'emperador Carles V i que s'utilitza en els vehicles moderns. Com a matematic va ser el primer a calcular les probabilitats dels jocs d'atzar de la seva epoca i ho va aplicar a la practica, fet que li va permetre guanyar els diners per pagar-se els estudis de medicina. Mes important per a nosaltres, pero, es que els estudis sobre les equacions polinomiques de tercer grau el van portar a intuir la necessitat dels nombres complexos. Sigui l'equacio general de tercer grau ax3 + bx2 + cx + d = 0: (1.8) Com que a 6= 0 (en cas contrari l'equacio seria de segon grau) sempre podem dividir per a i queda x3 + Bx2 + Cx + D = 0; (1.9) on B = b=a, C = c=a i D = d=a. Ara introdum una nova quantitat, , a partir de B : B = 3: (1.10) Amb aixo l'equacio ens queda x3 + 3x2 + Cx + D = 0 i, sumant i restant diverses peces, x3 + 3x2 + 32 x + 3 + (C 32 )x + (D 3 ) = 0: Els quatre primers termes formen un cub perfecte, de manera que (x + )3 + (C 32 )x + (D 3) = 0: Ara passem de la variable x a una nova variable y mitjancant B y =x+ =x+ :
Ens resulta, en termes de y, y3 + (C
32 )y + D + 23 Finalment aixo ho podem escriure com y3 = py + q; on p q
(1.11)
3
C = 0:
(1.12)
2
= 32 C = B3 C; = 23 + C D = 272 B 3 + 13 BC © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
D:
(1.13)
4
Els nombres complexos
P y
3
Q
R
Figura 1.1: Discussio de les solucions de y3 = py + q. Si som capacos de trobar la solucio y de (1.12) aleshores, emprant (1.11), podrem trobar la solucio de l'equacio original. L'equacio (1.12) ens diu que hem de trobar la interseccio de la parabola cubica y3 amb la recta py + q. La gura 1.1 mostra els diferents casos que, essencialment, poden donar-se, depenent que la recta tingui pendent positiu o negatiu i que q sigui mes o menys gran. En el cas P tenim p < 0, mentre que en els casos Q i R tenim p > 0. En el cas Q, q es prou gran o p es prou petita com perque la recta sols talli una vegada la parabola cubica, mentre que en el cas R la talla tres vegades. E s immediat veure que no pot ser que la recta no talli mai la parabola cubica, ni tampoc que la talli exactament dues vegades, ni tampoc mes de tres. Quan Cardano va comencar a estudiar aquest problema es coneixia la solucio per al cas P, descoberta per Tartaglia. En notacio moderna la solucio es r r 1 1 q w; q+w+ (1.14) y= 2 2 on s 3 2 1 1 w= (1.15) 2q + 3p : Fixem-nos que, com que p < 0, el cub que apareix dins l'arrel quadrada sera positiu, i l'argument de l'arrel quadrada tambe sera positiu, donant un nombre real que posat a (1.14) ens proporcionara l'unica solucio real del cas P. La contribucio de Cardano va ser veure que aquestes expressions tambe donen l'unica solucio del cas Q, que en termes de p i q es pot caracteritzar per la condicio 2 3 1 p > 0: 1q p > 0; i 2 3 Cardano es va adonar, pero, que en aquest cas de p > 0, si p es massa gran o q massa petit, aleshores 2 3 1 1 p < 0; 2q 3 3
3
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.2 Formes cartesiana i polar dels nombres complexos
5
de manera que l'arrel cuadrada que ens dona w no te sentit com a nombre real. Malgrat tot, si s'utilitza el que avui en dia anomenarem unitat imaginaria per calcular aquesta arrel cuadrada, s 3 2 1p 1q ; w = i 3 2 i se substitueix a (1.14), s'obtenen les tres solucions reals del cas R: les parts imaginaries sen van en sumar les dues arrels cubiques1 que apareixen a l'expressio per a la solucio y. El fet important es que l'unica manera d'obtenir les solucions reals d'aquest cas es mitjancant els nombres complexos. Fins al nal de la seva vida Cardano no va estar mai satisfet amb els nombres complexos, i es referia a ells com a \tortures mentals". Hem de tenir en compte que en aquella epoca ni tan sols es tenia massa clar que eren els nombres negatius, i es feien tota mena d'equilibris, passant termes d'una banda a l'altra, per no haver d'escriure explcitament un nombre negatiu. Els complexos eren, per tant, una cosa que necessariament havia de semblar molt extranya als matematics de l'epoca. Si els nombres complexos sols servissin per expressar solucions reals de les equacions de tercer grau faria temps que ningu no en parlaria. En realitat, sense els complexos no podrem entendre les matematiques tal com les coneixem avui en dia. A part de ser un camp fonamental de la matematica moderna, els nombres complexos tenen moltssimes aplicacions en la formulacio matematica de problemes d'enginyeria, algunes vegades simpli cant les operacions i d'altres proporcionant l'unica manera en que es poden fer les coses. Els nombres complexos son, en un cert sentit, mes \naturals" i importants que els reals. Si s'estudia la materia microscopicament, l'equacio que descriu l'evolucio dels sistemes no es la segona llei de Newton de la mecanica classica, sino l'equacio de Schrodinger de la mecanica quantica, que conte la unitat imaginaria. Els nombres complexos son, per tant, un element fonamental de la nostra descripcio de la natura. 1.2 Formes cartesiana i polar dels nombres complexos Tal com hem dit, un nombre complex es de la forma z = a + ib; (1.16) amb a; b 2 R. Veurem que aquesta es nomes una de les formes de representar un nombre complex, l'anomenada cartesiana o binomica. El conjunt dels nombres complexos es representa pel smbol C. Dos nombres complexos en forma cartesiana son iguals si coincideixen les seves parts real i imaginaria, es a dir, a + bi = c + di si i nomes si a = c i b = d. Per operar nombres complexos en forma cartesiana sols cal tenir en compte que i2 = 1 i emprar les regles d'operacions estandard (associativa, commutativa i distributiva). Per exemple, (3 + 2i) + (11 7i) = (3 + 11) + (2i 7i) = 14 5i ( 2 + i) (4 + 8i) = 2 4 2 8i + 4 i + i 8i = 8 16i + 4i 8 = 16 12i Donat un nombre complex z = a + bi, s'anomena el seu complex conjugat al tambe nombre complex z = a bi; (1.17) Com veurem mes endavant, un nombre complex te tres arrels cubiques. Els valors de les dues arrels cubiques de (1.14) s'han de combinar de manera que el seu producte doni p=3. Per a mes detalls vegeu el captol V de [Usp90], encara que la notacio es una mica diferent de la nostra. 1
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
6
Els nombres complexos
que mante la part real i canvia el signe de la part imaginaria. A vegades el complex conjugat es representa tambe per z . La propietat fonamental es que el producte d'un complex pel seu conjugat es un nombre real no negatiu: z z = (a + ib) (a ib) = (a2 aib + iba + ( ib)( ib) = a2 + b2 0: (1.18) L'arrel quadrada positiva d'aquesta quantitat s'anomena el modul del complex z, i es representa per jzj: p p jzj = + zz = + a2 + b2 : (1.19) Per exemple p p j2 3ij = + 22 + ( 3)2 = + 13: Fixem-nos que z i z tenen el mateix modul que z: jzj = jzj = j zj: Una manera de representar gra cament un nombre complex es en l'anomenat pla d'Argand, o simplement pla complex: el complex z = a + ib es representa pel punt (a; b) del pla, tal com mostra la gura 1.2. La mateixa gura tambe mostra que el complex conjugat s'obte fent una re exio sobre l'eix de les X , que s'anomena eix real. L'eix de les Y s'anomena eix imaginari. eix imaginari
z=a+ib
b
a
-b
eix real
_ z=a-ib
Figura 1.2: Un complex i el seu conjugat en el pla complex. El complex conjugat es important per fer divisions de nombres complexos. El problema de la divisio es com fer desapareixer la unitat imaginaria del denominador, i aixo es pot solucionar multiplicant numerador i denominador pel complex conjugat del denominador i emprant (1.18). Per exemple, 7 + 2 i = 7 + 2i 1 i 1+i 1+i 1 i (7 = +( 21)i)(2 +112 i) = 7 2i2 7i + 2 = 5 2 9i = 52 92 i: © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.2 Formes cartesiana i polar dels nombres complexos
En particular,
1=1
7
i i
i = i i 1 = i: Per elevar un nombre complex en forma cartesiana a una certa potencia entera positiva hom pot emprar el binomi de Newton per calcular la suma de productes de potencies i utilitzar despres i = i 2 i = 1 i3 = i2 i = i i4 = i3 i = i i = 1 i5 = i4 i = 1 i = i i6 = 1 ... Per exemple, com que (A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3, tindrem (2 5i)3 = 23 + 3 22 ( 5i) + 3 2( 5i)2 + ( 5i)3 = 8 60i + 150i2 125i3 = 8 60i 150 + 125i = 142 + 65i: Treballant una mica mes, aixo tambe funciona per al calcul de potencies enteres negatives. Per exemple, (2 + 3i) 4 = (2 +13i)4 = 24 + 4 23 (3i) + 6 22 (31 i)2 + 4 2(3i)3 + (3i)4 = 16 + 96i 2161 216i + 81 i = 119 1 120i = ( 119)1192 ++(120120) 2 119 + i 120 ; = 28561 28561
on hem emprat (A + B )4 = A4 + 4A3 B + 6A2 B 2 + 4AB 3 + B 4. Podeu automatitzar operacions molt pesades emprant un programa de manipulacio simbolica com MapleV, que esta, o hauria d'estar, disponible a tots els PC de la UPC. En aquest programa la unitat imaginaria es representa per I. La sessio seguent mostra algunes operacions tpiques. Noteu que el modul es calcula amb la funcio abs, i que heu d'emprar evalf si voleu obtenir resultats aproximats en coma otant en lloc d'expressions racionals exactes. > >
(1+3*I)^7;
(I+4)^(-5);
2456 + 1992 I 404 1121 1419857 1419857 I © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
8
Els nombres complexos
>
(I-8*(4-I)^6)/(I+11)^7;
>
evalf(%);
>
50129804835 + 84837139695 I 50283885376336 50283885376336
abs(I+11*(5-I)^2);
:0009969357869 + :001687163573 I
p
29 97 Es poden fer moltes altres coses amb nombres complexos, com calcular arrels quadrades o exponencials o logaritmes, pero la forma cartesiana no es la mes adient per fer aquestes operacions. En el que resta de seccio i a la seguent introdurem dues altres representacions dels complexos (en realitat son la mateixa amb notacio diferent), que permeten treballar mes rapidament per a qualsevol cosa que no sigui una suma. Una vegada es tenen els complexos representats com a punts del pla, no es necessari emprar coordenades cartesianes per localitzar-los. Es pot utilitzar coordenades polars, donat l'argument, o angle que formen el segment que uneix el punt que representa el complex amb l'origen i el semieix real positiu, i el modul, o distancia del punt a l'origen. Aquests valors es representen, respectivament, per i , i apareixen descrits a la gura 1.4. De manera compacta, un nombre complex es representa, llavors, en forma polar, com z = : L'angle esta de nit llevat de multiples de 2. E s el mateix dir que l'argument d'un complex es =7 que =7+2 = 15=7, o que =7 4 = 27=7. Per conveni, pero, s'acostuma a donar un argument que pertanyi a [0; 2). Fixem-nos que si dos nombres complexos tenen el mateix modul i la diferencia d'arguments es un multiple de 2, aleshores els correspon el mateix punt en el pla complex i, per tant, son de fet el mateix complex. Tenim aix que la regla per comparar dos nombres complexos en forma polar es que = r si i nomes si = r i = + 2k, amb k 2 Z un enter qualsevol. Veurem que aquest detall es important a l'hora de calcular arrels i logaritmes. Si tenim dos nombres complexos z1 = a1 + ib1 i z2 = a2 + ib2 i calculem el modul de la seva diferencia, jz1 z2 j = ja1 + ib1 (a2 + ib2)j = j(a1 a2 ) + i(b1 b2)j p
p
= (a1 a2 )2 + (b1 b2)2 = (a2 a1)2 + (b2 b1 )2 ; veiem que aixo representa la distancia entre els dos punts corresponents a z1 i z2 sobre el pla complex: d(z1 ; z2 ) = d(z2 ; z1 ) = jz1 z2 j = jz2 z1 j: (1.20) Aquest resultat permet expressar certes relacions geometriques sobre el pla de forma molt compacta en termes de nombres complexos. Per exemple, sigui jz (3 + i)j = 2: Si entenem aixo com una equacio per a z, el que ens diu es que hem de cercar tots els punts del pla complex tals que la seva distancia al punt 3 + i sigui 2. L'equacio considerada es, per © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.2 Formes cartesiana i polar dels nombres complexos
9
tant, l'equacio d'una circumferencia de radi 2 i centre 3+ i. En coordenades (x; y) en el pla, que serien la part real i imaginaria de z = x + iy, aixo seria p (x 3)2 + (y 1)2 = 2; o (x 3)2 + (y 1)2 = 4: Tot aixo apareix representat a la gura 1.3.
z -( 3+ i ) y
z
3+ i
5+ i
x 3-i
Figura 1.3: Interpretacio geometrica de l'equacio jz (3 + i)j = 2. La relacio de la forma polar amb la representacio cartesiana z = a + ib es, a partir de la gura 1.4, p = + a2 + b2 = jz j; (1.21) (1.22) tan = ab : S'ha de tenir en compte, pero, que un nombre complex a + ib i el seu oposat a ib donen angles amb la mateixa tangent, i s'ha de mirar el signe d'a o de b per veure si tenim l'angle en un quadrant o un altre. Per exemple, si z = 1 i; tenim tan = 11 = 1; i hi ha dos angles que tenen la tangent igual a 1: 135Æ i 315Æ . Com que la part imaginaria es negativa (i la real positiva) l'angle es 315Æ . Agafar 135Æ correspondria al nombre complex w = 1 + i = z: © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
10
Els nombres complexos
ρ cos θ
z=a+ib
b ρ
ρ sin θ θ a
Figura 1.4: Relacio entre les representacions polar i cartesiana. p Els dos nombres complexos apareixen a la gura 1.5. Com que jzj = 12 + ( 1)2 = 2, la representacio polar de 1 i sera p p z = 2315Æ = 2 : De la gura 1.4 tambe es dedueix com passar de la forma polar a la cartesiana. Hom te p
7 4
-1+i
315 135
o
o
1-i
Figura 1.5: Dos nombres complexos amb arguments que donen una mateixa tangent de l'argument. a b
= cos ; = sin ;
de manera que = cos + i sin :
(1.23) Aquesta relacio es la que s'ha d'emprar si es vol sumar dos nombres donats en forma polar: primer es passen a forma cartesiana, se sumen i, si es vol, es pot retornar el resultat a forma © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.2 Formes cartesiana i polar dels nombres complexos
11
polar. Per exemple, 3=4 + 8=3 = (3cos 4 + i3sin 4 ) + (8cos 3 + i8sin 3 ) p p 1 1 1 = 3 p2 + i3 p2 + 8 2 + i8 23 = p32 + 4 + i p32 + 4 3 =
s
2 p 2 p3 + 4 + p3 + 4 3
2
2
10:930:976 10:9355:92Æ :
p3
p3
arctan p23 +4 2 +4
La forma polar es especialment util per multiplicar i dividir i per calcular potencies i arrels. Comencem veient com es multipliquen nombres complexos en forma polar. O bviament, haurem de passar-los a forma cartesiana perque es aquesta l'unica en que sabem com multiplicar. El resultat nal, pero, s'expressa en forma polar i es molt senzill. Donats z1 = 1 i z2 = 2 tindrem z1 z2 = (1 cos 1 + i1 sin 1 ) (2 cos 2 + i2 sin 2 ) = 12 (cos 1 cos 2 + i cos 1 sin 2 + i sin 1 cos 2 sin 1 sin 2) = 12 ((cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) + i(cos 1 sin 2 + sin 1 cos 2)) = 12 (cos(1 + 2) + i sin(1 + 2)) : El que hem obtingut es un nombre complex en forma polar amb modul 12 i argument 1 + 2. Per tant, 1 2 = (1 2 )( + ) ; (1.24) es a dir, per multiplicar dos nombres complexos en forma polar s'han de multiplicar els moduls i sumar els arguments. Per exemple 3 2 = 6 + = 62 = 60 = 6: Podem pensar tambe que, quan un nombre complex multiplica a un altre, el que fa es dilatar-li el modul per un factor igual al modul del primer, i fer-lo girar un angle igual a l'argument del primer. Per exemple, multiplicar per i es no canviar el modul, ja que i te modul 1, i girar 90Æ , ja que i te argument =2. Aix i7 =7 + =7 : En canvi, multiplicar per 2 es doblar el modul i girar 180Æ : 2 4 = 8 + = 8 : La divisio es simplement la multiplicacio per l'invers. Donat z = , el seu invers z 1 = ~~ sera tal que ~~ = 1; de manera que (~)+~ = 1 = 10 : Igualant modul i argument tindrem ~ = 1; + ~ = 0; 1
7 4
1
2
7 4
4
1
4
3
3
4
2
2
4
5 6
5 4
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2
12
Els nombres complexos
d'on
= 1 ; ~ = ;
~
es a dir,
1=
( )
1
(1.25)
:
Per tant, l'invers s'obte invertint el modul i canviant el signe de l'argument. La divisio es molt senzilla. Si z1 = 1 i z2 = 2 tindrem z1 1 1 = z1 (z ) = = 1 : (1.26) 1
2
11 2
2
z2
2
2
1 2
Per tant, per dividir complexos en forma polar es divideixen els moduls i es resten els arguments: ! r ! (pp2)27Æ = pp2 2 : = 3 13Æ ( 3)14Æ 3 27Æ 14Æ El calcul de potencies enteres es tambe molt mes senzill que en forma binomica, ja que una potencia entera no es res mes que un nombre determinat de multiplicacions: n)
( ) = = n
Per exemple i tambe
p
( 2)
5
6
n)
p
= ( 2)6
6 5
+++ n)
=8
6 5
= (n)n :
(1.27)
;
1 1 1 1 3 = 811 : = 4 = (34 ) = 81 = 81 3 Ara estudiarem com es poden calcular arrels de nombres complexos. Veurem en primer lloc per que no es convenient atacar el problema en la formulacio cartesiana. Suposem, per exemple, que tenim z = 7+3i i que volem calcular-ne l'arrel, o arrels, cubiques. Cercarem un complex w = a + bi tal que w3 = z, es a dir, (a + bi)3 = 7 + 3i; d'on a3 + 3a2 bi 3ab2 ib3 = 7 + 3i: Igualant parts reals i imaginaries ens queda un sistema de dues equacions de grau 3 en les variables a i b que, en general, es forca difcil de solucionar: a3 3b2 a = 7; 3a2 b b3 = 3: El problema es fa cada vegada mes complicat si anem augmentant l'ordre de les arrels que volem calcular.
6
4
6
4 6
2 3
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2 3
4 3
1.2 Formes cartesiana i polar dels nombres complexos
13
Anem ara a la forma polar. El fet que la multiplicacio sigui tan senzilla en aquesta representacio fara que el problema del calcul de les arrels tingui una solucio elemental. Sigui z = i suposem que volem calcular les seves arrels n-esimes. Cerquem per tant un w = ~~ tal que ~~ n = ; es a dir, (~n)n~ = : Igualant moduls i arguments, aquests darrers llevat de multiples de 2, tindrem ~n = ; n~ = + 2k; k 2 Z; o, el que es el mateix, p ~ = ; 2k ~ = + n ; k 2 Z: n En principi, sembla que tenim in nites arrels n-esimes corresponents als in nits possibles arguments que apareixen. Per exemple, per a k 0 tenim ~0 = ; si k = 0; n 2 ~1 = + ; si k = 1; n n 4 + ; si k = 2; ~2 = n n ... 2(n 1) ~n 1 = + n ; si k = n 1; n 2n ~n = + n = n + 2; si k = n; n ... Fixem-nos, pero, que quan k = n obtenim un argument, ~n, que difereix en 2 de l'argument ~0 i, per tant, representa el mateix nombre complex. De la mateixa manera k = n + 1 dona el mateix nombre complex que k = 1, k = n + 2 el mateix que k = 2, : : : Si anem pels negatius tenim, per a k = 1, 2 2(n 1) = + 2; ~ = n
1
n
n
n
n
que proporciona el mateix nombre complex que k = n 1. Es veu tambe que k = 2 i k = n 2 corresponen al mateix nombre complex, etc. Per tant, no tenim in nits nombres complexos que son arrels n-esimes d'un donat , sino sols n, corresponents, per exemple, als valors k = 0; 1; 2; : : : ; n 1. Les n arrels diferents son, per tant, ( p) ; ( p) + ; ( p) +2 ; : : : ; ( p) +(n 1) : (1.28) Totes tenen el mateix modul, p, i l'argument difereix entre dues de consecutives o entre la darrera i la primera per 2n . Aix, les dues arrels quadrades de qualsevol nombre complex tenen n
n
n
n
2
n
n
n
2
n
n
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
n
n
2
n
14
Els nombres complexos
una separacio angular de 180Æ ; les tres arrels cubiques estan sobre els vertexs d'un triangle equilater, separades 120Æ ; les quatre arrels quartes sobre els vertexs d'un quadrat, amb 90Æ de separacio angular, etc. Sigui per exemple z = 1 i i calculem les seves quatre arrels quartes. Primer hem de passar-ho a forma polar: p p = 12 + ( 1)2 = 2; tan = 11 = 1; i com que z esta en el quart quadrant sera = 74 : p z= 2 : 7 4
p Tenint en compte que p2 = p2, les quatre arrels quartes de 1 i son, en forma polar, p 2 ; p p 2 + = 2 ; p p 2 + = 2 ; p p 2 + = 2 : Com a segon exemple anem a calcular les arrels cubiques de i. La forma polar es i=1 : Les arrels cubiques tenen totes modul p1 = 1 i son 1 = 190Æ = i; p 1 + = 1 = 1210Æ = 23 i 21 ; p 1 +2 = 1 = 1330Æ = 23 i 12 ; i apareixen representades a la gura 1.6. Amb MapleV podeu treballar amb complexos en forma polar carregant la llibreria polar amb readlib i representant el nombre complex mitjancant 4
8
8
8
8
7 16
8
8
7 16
2
8
7 16
7 16
8
3 2
15 16 23 16 31 16
3 2
3
2
2
2
2 3
7 6
2 3
11 6
polar(modul,argument )
Noteu que l'argument s'ha de donar necessariament en radians. Podeu passar de radians a graus mitjancant la funcio convert. Per passar de forma polar a forma cartesiana cal emprar evalc: >
readlib(polar);
proc(r::algebraic ; th ::algebraic ) : : : end
>
polar(3,Pi)+polar(2,Pi/4);
>
evalc(%);
polar(3; ) + polar(2; 41 ) p
p
3+ 2+I 2 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.2 Formes cartesiana i polar dels nombres complexos
1
1
210
15
90 o
1 330o
o
-i
Figura 1.6: >
polar(%);
i i les seves tres arrels cubiques.
p p 2 polar( ( 3 + 2) + 2; arctan( 2p ) + ) q
>
>
convert(47*degrees,radians);
evalf(%);
3+ 2
47 180 :8203047485
>
>
convert(Pi/7,degrees);
evalf(%);
180 degrees 7
25:71428571 degrees Amb MapleV es poden calcular arrels n-esimes sense haver de passar a forma polar, amb la funcio root(z,n), o simplement amb sqrt(z) si simplement voleu arrels quadrades, seguit amb una aplicacio de evalc. S'ha de tenir en compte, pero, que MapleV sols retorna una de les arrels, la que donaria un valor positiu si l'argument fos real i positiu. Aquest valor es el que s'anomena valor principal o branca principal de l'arrel. De totes maneres, podeu obtenir les altres girant 2n tantes vegades com calgui: >
evalc(sqrt(3+I));
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
16
Els nombres complexos
> > >
evalc(root(4,4));
1 q6 + 2 p10 + 1 I q 6 + 2 p10 2 2 p
2
evalc(root(-8,3));
p
1+I 3
r1:=evalc(root(8,3));
r1 >
r2:=evalc(r1*polar(1,2*Pi/3));
r2 >
p
:= 1 + I 3
r3:=evalc(r2*polar(1,2*Pi/3));
r3 >
:= 2
evalc(r3*polar(1,2*Pi/3));
:= 1
I
p
3
2 Hem vist que la forma polar facilita molt totes les operacions, excepte la suma. Les regles d'operacio en forma polar, encara que senzilles, i la mateixa notacio, amb un subndex que representa l'argument, son poc naturals i a vegades pot ser difcil distingir el subndex de la resta d'elements tipogra cs d'una expressio donada. A la seccio seguent introdurem una nova representacio que mante tots els avantatges operacionals de la forma polar pero amb una notacio natural en que les regles de calcul es dedueixen de les regles conegudes d'operacio amb exponencials. 1.3 Formula d'Euler i forma exponencial Si a es un nombre real, tots sabem com calcular-ne l'exponencial, ea , almenys amb una calculadora cient ca. Que pot signi car, pero, quelcom com ei ? Fixem-nos que si volem calcular, per exemple, e , el que hem de fer es multiplicar e per si mateix set vegades i treure l'arrel quarta del resultat (amb la notacio donada, se suposa que volem l'arrel quarta real positiva de les quatre possibles). E s evident, en canvi, que no te sentit multiplicar e per si mateix \i" vegades. Haurem de donar per tant una de nicio nova per calcular l'exponencial d'un nombre imaginari i, en general, d'un nombre complex. La nova de nicio, pero, no pot ser una cosa arbitraria: voldrem que mantingui les bones propietats de l'exponencial, que es dedueixen totes del fet que l'exponencial de la suma es el producte d'exponencials, i a mes voldrem que quan el nombre complex no tingui part imaginaria la seva exponencial coincideixi amb l'exponencial coneguda del nombre real corresponent. El resultat fonamental es que, si z = a + ib, l'unica manera de de nir-ne l'exponencial que mante les dues condicions que hem esmentat es ea+ib = ea (cos b + i sin b); (1.29) on l'exponencial de la dreta es l'exponencial real coneguda. Fixem-nos que, si z es real, z = a, tenim, com que b = 0, ea = ea (cos 0 + i sin0) = ea ; 7 4
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.3 Formula d'Euler i forma exponencial
17
de manera que la nova exponencial coincideix amb la vella quan s'aplica a nombres reals. Vegem que passa amb l'exponencial de la suma. Si z1 = a + ib i z2 = c + id tindrem ez +z = ea+ib+c+id = e(a+c)+i(b+d) = ea+c (cos(b + d) + i sin(b + d)) = ea ec (cos b cos d sin b sin d + i(sin b cos d + sin d cos b)) = ea ec(cos b + i sin b)(cos d + i sin d) = ea+ib ec+id = ez ez ; tal com volem. Un cas especial de (1.29), conegut com la formula d'Euler, es quan z = i. Ens resulta ei = e0+i = e0 (cos + i sin ) = cos + i sin : (1.30) Alguns casos particulars en son ei = cos + i sin = i; 2 2 ei = cos + i sin = 1; 1 1 ei = cos + i sin = p + i p : 4 4 2 2 1
2
1
2
2
4
Fixem-nos especialment en la bellesa de la segona d'aquestes identitats, ei = 1; que combina en una formula els quatre nombres fonamentals 1, i, i e. Vegem ara com (1.29), i mes concretament (1.30), permeten donar una nova representacio dels nombres complexos que fa que totes les operacions, excepte la suma, s'expressin de forma simple i natural. La relacio entre la forma polar i la forma cartesiana ens permet escriure = cos + i sin = (cos + i sin ) i, emprant (1.30), = ei : (1.31) L'expressio de la dreta s'anomena forma exponencial del nombre complex , i te els mateixos elements que la forma polar, amb la diferencia que l'argument, en lloc d'apareixer com un subndex, es presenta dins d'una funcio matematicament i tipogra cament molt clara com es la funcio exponencial. Fixem-nos que les regles per igualar dos nombres complexos en forma exponencial son les mateixes que en forma polar, es a dir, si 1 ei = 2 ei llavors 1 = 2 i 1 = 2 + 2k, k 2 Z. A banda de la notacio mes natural, el punt fort de la representacio exponencial es que totes les regles d'operacio es dedueixen de les regles conegudes per operar exponencials. Per exemple, per a la multiplicacio, si z1 = 1 ei i z2 = 2 ei ; tindrem z1 z2 = 1 ei 2 ei = 1 2 ei( + ) ; 1
2
1
1
2
2
1
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2
18
Els nombres complexos
per exemple, es multipliquen els moduls i se sumen els arguments, que es el que havem vist en forma polar. Si z = ei llavors n n z n = ei = n ei = n ein ; tambe d'acord amb el resultat obtingut en forma polar. Finalment, si z = ei , les arrels n-esimes son pz = p ei( +k ) ; k = 0; 1; : : : ; n 1: (1.32) Sigui, per exemple, z = 1 + ip3. Tindrem n
n
n
2
n
p
q
p
= ( 1)2 + ( 3)2 = 4 = 2; p p tan = 13 = 3; i com que el complex esta en el segon quadrant, sera = 23 = 120Æ , de manera que
z = 2ei 3 : 2
Llavors z5
5
= 25 ei5 = 32ei 4 4 i = 32e = 32 cos 3 + i sin 3 = 32 p = 16 i16 3; mentre que les arrels quadrades son p i( +k) 2e ; k = 0; 1; es a dir, p p i 1 2e = p2 + i p32 ; p p i 1 2e = p2 i p32 : = 2ei
2 3
2 3
10 3
4 3
1 2
i
p
3 2
!
3
3
4 3
Com a darrera manipulacio amb els nombres complexos en forma exponencial, vegem com calcular logaritmes. Donat z = ei volem cercar w tal que w = log z, es a dir, ew = z = ei : Resulta convenient posar w en forma cartesiana, w = a + ib. Tindrem ea+ib = ei © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.3 Formula d'Euler i forma exponencial
o
19
ea eib = ei :
Tenim aqu dos nombres complexos en forma exponencial. Per tant, ea = b = + 2k; k 2 Z: Ens resulta aix log z = log + i( + 2k); k 2 Z: (1.33) Fixem-nos que ara els multiples valors apareixen a la part imaginaria de log z, i no a l'argument com passava amb les arrels. Per tant, cada valor de k dona un valor diferent del logaritme: un nombre complex te in nits logaritmes, tots amb la mateixa part real i amb parts imaginaries que difereixen en multiples de 2. El valor particular del logaritme corresponent a posar k = 0 s'anomena branca principal o valor principal del logaritme complex, perque es el que dona el mateix valor que el logaritme real quan s'aplica a un nombre real positiu. Efectivament, si z = x > 0 tenim = x i = 0 i llavors, si agafem k = 0, log x = log x + i(0 + 2 0) = log x: Si no es diu res se suposa que es treballa amb aquesta branca principal i, per tant, log z = log + i: (1.34) Fixem-nos tambe que la branca principal es dedueix de nou directament de la representacio exponencial i de les propietats del logaritme: i log e = log + log ei = log + i: Alguns casos particulars son log i = log 1 + i 2 = i 2 ; log( 1) = log 1 + i = i; p log(1 + i) = log 2 + i 4 = 12 log 2 + i 4 : El logaritme complex permet de nir l'exponencial d'un nombre complex amb base complexa qualsevol, de la mateixa manera que es fa, de fet, amb els nombres reals: z w = elog z = ew log z : (1.35) Aquesta expressio te, de fet, in nits valors, corresponents als in nits valors del logaritme. Si suposem, pero, que agafem la branca principal, un exemple forca espectacular es ii = ei log i = eii = e : Amb MapleV podeu combinar les diferents representacions com vulgueu. L'exponencial s'introdueix amb exp(). Si voleu escriure el nombre e, en la darrera versio de MapleV s'ha d'emprar exp(1). Si calculeu logaritmes i arrels, recordeu que es el valor principal el que s'utilitza: w
2
>
2
A:=evalc(3*exp(I*Pi/4)-I^51);
A :=
3 p2 + I ( 3 p2 + 1) 2 2
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
20
Els nombres complexos
>
Re(A);Im(A);
>
evalc(log(7+I));
>
>
>
evalc(I^exp(1));
evalc(I^(I^I));
3 p2 2 p 3 2+1 2 1 1 2 ln(50) + I arctan( 7 ) cos( 21 e ) + I sin( 12 e ) cos( 12 e(
1=2 ) ) + I sin( 1 e( 1=2 ) )
B:=evalc(log((3+I)/sqrt(I+4)));
2
1 ln(( 3 %2 + 1 %1)2 + ( 1 %2 3 %1)2 ) 2 34 0 34 34 34 1 %2 3 %11 34 34 C + I arctan B @3 1 %1A %2 + 34 q 34 p p %1 := q 8 + 2 17 17 p p %2 := 8 + 2 17 17
B :=
>
evalf(B);
:4429892104 + :1992612227 I
1.4 Una aplicacio a la teoria de circuits Com una primera aplicacio de les manipulacions amb nombres complexos veurem com calcular part de la solucio dels circuits de corrent altern sotmesos a fonts de tensio sinusodal. En aquesta seccio, i en totes les que tractin de problemes electrics, emprarem j per referir-nos a la unitat imaginaria, per tal d'evitar confusions amb la intensitat de corrent, que es la que anomenarem amb el smbol i. Comencarem amb el circuit de la gura 1.7. Hi tenim una font de tensio sinusodal que subministra un voltatge v(t) = V0 cos !t; (1.36) una resistencia R i una bobina amb inductancia L, tot collocat en serie. Com que sols tenim una xarxa, les lleis de Kirchho ens diuen que sols cal imposar que al llarg d'aquesta xarxa la suma de variacions de voltatge sigui zero. Escollim un sentit arbitrari per la intensitat, per exemple l'horari, i comencem a donar la volta, per exemple tambe en sentit horari. Quan travessem la font de tensio la variacio de voltatge es v; quan travessem la resistencia, com que ho fem en el mateix sentit que la intensitat, la variacio de voltatge es iR; nalment, quan travessem la © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.4 Una aplicacio a la teoria de circuits
21
R
v(t)
~
i(t) L
Figura 1.7: Un circuit RL amb font de tensio. inductancia, com que tambe ho fem en el mateix sentit que la intensitat, la variacio de voltatge es di L : dt Tenim, per tant, di (1.37) v Ri L = 0: dt Aixo es el que s'anomena una equacio diferencial, i no veurem com trobar-ne la solucio en general ns d'aqu un parell de temes. Els nombres complexos ens permeten, pero, trobar un tipus especial de solucio d'aquesta equacio, el que s'anomena la solucio estacionaria o en regim estacionari, que es normalment la que mes interessa coneixer a la practica. El que volem es, donada v(t) per (1.36), trobar una i(t) que posada a (1.37) satisfaci l'equacio. El cam que intentarem per solucionar el problema es basa en dos fets fonamentals: L'equacio (1.37) no conte cap unitat imaginaria (recordeu que la unitat imaginaria ara l'anomenarem j !). Aixo implica que si v es real, llavors i tambe ho sera, i si v es imaginari, i tambe. Mes generalment, si v fos complex, llavors i(t) tambe ho seria, naturalment, pero amb la particularitat que la part real de i seria la solucio corresponent a la part real de v, i la part imaginaria de i seria la solucio corresponent a la part imaginaria de v. En altres paraules, l'equacio (1.37) no barreja part reals i imaginaries. Les exponencials, reals o complexes, quan es deriven continuen donant exponencials. Tenint en compte aixo considerarem, en lloc del voltatge real (1.36), el voltatge complex v(t) = V0 ej!t = V0 cos !t + jV0 sin !t: (1.38) Llavors cercarem una solucio tambe complexa per a la intensitat: i(t) = Iej!t = I cos !t + jI sin !t: (1.39) Veurem que, a diferencia de V0 , en general I sera complexa. El fet important, com hem dit, es que l'equacio (1.37) no barreja parts reals i imaginaries i, per tant, la part real de i(t) sera la solucio quan el voltatge es la part real de v(t), es a dir, V0 cos !t, mentre que la part imaginaria de i(t) sera la solucio quan el voltatge es la part imaginaria de v(t), es a dir, V0 sin !t. La © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
22
Els nombres complexos
introduccio dels nombres complexos ens soluciona aix d'un sol cop el mateix circuit amb dos voltatges diferents! Si posem (1.38) i (1.39) a (1.37) i fem la derivada de l'exponencial complexa, tindrem V0 ej!t RIej!t Lj!Iej!t = 0: Com que l'exponencial continua sent exponencial despres de derivar, ens ha quedat una exponencial en tots els termes que podem simpli car, i ens resulta V0 RI LI!j = 0; d'on obtenim I que, tal com havem anunciat, es complexa: I=
V0 : R + L!j
(1.40)
Anant llavors a (1.39) obtenim per a la intensitat i(t) i(t) =
V0 V ej!t = p 2 02 2 j' ej!t ; R + L!j R +L ! e L
on hem expressat R + L!j en forma exponencial: p
R + L!j = R2 + L2 !2 ej'L ;
(1.41)
amb 'L = arctan
L! ; R
(1.42)
on emprem el subndex L per indicar que aquesta fase esta associada a un circuit amb inductancia. Finalment, posant totes les exponencials juntes resulta i(t) =
p 2 V0 2 2 ej(!t R +L !
'L ) :
Si separem en part real i part imaginaria tindrem i(t) =
p 2 V0 2 2 (cos(!t 'L ) + j sin(!t 'L)) ; R +L !
de manera que: si v(t) = V0 cos !t llavors
i(t) =
p 2 V0 2 2 cos(!t 'L): R +L !
i(t) =
p 2 V0 2 2 sin(!t 'L): R +L !
si v(t) = V0 sin !t llavors
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
(1.43)
1.4 Una aplicacio a la teoria de circuits
23
R
v(t)
~
i(t) q(t)
C
Figura 1.8: Un circuit RC amb font de tensio. Observant aquestes solucions, es diu que la intensitat te un retard de 'L en la fase respecte al voltatge. Si R = 0, aquest retard es de arctan(+1) = =2. Com a segon exemple considerarem el circuit de la gura 1.8, que es el mateix que el de la gura 1.7 pero en lloc d'una bobina hi tenim un condensador. La diferencia de voltatge entre la placa esquerra i la dreta del condensador es q ; (1.44) C on q es la carrega de l'armadura esquerra, de manera que, amb el sentit donat de la intensitat, dq : i= (1.45) dt Aplicant la llei de Kirchho a l'unica malla tenim q (1.46) v iR + = 0: C En aquesta darrera equacio tenim dues funcions de t, q(t) i i(t), a mes del voltatge de la font v(t) = V0 cos !t. Emprant (1.45) podrem eliminar una de les variables i obtenir una equacio per l'altra. Si directament substitum i obtenim una equacio per a q(t): dq q v + R + = 0: (1.47) dt C El mes habitual, pero, es intentar obtenir una equacio per a i(t). A partir de (1.45) no podem eliminar q, ja que l'haurem de posar com una integral de i. El que farem es derivar (1.46) una vegada, de manera que ja ens surti la derivada de q(t): dv R di + 1 dq = 0: dt dt C dt Emprant ara (1.45) ens queda dv R di i = 0 dt dt C o, arreglant termes, dv di (1.48) RC + i = C : dt dt © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
24
Els nombres complexos
Ara ja tenim el problema preparat per tractar-lo igual que el primer circuit. Posem v(t) = V0 ej!t i i(t) = Iej!t : Substituint a (1.48) s'obte I=
j!V0 C RC!j + 1
La intensitat complexa sera, per tant, V0 i(t) = R j 1
!C
ej!t =
=R
V0 1 : j !C
(1.49)
V0 ej!t ; 2 1 ej'C R2 + !C
q
on hem introdut la fase
1 1 = arctan !C = arctan R !RC que es sempre negativa. Finalment queda aix V0 i(t) = q ej (!t ' ) : 2 1 R2 + !C Separant part real i imaginaria tenim que Si v(t) = V0 cos !t llavors V0 i(t) = q 2 cos(!t 'C ): 1 2 R + !C 'C
C
(1.50) (1.51) (1.52)
Si v(t) = V0 sin !t llavors i(t) =
q
V0
1 2 R2 + !C
sin(!t
'C ):
Si la bobina feia retardar la fase de la intensitat respecte a la del voltatge de la font, el condensador fa que s'adelanti, ja que 'C es negativa. En el cas particular que R = 0 es te un avanc de fase de =2. El darrer exemple que veurem abans de generalitzar es el del circuit RLC de la gura 1.9. Els dos circuits anteriors s'obtenen com a cas particular d'aquest. La llei de Kirchho ens dona di q v iR L + = 0; dt C on q_ = i. Derivant i eliminant q_ en termes de i queda, despres d'arreglar els termes, di dv d2 i (1.53) LC 2 + RC + i = C : dt dt dt Introduint de nou les magnituds complexes v(t) = V0ej!t i i(t) = Iej!t i substituint resulta I=
1
CV0!j LC!2 + RC!j
= R+j
V0 L!
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1 :
!C
(1.54)
1.4 Una aplicacio a la teoria de circuits
25
R
v(t)
L
~
i(t)
C q(t)
Figura 1.9: Un circuit RLC amb font de tensio. Si escrivim el denominador en forma exponencial tenim s 1 2 R + j L! = R + L! C!
on la fase es
1
C!
2
ej'LC ;
(1.55)
1
L!
(1.56) = arctan R Depenent dels valors dels parametres del circuit i de la frequencia ! aquesta fase pot ser negativa o positiva. Anant a i(t) ens queda 'LC
i(t) =
q
R2 +
V0 L!
C! :
1 2
ej (!t
'LC ) :
(1.57)
C!
Quan se separa la part real de la imaginaria s'obte que la intensitat te una amplitud q
R2 +
V0 L!
1 2
C!
i un retard2 de fase 'LC respecte al voltatge de la font. Si triem ! de manera que 1 =0 L! !C obtindrem la frequencia crtica o de ressonancia del circuit RLC : 1 !c = p : LC
(1.58)
En aquest cas tenim que 'LC = 0 i la intensitat esta en fase amb el voltatge de la font: V i(t) = 0 ej!t : R Amb tot el que hem vist ja podem generalitzar a un circuit general del tipus que es mostra a la gura 1.10, on la caixa conte resistencies, condensadors i bobines. 2
De fet, un avanc de fase si 'LC < 0.
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
26
Els nombres complexos
i(t)
v(t)
~
i(t)
Figura 1.10: Un circuit general amb font de tensio. Treballant amb les magnituds complexes, la relacio entre la intensitat i el voltatge sera del tipus v(t) V0 j!t = e ; (1.59) i(t) =
Z Z on Z es un nombre complex anomenat la impedancia complexa del circuit.
Z = R + j L!
1
C!
Per exemple,
per al circuit de la gura 1.9. Aquest nombre complex es pot escriure en forma exponencial, Z = Zej' ; (1.60) on hem designat per Z el modul de la impedancia complexa: p Z = jZj = ZZ : Z s'anomena simplement la impedancia del circuit. En termes de la impedancia i de la fase la intensitat s'escriu com V i(t) = 0 ej (!t ') : (1.61) Z Si observem la primera part de l'equacio (1.59), veiem que la relacio entre la intensitat i el voltatge per a un circuit de corrent altern amb font de tensio sinusodal es la mateixa que hi ha entre el voltatge i la intensitat en un circuit de corrent continu amb la caixa substituida per una resistencia, fent la traduccio Z $ R. D'aqu es pot deduir que les impedancies complexes es combinen igual que les resistencies quan estan en serie o en parallel. Per tant, si tenim dues impedancies complexes Z1 i Z2 en serie, les podrem substituir per una sola impedancia complexa equivalent Z = Z1 + Z2 ; mentre que si estan en parallel la impedancia equivalent s'obtindra amb 1= 1 + 1: Z Z1 Z2 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.4 Una aplicacio a la teoria de circuits
27
Aixo vol dir que si tenim una caixa molt complicada, amb molts elements en serie i en parallel, la podrem reduir a una sola impedancia equivalent i llavors aplicar (1.59) per obtenir la intensitat. Els blocs fonamentals que constitueixen la caixa son resistencies, bobines i condensadors, i les impedancies complexes d'aquests blocs son, d'acord amb els resultats que hem obtingut en els exemples, Resistencia R, Z = R: (1.62) Inductancia L, Z = L!j: (1.63) Condensador C , 1 = 1 : Z= j (1.64) C! jC! Sigui, per exemple, el circuit de la gura 1.11. Se'ns demana que calculem l'amplitud i el desfasament de i(t) respecte al voltatge v(t) = 10cos 200t (tot en unitats S.I.). 10 mH 100 µF
i(t) 3Ω 10 cos 200 t
~
7 mH 4Ω
Figura 1.11: Un circuit mes complicat amb font de tensio. Les diferentes caixes son resistencies, condensadors o bobines segons indiquin les unitats. La impedancia complexa equivalent dels dos elements en parallel es calcula mitjancant 1 =1+ 1 1 + 1 = 1 1 j; = 3 Zp 3 j 200 10 10 3 2j 3 2 de manera que 1 36 1 + 1 j : Zp = 1 1 = 3 2 j 13 3 2 Posant aquesta impedancia equivalent, ens queden quatre elements en serie, de manera que sols hem de sumar les seves impedancies complexes: 1 36 1 1 3 Z = + j j 6 + j 200 7 10 + 4 13 3 2 200 100 10 18 7 12 = 13 + 4 + j 13 50 + 5 4; 9 47; 2j: © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
28
La impedancia es, per tant, expressat en ohms, i la fase es
Els nombres complexos
Z=
p
(4; 9)2 + ( 47; 2)2 47; 4
47; 2 1; 47; 4; 9 que son uns 84 graus. La intensitat sera, en ampers, 10 cos(200t ( 1; 47)) 0; 21cos(200t + 1; 47): i(t) = 47; 4 ' = arctan
1.5 Arrels de polinomis Hem comencat el tema de nombres complexos parlant de les arrels de polinomis i ara ho reprendrem amb mes detall. Hem vist que qualsevol nombre complex z te n arrels n-esimes. Podem pensar que les arrels son solucions de l'equacio polinomica de grau n xn = z; o xn z = 0: Aixo es una equacio polinomica molt particular, en que sols hi ha el terme de grau mes alt i el terme independent, i hem vist que te n solucions complexes diferentes. L'unic cas en que aixo no es aix es quan z = 0, ja que llavors les n arrels tenen totes modul zero i, per tant, son totes 0; es diu, en aquest cas, que x = 0 es una solucio amb multiplicitat n de xn = 0: Ara ens podem preguntar que passa amb l'equacio polinomica general de grau n an xn + an 1 xn 1 + + a1 x + a0 = 0: (1.65) on podem pensar que els ai, i = 0; 1; : : : ; n son nombres complexos, encara que a la majoria d'aplicacions seran nombres reals. Te aquesta equacio n arrels complexes i, si es aix, quines propietats tenen aquestes arrels? Es poden calcular aquestes arrels amb formules tancades semblants a les de Cardano per al cas de n = 3? Una primera resposta a aquesta pregunta la dona el teorema seguent: Teorema 1.1 (teorema fonamental de l'algebra) Tota equacio polinomica de grau n 1 te, al menys, una arrel complexa.
