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_n_;_____inñ;xt;t?_?_v_mV_n^ lasgrandes eta_asde la __i m_tema_C_
LA_ACn _Cn DELcERCANOONENT _geo__8yla9dt_pltnas _ e_asTeO_ade1D8n_mero 6&_eb__ 6&_eb__ _ an_a_ _ b8b1lo_as: _culodesupernc iesy de3000 a.n.e.TableEasLa numeración sumena(sexagesimal) y volúme nes; sislemasdeunidade sdemedisdemedi- cunei(orm es. el _lgebra(resol ución deecuacionesde da, aproximación n3; relacióndePi _gor_ lOy 20grado porlosbabi lonios). ' (n0demOS_ada_ _r0''C_CWada'' )_Establ ecimjento decorrespondencia s entreconjun tosnuméncos(no tosnuméncos(no ci6nmoci6nmodernadeFunción ) por los babilonio s. s. Conocimientos métricos rudimentajos. Hacial 600 a.n.e.Numeración decimal poryuxtaposici6n ; PapirodeRhindnotaciónderracc ianes. ianes. (EgiploJ. THAL_ deMiteto, Fundadortradicional FinSigloV1ll-pnnci delageometa. delageometa. piosSigloVl a.n.e. PITAGORAS ylospit agóncos: ''El mun-550-450 a.n.e._imogeomet_ade lospit agóncos.Irra do estáre gido porlosnumecos"_ a_ede cionalidad de; inconmensucablesenIademostraci ón; teoremallama do_etreellas(consecuenciadelteoremade Pit_gora s'' (el cuadradodelahipoten usaPil__oras). usaPil__oras). esigual alasumadeloscuadradosde loscatelosJ. HlP6CRAT_deQuios:Problemasrela-SigloVa.n.e. _vosalacuadraturadelaslunulasy ata duplicac ióndelcubo dearistadada. _imeratenlativ aderecapilacióndelsa' bergeornétnco enlosEl ementos. _GORAS:perspectiva. HlRASOSdeMetaponte(hacia460) : qui-TEO_OROdeCirene,el matemátic o_ 2áselverdaderoautordel ''Teorem adedescubrimientodelairracionalid ad adde: Pitágoras" .seleat_ibuyelaconstrucción_,_, ...,_. del penlágono y deldadecaedrore gular. 11
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lu mbrerasEditoresÁlgebra '"' _ _..' _28__ _ _lento,__,PI__n ,_ ' . _ __ HlPlASdeElisdescubrelacuadralri2. ARQUl_deTarenlo(hacia430-360Sig_oNa.n.e.Teo a delos números: ARQUlT_ ha a.n.e.): duplicacióndel cubo. enunciadolaim_sibilidad deenconp_T6N(q2g.348/7a.n.e.); Filoso_adetfWUn nÚmerOentefOCOmOmedia lasmatem__cas("_oscjnco cuerpospla_eeOmétnCaentfed05 nÚmerOS en laF_Ón /_ ,_ ._n OnlCOsSOn OS ClnCOpO_efOS fe_UaCeS n+I CUyaInSCnpClOn eS ßOSlbleenaeS efa. EUDOXOdeCnido(hacia406-355a.n.e.):TEETETES(hacia4l O-368a.n.e.):Teo a geometa del espacio; teoríadelaspro- delos números; estudio delosirracionaN porcionesy delasemejanza; métododeles. exhaustión(anlepasadodelcálculodiferencial).EuxoDo : Teorladelasproporc_ones. ARlST TEL_(384-322a.n.e.):Investigacionessobreel innnito yel continuo. Pareceser queFueel primeroensimboli2ar lasmagnitudesqueintervienenenIos razonamienlosmatemáticosmediante smediante letras. MENECM O(hacia375-325a.n.e.): Seccio-HERmoT_Modecolorón; cont_nuac_ón nescónicas: Glrosgeómetrasdel siglo IV: de1ostrabaJosdeEudoxo y de Teetet TheudiosdeMagnesia,León,Leodamante.Neólido_AmiclasdeHeraclea,Filipo deh_edma,Aristeo, AutolicodePilana. EUCWDM(hacia3l5-235a.n.e.enSigloIIl a.n.e.EUCLIDES:Teoa Teo a delosnúmerosirraAlejanda): Los_lemenros(t3 libros): cionales. 465proposiciones: lascuales, 372 son teorema__y93''pro_lemas''querecapituIan_ metódicamente_todoslosconocimientosmatem_licosdelaAntigüedad, (lnágulos, semej anzas, proporciones, áreas,volúmenes,conslrucciones,geo-! mela mela del espacio). ARQUíMEDES DES(287-212a.n.e.):cuadratu-_QUlMED_:Teo_ade_os números;' radelaparábola; dennicióndel número sistemadenumeracin por clase; desn(mélodo delos isope_metros) ; áre__ sy cubrimiento del c_c. ulo inrlnitesimal. volúmenesdeloscuemosredondos; es. 3 I O< _ _ 3 l 0 ludiossobrelaespiral,lastangenles,los 7I 70 poliedrossemirregulares,etc.' 12
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Resumenhistórico __lONlOdePérgama(hacia262-I80AP0LONlO:Nolacióndelosgrandesnúcióndelosgrandesnú_n.e.): 7ra(_dodelascónic_s(elipse,hi- meros; n=3_l4l6 ' p_ole, parbala). parbala). __smatemáticosdel sigloIII: Nicome& (descubjmientodelaconcoideJ_ _Ies(lacisoideparaladuplicacióndeI cubo),Perseo,Zenodoro. _lCLÉ: _lCLÉ : Di_sióndel círculo en 360 Siglo Ill-I a.n.e. HIPSlC_: _ogresioneseeomélncas_ _dos.teoríadelosnúmeros. _ONdeAlejandna:LaMetntca,com-s_g_o_ d.n.e.HlR_CO(l6I-I26a.n.e.):_trónOmo, pWación sobrelosmét_osdemedidasy utilizalasFraccionessexagesimalespara _c_culosapro_mados(raícescuadra- medir losngulos losngulos (estasfraccionescons__.cúbicas). tituyenel oneendenuestros''erados'', _uAode_e_andna.Teoremade_as ''minUtOS''Y''SegUndOS'');PreCUrSOfdela .p,ecuno, de_atn_gonome. t ngonometr ía. ,_ es_énca.NlC6MACOdeGerasa: Introducción aIa __D_oTo LoMEo(_28__68,. en s., _o __ _itm_tic0 (auetendráunagran innuen..__da)._ ..__d a)._ _trónomo_ geógr_o_male_Ciaen laEdad Media)_ ma'_co,autordelAlmagesto.FundadorTEONde_mirna(l20-l80):Mposición _la_gonomet_a, queutili2 parasusde losconocimientosmalemáticosútiles x- _Nacionesastronómicas(cálculodeparalalecturadePlatón. Desarrollo de "' _ líneastrigonométncas,fórmulasde_. ;_'ión,etc.). _NO(hacia232-304): Explicaci6nSigloIII y IVTEN IVTE N deAJejanda deAJejanda (siglo IV): Cálculo ;, _losElementosdeEuclides. conayudadeFraccionessexagesimales !_,x __uco(hacia283_33o)t. p_po (_radOS_eIC.J_ _tfaCCiÓn def_CeS CUa__ienzo del siglo _v)_ _oblemasdedradaS_ SU_la_ HIPat_a(mUe_aen 4l5)_ _t_ :___et_aproyectiva; autordelasCo- UUama Caam05a' __cionesmatem_tjc_s(recopilaci6ndeDIOFVTE(hacia325-QlO):Autordelas ? prab_em_yproposiciones).A_tméticas.Teoremasobrelateoa de ___ e_ D_adoco(4 lo q85).coment0_ siglo vy vl losnúmerosy, pnncipalmentet teo a de _- ' t _ sob_ (os__emen(osdeEu,(;_es. lasecuacionesdeI Oy 2^ grado (sin duda __ _ u c_o inspiradaen fuentesmesopot4micas). sl_lOM:COmentar1OSeIn__ac;onessobrelasteo as deEudoxo DOMlNUS deLa_sa: _blicauna_tmé-_ __a__ e,Fe,,,homocetn_;,as.ticaeuclidiana. _smatemáticos:AnlemiodeTralles __ 534),Manno, EutociodeAscalón, ?E__orode MiIeto:compiladorestrestau___res. 13
__ lu mbrerasEditoresÁlgebra ' L_S MATÉMÁTICOS ÃRAB_ YARABIZADOS SigloVIlI Kankah aportaaBagdaden 766, eI Siddhanta_ del matemático hindú Brahmagupta,llamado en árabe,el Sindhind. PNmerastraduccionesimportantes: s:delSindhind,por Ja'qubibnTariq(m.796) yal-Fazari,del Nmagesto;porMuhammadibnKatiral-Fargani(m.833.),conocidoen laEdadMediaconel nombredeAl(raganusJdelosElementosde EucIide_ por al-Hajjaj. SigloIXDominado por laobrade Muhammad ibn Musaal-Khare2mi (o _-Jwarizmi),deBagdad: mi),deBagdad: introducción delasmatem_ticasndias, delasmatem_ticasndias, obraquetraladela resolución deecuaciones,titulada: Al-d_abr w_ 'l mu6abala(rransposición y reducción) , dedondeseonginar lapalabra''átgebra'' en Occidente; el nombredel autor dioorigen ala palabraálgebra. Nuevaslraducciones:Apolonioporal-Himsi(m.883),elAlmagesloy los_lemenrosporTabit ibn-Q.urra(826-90IJ,Geometa Geomet a deAhmed, Hazan y Muhammad Banu Musa(reanudacin de laspreocupacionesarquimedianas). SigloXSiguenlastraducciones,adornadascon comentanos_ trabajosoriginalesdeal-Battani (877929), quesubstituyelanociónde cuerda, utili2adahastaentoncesen tne_nometja, por lade seno yestablecelafórmula(undamental deIatngonometaesFérica;deAbu'l-WaFa,llamado Albujjani (940-998),un persa, queper Feccionó lat_gonomeljaintroduciendo lasnocionesde tangente,cotangente,secanteycosecante. SigloXl Al-Karchi (m. I029) publicaun lratado deálgebrasobrelasecuacionesdel tipo _n+b_ c. lbnal-Haytamal-Hazin(llamadoAlhazen,987-l038),descubrelapruebadel nueve.Al-Biruni rehaceelc_culodelastablas trigonométricas.AJ-Hajjami jjami(l044-Il23)abordalasecuaciones del tercer gradautili2andolasseccionescónicasyestudialos''postulados'' euclidianos; dio, también,tafórmulageneral del binomio. Si_loXll El poetapersaOmar Khayyam (m. hacial l23) da ciertassotucionesgeométncasparatas ecuacionesdesegundogradoy una clasif_cación importantedelas ecuaciones. Al Tusi (l201 l2T4) publicauntratadosobrelostri_ngulosrRctángu Iosy unatraducción delos_(ementos.Despuésdel siglo XlI, laciencia''árabe'' declina. El soberano UlugBeg daunas Tablas en lasquen está calculadocon l6 decimales. iU-Kalcadi daun proced_miento deadición ara_P+2P+3P+...+nP. El último ,ancom ilador FueBahaal .Din muhammad al_Amili 1547_ 1621). t_
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Resumenhistórico '_''',_,,'''''''L.';o_s.,_P,__.M Ro_ S:AL5..,_,.,'N'__. ._..:Y..:__''_._o,_S'''MA!'',!.T '''MA!'',!.TEMA-EMA--_-_-c-.'''o''''s.;D_'__E__-_s'rG.Lo,'_'_AL.' s_GL__-xn!._ ---'---"l.Trans'_isiÓndel8hie_nda._eg_y4nbe_,precisione_sob_lateaíade.l_snúmero_ _nu_er_ acîón_ _í_boIo_, etc.J' ' ' ' ' _ sigloXlI GherardodeCremona(I I l4-l I87), traduccionesdelos sdelos matemáticosárabes(y, atravésde ellos,deEuclidesy deTolomeoJ. Fibonacci,llamado LeonardoPisano (haciaI l 75, despuésdel 240) introduceen Europaoccidental crislianalosmétodosde lOsmatemticos árabes, su sislemadenumeración y sus conocimientosalgebraicos(l^ y20 grados); estudialaspropiedadesdela seneO,l, l, 2,3, 5, t , ./ ., ! ,...CaalerInlnOeS aSUmaeOS OS termlnOSqUeepfeCeen. UOraeVa etltUlO deLiberabbaci. ; J;,StgloXlIl ThomasBradwardine( l290-I349), arzobispo deCanterbury, teólogo, seinleresaenlageome!_ tja''especulativa'' yen el cálculo,presientelanoción de loganEmo. ., SigloXNNicolásdeOresme(l325-l382): introducela' representación deun sistemadecoordenadas _' segúndosejesrectangulares. !_l_64Regiomontano(I436-I476),astrónomoalemn, per Feccionalatrieonome_aplanay esfénca j' (SUll'brOdeT_an_UltS OmnimOdiS, nOSe_UbtiCafa, haS tal 553, _O_ StUmamente). i ;-._ I4&4Nicolá Chuquet ( l445- l500): Tnparty sur tasciencedesnombres_ uso delosexponentes,regla ;- delossignos (cáIculo aIgebraico); o); precursor delanoción delogajtmo. l_9Johann Widmann (S.XV), publicaun tratado deajtmélica, en el cual emplea, porvezpjmera, .deunarormasistem lica, lossignos+ y -. t Ii _geb. ri_del.Renaci_ento: ie8oI.ucfón del88 _uaone8 de30 y 40 grada. _ .. ..' .l5IOScipionedeI Ferro(I465-I5267, solución delaecuación_+px=q. _535 NiccolóFontana, ltamadoT__lia(''EI tartamudo'') redescubreel método desolución de laecuaci6n _+px=q,en ocasin ocasin deun torneo de matemá_cas, ycomunicasu descubnmiento aCard_o. l_5GerotamoCardano ( I 50 I - I S76) publicael Arsmagna_ tratado en el cuat dala ( rmulaeeneral desolución delaecuaciónde tercer grado, llamadarórmu IadeCárdano, utili2ando el método deT__lia. l_6TartagliapublicaQuesri einuenzioni diuerse, queconlienelaexposición desu método de tratamientodelasecuacionesdetercergrado. El alemán Adam Riese(haciaI499-l5J9) introduceel signo." l_ El italianoLudovico Ferrari ( l 522- l 565), discípu lo de Cardano, descubreel método desolución _elasecuacionesdecuarto grado. 15
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Lu m b rerasEd ito reeAl gebra l579 FrancoisViéte(l540-l603): Canon mathematicus, ticus, quedasu formadeF_nitiva alatngonometria. l_8_ SimonSEevin, deBrujas(I548- l620) publicasu iMthmetiqueintroducci6n dela noIación decimal paraIasfracciones_intenlodecreacin paraIasfracciones_intenlodecreaci n deun sistemadeunidades Fundado en el sistema decimal(precursordenuestrosistemamétrico). l_9lViete:Is_so_ejnartem0n_Iyticum.Empleode letraspararepresentarcantidadesnumncas (empleo delasvocalesp_arepresentar lasincógnita,sy delasconsonantesparalascantidadesconocidas),quepermitenresumir todoslosmétodosde cáIculo (haslaentoncesexpresa' doslaboriosamente) enfórmulasalgebraicas. Numerososdescubnmientossobrelaleoa de losnúmeros(aproximaciones,represenlacióndelnúmeronmedianteunproducto ilimitado convergente).Tratamientoalgebrwcodelos odelos problemasdegeomet_a. ,__,,,,_,,__,_,_, ,,_,,___,e,?_,_,_o_., ,____,,,,.,,_,?_,_,__n_,_,,__,__g,_?,_J,_,_?,_,,_,?_,,_,?,s,,,,,0,,,,?,_,J_,_v__,__,,,___,,?,,,?_c_v,_,_,,_,,;,?____.__ x,,,,_,;, Invenci6ndelageometa Invenci6ndelageometaanalitica(Descartes),delcálculodi Ferencial-integraI graI(LeibnitzyNewton),renacimiento delageometjapura(Desargues),teojadelosnúmeros (Bernoulli_ Pascal). _eb_yt_8de __' . ' ' ' , '_n , , ,_ _ '_; nÚ_e_,' j _lCUlO_e' __, _tS ' Geo___ prob&bi_deS _ _' ' _,_ x, _ , , xn' l60_.Elas_ónomoJostBurgielaboralosApjncipiosdel laboralosApjncipiosdelsiglo XVlI:La Jund0mentDsdeI c_Iculologamtmjco.ensen0_ delageomelna 16_4.Neper(JohnNapjer)..pe,fec.seimp_e,pnncipalmenlea cjonam_entodelanocjónde loga,it.pa_ir del tratadodeClanus, a moy detas reg_a,decá_cu_o(M;,J_r,_,; quien sedio e1 sobrenombre (o_afir_mo,,mc,non;,des,n_p(,_oJ.de''EuclidesdelSiglo XM''. l625.Gjrafd:_uncjado(sjn1635.Cav_ien.Geometríedelos jndjvj_l637_DeSCa_eS:InVenCiÓnde demostracjón)delteoremasibles_,anuncjaelcálculointegral.la_eOmeta la_eOmet a analítiCa(en el Fundamentaldelálgebra.tfatadOcuyOpfefaCioeSelDiS.Fermal: EstUdlOdelOS m0mOS y cursodelmélodo). eloS mínlmOS, m_tododelastan_entes_,_uncjaelc_culojnfjnjtesim_(djre.l639_PaSCal:_C_be(a lOSI6 Tencjal)._deadelageome_aan_j_ca. anOS) el Tf_t0dOSObrelaS CÓnICaS. .Fe_at:IdeaSObfeell6__. VValljs:_it_métic_in_nitofum, _culodepfobabiljdades.preludjodelcálculojntegral.Fófmulal6_2-l6__:Tr0b0iOSde DeS_r__ 654_ _ c, J( dde_a__is.n 2 24 2n gues, queco_stituyen labase I-'- --'-''''-''' :, _.JJ.n + dela_eomela dela_eomela proyecllvae __ponentesnegativosy rraccionanos.inauguranlageome_/asupe,_or. 16
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LumbrerasEd itoresAl gebra l579FrancoisV_éte(I 54_l603 J: JCanon : mathema ticus,quedasu Formadef_n itivaalatngonomet_a. itivaalatngonomet_a. l585SimonStevin,deBrujas( l548-t 620)publicasuiMthmetiqueintro duccióndelanotacióndeciducción malparalasFracciones,intentodecreacióndeunsistemadeunidadesrundadoeneI sistema decimal (precursor denuestro sistema m trico). I59l Viete: Js_sogejn __em_n_(ytjcum. Empleode_etras pararepres ent_ cantidadesnuméricas (empleo delas vocalespararepre sentar sentarlasincógnita,sydeIasconsonan tesparalascantidatesparalascantidadesconocida s)_quepermitenresum ir (odoslosmétodosdecálculo(haslaentonc esexpresa' doslaboriosam ente)enfórmulasalgeb raicas. raicas.Numeroso sdescubrimien sdescubrimien tossobrelateoríade tossobrelateoríade losnúmeros (aproximaciones, representación del númeron medianteun producEoitimitado converg ente). ente).Tratamien toalgebraicodelosproblem toalgebraicodelosproblem asdegeomet a.
..,,,_ .m, ,.,.,,_.- _____;, _,,,,,,._. ,__??, _,,,n,?_g,,, ,_,u______q gq, ,e_ __ ,,,,,n,__0__ev?m,m _ _,,_,__ _,, ? ___ _v,,_, ,,?_, __ ,_,_,_, _, _ _ Tnvención delageometría analítica (Descartes), del cálculodi Ferencial-integr_ (leibnit2 yNevvton), renacimiento delageomet_apura(Desargues) . teo a delosnúmeros(Bernou lti, lti,_scat). , __br8yteo__delos_ 'y' ' ' ,,' , , ', ,,'____ ___eros__cul0 de , ' ' An_, __ Geo___a ' ' ' _proba,b1l1_' des _ ' , _ _, , - _ , _ I604._as_ónomoJost8urgiel aboralosA principios del sielo XVII: La rundam enrosdelc_lcuJo logatmico . enseanzadela geometja 16_g. Nepe,(J ohn Nap_e,).. pe,fec_sei mpa_e_ pnncipalmentea cjonam_entode _anoción de_og_;t_ p_ir del tra_do deClanus_ a moyde lasreg_a,decá_culo(M,_, ,'r;c;Quiensedio elsobrenombre (o_an_r_mo_m ,anon;sde ,c,,.pt,_o). de''Eucli desdel SigloXVI''. l62_. Gjrard:Enunciado(s in 1635.cavaljen.Geome__adelos indi__ l_1-DeSC_eS: lnVenCi nde demo5tración) del teoremasib_es,_ anuncia el c_culo integral. l4geOmet a analítiCa(en el Fundam ent_dela'lgebFa. ,lratadOCUyOßfefaCiOeSel DiS.Fe_at:_tUdlOdelOSm0mOSy curso del método). elOS _nlmOS,métOd Odeta5tan_enOdeta5tan_entes_,anuncjaelclculoinfj_tesim_(dife.l639_P_Cal:_Cnbe(alOSl 6 fencjal).Ideadelageometaaan_j_ca.anOS)elTfatadOSObrelaSC_ fencjal).Ideadelageomet nICaS. . fermat: ldeaSOb Ceet l6__. VV_ljs: _ilhméfic_ in_ini(orum, cálculodeprobabili dades.pre_ud; ode_ cá_c,1ojnteg,a_. Fó,mu_al6g2-l_5: Tr_b0iosdeDesar. c4 _c u ( od e, o de_a_lis..n _2 24 2n gues, queco_stituyen la_se .(,._,de s2I 352n+I delageomet aproyectivae Mponen tesnegativosy tesnegativosy_racciona rios.inaugur an lageometfl_asupe nor. 16
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Resumenhistórico n., I656.Ch. Huygens: P4imer tr0- l656. Pascal: _opiedodesdel triÓngu Io l656. TrabajosdeHuygenssot_docomp(e(osobreelc_lcu(o0rltmétlCO(ßrellml_afalCálCUlO1nte-brela cjcloide.d gral). e_rO0 ll 0 eS. l_6.UllimoleoremadeFer-166_._merasl. mal:La ecuaCiÓn:_+y'=Z"delaposjbjlidaddeunca/lculosobrelos no lienesolucjonesenterasi_lnitamentepequeos. _sitivasp_an>2. l672-I676: Leibnizinventael cálculol672. DelaHire: Nue,vo métodiferenciat eintegral.do degeome_/apa,alassec. l679. _bIicación póstumadecionescón; lasobrasdeFermat. l684. Leibniz: Nuevo método parala determinación delosmáximosv, delos mínimos.l685. DelaHire: Seccionescónjcas(desarrollodelageome1686. Ne_on_. cálculodelas nuxionestaSUPertOr), (cálculodiFerencialeintegral:igual métodoqueleibniz, notacióndiferente;descubnmientoindependientede Leibniz,queNenrtonignoraba). l687.Nenrton:_incipjephjlosophjae. ; I690. Rolle: rratado de_Jge- l690. Bernoulli: Cálculo integral_ (so- l690. leibnizintroducelapa_bra(métodode lascascadaslucióndeecuacionesdi Ferenciales, labracoordenadas. das. quepermiteencuadrarlasraí-ecuacionesdeBernoulliJ. cesrealesdecieItostiposde : eCUaCiOneS )_16gl. TeoremadeRo((p: unaFuncjón no .l690. JacquesBernoulli: CÓl- puedeanularsemásdeunavezen el l _._ / .CUOe _rOal l aRS eyeS ln elVaOqUeSepafaOS IalCeS reale 2!_, delosgrandes numeros,etc.) consecutivasdesu denvada. 16gg .DelaHlre: Mem OrlaSO'_ l69l.leibniz: Teojadelasde- brelasep;c;c(o,'_es. terminantes.I696.L'Hospital:An_isisdelosinnni_amenEepequenosparalainte_genciadel_ ,líneascuNas(aplicacionesgeomé_cas '_ del 0_isis). RegladeL'Hospital, el lí_ie J(x)el COCl entequetomala formalng(x dt _d 0_ d !. ee_lnaa-O- CUan O' i r '(xo) !_ X_XoeS _.. g' Xo 17
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lumbrerasEditoresÁlgebFa ....:......,..........._..::...._,. '',,;,.;;.;,: ..:.....:.:........._..' ,,,...5l__,.L,o.:.__XvI...' .__..I.':_D'_,._'',,.:,_,' '_'-ò.____:_ _'Q:.D.._._._!. '_.'''.:---=._.__:---,-s,:--_--,--'_':';:..:;.''::::::'::...::._;;__=__- W:-___'--___Y':'::'''''..::'''.:'.'':':.:.''''''.'-'-''n-_'----n_-':"-O:: SiseexceptúanaIgunosinvestigadoresaisIados,lamayoríadematemáticos_enel sigloXVIII,explotaron el geniaI descubnmientodeLeibnizy Newton: El c_cuIo diferencial einlegral, queseconvie_een unaherramientaexcepcional paraestudiar tantosobjetosmalemáticoscomo ntosobjetosmalemáticoscomo lasfuncionesde una vanablereat, lascurvasy suspropiedadesgeométncas, IasprobabiIidadeso lamecánicaceleste. Conelliempo,los cienEíF_cosvanperfeccionandoelAnálisis,,seainvenlandomediasparasimplin_car losc_culos,seaprecisandoel rigor desusder_nicionesy desus razonamientos, conlostrabajos deClairaut ydelegendre, seanunciaunageomela seanunciaunageomela nueva. Heaquí lasetapasesencialesdeeste período. l 7l3JacquesBemoulli: AJsconiectandi (póstumo) , s_ obrelas "leyesdel azar''. I7l_Taylor:Merhodusincremenrorumdirectae(jnuena(Mélododelos ''incrementos''direclose inversos),en el queindicael desarrolloen sejedeunaFunción de unavariablereal (Fórmula deTaylor): 2_n _f(x+h)_ F(x)+-r'(x)+_F''(xJ+...+_r^(xJ+R,(x) al! 2! nt (R, esel resto delafórmuladeTaylor). I7l6DeMoivre:_clJineofC_ances,aplicacionesprácticasdelcálculo deprobabilidades;teoremadelasprobabilidadescompuestas. l722 Resoluci6ndeecuacionesdjrerencialesdelaforma y'--F(x)+yg(x)+y_h(x)por Riccati. l723mmerostrabajosimportantesdelmatemálicosuizoEuler,sobrelas Fraccionesconlinuas cuyaabundanteobraconcierneatodoslos aspectosdel Análisis_lostratadosdeEuler sobre elcálculodiFerencialeinteer_.sus innumerablesmemonas,artículos,etc.;proporcionaron alo_s matemáticosdelossiglosXMII y XIXun matejal cuya_que2atodaa esmaniF1estaen nuestrosdías. I72_ DeMoivTe: Annuiriesupon/ife. I729 Clairaut: Recherchessuf lescouIbesadoublecourbure. l730 DeMoivreintroducelosnúmerosimaginariosen t_gonome_ay establecelaFórmula__ Moi_e: (cos0+ isen0)"= cosn0+ isennY. I7_Sacchej:Eucli_esabomnin_euoujndicatus.Saccheriesel primeroenestablecerunmétudc7 (que, por otraparte,no supo utitizar) _araprobar el valor del postul_do deEuclides; e__ _l precuTsordelosgeómetrasno euclidianosdel si__lo siguiente. 18
__ Resumenist6rico I7_Euler:Ptimeraexposicióndelcálculodevanacionesc_problemaqueseplantea(yqueresoIveráLagr ange)esel siguienle:cómocaIcularlavariación6/de ciertostiposdeintegrale s enlasquef_guralaFuncióny(x),enlahip tesis en queeslafunci n vae asu vez6y. l748Euler:Inlroduction_ran_lysedesinnnime n( n(peti(s. Estetratadoeslaobramásimportantede Euler;hacedelateo ade lasFuncionesydesulralamientomedianteelcálculodiferenc ial iale inlegral,lapie2amaeslr adel Análisis. I750 Cramer: InlrDduc tion_ reludedescouIb es_(_éb_que es_(_éb_que s(uno delospnmerostratadosdegeometía metía analítica);métododeresolu cióndeunsistemadeecuacionesdepnmergrado(mécióndeun todo deCramer) medianteel empleodedeterminanles . I755 Euler: Jnstilucjonesca lculi di__efentj0lis. l760landen: Trabajossobreintegraleselíptica s. s. I766 Monge:mmerasintuicio nesquellevaríanalageomel a descnptiva (aprox. l 799). nesquellevarían InOLamber t: Elaboració ndelatngonomet ndelatngonometa esFénca.Trabajassobr eIascónicas. IMl Vandermonde: Investigaciones sobrelas ecuaciones dequinto grado. IM2 Lagrange: Ad_itjon 4L'0l_ébre d_uler, introducción del conceplo deinv nanIe.Laobrade L_rang eno eno estanvoluminosacomoladeEuler,perosus fundam entossondeunngor que seconvertiá enmodelodecons_ucciónlóg ica. ica. IT88L_range:Mécanjqueanalytig ue: ue:la mecáicacelestetratadacomounaramadeanálisis.Es laobramá famosadeLagrang e. e. I_ Legendre: _lemenrsdegéomenie= intentos (vanos) p_ademostrar el postulado de Euclides. I197-l7 99L_r0ge:Teo_adelasFuncione 99L_r0ge: san_íticas( san_íticas(l 797)yLecanssur lecalculdesfonctions(l 799). EnestasdosobrasLagrange_aladedaralanociónde funciónunsignif_cad omá general pa_end odeldesanollodelaFórmuladeTaylor(hacial7 l5J. l198 Legendre: TJ1éoriedesnombres . I800 Monge: PtIblir_ci óndel Traitédegéome_edesrr ipliue.
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Lu mbrerasEd ito resAlgebra '' __._ ''_'' ' ''ELSI_LO_'_ ,_ ___,,_ ,,, '.' _,,__m,:^'\____,,? Esteesel siglodeIapolémicay delas revoluciones, tanto nto enmatemáticascomo enlosoEroscamposde Iaactividadhumana. Ensu transcursotienelugar lacreación del álgebramoderna(teo a delosgruposde o sde Galois)_elpoderosodesarroflodelAnálisis(Gauss,Riemann_Poincaré),lareconsideracióndelageometría(geometríasno euclidianas) einctusodeI análisis, lo cual tlevaaCantor vaaCantor ala elaboracióndelaleoría delosconjuntos. __b_ An__1sGeo_e_a l797.Wessel:Repr_enta_óngeom_cade losnúmeroscompfej0s, l797-l799.Lagrange:Lasruncionesanaljtjcas. l80t.Gauss:Djsquisirjonesanr_merjca_.Es_diode_scongruenciasx deIaS(OrmaSCUadr_a_castdeIaCOnYef_en_adel_Sef'_eStetC. l803.La2areCafnot:Geométrie deposirion(topología).Nacimientodelageometríamoderna. .Fourner: EstudlOdelaS Senes_gonomét_cas.l 806_ TeOrem0deBr_nC_On (eeO' met_aproyectiva). .La_lace:A_llCaClÓndel análisisalcálculodeprobabilidades, con larhéorjeana(ytjquedes probabilités. l82l.Cauchy:Coursd'an_yse. l822.Pbncelet:rr_ilédesprDpiéCauchyescribi6 má de700 me- téspIoiecljuesdesn_gures(edi_camonas. ción delageometa delageometa proyecliva). 182g. Estud;opo, e_ as_,ónomo InvestigacionessobrelaslransForBe,sel (_ 7g4__gq6), de__ Funcio_macionesmedi_tePolaresreCínesllamadasFuncionesdeBessel PFOCaSdeordenµ y queinEemenenen matemáticasaplîcadas(es_ci_menteenelectncidad). l825.Leeendre:PrimerosEraba-l826.Plücker:lntroduceengeojossobrelasintegraleselípticas.metaa analíticalascoordenadas jossobrelasintegraleselípticas.met homogéneas(ocoordenadasde Plücker). I827.Möbius:Elc_Iculobaricénrrico,obraFundamentalparala geometía ía descjptiva. Topología (cintadeMöbius). l829.TeoremadeSturm.l829.Jacobi:_tudiodelasrun- l829.Lobachevski_Lageometría cioneselípticas.noeucIidiana. 2O
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Resumenhist6rico
l 830.Tr_bajosde_uarjsteGalois, quecontinú an an losdeLagrange, Vander- mondey Gauss, acerca delateo a delas ecuacion es, es, sobreelpapeldeloseruposen laresolu__n de ecuacion esalgeesalgebricas. bricas. l83I.Gauss:Teo a delosnúmeroscomplejo s. s. l832. Galois: Cettre_ AugusteI836. Fundación por Liounlledel l833. Boly_: Geometríano Comte, escntalanocheantejor aJournaldeMathémaliq uespureseuclidian uespureseuclidian a. a. sumuerte(enunduelo7yenlaet appliqué es. queresumesusdescub rimientos_83 rimientos_83 8 po_,sso,.Teon/ede_aproba. sobrelareo_0delosgruposylasb___; inte_rale sabelionas. .8oole:Teoríadelastr_nsl842. Boole: Teoríadelainvan_rorma,,_ones,na(, _tJciaydelacovariancia. l843. HamiIlon.Teoriadeloscual ternii ,,; S ,e,,,n_n. A,,,,n,n,, ,,g,L,.ou,,.,,e. D,.,_,.,,., o,, e,t,e f __n _ - _ _ máticadetendenc jaaxiomática_trasce jaaxiomática_trasce ndentes. ndentes. '_ en senlido modemo. Al Fundar la''nuevaálgebra '''' Grassmann presentasuc_lculosintenernecesidaddeprecisarsisecalcula ' sobrepunto_s_ líneas o números -(lageomet ade ''n''dimensione s haceparejaconelálgebrade''n'' _an_bles). I84_.Cayley:TeoJíadelasmatrifRS. l_T. Boole:Análisis matem_ti- I847.Von Slaudt: GeDme_ade cos , deI_lógjc0,posición . I848. Quételet: Fundador delal8_l.Rie mann:_studiodelasf un- I852. Chasles: Apercuhjstonque J_tadística. cionesdeunauaFi_bIecompleia.sur Iesmé(_odesgeom ét_ques. --' I&t.Boole: LasIeyes delpensa- l864- Weierstrass: Funcionesde l85_. Riemann: Fundamentos :.! mjento. unauaJi0blecomplej4.del0shjpótes jsdelageometrí_ _ l866.He_ile; utili_cióndeles(_eOmet_anOeUClidian a)_ a)_ i _'-, fun.cioneseIípEicas enla resolución I857. _emann:E_in_c0cjón de '?_,delasecuacionesde5^grado.laropolog ía(llamadaenlonc ía(llamadaenlonc es es __.analysissilusJ.
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___ _ __ _ _ ___ _ Lu mbrerasEd itore_Algebra l870.Jordan:rraitédessubstitu-l87l.SophusMe:Nocióndegrurons desequ4tion s4/gébriquespo s4/gébriquespo detransfo_acione sy sy descu(prolon gación gacióndelasteo_asdebnmientodelatrans(ormació n GaIois).deLie, queestableceunasrelacionesinesper adasentrelasrectasy lasesFerasdel espaciopor unaparteyentrelaslíneasasintóticasylaslíneasdecuNaturade lassuperF_ciesporlaotra. I8?. ..Cantor=Te. o adeIosco._j_t0s..... l873. Hermite:Tr0scendencja del númeroe. l873. El m atemático peruanoFedenc oV_Jlarrea l (l850-l923), nacidoen Tucuman, Lambayeque,cuando apenasconta bacon 23 aos descubnó un nuevomélodo paraelevar un polinomio acualquier potencia. Dichainvestig aciónledio aciónledio renombr euniversal. Otrocompalnofa gran , malemálico ,Cnstóbal ,CnstóbaldeLosaday Puga,ledio proFundosestudiosaldescubrimiento0tenor incluso enadelanlel o llam ''polinomiosnll areal'', considerándolo realmentenuevo,''a bsolutame nteonginalytan perFeclo''_queaunp_aelcaso deunbinomioresultómásfácil,seguroyrápido queelmétododel binomiodeNenr ton. l880. Kronecker: Teo ade losl88l.Poincare:LasFuncion esFuesFugrupos;teo_adeloscuemosdechsianas(Func ionestrascende ionestrascende nnúmeru salgebraicos.tesqueperman salgebraicos.tesqueperman ecen eceninvanab les les cuandosesomelelav nable ''z''asusti_ucionesdelaforma az+b conab__a_-__. a'z+b' Siendoa,a',b,b'reales(estas suslituciones rorman ungrupo: elgrupoFuchsiano ). ).Lateoa de lasruncionesruch sianasesuna sianasesuna generali2 acióndelas(unciones acióndelas(unciones elípticas._ l882. Lindemann= 'rrascendencia delnúmeron.. r. l888. Dedekind: îQu_ s_ on. y_ _qu_ _ d__n ser l.Ds nú__, ?- -- _ __ jt 'ocío_ndeentera._t___ede_ __e _, .'i de_ _as__onesi' ' m e'n' 'i_' ' e''5 -d - -__e_=___._ __- - = ___ -= _ _las_on' ''___' _os:_ : ' ' ''; ''. : :__ _ .. '' " 189o. _eano:Jn_sr_g_c_ones _o- 1894.vollerra; Direrenciale sh - l899.Hilbert;Fund_men rosdela!, rosdela!, gíslic_s(lapasigraf ia)._rbólicas.geomerrí 4. l 897,P_r0doj0deBurali-Fo Ffi.' Ffi.' 22
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Resumenhist6rico , EL SIG,L_O_,_ ,y,, ,, \ , y ,, _,_, / ?m , , Lo__ trabajosdeCant or ?,JdeDedekind pusieron enorden elconJunlo deconocin_ientos matem_ticos, mostraronlanaturale2adelosIa2osexistent esentreelAlgebra_el AnálisisylaGeometjaycrearon-segúnla frasedeHilbert-''unparaísoparama'te__ático._''.Sinembargo_seabreaunac_sisgraveenel SigloXX_que terminasinquerealmente€ueraresu elta,en elta,enlos aos 30.Trasestaépo_a,los esfuerzo sdelosmatemáticos sdelosmatemáticos sehandingido prin__ip alrnenteal alrnentealeitudiode lasestructurasalospro_lemasl gicosya ciertosdomini os delasmatemáticasaplicad as. as. Ttabajosdec8ráct erlógtco _ebr8y_si6 l899. Hilbert: Fundamentosdela I903. Fredholm:Teo a delasecuacionesintegral eslineales(''detergeometria. minantes deFredholm'' ). l9l3.Russel-Wh itehead: itehead: _incipi_l90_.Lebeseue: LeccjonessobreIaintegracjó n y lainuesli_acjó nde nde r;!ar_em alicae. l0s runci_lle sprimitiuas(''integr_ esen esen el sentido deLebegue''). 193l. TeoremadeGödel (meta- l9lO. AxiomadeZermelo. ma-temátiCS) SObfelanOC Ontfa- lglo.s _init2; Fundadordel_gebramoderna. diccióndelaaritméticaJ._g_6 . BOfel:Cálculo deDIab0blll_adR S. l922.ElieCartan:reoJíade losespacjosgenera ljzados_ ljzados_conceptode un espacia sin curvatura_conparaleIi smo absoluto. l939. Fundación del grupoNicolas Bourbaki. l9_.Eilenberg _To_ologíaaIgebra _To_ologíaaIgebra ica. ica. I960. Abraham Robinson (l9l8-l974) denacionalidad Alemana, elaboró alo queha dado en llamar el ANALISI S NOESTANDAR, utilizandoun teoremadelógicay retoman do do losinnnitesima lesquenoshará lesquenoshará !__ vefqueno solo puedesec__r debase pacadesarr ollar todo elc_lculo '_nr_n_'tes_'mal, s'_ i mostracio nesde_eoremascomosussolucio nesde_eoremascomosussolucio nespueden nespueden hacersedemaneram_ssimplequeutiIizando el ;conceptodelímite(técnicascon_y6). . l9T5.Et ingenieromat emálicoBe noit h_andelbrot,con elapoyo elas d computadorasl ogravisual i2ar diver;__sascurvasy superf_ci esrarastolalmenteirregu laresoriginada laresoriginada spor alteracion essucesivasdefunciones. essucesivasdefunciones. _andelb rol,no rol,nosolodael nambredeFracrale s(del s(dellatín FRACTUS;quebradoorotosînoqu_ haceverla .; posibilida ddecrear unageometjapar adescnbirelmundonatural.Aunquesusteoríasnofueronasumidasdeinmediatoelnuevomodelomatemálic_sehaidointroduciendoenrnuchasramasdelaciencia, talescomo la eeometrí a,biología,ecolog ía, ía, física, informática, economía, lingüística.incluso la psicología , _easqueestudiala_eometrí adelanaturalezay lossis(emoscaótjros. l997._l matemáticoinglésAndrewWillesdelaur_iversid addePrincelon,demoslróquelaecuaci_n ad 'a"+b^=c"notienesoIuciónparaa_b,c_ Zv,n>2,llamadoel''u Itimoteorem0deFerma(''pl0tead ohace _íOanos,logrósuhdzanades_ués,decasiI Oaos delrabajo,aplicólo__lrabajosdelu.sjapone sesSh__mura sesSh__mura _.' Taniyam a,_lasmándol oenun trabajoqueocupacienpáginas, I998. Elrnatemático peruanoCésaF Camacho Manco, resuelveproblema__ deecuaciones di Ferenciales _lanteado por fosmatem ticos frances _sBriot _' _ouquet en I 854,su traba' jo y esFuerzo fuereconocido_. ' _. remiado p_rel presidenteBra siteo Fernan_o He_,_-riqueC ardoso.
___ lumbrera_EditoresAlgebra _,,___'_____'_,__",v,, __,','s' :: __'_'_',_?:,_ dm ;q;'~__ ___ _,, wg_'_,_ ____ ;' '___,__?_'' _9 _,__,y_,,__',m_ _____ ?00'_:n_'n_ ,_,_ _.o, , _'_' _:''_^ __ __:_'__^.,,__.__ n' : :_ 'C'__ , ,._''_^_'9'_ '_'_' _' __' ,,, ;,^, __ ____., _' :__'.,
LapirámidedeKeopstienecom obaseun cuadradoperrectov, suscarasson lnángulo sequiláteros sequiláteros orientad osaloscuatro osaloscuatro puntoscardin ales. ales. Lacarasurestáconstruidadetalmodoquerecibeperpendicu larmentelalu2deSirioy alpasarpor el meridian oalumbreun conduct odeventilaciónqu_terminaenla cámaradelRey. Enla caranorteestálagaleríadeentrada,quecond ucealacámarasubterránea;paraletaaellahay ucealacámarasubterránea; olroconduclodeventilación,orienladohacialaestreIl_polar dela_poca(Alradelaconstelacióndel Dragón )quenoes ladehoy,yaqueel ejedeImundo_acau.sadelmavimientodebalance odelaT_erra, odelaT_erra, describeun círculo alrededor del polo ideal y espreciso quetrans curran veinticinco mi1 uchocientos anosparaquevuel__ aalamismaposición. aalamismaposición. LaCámaradelReyestáunidapurunagaleríaaladeentrada,tacuaIrecibelaluzdelaestrellap_lar en el momento desu paso infenor por el mejdiano. Lasdimensi_n esdelacnptafaraónicasonproporciona esdelacnptafaraónicason lesa3. lesa3. 4y 5,numeros_uesegúnPIutarco represen tanlosdio.sesHorus_ tanlosdio.sesHorus_OsiriseIsis, respectiva menEe. Enel centrodeIaCámaradelReyse al2aunaespeciedepiIóndegranitorujopulin_entad c_tallado c_talladoen ángulosrecto s, s, cuyovolumenessesentav.nue_7emil pulgada scúbicaspirarnidale s, s, queesun décimo d_1co_ientedeuncubade cincuent apuIgadas(rracció ndel ejeterrestre),porla den._ida dmediade IaTierra,queapresi nno_alrepresentalaunidaddepesoenla esc_ladelapirámide.,yelvolumen ex_erio rdel misteriosocofreesdobledesucapacidadycoinci_econel delArcadelaAIian2a,que, seeún_aBibfia,habíaconstruidoMoisésparaguard arlasTablasdela Leyycu_'amediUaano_aenel Exodoel _isroriador sagrado. Unale?.7end adi adi Fundidapor losautoreseriegosatnbuyelainvenci6 n deIageometríaalosegipcios(siglolVa.n.e.).Sedicequeéstasedebióa lanecesidaddevolveraencantrarlaslímitesdeloscampos despuésdelasinundac ione__del ione__delNilo.
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Resumenhist6rico _'_,,, n '' _ ;_y^_ _n,' ''' ' ' , _ "'' ,''_,'__/_j_E_-ö' _í1___ï__.ì_8ì2'j' .'^_^_-V_ _
l a h i s l oira d e E v a n s t e G a t o i s e s p r o b a _el m e n t e l a m á s E jtse y matemática.
l a m e nat b l e d e t o d a I a h i s t oira d e l a
Entró alosdoce aos enfamoso liceoLouis-le-CJrand deRas, dondelasmateriasprincipales erael latín yel griego.Susresultado__ en esasasignaturase ran mediocresy decidió seguir un curso optativo dematemáticas; eso cambióel curso desu vida, 7eentró una exaltación sin precedentes: terminó en dosdíasobras quese estudiabanen dosanos. Lev, óy asimilóatodoslos maestrosde su empo, ti tales como Legendrey Cauchy. Másaún, sugenio creador lo ltevó ahacer descubrimientos inesperados (descubrió quelasecuaciones dequinto _rado, conIasque habían tropezado m uchosmaEemáticos famosos, notienensolucionesge neralespor radicales). losdocenlesdel liceo Louis-le-Grand no reconocieron paranada s_ Eale__Lo ni sugeI_io. _st_sson los ; comentariosdealgunosde s_ uspro Fesores: ''No entiendo bien sup_. rsonalidad, pero veo claramentesu engreimiento,. ..ha descuidadogran parte desu rabajode t clase, por es'ofracasó enlose _ámenes''. ''Su talenta_ en el quetendamos quetendamos quecreer, n_ lo hevisto Lod_via; no lIegar anada, su trabajo solo demues_rae_travagancia __ negligencia''. Est
siempreocupado encosas queno debe, lasituación
empeoracadadía''.
Un solo profesor sugiereque abandonelas otrasasignaturas v, ques'e dediqueexclusivamente alas matemticas, matemticas, dice: ''_'nalocura matemáticase haapoderado deeste joven, aquíestáperdiendo el liempo_ sóloatormentaasus maeslros; suconductaes pésima, su carácter muyreservado''. Galoisqueríae ntrar enI'_cole Polytechnique_ lamejor escueladematemáticade francia,y sepresent_ a_concursodeingre so,pero criticó lasmreeunt_s, F_einsolenlecon losexa_ minadoresy noFue aceptado.Tuvo quevolver al ceo. li A l o s d i e c iise t e a o s . e n v i ó a l a A c a d e mai d e C i e n c i a s u n a m e m o r i a s o b r e l a r e s oul c i ó nd e e c u a c i o n es algebraicasque contenía''algunasde lasideas malemáticasmásimportante sdel siglo''; desgraciadamente, Galoisnuncasupo nadamásde esetrabajo; esmuy probablequeCauchy, el principafmatemático francésde laépoca lo hayaperdido. Sepresentó por segundaq_ez al I'EcolePol_'techni_uey por seeundavezsepeleó con lose_aminadores quelece rraron l_spue_as- deF_nilivamente. Enq_iô unsegundo trabajo alaAcademi_a; es_tavez Poisson, un matemáticodep_estigio,f uRel juezv. declaró _l trabajo"incomprensib_e''.
En Febrero del830, alosdiec inueveaos, Fueranalmente admitido en la''EcoleNormale'',de menor prestigio q__elaanterior, _ero tambiéntuvo connictoscon losprores_res, pa_icipó en tuchaspoliticas _- (ueex_ulsado alo__ pu_osmeses. Abandonó, ca_'i porcompIetolasmate n_áticas, sed__dicó alafucha re__olucion_riav. llegó aser u__ líder prestigioso, _erotermin en l_crcel; allí seenamor deunajo__en (''une_uquette de_as étage'') que ibaavisitar a otro pr__'u. __ relaciónFuecorta y dramáti_-a_ salió delacál'cel el 29 d_ mav.o d_I832 y mu_ó dosdia_ __despuésenu__ dueloridíc'ulo (sesos_echaque _3 coquete_' laprovocacióna duelo fueron ardidesdclapolicía). Galoistenía Jl aos. Lanoche antesdel duelo,escribìócartas1' unassesentapáginas dematemáticas. Enellas presentaba_u teoríade gruposabslractos, fundandoasí el álgebraabstracta moderna,que ibaa mantener ocupadasa vanasgenerac ioncsdematemáticos y defí_sicos. Hermann Weyt,un importantematemtico aIemn aIemn del sio__o _, dijodeeste testamento matemáticudeG alois: ''Siseconsidera_ laoriginalidad y laprofundidad dela.sideasque contiene, es, qui2ás,el documentoescritomás valioso detodala Iiteraturade lahumanidad''. Superandalargamente su famal_F_n__ l frasede su ú_timacartapedía: ''Conserv_d mirecuerd_, yaqueel destin o n o m e h a d a d o s u n c i ne t e v i d a p a r a q u e mpi a í s _ o n o z c a mni o m b r e ' 'p, u e s e l mejor monumentoasur ecuerdoes su valiosole_ado alahurnanidad. Cian enciclopedia- _DUCAR.