Els intents de demostracio d'aquest teorema es remonten a D'Alembert (1746), pero va ser Gauss el primer a donar-ne diverses demostracions matematicament correctes. Nosaltres no entrarem en detalls, pero podeu consultar una demostracio, que segueix una de les originals de Gauss, a l'apendix I de [Usp90]; un tractament mes modern, que requereix els metodes de la teoria de funcions de variable complexa, pot trobar-se a [Chu96]. En realitat, el que mes ens interessara a nosaltres es un resultat que se segueix del teorema fonamental de l'algebra. Aquest ens assegura que (1.65) te una arrel complexa, diguem-ne 1. Sabem llavors que el polinomi P (x) = an xn + an 1 xn 1 + + a1 x + a0 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.5 Arrels de polinomis
29
sera divisible per x 1. El resultat de la divisio sera un polinomi de grau n 1: an xn + an 1 xn 1 + + a1 x + a0 = (x 1 ) (bn 1 xn 1 + bn 2 xn 2 + + b1 x + b0 ): Pero ara podem aplicar el Teorema Fonamental a aquest polinomi de grau n 1, que tindra com a mnim una arrel complexa 2 . Aleshores podrem dividir Q(x) = bn 1 xn 1 + bn 2 xn 2 + + b1 x + b0 per x 2 , obtenint com a quocient un polinomi de grau n 2: bn 1 xn 1 + bn 2 xn 2 + + b1 x + b0 = (x 2 ) (cn 2 xn 2 + + c1 x + c0 ) i, per tant, a=n xn + an 1 xn 1 + + a1 x + a0 = (x 1) (x 2) (cn 2 xn 2 + bn 3 xn 3 + + c1 x + c0 ): Aquest proces segueix ns que arribem a un polinomi que te grau 1, que sera la darrera vegada que podrem aplicar el Teorema Fonamental: a=n xn + an 1 xn 1 + + a1 x + a0 = (x 1) (x 2) (x 3 ) (x n 1) (w1 x + w0): Aquest darrer polinomi w1 x + w0 te una arrel w x = 0 n w
i, per tant,
Ens queda aix
1
w w1 x + w0 = w1 (x + 0 ) = w1 (x n ): w1 an xn + an 1 xn 1 + + a1 x + a0 = w1 (x 1) (x 2) (x n 1) (x n):
El coe cient del terme de grau n del polinomi de l'esquerra es an, mentre que si multipliquessim tots els polinomis de la dreta el terme xn quedaria multiplicat per w1. Veiem aix que, de fet, w1 = an i obtenim an xn + an 1 xn 1 + + a1 x + a0 = an (x 1 ) (x 2 ) (x n 1) (x n): (1.66) Aixo ens diu que 1 , 2 , : : : , n 1 , n son totes arrels de P (x). Per tant, Corollari 1.2 (corollari del teorema fonamental) Tot polinomi de grau n te exactament n arrels complexes.
Aquest resultat no ens assegura, pero, que aquestes arrels siguin totes diferents, ni ens diu com calcular-les. L'expressio (1.66) s'anomena la descomposicio de P (x) en arrels complexes, i es una eina fonamental en moltes aplicacions. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
30
Els nombres complexos
Si una mateixa arrel apareix k vegades en la descomposicio (1.66) es diu que te multiplicitat k. Aix, per exemple, 2x8 6x7 8x6 + 44x5 70x4 + 106x3 108x2 + 56x 48 = 2(x + 3)(x + i)2 (x i)2 (x 2)3 ens diu que 3 te multiplicitat 1, i i i tenen multiplicitat 2 i 2 te multiplicitat 3. Respecte a com calcular les arrels de P (x), Galois va demostrar que, en general, no hi ha formules tancades, es a dir, en termes de radicals i les operacions elementals, que permetin obtenir les arrels si el grau del polinomi es mes gran que quatre. Per tant, hi ha formules per a n = 4, que son una mica mes complicades que les de Cardano per a n = 3, pero no n'hi ha per a n = 5. Aixo ho podeu veure amb una sessio de MapleV: >
solve(x^4+x-1,x);
RootOf( Z 4 + >
Z
1)
allvalues(%); v u u Iu u u t
p (1=3) 6%2 %1(2=3) 288%2 + 72 6 %1 ; s (2=3) %1(1=3) %1 (1=3) 48 %1 v u (2=3) 288%2 + 72 p6 %1(1=3) 1 p6 %2 1 I u u 6%2 %1 s ; 12 12 u (2=3) 48 u %1 t %1(1=3) %1(1=3) v u (2=3) + 288%2 + 72 p6 %1(1=3) p 1 6%2 + 1 u 6%2%1 u s ; 12 12 u (2=3) 48 u %1 (1 = 3) t %1 %1(1=3) v u (2=3) + 288%2 + 72 p6 %1(1=3) p 1 6%2 1 u u 6%2%1 s 12 12 u (2=3) u t %1(1=3) %1 (1=3) 48 %1 p %1 := s 108 + 12 849 (2=3) 48 %1 %2 := %1(1=3)
1 p6 %2 + 1 12 12
>
solve(x^5+2*x^3-1,x);
RootOf( Z 5 + 2 >
Z3
1)
allvalues(%);
:4773712253 :6494741385 I; :4773712253 + :6494741385 I; :1107927971 1:444680298 I; :1107927971 + 1:444680298 I; :7331568565
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.5 Arrels de polinomis
31
Encara que per al polinomi de grau 4 MapleV no respon immediatament de manera satisfactoria, si s'insisteix amb allvalues nalment ens dona les quatre arrels en forma exacta en termes de radicals. En canvi, amb una equacio de grau 5, en general, la insistencia sols produeix una solucio aproximada, obtinguda per metodes numerics iteratius. Si ens xem en les solucions dels dos exemples anteriors, veurem que sempre que apareix una arrel complexa tambe hi apareix la seva complexa conjugada. Aixo no es una casualitat: Lema 1.3 Si tots els coe cients de P (x) son reals i n'es una arrel complexa, llavors tambe
es una arrel.
Aixo es facil de demostrar. Si es arrel de P (x) = anxn + an 1 xn 1 + + a1x + a0, vol dir que an n + an 1 n 1 + + a1 + a0 = 0: Si prenem el complex conjugat de tota aquesta igualtat ens quedara an n + an 1 n 1 + + a1 + a0 = 0 = 0; i com que els coe cients son reals an n + an 1 n 1 + + a1 + a0 = 0; igualtat que ens diu que tambe es arrel de P (x), com volem demostrar. Si algun dels coe cients es complex, el darrer pas no es correcte i no es dedueix el resultat. Per exemple, si considereu el polinomi de grau 2 x2 + (1 i)x = 0; que no te tots els coe cients reals, les seves arrels son 0 i 1 + i, pero 1 i no n'es arrel. El fet que un polinomi amb coe cients reals hagi de satisfer aquest lligam delimita els diferents casos que poden donar-se, que son particularment senzills per a grau baix. Aix, un polinomi de grau 3 amb coe cients reals ha de tenir necessariament una arrel real, com a mnim, ja que si les tres fossin complexes n'hi hauria una de complexa la conjugada de la qual no seria arrel; pel mateix motiu, aquest polinomi no pot tenir dues arrels reals, tal com ja havem vist en discutir les formules de Cardano. Per a un polinomi de grau quatre amb coe cients reals, els unics casos que poden donar-se son 1. Quatre arrels reals. 2. Dues arrels reals i un parell d'arrels complexes conjugades. 3. Dos parells d'arrels complexes conjugades. En general, un polinomi de grau senar amb coe cients reals sempre ha de tenir com a mnim una arrel real i el nombre total d'arrels reals ha de ser senar, mentre que si el polinomi es de grau parell llavors el nombre d'arrels reals ha de ser tambe parell (en el \nombre d'arrels" es te en compte, en tots els casos, la multiplicitat). Acabarem aquesta seccio donant unes relacions satisfetes per les arrels de qualsevol polinomi, encara que no les puguem calcular exactament. Lema 1.4 Si 1 , 2 , : : : , n son les arrels del polinomi P (x) = an xn + an 1 xn 1 + + a1 x + a0 ;
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
32
Els nombres complexos
aleshores
1 2 n 1 n 1 + 2 + + n 1 + n
= ( 1)n aa0 ; n an 1 = an :
(1.67) (1.68)
La demostracio es molt simple, partint de la descomposicio en arrels (1.66): an xn + an 1 xn 1 + + a1 x + a0 = an (x 1 ) (x 2 ) (x n 1) (x n): El terme d'ordre zero del membre de la dreta de la igualtat s'obte multiplicant an per tots els termes independents dels polinomis, que son 1, 2 , : : : , n. Igualant-ho al terme independent del membre de l'esquerra resulta a0 = an ( 1 ) ( 2 ) ( n ) i d'aqu s'obte (1.67). El resultat referent a la suma de les arrels s'obte comparant els coe cients que multipliquen a xn 1. A l'esquerra es an 1, mentre que a la dreta apareix un xn 1 cada vegada que multipliquem n 1 de les x per un terme independent; aixo podem fer-ho de n maneres diferents, escollint cada vegada un terme independent i diferent. Queda aix an 1 xn 1 = an (xn 1 ( n ) + xn 1 ( n 1 ) + : : : + xn 1 ( 2 ) + xn 1 ( 1 )); i d'aqu surt (1.68). Poden obtenir-se altres relacions comparant els altres termes, que impliquen sumes de productes dos a dos, tres a tres, : : : , de les arrels, pero no son tan interessants. De (1.68) es dedueix un resultat que es important en el tractament digital de senyals: Lema 1.5 Les arrels n-esimes de la unitat, n > 1, sumen zero. Per a la demostracio sols cal considerar l'equacio xn 1 = 0; les n solucions de la qual son les n arrels n-esimes de la unitat. Tenim aqu an = 1 i an 1 = 0 i, aplicant (1.68), 0 1 + 2 + + n 1 + n = 1 = 0; que es el que volem veure. En realitat, el resultat es cert per a qualsevol nombre complex, no necessariament 1. 1.6 Funcions trigonometriques i hiperboliques Hem vist la relacio fonamental entre funcions trigonometriques i exponencials complexes, la identitat d'Euler eix = cos x + i sin x; (1.69) i com s'aplica, per exemple, a la representacio exponencial de nombres complexos i a la teoria de circuits de corrent altern. Vegem-ne ara mes utilitats. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.6 Funcions trigonometriques i hiperboliques
33
Si considerem (1.69) amb el signe de x canviat i emprem la coneguda simetria del sinus i del cosinus, tindrem e ix = cos( x) + i sin( x) = cos x i sin x: (1.70) Sumant i restant (1.69) i (1.70) obtenim el parell de relacions ix ix cos x = e +2 e ; (1.71) ix ix sin x = e 2ie : (1.72)
Fixem-nos que els membres de l'esquerra son nombres reals i, per tant, les parts imaginaries de les expressions de la dreta son nulles. Aquest parell d'expressions, que ens donen les funcions trigonometriques basiques en termes d'exponencials complexes, son importants per diversos motius. Un d'ells es que permeten simpli car moltes de les operacions amb funcions trigonometriques pel fet que les exponencials tenen mes bones propietats. Un exemple tpic es el calcul d'integrals de la forma Z eax sin bx dx: Sabem que aixo es la part imaginaria de la integral R eaxeibx dx i aquesta darrera es facil de calcular: Z Z 1 e(a+ib)x ax ibx e e dx = e(a+ib)x dx = a + ib a ib ax = a2 + b2 e (cos bx + i sin bx) ax = a2e+ b2 [(a cos bx + b sin bx) + i(a sin bx b cos bx)] ;
de manera que no solament obtenim la integral que buscavem identi cant la part imaginaria Z
eax eax sin bx dx = 2 2 (a sin bx b cos bx); a +b
sino que identi cant la part real calculem, de propina, Z
eax eax cos bx dx = 2 2 (a cos bx + b sin bx): a +b
Un altre exemple es el calcul de les formules dels angles multiples, que es pot fer a partir de (1.69). Per exemple cos 3x + i sin3x = ei3x = eix 3 = (cos x + i sin x)3 = cos3 x + 3cos2 x(i sin x) + 3cos x(i sin x)2 + (i sin x)3 = cos3 x + 3i cos2 x sin x 3cos x sin2 x i sin3 x: Comparant part reals i imaginaries s'obtenen les identitats cos 3x = cos3 x 3cos x sin2 x; sin3x = sin3 x + 3cos2 x sin x: © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
34
Els nombres complexos
La segona rao per la qual la relacio entre les exponencials complexes i les funcions trigonometriques es important es que permet de nir funcions trigonometriques de nombres complexos. En efecte, si a (1.71) o (1.72), en lloc de considerar x real hi posem un nombre complex z, tindrem iz iz cos z = e +2 e ; (1.73) iz iz sin z = e 2ie : (1.74)
Aix, per exemple, es poden calcular coses tan curioses com 1 ii ii cos i = e +2 e = e 2+ e = 21e + 2e ; o com i( i) e i( i) ei e e i e 1 ie i = = 2 2e : sin( i) = e 2i 2i Les equacions (1.71) i (1.72) tambe permeten relacionar les funcions trigonometriques amb un altre grup de funcions importants, conegudes com les funcions hiperboliques. Aquestes es de neixen a partir d'exponencials com les de (1.71) i (1.72) pero suprimint les unitats imaginaries, i s'anomenen cosinus hiperbolic (cosh) i sinus hiperbolic (sinh): x x cosh x = e +2 e ; (1.75) x x sinh x = e 2 e : (1.76)
No son mes que combinacions d'exponencials reals, pero aquestes combinacions son tals que hi confereixen propietats formals molt semblants a les de les funcions trigonometriques. Aix, per exemple, (1.77) cosh2 x sinh2 x = 41 (e2x + e 2x + 2) 41 (e2x + e 2x 2) = 1; que s'ha de comparar amb cos2 x + sin2 x = 1. Les funcions hiperboliques apareixen de forma natural en molts problemes relacionats amb la conduccio de la calor, l'electrostatica o les estructures elastiques. Si sumem i restem (1.75) i (1.76) obtenim les expressions paralleles a (1.71) i (1.72): ex = cosh x + sinh x; (1.78) x e = cosh x sinh x: (1.79) D'aquestes expressions es poden deduir formules per a les funcions hiperboliques amb argument multiple d'un argument donat. Ara cal, pero, treballar una mica mes ja que no es disposa d'una part imaginaria d'on poder treure informacio. Tenim, per exemple, cosh 2x + sinh2x = e2x = (ex )2 = (cosh x + sinh x)2 = cosh2 x + sinh2 x + 2cosh x sinh x; cosh 2x sinh2x = e 2x = (e x )2 = (cosh x sinh x)2 = cosh2 x + sinh2 x 2cosh x sinh x: © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.6 Funcions trigonometriques i hiperboliques
35
Sumant i restant obtenim cosh2x = cosh2 x + sinh2 x; (1.80) sinh2x = 2sinh x cosh x; (1.81) que es poden comparar amb cos2x = cos2 x sin2 x, sin2x = 2sin x cos x. Igual que hem fet per les funcions trigonometriques, podem de nir funcions hiperboliques de nombres complexos, simplement canviant la variable real x per la variable complexa z a (1.75) i (1.76): z z cosh z = e +2 e ; (1.82) z z sinh z = e 2 e : (1.83)
Aix podem calcular
cosh(
i) =
e
o tambe
i
+e 2
(
i)
= 1 +2( 1) = 1;
i i 1) + i sin( 1)) = i sin1: sinh i = e 2 e = (cos 1 + i sin1) (cos( 2 De la similitud de les relacions de nitories de les funcions trigonometriques i hiperboliques en termes d'exponencials complexes o reals s'intueix que, de fet, hauran d'estar fortament lligades, tal com es veu en el parell de calculs concrets precedents. Aix, per exemple, i(ix)
i(ix)
x
x
x
x
sin ix = e 2ie = e 2i e = i e 2 e = i sinh x; (1.84) ix ix (1.85) cosh ix = e +2 e = cos x; i d'altres relacions semblants. Aquests resultats son valids tambe si el real x se substitueix per un complex z qualsevol. Les gra ques de les funcions hiperboliques de variable real sinh x, cosh x i, tambe, de la tangent hiperbolica, tanh x, de nida com sinh x = ex e x ; tanh x = cosh (1.86) x ex + e x apareixen a la gura 1.12. D'aquestes gra ques es veu que les funcions sinh x i tanh x tindran funcio inversa, ja que son injectives en tot el seu domini, mentre que cosh x no en tindra, perque x i x tenen la mateixa imatge. Anem a fer els calculs explcits. Per calcular la funcio inversa de sinh x escrivim sinh x = y i l'objectiu es obtenir x com a funcio de y. Posant la de nicio de sinh x en termes d'exponencials, ex e x 2 = y; multiplicant per ex i arreglant termes queda (ex )2 2yex 1 = 0: © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
36
Els nombres complexos
3
2
1
–2
–1
1 x
2
–1
–2
–3
Figura 1.12: Les tres funcions hiperboliques. El sinus hiperbolic i la tangent hiperbolica tenen simetria senar, mentre que el cosinus hiperbolic te simetria parella i assoleix un mnim a x = 0. La tangent hiperbolica te asmptotes horitzontals a 1 quan x ! 1. Aixo es degut a que cosh x sinh x si x >> 1 mentre que cosh x sinh x si x << 1. Aixo es una equacio de segon grau en la variable ex, amb solucio p p 2 y (2y)2 + 4 x e = = y y 2 + 1: 2 Fixem-nos que el signe \ " no te sentit, ja que ens donaria un valor negatiu per a ex, cosa que es impossible si x es real. Per tant, l'unica solucio es p ex = y + y 2 + 1 ; i d'aqu treiem3 x p x = log y + y2 + 1 : La funcio inversa de sinh x, que anomenarem arcsinh x, te, per tant, una expressio explcita donanda per p (1.87) arcsinh x = log x + x2 + 1 : De la mateixa manera es demostra que r (1.88) arctanh x = log 11 + xx = 12 log 11 + xx : 3
Com que estem amb nombres reals sols hi ha un possible valor del logaritme, la branca principal.
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.6 Funcions trigonometriques i hiperboliques
37
Aquesta expressio te sentit ja que x sols pot prendre valors a ( 1; 1), que es el conjunt d'imatges de la tangent hiperbolica amb argument real. Si intentem fer el mateix tipus de calcul amb el cosinus hiperbolic, en algun lloc trobarem problemes ja que la funcio inversa no pot existir. De y = cosh x s'obte rapidament (ex )2 2yex + 1 = 0; d'on p ex = y y 2 1 ; i ara no podem eliminar un dels dos signes ja que els dos donen un valor positiu per a ex. Els dos signes corresponen a les dues branques de la \funcio" inversa de cosh x:
p
arccosh +(x) = log x + x2 1 ; p arccosh (x) = log x x2 1 :
(1.89) (1.90)
Quan s'escriu arccosh x se suposa que ens referim a arccosh +(x), que s'anomena branca principal, de la mateixa manera que quan escrivim simplement px se suposa que vol dir +px. Com un nou exercici de manipulacio de nombres complexos, podem intentar obtenir expressions explcites per a les funcions inverses de les funcions trigonometriques, seguint el mateix metode que per a les funcions hiperboliques, pero aquesta vegada emprant exponencials complexes. En realitat sabem que aquestes funcions inverses no existiran com a tals, ja que cap de les funcions trigonometriques no es injectiva. Sigui, per exemple, la tangent. Escrivim sin x = 1 eix e ix : y = tan x = cos x i eix + e ix Amb les tecniques habituals s'arriba immediatament a 1 + iy ; (1.91) e2ix = 1 iy d'on, emprant el logaritme complex amb les seves in nites branques per allar 2ix, 1 + iy 2ix = log 1 iy + i arg 11 + iy + 2ki; k 2 Z: (1.92) iy L'equacio (1.91) ens diu, pero, que 1 + iy 1 iy = 1; de manera que el primer terme del membre de la dreta de (1.92) es zero, i dividint per 2i queda una expressio real: 1 1 + iy + k; k 2 Z: x = arg (1.93) 2 1 iy Tal com era d'esperar donada la gra ca de la tangent, tenim in nites branques per a la seva funcio inversa. El que veiem, pero, es que aquestes branques apareixen pel mateix motiu que apareixen les del logaritme complex. Les branques corresponents a k = 1, k = 0 i k = 1 estan representades a la gura 1.13. S'anomena branca principal de l'arctangent a la mateixa branca © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
38
Els nombres complexos
4
2
–8
–6
–4
–2
2
4 x
6
8
–2
–4
Figura 1.13: Tres de les branques de l'arctangent. La del mig, que pren valors entre +=2, s'anomena branca principal.
=2
i
que correspon a la branca principal del logaritme complex, es a dir, k = 0. La branca principal de l'arctangent pren, per tant, valors entre =2 i +=2 i ve donada explcitament per : (1.94) arctan x = 21 arg 11 + ix ix Si efectuem el mateix tipus de calcul amb el cosinus, obtenim p x = arg(y i 1 y2 ) + 2k; k 2 Z; on ara, a mes de tenir la multiplicitat deguda al logaritme, en tenim una deguda a l'arrel. La branca principal d'arccos x es de neix com la que agafa valors entre 0 i , i aixo correspon a posar k = 0 i agafar el signe \+" a l'expressio anterior: p arccos x = arg(x + i 1 x2): (1.95) Amb el sinus arribem a p x = arg(iy 1 y2 ) + 2k; k 2 Z: La branca principal es de nou la que s'obte amb k = 0 i el signe \+", i agafa valors entre =2 i +=2: p arcsin x = arg(ix + 1 x2): (1.96) El fet important que cal recordar de tots aquests calculs amb les funcions trigonometriques inverses es que les branques principals de arcsin x i arctan x agafen valors entre =2 i +=2, mentre que la branca principal de arccos x pren els seus valors entre 0 i . © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.7 Descomposicions en fraccions simples
39
1.7 Descomposicions en fraccions simples S'anomena fraccio racional a un quocient de polinomis en una determinada variable. Aix 3x2 + x + 1 x5 + x2 + 7 es una fraccio racional de la variable x, mentre que x + sin x i e x2 + 1 no ho son. La forma general d'una funcio racional en la variable x es, per tant, bm xm + bm 1 xm 1 + + b1 x + b0 ; (1.97) an xn + an 1 xn 1 + + a1 x + a0 on n i m son enters no negatius i se suposa que an 6= 0 i bm 6= 0. Normalment es divideix el numerador i el denominador per an, de manera que el terme de grau mes gran del denominador te coe cient unitat. Si n m es diu que la fraccio racional es propia, i si n > m es diu que es estrictament propia. Les fraccions racionals tenen un paper fonamental en l'estudi de les equacions diferencials pel metode de la transformada de Laplace i, en general, en tota la teoria de control. Fent la divisio de polinomis sempre es posible expressar una fraccio racional qualsevol com un polinomi mes una fraccio racional estrictament propia amb el mateix denominador que l'original. Per exemple 1 ; x3 2x + 3 = 1 x2 + 2x 3 : x5 + x4 + 2 3 x+1+ = x x2 + x + 1 x2 + x + 1 x3 + x2 x3 + x2 Amb MapleV podeu emprar quo i rem per obtenir el polinomi quocient i el reste, que es el numerador de la fraccio racional estrictament propia. Per exemple, x+1 x 1
> >
quo(x^5+x^4+2,x^2+x+1,x); rem(x^5+x^4+2,x^2+x+1,x);
x3
x+1
1
S'anomena fraccio simple sobre els reals, o simplement fraccio simple, a una fraccio racional de la forma A (1.98) (x )p ;
on i A son reals i p es un enter positiu, o de la forma Bx + C (1.99) 2 (x + bx + c)q ; on x2 + bx + c no te arrels reals, B , C , b i c son reals i q es un enter positiu. El resultat fonamental d'aquesta seccio es que tota fraccio racional amb coe cients reals te una descomposicio unica en fraccions simples sobre els reals. Suposant que tots els coe cients ai, i = 1; : : : ; n, del denominador de (1.97) son reals, el polinomi P (x) = an xn + an 1 xn 1 + + a1 x + a0 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
40
Els nombres complexos
tindra arrels reals de diverses multiplicitats i arrels complexes conjugades tambe de diverses multiplicitats. Si es una arrel real de multiplicitat r, dona lloc a r fraccions simples del tipus (1.98): x
A1
A2 Ar + + + 2
(x ) (x )r ;
(1.100)
on A1 , A2 , : : : , Ar son r nombres reals que s'hauran de determinar. Si i son un parell d'arrels complexes conjugades de multiplicitat s, donen lloc a s fraccions simples del tipus (1.98): B1 x + C1 B2 x + C2 Bs x + Cs + + + (1.101) 2 2 2 2 x + bx + c (x + bx + c) (x + bx + c)s ; on hem posat b = 2 i c = 2 + 2 , de manera que (x ( + i ))(x ( i )) = x2 2x + 2 + 2; i on tots els coe cients B i C son reals. Aixo s'ha de fer per a totes les arrels de P (x), sumar totes les expansions i igualar-ho a la fraccio racional original. S'obte llavors un sistema compatible determinat amb tantes equacions com coe cients desconeguts. E s convenient fer an = 1 per evitar errors, ja que aix sols cal igualar els numeradors de la fraccio original i de la que resulta de sumar totes les fraccions simples. Sigui per exemple x+1 : (1.102) 4 x x3 x + 1
El denominador x4 1. Tenim
x3 x +1 te arrels +1 amb multiplicitat 2 i
x
i llavors
1 + i p3 2 2
!!
x
1 2
i
p
3 2
!!
1=2 ip3=2 amb multiplicitat
= x2 + x + 1
x+1 x4 x3 x + 1 +D = x A 1 + (x B 1)2 + xCx 2 +x+1 2 2 2 = A(x 1)(x + x + 1)(x + B1)(2x(x2++x x++1)1)+ (x 1) (Cx + D) 3 2 = (A + C )x + (B + D x24C )xx3+ (Bx ++1C 2D)x A + B + D :
Igualant els numeradors obtenim el sistema de quatre equacions A+C = 0 B + D 2C = 0 B + C 2D = 1 A + B + D = 1; amb solucio A = 1=3, B = 2=3, C = 1=3 i D = 0, de manera que la descomposicio en fraccions simples es x+1 = 31 x 1 1 + 23 (x 1 1)2 + 13 x2 +xx + 1 : x4 x3 x + 1 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1.7 Descomposicions en fraccions simples
41
Hem de saber fer descomposicions en fraccions simples amb una certa agilitat, sobretot quan el grau de P (x) es mes petit o igual que quatre, pero el que es mes important es entendre els tipus de termes que ens poden sortir a la descomposicio. El calcul exacte dels coe cients el pot fer un programa d'algebra simbolica. Amb MapleV la instruccio clau es convert, amb l'opcio parfrac. Per efectuar la descomposicio que hem vist farem >
convert((x+1)/(x^4-x^3-x+1),parfrac,x);
2 1 1 1 +1 x 2 3 (x 1) 3 x 1 3 x2 + x + 1 MapleV tracta correctament els casos en que an 6= 1, pero recordeu que si ho feu a ma heu d'anar amb cura: >
convert((x+2)/(2*x^3-8*x^2),parfrac,x);
1 1 3 1+ 3 1 4 x2 16 x 16 x 4 En realitat, emprar l'ordinador es l'unica solucio quan les arrels de P (x) s'han de calcular numericament. Amb MapleV es pot fer afegint-hi el parametre real:4 >
convert((x-2)/(x^5+x+1),parfrac,x,real);
1 + :7142857148 x 1:050041314 x + :7548776662 + :4285714282 2 x + x + 1: :2390055989 + :3357556037 x + x2 1:754877666 x + 1:324717957 MapleV no te cap problema per descompondre les fraccions racionals de grau elevat que ens podem trobar quan estudiem sistemes complicats a la practica:5 >
convert((2.03*x-3.76)/(x^9+1.3*x^6-11.43*x^4+3.1*x^2+x+12.56), parfrac,x,real);
1 x + 1:073065030 :05159587010 + :004028324123 x x2 + 2:662017032 x + 2:629278876 + :07102136165 x + x2 +:1421811210 :06016839026 x + :8799693079 + :008199520381 x + x:202813009177 1:211662993 x + 2:992385016 :04727983314 + :03168333524 x + x2 2:583587460 x + 1:690604222 Hem parlat de descomposicions en fraccions simples en els reals. Tambe es possible, i a vegades util, fer descomposicions en fraccions simples en els nombres complexos. En aquest cas totes les fraccions simples son de la forma :1068758919
(x
A
)p
(1.103)
En la versio de MapleV amb que estem treballant, si no hi afegiu aquest parametre, en aquest exemple concret el programa deixa un polinomi de grau 3 sense descompondre. Aixo pot canviar, pero, en altres versions. 5 Per exemple, l'estudi del mecanisme de control d'una de les etapes impulsores del coet Saturn V, que va portar l'home a la Lluna, donava lloc a una funcio racional amb un denominador de grau 27. 4
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
42
Els nombres complexos
amb A i ara en general complexos i p un enter positiu. Cada arrel de P (x) de multiplicitat r produeix r termes d'aquest tipus: x
A1
A2 Ar + + + 2
(x ) (x )r :
(1.104)
S'ha de tenir en compte que ara una arrel complexa i la seva arrel complexa conjugada es tracten separadament. O bviament, si la fraccio racional original era amb coe cients reals, si s'efectua la descomposicio en fraccions racionals simples sobre els complexos i despres es combinen les fraccions simples provinents d'arrels complexes conjugades, totes les parts imaginaries es cancellen i resulta l'expansio en fraccions simples sobre els reals (1.101). En MapleV, per aconseguir una descomposicio en fraccions simples sobre els nombres complexos s'ha d'emprar el parametre fullparfrac en lloc de parfrac. Per exemple, per obtenir la descomposicio sobre els nombres complexos de la fraccio racional (1.102) fariem >
convert((x+1)/(x^4-x^3-x+1),fullparfrac,x); 0
1 + 21 9 9C A
2 1 1 1 + 2 3 (x 1) 3 x 1 =%1 x %1 := RootOf( Z 2 + Z + 1) MapleV no fa tota la feina ja que ens deixa un sumatori en forma indicada sobre les arrels de x2 + x + 1, que anomena , pero almenys ens diu quins son els coe cients de cada terme. L'alternativa es emprar parfrac pero amb el parametre addicional complex, que ens proporciona un resultat numeric: BX @
>
convert((x+1)/(x^4-x^ 3-x+1),parfrac,x,complex);
:1666666666 :09622504484 I :1666666666 + :09622504484 I + x + :5000000000 + :8660254038 I x + :5000000000 :8660254038 I + :6666666667 (x 11:)2 :3333333333 x 1 1:
Si la fraccio racional original te coe cients complexos, sols la descomposicio sobre els nombres complexos te sentit. Per exemple, >
convert((x+I)/(x^2+I*x+1),fullparfrac,x); X
=%1
3 1I 5 5 x
%1 := RootOf( Z 2 + I Z + 1)
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2 Equacions diferencials Aquest captol introdueix el tema que ens ocupara en tot el que segueix. Comencem de nint el concepte d'equacio diferencial. Tot seguit, mostrem com les equacions diferencials apareixen en una serie de problemes cient cs i tecnics importants. Veiem com es poden resoldre les equacions de primer ordre de variables separables i, en particular, estudiem els fenomens de creixement de poblacio i desintegracio radioactiva. Tot seguit, en lloc de comencar ja a donar metodes de solucio per a equacions de primer ordre, que es el cam habitual a la literatura, parlem de la solucio numerica aproximada d'una equacio diferencial, en el sentit mes general, incloent-hi sistemes, i comentem alguna de les eines de software que l'estudiant d'enginyeria te mes a l'abast, com ara MapleV. Finalment, presentem els teoremes d'existencia i unicitat, i els comentem amb diversos exemples que l'estudiant pot investigar numericament. Les referencies generals sobre ecuacions diferencials en llengua espanyola son, entre altres, [BD98, Ayr91, Bra90, NS92]. Aconsellem especialment [NS92], per les moltes aplicacions que presenta i perque es l'obra mes adient si es vol aprofondir una mica mes a partir del que nosaltres presentem. 2.1 Que es una equacio diferencial? En poques paraules, una equacio diferencial es una equacio on apareix la incognita i alguna de les seves derivades. Per exemple, yx + 2y sin x = x + 1: (2.1) Si pensem que y es la incognita, aixo no es cap equacio diferencial, ja que no hi apareix cap derivada y0, y00 , : : : Diem que (2.1) es una equacio algebraica per a y en termes de x. La seva solucio ens dona y en funcio de x: x+1 y(x) = : (2.2) x + 2sin x La gura 2.1 mostra la gra ca d'aquesta funcio al voltant de l'origen. Si substitum (2.2) a (2.1) obtenim una identitat: x+1 x+1 x+2 sin x = x + 1 x + 2sin x x + 2sin x x+1 = x+1 0 = 0 Encara que tinguem l'equacio, no sempre es possible trobar explcitament y com a funcio de x. Per exemple, y4 + 3y cos x + x sin y = 1 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
44
Equacions diferencials
tambe es una equacio per a y en termes de x, pero no es possible expressar y explcitament en funcio de x. Es diu llavors que l'equacio de neix y implcitament en funcio de x: per a cada valor de x cal trobar, generalment per metodes numerics, el valor de y que satisfa l'equacio (pot ser que no n'hi hagi cap o que n'hi hagi mes d'un). La gura 2.2 mostra tots els punts en la regio [ 10; 10] [ 2; 2] que satisfan l'equacio. Fixem-nos que hi ha casos en que una mateixa x te diverses y, mentre que sembla que hi ha valors de x que no tenen cap y solucio. 3
2
1
–4
–3
–2
–1
0
1
2 x
3
4
–1
–2
–3
Figura 2.1: La solucio d'una equacio. Sigui ara
y0 + x sin x = 1:
(2.3) Aixo es una equacio diferencial perque hi apareix y0, que representa la derivada de y respecte de x. Si volem trobar la solucio de (2.3) hem de cercar una funcio y(x) tal que quan en calculem la seva derivada i la substitum a (2.3) obtenim una identitat. Probem y(x) = x + x cos x sin x + 3: (2.4) Tenim y0 (x) = 1 + cos x x sin x cos x = 1 x sin x i llavors, substituint a (2.3), 1 x sin x + x sin x = 1 1 = 1: Fixem-nos que a (2.4) podem substituir el 3 per qualsevol altre nombre real, i continuem tenint una solucio. En el captol seguent veurem metodes generals per resoldre certs tipus d'equacions diferencials, pero vegem com s'obte (2.4). © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.1 Que es una equacio diferencial?
45
1.8 1.6 1.4 1.2 y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 –10
0 –0.2
–5
5 x
10
–0.4 –0.6 –0.8 –1 –1.2 –1.4 –1.6 –1.8
Figura 2.2: La solucio d'una altra equacio. L'equacio (2.3) es pot escriure com y0 = 1 x sin x:
En aquesta forma, el que ens diu es que hem de cercar una funcio y(x) tal que derivada ens dongui 1 x sin x, es a dir, una primitiva o integral inde nida de 1 x sin x: y(x) =
Z
(1
x sin x) dx:
De fet, sabem que si a una primitiva li sumem una constant continuem tenint una primitiva de la mateixa funcio. Per tant, de fet y(x) =
Z
(1
x sin x) dx + C:
Si calculem la primitiva obtenim
y(x) = x + x cos x
sin x + C; (2.5) i si posem C = 3 recuperem (2.4). L'expressio (2.5), que conte una constant arbitraria C , s'anomena la solucio general de (2.3), mentre que (2.4) n'es una solucio particular. Veiem aix que una caracterstica essencial de les equacions diferencials es l'existencia d'in nites solucions, en el nostre cas una per a cada valor de C . Si xem un valor de C , l'expressio (2.5) ens donara una funcio que podrem representar en el pla xy. Per a C = 2; 1; 0; 1; 2; 3 obtenim les cinc corbes que apareixen a la gura 2.3. Ens podem imaginar que si donessim mes valors a C anirem omplint tot el pla amb corbes, cada una de les quals representa una funcio solucio de l'equacio © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
46
Equacions diferencials
diferencial (2.3). Es diu que la solucio general de (2.3) es una famlia uniparametrica de corbes. En el nostre cas, es pot demostrar que, efectivament, cobreixen tot el pla i, a mes, per cada punt del pla hi passa una unica corba de la famlia. Per exemple, si volem esbrinar quina corba de la famlia passa per (1; 2), posem x = 1 i y = 2 a (2.5): 2 = 1 + 1 cos 1 sin1 + C; d'on C = 1 cos 1 + sin1 1:30117: Per tant, la solucio particular de (2.3) que passa per (1; 2) es y(x) = x + x cos x sin x + 1 cos 1 + sin1; i no en passa cap mes. Fixem-nos que, si be per cada punt sols passa una solucio, una mateixa solucio passa per molts punts (si no fos aix, no seria una corba!). En general, pero, pot haverhi punts del pla per on no passi cap corba solucio d'una equacio diferencial donada i ns i tot punts per on passi mes d'una solucio. Vist des d'un altre punt de vista, la solucio d'una equacio diferencial es una famlia d'equacions algebraiques. En el cas (2.5) aquesta famlia dona explcitament y en funcio de x, pero en altres casos la relacio entre y i x s'obte en forma implcita. Dit de forma abreujada, solucionar una equacio diferencial es fer desapareixer les derivades de l'equacio i obtenir-ne una de no diferencial, de fet tota una famlia. Com que l'operacio inversa de la derivacio es la integracio, sovint es diu que solucionar una equacio diferencial es integrar-la. 10
5
–4
–2
0
2
x
4
–5
Figura 2.3: Famlia de solucions d'una equacio diferencial. L'equacio diferencial (2.3) es de les mes senzilles. E s una equacio diferencial ordinaria, de primer ordre i lineal: © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.1 Que es una equacio diferencial?
47
E s ordinaria perque la solucio, y(x), es funcio d'una unica variable, x. E s de primer ordre perque, com a maxim, hi apareix la derivada de primer ordre, y0. E s lineal perque y i les seves derivades hi surten linealment, es a dir, no tenim productes com ara yy0 o y3, ni funcions com 1=(1 + y) o sin y. Uns quants exemples ho aclariran: y00 + y sin x + 2x7 = ex es ordinaria, de segon ordre i lineal. yy00 + y0 sin x = 1 x2 es ordinaria, de segon ordre i no lineal. y(iv) + y00x8 = 0 es ordinaria, de quart ordre i lineal. @ y + @y sin t + x sin t = y es no ordinaria, de segon ordre i lineal. @x @t En el darrer exemple, la solucio sera una funcio de dues variables, y(x; t). En l'equacio hi apareixen derivades parcials, i per aixo les equacions diferencials no ordinaries s'anomenen tambe equacions en derivades parcials o EDP. Per abreujar, les equacions diferencials ordinaries s'anomenen EDO. A mes d'equacions diferencials, podem considerar sistemes d'equacions diferencials: en aquest cas, no tenim sols una incognita, sino diverses, i tenim tantes equacions diferencials com incognites. Se suposa que totes les incognites son funcio de la mateixa variable, respecte a la qual es calculen les derivades. Si no es diu explcitament, el context indica en cada cas quines son les incognites i quina es la variable (o variables, en el cas de sistemes de EDP) respecte a la que es deriva. Per exemple, x_ = y + t; y_ = 2t2 ; z_ = y + x; (2.6) es un sistema de tres equacions diferencials ordinaries, d'ordre 1 i lineals. La solucio ve donada per tres funcions de la variable t, respecte a la qual es deriva: x(t), y(t) i z(t). E s immediat comprovar que la solucio general de (2.6) es 1 1 x(t) = t4 + t2 + C1 t + C2 ; 6 2 2 y(t) = t3 + C1 ; 3 1 1 1 1 4 5 3 2 (2.7) z (t) = t + t + t + C1 t + t + C2 t + C3 ; 6 30 6 2 on C1 , C2 i C3 son tres constants arbitraries. Fixem-nos que, per a valors donats de C1 , C2 i C3 , (2.7) descriu una corba a l'espai R3 , que podria ser la trajectoria d'una partcula movent-se sota un camp de forces. Podem xar una corba concreta demanant que, en un cert instant de temps t0, la partcula estigui en un cert punt (x0 ; y0; z0 ). A la gura 2.4 es veuen la corba que per a t0 = 0 passa per (0; 0; 0) (aixo correspon a C1 = C2 = C3 = 0), i la corba que per a t0 = 1 passa per (0; 0; 0) (aquesta s'obte amb C1 = 2=3, C2 = 0 i C3 = 19=30). Cal notar que les dues corbes passen pel punt (0; 0; 0), pero aixo nomes es degut a que no podem representar el resultat en R4, que seria l'espai natural ja que tenim quatre variables, la independent t i x, y i z, que en depenen. A l'espai quadridimensional les dues corbes no es tallen i per cada punt passa una unica solucio del sistema d'equacions diferencials.
2
2
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
48
Equacions diferencials
Donada una equacio diferencial, sovint es convenient allar la derivada d'ordre mes gran en termes de les altres derivades, la funcio i la variable independent. Una equacio diferencial expressada d'aquesta manera es diu que esta en forma normal. Aix, una EDO de primer ordre en forma normal s'escriu com y0 = f (x; y); mentre que una de segon ordre sera y00 = f (x; y; y0 ): Per exemple, (x 1)yy0 + 2xy00 + 2x sin y = cos x no esta en forma normal, pero l'equacio equivalent x 1 0 cos x y00 = yy sin y + 2x 2x si que ho esta. A la resta d'aquest tema estudiarem les solucions de les equacions diferencials ordinaries des d'un punt de vista qualitatiu i numeric, i en veurem algunes de les seves aplicacions, i en el tema seguent mostrarem com trobar de forma exacta les solucions d'un tipus especial d'EDO lineals, que son les mes habituals en el mon de la ciencia i la tecnica.
20
–15
10
–10 –5
5 10 2
15
4 6 8 10 12 14 16
Figura 2.4: Dues solucions d'un sistema de 3 equacions diferencials representades a R3. 2.2 Alguns problemes on apareixen EDO 2.2.1 La segona llei de Newton
Qualsevol estudiant de secundaria s'ha trobat diverses vegades amb equacions diferencials. L'exemple mes obvi es el de la segona llei de Newton, que descriu el moviment d'una partcula de © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.2 Alguns problemes on apareixen EDO
49
massa m a l'espai, en un sistema de referencia inercial, sotmesa a una forca F~ : m~a = F~ ; (2.8) on ~a es l'acceleracio de la partcula, es a dir, la derivada segona del vector de posicio respecte al temps: d2~r ~a = 2 ; (2.9) dt i la forca F~ pot dependre de la posicio ~r, de la velocitat ~v i del temps t: F~ (~r; ~v; t). Si ho posem tot en components cartesianes, ~r = (x; y; z), tenim tres equacions diferenciales ordinaries de segon ordre d2x m 2 = Fx (x; y; z; vx ; vy ; vz ; t); d2t d y m 2 = Fy (x; y; z; vx ; vy ; vz ; t); d2t d z m 2 = Fz (x; y; z; vx ; vy ; vz ; t): (2.10) dt L'objectiu fonamental dels problemes de mecanica classica es, donada la forca F~ , trobar x(t), y(t) i z(t) que satisfacin el sistema d'equacions (2.10). Aixo es, en general, impossible de fer de forma analtica. Molts dels problemes tecnics on apareix la segona llei de Newton permeten, pero, fer algunes simpli cacions. Per exemple, si sols ens preocupa el moviment en una dimensio, diguem x, d'una partcula sotmesa a una forca de recuperacio proporcional a la distancia a l'origen, podem oblidar-nos de y i z i queda una unica equacio diferencial de segon ordre d2 x m 2 = kx; k > 0 (2.11) dt El que ens diu aquesta equacio diferencial es que hem de buscar una funcio x(t) que derivada dues vegades doni k=m vegades x(t). Sabem que les funcions sinus i cosinus son tals que si les derivem dues vegades tornen a donar elles mateixes canviades de signe i multiplicades per un factor que depen de l'argument. E s immediat veure que x(t) = sin
r
k t; x(t) = cos m
r
k t m
son solucio de (2.11). En realitat, si fem una combinacio lineal d'aquests sinus i cosinus, x(t) = C1 cos
r
r
k k t + C2 sin t; m m
(2.12)
on C1 i C2 son constants arbitraries, tambe obtenim una solucio de (2.11): es diu que (2.12) es la solucio general de (2.11). La solucio d'una equacio diferencial ordinaria de segon ordre conte, per tant, dues constants arbitraries. De la mateixa manera, la solucio de (2.10), que es un sistema de 3 EDO d'ordre 2, contindra 3 2 = 6 constants arbitraries. Quan una combinacio lineal de solucions d'una equacio diferencial (o d'un sistema d'equacions diferencials) tambe es solucio, es diu que l'EDO satisfa el principi de superposicio. En general, nomes les equacions diferencials lineals satisfan aquest principi. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
50
Equacions diferencials
Podem determinar C1 i C2 de (2.12) demanant, per exemple, que per a t = 0 la partcula tingui una posicio i una velocitat donades. Fsicament sabem que aixo en determinara completament el moviment sota la forca que estem considerant i, per tant, podrem calcular C1 i C2. Demanem, per exemple, que quan t = 0 la partcula estigui en repos, v(0) = 0, i a una distancia x(0) = x0 del punt d'equilibri. Substituint a (2.12) tenim x0 = C1 cos
r
r
k k 0 + C2 sin 0 = C1 m m
i, per tant, C1 = x0 . Si ara derivem (2.12) per obtenir la velocitat en un instant qualsevol, v(t) =
r
r
r
i demanem que a t = 0 la velocitat sigui nulla, obtenim r
r
k k k k C1 sin t + C2 cos t; m m m m r
r
k k k sin 0 + C2 cos C1 m m m
0= d'on C2 = 0. Per tant, la solucio particular cercada es
r
r
k k 0 = C2 ; m m
r
k t m que representa un moviment harmonic d'amplada A = x0 i perode r m 2 T = q = 2 : k k x(t) = x0 cos
(2.13)
(2.14)
m
2.2.2 Els circuits de corrent altern
Ja hem vist quan parlavem dels nombres complexos que les equacions dels circuits de corrent altern contenen derivades: son, per tant, equacions diferencials. Com aplicacio de les manipulacions amb complexos havem mostrat com trobar la solucio estacionaria, o en regim estacionari, d'un circuit de corrent altern sotmes a una excitacio de tipus sinusodal. La solucio estacionaria no es, pero, la solucio general de l'EDO: es, de fet, la solucio particular corresponent a unes condicions inicials en que tots els condensadors estan descarregats i totes les intensitats son zero. El problema de trobar la solucio general d'un circuit d'aquest tipus, sotmes a una excitacio sinusodal o d'altra mena, es molt mes complicat i no ho veurem ns al tema seguent, pero s que volem mostrar ara quina es la solucio general de dos circuits particularment simples, sense fonts, amb una resistencia i amb un condensador o una bobina, respectivament. Sigui el circuit de la gura 2.5. La llei de Kirchho ens imposa q iR = 0; (2.15) C amb q i i relacionades per dq : i= (2.16) dt Substituint aquesta darrera relacio a (2.15) obtenim dq = q ; (2.17) dt RC © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.2 Alguns problemes on apareixen EDO
51
C q
i
R
Figura 2.5: Un circuit RC sense fonts. que es una EDO de primer ordre per a la carrega del condensador, q(t). L'equacio (2.17) ens diu que hem de cercar una funcio tal que derivada una vegada doni alguna cosa proporcional a ella mateixa. Sabem que les funcions que tenen aquest comportament son les exponencials, i es senzill de veure que q(t) = e es solucio de (2.17). De fet, si multipliquem aquesta exponencial per qualsevol constant continuem tenint una solucio de (2.17) i, per tant, la solucio general de (2.17) es q(t) = Ke ; (2.18) amb K arbitrari.1 Podem determinar K demanant que per a t = 0 el condensador tingui una determinada carrega q0. De (2.18) obtenim =K q0 = Ke i, per tant, la solucio particular es q(t) = q0 e : (2.19) Alternativament, encara que no es el mes natural per a aquest circuit, podem determinar la constant imposant que per a t = 0 hi hagi al circuit una determinada intensitat i0 . Com que (2.16) s'ha de veri car per a tot t, en particular per a t = 0, tindrem q0 i R=0 C 0 i, per tant, q0 = RCi0 ; (2.20) de manera que la solucio particular en el cas que ens donin i0 s'escriura (2.21) q(t) = i0 RCe Fixem-nos que no es possible donar q0 i i0 arbitraris com a condicions inicials: ambdos estan relacionats per (2.20). t RC
t RC
0
RC
t RC
t RC
1
Li diem K perque no es confongui amb la capacitat C del condensador.
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
52
Equacions diferencials
1e–06
8e–07
6e–07 q(t) 4e–07
2e–07
0
0.001
0.002
0.003
t
0.004
0.005
Figura 2.6: Variacio de la carrega del condensador d'un circuit RC sense fonts en funcio del temps. La gura 2.6 representa la solucio (2.19) per a q0 = 10 6 C, R = 1000 i C = 1F. Tenim una exponencial decreixent, corresponent al fet que el condensador es descarrega a traves de la resistencia. S'anomena constant de temps d'aquest circuit, , al temps que el condensador tarda a disminuir la seva carrega ns 1=e del seu valor inicial. Si anem a (2.19), determinarem imposant q0 = q0 e e d'on e 1=e i, per tant, = RC que per a les dades del nostre exemple dona = 1 ms. Teoricament el condensador no arriba a descarregar-se mai, ja que l'exponencial s'acosta asimptoticament a zero, pero a efectes practics el condensador es pot considerar descarregat despres de 3 constants de temps, ja que llavors q(3 ) = q0 e = q0e 3 0:05q0 : El segon circuit que volem considerar aqu es el de la gura 2.7. La llei de Kirchho ens dona directament di Ri = 0; L dt que es una EDO per a la intensitat i(t): di = R i: dt L RC
RC
3RC
RC
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.2 Alguns problemes on apareixen EDO
53
L i
R
Figura 2.7: Un circuit RL sense fonts. De la nostra experiencia amb el circuit del condensador ja podem veure que la solucio corresponent a una intensitat inicial i0 sera i(t) = i0 e t amb una constant de temps L L = R que indica el temps que tarda la intensitat a decaure a un valor 1=e de l'inicial. R L
2.2.3 Un cilindre hidraulic
La gura 2.8 mostra un cilindre hidraulic amb valvula de control. Anomenem y la posicio del pisto i u la posicio del mecanisme de la valvula de control. Tenim un diposit de uid a una pressio alta, Ps, i l'aire, que omple la part dreta del cilindre, a una pressio baixa, l'atmosferica, P0 . El pisto del cilindre ha de vencer una forca externa f (t) i quan es mou esta sotmes a un fregament proporcional a la velocitat, by_ . Si la valvula de control es desplaca cap a l'esquerra el canal 1 s'obre parcialment i el uid a pressio Ps puja amb un ux q, mesurat en m3s 1. La part esquerra del cilindre queda llavors a pressio P (alta), mentre que el de la dreta queda a pressio P0 . Amb aixo el cilindre, si pot superar la forca f , es desplaca cap a la dreta. L'objectiu es determinar quan s'ha d'obrir el canal 1 i, per tant, quan s'ha de desplacar u cap a l'esquerra, per posicionar el cilindre, es a dir, y en el lloc que volem.2 Suposarem que el ux q es proporcional al grau d'obertura de 1 i per tant a u, i tambe a la diferencia de pressions Ps P : q = Ku u + Kp (Ps P ): (2.22) Suposant el uid incompressible, aquest ux ha d'igualar el volum per unitat de temps que es crea a la part esquerra del cilindre com a consequencia del seu moviment: q = Ay:_ (2.23) Finalment, l'equacio del moviment del pisto ve donada per la segona llei de Newton: my = (P P0 )A by_ f (t): (2.24) Suposarem que volem moure el cilindre cap a la dreta. Si el volguessim moure cap a l'esquerra haurem de desplacar la valvula cap a la dreta i deixar que el uid a alta pressio entres per 2. 2
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
54
Equacions diferencials
y
01 A P 1010 1010 m 11 00 00 00 11 00 0011 00 11 0011 11 00 11 q 11 00 11 00 11 00 11 00 11 2 1 0011 11 00 00 11 00 00 11 0011 11 P 00 11 00 11 111111111111 000000000000 00 11 11 00 11 1111111 0000000 00 100000000 1111111 00 11 00P 1010 11 P
u(t)
f(t)
o
o
s
Figura 2.8: Un cilindre hidraulic amb valvula de control. Igualant (2.22) i (2.23) podem eliminar q i obtenim una relacio entre P i y, que depen de u(t): Ay_ = Ku u + Kp (Ps P ): D'aqu podem trobar P i substituir-ho a (2.24). Si arreglem els termes el resultat nal es my +
A2 y_ = f (t) + A(Ps b+ Kp
K P0 ) + A u u(t): K p
(2.25)
Aixo es una EDO de segon ordre per a y(t) (si el uid es considera compressible s'obte una EDO de tercer ordre; vegeu l'exemple 2.7.2 de [Veg94]). L'equacio depen de la forca f (t), generalment constant, que ens ve donada, i de la variable de control u(t). En aquest tipus de problema, la questio no es trobar y(t) donada una u(t) concreta, sino tot el contrari: es desitja que y assoleixi un valor donat amb unes caracterstiques d'evolucio determinades, per exemple, que no sobrepassi la posicio nal oscillant al voltant d'ella i que no tardi massa a acostar-s'hi, i es tracta de trobar la u(t) que ho veri qui. Aquest es, encara que no ho sembli, un problema molt mes complicat que resoldre l'equacio diferencial en el sentit directe. Aquest tipus de problemes s'estudia a la teoria de control. 2.2.4 Un motor de corrent continu
La gura 2.9 mostra l'esquema d'un motor de corrent continu amb control d'armadura. Essencialment, el voltatge de control ea crea un corrent ia en el circuit de l'armadura. Un corrent auxiliar constant crea un camp magnetic constant en que les espires del motor estan immerses.3 Quan el corrent ia circula per les espires, la interaccio amb el camp magnetic constant provoca l'aparicio d'un parell motor que fa girar la carrega amb moment d'inercia J ; se suposa, a mes, que hi ha un cert fregament proporcional a la velocitat angular amb coe cient B . La forca contraelectromotriu em es proporcional al ux constant, , generat pel corrent constant i a la velocitat de gir del motor: d d em = K = Km ; (2.26) dt dt Segons quina sigui l'aplicacio que es vulgui fer del motor, tambe pot emprar-se un imant permanent per generar aquest camp magnetic constant. 3
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.2 Alguns problemes on apareixen EDO
55
Camp de corrent constant
ia
Rm
Lm
B ea
J
em θ,τ
Figura 2.9: Motor de corrent continu amb control d'armadura. on Km = K es tambe constant. D'altra banda, el parell motor que es genera es proporcional al ux i a la intensitat d'armadura: = K1 ia = K ia ; (2.27) on K = K1 es de nou una constant. L'equacio de Kirchho per l'armadura ens dona di ea ia Rm Lm a + em = 0: (2.28) dt Finalment, l'equacio pel moviment d'un solid rgid ens proporciona l'acceleracio angular del motor: J = B :_ (2.29) Tenim quatre equacions, dues de diferencials i dues d'algebraiques, que ens relacionen les variables ia , em , , i ea . Com que aquest tipus de motor s'utilitza generalment per situar l'angle en un valor determinat, per exemple en el brac d'un robot, la variable important es . L'objectiu es expressar en termes del voltatge de control ea , fent desapareixer del mig les altres tres variables ia , em i . Si el motor s'empres per moure una roda, per exemple en un cotxe d'ScalextricTM, aleshores la variable important seria el parell de forca . En primer lloc, podem eliminar completament del problema emprant (2.27). Llavors (2.29) s'escriu J = K ia B :_ (2.30) Si ara derivem aquesta expressio respecte de t tenim ... di J = K a B : (2.31) dt L'objectiu de derivar es que ara podem emprar (2.28), (2.30) i (2.26) per expressar la derivada de ia en termes de i les seves derivades i de ea . En primer lloc, de (2.28) i (2.26) tenim dia = 1 e + K d i R : dt Lm a m dt a m © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
56
Equacions diferencials
Emprant ara (2.30) podem eliminar la intensitat que encara tenim a la dreta: dia = 1 ea + Km d Rm 1 J + B _ : dt Lm dt K Anant ara a (2.31) amb aquesta expressio ens queda l'equacio desitjada per a , que una vegada arreglada resulta ser ... Lm J + (BLm + Rm J ) + (BRm + Km K ) = K ea : (2.32) Per tant, es una EDO de tercer ordre que ens relaciona amb ea . Moltes vegades, pero, es considera que la inductancia de l'armadura Lm es menyspreable comparada amb els altres factors i llavors resulta una EDO de segon ordre: Rm J + (BRm + Km K ) = K ea : (2.33) 2.2.5 El problema de la catenaria
Sigui un cable penjat entre dos punts sotmes nomes al seu propi pes, tal com mostra la gura 2.10. Aquest cable s'anomena catenaria, i la forma que tenen, per exemple, els ls conductors que pengen de les torres d'alta tensio o de sobre les vies dels ferrocarrils electrics. Suposarem que el cable es prou prim comparat amb la seva longitud com per considerar-lo unidimensional i poder assignar-li una densitat lineal que considerarem constant. Matematicament el cable vindra descrit per una funcio y(x) que es la que voldrem calcular. Veurem que y(x) satisfa una EDO de segon ordre i en donarem la solucio que veri ca que els dos extrems del cable estan a la mateixa alcada. A cada punt el pendent del cable es y0(x). Si anomenem '(x) l'angle que forma el cable amb l'horitzontal tindrem tan '(x) = y0(x): (2.34) Considerarem un tros de cable entre x i x + x i entre y i y + y. Si x es prou petit la longitud d'aquest tros de cable sera aproximadament p (x)2 + (y)2 ; i, per tant, el seu pes sera p g (x)2 + (y)2 : La suma de forces que actuen sobre aquest tros de cable ha de ser nulla. A part del pes del propi tros de cable actua la tensio de la resta de cable, tant des de l'esquerra com des de la dreta. En principi hem de suposar que la tensio variara al llarg del cable, de manera que l'anomenarem T (x). Les forces horitzontals son T (x + x)cos '(x + x) des de la dreta i T (x)cos '(x) des de l'esquerra. Tindrem aix T (x + x)cos '(x + x) T (x)cos '(x) = 0: (2.35) p
En la direccio vertical tenim les forces g (x)2 + (y)2 del propi pes del tros de cable, T (x + x)sin '(x + x) des de la dreta i T (x)sin '(x) des de l'esquerra. Per tant, p T (x + x)sin '(x + x) T (x)sin '(x) g (x)2 + (y)2 = 0: (2.36) © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.2 Alguns problemes on apareixen EDO
57
∆x
T(x+∆ x) ϕ(x+∆ x)
∆y -T(x)
ϕ(x) pes x+ ∆x
x
H y(x)
x
-L
L
Figura 2.10: La catenaria, o cable penjant. Si a (2.35) dividim per x i fem el lmit quan x ! 0 obtenim la derivada de la funcio T (x)cos '(x). Ens resulta llavors d (2.37) dx (T (x)cos '(x)) = 0: Si fem el mateix amb (2.36) els dos primers termes ens donen la derivada de la funcio T (x)sin '(x), mentre que per al tercer tenim p
(x)2 + (y)2 lim x!0 x
s
y 2 = p1 + (y0)2 : = lim 1 + x!0 x
Ens queda llavors
d (T (x)sin '(x)) = gp1 + (y0)2 : (2.38) dx El que hem de fer ara es combinar (2.37) i (2.38) per obtenir una equacio diferencial per a y(x), sense T (x) ni '(x), encara que aquesta darrera esta relacionada amb y(x) per (2.34). En primer lloc, (2.37) ens diu que T (x)cos '(x) es constant al llarg del cable: T (x)cos '(x) = k; d'on
k (2.39) cos '(x) : Aixo con rma la nostra sospita inicial que la tensio va variant al llarg del cable, i es mnima quan cos '(x) es maxim, es a dir, quan '(x) = 0, que correspon al punt mes baix del cable. T (x) =
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
58
Equacions diferencials
Si emprem (2.39) a (2.38) ens queda d k sin '(x) = gp1 + (y0)2 ; dx cos '(x) d'on p d k (tan '(x)) = g 1 + (y0 )2 dx i nalment, si recordem (2.34), p ky00 = g 1 + (y0 )2 ; (2.40) que es la EDO de segon ordre per a y(x) que buscavem. A la seccio seguent veurem com resoldre aquest tipus d'EDO. Es pot veure que si es demana que els dos extrems del cable estiguin a la mateixa alcada, aixo implica que sigui el punt mig, x = 0, el que estigui en el punt mes baix, de manera que y0(0) = 0. Si a mes colloquem l'origen de coordenades en aquest punt tindrem y(0) = 0. Amb aquestes dues condicions la solucio particular de (2.40) es y(x) =
g k cosh k x g
k : g
(2.41)
La constant k no es una constant arbitraria d'integracio, sino que depen de l'alcada total del cable. Si el cable s'exten entre L i L i els extrems estan a una alcada H , de (2.41), H=
g k cosh L g k
k : g
Donats , H , L i, per descomptat, g, aquesta es una equacio per a k que es pot resoldre numericament. No esg pot fer exactament ja que s'hi barregen termes polinomics, k, amb termes trascendents, cosh k L . 2.3 EDO de variables separables En aquesta seccio veurem el primer metode sistematic per resoldre un tipus determinat d'EDO de primer ordre, les anomenades equacions diferencials de variables separables. Direm que una EDO de primer ordre per a la funcio y(x) es de variables separables si un membre es pot escriure com una funcio de y que multiplica a y0 i l'altre membre com una funcio de x: y0 f (y) = g(x): (2.42) Aix, 3x sin x = 5y0 yy0 + y+1 es de variables separables ja que es pot escriure com a y0 (y2 4y 5) = 3x sin x: En canvi, y0 + 3xy = sin x no es de variables separables. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.3 EDO de variables separables
59
Tal com ja hem indicat, solucionar una equacio diferencial es integrar-la, es a dir, obtenir una expressio on no hi apareixi la derivada. Per tant, si volem solucionar (2.42) d'alguna manera haurem d'integrar. Aixo es justament el que farem: integrarem els dos membres de (2.42) respecte de x: Z
f (y)y0 dx =
Z
g(x) dx:
(2.43)
El problema que tenim en aquesta expressio es que, en el membre de l'esquerra, estem integrant respecte de x una funcio que depen de x, ja que y i la seva derivada son funcions de x, pero que no sabem quina es (si ho sabessim ja tindrem la solucio de l'equacio diferencial!). Afortunadament, el fet que y depengui de x, encara que no sabem exactament com, es su cient per trobar una sortida al problema: farem un canvi de variable a la integral de l'esquerra i passarem d'una integracio respecte de x a una integracio respecte de y. Per fer el canvi en una integral inde nida hem de trobar la \relacio entre diferencials". A partir de y = y(x) tenim, diferenciant, dy = y0 dx i (2.43) esdeve Z
f (y) dy =
Z
g(x) dx:
(2.44)
Ara ja no tenim cap problema per calcular les integrals, ja que tant f (y) com g(x) son dades de l'equacio diferencial, i podem obtenir la relacio entre y i x. Cada integral dona una constant d'integracio pero, com que apareixen sumant, les podem passar a la mateixa banda i obtenir-ne una de sola, que es la constant arbitraria de la solucio general de (2.42). Sigui, per exemple, y0 = 3x(y2 + 1); (2.45) que es de variables separables ja que es pot escriure com 1 y0 = 3x; 2 y +1 amb f (y) = 1=(y2 + 1) i g(x) = 3x. D'acord amb (2.44) hem de calcular Z 1 dy = Z 3x dx: y2 + 1 Aquestes integrals son elementals i obtenim arctan y + C1 = 32 x2 + C2 i, posant totes les constants a una banda i anomenant C = C2 C1, resulta (2.46) arctan y = 23 x2 + C: © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
60
Equacions diferencials
4
3
2
1
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
x
0.4
0.6
–1
Figura 2.11: Famlia de solucions de l'equacio diferencial (2.45). Aquesta es la solucio general de (2.45) en forma implcita. En forma explcita es 3 2 y(x) = tan x + C : (2.47) 2 Si ara ens demanen que cerquem la solucio particular que passa pel punt (0; 1), imposem 3 2 1 = tan 2 0 + C = tan C; d'on C = arctan 1 = =4. 4 Ens resulta, per tant, la solucio particular 3 2 (2.48) y(x) = tan x + 2 4 : A la gura 2.11 s'hi representen diverses solucions particulars corresponents als valors de la constant C = =4; =8; 0; =8 i =4. Les corbes estan dibuixades entre x = 0:6 i x = 0:6, ja que una mica mes enlla les diferents corbes van desenvolupant asmptotes verticals. Cal assenyalar que, a diferencia per exemple de les corbes de la gura 2.3, les diferents solucions particulars no s'obtenen desplacant-ne una de donada amunt o avall. Aixo es degut a que la constant C no apareix com un sumant global a (2.47), fet que s passa a la solucio general (2.5). Recordem que arctan vol dir la branca principal de la inversa de la tangent, que pren valors entre =2 i =2. De totes maneres, com que a la solucio general en forma explcita no hi apareix l'arctan, no hi ha problema a posar C = 5=4 per a la solucio particular que passa per (0; 1); si posem aquest valor de C a la solucio en forma implcita l'arctan no sera el valor de la branca principal, sino el de la branca que pren valors entre =2 i 3=2. 4
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.3 EDO de variables separables
61
Una manera rapida de passar de (2.42) a (2.44) es escriure y0 com ddxy : dy f (y) = g(x) dx i llavors imaginar que podem separar el \numerador" i el \denominador" de ddxy : f (y) dy = g(x) dx: Posant ara el signe integral a les dues bandes obtenim (2.44). Aixo es, pero, nomes una regla mnemotecnica, la justi cacio rigorosa de la qual es el raonament detallat que hem efectuat. A la practica hi ha molt poques EDO que siguin de variables separables. D'entrada, amb la de nicio que hem donat nomes ho son algunes de primer ordre. Per exemple, les equacions dels circuits de corrent altern amb resistencies i amb bobines o condensadors amb fonts de tensio o alimentacio no son de variables separables, i si no hi ha fonts tampoc no ho son si alhora hi ha bobines i condensadors, ja que llavors les equacions son sempre de segon ordre com a mnim. A vegades, pero, es possible solucionar EDO que no semblen de variables separables, ns i tot d'ordre superior, emprant un canvi que les converteix en EDO de variables separables. Per exemple, xy0 + y = x; (2.49) que no es de variables separables. Si introdum una nova funcio z(x) mitjancant la relacio z (x) = xy(x) (2.50) resulta, derivant el producte, z 0 = 1 y + xy0 ; i, per tant, (2.49) esdeve z0 = x que es de variables separables en z i x.5 Tindrem Z
i
dz =
z (x) =
Anant ara a (2.50) obtenim
Z
x dx
x2
2 + C:
z (x) x
= x2 + Cx ; que es la solucio general de (2.49). Veure si mitjancant un canvi es possible convertir l'equacio donada en una de variables separables requereix practica i sort, i no hi ha cap manera sistematica de fer-ho. S que hi ha, en canvi, un metode general de tractar les EDO de segon ordre de la forma f (y0)y00 = g(x): (2.51) y(x) =
En realitat es el tipus mes elemental d'EDO de variables separables, ja que f (z ) = 1 i simplement ens diu que z es la integral de x. 5
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
62
Equacions diferencials
Si treballem amb la derivada v = y0 tindrem v0 = y00 i (2.51) queda com una EDO de primer ordre per a v(x) f (v)v0 = g(x); (2.52) que es de variables separables en v i x. Llavors es possible obtenir la solucio general v(x) de (2.52), que contindra una constant arbitraria, i y(x) es troba integrant v(x), que proporcionara la segona constant arbitraria de la solucio general de l'EDO de segon ordre (2.51). Per exemple, si tenim 0 ey y00 = 3 (2.53) fem el canvi y0 = v i queda ev v0 = 3; o dv ev = 3 dx d'on Z Z v e dv = 3 dx i ev = 3x + C1 o, explcitament, v(x) = log(3x + C1 ): Finalment obtenim la solucio general de (2.53) integrant v(x): y(x)
=
Z
v(x) dx =
Z
log(3x + C1) dx = 31 (3x + C1)log(3x + C1) 31 (3x + C1) + C2: El darrer tipus d'EDO reductible a una de variables separables que veurem aqu es tambe de segon ordre: y00 = h(y): (2.54) Son, per tant, EDO de segon ordre en que la derivada segona de y es igual a una funcio de y, sense que hi puguin apareixer ni la derivada primera, y0 , ni la variable independent, x. En aquest cas no val el canvi y0 = v, ja que no sabem expressar y, que ens apareix a l'equacio diferencial, en termes de v (sense posar integrals, es clar!). El que s'ha de fer es una mica mes complicat, i es que en lloc de treballar amb y com a variable dependent de x, cal treballar amb v = y0 com a variable dependent de y. Aixo te sentit perque y es una funcio de x, de manera que tambe podem pensar que x es una funcio de y i, per tant, y0 tambe es una funcio de y. Aixo pot semblar un joc de mans pero un exemple ho aclarira. Sigui y(x) = e2x+1 : Llavors y0 (x) = 2e2x+1 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.3 EDO de variables separables
63
pero de la primera relacio tambe podem treure 1 x = (log y 1): 2 Llavors la derivada es pot escriure com y0 = 2y; que es una funcio de y, tal com volem veure. Tornant al problema general, tenim que dy0 y00 = dx pero si ara pensem que y0 depen de y, podem aplicar la regla de la cadena i esciure dy0 = dy0 dy = dy0 y0 y00 = dx dy dx dy i nalment, com que y0 = v, dv y00 = v: (2.55) dy Posant aixo a (2.54) ens queda dv v = h(y) (2.56) dy que es de variables separables en v i y. D'aqu es pot obtenir v = y0 com una funcio de y i una constant d'integracio C1 : y0 = H (y; C1 ) o, tambe, 1 dy = 1 (2.57) H (y; C1 ) dx que es de variables separables en y i x. La integracio d'aquesta darrera equacio ens donara la segona constant arbitraria. Sigui, per exemple, y00 = ey ; amb les condicions inicials y(0) = 0, y0(0) = p2. Emprant (2.55) obtenim dv v = ey : dy Separant variables i integrant resulta Z
d'on
vdv =
Z
ey dy
1 v 2 = ey + C1 : 2 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
64
Equacions diferencials
E s convenient determinar ara la constant C1 emprant la informacio sobre p les condicions inicials. 0 Aquestes condicions ens diuen que quan x = 0 tenim y = 0 i v = y = 2, es a dir, quan y = 0 es te v = p2. Per tant, 1 (p2)2 = e0 + C1 ; 2 d'on C1 = 0 i ens queda p v = 2ey : Fixem-nos p que hem triat el0 signe + a l'arrel quadrada per tal de satisfer la condicio inicial v(0) = 2. Com que v = y ara ens queda per integrar p p y0 = 2ey = 2e ; que torna a ser de variables separables, ara en y i x. Obtenim y 2
Z
e
y 2
p
p
Z
dy = 2 dx = 2x + C2 ;
i, calculant la integral de l'esquerra,
p
2e = 2x + C2: Imposant y(0) = 0 ens permet determinar C2 = 2. Posant aquest valor i allant y s'obte nalment la solucio particular x y(x) = 2log 1 p : 2 El canvi de variable que hem introdut per resoldre (2.54) s'anomena \el truc de l'energia" perque s'utilitza per solucionar problemes mecanics unidimensionals. Si tenim una partcula movent-se en una dimensio sota una forca conservadora F (x) = V 0 (x); on V (x) es l'energia potencial, es te, pel teorema de conservacio de l'energia total, 1 mv2 + V (x) = constant = E; (2.58) 2 on E es l'energia total del sistema. D'aquesta expressio es possible obtenir v = x_ com a funcio de x (aixo es precissament el que hem fet nosaltres en el cas general!) i aix, integrant l'equacio en variables separables resultant, es possible calcular x en funcio de t i una segona constant arbitraria, amb el que tenim totalment determinat el moviment unidimensional una vegada donem, per exemple, x(0) i v(0). Vegem com el teorema de conservacio de l'energia total se segueix de la segona llei de Newton i el canvi (2.55) que, per a una funcio x(t), es dv x = v: (2.59) dx Si ho apliquem a la segona llei de newton per a la nostra partcula mx = V 0 (x) obtenim dv m v = V 0 (x) dx y 2
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.4 Models de poblacio i desintegracio radioactiva
i si separem variables,
Z
mv dv =
Z
65
V 0 (x) dx
La integral de l'esquerra es immediata, mentre que la de la dreta es la integral d'una derivada; es, per tant, la propia funcio: 1 2 2 mv = V (x) + C1 : Passant l'energia potencial a l'altra banda veiem que C1 es precissament l'energia total de la partcula, E . Ens resulta aix 1 mv2 = V (x) + E; (2.60) 2 que es la llei de conservacio que buscavem. D'aqu es possible allar v: r 2 p V (x) + E v= (2.61) m
i posant v = x_ s'obte l'equacio en variables separables corresponent a (2.57): r dx = 1: m2 p 1 V (x) + E dt La integracio del membre de la dreta es trivial i ens resulta nalment r Z m2 p 1 dx = t + C2: (2.62) V (x) + E No es possible seguir mes enlla si no es coneix la forma concreta de l'energia potencial V (x). El signe s'ha de decidir a partir de (2.61) segons que la partcula s'estigui movent cap a la dreta o l'esquerra quan passa per una posicio determinada. Per a mes detalls podeu consultar la seccio 8:9 de [AF76]. 2.4 Models de poblacio i desintegracio radioactiva En aquesta seccio estudiarem l'EDO de primer ordre y0 = ky (2.63) i algunes de les seves aplicacions. Veurem que quan k > 0 serveix per descriure el creixement natural d'una poblacio, mentre que si k < 0 s'utilitza per estudiar la desintegracio radioactiva i, en particular, la datacio amb carboni-14. De fet, ja hem trobat l'equacio (2.63) en parlar de la descarrega d'un condensador. L'equacio (2.63) es de variables separables i tenim Z dy = Z kdx
i
y
^ log jyj = kx + C; on hem anomenat C^ la constant d'integracio, ja que no sera de nitiva. Ens queda jy(x)j = ekx+C^ = eC^ ekx; © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
66
Equacions diferencials
d'on
y(x) = eC^ ekx:
En lloc de treballar amb la constant C^ ho farem amb una nova constant C = eC^ , o C^ = log C . I queda y(x) = Cekx; (2.64) que es la solucio general de (2.63). Pot desconcertar el fet de tenir dos signes a la solucio. En realitat, xem-nos que la constant C = eC^ sempre sera positiva. El signe \+" o \ " s'ha d'escollir de manera que es pugui satisfer la condicio inicial que ens donin: \+" si y(x0) > 0 i \ " si y(x0 ) < 0. E s una propietat fonamental de l'equacio (2.63) que les seves solucions no canvien mai de signe: si son positives (negatives) per a una x, ho son per a totes. A la majoria d'aplicacions, y(x) representa una cosa que ha de ser positiva i, per tant, s'ha d'agafar el signe \+". Considerem ara una poblacio humana de N individus, amb N 1. Aquesta poblacio tindra un creixement natural anual que acostuma a expressar-se en \tants per mil". Per exemple, un creixement de 2.3 per mil vol dir que, per cada 1000 individus, al cap d'un any n'hi haura 1002:3. Aquest creixement te en compte tant l'augment degut als naixements com la disminucio deguda a les defuncions naturals; no te en compte, pero, les variacions degudes a la migracio humana, o les mortaldats causades per malalties o desastres naturals. Si anomenem la taxa de creixement anual, la relacio entre les poblacions l'any n i l'any n + 1 sera Nn+1 = Nn + Nn = (1 + )Nn : (2.65) El fet important es que la variacio de poblacio durant l'any n Nn = Nn es proporcional al nombre d'individus en comencar l'any. Que passa si volem calcular la poblacio a meitat d'any? Podrem de nir una taxa de creixement semestral i relacionar-la amb l'anual, pero ens trobarem amb el mateix problema si despres volguessim calcular el creixement mensual, i aix successivament. La solucio esta a xar-nos en la idea fonamental, que es que el ritme de creixement es proporcional al nombre d'individus en un moment donat. En termes matematics aixo es dN = kN; (2.66) dt que es del tipus (2.63). La solucio es, per tant, agafar el signe \+" per raons obvies, N (t) = Cekt : (2.67) Suposant que mesurem t en anys i que quan t = t0 la poblacio es N0, sera N0 = Cekt ; d'on C = N0e kt i podrem expressar la solucio com N (t) = N0 e kt ekt = N0 ek(t t ) : (2.68) En particular, si un any son T unitats de temps, tindrem que la poblacio despres d'un any sera N (t + T ) = N0 ek(t+T t ) = N0 ekT ek(t t ) = ekT N (t); 0
0
0
0
0
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
0
2.4 Models de poblacio i desintegracio radioactiva
67
Comparant amb (2.65) es veu que
(2.69) 1 + = ekT ; o k = T1 log(1 + ): Aquesta equacio ens relaciona el parametre de l'equacio diferencial amb el parametre usualment emprat en els estudis demogra cs, i ara ja podem calcular el creixement de la poblacio sobre qualsevol interval de temps, no necessariament un any, emprant (2.68). Els parametres o k son difcils de determinar a partir de consideracions teoriques, sobretot en societats humanes. El que es fa es mesurar la poblacio entre dos instants; amb aquesta informacio ja es possible determinar k i es poden fer previsions per a temps posteriors. Per exemple, l'any 1900 la poblacio de la Terra era de 1600 milions d'habitants, i l'any 1950 havia crescut ns a 2510 milions. Segons la solucio (2.68) tindrem, agafant t0 = 1900, 2510 = N (1950) = 1600ek(1950 1900) = 1600e50k : D'aqu 1 2510 0:00900; k = log 50 1600 1 que es mesura en (anys) . Per tant, la taxa de creixement anual es = ek 1 0:00905; es a dir, de prop del 9 per mil. Si ara ens preguntem quina sera la poblacio l'any 2000 tindrem N (2000) = 1600ek(2000 1900) = 1600e100k = 1600e0;9 3:935: Fixem-nos que aquesta previsio ja s'ha superat. Aixo es degut a que hem determinat k amb dades de la primera meitat de segle; en realitat, per a una poblacio tan complexa com la humana, k no es constant, sino que va variant lentament en funcio del avencos tecnics i economics. En particular, a partir de la segona guerra mundial ha aumentat lleugerament basicament a causa de la disminucio de la mortalitat als pasos del Tercer Mon. En tot cas, suposant que el model (2.66) amb k constant es prou bo, es pot calcular el temps que tarda a doblar-se la poblacio a partir d'un instant donat. La condicio que es vol imposar es N (t + t) = 2N (t): Posant la solucio (2.68) tindrem N0 ek(t+t t ) = 2N0 ek(t t ) d'on ekt = 2: Resulta, per tant, t = 1 log 2: (2.70) 0
0
k
Fixem-nos que aquest resultat no depen del temps a partir del qual comencem a comptar, ni de la poblacio de que partim: la poblacio es dobla cada logk 2 unitats de temps. Aix, amb les dades de l'exemple anterior, 1 log 2 77: t 0:009 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
68
Equacions diferencials
Per tant, amb el ritme actual de creixement, la poblacio de la Terra es dobla cada 80 anys, aproximadament. El model (2.66) es particularment acurat per descriure poblacions de bacteris sense limitacio d'espai ni aliment, i aquestes previsions son facils de veri car experimentalment en aquest cas. La segona aplicacio important de l'equacio (2.63) es el problema de la desintegracio radioactiva. La majoria d'elements qumics tenen isotops naturals que es desintegren espontaniament. No resulta possible, pero, preveure si un nucli en concret es desintegrara en un moment donat o no. De fet, el que es pot demostrar es que el nombre de nuclis que es desintegren en un perode de temps es proporcional al nombre de nuclis que hi havia al comencament d'aquest perode. Tenim, per tant, que, tal com passava amb el model de poblacio, el ritme instantani de variacio del nombre d'isotops no desintegrats es proporcional al nombre d'isotops no desintegrats. Si anomenem el nombre d'isotops N (t), tindrem que dN = N; (2.71) dt on hem posat la constant negativa ja que N (t) va disminuint en el temps. La solucio de l'equacio diferencial sera, repetint els calculs del model de poblacio, N (t) = N0 e (t t ) ; (2.72) suposant que per a t = t0 hi havia N0 nuclis de l'isotop. La mateixa relacio val si N (t) representa, en lloc del nombre de nuclis, la seva massa total, o alguna quantitat que en sigui proporcional, ja que llavors sols cal multiplicar els dos membres de (2.72) per la mateixa constant. Si considerem un interval de temps entre t i t +t, el nombre de nuclis que es desintegraran en aquest perode sera N0 e (t+t t ) N0 e (t t ) = e t 1 N0 e 2(t t ) : Aquests nuclis hauran viscut, a partir de t = t0 , al voltant de t t0, amb un error que sera mes petit com mes petit sigui t. Si pensem que t es molt petit per disminuir l'error, podrem aproximar el nombre de nuclis desintegrats durant t emprant e t 1 t: La mitjana de temps de vida dels N0 nuclis que tenem a t = t0 , anomenat vida mitjana de l'isotop, , s'obtindra amb la integral Z +1 Z +1 1 ( t t ) = (t t ) N e dt = (t t )e (t t ) dt 0
0
ft t0 =zg
=
N0
Z
0
t0
0
+1
0
ze
z
0
0
dz =
0
1 ze
z
1e
2
t0
z =+1 z z =0
0
0
= 1 : Normalment, quan es donen dades sobre isotops, s'acostuma a proporcionar en lloc de . Una de les aplicacions mes importants de les formules que hem dedut es la datacio per isotops. Descriurem els fonaments de la datacio per carboni-14, ja que es una de les que te mes aplicacions, sobretot en arqueologia, perque te una vida mitjana de la mateixa escala de temps que la civilitzacio humana. El carboni-14, 146C8 , es un isotop radioactiu del carboni, que es forma a les capes altes de l'atmosfera per l'accio dels rajos cosmics. La seva vida mitjana, abans de desintegrar-se en un © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.4 Models de poblacio i desintegracio radioactiva
69
isotop estable, el 147 N7, es d'uns 8033 anys. Aixo fa que tingui temps. d'escampar-se per tota la biosfera i que sigui ingerit, en el proces normal de respiracio, per tots els organismes vius, plantes i animals. Mentre l'organisme esta viu, la proporcio de C 14 respecte a C 12 en els seus teixits es mante constant, perque les perdues per desintegracio son compensades per les noves entrades. Quan l'organisme mor, pero, la desintegracio segueix endavant sense reposicio, i al cap d'un temps la quantitat de C 14 disminueix considerablement. La tecnica de datacio amb C 14 es basa a suposar que els organismes vius actuals i els de fa, diguem-ne, alguns milers d'anys o menys, tenen la mateixa proporcio de C 14 =C 12. Com que coneixem la proporcio actual, mesurant la proporcio en l'organisme mort i emprant les formules que hem dedut podrem saber el temps que ha passat des que va comencar la disminucio neta de C 14, es a dir, des que l'organisme va morir. L'hipotesi de la constancia de la proporcio de C 14 en la biosfera i els organismes vius al llarg d'un perode d'alguns milers d'anys es raonable i, a mes, s'ha pogut comprobar de forma independent. Fem numeros i veurem en quina escala de temps es raonable emprar aquest metode de datacio. El temps que tarda el C 14 a desintegrar-se ns a la meitat de la quantitat original s'obtindra per 1 N (t + t) = N (t); 2 d'on, amb un calcul semblant al cas de poblacions emprant ara (2.72), s'obtindra 1 e t = ; 2 d'on t = log 2 = log 2: (2.73) Aquest valor, el temps que tarda l'isotop a reduir-se a la meitat, s'anomena perode de semidesintegracio, T . Pel carboni-14 tindrem T = 8033 anys log 2 5568 anys: Si calculem quina ha estat la disminucio en la proprocio de C 14 en, diguem-ne, 50000 anys, tindrem = N0 e ; N (t0 + 50000) = N0 e (t +50000 t ) = N0 e 50000 = N0 e de manera que N (t0 + 50000) =e 0:002: N (t0 ) Si efectuem el mateix calcul per a un perode de 30 anys tindrem N (t0 + 100) = e 0:996: N (t0 ) En el primer cas quasi no queda C 14 en proporcio a l'original, mentre que en el segon es difcil veure la disminucio. En qualsevol dels dos casos l'error experimental en la mesura del C 14 augmenta i els resultats son menys ables. La datacio per C 14 es, per tant, mes able per a perodes que van des dels centenars d'anys ns a les poques desenes de milers d'anys. Altres isotops d'altres elements qumics tenen vides mitjanes que els fan mes acurats per a escales de temps mes curtes o mes llargues que l'esmentada. 0
50000
0
50000 8033
30 8033
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
50000 8033
70
Equacions diferencials
2.5 Solucio aproximada d'equacions diferencials Sota condicions prou generals, que veurem amb detall a la seccio 2.7, donada una EDO de primer ordre en la forma y0 = f (x; y); es pot assegurar que existeix una solucio y(x) que passa per un punt (x0; y0 ) donat, i una de sola. El problema amb que ens trobem es que, encara que la solucio existeix, es impossible, en general, calcular-la de forma exacta. Amb aixo volem dir que no es pot expressar y(x) en termes de funcions elementals. Tambe pot ser que sigui possible trobar y(x) exactament en termes de funcions elementals, pero que el calcul depengui de ser capac d'esbrinar un canvi de variables forca enredat, de manera que, a la practica, sobretot des del punt de vista de l'enginyer amb presses, estem com en el cas anterior. De fet, les equacions diferencials que se saben resoldre exactament son les lineals de primer ordre, les lineals d'ordre qualsevol amb coe cients constants, algunes lineals d'ordre dos amb coe cients variables i algunes (poqussimes) de no lineals. Els dos darrers tipus son tan excepcionals que porten el nom de qui les va estudiar i resoldre per primera vegada. El fet, pero, es que quan s'estudia un problema d'enginyeria o cient c amb un cert detall i no es fan les simpli cacions habituals dels llibres de text, simpli cacions que son les que s'ensenyen als estudiants de primer i segon cicle, s'acostuma a acabar amb una equacio o sistema d'equacions del tipus de les que no se saben resoldre exactament. Per exemple, les equacions que descriuen un motor sncron d'imant permanent amb distribucio sinusodal de ux son [MT95] dÆ = ! dt d! = Km ia sin(pÆ) + Km ib cos(pÆ) F ! TL dt J J J J dia = R ia + Km ! sin(pÆ) + ua dt L L L dib = R i Km ! cos(pÆ) + ub (2.74) dt Lb L L que es un sistema de quatre equacions per a les variables Æ (posicio angular del rotor), ! (velocitat angular del rotor), ia i ib (components de la intensitat de l'estator). Els voltatges de l'estator, ua i ub , son variables de control, i la resta de coe cients son parametres del motor. Aquestes equacions son clarament no lineals, ja que contenen funcions no lineals de les variables (els sinus i cosinus), i a la segona equacio aquestes encara estan multiplicades per les intensitats. Aquest sistema d'equacions diferencials no se sap resoldre exactament. Un exemple mes familiar es el del pendol simple de la gura 2.12. El moment del pes respecte al punt de suspensio es mgl sin i, per tant, l'equacio del moviment per a es ml2 = mgl sin o g = sin ; (2.75) l que es una EDO no lineal de segon ordre per a (t). L'aproximacio habitual als llibres de fsica elemental es suposar que l'angle es petit (en radians!) de manera que sin ; © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.5 Solucio aproximada d'equacions diferencials
71
l
θ l sin θ
m
mg
Figura 2.12: El pendol simple. i llavors (2.75) se substitueix per
=
g ; l
que es una equaci o lineal tipus onic, la solucio general de la qual es pot expressar q q oscillador harm g g en termes de sin l t i cos l t. L'aproximacio efectuada, sin , sols es raonablement valida si 10Æ 0:2 rad. Si es vol obtenir una solucio del problema real valida per a qualsevol angle s'ha de treballar amb (2.75). Aquesta es, pero, una equacio diferencial que no se sap integrar exactament en termes de funcions elementals, malgrat que hi ha una solucio per a qualsevol parell de condicions inicials (0), _(0).6 Aquest i molts d'altres exemples mostren una de les situacions mes habituals de l'aplicacio de les matematiques a la ciencia i la tecnica: es te un problema correctament plantejat en llenguatge matematic, i ns i tot se sap que el problema te solucio, pero no hi ha manera de calcular-la de forma exacta. La resposta a aquesta situacio es la utilitzacio de metodes aproximats, que generalment s'engloben sota la denominacio de metodes numerics. Per al cas d'equacions diferencials, els metodes numerics mes habituals permeten, donada una equacio diferencial i unes condicions inicials concretes, calcular aproximadament la solucio per a un valor posterior concret de la variable independent. L'equacio diferencial no ha de contenir, tampoc, cap parametre sense valor xat. Per exemple, te sentit plantejar-se la resolucio numerica de l'equacio diferencial = 3sin amb (0) = 2, _(0) = 0, amb l'objectiu de calcular aproximadament (2). Els metodes numerics, En realitat, la solucio general de (2.75) es por expressar en termes de les anomenades funcions ellptiques, pero no se les acostuma a considerar funcions elementals. Vegeu, per exemple, la seccio 1.2.d de [Tab89]. 6
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
72
Equacions diferencials
4
y(x) 2
–4
–2
0
2
x
4
–2
–4
Figura 2.13: Camp de direccions corresponent a y0 = x sin y. No s'ha dibuixat la xarxa de nodes. pero, no tenen sentit si l'equacio diferencial es = sin i no coneixem el valor d', o si (0) = a i no sabem quant val a. Si podem aplicar els metodes numerics, podem calcular (t) per a diversos valors concrets de t sempre a partir de la mateixa condicio inicial, i llavors fer-nos una idea de la forma de (t) per la condicio inicial donada. Veurem aqu un parell de metodes aproximats molt simples per a equacions diferencials: el metode del camp de direccions i el metode d'Euler. No s'utilitzen a la practica, pero illustren les idees basiques. El metode del camp de direccions es, de fet, un procediment gra c, i sols pot emprar-se per a EDO de primer ordre, de la forma y0 = f (x; y): (2.76) La idea essencial es quadricular el pla XY amb una xarxa regular i, a cada node, dibuixar una