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__ __coo__D__00o___occ____ec_e_o_____?0__0_v___o_e00_v___0_________00_0qo__________c_c0_c______9__v_______e_on_c000____00coo____o__D0_______0__0___0_o0_c_o0D_D______0_________c0________0_0___00n__D________________________e_____o___o____0_________D__D_______0___0_____e_______o0__oo_0___o___D__________0____e00o_0_____0_c__________0______o____00_____0__Do_____0___o_o_oD__D______0____0___oo_o_0oo0_u__o_0___on____00____o_o0__ce__c______________t_o___o0____oe______cceca__9_____v_0___c__c_0oc____v_0_e?_r___c_____o_o_o___0o,_oe0__r_____________0_0____00_0ct0___0r0?___________t_a___000_0__c__0__________________________o___,___0_0__o______o____________________?_________________0______t____________v__oo0o___o_o0___o___________o0_0oo_0__o_____o___0_c__o_0o_o00o_o__o_?_DDaD___o___D____0o0______0_0__0_o0____c_____0o_____0__________D______o_______o0__0c_o__000__0_D____00o__J__000_0___?t,__00_00n_________oo0__o_q_ 1E85ptN8_t __At HTt t bR_h dEtt d__d_ aR_sht tad_ __ __ ___r_____n_0'___t_____ ____________n4___tt_____'______m______________m_1____tm_2____t_th3_v________t_________ __ ________?____)t______>_____r__________ _____________/_ 0
CAPITUlO
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_^^^^^'-'^^ _'DrcróN-usrRi1ccr_N? ParadeF_nirlasoperacion esalgebraicaspartire esalgebraicaspartire mosdealgunosejemplo mosdealgunosejemplo sprácticos. sprácticos. _.Juanliene7caramelosy Ana_5caramelos.Silos junt_ram osenunasolabolsatendríamosl2 caramelo sen sen total.Esto sepuedesimbolizardelasiguienlemanera: 5car + 7car = l2 car 6 5c+ 7c= l2c Il.Si tuvieramo s6 s6 caramelo sy sy 7panesy quisiéram osjuntarlosenunasolabolsa,sólodiríamos:"se tiene6caramelosy7panes'',esdecir,nopod ía eFectuarseoperació nantméticaalguna, Dedondeseconcluyelosiguien _e: _e: P__ adicionaf o sustr_er e8neces8rio tom_ elementosde un mis_no conJunto. ,,_Paranoescribire1 nombredetaIocualobJeloo cantidaddeobjeto s, s, _,,_O_o ,_,selespuedeasignarciertasletrasequivalenle sal salnombre.
Elejemplo anteriortambiensepuedeexpresardelasiguientefonna: 7x+5xyseobtendríaI2xoen otrascircuns_ anciassetendr_7_+5_yse obtend_ anciassetendr_ aI_. aI_. 29
_ _ _ _ _ _ LumrerasEi_ores s Ei_ores _e ra_P
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Donde:_a _lgebr__c_squeen el capítuloIll se verádetalladamente. \III.Pararedurir doso másexpresiones,es_asdebenser semejantes. __ n Dostérminossediceque son semejantesenx sí y sólo sí x tieneel mismoexponenteen' Losté_ninossemejantessepuedenreducir por laIey distributivademultiplicación respecto alaadici6n por laizquierdaoderecha. (a+b)c=ac+bcc(m+n)=_+cn EjemplolEje_pIo_ _3xS + __ (3+8)_ _ I l_ Dadaslasexpresiones .35xJ- 2_7 _(35_22)x7_ __7A = 4JrJ- 7_ - 5_ As_ mismo, diremosque_y5 y -2__ son' semejantespuesto quetienenlosmismosHalIar el eQUiValenlede exponentesparaxy para_ respectivamenle. l. A+ BIIl. 2A+ 3B, ,__ EJemplo 2 Resolu_ón: _ = ndicionar 3_'-8x+l con _2_+5xI. ' ,ea,ue,do asu,te,,m.,,o, B__ _6x3 7+ xy9, _ _3,s(') , semeJantes: A+B__(4 - 6)x 3+ (-7 + g)_ + (-5 _ 2__+_ _A+B-__2x3+2 _ 5 (3_2Jx 2+ (_8+ 5Jx + _ A__3 J, 5,s_ .,a_e,,ea__3x+ _ B;___3 +9__3_5 (Ejemplo3_ A-B_ lox3_ 1_-2,5_ Sustraer.3x+5 de2___+3 Reso_ución: llI_, __ denandoy,educiendolos té,minos2A=2(4_J-7,-5y')=_-l4xy_lO_' _antes, 3B= 3(-_+9_-3_5) = - l_+27_-9_' ' 0 2x 2 - _ + 3() _ 2n+3B=(8- 18)_ + (_ 14+27)_ + (- _o_9)_3x t 5 _2A+3B_ lo_ + 13 19 5 i _valenEea2__ _ _x _ 2 lV. Ejercicioparael lector. ,; 3O
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CAPiTULOl Eemlo_ s.2__ _ _adosp _(c- 1 )_ + 3x + 3ydebemosrestar dea_ __ _ 2 32 5b _(Si a- ap_ se,educea6 x+ hallaf el va_o, dec,- 2a 2+ 5ab + I Resoluc16n: Ordenando: p_-(,.-_)x2+_+3y:_-(3a'-5ab-l)_--3a2+5ab+l'; 2_ 3x _, 3 _--__ __ -- - _ _ _ -- -- _ N_.-- __ __.. ._ _-_.... N_. ..... _ ........ ... ..._:' p_ __ c___5y2+6 ' t_2 Dedondec_ _ _ 5 __ o t c__ 6 Otf8 fOr_8_ Delenunciadosetiene a2- E (3ab- 6J+ (3d- - 8ab + 5) 1 EJempIo6 YecEuar __ a2_ __5ab__ +3a2J - 8y- (- 7y- t(3y- 7x) _ (2y- 8x)J + 5x) _ a2 + 5ab + _ _ 3a2 ___uc_'6n: = - 2a2 + 5ab+ l _ectuandoporpartes: _g,,_ (_7y _ _(3y_7x) _(2y__)J+ 5x) EiemPlO8 _SimßlinlCaflaeX_reSiÓn 3y_7x_2y+8x_E-3a-(b+E"a+(2a-b)-(-a+b)J+3b)+4aJ - =- _ Resolu i6n: (x + y) Em pe2a,emossim p_i Fi t_ __ _ _ 'emel""EeS ma"'l^temO't eS deC'lf_ lOS afeCtadOS porlosparéntesis. = - 8y _ ( -7y - x- y + 5x) ___3a_ (b+ _ _a+(2 = _ 8y- (-8y+4x) ?b a+ 2a- b+ a = -_+_- 4x 2a-2b = - 4x -l-3a-jb+l2a-2bl+3b)+4al 2b+2a_2b+3b SUSt CaeraSUmaea _- y _ a- a+ 2a+ 2 b = - l -3a- (2a+_b)+_al EFecluandolaadici6n: 3ab-6=-l-a_2bJ=a+2_ 2_ 8ab + _23 1
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_E___a_0f_0(_0_03x_a_000_0__0_+_0___?_0___0t__0___0_________\0_0___0__)____2____c__0______0p_n_____3__)__o__+0(0_00300)__00__00___0_000_0_03_00_0_00_00__0____0_0_0__0___0______________a___0_5___a___0_o_0______0____o_m0y____(0____0__0m_____________o+____o______+5_)_____000____a____(_0__0n____00__0_2n_n____t_mJ)____0_00500_0_+0_00_000o+02_000_00_0_0__0_000_0_0_ _0___0t__0___0_________\0_0___0__)____2____c__0______0p_n_____3__)__o__+0(0_00300)__00__00___0_000_0_03_00_0_00_00__0____0_0_0__0___0______________a___0_5___a___0_o_0______0____o_m0y____(0____0__0m_____________o+____o______+5_)_____000____a____(_0__0n____00__0_2n_n____t_mJ)____0_00500_0_+0_00_000o+02_000_00_0_0__0_000_0_0_ _0__0m___0__0_(y_0_0_0m____)___0_+_0_________+__o__o____n__nn___)_00y00on00000__0__0__0_0__0__0_00_0_0__0_o0__00__0___0__________0____________0____0_0oo0o_o0_o_____ _ R2p_a(a+2__nym32 a_m__+____n lu mbrerasEdi toresÁ /_u_rri_rcAcr_N Esnecesariorecordaraspectosesencialesdelamultiplicacióncomo: l. lqr delosSignosEjemplo3 (+)(+)=(+J(-)(+)=(-) Efectuar(a'm+bn')(a3b+mn+abmn_) (-) (_) (+) (+) (-) (-) Resolución: Dist_buyendocomo seindica '''_ ____"'''_, ''''_,'''__,,', __'''',__ _,''_,''__,''''_,''_'__,'''', '''_,,_'0''''''''' ''' '_'_''_ __'''.'_'_'''''___'__' _ __'_'''_ _____*___' __"_ _'_e__%''__ ___' __'_'_____''''''__'__'_d_,___D_ __ __' _ _'' _0__ _ ' ' ^ ' ' ' '''_'__0, 0 ^ '____ ^__. __ 0_,_. _..__, _: _ _ 0, __.._..,.,. _'' '_,_..; '; _'' _:_ _ ^::._, ^';; ___, _ _,d'__d _0'_D, I. LamuItiplicación dedossignosiguales__t.'D,0, resulta(+)'_,t?_DD__,,._ IE.lamultiplicacin lamultiplicaci n dedossignosdirerentes__g_DD_,,,_ resulta(-) .______' _ 3_ _ _ e,_e0,., = am. a+a-m.mn+a-m.amn+ 3a3_+3 3_ 2, PropiedadesdelosExponentes' U' ' a"'.a''=a sbm+a2 7 + a3b22 + 3 73 (_e_ .b)'' = an.t_n = am-n m n a_ 4+a2mn5 mnmn a-a' a_ßn_aK,nbß.n, . , ' _' . rO_leaOClaIV _' '''_ '_n'_^^^ __^ _ ' -__^'__, ''_ ^^^_^^^^^^__' _ _ "_' "_ _ _,p,op,,e,,,Dl,s,n,bu,,-,a___._.o,.,_00a.,Cb;___0J,000.._,,(,_....,,,,,___,_0 .,_,,,,_6.,. i?a(b m'''c) _.. ab ?' '.''''''''_c^oD_ EjeInplo l_ mmn,na. ,_. ,,\m.,a._D0,,d , ,_,, , _, , _,,,0,.,,. ; _ ' D Multiplicar2a2por3a3 Ejemplol eSOlUCiÓn: __ 23__23__2+3__J \' E_emplo2 EJemplo2Efectuarlamultiplicaciónde: 4+ 3 2xm a2n Resolución: 34 Erectuandocon(o_eseindicaRe,o_uc__o_ (_ +_3)(_3_yJ__(_J(_)(_J_2 3 _y_a_yn 34 t _qJ3_3 _q 6 4 l_+m_+n2 =__-XY+y__='-_ya __
22n_ _/As_3n3)_(__ma_a_3n _t3+_a+anmyan6_ a_+man
m6na2)
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CAPlTUlOlNocioneepre_imi Eje_plo3EJemplo6 Multiplicar3_-5_+_por_2_y4 _ectuar3x(x+3)(x-2)(x+l) Re,o_uc__o_n..ReSoluCiÓn_ Mectuando por pa_escomoseindica _escomoseindica enl Il 3x2- +__(-2x3y4) ___. ' Aplicando _apropiedaddistTibutiva: __ __Xt3J--3x+9X = _3.2_.___'+ 5.2_ ._y'_2_._y4 _-6_y4+ Iox__ - 2_y7 ll.3x(x+3) (x-2) 2 EJemplo_ ___caf2x+34r5_7 =3_-6x2+9x'_l8x eSOlUCiÓn: =3_+3__ l8x Aplicandolapropiedaddistributiva conforme_seindica: 2_ lII_(_+3x-l8x)(xtl) (2x+3_)(5_-y) _ 4+63x_3 __ 2x.5__7_x. +3_.5__3_ = lo__2m7 + _5_yt _ 3yj EJemplO7 Reducir(x+5)(2x-3)-(2x+l)(-K-4) Resolución: _emplo Aplicandolapropiedaddistributiva: ._1ultiplicara'''+''-_a'"_2a'_"pora'-2a Re,o_u,ión.. _ __' _ 4_ X+52x-3-2x+lX._átogamenteconFormeseindica: . ___ = (2x 2-3x+ 1ox- 15) - (2x '-8x+x__) =2_+7x-l5_(2.x-2-7x-4) (d'2- 4à- 2àl) (a2- 2a) _=hr+7x_l5__+7x+4 = l_-ll n;+_ 2_m __ m+l 2 ,.__2a+4am 2a+2am+_2a Dedondelo reducido es: I4x - l __ an_+__+2_ 2am+__ 2am+3 E_emplo8 m_t t _ni2 ed_ClC m-t _n__J+ m+l _a- aa2X __ X-y_ X+Xy 2X-5y 33
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LumbrerasEditoresÁ_geb Resoluc16n:Resoluct6n: Aplicandolapropiedaddistributiva:Ap_candolasequivalenciasnotables a. (_+3yJ' = (2xJ' + 2(2x)(3y) + (3y)' 3+_xx_)_(_,Nx__5) = 4_ + l2_+ 9_ =(_4__3y_sy2y-_2)-(__-5x3y+_ay-5__)b.(3_-5Y4)2 =(_)2-2(3_J(5YQ)+(5Y')' ___,x3y+5x2y___sx3y _ 2x2y__y= 9x4 _ 3O_y9+ 25_ = 3_y+ lO_y c. (4x+3yJ(qx_3y) = (4xJ2 - (3y)' .va_enc_,asNotab__ l_-9 _; ìa__b)2,__-_d2_ __' 2a__b2d. (x' + 5y4) (__ 5y4) = (_)2 - (5v4)' _+_a_b _a__b_ ;/,.-_ x6 _ 25 6 _(x+a)(x+,b___+(a,+b_y+ab_'n__ e. (x+5) (x+3) = _+ (5+3)x + 5.3 EjempIos_ -__ +_+ _5 E(ectuar: a.(2x+3y)'e.(X+5)(X+3)f.(2x+IJ(2x+5)= (2x)2+(1+5)2x+ _.5 b. (3_-5y9)' f.(2x+l) (2x+5) -_4x2+ _2x+ 5 c.(4x+3yJ(4x_3y)g.(x_7)(x+5) 4_ ' =í -2x- 35
_N/ Recordando aspectosbásicos: an an bbn 1_ L_delasSignos (+) _(-) _aa_ aan( +) (+) __ - _b_n c-) () !+J (-)(-)'''''TE0REMA_ -n l t_ Propiedadesenlos_ponent_ a_ -n i a' m - = a-n nnOde FlnldOSlendOn> a 34
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CAPITULOlNoc_onesprel_m_ _-Propiedad"i,_'0_. ,.00,0...,..,,,...0...,....,......,...,...,.,.....,.,..,..d... ...D..,_D.,..,..,,.,.d.,..,...,.o.d...,...,....,,...o......... ,.......Sedebetener presentequela__i,.i _0_,,.._,.D ',_'_____'__'__'___(ä_m..bJ_'_,'_'_.,,_;:', '_,__''_,:_'_,___:'.__::'._S'''''',:_::_;_,'__',''''_'_,,.''','_''''''_'_,''''_,''_'''_,_'_'0'''''''''_,''''''?'''''''''''' ____''_,,a'____0__,,0_,__,__,_00'_0_0a0__,,i00,o0__'0,a0,o_0_o0a,'__,o__0_0,,__0,'__,,'___'_0'__'_,'__'_''_ ,o__0_0,,__0,'__,,'___'_0'__'_,'__'_''__0___'______ii',',__,__0_,0___,'__8_'_,'___i_, _0___'______ii',',__,__0_,0___,'__8_'_,'___i_,____'_,_'____.__',,_0___,._e'___,____,''_'__.i'___i_'_,i____,_i'__'_.''__i'_,i___,i.____,i'____,id!V!S!Ón_rCerO' nOeStá_'___0'''0__ i,:._;,.__..............!........!!..__!...!_..........'_''___i''_'''''__..'_. __.__'__''''__...'__',;'._ _'' t' _'____i'''_.._,'__,___,_,_____i'_,_O^..'0,0o____''^P___...._.=,._'_''':'=_'._''''''':'''==.. ''':'=_'._''''''':'''==.. ....,=_.ao.'_.._.._ii.i_ii''_.'_..i'_._iii'_._ii deF_njdoior lo tantoel '_'_''_._. _'''_.._''___.':____;.'_'__,:;'_,'_.:;'_'':'' : _''_. :''_:'_. '''''' ::': '''.', ::. '__:'_'_.'' ''''_.,_ ''c' '' '''' ' ' '_'_ ''''' '''' '' ''' '''' ' ': ' ' ' '''' '''' ''''' "' '' ' '' '' '' ' ' _ :; __ ' _ ___ ''. '. '...' ''... c: i_, _ ___...__,,__; ___., _ 0 __,'_.,.,0.._,. _._9.;._..;_..;;._:_,!v,::.__.,';,,_,,:_;,denom __nadordebe 'se, i.__,_.iii__., i_''i'_'''''P'"''0P''P''_d'd0 d'd0d00'-'''0_0'0P0P0'^''0'0"' '0''0"_00P'''^'''"P''0'0'0''0'"'0'0'0'0''''diferen tedecero. ____.?'''_.. EJemplol D;v;d,_r 8xSy1oent,e_2__ Eje_nplo3 _v__d__F3as+6a4b+9a3b2entre3a2 Resolución: 5_oReSOlUCiÓn_ y8 s-31o_2_28 __ X_Y= ' YAplicandolapropiedaddistjbutivadela _2x3y2- d__v_Ns__o/ E_emplo23e5+6e4b+ga3b23e56,4bga3b2 N__ 22 222 e3a3e3a Resolución: 32 2b 3ab2 S8 6q_a+a+ __ x5l 8(2) 42x4 Ejemplo4 =l6x4y8'2_I6x4y ._m__.Flca,x_4s._ t 2 ...._...._,__.....;.:_.''''0'_____:''::...'''_',:':,''';,,.,.,...:._,:,, Resolución: Seaxyzwk_O eCOfd8r: xI ; _; ' -y_X-y.:; 6xcx+2J-- ___2x _:; xwX.w yk y.k x2_4 ____x_2 x._'_y _2+_2x _ 6x w.XW tv._X__Z__X+ZEjemplo_ YYYx2 Reduc!r 2+__x_4x2 V. -+ = y_ yz Resolución: _x.w__ xzDeequivalenciasalgebraicas'recordar: yz y__+y :_._ 2 ;. wW_ 2_ _X_X+ _X+X_ _ 35
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Lu mbrerasEd itor_ lgebrg Entonces.0.,,.d.,,o..0.o,.d,....0d..,0o.p,..,.,o.,.., .p,..,.,o.,.., .0.....d..,,.,.,,...,.,..,..,...,..,....,,.. _'0__,_o0,,,, _5(x+3) '____0i0_____;___,_'_^000' '_._'_0._0.,__0_d_g_0'__0'''''_,a0_'_0', '-b _"b '' __ _6___,o, (3x_l)_(x_l)_(_-l)(x-l)_____oo_,,, EJemplo6Resoluc1ón: EFectuar2;)x.+5 X+I+_y_1+_-_x+lx-lx2_ x_ly+l(x-l)_+l)__ Resolución: 2(x _ _J+ 3(x + l) x + 5 APliCandOel teOrema(V) (x + l) (x - l) x 2 _ _ (x+ I)_+ l) + (x- l)_- I) + _2xy (x_IJ_+I) (x'IJ_+'l) 2x - 2+ 3x + 3 + x + 5 plicandoelteorema(IV)ye(ectuando: xy+x+y+ I +_-x-y+ l _2_ 2 _ 5x+I+x+_6X+ x-1)__l)(x-l)_+l)__ x2_IX+lXEjemplo76(x+l) _ 6 x3+ 5x2_lg (x-I)(x_I) x - 1 Reducirx+l_ 2 ReSOlUCiÓn:EjempIo9 APliCandOelteOrema(VII)SetieneEfectua, (x+ l) (x2+ 5x+6) _ (x'+5x2- I8) 2_, 2+5x+6l +_, -, X+ EFectuandolasmultiplicacionesobtendre-l+_X mOS:y 3+5x2+6x+x2+5x+6 x3 5x2 Resolución: x+5x+6 plicando el teoremaVI_ en el numerador _. cuyo equjvalentesimpli F_cadodenominadOr 2+__x+2q(x_3)(x+g) x+gx'__y2 _+5x+6(x+3)(x+2) x+2 x2+y2 _(x'+y'+2_)y Y+x (x' +_' ')(x+y) Ejemplo8 Simplir_car x+lx_II-x2(x2+y2)(x+y)x2_y' 36
_ _ _sRLc_p______oa___e__0___________p_____D_0_s__n___0_s____0____D__0_____o_t______________F_______f___u_0_______a0_0_0______0______c______0c_p_(_____0___0_p________c__0_06____0___0_____________ ___0______on__po___o________>__)____p_______o___y___0__n___________e_________________a___ts______________2___0________t____p_______________________6__p______e(/____________p__________________0______p____e_p___4__)_p____p_____s________)p_____________t___________paa______________t__2__________________(___________o_____________(_____________rm___p____________00____N______________p)________e_________00 ___x_2__2______)________x(__x___x__+____l__J_ __________ /______xr_____+_ ___ _x _
CAPlTULOl Nocionesprelimjnares Ejemplo 10Parael ejemplo,coMiderando lanotase _mpl,_F_car tieneen el denominador: X-2 2 x+2_2 x -_ x+2x+2 x+2 x+2 Luego x_2 _ x_2 l xx+2 .nu_ ses_lm __lF,can erectuandolasx + 2 x - 2 x(x_2) OpefaClOneS deabalOhaCla am a. __ x-x_2 x2_x-2 '',__i_.'_,___ii__,____i_,iii____,i_.___,________.'__'_i___'___'0a'_'''_da'_____,o.ida____'_a0'_'_0__.0___.'_.,_,_,_,___,__,0___?,___0,_e. __.__,__,__0i_____,_e,_,_,_,,_,'_a0_0,0,___, 0__,,'_,0'_,,'__,,_'_,_i_+ b + b a+ by ",_i0'''D_,x(x _ 2)_x '__"__''__'''0_O__'0____!_00_'_._00_ _''___0_^ _P..__D.____'___'''^__'_____i^_______ c+x_+x _+xi'__,_ - x _ _________i_____/___________,_/__:___._____:,'__.'_,'_.'__:'v_'__:','_'_v''__''_''_._'_,:_.'''_,__ Y_ i__'',___,
,, _cuAcJoNEs1D_sR___ D_ INcóGNIrAs Seexpondráme dianteeJemplospr_c ticos, utilizando expresionesque seconsiderarán _r_nidas. _rdar: ; a=b siysolosi a+c= b+c; ;; a_b siysolosia.c=b.c;c_O :_: _mplol Etemplo2 x x _ De: u = a+(n_ l)r,despejar ''n' afXen -=--2 6 4 Resolución: ./ u = a+(n-l)r _ (n_l)r = u-a . _._cando todoo, 12 (12 esel m_,n_.mo (dividiendo ambosmiembrosenlrer) X_ X 2 6 4 lransponiendo términos 6x=2x-3' n'6x_2x =-3
bien
________0___________________________s_____________e________________t_____________N________________a__N____p__________p_0__________n______p0_____0_0_______pa___p_____0___________n_p________________________________D______D__________________________t____tttt__N____________________________________t____________t________
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LumbrerasEditoresÁ
Ejemplo3Ef l+aab eCtUandO_= t2 23 XX'b De-=---despejarp' F p' psetend,_ Resoluc_6n: l+a)x+b) =xab_x+ b +_ +__xa& 22 3 t23 2V De-_--- _-+-_f p' p f p p' Luegox+ax=xab-ab-b 2 Lueo _P + ___ t t __ _P t Xl+a) '' b __a' l Fp p' t2 Xa+ _=_; Vaxta ax_a-l Ejemplo_ _o_n e__v _ + _l t2 EJe_nplo 2 eS_eJel._ Despejaf _+_ _. v q-X Resoluc16n: de_a_Nua_dad.K_ a- I I. Despejando''g'' _ +_-r r _q I 2I 2Q-X e=Vot+_g__e-Vt=-gt 2^ 2Re8oluc_'o_ luego eseu _. v a_ en t ea_ +a-_ r+q _ a-l 22(e-Vot) Q_XK e_Vot)=gt_g_ 2 Iueeo __. Des_ando __v tt a-l r + 4 __ _a- l _ q_xK ultiplicandopor 2e__2vt+t2_ 2vt_2et2 OOa-l r +Qa-l2e_t2e On e___ eeVandOa V=_ q-X 2_ aa- reSUltaqUe: EJemplo5 r + q a_ _ __ a-I I aab bq-x k e:-+-__deSpeJe xx x+b Resoluón: ". Ac:' _eSpe}af P(X) de eCordar:;'_=-_AD_BC:! _BD__ :'................................. ....;".c__+X+ 3= 4- 6_- 5XP(X)
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CAPITUlOl Nocionespre___m__ Re8oluct6n: EJemplol O Transponiendo losté_inosal pnmer _'embro Efectuar ll i(x_+_(x)+_1+__l __oab+c b2+c2_a2 l+ P(x) (_-l) l _ 2b P(_) (_I) ab+c Por el criteno del aspasimpleRe8ol4cl6n: _P(x)+ (3x_ I) l EP(x) + (2x+ I) l = O d e d o n d e _ a ( b c+j 2 b c + b 2 + c 2 _ a 2 P(x) = "_+ l ó P(x) -- -2x ' l - _b+c_a 2b, ' a(b+c) E1emplo8 _ectuar _J_x2_ (a+b)x + ab x2 _ c_ b+c+ +c22( _ x .a _ _ x 2 _ b 2 _ x 2 _ c,_c,x+ ac_X-a_-- _b+c_a2bc _xtta; x_tb; xftc (b +c+a) (b +c_ a) (b +c-aJ Resoluci6n: (b+c-a) 2bc l a e x p r e sói n e s e q u i v ael n t e a '_l __ ( (,+b+cJ2 '__ (x+bJ(_ (_(_X+C x +b EJemp_o __ _plo9 D__ l eSpelafXde: m= m+n +__+9 n_p, Uar - + l - + _ + lO ReSOIUaOn: p m+p ' _-l n m -__9 _luión: _luión: ' __andoconvenc._ona_mente _ m_ + 9m =_ - l _ _(m_ l)_ =-l _9m __n+ __p+ _ o_+gm 1+g _ m+ _m-l l-m n ue_o elevamosal cuadrado nn -0. ^,' -- x_ l+9m l -m 39
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0 fObICmaS __o 0 ugstos l.Hallarlasumade:3. EFectuar:
a) 3a+2b-c; 2a+ 3b + c a) (2x+3y_4_)(2x_ 3y+QN_J b) a+b-c; 2a+2b-3c; _3a_b+3c b) (x+ I)(x-2)(__- I)(3x+5)+ l l(x_3J(x+7} c) x+y+_; 2x-3y+_ ; -4x+5y_2_ __5x+g., __J+_ox_3o ., cJ(3x-l) '--_3(2x+3)'_2x(_x_5)+(x_l)2 - 6x2 +5x_5od) 5( l -x)' _ 6(_- _' 7) --x(x_ 3J + 2x(x+5) e) _y__+5; x4-__+5_y-6_ -_ _ +_r+24.s__mp_ __F_ca, __F_ca, lass__gu_Nentesexp Fes_, _ (_+__3_)-(-_+3___4_) _ _--Ex+y__2x+yJ a) 3(x_2)+2(l-x} h) __=+ l- (___)+(_3y'+2xy)- (-3_+r)J iJ_'_!' _a_( _a+(a_b)-a_b+c__- (_a)+bI) I b) 2x-5E7_(x-6)+3xl-2l jJ- i__- + {_(x+y)-- __x+__-_)_(-x+y)I_ y)J k) ___- x- 2y + (5x __ 2y) - x_y l Il ll C- X_- _- x+- -- (x_ t) -_3m+{_m_(n__m+Q))+(_(rn+n) 3 2 2 3 4 + (_2n_3) )I O,75_y2x+4 l ''d _-_-X-4 3 l_5 3 :. símbolo deagrupación llamado barrao víncuIo. e) 2x-4l5x_ ( l ly_3x)I _3l5y_-2(3x-64)I 2. Ha1lar el producto demultip_icar: r) l 4(bJ2b_Io5bc ___1 ,,_J^ C' 'C' _ _ _'_ aa- ßOr a"2 3 bJ3a-''+a-'-2a'_'pora'_a'''+a"2 c) (3_'+2x-y) por (x__4xy+l) 2 2 o75b 4c xmnt l n_'- C"f '_
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CAPITULOlNoc;o,esp,e_im ;,,,e, _.SimpliFlcar Iassiguie_tesexpresio nes: nes: c) _+ Cl+ I I 2bc 2 _ ab+c aa+3aa+ a-+_a+24_a2 3a_6
4 2_ x b) _XY+_XY___XY- __ Yj'x' 3 x_yx+yx_ yx+ydXX_ yx+ydXX_
2 c)_a__a+ 3b3 _oa4 ab4
a+Ia2+_a4+_a8 x_y) __(x_y) _ 2x2y2+6xy (x_y) (x3_y'3) + 2x2y2 (a_I) (_ +a-3_) b4 8b ,bb_6 6bq _+ J_+aY_ e)--;-+-_- _b-2 b3_g b2+2b+g 2-b(4_b)2
__luar: n _J- p+I_J+_mP_ + '_x2(,+b)x+abx2_c 2 _) j _,x2_(a_-c)x+ac x2-b
_ 5y _5h _m 2+n' + 1 +2mn_m 2+n' +2mn - l. + 1 b)X-3+_-__2X-I+- 22 j 2x-G__-3 m +n +mn
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LumbrerasEditoresÁ_geb,a 7. Delasigualdadessiguientes,des_jar la_ M + 5y - _ x x incógnita_x: 3x + 5y + _y ?
a) _2a+X_(n_l) n __5 '_."' _ __1 +_l __1 +_l 2__ x_ax+b x_ax-b b) 3{ IO_2_3x_2(x_5)I+7x} = 3x_4 XtaX-a a-t _-'k2+n2+m2x x-ax+a c) t_ a+X l __ - noX+-gX_ 3_ 2 4'_ 4_2 33 OX+X_a+baV e)W_ 60d+v(t_x} 4+a23x4a2_4ga5b4 n m x_3 x_5 x+2x+4__J_x__3_ + 2x= 50 g) y_- (b_)(b_ )-(b_c)2-4hcx 2,) _+2_+2__a__ 2xy + 2x_?,(,,,y, _,) ,_ _ Ill I S -+-+-__ hJv__Vl+--Ixabx_a+b Tx t)(x_y+?)'=2+_+ +5, ' .a l V_ __ ____ _r_ u) _+_+_'- -- _+x?+Y?, (x, Y, __J__ N dP' X ____ _+3 24_2 i) X__- _ x2_4b2b W_X+_fX=__X+fX
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__ - _ __, v_v ;-_;, '"';__ __' l_m_ton___n,I,?,_ero , , '___";';n, _ '_-_u , - _nsrneJn_-_o JlODdps pl_psdp _11_ro sp J_só e1__J_rDpn In JlJ____e_/_n_,'ó_l _lJ14,,n.p, y ,s, __-n,IIII 1J_ercndpl- dRPisn, LeoJInrdo PisnJ1o,nl __o/_'e/' de,I1J InJ_o _'iniepo,' ,_J_i_'n _' eJ _ _'_Je_ioOiieJIf_ escJi_i IIJI Ii6IDlit I_Jndo _i_erAbaci do1J_ee_'poJlír_ ._'pJ_poJlir_ el_JpIenJ' In .MnIp_IJticnI_n_n_rIos J-nbes,_I_nsII __e_In/lnb/n1,npJ-_J1r Ii_odeIosIlixlrIIícs.?_r/_JeJ,o s____iicnolr n c_osn _lIe_ada Si 6ie1I Ino6rnde LeoJ_nr_oPis n_IoIJ_el_1l /lec/l o li_'o Il_cioJlnJ_io, _ebi_o n_IJeI_o estnbn i1n'e11 ln_n ln_n la iIJ_pre1I _n, _6ieIa_I tmI_scJ_IMi ttissigIospnJ_n _J_eJ,_iJ_n c'o,_oc'i_neJJ_o_n __JJ_o__. _siJlteresnllleseMln/n J' J' rJJleeJ7In _lllér7cnpI-ecolo1 IJbi1In, IJbi1In,IJI s precisnJJle JIteeJJ1r_los __n._'n s, s,e,K'ist/nln llocióJlrJe"c'el_",lllí1Ile_glIeellose1J_plen6n _l _leJ_ sJIsisl_I,n_R 1,lJ1Jlel_nL'i _1t _'igesiJJ Jn I. _sfeJ1líJ,le1_esJ_lJn _eIns1J_rís_,-nJIdes_I_'_e,_ci o1JesdpI geI_io IJ_I1IJn 1Io 1Io _'n _I_e_-4_'in s n _I senbnJJ_o1lóIn 1llIlJleJ_nL'ióJ _J_oJl1nl ln, ndopl JIdo5Rln dpci_IIn _'igeJIrenIíJJe1JI_IIrslros l lie1Jlposy_n cilitóIr_ cilitóIr_ejec',JL'iuI J_elnso_J-acioJ1esnni_IIéJic ns. ns. J_ll_ntf: l,rl .\iI_' rl .l Jrl lell1rit1_ -__ _ I __rJ. .__ I__rl_.
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_^ , ___~_v h _ _ _ / // _ _ ': n
! O_mVOS _ t _ _usc_r un_r_laci6nen_elasdefln__îone5 _ _osteoremascarresP0ndjentesalos salos _Pon_ntesde Un_eXPr_Si6nmatem__Ca_ __ Caf C0n CntRnOa_OtaCl n ClentI ICaen eC CU0 C_n Can l aeS mUy peQUenaS OmU y s_ _Capacitar pararecon_cer l0s__nentesmamresdecacientes, praducto5, potenciasora_ces_; _ n__sîma5.: _Aplicar l_relaci6ndebaseabase__ exponentea e0onenteen laresolu_i6n delasecuacione5 exponenciales.Nx, lMRODUCClÓM Veamoslanecesidad eimportanciadeestecapíEulo atravésdealgunosejemplos: LosnúmeroslO, lOO, lOOO, etc.jueganun papel muy importanteen lanotación decimal y sellaman potenciasdeIO.Un modoconvenientedeindicar estaspotenciasesmedianteel uso deexponentes:
10J= 10 x10 x lOx lO x lO= lOOOOO _. así sucesivamente; leemosl05 emosl05 como''dieza laquintapotencia". El numeral 5 en lO' sellama e._ponente. Lamayor utilidaddeestasformasexponencialesestáen e l trabajo cientíF_co, debido alanecesidad desimpli F_car loscálculoscon númerosmuygrandeso númerospequeos. CitamoslossiguienEes _ejernplos: ;_.laestrellamás cercana,AIFaCentauri,estáa25.OOO.OOO.OOO.OOOmillasdelatierraquepuede simplir_carsediciendo Al FaCentauri estáa25. l0'_ millasde latierra. . F_. Entrelosañosl 908 - l 9l7, el físic_go norteamencano RobertAndrewsMilfikan2gdedujo n2gdedujo quelacarga _Cómoseríasinlarepresentaciónexponencial? _l. Enlateoríamolecular delamateria,Amadeo Avogadro determinaunaconstantellamándolael
Vemoslagran utilidaddeesta formaexponencial en el trabaJo cientíF_co. ParaF_nalizar,planteamoselsiguienteproblemadeastronomía.Seacostumbradescribirlas distanciasentrelasestrellasmedianteunidadesllamadasaos luz. Por deF_nición, un ao luzesla istancia qu_ reco_elaluzenun ao (365 días}. Si laluzviajacon unavelocidad de3, l _ lO' kmrs. aproximadamente_cuántoskm hayqn un ao _u2?
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Lu m b rerasEd itoresÁ
_FINICI0N_S____S
_NE_,MRN._,,'-_--y_ns.' "'-'-',';-''--=_''\__;;_:x"v___,,'.,__,,';_v_,,___,'_,__n,\,_ _.',;:'''_' Esel exponenteenteroy positivo quenosindicael num/ ero devecesqueserepi_e unaexpresi6n comofactor. E_-plos: l. íb _. 5. ...... 5 Engeneral: 0VeCeS 72 _,, ,-_...._ , 2. __X__X__X__ __X,'_nc'_\s___ _\s___ .-:',_;''._' ' _ _ ;,, v___';,'x_ _' y'''' y y __Qn__'_---___'5i__n=l ''.' '-=_' _:_'_,5"'"Y _'' '_;_'_';_/_:..aSin_,N,_;'n_2' _n 72veces'',4 ,Mm ,. ,_' '_ ' ,_ 3_ 3 3 3 4n _ _, y,__;____mnm_ce_7' ' \,;,' / ' 3. y_'.... _ 4n- I _ N_. __'___n,_',. , ' n__^__ v_; . , , _, ' _n-l veces8 q3 _ __cqm_,'__,____ ;_'_,,_,_,,_, ? v(_) (_) .... (_) , (_ )_+_ ,, 43veces 33 3 32p_3q7 j. __ ..... _ = __ (2p+3q_7)f_ + VeCeS PP P P No lienesentido yaque( vt + _) noes un número p+3q-7)veces Nesel conjuntodelosnúmerosnaturale__ Resel conjuntodelosnúmerosreales. a' 0M >__n, _' n__ / 'v_- v ' ___ n ____ ' _ Todo número direrentedecero elevadoal exponentecero eslaundad. eslaundad. a_?_ ,,__x____;___v/_æx EJemplos: O l ( 4+ _ l 2 _+ _ l 3 x2+ 2+15O_1 g - -- obse_aci6 _' ' ' ' - '_4250 'q ' ,, _, __, OOesindeterminado._ Eje_plo: (_ __) '_+ 2 = (4- 4J'' 2 = oO_ dicha expresión no esta/ der_ida. 46
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CAPITUlOll _ ,' ' ' Yv_x'_ ___''' n' nh_' / __ vn_h__, ~' ' _ Nosindicaquelabasediferenledeceroseinvierte(inve rso rso multiplica tivo). Eje_plo8: Il aJ3-_-= '' ';'; V\__y_ x n/x_32 g _?h____nv ' __ ;^_x; _' , ', n;; b _4-3_*_______ '__ \ ' 'h' ,_ / '_ _43 _64 64 2 2 8 ' __"h_T____MA_ nn n/ 23 l j _ _ -_a"=_n_af _.n_ a ____J_x__O" noest_deF1nido(n_N)
_M_FRA_ CIONA_0 CIONA_0 . ' y' s's n ' , ' , _ ' El exponen tefraccionan tefraccionan oseexpresacomo oseexpresacomo los radicaJes, dondeel denomin ador ador dedicho expone nterepresentael índicedel radical. m x,?'_^\_'' /m ___x ' '^__ -_ _n a _' _a_ _v_ x _ _cn;___xvn _n 2 ' EJe_plos:Resolución: _. 4__ __ - _ -g_ eqUi Valente a_ 3 (_,)2 2. 810/3_ 8__8 _21O_l024J-_6 4 4 3 269 3/9__ g__ g__33 _2-lSereducededosendosdearribahacia , CaICUlaf; Re8oluciún: _ 2 Usandol6sder_n icionesdeexpone icionesdeexpone nte' nte'- -' negativo yfraccionario, seEiene: _ l/__ _21_I2 _l _l__ == - 4- -- 2l6 2 l/2 _. RedUCIr: _22 9 93 93 inalmente: 271/_= _
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LUmb fefa_Ed i tOfeS Álgebra or_NcIA___N _E_NlCl_y, _ ,v'_ , ' ^ ' ' ' - ,_ - -_,_,_,c_ "_ ' ': ., __' '_?''_;' .. _^ ' -_' Esunaoperaciónmatemáticaqueconsiste en hallar unaexpresi n Ilamadapo_encia,pa_iendo deo_as dosllamadasbaseyexponente respectivamente. Id mtidadFundam_ntal v, ;,;'';;____,i_,; TE0R_Mg 2 ' ' -y' P_^___ _ a_ _ _m_,_ ____ _'_' (_)^=_":x___.m,n__ Donde:a=base n:ex_nen_enaturalDemo,_8c_.o/n. p: potencia,,_,,n+ _m xm)"=_._. _^..._=.x' _TE,O_EMA1n_eces _(xm)'' xm'n ,_=X-m'n_ X_ _ J"ln_n_ Demos_aión: Ej emp_os: xm_ _--x__x ___x _ x__ x ___x _. (x3_(x3_ __-4 ._s=x__ .x___ =__' _ __ = X_X.NNNX__ ' ' " 2 3 q J_o _ _3 _o o, __ 2. ...x .... --_ ,K' ' '''' _x' ' (m+n)veces Ejemplos: 'v', _-'____,_'9_.: Sellamafactor1al de50 _,_ 5a6 7_ 5+6+7_1g / __5 .t_li l4 )5 _s( __) (_.,,) 2.x._._....._=xl+2'3'' = xU= l n(,+_) _x XO erO: l+2+3+ ..... +n = !!cn+!!?J__,_,_,_J _X. ......_=X;,,_ , _ __ - - ''N- ''' -3._x_'l_x-.x...x7. "'_'_"'v"' ' v"'_""'"_' (___ _I) vpce_. T E O'RE M A3 (a.b)"= _",b"; a_be_ _, n_ IN lPorqué?......... 48
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CAPITULOll
Demos_ación: EJemplos : (a.b)"= (abJ(ab)(ab) .... (ab) 22o 20-J6_2__ I6 nVeCeS =a.a.a...a.b.b....b 3 +5i _ a_a(3 _5x)- (3-5x} _alO_nvecesnvece s_' 3-5x a_ (a.b)''=a'.b'' '' TEOREM_ 6 Ejemplos: . , 5_ J_n 'X'Y-' _-_a; n_Nr\bc_ IR-(O} IR-(O} __, 2333_r23)3_6__2i6. b bn / 7 _gIGlG716d_G _3-tY_'"Y? \_1 \1 _. - c' -__- _c''_1 _______.__ - bb __a,,,,,0o._._..?.COrOlar _O ______0 a"b'b^ __,__a0---_?'a. h_ . ., 0___^'0_,,,P0"0,,,000aa_0o0_.b aa_ . T E ORE M A_' ~___^''"_"^^"_"^^ _^"_'''^^_^^' ^'^^'^^^ ^^''^^^^^ _^^^^^__^^^^ ^^^^^"^^^^ ^__^_^^^^^__^__^ ^^^'^'^"_______"__^' '_'^___0__' '_'__'__"'_'^~_^' '^^^i__'^___"^ 8^"^_''_^'_' '"~'0'"'' '"'"^^^_^^^ _^^^_^_"__"___^_"___^__^ abn__a.n b.n . . E_emplos: aa_n__aK_''_a ___losN_bPJ(b_J)nb_'n J_ jx'.y')_' _(.x')'(_y')' _ x''y2' _ _,__722 gs1 J30_J_ it__a'c^_x'.a-_c-_xac'_ ______lOO _ -2o __2__o ^ _ ..,'TEoiEn_A _ '' 2 x-2 _, _2 _4x6_, i ''' '' a_aa m (b3_V(b3>')-' b-'_?a'X _a"'-n; _a"'-n; m,ne-N_m>_n a aí_ IR_ (O) _____,o___,_o_____',__,,,_,__,_,_o,,' _,,__,,0',___,__'_'_____' _,__,_'0'_a________i0_____do,_,___..__._0_, __,'_o,,,___Do,___,,_o_'_____.___,__o, ,,'__o,,__,a,_,_,___,___,__? ,.....___..,,_9__._ L o st eo r em as exp ues t osy _i_i____'_,____. _______'____,^______,'__8,' '_!'_j__0''____~__'__, _______'_____'?''''_! . demoslradospa raexponentes ____i.,._'i?,, ' _ _:_'___''__'_' ''__'_._._'v _''_____''_.____:__:_'' naturales, puedenampIiarsea '__'_,_''_,_,,' _D_,, expone ntesreales.Peroparasu____''0', ,,'o_, a_a .am ndemostreciónesneceseii oyeotroselementosde__l,__, ,,,, _ana nmâtemátlCaSUperlUr .D_^,^,
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___e_aA__y____s_____________s_____e enn________o___tTa_Epoa_____r________E__A___________o_D___D_____0___ m__y__________+__y___________________________n_________________________a______________0____________0__0 _N_________________________________0________________0__0________________0____0________0_____0__x__00_________________N0_________p__________________________________n0__D_____________0____e___c_t___0____a____y____os____o_oe___N_______n__________t_______0_n_________________0__________e_0>__)0s2__M_____________Ty_p0__a_____0_E__r__________0__e___p_____9__A____o___ooo0_0n_ a(t Ro)__n_)__E__c__e_s__3A__e_________>___2o___ >o___ _ LUmbfefaSEditOfe_Álgebra/ _AD_cAcro_ _E_M.l___''''__'__., ,..._,,.'''''_.____''_::.....''''_ ''''_:''_._;_'_____:''.,__.. __.,........''''''''''''''''''''''''',_'____',..' ..'''';:. Dadosun númeroreal i'a'' yun númeronatural n mayor que1, "b'' sellam__ raí2 n _ ésimaprincipal si nespar, entonces8,b e_ o. _, __ __2 y, que2_ __ _6 (2 es_, f,,/,pn_nc,_ 3__g __ _2 pue,to q,e(_2)3 __ _g (u/n,_ Identidadfundam_ental; __o_.E___DERn_D._...cn''''c__6N...........__'__.:''''''''''..'''_.._:.......'''"'.'_.,_...: '' ___._eniR^_= _ .,bxo l Si nesparentonces_>_O,_ b>_O. Ej emplos: EJemplos; l. __ _= __l6 , v_2 = 4(l ,4 l) __ 5,64 l6 __ 2 (Apro,_ imadamente) ,. 3___3_.3_ 2._3 =. _ 6 ='_8=2 3. __(-_3) (-2) = _ !_ ?' _ _ -2 _Por qué?. , , _Por qué?.. , 5O
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CAPITUlOIl
Ejemplos: _'__,_ _'_'''_,. T''''E''aR_MA_....';3__,...''''''__..;__'''_,__,._:_: ___'' m'' mn ''' ' l.2x_3_'_'2x__4_x _?_, na_ am,neN '__,3 _,., s__. m neser_ a> o N _ _24
3
_Porqu é?....... é?.......