etxa de longitud xada i inclinacio igual al valor del membre dret de (2.76) corresponent al punt donat. Per exemple, si (1; 3) son les coordenades d'un node de la xarxa, en aquest punt dibuixarem una etxa de longitud 1 (aixo es arbitrari) i inclinacio , de manera que tan = f (1; 3): Aixo ho farem per cada node de la xarxa i obtindrem un camp de direccions com el que apareix a la gura 2.13. S'ha d'escollir el valor de la longitud (constant) de les etxes tenint en compte la separacio entre nodes, de manera que no hi hagi superposicio. Qualsevol corba y(x) solucio de (2.76) es tal que a cada punt (x; y) te pendent donada per f (x; y), pero aquesta es, per © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.5 Solucio aproximada d'equacions diferencials
73
5
4
3 y(x) 2
1
–4
–2
2
x
4
–1
Figura 2.14: Solucio de y0 = x sin y amb y(0) = 1. S'han representat valors positius i negatius de x. construccio, la inclinacio que te la etxa del camp de direccions corresponent a aquell punt. Per tant, qualsevol solucio \segueix" les etxes del camp de direccions. Llavors, donada una condicio inicial qualsevol, el que hem de fer es, a partir del punt de la condicio inicial, dibuixar un segment en la direccio de la etxa que tenim en aquest punt (o una etxa propera si la condicio inicial no es correspon amb cap node de la xarxa). Aquest segment el fem prou llarg ns que arribem a la vora d'una altra etxa, i llavors canviem la direccio i dibuixem un altre segment. Aquest procediment es va repetint ns que arribem al valor de la coordenada x que ens interessa. Un exemple amb una condicio inicial que surt de (0; 1) per a l'equacio diferencial y0 = x sin y es pot veure a la gura 2.14. La solucio ve de y = per x negatius, passa per la condicio inicial (0; 1) i torna a tendir cap a y = per a x positiu i gran. Fixem-nos que, en la recta y = , les etxes son horitzontals, ja que si y = l'equacio diferencial que tenim ens diu que y0 = x sin = x 0 = 0. Cal notar tambe que, dels dos possibles angles que tenen la mateixa tangent, s'escull el que correspon a la branca principal de l'arctangent, es a dir, si en un punt donat tan (x; y) = f (x; y) s'agafa (x; y) 2 [ =2; =2]. Aixo es tradueix en que les etxes poden apuntar amunt o avall, pero sempre cap a la dreta. Podeu consultar el captol I de [NS92] per a mes exemples de camps de direccions i per a la descripcio del metode de les isoclines que, en certs casos, permet estalviar feina de calcul de les inclinacions de les etxes del camp. El metode del camp de direccions es aproximat, essencialment perque, d'entrada, pot ser que no haguem dibuixat cap etxa exactament en el punt on tenim la condicio inicial (aixo se soluciona facilment dibuixant una etxa extra per a la nostra condicio inicial); la causa essencial d'error es, pero, que no esta clar quan estem prou a prop de la etxa seguent per comencar © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
74
Equacions diferencials
error
y = y 0 + f(x 0, y 0) ∆x 1
∆x tan ϕ = f(x 0, y 0) ∆x
ϕ
y0
∆x
x
0
x + ∆x = x 0
1
Figura 2.15: El primer pas del metode d'Euler. a dibuixar el segment seguent, i que entre etxa i etxa aproximem l'autentica solucio per un segment rectilini. El metode permet, pero, veure d'una ullada quin sera el comportament general de les solucions en la regio que tenim en compte. Per exemple, observant la gura 2.13 es pot veure que totes les condicions inicials de la forma (0; y0 ) amb 0 < y0 < donen solucions que acaben tendint cap a y = per a x prou gran, encara que no sapiguem exactament la forma de les corbes (de fet, y0 = x sin y es de variables separables i podem calcular la forma exacta). El metode d'Euler es un metode purament numeric, i de fet es el mes simple de tots. Essencialment, es una traduccio numerica del metode del camp de direccions. En ser numeric, pero, te l'avantatge que es pot estendre per tractar equacions diferencials de qualsevol ordre. La gura 2.15 ens mostra una de les etxes del camp de direccions, la corresponent a la condicio inicial, on la longitud s'ha escollit de manera que la projeccio horitzontal val x. Com abans, si l'equacio diferencial es y0 = f (x; y), tindrem que tan = f (x0; y0): La corba solucio que passa per (x0 ; y0 ) es pot aproximar pel segment de recta que coincideix amb la etxa i, en principi, cal esperar que l'error sigui mes petit com mes petit sigui x. El metode d'Euler consisteix precisament a menysprear aquest error i escriure y(x0 + x) y0 + f (x0 ; y0 )x y1 : El punt on arribem, l'extrem de la etxa, te coordenades x1 = x0 + x; y1 = y0 + f (x0 ; y0 )x: © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.5 Solucio aproximada d'equacions diferencials
75
y ( xf ) error total yf
x
0
x
1
x
2
x N- 1 x N =xf
x3
Figura 2.16: Aproximacio d'Euler a la solucio. Com que, en general, haurem d'agafar x per tal que l'error sigui petit, el mes segur es que x1 estigui encara lluny del valor de x pel qual volem calcular la solucio. Podem, pero, repetir el proces dibuixant una altra etxa en el punt (x1; y1 ) amb inclinacio f (x1; y1) i saltar ns a un punt (x2; y2 ) donat per x2 = x1 + x; y2 = y1 + f (x1 ; y1 )x: El proces es repeteix ns que arribem al punt nal. Tot l'algorisme es pot expressar de forma molt simple. Suposem que el punt on volem calcular y(x) es x = xf . Dividim [x0; xf ] en N intervals iguals, amb N prou gran de manera que h x =
xf
N
x0
sigui prou petit. Llavors es calculen els punts amb l'algorisme recursiu xi = xi 1 + h; yi = yi 1 + hf (xi 1 ; yi 1 ); (2.77) per a i = 1; : : : ; N , comencant amb (x0 ; y0) i arribant al valor nal (xN = xf ; yN = yf ), on yf ens proporciona l'aproximacio, bona o dolenta, a y(xf ). Si dibuixem les parelles (xi ; yi) i les unim per segments obtindrem una lnia poligonal que sera una aproximacio a la gra ca y(x) de la solucio autentica que passa pel punt inicial, tal com mostra la gura 2.16. Fixem-nos que l'error es pot anar ampli cant a cada pas ja que, a mes que avancem sobre un segment i no sobre la solucio real, a sobre comencem cada pas, excepte el primer, en un punt que ja no esta sobre l'autentica solucio. Es pot pensar que una manera de fer l'error tan petit com vulguem es agafar h = x tan petit com sigui necessari. Aixo es cert sobre el paper. El problema es que, deixant a part que com mes petit sigui h mes passos haurem de fer per arribar al punt nal, els computadors i calculadores (i tambe els abacs!) representen els nombres reals amb un © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
76
Equacions diferencials
nombre nit de xifres. La consequencia es que cada vegada que s'efectua una operacio entre dos nombres reals, sobretot multiplicacions i divisions, es perd informacio i es comet un error. Per exemple, imagineu una CPU molt dolenta que sols pot utilitzar dues xifres per representar un nombre real. Llavors 2:1 2:4 = 5:04 pero la CPU no pot entendre el membre de la dreta i es queda amb 5:0, de manera que ja estem cometent un error de 0:04. Aixo no canvia pel fet d'utilitzar moltes mes xifres: una multiplicacio acostuma a produir nombres amb mes xifres de les que tenen els nombres que multipliqueu. Per exemple, moltes calculadores cient ques utilitzen 13 xifres per representar els reals. Llavors 2:2765271356 3:103736725 = 7:06574087622077491: El resultat de la dreta es exacte, pero te mes de 13 xifres i la calculadora fara 2:2765271356 3:103736725 = 7:065740876220; i cometra un error de 7 10 13 . Aixo es molt petit, pero aquests errors es van acumulant en un calcul llarg i si feu moltes operacions, que es el que passara si agafeu h molt petit i per tant N molt gran, podeu acabar amb un error important. Aquest tipus d'error, degut a la representacio nita dels nombres reals, s'anomena error d'arrodononiment, i depen de la maquina que empreu. L'altre tipus d'error, provocat pel fet que s'utilitza un metode aproximat, en el cas del metode d'Euler substituir la solucio autentica per segments de recta, s'anomena error de truncament, i es independent de la maquina: cada metode numeric te el seu error de truncament. Els dos tipus d'error s'in ueixen, pero, mutuament. Per exemple, en el metode d'Euler, si disminum h tambe es fara mes petit l'error de truncament pero, tal com hem indicat, augmentara l'error d'arrodoniment; alhora, un error d'arrodoniment en la condicio inicial fara que no comencem exactament on haurem de fer-ho i aquest error inicial s'ampli cara per l'error de truncament. L'objectiu de la branca de les matematiques anomenada analisi numerica es estudiar i dissenyar algorismes numerics on s'entengui be com es propaguen i interactuen els errors, i que permetin arribar al resultat desitjat amb un error preestablert i amb el mnim d'esforc. Si consultem algun llibre d'analisi numerica, trobarem formules que donen una ta superior de l'error de truncament per al metode d'Euler, en funcio del pas d'integracio h i d'alguna informacio sobre la funcio f (x; y). A la practica, el metode d'Euler no s'utilitza, pero si l'empreu, el que es pot fer es el seguent: comencem amb un pas determinat, per exemple (xf x0 )=5, i calculem yf . Repetim el calcul amb un pas la meitat de l'anterior i comparem el nou yf amb el primer. Si ha variat molt, tornem a dividir el pas i repetim el calcul. Aquest proces se segueix ns que un cert nombre de xifres queden xades al llarg de, diguem-ne, tres execucions consecutives de l'algorisme. Aquestes xifres es poden considerar com a \segures" i si estem contents amb la precisio obtinguda eliminem les xifres que segueixen i ens aturem aqu. Illustrem-ho amb l'EDO y0 = xy2 amb la condicio inicial y(0) = 1. Aquesta es una EDO de variables separables i podem, de fet, calcular la solucio exacta i comparar-la amb la numerica. Tenim Z 1 dy = Z x dx; y2 d'on 1 = x2 + C; y 2 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.5 Solucio aproximada d'equacions diferencials
es a dir, Si imposem y(0) = 1 obtenim
y(x) =
77
x2
2
1 : +C
1 = 0 +1 C d'on C = 1 i ens resulta la solucio particular 2 y(x) = 2 x2 : Si, per exemple, volem calcular y(0:5), sera 2 y(0:5) = 2 (0:5)2 1:1428: Aquest es un resultat \exacte" que podrem comparar amb els valors yf del metode d'Euler. Escollim un pas inicial 0:5 0 = 0:1: h= 5 Comencant amb x0 = 0, y0 = 1 anem obtenint x1 = x0 + h = 0 + 0:1 = 0:1 y1 = y0 + hx0 y02 = 1 + 0:1 0 12 = 1:0 x2 = x1 + h = 0:1 + 0:1 = 0:2 y2 = y1 + hx1 y12 = 1 + 0:1 0:1 1:02 = 1:01 x3 = x2 + h = 0:2 + 0:1 = 0:3 y3 = y2 + hx2 y22 = 1:01 + 0:1 0:2 (1:01)2 = 1:030402 x4 = = 0:4 y4 = = 1:062253848 x5 = = 0:5 y5 = = 1:107389178 La nostra aproximacio per a y(0:5) = 1:1428 es y5 = 1:1073, que representa un error de quasi el 50%. Si repetim tot el proces amb N = 10, N = 20, N = 40, N = 80 i N = 160 obtenim N = 10 y10 = 1:1244 N = 20 y20 = 1:1334 N = 40 y40 = 1:1380 N = 80 y80 = 1:1404 N = 160 y160 = 1:1416 que ja es prou a prop del resultat obtingut analticament. Fixem-nos que, encara que no sabessim el resultat exacte, el fet que per a N = 40, N = 80 i N = 160 obtinguem, arrodonint a les centesimes, yf 1:14 ens permet quasi assegurar que y(0:5) 1:14 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
78
Equacions diferencials
amb totes les xifres correctes, es a dir, amb un error menor que 10 2 . Fer el calcul a ma per a N = 160 es un castig considerable. Un tros de codi de MapleV que implementa el metode d'Euler per al nostre problema es el seguent: > > > > > >
N:=10;x0:=0;y0:=1;h:=(0.5-0)/N; for i from 1 to N do x1:=x0+h: y1:=y0+h*x0*y0^2: x0:=x1:y0:=y1:print(x0,y0); od:
:= 10 x0 := 0 y0 := 1 h := :05000000000 :05000000000; 1 :1000000000; 1:002500000 :1500000000; 1:007525031 :2000000000; 1:015138331 1:025443389 :3000000000; 1:038587566 :3500000000; 1:054767528 :4000000000; 1:074236882 :4500000000; 1:097316580 :5000000000; 1:124408913 i sols cal anar canviant el valor de N . Tal com hem indicat, el metode d'Euler permet integrar EDO de qualsevol ordre. Cal, pero, convertir primer l'EDO d'ordre superior en un sistema equivalent d'EDO de primer ordre. Aquest es, de fet, un pas que cal fer sigui quin sigui el metode que utilitzem per integrar numericament una EDO d'ordre superior. Per no carregar massa la notacio, ho illustrarem amb EDO de segon ordre. Sigui y00 = f (x; y; y0 ): (2.78) Si de nim v = y0 tindrem dy0 = dv = v0 = f (x; y; v): y00 = dx dx N
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.5 Solucio aproximada d'equacions diferencials
79
Obtenim d'aquesta forma el parell d'equacions de primer ordre y0 = v v0 = f (x; y; v); (2.79) que son equivalents a l'equacio de segon ordre (2.78). Les condicions inicials per a l'equacio original, y(0) = y0 ; y0 (0) = y00 ; es tradueixen en y(0) = y0 ; v(0) = y00 v0 per a (2.79). Ara podem aplicar el metode d'Euler a (2.79), tenint en compte que a cada pas hem de calcular la nova x, la nova y i la nova v, en lloc de calcular nomes la nova x i la nova y: xi = xi 1 + h; yi = yi 1 + hvi 1 ; vi = vi 1 + hf (xi 1 ; yi 1 ; vi 1 ); (2.80) per a i = 1; : : : ; N i comencant amb x0 , y0, v0. El valor nal yN ens dona una aproximacio a y(xf ). Fixem-nos que, a part del calcul trivial xi = xi 1 + h, els nous valors yi, vi es calculen afegint a yi 1, vi 1 els membres drets de (2.79) avaluats en xi 1, yi 1, vi 1 i multiplicats pel pas h. Tenint en compte aixo es facil veure com s'hauria d'integrar un sistema d'ordre qualsevol pel metode d'Euler. Com a exemple, sigui l'equacio de tipus pendol y00 = sin y; on y representaria l'angle, la derivacio seria respecte al temps i v = y0 seria la velocitat angular. Siguin les condicions inicials y(0) = =2, y0 (0) = 0, que impliquen que suposem que el pendol parteix del repos des d'una posicio horitzontal. El sistema de segon ordre equivalent es y0 = v; v0 = sin y; amb y(0) = =2 i v(0) = 0. Imaginem-nos que volem calcular y(1), per exemple, la posicio angular transcorreguda una unitat de temps. Emprem Euler comencant amb N = 10. El codi per fer-ho amb MapleV es > > > > > > >
N:=10;x0:=0;y0:=evalf(Pi/2);v0:=0;h:=(1.0-0)/N; for i from 1 to N do x1:=x0+h: y1:=y0+h*v0: v1:=v0-h*sin(y0): x0:=x1:y0:=y1:v0:=v1:print(x0,y0,v0); od:
N
:= 10
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
80
Equacions diferencials
:= 0 y0 := 1:570796327 v0 := 0 h := :1000000000 :1000000000; 1:570796327; :1000000000 :2000000000; 1:560796327; :2000000000 :3000000000; 1:540796327; :2999950000 :4000000000; 1:510796827; :3999500034 :5000000000; 1:470801827; :4997700604 :6000000000; 1:420824821; :5992705318 :7000000000; 1:360897768; :6981480654 :8000000000; 1:291082961; :7959532710 :9000000000; 1:211487634; :8920667322 1:000000000; 1:122280961; :9856807452 x0
i veiem que
y10 = 1:12228 v10 =
0:98568: Si posem N = 20, N = 40 i N = 80 obtenim, respectivament, y20 = 1:09835 ; v20 = 0:98101; y40 = 1:08656 ; v40 = 0:97837; y80 = 1:08972 ; v80 = 0:97696: De fet, el resultat \exacte", obtingut amb altres metodes numerics mes potents, es y(1) = 1:07491 v(1) = 0:97551; de manera que amb N = 80 tenim un error de prop de 0:015rad 1Æ en l'angle i una cosa semblant per a la velocitat angular. Si no haguessim emprat el metode numeric i haguessim efectuat la simpli cacio sin y y, que en proporciona l'equacio tipus oscillador harmonic y00 = y; (2.81) obtindrem, amb les condicions inicials amb que treballem, un resultat molt pitjor, malgrat que podem escriure la solucio exacta de (2.81). Aixo es logic ja que l'angle inicial, =2, esta molt lluny de satisfer sin 2 2 . En efecte, la solucio general de (2.81) es y(x) = C1 sin x + C2 cos x: © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.6 Eines de software
81
Per imposar les condicions inicials tambe necessitem y0 (x) = C1 cos x C2 sin x: Les condicions y(0) = =2, y0(0) = 0 imposen 2 = C1 sin0 + C2 cos 0; 0 = C1 cos0 C2 sin0; d'on C1 = 0 i C2 = =2. La solucio particular exacta del problema simpli cat es aix y(x) = cos x 2 i llavors y(1) = cos 1 0:8487: 2 Aixo es molt pitjor que Euler amb N = 10 (de fet, es pitjor que Euler amb qualsevol N mes gran o igual que 3). Fixem-nos que el resultat exacte del problema simpli cat ens diu que en una unitat de temps el pendol ha baixat des de la posicio horitzontal ns un angle de 0:8487rad 48:6Æ mentre que Euler amb N = 10 ens diu que ha baixat nomes ns a 1:12228rad 64:3Æ , en que el resultat exacte ha baixat ns a 1:07491rad 61:6Æ . La conclusio es que moltes vegades sobretot si es volen resultats quantitatius, val mes emprar una aproximacio numerica amb el model correcte que no pas una solucio exacta d'un model aproximat. Tal com hem dit, el metode d'Euler no s'utilitza a la practica ja que cal fer molts passos per obtenir una precisio raonable i, a mes, des del punt de vista de l'analisi numerica es poc satisfactori pel que fa al control de l'error. Els algorismes que s'usen de veritat responen a noms com Runge-Kutta78 o Bulirsch-Stoer, entre molts altres. Aquests metodes utilitzen tecniques avancades per ajustar l'error dins de lmits pre xats, com ara anar canviant el pas d'integracio al llarg del propi algorisme segons quins siguin els resultats que ell mateix va produint. El fet mes important que el inexpert ha de tenir en compte es que un metode molt so sticat que va molt be per a certes equacions pot fracassar miserablement en d'altres i donar resultats totalment incorrectes. Generalment, l'enginyer usa un d'aquests algorismes com una caixa negra i no es preocupa gaire de com funciona, i es creu els resultats que proporciona. Aixo pot ser molt perillos pel que acabem de dir, i es prudent exercir una mica d'escepticisme davant del resultat d'una integracio numerica. Per comencar, es convenient analitzar, segons l'experiencia amb el mon real o amb altres models similars, si el resultat que s'obte es raonable. Si se sap que un mecanisme determinat efectua un moviment en un temps de prop d'un segon i la simulacio indica que el temps es de cinc segons vol dir que alguna cosa esta malament.7 Si el resultat es raonable, cal fer algunes comprovacions, com canviar lleugerament les condicions inicials o el pas d'integracio (si l'algorisme us deixa) i veure si s'obte alguna cosa consistent. Per a mes informacio podeu consultar [ABD91], [SB80] o [PC89]. 2.6 Eines de software Les eines de software que es poden emprar per tractar problemes d'equacions diferencials son tant de caire numeric com simbolic. Des d'un punt de vista numeric, l'enginyer acostuma a Pot ser que el culpable no sigui el metode numeric, sino que l'equacio diferencial que esteu integrant no representi massa be el model fsic, pero aixo es un altre problema; si en lloc de cinc segons obteniu cinc minuts llavors el problema es mes senzill: us heu equivocat entrant les dades . 7
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
82
Equacions diferencials
utilitzar rutines escrites en llenguatge C o Fortran, que es compilen amb el programa que conte la descripcio concreta de l'equacio diferencial i les funcions d'entrada i sortida. Podeu consultar [PFTV88] per a una introduccio als metodes mes habituals, i si voleu trobar els algorismes en codi font i/o compilats podeu visitar http://www.netlib.org. No entrarem aqu en la descripcio de les moltes llibreries de rutines que s'utilitzen a la practica, sino que mostrarem com es poden fer les coses amb MapleV que, a mes, permet efectuar integracions exactes quan aixo es possible. Una alternativa d'alt nivell si sols volem resultats numerics o gra cs es emprar Matlab en combinacio o no amb Simulink; vegeu [LP95]. En MapleV la instruccio fonamental es dsolve, que permet tant una solucio numerica com una d'exacta. Un parell d'exemples de calcul de la solucio general d'EDO de primer i segon ordre ho aclarira: >
ode1:=diff(y(x),x)-x^ 3*y(x)^2;
ode1
@ := ( @x y(x))
x3 y(x)2
>
dsolve(ode1);
>
ode2:=3*diff(y(x),x$2)+2*diff(y(x),x)+y(x)=exp(-3*x);
y(x) = 4 x4 14
ode2
C1
2
@ @ ( := 3( @x 2 y(x)) + 2( @x y(x)) + y(x) = e
>
dsolve(ode2);
>
ode3:=(D@@3)(y)(x)+y(x)=1;
3 x)
p p y(x) = 221 e( 3 x) + C1 e( 1=3 x) cos( 31 2 x) + C2 e( 1=3 x) sin( 31 2 x) Encara que MapleV escrigui el smbol de derivada parcial, sols hi ha una variable independent, x. Nomes assenyalar que la derivada primera de y0(x) s'escriu diff(y(x),x), i la derivada segona y00 (x) diff(y(x),x$2) o, alternativament, diff(y(x),x,x). Les constants d'integracio es designen com C 1, C 2, etc. La derivada tambe es pot representar amb l'operador simbolic D: y 0 (x) es D(y)(x) i y 00 (x) es (D@@2)(y)(x). Per exemple, per trobar la solucio general de y000 + y = 1 escriurem ode3
:= (D(3) )(y)(x) + y(x) = 1
>
dsolve(ode3);
>
ode4:=(D@@2)(y)(x)+4*D(y)(x)=x*sin(x);
p p y(x) = 1 + C1 e( x) + C2 e(1=2 x) cos( 12 3 x) + C3 e(1=2 x) sin( 21 3 x) Si volem calcular una solucio particular podem passar a dsolve les condicions inicials, pero ara caldra, a mes, dir-li quina es la variable dependent i quina la independent, afegint y(x) al nal: >
ode4
:= (D(2) )(y)(x) + 4D(y)(x) = x sin(x)
dsolve(fode4,y(0)=3,D(y)(0)=-2g,y(x));
76 sin(x) 4 x cos(x) 2 cos(x) 1 x sin(x) + 5 + 293 e( y(x) = 289 17 289 17 2 578 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
4 x)
2.6 Eines de software
83
Els sistemes d'equacions se solucionen de la mateixa manera. Cal, pero, donar en tots els casos la llista de variables, tant si volem solucio particular com si no: >
ode1:=D(y1)(x)=y1(x)-3*y2(x)+2;
ode1 >
:= D(y1 )(x) = y1(x) 3y2(x) + 2
ode2:=D(y2)(x)=-2*y1(x)-y2(x);
ode2 >
dsolve(fode1,ode2g,fy1(x),y2(x)g);
1 C2 p7 e(p7 x) 7 14 p7 x) 1 p ( p7 x) 1 p p 4 1 ( 7 x ) ( C2 7 e + 2 C2 e + 7 ; y1(x) = 2 C1 e + 14 C1 7 e( 7 x) p p p 1 3 C2 p7 e(p7 x) + 3 C2 p7 e( p7 x) 2 g C1 7 e( 7 x) + C1 e( 7 x) 2 14 14 7
fy2(x) = 17
+ 141 1 14
>
:= D(y2 )(x) = 2y1(x) y2(x)
C1
p (p7 x) 1 7e +
C1
p ( p7 x) 1 7e +2 p
C2 e(
p
7 x)
dsolve(fode1,ode2,y1(0)=1,y2(0)=0g, fy1(x),y2(x)g);
p p p p p p fy2(x) = 71 7 e( 7 x) + 71 7 e( 7 x) 72 e( 7 x) 72 e( 7 x) + 47 ; p p p p p p y1(x) = 149 e( 7 x) + 143 7 e( 7 x) 143 7 e( 7 x) + 149 e( 7 x) 27 g
Ara proposem a MapleV una equacio que no te solucio exacta:
>
ode:=(D@@2)(y)(x)-y(x)^2*x=sin(x);
ode >
:= (D(2) )(y)(x) y(x)2 x = sin(x)
dsolve(ode);
MapleV ha respost amb una ratlla en blanc, que vol dir que no ha trobat la solucio. Haurem d'optar per metodes numerics, donant una condicio inicial i deixant, en principi, que tri ell el metode: >
ode:=(D@@2)(y)(x)-y(x)^2*x=sin(x);
ode >
:= (D(2) )(y)(x) y(x)2 x = sin(x)
sol:=dsolve(fode,D(y)(0)=1,y(0)=2 g,y(x),type=numeric);
:= proc(rkf45 x ) : : : end dsolve contesta dient simplement que ha utilitzat un algorisme determinat per la resolucio numerica. Podem llavors interrogar-lo sobre el valor de la solucio en un punt concret (ens contesta donant x, y(x) i y0 (x) en el punt) i, carregant primer el paquet plots, tambe podem dibuixar la solucio sobre un interval donat. sol
>
sol(0.6);
[x = :6; y(x) = 2:834142443769073;
@ y(x) = 2:297725874110382] @x
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
84
Equacions diferencials
>
with(plots):
>
odeplot(sol,[x,y(x)],-0.5..0.5);
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
Carregant primer DEtools podeu obtenir camps de direccions amb DEplot, i camps de direccions amb algunes solucions particulars superposades amb phaseportrait:
>
with(DEtools):
>
DEplot(diff(y(x),x)=y(x)+sin(y(x)),y(x),x=-5..5,y=-5..5);
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.6 Eines de software
85
4
y(x) 2
–4
0
–2
2
x
4
–2
–4
>
phaseportrait(diff(y(x),x)=1+x+y(x)-2*y(x)^2,y(x),x=-2..2, \
>
[[y(0)=0],[y(0)=1],[y(0)=-1],[y(0)=2],[y(0)=-2]],\
>
colour=magenta,linecolor=blue,dirgrid=[30,30],stepsize=0.01,y=-3..3);
3
2 y(x) 1
–2
–1
0
1
x
–1
–2
–3
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2
86
Equacions diferencials
2.7 Teoremes d'existencia i unicitat Tots els problemes d'equacions diferencials amb condicions inicials que hem vist ns ara tenien solucio unica, i aquesta es podia calcular exactament o per metodes numerics. Considerem, pero, x2 y0 = y; amb condicio inicial y(0) = 1. L'equacio es de variables separables i tenim Z 1 dy = Z 1 dx + C
d'on i, nalment, la solucio general es
x2
y
log jyj = x1 + C jy(x)j = e x +C ;
(2.82) on el valor absolut se soluciona segons quin sigui el signe de la condicio inicial per a y. Resulta, pero, que no podem imposar y(0) = 1, ja que ens queda 1 = e +C = e 1 = 0: Tenim aix que cap membre de la famlia (2.82) no passa pel punt (0; 1). En realitat, cap membre de la famlia de corbes solucio no passa per cap punt de la forma (0; y0 ) amb y0 6= 0. A la gura 2.17 hem dibuixat algunes corbes de (2.82), amb el dos signes possibles en cada cas, per a diferents valors de C . Fixem-nos que totes les corbes passen per (0; 0) acostant-se per la dreta, i llavors salten cap a +1 o 1. Sigui ara y0 = 3y2=3 ; (2.83) amb la condicio inicial y(0) = 0. Com que es de variables separables tindrem que es immediat obtenir la solucio general y(x) = (x + C )3 : (2.84) Imposant la condicio inicial queda 0 = (0 + C )3, d'on C = 0 i obtenim la solucio particular y(x) = x3 : (2.85) Tenim, per tant, una solucio que passa pel punt que volem i sembla que no hi ha cap problema. Sigui, pero, la recta ys(x) = 0: (2.86) Per substitucio directa es veu que ys(x) es solucio de (2.83) i satisfa la condicio inicial ys(0) = 0. A mes, no hi ha cap valor de C que ens doni ys(x) a partir de la solucio general (2.84). Aquest darrer fet indica que ys(x) es el que s'anomena una solucio singular de (2.83). El fet important es que tenim dues solucions de (2.83) que passen pel punt (0; 0). En realitat, per qualsevol punt de la forma (x0 ; 0) hi passen dues solucions: una que s'obte de (2.84) i ys(x), tal com mostra la gura 2.18. Tenim, per tant, la situacio contraria de l'exemple anterior: mentre que en aquell 1
1 0
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.7 Teoremes d'existencia i unicitat
87
4
2
–2
–1
0
1 x
2
–2
–4
Figura 2.17: Diverses solucions particulars de x2y0 = y. exemple no passava cap solucio pel punts de la forma (0; y0 ) amb y0 6= 0, aqu pel punt (x0 ; 0), amb x0 qualsevol, hi passen dues solucions. Qualsevol de les dues situacions es estranya des del punt de vista de les aplicacions a l'enginyeria: si tenim una equacio diferencial que representa correctament un problema ben plantejat, esperem que, donada una condicio inicial determinada, el sistema evolucioni segons una solucio i una de sola, perque aixo es precissament el que fara el circuit electric, estructura mecanica o reaccio qumica que estem estudiant. E s interessant, per tant, disposar d'un criteri que, nomes examinant l'equacio diferencial, ens digui quan ens podem trobar amb aquesta situacio: seria una perdua de temps que intentessim, per exemple, calcular numericament la solucio d'un sistema molt complicat si resulta que aquesta solucio no existeix; encara pitjor, pot ser que la solucio no existeixi i l'algorisme numeric \se n'inventi" una. Per a EDO de primer ordre el resultat fonamental es: Teorema 2.1 (teorema d'existencia i unicitat de solucions d'EDO d'ordre 1) Considerem l'equacio diferencial en forma normal
y0 = f (x; y)
(2.87)
amb la condicio inicial y(x0 ) = y0 . Suposem que existeixi un rectangle obert
R = (a; b) (; ) R2 ; on contnues. Aleshores existeix una unica solucio tal que (x0 ; y0 ) 2 R, on f (x; y) i @f @y (x; y ) hi s y(x) de (2.87) que passa pel punt (x0 ; y0 ). A mes, es pot assegurar que aquesta solucio esta de nida, almenys, per a x 2 (x0 h; x0 + h) per algun h > 0.
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
88
Equacions diferencials
10 8 6 4 2
–4
0
–2
2
4
x
–2 –4 –6 –8 –10
Figura 2.18: Diverses solucions regulars de y0 = 3y2=3 i la solucio singular ys(x) = 0. La gura 2.19 illustra els elements del teorema. Cal indicar que el teorema dona condicions que ens asseguren que per un punt donat passa una solucio i una de sola. Si les condicions del teorema no se satisfan, el mes probable es que no tinguem cap solucio o que en tinguem mes d'una, pero tambe podria ser que en tinguessim nomes una. El teorema no sols ens respon el problema que tenem plantejat, veure \a ull" quan hi pot haver problemes, sino que, a mes, ens crida l'atencio sobre el fet que la corba solucio, encara que existeixi i sigui unica, pot ser que no s'estengui gaire lluny de x0 . Comentarem aixo de seguida, pero primer vegem que l'aplicacio del teorema als dos exemples que hem considerat ens indica que era normal esperar problemes. y 2 0 0 En el primer cas, x y = y, y(0) = 1, tenim que y = x2 , es a dir, y f (x; y) = 2 : x
Aquesta funcio no es contnua a x = 0. Per tant, donat un punt de la forma (0; y0 ) amb y0 qualsevol, no existira cap rectangle obert que el contingui i on f (x; y) sigui contnua. Per tant, no podem assegurar que per (0; y0 ) passi una solucio i sigui unica; de fet, hem vist que no hi ha cap solucio per (0; y0 ) amb y0 6= 0, mentre que per (0; 0) n'hi ha in nites, cap de les quals, pero, s'esten a l'esquerra de x = 0. En el segon exemple tenem f (x; y) = 3y ; que es una funcio contnua a tot el pla, pero @f (x; y) = 2y = p2 2 3
@y
1 3
3
y
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.7 Teoremes d'existencia i unicitat
89
β y0
R
α
a
x 0-h
x 0 x 0+h
b
Figura 2.19: Per illustrar el teorema d'existencia i unicitat. no es contnua a y = 0. Si@ftenim una condicio inicial de la forma (x0 ; 0) no existira cap rectangle obert que la contingui on @y sigui contnua, i no podrem assegurar l'existencia i unicitat. L'analisi particular del problema ens ha indicat que es la unicitat la que falla. Expliquem la questio referent a l'interval on la solucio esta de nida. Normalment s'espera que la solucio d'una equacio diferencial evolucioni inde nidament. En realitat, aixo sols acostuma a passar amb equacions diferencials lineals amb coe cients no singulars. Certament, si x+4 ; x_ = t 1 s'espera que la solucio que passa per (0; 1) no es pugui portar ns a t = 1, ja que en aquest punt la derivada es fa in nita i probablement la corba \explota", saltant a l'in nit; de fet, no es pot aplicar el teorema d'existencia i unicitat amb t0 = 1 i cal esperar que cap solucio no passi per t = 1. El que resulta sorprenent es que les solucions de y0 = y2 + 1 (2.88) tambe explotin: a l'equacio diferencial@f no hi ha cap funcio que se'n vagi a l'in nit. Tenim, a mes, que tant f (x; y) = y2 + 1 com @y = 2y son contnues a tots els punts i, per tant, es pot assegurar que per cada punt del pla hi passa una solucio i una de sola. Calculem, pero, solucions de (2.88). Separant variables s'obte immediatament arctan y = x + C , d'on y(x) = tan(x + C ): Fixem-nos que no hi ha cap problema amb les diferents branques de l'arctangent, ja que nalment y(x) s'expressa en termes de la tangent, que es una funcio unvocament de nida. Sigui ara la solucio que passa per (0; 0). Tenim 0 = tan(0 + C ) © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
90
Equacions diferencials
d'on tan C = 0 i C = k, k 2 Z. Encara que tenim in nits valors de C , tots donen la mateixa funcio, ja que la tangent te perode : tan(x + ) = tan x: Per tant, no tenim cap problema amb la unicitat i, escollint per exemple C = 0, obtenim la solucio particular y(x) = tan x: Esta clar que aquesta solucio no val per a tot x, ja que la tangent \explota", per exemple, a x = 2 i x = 2 . Per tant, la solucio que passa per (0; 0) sols esta de nida a l'interval ( 2 ; 2 ). Encara que la tangent continua mes enlla d'aquests punts, ja no podem considerar-la, ni matematicament ni des del punt de vista de les aplicacions, com la mateixa corba: des d'un punt de vista matematic, una corba es quelcom continu, sense salts; des del punt de vista de les aplicacions, no podem esperar que una variable se'n vagi a l'in nit i torni i el sistema segueixi funcionant. El fet que la solucio que passa per (0; 0) s'acabi a x = 2 no vol dir que per x = 2 no passi cap solucio. Si, per exemple, posem la condicio inicial x( 2 ) = 0 tindrem d'on, per exemple, C =
0 = tan( 2 + C );
2
i la solucio particular es
y(x) = tan x
2
;
que, al seu torn, sols esta de nida a (0; ). El que hem vist en aquest exemple, solucions que exploten en temps nit, es forca frequent quan s'estudien equacions diferencials no lineals. Quan les solucions d'una equacio diferencial es poden estendre a tots els valors de la variable independent es diu que l'equacio diferencial es completa. Aix, y0 = 1 + y2 no es una EDO completa, mentre que y00 = sin y s que ho es. El teorema d'existencia i unicitat es pot generalitzar a EDO d'ordre superior i sistemes d'equacions. Com que qualsevol EDO o sistema d'EDO es pot posar com un sistema d'EDO de primer ordre, sols presentarem el d'aquest darrer cas: Teorema 2.2 (existencia i unicitat de solucions de sistemes d'EDO d'ordre 1) Sigui un sistema de n EDO de primer ordre en forma normal y10 y20
= = .. .
f1 (x; y); f2 (x; y);
= fn(x; y); on, per abreujar, escrivim y = (y1 ; y2 ; : : : ; yn ), i sigui la condicio inicial P0 = (x0 ; y10 ; y20 ; : : : ; yn0 ): yn0
Suposem que existeix un hiperrectangle obert
R = (a; b) (1 ; 1 ) (2 ; 2 ) (n ; n )
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2.7 Teoremes d'existencia i unicitat
91
que conte P0 i on totes les n funcions de n + 1 variables f1 (x; y), f2 (x; y), : : : ,fn (x; y) son contnues, i tambe ho son les n2 funcions de n + 1 variables
@f1 ; @y1 @f2 ; @y1
.. .
@f1 @f1 ; ::: ; ; @y2 @yn @f2 @f2 ; ::: ; ; @y2 @yn
@fn @fn @fn ; ; ::: ; : @y1 @y2 @yn
Aleshores podem assegurar que existeix una unica solucio que passa per P0 , i que es valida, al menys, en un obert (x0 h; x0 + h) per algun h > 0.
Per aclarir-ne la utilitzacio, sigui una EDO de segon ordre en forma normal y00 = f (x; y; y0 ): Ja hem vist que aixo es equivalent al sistema de dues EDO de primer ordre y0 = v; v0 = f (x; y; v): Podem aplicar el teorema amb y1 = y, y2 = v, f1(x; y1 ; y2 ) = y2 i f2(x; y1 ; y2) = f (x; y1 ; y2). Tant f1 com les seves derivades parcials son contnues a tot arreu; sols cal considerar, per tant, @f2 (x; y1 ; y2); @y1
f2 (x; y1 ; y2 );
@f2 (x; y1 ; y2 ); @y2
que son les funcions que s'ha de veure si son contnues en un obert al voltant de la condicio inicial. En termes de l'equacio de segon ordre original, les funcions que han de ser contnues son f (x; y; y0 );
Aix, si o, en forma normal,
@f (x; y; y0 ); @y
@f (x; y; y0 ): @y0
y0 y00 = (y + 1) 3 sin x 1
(y + 1) 3 y00 = y0 1
sin x f (x; y; y0); no podem assegurar l'existencia i unicitat si y0(x0 ) = 0, ja que f (x; y; y0) no es contnua a y0 = 0, ni tampoc si y(x0) = 1, ja que @f sin x 1 = 0 @y 3y (y + 1)2=3 no es contnua a y = 1.
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3 Equacions diferencials lineals Les equacions diferencials lineals son les EDO mes importants. De forma frequent i espontania sorgeixen en la formulacio matematica de problemes fsics i tecnics. En primer lloc resoldrem les EDO lineals d'ordre 1. A continuacio estudiarem de forma general les propietats de les solucions d'EDO d'ordre 2, per passar a resoldre'n nomes les anomenades EDO lineals a coe cients constants. Per aprofondir mes en el tema o veure la generalitzacio a equacions d'ordre superior, podeu consultar [NS92, Bra90, BD98]. 3.1 EDO lineals de primer ordre Segons la de nicio donada en el captol anterior podem dir que una equacio diferencial lineal d'ordre 1 es tota relacio entre una funcio incognita y, la seva derivada primera y0 i la variable independent x, que es pot escriure de la forma y0 + p(x)y = q(x):
(3.1) Suposarem en tot el captol que les funcions p(x) i q(x) son funcions contnues 8x 2 I , I un interval obert de R, ja que aixo es su cient per assegurar-nos l'existencia i la unicitat de la solucio, donada una condicio inicial, segons el teorema (2.1) vist en el captol anterior. Per exemple l'equacio y0 + y sin x = sin x x
(3.2)
y0 + p(x)y = 0,
(3.4)
es una equacio diferencial lineal d'ordre 1, ja que multiplicant per x, x 6= 0 s'obte y0 + yx sin x = x sin x, (3.3) d'on resulta p(x) = q(x) = x sin x. La diferencia entre l'equacio (3.2) i (3.3) esta, potser, en el domini de de nicio de les solucions: aquestes no estan de nides per x = 0 en (3.2) per de nicio de l'EDO. La solucio general d'aquestes equacions es una famlia uniparametrica de funcions. Observem que si la funcio q(x) = 0, 8 x 2 R l'equacio (3.1) es de variables separables, les quals han estat estudiades en el captol anterior. Les EDOlineals per les quals q(x) = 0, 8 x 2 R s'anomenen homogenies. En cas contrari l'equacio es diu no homogenia com es el cas de l'exemple (3.3). Tot seguit explicarem com es resolen les no homogenies. Considerem, per tant, l'equacio (3.1). Si per un moment suposem que q(x) = 0, ens queda
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
94
Equacions diferencials lineals
que es una equacio homogenia, que s'anomena part homogenia de (3.1). Com que es de variables separables la resoldrem seguint la tecnica explicada en el captol anterior. que es equivalent a
dy dx = p(x)y
(3.5)
dy = p(x)dx. y
(3.6)
Integrant els dos membres de la igualtat respecte de la variable corresponent, obtenim log jyj =
Z
p(x)dx + C
(3.7)
en que C es la constant d'integracio; es a dir R jyj = e p(x)dx+C (3.8) d'on s'obte la solucio general de la homogenia R jyj = Ke p(x)dx (3.9) on K = eC > 0. Facilment es pot observar que el valor K = 0 dona lloc a una solucio de l'equaci o R R p ( x )d x p ( x )d x (3.4) i que si y = Ke per K > 0 es una solucio de (3.4), tambe ho es y = Ke . Per tant, podem escriure que la solucio general de l'equacio diferencial d'ordre 1 homogenia que designarem per yh(x) es R yh(x) = Ke p(x)dx ; 8K 2 R: (3.10) Un cop hem obtingut la solucio general de la part homogenia, buscarem la solucio general de la no homogenia utilitzant el metode de variacio de les constants. Aquest metode consisteix a buscar la solucio general suposant que es del mateix tipus que la solucio general de la part homogenia, pero agafant K no com una constant, sino com una funcio K (x) que cal trobar. Si derivem l'expressio R y(x) = K (x)e p(x)dx (3.11) obtindrem R R y0 = K 0 (x)e p(x)dx + K (x)e p(x)dx ( p(x)) (3.12) Substituint y i y0 per les expressions respectives a l'equacio (3.1) ens queda R R R K 0 (x)e p(x)dx + K (x)e p(x)dx ( p(x)) + p(x)K (x)e p(x)dx = q(x): (3.13) Simpli cant, resulta R K 0 (x)e p(x)dx = q(x). (3.14) Podem observar que el que hem simpli cat es el corresponent a la part homogenia de l'equacio; d'aqu R K 0 (x) = q(x)e p(x)dx; (3.15) © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.1 EDO lineals de primer ordre
95
i integrant obtenim la funcio K (x) que buscavem K (x) =
Z
R q(x)e p(x)dx dx + M .
(3.16)
Finalment, substituint a l'expressio (3.11) la solucio trobada ens queda la solucio general de l'equacio (3.1) y(x) =
Z
R
q(x)e
p(x)dx
dx + M
e
R
p(x)dx :
(3.17)
Ja que p(x) i q(x) son contnues en un interval I aquestes integrals tambe estan de nides en Aix doncs, per resoldre les EDO lineals d'ordre 1 podem seguir dos camins diferents, o be repetim tot el proces que acabem de fer, o be memoritzem l'equacio de la solucio general (3.17) i un cop identi cades les funcions p(x) i q(x) ho substitum i fem els calculs que queden per fer. MapleV reprodueix exactament (3.17). I.
>
ode1:=diff(y(x),x)+p(x)*y(x)=q(x);
ode1 >
dsolve(ode1,y(x));
y(x) = e(
R
@ := ( @x y(x)) + p(x)y(x) = q(x)
p(x) dx)
Z
q(x) e(
R
p(x) dx) dx + e(
R
p(x) dx) C1
Passarem ara a resoldre l'exemple (3.3) seguint els passos indicats. Resolem la part homogenia associada y0 + yx sin x = 0, dy = dx
yx sin x
(3.19)
dy =
x sin xdx
(3.20)
y
Z
(3.18)
dy = Z y
x sin xdx
Usant el metode d'integracio per parts al membre de la dreta, u=x ! du = dx dv = sin xdx ! v = cos x resulta Z log jyj = x cos x cos xdx log jyj = x cos x sin x + C , C 2 R: © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
(3.21)
(3.22) (3.23)
96
Equacions diferencials lineals
Aplicant l'exponencial als dos membres de la igualtat jyj = ex cos x sin x+C d'on jyj = ex cos x sin xeC : Prenent K = eC jyj = Kex cos x sin x , K > 0: Pel que hem dit abans, tambe per K = 0 i K < 0 tenim solucions; en consequencia yh(x) = Kex cos x sin x , K 2 R: Considerem ara la solucio de la no homogenia y = K (x)ex cos x sin x : Per trobar K (x) derivem (3.28) y0 = K 0 (x)ex cos x sin x + K (x)ex cos x sin x (cos x + x sin x cos x): Simpli cant (3.29) tindrem y0 = K 0 (x)ex cos x sin x + K (x)ex cos x sin x x sin x: Substituint a l'equacio (3.3) i simpli cant s'obte K 0 (x)ex cos x sin x = x sin x; d'on K 0 (x) = e x cos x+sin x x sin x: Integrant, usant el canvi de variables t = x cos x + sin x d'on dt = x sin xdx es te K (x) = e x cos x+sin x + M: Per tant, la solucio general de l'equacio (3.3) es y(x) = 1 + Mex cos x sin x : Si usem MapleV: >
ode2:=diff(y(x),x)+y(x)*x*sin(x)=x*sin(x);
ode2 >
dsolve(ode2,y(x));
@ := ( @x y(x)) + y(x) x sin(x) = x sin(x)
y(x) = 1 + e(
sin(x)+x cos(x)) C1
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
(3.24) (3.25) (3.26) (3.27) (3.28) (3.29) (3.30) (3.31) (3.32) (3.33) (3.34)
3.2 EDO lineals d'ordre 2
97
Si l'equacio que hem de resoldre va acompanyada d'una condicio inicial y(x0 ) = y0, es a dir, que tenim un problema de Cauchy o de valors inicials, sempre que x0 2 I on I es l'interval en que les funcions p(x) i q(x) son contnues, podem assegurar que existeix una unica solucio en un entorn de (x0; y0 ), ja que es compleixen les hipotesis del teorema d'existencia i unicitat (2.1) vist en el captol anterior. Per exemple, resolem el problema de valors inicials seguent: 0 y + yx sin x = x sin x : y(1) = 1 Per fer-ho necessitem trobar la solucio general de l'equacio diferencial del problema, que en aquest cas es l'equacio de l'exemple (3.3): y(x) = 1 + Mex cos x sin x : (3.35) Per resoldre totalment el problema plantejat ens resta tan sols trobar de totes aquestes solucions la que compleix la condicio y(1) = 1, que sabem que existeix i es unica per veri car-se les hipotesis del teorema d'existencia i unicitat (2.1). Es te: 1 = 1 + Me1 cos 1 sin 1 (3.36) d'on clarament s'obte que M = 0 i, per tant, la solucio del problema de valors inicials es y(x) = 1; (3.37) una funcio constant. Si ho fem mitjancant el MapleV: >
dsolve(fode2,y(1)=1g,y(x));
y(x) = 1 3.2 EDO lineals d'ordre 2 Una equacio diferencial d'ordre 2 es tota relacio entre una funcio incognita y(x), les seves derivades primera i segona, y0(x), y00 (x) i la variable independent x que es pot escriure de la forma y00 (x) + a1 (x)y0 (x) + a0 (x)y(x) = b(x); (3.38) on ai (x) per i = 0; 1 i b(x) son funcions contnues en un cert interval obert I real. Les funcions ai (x) s'anomenen coe cients de l'equacio. La funcio b(x) es el terme independent. Si b(x) = 0, 8x 2 R direm que l'equacio es homogenia. En cas contrari direm que es no homogenia. Alguns exemples ho aclariran: sin xy00 x3 y0 y = e2x (3.39) 00 0 5 y y = x cos x (3.40) 2 00 0 (x 3x)y y y = 1 (3.41) 00 yy = 0 (3.42) 00 0 y +y y =0 (3.43) © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
98
Equacions diferencials lineals
Totes aquestes equacions son lineals excepte la (3.42); i totes les lineals son no homogenies excepte la (3.43). Podem observar que els coe cients de l'equacio (3.40) i de la (3.43) son funcions constants. Estudiarem nomes les EDO per les quals els coe cients i el terme independent son funcions contnues en un cert interval real obert I , perque aleshores donades les dues condicions inicials y(x0 ) = y0 , y0 (x0 ) = y00 per x0 2 I , es pot assegurar que existeix una unica solucio de l'equacio (3.38) que les compleix, ja que es pot aplicar el teorema d'existencia i unicitat (2.2). Ens ocuparem en primer lloc de les homogenies. Estudiarem les propietats de les solucions i les calcularem en el cas particular en que els coe cients siguin funcions constants. Un cam semblant seguirem per les no homogenies: primer donarem propietats generals de les solucions i nalment veurem metodes per trobar-les per a aquelles que tenen els coe cients constants i per a certes funcions b(x). 3.3 Propietats de les solucions de les EDO lineals homogenies d'ordre 2 Tot seguit donarem algunes de les propietats que veri quen les solucions de l'equacio diferencial homogenia lineal d'ordre 2, en forma de teoremes. Teorema 3.1 Si y1 (x) i y2 (x) son solucions particulars de l'EDO lineal homogenia d'ordre 2, y00 + a1 (x)y0 + a0 (x)y = 0 (3.44) tambe ho es c1 y1 (x) + c2 y2 (x), 8c1 ; c2 2 R. Demostracio. La demostracio es un exercici ben senzill. Podem observar que l'expressio c1y1(x)+ c2 y2(x) no es res mes que una combinacio lineal de les solucions y1(x), y2(x). Per tant, el que el teorema ens diu es que tota combinacio lineal de solucions es tambe una solucio.1 Per altra banda, sabem que la solucio general d'aquestes EDO tindra dues constants arbitraries, aixo es, independents entre si. Siguin y1(x) i y2(x) dues solucions diferents de l'equacio (3.44). Si qualsevol altra solucio de l'equacio n'es la combinacio lineal, es diu que formen un sistema fonamental de solucions. Ens cal investigar ara quina o quines son les condicions que han de complir dues solucions particulars perque siguin un sistema fonamental de solucions. Donada qualsevol altra solucio de l'equacio, per exemple y(x), podrem trobar dues contants c1 i c2 tals que y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x): (3.45) Aquesta solucio y(x) veri cara unes condicions inicials y(x0 ) = y0 y0 (x0 ) = y00 : Tenim, per tant, el seguent sistema d'equacions lineals: y(x0 ) = y0 = c1 y1 (x0 ) + c2 y2 (x0 ) y0 (x0 ) = y00 = c1 y10 (x0 ) + c2 y20 (x0 ) Perque l'explicacio fos matematicament completa haurem de parlar de l'espai vectorial que formen les solucions de les EDO homogenies. Vegeu, per exemple, [TJ91] 1
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.3 Propietats de les solucions de les EDO lineals homogenies d'ordre
2
99
per un x0 2 I , on I es l'interval obert real en que els coe cients de l'equacio son funcions contnues. Segons la teoria relativa a la resolucio de sistemes d'equacions lineals, sabem que aquest sistema te una unica solucio (es a dir, un unic valor per cada constant ci del sistema) si i nomes si el sistema es compatible i determinat, condicio que es veri ca si i nomes si el determinant de la matriu de coe cients es diferent de zero. Aquest determinant es: y1 (x0 ) y2 (x0 ) 0 0 y 0 (x0 ) y 0 (x0 ) = y1 (x0 )y2 (x0 ) y2 (x0 )y1 (x0 ): 1 2 Anomenarem Wronskia de les solucions y1(x), y2(x) en el punt x0 aquest determinant i el representarem per W (y1 (x0 ); y2 (x0 )): Per tant, de moment tenim que perque dues solucions particulars y1, y2 siguin un sistema fonamental de solucions es su cient que el Wronskia no s'anulli per a x = x0 . Ens podem preguntar si el fet que un conjunt de solucions sigui un sistema fonamental depen del punt on es calculi el Wronskia. El teorema seguent ens treu de dubtes: Teorema 3.2 Si y1 (x), y2 (x) son solucions particulars de l'EDO lineal homogenia d'ordre 2 (3.44), alehores si W (y1(x); y2 (x)) = 0 per a x = x0 , on x0 2 I tambe W (y1 (x); y2 (x)) = 0 per a tot x 2 I .
Per demostrar aquest teorema provarem que R W (y1 (x); y2 (x)) = Ke a1 (x)dx ; on K es una constant que depen de les solucions y1(x), y2(x). Per simpli car la notacio escriuem W (x) = W (y1 (x); y2 (x)) = y1 (x)y20 (x) y10 (x)y2 (x): Derivant i simpli cant el resultat, W 0 (x) = y1 (x)y200 (x) y100 (x)y2 (x) Tenint en compte que y1 i y2 son solucio de (3.44) resulta, W 0 (x) + a1 (x)W (x) = y1 (x)y200 (x) y100 (x)y2 (x) + a1 (x) y1 (x)y20 (x) y10 (x)y2 (x) = y1(x) y200(x) + a1(x)y20 (x) y2(x) y100(x) + a1(x)y10 (x) = y1(x)( a0(x)y2 (x)) y2(x)( a0 (x)y1(x)) = 0; es a dir, que el Wronskia de y1, y2 veri ca l'equacio diferencial W 0 (x) + a1 (x)W (x) = 0; que es d'ordre 1 i de variables separables. E s facil de comprovar que la solucio es R Ke a1 (x)dx : Per ser a1 (x) una funcio contnua en l'interval obert I de R resulta que R a1(x)dx es contnua, i en consequencia, o be W (x) = 0 per tot x 2 R (cosa que signi ca K = 0, ja que la funcio exponencial mai no s'anulla), o be W (x) 6= 0 per a tot x 2 R. El teorema (3.2) ens ve a dir que el Wronskia o sempre es zero o no ho es mai en I . D'aqu s'obte aquest tercer teorema, que de nitivament ens caracteritza els sistemes fonamentals de solucions: Demostracio.
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
100
Equacions diferencials lineals
Teorema 3.3 Les solucions particulars de l'EDO lineal homogenia d'ordre 2 (3.44) y1 (x) i y2 (x) son un sistema fonamental de solucions, si i nomes si, W (y1 (x); y2 (x)) 6= 0 per a tot x 2 I .
La demostracio es consequencia del que hem dit ns ara. Per exemple, les funcions e2x i e 2x formen un sistema fonamental de solucions de l'equacio lineal homogenia de grau dos y00 4y = 0. En efecte, les derivades primeres son respectivament 2e2x , 2e 2x . Per tant, Demostracio.
2x 2 x 2 x W (e ; e ) = 2ee2x
e 2x 2e 2x
= 4; 8x 2 I:
Un cop caracteritzats els sistemes fonamentals de solucions, el pas seguent es preguntar-nos si donada una EDO lineal homogenia d'ordre 2 sempre podrem trobar dues solucions particulars que formin un sistema fonamental de solucions. E s el que ens aclareix el teorema seguent. Teorema 3.4 Siguin y1 (x) i y2 (x) les solucions particulars respectives dels problemes de Cauchy 8 <
= 0 8 < y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0 = 1 : y(x0 ) = 0 : = 0; y0 (x0 ) = 1: Aleshores les solucions y1 (x), y2 (x) formen un sistema fonamental de solucions de l'EDO y00 + a1 (x)y0 + a0 (x)y = 0. y00 + a1 (x)y0 + a0 (x)y y(x0 ) y0 (x0 )
En efecte, ja que el Wronskia en el punt x0 d'aquestes dues solucions es 1 0 W (y1 (x0 ); y2 (x0 )) = 0 1 = 1: Per tant, aquestes solucions (que segur que existeixen per complir-se les condicions del teorema d'existencia i unicitat (2.2)) son segons el teorema (3.4) un sistema fonamental de solucions de l'equacio (3.44) i la solucio general de l'equacio es y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) amb c1 ; c2 constants arbitraries. Demostracio.
L'unic que ens resta ara es trobar, donada una EDO lineal homogenia d'ordre 2, dues solucions que formin un sistema fonamental. Aixo es en general forca complicat i nomes explicarem com trobar-les en el cas en que tots els coe cients de l'EDO son constants. Ho tractarem en l'apartat seguent. Abans, pero, veurem un ultim teorema que ens permet trobar un sistema fonamental de solucions de les EDO lineals d'ordre 2 amb coe cients constants o no, coneguda una solucio. Teorema 3.5 Sigui y1 (x) una solucio particular no nulla de l'equacio diferencial lineal d'ordre 2 homogenia
y00 + a1 (x)y0 + a0 (x)y = 0:
(3.46)
Aleshores es pot determinar una segona solucio que forma amb y1 (x) un sistema fonamental de solucions.
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.3 Propietats de les solucions de les EDO lineals homogenies d'ordre
2
101
Demostracio. El metode que s'utilitza per determinar la segona solucio es coneix amb el nom de metode de reduccio d'ordre. Si y1(x) es una solucio de (3.46), sabem que Cy1(x) tambe ho es per a tota constant C real. Ara be, si la C no fos constant, sino una funcio C (x), seria possible determinar una funcio C (x) per a la qual y2 (x) = C (x)y1 (x) tambe sigui solucio de (3.46)? Veurem que si i, a mes, determinarem C (x) de forma directa. Les derivades primera i segona de y2 son: y20 (x) = C 0 (x)y1 (x) + C (x)y10 (x) i y200 (x) = C 00 (x)y1 (x) + 2C 0 (x)y10 (x) + C (x)y100 (x):
Substituint a (3.46) s'obte: C 00 (x)y1 (x) + 2C 0 (x)y10 (x) + C (x)y100 (x) + +a1(x)(C 0 (x)y1 (x) + C (x)y10 (x)) + a0(x)C (x)y1 (x) = 0: Com que y1(x) es solucio, es compleix que y100 (x) + a1 (x)y10 (x) + a0 (x)y1 (x) = 0: Per tant, l'equacio anterior es equivalent a: C 00 (x)y1 (x) + 2C 0 (x)y10 (x) + a1 (x)C 0 (x)y1 (x) = 0: (3.47) Aquesta ultima equacio es lineal d'ordre 1 si prenem com a funcio incognita C 0(x). Segons el que s'ha explicat en la seccio corresponent la solucio es: 0
R 2y1 (x) C 0(x) = Ae (a1 (x)+ y1 (x) )dx = Au(x);
on A es una constant arbitraria i u(x) =
D'aqu obtenim:
1 e (y1(x))2
C (x) = A
Z
R
a1 (x)dx :
u(x)dx + B:
La nova solucio de (3.46) es y2 (x) = y1 (x)C (x) = Ay1 (x)
Z
u(x)dx + By1 (x):
(3.48) (3.49) (3.50) (3.51)
Podem agafar A = 1 i B = 0, ja que la B nomes afegeix un multiple de y1(x) a la segona solucio. En consequencia y2 (x) = y1 (x)C (x) = y1 (x)
Z
u(x)dx:
(3.52)
Ja que R u(x)dx no pot ser una constant, es facil veure que y1(x) i y2 (x) formen un sistema fonamental de solucions. Queda demostrat, per tant, el teorema. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
102
Equacions diferencials lineals
Encara que el teorema (3.5) no ens diu com trobar les dues solucions d'una EDO lineal homogenia d'ordre 2, ens redueix el problema de resoldre l'EDO a trobar solament una solucio. Exemple. Resoleu l'EDO x2 y00 + 5xy0 5y = 0 per x > 0, y(1) = 0, y0 (1) = 6, sabent que y1 (x) = x es solucio. Una segona solucio de l'equacio sera de la forma y2(x) = C (x)y1(x) = C (x)x. Derivant y2(x) i substituint a l'EDO, s'obte l'equacio d'ordre 2 x3 C 00 (x) + 7x2 C 0 (x) = 0: (3.53) Si fem el canvi u(x) = C 0(x) l'equacio (3.53) es transforma, un cop simpli cada, en: xu0 (x) + 7u(x) = 0; (3.54) que es de variables separables. Resolent-la s'obte la solucio u(x) = Kx 7, on K 2 R6. Desfent el canvi, ens queda l'EDO d'ordre 1, C 0(x) = Kx 7, que dona la solucio C (x) = K x 6 + M on K i M son constants reals. Prenent K = 6 i M = 0, queda que y2(x) = x 5. E s facil veure que forma una sistema fonamental de solucions amb y1(x) = x i, en consequencia, la solucio general de l'EDO donada es: y(x) = c1 x + c2 x 5 : Imposant les condicions inicials, els valors de c1 i c2 que les veri quen son 1 i 1 respectivament i, per tant, la solucio del problema de Cauchy plantejat es y(x) = x x 5 : Treballant amb MapleV: >
ode3:=x^2*diff(y(x),x$2)+5*x*diff(y(x),x)-5*y(x)=0;
ode3
>
2
@ @ := x2 ( @x 2 y(x)) + 5 x ( @x y(x)) 5y(x) = 0
dsolve(fode3,y(1)=0,D(y)(1)=6g,y(x));
y(x) = x x15
3.4 Resolucio de les EDO lineals homogenies a coe cients constants d'ordre 2 Hem vist que per resoldre aquestes equacions ens cal trobar un sistema fonamental de solucions. En el cas en que l'equacio tingui els coe cients constants veurem una forma mecanica de trobar aquest sistema. Considerem una equacio diferencial lineal d'ordre 2 a coe cients constants: y00 + a1 y0 + a0 y = 0; on ai 2 R: (3.55) Fixem-nos que en aquest cas buscar una solucio equival a trobar una funcio tal que multiplicada per una constant mes les seves derivades multiplicades per constants ens doni zero. Aixo ens porta a la conclusio que la funcio i les seves derivades han de ser \semblants". Com que les funcions exponencials veri quen justament aixo, pot ser que siguin les funcions solucio de l'EDO donada. Provem-ho. Considerem y(x) = erx. Derivem-la; y0 (x) = rerx, y00(x) = r2erx. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.4 Resolucio de les EDO lineals homogenies a coe cients constants d'ordre
2
103
Si volem que sigui solucio s'ha de complir l'equacio diferencial. Si substitum a (3.55), obtenim que r2 erx + a1 rerx + a0 erx = 0: Simpli cant, es te que erx es solucio de (3.55), si i nomes si r es solucio de l'equacio algebraica (anomenada equacio caracterstica de l'EDO): r2 + a1 r + a0 = 0. Es pot observar facilment que els coe cients de l'equacio caracterstica i els de l'EDO son els mateixos i que el lloc que ocupa la potencia ri en l'equacio caracterstica es equivalent al que ocupa la derivada y(i) en l'EDO per i = 0; 1; 2, prenent y(0) = y. Aquest fet ens dona un metode senzill de calcular l'equacio caracterstica a partir de l'EDO sense fer cap calcul: substituir la derivada d'ordre i de y en l'EDO per ri. Les solucions de l'equacio caractrstica no son res mes que les arrels del polinomi de grau 2 r2 + a1 r + a0 . Per tant, parlarem indistintament d'arrels i de solucions de l'equacio. Aquestes son: p a1 a21 4a0 r= : 2 Sabem que aquesta equacio te exactament dues solucions que poden ser reals o complexes segons el signe del discriminant a21 4a0 . Per tant, hi ha diversos casos que cal considerar, i son els seguents. 3.4.1 Dues arrels reals i diferents
El discriminant es positiu i, per tant, tenim dues solucions reals i diferents, r1 i r2 . Cadascuna d'aquestes arrels, segons el que hem vist abans, dona lloc a una solucio, es a dir, que er x i er x son dues solucions diferents amb W (er x; er x) 6= 0, per tant, un sistema fonamental de solucions de l'equacio. En aquest cas la solucio general es: y(x) = c1 er x + c2 er x amb ci 2 R: 1
1
2
2
1
2
Exemple.
Considerem l'equacio anteriorment vista y00 4y = 0 i resolem-la. Segons l'observacio que hem fet abans, sabem que els valors r pels quals y = erx es solucio de y00 4y = 0 son les solucions de r2 4 = 0. Aquestes son r = 2 i r = 2. Per tant, l'equacio algebraica te dues arrels diferents i l'EDO te aquestes dues solucions e2x i e 2x que formen un sistema fonamental. Per acabar l'exemple, nomes ens resta escriure quina es la solucio general de l'EDO donada: y(x) = c1 e2x + c2 e 2x ; amb c1 ; c2 2 R: Usant MapleV: >
ode4:=diff(y(x),x$2)-4*y(x)=0;
ode4 >
dsolve(ode4,y(x));
y(x) =
2
@ := ( @x 2 y(x)) 4y(x) = 0 C1 sinh(2 x) + C2 cosh(2 x)
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
104
Equacions diferencials lineals
Usant les de nicions de les funcions hiperboliques es pot veure que la solucio que hem obtingut primer i la que ens ha donat MapleV son equivalents. 3.4.2 Una arrel real doble
El discriminant val zero i, per tant, tenim una sola arrel r de multiplicitat 2. Sabem que y(x) = erx es una solucio. Per tenir un sistema fonamental de solucions ens en falta una altra que trobarem aplicant el teorema de reduccio d'ordre (3.5). Segons aquest teorema la solucio sera de la forma y2(x) = C (x)erx. Calculant la derivada primera i segona de y2(x), substituint-les a l'EDO i simpli cant tenim la igualtat: C 00 (x) = 0: Integrant, C 0(x) = A. Tornant a integrar, C (x) = Ax + B . Prenent A = 1 i B = 0, resulta C (x) = x i, en consequencia, s'obte la solucio y2 (x) = xerx . Es pot veure facilment que amb y1 forma un sistema fonamental de solucions de l'EDO donada. La solucio general es y(x) = erx (c1 + c2 x) amb c1 , c2 2 R. Aix doncs, cada arrel real del polinomi aporta al sistema fonamental de solucions de l'EDO un nombre de solucions iguals a la seva multiplicitat. Exemple. Resoleu 9y00 + 6y0 + y = 0 L'equacio caracterstica nomes te una arrel real que es r = 31 . Per tant, el sistema fonamental el formaran les funcions e x i xe x i la solucio general de l'EDO sera: y = (c1 + c2 x)e x : Amb el MapleV: 1 3
1 3
1 3
>
ode5:=9*diff(y(x),x$2)+6*diff(y(x),x)+y(x)=0;
ode5 >
dsolve(ode5,y(x));
2
@ @ := 9( @x 2 y(x)) + 6( @x y(x)) + y(x) = 0
y(x) = 3.4.3
C1 e( 1=3 x) + C2 e( 1=3 x) x
Arrels complexes
El discriminant es negatiu. Suposem que z = a + bi amb b 6= 0, a 2 R, b 2 R sigui una arrel complexa simple del polinomi. Segons el que hem explicat, la funcio y(x) = e(a+bi)x es una solucio de l'EDO. Ara be, es una solucio que no es real, sino complexa. D'altra banda, sabem del tema 1 que el conjugat de z es tambe una arrel del polinomi (ja que aquest te tots els coe cients reals). Per tant, tenim que la funcio y(x) = e(a bi)x es una altra solucio complexa (que es conjugada de la primera) de l'EDO. El teorema (3.1) ens deia que qualsevol combinacio amb coe cients reals de solucions de l'EDO tambe es solucio. E s evident que aquest teorema tambe es valid si s'agafen solucions complexes i coe cients complexos. Per tant, si el que es vol es obtenir solucions reals, el que cal fer es combinar adequadament aquestes solucions complexes. En efecte, les solucions 1 1 y(x) = (e(a+bi)x + e(a bi)x ) i y(x) = (e(a+bi)x e(a bi)x ) 2 2i © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.5 Propietats de les solucions de les EDO lineals no homogenies d'ordre 2
105
son solucions reals de l'EDO. Comprovem-ho utilitzant la formula d'Euler vista en el tema 1: 1 1 y(x) = (e(a+bi)x + e(a bi)x ) = (eax ebix + eax e bix ) 2 2 1 ax = 2 (e (cos(bx) + i sin(bx)) + eax(cos(bx) i sin(bx))) = eax cos(bx): De la mateixa forma es dedueix que l'altre solucio es: 1 y(x) = (e(a+bi)x e(a bi)x ) = eax sin(bx): 2i Per tant, si hi ha una arrel complexa simple z = a + bi, hi ha tambe la seva conjugada, que dona lloc a dues solucions reals, y(x) = eax cos(bx) i y(x) = eax sin(bx) (son respectivament la part real i la part imaginaria de la solucio complexa y(x) = e(a+bi)x ). E s facil demostrar que formen un sistema fonamental de solucions. Exemple. Resoleu y00 2y0 + 3y = 0 amb les condicions inicials y(0) = 1, y0 (0) = 0. Les solucions o caracterstica son r = 1 p2i. Per tant, tenim les solucions comp p2i)x de(1l'equaci conjugades) que combinades plexes e(1+ i e 2i)x (observeu que son funcions complexes tal com hem explicat ens donen les solucions reals ex cos(p2x) i ex sin(p2x). En consequencia la solucio general es: p p y(x) = c1 ex cos( 2x) + c2 ex sin( 2x): 0 Imposant les condicions inicials p a y(x) i a la seva derivada y (x), s'obtenen els seguents valors de les constants c1 = 1 i c2 = 22 . La solucio de problema de Cauchy es: p p 2 ex sin(p2x): x y(x) = e cos( 2x) 2 Comprovem-ho usant el MapleV: >
ode6:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)+3*y(x)=0;
ode6 >
2
@ @ := ( @x 2 y(x)) 2( @x y(x)) + 3y(x) = 0
dsolve(fode6,y(0)=1,D(y)(0)=0g,y(x));
p p p y(x) = ex cos( 2 x) 12 2 ex sin( 2 x)
3.5 Propietats de les solucions de les EDO lineals no homogenies d'ordre 2 Ja sabem resoldre les EDO lineals homogenies a coe cients constants. El nostre objectiu ara es resoldre les no homogenies. Seguint el mateix proces que vam utililitzar per a les homogenies, veurem primer algunes propietats de les solucions i en l'apartat seguent d'aquest captol resoldrem nomes les que tenen els coe cients constants i uns termes independents determinats. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
106
Equacions diferencials lineals
Comencem recordant la de nicio d'EDO lineal no homogenia d'ordre 2. Una equacio diferencial lineal d'ordre 2 no homogenia es tota relacio entre una funcio incognita y, les seves derivades primera i segona i la variable independent x, que es pot escriure de la forma y00 + a1 (x)y0 + a0 (x)y = b(x); (3.56) on ai(x) per i = 0; 1 i b(x) 6= 0 son funcions contnues en un cert interval obert I real. Recordem que les funcions ai (x) s'anomenen coe cients de l'equacio i que la funcio b(x) es el terme independent. Recordem tambe que la continutat dels coe cients i del terme independent ens garanteix l'existencia i unicitat de la solucio donat un problema de Cauchy. S'anomena part homogenia o equacio homogenia associada a l'EDO (3.56) l'equacio homogenia y00 + a1 (x)y0 + a0 (x)y = 0: (3.57) Fixem-nos que la diferencia entre la part homogenia associada a l'EDO i aquesta esta en el terme independent. Tot seguit donarem una propietat de les solucions d'aquestes EDO. Teorema 3.6 Siguin yp (x) i yp (x) dues solucions particulars de l'EDO (3.56). Aleshores la 1
seva diferencia yp1
2
yp2 es una solucio de la part homogenia associada a (3.56)
En efecte, calculant les derivades successives ns a ordre 2 de yp yp i substituint-ho al membre de l'esquerra de l'equacio homogenia associada s'obte l'expressio yp00 yp00 + a1 (x)(yp0 yp0 ) + a0 (x)(yp yp ): Operant i separant les derivades de yp de les de yp queda (yp00 + a1 (x)yp0 + a0 (x)yp ) (yp00 + a1(x)yp0 + a0 (x)yp ): Com que yp i yp son solucio de la no homogenia, cadascuna de les expressions que hi ha dintre dels parentesis es igual a b(x). Per tant, l'expressio anterior no es altra cosa que Demostracio.
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
b(x) b(x) = 0;
quedant demostrat aix el teorema. D'aquest teorema es dedueix l'expressio de la solucio general de les EDO lineals no homogenies d'ordre 2. En efecte, com que la diferencia entre dues solucions de la no homogenia es solucio de la homogenia i aquestes son combinacio lineal de dues solucions que formen un sistema fonamental, si yp es una solucio particular de (3.56) i y1, y2 un sistema fonamental de solucions de la part homogenia associada, aleshores qualsevol altre solucio y(x) sera igual a: y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + yp(x) (3.58) La igualtat obtinguda (3.58) es l'expressio de la solucio general de les EDO lineals no homogenies d'ordre 2. Per tant, per resoldre-les necessitem coneixer un sistema fonamental de solucions de l'EDO homogenia associada i una solucio particular de la no homogenia. Com que nomes sabem calcular els sistemes fonamentals de solucions per les EDO lineals a coe cients constants, tambe explicarem com trobar una solucio particular de les no homogenies a coe cients constants. Ho farem a l'apartat seguent. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.6 Resolucio de les EDO lineals no homogenies a coe cients constants d'ordre 2
107
3.6 Resolucio de les EDO lineals no homogenies a coe cients constants d'ordre 2 Vist com ha de ser la solucio general de les EDO lineals no homogenies, ens tornem a centrar nomes en les que tenen els coe cients constants. Com hem dit, per obtenir l'expressio completa de la solucio general d'aquestes equacions ens falta saber trobar una solucio particular. Donarem dos metodes: el de la variacio de les constants i el dels coe cients indeterminats. Sigui y00 + a1 y0 (x) + a0 y(x) = b(x) (3.59) una EDO lineal no homogenia a coe cients constants. Per trobar la solucio general seguirem els passos seguents: I. Trobem la solucio general de la part homogenia associada:yh. Ja sabem com fer-ho. Recordem que cal buscar un sistema fonamental de solucions y1(x), y2 (x) i aleshores yh(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x). II. Busquem una solucio particular: yp(x). Explicarem dos metodes. III. Escrivim la solucio general y(x) = yh(x) + yp (x). La solucio general es la suma de la solucio de la part homogenia mes la particular. IV. Busquem el valor de les constants. Aquest ultim pas nomes cal fer-lo si tenim un problema de Cauchy. Vegem com podem trobar una solucio particular. 3.6.1 Metode de la variacio de les constants
Aquest metode es el mateix que es va explicar per a les lineals de primer ordre. Per tant, l'illustrarem mitjancant un parell d'exemples. Exemple 1: Resoleu l'equacio y00 y0 6y = 5e 2x . Seguint els passos descrits, I. Resolem la part homogenia associada y00 y0 6y = 0. El polinomi associat es r2 r 6 = 0, p1+24 1 les arrels del qual son r = 2 , es a dir, r = 3 i r = 2. Per tant, un sistema fonamental de solucions el formen les funcions e3x i e 2x. Aleshores: yh (x) = c1 e3x + c2 e 2x . II. Hem de trobar una solucio particular. El metode de la variacio de les constants consisteix a buscar una solucio particular que sigui de la forma yp(x) = c1 (x)e3x + c2(x)e 2x , es a dir, igual que la solucio de la part homogenia pero amb c1 i c2 no constants, sino funcions que cal determinar. Per trobar aquestes funcions, com que volem que yp(x) = c1 (x)e3x + c2(x)e 2x sigui solucio, derivarem i substiturem a l'equacio que estem resolent. yp0 (x) = c01 (x)e3x + c02 (x)e 2x + 3c1 (x)e3x 2c2 (x)e 2x . Observem que els dos primers sumands serien zero si c1 (x) i c2 (x) fossin constants. Hem afegit aquests dos termes a la derivada de la solucio homogenia, en suposar que no ho son. Per tal de poder trobar les funcions c1(x) i c2 (x) ens interesa trobar un sistema de dues equacions on les incognites siguin aquestes funcions o les seves derivades primeres. Per tant, si volem que l'ordre de les derivades d'aquestes funcions incognita no augmenti (en aquest cas hem de calcular ns a la derivada segona), podem demanar que c01 (x)e3x + c02 (x)e 2x = 0, © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
108
Equacions diferencials lineals
peticio que ens aporta una equacio i que ens simpli ca l'expressio de yp0 yp0 (x) = 3c1 (x)e3x 2c2 (x)e 2x . Tornem a derivar, yp00 (x) = 3c01 (x)e3x 2c02 (x)e 2x + 9c1 (x)e3x + 4c2 (x)e 2x : Substituint a l'equacio que volem resoldre, s'obte 3c01 (x)e3x 2c02 (x)e 2x + 9c1 (x)e3x + 4c2 (x)e 2x (3c1 (x)e3x 2c2 (x)e 2x ) 6(c1 (x)e3x + c2 (x)e 2x ) = 5e 2x : Simpli cant (la part corresponent a la solucio general de l'equacio homogenia dona evidentment zero) queda 3c01 (x)e3x 2c02 (x)e 2x = 5e 2x . El sistema que hem de resoldre es c01 (x)e3x + c02 (x)e 2x = 0 3c01 (x)e3x 2c02 (x)e 2x = 5e 2x : De la primera equacio c01 (x) = c02 (x)e 5x . En substituir a la segona equacio obtenim: 3c02 (x)e 2x 2c02 (x)e 2x = 5e 2x , d'on c02 (x) = 1. Per tant, c01 (x) = e 5x . Integrant les dues darreres igualtats, 1 c1 = e 5x i c2 = x. 5 Una solucio particular (comproveu-ho) es, doncs, 1 1 5 x 3 x 2 x 2x yp(x) = e e xe = 5 5 +x e . III. La solucio general de y00 y0 6y = 5e 2x es 1 3 x 2 x 2x y(x) = c1 e + c2 e 5 +x e . Podem dir, vist aquest exemple, que aquest metode consisteix a trobar un sistema de dues equacions i dues incognites c01 (x) i c02(x). Les equacions s'obtenen a mesura que es van trobant les derivades de yp(x) que intervenen en l'EDO. Aix, en l'expressio de yp0 (x) es considera que la © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.6 Resolucio de les EDO lineals no homogenies a coe cients constants d'ordre 2
109
combinacio lineal que formen les derivades de c1 (x) i c2 (x) es igual a zero. E s la primera equacio. A mes, aix yp0 nomes conte les funcions incognita ci (x) per i = 1; 2 sense derivar. Derivant yp0 , un cop simpli cat, s'obte yp00. La segona equacio s'obte substituint les expressions de yp, yp0 i yp00 obtingudes, tal com s'ha explicat, a l'EDO que estem resolent. Abans de passar a l'exemple seguent, resoldrem l'equacio usant MapleV: >
ode8:=diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)-6*y(x)=5*exp(-2*x);
ode8 >
2
@ @ ( := ( @x 2 y(x)) ( @x y(x)) 6y(x) = 5 e
dsolve(ode8,y(x));
y(x) = >
x e( 2 x)
collect(%,exp(-2*x));
1 e( 5
2 x)
2 x) + C1 e( 2 x) + C2 e(3 x)
1 ( 2 x) (3 x) 5 + C1 ) e + C2 e Exemple 2. Resoleu l'EDO 2y00 y0 = 3x + 2. I. Podeu comprovar que la solucio general de la part homogenia de l'equacio es yh (x) = c1 + c2 e x amb ci constants arbitraries reals: II. Per tant, la solucio particular que hem de trobar sera de la forma (per abreujar escriure ci en lloc de ci (x); pel context se sap quan es una constant i quan una funcio). yp (x) = c1 + c2 e x . Derivem i reagrupem l'expressio aix, 1 yp0 = c01 + c02 e x + c2 e x: 2 Suposarem que c01 + c02 e x = 0; que es la primera equacio que busquem; en consequencia 1 yp0 = c2 e x 2 Derivem aquesta ultima igualtat, 1 1 yp00 = c02 e x + c2 e x 2 4 Substuint a l'EDO les expressions de yp, yp0 i yp00 obtenim la segona equacio que ens completa el sistema: 2 12 c02 e x + 2 14 c2e x 12 c2 e x = 3x + 2 y(x) = (
x
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
es a dir
1 2
1 2
1 2
c02 e 2 x = 3x + 2: 1
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
110
Equacions diferencials lineals
El sistema que s'ha de resoldre es: (
c01 + c02 e 2 x 1 c02 e 2 x 1
= 0 = 3x + 2:
Comproveu que les solucions del sistema son c01 = (3x+2) i c02 = (3x+2)e x que integrades donen les funcions c1 = 32 x2 2x, c2 = (6x +16)e x. Finalment substituint a yp = c1 + c2e x s'obte la solucio particular seguent: 3 yp(x) = x2 8x 16: 2 III. La solucio general es: 3 x2 8x 16: y(x) = c1 + c2 e x 2 Aquest mateix exercici amb MapleV es: 1 2
1 2
1 2
1 2
>
ode9:=2*diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)=3*x+2;
ode9 >
dsolve(ode9,y(x));
2
@ @ := 2( @x 2 y(x)) ( @x y(x)) = 3 x + 2
y(x) = 8 x 32 x2 +
C1
+
C2 e(1=2 x)
3.6.2 Metode dels coe cients indeterminats
Com el seu nom indica, en lnies generals el metode consisteix a buscar una solucio particular que sigui del mateix \tipus" que el terme independent. Per exemple, si b(x) es un polinomi de grau n, yp(x) tambe sera un polinomi; nomes caldra determinar-ne el grau i els coe cients. Com que la solucio particular que busquem, segons aquest metode, depen de b(x), explicarem com trobar yp(x) en els casos seguents: 1. b(x) = anxn + an 1xn 1 + ::: + a1 x + a0 , un polinomi de grau n. 2. b(x) = aex , una funcio exponencial. 3. b(x) = a cos !x + b sin !x, combinacio lineal de cosinus i sinus. 4. b(x) = (an xn + an 1xn 1 + ::: + a1x + a0 )ex , polinomi per exponencial. 5. b(x) = (an xn + ::: + a1x + a0)cos !x ++(bmxm + ::: + b1x + b0)sin !x, polinomi per cosinus mes polinomi per sinus. 6. b(x) = ex (a cos !x + b sin !x), exponencial per una combinacio lineal de cosinus i sinus. 7. b(x) = ex ((anxn + ::: + a1 x + a0)cos !x + (bm xm + ::: + b1 x + b0)sin !x). 8. b(x) es una combinacio lineal dels casos anteriors. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.6 Resolucio de les EDO lineals no homogenies a coe cients constants d'ordre 2
111
De fet, el penultim cas engloba tots els anteriors, pero mes val separar-los i veure cadascun d'ells amb exemples diferents. I en l'ultim cas, cal aplicar tot el que s'ha explicat ns llavors. Al nal de tot es dona un taula resum del que cal fer en cada situacio. 1. b(x) = an xn + an 1 xn 1 + ::: + a1 x + a0 Exemple 1. Resoleu l'equacio y00 + 12 y0 12 y = x3 + 2. I. Busquem la solucio de la part homogenia y00 + 12 y0 21 y = 0. Resolem l'equacio algebraica 2 r + 21 r 12 = 0. Les solucions son r = 12 i r = 1. Per tant, yh (x) = c1 e x + c2 e x : II. Busquem una solucio particular pel metode dels coe cients indeterminats. Mirem quina classe de terme independent te l'EDO que estem resolent. E s un polinomi de grau 3. Buscarem una solucio particular que tambe sigui un polinomi. De quin grau? Si pensem que el membre de l'esquerra d'una EDO el que fa es transformar una funcio combinant-la amb les seves derivades i el resultat es el membre de la dreta, queda clar que el polinomi que busquem ha de tenir com a mnim grau 3. Provem-ho. El candidat es yp = A3 x3 + A2 x2 + A1 x + A0 : Derivem successivament ns a ordre 2, yp0 = 3A3 x2 + 2A2 x + A1 yp00 = 6A3 x + 2A2 i ho substitum a l'EDO, 6A3 x + 2A2 + 21 (3A3 x2 + 2A2 x + A1) 12 (A3 x3 + A2x2 + A1x + A0 ) = x3 + 2: Reagrupant els termes queda la igualtat polinomica seguent: 1 A3 x3 + ( 3 A3 1 A2)x2 + (6A3 + A2 1 A1 )x + 2A2 + 1 A1 1 A0 = x3 + 2: 2 2 2 2 2 2 Aquesta igualtat es certa, es a dir, els dos polinomis son iguals, si i nomes si els coe cients que els identi quen son els mateixos. Per tant, s'han de complir les igualtats seguents: 1 A3 = 1 3 A3 12 A2 = 0 2 2 6A3 + A2 12 A1 = 0 2A2 + 21 A1 12 A0 = 2: La solucio del sistema es A0 = 64, A1 = 36, A2 = 6 i A3 = 2. Per tant, una solucio particular es el polinomi de grau 3 yp = 2x3 6x2 36x 64: III. La solucio general es la suma de les solucions trobades en els dos apartats anteriors: y(x) = c1 e x + c2 e x 2x3 6x2 36x 64: Vist aquest resultat podem preguntar-nos si la solucio particular sempre sera un polinomi del mateix grau que b(x). Abans de passar a l'EDO seguent, resoldrem aquesta amb MapleV: 1 2
1 2
>
ode10:=diff(y(x),x$2)+1/2*diff(y(x),x)-1/2*y(x)=x^3+2;
ode10
@2 1 @ 1 3 := ( @x 2 y(x)) + 2 ( @x y(x)) 2 y(x) = x + 2
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
112
>
Equacions diferencials lineals
dsolve(ode10,y(x));
y(x) = 64 36 x 6 x2 2 x3 + C1 e( x) + C2 e(1=2 x) Exemple 2. Resoleu l'equacio y00 + y0 = x2 1. I. Resolem la part homogenia y00 + y0 = 0. Les solucions de r2 + r = 0 son r = 0 i r = 1. Aix doncs, la solucio general de la part homogenia es yh = c1 + c2 e x : II. Busquem una solucio particular. Per ser b(x) un polinomi de grau 2, la solucio particular haura de ser tambe un polinomi que com a mnim tingui grau 2, yp = A2 x2 + A1x + A0. Per determinar els valors dels coe cients haurem de calcular les derivades i substituir els resultats en l'EDO (ja que volem que sigui solucio). Es te yp0 = 2A2 x + A1 i yp00 = 2A2 . Substituint queda la igualtat polinomica seguent: 2A2 x + 2A2 + A1 = x2 1 que implica 0 = 1, 2A2 = 0 i 2A2 + A1 = 1. La primera igualtat es una contradiccio! Per tant, la solucio particular no pot ser un polinomi de grau 2. Per que en aquest exemple no ha funcionat i en l'altre s? Fixem-nos en les solucions de les parts homogenies dels dos exemples. En l'exemple anterior cap polinomi no es solucio de la part homogenia. En canvi en aquest segon cas tenim que les constants son solucio de la part homogenia. Per tant, en substituir en l'EDO aquestes funcions i les seves derivades, mai no donaran altra cosa que no sigui 0. El que s'ha de fer es buscar una solucio particular que no tingui aquests termes. Per aconseguir-ho sera su cient multiplicar la solucio proposada A2 x2 + A1 x + A0 per x tantes vegades com sigui necessari per tal que en el polinomi no quedi cap terme que sigui solucio de la part homogenia. En el nostre exemple multiplicant A2x2 + A1x + A0 per x s'obte A2x3 + A1x2 + A0x que ja no conte cap terme que sigui solucio de la part homogenia. Aix doncs, la solucio particular ha de ser de la forma yp = x(A2 x2 + A1 x + A0 ) = A2 x3 + A1 x2 + A0x. Derivant, yp0 = 3A2 x2 + 2A1 x + A0, yp00 = 6A2 x + 2A1 . Substituint a l'EDO, 6A2 x + 2A1 + 3A2 x2 + 2A1 x + A0 = x2 1: Aquests dos polinomis son iguals si i nomes si els respectius coe cients son iguals. Per tant, s'han de complir les igualtats seguents: 3A2 = 1 6A2 + 2A1 = 0 2A1 + A0 = 1: Les solucions del sistema resultant son A2 = 31 , A1 = 1 i A0 = 1. Aleshores 1 yp(x) = x3 x2 + x: 3 III. La solucio general es 1 y(x) = c1 + c2 e x + x3 x2 + x: 3 En general es pot demostrar que si el terme independent de l'EDO lineal no homogenia es de la forma b(x) = anxn + ::: + a1x + a0 , podrem trobar una solucio particular del mateix tipus © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.6 Resolucio de les EDO lineals no homogenies a coe cients constants d'ordre 2
113
= xs(An xn + ::: + A1x + A0 ), on s es el mnim enter positiu pel qual cap monomi o terme que forma part de l'expressio de yp no es solucio de la part homogenia. Resoldrem ara aquest exemple amb MapleV:
yp
>
ode11:=diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)=x^2-1;
ode11 >
dsolve(ode11,y(x));
2
@ @ 2 := ( @x 2 y(x)) + ( @x y(x)) = x 1
y(x) = x
1 x2 + x3 + C1 + C2 e( x) 3
2. b(x) = aex
Tambe ho illustrarem amb un parell d'exemples. Exemple 1. Resoleu l'equacio y00 + y0 = e5x amb les condicions inicials y(0) = 0, y0 (0) = 0. I. La part homogenia es y00 + y0 = 0. Resolem r2 + r = 0. Les solucions son r = 0 i r = 1. Per tant yh = c1 + c2 e x : II. Per ser b(x) = e5x provarem amb yp = Ae5x . Derivem, yp0 = 5Ae5x , yp00 = 25Ae5x . Ho substitum a l'EDO, 25Ae5x + 5Ae5x = e5x d'on s'obte A = 301 i en consequencia una solucio particular es 1 yp = e5x : 30
Fixem-nos que no hem hagut de replantejar-nos la tria que hem fet per a yp. De la mateixa manera que en el cas anterior, aixo ha estat possible perque la funcio exponencial e5x no es solucio de la part homogenia. III. La solucio general es 1 y = c1 + c2 e x + e5x : 30 IV. Com que hi ha condicions inicials cal fer un pas mes i buscar el valor de les constants. Derivem y0 = c2e x + 16 e5x. Imposem les condicions inicials i resulta el sistema seguent: c1 + c2 + 301 = 0 c2 + 16 = 0: Les solucions son c2 = 16 i c1 = 15 . Per tant, la funcio que es solucio del problema de Cauchy plantejat es: 1 1 x 1 5x y= 5 + 6 e + 30 e : Usant MapleV: >
ode12:=diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)=exp(5*x);
ode12
2
@ @ (5 x) := ( @x 2 y(x)) + ( @x y(x)) = e
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
114
Equacions diferencials lineals
>
dsolve(fode12,y(0)=0,D(y)(0)=0g,y(x));
>
ode13:=diff(y(x),x$2)+4*diff(y(x),x)+4*y(x)=5*exp(-2*x);
y(x) = 301 e(5 x) 15 + 61 e( x) Exemple 2. Resoleu l'equacio y00 + 4y0 + 4y = 5e 2x : I. La part homogenia associada es y00 + 4y0 + 4y = 0 i te associada l'equacio algebraica r2 + 4r + 4 = 0 que te una unica solucio r = 2 de multiplicitat 2. Per tant, les funcions e 2x i xe 2x formen un sistema fonamental de solucions de la part homogenia associada. Aleshores, yh = (c1 + c2 x)e 2x : II. En principi, la solucio particular seria yp = Ae 2x . Pero xem-nos que aquesta funcio es solucio de la part homogenia! Per tant, mai no podra ser-ho de la no homogenia. A l'igual que en el cas dels polinomis multiplico per x. La candidata es ara yp = Axe 2x . Pero resulta que tambe es solucio de la part homogenia. Torno a multiplicar per x, yp = x2Ae 2x , que no es solucio de la part homogenia. Nomes resta determinar el valor de A. Derivant, yp0 = (2x 2x2)Ae 2x , yp00 = (2 8x + 4x2 )Ae 2x . Substitum els resultats obtinguts a l'EDO i obtindrem el valor de A. (2 8x + 4x2 + 8x 8x2 + 4x2 )Ae 2x = 5e 2x Resulta A = 25 . I en consequencia 5 yp = x2 e 2x : 2 III. La solucio general es: 5 y = (c1 + c2 x + x2 )e 2x : 2 En general es pot demostrar que la solucio particular es de la forma yp = Axsex , on s es el mnim enter positiu pel qual Axsex no es solucio de la part homogenia associada. Treballant amb el MapleV: ode13 >
2
@ @ ( := ( @x 2 y(x)) + 4( @x y(x)) + 4y(x) = 5 e
2 x)
dsolve(ode13,y(x));
y(x) = 52 x2 e(
2 x) + C1 e( 2 x) + C2 e( 2 x) x
3. b(x) = a cos !x + b sin !x Exemple.