__lCA__M ' 'SUCESlV.0.._'''' ,;...._.,__''''''''_;' ;'_'.:'''. _''____ ' .,,'''' ...,.'' ' ..__:_'''' '''._,,._,_ ''''''__''_'_ ''''''__''_'_ '',''''''''''' '','''''''''''__..::..._,.,.,_._. ,_.'_,';,,''' ''''''....,._,,......'._ ._..::''__. :._:__,._ '..''' '..''''.:..,,,...;:,;'' ........''..;___._:.;_;,v ._..__''., l '_ ''_' ',i'"0'^^___''''0d''0^_0^"'__''__'' _' __ ''^^^^'^^_^ __^_ '^ ^_'_''''''90D^ 0'"0 _''__'_, ' _m._'_' .__n.'_'' ...nm _;_:_:'.:.'_:__mm...___Y.0_' _ ._.a.,,....,.,,., ., ' 'b _. ,.... '_,:_-''': _a._!,,... :'''_''' _'__. '.. _,.. ''''' ','.':' ' ' -.. ' _o,__o, 2. 3 x5 _ _6
Ejemplos: - i., _3 ' 4 _.34.3.5 5 2- 3 s4 _ ' ' (2.3+si1+1 ' _ ' _ 3. x x x - - x i _ l26O i _ _ __45 =X 7 '__ 77.4 7.4.5 '-' ' ' x_x+_ _ 3 _ 433 4 --'_.'8_ .''O_' .''O_'2 =
__lafórmulaanterio r: r:Silasbasesa, b,cson i_uales,esodet erminaaunaForma práctjcade ' '(l_4+3)3+4 _ 242S _,Rducir. II. __IaPráCtica_oD_0_'"'' '_^^____ "''"'_' "''"'_''''_'__' ''''''''' __''"_''''''''''h '''__'''''''''_' "'"'"''''''_' ' _ ''''0___o__ ' ii_'___'';'_''_x_..., x._'..'_''''_''''' _ _ _"_d_..- '.:_''______"'''' ''_' '_'_;..._,...,._._0"'_.'' '___'''_''_9_' '_.'"'':'.' ''_ ______,:_..______... _____,:_..______... ,_....__,,.,., ____,.'''a __ __ '''_._ _._.:''y _,._,_...:'' t_..;._.'''_. )R...+ '.Y.. .. ,_ x'+'.x+ nm._ ' '_' _ ^^o0__0 _._ _' _____'__. __3 i n 0__ __)__:__ ^^^_ ^'^^_^^_^^_ ^^^__^ ^^ _ ^^^^^^ __^^ ^^___''^_______^'^__0d00'0d^0_' ' '^% (. ....'_..' .._X_'....:_,,.'._'' 'X__'..,_' '._0___, (x-x+__ ?_En losexponente s,lossignossealternan '' X+ X+ X+..... ..__Rlo_: .., Ejemplos: __ X+ 4.3 ' ,.g _l 35 843X2-j 4.23.2_1 gs i - - ' X__X- X- X
i 51
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_2_)___(_2p___7____x0_____0__00____0_oo_____00ppp_____00o_o0000__0_0_0_00009_)__0oap_______000o_ooo0_oo00o__pp__00_______00o0ooa_____________0_______0D00q0q0_______________o________e________________________0__________________________p_q_(_q0pp_0p_o0_( o__pp__00_______00o0ooa_____________0_______0D00q0q0_______________o________e________________________0__________________________p_q_(_q0pp_0p_o0_(_(__00____00___0D_0__0_________0o_______________________________+0________________70_)____0__0_____x_00___00)__0___)00_00_0000__0__000_0_0__0_0o___________o________o__o____________oo_2____000___o4_p_0___00300__0_x_00o0o_0_0_0_0p020p0__0_000_0)00___2_0____q___oy_____0____________________0o______0___0___0_______0_____0________0_0__000__000_0_____000_0__00_0______0____0__________________4+ 0___0___0_______0_____0________0_0__000__000_0_____000_0__00_0______0____0__________________4+ )(____8_2__)2__x3__3_x__ _(xo_3__x__83_3_)3__3__t_24x__2_24___4_t__x_ _5>_M__2o2____x_o_2_2J_ LUmbferaSEditOfeSÁlgebra 2. _I_.x1_. x1_. xl_. x1= iPorqué?....... 2.2.2.2,2 c(_2__ 2+_2__ 2+_ 32 _1 Eje_nplosaplicativos: 3. l. Hallar el exponentedex, luegode simplir_car 3x4. x1. 4x1 __ '' x(__2-1) = Xx3 ______,0_00'_00,__..COrOlaf_02Resolución: __8_,,__'_o,,,00_aoi,.. .b,cb .ab,cb c Usando lareg lapr áct icaI ___,0_______'__0,.0_ s_i. a.bespar _ ,_ _ _o' - _x{J,2_J_,3__ . x2 _x22. x Ejemplos: 1. '- 5_ __ _ ' 2 x ' ' x2 _ ('2_ x2) ' 4 _ (x x__)'_ 33,22,366 6 __x72 J 6Respuesta: El exponenteF_nal es72 =_8 2.Reducir: AnaliCeC8daUnadeIasSl'_Ul'enteS _re_Unt_S: 3 4 x_. _O' a) _= ?x_ y_ Resolución:_ P Or q Ue? ......... _.... _ NN_.. N. N, Aplicando lasreglasprácticasl yII setendrá b; _l_3/4__ 7. _Porqué?....................... , x 34 c) _(-27)4'3 = _ (-3)4 = 8l ?
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ro bl em asQesueltos, P_aDl_m8 1Pia_l_m8 _ ReducirAlfeducir IOveces7vecesx2 x23x(_2)3 x(-2)' 5.5....5 l5.I5.l5.... l5 x_22.x(-2)Ox20 x-20 Indicar el valor deverdaddelasproposiciones ReSOlUCiÓn: _. se,educea_5 _x, _g Porexponentenatural o_ 57 5lo57 37I I. Esequ ivalentea_ ' _xx O N__ __IO+1l5 78 2_5 J2 )5 ' ReSOl4CiÓn: ,, 25 Vemosquex x O(por estar enel denominador) 2.3 x23x(-2)3 x(-z)_ x6 x8 x-8 x16 __al_m82 _X' _' -_ _rx-2.x-.x.x'X_X_X_X J4565g52n5 _' ' ''''' ; n > I 0 6 g -g16 6+g-g+ )6 22 53545 nS _X_X_X_X___X___X __x25 Resolución: AsociandoadecuadamenteLuegoI_(F) 45 65 g5 (2n)sII.(V) 25. - - 535 45n5 ProDl_m85 _2'. 2'.2'. 2'..... 2'_2' "_ 32n. .. I. Vx_O _g_g-79 _mDl_m8J_lo _2-13-206I i laexpresión VaxON4 - 3_u a3 9,o88' Resolución: a_ .a a. a... .. al. x 9( 8)( 7) ' ( 7)(O) nVeCeS - - t '''''__'___' _reduceala unidad. Calcular"n''. a__,..__i._,.,..,._._,.__.,,.__.,,,,_o,,.e_,_ai8,___,, _,6,_?____.__,__._._,,__a.,__,,.i__,,_,_,,__,.,___?i_.,._,,,_o.i_.,._i,.i_..,_,0.e_._i_._a_.____9_..i.,.__'____^^'_D,o __u,,_o_n..II.__._.._P__.._,...___,..___..._..g.._.__.._._..'0..-_,:_=_'_.'':___,:'__'____;, ';_;;._;;;?__?M__.__o,..,.___;'__...... O' noestádeFlnido 0_____^^__,,,0,......... (F)' ' _veque n N, luego ,,,0,,,,,._,_, _D0D90,_,_,,_,_,,_,,0,,_,_,,0,,_,,0,,0,,0,,_,,0,,_,,_,, _,,__,_,_,_,_,,_0,9_.__,_a.8_._8,_,_,_,_,_,_,,_,,_.__._,0._._._,.__,_._,0._,.,0,9,,,,,.,,,0.,,,.,,,,.,,.,9,,,,,9,..,,,..,,,,,.,,0,.0,,9.,..,,,.,.,,_,,,,.,,,,,,,.,.,,, ,,,,_,8,,o_ ___ ' '_ _ ' ' ' 3885 a3 2.n.3._10 _aa_O_ a6n _ a1__a5n+4 a_'' anPfODl_m86 _sereducea _aunid,d (5n+4) -_ o .,pero no Con respecto alaexpresión
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LumbrerasEditoresÁlgebra EnUnClar el ValOr deVefdadjn+ 3 _1) _ _ _lo/ nsereduceala un_ldad2n + 3 -_ 2n + 3 _52n+3. j 5 ll. Paran par laexpresiónesuno III.Paran impar laexpresiónno estáder_nida-- 45 Resolución: Simpli F_candoPr0_l_m 89 _n _ 3 -n OCon respectoala expresión -!,. _8+-,._8x, oEstablecer el valordeverdaddecadauna delas __2 -^ + _ 2 '^ _ 2n + (_2)no proposjciones: 44 l. Misteen iR; si x eN Si nespar 2n + 2n _ l __ ___ste en_g. s__ s; nes;mp,, (2n_ 2n)0 -_oOnoder,n;do Tll. _isteenIR; sixeN/_ y>O IV. Misteen7R; si {x,Y,z} c_ .'. Concluyendoque I.(F)II.(v)III.(v)Re,o_u,,,o,n. _araque( X_) ' existaeniRsólo esnecesario Simpli F_car: Si y > O_ x escualquier natural 32n+I + 9n+JSi < O sólo uexseaim aF ,_ __ f_ Z, ; n_N gn+l - 32n'1 Si xeN_ y> O Resolución: Luego seconcluye Descomponiendo_'2' l.(F)II.(F)IlT.(v)lV.(F) 9n (3 + 9) _ 2 Pro_l_m8 10 yfaCtO_ZandO9Setlene_ _- - = 22 gn (g - 3) 6 Hallar el valor dea+ b en a' __ 4 SimpliF_car_ ab.b 2n + (3_ 2552 !. 4 + ; 22n 2+ 53. 53 Resolución: Reeolución:Transformandoaexponentesfraccionariosse Descomponiendoadecuadamentetlene 2n+3225 a-b a! a__ 2n+3 ' ab bb -a_- --aa. b 5Q
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CAPITULOIlleyesdeexponen tes tes SimpliF_candoseobtien eResoluct6n: eResoluct6n: , , a+b _ En eI radicando a^b .b"b= a_.b"b ((x4)_'_.xl6'=x2'_( 26)'_2'.x(24)4 ab 3 22l6_2l6 32l8 __.aa_b.b=34 =X' _X' /_o se ven_F_caenLueg o 1g 42)g 3.2l63__ x21 2+b2 _raa_gmg__ P__l__8 1_ siendo(m_n ) c_Efectuar _cafs__esverdaderovofa_soFencadaunan,I 333 delassj uiente5 ro osjcjones: 3l . _ . nf _ . n ,_ 2 l ?3n2 l.__m__x_y_& 3' _I. m=m''_ _xe_ Resoluc16n: ila. __m m vxe_ _.3_._n3!n__3__n.3_,__3o__l n:_=x^_vx, y__'' ' iesolución.. __._.__.''__^_'"'___,_! ''__i'ii!i' .i__iii._..i _ii'i,._ ^,2 , '_,__^'_0 _.__.._.;,_:'__:'____''_'_'-''' - __0_, -tmaren tementetodaslasproposi tementetodaslasproposi cionesson''''''_'''''''''''''' '"''''''''''''"'__,__,, , co_ectaspe rono siempre._0_'_'^' ____a____ ''"^^^'^ ""_ MY_"''^__'^"''d___"''___'' _'' '_""____''"''_"^"___^'^ '^^ E. Si n espar yx 6 _ sonnegativosno es cie_o.prgD__mg_ _.Simespary xnegativonoverif_ ca. ca. _Sines pary_negativonocumple. -I ( _I _- Sinesar xneativonocum lel 5- 3 - 6 '-'-+-+2-525 _dondeseobtieneque , Re8olución: -1 l2+5-2I+4-I 5-l Mltmg11 5 22525 25 _ucir -l _l -l q 2-- =2-- =- _3 2"_q_jg_6 j 3 y .x ;x>O _ (5+3)'/6_ 8'_ _ (23)'/6_ 2'_ = _ 55
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LumbrerasEd _oresÁ_ geb, Proal___ 1_ Pr__l_m8 1l Simpli F_car S impli F_car y3+33 q a'b3a'b2_3 _+3_+3 9j 64 25_ S a6b Resolución: Resolución: Recordando que(a.bJ"= a''.bn_'___'_c____'''^% _'_'_____~_'____''_^__' 3__8 3_J3_ c_ selendrá___ _c-c_v,_ ' 4 b3._b 2 abLuego ,netendfd_ '''''''_(a_J6' 9_ 3__3_+3_ 9_____ +___) hac,_endo ab -_x (9_3_)3_+3_+3_ 9_3_r__3_ +3_) Tenemos: _ x3 ç' '_x('"")S'' P__l_m818 JO_OCalcular aroximadamenlecadaex fesió to qo_ A=55_ 7lqo J 40_x B_ 72+ 72+_ 4' 64 al reponer x por abseobliene 64 S f_al_m8 ieducir _'_ 70 ' 7O_6g xx- xNNN__ _x_ D_ g_2 _8_ 7lradicales 5_ t Re8oluct6n: E= _ _ Busquemosalg_naley deformación 70 6g 7o.6g 6g ,K_ Ç, -_ _ , Casodelasin Flnitasvecesde unaoperación. N_ tomam_s_osdosu/ _t__mos rad__ca_es,esultae_ Usaremosel cnlerio sieuiente nte úlEimo. DedondepuedeobseNarse4ueesa _peración se"Inrr_io e_ _4c0nti_ad inmen. sA_e____n% quesi ! varepetir,dejandoelmismoresultado,entonces,_'if_sJ.,=_,.,;J_;,._.n.;''nFdY,,m-s'_,re__,_____' re__,_____' njro_.._ 69 todosereduciráa 56
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CAPITULOIlLeyesdeexponen tes tes Veamos _. n_ 5 _s___A=_ , s_ _ _5 E E v. ___ _E_ 2 _ d OA- ' A_ A- 5 Fv_, _ ll.B_72+72+_'' Por comparaciónE = 5 _ B__B PioDl_m819 At _uadrado B' = 72 + Bc aCUar emayOr Vaor den_ Sl _ _^''B=72, ___ ' _ _+l l'__o ' YC_-_''=9C9-1_ ( _)__ l 2_+-_ '+áJ3 n n___ Porcomparaciónseo_tieneB= 9Reso_uc_o_n.. 5 2---- . n nÇ223_lo 22 ,,.e.,.0 c_ 5 64 _c564 ' - ' s64 - c :-- -! 2_2_2_ __ 4-_' aS{_SmO_2 _ __ Elevand oalaquintadedonden_=4 vn_=2 oalaquintadedonden_ _ cs___64 _ __ __64 _ c__ 6_ Como piden el mayor valor den setomar_ C ;.C__ 2 2 3 3 n.n= _n= _n= __ ___82J8_ fODl_m_ DSjmpliFjc__r 'D=8_ n''' n n"' nn'n I nn'n n._ _ 2 _ cuad,adoD___g2. 2DRe sOlu_ón: 3 _ D_= l28_D=_8 ......,,. _ 3 _ _____ __ _ ____, __,. __'_,__gD__0,,.,,..i_. _ _..''0 ' _ O_ ^ "_''_=' _0 ' _V_' __._^_.__ _ _'_ _'._'. _' _' '_' ^ __,__ ___ ________,___ ^_. ;_h a_ ' ' !_ ____.,,^''_,,,,,,',,,,, 3 , ............ ....,..,.,,0. ,.,..,....,,, ,,.....,..,. .,.......... ,...,....,. ..........,,, ..,.,,.,..,, ,,p.,,,.,,,., ....,..,,,.,, ,.,,,.....,, .,,,,. ,..,0., .. .,.,._^__.,_,.. 57
__ER_REer___s_op((_n_tu__p0___2co90___t__0__t__________o_____________0______q/___ __00_0__00_0___000)__0n)_____00____________(00_______0__D_____n____t_0_______0_________0________t________0__0__p____________0___________+__0_________________________________0___0_______0____t____ap5_00o________0__m0___________)__0_____o_0_0__________________________o__0___o0__________v______o_o______n___0xD___0_________0_(______0_(___02________4n____0__v_____p______________t_____0_0q_3_0______0_________000_________p_______00___Tx__t____0__n__0______0n04a__0__0_0__)__0x)0__n0___0__K__00___________062_T____x____0rm_ p5_00o________0__m0___________)__0_____o_0_0__________________________o__0___o0__________v______o_o______n___0xD___0_________0_(______0_(___02________4n____0__v_____p______________t_____0_0q_3_0______0_________000_________p_______00___Tx__t____0__n__0______0n04a__0__0_0__)__0x)0__n0___0__K__00___________062_T____x____0rm__t_______0___70___0____0___00___e______0___0_0__00_00__+___0_0_t00_0_00__0____0_0x_00___00_____(_00_00(_00__0___0>__n0__0__________(0______0____)_0______L____________________0_0____0_t__0_o_0_00+_0_0__0__a_____o____)__t___0______00_0__00_(_0___000y0_) _t_______0___70___0____0___00___e______0___0_0__00_00__+___0_0_t00_0_00__0____0_0x_00___00_____(_00_00(_00__0___0>__n0__0__________(0______0____)_0______L____________________0_0____0_t__0_o_0_00+_0_0__0__a_____o____)__t___0______00_0__00_(_0___000y0_) +_) R_pHs_Ru_2sssr0a_el_tao___l_xlgsfl(na_lul_ao2d___e_r3eaJ_or7_derm3x4a_ecllN J_or7_derm3x4a_ecllN4a__38ml2_e35_xxr_rl_oxe2ap_o2xs_gtl(_xdod__5l_x_u2_labn3c_n_et4apJg_an7l4lr__xe__aL_/__el6s____ce3l3x_)x3bytd_l __aL_/__el6s____ce3l3x_)x3bytd_l2_5t33_cxoe__q__a1x___6__u_x24txe_x___4834e__n34x(n6olx_o___3ls7_h)t)tGp_____5xpe521foJ_xms_____l__6t2a0_xxh___Ja__nr_1_l7larruna 0_xxh___Ja__nr_1_l7larruna Lu mbrer4sEd itoresÁIgeb ra_+ n .-1 ' L _'________-N_________ :'; _ ,; _. ; _..; ;_.:_?..__ ;5_. __m;s__ _ ;.. __., __;. _ _._. i ;. _.. ;,_;, ;,, '_,_ ' _, '_,' _, i_ ': ! _ r,,0,,,,_ oo,,,, PraDlem8i1_ Simplir_carLuegosetiene n'+l 2',, n__l 2 ) nj )2 )o 2o n2 + I __onde: n?N' O_ ' _' _ ^ ' ' _., _ _ __ ^ ^ ' _ _.. '.. _ 0 _. __ _.. _, _ __ _ '_, _ _ ' __. '_, ^ _._ 0: ^ ^ : ^ ^: __ e., ' "_ _ _ _ 0 ' ,,,D_ 4, j _ E_ el PrOblemaSetiene ''-+_ ,' ( _}_j2_ _( 2 _ja,n' +1 j o9 7rad icales n+I"' ''-''' -- n+ _ _u,o/n. PfOalem822fegladefo_ación(métodoinductivo). Re_UClrlaSl_Ule_teeXPreSlÓnsiruer,_,adical 5l _ t5 ____ _l nUmeradOr SeUtiliZarálare_laPfáCtlCaen ve,moslaFo,mación desus ex one,tes rad'lCaleSSUCesIVOS 2_x_ x7 __ 5'''2_x_(2.3) _J).2+74 ' l 6' 6 4 nel d _enominador (exponentenegatlvO
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CAPlTUlOll leyesde exponen t Para97radicalessuexponenteseráDespe jando jandoyde_ =_se tiene _7 _Y-- -4 _--l 3-l ValOf _ P_al_m82_ s_secumpleque22_+_o24-__o24,dedOndeX=3 22 240.5 aICUlar2_2 .a Re6oluci6n: ._.o,nCalCulafUnvalordendelal_ualdad. 22lO_lO_l2__ n"__72+ 72__M_' 2 .4.1 l2+ _I6__l_ l6_l6_4____ualandoaunaseundainco/nit twaI_m_25 ,,__72+__ ' sisecumplequeay72+__Y _ =72+ =y n''- Xxx = XXX..... _ n_ " ademásA-- 3_ 3 , se_únellocalcular undedonde_ _y _ _=y_y ..... (,) _'alorde"x' '. Resoluc1ón: simpl_ F_cando en Aasimismo 72 + _V_ = y......... ... (ß) 3 ?__'____.-_-_'___- .__'_',."'_0_,_9,.,__, __'.D3_ _J_''__ ' '' '''_, A= 3 _:,._.;,_',,,._,_,_,' _,,,___;'____,,: - __i.D'_,,,,,, ae n D: 72+ y _ __, entoncesy-__72_ _A_3_A= edondeY= ' x 81 A' ' Xx Oenan" 4 _l prob1ema_gPfO_l_m8 27 . _ _ Delaigualdad A' ' =tA'=tA= = x ,,1 ' _I Por comparaci6n: y = _ y _ i X_ Y_N -I _lmISmO x x__ =y_y=_ 3x V_a_eVaOfeyy 59
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lu mbrerasEditoresÁ_geb Resol u_ón: _ro_l_m g 2 9 Delaigualdad aexponentesfraccionariosE_ va_o, ap,ox; 1__Jx 2 1__1 x x+yxXXx+yxX_' _= - Resolución: I I IJ - -y-'- 4 8l6 y_.x_ yJX__._ _t_ l23_ .2 A_22 24 282l6 _-+y XX) _ X_y _ Xv _2'_' '_6+''''Xtyx+y xy ' Seae, el exponentede2 1234 e_-+-+-t_t _ordato2 4 8 l6 xI x____l _ I J2e___+_2+_3+_4 y3 3 248 Porcomparación xl _ _(2)-(l)_ y-3''_y-e___+_l+l+l+l 24 8 l6 proDl_mg2gV l l 2 F_ 222.....2 _e=_=2 nradicalesl ' __n+1 2 2 Resoluc16n: '' - Seráequivalentea 2.2.._..20.o,,,,,...,...,,,o..,,0,...,..,.0.d..,,..,.,,..,,,,,,.,,,.,,.o,.,.,..,,,.0...,,,a,..,,,,.,,,.,.0..,a+ar+a+ + _ a'_,_'_, F= 22 _.!'i__'0'____'_'_P'_'_'__'_,_''P''_''''''''_'''''_i'_''''''__''''_'''_'''_'''''''''''''''''_'''_'^'''_!''_''''''__''^''''_0_"_''__'_,_',_'_'_.'_i''__'-''''- _-r'''_.''_. _''"'''_______'_',__:_-_'_-____:___,s___ _' (n-l) rad."%-n_:__''_ ''''___"__________'5-__'__''_--^-''"' -''"' l' ' < r < _'_. DeIproblema23: nl__ 22n_l ___l 2n _2n __- n P_Oal_m830 2^1-l 2222 _ = NS_elfedUCldOde n_22_rl+l2n22_n +_ _' _ bn+a F --2''' 'n--2 2 -_2'-' x x' x5 x'....-_esx '^ __ l ' - ' -- j hallar el valor de_+ b+l b-1 6O
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CAPITULOIlLeyesdeexponentes Resolución: Obsenramosquetiene(n_l) radicales, luego para Deduciendo (n_ lJradicalessetendrá _! l_- 1 para_radjcal __x2_ A=x pa,a2y' lesx __x'1 !_1 .'. Elexponentedexes . Como elexponentedexes delaforma ,,_bn_aProalem_Ji ,,Simplirlcar _a-b=l .......... (a) _- a _a- . a_+I Si n=2 _4a2b-a=5 ' 32-2b = 5, _ __ _ _ _ _ (P) Re,o_u,,.o/n.. Veamos De(a) y (ß): a= 3; b 2 "_ Wegolopedido a_!__a-!es_3+!__3-l___4_2____2a-_aI'â__a _lgmg31a__ a-_a. arelexponentede"x''en _ aa+ a ' _ ava+-a s____ xn'I xn-2 xn-3 ..... xJ_ ,__aa__"l___a-1.(J UCiÓn: _camosunaleyde formacióndeductivamente:_ __ rad;c,_ _ _ x 2 Reemplazando,setiene _, ,,d,.c,,es3___ x- '6 a_ - _. (a_2 + _ ) ' _aa__ _ _ _23aa-!(^_2+_)-a __ 'ales'x3x2__x_24 __-I !__l __1 _'___ '_g _ (a_ '+ l__) "=a2
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0 FOblem__ _FO0 UeStO_ _ a2a6__ 3 . a, o 6. Sealar la sumadelosexponente sde sde -xe_ luegodereducir_ x 2 v ' __,._ ". _' - ' _ ). y Sabiendoqu ex-y ex-y 2kr\ y- l = 4r dondek, r cN 2. Si n esunnúmero impaT 3 3 3 A)_2 B)4C)6 3 de_''radiCaleST.se_larelexponenter_naldexen 33 3 '313 e"n''radlCaleS enlonce sA.Bes: n)4 B)2 C)l 23k 93' 33k l e)l D)3k+_ E)13k _ 2 4 3k-_2 3h'!_ 3. Luego deefectuar _!8.IndicarelexponenteF_naldexen ! )2 ' x x4 x2_x2QO.,.. "n'' radicales A) l B) _ c) _8A) 2n+ l B) 2n c) 2n D)2E}42n.l2_1_l2n_l 4. Simplif1car XX_XXl-x2Xs;.
D)_E) I A)2 B)4 c)5 5. Luego deresolver _+o.2,_l __-2_ lo. calcularapraximadamenEe _ndicar el _Jalor de8
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CAPlTUlO_lLeyesdeexponentes Il. Hallarunarelación entrex ey en A) _ g) 2 c) _ 2D) q _E) 8 Yx__'".yI '_! y.x__ l6.Luegode,esolverlaecueciónexponencial._ v; -- X3B) Y-- 3XCEj! Y--- _2el valor _ex tomalafo_ma4ndonde ''n"es X--YY--iguala I 2.Simpliilcar A) _ 4 B) _ 7 c) _ _a _, _D)_l2 E)_l6 .5__m a _en_o_ueab __ _I _ b hallarelvalorde A)I B)5c)25bln b_lh1_a''__'_ D)l25E)___)+n_)+h a+b ndlCar el ValOr deVerdad_eCada d_eCada Unade lasproposicionesA) 2 B) - C) _ _1 2 ___ (_g)3___2Dl Il. __^ % a> O (a=O,'n\n>O) _ _ ' _ __-l -J_/ _ l8. Six _4,calculare_vaiorde: ' t__ '- '-'''1 ,T,__ 1,.x2 _ ,__) _vF B) _wc) F_.F tx_ ' ' _' t_J'JF_E)VVF on respectoalaexpresiÓn_ -_ ('_-_x,_,_x_-7 yy \ - l9. Calcular el exponenterlnal dex en X+X-J.......___xsumar__,osx x _x_ 5x1 Establecer el valor de_ie_-__ac1_ecad_ unaA) _ B) __ c) 3 _elasproposiciones_ _ I. __ereducea1 , si _ __, -- _; l _j D) -2 E) -4 il.Sere_uce_ax,si+______-{I)' ' erRUCea ^ ' Sl _ ''- _ 20. Dada1asiguientesucesiún ._J_'FFB)_'c)FFvx_=__x__;x3_ __;.... JjFVFE),___Fx_x2 Calcular _4 7 !_ _\dbiendO_ueXe_' _'efi FtCanlai_ualdad X3 _x_o ,___. __ x+y= l , halleRl __alor _e _v+I((,___)lA)2BJ.4C)5 i_,;_' '_-'_' _)_1 E)-! _-7 2 4
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lUmb fefaS Ed itOfeS Álgebfa 2I. Setienelasiguienteigualdad26. Analiza_ lasproposicianessiguientes:_ ._ = __I.En_; _=4_ Y__ -2 anuncar el valor deno verdad_elas l._sex_resionesquedanbienderlnidas,/IlI.En ;R:_(-_)(-2j=____-2 si' X' Ry determinesu valor deverdad .Lal_Ualdad SeVenFlCaSl y SÓlOSl .,x _ex,,s;,e___-,oance,a,x.,s_en) _F B) FFF c) wv A) _B) VFF C) wF 2T Dete,m,_n,,e_ ,alo, deve,d,d dela.s D)FNE)FFF ' .. .'"'Xtx'K+''',t.'_'_ 22. Reduclr __s_: _= . l: = _3. ' = 9' x(x"-^' + l) _ll.'_x- _ 7R; (-x)2__'' _J(_3)_ = -_ A) I_ B)x C)x+l A)v_ B)vvF c) __ D)_rE)DjvFFEjFFF __3s2._S .,,_33,___ . 2_ 6 IJ, (_)I_+__,)n+(__x)___--l _,-l alle'l V"lO' d' _2,_(nj _ __ n _?N_ ( l) : _zx o DOndel '2'3_4___6__ = n A) 1B)o c)x )__''_nE)x-y_ _2_'' __ 2x+2 _ 2_-'3+ 2_'' 45 34s 2_623í 4 D) - 43E) - 23 ^ ' 3 _ adar el exponentedea 2_. calcula_ el valo_ dea' a' ' a3 _ a_l A)2_ B) 3_ C) 4_ D) _l e) _!3 D)___E)_
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CAPITULOIl 3l. Si _-=2; calcular el valor dexX 36. Si x = 3 _,_ además_ y=2_/3
. Simpli F_car o _-2 3o7D)2 E)i6 _ 16zl25-2 36"J25-z'+8l"-' _\_,_2 i -(_,)O\37 ,educ,., p__n.(48)n.9 A) _9 g) _86 c) _43 A) 3 B ) g ' c) 27 86 9 Il D) l E) _2 20 E) 3l 4 l 86 38NSi A= 20+ 20 + _20 _,.... aReducirJ ! , _n ademásT_ A+11_ VA+1__!_A____..... S_x^-l.n-_ Ym '__ ,._Ca_cula r A) l B) 2 c) 4 XB)x^C)xy _'39NCalcularelexponentei_naldexen _~_2-x+3"x+'_'2- _-+3x _ A) __n- l/2n _) 3n- 1/3nc) 3''- l/ 2 5 B) 1 cj__2 2.3 65, D)3E) J40.Sielexponenter_naI dexesl5en_ eCtUai'x.a+1',a___aa3+3 (a3'-_'') '2+(a''b-'/') '_a'.b2 3_ xa a-I.b a2 aEl valor de''a'' es bb l b A) 8 B) 5 C) 3 ab2aD)3a- E) _
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__oDucc_6y Citemosunejemplosencilloquenospennitir_ compren der derlautiIidad delospol'_omiosennuestra ndacotidian aycómo aycómo podránserutilizado sparaproyectosm_s_ndes: sparaproyectosm_s_ndes: Paralaconstrucció nde unacasapequeadeapenasunahabilaci6nde"y_metrosdelargo,"_'' metrosdeanchoyconunaalturade"x'' metros,demand arálossiguientesgastos:''8"solesenla arálossiguientesgastos: compradelteneno ,"b''solesenestudiodelacalidaddel suelo,4c"solesenlaconstruc_iónyUd''soles ,"b'' enelacabado. .Lasletras_,_, _,_,b, c,d,son Ilamado ssvariablescon variablesconlacualse tendr_unpresupu esto estototaI delaobraquelo llamaremo s''H'' s''H'' (habitaci6 n),quedependerádedichasvariable n), sy sy lodenotaremos delasiguientefonna: H(x, y, __ __b ,c,d ). _losmismosdaloslepodránse_i ra uningenierocivil paraelaborarunproyectodeconstrucción deun conjunEohabitacio nal,dedimensione nal,dedimensione sno sno necesariam entehomosén eas. eas.
__=,,""__,_,_ ^000'____0m___''_' _ _n__'nun__ _' :__,j---:_ n ^ '_ _'_'"n ?__ i J___ ___,; ! '_ _ _ _ _ _ _ __ ' ' ___ _,_,_,_, _____ w' _ _ __ m,_ __ _, ' __, _ _' __x_! i_ ; ___ _ _ __. _ _ , - - ____?,D ______c--,_ _así comoseelaboranloserandesproyectos,queF_nalmen teobedecenaciertosmodelos teobedecen matemátic osllamados4pol-_ omios''. omios''. _ _._ 4_ n_n+3 ' (_.y._)- '- l _ Donde:_x,y,_ sonlasvanables. _ _,a_ SoncoerlCienteS (COnSlante S). 69
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CAPITULOl l l _ol inom ios TRM_NO_lGEBRAlCO BRAlCO''" -' Esunaexpresi6nalgebraicapreviamentereducidadondeno sedeF_nelasoperacionesdeadici6n ni sustracciónenlrelasva_ables. Ej em p los: Ej emplos: , 45 R(J4353 __X,Y-__X'X=Xa+b0 ténninoi ndepend i ente 2. f(x,y,_) '_ -_vmxY3 . n(x,y,__) _ a_'' + a__ + a__ '96 +l 3. R(__)=2x+ l no estérminoalgebraicoEstasexpresionesasu vezpueden ser: ' a) E._R.Entera '__^"''''~'____'__""M""M_M__"""'______suna expresiónracion_I,_ondepura tt Pa_eS deUn teMi_Oal9ebra1COl4u0_ableo uariab(esno estápe__tidala ,, _ _e_e3 ßarteS_ _e_OS_, ' operacióndediuisión. ;'EJemplos: ;,: t___ x,_cJ_,3 _j ,, !,_ .,_--_2-_Ò___, . R(x,yJ= _ + ( _ l)y + ; __,_,__ __-- _,_ ;! _!__....._...,______.M(a,b,c)=(__l)a^-y_ab+-C b+-C j ;-_ __ _ ' _(_j b) E, _ R. Fraccionari8 :: ' _sunnexpresión n/_ebraic_racion_I i ;_ S0n_e8 l_ __eS_ dondesedeJineunadiujsión que reng0 en el f _I _COe_ciente(incluyendO_ si_n0) : diujsorpor ro menosaunaua_able. l,_.2.i_esviables . . a. 3. losex_nentesdelasv jables ___\________ _F (xty) = - + _ ; x _y (x-y)' _jerciciop_r_ellectorg sea_e _,, p,,te, enlo, ,;gu;ente,te/,m;nos..' G(X_ Yt _) = -32x + _ 5 3-3 X_Y)=-I6XY.Habc_45x+ c a+ba-b S(x,yt?)___l8xy--I a+b 2,Expresiónalgebraic81rracional Sonaquellasexpresionesalgebraicas,en asI_Ca_6ndel___r_lOnes_l9_bfaiC_ Seclasi Flcan tomando encuentalosexponentesradicación queinvolucrealasvariables. delasvariables(clasif1caciónporsunaturaleza) Así:Ejemplos_ l. Expresión _gebr8icar8cion8I (E__) . m (x _ 4 Siendolosexponenlesdelas vanables númerosenterost pudiendo contener asu . s(x y ,J_ 45 _ __3 vezterminosindependientes.' ' __
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Lu m b rerasEd i to resA' En resumen: v0_' __, '' ' '' _: _, ' , _'_n'' ub____&1ón D' _nente8de_'variab_e_y,_Nx__'n,''_' Ete_plo , enteraente ro(+) o ténnino independiente3 l_- l7___ . A. faClOnal raccionaria entero (-) 39_ 3+? E. A. i_acional fraccionariol6_ + _ -3/2
:x:_.._.' _i,A,_.,;n,_,_, _n Existenotrasexpr esionesquenosonalgebraic asalascualesse les_lamatra8cend entes, entes,lasm_simport3nte s: s: SOIl; _, _presjone sexponencj0 le_c._pr_sioneslog0r le_c._pr_sioneslog0r ítm_c4s_ Son aquéllasdeex_nentesno racionalesDeF_nid aspor aspor logaritmo s. s. _jemplo s: s:_jemplo s: .x yt;x_.6x , __+_, ''log_x-l;log;Ln9 . X+ - 2 . / _427Logabc-Lo_,x . preSl OneS tr_O_OmetflCa S ' , Sonaquellasqueinvolu cranao_radores_d cranao_radores_dFe ? . /. d_ _reSlOne_eIn InltOS t fm(nOS n_OnOmetrlCOS. . s. _ _jemplo s.' s.' p (x j ' _+ _+ x_ _ Sen(x) ; Cos(t'__) ; Tg(x+y) ' 2 ' 3'' 2 XX_ XX . Sen X-y+ OS- ' X' +-_-+-+_____ 2 l! 2! 3! ' Ctg(2x+y)+Tg2x . H(x)___! +_2 +_2 +_3 +_3 +_4 _ _ Xçx2 3_x3__ '_
__M1_NTO0E V_RM AD_lBM l_V_} ' _ ý '_ nx__ _ ' _ ' Esel conjunt o dondelaexpresió nmatemáticasehalladeF_nidaasí: nmatemáticasehalladeF_nidaasí: l7 a. ((x = _ SedeFlne_aratOdOvalOf deXeXCe_tOen x-5 b. g(x)=_en_; 9-_>o _ __9so_(x+3)(x_3) _o _x__r-3,3] _g(x)estádeF_nido4xeI-3,3_ c. h(x)=__2x-I6 seder_neparatodovalorque seasignea x quepuedeser realocornplejo n,_,_nexos_Iëm, , mrosest_^\ ,___ y4' enposìbili_, _d' __irlo,que.__es,_. ' p0lino__. 72
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CAPITUlOl l l pol jnomios
i_a_1NoMros/,,__' DE_NIClÓM_,__''''_,'''''T' ,...:.....,_:'''',.,,__''''..,. SedeF_neasí,a todaexpresión algebraicard_cionaientera, queasu vezestádefiniclasobreun campo numéjcoy en cualquier conjuntonumérico paralasvariables. EJe_nplos: p(x) -_ 3,,+ 15 ; a(x,y) = _x+_ ResPuestas: _onpolinomioslossiguientes: 9_2x+ _I. Sí, der1nidoen todoC.V.A(IRo __ _1. Q(x,y)__5x_x_'+2 II_Sí, derlnid0en t0dOC_V_A_(RO_) Ill. No, puesto queno estáde(inidoenx=O Ill.R(x)=_x'+5x-l? 2 P0lI'M0mIOEN'U.NG. V. ARlABlE ___,.::''_;., .;, ,_.: :''''' '''. ''_' _: '' .. '_' ' ' ' ' Esaquellaexpresión algebraicadelasiguienteformageneral: ___'^ ^^ ^^ _^'^_ ^ ^^^ ^' ^ '^ n___^^^"'^'^ ' ^'^'''___'''. _^:_''^"^^ "''_^^'^ '_ _'_'' :P 2'''__ ^ _'''' _' _^ ' __'"' ' '_' _ W_'_'_' '-"_____, ,P(.X) _ a_ _oX. t a.IX..__..2 X. .:::......:: '''+. _._._ +..a. n _a_0...._,,, D0nde:E_emplos: ao, a, a, a_ coer_cientes '_ np xx + l _ x1 x_ vana_le= ' n_ gradodel polinomioQ(x) = 5 + 2x ' I2i + _ __ ao _ coeF_cienteprinclpal X ' X_ + X' an _ téfmjnoindependienteR(x) = 8 + 3_ - 2x' + l6x'' __oRNu'_mR'1c_DE__u,,Nn__^Ex____R_R__E___'__6.Mmn__Cn''' x____R_R__E___'__6.Mmn__Cn'''''' ''''''''__'''''''''''''''''''''''/..'_' _'___ _el resultado queseobtieneal reempla2ar las_'ajablespor algunaconstante. EJe_nplol _l ualor numéricono siempreest_ derin_ido, _ap(x)__+7dependerádel campodeestudio o denl_unas Ha__a,e_va_or numé_codep en x-_3derniciones x-_3dernicionesmatemáticas. Resolución:E. Reemplazamosx por 3: p(3) __4(3) + 7__ lg _ p(3) __ 1g SeaH(X) = _ + 2x_ l .XHallar el valor numéricodeHen x = 7 Ejemplo2Resolución: 35 Reemplazandox por 7 X+ aF(X) = + 2XH7 + 2 7 l ero no esta_deF1n__ x_ 2 - _7_J_ Hallar el valor numéricodeF enx=5 . _(7) no ex._steo no esta, der_nl. Resolución: Reemplazamosxpor 5:Recordemosqueeloperado,d,.v._s.lo,,esta,__,, 3J__i_'0___!,._??_______.'_i''_"0'i'_'______0_,____,'_o_0,__,_,_o_0'__'__0__'_,____i,____'____0',___o____,__0_,"_.,.. '___i__, + _ ___-______._!_i_|__''' ' _____o_ __gD___^___'_'__g'o. delnl O SOOSl edenOmlnadOr eS t_'_,,i_0_ ''M"''iii'''_"_'5_:'''_'n_""''_'diferentedecero.__,_,e,_, 73
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LUmbfefaSEditOfeSÁlgebra EJemplo_.,,..,,.,.. ,_dDD,,,......,,,.,,,.,, ........... En_aex ,es._o,n._;. _5 + x + 2x en _g _''''''_'''_'''__'''''' __._!,_.._:.:_,?____' P(x+ l ,_'-3) = 2x-y l''_''__ 7_ x ' ' Lasvanáblesson x+l r_ y-3 _0D,_o,_,. Hallar el valor numéricodeGen x = l l Reso_ución; EJemplo T Reemplazando xpor I l s_l G(2x_ t) __4x + _ _ ,5 + l l Hallar el valor numéncodeGen 2 g(___ +2lI_+22 7Il Resolución: r.dSea2x-l=2_x---3/2 erOenIR_OeStá delnI O Luego or lotanto G( l l) noexisteo no estádeF_nido Sir_ embargoG(I I Jes_ádeF_nidoen el campo deG 2 3 _ _ 42 _ g 3 _ 1oscumplejosquemás adelanteestudiaremos. _2 .emp_o,_ G(3 - l) = _ _ 4.3 - 5 _ 15 SeaP(__) = 2__' 5x-7.'. G(2) _ 1_ Hallarsuvalor!_uméjcoenv\_--3 Res_lución:E__emp_og Reem_laZandOXPOf3s_hr_x,y_1,__+3)=__3__+y__ ._ rr _ =_2N_J_ ' = J1=62 Hallarelvalornuméricoen (l,3,5 SqResolución.: Lasvaria_lestomaránlosvalores: E_emplo6 x=l, y-I=3 y _+3=5 s_r(__)-_ex+__x/r(3)-_1esdecirx I_ y=4 y__=2 Reemplazando h(I,3, 5) 4(l) -3(4)+4(2) \ 3!! r(1) al af Rt ValOf IIUm rlCOde_ .'. h( I ,3,5J_ 4- 12 +8_ O f(_J- f(7 Resolución: T E ORE M A DeldaloD adOUl__llnOmlOP X: f(3) __ e3+,i__ l t e3+,3 __ 1 .. .. (a) _. Lasumedesus asumedesus coef_c_entesseobt_iene reemplazandolav8rtableporl eßl_e _! e_ _ __ _CoeI. PCxJ= PCl} e''__'__e'-__'e'(l_e')+n'(1__')__sute/,m.,,o._,depe,d.,e,te,eobt., reempfazandosu v8rl_blepor cero,, 3__3 l_3__ T.ind.P(x)_P(O) Lue_go 3_' 3_) ' eJ_I(e+_ __J-"__3EJemploI e_U_ neen(e__ JSeai(x)_6_+_-15 =' -,._ - I. _CoeF:P(l)=6(l)+4(IJ-l5-5 IJ-l5 -5 e_' e_ .T.ind: P(_)=6(O)+4(O)-l5=74
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CAPlTULOl l l po l inom io_
Ejemplo2_____,___,a ' _ 6o __'ii_,__o_,'_. CO_Ola_O_ i__..__ _ Enun polinom iodemásdeunavariable: ._Coef:_l) (2(I)_l) -3 l)+l = -I _i___d__,_ii__ _Lasuma decoenc__ _ . 60 +2__^__,^'_, 000a _ _l _ = - = __.__0a0ofeem_aZandOCadaunadel aSv_rlablespoC __a_,_0,_aelnúmerol E_e_p_ o3 ^__,_II. Sutérminoindepe ndientedelasvariables ndientedelasvariables _3) __ 4x+5____, _o____ .'. .'. sehallareemplazand o cadaunadelas ___0''_,.po____O'__.. variables _r el númerocero.l . _Coef: 5x- 3=I _x= -reemplazan do'_ __ '_'00 ^_0'_ 0''d_,_,8i8,_d,_,d8_,_,,_d,8,__d_._,_d,_,,8_8, ,_._,__,___,_.i_Dd_.d_D_,_D,_, d_.__.0_,__m__.__. .!,e0____0_0._,_8__.,,_,_00,,,_,__0,_0,i_._, ,8__,_,_,___,,__,_,__,_,8i_. _,e_,,8_,____,__o,_,8_0__8__08_,0__,_,o_,8____9_ _ .,.\,..,_ ,____,_,_,_,,0___0,,_,,0,,0,,_,_,_D,,_0i _-,_w___,8i_,d__,8_,_,d_,,8i_, d8_,_,,__,_,d8i_,,_,d_,d__,_D, _,d0,00_,_e0 5 E_, S4 h(7)=4-+5=_+5_- _ __F sij 2_Isii__+2J 5 5 5 . Oe.= ,= -++= 4l :. _Coef.--I7 _nd __ s(o o) __ (2(o)_o)._ + (o+o)_ II.T. ind: 5x_3=O_ x=3/5 reem_la2ando .'. t. ind. _ o 3 5 l2 537 5 5 5 Ejemplo 2 (Pnin el lectorJ DeS(x-I; 2y+3) =_xy+ (x-y)' __TNind= -hallesutérminoindependjen te)7 te)7lasumade 5 coeF_c_. / CAMBlODEVARIABlE Propiam entedebellamarsecomp osición osición de funcion esdentro esdentrodeun conjunto devaloresadmisibles. Consisteenreemplazarunaomásvaria_les_orotras. Ejemplo l Il.Formar lav8riable en elsegundo SeaF(x)=_+ 3;hallar F(3x-5) mieInbro Resolució n: n: f(.xl) = l9x+ l _ I9x - I9+ 20 Reempla2ar x por 3x_5 f(x__) __ _g (x_ f(3x-5) 4(3x- 5J+3= I2x-20+3 ._. F(3x_5)= _2x_17 F_) = I9 Y+20 Cambian do_por do_por xseo_tiene: f(x) = l9x+20 emplo SeaF(x- l) = l 9x + l _ hall ar f(x) em_lO Re8olución: __oDos: ie,ol4c_.o, I. Cambio dev8rt8ble x- l = y _ __ = y+ l reempla2ando? = 4(x - 5)+ 29 ?)-- l9_+I)+l -Luego f_)=l9y+20 f(2X+ IJ= 4(2X+ lJ+29 = 8x+ amblandO_ pOf xseO_tl ene: F(x) = 19x+2o _, f(2x+ I) = _ + 33 75
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LumbferasEditOfeSÁ_gebra EiemP!04_11__ Seah(_-xJ=x+5,hallarh(x+I)__h(X+l)-Resoluc1ón: Iro.2do. sefa_en2pasos;h(_-x)_hW)_ h(x+l)E_em_lO_ _endo ,__x__y ___x_y_ o Si f(_-_)=3x+l Hallar el mayor yel menor valor der(5) ___l t _ Rego_u,,_ón.. 2Sea_-4x=5__-4x_5=O ___It_, _llt 1+4y _decir (x-5)(x+l)=O_x=5 6x=_I 22 l. Si x=5_ f(5) = 3(5)+ l= l6 __hW)-"_-2__. six_-__((5)=3(-l)+1_-2 2do. Reemplazar ypor x+ l _ll t_l+4(x'_I) _ Il t_ __mayor \ 22 G_D'ODE_NPO_N0M_0.. __ SedeF_necomo una caracte_sticaexclusivamenteparalospolinomios_ menteparalospolinomios_ relacionado con los exponentesdesusvanables. losgradosseclasif_canen: E_emplo2 l'Gr8dOrel8_VO(G'_)seah(xy)_5_+_'y-_x'y' ' _representado por el valor del mayor Losgradosabso_utosde_osmonom_.osson. exponentedelavariableen referencia5 lo y _2 respect__ Ejemplo_ueoGA(hj__ _(x_y) = 4_4__ __'+_'Oy Luego G.R,_= lOyG.Ry = 7 E_emplo3 HaI1ar el grado relativoa"x'' en el 2.Gr8do8bsoluto(G,_)polinornio SedeF_necomo el erado deun polinomio: _3 l. Paraun monomio.- SeobtieneP(x_y)=__'_14x"-5_+__" SUmand0lOS_radOS_latiVOSNResolu_ón: ll_ PafaUn _ßOlinOmiOdem_S deUn Como i(x_y) esun polinomio, los tefminOSeObtieneCOmOel mayOf exponentesdelasva_ablesdeben seF _fadOabSOlUtOdeIosmOnOmiOS QUelOentefosy posit_vos. conro_an. Pero eN_si n=6 ó n=8 Def_ntción;Elgradodeltérminon'5 independienteeS Cero. _ Si n=6 _(7-n) eN _Sin=8_(7-n)__ Ejemplol sear(x,y,__) _ -6_9__ __n=6 (únicovalor) LUe_OG_Rx=9_G_R}_=5YG.R_=lLueeoi(x,y)=__-I4_y'+__ .-. G.A(FJ= 9+5+ I = l5 Dedonde G.R, = 3 76
_ _ __ _ _ _ _ , _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ ____000_____00__0___0_000o__p__0_0_o_______0__00___0_000_0__0________0___0___0_0____00____0pq0_0_00p_0_(p_0___0pp__p0p_0_)0_p00o____00____00__0D_pp___0(p0__0_,00pT0_____p00E__o0__0__0___o_0_q0)op00_0___00__R___p0_00_0q_p0___E0__________p______m_0_o__________o___)A____0__0_____p_____e_0___00____p_0__0__0p___0__T _00_0q_p0___E0__________p______m_0_o__________o___)A____0__0_____p_____e_0___00____p_0__0__0p___0__T__0_______00_________0____0_____________________________________0_0_0__0_0____0_0_____0_0,___0_0_0__0_____0_________v_______ __0_______00_________0____0_____________________________________0_0_0__0_0____0_0_____0_0,___0_0_0__0_____0_________v_______ CAPlTUlOl l l pol inom i EJemplo4 Sea___''__,^o'o __.,.?_,_?,___,___,___.,'.__.._ ! ',.__,___,,8_,_,____,_,,'_,,,,,__,,__,_,,_o_,.._,,,,,__,_,_,,'_,,_a_'_o0'_09o____0,,a,o__0%__'_a_,_,_0 _,g'_00__,__a_,,,__0,o_R_,_,_, __ xaa' ^ + _y _a")a^-^ + _6_ ' __._. _ __ ____._ __,. i _,__ _.,.. _,... _... __'_'._. _,:_'._0....,.__,._,,'.''_: '_.. _ _ __' _ %^'_:_: _ 0^0a__O_,^^ _'__.:_, _''D_ ___, ^ ^'"0,,,^o_,,,,, dondeG.R- GR- 16l. El gradosederlnecomo el exponentedela___ _'t _ __,,.. Hallar el valor de"a'' Ej_emp_o.' __,_D,Resolución: p(x) _ 3xsy _ GR_5 M _,,o ''___,^^'0, Pordato__ 2. Si no seespecincael lipo degrado se__^^ a6 _ aa^ a^ ^ _ aa^'"-^ _ ea6 _ aa^ sobrenLenderáqueserenlerealgradoabsoluto. _____ I6 J1 _a"= n _G.Rx=n= l6 _ai = _lINOmlOS ES PECIALES Son aquellospolinomiosqueo_edecenaciertascaracterísticasy deacuerdo aelloson: l,PaIinomioordenado Sediceordenado respecto aalgunadesus variablescuandosusexponenLessóto Dadoun_olinomiocomplet_enunaveriebte,el veriebte,el aumentan o disminuyen (ordenadonÚmefOdetfmlnOS fmlnOS eS igUal aSUerado aumentadoenl. CreClenteOdeCreC!ente. EjeInplos:_ .i(x,y) = 2x+x3y+6_K6 _, EJemplO_ escrecienterespecto axP(x) = _+_+2x- _xa+4_+ (__ 1)_ __ _x7+n_yq+5 __7., Vemosquees degrado 5 y tiene6 térmir_os escrecien_terespectoa_, _ decrecienterespecEoax'__:,_'''''' T'_:O...RE._A'''' M(x) = _ - 2x4+ 8x1' no esordenado Si un polinomioescompletoy ordenadorespecto \ e4navariable,setieneuelos radosreletivose esavariablededostérminosconsecutivosdir_eren 2, Polinomiocompletoen launidad. Llamaremoscompletorespectoaalguna var;ab_esi existen té,m_nosdetodoslo, EJemplos: gradosincluyendoeltérminoindependiente, hastaungrado determinado. p l.(_)--X_emp_os___gm, ' 2. Q_)12+3X Q_)12+3X -TcX+l7X-l5X I. P(x) 2_-5+2x+7x_ 3. Halleel valor de''a'' si el polinomio es __ _ _ 3 COmpletOy OrdenadO .X,y=X-_+_y+y-X_ pxa2+3+(a__Ix__-5__J+3x_2-2 escompleto respecto ax y respectoa- _ yesde gradorelatjvo4. Rpta_a= _a= 2 77