Resoleu l'equacio y00 I. Comproveu que
y0
2y = cos 2x.
+ c2 e2x: II. Notem que el terme independent de l'equacio es de la forma b(x) = a cos !x + b sin !x per a = 1, b = 0 i ! = 2, es a dir, que es una combinacio lineal de les funcions cosinus i sinus. Per tant, la solucio particular ha de ser tambe una combinacio d'aquestes funcions: yp(x) = A cos 2x + B sin2x. S'han de determinar les constants A i B . Calculant les derivades yh = c1 e
x
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.6 Resolucio de les EDO lineals no homogenies a coe cients constants d'ordre 2
yp0 (x) =
igualtat:
es a dir,
115
2A sin2x +2B cos 2x, yp00 (x) = 4A cos 2x 4B sin2x i substituint a l'EDO, resulta la ( 6A 2B )cos 2x + (2A 6B )sin2x = cos 2x;
que es certa si i nomes si
( 6A 2B 1)cos 2x = ( 2A + 6B )sin2x
6A 2B 1 = 0 2A + 6B = 0: Les solucions del sistema son A = 203 i B = 201 . En consequencia, 3 cos 2x 1 sin2x: yp(x) = 20 20 III. La solucio general del sistema es 3 cos 2x 1 sin2x: y(x) = c1 e x + c2 e2x 20 20 Fixem-nos que encara que en el terme independent una de les funcions trigonometriques no hi sigui (esta multiplicada per zero), cal plantejar-se una solucio particular que sigui combinacio lineal de les dues funcions trigonometriques. Resolent-lo amb MapleV: >
ode14:=diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)-2*y(x)=cos(2*x);
ode14 >
2
@ @ := ( @x 2 y(x)) ( @x y(x)) 2y(x) = cos(2 x)
dsolve(ode14,y(x));
y(x) = 203 cos(2 x) 201 sin(2 x) + C1 e(2 x) + C2 e( x) En general la solucio particular de les EDO y(n) + an 1 (x)y(n 1) + ::: + a1 (x)y0 + a0 (x)y = a cos !x + b sin !x; sera de la forma yp(x) = xs(A cos !x + B sin !x), on s es el mnim enter positiu pel qual la funcio candidata no te cap terme que sigui solucio de la part homogenia. 4. b(x) = (an xn + an 1 xn 1 + ::: + a1 x + a0 )ex Aquest cas es una generalitzacio del cas (b). E s d'esperar, si es te en compte tot el que hem explicat, que la solucio particular d'aquestes EDO sigui de la forma yp (x) = xs (An xn + An 1 xn 1 + ::: + A1 x + A0 )ex on s es el mnim enter positiu pel qual cap dels termes de la solucio buscada no sigui solucio de la part homogenia. Es pot demostrar que es aix. Exemple. Resoleu l'equacio y00 y0 = 3xex . I. Comproveu que yh(x) = c1 ex + c2 e x . © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
116
Equacions diferencials lineals
II. El terme independent de l'EDO es b(x) = 3xex . Per tant, la solucio particular ha de ser de la forma yp(x) = x(A1 x + A0 )ex, (s'ha de multiplicar per x, per tal que la solucio proposada
no tingui termes que siguin solucio de la part homogenia). Les derivades son: yp0 (x) = (A0 + (2A1 + A0 )x + A1 x2 )ex ; yp00 (x) = (2A1 + 2A0 + (4A1 + A0 )x + A1 x2 )ex Substituint a l'EDO i simpli cant ens queda la igualtat polinomica: 2A1 + A0 + 4A1 x = 3x; d'on s'obte A1 = 34 , i A0 = 43 . 3 3 yp(x) = ( x + x2 )ex : 4 4 III. 3 3 y(x) = c1 ex + c2 e x + ( x + x2 )ex : 4 4 Usant el MapleV: >
ode15:=diff(y(x),x$2)-y(x)=3*x*exp(x);
ode15 >
dsolve(ode15,y(x));
2
@ x := ( @x 2 y(x)) y(x) = 3 x e
y(x) = ( 32 cosh(x)2 x 34 cosh(x)sinh(x) 34 x + 23 cosh(x) x sinh(x) + 34 x2 43 cosh(x)2 ) sinh(x) + ( 32 cosh(x) x sinh(x) + 34 x2 + 43 cosh(x)2 32 cosh(x)2 x + 43 cosh(x)sinh(x) + 34 x) cosh(x) + C1 sinh(x) + C2 cosh(x)
>
simplify(%);
y(x) = 43 cosh(x) 34 sinh(x) x 43 cosh(x) x + 43 sinh(x) x2 + 43 cosh(x) x2 + C1 sinh(x) + C2 cosh(x) Fixem-nos que l'expressio que hem obtingut amb el MapleV no es la mateixa que s'ha obtingut calculant, pero son equivalents en el sentit que rede nint les constants i usant les de nicions de les funcions hiperboliques es passa d'una expressio a l'altra. Comproveu-ho. 5. b(x) = (an xn + :::a1 x + a0 )cos !x + (bm xm + ::: + b1 x + b0 )sin !x Estem ara davant una generalitzacio del cas (c). Com que els polinomis que surten en el terme independent no tenen perque tenir el mateix grau, sigui k = maxim(n; m). Aleshores es pot demostrar que sempre es pot trobar una solucio particular de la forma yp(x) = xs ((Ak xk + ::: + A0 )cos !x + (Bk xk + ::: + B0 )sin !x)ex ; on s compleix la mateixa condicio que en els apartats anteriors. p p p Exemple. Resoleu l'EDO y00 + 2y = 2x cos 2x sin 2x. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.6 Resolucio de les EDO lineals no homogenies a coe cients constants d'ordre 2
p
117
p
I. La solucio general de la part homogenia es yh (x) = c1 cos 2xp+ c2 sin 2x. II. Fixem-nos que el polinomi que multiplica a la funcio cos 2x es de grau 1 i el que multiplica a la funcio sin p2x es de grau 0. A mes, les funcions cos p2x i sin p2x son solucio de
la part homogenia, per tant, la solucio particular ha de ser de la forma p p yp = x((A1 x + A0 )cos 2x + (B1 x + B0 )sin 2x): Les derivades son: p p p yp0 (x) = (A0 + (2A1 + 2B0 )x + 2B1 x2 )cos 2x p p p +(B0 + (2pB1 2A0 )x p2A1 x2)sin 2x; p yp00 (x) = (2A1 + 2 2B0 + ( 2A0 + 4 2B1 )x 2A1 x2 )cos 2x p p p +(2B1 2 2A0 + ( 2B0 4 2A1 )x 2B1 x2)sin 2x: Substituint a l'EDO i simpli cant s'obte la igualtat: p p p p p p (2Ap1 + 2 2pB0 + 4 2pB1x)cos 2x + (2B1 2 2A0 4 2A1 x)sin 2x = 2x cos 2x sin 2x; d'on s'obte el sistema d'equacions 2A1 + 2pp2B0 = 0p 4p2B1 = 2 2B1 2p2A0 = 1 4 2A1 = 0:
p Les solucions del sistema son A0 = 3 8 2 , A1 = 0, B0 = 0 i B1 = 14 i, en consequencia, la solucio particular es p 3 2 x cos p2x + 1 x2 sin p2x: yp = 8 4 III. La solucio general es p 3 2 x)cos p2x + (c2 + 1 x2 )sin p2x: y(x) = (c1 + 8 4 Usant el MapleV: >
ode16:=diff(y(x),x$2)+2*y(x)=sqrt(2)*x*cos(sqrt(2)*x)-sin(sqrt(2)*x);
ode16 >
2
p
p
p
@ := ( @x 2 y(x)) + 2y(x) = 2 x cos( 2 x) sin( 2 x)
dsolve(ode16,y(x));
p p p p p y(x) = ( 12 2 x ( 21 cos( 2 x)sin( 2 x) + 12 2 x) 18 sin( 2 x)2 14 x2 + 1 cos(p2 x)2 )sin(p2 x) + ( 1 p2 x cos(p2 x)2 3 cos(p2 x)sin(p2 x) 4 p 4 p 8p p 1 + 8 2 x)cos( 2 x) + C1 sin( 2 x) + C2 cos( 2 x)
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
118
Equacions diferencials lineals
>
expand(%);
>
simplify(%);
>
p p p p p y(x) = 14 2 x cos( 2 x)sin( 2 x)2 + 41 sin( 2 x) x2 18 sin( 2 x)3 1 sin(p2 x)cos(p2 x)2 + 1 p2 x cos(p2 x)3 + 1 p2 x cos(p2 x) 8 8 p p4 + C1 sin( 2 x) + C2 cos( 2 x) p p p p y(x) = 38 2 x cos( 2 x) + 14 sin( 2 x) x2 18 sin( 2 x) + p + C2 cos( 2 x)
collect(%,fcos(sqrt(2)*x),sin(sqrt(2)*x)g);
p
C1 sin(
2 x)
p p p y(x) = ( 14 x2 18 + C1 )sin( 2 x) + ( 38 2 x + C2 )cos( 2 x) 6. b(x) = ex (a cos !x + b sin !x) Es pot demostrar que sempre es pot trobar una solucio particular de la forma yp (x) = xsex (A cos !x + B sin !x); on s compleix la mateixa condicio que en els casos anteriors. Exemple. Resoleu l'EDO y00 3y0 + 2y = ex sin(3x): I. La solucio de la part homogenia es yh(x) = c1 ex + c2 e2x II. La solucio particular ha de ser de la forma yp (x) = ex (A cos(3x) + B sin(3x)): Les derivades son: yp0 (x) = ex ((A + 3B )cos(3x) + (B 3A)sin(3x)) ; yp00 (x) = ex (( 8A + 6B )cos(3x) + ( 6A 8B )sin(3x)) : Substituint a l'EDO i simpli cant queda la igualtat: ( 9A 3B )cos(3x) + (3A 9B )sin(3x) = sin(3x); es a dir que ( 9A 3B )cos(3x) = (3A 9B 1)sin(3x); igualtat que es complira per tot valor de x si i nomes si tant el coe cient de la funcio sinus com el de la funcio cosinus son zero. Per tant, 9A 3B = 0 3A 9B 1 = 0: © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.6 Resolucio de les EDO lineals no homogenies a coe cients constants d'ordre 2
119
Les solucions del sistema son A = 301 i B = 101 . Aix doncs, 1 1 yp (x) = ex ( cos(3x) 30 10 sin(3x)): III. La solucio general es 1 1 sin(3x)): y(x) = c1 ex + c2 e2x + ex ( cos(3x) 30 10 Usant MapleV: >
ode17:=diff(y(x),x$2)-3*diff(y(x),x)+2*y(x)=exp(x)*sin(3*x);
ode17 >
2
@ @ x := ( @x 2 y(x)) 3( @x y(x)) + 2y(x) = e sin(3 x)
dsolve(ode17,y(x));
y(x) = 34 ex cos(x)3 ex cos(x) 103 cos(3 x) ex 101 ex sin(3 x) + C1 ex + C2 e(2 x) Per veure que les expressions obtingudes son equivalents podeu aplicar les relacions que hi ha entre el cosinus d'un angle multiple i el cosinus de l'angle, explicades al captol 1. Feu-ho com a exercici. 7. b(x) = ex ((an xn + ::: + a0 )cos !x + (bm xm + ::: + b0 )sin !x) Sigui k = maxim(n; m), el grau maxim dels dos polinomis que surten en l'expressio de b(x). Aleshores es pot demostrar que sempre es pot trobar una solucio particular de la forma yp(x) = xs ex ((Ak xk + ::: + A1 x + A0 )cos !x + (Bk xk + ::: + B1 x + B0 )sin !x); on s compleix la condicio ja citada dels casos anteriors. Exemple: resoleu l'EDO y00 y0 = ex ((x3 + 1)cos x sin x). I. Les solucions de l'equacio r2 r = 0 son r = 0 i r = 1, per tant, la solucio general de la part homogenia es yh(x) = c1 + c2 ex on c1 2 R i c2 2 R: II. En aquest exemple el maxim dels dos graus es k = 3. Per tant, la solucio particular que busquem ha de ser de la forma yp(x) = ex ((A3 x3 + A2 x2 + A1 x + A0 )cos x + (B3 x3 + B2 x2 + B1 x + B0 )sin x) ja que cap terme d'aquesta expressio no es solucio de la part homogenia. La primera i segona derivada de yp son: yp0 (x) = ex (((A3 + B3 )x3 + (A2 + B2 + 3A3 )x2 + +(A1 + B1 + 2A2 )x + A0 + B0 + A1 )cos x + +((B3 A3)x3 + (B2 A2 + 3B3 )x2 + +(B1 A1 + 2B2 )x + B0 A0 + B1)sin x); 00 yp (x) = ex (2B3 x3 + (2B2 + 6A3 + 6B3 )x2 + (2B1 + 4A2 + 4B2 + 6A3 )x + 2B0 + 2A1 + 2B1 + 2A2 )cos x + +( 2A3 x3 + ( 2A2 + 6B3 6A3 )x2 + +( 2A1 + 4B2 4A2 + 6B3 )x 2A0 + 2B1 2A1 + 2B2)sin x): © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
120
Equacions diferencials lineals
Substituint a l'EDO i simpli cant s'obte l'equacio ex (((B3 A3 )x3 + (B2 A2 + 3A3 + 6B3 )x2 + (B1 A1 + 2A2 + 4B2 + 6A3 )x + +B0 A0 + A1 + 2B1 + 2A2 )cos x +(( A3 B3)x3 + ( A2 B2 + 3B3 6A3 )x2 + ( A1 B1 + 2B2 4A2 + 6B3)x A0 B0 + B1 2A1 + 2B2 )sin x) = ex ((x3 + 1)cos x sin x);
d'on resulta el sistema d'equacions B3 B2 B1 B0 A3 A2 A1 A0
A3 = 1 A2 + 3A3 + 6B3 = 0 A1 + 2A2 + 4B2 + 6A3 = 0 A0 + A1 + 2B1 + 2A2 = 1 B3 = 0 B2 + 3B3 6A3 = 0 B1 + 2B2 4A2 + 6B3 = 0 B0 + B1 2A1 + 2B2 = 1:
Les solucions del sistema son A3 = 21 , B3 = 12 , A2 = 3, B2 = 23 ,A1 = 32 , B1 = 152 , A0 = 152 , B0 = 1 i la solucio particular obtinguda es: 3 15 1 3 3 2 15 1 yp(x) = ex (( x3 + 3x2 + x 2 2 2 )cos x + ( 2 x + 2 x 2 x + 1)sin x): III. La solucio general de l'EDO es: y(x)
= +
c1 + c2 ex 1 3 ex (( x3 + 3x2 + x
2 Resolent-ho amb el MapleV:
>
ode18:=diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)=exp(x)*((x^3+1)*cos(x) -sin(x));
ode18 >
2
@ @ x 3 := ( @x 2 y(x)) ( @x y(x)) = e ((x + 1)cos(x) sin(x))
dsolve(ode18,y(x));
y(x) = 152 ex cos(x) + 32 ex sin(x) x2 + C2 ex
>
2
15 )cos x + ( 1 x3 + 3 x2 15 x + 1)sin x): 2 2 2 2
1 x 1 x 3 3 x 3 2 e cos(x) x + 2 e cos(x) x + 2 e sin(x) x 15 ex sin(x) x + 3 ex x2 cos(x) + ex sin(x) + C1 2
collect(%,fcos(x),sin(x),exp(x)g);
y(x) = (( 23 x + 3 x2 152 21 x3 )cos(x) + ( 152 x + 12 x3 + 23 x2 + 1)sin(x) + C2 ) ex + C1
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.6 Resolucio de les EDO lineals no homogenies a coe cients constants d'ordre 2
121
8. b(x) es una suma d'alguns dels casos anteriors
En aquest ultim cas no cal explicar res de nou. L'unic que cal tenir en compte es que les EDO lineals no barregen les diferents solucions particulars entre si. E s a dir, que si yp (x) es solucio de l'EDO a2 y00 + a1 y0 + a0 y = b1 (x) i yp (x) es solucio de l'EDO a2 y00 + a1 y0 + a0 y = b2 (x); aleshores yp (x) + yp (x) es solucio de a2 y00 a1 y0 + a0 y = b1 (x) + b2 (x): Fixem-nos que les tres EDO tenen la mateixa part homogenia. Exemple. Resoleu l'EDO y00 + y = x3 + 2x + 1 + sin x 5ex sin x. I. Les solucions de r2 + 1 = 0 son r = i. Per tant yh(x) = c1 cos x + c2 sin x. II. El terme independent consta de la suma dels seguents tipus de termes independents: un polinomi, b1(x) = x3 +2x +1, una funcio trigonometrica, b2(x) = sin x, i una exponencial per un sinus, b3(x) = 5ex sin x. Es veri ca b(x) = b1 (x)+ b2 (x)+ b3 (x). Per tant, la solucio particular que busquem sera de la forma yp(x) = yp (x) + yp (x) + yp (x), on yp (x) es solucio de y00 + y = x3 + 2x + 1 = b1 (x), yp (x) es solucio de y00 + y = sin x = b2(x), yp (x) es solucio de y00 + y = 5ex sin x = b3 (x). Comencarem calculant yp (x). Segons el que hem explicat ha de ser de la forma yp (x) = A3 x3 + A2 x2 + A1 x + A0 : Les derivades son yp0 (x) = 3A3 x2 + 2A2 x + A1 , yp00 (x) = 6A3 x + 2A2 . Substituint a l'EDO y00 + y = x3 + 2x + 1 resulta l'equacio A3 x3 + A2 x2 + (A1 + 6A3 )x + A0 + 2A2 = x3 + 2x + 1; d'on s'obte que A3 = 1, A2 = 0, A1 = 4 i A0 = 1. Per tant, yp (x) = x3 4x + 1: Per una altra banda, yp (x) = x(A cos x + B sin x): Derivant yp0 (x) = (A + Bx)cos x +(B Ax)sin x i yp00 (x) = (2B Ax)cos x +( 2A Bx)sin x. Substituint a y00 + y = sin x s'obte l'equacio 2B cos x 2A sin x = sin x: 1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
1
1
1
1
2
2
2
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
122
Equacions diferencials lineals
D'aquesta igualtat surt que A =
1 2 i B = 0.
En consequencia, x cos x yp (x) = 2 : Finalment, la tercera solucio particular ha de ser yp (x) = ex (A cos x + B sin x): Derivant yp0 (x) = ex((A + B )cos x +(B A)sin x) i yp00 (x) = ex(2B cos x 2A sin x). Substituint a l'EDO y00 + y = 5ex sin x i resolent les equacions que en resulten s'obte A = 2 i B = 1. Aix doncs, yp (x) = ex (2cos x sin x): La solucio particular de l'EDO inicial es la suma de les tres que hem obtingut. Per tant, x cos x x yp(x) = x3 4x + 1 2 + e (2cos x sin x): 2
3
3
3
3
III. La solucio general es
y(x) = c1 cos x + c2 sin x + x3
Fent-ho amb MapleV: >
>
x cos x
x 2 + e (2cos x sin x):
ode19:=diff(y(x),x$2)+y(x)=x^3+2*x+1+sin(x)-5*exp(x)*sin(x);
ode19 >
4x + 1
2
@ 3 x := ( @x 2 y(x)) + y(x) = x + 2 x + 1 + sin(x) 5 e sin(x)
dsolve(ode19,y(x));
y(x) = (cos(x) x3 3sin(x) x2 + 4sin(x) 4cos(x) x + cos(x) + 12 cos(x)sin(x) 21 x + (sin(x) 2cos(x)) ex sin(x) + 2 ex )cos(x) + (x3 sin(x) + 3 x2 cos(x) 4cos(x) 4 x sin(x) + sin(x) 21 cos(x)2 12 ex (sin(2 x) 2cos(2 x)))sin(x) + C1 cos(x) + C2 sin(x) expand(%);
y(x) = cos(x)2 x3 4cos(x)2 x + cos(x)2 12 cos(x) x + 2 ex cos(x) + x3 sin(x)2 4 x sin(x)2 + sin(x)2 ex sin(x) + C1 cos(x) + C2 sin(x)
>
simplify(%);
y(x) = 21 cos(x) x + 2 ex cos(x) + x3 4 x + 1 ex sin(x) + La taula 3.1 resumeix els diferents casos que hem presentat.
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
C1 cos(x) + C2 sin(x)
3.7 Resposta d'un sistema de segon ordre
123
Cas Terme independent 1 anxn + ::: + a1x + a0 2 aex 3 a cos !x + b sin !x 4 (anxn + ::: + a1 x + a0)ex (anxn + ::: + a1 x + a0)cos !x 5 +(bm xm + ::: + b1 x + b0)sin !x 6 7
Solucio particular xs (An xn + ::: + A1 x + A0 )
xs Aex xs (A cos !x + B sin !x) xs (An xn + :::A1 x + A0 )ex xs ((Ak xx + ::: + A1 x + A0 )cos !x + (Bk xk + ::: + B1 x + B0)sin !x , on k =maxfn; mg x e (a cos !x + b sin !x) xs ex (A cos !x + B sin !x) x n e ((an x + ::: + a1 x + a0 )cos !x xs ex ((Ak xn + ::: + A0 )cos !x m k +(bm x + ::: + b0 )sin !x (Bk x + ::: + B0 )sin !x , on k =maxfn; mg
Taula 3.1: Obtencio de la solucio particular segons b(x). El nombre s es el mnim natural tal que cap dels termes la suma dels quals forma la solucio particular es solucio de l'equacio homogenia associada. 3.7 Resposta d'un sistema de segon ordre Volem caracteritzar la resposta d'un sistema de segon ordre, entenent-lo com un sistema descrit per una equacio diferencial ordinaria de segon ordre, lineal i amb coe cients constants, a diverses entrades o excitacions. Emprarem la forma normalitzada y + 2!n y_ + !n2 y = !n2 u(t); (3.60) on y es la variable d'interes, el comportament de la qual volem estudiar, u(t) es el senyal que introdum en el sistema i i !n > 0 son parametres propis del sistema. El parametre , anomenat parametre d'esmortement, no te dimensions, mentre que !n, anomenada la frequencia natural sense esmortement del sistema, te dimensions de temps 1 . El parametre es no negatiu, 0; tal com veurem immediatament, posar valors negatius per a correspon a sistemes fsicament impossibles. Amb el factor !n2 que apareix a la dreta, u(t) i y tenen les mateixes dimensions, es a dir, si u(t) es un voltatge, llavors tambe ho es y; aixo es pot canviar posant algun altre factor propi del problema concret que tinguem entre mans. Considerem dos exemples de sistemes concrets que poden adaptar-se a la formulacio donada per l'equacio (3.60). Circuit RLC. Sigui el circuit amb font de tensio de la gura 3.1. La relacio entre la tensio d'entrada u(t) i el voltatge en el condensador ve donada per l'equacio diferencial R 1 1 u(t): y + y_ + y = L
LC
LC
Comparant amb la formulacio canonica (3.60) es veu immediatament que 1 !n2 = LC i, per tant, !n es realment la frequencia d'oscillacio del circuit sense la resistencia ni font de tensio externa. Comparant el terme de la derivada primera 1 ; R = 2!n = 2 pLC L © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
124
Equacions diferencials lineals
s'obte
r
1 C = R 2 L i es un calcul senzill veure que aixo no te dimensions (cal emprar [LC ] = T 2 , [RC ] = T ). Com que R 0, sera 0. Sistema mecanic. Sigui una massa m subjecta a la forca recuperadora d'una molla, a un fregament proporcional a la velocitat i a una forca externa, tal com mostra la gura 3.2. La segona llei de Newton dona mx = kx x_ + F (t); que es pot reescriure com
k F (t) k F (t) x + x_ + x = = m
m
m
m k
En la formulacio canonica (3.60) tenim que la sortida es el desplacament respecte a la posicio d'equilibri y = x(t); l'entrada es F (t) u(t) = k (aixo representa la posicio desitjada segons el valor de la forca que apliquem), la frequencia natural es r k !n = ; m i el parametre d'esmortement es 1 = p : 2 km Emprant hmi m 2 = T =T k
es de nou facil demostrar que no te dimensions. Com que ha de ser 0, tambe 0. L u(t)
C
y(t)
R
Figura 3.1: Circuit RLC amb font de tensio. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.7 Resposta d'un sistema de segon ordre
125
Tornem a considerar el problema general donat per (3.60). Tractarem primer el problema homogeni, u(t) = 0, i despres estudiarem un parell d'entrades no trivials. L'equacio caracterstica de l'equacio homogenia y + 2!n y_ + !n2 y = 0
(3.61)
r2 + 2!n r + !n2 = 0;
(3.62)
associada a (3.60) es amb solucio
p
2!n 42 !n2 4!n2 = ! p2 1 : r= (3.63) n 2 Fixem-nos que si es negatiu, la part real de qualsevol de les dues r sera sempre positiva, i aixo vol dir que la solucio de l'equacio homogenia contindra exponencials positives que creixerant inde nidament amb t. En un context mecanic, aixo voldria dir un fregament que accelera els cossos en lloc de frenar-los; en un context electric, una resistencia negativa, etc. Agafant per tant 0 tenim tres situacions possibles: 0 < 1. En aquest cas 2 < 1 i tenim un parell de valors complexos conjugats r = !n ( i ); p on hem escrit = 1 2 > 0. La solucio de l'equacio homogenia es yh (t) = C1 e ! t cos !n t + C2 e ! t sin !n t: (3.64) El cas mes particular encara, = 0, dona = 1 i yh (t) = C1 cos !n t + C2 sin !nt; i d'aqu ve el nom de !n. = 1. Tenim ara una unica arrel doble, r = !n, i per tant yh(t) = C1 e ! t + C2 te ! t : (3.65) n
n
n
n
- γv k
m
F(t)
x
Figura 3.2: Sistema mecanic equivalent al circuit RLC . © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
126
Equacions diferencials lineals
> 1. Ara tenim dues arrels reals, r1;2 = !n
p
2
1
<
0, i la solucio de
l'homogenia es una combinacio d'exponencials decreixents: yh (t) = C1 er t + C2 er t : (3.66) Amb condicions inicials y(0) = y0 i y_ (0) = 0, es facil veure que les respectives solucions particulars son 0 < 1, y y(t) = y0 e ! t cos !n t + 0 e ! t sin !n t: = 1, y(t) = y0 e ! t + !ny0 e ! t : > 1, p p 1)t p2 1 ! (+p 1)t + 2 1 ! ( p y(t) = p 2 ye ye : 2 1 0 2 2 1 0 Aquestes expressions apareixen representades a la gura 3.3 per a y0 = 1, !n = 1 i els quatre valors = 0:1, = 0:3, = 1:0 i = 2:0, respectivament. Cal observar que = 1 proporciona la tornada mes rapida cap a la posicio d'equilibri (y = 0) sense sobrepassar-la. En aquest cas es diu que el sistema esta crticament esmortet, mentre que el cas > 1 s'anomena sobreesmortet, i el cas < 1 subesmortet. La condicio d'esmortement crtic acostuma a ser un factor important en el disseny d'un sistema. 1
2
n
n
n
n
2
Resposta a un esglao
n
n
2
Considerarem primer la resposta a l'entrada tipus esglao t < 0; u(t) = 0A si si t 0: Ja que sols volem resoldre l'equacio per a t > 0, aixo es equivalent a posar y + 2!n y_ + !n2 y = A!n2 : (3.67) Com que ja tenim la solucio general, sols hem de calcular la solucio particular. Com que el membre dret es una constant, haurem de buscar solucions particulars de la forma yp (t) = ; i no cal que multipliquem per cap potencia de t ja que les constants no son mai solucio de l'homogenia, excepte en el cas sense cap interes en que !n = 0 (en aquest cas, a mes, l'equacio original ja es homogenia). Substituint a (3.67) obtenim =A i, per tant, la solucio general de l'equacio (3.67) sera y(t) = yh (t) + A: (3.68) Per aquest tipus d'entrada resulta convenient suposar que el sistema es troba inicialment en repos en la posicio d'equilibri, es a dir, y(0) = 0; y_ (0) = 0: Amb aquestes condicions inicials, les solucions particulars son © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.7 Resposta d'un sistema de segon ordre
127
1 0.8 0.6
2.0
0.4
1.0 0.2
0
2
4
6
t
8
10
12
14
–0.2
0.3 –0.4
0.1
–0.6
Figura 3.3: Evolucio d'un sistema d'ordre dos inicialment en repos i separat de l'equilibri per a
= 0:1, = 0:3, = 1:0 i = 2:0.
0 < 1,
y(t) = A Ae
= 1, > 1,
!n t
cos !n t
y(t) = A Ae p
+ 2 y(t) = A A p 2 2
1e
!n (
!n t
A e
!n t
A!n te
!n t :
p 1)t +A 2
p p
sin !n t:
2 2
1e
p 1)t :
!n ( + 2
1 2 1 Posant A = 1 i !n = 1, aquestes solucions apareixen de nou a la gura 3.4 per a = 0:1, = 0:3, = 1:0 i = 2:0. Pel cas < 1 es de neixen una serie de quantitats que caracteritzen qualitativament la resposta, algunes de les quals apareixen representades a la gura 3.5. El sobrebot o overshoot es de neix com el valor maxim de la resposta despres de superar el valor asimptotic y = A. Si suposem que aquest valor s'assoleix a t = tp, la quantitat d'interes es el tant per cent de sobrebot, que vindra donat per y (tp ) A 100: A L'altra quantitat important es el temps d'establiment o settling time, que es el temps ts a partir del qual podem assegurar que la resposta es quedara en un marge del 2% al voltant del valor asimptotic: jy(t) Aj 0:02A; 8t > ts: © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
128
Equacions diferencials lineals
0.1
1.6
0.3
1.4 1.2 1
1.0 0.8
2.0 0.6 0.4 0.2
0
2
4
6
t
8
10
12
14
Figura 3.4: Resposta d'un sistema de segon ordre a una entrada esglao per a = 0:1, = 0:3, = 1:0 i = 2:0. Els calculs d'aquestes quantitats es poden efectuar mes facilment si escrivim la solucio del cas < 1 com p y(t) = 1 e ! t 1 ( 1 2 cos !n t + sin !n t): (3.69) n
A
p
Si ara escrivim = cos , que te sentit ja que 0 < 1, tindrem = 1 y(t) = 1 e ! t 1 sin(!n t + ): n
A
Per trobar tp hem de calcular el primer maxim. Tenim 1 y_ (t) = !n e ! t sin(!n t + ) !n e n
= =
!n e !n e
(cos sin(!n t + ) ! t sin ! t: n !n t
2 = sin , i llavors
(3.70)
1
cos(!n t + ) sin cos(!n t + )) !n t
n
Per tant, y_ (t) = 0 implica
0 = sin !n t; d'on !n t = k, k 2 Z. Com que volem el primer maxim sera k = 1 i llavors tp = = p : !n !n 1 2 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
(3.71)
3.7 Resposta d'un sistema de segon ordre
129
overshoot
1.02 0.98
0
tp
ts
Figura 3.5: De nicio de tp i ts per a un sistema de segon ordre quan < 1. L'eix d'ordenades s'ha normalitzat a A = 1. A partir d'aqu s'obte immediatament l'expressio seguent per al tant per u de sobrebot: p y(tp ) A : (3.72) = e A Emprant (3.70), la condicio pel temps d'establiment es 1 j sin(!n t + )j 0:02; 8t > ts: e ! t p 1 2 Com que el sinus esta tat per 1, podem assegurar que aixo passara si demanem p e ! t = 0:02 1 2 ; d'on 1 1 log(1 2 ): !n ts = log 50 2 Fins aqu el calcul es exacte, tenint en compte que treballem amb desigualtats i, per tant, la condicio es su cient pero no necessaria. L'expressio obtinguda es, pero, difcil de recordar per l'enginyer practicant. Normalment, llevat que 1, el terme 1 2 2 log(1 ) es menyspreable enfront de log 50. Per tant, acostuma a ser una bona aproximacio escriure log 50 3:912 4 4; ts !n !n !n
1
2
n
n
s
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
130
Equacions diferencials lineals
on
= !1 n
s'anomena el temps caracterstic o constant de temps del sistema de segon ordre. Resposta a una entrada sinusodal
Considerarem ara una entrada de la forma u(t) = A sin !t; t 0; de manera que l'equacio diferencial que hem de resoldre per a t > 0 sera y + 2!n y_ + !n2 y = A!n2 sin !t: (3.73) Suposem que 6= 0 o ! 6= !n, de manera que ni sin !t ni cos !t puguin ser solucions de l'equacio homogenia.. La primera d'aquestes condicions no suposa cap restriccio practica, ja que el cas = 0 no pot donar-se en cap sistema fsic real. La solucio particular sera llavors de la forma yp(t) = sin !t + cos !t: Un calcul senzill mostra que
i llavors
=
=
!2 !n2 !n2 A 2 (! !n2 )2 + 42 !n2 !2 ; 2!!n !n2 A 2 (! !n2 )2 + 42 !n2 !2 ;
!n2 A ((!2 !n2 )sin !t !n2 )2 + 4 2 !n2 !2
2!n! cos !t): (3.74) (!2 Aquesta expressio pot simpli car-se si es de neix la impedancia del sistema de segon ordre sotmes a entrada sinusodal p Z = (!2 !n2 )2 + 4 2 !n2 !2 ; (3.75) i es considera la gura 3.6, d'on es dedueix que 2 2 cos ' = ! !n ; sin ' = 2!!n : yp(t) =
Llavors
Z
Z
!n2 A (cos ' sin !t Z
2
sin ' cos !t) = !ZnA sin(!t '): (3.76) Una vegada tenim la solucio particular, ja es possible calcular la solucio corresponent a determinades condicions inicials, per exemple y(0) = 0, y_ (0) = 0, segons els diversos rangs de valors de . Per al cas < 1 s'obte, per exemple, yp(t) =
C1
=
C2
=
!n2 A sin '; Z !n2 A (! sin ' ! cos '); Z n
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.7 Resposta d'un sistema de segon ordre
131
2 ξ ωn ω Z ϕ 2
2
ω - ωn
Figura 3.6: De nicio de la impedancia pel sistema (3.73). i, per tant,
!n2 A sin ' e Z
2
2
cos !n t + !ZnA (!n sin ' ! cos ')e ! t sin !n t + !ZnA sin(!t '): Aquesta resposta apareix representada a la gura 3.7 per a diferents valors de la frequencia d'excitacio !. S'observa que l'amplada de la resposta es maxima quan ! esta al voltant de la frequencia natural del sistema, !n, mentre que decreix molt rapidament si ! > !n. En tots els casos la resposta transitoria, corresponent a la solucio de l'homogenia, desapareix aproximadament despres de 10 unitats de temps, que es aproximadament igual a 3 . Aquest es el temps en que la contribucio de les exponencials cau a e 3 0:05 del seu valor inicial. Per ser mes precisos cal considerar la gra ca de la impedancia, gura 3.8, que es el factor que apareix dividint l'expressio de l'amplitud de la resposta. Si calculeu el mnim de Z respecte a !, obtindreu que aquest s'assoleix quan p ! = !n 1 2 2 !n : Per a petit, aixo es, ! !n. Per a = 0:3, tenim ! 0:905 !n, que es el que s'aprecia a la gura 3.8. S'ha de tenir en compte, pero, que aquest valor de la frequencia, que s'anomena frequencia de ressonancia d'amplada, i que maximitza l'amplada de la resposta, no es el valor que maximitza la transferencia d'energia de l'excitacio a la resposta. La potencia instantania transmesa es, per una entrada qualsevol, proporcional al producte de l'entrada i la velocitat de la resposta: P (t) u(t) y_ (t): En el nostre cas tenim P (t) A sin !t y_ (t) De fet sols te sentit considerar la potencia en regim permanent, de manera que l'expressio rellevant es y(t) =
P (t)
!n t
n
2
A sin !t y_p(t) = A2 !n2 Z! cos(!t ')sin !t = A2 !n2 Z! (sin(2!t ') + sin '): © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
132
Equacions diferencials lineals
1.6 1.4 1.2
1.0
1 0.8
0.5
0.6 0.4 0.2 0 –0.2 –0.4
2
4
6
8
10
12
14
t
16
18
20
22
24
26
28
30
2.0
–0.6 –0.8 –1 –1.2 –1.4 –1.6
Figura 3.7: Resposta del sistema de segon ordre a una entrada sinusodal per a = 0:3, !n = 1 i diferents valors del quocient !=!n. En general, mes que la potencia instantania interessa la potencia mitjana al llarg d'un perode 2 T= de l'excitacio:
!
Pm
Z T 1 P (t) dt: =
T 0
En fer la integral la part que depen de t de la potencia instantania fa mitjana a zero i sols queda el terme proporcional a sin ': A2 ! 2!n ! !2 A2 ! = A2 !n3 2 : Pm = !n2 sin ' = !n2 2 Z 2 Z Z Z Aquesta potencia mitjana sera maxima quan ho sigui el quocient !2=Z 2 . Un simple calcul mostra que aixo passa precisament quan ! = !n. Es diu que llavors es te ressonancia en l'energia o ressonancia en la potencia. La gura 3.9 mostra la gra ca de !2 =Z 2 en funcio de !=!n per a = 0:3 i = 0:2. Per a = 0 s'assoliria un valor in nit en el punt ! = !n, pero tal com hem dit, aixo no pot passar per a cap sistema real. El valor ! = !n fa que la diferencia de fase entre yp(t) i sin !t sigui =2, que es el mateix que dir que la diferencia de fase entre y_ p(t) i sin !t es 0. Les corbes de diferencia de fase apareixen a la gura 3.10 per a diferents valors de .
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3.7 Resposta d'un sistema de segon ordre
133
3.2 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 Z 1.8 1.6 1.4 1.2
0.3
1 0.8
0.2
0.6 0.4 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 3.8: Impedancia del sistema (3.73) per a = 0:3 i = 0:2 en funcio del quocient !=!n.
0.2
6
5
4
3
0.3
2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 3.9: Corbes de potencia mitjana en funcio de !=!n per a = 0:3 i = 0:2.
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
134
Equacions diferencials lineals
3.14159
0.2 0.3
1.5708
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Figura 3.10: Diferencia de fase entre y(t) i sin !t per a = 0:3 i = 0:2 en funcio del quocient !=!n .
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
4 Transformada de Laplace La transformada de Laplace es un metode alternatiu per a la resolucio d'equacions diferencials lineals. La seva importancia radica en el fet que converteix equacions diferencials en equacions algebraiques per a les noves funcions transformades. Aquestes darreres equacions es poden solucionar trivialment i el resultat s'antitransforma per obtenir la solucio com a funcio de la variable original. Per veure mes clarament el proces, podem establir una analogia amb la utilitzacio del logaritme per calcular productes. Si A i B son nombres reals i volem calcular X =AB primer podem prendre el logaritme i utilitzar-ne les propietats: log AB = log A + log B: L'operacio suma es mes economica que el producte original. Si anomenem C el resultat de la suma C = log A + log B; sabem que podem obtenir el producte X amb l'antilogaritme, es a dir, l'exponencial: X = exp C: L'avantatge d'emprar aquest cam mes llarg es, com hem dit, l'economia de la suma respecte al producte i el fet que el logaritme i l'exponencial son operacions que es poden fer consultant les taules corresponents. Amb els metodes electronics de calcul de que disposem avui en dia, tot aixo pot semblar irrellevant, pero era molt important ns fa poques decades. La taula 4.1 mostra l'analogia completa entre el calcul de productes de nombres reals i la resolucio d'equacions diferencials. Per a la resolucio d'equacions diferencials pel metode de la transformada de Laplace haurem de generar taules de transformades i antitransformades, per analogia amb les taules de logaritmes. A mes de les raons que hem exposat, el metode de la transformada de Laplace es especialment util des del punt de vista de l'enginyeria, ja que permet, a partir d'unes regles molt senzilles, Producte de nombres reals Resolucio d'equacions diferencials Logaritme Transformada de Laplace Suma Resolucio d'equacions algebraiques Exponencial Antitransformada de Laplace Taula 4.1: Analogia entre el calcul de productes i la resolucio d'equacions diferencials © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
136
Transformada de Laplace
escriure les equacions d'un sistema directament per a les variables transformades, sense passar per les equacions diferencials. Per a un tractament matematic mes extens del que farem nosaltres, pero accessible, podeu consultar [PF93]. 4.1 La transformada de Laplace Si f (t) es una funcio de nida per a t 0, la transformada de Laplace de f (t) es la funcio F (s) de nida per la integral Z +1 F ( s) = e st f (t)dt: 0 La transformada de Laplace de la funcio f (t) tambe es representa per Lff g(s), i te sentit quan la integral que la de neix existeix. La funcio original f (t) es coneix com la transformada inversa de F (s) i se la denota per L 1 fF g(t). Noteu, a partir de la de nicio, que la transformada de Laplace d'una funcio es una altra funcio que s'obte de la primera per mitja d'una integral impropia. Una integral impropia es una integral en que l'area que es vol calcular pot ser in nita, be perque la funcio creix inde nidament en algun punt o be perque la regio te base in nita (aquest es el nostre cas). Imaginem que volem calcular Z +1 f (x) dx: 0 El que es fa primer es calcular la integral en funcio de la base de la regio: Z A
0
f (x) dx;
i despres deixar que aquesta base es faci tan gran com vulguem (aixo vol dir fer el lmit quan
A ! +1):
Z
+1
f (x)dx =
Z A
lim f (x)dx: A!+1 0 0 Aquest proces pot donar un resultat nit o in nit. En el darrer cas es diu que la integral impropia no existeix o no es convergent o que la funcio f (x) no es integrable en [0; +1), mentre que en el primer es diu que la integral impropia existeix o es convergent, o que la funcio f (x) es integrable en [0; +1). Per exemple, A Z A 1 lim d t = lim arctan t = lim arctan A = 2 A!+1 0 1 + t A!+1 2 0 A!+1 i, per tant, direm que 1=(1 + x2) es integrable en [0; +1) amb valor Z +1 1 dt = ; 2 0 1 + t2 mentre que A Z A 1 d t = lim log t = lim log A = +1 lim A!+1 A!+1 1 t 1 A!+1 i, per tant, direm que Z +1 1 dt t 1
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
4.1 La transformada de Laplace
137
no existeix. Per al cas de la transformada de Laplace escriurem Lff g(s) = F (s) = A!lim+1
Z A
0
e
st f
(t)dt si existeix:
Per exemple, la transformada de Laplace de f (t) = 1 es Lf1g(s) = A!lim+1
Z A
0
e
st
dt = A!lim+1 1
e s
sA
= 1s ; s > 0:
Hi ha molts criteris per decidir si una integral impropia es o no convergent. Un d'ells es el anomenat criteri de comparacio, i es el que utilitzarem aqu per demostrar l'existencia de la transformada de Laplace de les funcions que ens interessen. Lema 4.1 (criteri de comparacio) Si g 0 es integrable i j f j g, llavors f es integrable. Aquest criteri ve a dir que si l'area per sota d'una funcio positiva g no es in nita, llavors l'area per sota de qualsevol corba que, en valor absolut, estigui per sota de g tampoc no sera in nita. Per aplicar aquest criteri al problema de determinar l'existencia de la transformada de Laplace introdurem el concepte de funcio d'ordre exponencial. Direm que f (t) es una funcio d'ordre exponencial si existeixen constants M i T tals que j f (t) j Met , t > T 0. En altres paraules, una funcio es d'ordre exponencial si, a partir d'un cert valor, la seva gra ca, en valor absolut, esta per sota de la d'una exponencial Met . Llavors tenim el resultat seguent: Teorema 4.2 Si f (t) es C 1 a trossos en existeix per a s > .