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lumbrerasEd itoresÁ_geb, _, Polinomioho_ogn_o _, Polinomiosidenticos Un polinomiodedoso mástérminosy doso Doso máspolinomiosen lasmismas másvariableseshomogéneo si cadatérmino varia_lesson idénticos_ cuando tienen los tier_eel mismo grado absoluto.mismosvaloresnuméricosparacualquier valorqueseasignea susvariables. EJemplol ____226+2x.52Et G.A._TG._.=7G.A._7_P(x_y)= (x+y)'-_ Diremosqueeshomogéneode grado 7o _ Q(x,y) = x-yJ_ ( grado dehomogeneidad7. Reemplazando ''x'' por 8e''y'' por b EJemplo 2 tendremos: ._ Kx_ax5 b+b_ 1 es_omoe_neop ab _a+b 2 4ab _ a2+b_ hallara._b___ 2___ _2 ReSOlUC1Ón_Q(a_b)=(a-b)_ I.Porserpolinomio b> I ya- I > l Vemosque i y Qtjenenel mismo valor II,Por ser homogéneo numéjcoparaun determinado valor dex e 5+b=a_l+I_e_b=5y,ysedenotapor: P(x_,y)_-Q(x,y) é__O5SemeJ8nteS_ Dosomástérminosno nulosson semejantesp sp _ ., . . YSelam_n l_entlCOS. Sl SOOl lefenen OS COelClenteS. EJemploI _J 1_ _7 Dospolinomiosen unavariablevv det mismo _X,Y- XYgradode laforma: _7 P (_) __+a__ ' + a,, 3XtY-+X Q(x)=bo_+b__I+b,\ sonide_nticoso__ ua_ess__ so__osl_+ Diremosquet_, t,,t3 sonsemejantesao = b_ , a, = b, .......... _, , -_ b, EJemplo2EJempIoI _mx ___I9 x_b_-b+3 _ _ _ Seme_anteS.Hallara+bi(x)=3_+(a-l )x+c Resolución: a(x) -_ (b+ _)_+Jx_4 Sedebecumplir son_.gua_eso __de/nt__cosHa__ar (a+b_ a- l = 5y b+3 = 9 Rego_uc_6n. a=6y b=6 c OmOSOnldéntlCOStenemOS: .-.a+b=l2 ,_ Esdecirb=2_ a=8 y c=-Q_ __'___'_______,,.,_,____i___'_____B____'_'___'0'___'0,'___,_,__'_____. En esteProblemasehallaqueM y N__,' _........._....._,.,_.._9.._. .____.:_sonsemejantese jg_eles.__._,'_'0.._a+ +C'_ 78
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CAP íTUlOl l l po _ inom i
Eie_plo2 5, Polinomioidén ticamentenulo SeaP(x)unpolinomiodetalmaneraque:Unpolinomioesidénticamentenulo _si sus p(p(x)) _ 4x_5 ValOreS nUmerICOS _araCUalqUler ValOf O Ha__ela,umadecoer_cie ntesdep(x)V_lOfeSaSi_nadOSa laSV^nableSfeSUltaSef / siemprecero. eSOI4C_On; Sedenota por P(x_y) ---- O ComoP(P(x))esdep_mergrado_P(x)es(p(x y)es_.dent__ también deprimer grado EJemp_o,. SeaP(x) = ax+b P(x) = (,K+2)2-_ (x-2)'--8x LuegoP(P(x) )_ aP(x)+b=a(_+b)+bVemo squesi squesi xtomaelvalorde8, __a2 +b tenemos ioI _'gualdad con i(i(x)) = 4x+5, cenemos: P(^J= _("+2)J _ ' (' - 2)2 8a _-=4 _a=2 óa= -2 (8a) Adem_sb(a+_)__5 _ b___5o/ b___5P(a)_8a'8at P(')_O ?_a_i 3.'.P(x)_-O Il 7, .'. a+b= 2+5/3 = - 6a+b= -2-5 -- 3 TEoREhf_ Un _linomiodela rorma: E_empl o3 P(X! = ^_ ' a!X^ "+ ''' + an eS lde_tICamentenUl 01 Sl tOdOS _'US i lospolinomios: _ coef_c__entesson cero esdec__,. 4 t7+8cl ' ' _Y= a- XaX Y+CY_=a_=.... . an=O Q(x,y) = 9x'+_y+c_' Y_ . son idénticos Ejemplo: - 2+ _ alleelvalofde_(a -bJ+(c-n)I+_(l;2) l X= X- rX--+C+xeS Re&oluc_ón.._ _ . _k+C _of ser idéntjcos: r Desarrollando y ordenando a-'5X_ 4Xt a 9p x__ __7_2x+_+ri_ b+8 = 3_ _ a+b __ y __ _+ r__ Reemplaz andoel valordel_a"Sef_identiCamentenUlOSi g+b=3_b __6yn= b+gk+r--O_k =-r.................. .,..(l) 2k+4r-l=O_-2r+4r=I.......(2) __ b = -6 yn = 2 De_as ecuac-_ ._demáscy' ' - c_' ' r _ l _ _ l _ton_esc_I= 2c-3 2c-32' 2 Además c_d l l ondeh+4r+C=O_C= -_ -- - 4 (,__b)+(c__nJ__ g _ (_6)+ (2_2) __ __ 2 2 _ 3_ 2 _l 23 e_oPx-,y)=4X+ y+ y; ue_OC_--- _ C=-s; x__1y y__2 22 Porlotanto ' _ ' l3 4 uego P l;2) = I I -_-- -_-C2 22 k+C .'. (a_b) + (c-n) + P(l,2) = 26 _r _ __ - __ ' _, - __ _1 22
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0 fObIemaS QeSUeltOS
ifoDlg_g 1 Re8olución: He_larlasumadevaloresde_n"paraloscualeslaSiP(X)eS_linOmio;(n--l) e__setiene: expresi6 nINSUté_inOindePRndienteP(OJ nINSUté_inOindePRndienteP(OJ n _2_ P(O) = 5.n.(n+ l )("l) =- 5n(n+ l) p x __ 4x_2_ 3_n e, un o_,_nom,.o lI_COef_ __nCiPal: l _6_2_(-5J "'60 Resoluci6n: De(j ) y (__) Por serpolinomio -5n(n+l) = -6o _ n(n+ _) = _2 _ n_-3 IO_2'_,.y_l28c _LUegOtel_rad0deP(X)eS 2 2n 2+n+4+n_- 2n+6 / _ __ COmOn_"3 ' ' .'. Grado deP(xJ= 2(3)+6 = I2 '. _n: I+2+3= 6 P_o_IBm8_ Pr__l_m82 DeF(_-_)_x-2_ha__ar F(x) H_llarelmayorvalornaturalde ndemodoqueResolución: laexpresi6n: Sea x'-4x- =y ___-4x+4 = y+4 Y_ P(x) =_' _1 l2 2_F_)=2t -2=t XIl Reemplazando xpor y ; F(x) = t Seaequivalen teaunaexpresiónracional teaunaexpresiónracional fraccionana. Resolución: si Nosinteresael exponentede"x'' Resoluc_6 n: n: _l n_2o)+_1__l(n_g __1 2_n) _ E COmOP(P(P(X))) eSlineal 3 6 _ j2_ P(x) eslineal; seaP(x) = _+b 4(n_2o) +2_3(n_g)_(2_n) _ P(P(x)) =aP(x)+b = a(_+b)+b -j2-'P(P(P(X)))''a(P(P(X)J)+b =a(a__K+ab+b)+b 2n_56 __a32 + + Simplir_cando E _ 12 a-+a+ l y comoP(x)esraci onal fraccionario .. _ __ 2__ Entoncesr_' __?__2 _ ntOnCeS a= yb= o.'.P(x)=2x+l -n=6 .'.n=22mayor Praal_m86 Pr__l8m83 s., El término independientey el coeF_ciente principal_eResolu_'o/n: P(x) = (_ + 5- 3x)(x+n+_) - s_+ _ yn _+ x4+ + ___+ nI - soniguales. Hallarelgcadodei(x_J. ' F_) _'l
8O
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CAP lTUlOl l l pol jnom ios
DedondePr__lgmg9 _ll __ _ 7 pof datoEn el polinomio 2n5x+ 2 _! _Seobservaque _ - g _ 2^ __ 2 -' _ - -- _3 3_CoeF.= 343 vecesel término independiente n =_ n= - l/3 Resolución: l. T_Coef_P(I) _al_m8ls_x=o I __ p(_) -2in 7_ 7 -2n 343 l P _= a-X+3a+ai_ Fx=_+ ' ' - ' F(.x) I_.T. Ind. = P=(O) _Six= - l ar P -2_ P(O) = ( - l )-^.(_5+7J. (-4+7J_ 2'. 2n 34 2 eSOlUCt6n: OfaO_ = .. lI qUIereQUe_F -- - - 2 eS deCIr ' ' n X = --! _ _+l = -2__= _3 Pr0_l_m81_ ___ l 2_Cuántohay q__eagFegar a 4__ 2 We_ooP -- = a(_x) +3a+ l ' 2______, paraQUeSeaUn _OlI_OmlOOmO_ene0 y '3 completoconfespectoax_ _lasuma de coei_cientessea2l? ,__1 _ _3a+3aT.. _ Adem_sp_(2;l)=ll4/ p_(__,y) es el po!inomio 2fesu1tante. .p(_ _/2) __ _Resoluctón: inom___asumar es_ +b 4 4_ 9 _lgma_Ue_OIX_Y=X' ._nom_.o deF_n._do o,. l. 3+a-2+5+b= 2 l _,_____-l)_F(2x)+F(_)ademásF(oJ=2, _ a+b--l5 ..... ......... ', .... ... (I) 4+a2Jl 22212+ 21,1 'I_-' ' ' _lución: +_.I4= ll4 Ÿ.X=1_ 8a+b=64.................. ...(2J _f(I) = f(2)+f(l) _f(2) = O -- ___3De(l)y(2Ja_7 ; b_8 2._. Seagregará: 7_y+ 8)J_ 3_ f23 22 Pr__l8_811 _F(2)=f(3)+F(l) s_. (x)_x(I+__2) x2 f(3)= _F(l) x_ _ l l __ _=2__b+_ g(g ...g(g(x)) ...) =_' ;neN ' rO=fl +fl '2=2fl ^ fI =l V_-b+l .'. F(3)=-l (2n+i)
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lu m brerasEdito resÁ Resoluc16n:Resolución: EFectuando x(I+x2)(2 X__-XtX+ __"^'_'' a_O 3x3 g(x)=_X+X_+_g(x) x-I x_I nnluego EFeCtUandOn - 1 + _ 2 - _4= l2 x+lx+I+x-l x- l x- l _ Por4 9n-4+2n-n+2 48 _5n = 50 _(g(X))=_ __ =- x x+I _ x+l-x+I 2 .'.n_10 x-lx-I ycomo(2n+l)esimpart_l0m81_ x+ I sia_polino_'x - I p ( x, y) _ Mr y _ + mJr l y _3 + _ __x_! __+b+! lerestamosI2_y4 sugradoabsolut_dismir_uye. x_1ax__+IHaIlarm+n+ Aplicandoproporciones 2x 2_+2b2 b Resoluciónt -__m X_ax+ _ Xa- =2 ' 22b Sj el grado dismjnu__eesporque .x _ 2 __,_ esigual al 2_y' a-b __Dlg__11Entonces Dado el polinomiohomogeneon-- l2 _m--3 y p=4 px __m2xmm"+_,6+_6m'""... __ Hallar l_ sumadesuscoef_cientes. Re9oIuión: Sieshomogéneo r _-_ _+ _=+_+_ ??calcular _ab a_ sj el polinom'o _1 px __5+xa'"- l5+ 3x(a t I}^ _1 +5_al+ ... nx_2 - l De(I) mm "= 8. ...... (l) m+n_DondenrOy b> De(_j y (2) m2m _ 42_m_2 e' 'OmP!''OYO'd'^"d0' 'd'm_' '""e4" ' 2+nl te/_'lnOS n(2) 2= _n=_ eSOlUCi6n: .'. _CoeF: m2+n+m = 2__ l +2 _ 5 OmOepnmer termln0 eS COnStantee polinomioseráordenadoascendentem_nte 2a Hallar el valor de"n'' paraqueel equivalentedea_ - ' a_. _2_ ._ _ 3_ Xenra_ ___ X. N2 = x._; Xf OCprO_le_ - -- - _= __erp g. 42 xxn' _ j q ' ' luego1o pedida2 q9 __ = 2 SeadeqUlntO_raO. 82
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_ _ r' f
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CAPITULOlllpo_._nom__os troDlgm816 PraDl_m818 LuegodereducirlaexpresiónSeaF(x+l)=_+l,calcularlasuma de 2l l _ncoeFlcientesde_(x) si secumpleque E(x)__"'xn^''x.xn^'-l., n,__(_)_(x-1J=f(x+3)+f(3_x) Resolución: x>Oyxfl_coer._-__(_ resultaunaexpresión algebraicaqueasu vezseen _(x_ I) _ F(x+3J+ f(3-x) clasiFlcacomox-_ Resolución: en F(x+_) _ x2 Utilizandolasleyesdelos exponentess i X=4_f(5) =4- + l = n-+l _n^ '+I+n"-I Si x= o_ f(l)_o+ l _l vDe(ß)y(y)en(a) 1, n2 + 1 _(I) = f(5) + F(I) __ _(l) = l8 nn.n+nn.n-l nnn+_ n X- =X=X17l Luego 1_n Pr_Dl_m819 n+I2SjFx-_3x_ I X-_- X=Xn'n ''''' ''''' ' eronn l l n sera/ siem r ero neat_v _ -_lOparéntesis n> 2 yn eNReso_ución; .'. E(x) esunaexpresión algebraicaracionaI l ParéntesisF(x} -- 3x - 2 Eraccion8_a2ParéntesisF(F(x))=3F(x)-2=3(3x_2)-2 2_ _ _2_ 2 Praalgmg1J3ParéntesisF(FF(x))=3(F(F(x))=2 22 eaP(x) un polinomio detercer gradoque- 3 _ 3 ' cumplelasiguientecondición= 33x - (33 _3+2) p(x_ _) _ p(x) __ _2x(3x+2) 3 X- (3 - l) _lentedesute/,ml_no cuadra,t_Nco esPor inducción FFF _l0lO Resolución: _' ' ' ' ' ' ' SeaP(x) = _ + _ + _ + D_op,,e,n_e,,. DeP(x) _ P(x_l) --_ 2x(3x+2J ProQl_m_20 T, _i x=O_ P(O) ' P("l) = OSeael polinomio Esdecir D_ (-A+B_C+D) = OP(2x- l) (5x_ IJm + (2x+ IJm - 2x+ l luego A+C= B.......... (a) _Quévalor toma''m'' si se cumpleen el __ x__ _ _ p (_) _(o J_2 (3+2) _lo polinomio quelasumadecoerlcienlesy su_ o términoindependientesuman SdeClr A+B+C+D' D= Luego A+ B+c_ lo ..........p) ( 24+ _3 m_ 2Ic_ 7. 2 (a) en() g+ (A+ c) __ _o _ 2B__ _o ReSOlUCiÓn: Dato B _B= 5 _c_f + T,,d = 24+ - +2^'....(a) ''2 .'.Elcoeracientedeltérminocuadrátjcoes5.p(_) p(o) 83
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CAP lTULOl I I pol inomios Praal_m8 1_ Proal_m828 + _ _ g__g, Sean lospolinomiosidénticos DelaeXßreSiÓnP iÓnP _=X_2X +4A(x)=(a+bJ_+(b+c)x+a+c x-I p(_) B2X2 x l VaOr eX -+-tResolución: ca2 + b 2+ c2 alCUlar S_ Xt _ _ _a+b+c2 X-lResolución: Six_O_ p(-l)=O__2(O)+4PorseridéntiCOs x+12_ .__3 tX= x_ l a+b=2 si x__2_ p(3) -_21999_2.2I998+4 LUego a= b _4 Análogamente +C=2-_bC +C=2-_bC __doesp3 i(_)_44_256a a+C=2 abC- _a=C t_oal_m826 __nom__o _uecump_econdedondea b c X+1 =3fX_2fX-l LuegoenS,setiene_a_ ne_a_ AdemásF(4)=l y f(6)=4(3a)23 Calcular f(5) Resolución:Pr_Dlgmg_9 Evaluando en x--5setieneSeael polinomio P(x)=_+px+q decoe F_cientes F(5+ lJ= 3F(5)_2((5- l) naturalesyde sumamínima, queveriF1calas _F(6) = 3r(5) - 2F(4Jsiguientescondiciones: ' __l. P(3) esdivisiblepor 6 II.P(4) esdivisiblepor 7 t 3F(5)=6' f(5)=2__l. p(5j esdivisiblepor lo HallarelpolinomioP(x) t_Dl_m827 Resolución ; Calcular el grado del polinomioCondición p+q esmínimo ; p , q eN ' X,y _4Xn+Xy n+yo Re9o_ución, ll.P(4) -- I6+4p+q= 7..... (II) Por serpolinomio___. p(5) = 25+5p+q = lo n-2 > Oy 4_n>Oo _,, n,2 yn
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Lu mbrerasEd itoresÁlgebra I. Six= l ll. H(IJcomo x >_ l II.Six= l/2 .'. H(O)+H(l)=8 Entonces __ m 2_ lm2l _ PtODlgmg1_ 22 2 Si ( (t,,+,,) _ f (Lx). _ (t,,) 2donde(x,y,a,b) czo __ 2 < e< 3 En (a) calcula, f t _f t + ..... ( t Qn'+3m-l+-+2m=2Q+-t2'"Resolución_ 22 ' a_b'_ Der(l_,)_f(t_).e f(t) eaf(tc,) = he :. m = 2 __a__ _ be_ PfOal_m8 21delacondjción Determinarelté_inOCentraldelPOlinOmlOf(t,+_,)= f(ta).F(tbJobtenemos P(x)=__'(n_l)_+(n_2)_+....__''_ga+b__eaheb t__ sabiendoquelasumade suscoeF_cientesesl53 b __ ._ ta"e' _ th = e __ p(_) lUegOf(_) + r(tf) + ___ + f(tn) _n + (n_ l) + (n-2) + ..... + 2 + l = l53_ eO+e_+ -+ ..... + e'' _ e_l '- I53.'. f (to) + f(__) +.... .f(tn) = e-I _n(n+ I) = l7 xI8 como tienel 7términos, el central seráel término del lugar 9,pero cadatérminoesdelaformaDe_ o__.nom._ i a+b= l7+ l p(xy) _ 3s_+3ym+2+_+2ym 3 .'. __ 9_ set.,en GR_Gi __ Luego2m+nes: Pr_Dl_m821 Seael polinomio P(x+ 1J _+ l Reso_ución; Si el POlinOmiOH(X} SederlneaSí Enp(x,y) _ 3'5_'' ym 2+ xn+2 ym ' P(x- I) _ P(x+l) si x > l _G.A. = m+ n+ l G.A. -- m+nP(X)+P(-X)SiX
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0 fODlem_S_fO0UeStO_ I.SiH(H(x))=4x-3;H(x)=ax+bya>O6. Enelpolinomio Señalar el valor deverdaddelassiguientesp(x) = (1 +2x)n + (I +3x)n PrOßOSlClOneS: S:Lasumade coeF,cientesexcedeen23al I.LaSUmadeCOeflCienteSdeH(2X-l)téfminojndependiente. es_l segu/ Il_ H(5J= l7lassiguientespropo,;c;one,. ' III.El término indePendientedeH(3x+ l ) _ E_ po_;nom,_o p(x) e, de gr,do -2 es-3_ i III.El término cuadráticodeP(x) esl2_ DJ_F E)_ 2. se,nlo,po_jnomio, D) _VE) F_ P(xJ= 2__ l5 yQ(x,yJ= 2x+3y - 2 Hallaf el términoindependientedel 7. Sl laeXßreSlÓn polinomio H(tJ_ H(t) = Q(P(3) _ 3 t- l) s(xJ___ (x n -2 )3. x 'n -3 _2. x ' __2 A)_5 BJ_t5 c)_2X.x D) l E) 7sereduceaun monomiodesegundo grado, hallar ef valor den. 3.Enelpolinomio 3 secumplequela sumatojadecoeF_cientesy DJ4 E) 5 el término independientesuman200; según elloestablecer el valor deverdaddecada8. sNl e_ pol__nom__ unodelasproposiciones: l.EltermjnoindependientedelpoljnomioP(x,y)--(a'-+l)x"'2y'+(a+I) ^ 'y"-l esl29eshomogéneo, hallar lasumadesus lI. LasumadesuscoeFlcienteses 7 l coe__cientes. 3 n)16B)13c)1l A) V_ B) V_ C) VVF D) 4 E) 22 DJvFFE)FFV 9. En basealos sealos polinomiosidénticos aFkX=XX_2 ; fX= X+2 X_nf n7 =m- _+n- XermlnarelValOrde( lOrde( ' 3)) Q(x) = - P_' + (3-m)x' 4 ._) 2 B) 4C) 5 Establecer el valor deverdad delas D) 8E) I5 proposiciones: l. Lasumadesus coer1cientesesO ___ 3_Z _linomiomónico ; (ae&) H_lar el té__o queno dependedelaIIl_ El ValOr de_ eS 0_ l _5 2+ _ _-anable. ._) 2 B) 5c) 1 o A) VWB) _'F C) VFV D) 17 E)26 D)vFF _) F_7v __' ,-0,
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CAP lTULOl l l pol inom ios lO.Dadoel polinom iol_.Dadala siguienteidentid ad: ad: P(x) = x(_ + b_+ cx + d)dondese (2x+5)'_(x- l)7 = (_+9x+l8)A(x)+_+b ve_F,caP(x) --- P(l-xJ, calcular 2a + b. dondeA(x) = a_'+a_x4 +....+ as_ ao_o_ ',_ AJ3 B) _ c) _ 4 dete_jar a+ -. _! Dj _E)o 'lasiguienteexpresiónrnate máticaesunA)2(47+l)B) 3/47+l)c)2/47 máticaesun linomio3_/ 2 _/ 3 _ P(x,y,__) = (a-b7+ (b-c) + (c_a) , D) _47_ l) EJ4325 .eStableCefelValOrdeVerdaddeCadaUna 1asproposiciones: I.Ppresenta3té_josl6.Si elpolinomio II.P esun pol_'no_-ohomoge/neom(x,y) _(a+b-c-d2J_+(b_de) _+g(b+c-a-e_ Ill.P esidenticarnen lenUIOesidénticamentenulo lenUIOesidénticamentenulo , calcular 'lV__eSde 8radOCerOd29b6a b e2 c DjFM EjFFFF A)15 B)l6 c)l8 baD)_3E)g ..,l2.CalculaTelvalordeab_siel polinom io i a2a15 (a_I)a2al b2 E .. / X +X - + X+ X +.......nx - . CUafeVaO Cem+nCOn aCOn . talquenx0 y b>O_ escomplet oyordenadoqueelpol inomio
.A)7B)6 C)4seadegradoabsoluto2gyladiferenciade i D) 3 E) 2 gradosrelativosax e_ seaigual a6. _ I3. Si al Polinomio A) _7 B) l5 c) 13 '' px__p+_n 1 p l +_8 .lerestamoslO_y4su gradoabsolu to to .disminuye.LCuánto_aleelmenordelos _fadOSrelativos? Ax ,_ ,_3wsde_ova_. i A)o B)I C)2 _ D)3 E)4 _ + 2 ,_,e_ po__,nom_,o 9 _ _. _' ' aafeVaOF ea _a_ ' l ' EnePOlnOmlOhOmO_ 'i'.,3ababab _'._3 a6_9XtytZ '' _'1 '2__t _ X= a+ _C- X+ C_ + X ''''calculara+btC eS i ldentlCame ntenUlO. . A)2 B)_ c)o A)4B)5 C)7 Dj4 Ej3 D)9 E) I5
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Lu mbrerasEd ito resÁ .f ( J3x h ll f (2) / . 2_. Dado el polinomio queposeegrado absoluto .l X=_,aaf XenlermlnOS de_ x_l f(x). P(x,y)=2x_y'"+ _^y''3 - _ 'y''' + 7_6_'' , 6r(x)3f(x)6F(x)calcularel G.RxyG.R,resPecti_'amente. A)_B)_C) f(xJ-2 f(x) +3 f(x)+3A) lo. 23 B) 2o. 6f(x) E) _l Dj lo :,__ ' Ej _4 :, lo F(x)+3F(xJ 2_.Enelpolinomio 2l. Sabiendo queP(x) esun polinomiodegrado P(x) = 6_' + 5_4a+ 4_' + 3_'a n'' completoy ordenado enforma+2o_+a, descendente, dondeademássecumplequecalcular el valor dea, sj secumplequela laSumaen cadaté_ino del coeFlcientecon sumadecoe Flcientesesigual asu te/ rmino SUeXpOnentereSßeCtiVOeSn+l,hallaf eljndependjenteincrementadoenJ6. polinomio evaluado enAsi 2b2 c2 A__+_+ (a_b)(a_c)(b_c)(b_a)(c-a)(c_b)D)3E)5 AJnB) (n+2)(n+ I) 26. Calcular lasumade coer_cientesdel (n + l) (n+ 2) polinomio completoy ordenado b+ cdxd n(n+ l) n_3atbfCfd 22 22. si al ,educ,_,n D) 34 E) l4 x_X X_X+IX_ __;X_O_ _ _ / x _nom_locom leto __ ue/ seValOfeS aSlgnadosasu vanable 'P(x)=(ab+ac-3)_+(ac+bc-6)x +(ab+bc_9) J(x) _-_ (2x ^)^+3x^ _ _6'"+y ^ ?hallar abc(a+b)(a+cJ(b+c) A) Eshomogéneo B) EscompletoA) l60 B) l63 C) 16 l C) Esordenado D) l62E) l6Q D) Esun monomioE) Esun trinomio 2_. Si el polinomio 23. Sealaexpresión matemática_ 3 n"- l + (m^-2)y ___ - +62Y, xl_x2 _ o_ 4X=_+_ ; X_ ' ; ; 2X A)-3B)-2c)3o Determinar m (m e_'), si secumpleque D) 2o E) _o F(_)=2cuando 29. Calcular losvaloresdem y n paraqueel _= - - - - - polinomioseacompletoy n>p 24 2 p x __ 2+n_+3+ +_ m+2_ A)-2 BJ49 c) 2A) o; 4 BJ2; 3 c) o; 2 DJ4E) _ D) I; 2E) 3; 4 88
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Po l inom ios 30. Si el polinomiocompletoes de(4+a) 36. Dado el polinomio haI_ar eI va_or deUa''. calcular "m'', 5i su términoindependiente es iguaIal600 n)o B)3 c) I D) 2E) 4 A) I B) 7 C) 3l. Calcular H(3) apartir de =F(x+t) +G(x-_)3T.Sean lospolinomio s: s: _ _j -_,7+x+ _ y P(x) = 2_+5 x2+4x+ 1 __ __jx+2 Q(x) = (_+b)C(_+d)"+k K_ l ; dondei(x)- Q(x) =- O Calcular D)8EJ35 _bCda(acca 32. Delpolinomio GA(p) _ 1 I ; G.R, - G.R_, = 5DJ_2 E) _ Lueeo2m+nes 38.SialsumarM(x)yP(x,yJseobtieneun A) 5B) l_C) IOpolinomiohomogéneo donde D) 25 E) l2m(x) = axca""-b' 33. Sabiendo queF(x)= -_+x+m y (X)= X+3_ calcular a_b(a+1j ; ab_o hallarmdetalmaneraque F(G(F(2) ))'-I A)2B)_3c)3 IndiCaf el maYOf ValOf. D_2 E l A)2B) OC)!39 cla,_f_qu el,exp,es;6n el,exp,es;6nalgeb,,;c, DJ-I E)-2' _3 _,,3_ cK,_',_} = 2,_3 _. Si P(x)=x PlM(X)+G(X) l ' _+6A) Rac_onat entera PlM(x)-2G(x)I = X+ I2t Bj _,,acional hallaf M(G(2))cJRac iona_ffacci ona_a D) No admieclasi F_caci6n AJOB)l C)6EjTrascendente D)3E)8 40. Dete_inar el grado del polinomioP(x) _.iCU_ntOSFaCtOFeShandetOmaßeenlasabiendoqueelgradodeEp(x)l2lQ(x}lJes tal queP(xJseade_rado330?E p(x) J4 E Q(xJl' esigual a22. A) I0 B) l2 CJI3 A) 2 B) 5 c) 3 D)9E)8D)7E)_
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''Sobrela!._>'_,._,,__-_-o _''_'_'__c _''_v0__''_,0o,,,__,_,'_0_0,0,,,_,__,____''__,_^0'o,_,,_,_D__D''v",,,__''_D00_,,^_'ccc,o____,'c_^,_'___D^'___'0___0,__o0_00__oD,,c'_vc,,_,_'_,0'__,_00_,,_s'_,_''v_0,_o00__'__,_''_,,_c_0___,_,__,''___^__o___, _'__'_'_,__''v____Resoluci n detas Ecuaciones_00_'0' _D0,,,''__',0'''__'' -\_,-_'__i's __'___'___o_0,_'_'~__00_0,_,_____c,____,o'______0_0,_____''___,o____,___0o__o,__'v_,,90___'___,___^o_n'___'''_^_'_,0_____o,___'^''o0__,__,'_^^ o_n'___'''_^_'_,0_____o,___'^''o0__,__,'_^^'',o'c__,_^'_'^e,,,__'' '',o'c__,_^'_'^e,,,__'' ricas''_ Num sehizocélebrepor su , _' _ ; _:_ '''___,__0_,___-_ :__,,c\_'_,_','-,' __''e_'_,^,__'_,_O'__'^',^'_''_,__'_,__'__'_0__'_^'v_",___o__'''__'_ ',^'_''_,__'_,__'__'_0__'_^'v_",___o__'''__'_,___'^0___^'v',_0u__,''__i,%__,'' ,___'^0___^'v',_0u__,''__i,%__,''_o"c:^_''c_c_'_eDU'_,,_''_,_,^'__'_,00teor__aore_ __- __ 9"'__,Ç_c_,' __,_0c___0': _c0nc______0 0c_,"ev__'_ ''_,'0__, _o__'____ _0__00_oD____ 'v^_00_o_ _, ___ __0n__'_00'_,c___?_0_ ^___v _,__n,'_o_______ ''0'o,___ 0,____ '^_,'0',_n _^___,c_ S ?_ _- ' x'_/ ___,_, __,',_'^,;',___G_' _c__^o____n__^''____'__,__c,____,n,_u,,0__,_0__,_'00,______,00v,'0a_,,___,___,_'_0^o_,n,____0D_0'oc___'_____^^''_,,___,'_c_0___:^__,o,c_0oec!__v^'__''__,_,__u_'0_____^'_,'0,0_o_, !__v^'__''__,_,__u_'0_____^'_,'0,0_o_,___v_0'_,,^c_o,_,____0oyporsumatemati2ac nyracionalizai '__\. __-q'_ ._;_,_,_,,_,_'_-;__ _,_'_c__','__'0__^'__,'o,___, ''_0_'^__,_0a_e__^^D,'^c_O__^___'c_,____e,_____'__,,'_'0, _O__^___'c_,____e,_____'__,,'_'0,,o_,0o,_c_o_,^'_,_ao___0o_,'_00'o_n,0'_,_0__o_,o0__,c_____0'_0,_o___'_v,"a_c, ;,_,_^v__,0'^__,,''cc0_0,_^'_0'v,,^Oc_,o__,__^'_, ,_^'_0'v,,^Oc_,o__,__^'_, n,00,_ci delamecánicaen suobra _ :D,. 0,,_. nc__..,_._,,nc_'__^i^':._!'0 _c___ ___ ;___ __,_O'_,c_^,;0___, ^'_, _0,0, ^'D___,_ ^'''__,, ^a0,0,___ _,0q,,''__,,_o,,_0,_0,,^c_,v_ ^P'0,_0,_e0 ^'''_,_0,o _n_ _ _'_,,0 0,0,__,oo__n'_,,^'v,,_ 'c,,o__,'__,, 0^''_,0' ^'cc0_c_ ' ^,' __o__ '''a,,,_o_,,,____, _'__ 00___,o__''_,_ _,, '__,' _'c,, O__, ____, '^v,0_,_,_,'o0,, lWecani4ueAna/ _ique. 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_, ,, e_ ' :: ' , ' ' ,_ ' , L_ n_e__zÓn del __1___2to _ ' _' ' _ _nJ_njJ_J(_-)Jng_JJ(eeI i)J_JJilo ijJJpJic-rl nIgo iJJJJJpJlso eil)7posib IedeIl,gnJ-n c-oJJocpy._JJeJ Je,,_,,nJ, ', R_ popJ_lnJ- seJ_riJi_n nJJ7eIJJ_ doe__ln pn)n_J-n pnyn iJJdicnJ' de.roJJJJn _'ngn "ev_'ryeJJIndnJJJeJJ(egJ_nJJde'' u ,''siJ7posibiIidndde s,rcolltndo''. Fl_ec_l_c9ltelJlellteseciln lJlellteseciln eJ1llj1JleJ_DdeestJ_RIInseJ2e/ cielo o deeJ-nJ7os ,, dr nJ_R_Jn e91 In DIn.1'n._sloscjeJJlplosJJo so1J, des_ IIIego, J-enIJJleJIreiJ7JiJliros,sólopodeJJJosobseJ__nJnsiJJJ_Ie_'istn dos o tJ___sJJliI estJ_eIIr_scJJIJJl iJIs-tnJJtedndo. De/Jec-I1o, eJ) In _'i_rJdinJin jrJI1Jcn /eIle1JJos ocnsióJ1 deeJIco1Jr/-nJ7Josco91eI iJJ_7J,iro. _l2Inci_Jlcin, siJJeJJl_nJ__o, seeJJc'J_e1Jt_-n JJIJIcIJns_'eceseI i1J_jJ1iro, eJJocnsioJJesde/o_1In desL_o_n_.ollndoyn.HnccJJIJIc/JotieJJIporJIleIosJJ_n/eJJJlic-os e9JJpe_nJ_uJJniJ,reJJtrlJ'oIJreJleJ'I,9JnJJJe_i_n deiJ7JiJJito_' ndesc_J_l7JiJ' J-egIns _JIepeI7JIiriernJ_ _JIeeI iJ1_iJJiro eJ1grosnrn Ins_iJnsdeorJ-os o_je_os JJJate1JJticos co9JJo JI1JcoJJceptoIógico _ieJJcoJ_ocido ?' discip IiJJndo. IbnJJ n 1e?JJe_JJJJ__'IJnsso JprRsns. LosgriegDsclsi__os LosgriegDsclsi__os sólo coJJsigJrieJ-o17 Ji1JJifndospJ_ogJ-csos, ?' JJoJJ_esiJ1o /Instn eI siglo___.cJ_nJIdose IogJ-nJ_1_ pJ_og1_esosdecisi'z'oscoJJel rrnbnjo degJ_nJJr Ies 9JJnre7JJ1icos coJJJoGeoJgeC_nllror .?! JV/_l _eieJ-stJ_nss. J1_cll_so eJ7In c-ieJrcineI i1JJiJJito es,pnJ-n JJJJ_c'IJose_ecros, so In1JJeJJle7n iden Ii_ncióJ2 de JIJJn cnJ_tidnd, _J_eeJJrenIi_nd estnJJgrnJ_de_JlecoJlsiderJJ_ola JJ_ola co1JJo esrJ-ic_rnJJJeJJreiJJ_iJJirnsec_oJJ_ele J_j2 e1roJ' despJ-Rcinblc.PeJ_o, de__ev cJ1 cIInJJdo, In npn_iió1JdeI ilJJjJJiro eJJ__J,n reoJínJ(sicniJzdic_n nJgoJJJJ_cIJoJJJás especrnc_J_Jnr.-el_iJJdeIn JJJisJJlafeoJín o bieJJrJelo _lIeésfn__sL'_i_e. _steeseI cnso de/4ssi9__l_l4J_idndesde/ espncio_rieJJlpo. GJ_ncinsneJJns1los eJJcoJ7(J__rR1JJosc_nJ_an cnrn co_I el j1J_iJJito, _?'pnJ-ece_JIeJ1o__ estJJ JJ J-R_'elnJJdo nlgo JJJ2I_1Jpl_o_J,JJdo.' _,Ie/JeJ1JosIIegndo nIJilJdeI IIJJi__e_so. I'lIel1te:J'Jill_'1_irJ_'_le__IrJ_eI_7rjri{-rI.1Jr_rJi1'17r__ I_I/il/irI1_1J__.JIr_11ellI__J._.
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__ __ UltlDICaClO_ _ l
__ _Saber aplicaT laprapi_daddis_butivapa_a_ul_plicar _lin_mas. ' _Conocey eI manejo de1os_rod__osnot8ble8 por ser desuma ^_portanci_ en lasimpli_caci6n yfacto_ación._ __u_car l_ habilìdad oper__vaena1g_nosca5osparalarRso1u_i6n deecuacíones._s
lNTRODUCClÓN Sabemosquelaparteteóricadela matem_ticatienesu origen ne lasescuelascientír_casy F1losór_casdelaGreciaantigua. Unave2descubiertoslosnúmerosirracionales, enlaaún no fortalecida matemáticagriega,hubolanecesidaddecrearparalainvestigacióncientír1caunateoríamatemática general adecuada,tanloparalosnúmerosracionalescomo paralosirracionales. En cuanto sedescubrieronlosnúmerosi_acionalesresultó quelacolección demagnitudes geométncaspor ejemplo, lossegmentoseramáscompletaqueel conjunto delos número racionales, entoncesresultó oportunoconstruir un cálculo másgeneral en formageométrica.Estecálculofue creado yrecibió el nombredeAIgebr8 Geométricapuesdesdeeste apuesdesdeeste momento losproductosnotables _conocidosenlaactualidad-tienensu inte_retacióngeométnca. Algunosdeestosejemplosse muestranacontinuación: 1.TrinomiocuadradoperFecto _a__b>l ! + a_ a!2 _! a2 +b _------------;---2- + ab bab ! _!! 2__ a2+2ab+_2) 93
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Lu m b rerasEd ito resÁlgeb r4 2.0iterenciadecuadrados 2-_'_b _a(a-b) '! = a('-b) + _b(a-b)a-b_a_ _a-b__b>l l_a Sn a(a- _'J_ 'b( - b) --_çam_b__a _ bJ_ _2 _ b2_!_ _.n._...._m___,..m...hm,,__'__v___^9x'_ tmi___m____S!!_, :,;nnJn,_.mn 3. DetarrolIodeun _rinomloal cuadrado ab _ 2_ ab ,;ac+ bab;b2;bc= + + cac; bc;c2 !_._ _a__ b _c)Z ;,i__'_ + _'_' _ c _'_ 2ab,__ac_ 2bc?_; 0enN_c_6N__mu__e__c__N.. '; _',',_^'_x_'"____' '-'-'' '__ ^_ v_,_ _' Lamultiplicación esaquellaoperaciónmaIemáticaqueconsisteen hallar unaterceraexpresión Ilamadaproducto (P(x))_ ap__deotrasdos llamadasmultiplicando [ M (x) Jy multiplicador l N(x) J respectivamente,tal que ?,' x'_ =_' ' _x_. _x_. _,;__v._x,J;,*_,;v_'_ Porejemplo multiplicar x _ - con (x+_)_seobtendr_ como producto _+_-x__E _m___1__N_ X_ ' _ ' , ''_ ' Paradosexpresionesa,b, cualesquiera,seE_emplos= cumpjelasIeyessiguientes: 5.3 _l5 = 3.5 (_-l)(_+2)=(_+2)(_-l) l.Leyconmuta_v8 r____' _ t_a___=;__,ì,2.Ley__at_vg stojustif_caqueen unamulttplicaciónel '__,(__c_5 -a__' ) _;_ arden desusFactoresno alterael producto. ___' ' _____'_ 94
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_PlTUlOlV mult._p_'_cac._o_n a_geb,a._
EJemplos: ^^__ '0_^'^ __5.6__3o__(5.2)3__ _o.3 ,_ ' '_' TEog'_M_ ';,' v (_-1)t(x+1JyJ=[(3x-l)(x+I)Jype_aa,oetp,oduc_or_e_,ab,es,_a,,s,.yso__os._ b_l 3.leydela iden6da dmul_p_caa'v aASimismOel_foducto_bescero,5iY sólosi aASimismOel a=OVb=O _'__"Mn,?_ ta,l _4'_ _ m_:__' Elelementol recibeelnombredeneutro multi_Iicativo.EJe_plo_ E_emplo: El elementoneutro multiplicativode l7es (__+y)(3y-_x) _Osol4_ mentecuand_ l yaquel7.l = 174x+y _o 63 y_x-_ o _. leydel _versomultiplica_vo _. Leyd_'s_bu__ Paratod0a(a_OJexisteunúnicoelement o llamado inve,so de4 denotadoo, g-l e,_n_ _....__. ._._, Ealmodoque8.à' = 1 '"._a(b_c) = ab'?cJ E_e_plo :E__''-_'^- '-"_^-''_'' ""'V em_O_ Elinversomultiplicativode5es- puesEo 5 x5 +_2)-_,5+xS_2 que5.-=I '_ 5 l lnVerSOmUltlp liCallVOde_ - e5-3 q 2 + b3 6+ q 3 liCallVOde_ 3 2. aa=a a puestoque_- (_3)=l 3 Mu_n__cAc_6NDe Ex_Bes_oM_ _e_uN_ -'_' _ '?, _ - ,_ _ , - ' v Seaplicanlasleyesdelosex_nentes.EJe_plo 8: 8: EJemplo: 2 ('2_) = -_y ' -j1_Y(_ - _ + r7 )''-jl_Y + __ - j7 Y _r0dUCtO Recordar: .___-_ -_____ -_____ ____-_____-_--___-_ ___•__''_ ___•__''_ - ' ' ' ' ' ' ' ' ' - ' ' ' ' ' - :' 2 3 3s_ J t 3 3 7 s3 3 _J3 sg ; ; ; m _ .-__(_+ +_Y) _-iY+-XY-J-X ; Xm.Xn =Xm'Il ; ; _ Xm n ; ';......... ............ .........;:;; x" _; '--__-_'-'-_''_-_- -_-'-'"3. (x+_2 )(_ -_) _ Ultip_caC 16ndeun8e_res16ncOnO_8 de doso__ _erminos. Paraobt ener eIproducto seem_lealapropiedaddistr ibutiva. =x.___x.y3+2_._2_._ '3: _a____ .= __. 'b _ai C_l 3 '__ __, _h_, _. _,m____' ' _. __,, _' _- - Xy t 6 - 2y
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Lu mbrerasEd itoresÁ_geb _muL..n.._.___c_ö_ N'.__E'':.'__. __Nom__0s_ ... _ '' ' ... ':_,_,.. ::. Esun caso particular delamulliplicaciónalgebraica, con laparticulajdad quesuselementosson polinomios. Enestecasoseestableceunaidentidad entretalespolinomios. Demodoque: Ac,,. Bcx, _ cc,, dedonde __ _''' . "_q mult. lndicadaproducto^'___,' _ra_d0P_Q)(_) = __ Tad_0 P X_ _fadD_(X) 0por rea1izarla^___,,, ,L,,o,oo o,o ,o ,. 0 ,,,.,,,0 ___,, 0 , ,,,, ,, ,,,,,,, , , ,,,., ,, ,, ,,_00,,,,,,.,,, ._,,, ,,,,,, _,\_,__.__' ._. ,.___ ,,, d,,0 __' ,Enel casodeque_'___ entl an ame_tap(xJ__ (a_m + h)n _0 ____.:___.,,:__,,v__',,__,'__:_''_,:'.,:',,''''V'''''''''''''''''''''''_''',:'._,,':,'__:_'__,_._,'''_:?,_...__'_,M'___,,_''.__,;,m_,__e__.__'.:'; = Pvr'''^+ ...+ B__,_, A(X)_B(X)---C(X)m'"'''''''','''D''''''''''_''__'' '''''''''''''''''Elgradodep(x)ser m.n,sutérmino___,__,,,_,'' __; independien_e(+b)'' igual aD____,,^__,,'_,, producto___^^'_,,,^'__,, _mUl_pIi_dOr'^'^^P^_^^_^_P"^^_^_^_''"__^^^"'i'P_"'"'P_''_d'___'''0_'''''''i'_O''''__'^"_'^_' __0'_'__^^00'_^'^'_^^_' '^''_^'''_0"'_''"0_''0 ^_'^"'"^O'''""P^'^^^_^_'^'^i'''^'_'^^_^'"^_^__^_^"^'"^""' i'''^'_'^^_^'"^_^__^_^"^'"^""'''n0'__''__'''"_'^''_^__"'^''"_"^""^_'_^_^'^'^"^'''_^^^'^^^^^ _mul_plicando Ej emplos; EJem_lOS _ _.(x__)E_+x+________ l.SeaP(x)=_+3,_+9x+l 22 1 ____ Q(X)''3X9+X+7 .3. (x+y) x-y+__--_ COmOegraOdeXeS yegfadOde _i_(x+3J(x_3) =-- í-9 Q(x) esg J. (x+7)(.x+2) __ _+9x+ I4 _ gradodep(__).Q(x) es5+g _1_ 6RnDODEL_OLINOmlOiRODU_0__7 __1 ^ ' ' __ 2_G2 P(x) -- a_m + an, como el gradode P(x) es7(3) y el grado _e Q(vx) = b_"+ b, ; (m,n) c_+ S(x) es6(2) 2ntOnCeS.'.gradodei(x).S(x)es21+12=3__t _'_X ') -_ P ( X)_Q( X) _ Cux t "+ ^ + C1 X"' + _v _ + C3
RO_UC_OSO__ß_S/J Son losresultadosdeciertasmultiplicacionesindicadasqueseobtienen en rormadirecta, __0nsiderandoimplícta lapropiedad distributivadelamultiplicación, por laformaquepresentan: _PnL_PRODU_0SY_ABlES' _Tjnomiocuadrado pe_ectoEjempl__ ,_.._________n_-,______'_'_'__,____n__m__nn_n__v_'n______;l.(2_'+3_)' =(2_)'+_'(2_)(3vx3)+í3_)' !) a+b2_a2'+_abtb_'' _6 !_- - _'x' =X+ +X_ ...,w...,__, MM,,,.._...._..._ 'a.__.,.._u.,._._ 4_6__ 42_ _ b _72,! Ten_aencuentaQue(a-b)'-_-(b'__)i-__25__lox_y6+yI2_-_
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CAP lTULOlVmu Itipl icación algebraica __ Ejemplos: ,Corol8rlo''ldentfd8de_deLe_endre' ' _22 _ "_ 2x+3+,_!2- 2x2+3v_+_2_ a+b-+ a-b=- a+_........... _ _= , _ (a+b)'--(a-b)2 - '1ab _ , _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ (2) + 2(2__)(3y) + 2(2x)22 + 2(3y)_?2 ,(a+b)'- (a-b)'_- 8ab(_+b2) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (3) 4_ _ _ _ _J6 _ ,_,,,,__,,_,,_,,___,,,__,,,,,,_,,,,,,,_,,,c,,,,_-+9_+_+l2_+ _-+___Nm+n+ _ l m2+n_+ _ Ejemplos_ hallar mn + np + mp J,J_ _ _2Xt 3Y- X- _ - Resolu_ón = 2(_+9y') De_a__dent__ 2. (3_y+_,)' - (3ìy-__' J'' = _ ,_y. _ (m+n+p)2 __ m2+n'+p2 3y3 +2(mn+mp+np) 3.(m+2n)'_ (m-2n)'=8.m.2n(m2+4r__ _, Reemplazandol_sdatus =16mn(m_+4nl_ = 2+ 2(mn+mp+np)_ Nm n + m _ + np = - Todo trinomiodela formaa_+bx+ces_ , cuadrad_ perrectosi. tosi. ____ ólo si b' _ _ec_, D_5a_OOeUn InOmlOal _bO J_;_à3+3,---2b+3_b2+_^3''' Q_+l2x_+9c_sun trinomiocu_drado ßer Fe_lOya_Uel_'- = 4(4)(9)_m_S aÚ_ eS 3 3 _ 2 3' n_- ___ _ _ t _ _ equivalentea2__+3' 3 J; 2,Diferenciadecuadrados /"^ -- ^ _ _-- ^-_-\_? ;'"' _; (_Tb)'_(a-b)3_2a(a__3b_) a2b2 ' ' 3 3 J7_ ^ = ' . _ _a+ -a'_-2 a-_-? Ejemplo_: __ __2_2,____9_'___ _ 2,(Wc3+3?')(__35')_--(4_)'--(35')'l.(2x+3y)3_(2x)'+ 3(2x)2(3__) _6 ,8 73 7 _ + X,?- + y _3.(m+n+2p)(m+n2p)=(m+n)'--(2_)'-+54__+27y_1 =-(m+n)'--4P'-' '-'2.(__by)3__ (_J3_3(_)_b __ DeSa_OllOdeUn _nOmiOal CUadradO+ 3abJ_x_v__ by_ 2___ a2+b2_c 2+2(ab+ac+bc) \; 3s,_ x+y __ 3 ,, _y __ 4 h,_lar. _+y _ ,_ __ _sResolución: :( ba2bac2 .a' _ = a+ + ' a_ C-aC_Reemplazandolosdatos en a_ (b+ca) 2 _(b+ca)2 ._ __ 3__J_ _3 _
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__ _>t________________________>__c_____________n>___>____>__n__>s_p_>_ta_n_ta_uu_>o____>__mr_____Jeen_r>____+___r(_nex_ __>_________rroo_______a n___nm______n______>_te_o__mo_______>n__+sN____________>_____n____t_______m___q_(_>___t__c___________a____u_________________n__)_____ea(__t____________)_at_s_____________t__e____+__)_3_n(______na_t_a______(_r____e_ _t_a______(_r____e_ +n_>_+>___(____nn_c____m_rc_m>_t____t_t)+_ttn__n_____c____t_m_______)________c___o____)(_____)______a_________(____________>_+_______> ___o____)(_____)______a_________(____________>_+_______>_____>___a__o_>__>__>a_________a__>__(______+____a________>_>_____c_________ur) _____>___a__o_>__>__>a_________a__>__(______+____a________>_>_____c_________ur) ____>__n__(__________ax_t+ct___ _____+__t___)__t_>_c_n_+___t+n__c_c__nt___+3__)_>a____n__(____(___+__na____a_>______+__+_+__3_q_______> _>(__c3__)____a_J+_(c________a_v_)c__3__+()__>_(a__(ac___ _t_tn)_ _c)+(p(+ __+aa+cc)_c+))__tc)__(J_____3__a__ __)c(a)_3() Lu m b rerasEd itoresÁ _, SumaYdiferenciadecubosEJ'emplos: _'__.__)i,a_'__e___.6__2)__:.3b3;_ l.(x+2)(__2x+4)_=_+23_-x'+8 ___. __' _;_____;. -._,_'''-''_:__. . __ __:_._.____, __,... _____ ___,______ __ __'' !'''''''''''_'';''''''_''_ ''''2':,'''',.'':','''':,.''''.'''_''__''''''''''''''''',:;'''''__2'-'3'''UV_'.'_-''_'_!3.(_+6_+9_?')(2x_352)_-(2x)3_ (3?'-)3 !,'_-____;,'''_'abtb__.,a'''_.b''_. ___..:......,.._:L.._'.__ __._..m,nn_,..:;_._.,',_,.,....',y'''_:=.=';_;_.,.__._.__..,._n.nxn.,,j'_ _oD_,6 6, DesarroIlo deuntjnomio al cubo r_""' ' ' ' ' 'V'_.. 'm.' ' .M' : '. '' "'m"m_ ' '_.'"'"_^"'m"'^;:-^_ '"_' "_n 'n"mv' ' ' '__ '"''_\ _,. (a+ b' m c.._'S ;'_;_. e_ + b3._ c3 .+ '3ca,. .b) (b +c_ (_c._.a). .. ': ;Ca._.+_b+c)3___;.____3tb3..+c_S_.m.__+b+cab+bctca..._3abc_, ''''.'Ça...'mb._..c_:3=..a3________.b._3__.i.3_3.a.,Zib.__ c.)_3b_2(a+_c.)+'3c2(:a.-_b).4_6_''_'!,x EJeInplos: l. (i+x+ IJ3 = (i)'+(vx)3+ l+3(i+x)(_+ l)(x+ l) =x_6+_+ l + 3(_+x)(_+ 1)(x+ 1) 3 2. Si a3+ b3 + c3= O, halIar el valor de (a+b+cJ(ab+ac+bc) c+bc)- 3abc Resolución: 3_3+33 3+ _3++ bct3 3 _ .'. _+ + = I (a+b_cJ(ab +ac+bc) - 3abc 3+b3+ c3 3. Si a+ b + c= O, hallar el equivatentede 4abc Resolución: 3_ai+b3+3 a+b_ _c Como: a+b +c= O_ a+c= _b b+c= _a ie_3+33 Dedonde 3tb3 +c3a3+b3 +c3 33 3 abc4abcQ 7, Prod4ctodemultiplicar binomioscon un te_ino común X"x_.....,..çx,a) x,a)(x_b)__ .x':2''_'_''...ç_''.._,..___:'x.,...+........ab.::ix También: %, _. '(_x_:',_a___..'_:'c___+b).(4_ +' _^_) ,-M_ x... S + i; .+. _ +.. c'),2..+ .(,.. b ._'_b.c_'''_._ '',_ j' x_.: + a__bc. t .;,____'_';.';_';_'_.:,:._''.,'_ _: ;... .:__:'_'::_:_:''_''_.'__''..: '' -_. ::'_-:'._' ' '_ '' '''_ '--'_'' ''' ' ' ''_'' '-'''' '''' ' ''- ' '' ' '' __' ' ''''''_'__:'''''''-'-'-' '_'_.'' ' - '''' '''__.'_'_.'_ _''''''__'__''_.__.'.'_','_' ''' - ''''n'_V_:_: _i_________,_. _m'__.'''"'-' '_'_' ________''__?-___''_:'__':._____V__ _::_;__'':-''''_' :;Y,; '_.'__' '_'___.' __ :_.;' _____, 9 _8.__;;_'_._._:' ___'.'';_'''',:'_''''.''_'''(x.._-,_:_:.._;.::b.__),(x.-''_'c:___.'':__-_._._;.x.. :..'?_-''_'__a.._.>.._:i."_..::'_....:._;_..;e___. :_x;.'...._Z:'___._'_a__'_' _''':_.c__:_'_':c.______'_'J.x.-'_a__...e__'''t
_rx__________n__t______________________________s__(____________x______________ _0_________________________________________________+a_______y___________________________________________________________________________________+___________________________+____0__0___o___)____________________o___c(___________x____________________________________________________________________________________________M______________________w____________________________3____3_______________________________________(_____________________________t_______________________________+______ __________________________________________________________________________________________________________________________+________________________________t_______________________)________________________________________________________c____________>__________________________+____________________________t___________________________________ ___o_______0_______0__________________________(_______________________________t_________________________)_________________30__________0_____0________________________________________________________________________________________________________J_____________3_____w_______t__(___________N______l_ 3+ CAPITULOIV m4_t__p___cac__o_n4_geb,a__ Ejemplos: l. (x+5)(x+7) -__+ (5+7)x+5.7 - _+ l2x+35 2. (x_6)(x+9) =- _+(9-6)x_6.9 -_ _+3x_54 3. (x_ lO)(x_ I2) --_ __ ( lO+ I2)x+ lO. I2 -_ __22x+ I20 4. (x+2J(x+5)(x+3) --- _+ (2+5+3)_ + (2.5+2.3+5.3)x+2.5.3= _ + IO_+ 3 lx+3o 5. (x_4J(x+6)(x_3) ___ _+ (6-4-3)_+ (_4.6+4.3-6.3J x + 4.6.3 = _-_-3ox+72 8,Identidadtnn 6mica{ldentid 6mica{ldentid addeArgan addeArgan 'd_ !.'í''''x_::;''::2..:_:._ _.._,.,:;_ _.._,.,:;_ ;....,..:.,: ;....,..:.,: .:x:_..:_.. . '.. .._ _.__(x .___. .___..;'':,;.;?.;;'::_.;;.. .:..'?''.'';...; ...>.:::_':,._ ''__...,_ ''__...,_ __,_.,.':. __,_.,.':. .,,_...;....._: .....4,i...;.._;_ ;__.....: ;__.....: _..._,;._: ._:,_..;;_; ._;.;..___ :_.__.'; :_.__.';_....'
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LumbrerasEditoresÁ_geb,, lO_IguaIdadescondinonal_2. Hallar el equivalentede J+b5+c5a2+b2+c2 l. Si a+b+c_O5 ' a2b3c2 severif_cans,_ 2+ b2+ C2 - ^ CCaa+b +C=ab+ac+bc 2__ab2 2 2 m____e3+ b3 + cJ= 3ebc _____'"0_,. Delaidentidad Setienea= _ = c ,,,.d.,.,..,,.:,.:._.:...,:..0,:,:...,.,.,.,.:.:._..:._.::.:.....:.:...:._._.._...:....::p_.:._p_:._p.,.._..p..,...p._.,:,.:,._,,,,,;p._,._.,,,,.,0,..,,,,...,.,,o..,.,,..,,,,....p.,,,,,,.,.,,,,..,,,0,,,,o...,,,0.,,,do,,,,,o,.,,..,p..,,..,,,.0, .,0000oo,p,0,p,p,,.,pp,,.00.0,,,p,,.,0p,,,,0,,,,,0,,,,,0,,,,,0.,,,,,,...,.,,,.. .0.,,..,.0,,0,.0..,,,.0,,,,,,,,0,,,,,,,,,,,,o0..,0,,,p,0,,0,..0,00.,,,,0,,.,.,,.,,,,,. ,00,,p,0,,,,d,,0,,..DD,0,,,,,,,,,,,,,,,.0D,.,,0,,,,d,,.,0.0,,,,,0._,___,,,,,_____,.,,o __._;'-'-'-'':.:::--''-;...''-'--'---_---::___"::_:__:'"'_:/.__'_________''_"'_"'_::_''____"::._'_:'..'-_:,.__.''''.. '__''_.___._5 a2a3a2 5a75 -___,(a'+b2 +'''c_,_;_._____?'_:,._____-'_..._____.;2__:(:a..4_.__:b'__ +__c__?,._;j!' _._'''''' '_... '' '.. '__'_ '' _... '.':': ..__''__' _ _ ______ _____ ____/__:_._ ____ ___'_____._:____:.._.:: ;__. ._;.,__..._.:. :___ ,._.,,..__::_.j/_ 3. Haar eVaOr nUmerlCOdelaeXpreSlÓn '____'_._.'''''_..._.________'"'___'____'__.,3 _.__a2_b_tc2'____a'J_.;,_.b3_c3a5+b5_ S.':! S.':! ,..:.,_' ....'__:_.'_;.:.,_..:_::.,.__.... __ __-__ _>>: si x, y, ?son realesque cumplen la _.';',__::.._m_._.____:;'_,_::..n.,n__._._._....n.._____,_.:_?,.___":_:;_;;:_;__,'__:_..____..__.____ _._;__.;:_,___._.__5___siguiente ..'"__ _' _^__' ______.__:::________:_'_____:___.__,.__._.,__.__' _ ' '' _'____'_____'n_ i + _ + 2y - 4x+ 5 + 9_' O ';''__2_b2+c2_:_"a5'_'b5+c5â1'+b1.'_'.c__,X_R_./ ;''-...__. __-_._ _i eSOUClOn; i'' . 2' ..__' '5' ' _' _''.' _i '_'; _. __. _.... i_ _. _ ._____.._,_.._.. . ;__ .__' . . y_;_ El dato esequivalentea (__4x+4) + _+2y+ l) + 9_2 _ O __x_22+ +12+9,2_ '2+b_+c_ -a+aCC_x-2=O,_ y+ I =O_,?= _a;b:ceIR_ a=b=cdedondex=2, y_-l,_, _O También_ si Reemplazandolobuscadoes 2n+b2n+c2n _-anbn + ancn+ n n2 2+ 3 __ 2 /_ a;b;c_ iR n_ _ _ a_b=c4. Sabiendoque x+y=_ _.................(l) EJ.emp_o,.._+xz+yz=l............(2) reducir _ +_ + 5+n5+ _Cy_?xN?_ l.Hallar mnp(mn+ np + mp) Resolución: __ m + n + p__ o Lo pedido esequivalentea eSOIUClOn_ _X+ Y+ _ . erode1x+ +_,__o Delaidentidadcondicional __ 5_n5+ S m2+n2+ 2 m3+n3_ 3o _/ __- mn+mP_nP ._mnP _X+Y+^ =-5(_'+x_+y_) _2 3 __ 5+n5+5555 5 555 .'._m =_5._X+Y+_ ____ mnp(rnn_np+mp) ___ 1_OO
Luego
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esequivalentea
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0 fOblemaS Q_SUeItOS
i__algmg 1Resoluc1ón: x2yLa ideainmediataesbuscardiferenc iade iade Si secumpleque- + - = 2 cuad,adosyX: ./ 2 . eaCOn lClO_ n= nt,Selene 8 X CaICUlaC-n=l+-_n_-=I, Ynn R_olu_ó n: n:_ueo_ es,eemp_azad opor oporn I ../ x 2y2 n' elaCOndIClOn-t-= 2y x . _. d o,2 ,et._eneK_8 _ n+l _+1 n_,1 ,l 'UtlPlCanO -_ n _n_ + (2y)2= 2x(2y) n _ :. .: ;- ,_ a__o-- __ ''_ ,''' .,;''' _-___-_:' ;' X-2y=O_X=y,,' ,,' a28 '' _' .X_vleay _28_256n_n_+l; '- - -- - -__ n4; y Y_ ,,;' _-_+ tm_ _ b3____ 3 impli Flcar 4 ,,_ , _ +b 5 Si a'+b'+c2--3 n ab+ac+bc= 2_ hallarelvalor 2+2a+b+c2+a+b+2c2 R_oIuci6n: R__uc_,o/ 3 b 5+ I EFec_ando yreduciendot e_inosseme_a ntesse _dldOeSeqWValentea_42+b2+2 _ tlene= Reemplazando datosQ= l4(3)+22(2) deldato b3--l 5_b3b2_ _ b2_b2 ''' b4_b3.b= l.b=b 3_____2+b+___ eaPX=X+IX-l +X+l 'X+ 2b+ _b2. = = - eeVaOrnUm nCOde 3233 b4 b b Re8olu ón: Enelpolinomio m_l_mgg_, .endo en cuen_ n2_n+ _. n, _+ P(_) =(_+1)(_- 1)(_ +_+1)(_t-_+l) _ducir multiplic andocomoseindica l n2+l n4+I+l -- 8 n' _ _ _ P(?)=(_3+1)(_3- 1) nnn_ P(x)=__I
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_u mbrerasEditoresÁ_geb ra Delacondición PrgDlgmg_ 2Determinarelradodelroductodemult_ti X__ lospolinomios 12 2 2_3 32 __2 5 _x2__4+_+4__s_24+_ ___ X+ X+ X+ X + ..... l6- l5 4lO~multiplicacionesindicadas Resolución: ._. _ = 8_2(IJ_ _ = 6 s_. asum,.mosqueel po__.,om,. tendremos ReemplazandOdatOV.N. P(X) = 6'_ I = 2l5 gradolp(xJl= 12.2 +22.3 +32.4 +42.5+....+ lo2. l l 2 +l2+36 +80 +.....+ l lOO P_Dl_m86 Desdob lando .2323 23 _ 3 l + =X,= N___ oAgrupando C_CUar__Xt 2222 33 3 Resolución: lo.l l.2 l lo. l l 62 eaa+X--a_X_ mult_plicando Hcon lacondición= 5_ l l _7 + 55'- "55(7+55) = 55.62= 34IO (_ax+_x)(_x-_ax)=2xH _e_n_ade_d_d_ _rgQlgmg 9 Con a+2b+3c= I,5x (a+x)_(a-x) =2xH_ 2x =2xHs.lm p_._ .'. H= l (x_a)2+ (x_2b)2 + (x_3c)2 2(a2+4b'+9c'} Pr_Dl_m8l .e_redodel o__.nom__oResolución: n(2_7+3___)n 2(3+_)3 es47 Desa_ollandolosbinomiosal cuadrado en el numerador _10__ etermlnar COe. pnnClpaeX2 +a2 + 2 4bx+4b 2 + x2 _+ c2 Resolución; 2(a2+Qb2 + 9c2) GradodeP(x) = 8n+3(n_2)+3.3A grupartérminossemejantes EntoncesI In+3= Q7 _ n = 4 t 3x2 - 2x(a+2b +3c) +a2 +Qb 2 +9c condición2(a2+4b ' +9cJ Ahorareemplazandoen eemplaZandOa+2b+3C=I,5X p(x) = (9__I)4(3_+2__ I )2(_+ seobtiene Finalmente___+ a2 + 4b 2 + gc_ IO_og _o _j j j '_= =3 2a+4b+9c 102
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C A PI T U l O I V m u l t i p li c a c i ó n a l g e b r a i c a
_r_Dlgmg 1_Llegando aesta Formaserá fácil inte_retar quela n b n únicarazón dequee staigualdadse justir_que Si - + - = I I (en tR) será cuando ba / iX_l!__;y_2;__, _ !,_=3;!. (ab)^ Re,o_ución; Finalmentereemplazando en nl tener unasolacondicióny existir tres___ _ incgnitas_ noquedaotra alternativamás quex3 Jy3_ +__36 buscar unarelación entreel numerador y denominador delo buscadoa partir del dato. Estacaracterística naceráde un trinomio cuadrado pef Fecto. Paraa_b x O 2+(ab)22_4az_b22 Simplir_car + _ a^ bn __a3b32a3+b32 - + - _I l .... multiplicandopor (a" bn a"Resolución: (an)2+(bn)_-'= l lan.bn.... sumemos(_2anbn) Operemosy Ordenemosconvenientemente, 2 n ,, n _ buscandotener laidentidad conocida. Así por a'a+ =a. esun
trinomiocuadradope_ec toaa-
Ira.Legendre trayendo raí2cuadrada n_bn2_9 n n a n _ b n _ 3 _v a a + setienela 2da. identidad deLegendre consigno negativo a^_b"_ t3 a^b Luego al reemplazar en 2do.legendre PfOalgmg112(a2Tb2\ _4(e2__b2_J4_/,__+b2_J/a2 bJ__7)i: x , y , z s o n t r e s n ú m e r o s r e a l e s q u e v e r i r _ c a n J 4 , 3 b ! 3 / _ ' !l 4 J , 3 ! b , /
proporcionar el valor de .o,n. Proalgm813 ,c__ona_ estab_ecequex y zson Alreducir laexpresión reales, su análisispodrá darsebuscando la Fo_acióndecu, d,adospe,fectos Ennuestro seobtiene e_emplo, siag_pamosté_inosbusca ndolaResoluctón: (ormación deTrinomio Cuadradoierfecto COmO 2_4y+4)+(_,2_6_,+gJ__ x_ l 2 + _2 2 + _,_32 __o 2da.Lee ndre
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Lu m b rerasEd ito resÁ
entoncesreemplazamosenlaexpresióninicialiroDlgmg1_ E8ab + a' + 16b ' ] _ (4b - a)' "-_(a+ 4b) ' ' (4b ' a)'- _ara: x_o, simp1ir_car 2+3_ esun T.C.P 2da. legendre 23+ _3 _4(4bJa= l6abRegoluc_.o, En el denominador,desarrollemoslosbinomios: rODl_m8 i_(x+_J3_ _ + 3__ + 3x_,4 + y6 _+ (x _+ y, )2 ' X+_+Y+__ ' - _ ?+Y(x__)3 = _J- 3_y' + 3xy4 - y' 33 J. .X'yy'?__7 Sumemos fedUClr _ t _ + __yx__v__ _y (x+_)3+ (x__)3 = 2_ + 6_4 Resolución: = 2x(_+ 3y4) Como lacondjción esúnjca, peroexjstentresPOr lOtantO variables, entoncesreduzcamosaFjnde sreduzcamosaFjnde visualizar x 2 + 3 _ x 2 + 3 _ 1 algunarelación__ 32 3_2 23 _- _x 2_ X+y tX'y XX'1 X+y+2_+ X+y_ _ ^ = _X+y l l ra.Legendrepiovienede: i_O_l_m8 1l (X+Y+2z)"'(x+y-2zJ'-Cumpliéndoseque luego ab(_+b) __.. .. (_ 2 _^ 333 +3 obteniéndosex_ y= 2(__yJ 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' Y"_=5"Xelvalo,de.a2b_a2+b2será.. x+y=2?Re,o_uc_.o,n. Al reemplazar ar lasequivalenciassetieneco m o a7_ b + ab7_ _ _d e_ aco n d._ c_. o, 33 3 _2(5 YJ+ =_X + __ __(2J3+(__)3+(_)3__g elevemosalcubo _"Yx-_2_ a6b'+a3b6+3a3b'(a2b+ab2)_a _r_Dlgmg155 Con _+y3=I _x4+y6=2, 2 elvalorde(__y'J'--x4_2___yG,es:Deaqu_/a3b3_I Resoluci6n:2 Sequiereconocer (_ - y")' _(x' + 2_y' + y') = ___ a4b2+aab_ + 2a3b3 __ _ T.C.P. ,2 22 _ " a-ba+b +2 _- _ a-b-(a+b)= 2 2da.Legendre P__l_m818 Of Otfaßafte, eleVanOa CUaradOap_mefa _./ Sl 46 _ _ _J3 - - x_3 a+ a2+ b +3 aa2+ b 22 2 3 2 2 3 Finalmen_e__y3 = _2(2__) = 2 .'. lo pedido resultaser 2 obtener el valor de_ + bx + a 104
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CAP_TULOlV Multiplicaciónalgebraica Resolución: Resolución:
Estaig_aldad severir_caa si: en_onces 2 2 ior dato adicionando: - 3ab
segundomiembro Como atb_(a-b)_ = -_ab aa = _2 ' + _2 - ' 3mn m+nA_ ree m _a2a, en ab _ ab _ l a-b)2 -3ab 3 pero 3 2 J_2 3 _ _a__ _a_ _a _ b Con._+_+_3_3 2 2 2 3 reducir
__ o R_soIu_ón; Recordemasque _m_ S-lmpli F_quelaexpresión 3 _ 2 2 _ 2 2 9 2 2 Llamando a(x+y) (x+?J(_+y) = A _ _n 'm n 'n -3m n m+ _m'n _m'n set_ene (x+ +zJ3 __ 3+3A i_OlUCt_n _queal sustituir enlo feque_do _remosenelradicando 3+3A-2 __3A_ _ n_ m4 + n2n_ + na3m2nam_ n2_ _3___32__2__23V pro__8mg__ _ el desa_Tollo deun binomioal cu_con abc_ o n a+ b + c_ __enehalle el valor de 2_n2 __mz_naK__+ + _ Re&olución: __2_ como a+b+c=I elevemosalcuad_ado _ a_b; afb a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)___ ab llamemos4_'' a: ab+bc+ca_
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Lu mbrerasEd itores_geb,a itores_geb,a Así mismo elevando al cubo a+ b+ c= l De( l) al cuadrado: a' + b3 + c3 + 3(a+b+c)lab+bc+cal-3abc= l 2+b2+ c2 l_ 3+b3+ c_ Reem_la2andOen KSe tiene_ a'- + b2 + c_ _ __ l-2al_3a_Il_l 2 3 2 3 6 D e m o d o q u e l a e x p r eisó n q u e d a r e d u cidaa __ _+_?i_3_ _-K_- T 3_+___+3+b3+3 6 = _-_aCPero 3 3 3 abc- __7 Cona3+b3+c3=Oa_ =__C3alJcX' -_ reducir a(b _a) + b(c-b) t c(a- c) ab+aC+bC Re,o_uc_6n; _ plan_eando laidentidad Gaussiana= -2_ 3 J3 EntoncesT _ 3,J+ 2x3) a+b +c- 3abc_- (a+b+c)x - ' .'. T__ O 2_b2+ 2 _ equ; 3,bc__(a+_+c)(_x) Pr_al8__2_ Reemplazando enla expresjón,se tieneCumpliéndOSeqUe (a+b+c)(- x) X+b+ C= 3at _ __ - - _ _ - - _t t _ t _ (IJ =a+b+C _ e2 b_ _ c2 Y+ c+ a= 3b............... .. V _ +a + b =3 c ;a b c _ O . . . . . . . .( 3 J -_' _. Lo pedi_o esa+b+cDeterminar el ValOf de 3+ 3+_3 S_ X__ ffa0_g mg2q aa2 _bc) + b b2 _ca_c c2 _ a_ Sabiendoque conabCf a+b+c= ,x .................... (l _ (2) Resolución: Sumando lascondiciones(l)_, (2) y (3) T __(x+a)3+ (x+b)3+ (x+C)3_3,bcen té,m;no, X + Y+ _ + 2(a+b+C) = 3(a+b+C) de,_ x+y+_=a+b+c .o/n. Usandolaidentidadde Gaussen Al desarrollar laexpresi6n .9 _ ., x3+3+,3 = + 3(a+b+C) + 3(a_+b-+C- _ s- __ - X__ _+b3+ 3a3_b_t.c3
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CAPITULOIVm4_tip_icación a_geb,4i
Z+ _+?2x , _x Detennjnarelvalord S_ X^ N_ a'+b 2+c'-ab-bc_ca_ a 2+ y2+2 __y z, xb --j jbj 2bb b a+ +c-a-C-CaC (x-yJ2+___)2+(__ -xJ '_2 2 2 Resolución: a-b +(b-C)+C-a SandOaldentldad COndlClOnal Setlene 3 3g3 De(_) ,- (2) x_y _ 4(a-b) 9 _ 9' 3' a2 ab2 (2)-(3): y-_=4(b-c) ' b2'c'c2 (3)-(2): z_x=4(c-a) Reemplazando ensO_erandO Jt 3+ 3 _- 3.3 2+4b_c2+4c_e2 _ 16 2+b_c2+c_a2 323 32 Dedonde-2 + =O _Dl8m826 sabiendoquee l polinomioV P,_,.,,_,,= (x + y+_)2- _ - _ - _' T'C'P' 2 seanulaen _,___,_ _ ot a__b ab cb 3 b3 cJ Reducir _aa ab _bc+caaC Re8olución: EntOnCeS -b = -2 _ b (._,),=)- N4 Porcondición l l l( _"___ )- ' '_b '_c'_a'-dedondee +b+c= Osi al2+bl2+cl2__ g.............. ... _ . _ _.ol3+b3J -a C a d e m á s Moraacond icionem oslaexpresin 6 p e d i d a a b2 + b c 2 _ c a 2 .3a'- (a3 +b' +cJ) _3a3 _3abc_abc "_a+b+c._...... _ _ (2l ab+bc+caab+bc+ca Calcular a'+b'+c6 3a(a 2 - bc) _ _3aie,o_u__o_ a ( b+c J + b c D e l a c o n d i c i ó n ( 2 )s e t _ e n e 2 a + b+ c - a b - a c - b c abca+b+c __8 ._,eque (a+b+c) fa2+b2+c2-ab-bc- caJ= -3abc 92g 9 a+ a+ b_ a3+_+cJ-3abc(porlaidentidaddeGaussJ 2c c 2 d e d o n d e a 3 + b 3 + c 3_ _
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lu mbrerasEditores_geb,, mbrerasEditores_geb,, N_endo ueai_x. _3_ . c3 Reestructurandoen función aestasletrassi x + y + _?= _ __1 _4 _= -''"tt'_'''Nt'_N__ l _+y3+_'=4, x+y+_O .......,... ..........(2) _+_+ _?2 _ 7.7.calcular E _-_ +_ + X+y_ y_X__+_ eCOfemOSqUeSe_UnaCOnlClOnal (_?+ _ + _2)4 = 4(x4 + y_ + _')2 ReSOlUCiÓn_ .. ,7+ _ + _,_ __4 Anali2andopor partes x+y_ = x. l + y__ = x(x+)_+_) + y__ = _ + _+_) x+y_ = (x+y) (x+_J Sielpolinomio: p(x) __(_+m2+n2)2+ h(x4+m_+n4) An_lo__mente se_nulapafax _ _m_n_ hallaf el valor deh Y+ X__ = _ + X) _ + _) Reeoluci6n: _ + _ = (?+ X) (_ + y) Dex=-m-n_x+m+n=O .c__ona_Luegotenemos _x+m+n__o eI + l I _(x2+m2+n2)z_2(__4+m _+n _) (x +yJ (x + _?) _ +x) _ + _) (_ +x)(_ +y) v.N-_2(x_+m4+nJ) + h(x4+mJ+nJ) __- o _ __ + _J+ (Xt _J+ (X + Y) = (_+2J(x4 + m'l + n4) _ o(x + y) _ + _) (_ + x) oE_2(x+y__) _2.l ..__ -2(x_y)__z)(z_'x)(x+y)___)(_+x) Proalgmg30 Cálculo de(x+y) _+_) (__+x) s,lJ__endo queab __ __ 3_(3___) x+y+z= l ___+y3+_'+3(x+y)(x+?)_+_)= I (a2_b2_I )'"_ 1o_ ' 4 + 3 (X+Y) (X+__) _+_?) = I _ alleel Val0T deK= - 7 + (a+b) ' (a' Re_olución: ve,mosK__ 4__ 7+ 8ab(, 2 + b2 j ReemPl_ando (_) en (_) 2 .c_.onesab__ 3+__ E'-=.. 2b_ _ + 3 PfOal_m8 92 SlmISmOa+-= artiendode l_ l____ I __ 3 3 3__ _ _ab(a-+b=l+l-+Y-_=_l_ I____x_ l sumadecubos = l+lO= Il _Q =_t= 3 g g g ty+ +?+?+X .'. K= 3 (x +y)_+ z)(__ +x) 108
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CAPITUlOIVm,_t;p _icació,algeb _icació,algeb ,4; ,4;
Resolució n: n: _3 eb (a+ b) + a3 + b3 _zandoor arte s_x s_x + y = 2 ab _ 1_4(x _)1_l l_ 4 3 _x _y _ 2ab
_ __- x)___ ____)= 4xy 2 AnálOgamente _X_y= _X+ i 2__b _ X+Y-= X-y _ (x+y)3= (x-y)(x+y) = _ _y2 _(x+y)'=ì_y2. ............ , ....(l) ReemPlaZandO _ .__ 2 a+b)'__ (b-a)'3(a+b)_ (b-a) _náloga mente,_elasotrasdoscondicion esE esE' _2-_'__ ab 2ab323 enemOS . +_3_ __,_ 3 __ ___! __7 Reemplazando el valor deab= 32 Sumando (I) + (Il) + (III) b 2 b 2 3 3 3 at -aaX+ Y) + + ?+ ?+ X-"-l6---16_'-l_-4 9,9_9_ 3,3 (_+x)3 ._. E=8 emßlaZandO 3 3(x _ y)3__ _)'J(?+ x)3 _3 (x+y)_+_)(__ _x) 3 Si (a, b, c) IR, calcular _ si secumple 2 mQl_m833 222 allarelvalornuménCOde:qUea-' 2 2 Resolución: 3( )3 -h_' -DeldatOßOr _ando 2aJ- + 4b'- - 4ab_ 4ac + 4c'- = o 2 x=I,5a+O,5a_grupand o convenie ntementesetiene '_ a2+4b_J_4a2_4ac+ 4c2 y = I,5b + 0_5b ab= 32 .o,n,(a_2b )2+ )2+(a-2c)_=O_a =2b..a= 2c 2 X_-a+-- _ 2 2a _ 'J2__ _ a_a-_a y __ - _ +-- _bJ_b_ - _b2 ' _ 2 2b ^_ .C.C
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0 fODlem__ _fO0 UeStO_
I.Hallarelequivalenteredu cidode: cidode:61,3 3 _ Sl n+ - _ I ,CaICUlar el ValOf den- n _(a3_2)2+í2 +a3)2__.............. ...n 22 ' n+- - n-- =- ............... nn_ 2_b22_a2+b22__ _ (a'+b')' + (b'--a2)' -__ .... . 7.Sixy+x_+xw+y_+yw+_w =O, 2 ,2 2+22+,222_22 _ __ _ _^ __ ............... reduci r ^ 2 2 (x+y+?+w)' lI4 . Sl - + - __, determlnar el ValOr de: A) l B) w2 C) í-w2 XYXtYD)+_?2E)J__?2 x2 3x+y8. Sabiendoquelresnúmero srealesy srealesy positivosa_byccumplencon A) oB) l c) 1 1(b+c)+ l (c+a)+ l (a+b) _ I ab c Y(,+b+cJ3 3.Dosnúmerosrealescumplencon_SlmßllrlCaf,.' 7' a3+b3 _+ 2y-+ 2= 2x - 2xy 3xy se,a/. x2+y3 A} l B) 3 C) 9 l E) l A)-2 B)_I C) l g g l 4 _ J_ _+ _. .7 7 . Slseverl Flcaque a+b_-ca_b-c_b+c_aa_b+cA)iB)_2iCJO a+b_ca+b+ca+c-bb+c-aD)7E)-7 2 Determin arelvalor arelvalor de_ _oA t. 2+b2_c2 . parlr eX+y + _ = í+ y'+ ?2= 9 A) - B)- C) - _+y3+_?3__ 422 4 - determlnar el ValOr de _+_+,_ 5.El equivalen tesimpliFlcadodela expresió n 9 m6_m3n3+n6)(m6_n6)_m6+m3n3+n6J+n)8 A) I B) 2 c) 4 se_rá: 33 33 33 2 c) 3 D)l6EJ64 mm-Djm6 Ejn9 3333
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CAPITULOIV mu_t__p_._cac._o_na _geb,a_,
Il, Sitresnúmerosreales a_bycve_r_canla sA) l B) -lc) 3 igualdad es3 es3 _+ba+ca9gD)-XYE)-- 2 2_ (ab)_ + (bc)2 + (ca)2 49 ab+bc+ ca= -7 _na,elva_orde' l6.Cumpliéndo sequea+b+c= sequea+b+c=O 3 3 3 el ValOf FedUCidOde a+b'Ct +C'a+ C+a_ abc_(a2+b 2+c')4 - 3(a' _b 4+c4)' ;Sef_: 1 + b4 + c_ D) 8E) 9 A)-11 B)-7 c)l __ seeal I I ' laeC_nOUCO D)7 E)ll 4+b_+c_ reducir: 3 _ b 3 + c3+ abcl7.En basealascondici 2+n2+p2 a+b+CB)ab+bC+ CaC) CaC)abC D) a_+b2+c2 E) l mn + n_+ _m __6 mnp= 4, l3.Sjendoa,byctresnúmerosFealesqueCUanliFlCaFelValOFde .d a+_ _ 4_l _ CUm_len lal_UaamnnP+Pm+mP+n lal_UaamnnP+Pm+mP+n m+_n m+_n 3 3 3 , Ademá+ l< a+ +C= aCya emaSa+ +Cf _ 2 c3 2 el valor de_aes: AJ64 g) _56 c) _92 12 +bl2tcI2 D) 128 E)256 2 cc3 I l8.Si (a,b, c_x, y, _) cl_, queveri Fjca 3 (_+b+c)2 = 3lab+bc+ca-_' -y"-_'l I_. Simpli F_car El valor de _ . a__ +b7+c7 ! '!-X_ '-X' P-X'q ' X ' Z+ X_ P_ X+ q+X(_+_+_3+ 3') 3') es: y2 + z' + p2+ q' (a'+b'+c2 )(a5+b'+c') i x+ _x2__2 __2 __ _ A)oB) l c)3 A)oB) 5 c)25 D)9E)27abc D)_E)-25 ' ?2__ 15.EnbasealasCondjciones_+y3+_3=7 3 32 3 32 ___'2x y x__o33 ^ + - ' - - _' = X+Y''' detennlnar UnOdelOS ValOreS de _+ 3+ ,2J 3 _N- 3_? x' - y6= __' yq ............. (2) xy 3 A) o B)-6 c)-2 __ __ -3
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_ __ _ _____ _ __ _ _ ___ _ Lu m rera5 r a5E itores ef4 20.Cona+b+c=tthallarelvalorde. lorde.4 442 _b (a+b) 2-(a-b) 2a3 _b_' + c3_ 3 L__ +b2 t c' . A) __ B) _ c) -! A) o B)2 c )-I D) _E )4 27. si a+ __b+ 2l. Si x'_+I _O,'_ ____l , calcular Calcularelvalorde ,K2 __ __ _ A) 2B7 0C) l AJo BJ_ c)_3 D)- l E)'23 _c+ba_ + c2 elvalorde_a_a_c __ _ _ 2c2 b_c_2a2 I2 A)3_) 1 C) l/3b2 , , (b - cJ(c-- a) (c- a') (a_ b) (a- b) (b -- c) D) 36 E) 3 2 A)l 8)a+b+CC)O, _2 _-y'_._-+y)(?-1) (x '_ _+_) .x+_'_) (_ _ y) A)9B)_C)25 D)-7E) 1__ D)2E)27 2_. Si 2"+ bc_' bd+ cd= O,calcul_r (c__bJ(b_d)(c__d) 4a_ (a2 _3b a), (t7 _ +3a_) A) __)_7_ cJI A)4 B) l5C) 5 _) 2_) oD) 10 E) I6 112
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CAPITULOIV muft._pf__c4c__o_n4_geb, 4__ _a+ c__ 2+2 2 a3+b 3+c3_3abc D) 2(p_a) E) 2(p,b) calcular q+b4+c4 . 3l 3I . l X+-_Y+-_ , aaFeV_ Orde 3 z3 D) l E)"2(_?)'02_l . _x _ I _ l ca_cu_a , A) 2 B) _ _ c) o x-l y D)l E)-2 (I +y')( l +x ') (x+yJ2 ' _22 37. Reducir x+y)2 l+y I+x x 2+x+ l) '_ - 2 (x 4 +x2+ l) _ (x 2_x+ l 22_ 22 + + X_+X' A)2B)_c)52 AJxB)IC)ì D)-5 E)-2D)x2 E)x _ 23 38.Dadaslascondicione s 33. Siendoa+b+c=O hallareleuiva lente2 2 2__ de(a+b+c). (l+ab+ac+bc) _ 32 calcular a+b+c (a' +b '+c')(2a'_b 3- c") a4+b4+c4 A) 4 B) l6 C)64 3 A)aB)-2aC)2a3g s3 3 lend0 ab__ + 'aE 3a J a+b_I =_0 _. Hallar el valor n__méjcodehallar 3ab(a+bJ 6_6_,4+9x2 3 3 A) 4B) I6 CJ33 _araX_' ' 3 D)_EJ2 n) 28 B) 14 c) 12 4o con, c.l D) l8 E) 16se_ún e__o ,educ; _ __ a2b22b 32 3a2 _ eUClf aeX_reSlOn - + - C+ C' ab bcac 4(a2+b2+c2)_(a+_-c__(a_b+c)'__(b+c_aJ2 A)abcB)-36C)l4 siendo:a+b+c=2p _l4 E) a+b+C 115
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; CAPITUl0 ,. Dlvlslon e_nte_fa '_..1 de_poJinomios
Ren Desca_es (1596-t650) famoso fifósofo, matemático,bilogo, bilogo,fisicoyeminenteastr nomo v,0.,_,vg,;___!x,.. ,,'_.____?o.__,__i,0_g:_.,;.0;____..._; ____;._o____,,_., francs;esautordefm todo llamado. ,,__9..,_,-o.__o.._____d_0_., i,_.^,__9.'__i__', ,_._,.0__0_,_,0_.0____:;'_ ____!'.__.____'_d_..._._?_,__._, __,_',io,i_,____,d.^ _,_____'..;0_'a.0_,_'____' _o,,____..:--______ii_;, _ _i_.i_'.__i__'___i' ______d__''_,___i_'_____'_0__'' d,__ __''_: __._. 00_0'_.__d_0___"'___,?_"=__d_,,_ __''i'__^ 0j _'__i_-__'__'_'^'___, _ _9?'._. ..0 '.__.__. ,0 l an O. g_,._,i0____i,_, _Oa_0_,.i_'__.__ g_,_d_0_,9',_e0,__'.__'____,_9__l_'_. ,__,,,o _?:_i_. '___ _'i__i_.g_._..__,_,| _i_ _, ,__._ _. B__' '. _o___., ,_.,;. _ g''__,_,gi;,__,_0_. ,._,_ ______o_,____l'__ ' i. i_____'_______.___'_',_,.',__? ''_'_'_',_,___,a '_''__'__'__' _'__'0'_0.___' 0___'_'_ "____"''''_____'' ' _"'''_'_^'_" ' _P''_'i_''_____,-'_a__0__0___,____o__., _''_____''__D_,,',__,__-:'_ __''' _'__ad._',__-__' ___0__ D__ _i_._'"_ _,.___0: '_, '_ ' __ D.,__0,_,__..._,i_i '_^._,___i.,._._.. _,,,ii.,..' 0'_,_._..a,,'_,,_, _,__.,_;.:;..; :;.,.;... ...____'__i .i...____.__o!______,i.._____; :'',.___o.._,_._. i.o'D__',.. t am bi nl l am ad a'' Geo m et ri a,o__'__,,,._.;g_____'' ',._ 0_o__1.i, _,___i__ii,'_ ___'_._._r' ______..._._.___.._ _.__;;..___d___,'_.';; .';; .p ___,0._.'__,.;;_a.: _,..o__.'0.a..,0i _i___,_ ..;..,_., ,.-,. '___'_, .__'__00.__,D ,__ ;,_; -'0______'_,___,0a________. o_d_,, 0__., _O_,', __'',0._o_ Ca_esiana'' Ca_esiana'' enhonorasu memoria.__.^ ., _'g____'___''_____,,.,__g__,' '.,_',___i,'' '_..,_'i_.._,, ',. _______.._...:.___.;;; ;_,__._'__ti__'/ '_'^__."_=_;:_.='__._'__' ' _:i____.'_._,__, ,___,__,_'0_0_'._'._.___0__. __"e:__._'.____' '__''_,__i _,.,.. Eset estudiode lageometrí a''_0_i__0g_' _.0i'____,i__',.._0.0g_' _____,'_,o.?_,_.:_v,_,_: __'___;____;__'...;_______d_,___; _.': _?__.'';;_;___,,. .__.,..._''___dg_ ga__g_."____._,.____g..?___. ____0___,_,,0__..,,___.0.0,_D_;, ,________,;._.9; ,__ , medianteun sistema decoordena_ ___:__'_._______l__.0_,o___________.,a___0___0i_ _'''.,,__oo__'.o__'__o, ___'','_______',____-.___;_. ;,_::..__;_'' _'''_ ' ''' -_____''.,i__,_____'_.' o,_''_'.._,_'__,o, 0:,._,__,i0'i,_____0' ___g.,___'o______'D_,_:__-o":__X__ 1__-_ ''__,,_a___0'_''o, ___i____9|____'_i''' '_,i___0__i_i'___'' :_ ii____''.____"_;_'0_ ' __ ' ___o__ili_'__9_i__i'' _"0_i_.__'_•____,oi_ii__,__oi _'_'",','_'_i ',_o_i'i._,_,_,___ _'__,_'"'_:__.' _, aS. _ _d_' _,i._._._,,?__'.__ ,iid__9__'____i,,' '_.i._i_i i'_ ,..,'___ __'_g__.__iii,'_' __'' ,__,,i,___0__,, _0i_ i.__o.,_ , __.e_._i___ g__ 0:. 4_ '_: _.;._' ,i ,ii_'____ 0____._',,. i_''__'. ,_ _'_i_'i _'i__g_l, ,________ ______'___.__B. __o ____'_ _,_.__' _. ____,___ ,_.,i_ L ao b,af_ t osófi c, máx i mad e___.g_0__ ____. _9.___,.__,,__._.a,.,_.,__._ ,,______e.__...._. .,i ,_.g_i.. ___..,_'...._,_,_igg_ ,'..0_ _._o'_.__'_._' _9._._0 _''_"'' '_-'' '' _._:' . :._ .. ____._;;_,.;v_';_.d' ^ 'd'____.?.'' __''i_,__. ._,i,,' _.__!_.8...__, ._'_ ,'....i, .___. ._.. ,,.. __e,,0__,0'_0oaoo._ .___. ."i.. __'__... __o,.00 g'_'_'__o..__ia_.'',, ,_,, ___ 0',,'_,,,i,,;':; ,_... _ Desca_es esE/ discurso de/Método._...____0e _,,. ,,_,_p_o ______i_,__,''='__.____ ,._g_._0_o. _'0__'0.,. ,_',_,'._,_.._a,_. .i0i ,l,_ili'.''0.__?,_,' '___ .i..i__,0.o_,.',.,,;; ,_;_. .,.,_.,,_o.;,;;,,;:,._., .;_..;,;._.,, _,,o._.,_.._.o,__:______' ''i'_^' '''' _.,=.^ _'__i_'"'_'''^'___' ''___æ ___'_____,_''', .,__. _g'_'._.__'_.. __?__,g,._''___'' ,____,9__',_._g ,',.,'_e_0 ,',., e__'''0____ ,;_ en estaobr abusca el fundamentode ''_'^_''__' 0_a'i'i_0,__0__d__io_',99. 8____'_'__ii,_.__|"' _i___,_::?,_;-: ,__i____'___'_i_'_t__', ;__o_.:;_:___';_0,' .__._.o,_-,______,_ lacerte zaen el hecho indubitablede0,i_i _i____ -_0'_____%:_%_____i__;_,; .!'---' __ '-'_'_ i____ ,, __._|'.i_'___i ' _._'0 \_.._,__'_'___,'_._', __'_____-. ,..' ' ..,_ _ _:_ __. : ,.___- __' ,'_ .; _ . aCOnCtenC tadel prOplO _enSam IentO, ,_.'______'___'_0,.,i__0__.'_'"! .Ç:_'' _.__._'_':; ' _..___'_o ,.,,_._ .,,:;'' ' __ ___'_,'_.:,__'v' ___'___:5..__.i.' qv :_.:'::__.,' . . .. '' En el _mo del l ebr roun _'___q___0',:00____'0,.i__'_i__''- _':' .._..::_: ,__eo__',,'_o.Dg____' L^-_D__'_;_. _.,,_-,_..,'__.___: _'' ;____' ___'',_____..._; .___..___t;;_:'_:_. ''_i ___ __. ;_ x__i:' . __ _9_"o' __ , __, _"_________ __._ X' '_0_ __ ' _-_ , _?____;i'' ' i:' ____.._ teoremaimport anteque permite... . ,._' ,'ia'_ ,''i'___..;_;' ,,0__0_d,a__'_,,___ep0___,,'__o'_"^_, ''?i ;_,_.__,_0'_0'_:O__,5'-;____'_:__ __e_00'_ __..,;;_'_. ;_ _.____''':_:'' ' _:_:_''.,i= _'' hallarelresiduodeunadivisi n de_'____,,!^' '' .__''_'.___d'00_0__'' _,___Y''__,__'ee'_:_' ___/'' ..;?~"''' _ _+ ____'' ,';__...-i'"' _''"''
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__(___________________________________0)_______0___D_______o_0____0_________p_____________________D______0________0______p____________D______0_______D________00____________0__________0_____0____D____0___________D________0__________o_______________o_____D_________)_____D_____t____0___________________0_______________0_______t___p______________0__________0_____r________0__________________________________0___________n_____________0________p______________0________________0________0__________0______0_____________________0__________0__0____0__0__0______________0_________0___0__________0_________________________o________0____0______________________________________0_________0__________________________ __________0________________0________0__________0______0_____________________0__________0__0____0__0__0______________0_________0___0__________0_________________________o________0____0______________________________________0_________0______________________________________________________0____0________________________________________________________0____________________________0_________n______________x____0_ ____________________________0____0________________________________________________________0____________________________0_________n______________x____0_ __ LumbrerasEd itoresÁ_geb ra
-l X.P(,,J=- l SalVOQUeP XSeaUnaCOnStantenOnUla. Pararesolver elproblemadeladivisión depolinomiosse haprocedido demaneraanálogaala división enteradenúmerosnaturales,agregando ladeF_nición deresiduo. Así 425entre72 425_ cocienteenlosnaturales Detal modo 425= 72. 5 + 65 Estadivisiónen losnaturalesno estáde F_nida, pero deFlniendo como división enteray uncierto residuoFueposible. Veamosotro ejemplo: 57entre429no esposible efectuar en losnaturalesni siquieracon residuo, puestoque57 esmenor que 429, del mismo modo 2_+3x- l entrex'_2x+3 no seráposible, puesto que el grado del primer polinomio(3) esmenor queel segundo (7) imposibilitando estaoperación. Por lotanto, el presenEecapítulotienecomo objetivo resolver operacionesdedivisión de polinomios quepudan quepudan deF_nirse, por loquedebetenerseen cuentalasiguiente der_nición: ''d____._:_,:,.,_.:;;: .___,_,_,a':':';_'_..'__!.._: _:,,._,_._.__.0.:._:.__:__::_:_...___,.___.__,___,._. .____:ími' ...''''''0''''''_''''__;::__'''_D. (x_:_':.^'_:______'y._'__'__,.ix__''',_:_.,d_._..:_,_:_'..!__:'.0 _ ._r.._..____.._______'___:___._''___,._m_'^_;_''...,.,_.,..,'_:_,_.,;_','"'.n_i__'_''''_'.re..'.s.''_0__,,c......M:_._.a_.m'._._nt.e....Ç.m._:_nJ Ila.rn.a..dDs'._._;___ ,i__:':__..,_d_'' _______5i_______.:_ ___'a__ _e_d_________'__.,._.;_'__ ,__!... .: _.0r; dNi_f. ' 'i_:_0.'_ix') _e''n_ed___x__:_:________'_:_c_ :a._ n_ ?. i..__.e.'. .:'_n'' ''h_. l.a._'_:0_t_r_o____d_o_? 'g0_inanu_' . s_q''' _x''''') Y:.''R(x) __,, __,_:_':;___,__:f:?_______ _ a______s_c_'''_'__'____''_'' ''' 'i__e_ __ ______T__s__d. _'___''''''''''''._. o'' n' d. eel ____ad0d' e'''''''''_''''''_:'_. .Cx) es_.____:_m..__:R.. _n:a_..r que' :.... v_..:ß' ' .'' ',,..__.! .,. b.i_m .R(x);-_-O. ; .de_ tal '___._,__ __''__.:.''_...;:'m....__..r..a..q.u.,e._.._''',.....,,.s....'.':'''_0! ' _..':'':_.__'_____...;___..____:......_.:: ' :;....o......___tXu....:..______''_c' .um_.,'p_,__.. 'Iaiden_da..d..'_u_nd. _a;ment_..de..'_._.a....:d.,._..i :'' '''..s_'_6.........'n'' e'''nte....i..a.....,.....,.,,.__,.,......,.:_:..,,.' ......__.,___,_ ...''_''_'_':'E..:!''i.__,.._._._.:..:..__:_:___0Aa_..._,._0_'_ _'_._;_,.;.__;.._____....!...;.._;_..__' :_.__.:_'__._.....__.E_.. 'n....._'__''_'''''''.E''.' ':aN_si_:.a..._.h___.____.._:..E_____^__ _ __.. ,__Rh''' : ''''_'''''''''''''''''_.''''_,''''':_.''>''_'__,:'__'__':,'_,'_,___.:,:_;,.;'_,,,:,_.,,,,.,..,,,,____.,,__,'_.',:..,,,,,,.,.,.:_;_;.,__....._,....;_...;':__'___.___:.:.'_''...,,_:.:_:_._;:''..,_..__.,_,__.:,,,,.,.,,,,,...,,'_.'_._ ._';. _._,_._,_::___.;_.:n'.::__:_,..,::_!,:___'.::_::_:,_.,._.__.'''''-'__:;.,;.;,_. :,_.,._.__.'''''-'__:;.,;.;,_._,,.,,.,,,., ,,.:,''.,...........,.... ..... . Dadoslospolinomiosdividendo(D(x)),divisor(d(x)),cociente(q(x))y residuo(R(x)) condicionadospor ladeF_nición, secumple: _D___':/___. _._, x..v.J,:..,.,..._..__,.......;.,;.'_:a...'..__..'.._x.'_)_ _;.__''''.q,..:'(...._............._... :...,;,._._'''_,_:'.R''0.: '''' ''''_.._'x...)..::.._''_,,,, Ejemplos:II.Dividir(_+8)entre_-2x+4 _.Divjdir(__6x+10)entfe(x-4)VeamOS veamos_+8__ cociente residuo +8__(_-2x+QJ(x+2 cocien_e residuo....D,..,, ____,^___'o8___o^_'^,_'o_io_^0'__0:__P00'^_:O'___o''____0__0'_,_!_,"_,'''__'_,___Suresiduoes idénticamentenulo__i0d____, __ - 6x lO__ (x_4) (x_2) + 2v,__'''i__.__._'__'___:'__'_._._.''__:__.:.2'_____._'''''''_''''___''_'___'__:''''__'' __._'__,_'_. 118
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CAPlTULOV_ivisiónenteradepolinomios ?n _/ ,_ . , 2. D1_sión Inexactg(R(x)_O). ,- _' -=T" QR-__ _; '_'__ _-'' =-'n_''_ Llamadatambien Di__t6n no ex8ctgt toma __ado el dv_dendo dv_dendo D(x) y el d_v_socd(x), losestenombcecuando el Fesiduo no es _linomioscocienteq(xJy residuoR(x) son idénticamentenulo, por lo queder_nimos ÚniCOS_D(x)_d(x)q(x)+ R(x) Como d(x) z0,setendrálaequivalencia siguiente em0Str8CiÓn, DeIaidentidadfundamental v D(x_ ___, Rìx) Supongamosqueexistenotrosq'(x) y Rix) ' '^i_-_ i_,:5' ___ diStintOSaa(X)YR(X)Ejemplo: SetendráD(XJ_- d(x) q'(XJ+ R'(X) _ _ _ _ __ (ß) Al dividir _-3x+4 entre_+x_ _ De(a) - (D) tend,emos O=_d(x) {Q(X) - q'(X)) + R(X) ' R'(X) _ _ _ + 4 =_ (_+x_ l) (x- _) + 3 - x m d(x) {q(x) _ q'(x)) --- R'(x) - R(x) Vv D(xJd(x7 q(x) r(x7 como q(x) _ q'(x) _ q(x) - q'(x) esal menosde _radocero,loCUalimPliCaráQUed(X)PUedeSe,Demane,ae uN_va_ente alomásdel mismo grado aR'(x) - R(x) lo cual _esabsurdo_eacuerdoasudeF_n__c_No/n x3-_+4 x_ 3_x q(x) - q'(x) = O_ q(x) q'(x) así mismoR'(x) _ R(x) = O_ R(x) = R'(x) _0_i_ad_ deGradOS / l. El gradodel cocienteesequivalenteala 't QXYR XSOnUnlCOS' difefenciadel grado de_ dividendo y e_ grado deldivisor. Ejemplo:_ Si D(x) = ___5x-8 Grad(_' _- GIad(_. ) s_.,_v _ ad(dT d(x)=x-6 EJemplo: C_ESDEDlVISl6NxS _ clasif_caren: ._.o/n _8_g (R(x) __ o) Entonces L_,m,,emos,s_ cu,ndo e_resto o,e,;duo Grad(q) _- Grad (DJ- Grad (d ) seaun polinomioidénticamentenWO. Luego D(x_ _- d(x), _ q_l,2. El grado m_imo que puedetomar eI residuo seráunomenosal del divisor. Eje_plo: ,_ _ _,__, _ __ .; _,,'_, q ,, _ __ Ald_,;dir (__ 5x_ 14) entre(x_7) _._,___r_n_.,_,d:_'____n._R.._-?_ .r6dC__ )__'_' Vemosque_ - _ - l4___ (X-7) (X+ 2) si el divisor e5 deg Fado _ln'_t e_ Fesiduo alo ' q(x) = X+ 2 i R(X) _- Oma/spodráser de_rado (n- l)
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Lu mbrerasEd i to resÁ x_; _______ _'_ ' __'n___ _c_ ____ _ ' _, Divis1_ndemonomios- R(x) Recordandolapropiedad(l)_radodel cocienlesetiene, 4x_2 3 7+ -3x + 9 ' +-X t .' _n _,_ , 2 4x3 ta_X__QxJ_u_x_ 3_' _-___n _ bo_0, V ! b_x__m 4 ___?_,_;__' , Q(x) d(x) Nx__ __! 5m; M__w_n; ?,_ m_% ______ ._ Dedondepodemosconcluir ?L_Ladivisión demonomioses _y,,siem reexactax__ 4xl2+ _xj ' '_ 2 R(x) = - 3x + 9 _ residuo EJemplos: Dividir t5 _- xI5-8-_4x7____ '_Jx8 '7- __;4_,t 0 J^;_, -4_9 -3x9 16x23_6 _3 eXPfeSamOSCOmO-+-_fqUe b._=--x-=-xQX4X4X3 2x932 2 no de_an como re,u_tado_._nom._ puedansumarseen el cociente. t_Di__in Di__in deun Polinomiom_eun MOnomio- SeutilizarálasiguienteJ D_-_- _ _ n dep o _ _ n o_ _propiedad. Te__,noLad_.v_.s_.6n deol._nom_. _fo_as6lo estarádeF1nidaparaunavariable 3_'ä_b__ ' _ _ c tomadacomoreFerencia, al cual seIlama _____t_ _. . ;, m m m_,m _ VanaeOr enatnZ, (Propiedad Dislributiva) ^ __' ^ v,_M_,____ _ _____0R?__ _ '_ E_em_lOS _ Del_;dent;dadf_d,me,t_ded;,;s;6, e,te,a.. 3_x2+5x 3x3x2 a. _=_-- +XXXX __3__x+_l-Six=l _P(l)=d(IJq(l)+R(l) I5 + 6xlO b. _XX+ eO_enea SUmaeCOeC_en_eS J Aplicando lapropiedaddistnbutiva__. Si x=o_ P (O) = d (O) q (O) + R (O) _6x5 _lO3x+g! + _ + _Seobtieneel trmino trmino independiente;_ J4x3qx3
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CAPITULOVDjvisiónenteradepolinomios Ejemplos:Parax=l l. En ___+ 4--_(_+x_l)(x_l)+3 _x _ a+2+b_l0+c= (2+3)q(l) + 15 DondeD(x) _-3x+4 _ D(l) = 2 _ d(x)=_+x_l _d(l)= I _ a+ b+ c_ g= _25 + 15 _a+b+c= _2 R(XJ= 3-X' R( I) = 2 cR_TER_ospARn D_v___Rio__Nom_os Dadoslospolinomiosen unasolava_ableestos VeamosqueD(l) -- d( l) q( l) + R(I) deben ser completosy ordenadosen _or_na reemplazandosusvalores:2= (l)(O)+2 descendente.Sifaftasealgúntérmino_ensulugar rmino_ensulugar e(ectivamente2 = 2 sereempla2aráun término con coeFlcientecero. EJemplo: .En ladIVlSlOn _ + + b 2x+3,hallar el valor de(a+b+c) si lasuma_3 _ _ decoer_cientesdel cocientees_5 y el resto p,ev_NamenteSeo,dena,a/ y ag,ega,a/ eSI5_correspondjentes: Resolución: _dent__dad_2x4 + 22x3 _Ox 2 _ Q5x + 7 _+2_+b___ox+c__ (2x+3x)+ _5 3x 3 + ox 2 mÉ_DOS mÉ_DOSRARn Dl1nDIRAlGEBinIimE_POLIM0MlaS _POLIM0MlaS_c Losprocedimientosaseguir de_vandeladivisión enteradenúmerosenteros Por ejemplo47 497 entre295 47497_Resolución: -295_ 161 1799 _ -1750 ? +2__X161+ -o+__.._+x+3 _o2__+2x- 2 _ -o + X _- 2 ,, _,_, w,,Paralospolinomios, cadacifradelos __n _ t l m rablecon -0 0X+ _m0 q_?x_4 n Um er OS n aU r aeS eS CO h_n_ 9 _ un térmlnodel _Ollnomlo.