[0; +1)
i d'ordre exponencial , llavors
Lff g(s)
Demostracio. Demanar que f (t) sigui contnua a trossos es una condicio per assegurar que la integral entre 0 i qualsevol valor nit A existeixi. El que cal demostrar es que R0+1 e stf (t)dt es convergent per a s > . Ja que f (t) es d'ordre exponencial , per a tot t > T 0 es te j f (t) j Met ; i, per tant, j e stf (t) j= e st j f (t) j Me (s )t per a tot t > T 0. Ara be, per a s > , Z
Ja que
0
+1
Me (s )t dt = M
Z
0
+1
M e (s )t dt = < 1: s
j e st f (t) j Me (s )t per a tot t > T 0
i com acabem de veure a dalt la integral de la funcio mes gran convergeix per a s > . Llavors, pel criteri de comparacio, la integral Z
0
+1
e
st f
(t)dt
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
138
Transformada de Laplace
convergeix per a s > i, per tant, la transformada de Laplace de f (t) existeix per a s > . Les funcions que compleixen les hipotesis d'aquest teorema s'anomenen funcions admissibles. El tipus de funcio que normalment es troba en resoldre equacions diferencials lineals amb coe cients constants (polinomis, exponencials, sinus i cosinus) es a la vegada contnua i d'ordre exponencial. A continuacio veurem dos exemples de funcions admissibles i un exemple d'una que no ho es. Exemples
1. f (t) = t. E s una funcio admissible, contnua i d'ordre exponencial > 0. Com que existeixen constants M i T tals que t < Met , per a tot > 0 i t > T 0, llavors podem agafar s tan petita com vulguem i, per tant, la transformada de Laplace existeix per a s > 0. Per calcular-la, integrant per parts es te, Z +1 1 F (s) = e st tdt = ; s > 0: s2
0
2. f (t) = eat , si t > 0 i a constant. Funcio admissible (contnua i d'ordre exponencial = a). La seva transformada de Laplace existeix per a tot s > a i es Z +1 Z +1 1 ; s > a: st at F (s) = e e dt = e (s a)t dt = 0
s a
0
Fixem-nos que hi ha funcions que no son d'ordre exponencial. Sigui per exemple f (t) = et . Com que et t(t ) = +1; = t!lim lim +1 e t!+1 et per a qualsevol es dedueix que et creix mes rapid que et per a qualsevol eleccio de . Com a consequencia, la transformada de Laplace de et no existeix per a cap valor de s. 2
2
2
2
4.2 Propietats elementals
Com suggereix la notacio F (s) = Lff g(s), L es un operador que transforma funcions de t en funcions de s. A mes, es tracta d'un operador lineal: P1 Linealitat
Si f (t) i g(t) son dues funcions admissibles i ; 2 R Lff + gg(s) = F (s) + G(s): Demostracio
Lff + gg(s) =
= =
lim
A!+1
Z A
0Z
e
st
(f (t) + g(t)) dt =
A
lim e st f (t)dt + lim A!+1 0 A!+1 F (s) + G(s):
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
Z A
0
e
st g
(t)dt =
4.2 Propietats elementals
139
Aquesta propietat ens permet calcular la transformada de Laplace de f (t) = cosh at utilitzant la seva forma exponencial i el coneixement de la transformada de l'exponencial. at e
+ e at 1 Lfcosh atg(s) = L ( s) = Lfeat g(s) + Lfe at g(s) = 2 2 = 21 s 1 a + s +1 a = s2 s a2 :
La utilitat de la transformada de Laplace en la resolucio d'equacions diferencials es basa en la seguent propietat de derivacio, que diu, essencialment, que derivar f (t) equival a multiplicar F (s) per s. Suposem f (t) i f 0(t) admissibles. Aleshores: P2 Derivacio Lff 0g(s) = sF (s) f (0): Demostracio
Integrant per parts es tindra: Lff 0g(s)
= =
Z
+1
+1
Z
(t)dt = e (t) 0 + s 0 0 f (0) + sLff g(s) = sF (s) f (0): e
st f 0
st f
+1
e
st f
(t)dt =
Analogament, per a f 00(t) es te: Lff 00g(s) = sLff 0g(s) f 0(0) = s (sF (s) f (0)) f 0(0) = s2F (s) sf (0) f 0(0):
En general, si f (t); f 0(t); ; f (n) (t) son admissibles, es te la generalitzacio seguent: P3 Derivacio d'ordre n Lff (n)g(s) = sn (Lff g(s)) sn 1f (0) sf (n 2)(0) f (n 1)(0): Demostracio
Ho farem emprant induccio sobre l'ordre de la derivada. Per a n = 1, de P1 tenim Lff 0g(s) = sLff g(s) f (0): Suposem cert el resultat ns a n 1 i tindrem Lff (n 1)g(s) = sn 1Lff g(s) sn 2f (0) f (n 2)(0): Tenint en compte que f (n) = f (n 1)0 i aplicant la induccio, Lff (n) g(s) = Lf(f (n 1) )0 g(s) = sLff (n 1)g(s) f (n 1)(0) = = sLff g(s) sn 1f (0) sf (n 2)(0) f (n 1)(0): © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
140
Transformada de Laplace
Trobeu la solucio del problema de valor inicial y00 + y = 1; amb y(0) = 1; y0 (0) = 0: Apliquem Laplace a tota l'equacio i tindrem: Lfy00 + yg(s) = Lf1g(s); i tenint en compte les propietats de linealitat i derivacio i les condicions inicials, ens queda: (s2 + 1)Lfyg s = 1s : Allant Lfyg, es te Lfyg = 1s i, per tant, la solucio es y(t) = L 1 f 1s g = 1. Exemple.
4.3 Mes propietats Pel que acabem de veure en la propietat 2 de derivacio, cal esperar que la integracio d'una funcio f (t), en termes de transformada de Laplace, correspongui a dividir F (s) per s. En efecte, passa aixo com podem veure en la propietat seguent. P4 Integracio
L
Z t
f (u)du
(s) = F s(s) ; si f es contnua:
0 Demostracio Diem g(t) = R0t f (u)du i g0 (t) = f (t). Aleshores, F (s) = Lfg0 g(s) = sLfgg(s) g(0) = sLfgg(s):
Calcul de g(t) sabent que G(s) = s2 1+ s . Expressem G(s) com a producte de 1s i s +1 1 . Recordem que s +1 1 es la transformada de Laplace de f (t) = e t . Per tant, tenim 1 G(s) = F (s): s Si apliquem transformada inversa de Laplace a tota l'expressio i a la part dreta apliquem la propietat d'integracio ens quedara Z t 1 1 g(t) = L f F (s)g(t) = e u du = s 0 t = 1 e : Les dues propietats seguents ens diuen que passa si en lloc de multiplicar o dividir la funcio transformada ho fem amb la funcio original. Exemple.
P5 Multiplicacio per t Demostracio
d Z +1 e ds 0
Lftf (t)g(s) = dLfdfsg(s) : st f
(t)dt =
Z
0
+1
tf (t)e
st
dt = Lftf g(s):
Exemples
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
4.3 Mes propietats
141
1. Calcul de Lff g(s) on f (t) = tn.
n 1 d (s) = Lft tg(s) = ( 1) dsn Lf1g(s) = ( 1)n dds(ns ) = snn+1! : 2. Calcul de L 1fGg(t) si G(s) = (s 1 2)2 . n o Com que G(s) = dds ( s 1 2 ) i L 1 s 1 2 (t) = e2t , a partir de P5 es te que L 1fGg(t) = te2t :
n
Lftng
P6 Divisio per t
L
n
f (t) t
(s) =
n
+1
Z
s
Lff (u)gdu:
Demostracio
A partir de la de nicio de transformada es te: +1
Z
Lff (u)gdu =
s
+1 Z +1
Z
0
s
ut f
e
(t)dt du;
i es pot demostrar que es possible invertir l'ordre d'integracio, es a dir, Z
+1
s
Lff (u)gdu =
Z
0
+1 Z +1 s
e
ut f
(t)du dt =
Z
+1
0
f (t)
+1
Z
s
e
ut
du dt:
La integral sobre u de la dreta es igual a e tst i, per tant, Z +1 Z +1 f (t) Lff (u)gdu = e st dt = L f (t) (s): t
0
s
t
Veurem ara que passa si canviem l'origen en la funcio transformada: P7 Translacio sobre l'eix s Si f (t) es admissible i Lff g(s) = F (s), llavors L eat f (t) (s) = F (s a); amb s a > : Demostracio F (s a) =
Z
0
+1
e (s a)t f (t)dt =
Z
0
+1
e
st eat f
(t) dt = L eat f (t) (s):
Exemples
1. f (t) = tn 2. f (t) = cos bt
L eat tn (s) = (s na!)n+1 : L eat cos bt (s) = (s sa)2a+ b2 :
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
142
Transformada de Laplace
Ara introduirem una funcio que es dona molt sovint quan la transformada de Laplace s'aplica a problemes fsics. Les funcions amb discontinutat de salt es poden representar en termes de l'anomenada funcio esglao, funcio pas o funcio de Heaviside (Oliver Heaviside, 1850-1925), de nida com t < 0; (t) = 01 si si t > 0; i que no esta de nida per a t = 0, pero s'acostuma a posar (0) = 1=2. Si en lloc del salt a t = 0 aquest es te en un punt t0 qualsevol, es pot emprar t < t0 ; t (t) (t t0 ) = 01 si si t > t0: Fixem-nos que, en general, si h(t) < 0; (h(t)) = 01 si h(t) > 0: Emprant aquestes funcions discontnues es possible representar de forma compacta qualsevol funcio de nida a trossos, sigui o no contnua en els punts de canvi de de nicio. Per exemple, si 2 t < 1; f (t) = t2t si si t > 1; llavors f (t) = (2t t2 )(t 1) + t2 : El valor del salt a t = 1 es f (1+ ) f (1 ) = (2 1 12 ) 1 + 12 (2 1 12 ) 0 + 12 = 1: La transformada de Laplace de (t a) amb a 0 es 0
as
Lf(t a)g(s) = e s ;
ja que per a s > 0,
Lf(t a)g(s) =
=
Z
0
+1
st
e
lim A!+1
e
(t
st A
s
a
a)dt = sa
= es
Z
a
+1
e
st
dt =
:
Noteu que Lf(t)g(s) = Lf1g(s) ja que (t) = 1 per a t > 0. Aixo ens permet donar la propietat de translacio sobre l'eix t, la qual mostra l'efecte de multiplicar la transformada de Laplace d'una funcio per e as . P8 Translacio sobre l'eix t
Si f (t) es admissible i a es una constant positiva Lff (t a)(t a)g(s) = e as F (s); i si f (t) es contnua en [0; +1), aleshores L 1fe as F (s)g(t) = f (t a)(t a): © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
4.4 Altres resultats importants
143
Demostracio
+1
Z
Lff (t a)(t a)g(s) =
0
Z
=
e
+1
st f
(t
a)(t a)dt =
e s(u+a) f (u)du = e
0
Calcul de L 1 es22s (t). Aqu a = 2 i F (s) = s12 , per tant, n
Exemple.
as
+1
Z
Z
a
+1
0
e
st f
e
us f
(t
a)dt u==t a
(u)du = e
as F
(s):
o
f (t) = L
1
1 (t) = t:
s2
De la propietat 8 es dedueix L
1 e 2s (t) = f (t s2
2)(t 2) = (t 2)(t 2):
Una darrera propietat senzilla es la que ens diu que passa si canviem l'escala de temps: P9 Canvi d'escala
Si f (t) es admissible i a es una constant positiva, llavors L ff (at)g (s) = 1 Lff g s : a
Demostracio
L ff (at)g (s) =
+1
Z
0
e
st f
a
Z +1 1 (at)dt = a e
u=at
f (u)du =
su a
0
1 Lff g s :
a
a
4.4 Altres resultats importants Els resultats d'aquesta seccio tenen molta importancia en la teoria de control, en particular la propietat del valor nal. P10 Funcions periodiques
Si f (t) es admissible i periodica de periode T , aleshores Z T 1 Lff g(s) = 1 e sT e st f (t)dt: 0 Demostracio
Lff g(s) =
=
Z
+1
0
Z T
0
e
e
st f
st f
(t)dt =
(t)dt +
Z T
Z
0
0 +1
(t)dt +
e
st f
e
s(u+T ) f
+1
Z
T
(u)du =
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
e
st f
Z T
0
e
(t)dt u==t T st f
(t)dt + e sT Lff g(s):
144
Transformada de Laplace
D'on, allant Lff g(s), es te el resultant desitjat. Exemple. Calcul de la transformada de 8 <
sin t si 0 < t < f (t) = 0 si < t < 2 : estesa amb perode 2: Com que T = 2 es te que Z 2 Z 1 1 st e f (t)dt = Lff g(s) = 1 e sT 1 e sT 0 e 0 Si calculem la integral per parts tenim Z
0
e
st f
(t)dt = cos te
Allant la integral es tindra i tenint en compte que 1
Z
0
st j
0
s sin te
0
sin te stdt = 11++e s2
s
e2s = (1 e
s2
st j
Z
0
st f
(t)dt:
sin te st dt:
;
)(1 + e s) es dedueix que Lff g(s) = (1 + s2)(11 e s) : s
P11 Valors inicial i nal
Si f (t) es admissible llavors
lim F (s) = 0; Si a mes, f 0(t) tambe es admissible i els lmits existeixen es te que lim f (t) = s!lim+1 sF (s) i t!lim sF (s): +1 f (t) = slim t!0 !0 s!+1
Demostracio
La primera es consequencia immediata del fet j F (s) j s M :
Demostrarem les altres dues. Per veure que lim f (t) = s!lim+1 sF (s) t!0 partirem de la propietat de derivacio, Lff 0g(s) = sF (s) f (0). Ja que f es contnua en el 0, podem escriure Lff 0g(s) = sF (s) tlim f (t): !0 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
(4.1)
4.5 Transformada inversa de Laplace
145
Prenent lmits quan s tendeix cap a in nit a tota l'expressio (4.1) i tenint en compte que en ser f 0 admissible es compleix que lim Lff 0g(s) = 0; s!+1 s'arriba al resultat desitjat. Per veure l'ultim resultat partirem una altra vegada de la propietat de derivacio, Lff 0g(s) = A!lim+1
Z A
0
e
st f 0
(t)dt = sF (s)
f (0):
(4.2)
Fent que s ! 0 a l'ultim membre de (4.2), obtindrem lim sF (s) f (0); s!0
i, al segon membre
lim lim
s!0 A!+1
Z A
0
e
st f 0
(t)dt = A!lim+1 slim !0 Z A
Z A
0
e
st f 0
= A!lim+1 f 0(t)dt = 0 = A!lim+1 f (A) f (0) = = t!lim +1 f (t) f (0):
(t)dt =
(4.3) (4.4) (4.5) (4.6)
Igualant (4.1) i (4.3) tenim el resultat desitjat. Observacio: Per aquesta ultima part hem utilitzat el fet que existeix el lmit quan t tendeix cap a in nit de f (t) i que es pot demostrar que, sota certes condicions que se satisfan, es possible intercanviar l'ordre dels lmits quan A tendeix cap a in nit i quan s tendeix cap a 0. Les propietats de la transformada de Laplace apareixen agrupades a la taula 4.2 i a la taula 4.3 es troben algunes de les transformades de Laplace mes usuals. 4.5 Transformada inversa de Laplace Al principi del tema hem de nit la transformada de Laplace com un operador integral que transforma una funcio f (t) en una funcio F (s). Ara considerarem el problema de trobar f (t) a partir de F (s). E s a dir, buscarem una \transformacio inversa" de la transformada de Laplace. Per veure la utilitat d'aquesta inversa, considerem el seguent problema de valors inicials: y00 y = t; y(0) = 0; y0 (0) = 1: (4.7) Si apliquem transformada de Laplace a tota l'equacio (4.7) i tenim en compte la propietat de la linealitat de la transformada de Laplace, obtindrem Lfy00 g(s) Y (s) = 1 ; (4.8) s2
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
146
Transformada de Laplace
P1 P2 P3
Linealitat Derivacio Derivacio d'ordre n
Lff + gg(s) = F (s) + G(s) Lff 0g(s) = sF (s) f (0) Lff (n)g(s) = sn (Lff g(s)) sn 1f (0) sf (n o2)(0) f (n 1)(0) nR P4 Integracio L 0t f (u)du (s) = F s(s) P5 Multiplicacio per t Lftf (t)g(s) = dLfdfsg(s) R P6 Divisio per t L f (tt) (s) = s+1 Lff (u)gdu P7 Translacio sobre l'eix s Lfeat f (t)g(s) = Lff (t)g(s a) P8 Translacio sobre l'eix t Lff (t a)u(t a)g(s) = e as F (s) P9 Canvi d'escala Lff (at)g(s) = a1 Lff g as R P10 Periodicitat Lff g(s) = 1 1e sT 0T e st f (t)dt P11
Valors inicial i nal
lim F (s) = 0, lim f (t) = s!lim+1 sF (s), t!0 lim f (t) = slim sF (s) t!+1 !0 s!+1
Taula 4.2: Resum de les propietats de la transformada de Laplace essent Y (s) = Lfyg(s). Com que es coneixen els valors inicials de la solucio y(t), es pot aplicar la propietat de derivacio i llavors podem expressar Lfy00g(s) = s2Y (s) sy(0) y0(0) = s2Y (s) 1: (4.9) Substituint aquesta expressio en (4.8), s'obte 1 s2 Y (s) 1 Y (s) = 2 : (4.10) s Allant Y (s) tenim s2 1 1: Y (s) = 2 2 = (4.11) s (s 1) s2 Ara, recordem que Lftg(s) = s12 , i ja que Y (s) = Lfyg(s), tenim Lfyg(s) = 1 = Lftg(s): s2
Sembla raonable concloure que y(t) = t es la solucio del problema de valor inicial (4.7). Una comprovacio rapida ho con rma. Notem que en aquest procediment, un pas decisiu ha estat trobar y(t) a partir de la seva transformada de Laplace Y (s) = s1 . Com ja hem fet notar y(t) = t es una funcio, pero no l'unica, que te com a transformada de Laplace s1 . Per exemple, la transformada de t 6= 6 g(t) = t0 si si t = 6 2
2
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
4.6 La delta de Dirac
147
f (t) a tn ; n = 1; 2; eat eat tn; n = 1; 2;
cos t sin t eat cos t eat sin t t cos t t sin t cosh t sinh t (t) ( t a) Æ(t) Æ(t a)
Lff g(s)
1s n! sn+1 1 s a n! (s a)n+1 s s2 + 2 s2 + 2 s a (s a)2 + 2 (s 2a)2 +2 2 s (s2 + 2 )2 2s (s2 + 2 )2 s s2 2 s2 2 1s e as s e
1
as
Taula 4.3: Transformada de Laplace d'algunes funcions importants. tambe es s12 . Aixo es degut a que la transformada es una integral i aquestes no canvien si modi quem els valors de les funcions en punts allats. La diferencia important entre y(t) i g(t), que aqu ens interessa es que y(t) es contnua en [0; +1) i g(t) no ho es. Naturalment, preferim treballar amb funcions contnues ja que les solucions de les equacions diferencials son contnues. Es pot demostrar que si dues funcions diferents tenen la mateixa transformada de Laplace, nomes una es contnua. Tenint en compte aixo, podem donar la de nicio seguent: La transformada inversa de Laplace de F (s) es l'unica funcio f (t) que es contnua a [0; +1) i satisfa Lff g(s) = F (s): (4.12) La funcio f se simbolitza per L 1fF g. Si totes les funcions que satisfan (4.12) son discontnues a [0; +1), s'agafa L 1fF g com una funcio contnua a trossos que satisfaci (4.12). 4.6 La delta de Dirac Imaginem que tenim un objecte petit sobre una taula, una moneda, per exemple, i que li etzibem un cop amb el dit, de manera que la moneda surt disparada en una certa direccio. Si haguessim de descriure com el dit interactua amb la moneda durant el cop tindrem molts problemes: haurem de considerar els dos cossos, moneda i dit, com a elastics, amb propietats de deformacio molt © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
148
Transformada de Laplace
(1)
(2)
(3)
(4) 1_ ε
1 _ ε
(5) 1_ ε
1_ ε
1 _ 2ε
−ε
0
ε
−ε
0
ε
ε
0
−ε
0
−ε
0
ε
t
Figura 4.1: Cinc descripcions d'una forca \quasi"instantania. complicades, i amb una forca d'interaccio depenent del temps de forma no trivial. En realitat, l'unica cosa que realment interessa d'aquest tipus d'experiment es el resultat nal: la moneda adquireix una certa quantitat de moviment en una direccio, i el temps que dura el contacte entre la moneda i el dit es tan petit que els detalls de la interaccio son irrellevants, sempre que l'impuls mecanic de la forca iguali la quantitat de moviment adquirida per la moneda. Intentem-ho descriure matematicament. Per simpli car el problema, xem una direccio en que actua la forca, de manera que la podem descriure per la seva magnitud. Suposem que aquesta forca impulsiva actua al voltant de t = 0, entre t = " i t = +", amb " molt petit, i que l'impuls mecanic total es 1. Anomenarem f"(t) aquest tipus de forces. La gura 4.1 mostra cinc possibles f"(t). Totes elles veri quen que l'impuls es 1: Z
+" "
f" (t) dt = 1:
(4.13)
Aquestes f"(t) son molt diferents, i en podrem inventar moltes mes. Com que f"(t) = 0 fora de [ "; +"], (4.13) es pot reescriure com Z b
amb a; b > " i, de fet, com a cas extrem
Z
a
f"(t) dt = 1;
+1 1
f" (t) dt = 1:
(4.14) (4.15)
Fem ara el pas important: amagar els detalls de f"(t). Aixo es pot fer deixant que " ! 0. Quan disminum " totes les gra ques considerades redueixen la seva base i augmenten l'alcada. En el lmit quan " ! 0 s'obte, de forma intutiva, alguna cosa de base nulla i alcada in nita que es representa simbolicament amb una etxa en el zero d'alcada 1, per indicar que l'area es 1, com la de la gura 4.2. Aquesta \funcio" la representem per Æ(t) i s'anomena funcio impuls, funcio delta de Dirac (P.A.M. Dirac, 1902-1984, un dels pares de la mecanica quantica i el primer que va proposar el concepte d'antipartcula) o simplement impuls. Formalment Æ(t) = lim f"(t); "!0 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
4.6 La delta de Dirac
149
1
0
t
Figura 4.2: Representacio simbolica d'una forca instantania. on f"(t) es qualsevol de les funcions de la gura 4.1, o altres que pugueu inventar. Algunes vegades s'escriu Æ(0) = +1 per reforcar la idea d'alcada in nita, pero estrictament aixo no te cap sentit ja que si agafeu, per exemple, la cinquena f"(t) de la gura 4.1 tenim f"(0) = 0 8" i, per tant, Æ(0) = lim f" (0) = lim 0 = 0: "!0 "!0 Les equacions que donen realment sentit a aquest proces de lmit son (4.13), (4.14) o (4.15). Per exemple, de (4.13) tenim 1 = "lim 1 = "lim !0 !0
Z
+" "
f"(t) dt =
Z
0+
0
Æ(t) dt;
(4.16)
on indiquem per 0 qualsevol nombre tan proper a zero com vulguem pero negatiu, i per 0+ qualsevol nombre tan proper a zero com vulguem pero positiu. Les equacions que s'obtenen de (4.14) i (4.15) en el lmit son Z b
a
Æ(t) dt = 1;
i
+1
Z
1
si a; b > 0;
Æ(t) dt = 1;
(4.17) (4.18)
respectivament. El que cal tenir en compte es que aquestes integrals donen 1 si la etxa esta completament dins l'interval d'integracio. Si esta totalment fora el resultat es zero. Per exemple, Z
0:5 1
Æ (t ) dt =
Z
7
0:001
Æ(t) dt =
Z
+1
0+
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
Æ(t) dt = 0:
150
Transformada de Laplace
Si l'impuls esta contingut sols en part dins l'interval d'integracio, llavors el resultat no esta de nit i depen dels detalls de la f"(t) que empreu per de nir Æ(t). Per exemple 8 Z +1 Z 0 o (4) de la gura 4.1; < 0 si empreu la funci Æ(t) dt = Æ(t) dt = 21 si empreu les funcions (1), (3) o (5) de la gura 4.1; : 0 0 1 si empreu la funcio (3) de la gura 4.1: Aquest tipus d'integral amb la funcio impuls no s'han de considerar mai. Si les trobem en alguna aplicacio, vol dir que el problema esta mal plantejat i que realment els detalls de la forca son importants i no es poden amagar sota el lmit " ! 0. La funcio impuls es molt especial, en el sentit que val zero si t 6= 0 i no esta de nida en t = 0. Noteu que per a una funcio \ordinaria" f (t) es te que la seva integral sobre un interval de longitud zero es zero: Z 0 f (t) dt = 0; 0 mentre que per a la delta tenim (4.16). Podem generalitzar els impulsos en el zero a impulsos en un punt t0 qualsevol, denotats per Æt (t) i de nits per Æt (t) = Æ(t t0 ); (4.19) amb propietats +
+
0
0
Z
+1 1
Æ(t t0 ) dt =
Z t+ 0
t0
Æ(t t0 ) dt =
Z t0 +b
t0 a
Æ(t t0 ) dt = 1;
(4.20)
si a; b > 0. Una propietat fonamental de l'impuls es que \selecciona" el valor d'una funcio contnua que la multipliqui: g(t)Æ(t t0 ) = g(t0 )Æ(t t0 ) (4.21) si g(t) es contnua en el punt t0. La demostracio es basa a considerar aquesta proposada igualtat la integral: Z t+ 0
t0
g(t)Æ(t t0 ) dt = "lim !0
Z t0 +"
t0 "
g() g(t)f" (t)dt = "lim !0
Z t0 +"
t0 "
f" (t)dt
on hem emprat el teorema del valor mitja generalitzat del calcul integral i 2 [t0 Llavors, fent el lmit quan " ! 0, tenim ! t0 i queda Z t+ 0
t0
g(t)Æ(t t0 ) dt = g(t0 )
Z t+ 0
t0
Æ(t t0 ) dt =
Z t+ 0
t0
"; t0 + "].
g(t0 )Æ(t t0 ) dt;
i d'aqu es dedueix la igualtat (4.21). Emprant aquesta propietat tenim Z t+ 0
t0
f (t)Æ(t t0 ) dt
= =
+1
+1 f (t)Æ(t t0 ) dt = f (t0 )Æ(t t0 ) dt 1 1 Z +1 f ( t0 ) Æ(t t0 ) dt = f (t0 ): Z
Z
1
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
(4.22)
4.6 La delta de Dirac
151
Per aplicar aquesta propietat es necessari de nou que l'interval d'integracio contingui completament la funcio impuls. Aix, per exemple, Z
+1 1
En canvi,
e3t sin tÆ(t ) dt
Z
1
= =
Z 2
e3t sin t Æ(t ) dt =
0 e3 sin = 0:
e3t sin t Æ(t ) dt
Z
o
+1
Z +
e3t sin t Æ(t ) dt
e3t sin t Æ(t ) dt
no estan ben de nides. Abans de seguir amb mes propietats de la funcio delta, tornem a l'exemple del comencament. Si descrivim la posicio de la moneda en funcio del temps per x(t) i suposem que donem el cop en t = t0 , i que li comuniquem un impuls total I , la segona llei de Newton sera mx = IÆ(t t0 ) o, en termes de la velocitat v = x_ , dv = IÆ(t t ): (4.23) 0 dt Si ara integrem aquesta equacio entre una mica abans de t0 i una mica despres de t0 tindrem Z t Z t d v m dt = IÆ(t t0 ) dt; dt t t d'on m(v(t+0 ) v(t0 )) = I i I (4.24) v(t+0 ) = v(t0 ) + : m Per tant, la velocitat es discontnua en t = t0 i el salt que experimenta es igual a l'impuls mecanic dividit per la massa, tal com ha de ser. Si abans del cop la moneda estava quieta, v(t0 ) = 0, queda I = mv(t+0 ) mv+ ; es a dir, l'impuls mecanic del cop es igual a la quantitat de moviment nal de la moneda. El fet re ectit a (4.23) i (4.24), que si la derivada d'una funcio es igual a una cosa que conte una funcio impuls en t0 llavors la funcio es discontnua en t0 , es absolutament general. Aix, si x(t) veri ca x_ = f (t) + g(t)Æ(t t0 ); (4.25) on g(t) es contnua en t0 i f (t) no conte cap impuls en t0, llavors x(t+0 ) = x(t0 ) + g(t0 ): (4.26) Les funcions amb discontinutat de salt, com la velocitat de l'exemple anterior, es poden representar en termes de l'anomenada funcio esglao com ja hem explicat a la seccio 4.3. Recordem que m
+ 0
0
+ 0
0
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
152
Transformada de Laplace
0 si t < t0; 1 si t > t0: Una funcio no contnua en un punt no es derivable en aquest punt. Per tant, dins el marc de la teoria de funcions no te sentit derivar (t t0) en el punt t = t0. La teoria de funcions es pot posar, pero, dins el marc mes general de la teoria de distribucions. Resulta que, en un sentit diferent de l'habitual, qualsevol distribucio es derivable, i aixo es el que passa amb (t t0). No podem exposar la teoria de distribucions [Sch69], pero s que podem donar una explicacio intutiva de quina es la derivada de (t t0). En primer lloc, esta clar que la derivada de (t t0) existeix i es nulla en qualsevol punt que no sigui t0. En t = t0 tenim un \pendent in nit", i aixo vol dir que la derivada no existeix en aquest punt en el sentit usual. Aquest comportament recorda molt la delta de Dirac: 8 si t < t ; < 0 _(t t0) = +1 si t = t00; : 0 si t > t0: Podem estar temptats d'escriure, per tant, _(t t0 ) = Æ(t t0 ): (4.27) Per demostrar-ho hem de posar _(t t0) dins una integral i veure si es comporta exactament igual que Æ(t t0): hem de veure si, donada una funcio f (t) contnua a t = t0, llavors (t t0 ) =
Z t0 +b
t0 a
_(t t0 )f (t) dt = f (t0 )
per a tot a; b > 0. Tenim, integrant per parts, Z t0 +b
t0 a
_(t t0 )f (t) dt
=
Z t0 +b
(t t0 )f_(t) dt Z t0 +b (b)f (t0 + b) ( a)f (t0 a) 1 f_(t) dt t0 Z t0 +b f (t0 + b) f_(t) dt = f (t0 + b) f (t)jtt00 +b
= ( (t
t0 )f (t))jtt00 +ba
t0 a
= t = f (t0 + b) (f (t0 + b) 0
f (t0 )) = f (t0 );
tal com volem veure. El fet de considerar funcions com Æ(t) o (t) ens obliga a replantejar la de nicio de transformada de Laplace. La questio es: que passa amb la relacio Lff 0g(s) = sLff g(s) f (0) si f (t) no es contnua en t = 0? Ho hem de canviar per f (0+ ) , f (0 ) o alguna cosa mes complicada? Per respondre a aquesta pregunta hem de mirar que passa si intentem calcular la transformada de Laplace de Æ(t). Amb la de nicio que hem emprat ns ara de transformada de Laplace tindrem Z +1 LfÆ(t)g(s) = Æ(t)e st dt; 0
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
4.6 La delta de Dirac
153
que no esta ben de nit ja que l'interval d'integracio no conte totalment l'impuls. Si canviem el 0 per 0+ llavors Z +1 LfÆ(t)g(s) = Æ(t)e st dt = 0; 0 ja que ara l'impuls esta totalment fora de l'interval d'integracio. Amb aquesta de nicio la transformada de Laplace d'una delta en el zero es nulla: la transformada de Laplace no s'assabenta que en t = 0 hi ha un impuls i, en consequencia, no servira per resoldre aquest tipus de problema amb impuls en el temps inicial. Si volem que s que serveixi, hem de posar l'impuls totalment a dins. Canviem, per tant, la de nicio de la transformada de Laplace i escrivim, per a una funcio qualsevol, +
Lff (t)g(s) =
Llavors tenim LfÆ(t)g(s) =
Z
+1
0
Z
+1
0 Æ(t)e
f (t)e
st
dt:
(4.28)
dt = e s0_ = 1:
(4.29)
st
En certes presentacions de la delta de Dirac s'escriu (4.29) directament, sense la discussio de la de nicio d'integrals que nosaltres hem fet. Val a dir que la rede nicio de la transformada de Laplace sols afecta les funcions f (t) que continguin impulsos en t = 0. Si f (t) es contnua en t = 0, o ns i tot si hi te una discontinutat de salt, es igual que la integral comenci a 0 , 0 o 0+. Aix, per exemple, la transformada d'una delta en un punt t0 > 0 es LfÆ(t t0)g(s) =
Z
+1
0
Æ(t t0 )e
st
dt =
+1
Z
0
Æ(t t0 )e
st
dt = e
st0 :
(4.30)
Ara podem respondre a la pregunta que ens havem fet sobre que passa amb la transformada de Laplace de la derivada. Tindrem Lff 0g(s)
=
Z
+1
f 0 (t)e
0 f (t)e
st
st +1
dt
Z
+1
st = 0 + s 0 f (t)e dt st f (0 )e s0 + sLff g(s) = sLff g(s) = t!lim +1 f (t)e
f (0 ):
Per tant, si F (s) es la transformada de f (t), Lff 0g(s) = sF (s) f (0 ): (4.31) Observeu que si f (t) es discontnua a t = 0, llavors la seva derivada tindra un impuls a t = 0 i es aquest el motiu pel qual la seva transformada es veu afectada per la nova de nicio. Si f (t) es contnua en t = 0 res no canvia per a la transformada de la seva derivada. El mateix canvi s'ha de fer per a les expressions de la transformada d'una derivada d'ordre superior. Aix, per exemple, Lff 00g(s) = s2F (s) sf (0 ) f 0(0 ): La delta de Dirac no s'utilitza nomes per representar forces o accions instantanies. En realitat es pot introduir sempre que es vol estudiar l'accio de quantitats in nitament concentrades. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
154
Transformada de Laplace
L'exemple mes caracterstic es el d'una carrega electrica a l'espai. Sigui una carrega puntual de valor q situada, per exemple, al nostre origen de coordenades a R3 . Si considerem la densitat de carrega es evident que aquesta es zero fora de l'origen de coordenades i es \in nit" alla on tenim la carrega, ja que aquesta, per ser puntual, ocupa un volum nul. Aixo ens recorda la delta de Dirac i, per tant, podem intentar escriure que la densitat de carrega, una funcio del punt de l'espai i, per tant, de tres variables, es (~r) = qÆ(~r ~0) = qÆ(~r);
on
Æ(~r) = Æ(x)Æ(y)Æ(z )
val zero a menys que x = 0, y = 0 i z = 0 i \in nit" quan ~r = (x; y; z) = (0; 0; 0). Per veure si aquesta representacio de la densitat d'una carrega puntual a l'espai funciona, sols cal que calculem quina es la carrega total que tenim a tot l'espai si posem aquesta densitat. Si tot es correcte, haura de ser q, que es la carrega que tenim: Qtotal
= =
Z Z Z
Z Z Z
(~r) dxdydz = q Æ(x)Æ(y)Æ(z ) dxdydz 3 3 R R Z +1 Z +1 Z +1 q Æ(x) dx Æ(y) dy Æ(z ) dz = q 1 1 1 = q; 1
1
1
tal com volem. Acabarem amb un comentari sobre les unitats en que es mesuren les funcions impuls. El punt fonamental es adonar-se que quan integrem una delta en un interval que la conte completament ha de donar 1, un nombre sense dimensions. Per exemple, si considerem les dimensions a la igualtat Z +1 Æ(x) dx = 1 1
tindrem, recordant que dx te les mateixes dimensions que x, [Æ(x)] [x] = 1 d'on
[Æ(x)] = [x]
1:
Per tant, les dimensions d'una delta son les inverses de les dels seus arguments. Per exemple, en el cas de la densitat de carrega puntual, [Æ(~r)] = [Æ(x)Æ(y)Æ(z)] = [Æ(x)] [Æ(y)] [Æ(z)] = L 1 L 1 L 1 = L
3;
es a dir, m 3 en unitats SI, tal com ha de ser si volem que en multiplicar per q doni una densitat volumetrica de carrega. De la mateixa manera, la delta emprada per representar una forca instantania f (t) = I Æ(t) te dimensions de [t] 1 = T 1, es a dir, es mesura en Hz. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
4.7 Producte de convolucio
155
4.7 Producte de convolucio Siguin F (s) i G(s) les transformades de Laplace de f (t) i g(t) respectivament i suposem que tenim Y (s) = F (s)G(s); es a dir, que la transformada de Laplace de y(t), Y (s), es producte de transformades de Laplace. El nostre problema es trobar y(t) a partir de F (s) i de G(s). Que podem dir sobre la antitransformada d'un producte de transformades? Aixo ens ho resoldra el producte de convolucio. Siguin f (t) i g(t) funcions contnues a trossos en [0; +1). El producte de convolucio de f (t) i g(t) es denota per f g i es de neix com Z t
(f g)(t) =
0
f (t v)g(v)dv;
si existeix:
(4.32)
Amb la de nicio que hem donat de Æ(t), si tinguessim funcions impulsives en qualsevol dels dos extrems d'integracio, el producte de convolucio s'hauria de de nir com (f g)(t) =
Z t+
0
f (t v)g(v)dv;
si existeix:
(4.33)
Ara provarem que si Y (s) es el producte de les transformades de Laplace F (s) i G(s), llavors y(t) es igual a la convolucio (f g)(t). Teorema 4.3 (teorema de convolucio)
Si f (t) i g(t) son admissibles, aleshores (f g)(t) tambe ho es i Lff gg(s) = F (s)G(s); o, equivalentment, L 1fF (s)G(s)g = (f g)(t): Demostracio
Utilitzant la de nicio de convolucio, per a s > podem escriure Lff gg(s) =
+1
Z
0
st
e
Z t
0
f (t v)g(v)dv
dt:
Per simpli car el calcul d'aquesta integral doble introduirem la funcio esglao (t v) i tindrem Lff gg(s) =
on hem utilitzat el fet (t
+1
Z
0
e
st
Z
0
+1
(t v)f (t v)g(v)dv
dt;
v) = 0 si v > t. Canviant l'ordre d'integracio tindrem Z +1 Z +1 st Lff gg(s) = g (v ) e (t v)f (t v)dt dv: 0 0
Recordant P8, tenim que la integral de dintre del parentesi, en l'equacio anterior, val e Per tant, Lff gg(s) =
Z
0
+1
g(v)e
sv F
(s)dv = F (s)
+1
Z
0
e
sv g
Si f (t), g(t) i h(t) son contnues a trossos en [0; +1), llavors © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
(v)dv = F (s)G(s):
sv F
(s).
156
Transformada de Laplace
1. f g = g f , 2. f (g + h) = (f g) + (f h), 3. (f g) h = f (g h), 4. f Æ = f . Les demostracions son totes immediates. Nomes cal tenir en compte que per a f Æ = f cal utilitzar la de nicio (4.33). Exemple
Resoleu el seguent problema de valor inicial y0 + y = f (t); amb y(0) = y0 ; (4.34) essent f (t) una funcio contnua a trossos. Aplicant transformada de Laplace a tota l'equacio i dient Lfyg(s) = Y (s) i Lff g(s) = F (s) es te sY (s) y(0) + Y (s) = F (s); on, operant i substituint la condicio inicial, equival a y F (s) Y (s) = 0 + : (4.35) s+1 s+1 Antitransformant en (4.35) s'arriba a 1 1 1 1 y(t) = y0 L + L s + 1 F (s) : (4.36) s+1 Tenint en compte que L
1
n
1 s+1
o
= e t , (4.36) passa a ser y(t) = y0 e
+ e t f (t): Per tant, la solucio y(t) del problema de valor inicial (4.34) es pot expressar com y(t) = y0 e
t
+
t
Z t
0
e (t v) f (v)dv:
(4.37)
Noteu que per la forma de la solucio y(t) a (4.37) si modi quem f (t) nomes cal calcular una integral. Exemple
Utilitzeu el teorema de convolucio per antitransformar Y (s) = s2 +s 1 . En aquest cas, Y (s) es pot expressar com a producte de transformades de Laplace de funcions conegudes, es a dir, 1 = G(s)H (s); s Y ( s) = 2 (4.38) 2 (s + 1) (s + 1) essent G(s) = Lfcos tg(s) i H (s) = Lfsin tg(s). 2
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
4.8 Exemples amb MapleV
157
Aplicant el teorema de convolucio per a antitransformar (4.38) tindrem y(t) = cos t sin t =
Z t
cos(t v)sin vdv: 0 Cal tenir en compte que cos(A B ) = cos A cos B + sin A sin B (4.39) equival a y(t) = cos t
Fent servir les igualtats
Z t
0
Z t
cos v sin vdv + sin t sin2 vdv: 0
(4.39) (4.40)
2v cos v sin v = 12 sin2v i sin2 v = 1 cos 2 per resoldre les integrals anteriors, s'arriba a que la solucio y(t) del problema de valor inicial (4.34) es t sin t y(t) = 2 : 4.8 Exemples amb MapleV Aqu veurem com podem aplicar la transformacio de Laplace a la resolucio de problemes amb valors inicials. Presentarem cinc exemples, quatre dels quals ja han estat resolts en el tema 3, usant els metodes que s'hi han explicat . L'ultim de tots conte les funcions Delta i Heaviside explicades en aquest tema. En cadascun d'ells, primer trobarem la solucio analticament i despres mitjancant MapleV. Exemple 1. Resoleu el problema de valors inicials: y00 + y0 = e5t ; amb y(0) = 0; y0 (0) = 0: L'equacio diferencial es una identitat entre dues funcions de t. Per tant, es compleix la igualtat de les corresponents transformades de Laplace: Lfy00 + y0g = Lfe5t g: Utilitzant la propietat de linealitat de la transformada i la transformada de Laplace de l'exponencial calculada previament, es podra escriure Lfy00g(s) + Lfy0g(s) = s 1 5 : A partir de les formules de la derivada primera i d'ordre mes gran que 1 de la transformada de Laplace, s'obte 1 : s2 Lfyg(s) sy(0) y0 (0) + sLfyg(s) y(0) = s 5 Substituint les dues condicions inicials i allant Lfyg(s) tindrem 1 Lfyg(s) = s(s + 1)( : s 5) 1 Noteu que trobar la solucio y(t) equival a calcular l'antitransformada de s(s + 1)( s 5) . Aixo ho podem fer de dues maneres: a ma, a partir de la descomposicio en fraccions simples de 1 s(s + 1)(s 5) , o amb MapleV, utilitzant l'instruccio per calcular antitransformades de Laplace. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
158
Transformada de Laplace
1 Per buscar la descomposicio en fraccions simples de s(s + 1)( s 5) , recordem del tema 1 que hem d'expressar la fraccio de la forma A B C 1 = + + s(s + 1)(s 5) s s + 1 s 5 i trobar les constants A; B; C . Aquestes es trobaran igualant els numeradors i resolent el sistema corresponent. Comproveu que en aquest cas les constants valen A = 15 , B = 61 i C = 301 . Ho podem comprovar, per exemple, usant MapleV tot recordant les intruccions donades en el tema 1: >
f:=1/(s*(s+1)*(s-5));
f >
convert(f,parfrac,s);
1 := s (s + 1)( s 5)
11+1 1 + 1 1 5 s 6 s + 1 30 s 5 Per tant, si tenim en compte la linealitat de la antitransformada de Laplace ens trobem que la solucio y(t) es redueix a 1 1 1 1 g + 1 L 1 f 1 g; y(t) = L 1 f g + L 1 f 5 s 6 s + 1 30 s 5 que equival a donar la solucio 1 1 t 1 5t y(t) = 5 + 6 e + 30 e : Trobem ara la solucio y(t) usant MapleV per calcular l'antitransformada de Lfyg(s) = 1 s(s + 1)(s 5) sense descompondre-la en fraccions simples: >
>
with(inttrans);
[addtable ; fourier ; fouriercos ; fouriersin ; hankel ; hilbert ; invfourier ; invhilbert ; invlaplace ; invmellin ; laplace ; mellin ; savetable ]
invlaplace(1/(s*(s+1)*(s-5)),s,t);
1 + 1 e( t) + 1 e(5 t) 5 6 30 Tambe ho podem fer directament a partir de l'EDO:
>
ode:=diff(y(t),t$2)+diff(y(t),t)=exp(5* t);
ode >
2
:= ( @t@ 2 y(t)) + ( @t@ y(t)) = e(5 t)
dsolve(fode,y(0)=0,(D)(y)(0)=0 g,y(t),method=laplace); 0
((2+1=2 p36) t) Be
p y(t) = 15 + 361 36 @ 1 p 2 + 2 36
1
p e((2 1=2 36) t)C
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
2 12 p36
A
4.8 Exemples amb MapleV
>
simplify(%);
159
y(t) = 301 ( 6 e(
5 t) + 5 e( 6 t) + 1) e(5 t)
Resoleu yiv + 4y00 + 3y = 4sin t; amb y(0) = y0 (0) = y00 (0) = 0; y000 (0) = 2: Si apliquem a tota l'equacio diferencial l'operador L, tenint en compte la seva linealitat, les propietats de derivacio corresponents i substituint les condicions inicials obtindrem 4 s4 Lfyg 2 + 4s2 Lfyg + 3Lfyg = 2 ; s +1 essent el membre de la dreta la transformada de Laplace de 4sin t. Allant Lfyg tindrem que 4 1 Lfyg(s) = s4 + 4s2 + 3 2 s2 + 1 ; que equival a s2 2 Lfyg(s) = (s2 +21) 2 (s2 + 3) : s2 2 Ja sabem que la solucio y(t) be donada com l'antitransformada de (s2 +21) 2 (s2 + 3) , i que per trobar-la cal buscar la descomposicio en fraccions simples de (s2 +21)s22 (s22 + 3) . Amb aquest cas s'ha d'escriure la fraccio de la forma 2s2 2 = As + B + Cs + D + Es + F (s2 + 1)2 (s2 + 3) s2 + 1 (s2 + 1)2 s2 + 3 Exemple 2.