,todo c__s_,co o d_,v_,s_-6n nofma_ Dedandeq(x) = _+x+3 / R(x) = I e_ulfemOSlOSmlSmOSpaSOSdeladIVlSl0n deenteros. EJemplo l _JemplO2 iVidif(+2X_2)entreX-
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Lumbre rasEditoresA'_geb,4
Resolución_ 2,Porcoeficientes separados, __Esuncasosimilaraladivisiónnormalconla diferenc iaqueenestecaso sótosetrabajancon _+ _ - 6K2 - IOx + O__+ 3loscoerlcientes. En estecasasí seexigequelos _ o,. 4 __ _ 2x3 - 2Jc2 - 5 polinomios,t anto dividendo y divisor_ sean , ,0 , completosy ordenados en formadescer_dente. _saremo sel sel mismoejemploutili za_oenel o + __,caso ante_Nor par, queel lector forme su prop Nl -I0_+0 criterio. l_o +15EJemplol D_,v-,d-l,(4xa +2___6x3____ _o.x) ent,e(2x+3J Dedondeq( x) = 2x' - 2_- 5 Reso_u_ón.. R(x)= l5 veamos Usandoúnica menteloscoef_cien tes. tes. EJe_nplo3 _vidir xr +x6 +x9+ 2xJ+ 2__ entre_+_+l Resolución: . _ -o-6_' 2-2/ O__ -0 x_J+_+x+2 +2+ -_'-_'-o__ x4+2 o OO-0 0+2 + / / IOI5 Ol5 Yaqueelcocienteyel residuosontambién 4+r. x__olinomi descendente. EJempIo_ q(x) -- 2_ - 2x- 5 _ R(x) = l5 Medianteesteméto do do essW_cienteordena r_ r_ aunquenOC 0mpletar. Así al di_dif EJemplo 2 6_' + 4X'' + I5x'6 - Mt' +l7_ + x' l5entre Dividir x+2_+_+2_+x4+2 entre x4+2 tS Re8oluci6n: Resolución: ___, X+Xt'2X+2X+X__ VlSlOnnO rmaF enanO J Usandosólo loscoeF_cientes 0 +_+l5x-3x+l7 +X-I5_ _,0__o'_1__!\__q'+_-1_ ____,s_\ V_2212__ooo2 1ooo-2_ 11 -la!6-l___ __ 10x+17_+x-l5 o oo!5 _7,+2_3 - 9XDedondeq(x) = 2x'' + 5x _l _ q(xJ-- x+ l R(x) = I7_ _ 9x - l3 R(x) = 2_+2_-x 122
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CAPITULOVDivisió nenteradepolinomio nenteradepolinomio s
_, MetododeGuille _o Homer,__ iremosqueesteesuncasosintetizadodeb, OOl 23--------';-------l coerlcien tesseparadosyexigenlasmismas, tesseparadosyexigenlasmismas, COndlClOn eS.: eS.: l _ . -b,8lb_c, ! eamOSelmlSmOeIempOdeCaSOantenOr:-''; _,,_ld,_, (4x4+2x3___ _ox) ent,e (2x+3) en ;, ;, un método esquemati2ado. ;, ;,
Así: c cc c ccc c ;
dCoeFlcientesdeldividendoCoef.delca'enteCoef.delreBiduo I _i l l l _v l I __/'_ I __ I . .. _' _+ ! + a ar OS COelClenteS eCOClentey ereSldU I _sI I I I C= _o _ ' O l I "r f (pjmer coeF1cientedel cociente) Coef.delcocientejCoefdelresto l _ UtlßlCamOS o ßOr CaaUnOeOS coerlcientes _b(,-b2, ..., -_n, ycolocar los ParadiVidirSe_UiremO Sel miSmOresultad osen osenunaFlla, deunacolumnahacia ßrOCedlm ientOdeCOeFlClenteSSeparadO S atrás. __ a_ _b_Co + + + III.Ct= 2____; o bo
-3 _6 6 o!' : _vmlt_l_ _ ! ' U_PlCamOS ' - lo=,15 coenlciente s_b_, - b,,....., - bm (como Il)' a2 _Cob2 _b_C_ 2 -2 o -5_15 V. CJ_= Co_cient eBdel cociente..
_ q(x) = 2_ 2_ - _ 5 __':..c'' ..a,' '_ _..,_b.,:_-_c_ _' ,'__-..._b,_',' .. .... -c__._b1 \'';. R(x)=l5_':__ _._...:''_ _._...:''_ _':'.. _':'..' .::..........., .b...a..',:_,
_.. VI.Se sigueesteprocedim ientohastaquela .v.,d_.Fa +a__ +7+últimamultiplicacióntoquelaúltima l '''' n entreb_ + b(_ + b_ + ____ bm Vll.Parael residuosolamentesumar emoslos donden>m/_aoboxO ^ elemento sdecadacolumna sdecadacolumna setieneenel esquemadeHome r,espect__
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LumbrerasEd i_oresÁ_ sÁ_ geb Ve_osel si_1en_eeJemplo: CASOI N_,id_Nr l2_ x4 _ - - CU8ndO8= l ; Setendr_: ResoIuct6n: Com letando el djvidendo el divisor_ enel a_ + axn-1 + an-2 + + 1I ''' esquemasetiene: __ + + + + + cuyoesquemaserá: 3_0_;!___ -2 _-g o' :! 4 _ __ a ---------- '! _&, ; o 3 -_b; ;! 4o 2 x=-b_,-bc,., _coc,c, ------c,.,_-bc,.,=R 4-3 2; 3 -3 7 _. _l __mte_ef. del r$Biduo Co= ao _q(x) = 4Jr2 - 3x+ 2 C_ =a_- _b R(x)= 3_ -3x+ 7 ;_ ,n _, c_ _-a, - c__,b Seconsideracomoun casoparEicular del _of lo _anto métododeHomer seutilizarácuando el divisor _ .x _ _ t _ c__+ t_X_ eSde_nmer_faOOtfanSOrmaeaeStaOfma. nSOrmaeaeStaOfma.__'_, '''__,_, veamosun e)emploin_cialmenteerectuado Y' __ ___ ___l ' - , '' ;_, ' _ por H0rner paraver unacomparaci n con lare_la deRufF_ni. DjvjdiF 3x4_ 5x + 2 entfex+2 E_em_lOl iofHomerDindir __s_ _ox2 + _2x _x3+ +++ :2 x-3 _2 _ 6 _2 2_ ; 5g Resoluc_6n: __ _. x-3=o_x=3 29 _ ',,II.USandOel eSQuema(previamenteordenado) 3-6 12-29 :! 60 3O-l_lOl2I5 _q(x)=3x3_6_+l2x_29_R(x)=60x--3 l 9 27 78 204 648 39 26 68 2I6 663 Engeneral __l_d_,, ' '; s_q(x) _3x9+9_+2_+68x+216 _f + _2 se__x_n_r6n,__''__:_ "__,n ,_?_, , ' /''_ '''x c_ R(XJ"_663
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-CAPiTULOVD;v;s; n ente,4depo_;,om;
Ejemplo2+ + ,+ Dividir8o__8 -------_= _ 28 _ __7 +2x2l _ 5 !, - ao_g C__-àCD__ x7 _3 x____ _ 8_ e90IUct6n;_ Hacjendouncambiode variablex7_y_ ClC2------C_-l_ 2yq__4y+2y3_5_8 t t t t __ Setiene y-3 __C_C_C_ a8 & 8 uWizandoelesquema Coef.delcocie_t$ 2_ __ _; _L ue_ _,..,,,,,.,..,..,., ........,,.D ,..d,do,o.a0.,,....,.. .....,..._,,,,,,__, ,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,w_.,,,,,,,,,,,,o__......,..,. 6 24 72; _14'' _ _ ___ C'._ n2 _' ' n2t2_ ng =- Cn f _ q i = _X_- _+_'X- __.X. _X^ _-...__-_ i j '__'._a_a'' a.a_a._ - ! 'R_b---- '''' ''''' 2 g 24 5g _6g ,.... ...,..... ._._y__á'?-_____ . ,.''' . , ' '. EjempIo _ q_) = __ + 8_ + 2Qy + 58 Div_'dir 7eazandos_ --Xene27x4 - 6x2 +x + l5 q(x) = 2_1 + 8x__ + 24x7 + 58 R(x)=l69 Resoluión: Esquemati_ando +t++ + _ e_-_ _' n_2 21__0;!0 l '''' n _+b 93-1;O Delaidentidadfundamenlal __ 1/g; b 27 9 -3 O;15 x)_-(ax+b)q(x)+R(x)---x+-(aq(x))+R(x)_.. a .en_equedamu___.p_._cado9 3 -l O poF "a"Dedondeq(x) = 9_ + _- x R(x) = I5
__.____,',- _ _ _E REmTuS ' '___ _ ''ln0RE_. DE.__ .R. M._Q,_, '' '''''' ,,_,_ '_._ _''_:: ' F_alid8d.Seutilizaparahallar el restoen unadivisión depolinomios sin lanecesidad deeFectuar dicha operación,esdecir_ deunamaneradirecta _ _' ' ...,,v T, E0___-A, __ ''' ' _,, _' __ Entodadivisiónde laformaP(x) entre(ax+b), elesto r sehallamedianteel valor _'_,,d.. nume,n.codet _._nom._op(x cuando x tomael _,elor de b _a
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lu mbre rasEditoresÁ_geb rasEditoresÁ_geb ra
Demos_8ct6n: _ 27l 6l + l Utili2ando laidentidadfundamental dela8l 9 3 divisiónser_posibleexpresarasí I 2l x) --_ (_+b)q(x) + R -- - + - + l _ resto oresjduoconstante Cociente evaluando laidenEidad enx = _b/a bi EJ. b=a'-+bt a x3(x+I)3- 5x + 3 VHa1larelCeStOen ox(x+ l) - 4 Re_oluc1ón: :.Pb=R_. , _-aHaremOS unaamplaClOndel teOremadel reSto I. x(x+l) _ 4 = O__ +x = 4 lI.Eneldividendo em_O 3 Hallarelrestoen-' Reempl_ando x-5x +3xJ x+2_X- -X+-.'.R(,7=-5x+67 Resolución: _!sando el teoremadel resto . Eje_nplo4 I. x+2=O_ x = - 2 (fo_apráctica) allarel feStOen Il. Reempl_arx= -2 en el dividendoconlo cual +I +32X+ +X-SehallaelfeStO. 2 3_ 5 _2_ = -32 - 2o _ 6 _ l ResoIuci6n; ._. R= _5g I.2(2_+4x) - l O __'+8x=I Ej_empIo2II.En el dividendo __6x2 Hallar el reS tOen ___ _ D(_) = (_+ l)(_+ 3)(_+ 2_+ x - 5
Resolución; = (4tr2+ 8x+ 3)(_2+ 8x+ Q) + x - _ _. 3x_____o_x___/3l I Tl.Eneldividendo q_ 2 _ _ R(x) = (l+3)(l+4)+x"5 R=27.--6-+-+l5 333 .'.RXX+
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0 rOblemaSQ_SUeltOS, Pr8Dl_m81PraDl8m83 Sean lospolinomios_ 6_ _5 _ 5x 2+ 2x 4 + 7x 3_ _ ' q(xJ= _+by+c_, Dadaladi_SiÓn -l +2x_4x3 el cocientey residuo res_c_vamentedelaEnUnCiar el VaIOf deVerdad OfaISedad deCada división unOdelaspropoSiciones. 2x4+ 3x 3.. _ 2 + l _ 4xI. SUCOcienteeS _+2_+ l jll_SUfeStOeS-3_'2X X- Xt eCOelClenteS deI COClenteeS aICUlaCa-b_Ce_04COn_ eSOl_ClÓn_ / EfeCtUandOladIVlSl n ßOr el metOdOdeHOfner __ +++ ^, __8..!_4 _ _4 _800;!-5o-1 1__ 2_; o_'' _-2 1!; 1_ 5;,5-2 _8o-4;2 0;.-1-1 1 _ o;_ o o j 5 _j_.oo %;.O-21 _toncesq(x) __2_ + 5x.. l 1 2 Ol "_ _3 -2 O queseráidéntico aq(x) = aJJ2 + bx+ c dedondea__2 b__5 c____ DedOnUe_ X= + 2 + l _''_ _ego ' ' _(x)_-_-2x xa_b_c2_ 2_ _ __ ___ 2.5+_ _____22 Concluyendoqu__l.Verdadero ___g__I.Verdadero __ +6x__III. Falso _- en lasi_uientedivi_sión 2 _2 3 P_al_m8_ mX+n m-n efeCtU_rla5Sl_UlenteSdlVlSlOneS J+_2t _ 2x3__2 _) _XlI) + + x+l 2x_I ? 36 ;! O-l Re_oluci6n: - 1__ 0 q;,,Dividiendo_oF la_e_ladeRurr_ni 2__ -1!_2 _ + + + _.;-_22 4 _ ;'_._ ; _ _ -2-2:. _=-1 ; R(__)=mx+n_3 2 2 -2.3 m=l _n_3=l _ m=l _n=4 m-n = I _4 = -3_ q_(x) = 2_+2x-2 127
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0 fODlem_S_e_Uelt0S P_6l__81Proal8m83 Sean lospolinomios_ 6+ _ 5__ 2+_ _+ Jx3 _ _ ' q(x) _ _+bx+c_ DadaladiViSiÓn 3 R(x)=_+n' el cocjentey Fesjduo respectivamentedelaEnunCiar et VaIOr deverdad o falsedad deCada divisio/n uno delasproposiciones. 2x_+ _ 3..8x 2 + __ 4x I. Su cocientees_+2_+ l j Il.SUfeStOeS - 3_' "2X X- X+ .. .aSumae COeClenteS ecoc_entees5. CUlara-b_C-./ eSOUClOn_ eSOlUCiÓn _ /EfRCtUandOladlVlSlOn_Orelmetodode Horner -= +++ ^2 _ _8:._4_ _4 _8_0;_-5 o-1 1_ _ 2;. o_' _-2 1 ;' __ 5;,5-2 _8o-4;2 0;.-1-_ 1 _ o__oo ';' 2 5 ___.o o %_. O-2 1 Ento,cesq(x) __ 2_ + 5x _1 12 O 1". -3 -2 O queseráidéntico aq(x) = _ + bx + c _2 b_5 c__ _Dedonde q(x) = _ + 2_ + I ,_ Iuego''R(xJ=-3_'-2x _a_b_c2_ 2_ _ _l 2_ 2_5+____ ..22 ConcluyendoqueI.Verdadero irg__gmg_Il.Verdadero 3_ 6 xq_ III. Falso Si en lasiguientedivi,sión 2 i X' 3~-2Pr_Dltm8_ seobtieneun resto delafo_amx + n - 3 Ha_lar lasumade_oscoc.l calcular m_ n f l . . d... eeCtU_faSSl_UlenteSlVlSlOne _ReSOlUCiÓn: ' ieatizando _adi,is_o/npo, Ho,ne, __2x3+ __ l __) _2x3+__ 7 '' + + x_l 2x-l 36 0 _ ; o -1 Resolucto_n: i?' - 1 0_a04 ;_,Dividiendopor _are_IadeRuFFlni i 2 _ -1!_2_ + + + _.;-_22 4 _ _;_ ,j __ __ _ -2-2:. i?x=-1= tUreStORX= Xt l queSefaldentlCOa' i(x-)=mx+n,3 22 -23 ._dondem=I _n_3=l _m=I _n=4 __D_orlotanto m-n=I_Q=-3_ q_(x)_2_+2x-2 .127
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LumbrerasEd itoresÁ_geb,a I_ + + + 2do, Metoda; Del esquema,setiene: 2_ _o !;_ D(x)=3x4+axJ+_+bx+c ; d(x)=_ _mx _ 2 ; q(x)_ q(x)_ _2x+ p _=Y_!R(x)=_-3 2_2 8PerosabemosD(I)=d(l)q(1)+R(IJ =_ 2_ t t _ 3+a+ l+b+c-_(l_m_2)(n_2+p)+q_3 _2 1 t 4+a+b+c-_ (____m)(n+p_2)+l _q,(x) =_+2x+I _3 +a+b + c = (_l_m)(n+p-2) 3+a+b+c +m_n+p-2 q_(x)+q,(x)=(2+2x_2)+(+2x+ __ _ . +a+ +C__ n+p-2 ProDl_mg_ En el esquemadeHomer mostrado_r_Dlgmg _ 1 al l b CCalculaf el valor de''n'' si ladivisión _x_ _x3 _ __,dejaun residuo igual alO. Qe_ f x-2 l ! gh Resolución: n_2 p ! 4_3 POr teOfemadel feStO I.x_2=O_x2 x_2=O_x2 43 ete_inarelvalorde' = ' ' +n _' +n = 3+,+b +cPordato n+6= IO +m n+p_2 :.n= Resolución: ler. método; utilizandoel esquemay el Pr__l_m8l rocedimientodeHomer,seobtiene:27x425+glx424_ 5x_ Hallarelrestoen' n- x+3 Il. n.m = 9 _m=3 Reso_uc_.o/ IlI.2n=d_d6 2n=d_d6 IV.a+9='2_a=_ll_.x+3_-o_x-__3 V. e= _2m _e--_6__. R-_27(_3)425+g1(_3)____5(_3)__g _7I. F -__2.2 _F-_ _4__ _33. 3_25+ 34.4_4 + _5 __ __II. p = l+d+e_ p=1=_ +__ 4 VllI.g= pm _ g=3.,+ R= _4 IX,h=2pth=2 X. b+f+g = 4 _ b=í _roDlgmg8 _I. c+h= -3 ' c=_5 _ (2x40 + n)x + J nlaSlgUlentedIVlSlÓn _. x_I _eemplazandod etermlnaf ereStOparaqUelaSUmad?_ + 3 = - + 3 = _ l coeF_cjentesdel cocjentesea33. 3+l 22 t28
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CAPlTULOV
Resolución: 4l Deladivisión_X+ _ + p _C3 f4da2 _!VlS!On_ e3P_O!nOnll ;x-lX--_--_-entre+2X-a ' seobtieneun co_ienteq(x) cu yasumad e Por Rufrlni: coeflcienteses30 ses30 y 4n resto idéntjco a ' 2OO-----.----On; 55_+a+2 _ a_0 ' !' :.ul a ,N_1_-'''------:n+_ _?2 22 2n+2; n+7 ReSOlUC1Ón'_ ___ 3__ _4_3 _2_2 t 2x +2 ,4l te_oefdenadO _t, . _ +2x_a i _(lJ= _2 + 2+ 2 + ..... + 2+n+2 = 93 POrHOm_' +++ i 40sumandos !'_33a_ ;2 2 i_ 2.40+n+2=93_n=ll -2 _2aa__ como el residuo esn+ 7 ; entoncesreem 1,z,n_o n__ l I a__. tenemosR= 18 _ PrD_l_m89aMN:_5aa+2 a-_ aar eVa_f de_ S_ alVISlO c-l __^+b__J+c2x_x2 ___X_+ ese,_acta+ a''a + 2 t _'__ 3+ 2xi _ 3__ + 2 Resolución: _el dato a+ M + N= 30_ a= 2 4 Cuando setrata_euna división exactalosdedonde a2Q Polinomi_spue_en ordenarseenformaq( _) - _ 3o - 24 asc_ndenteental sentido el esquemaserá _'' ++ i__l_m8l1 _2 4 ; c-1 b -aobtener el _esiduo_eerectu__ cla d_'v'Is!o_n indicada 3-4_ 8 ; X_2 _X_ nlx+ ,, -2 _9;-6122-_ ! 4; 64 g Si eI COC!enteevalua4oen ce_o resultaser -3. ;ResoIuc1ón: ,2 3 2 ;. _o _Ordenadoen el e.squema_araus ar Ho m er. Delreslo c-l+8-G+6_O_c=-7t =-7t+ ++ _b+a2-4_o_b_-8_3 __8 __ _3_ -_+8=O_a_82_64 ! - _8 _, Luego; a-bes8 - (-8) I6 2 -3 -2 - 4 m+ g ;! 3_ + 6 c_I -7-l -8-3 _ 1 2 9
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lu mbrerasEditores _geb, m+8 ____lgmg1_ OrdatO_=-3mm= -3 Hallar el resultado desustituir x por x+3 en la io/n fx_1_ _ J ._. R_ 3+ 6 _ gR_olu_6n: Haremosdi_isionessucesivaspor RuFF1ni def(xJ ,/____,n?' ! _ _ _y/_ entrex_3 ;Seã',',y' _ :! ! (_= R__+n__a_- ' 4 P__^' _'__ +Pn-_xt_R_ y_ _' h__,__ v?_í___h r , , , ,_'n _s. ,y?u_m '_q__(X)p_o___een_ ,_?_,_!X3 615 39132 :-_, t/__ __ _ i _ ,_"'qn11+an' ,m_ '/,h_ _ d-_3t 6 33 138 u_o__m_l_nd_y_x-h_,tendr_^ _ ?, _' __n t_s___ __n__ ___ _ i_' Ms_-n_ __: _ ' '_' ! 3 t 6 51 _^,Qmn, l'"hn '"' n' 'n n __ __ __,_ s' 2 17 d__on_sm__mosa_se_rqueq,eseleestode!, leestode!,3t 6 ____ _(xj4gn__~_h / c_ntg ug_ _b_iene, ' ___w_v _m _e____' _ , 1 _\ _nh_š_+ __n_2 __ l __''' a-t h',, y_Is_esivan'e__.lue_?q,,qn_,_q_g,._,_ f(x+3)=2x4+23_+97_+l82x+I3I ,pu_den h_lt_r_ por _isionee5ucesin__ !7 _El _tm' o cocîentee5_ y _ eænteque e_ i__al \a_ _' __' ' __v,_. __n _ ' ________n_____' Seael polinomio ((.xJ=(___4-(_+__3+2__(4_2_x2, E_emp_ohallar su valor numéricoen x= _- _ Seaf(x) -- _ + 2x + 5. Hallar F(x_2) Re8oIución: ReSOlUC_Ón_ Recordando quei(aJes el residuo dedividif P(x)entre(x-a) _i (_ _ JJser_ el residuo dedividir i(x) entre -2 -24-12(x-_+_) ?- 2 6 0_Lue_o _o_ Ru_F_ni -2_ -28 _+_- 1+_-_) -(4-2_) o _2_ -2_ -2,, __ 5-2_ _-_;!5-2_ _0 _+__-_1 _-_ 5 Enestecasodividiremossucesivamenteporx+2 yseobtendráf(x-2J_ _ - 6_ + l4x - 7 ElcuaIpuede verificarsereemplazando zando directamenteen F(x), x por x-2 _, + , vemosf(x)___+2x+5 "_,_ =3_2"2 _F(x_2) __(x_2)3+ 2(x_2) + _ ^N= 5 - 2_ _ =__6_+12x_8+2x-4+5 W'' "_' _F(x_2J__-6_+__-7De_ondeP_-=_ 1_
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CAPlTULOV_ Djvisión enteradepolinom ios Pr__I_m8 1_ Pro_IBm816 Hallara+benladi_sio/ndeEl residuodeladivisi6n 55_+(166+p)x_g_bi entre_-39x+2 (x+I)"+lentre(_+ 2x) tienelasiguienteforma SidejacomoresiduoaR(xJ=pxR(x)__!_ax+ bsegu_ne__osen_ala 'r Resoluci6n: 2 DeD(x) _- d(x)q(x)+R(x) divisi6ninexact a"8'' equivale ntementeaD(x)_R(x) _-d(x)q(x)divisiónResoluci n: exacta. Seaq(x) el cociente,en_onces Luego, ordenando ascendenternentepara aplicaT _ l -a .. X+l"+l_- +2x)QX+ X+ elmelOdOdeHOmerpi0b.SOenI_SlOneS2 eXaClaS)N po, seridentidad
II.Six=-2 2 -8 _ ; -b55_ (-2+ _)n+ l = o.q(- 2)+ ! _a(_2) + 2 39 _ -156_ 48 _ Luego(_l)"+ l = -l + a+ 2 -a0;_l95-5a -4 5__95+4a-b 55-5a P_algm_1l Señalarel residuoenlasiguientedivisiónP Or SereXaCtO_ + 2 22 55-5a=O_ a= Il ,j l95+ 4a- b=O_ b= l95+QaR eSOlUCi n: ReemPlaZa ndOelValOfde"a''Se tleneporelteofemadelresto :. a+b = 250En e_ dividendo Proal_m815 Determin ar ar lasumadecoeF1cientesdel cociente ueseob_'enealdividirEfectuandocomoseindica (4_ _ 2x79 +x+ b) en_re(_ __) (_ _2x-3)(_-2x+ l)(xJ(_ _2x) _ _ _ 2x= 4 _ R(x) = (4_3)(Q+ l)x.Q 4 _2 o o.... ... __. o _ _, b __ R(x) 20x __ 4 2 2---------- 2 2 !, 6 p_a_g_g_g -4 22 2--------'23Enladivisión x_I 80 tér_' o8 e_ te_rm__no lNndeendINentedel coc__ _Coef.q = 4+ 3 + 78(2) -- l63 _dequégrado es el dividendo?
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LumbrerasEd itores _ge b ra Resoluc_6n: irgDlgmg2t dividendo ydivisor respectivamen_e. Hallar el _ o o o,.... o _n_2 n+_ polinomiococienteyelpolinomior esiduo. Resolu_ón: lll l-n-lO cocienteseráde2do.gfad oy oyelresiduode_er. grado. Deldato _n-l__1ot n_g Por lotanto q(x )= C _+ C_x+ ___ ._.dendo es8 R(x) = r_ + rl 2x4 _'5_+2 __(2_-3x)(C_+Cl x+CJ_)+ r_+r_ Prl_l___19haci endousodelaidentidad (x3+_)q' +x__, 132co=2 _co= _ 6+_+___ J+ _ __x6 - 2 ._IN_candoor(x3 _l)a(4)se t__ene_írnismo:r_=2 uegoeneldividendosetiener(x)=- -x+ -x6)91 +x_ + l3 -x246 +x_+ l3 =_(X9_'X'+(X97i'+l3s_ lasiguientedi,i,ión j - - - _j - 2bx ' + 3_'_ _ _ _x' _8x + t R(xJ= - _+_+ l3 _2x 3+ __]x2_ 3 .'.R(x)=l3tienecomoresto_5__Q_ según ello calcular 6ab Pr_al_m 81 _. ...,.... ................,._._.___._ .......,,_ .......,,_ ..0,..,._...,_..... , ._.d_,.,..,,._,d, ,.,,......._.......,.............. .._.,............... ........ Hallar el ValOr nUmenCOdel pOli nOmiO..... .o;b__ _' _g._ __ ..'i_)___ _ _n______in_ +i x, .nf.N.___eR / ..._.. _(xJ= _x5 + (l -__4 +2vtx' _ 3_x +3_ "'''''''_'' '' '_'' _____'_'''' ''' ' '''d d''•_-_______'__ ' '':''_'-___''_- d_ _ _'0'_'0'__''''0' m___ __'_ _____'' ' ''_ ' ' cuandox=vt .o,n. Re8oluct6n: (Delproblemal 3) 2s_<3 __ _]=2 _ ___ 2_ o -3_ ! 3_lsve<2 _ _ _ ] _ 1 __ J__2._+ _ 3 3__3__ _3__6S__5<6 _ _5_ = 5 _ 'l _+_3 -3_6 L,ego_,d_,,.,s_o/ne, n R(x)=5x_-Q 132
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CAPlTULOVD_v_ s_ón s_ónenteradepolinom _
DelaidentidadOtro Metoda; D(x) = d(x) q(x) + R(x) Si esdivisiblepor (x- 1)2 _ D(x) - R(x) = d(x) q(x) (Div. Exacta) _ P(I) = o __ p'(I) = o _t3_3 2 - - + + l.P l =n-m+m-l_ Ot Ot n-3+ 2 __p_x__2_I9_ _9_l8 Por serexacIapuede aplicarse el métodode Homer invertjdamenteCO mo P'(l) = O t 20_I9m+m= O -36!:3;'!-23a2b_mIO O\ ';O'_;; 2 -4 g . -l \ ; OI -2 ;_ lO _ :.9mn=9-(l) = :' 9 -2 -l;, O0O....,. Delresto 3a_4+__o_ a= _ _0'_0,oo'''_o_''' __''_''.0____''__________' ,,_'__'_=0___'d_''___' _'_i''_'. P'(x)es1aprimeraderivadadeP(x) 'ii''.. 2b - 2 = O_ b = l ,.,,,.,,,,. ,. ..., ,,.,,...,,,,, ,,..,.,,.. .,,.....,,.,,.,,0.,. ,,,,.0........ ... ...,........ ............ ..,...,, 9...,.,.0..,,, .,,0,,...,... .......,.,.,, .,,,.,.,,,o,, ,..,.,.,9,,,. ,.,0,,,,.,,,,, ,,,,.,.0,,,. ...,_,..,.,...,.,., ,,_,__ii. .'. 6ab 6 P_Ql_m82_ proa__mg _3 Seae_ Polinomio _(x) = _ + _ + 9 de DeEe__,n_e_va_o,demn a,aquee_coeflCientesnatur alesydesumamínirna,que _;nom;oven flcan flcanlassiguientescondic ionesadicional ionesadicional es i(xJ= _O_ _'' + _ - 1 sea divisiblepor l' _(3! eS di_ SiblePOr SiblePOr 6 (x__)2,II._(4)esdivisiblepor7 Décomorespuesta9m nIIl__(5) esdivisible_orIO Re8o_u__o_ n; Hallar _( l) puestoueesdivisibleofx__l2 estambienResoluci6n: divisibleporx-I Delascondiciones Porteoremadelrest o(3)_32+3 + _6 P(l)=O_P(l)_n-m +m-I_-O.-.n=lo 2 aratadivisióneSposibleaplicarunsOIOHomer_-+ P+q=___.t"'''__-'N t_sI2oa_idRuFF_ni _ _ - ' e_(5) = 52+5p+q =10.........,. .,.. (0) lVlsOreS X_ Porl8reg_8deRurfin1:o De(a)q=_ _0 5 De(b) q-- 3 - m'^l -m OOO-------_- m -l x_1 _ l l-m l-m l _m __m .._.._... __m .. _ o En (aJcomo q = l5m p espar x=1 _l 2-m _;19-l8m De(p) _ l6+Qp+15= 7 l 2-m 3-2m _----- l9 - I8m 20- 18m 7 _ 3l 7K_ 3l Porserex acta20_l8m acta20_l8m=O- _4IO ' m = - ComoKesenteroy P es par_ seob_end r_ r_ K=9 yel valor deP ser_ 8. .. gmn__g_10 (_)__lo conoc;dopyq_ _(x)__+8x+_s 9
t33
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Lu mbrerasEd itoresÁ_geb pr_Qlgmg25Resolución: AldividjrPOrelmétOdOde HOmer 2+x2 _3+x3' 4+x4 _ 5+ +x_n l ' 2n- '! - " x2 _ - ' ' ' ' ' 3 _, ,__-_-;_.,_--o--'; o-.- o,_-;-;-';,_=-;-;=_-_; _ ;- _ _ '_--_--,'''_2-_--+--!_''_-_-.+.-!_'''_.5-._.+-.!--_' !_ Resolución:_ .dentl.dadfundamenta___ 2_+1 2_+12_+l S_+1 l ; _+3 33333 ;!3 D(X) _'- d(x)q(X) + R(X) "_"_- g Como el divisor esdesegundo grado,entoncesel resjduo podráser deprimer gradoesdecjr delaPOr datO Formaß(x)=_+bn+2n+I_2n+l++2n_-I+5n_I Luego D(x) --_- (_- l )q(x)+ax+b3 33 3 3 x___ __ 3+ 3_ 4 nl__n n VeCeS + 3 _ 6470 Or lOtantO Si xl _ D(l) = (I'-_l)q(I}+a+b a+b _n n(2n+1) 5n+l _ n+3 EntoncesD(l) = O+O+ ... +O= O= O3 3 3 3 + .n+2n 2 ' ' - ''''''''''"'"a__+ + + + + _ 6470 six___l_D(_l)__ ((_l)2_l)q(_l)_a+b3 b3 EntoncesD(__) __ 22+o+24+ ... + 22n EntOnCeS 2+6n t Io n2 = 4(l+4+4 +...4^) _- -.647o __+ n+ _-3235 33 =4 _2 4-I'n+n+-'nn+_n(n+3)=97(lOO) .'. n= 97 _uegoD(-l)-(4^-l) D(-l)-(4^-l) 3 _vidirp__x_+Ax3' .'. -a+b = - (4''_ l) ......... (ß) _. . d2d d Xb. 3entreUn POInOm!OeO_ _raOSeOt_ene como cociente_ _- l y comoresiduo2x' + I. __ _4 4,__ _ _ b _ 2 4, _ _ Indicaf el valor deB. 33 Resolución: ' por lo tanto e_ te/,ml_no,_nde end__entede_ ,es__duo Delaidentidad fundamental 2D(X)_'d(X)q(X)+R(X)itenemOS es- 4n - l x_'+Ax3+B_+2x_l __- (í' - lJq(x_)+2x+ l 3Eva_uando en la_,dentl_ I. Si x=l proDlgmg26 _ l+A+B+2-l O+2+l En lasiguientedivisión jndicadaA+B= I '''''_'__'''''_ (a) II.Si x_l x _l n+3+ n+l xn+2+3nx25n 2 x -n^_'_3 _1_A+B-2_I=O-2+l B_A_ 1...............(p) Xlasumadecoe Fjcientesdel cocjentecon el resto De(a) y (ß) sumando obtenemos2B= mos2B= 2 es647o.Hallar n. entOnCeS B= l 134
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CAPITUlOVDivisiónent eradepolinomios _roDlgmg18 Luego ' el polinomioF( x) _ _+_+px+g F E 3/5 _ a3 a2 3/5 _ a3 esdivisiblepor 3 3 E(x) ___+_2ax+_P con apg,o 3 3 _roalgm8_9 Hall_rel equivalen tedeSesabequeel tedeSesabequeel polinom io 3/5 _(x)__''-+_'I +AB_ _2a_2aN_ _ .o/n. Q(x) _- (A+B)x+AB __v_ls_lb_epor E(x) sud_lvl,s__o/n es con AB_ O eXaCta_Calcula rel valorqueasume! Resotuión: Resotuión: _,lla __0comoesd_.v_,s__bfeor_Ja --23 ^ _ ; - _3 queesequi ;2a2 entonces ,el polinom ioP(x)esdivisiblepor I_a;,O OPorteoremad elrestox_A=Ot elrestox_A=Otx=A Del reStUp(A ) __ o _ An+2 + _n+_ + ABAn __ o ß_--_a_O _ ß =__ A(An+l)_A(A"+_)+B(A^+l)= O; A''' r O
_eemplazando _roDlgmgJO 3 ^ 3 ' ~3 ' 3el polinomio 33a22aa_- I = _a+ -a+ - - _- o_tienedosresiduosquesuman 8. P27933 278esolución = __ Por Teoremadel resto . - 3'3 I._+I=O__=-l _ 2 _ Rt(i) = ao(- l )'+a_ (- l),K+- l + l a_a3 ' Asimismo __ ___o___ E-a=- _'-.-+-tR_,(X)ao+atX+l+l 3 3 3 3 3 R_(x) a_x+ao+2 ..... ... (p) _,_ 4a_ 4a2 a2 _ 9 9 33 -a_X+ao)+(a_X+aot2)=_8 a_a2 _ 3 ''''''''''''''' t 2ao+2 = 8 __ ao= 3
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_0. FOblem__ _fO0 UeStO_ ,; . ., l. Si al dividir 5_ + 6x' - l entrex+3__2se 6. Al efectuar ladivisión obtieneunresto delaFormamx+n. _5__4x_+_3+__2+3x+2 Calcular m_nj - X+x+ seobtienesuresiduo (5m+4n)x+(m+2nJ Encontrar el valor dem 2. SeaQ(x)=_+b__+cel cocientedela __ __ 43_ 2 2A) 2 B)_I A)-3 B)4 c) 1 D) I E) l D) 2E) 3 4 4 3. En el esquemadeHorner mostradot 7. Hallar el residuo en determinarelValOIde(m+n+ß)_(a+b+C)3n+3 +Xi x3- 26 +27x - 9x al_bC _ _A) 3 B) 2 C) 4 l D5 E6 l l l _ - ßl - x+x+ A) _0 B) I8 C) l5 x_ j D) 5E)_3 A)_'(x-l)B)_(x_I)C)x_(x_l) .Hallar m+n, sablendoqueladlvlslÓn_ _X+l E X(X+ 3x5+ mx_ + nx2 _x + 2 2+3_ daun fes__duo5x_ _o división indicadasiguiente 5+bx_+_3 es7_+8x_3 A__B 5 cJl2x3+x2_x_2 'D) 7 E) 4 n) 2l B) 2o c) 3o _. Hallar el restoal dividir D) 4oEJ5o )l9 2_ x + _ lO.Calcular "n'' sj el residuo deladivisión (x+3)^(x+ l)^ + nx(x_ l)(x+5) + I X_3 B4_2XC 3_2X D) 2x_3E) 3-xes2(l _ l8x); nespar 136
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CAPlTULOVDivisiónenteyadepolinom ios A)5B)4 C)3l_. AldividirF(xJentre(4_-9)(x+ 3) 3)seobtuvo D) 2E) l como residuo2(x_ 3)J-_. Hallar el residuo de dividir F(x)entre2_+9x+ 9 Il.Enla divisiónsiguient e _2lx+9B) l2x+3 C) __20x+ l l 2x5 + 3x4+ bx3+ 6bx2 +x + a .2x+3.adema_s_al6.Sisesabequeenladivisiónde sumadecoeF_cientesdel cocienteesmayor + (7a-5b)xn3+ ... (n+ l término sentreax_belresiduoesl la, sentreax_b (__b).Hallafelvalorden. A)4B) 9 c) 7 D) 2E) 8 A) 5 B) 6 c) 4 D) 3EJ7 l2.Hallarelvalorde"a''sialdividir a+lnr + _+t6+l5 + _ + _+ x + _ / entrex_ l , seobseNaquelasumadelosx _ + px 2+ coeF1cie ntesdelcocienteesiguala90vecesxJ__ ,, su resto. emodoquesurestoseaidénlicoa3x+ AJl3B) I55 C) l60 A) 4 B),4 c)__ DJl63E)I65D)_6E)6 l3.DelesquemadePaol0RufFlnil8.Calcularb_asj ladivisión x +2x-I además(a;b} _. _ ed Cb a A) 6B)4 C) 5 Determin arlasumatoriadecoerlcientesdelD)_ E)_6 ar po linomio dividendo. l9.Calcularel residuodeladivisiónsiguiente A) lOOB)-50C) 50 (x -- l)7 _(x _ 2)7_ l D)-25 E) Ox2 _ 3x + 2 lt Si P(x)___'+b_+_+_+ IsedivideA)x__ B)x_2 c)1 entre__x+lseobtieneuncocientecuyaDJoE)--_ sumadecoeF_cienteses22yunresto R(x) = l Ox- l,hallar a+ c20. Al e _ectuar ladivisjó n A) 77 B) 78 C) 79 x3 _x2 _. x_ _ DJ8o E) 57
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Lu mbrerasEd ito resÁ_gebra Seobtuvoun restoR(x) 2_. Sabiendoqueal dividir el polinomio / __h __. l _ d R(-IJP(x) entre-_(l+b)x+b y -(b+2)x+2b '_^"' O_' a' eV' 0' e_R(lj seob_uvo pocres_os7x_4 ?,_ 5x-8 coeF_cientesdel restod__ dividir P(x) en_e A) - B) - CJ- _- (b+3J + (3b+2)x -2b. D) _7 E) -! n) 3 B) 1 c) 4 8/ ' D)2 EJo 2l. Al dividir un polinomioP(x) entreel 26. s'j al d'lv'ldl'r ßrOdUCtOde_(X+I)(X+3)(X-2)telreStOabx5tb2x_+bcx3_ abx+acx2tc_ ObtenltdOeS_'5X+I _j i(x) entre-x-2 entre -x-2 seobt,,e,eun ,e,to a_. c,_cu_a, _b (a+c) A) x+5 B) -2x+3 C)___+3 D) 2x- l E) -__ A) o g) _ c) -2 22. Enlasiguientedivisión Dete_inar el valor enteroy positivode8 (x _ 1) (x +2) __ b paraquedichadivisión seaexacta, SlendOa<4_ n) 7x+5 B) _r6x+2 C) 7__+6 A) a= I ; b=sB) a=3 ; b=5 C/) a=3_ _'3 28. El cocientededividir un poljnomio de D)a=3;b"6E a'_ib'6 tercergradoentre(2x_l)es(_+2x_3)yel 23_AlefeCtUarladiVi,SiO'n_,x+1es l.H,lla,elrestoobtenidoald_v__ir seobruvocomo res'Iduo 2x+l. A)_6,5B)-l,5 C! _ 4_ segúnello__etermjnarlarelacióncorrecta,D)4E) __i el _roductodelo_' coeficientesdel _en_ees8, 29_Dadaladivisión abcx 3_ (a2c+b _a_c____+ (a_h _ b 2c_c__ _-__ abc A)__a=9 8)lbl=2/ ac C) lai - Ibl __ l3 X-b_ X-á D) lb-cf > 9 E) ab> Oe_actas._ a_cu determ._ ,Hallar el ,eStOdela_IVlSlOn X' t 2x ' 2 b b A) 2x BJ2x- l2 C) 2x+5D) - E) 138
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CAPlTULOVDivisiónenteradepol_no mi mi
30.DarlasumadecoeF_cientesdelcocientede36.AleFectuarla divisiónsiguien te te ladivisiónindicad ax axI9+xI_ +2xl2_7x 5+9x__ r_ j4x429x2 - + ^ x_ (x"I)(x -_2)(x_ -_2)(x_ 3) 3Dar ) elvalor deverdaddelassiguientes proposiciones: A)l3BJ I2C)l8 I.Surestoesunpolino mioconstante D) 24 E) 6 Il.Su resto esx+2 III.Ladivisiónesexacta 3l.HallarelrestoenladivisiónIV.Surestoesx-2 (_ + 1 )x' _ (2_ +2)x'- (_+4)x + 2 x___ 1 Dj Fvvv Ej FFFF A) l B) 2 C) 337. Si el polinomio2x"+x4+_+bx+c es D) 4E) 5 4 a+b divisibleporx_I,hallar .l _ad_.v_.s_lo,n a_b 4+bx 3 j 4 AJ- B) -_ C) _ X-X+ 22 3 _' dejacomo resi duo 3x _- 5 2 !_Segúnesainformación ,hallar ,hallarelvalorde^ 3'__ a+b. 38. Alefectuar ladivisi ón siguiente 5 7x4 3x3 D)36E)7X+_ i+3x 2 33.Determinarlasumadecoerlcientesdelseobtieneun residuodeprimergrado. cocientequeseobtienealdividirHallarelresiduo. ' 4x80_2x_79 A)l4x+I B)I4x+3CJ 3x_+l4 X_ . A) 165B) 162c) 163 39 .AVerlgUarelCOerlClentedeaquelúnlco 'términocentralqueoFreceensu _esarrollo i, 3g H1_ _ _ /. d_ _.. ladivisiónd e . aaf eVa Or nUmerlCOeßOInOmlO , _(x) = ___+3'3__5._x2_ (5 _3___2_ )x_+ 3_+4 ab(,n+bn)x n+2-ab(a__b_ _ _bna- l)x __+_ _abx _ T l ''t3(__I)(bx-l) _ecuandoxtomaelvalorde.3 _''_7_2 nI r_1 . A)-I+'__B)o c)2' i __ C) a+ b' + n_1E\_1 n+1____ .D)a-2Jb-_E)a-_+b2 35.Hallarelrestoen i l +x +x_2 +x 3 + ..... +x__"- l _0.Al dividir P(x) entre(í' +x+ I) se obtu\/o _or _j residuo(x+ l) Yal dividir P(x) entre i,.,ltXItX___x+_e_restoésx__alcula i__. dedividir P(x)_' (x4+_+ l) , A) ( IO'_Jx+4 _)(4n- l )X+n _.icC)OA)x+jB)_ c)x__x '_,iD)2x+4"E)_-'x+lDJ_+xEj,,J_j
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rv_s_Bi_rD_/' Sean f(x) y g(x) dospolinomiosdegradosno nuloscon coeflcientesrealeso complejos_ si el resto deladinsiónde ((x) entreg(__Jesidénticamentenulo, entoncesg(xJse esg(xJse llam_ divisordef(x). DEnN__h_';''''__:''''_''.. ...............:'...'.......,.... DadosdospolinomiosF(x) y g(x) degradosnonulos sedi_ queF(x) esdinsiblepor g(x) si existe un únicopolinomioh(x), tal queseverif1quela identidad dedinsión exacta. _,___..__(_)esd'Ns_blepor_(x)___ -_=----3-!__(xJ;r(x)=-g(x)_h(x_'_ En efectu, si g(x) esdivisor def(x7_el cocientede ladivisión f(x_) entreg(h-) esh(x). Si f(x) esdivisiblepor g(x), entoncesg(x) esun factor der(x-). Ejemp_o: Si el _lino_nioP(x) seanulaparax=a_ es Sean ((__) = (_ - 4)(vK+5') yg(x) í + _ - lO_ decir_ P(a) = O _ el resto dedividir _(x) entre diremosquef(x) es_ivisiblepor g(xJ yaquef(x) (x- a) escero_ luego P(x-) esel producto de(x -- a) entreg(x)esunadivisión exactaNEntoncesporotFopolinomiodegrado(n-l),sie__do_cn''e! exiStiráun ú_co polinomioh(X) detal mOdoquegrado del polinomio i(x), esdecir,i(x) es f(x) _- g(x).h(__) ; siendo h(x) el cocientededividir divisiblepor (x- a). r(x)entreg(x).RecíprocamentesiP(x)_esequivalentea En e_ecto (x- a).g(x), entoncesP(x) seanulaparax=a. F(x) _(__-Q)(__+5) _ f(x) = _+5_'-4x- 20 Lacondición necesariay su Flcientep4_ raque _(x)= x-'+3__- 1o el polinomioP(x) seadivisiblepor (x-a) esque _uego ap_icandoHome,P(x) seanUleParaX=a. __ + Ejemplo; _x3 11 0 _ -4-20 X= '5?-7X- l2, eValU"ndO'n X= lo_P(-3) =O _ (x+3) esunfacEordeP(x) '' _ ; -6 2o_ P(x) --- (x+3) _(xJ; _(x) esde2do. grado 10 ; = o o - Paraconocer g(x) setendráquedividir P(x) entrex+3 por laregladeRu(f_ni ++ Dedondeh(x) = x+ 2, lue__o f(x) --_-- h(x). g(x) 20 0 _ -12 -6 3;12 TEoN_MADEL FAcToR_=ToR_=- _ ' .no_,,._op(x)deg,ad_n_nu_oseenu_e_a,e2 d_n_nu_oseenu_e_a,e2-l-4; O x=K_P(x) esdivisible_or (x_a7; I__ego (x-a) es_ un factor dei(x) Dedondeg(x'J= 2_ - x - 4 144
___________ _ ______ _____ _______ ___________ _ __________ _ _______ _ _ ________________ _ _______________ _ ___________ _ ___________ _ ___________ _ ___________ _ ______________ _ ______________ _ ___________________ _ __________________ _ __________ _ _______________________ _ _______________________ _ ____________________ _ ____________________ _ ______ ________________________ _ ______________________ _ _____________
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CAP_TULOVIDivisibi_idaddepolinomios,coc_entesnotabl __a_DE.DlV1sI.Blll_D_D''_______.'\;.;..'..:..'''''.....''' ''___,,,__',_':..,..;.._._,._:.,_._.....'.....,--.::--_._'_,..,.;..;.......__;_:_____,:_:_,,,.h''-:._,,,...._;.''''_'..,-' ''__' _. 0_._ __- ^_'___^0___''_ _. _..__^c^_.. _^' '-_'_ Delosteorem&s2 y 3sededuce: ,Si f(x) esdivisiblepor g(x) y g(x) esdivisiblei_''P' _ _- v '' ' ''""'''_ __., .,. ' 'V' _- '' '' - -- '' - _,_ '_ ,h(x)_entoncesE(x)esdivisib_e_,h(x)__0_'__,_'......_C_aUm,0,,,,8,e l__Iin0mJaS_,;',,;_'.'':_;__''_, ____, . ,..,_.._. ._:,___''_ '___(_.' __ fg,(xJ, ...,,._-_-._,____'_____) _. _-_n divìsi__l'e___ _r _x:); _'', i..'''_''et_l'M_iO.._g___f(X)+?__.i_)__(X.)___.._.__' Demo,b,,;ón ________. ._'__ i_) __?tXJ' '''d0_d_'_' '_l_?'_ _2(X)' ..'._''_. '_' 4'''''''(X) __'_'__,,' _'_ _. son _n_ pol'__ _0mios-_bil.r_'_.,. .t_i&n. es_ _i_ Or COndiClÓn i_?:_,.''' dm_ ___._eoF _(_g ' ---' ' €(x) --_m(x). g(x) .......... (l) _,_ _l. Todo. _1.inomi0. fÇxJ_'''_'''' _1vi?ibte__'' '''_''' _,__ (xJ__n(x).h(x)..........(2)'''_?'__:q_r_li__m:íodescadD_ro.'' ,''_' i,En_efecto:'..,__',,,..._ _'__' F(x)__''__&,_'_.''.';.'':'',.__,.''___y__x)_''_c,_'"_v'' eem_aZandOen _?_ndgcesconstantenon4_un Mom___ ' r(x)=m(xJ.En(x). h(x)l_-_h(x) tm(x).n(x)I,___.,,,,,,,arbitrariode,2rad,ocero. d,ocero..,_0__'_ dedondevemos4ue F(x) esdivisiblepor h(x) ___, MIO__. __ ''' ''' .. . '''' _x .o, æD___ ' ' F'c,)__-_'ç' _,,______,__ '_+' '__ ' ___o__, .__,, . __'' CC..C,, .'' _'___ lII. Si el _Momio- f(x) esdimsible_r g(x), fix) :t _Si F(x) Y_(x) son divisibles_or h(x), lasumay ,__. '' estambiem d'_msible_r c.g(x), dondeces ___ i ladiferenciadef(x! v., g(xJesdivisibIepor h(x) __g _acons__e_ n___....' ,_ _ _??. ..,,,,,,, E'n e__ fecto, _e__'t_ì_u_dad. €Cx)-_h, (xJ,gtxJ'_ i. '''''' '' _uita1_ - .ua1dadf _ ___....._ _l_,,h x c_ x. __ DeIno_traci6n: _,ii _y, l_'__in__o_s''._.___x) y g(x_' ','so_ 4m_' ('b_"''i_ Delacondición__o_i_'' en''t''re's_cuan'doy_s_ó_ocua nd_ nd_f(x)_'''__.g(x),;'_'__ f(xJ_ m(x) h(x).......... ( l 7 i'' 5í_n_c. const_te_o nW_ ^_ g(x) _-_n(x) h(x) .......... (2) ''-'''d''_''0d__' ''''_-_''__''____0'"_ ''____0'"_ __dm_-v___0''_'_''__ w__'' _'__'__'a'0___ _ - _ ______ _______' _ __'__''_'0'_____' _ ___ "___ _' ' '' (l)+(2)-''--___::_,:___TEoR.E_A_ F(X)+_(X)__Em(X)+n(X )Ih(X)im(X)+n(X)'Osi elpo_inomiop(x)es divisibleseperadamente (_)_(2)_rlosbinomios(x-aJ,(x-'b)vv (x'c)/a_b_c_ entoncesP(x) esdivisiblepor el producto: XJ-_(X) = tm(X)-n XI h Xi m(X-n(X) f O(x.a x_b x_c _f(x)+g(x)_f(x)-g(x)sondivisiblesporh(x) ,,,'' .,.:''_'_'_'''__.'''__'_'''','',__,:;.....;'_'__,'_''_''''''__.._'_M..__''__.J_..,:'_'_:._g'__,_'_'_'','___;_...-- ,_',''_',._,_,_:'._'''''''''''''''Demostrac16n; _,s;F(x)e,di,is;bte_,g(x),e_p,_uctodeF(x)lComoP(x)esdivisiblepor(x_a) poccualqu_ecotropolinomiononuloh(xjes __(x)_ (x-a)q_(x) _lambiendivisible_F e(x) __ como p xe, d__v__s_. _ql(x)=(x-b)q2(x) __os_8c_ón lII.Como P(x) esdivisiblepor (x_c) / atbtc Delacondición F(x) ___ m(x).g(x) ' q_(x) __(x-C) Q3(x) MW_plicando por h(x) eO _F(x)h(x) _m(x)g(xJh(x)DedOndeP(x)__-(X_a)(x-b)(x-C)Q3(x)_!ue_Ose ' - ' ' concluyequeP(xJesdivisiblepor SeobseNaquer(x).h(x) esdivisiblepor g(x) (x_a)(x_bJ(x_c) 145
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L umbFerasEd ito resÁ
.Recí_rocamente,si P(xJesdivisible...i. ___ '_;.._,_,,.;;_.,.:;;._,.......:;..._.;,__,.:_--;----_-__-----;;-------_--;---_-_;--:----;---__--:-_---_--;--_--_--:--------_:_::,_;_'_,__'_____:'__,_:_,____::._.,_:_._,___,: ___:'__,_:_,____::._.,_:_._,___,: _:__,_:_::_;,._;_,_:__-----_------_;--___-__-_;--_--__--_--=_---=_-;__'---------=-_?__..'_;':_-__-';g--;___'''_;,__'__' xg,..',,=_--_-=__:_:__:.n._,___;;__:._'_,'_:,_. __:_:__:.n._,___;;__:._'_,'_:,_..'__.'_____,'__.__.;__,___-_--_-_-___--_--_=_-;,_===a-__-:.,.;_.;'_.c_._.,::._.____,ii_',__',_.,''_,__'___,'_e___,a__..,_.__00,__'0_0_'_'______R_m___d______'_',''|'"__i_''''''!'.i,.i____i___,_.'__r(x_a)(x-b)(x_cJ;axb_c,será' _''____-_-'-'__^^"_"'^.'":'''':''_-__--'_ ': -':'' ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''_-----_--------''''''''' :_.__'''-''-__'''_''__^_'___'._._.g__.'_'o'''_____,''_'0_, '._._.g__.'_'o'''_____,''_'0_,d'Nisjbleseradamenter (x_a)_ ntOdaIVlSlÓnePOllnOmlOS,SialdiVidendOyal m-5-'_'''''_i'_'""'_'o__"'oo'"''"""'"_''_'"""__'_"_' cx-bJy cx_cJ' __ , diviso_, seles mu__i_lica_cun _linomi .,.0o..0..,,. .,,.,,..,..,.,.........,,....,o.p.......,..,,,,.,,p.pp0.,,,....,........,................,.,.p.,..,.,,.,,,,.,........,.,..gradono nulo, el cocienteno seallera;pero el residuo quedamultipIicadopor dicho_Iinomio. EJempIo:__,_____ Si P(xJ= 3x4+2_+ax2+bx+c emOS_8C16n; esdivisiblepor(x-2)(x+3)(x+2 Calcularelvalorde4a_2b+c Il. Mul_plicando por S(x) ; S(x) _ O e_OlUCt6n; comoi(x)esdivisiblepor (x-2)(x+3)(x+2J,D(X)'S(X)=-_d(X)'S(X)l4(X)+lR(XJ_S(X)_ entoncesserádivisibleenfo_aseparado por DedondeseobSe_aque el residuo queda (x-2),(x+3Jy(x+2),JuegoP(x)_(x+2)esexac_.multiplica ),JuegoP(x)_(x+2)esexac_.multiplicando ndo_rS(xJyel cocienteeselmismo. PoreIteor_madelrestoP(_2)=O _p(_2)__ 3(_2)4+2(_2)3+a(_2)2+b(_2)+c__ b(_2)+c__oEiemPlo _ _48' I6+4a-2b+c= OHallar el _estoen: X- X'_ 2 .'. 4a_2b+c=-32 XRe8oluc1ón: _'__ ____^_ ____0__ __Multiplicandoel dividendo y divisor por x+ l ,,, ''''':.:'_': __.:> m;'_ :';':; _v,_;:'__; ' _'''''';;__ _ _'_;__;;.;__ _.__'''___.._:_';____ _.;_____...__.__:_.; _:____ _.___._,,,,.;_''__'':-'':.a.__'' _'_,_.î ::,__0_0,,_0, _,._,_ ___.: __. _ :.;;,.__,;'_,,_'' '' _':____''_::__;::'''',,__,_'::'':,_;,'_': '' '''''':;:'; '_::,_.' '__' '_,' '' ' ' ' "' ''' ____^''_'____e_;__"''''__:/__"''::'__: (2x__7x + 4)(x + _)(2x.w_ 7x_ 4)(x+ _J Si al dividir un _linomioP(x) en_e(x-a); __ _ _ _3 _ _aX-X+ X+ X+ el mismo resto en cadacaso,enloncesal dividir _,dicho_linomio enlre(x-a)(x-bJ(x-c)dejar_ ___'elmjsmoFestocomún.LUe_OelfeStOeSl2().X_7X+4l(_X+ _R,x_21lI 5í P(X)_X-a_R_X)=R- - 'Xp(x) -; (x-b) _i2(x) _ RR'(x) = (_9x+ 4)(x+ l) P(x) _(x-cJ_ R3(x) = R Como el resloquedó mWtiplicado por x+ I, se ., q p(x) -; (x-a)(x_b)(x_c) _R(x) = Rlendr_ queR(x) -- '9x + 4 Demo8trac16n ,n x'__._,;-;_.,,_';,._.':,,,._..;..'.. ..---_-,___;_-----_=;;-__;=_-__--__--;-__-_;-;,-;-;_;=--__,....,..::_.,.,.;_._'0_=_.gE..._0,,.0w, _.gE..._0,,.0w,_,0___ _J' -_---,,._g,.,:..__.._:.;.:.__;''___ .I.P(x)_Resdivisi_leentre(x_a) Entodad.__,_.s._o,n_epol._num.,oss.,ald._v_. _P(XJ- R-= (X- aJq _(XJal di_'isor selesdindepor un polinomio de_r_dO __.px_R esd__v_.s.__leo,(x_b)nonulo.elc_ientenosealtera;_roelresiduo siduo quedadividido por dichopolinomi0. _P(x)-R=- (x-b) q_(x) _ _00.,_ _ll. P(x) _Resdivisiblepor (x-c) Demo_tr8ción: =- 3 .D(x) __- d(x) q(x) + R(x) De(_J, (llJy(_l_) pocel _eoFemaante_ocll- D'v'd'endOPO' S(X) ' O i(.K) - Res__'v__s_'blepoF (x_a)(x-b)(x-c) _D(x! ___ _d(xJ. q(x) + _R(x) _P(x) - R_ (x-a)(x-b)(x_c)q(x) c)q(x) S (x) S (x) S (x J _p(x) ___ (x_a)(x_b)(x_ c)q(x)+RDedOndeseObSeNaqueel residuOmUeda divididoentreSCx) y el cocienteesel m1imo. 1__0
___ ___ _____ _____ _ __ _____ ______ ______ ____ ____ _ _________ o_(____00002)_(0____________________________________________)__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________o______n__________________o________________________0____p____________D0__0DD_______________0________t____________0________________________________________________________________________________________________________________________________________ _ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________J___________________J_\__________________________________________________________________________J___________________________________________________J_____________________________________0______ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________J___________________J_\__________________________________________________________________________J___________________________________________________J_____________________________________0______ x______ _+(_____oxl__+) t__2__ ________________________________ ____________ _____ _______
CAPITULOVl Divis;bi_ida d depo_inomio,, cociente, notab_
EJemplo Eje_ osp_8ellector:Halleel restoencada 3(x+_)(x+2)_adelasdi_siones. Hallar el residuo en _5( _)28 Qx+ _ _X+ _X2 Re8olu ión: t__.d_.endoal d_._' dendo d._v._o, _r (x 2)3(x+ l) __ (x 2- _ + I J3l + x _ene''(x__j2 (2X+ l)(X+2) x37+x__5 -_ ' x3+x2 Porteoremadelrest ox-2__O_ x__2(_-5)7(_+_)(x_2)5 ;_ R'(x) __ (2(2) + l)(2+ 2) __20 (3x+_)( x-2J6 2+_ l5 Pero coInoel resto quedó _vidido por ' _ 3 3 X' l_XXX'2)X+ _ X__ X- X+ x7+2x2_ l 3+x2
_ Cocl_NT_sN orAB_s,,,, ,,dLd _----===-- ''__ ''___' _ _^_ _____. _;.__-___=-'- -_i- -_-' --c---=-=-------- _' '' _:__.:__':- -_-_-_=---i----__--_-_-_- -------_------_-_-_-__-___-_' -_'______^^ ______0^^-____P_:--5_---_--_______;_, ,_/''__;__,;' ,q__ ?____ ' ':'':'. ___:__'t_'/:;__._______, ____,.,';''_;; ,'(__'''___',____' _;'_t',_,_,_;_' __,^' ^^^_''_^^_,__^^^'^^_,^ '_^_,^'_^^^' ___'_^_,_^^ _^'_,^, ___,'__:_;'_::_:____:_' '_~___':____::': ''''_'' ''___'''.'' _:'.'''' :'_._':_:'_'_' ':'':' _':_':'_:'' '':_''_'' _X__'J'X''__'_: ''___';_ __ _ . .;; , :.:_"._;._:_....._;.. _-x_._,=,p__-, ,o^___;__ __________'__:--_______-__-= __-___-_ :__' ....'''__.__''._.._, .'_._ _:'.,..._:.__----_-- -'--:__--_-_-__--:_-__-- _----____--_---._--___.---:. _--_--___----__;_--_-_-=--_- _;.-_;-__-___;-----.- -.______.=_.__d_,,;,__.d_.,, ^,._,,. ___0____8____ _dD____ --__-___.^_ _____'_.'',,''; ____,'_;_,,''______'_' ;__.;'' n,_ _.yP'' . ,':'. .. _ ....::::. .:' ::.::...,,..,:,,; .:__:_,,;;._: __;_.,_,i_._.;;_. '_,_. ;_;__:__,;_,_;_,____,,;___,_;;, ;_;,;,' _ o,, o',_' __0_ , o'_,'_,,'_,'_,,' _,'_,,'_,_, o'_,,,,_'_,, o__,,_,, o',^o,,_'^,_,',,,, _,_,______g.__.__;_;.._...__. ;_....:_;'_: :_.,.._,: __.. _...... ... ......:___..___;. ...._:_,_'_. ..__::___..... _._.__,._._,____'_ ._'__..,__:, .__'_:_._._,',;n_?v' ,,,;;'___, ,_?,__X__ Llamarem oscocientesnotables(C.N. ) aIoscocientesqueseobtienenen Fo_adirecta,esdecir,sin Ianecesidad deerectuar laoperaci6ndedinsión . Lasdivisionesindic adasquedan adasquedanorigenaestoscocienlesnotab lesson lesson delafo_a: _ x ' ' '' ' ' ' ' ' ' ;_': ' ": '; _ :', ' ' 'x ' ' _! '_. ___ '?___'___._ __ __ ' :__ _ ___ _'___; ___ ___.: __ _ __ __ _ _ _._ /'_.;_ _ ___._ ': _ '__; P._' _ ' '___' P___ ' __ '_ , . '____ _' _ ' _ ' ''. _'__'.: '; ; _''_. : '_,_''_.: , __ ' ^ '___m _ _'__'' ____ :___, _ ___'_ :__ __ _ __ :,'':' ' ^ _' '''' ''' _ ___' : _''' _:' ''''. _ _'''_,'' ''.', __':'_. ___''' '___ '''' _.' _'' '''_' ______._.__ ' '_._'_ _____.'' __ ;,__.____' _'_ '_'.____;_.____. ' ___5__, _ ~'__~_ __. _ __;-.___. '- _'_. : '_ _.__ _'_ ___.;: '____-_ :__ ____.___ ' '_ ____._' _.:;___-___ __;;.'' ____ _'' _._ __ ____._____ ' __-' __'' _ _ _______'_' _ ___'__ ____ _ '_._: _ _' _'________ _'_.__:' :_' " _'' ^ ^ ^n ^ ^' ^'-^_ ^ ' ' _^ ' ^ 0 ___ _'~, ___v_. _:__:_:.___' :...'. ,..' ,..'.... _ '. .''''''''' '''''' :''':'' ''''' . ''_:_._''' _''':'__''' .'''_:?_,_,___:____. ____::.;.__.'_;: ._.::'',:' _'_''__ ;___''.__.:_, .._'__..,.n._...2' , __.'_--,- __._^..^^. ..n..n.' _;...'_. _;,_:_;_:._.:.__: .;_:.;_:__.;. .:.:_:_..;__:___. _.;_;.;;.;: '_..:_'___;.! _..;_:,,_'' :._''' :v_''''' :__,___:_;._._,__. :_;;__:; _;',_.: '_'',:__';_,' _,:_.:'__,..;: :;::,,___,:: _.',,__:_,__.,, .;,_____,:.;_,_.. ,_._;::;,,: _._.___.,_...,___;-,.: ..,_:__:_..,:_, _.,:_,-.,:,;_. :_':,_.,__.,:: ._____,,:,; ;,_..,:__.,___.,. :._,,:_:.;__.m_._. :...;:^.__., '__,_;.,m:.,_,,: _,:;_,..,:P,. .,__\v. .._ ;0_..;_. ._. MedianlelacoInb inacióndelossignosseb.Su cociente:_ectuand inacióndelossignosseb. oladivisiónpor la presen_ar_n4 casos. n_yn xn_ynxn+ynxn+yn re_ladeRw F_ni __ n-Yn setendrá i_i___xX-YX+yX+yX-y i aso l .................. l .?:_. '_.;:_^''__'';____/' _^':___,_:_^'^. _i_'"i:.__0':_.: _:._'_____:___._:__i.' __,:_____._._,:.__'': _ _:___d'_'d__' '' '_' ' '_''_'_n'__i __ __ __.''-V-___- .____-_-__-__;:_--------_; -:-n ,_,.:..;........_'.. :___.''..:. . X''Yy l ,__ _------:_-':-- --_=_--__n_''_i _''.__''_ __ ___-_-------__-----=---_= -----_;_____--__= :_-___ ::=y-. ---=:----------- -:---,---_;._. ,_,:m,....... .....,......: ........... ....:..:... ............. ..........; ...,,...,.,., ..,.,...:.; ._,..;,..;._. ..../.:_''i .l Y. .."'.. a. Ve_oseuresto Siendoelcocientedelafo_a entonce ssetendráR__y"-y"__ O Nosindicaqueparacualqu ier iervalor naturalde nladjvjsj6nserá exacta. _+y_ + _+N..__+
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Lu mbrer_sEditor_Á_geb,a En general el cocienteseobtendráde teseobtendráde lasiguiente_, _ _ . . €onna__ --'-----_--__---___-_''_...__.._;.._.'_.__;.._;:.:_.::.:.;:_.....__'___;-__.._T. T.'''E.Q_-__,_. ,__o_... _.,,...'''' _ _____'?"',_c_____,_-'_'!__' __.0_ ''__ '_ _;_ '''''''!''''''''''"' _ _ '______;''_,___"__ __;,,,, ';,',_'__'___________.____.,:o_ '________:.. __.______-____''____'__ ________ _' _''' '''''' ''''''''''_,,!___.''e__ ,;_'_'::___:?_^___my_____'___ '' ' _'____ __ '' '__ _- '' '' _'_'_'___^'^___^^_^_,^'_^_'_'_:_^_'_'^^^_,_^__y:____' ':'.__i;_'_/''_,_'..__ _:i'' ''_'_ __' _'_"_' :;__._'''_,_ __;_,.'' _'_'_' ,,__W _ DadOel CoclentenO_able: '.___._y.__'_:;___...:__:____.___..:.__h_x_ n-_l___,_.,i_0__,8'__e_;'o._'___0___',_^'0;^',^'^^'^'_^'__0___._''_.,:__::_. ^'^'_^'__0___._''_.,:__::_.,_._';_,'__;''''..____;:__:_'_.''___i___'__;n..._,_._f_.___:,___'_'''''0x n, __i'^___:_,.''__'':::_:_;m.,;___.,:::_,.,.,,,_.. ._,_ ' ___x _____:n___' '' _ !_,' '''::'_''''_"'''''':___ i"' ___,_,. _ ,_ '__ i.____ ;_' v 4,_ -, un lérmino cualesquieralh esigual i;_':_''___-;-=-__''-___,:-__'''?_i:'''.2_'_-':'_:_''}_''_____".....,.....,..,..:..'_.',__.;,_;'..:._';_X"''_' .-_ ' ------__;_:____-,-_._':'_'.._:_'/_'._::',_.'''_;:.^__,:...........,...._....:...,..1. x -y -k -l _-_-_______ 33 - __x2+ + 2 DemO_tf8Cl6n_ X- Y_ - fn _,n'l+,_ay+,n_y2+,n_ya+ ...+y_'l ___-Y_V_ViV 44 _ 3 i 'Y_x3+x2+ 2+3 X-YVemog_. 55 t, = _ ' _ término delugar l X'y _J22 3 _ X 'XY+XY+_ 'Y t,=_2yi terminodelugar2 X-y t3 = ___ término delugar 3 Asimismo:.=. _7 _ -7 ientenotablet, ??q términodelugar k x__' porque- 7 _ NPor inducc_ón: t, = _ 'y' 42 y2 __ t2=_2__ X"y . _ 3= __ 3 X3Nt xn_yk1. rqUe- _ _-' _ _ 1 ________ 2 EjempIo2 E_emplo allafelCOClentenOtable_eneraO_Or: 5N.X- y x_y te_inodelugar I5 Re_lUC1Ón:Re8olución: Su cocientenOtableeS x n n 'y _t _l (_)9 + (_)3 + (3x)2+ (_) + l eCOr an Oen __ _ -- _ queesequivalentea 4+ 27_+ 9_+_+ l enelprobleman=60n k=l5 _t_,=_''.y"' _. t x4Sl4 '' '5F_8Ud8d E1emplo2 (P_r4el lectorJ ElTeorematieneporF_nalidadcalcularun té_inOCUalQ_iera(t_) del COCienEeSin neCeSidada40 _ b _ .chad,___,__o/ n De: - , hallar el té_jode lugar 2 l _a_b_ 148
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CAPITULOVl_jvisibilid addepolinomios, addepolinomios,cocientesnota bles __ __;v' ?J___ ?,' n _m,_t___'?,q _y_ m \ 9 _ c"_""""?__"\ _ '_' ' ___:n_,__,,n,yeeN'' _ _XY_^ __,n_".v_v''___.,W'q9x ,''_9.:______^____ s Xpolinomio homogéneode gradode homogeneidad(n- _); es un _l_nomio den a. Ve_o_ su resto: términoscompIe to yordenadocon respec_o a_ II.Sicontamoslost _inos apa_ir del último, Rn arahallacel tecmino delugar _ slo ' X-- -Y' -- -Yintercam biamoslosexpone ntes; ntes; as1 ._ nesparm R_O t, = x"-'y^-"_ nesimpar _R-- -2y b. Sucoc1ente: E1emp_ ol olpor_a re_adeRuFf_,. __y'Oesunte_inodel Cocientenotab lede. lede. X-y7 x--y I OOO.-.. O-_ x=-y l -y_- ..._ -_' _ es_ue&_8; ,rm.,no e, ,eg,,d o_5y o_5y _, e, e, I -y_ - _,,,t '_ Entonces grado dehomogeneidad del cocienEenot able l6_l6nn generadopor _X_y sies unténnino- = xn-' -x^-_ +xn-_2 - ...,. -yn-' X-yx+y desu cocientenotab le. 2 ll. Sinesim_r iemPlO __y''esunténn1jodelcocientenolabledetOOO_______NO-_ l9_l9_ _ , x_y _ -y _ __.......- _' -2_ Respue8ta: _o_ puesto queel grado dehomogeneidad del cocienteNo_ ablesefálg ablesefálg yesteté_inoesdeEntOnCeS _adol6.xn yn _jyn - _x"-' -x^-_ +x^-_2 - ... +y^-' + Ejemplo 3 (Par_el lector) t_7.t_gSu cocientesiguesiendono tablepero tableperola Del ejemplo antenor ca_cu_ar tl6.yI8dMs_ónnOeSexacta.