essent A; B; C; D; E; F constants reals per determinar. Igualant els numeradors o donant, directament, valors a la variable s, s'arriba al resultat A = C = E = 0 B = 2 i D = F = 2: Comprovem-ho usant MapleV >
>
f:=(2*s^2-2)/((s^2+1)^2*(s^2+3));
convert(f,parfrac,s);
2 s2 2 f := 2 (s + 1)2 (s2 + 3)
2 s2 1+ 1 2 (s2 +1 1)2 2 s2 1+ 3 Aixo ens permet calcular y(t) com la transformada inversa de 2 2 2 : 2 2 2 2 s + 1 (s + 1) s + 3 Tenint en compte la linealitat de l'operador L 1 haurem de calcular tres antitransformades. La primera i la tercera ja les tenim tabulades com a 2sin t i 32p3 sin(p3t). La segona es pot calcular utilitzant el teorema de convolucio. Noteu que L 1 (s2 +2 1)2 = 2(sin t sin t): © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
160
te
Transformada de Laplace
Calculem aquesta convolucio. Si recordem la de nicio de la convolucio de dues funcions es Z t
sin t sin t (sin sin)(t) = sin(t v)sin vdv: 0 Tenint en compte que sin a sin b = 12 (cos(a b) cos(a + b)) tindrem Z t 1 (sin sin)(t) = 2 (cos(t 2v) cos t)dv = 21 (sin t t cos t): 0 Per tant, la solucio y(t) sera de la forma 2p3sin(p3t) = sin t + t cos t 2p3 sin(p3t): y(t) = 2sin t sin t + t cos t 3 3 Per trobar la solucio y(t) amb MapleV farem: >
>
>
with(inttrans);
[addtable ; fourier ; fouriercos ; fouriersin ; hankel ; hilbert ; invfourier ; invhilbert ; invlaplace ; invmellin ; laplace ; mellin ; savetable ]
f:=(2*s^2-2)/((s^2+1)^2*(s^2+3));
invlaplace(f,s,t);
2 s2 2 f := 2 (s + 1)2 (s2 + 3)
p p sin(t) + t cos(t) 23 3 sin( 3 t) Exemple 3. Trobeu la solucio del seguent problema de Cauchy: y000 2y00 y0 + 2y = 3t + 2; amb y(0) = a; y0 (0) = b i y00 (0) = c: Aplicant a tota l'equacio diferencial l'operador L, aix com les corresponents propietats de linealitat i derivacio, i substituint les condicions inicials obtindrem 3 2 s3 L s2 a sb c 2s2 L + 2sa + 2b sL + a + 2L = + s2
s
on en el membre de la dreta hi ha les transformades respectives de les funcions t i 2. Allant L, ens queda 4 3 2 L = as + (b 2sa2()ss3 + 2(cs2 2bs + a2))s + 2s + 3 : (4.41) Per trobar la solucio haurem d'antitransformar aquesta fraccio. Primer la descompondrem en fraccions simples. Ja que el polinomi del denominador te el 1, el 2 i el 1 com arrels simples i el 0 com arrel doble, la fraccio quedara descomposta de la forma seguent: C D E as4 + (b 2a)s3 + (c 2b a)s2 + 2s + 3 A B = + + + + : 2 3 2 2 s s s 1 s+1 s 2 s (s 2s s + 2) Fent la suma del membre de la dreta usant el mnim comu multiple com a denominador i igualant numeradors s'obtenent els seguents valors de les constants A = 47 , B = 32 , C = 2a + b 2 c 5 , D = 2a 3b6+ c + 1 i E = 4a +124c + 7 . Comprovem-ho amb MapleV: >
f:=(a*s^4+(b-2*a)*s^3+(c-2*b-a)*s^2+2*s+3)/(s^2*(s^3-2*s^2-s+2));
f
4 3 2 := a s + (b 2sa2 )(ss3 + 2(cs2 2 bs + a2)) s + 2 s + 3
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
4.8 Exemples amb MapleV
>
161
convert(f,parfrac,s);
7 1 + 3 1 + 1 5 + b + 2a c 1 7 + 4a 4c + 1 3b + 1 + 2a + c 4 s 2 s2 2 s 1 12 s 2 6 s+1 Ara nomes ens queda consultar la taula de les transformades per escriure que 7 3 2a + b c 5 et + 2a 3b + c + 1 e t + 4a + 4c + 7 e2t : y(t) = + t + 4 2 2 6 12 Si ho resolem amb MapleV antitransformant la fraccio (4.41) obtenim:
>
>
with(inttrans);
[addtable ; fourier ; fouriercos ; fouriersin ; hankel ; hilbert ; invfourier ; invhilbert ; invlaplace ; invmellin ; laplace ; mellin ; savetable ]
f:=(a*s^4+(b-2*a)*s^3+(c-2* b-a)*s^2+2* s+3)/(s^2*(s^3-2*s^2-s+2));
f >
>
4 3 2 := a s + (b 2sa2 )(ss3 + 2(cs2 2 bs + a2)) s + 2 s + 3
invlaplace(f,s,t);
7 + 3 t 5 et + 1 et b + et a 1 et c + 7 e(2 t) 1 e(2 t) a + 1 e(2 t) c 1 e( 4 2 2 2 2 12 3 3 2 1 1 ( t ) ( t ) + 3e a+ 6e c
t) b
+ 16 e(
t)
collect(%,fexp(t),exp(-t),exp(2* t)g);
( 25 + 12 b + a 12 c) et + ( 127 13 a + 31 c) e(2 t) + ( 12 b + 61 + 13 a + 16 c) e( t) + 74 + 32 t Exemple 4. Trobeu la solucio de l'EDO seguent amb les condicions inicials que es donen: y00 + y = t3 + 2t + 1 + sin t 5et sin t; amb y(0) = a; y0 (0) = b: Aplicant l'operador L a tota l'equacio i les propietats de linealitat i de derivacio d'aquest operador a la part esquerra de la igualtat obtenim s2 Lfyg sy(0) y0 (0) + Lfyg; que es equivalent a (un cop substitudes les dues condicions inicials) (s2 + 1)Lfyg (as + b): De manera analoga, l'actuacio de la linealitat de l'operador L a la dreta de la igualtat i el calcul de les corresponents transformades de Laplace que hi apareixen ens permet escriure 5 : 6 + 2 +1+ 1 4 2 2 s s s s + 1 (s 1)2 + 1 Per tant, igualant les dues parts i allant Lfyg tenim Lfyg = s4 (s26+ 1) + s2(s22+ 1) + s(s21+ 1) + b: + (s2 +1 1)2 ((s 1)2 +5 1)(s2 + 1) + as s2 + 1 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
(4.42) (4.43)
162
Transformada de Laplace
Aixo fa que la solucio y(t) es calculi a partir de les sis antitransformades que ens han aparagut. Tot i que alguna d'elles es podria fer utilitzant el teorema de convolucio, aqu ho farem (a excepcio de la quarta que ja sortia a l'exemple 2) buscant la descomposicio corresponent en fraccions simples. Podeu comprovar que aquestes antitransformades son les seguents: 6 6 6+ 6 = 4 2 s (s + 1) s4 s2 s2 + 1 2 = s22 s2 2+ 1 s2 (s2 + 1) 1 = 1s s2 s+ 1 s(s2 + 1) 5 3 2s + 1 + 2s : = 2 2 ((s 1) + 1)(s + 1) (s 1)2 + 1 s2 + 1 Per exemple, usant MapleV:
>
>
>
f1:=6/(s^4*(s^2+1));
f1
:= 6 s4 (s21 + 1)
f2
:= 2 s2 (s21 + 1)
f2:=2/(s^2*(s^2+1));
f3:=1/(s*(s^2+1));
f3 >
f4:=5/(((s-1)^2+1)*(s^2+1));
f4 >
:= s (s21+ 1)
:= 5 ((s 1)2 +11)(s2 + 1)
convert(f1,parfrac,s);
6 s14 6 s12 + 6 s2 1+ 1 >
convert(f2,parfrac,s);
2 s12 2 s2 1+ 1 >
convert(f3,parfrac,s);
1 s
>
s s2 + 1
convert(f4,parfrac,s);
s2
3 + 2s + 1 + 2s 2 s + 2 s2 + 1
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
4.8 Exemples amb MapleV
163
Les antitransformades de les tres primeres serien, respectivament, t3 6t + 6sin t; 2t 2sin t i 1 cos t: Per fer l'antitransformada de la quarta fraccio haurem de fer abans la manipulacio seguent: 3 2s + 1 + 2s = 3 2(s 1) 2 + 1 + 2s (s 1)2 + 1 s2 + 1 (s 1)2 + 1 s2 + 1 = 1(s 2(1)s2 +1)1 + 1s2++21s :
Aquesta forma d'expressar la fraccio ens permet calcular de forma mes directa l'antitransformada. Per tant, aplicant la propietat de translacio sobre l'eix s, P7, a la primera de les antitransformades tindrem 5 1 L ((s 1)2 + 1)(s2 + 1) = et sin t 2et cos t + sin t + 2cos t: Per altra banda, recordem de l'exemple 2 que 1 1 L (s2 + 1)2 = 21 (sin t t cos t): + b , aplicant la propietat de linealitat de L 1 i anant a la Per trobar l'antitransformada de as s2 + 1 taula de transformades de Laplace es te: as + b 1 L s2 + 1 = a cos t + b sin t: Agrupant tots els resultats i operant tenim que la solucio y(t) es: 5 1 t cos t et (sin t 2cos t); y(t) = t3 4t + ( + b)sin t + (a 3)cos t 2 2 on a i b son les condicions inicials del problema. Si ho fem usant MapleV a l'expressio obtinguda a (4.42): >
with(inttrans);
[addtable ; fourier ; fouriercos ; fouriersin ; hankel ; hilbert ; invfourier ; invhilbert ; invlaplace ; invmellin ; laplace ; mellin ; savetable ]
> f:=6/(s^4*(s^2+1))+2/(s^2*(s^2+1))+1/(s*(s^2+1))+1/(s^2+1)^2 -5/(((s-1)^2+1)*(s^2+1))+(a*s+b)/(s^2+1);
f >
:= 6 s4 (s21 + 1) + 2 s2 (s21 + 1) + s (s21+ 1) + (s2 +1 1)2 5 ((s 1)2 +11)(s2 + 1) + as2s ++1b
invlaplace(f,s,t);
t3
4 t + 27 sin(t) + 2sin( 12 t)2 12 t cos(t) + 2 et cos(t) + b sin(t) © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
et sin(t)
2cos(t) + a cos(t)
164
Transformada de Laplace
>
combine(%);
7
1
t t t3 4 t + sin(t) + 1 3cos(t) 2 2 t cos(t) + 2 e cos(t) e sin(t) + a cos(t) + b sin(t) Exemple 5. Resoleu el seguent problema de valors inicials:
3) + 5(t 1)e t ; amb y(0) = 0; y0(0) = 1: Aplicant la transformada de Laplace, les propietats de linealitat i derivacio i les condicions inicials, l'EDO donada es converteix en la igualtat: s2 L(y) 1 sL(y) + L(y) = L(tÆ(t 3)) + 5L((t 1)e t ): (4.44) Aplicant la propietat P5 de multiplicacio per t i que L(Æ(t 3)) = e 3s , resulta que L(tÆ(t 3)) = dds (L(Æ(t 3)) = 3e 3s : (4.45) De forma analoga, tenint en compte la propietat P7 i que L((t 1)) = es s , resulta: y00
y0 + y = tÆ(t
s
1
L((t 1)e t ) = L((t 1))(s + 1) = es + 1 :
(4.46)
3s s 1 L(y) = s2 1s + 1 + s2 3e s + 1 + (s + 1)(e s2 s + 1) :
(4.47)
Allant L(y) i aplicant els resultats obtinguts a (4.45), (4.46) a la igualtat (4.44) s'obte:
Per trobar y(t) nomes ens queda calcular l'antitransformada de les tres fraccions. Fem-ho una a una. Completant quadrats resulta s2 s + 1 = (s 21 )2 + 43 . Si, a mes, recordem quina es la transformada de la funcio sinus i la propietat P7 de translacio, tenim la igualtat seguent: p 12 t p3 1 = 1 2 3 1 2 = p3 L(sin( 2 t))(s 2 ) = p3 L(e sin( 2 t)): s2 s + 1 (s 1 )2 + 3 2 4 En consequencia, 12 t p3 2 1 1 L ( s2 s + 1 ) = p e sin( 2 t): 3 Per trobar l'antitransformada de la fraccio seguent sera su cient tenir en compte la linealitat de les transformades, la propietat P8 i la fraccio primera. Aleshores: 3s s2 s + 1
3e
p 2 1 3 1 3 s = 1 )2 + 3 = 3e p3 L(sin( 2 t))(s 2 ) = 2 4 p 1 12 (t 3) p3 p 2 3 t 3 s 2 sin( 2 (t 3))(t 3)): = 3e p3 L(e sin( 2 t)) = 2 3L(e
3e 3s s2 1s + 1 = 3e 3s (s
En consequencia,
L
1(
3s p 21 (t 3) p3 ) = 2 3e sin( 2 (t s2 s + 1
3e
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
3))(t 3):
4.8 Exemples amb MapleV
165
Per antitransformar la tercera i ultima fraccio en primer lloc descompondrem en fraccions simples la fraccio (s + 1)(s12 s + 1) . Cal buscar els valors A, B i C pels quals 1
(s + 1)(s2 s + 1)
= s +A 1 + s2Bs +s +C 1 :
Podeu comprovar que aquests son A = 31 , B = 31 , C = 23 . Per exemple, amb MapleV: >
f:=1/((s+1)*(s^2-s+1));
f >
:= (s + 1)(s12
s + 1)
convert(f,parfrac,s);
1 1 1 2+s 3 s + 1 3 s2 s + 1 Aix doncs, e s 1 1 1 1 s+2 s 1 (s + 1)(s2 s + 1) = e 3 s + 1 + 3 s2 s + 1 : Buscarem ara les antitransformades de les dues fraccions simples obtigudes. Aplicant la propietat P8, resulta que la primera compleix 1 1 = e se 1 1 L(e t ) = e 1 1 L(e (t 1) (t 1)); e s 1 3s+1 3 3 es a dir: L 1(e s 1 13 s +1 1 ) = e 1 31 e (t 1) (t 1) = 13 e t (t 1): Per trobar la de la segona fraccio, es a dir, e s 1 31 s2 s s++2 1 , primer cal transformar-la de la forma seguent: 1 s + 2 = e se 1 1 s + 2 = e se 1 1 (s 12 ) 21 + 2 = e s 1 2 3s s+1 3 (s 12 )2 + 34 3 (s 21 )2 + 34 1 3 = e se 1 13 (s s 1 )22+ 3 + e se 1 13 (s 12)2 + 3 ; 2
per la propietat P8 e
se
i e
se
11
3 (s
11
3 (s
s
1 2 1 )2 + 3 2 4
3 2 1 )2 + 3 2 4
=
e
=
e
4
2
1 1 L(cos(
p
3 t)e t ) 3 2 p 1 1 L(cos( 3 (t 1))e (t 3 2
se
1 2
1 2
1 p1
=
e
=
1 e 1p
se
3
p
4
L(sin( 23 t)e t ) 3 p
1) (t
1));
1 2
L(sin( 23 (t 1))e (t 1) (t 1));
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1 2
166
Transformada de Laplace
d'on
p p 1 s+2 1 3 1 3 s 1 1 e = e L (cos( ( t 1)) + p L(sin( (t 1)) e (t 1) (t 1): 2 3s s+1 3 2 2 3 En consequencia, ! p p s + 2 1 1 1 3 3 L 1(e s 1 3 s2 s + 1 ) = e 1 3 cos( 2 (t 1)) + p sin( 2 (t 1)) (t 1): 3 Finalment podem donar la solucio al problema de valors inicials: 12 t p3 p 21 (t 3) p3 2 y(t) = p e sin( t) + 2 3e sin( 2 (t 3))(t 3) 2 3 ! p p 1 1 3 1 3 + 3 e t(t 1) + e 1 3 cos( 2 (t 1)) + p3 sin( 2 (t 1)) e (t 1) (t 1): !
1 2
1 2
Usant MapleV: >
>
with(inttrans);
[addtable ; fourier ; fouriercos ; fouriersin ; hankel ; hilbert ; invfourier ; invhilbert ; invlaplace ; invmellin ; laplace ; mellin ; savetable ]
f:=(1+3*exp(-3*s))/(s^2-s+1)+exp(-(s+1))/((s+1)*(s^2-s+1));
f >
invlaplace(f,s,t);
( 3 s)
(
e := 1s+2 3 es + 1 + (s + 1)( s2 s
1)
s + 1)
2 e(1=2 t) p3 sin( 1 p3 t) + 2Heaviside(t 3) e(1=2 t 3=2) p3sin( 1 p3(t 3)) 3 2 2 p 1 1 1 + 3 Heaviside(t 1) e( t) 3 Heaviside(t 1)cos( 2 3(t 1)) e(1=2 t 3=2) p p + 31 Heaviside(t 1) 3sin( 21 3(t 1)) e(1=2 t 3=2) En aquest ultim exemple podem observar que la presencia de la funcio delta a l'entrada del sistema de segon ordre (que representa una accio instantania) no ens dona una resposta discontnua en aquest instant. En termes mecanics aixo te la interpretacio seguent. Sigui una forca instantania en t = t0 sobre un objecte de massa m: mx = IÆ(t t0 ); on I es l'impuls mecanic total transmes per la forca. Aquesta equacio ens diu que en t = t0 l'acceleracio es in nita (recordem que aixo es sols una idealitzacio de la situacio real). Si ho integrem entre t = 0 i t > t0 suposant que la velocitat inicial es nulla (x_ (0) = 0) tindrem, recordant que _(t t0) = Æ(t t0), Z t
x( )d 0 m(x_ (t) x_ (0)) mx_ (t) m
Z t
= I Æ( t0) d 0 = I ((t t0) (0 = I(t t0 );
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
t0 ))
4.8 Exemples amb MapleV
167
de manera que la velocitat te un salt de valor I=m en t = t0. Integrant de nou suposant x(0) = 0 tenim Z t
x_ ( )d 0 m(x(t) x(0)) m
=
I
Z t
0 Z
(
t0 ) d
t
= I 1 d t mx(t) = I (t t0 ); si t t0 mentre que mx(t) = I 0 = 0 si t < t0, i aqu es veu el que haviem dit: la posicio no \salta" en t = t0 . Val 0 abans de t = t0 i a partir d'aqu creix linealment (perque la velocitat es constant amb valor I=m per a t > t0 ). 0
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
5 Sistemes d'equacions diferencials lineals En aquest darrer captol veurem un metode sistematic de resolucio de sistemes d'equacions diferencials lineals amb coe cients constants emprant la ja coneguda transformada de Laplace. Aquest formalisme porta immediatament a la de nicio de sistema de control i presentarem diversos conceptes que hi estan relacionats. 5.1 Sistemes d'equacions diferencials lineals Com ja hem dit en el captol 2, quan modelem sistemes fsics o tecnics sovint ens trobem amb sistemes d'equacions diferencials. El tipus mes enzill es aquell en que les equacions son de primer ordre i lineals, amb coe cients constants. Per exemple, x_ = 3y 2z + sin t y_ = x + y z z_ = 3 + 2x 7y es un d'aquests sistemes, en dimensio 3. En canvi, x_ = ty + 3x y_ = xy 2x + et no es lineal, a causa del producte xy, i a mes no te coe cients constants, a causa del ty. Un sistema de dimensio n del tipus que considerarem aqu es, per tant, del tipus x_ 1 = a11 x1 + a12 x2 + : : : + a1n xn + b1 (t) x_ 2 = a21 x1 + a22 x2 + : : : + a2n xn + b2 (t) ... x_ n = an1 x1 + an2 x2 + : : : + ann xn + bn (t): (5.1) Si de nim els vectors 0 1 0 1 x1 b1 (t) B x2 C B b2 (t) C C B C x=B B . C ; b(t) = B . C ; @ .. A @ .. A xn bn (t) © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
170
i la matriu
Sistemes d'equacions diferencials lineals
0 B
A=B B @
a11 a12 : : : a1n a21 a22 : : : a2n
...
...
...
an1 an2 : : : ann
1 C C C A
el sistema es pot escriure en la forma compacta x_ = Ax + b(t): (5.2) Com ja s'ha dit al captol 2, si b1 (t), : : : ,bn(t) son contnues en un entorn de t = t0, hi haura una unica solucio de (5.2), valida en un entorn de t = t0 , tal que x(0) = x0 per a x0 donada. Per tant, per determinar la solucio d'un sistema de n equacions diferencials de primer ordre cal donar els valors inicials de les n components de x. Un sistema com (5.1) o (5.2) es pot solucionar amb tecniques una mica elaborades d'algebra lineal (vegeu el captol 4 de [TJ91]), pero nosaltres optarem pel metode mes directe de cara a l'enginyeria, que es el de la transformada de Laplace. Si a (5.1) apliquem la transformada de Laplace a cada equacio i escrivim X1 (s) = Lfx1 (t)g(s); X2 (s) = Lfx2 (t)g(s); : : : ; Xn (s) = Lfxn (t)g(s); B1 (s) = Lfb1 (t)g(s); B2 (s) = Lfb2 (t)g(s); : : : ; Bn (s) = Lfbn (t)g(s); ens quedara sX1 (s) x1 (0) = a11 X1 (s) + a12 X2 (s) + : : : + a1n Xn (s) + B1 (s) sX2 (s) x2 (0) = a21 X1 (s) + a22 X2 (s) + : : : + a2n Xn (s) + B2 (s) ... sXn(s) xn (0) = an1 X1 (s) + an2 X2 (s) + : : : + ann Xn (s) + Bn (s): (5.3) o, en forma matricial, sX (s) x(0) = AX (s) + B (s); (5.4) que es pot obtenir tambe de (5.2). L'equacio (5.4) es pot escriure tambe com sIX (s) x(0) = AX (s) + B (s); on hem introdut la matriu identitat n n 0 1 0 ::: 0 1 B 0 1 ::: 0 C C I=B ; B . . . . . . @ . . A .C 0 0 ::: 1 de manera que 0 1 s 0 ::: 0 B 0 s ::: 0 C sI = B B . . C: ... C @ .. .. A 0 0 ::: s © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
5.1 Sistemes d'equacions diferencials lineals
171
Arreglant els termes queda
(sI A)X (s) = B (s) + x(0); on la matriu que multiplica el vector columna X (s) es 0 B
sI A = B B
s a11 a12 : : : a21 s a22 : : :
...
@
...
an1
an2
(5.5) a1n a2n
...
: : : s ann
1 C C C: A
Formalment, la solucio de (5.5) es pot obtenir multiplicant per la matriu inversa de sI A, i queda X (s) = (sI A) 1 (B (s) + x(0)): (5.6) Moltes vegades sols interessa calcular una de les variables del sistema. En aquests casos es millor emprar la regla de Cramer per allar la variable que ens interessi sense haver de calcular totes les altres: k) s a11 : : : B1 (s) + x1 (0) : : : a1n 1 a : : : B2 (s) + x2 (0) : : : a2n ; Xk (s) = (5.7) det(sI A) ... 21 ... ... an1 : : : Bn (s) + xn (0) : : : s ann on, en el membre de la dreta, s'ha substitut la columna k-esima de sI A pel vector columna B (s) + x(0). El determinant del denominador P (s) = det(sI A); (5.8) s'anomena polinomi caracterstic del sistema, i es pot veure que es un polinomi de grau n en la variable s. Equacions d'un circuit com a sistema d'equacions de primer ordre
La formulacio natural de les lleis de Kirchho per a un circuit electric de corrent altern es la d'un sistema d'equacions diferencials de primer ordre. Sigui, per exemple, el circuit de la gura 5.1. La descripcio completa de l'estat del circuit ve donada per les dues intensitats a les bobines i el voltatge en el condensador. E s immediat obtenir les equacions dv = i1 i2 C dt d i L1 1 = v + u(t) dt d i L2 2 = v Ri2 ; dt i posant x1 = v, x2 = i1 , x3 = i2 , queda x x3 x_ 1 = 2 C C x1 1 x_ 2 = + u(t) L1 L1 x_ 3
=
x1 L2
R x; L2 3
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
172
Sistemes d'equacions diferencials lineals
L1
L2 i2
i1
u(t)
R
v
C
Figura 5.1: Un circuit amb tres variables d'estat. o, en forma matricial,
0
x_ 1 x_ 2 x_ 3
1
0
1
0
1
C
1
C
10
x1 x2 x3
0 0 A@ 0 LR De cara a la transformada de Laplace interessa la matriu @
A
=@
1L1 L2
0
2
1 s
s 1 L1 1
C
1
C
0 0 s + LR L el determinant de la qual es el polinomi caracterstic: @
2
P (s)
= =
1
0
A
+@
0
1
u(t) A : L1
0
1 A;
2
det(sI A) = s2 s + LR2 + CL1 2 s + CL1 1 s + LR2 R L + L2 R s+ : s3 + s2 + 1 L2 CL1 L2 CL1 L2
5.2 Funcio de transferencia Donat el sistema lineal x_ = Ax + b(t); podem pensar que les b1 (t), b2 (t), : : : , bn(t) son variables de control sobre les quals es pot actuar directament, es a dir, especi car el seu valor com a funcions de t. Passa sovint, pero, que les components de b(t) no son independents, sino que depenen linealment d'un nombre redut d'autentics controls u1 (t), u2(t), : : : , um (t). En termes de matrius, aixo es 0 1 0 10 1 b1 (t) b11 b12 : : : b1m u1 (t) B b2 (t) C B b21 b22 : : : b2m C B u2 (t) C C B B b(t) = B B .. C = B .. CB C Bu; ... ... C ... C @ . A @ . A@ A bn (t) bn1 bn2 : : : bnm um (t) amb B una matriu n m i u un vector columna amb m les. Queda aix x_ = Ax + Bu: Les variables x s'anomenen variables d'estat, i les u s'anomenen controls o entrades del sistema. En molts casos, sobretot si n es molt gran pero tambe en sistemes de poques variables © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
5.2 Funcio de transferencia
173
pero de difcil acces, no es disposa de sensors per monitoritzar totes les variables d'estat i sols se'n pot mesurar un nombre redut, o ns i tot combinacions lineals. Aquestes variables que es poden observar directament s'anomenen sortides del sistema, i s'acostumen a denotar per la lletra y: 0 1 0 10 1 y=
B B B @
y1 y2
...
yp una matriu p n i y
C C C A
=
B B B @
c11 c12 : : : c1n c21 c22 : : : c2n
...
...
...
cp1 cp2 : : : cpn
CB CB CB A@
x1 x2
...
xn
C C C A
Cx;
on C es es un vector columna amb p les. El cas particular p = 1, una unica sortida, es el mes habitual. Tenim, en conjunt, x_ = Ax + Bu y = Cx; (5.9) i aixo s'anomena representacio en l'espai d'estats d'un sistema de control. Algunes vegades s'utilitza una formulacio mes general, en que les sortides poden dependre directament del control, a mes de la dependencia a traves de les variables d'estat: x_ = Ax + Bu y = Cx + Du; (5.10) on D es una matriu p m. Treballarem amb aquesta darrera forma, pero pensant que normalment D = 0. Si prenem la transformada de Laplace de (5.10) ens queda sX (s) x(0) = AX (s) + BU (s) Y (s) = CX (s) + DU (s); (5.11) Allant X (s) de la primera equacio queda X (s) = (sI A) 1 BU (s) + (sI A) 1 x(0): (5.12) Aquesta expressio te dues parts: la primera sols depen del control, U (s), mentre que la segona depen de les condicions inicials de les variables d'estat, x(0). Quan es calcula (sI A) 1 , en tots els denominadors dels elements de la matriu resultant apareixera el polinomi caracterstic P (s) = det(sI A) 1 del sistema. Si suposem que tots els zeros de P (s) tenen part real estrictament negativa, la descomposicio en fraccions simples dels elements del vector (sI A) 1 x(0) donara termes de la forma a as + b o r (s ) ((s )2 + 2 )r amb < 0. En qualsevol cas, l'antitransformada es de la forma et potencies i funcions trigonometriques i com que < 0 aixo anira a zero quan t ! +1: 1 (sI A) 1 x(0) (t) = 0: lim L t!+1 © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
174
Sistemes d'equacions diferencials lineals
u(t)
U(s)
u(t)
A, B, C, D
H(s)
H(s)
y
Y(s)
y
Figura 5.2: Tres maneres de representar un sistema de control. En aquestes condicions, aquesta part de la solucio s'anomena transitori, i correspon a la solucio de l'equacio diferencial homogenia (u(t) = 0): xh (t) = L 1 (sI A) 1 x(0) (t) (5.13) amb lim x (t) = 0; (5.14) t!+1 h sota les condicions indicades, i l'altra part de la solucio, xp (t) = L 1 (sI A) 1 BU (s) (t); (5.15) s'anomena regim permanent. Fixem-nos que U (s) pot introduir denominadors amb zeros amb part real no estrictament negativa i, per tant, no es cert en general que limt!+1 xp(t) = 0 encara que limt!+1 xh(t) = 0. Substituint (5.12) a la segona de (5.11) tenim Y (s) = (C (sI A) 1 B + D)U (s) + C (sI A) 1 x(0): (5.16) Si ens preocupem sols del regim permanent o si x(0) = 0, tindrem Y (s) = (C (sI A) 1 B + D)U (s): (5.17) La funcio racional en s H ( s) = C ( s I A ) 1 B + D (5.18) s'anomena funcio de transferencia entre el control, o entrada, u(t) i la sortida y. Noteu que H (s) es una matriu p m, cada element de la qual correspon a una relacio entra una entrada i una sortida. Esquematicament, el sistema (5.10) es representa per qualsevol dels diagrames de la gura 5.2. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
5.2 Funcio de transferencia
175
V(s) +
Y(s)
H(s)
+
K
Figura 5.3: Esquema d'una realimentacio. Un concepte important es el de feedback o realimentacio. Usualment, hi ha una part del control u(t) que es tria depenent de y(t). Aixo pot fer (vegeu [PH96, Veg94]) que el sistema tingui unes millors propietats d'estabilitat i velocitat de resposta. Si el feedback es lineal, u(t) = Ky + v(t); (5.19) on K es una matriu m p anomenada matriu de guanys i v(t) es la part del control que encara podem escollir. La transformada de Laplace de (5.19) es U (s) = KY (s) + V (s); (5.20) i posant-ho a (5.17) queda Y (s) = H (s)(KY (s) + V (s)); d'on Y (s) = (I H (s)K ) 1 H (s)V (s); (5.21) de manera que la nova funcio de transferencia del sistema realimentat es H^ (s) = (I H (s)K ) 1 H (s); (5.22) que pot tenir caracterstiques molt diferents de les de H (s). El diagrama d'una realimentacio apareix a la gura 5.2. Si sols tenim una sortida i una entrada, p = 1, m = 1, tenim que K es un numero, H (s) es 1 1 i queda H (s) H^ (s) = (5.23) 1 KH (s) ; Seguint amb l'exemple de la seccio anterior, sigui y = x1. Calculem la funcio de transferencia entre u i y. Tenim 0 0 C1 C1 1 A = @ L1 0 0 A ; 1 0 R L L i 0 0 1 B = @ L1 A ; C = 1 0 0 ; D = 0: 0 1
2
2
1
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
176
Sistemes d'equacions diferencials lineals
Llavors
0
s 1 L1 1
1
1 s
C
1
C
10
0
1
0 A @ L1 A : 0 s + LR 0 L Per la forma de C i B , sols cal que calculem l'element (1; 2) de la matriu inversa, que s'obtindra calculant el determinant adjunt del (2; 1) i dividint pel determinant: 1 s+ R C L : H12 (s) = P (s) Queda aix 0 10 1 0 H ( s ) 12 H (s) = 1 0 0 @ A @ L1 A 0 R = H12L (s) = CL1 sP+(sL) 1 1 R = CL1 s3 + R s2 +s +L +LL s + R : 1 L CL L CL L Cal notar que H (0) = 1; mentre que lim H (s) = 0; s!1 i aixo s'interpreta dient que la relacio entre l'entrada i la sortida del nostre sistema es la d'un ltre passa-baixos: la component en contnua no es distorsiona mentre que les frequencies altes son eliminades. Aquest comportament es facil d'entendre examinant el circuit. Tambe podem escriure regles espec ques per a cada tipus de sistema (electric, mecanic i qumic) que permetin obtenir directament la funcio de transferencia a partir dels elements individuals sense passar per l'escriptura de les equacions diferencials [Veg94]. Per exemple, per circuits electrics amb inductancies, resistencies i capacitancies, la taula 5.2 mostra la relacio entre la intensitat que circula a traves d'un element i la diferencia de potencial entre els extrems del mateix, calculada en el sentit contrari al de la intensitat (aixo es fa per evitar l'aparicio d'un signe a totes les expressions). En tots els casos, es pot de nir una H (s) que ens doni la relacio entre l'entrada, la intensitat, i la sortida, el voltatge: V (s) = H (s)I (s). Fixem-nos que aquesta H (s) es la generalitzacio de la resistencia i, per tant, les combinacions en parallel i en serie es podran resoldre amb les mateixes regles que per combinar resistencies. L'aplicacio de la llei de Kirchho per les malles al circuit que estem considerant, emprant les variables transformades i les regles de la taula 5.2, proporciona 1 (I (s) I2 (s)) + L1sI1(s) = U (s) Cs 1 1 (I1 (s) I2 (s)) RI2 (s) + L2 sI2 (s) = Cs que, en forma matricial, es 1 1 I ( s ) U ( s ) + L s 1 1 Cs Cs 1 1 I2 (s) = 0 : Cs Cs + R + L1 s H (s) =
1 0 0
@
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2 2
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
1
2
5.3 Resposta impulsiva
177
Element Relacio en termes de t Relacio per Laplace Resistencia, R v = Ri V (s) = RI (s) Inductancia, L v = L ddti V (s) = LsI (s) Capacitancia, C i = C ddvt I (s) = CsV (s)
H (s) R Ls 1 Cs
Taula 5.1: Funcio de transferencia per a diferents elements electrics. Aixo es pot solucionar immediatament per Cramer, i obtenim 1 Cs + R + L2 s I1 (s) = 1 (R + L2 s + L1 s) U (s); L1 s(R + L2 s) + Cs 1 Cs U (s): I2 (s) = L s(R + L s) + 1 (R + L s + L s) 1
2
2
Cs
1
Si volem recuperar la funcio de transferencia entre u(t) i el voltatge en el condensador, sols cal tenir en compte que 1 V (s) = (I1 (s) I2 (s)); Cs i substituir les expressions de I1(s) i I2(s) en funcio de U (s). 5.3 Resposta impulsiva Com ja hem dit, la funcio de transferencia d'un sistema amb m entrades i p sortides es una matriu p m de funcions de transferencia individuals entre les entrades ui , i = 1; : : : ; m i les sortides yj , j = 1; : : : ; p. Si considerem una sortida concreta tindrem, a partir de Y (s) = H (s)U (s), Yj (s) =
m X i=1
Hji(s)Ui (s); j = 1; : : : ; p:
Emprant el teorema de convolucio de la transformada de Laplace, obtindrem yj (t)
= L = =
m
1 fYj (s)g(t) = L 1 fX Hji(s)Ui (s)g(t) = i=1
m X
(t) ? ui(t)
hji i=1 m Z t X i=1
0
hji (t )ui ( )d
=
m Z t X i=1
0
hji ( )ui (t )d:
(5.24)
La funcio hji(t), que es l'antitransformada de Laplace de la funcio de transferencia de ui a yj , s'anomena resposta impulsiva de la sortida j respecte a l'entrada i: hji (t) = L 1 fHji(s)g(t): (5.25) El nom de resposta impulsiva prove del fet que, si considerem totes les entrades iguals a zero menys l'entrada i-esima, on posem una delta de Dirac, ui (t) = Æ(t); © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
178
Sistemes d'equacions diferencials lineals
llavors la resposta en el canal de sortida j es precisament hji(t): yj (t) =
Z t
0
hji (t )Æ( )d
= hji(t):
Aixo indica que la resposta impulsiva es pot mesurar de manera aproximada provocant un impuls en un canal d'entrada i examinant la sortida corresponent en funcio del temps. Un resultat important que no veurem aqu es que per a qualsevol sistema en que puguem realment mesurar les entrades i sortides la resposta impulsiva val zero si el seu argument es negatiu: hji (t) = 0 si t < 0: Essencialment, aixo evita que el sistema doni una resposta que depengui del futur de l'entrada, fet que cal esperar de qualsevol sistema que puguem construir. 5.4 Equacions d'ordre superior i formulacio a l'espai d'estats Ja hem comentat al captol 2 que una equacio d'ordre superior es pot escriure com un sistema d'equacions de primer ordre. El nostre objectiu en aquesta seccio es donar un metode concret per fer-ho, metode que esta relacionat directament amb la funcio de transferencia i que te una gran importancia en el proces de disseny de sistemes de control. En general, una equacio diferencial lineal d'ordre n amb coe cients constants per a la variable z (t) en termes d'una certa entrada v(t) es de la forma an z (n) + an 1 z (n 1) + + a1 z_ + a0 z = bm v(m) + bm 1 v(m 1) + + b1 v_ + b0 v: Es pot pensar en anomenar b(t) tot el membre de la dreta d'aquesta equacio, pero normalment es precisament v(t) l'entrada que podem controlar i, per tant, es la funcio de transferencia de v a z la que te interes. Suposem que m < n. Si transformem aquesta equacio per Laplace i ens oblidem de les condicions inicials, ja que volem estudiar la funcio de transferencia, tindrem (ansn + an 1sn 1 + + a1 s + a0)Z (s) = (bmsm + bm 1 sm 1 + + b1 s + b0 )V (s); de manera que b sm + b sm 1 + + b1 s + b0 Z (s) = m n m 1 n 1 V (s); an s + an 1 s + + a1 s + a0 i, per tant, la funcio de transferencia entre v i z relacionades per (5.4) es b sm + b sm 1 + + b1 s + b0 H (s) = m n m 1 n 1 : (5.26) an s + an 1 s + + a1 s + a0 Ens preguntem ara si existeix un sistema de control x_ = Ax + Bu y = Cx que tingui H (s) donada per (5.26) com a funcio de transferencia. Fixem-nos que, com que tenim una unica funcio de trasferencia, n'hi ha prou a considerar un sistema amb una entrada i una sortida. Cal comentar tambe que si m = n, llavors cal afegir al sistema de control el terme de la forma Du que ara hem omes. La resposta a la pregunta formulada es positiva, i el © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
5.4 Equacions d'ordre superior i formulacio a l'espai d'estats
179
procediment es el seguent. Comencem de nint n variables d'estat, que son z i les seves primeres n 1 derivades: x1 = z x2 = z_ x3 = z ... xn 1 = z (n 2) xn = z (n 1) : Derivant i emprant cada vegada la relacio seguent i, en el cas de la darrera derivacio, l'equacio diferencial (5.4), queda x_ 1 = z_ = x2 x_ 2 = z = x3 ... x_ n 1 = z (n 1) = xn x_ n = z (n) = aa0 x1 aa1 x2 aan 1 xn n
n
n
bm (m) b b v + + 1 v_ + 0 v: an an an
+
Si ara de nim el control matematic (en el sentit que, generalment, no correspon a una entrada fsica del sistema) u=
tindrem, ajuntant-ho tot, 0 0 B 0 B . x_ = B B .. B @ 0
bm (m) b b v + + 1 v_ + 0 v; an an an
01 C B 0 C C B C C B . C (5.28) C x + B .. C u Ax + Bu: C B C A @ A ::: 0 a a ::: a 1 a a a a Fixem-nos que aqu han desaparegut les b. Haurem de de nir una sortida que les contingui per poder recuperar la funcio de transferencia. L'eleccio que funciona es 1 0 ... 0
0
n
0 1 ... 0
1
n
1
(5.27)
0 0 ... 1 a
::: :::
n 1 n
2
n
b b b y = 0 x1 + 1 x2 + : : : + m xm+1 an an an
=
b0 an
b1 an
:::
0
bm an
0
:::
0
0
B B B B B B B B @
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
x1 x2
1 C
C ... C C C Cx: xm C C ... C A
xn
(5.29)
180
Sistemes d'equacions diferencials lineals
Per veure que aixo dona la funcio de transferencia dessitjada hem de calcular C (sI A) 1 B: E s facil veure que el determinant de sI A val det(sI A) = sn + an 1 sn 1 + : : : + a1 s + a0 = P (s) ;
(5.30) i que els adjunts de la darrera la de sI A, que son, donada la forma de B , els unics que cal obtenir, son 1; s; : : : ; sn 2; sn 1 respectivament. Tot plegat resulta a n b b b : : : 0 : : : 0 C (sI A) 1 B = a a a P (s) 0 10 1 ::: 1 0 B ::: CB 0 C s B B C C B .. C . . ... ... C B B .. .. CB . C B CB C @ : : : sn 2 A @ 0 A : : : sn 1 1 0 1 1 B s C C B 1 C . . = P (s) b0 b1 : : : bm 0 : : : 0 B B . C B C @ sn 2 A an
0
n
=
1
n
an
an
an
m n
b0 + b1 s + + bm sm ; P (s)
sn 1
i tenim el que volem. Hem presentat, per tant, un metode per convertir una equacio d'ordre n en un sistema d'equacions de primer ordre i una sortida de manera que la funcio de transferencia sigui la mateixa. De fet hi ha, pero, molts sistemes de control que proporcionen la mateixa funcio de transferencia. El que nosaltres hem presentat s'anomena sistema en forma controladora i, tal com el seu nom indica, es especialment util a l'hora de dissenyar una realimentacio que faci que el sistema es comporti d'una determinada manera (podeu consultar [Bat98] i les referencies que s'hi esmenten per aprofundir mes en el tema). 5.5 Eines de software Si be moltes de les manipulacions que hem descrit en aquest captol es poden fer amb MapleV, l'eina mes adient, especialment des del punt de vista de l'enginyeria, es Matlab, sobretot amb l'afegit de la seva llibreria de programacio visual Simulink. No descriurem aqu cap d'aquests dos programes en detall (vegeu, per exemple, [LP95]). Indicarem simplement que Matlab disposa de funcions per de nir sistemes de control de forma compacta, utilitzant tant sistemes d'equacions diferencials com funcions de transferencia. Hi ha, a mes, funcions per combinar diversos subsistemes en un de sol, de manera que moltes de les operacions mes pesades de fer \a ma" se simpli quen considerablement. Si s'utilitza la interfcie de Simulink, tot es redueix a copiar i enganxar elements a partir de les nombroses llibreries disponibles. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
Bibliogra a [ABD91] Anton Aubanell, Antoni Benseny i Amadeu Delshams. Eines basiques de calcul numeric amb 87 problemes resolts. Universitat Autonoma de Barcelona, Bellaterra, 1991. [AF76] Marcelo Alonso i Edward J. Finn. Fsica. Volumen I: Mecanica. Fondo Educativo Interamericano, SA, Bogota, 1976. [Ayr91] Frank Ayres Jr. Ecuaciones Diferenciales. Serie de Compendios Schaum. McGrawHill, Mexic, 1991. [Bat98] C. Batlle. Notes de classe de teoria de control moderna. EUPVG, UPC, 1998. Obtenible a http://anduril.eupvg.upc.es/carles/moderncontrol. [BD98] William E. Boyce i Richard C. DiPrima. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Limusa/Noriega Editores, Mexic, 1998. [Bra90] M. Braun. Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamerica, Mexico, 1990. [Chu96] Ruel V. Churchill. Variable Compleja y Aplicaciones. McGraw-Hill, 1996. [LP95] G. Lind eld i J. Penny. Numerical Methods using Matlab. Prentice-Hall International, Londres, 1995. [MT95] Riccardo Marino i Patrizio Tomei. Nonlinear Control Design. Prentice Hall, Londres, 1995. [NS92] R. Kent Nagle i Edward B. Sa. Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales. AddisonWesley Iberoamericana, 1992. [PC89] T.S. Parker i L.O. Chua. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Springer-Verlag, Nova York, 1989. [PF93] Anna Puig i Joan Fernandez. Transformada de Laplace. Edicions UPC, Barcelona, 1993. [PFTV88] William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky i William T. Vetterling. Numerical Recipes in C - The Art of Scienti c Computing. Cambridge University Press, Cambridge, 1988. [PH96] Charles L. Phillips i Royce D. Harbor. Feedback Control Systems. Prentice Hall, Englewood Clis, Nova Jersey, 1996. © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
182
Bibliogra a
[SB80]
J. Stoer i R. Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1980. [Sch69] Laurent Schwartz. Metodos matematicos para las ciencias fsicas. Selecciones Cient cas, Madrid, 1969. [Tab89] Michael Tabor. Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics. Wiley, Nova York, 1989. [TJ91] Juan Ramon Torregrosa i Cristina Jordan. Algebra Lineal y sus Aplicaciones. Serie de Compendios Schaum. McGraw-Hill, 1991. [Usp90] J.V. Uspensky. Teora de Ecuaciones. Limusa, Mexic, 1990. [Veg94] John van de Vegte. Feedback Control Systems. Prentice-Hall International, Londres, 1994.
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
Index de taules 3.1 Obtencio de la solucio particular segons b(x). El nombre s es el mnim natural tal que cap dels termes la suma dels quals forma la solucio particular es solucio de l'equacio homogenia associada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Analogia entre el calcul de productes i la resolucio d'equacions diferencials . . . . 4.2 Resum de les propietats de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Transformada de Laplace d'algunes funcions importants. . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Funcio de transferencia per a diferents elements electrics. . . . . . . . . . . . . .
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
123 135 146 147 177
Index de gures 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17
Discussio de les solucions de y3 = py + q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un complex i el seu conjugat en el pla complex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpretacio geometrica de l'equacio jz (3 + i)j = 2. . . . . . . . . . . . . . . . Relacio entre les representacions polar i cartesiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . Dos nombres complexos amb arguments que donen una mateixa tangent de l'argument. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i i les seves tres arrels cubiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un circuit RL amb font de tensio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un circuit RC amb font de tensio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un circuit RLC amb font de tensio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un circuit general amb font de tensio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un circuit mes complicat amb font de tensio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les tres funcions hiperboliques. El sinus hiperbolic i la tangent hiperbolica tenen simetria senar, mentre que el cosinus hiperbolic te simetria parella i assoleix un mnim a x = 0. La tangent hiperbolica te asmptotes horitzontals a 1 quan x ! 1. Aixo es degut a que cosh x sinh x si x >> 1 mentre que cosh x sinh x si x << 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tres de les branques de l'arctangent. La del mig, que pren valors entre =2 i +=2, s'anomena branca principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La solucio d'una equacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La solucio d'una altra equacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Famlia de solucions d'una equacio diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dues solucions d'un sistema de 3 equacions diferencials representades a R3. . . . Un circuit RC sense fonts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variacio de la carrega del condensador d'un circuit RC sense fonts en funcio del temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un circuit RL sense fonts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un cilindre hidraulic amb valvula de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motor de corrent continu amb control d'armadura. . . . . . . . . . . . . . . . . . La catenaria, o cable penjant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Famlia de solucions de l'equacio diferencial (2.45). . . . . . . . . . . . . . . . . . El pendol simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Camp de direccions corresponent a y0 = x sin y. No s'ha dibuixat la xarxa de nodes. Solucio de y0 = x sin y amb y(0) = 1. S'han representat valors positius i negatius de x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El primer pas del metode d'Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aproximacio d'Euler a la solucio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diverses solucions particulars de x2y0 = y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . © Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000
4 6 9 10 10 15 21 23 25 26 27 36 38 44 45 46 48 51 52 53 54 55 57 60 71 72 73 74 75 87
Index de gures
186
2.18 2.19 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 4.1 4.2 5.1 5.2 5.3
Diverses solucions regulars de y0 = 3y2=3 i la solucio singular ys(x) = 0. . . . . . . 88 Per illustrar el teorema d'existencia i unicitat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Circuit RLC amb font de tensio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Sistema mecanic equivalent al circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Evolucio d'un sistema d'ordre dos inicialment en repos i separat de l'equilibri per a = 0:1, = 0:3, = 1:0 i = 2:0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Resposta d'un sistema de segon ordre a una entrada esglao per a = 0:1, = 0:3, = 1:0 i = 2:0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 De nicio de tp i ts per a un sistema de segon ordre quan < 1. L'eix d'ordenades s'ha normalitzat a A = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 De nicio de la impedancia pel sistema (3.73). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Resposta del sistema de segon ordre a una entrada sinusodal per a = 0:3, !n = 1 i diferents valors del quocient !=!n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Impedancia del sistema (3.73) per a = 0:3 i = 0:2 en funcio del quocient !=!n. 133 Corbes de potencia mitjana en funcio de !=!n per a = 0:3 i = 0:2. . . . . . . 133 Diferencia de fase entre y(t) i sin !t per a = 0:3 i = 0:2 en funcio del quocient !=!n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Cinc descripcions d'una forca \quasi"instantania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Representacio simbolica d'una forca instantania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Un circuit amb tres variables d'estat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Tres maneres de representar un sistema de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Esquema d'una realimentacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
© Los autores, 2000; © Edicions UPC, 2000