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LUmbferaSEditOfeSÁlgebra
Deestemodo sepuederesumir enel siguientecuadro__ / _,, ____ ' " ' _^! ' V' \ _ v_0___, ;' ; \ & ; _nh_ _ _ \ _?_ __,n_?- ' __'/ , ' ';_ ' _n ' ' ò_' b__ _ __ ;;'w_'__,_ ,' ' '' , _q'n ?' ___ ' x ' J J_ J' _! ó ^ Q___' _uo,v, xn -yn_nWo _I +_ 2y+_ 3_ + .... +_ x-y t2 3l N Xn -y^ - - .N.. l 2 3 +l _ __ x+y- - "" I2 3l N_ X+Y"- -''_. l 2 3 _l . x+y- '''-X+ y l _ 3_ _ + Y+ _+....+ ____ x-y Setendr_también quealgunasdivisionesde laResolu_6n; xn + ym . Sea el té_inodeI lugar k en O_a_- _enera_COClenteS nOtaeSt 2 2o 2o xa+_b X-y . _ 2o__t siendolacondici6n necesanay sUFlCientex 2 _y Por dalo,el gradodel té_inoser_ ___;W_^__v___ ___'' '__ __ _', _ 2(2O_k)+k_I_3Q__-_5 ____,_?' _^_^_"_'___m _ _ _ -_ _ _ ~^ 'v;-__ v, ' ___,____nr~__; _nv^ _, '= _h __,_ __'__Lueo el te_ino en mención ocu ael uinto __h___c;"_v\ ?;;' _ J;_b__ :; ;_q__ __' xm ,_? __' ,_,___ ;' _r,er__' í_v__ê \'_;n_' d_ '_ IU_aF. ,_ _v.c___cc'_ __m _,,n _ _______,m' , ; / ' nw'_ , __?,___,X_m____ QlcWar m si ladivisi6n Etemplo l x13m + _ y8m+2 4o y3o _ generacocientenotable. __ generacocientenotable?xm+_- y m 4_ 3 eSOlU_n_ 40 _ 30_ _o _ s__ gene,acoc__en_eSi generacocientenotable 43 notableytend,;_oterm;no,. _ _13_+1__8_+2___ ._ n ,_ y _+1- _ E_emPl02(*) 30 30 __X- genefacocientenotable?De(_) _+ 9 3030l5t t no m+I m eamOS - - _ - nOeS en erO,en OnCeS 4Q2 t 2__2 generacocientenotable._ 5m2 _9m _ 2 __ o _ (5m+ _)(m_2) __ o., m__+ _m=2 iemPlO3 as__ m-lsmo param 2 seob__Nener _ iQuéIugar ocupael té_jodegrado 34en el - ' qO_ 20 cocienteno_blegeneradopor _ ?.'. Param=2 seobtendráun cocien_e 2 - YnOtablede9té_inOS. _ 15O
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,0 FOQlemaS Q_SU_ltOS P_al___tPr_al_m88 Hallar el polinomioP(x) degrado3 si esdivisibleUn polinomio P(x) detercer grado sedivide entre(x-2)y(x+3JycuyasumadecoeF_cientesseparadame 3JycuyasumadecoeF_cientesseparadamenteentre(x_l); nteentre(x_l); (x-2)y (y+3); es- 4 ytienepor te_ino independientea6. dando como resto com_ 5. Adem_sal di_dirlo ReSOlU_Ón_entrex+ l dauniesto jgual a29. Calculaf el Como el polinomioP(x) esdivisiblepor (x-2) y té__no_'nde_ndientedep(x). (x- 3) ser_dinsible_r el Producto. Re8o_4,_6n.. ^ P(X) --- _(X_ 2)(X+3) Q(X) _. sesabequeal djvjdir p(x) entfe(x_ l)N, (x_2) 2do.gradoler.gradoy (x+3)separadamente,dejaelmismo Seaq(__) = _ + b residuo quees5 _P(xJ=(x-2)(x+3)(ax+b)Entoncesaldividirel polinomioP(x)entre 1,_c_,=p(1) _(l-2)(l+3J(a+b)__4(x_l)(x-2)(x-3Jdejaráalmismores_o5. 2. TéTminoindependienteP(x) -_(x_ l)(x_2J(x+3) q(x) + 5 i(O)_(O_2J(O+3)(a(07+b)= 6V 3er.gradogradocero _(_2J(3)b=6_b=-l .'.P(x)=(x-l)(x-2)(x+3Jq+5 a= .'. Pix) (x-2)(x+3)(2x- IJ Il.P(xJ-;(x+l)_R=P(-l)=29, __al8mg 2 evaluando en x = - I Al dividir unpolinomio P(x) entre(x+ l) y (x- l) (- l- l)(- l-2)(- I +3)q+5 = 29 seobtienencomo restos2y 4 res_c_vamente. _ q -_ Hallar el resto dedividir dichopolinomio entre __ I. De(l)y eSOlUCiÓn: P(x)=2(x- l)(x_2)(x+3)+52 luego su términoindependientees: X_X+l _R=P"l = P(O) 2( - l)(-2)(3) + 5= l7 P(x) -_(x_ l) _ R= P(l) = 4 Adem_s ''_'w'' ' ' ' Al dividir P(x) entre(x+ l) se obtuvo como resto Dedonde2 __Que, ,esto seobtend,_ a_ d__vl.d__, (p(x))_a P(x) -_(_- I)q(xJ+ _+b (x+ _ )7 Evaluandoen R_o_u4_o, x=I:P(l)= a+b=4................(IJ 0relteOremadelreStO x=-l:P(-l)=-a+b= 2............(II) INP(X)-__(X+l)tRt'P(-lJ=2...___..(IJ tOx.+qlO Um8ndO(l n Il _' - - __...____ 2b_6_ b=3 _(I)'_ a-- l Por _o tantode(I) y (II) .Rxx+3 i 2lO '' - 2- t51
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Lu mbrerasEd itoresÁlgebra _FoDlgmg5 Por identidadm(x) = m cons___e (m_OJ e.ntre_+_+x+I ReSOlUCiÓn: _ a_b _ 2rn .......... (1) Multiplicandoal dividendo yal divisor por x- I, se3 __ tiene: l66__ x_l x166__)(x_ 3+x2_,x+_) - x4_ ' X4_X.'. ac_bc=6 R_(x)(_-l)(x_l), luego comoel residuo quedómultiplicadopor s_. el o__.nom_,o p(x) _ x__ + _3+x7 esd,___s,. x_ l ' R(x) = __ I po, F(x) -__ _x + _, e_ ,,_or de_ es, Resolución: PrODl_m_6 Como i(x) = x'(x_4+hJr2+1) esdivisiblepor SielßOlinOmlO__x+l f(x) = _ + 3x4+ _+ 3_ " 2x- (a+5) es_ x4 + _ + _ esd_._._.s_.b_eo,_ ivisiblepor g(x) = x4-b_+2_+bx_ß, ade x) esd_,v__slNb_epor h(x) __ (__ l)(_+h). Luego por Ho_er Calcular(a+ß)_'++ Resolución: I l _ 0 ; OI si f(x) esdivisiblepor g(x) y g(x) esdivisiblepoc_ _ _ _ = h(x) yh(x) esdivisiblePor x_ l._ ; _ _ _tanto f(x) y g(x) son divisiblespor x_I __ ; h _h DedOnde_ _ h _,h__ 1_h f(l )=O_ a+3+a+3-2_a-5=O_ a l o3 comoh_l=Oth=l _(l)--O_l_b+2+b"P--'-.'. a+ß=4 Pr_Dl_m8 Sealar el restoen lasiguientedivisión f(x) =_ + _+ 6y (x_ _)(x + 1)(x2 + l) g(xJ=_+ bx+ 3 .,_.s_.b_eso, h(x) _2x+challar ac_bcResolución: EFectuandoseobtiene amo _y _son divlslble5 pOr h, entOnCeS x 4 _ _ (f_g) esdivisiblepor h edOn (_+_+6) _ (_+bx+3) __- (2x+cJm(x) Luego en el dividendo reemplazamosx4-- l _(a_b)x+ 3 _ (2x+c) m(x) ObteniendoR(x) _- O' 152
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CAPITULOVl_ivjsibilid4ddepoIinomios,cocientesnot4bles P__l_m_10n3 -4o De(2) _= l7 _ n3= I7n+ 40 ete_lnaf Un _OllnOm1Ode5tO. _fadOqueSea n divisibleentre2xq_3 y queal dividirlo separadamentepor x+ 1 y x_2 losrestos__ n = 5 obtenidossean respectivamente7 y 232. Lue_o ladivisión indicadaes Re8oluc16n: _(x6)'' + (y5 )'' ior jdentidad fundamental x6 + y5 P(x)__(2x4- 3)q(x).,,,,., _2x4 3_+b_0,,____,0_a__,,'_'0__,__i0__''i___0_'_'_a_,'_i_'0a0_,'___i,'__,__0'0_,__'0a__'0a___a ___,_',__,'_8_,_,_',__,'_8,_, ___,_',__,'_8_,_,_',__,'_8,_, ,__,__,_0_,_i,'0a,__,'_,__,'0a,__,_,__'0___,'0_,__,'____,_0,_io'0_,___'_,__,'0_,__,'0___._,'0_,_i,'_,'_'_nn _,_'_i' '-__ X-- ____.______.,,__,,,___,,,_,,___,,'_,,__,,^'_,,,__0^.^"^'^_y_____i_'''^''_^o^'',^',^_'___^''_0'^'^^'^'^^'^''^'^'^''__^',i^' '^'^^'^''^'^'^''__^',i^' ,,'',^',,'___,_0_,__o'__0_,_,___,_.,.0"_,_,_0,0__,o.en.a-. t_ an__ 1,.__,^'_,.', ;?,'_^'''___..._,,..'O:''__.._.,...:,......_._.._.._.:::.''',,,'_' a_b' k'____..__o,^^,.,. l.Dedividir_,__o____i_____i____________i'________'_'___'____'-0__0_0'00__-'_0____________'0-___0_-__,____'0______________0i___ _____________________ii-_________-_____________ ___i_______i_____i_____i__ddo___-___i,___-i___i________i_'_--___-___d_,__i____,i0_iii,____i_i__ii___'V,i P(X) _'_(X+ I) _ R1 =P(- I) 6l7-9 5_-l 4g _o p4o t _2(- l)4-3J_a(_l)+bJ= (_l)+bJ= 7 ' _= XY = XY'' .'. a-b=7......... (a) ' _ = 48 ll. Dedividir _'_ m + n + p= 59 P(X)_'_(X-2)'R2'P(2) 43 _ (2a+b) _232 Prlal8m812 Hallwel valor numéjcodel té_inocentral en el .'.2a+b=8.....(ß qp_a_b4p De(a)y(ß) a5 _b=-2 _p(x) __ (_4 _ 3)(5x_2) siendo a=2vt Yb=3_, ademásPa'+b2 Re8oluc16n: DandoForma __nar m+n+ sab_Nendoueel te_nn__no g a+b 9p _ a_b 9p a+b 'p_ a_b _p _8 Cent'aldelCOCientenOtable_eneradOPOr l(a2+b2_bJ8(a+b)_-(a--b)'1 3__4 n3 X+ y . . existentermjnosen su exaMi6n entonces_. Xm ' Y" p=a2+b_= (2vt)'+(3_)' = J5 te'_inos p_0 Lueeo_c= t,g = 8 ( _ (a_b)9I'' _(a-b)' 728 - ' esolU_Ón: ._no noveno entonces= 4_ = 8Ea2_b'' ' Adem4sa2_b2 existenl 7 ténninos. ____q n_ 4o .'. tc=8 __= IT mn Pr__l8m813 _Enel cocientenotable_enerado_or ladivisión 20m+35+20m_j7 3 3_ xm+l + mm elerminar el valor de''rn'' eindicar el número de .'.m=6lé_inos. 153
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Lu mbrerasEd ito resÁ Resolu_ón:_roDIBmg15 COmo _eneracocientenotable,entoncesseHallaF el númeFodete__inosde_ sigujente curnpl ecoc_enteno tabl 20m + 35 20m - 57 + xl95aI10 _ xI_ al97 + ___ _ '''' '''' m+I m-3R_lu_ón: dondeaesel númefo detéfminos. Sealadivisión (x')^-(a')" Dedondex5 + a7 20m +35 =a_20m+35=ma+a.,..(l)que eneraadichococ_t m+l COnOCendOSdeSUS términOSCOnSeCUtiVOS. 20m -57 _atm-57=ma-3a m '3 __(__)_+1 (_)_(a7_-l _,__a__ (l)-(2):92=4a_a--23 Sude__arrollotendrá23_erminos. Asímismo 20m+35 = 23m + 23Por ser identicos _3m = l2 5(n-k) = l95 _n-k= 39 _7(k-I) l40 .'. m=4_k=2lnn=60 .'. Ycocientenotabletiene60 té__os Pr__l_m__ Enelcocientegeneradopor ab _Pr8al_m 3_ 7 Reduc_t exjsteun téfminocentral ueesi ual a_ 23l. x78 _x16 +x74 _x72 +. .. .x2 _ l Hallar a+b+c _X-XtX-x++ eSOlUCIn:'''' X+ i eeneracocientenotablesetendrá ab 7x3)ny7n Resolución: - _- _n t _ vemos uetantoel numerador el denomi 37 x3_y' naOr _soncocienteS notables. Si hay un té_inocentral,''n''- esimpar x go n+___._I_a. Elnumeradoresexacto xacto 3^'_2 7_' c23_ x2+l =-_n+1-- Xy _-Xy 2b.E_denom_ 72 xq__ t-n-l=23l'n=67 _8__6+____'_+ +_,+ 2'''' x2+ _x2 3 Ue_OC= - (67- l) _C_ 99LUe_O 2x8o Así mismo.de: _2_o ( xqo - x_O ab _o'_- ___- _a= _ = x + J7 .'.a+b+c769 154
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CAPlTUlOVlDivisibilid addepolinomios, addepolinomios,cocientesnot4 bles bles
PrO_l_m8 1l Recordandoqueun término esracional entero si Lasiguientedivisió n susexponentesdesusva_able sson enterosy 3 OOO l6Q-8positivosk--l=2/_k-l=3_k=6+ 3_ _ Ue_O= , , , , , y paraCUaqUlefa deestoscasos. generauncocien tenotablecuyo tenotablecuyotérminoracion al al es:l7- _+_resultaenteropositivo. 23 Resolución: DandoformaaladivjsjónComoktoma6valores,6 términosserán 3 6 3 37 7 racionalesente ros. 3 _ , ' -- 3 _ "P__algma19 DondeuntéFmin ocualquieradelcocientees: Sila diViSi6n: 2(7_k) ___ 2(7-_) ___ 5x_l 99 _ 5x+_ _ 37-k kl _3 _3 '-2 t__ . -=2.2 =2 Comosequieretenertérminoracionalo,;g;nauncoc;entenota bleen bleene_ cua_unte/rm__ 2(7-k) +_k-l debeserente,o tjenel afofmaA(25__l)Y. 32 Resolución: Dandoformaaladivisión,multiplicoydividopor +O 3 O+3 l- - 7- 9_+ 5x+199 _ IO IOx En el cocientenotable generadopor ladivisi ón: __,,_,, 3s335 ^_0__,___,,,_,,0_,,,_,__00_' __~____'___~v^______'_,_____,__0_.._o0_,_,o' _ox_ 5x _+ sx+_ ___,___ - ,_,,._^^__'___'_x^_ .,^__0_._. 0..,__...j,^_,__,__.!,____..'_^ :,,: -__'__,,__,_,,,__, 3 ,,_.,,_,,,,,,_, .v,.,,,o,..,,, ,,,,,,,,,,,,, ,.,,..,,,,,, ,,.,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,.,,,,,.0,,,0, ..,,0,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,.,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,.,,, ,,,,,,,,,_,,, ,,,,,,,,,,,, ,.,,_,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,.,,,.0,,,, ._..,.., .0,., .,9.,.,,._,,.0. 0..0.. ,. ,o.,0....,..,.. ,..,...,.... .,.......... ..........,,, ,,v, .,.,,,,,_o.,,, ,0,,,,0,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,.,, _,,_^'_,, ^__ 99+ 5x+i9Y _Cuánto stérminossonracionalesenteros?tl o stérminosson _eso_uc,.o/n.. (5x' l) + (5x+ l) Tomandoun término cualquieraunté,mi no cua_qu; 35-k k-l 3___ 3 k-_ _j_-3tk Sl_nO) lO)(5X-I) (5X+ t_=._-x equivalentea _naturalezadelostérminosdepender áA(5x__)B(5 x+_)B_ x+_)B_9g__ _____. x__ _iamentedelexponen tedelavariable tedelavariable orserdellu_arpar, serádeslgno(_): +_= l7+_ + _ _ t __or5x _\_9r5x+l\ _9 2 3 2 3 50- _ I_J _ A=_IOy B=_9 k_l k_l _ l7__+_,eSe leXßOnente. A+B 2 3 '' 155
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Lu mbrerasEd itoresA'
P__'_w0 _0 _0l__8 20dondeaesel númerodeté_ino s. s. Siladivisi6nDandorormaaladi_sión IOOxIOO - - eneraun coc__en tenotablex tenotablex J- l _ 3 - I _y (x 2+y') ' _ 3n _ _ 3n X+y calcular el valor numencodel términocentral iara.x_3 ey_-2_ _---(x3^-')a-2(y3"')'_- -x_6y8 Resolu_ón: comoson _.denE_, _i__.._,....._i,.._.,__..gi.i_...._.!.,!._.,.,.,_,.i_.._.-.e..i._,_,_..i__D.,_,,._i...,.,_,._.,_,.,.,,.,,,_i_.,d_i.,a,i,._ii,,._.i,.,_,_,.i.,.._. ; , _''i__0'. x:(3"-l)(a-2)=16 __!__...7.,!__..:_.'' __!__...7.,!__..:_.'' ,P'0' _'''_,0_0. _'_''',__': _'__0:_g'g'_____.____v_,o__i/' 8_(_+r) = (X+Y)' -(X'Y)' ______'...,_0,,_ . n___ , De(l)+(Il)8(a-2)=l6_a=Q .'. Tendrá4término s Luegosetendr_ IOOxIOO _ - Pri_l__822 4 x _1 _-_Quélugarocupaelterminodelaforma . 9 q 2n aClenOX+Y= m_X'Y=n 25 _n 25 delcociente notablegener adopor tendremos m_n _a+b_ab 7 2 + 3ab +b2 cuyo té_inocen_ral ocuparáel lugar l3. _ t __ m25l3nl3l __ ml_nI2__ mn)l2 ReSOlUCt6n: _lendoente__-_ nosdex nosdexe _DandoFo_aaladivisión 2+3bb2b7 t_____4t2____2 _Baa+ _Baa+-a+ ia __3,y__2_ _ _(a+bJ2 J! _ (ab)!! 2 t_3(3;2_) _ E32 _ (2_)2_aA= _ Seak el lugar deI termino buscado _+l a+b2ll-kab_-I rO____21 _ _ 25 s,b;endoeal eual div;d;, _X_ YO' ^ O' - - - _ '^ 3n-_+y 3n-_.'.El terminobusca doocupaellugar6. . mou __ xt6 - PrO_l__8 iDecuántoste_ino sestácompuestosucocien_eunpo__nom sestácompuestosu _op(x) de5to.g,adoestal notable?. Resoluc1ón; y son __gua_esa7 ya_ seF d__v_.dl_ Sieeneracocientenotabl esetendr obt_enecomaresiduo__+1 7. 5n al_a, o_ d__ =a 3n- _ gradodedicho polinomio. 156
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(I)
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CAPlTULOVlDivisjbjlida ddepolinomios,cocientesnotab les les Resolución: Recordando que, si multiplicamos al dividendo y Delosdatospodemosconc luiraldivisorpor?- 2,elcocientenosealtera;pero _. p(x) _; (x_ _) _ i _ -_ 7el residuo queda multiplicado por ? _- 2 _ P(X)-'_ (X+I)'R2 = 7 _ N7 + _ IlI_P(X)-'N( X-2)tR3=7___?' ' _7 IV_P(x)-'_ (x +2) +2) t RJ= 7 _, 1a _ 2_?1 1 + __ _ 2 PofteOrema_, i _ g P(X)-'_(X' l )(X+ l )(X-2)(X+2) _ R5 = 7 P(x) -_(x- l)(x+ l)(x_2)(x+2)q(x)+ 7t R1 = R(Z -2) ComoP(x)esde5to. gradotq(x)=ax+b
Aldividir P(x)-; (__3) _83 2(_?'--4) OrelteOremadelCestO _-3 _ o__ = 3 _ R(x) = (3_ l )(3-4)(_+b)+7 EntoncesR(__- 2) =(z-2)(_83.2(__+2)+ l) = -2(_+b)+7 Porlotanto R= -2.8"(_?+2)+I OrdatO 3 5 Reempla2ando _ '2 ax+b+7 = -6X+ I7t ax+b = X" R(x) = -2.83(3x+2)+ l ue_o p(x) __(__ _ )(__4J(3x_5)+7R(x) -6. _3x-4. 83+ l __ (x4_5_+4)(3x_5)+7quees i d ént icoa_+ b edOndeelCOerlClentedeltermlnOCUa dratlCOeS dratlCOeS'a- _'_ -' (-5)(-5) = 25 (_ 4. g3 + _) _ (_6.g3) DedondeS= PFaal_m82_ Na_dl_,,_dl_r _3!!X! +l s__' + _25 2 + _ + 4 4I daun residuo (_+b) Pr0al_m825 __b-aEn elcocientenotablequeseobtien ede ede 4I xam _ xbn Haciendo3x = 2 __+l eldécimotérminocon ttadoapartir adoapartirdelF_nal,es indepen dientedex. dientedex. _Cuánto stérminosracionales stérminosracionales
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Lu mbrerasEd itores _geb Re8olución:Sicancelamosx+2elrestobuscando se_a I. Si _eneraCOCientenotablesetieneR-- R_.(x+ l), siendo R_ el resto en: am bnx32+2xl5+_ -=-_a 2-3 x2 ll. Dandofo_aaladivisión indicada l 2a_ x_3 a 2x-3 _x3 _+x+l _Odedonde2 _ X= "X_ Tomandosu té_jo décimopartiendodel F_nal t __x34lO_9 __x3Cala_+l8... to5 ycomoesindependientedex: _ R__o ( x _)+2(_)s+ _ 2 l- .-- - ' _-3(a- lO)+ l8 O_ _ = l6 2I6_ x-3l6 Luegoladivisiónes 2_ x-3 dondecadaterminodesL_ cocientenotable tienelaforma t, __ (_J_6_ (x 3)_1 _al__8M 5_ 5_. _UnßOlinOmiOP(X) mÓniCOy deSeeUndO_fadOal ser dividido entrex+3 dacomo resultadounC omo sequ ieret é_ inosenterosc__ ert o coc_Nen t eQ( x) y u n, e st o _ 2 s_.sed__v __ 35_5k >_O_ k <_7 P(x)enbeelmismococienteaurnenIadoen4, doen4, la divisiónresultaserexacta.Hallarelrestode .'.Misten7té_inosracionalesenteros.d_.v_.d_. X_ Resolución: Prial_m82_I. Delosdatostenemos Hallar el resto en ladivisi6n indicada_ p(x) _ (x + 3) Q(x) + 12 _l6+x+2 + _ l5+ 2x32 +x_ (x+a) xJ+3x2 +3x+ 2 II.P(x)_-_(x+a+4Jq(x) Resoluión: Facto_zando e_ dividendo el divisof seobtjenePerO 32 2 _5_) (x+3)(x+aJ+ I2=- (x+a+4)(x+b) + X+ Xt (x + 2) (x2 + x + l) _ _+ (a+3)x+3a+ I2 __ _+ (a+4+bJx+b(a+4) 158
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_PlTUlOVl D;v;s;b;_;dad depolinom_o,, cociente, notab1 Dedonde_ro_lgm8 29 _+ 3 =_+ Q+b _3a+ l2 = b(a+4) Dadoslos polinomios 6_4 b_I _ 3a+l2= -a-4X- _ _ - - - X_4'_ Qa=_I6 _a=-4 - ' divisibles por (_+x+I) Hallar el resto dedivi dir _f(x) p(x) + g(x) Q(x) I x)= (x+3)(x-4)+ entre+X+ l , SablendOqUef X; 8 XsOn NOS _iden P(5) P(5)"(8)(l)+ I2 _ 2D_linomios no cons_ntes. Resolu_ n: PrODl_m_ 28 P(x) y Q(x) sondivisibles _r (_+x+ I ); enlonces Al dividir el polinomioP(x) por (_- l)seobtie neP(x) = (_+x+ l) q_(x)................. ..( l) _duo 2 al dl.v._d._FlooF x 23 -aCOmOQX= +X+lQ2X................ .. residuo 3x. Hallar e_ FeSidUOde dIVId_r P(X) POr (X- l)(X-2) _ f(x). i(xJ_ (_+x+ l) f(xJ. q_(xJ Re_olución: '-'l . Delosdatos I. P(x)_(_- l) _ R(x) = 2x .q_X_X_Q2 _ P(x) _-(_- IJq(x)+_se ob .visibleorx2 .. (x_2)3 __ x 2 3j_ -l Pr_al_m830 Ill. p(x)_; (,x_l)(___2) ,_ R,(x)=_+b Si Un POlinOmiOP(X) eS diViSibl_ POC(_+i+ l ). Calcularlasumadelosrest_sdedividirm(xJyB(x) -_ P(x) --- (x- l) (x_2)q,(x)+ax+b_ ._ entfeX- I SabiendOqUeP X XA( + Br_XVJ Re8otución; _ (Ill) Del dato p(x) _(_ +x+ _) a (x) Si x=l _P(l)--a+b......... ... (a) porelteoremadelresto si x_2_ p(2) _ 2_+b.......... (p) _+x+l = O_ (x-l) (_+x+l)= O tx__ __p(_)__2__= l;reemp_azandoenP(x)= xA(_)+B(_) De(ll)_six = 2 _ P(2) = 3(2) = 6 enemOSL uegoen(a)y ( ß ): RB = X_) +(1).= _ "_= a_b_2 2a+ b = 6 ' '' - luego el resto de_ esA( l) y el resto de x-l x-l .'. El residuo buscado es: esB(l) RJ(xJ-- _-2.'+ A(I) + B(l) = O 159
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'roQlemas__Fo0uestosM
l.Hallarelresiduoidedividirp(x)entre6.Sielresiduodeladivisióndelpolinomio í+x+l,sialdividir_(x)entrex'-lseP(x)entre(x_+4)es7yla sumadelos obtienec omoresid uo_+3x+ uo_+3x+ 2c0enlcientesdel 2c0enlcientesdel cocientees6, hallarel residuodedividirP(x)entre(x_I) x+l B)x-l C)x+ D) 2x+ l E) 2x- I
P(x)=_+áú ' - 5x - 6 Q(x) = _+ (a-3)_ _ l7x_ l5 7. Al dividir P(x) entre_+x-+ I seobtuvo SOn diViSiblCS ßOr UCl ßOlln0mi0 llneal como residuox+l, v, al divjdjr i(x) entre '^mUnd'CO'F''""t''ent'r^ ''í-x+l elrestoesx-_l.Calcularelrestode dividir P(x ) enlrex' + _ + l Dj 3 Ej 8 A) _B)xC)x '-x 3.EsLablecerelvalordeverdaddecadaunaDJ_+xE)x+I delasproposicion es: es: I.Siel pOlinOmiOC(x)diVide8.Luegodeefeciuarladivjsión separada mentealospolinomiosf(x) , x72+x_ al reSldUOdef X). _Xentreh x lI.x'+2_-x+6esdivisiblepor__x+2 ITI. Si dividi_nos_4+_"' +í + I entre_+ I A) l B) 2 c) cx__ _ Y_' I SeObtlenen reS10S QUeSUma n D2xJ+ t E 2_ + 1 Q, entoncesm esl. D)FVvE)FFVcoerlcienteprincipales3,esdivisibleentr___ + l y ademásl__ sumadesuscoerlcientes 4.Deunpolinomiodeoct_'ograd oP(x)sees nula.sial dividirp(x)entre(x-2)se COnOCedOSdeSUSraíCeSqUeSO_2Y 3obtuvocomoresiduo50. ademáS eSdiViSible POr (X+l)Y(X+IJ_ Hall,,e_restodedi ,l_d;,p(.x)enE,e (_7__) Determin ar arel restodedividirP(x)entre (x+2)silasumadesuscoeF1cienteses32y D)6x E) 6x- l O AJ-85ooB)65ooc)85oo D)6OOOE)7 OOOlo.Enelcocientenotablegeneradopor lVlSlble ßOf (2X+ l);SablendOade m,S QU SUß_mef COerlClenteeS 4yqUe al Se,n<331talqueexist enl3té_inosente rosen dindidoPor(x-2)elrestOes5, reconOc ersudesa,o__o. elmenor coerlcient edeP(x). D) qE) 2 D)86- E) 16O
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CAPITULOVlDjvisibjlid addepolinomios, addepolinomios,cocientesnota bles
Il_ Hallarelnúmerodeté_inosquet endráel l6. Unpolinomio m6nico denovenogrado cocienEeno tablegeneradopo tablegeneradopo r tienera_zcúbicaexacta,ademásesdi_sible separadamen Iepor (x- l) y (x- 2). Hallar el sm__o _y 5m-5o residuo dedindir el polinomo en_e(x_4) _ ; (m,n)c_ ; m<32 si el_e_inojndependi entede dicho 2n_9 2n+5 _ polinomioes -2l6. n) 12 BJl3 c) l4 n) 36 B) 72 c)-72 D) 15 E) 16 D)2t6E)_48 2n y2nl 1.Dete nninar un potinomiomónico decuarto l2.SabiendOquealdi_dir-_ se_Fadoqueseadivisibleseparadamentepor 3m_I _ 3m-l __3x+2. __4. _+x_2 a_ ser d__v N_d__ obtieneco_n osegundoté_inoensu entrex-3dejaunresto igualalOO_luego .l6._a__ _indiueel,e,iduodedividird_cho est_ compuestosu cociente notableT polinomio entrex+ t A)4B)3c)5AJl8B)34C)36 D) 7E)6 DJ72EJq8 l3. Hallar el lugar queocu_ el té_jodel8, Si un te_ino del cocientenotable grado lOl eneldesarrolloded x n-yn'P _8o _ _enefaOPOf _ eS X, hallar _ X-__xyn- _yn+ 9_z4 elvalo,de(n_ J A) __ BJ13 c) _5 A) l6B) 9CJlO D) _7 EJ_g D) Il EJl7 l9.SiAesel penúltirn oténninodelC.N.SUma oténninodel d ejd OOS Ojj S deXP One n eS eaS x_+yIo VanableSeeSarrOOe 1oo (oo x9 es:te,_,. x4 -y 98 B_x__cx48 A) 2400B)2 500 C)2 600 Dj g g E _ g X,?' _ xp_8.xl62(p6) . I5. _allar el té_ino independienterespeclo a ' equ__d__ x enel cocienlenotable generadopor n,coc;entenot,blede_Xm-Yn calcula, +y'y Nt _ y9n x4 7 ,Sl 1on (m+n+p) A) y_ B) y8 C) 3y4 A) 225 B) 235 C) 2Q5 D) 5y_ E)-3y4 D) 257 E) 322
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LumbreFasEditoresÁ_geb,, _vidiF uno__nomiop x ent_+ 4en. . ... Nlduo x3 CalculafelreSidu0 dedividirP(x)entreadem_salserd'__'dido_r(x+_)seobtiene ne _+ 2x + l como,es_o 32. s; el té_-,o independiente deP(x) es- 2QO, hallar su coeFlciente A) x+ l B) 3x+ l C) _- I pn_ncl.pa_. D)4E)_3 A) 4o BJ-8oc) 3o .Un _OllnOmlOP XSehadIVldldO DJ- l2E) -40 obteniéndosecomo restos7, - l y l respectivamente. Hallar el termino27__n polinomio de grado n y devariablex es indeendientedel residuo dedjvjdif di__sibleen_re_ l+_ 2+ _ P(x)ent_re(x+IJ(x-IJ(2x'IJté_inoindependiente2. IJ(x-IJ(2x'IJté_inoindependiente2.Sabiendo que disminuido en9 y388 esdivisibleentre A) 2BJ3 C) 4 (x_ 1) y (x-2) respectivamente, calcular el D)-2E)'3valorden. 23. UnpolinomioF(x) al serdivididopor (x+ l)" dejaresiduo x+ l y un cocienteQ(x). Si la sumadecoeFlcientesde F(x) es98 y de Q(x) es3. iCu_l esel valor den? 28. _Querelaci6ncurnplen py q, tal que A)3B)QCJ6 _-p_+q seadivisiblepor í + _ - l_ D) 5_ E) 2 (m e&') ? 24. Dado P(x) = ___+ l Ix-6 AJp+q = o BJq2 - l _pq esdivisiblePor(x_a),(x-b)Y(x-c) c)pq=_+q2 Calcular el residuodedividir D) p_q__ _ E) pa_ _ __ .I t+al I ll Dondea; b; cson direrentesentresí. .Al divldlr el ßOllnOmlOP XßOr X_ 1- Se obtienecomoresiduo2x yal dividirlopor Dl2 E)_ 12(X-2)3 dacOmOreSidUO3X. Hallar el residuo deladivisi6n deP(x) por 2_. DadostfesnúmerosFealesa; b_ c (axb_c) (X- l)(X-2) quevenftcan 3a+__A 8x_+4B4x__c7x+3 b'+pb+q=OD)-x+IE)-x_I c3+pc+q=O abcp 30. Hallar "m'' si al dividir mx4+_+í+l alCUlar:ab + ac+ bcqentre ( + l) y ( - l) reSpeCtlVament_ Se ohtienen 2restasquesumadosdan _. A) _B) _2 C)-l p+qA) l B) 6C)2 pq D}3E) 7 t62
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CAPiTULOVl_;v;,;b;_; d,ddepo_;nom; o,/ coc;entesnot,b _ 3 l.Al dividir unpolinornio p(x) entre(x+6)4 ; se36. Simpli Flcar obtuvocomo residuo__a2x+2a3. Calcular _ +xp+x2p +x3p + x(2n - _)p ._ _ 2 "' _xnp+x2n_ ereStOelVl lCXentreX+ _N_ +xP +x 2P +x3P +.. .x (n- I)P 3 CJ(l08_a' )x+2a'+Q32 A)_^P- l B)_'P+l C)_P_ l D) _a+Qa3 E) x+QaD) l E) xP_ l _ / . . . 37.Loste/rminos_6 l5._2 25 polinom iodetercergradotal quealCOClenEenOtable;elSe_undOeStáados dividirlopor (x_ l), (x+2) y (x-4J,da el lUgareS del ß_meCO. _CUál eS el té_ino mismoresto20y ademásqueseadivisibleCentr alen d_ChOCOClent enOtable_SabiendO por (x+ I) qUeeS enterO? l6 40 OtO8 20 D_Oaso E_4a2o 33. Al dividir unpolinomio P(x) entre(x_n) se38_ HallaC el g CadOabSOlUtOdel déCl mO_ Pnmef obtuvocom oresto''mt'y aldividirloentretéCmlnOenelCOCientenOtableQUeSe (x_m)dacomofesto_n,t.Hallafe lrestodeObtlenealdiVidif: ___ _ x3n+2_5n_I 2_ n-5 A)x_m+n B)x_n_m C)x+m+n D)x-n+m E)_x+m+n Dj3o Ej34 _.UnpolinomioP(x)de4to.gradoesdivisible separadamente por (x+3); (x+2J; (x+5) y 39 sl, el poll_noml_ ademásal se r dividido por (x+l) a_oja ' p(x) _ b_ _ b _ d. .sl. =- +X'eSlVl como resto 32. Siel términoindependient ex _ + __2 depx _ es__'^ '_ m + d YQX'' d,__b_ (_)2cll b X_X+4 lVlSl epOr X- . aCu _r: _ ; n _nb A)8o B)-_1 c)7on,meZ' D) 1o E) _42 A) l B) _2 c) -l _.Enelcocientenotablequeseobtienede:D)2E)-'/2 4m _ x4b ,40.Sisedivideelresiduodeladivisión: x2_x mX+nX'+ßX'+ qX_+ eldécimotérminocontad oapartir oapartirdelFlnal _j; . / x+I x + eS lndependlentede"x'' . _CuantOSténnlnoS racionale senteroscontienedichococienteYmnpqt O notable?por(x+l),icuálesel restoqueseobtiene? A6 Bgc7 Ao B_cm2+ 2 D)8E)lO D)m_n+p-qEJmnpq 163
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_____?v_n?;_?__;sn_nt?,,_?_____v_sn,v_?vn?,___,?vv__?_,,__s_,,__s_;__v__?_,v,,_?__n,_?_?____?v__?,q?,,_;_t____vn_t?v__?__,_,vs_v_v___v_____sss;__;n_?nvn_?_____?_v____,,_?__v__,,v?n,___?v??v_vv;__,_?_vs_?;______,_,v__nv____?,?_;_,?_m?v;s_??_?___nt,r,_?_?,J?u__?_,ss??_____?__v_v_t_s?;_?_v__s_;_?,t_?s,?v___?,?vs_v_s?_s,_c?n__v;_?vs___?__,;_;____?_v,_,_;__?;,_;__n__v_ss?_?___vvs;_;?_v__;__vv_?,,,_?_n;_____?,_,n,v?_?_?__?_????n_t?v?_v__?nv__9___?;,,___?_s_;,_n;;_,;;__v__t_;__,_?,_vv,nv_?__?s?_?_;_s_,,_st;?tv______;_ns;n_?;_v?_?__;;,t;_?__?__s?_;____s?___?n__v_??;?___ fmemq9sc_aaoomuramasa_entue_tdfe_lnuc_s__oe_fmea_a__ntolrsn_caonu_st_letme0nu___ccasenapuouf_ee9yaa__Asermccn__obeno__oploorrluno_r_anpsumsrt__eatcee_taesc1aJ9_(onr9a_caoo9tsule_ls9eaeyayaeenn_ntta)etrobreaoosrurc_haoar1n_lt_ot_+_nJsf__aca0fdoa9eccelstrrm_adnataedemesoanenel__(r_cFacc______ttg___0 ____0__o/_tt_?__c___?_yev_?____a_?y___c_?__?r______qe5t________K_____?__?cre_c____r?___t__x_???_n_f_?_%____n_t__h0?J________?t??___________?a_?r___?______v__n_v_/l__t____?b__ty__l__t_J_q__?__2t______________?/_gv_v_J_r__?___xy_t______a______ny\_r__\nv_ry__;__t___M__t_\__n_____v__x____c___t____nqs___tt_v_rn__________?____t___tv__yv_s/_??_______9___n??___mt___qx______?_______t?sxx____?__?__v____0??___t_F_l?_??_?_?tt??__?tt___t_\_____??______??__n_?_?_?_?__?_m?_____nc__??__xce__sto___?_q___0__;?_?_tt?__J___??__J__?v____?__JeJ_______n____9_,_?_r_q?_0_?__xo___t___h_t?(xc\_x______n_D???_?_?v -j cA_íTuLo
; __'_,NieIsHenri kAbel (1802-1829) ,_, ,_,,5_^__,____%, _t,:__s' ____?_,'';;,_'' __spastor protest anteen cond iciones? L, __,, \_ ___ _ ' _ >_ _cX' ^ _, '_ __,,'__ _?_,_t__,____,__,____ eXtfemapObreZa .A lOS 16 anOS, __L__,:'' '' __ ,,^___, _v;''_'__ ___'_e_ ___'_e_ ;,___ ;,___librosdelosmatem ticos n _,n_\_ .,. ' ___G_ _i_ ,n__:;_;_'U ''t'O'ia d' 9'UPOS"Yde SCUt / -______y"'__'___; _ _"_,:_',__.___;_'__ '!_M_;____n ,_" :,v_ ,?,;5,_v__i_, importantes propiedades relativa! ,_n_;_,,__' ', _,,_ _,__ __e_qj _\v __;_ _; ;;,c_x__ ',\ ?',_ _' ;_,' ' :v,_v,, __,,,,_;^t'_,?? ___ ecuaciones llamadas ecuacior :_,,", n',_/n, _',,__n ___:,?_'?,,,," ;_bue,!,!;,_ae'iube ,c,,,s.,sasusesc,.. ,c,,,s.,sasusesc,..''' 'x,,"' ,^' _;_.,x;__ , v ;:v__;?_, ', 27 anos. , _";_'_vDx AaQb n_' :'__,__; i _(x.v) _(x_y) ' (x,y)
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aBImvOS ' ' 5' ' ' ' "'' ' ' '_'_Xh, '4, _h_ ' ' n\_/?_? _ _pr__run polinomt'_i _ma1_mult1NpIicacî6n i_cadae_0_'^n'__X_ _sdem_or_' _\_''_. _ ___ica_,' _afact0___n en_la t_0__de ecuact_n.es, __ent_ /en la_ e_i___es j_ ' pol_' oIM___5_fracci0n_8s, kac_onales , _tc. ?h'__n ?î-';_ \ __ ' ,_ - ^- "_' € _Ex__car___ ,fa/_,,ctai_cin_ne nlate_' , ,__ inc____,c, __,n.n,es,,,. ^ 'nn^v',n' 'S ,, ,,,,, _
__oDucc__N Desdetiemposmuyrem otos,en losalboresdetodo_nsamienlomatemá_co,surgelateoríade tosnúmeroslacualestaapoyadaen lapartealgebraica. EncuestionesdesimpliF_cacióndeexpresione s_ s_esta ayudanoslabjndalateoríadela Iactori2 ación, ación,queen lavidacotidiananossimpliF_cacálculosengorT ososy ososy pennitelaresolució nde _uacion eseinecuaciones, eseinecuaciones,el estudiodelasfunciones,etc. Paraello,desanoIlarem osel temacon _unosconceptos primarios: Factor algebraico, polinomiosirreducti bles, Faclor pjmo,etc. _así comolos _'enoscnte nospara poder _actonzar polinomios, sobredeter minadosconjunt osnumericos. _rejemplo: l 2 _ ___ _ - l '' n= -I '2 _3___ -n sidoexpresad o enunamultiplicaci6 ndefactoreslineales. ndefactoreslineales. Pararesolverunaecuacióncuad ráticaaplicarem ráticaaplicarem os''diferenciadecua_ rados'' rados''o "aspasimple''. -El aspadoblepodem osaplicarenlageomet_aparagraF_carciertasregior_es. - nspadobleespecial,par aresolverprincipa lmentealgunasecua cionescuárticas cionescuárticas . _fl crilenodelosdivisoresbinó micos,pararesolv micos,pararesolv er er ciertasecuacion es, es,de preFerencia,congrado impar. ,4l resolver unainecuaciónpoli nomial debemosfact onzar. En lasimpliflcaci 6n de(racciones, aveces, debemos facto_zar numerador ydenominador para luego simpli F_car y operar. Cona_dadelaFactorizaciónen contrar contrar nuevasFormasdeoperar,paraaplicarlasenotroscapítu los los delcurso. _tassonaleunasdelasaplicacione sdel sdel presentecapítu lo. lo. 167
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LumbrerasEditoresÁ_geb,,
CAM.___''',,'N___,__. c'_0_/___:.:_:_../_.._.''_';\__:'_';'';v'____'.,_;,,_,.,;,;V,,'''_,,__'''_,'_,;;''J"''_'_'__::' _''_,'_,''__,_'___ '''';'''''':':':''_,''_''''__''_'','''''_:'''''''''''''__'__'''''''''','''''''''''''':'';,''''''''''',:';''':''':'' ',':'_;'_'';'''_'__''''Y__=_=__=:;--=--:--, _=:;--=--:--, ______,_,-_---_-=--'_-_=__--__=:;--__----_------;----=--------_---_-------------_--;--=--=--=------------_----_''' ..:'.../'''__-,__,-=;_-_--:_-___-__'=_=-_-___-_-_ m-'_'__=.''__:',;=';...,..;.=;:':.:'..,.'':-------------------------------_-''_.'' ' SeaKx _un conjunto numéricocondosoperacionesbinanas: adición (+) y multiplicacio'n(.) deFl_dossobreK. Decimosquek es un campo numérico si secumpIen lossiguientes_iomas: AXIOMASDELAADlClÓN AI. _om8 delacerr8dur8: Paracadapar deelementosay b deun conjunto Kt existeun único elemento "c'' quetambienperteneceadicho conjunto / c=a+b A2. Ax1omadelaconmut8t1vldad: Paracadapar deelementosa, b del conjunto K, setendrá: a+b=b+a A3. iMom8del8 asoct8tlv1d8d: Paratodo elemento a, b, cdet conjunto Kt lasumadeestoses independientedelamaneracomose ordene. Así:(a+b)+c--a+(b+c) A4. Ax1om8 del elementoneutro: Conocido como neutro aditivo. Paracadaelemento del conjunto K, existeun único elementodenotadopor "O''; OfK; a+O=O+a=a A5. Axiom8 del elementoIl&madoopue_to de''&'' o simétrico: Paracadaelemento 8 del conjunto K,existeunúnicoelementodenotado por-a,(-a)eK_a+(-a)=(-a)+a=O nx_omASDELA_uLn___CAc_6N MI. Ax1om8 deI8 cerr8dur8: Paracadaelementu a, b del conjunto K, existiráun único elementoc llamadoproducto(c=a,b)quetambiénper_enecealconjuntoK. M2. __m8delaconmut8ttvtdad: Paracadaelemento a, b del conjunto K, secumple: 8bb8 ''_l orden delos(actoresno 4lterae/ producro ''. M3. Axtom8dela&soci8t_vtd8d: Paratodo 8t b, celementosdel conjunto K,se lendrá: a(bcJ=(abJc ''_lproducto esjndependjentedelamaneracomo seasocia0 loselemen(os_, b, c,' esdecii,el resultado no sealteraconel orden'' M4. iMomadel elemento neu_o multiplicativo: Paratodo elemento "8'' del conjunto K, existeun únicoelementodenotadoporleK_8.l=l_8=8 M5. Axiomadel eIementosimétricoll_m&do inverso multiplic8_vo: Paracadaelementono nulo a _unto Kex._steun u/ nl_co e_ementodenotado or -a _ deK, aal _ a 1. ax_omnDELAD_sTNBmv1DADDELnmu_n___CAc_6_coNREs_E_onln AD_c_óN; Paraloselementosa,b, cdeK, setiene: l.a(b+c)=ab+ac 2.(a+b)c=ac+bc Dedondesepuedeconcluir quelosconjuntos numé_cosconsideradoscomo camposson los racionales(_); losreales(iR), loscomplejos(_). l. iYconJuntodelos númerosn8tur8les3. _Losirr8cion8les(_') forman un c8mpo? ro_8unc8mPo?veamo,(5+_)f__,_(5__)___ Respuesta: No,puesto queno cumplecon _omasA4 A5 m5 Pero (5+ J+ (5_ ) = lO_ Así a+O_ apero Ot_ NVemOS QUenOSiemßreCUmpleel aXiOmade si af _, _a_ _ la Ce_adUra(Al) Si a_ Nt a' _ Nns_' _s_no (5+ _)e_' /_. (5_ _) __' pero (5+ _)(5_ _) = 23__'; ._El COnJUntOelOS enterOS Ofm8Un c8mpo? _l ,,,,8eS a ' O' P m OC5 q U eS l ' '"' ' Por lotanto_ Iosi_acionalesno fo_an eSdeClrnOCUmpe Por lotanto: ____"'' noformauncampo. 168
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CAPITUlOVllfactorizació
, ' v_ ___ J ' _ ' y _ v __5 _,,, , _ -__ _cc__y_ __ , _v,_N ,' ' "_,_ ' , ' ,__ '' -,, __, ' Lollamaremosasícuandosuscoen_cie ntes,,_,,,,, ntes,,_,,,,,,,, cnoe, consI, _efteneCen aeSe Cam_O. ,_ _'^_ ___. caso por ser degrado nulo. Así: 4 . P(X)=3 + --X3 Unpolinom ioesirreductiblesobreun Esun polinomiosobre losraci onales,pue sto dete__.nado camponume_,__co s__noadm___ quesuscoeF_cientessonracionales.exp,esadocomola mu_t__p___cac __o_n __o_ndedoso ma_ 2.R(x.'y)=_+ vtyractoressobreelmismocampo . Vemosquevtnoesracionalperosíunreal;E. entonCesR (x,Y) eSt_ SObrelOS reales. p(x) __ __1_ _ 3. S(x,y) = 5x' _ _xy+ (l- i)_J; i = _ I.P(x)=4x4_ I no esirreductibl een _ porque Vemosque(I-i)noes racional_real,es SepUedeeX_re SarCOmO complejo.P(x) = (2_' + l )(2_- 1) Entonce ss(x,y)est_sobreloscomple_os.lI_F(x)=2_-l esi_eductibleen_'_eronoen __ puestoqueF (__) = (_x+ l)(_x- 1) III.M(x)=2_+Ies irreducti bleen_yIR pero ^_'?'?_^ "m_i ____'__ : no en _ puesto_ue ;, _____ _m(x) _ (_x+._)(_x ._ l.Todopolinomioqueesl_sobrelos, recionele ses(arátambien_vobrelosrealesm_'___v ,______ ___, ___,_ ,,, _, eslaunidadima_inariadenotado_? loscom l_o5_eroueestéer, losreeles_ '__ _ '_ . . , J ' _ _,Ot _Or l= , aRS UIafSemaS _ o complejos, noimplica necesariamente ;_ "_' _adela,te D queesteenlosracionales._'_, tl.Todopolinom ioqueestásabrelosreales,_'''_ _______ ___ eslátambiénsobreloscomp lejos. lejos.
' ' TEO.R6MA UnpolinomjoF(x)deefadononulo esTOdOPOlinOmiOdRPrimef_fadOeSiffedUCtibleen_ . . p ' . cualquier campo numerico. COnSlder adOfaCtOfdeO_O_OlnOmlOXSl existeunúnicopolinomioq(x )tal que: FACTORPRIMO=EsunFactor irreducti bledeun polinomio sobreun determinado campo. X3X_QX .em_o. prx___5(x=23 .,_ d...6d p() t f()t susfactore.sp '_ /mosen_sonx__2,_+__+Ien ' - bio_ _ _ divisible por x-2, esdecir (x _2)_ =- (x-2)(v_- 2) JempIo; DeP(x)=x(_-l )(.x+2),susFactor esson x;x+l ;x-l_,x+2_,_+2x; ....;x(x+I)(x_1)(x+ 2) n,,___"; _,,,__,_?AlfaCtOCde Un_lInOmiOtamblRnSe _0 E_.emp_o..'_'_ i_,,let!amadi_7isor,queno' _'t__,_nXnecesar_ amenteesprjmo amenteesprjmo DeP(x,y)=c(_-_)(x+y);susI_cloresson:x-y_' x+y,_+y,+y',....._c(_-y')(x +yJ_ +yJ____' '_' ' 169
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Lu mb_erasEdito resÁ N_,,, _,, ,, E_e_pIol '':''^'_",;'''___'_'''_'''-''_/___E_A,_,,'-'''_,nh,,_;';,s5_;_ Enp(xy_,)___yz2 v_.,nom._o m6n.,cop(x) exp,esadopo, l. Facto_spjmosson tres: x, y, _ bcm II._!úmerDdefactorestotalesesX =- _l X._2 X._3X.....+_nX (2+ l)(l + lJ(2+ l)- _ _ On epl X, p2 X...,. __XpO InOmlOS m nlCOS primosy primosentres(.__ Tie_el 7 raCtOfeS en tOtal. Setendr: Setendr: EjempIo2 I. NOde_actoresrimo5 _n __ 2 _ 3 2 l. Fac_o_spnmos: x+y__+_-_, x_ y No de(actoreso SOn4 FaCtOfeS PnmOS_ II.d_(a+l)(b+l)(m_l)-I__N_ l_SOfeS al8ebfaICOS _UfOe aCre. (2+l)(3+ lJ(I+l)(2+ I) _I _ 7l '. Tiene7 l Factoresentotal.
AC_O__CIßN
Eslatransformacióndeunpolinomio en unamultiplicación indicadadesusFactorespnmoso sus potencias. E_ emp l o: f_c__ _ 8ció _+9_- 22 _(_-2)(nl1) pToducto /_TEoRE__ELA _AcToRuAcI6N'Tm1cA laFepresentación factori2adadeun dadeun polinomio esúnica, salvo el ordendelosractores. CiTERlOSPA_fA_ORUnR',_/ Son t_cnicasautilizar,de sautilizar,de acuerdoalaFormaquepresenteel polinomio. l.FACTOi COmÚM-AGRU_AClONDEResoIución: _senrau _ _ __ sebuscanfactorescomunes_uepuedenser scomunes_uepuedenserluesoP(x)= _(4_+5),donde_usfactores monom_osop_linom_osde másdeun té_mino. pnmosson' x_ 4 +5 En caso deno haber algúnFactor común, se a__paráconv_nientementetratandodequeFJem_ O aa,e,c,,lúnfactoFcomún aCtO_ZaFP(X_Y)''(X+Y)+5_(X+Y) 'Resolución: _Seobsenraque el Factorcomúnesx(x+y) Jem_O _zarpx 4x_+5__ _- cuyosfactoresprimossonx, x + y, _ + 5y 17O
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CAPITULOVllFactorizacjó EJemplo3Resoluci6n: FaCto_Zar co_noa2+ 2ab+ b2 __ (a+b)2 P(x,y) = a2x - _ - 2a2y+ 2_ + _ _2_y luego p(x ab) __ _ + 2(a+b)x + (a+b)2 Reeolu_n: Vemosqueno existefactor comúnalgunoa tnnomio cuadrado pe_ecto simplevista, entoncestendremosqueagrupar convenientementecomoseindica. .'.P(X,a,b)= (X+a a2x_áí+ 2axy_ 2a2y+_ - 2_y -=____EJemplo3 = a'(x_2yJ- _(x_2y) + _(x-2y) Facto_t2a, p(x) __ x4 + 2_7 __x_2a2_ax+_.lueo 2'ReSOlUCiÓn_ XtYJ--(X"2Y)(a-ax aCemOS que2=6 '4_ ßOf COnVenlencla a+ _4_i Enestecaso utiljzaremoslasequivalenciasa___andOCOnVenlentemente nte __ _ so_delosrod __ x4+__+g ______+3 2_ 2x2 nOtables.(Diferenciadecuadrados) Cabe,_f_eCOrdar:_ =(_+3+2x)(_+3-2x)?' __ ( )2 p(_(J+2 ___ + -cX__Y__X/ = _ i+3-2X __-_---(x+y)(x-y_, ' __-y3-_(x-y' )(_ +_+y2) EJ. hi_+_--_(x+'y)(_-xy___ _x_ i ,' FaCtOrlZaF P(X,y = X+y +6xY._ + (a_v_Jx + ab __- (x + )cx + b) ' Re_OlUCiÓn: ._ +_ _l 5- (_ +x+ l)(_ -x + I_ Recordar _:ta3+b3+c3-3abc_-(a_b_c)(_'+b2_c2-ab-ac-bc):' _ntre0_OS ' ;........................................................................ ;_ luego enel problema: EJemplo l _+_+(-2)'-3_(-2) = (x+y-2) l_+ + (- 2)' factorizarR(xJ=_+_-x-l-_-x(-2)-y( -2)J Resoluc1ón:.p(x)_(x+_2)(_7+r7 Jqrupandoconvenientementecomoseindica. ?+_-x-l ___)_--_-) _c(x+ _)(__ _) Ill,CRI_RlODE _P_ A, ASPASIMPLE ____5____, __, : Seutili2aparafacton2ar alospolinomiosde i'.__6___-m__,-'-_-l__(x+J)(x-l)_,,,_u,_en_efo_,ene,,_.. !! ___"c"'_m_M___m_mvMNM___\''"nn'"'__ ' R(xJ= (x+ l )(x+ I )(x- l) P(_,y) _ _2ß_ __ym + Cy_ 6 2x_ _ px _ Ax2n, Bxnt c' '_,_ _mplo2 .zar P arafacto rizar i(x_a_b) _ _' + 2(a+b)x + a' + 2ab + b' P(X_Y) = _ '"+ _m + C_ 17t
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LumbrerasEditor_Á1geb Seguiremoselsiguienteprocedimiento:Resolucl6n: l-DeScompOner1osextfemoSconveniente-Descomponjendolos extFemosadecuadamente mente: +l5y-54y A_n+Bpy_+cy2_ _6y' 8p c__c,p_ _ .9Y' + __ c, __ c,a, ___ _ R(x,y) -_(_ + 6ya)(4xJ2 _ gy2) = (_ + 6_) (2x+ 3y) (2x _ 3y) lI. Secomp_ebaqueel té_ino central es... R(x, y) -_ (_+6 _) (2x+3 y) (2x_3 igual alasumade losproductosparcialesen formadeaspa: B=c_a,.+c,a_,,,_;;,,,,,,,,,,,,v.;_..._...,....,' ____,,TEoRE__,,,,_,.....v'' TlI.LuegoP(x..Y)es(a__+c_y"')(a_+cJrm),T Odo pollnomlodelaFofma esd_'_P(x,y) (a1x^ +clym)(a2x^ +C,y'") p(x) =_+_+c__ (A_B,c) cz, _A, o esIactori2ableen losracionales,si y sólo si ,_ B'--4ACesuncuadradoperfecto(C.P.) lemplO Factorizar P(xJ= 3_ + l Ox + 8 Resoluión: Descomponiendo losex_emos: . j_5 F _- X+ 2 eS aCtOn2able? 3_ + l Ox+8 Re,olucto/ 2 + x2 _ 6xcomo _ escuadradoperfecto_2_ - 5x + 2, sí 1oxesfaCtOrizableenlosracionales. laro_aFactorizadaes(M+4J(x+2),E_emplo2 eS deCir_P(X)=(3X+4)(X+2) _ 3_+ x + l esractor'_ableeng 7. Resolución: E_emplo2 v _, .4 2 eamOS: ^-4 3l ' ' l l YnO eS CUadradO aCtOrlZaf X,y = X- y + y , ./ _er eCtO_entOnCeS +X+ nOeS aCtOrlZab e eSOlUClOn; en eScomponiendoadecUadamentelOSextremOs __ +22 Ejemplo3 5_ -2Y-6_YDemostrarquev_ f _,_,.,_0', _+(_+t)x+_ + 3_ -_ _-5_y esfactorizableen_ -11_yR_lu_ón: Veamos .'. El polinomioFactorizadoes(_+ l)2-4(lJ(_) _ _'_+2_+ l -4_ = (__ _)'P(x,y) = (5_ - 2y)(3_ - y) seobsenJa que(k_ _)2 esun cuacl,ad _rrectoYk__,,L__' Ejemplo3_ _.+k+tX+keS faCtOrl2able Factori2ar R(x,y) = Qx4 + 15__- - 54y4 t72
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_____ _____ _____Ass__es_____________p___ _/_______A______________e____t_______D ___t______e_o______B______o_______________r_____0___E ________________e______o_o______n________0___f_0______0a____0_0_00______0_0________0_0_0_______v______0_____r_0_____0______________r_________e__0___________0_____00____0________________________________p____________________________o__________t____________x______________________J_________ __________________________________________________________________________________________________________________t_________________________________________________________________r_t_____t___ __________________________ ___ __0__________________________0________________o0________o_o ) CAPITULOVll Factorizac ión _0_,..___._..,"_dp._a,,_.. c o, o _ a, _,o, luegotenemos: '''____, _''_'__._ g''_.l_...Tod g''_.l_...Tod opolinomiocuad r_ticoenunavariable,siesP (XtY)=(a__+C__ +F_)(a_+ CW"+_j) r_tico _ii'iracton_ble_debeadmit irel crilejodel__ ,i''_simple.SinoadmiteaspasimpIe,esporquenoes _'_'_ii_. FactonzabIeen_ i._'_._,ii.............................,,....,...,.....,..............,.............................................................................,..........,,.....,.......................,...........,,........,..,..,......,....,..,. P(x,y) = 6_ + 13_ + 6_+7x+ 8y+ 2 ............. ............ ............ ............. ...,........ ..... _i. Re8oluc16n: ,_,__!___''_.'g_,a_.' .i_'_i'.?____.i' _. ' ._.='__:______''' =_._'_,!'.,_'_.' ,''__!,.!_,_!_!__!,, . ,,,. Aplicandol asaspa ssimples :
Factori2ar
Misten_linom iosqueno tienenlaFormaeeneral, li_ii_i''_,. sin embargo,pueden ser Factori zedospor aspa '-__''_'',,. D.o. _ t l_ + 6_+ 7_ + 8 +2 SimPle_i_'__ ..''_. ..''_._2 2 Así ____.'''_.,__ D M(x) _ - 2_+5_ - 10 ____,,,'_, _ 3yl _ 5 __'o___'_,''_, _-2i entonceslaFo_afactori zadaes: ' (3x+ 2y + 2J(2x+ 3y + l) .'. M(x) = (_ + 5)(_- 2) .. E_emplo2 _actorizar P(x,y) = lO_+ l I xy_6_-x- l ly -3 Resolu4ón: eUtllZa_afaaCtOflZafaOSpOlnOmlOSde lasiguienteformagen e_al: e_al:lO_+11_-6_- _-_ly-3 , ,. ,_,,,, ,_,,,_ .,_d.,,,,D, DD,,,,,,.,,,, 0,,,,0,,, ,,,,,,,, , , ,, ,, _, , ,,,,, ,,_ _ __,., ,, , _,, ,,,, ,,_,,,,,,,,,,_,, ,, 5_ D-2y -3 ',,,,,,,,,,,, ,v.''n'_~ ' _..' :_:'..._:__,.''','''..:::._.:;_':.:._::_:_ :__'::.::.;_ :__'::.::.;_ :.....''_' :.....''_'...._:...., _,,, ___so_ b_i b_i __._,,;''_,'_,,__, ___,,,_'_'__'__;,; ,,._____;_',,_.___ _:'?____.___'_,_...__. ..._q._.,.....; ...,.._;_; +_'''_C_2,___ '';..__.,._,_; .,_'___!0:.!i,,, ,,,,,,,,,_,,, ;,;,_,,,,__,,_, ,,,,,,,, _,,, _; ;_,,', ;:' _ 3yl ' Descomp oniendoenaspassimple oniendoenaspassimple s: s: hocedl_i_nto parafa_orii r_ .noml.ode acuerdoa _P(x,y) -- (5x - 2y - 3)(2x + 3y+ l eslaro_age neral. ll. DeFal_ar alg_ té__no_ sereemp_a2a,_ en su EJempIo 3 lugar por cero. FaCtOnZaF __l.seaplicara_naspassimp lesa:M(x,y,_)--_-25_+20z2- 5__2Mz_5y_ lesa: , l. Loste_inos: AJ2^, _, C_m Resolu_ón_ 2.Loste_inos:C_m,Eym,F SeordenwádeacuerdoalaFonna_eneral 3.Lo,te_inos;_n,D_, Fconsiderandoalaterceravariablecom osi (uera unaconstante_as_ hori_ontal. 6ic2 - 5_ - 25_2 - 23_ - 5_2 + 2O_ ..3xD5yDa-42 2x -5y-52 P(__)=__+__+C_ +D_+Ey_+ F_ueosuFo_afacton.zadaes. a, _Dc _ Doa_ f,m(x, ,4,) __ (, + 5 _4_, )(2x _ 5 _ 5_, a_C___
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lumbFer asEd itor_ lgebra
_ ASPADOBlE _PEClAL EJempIo 2 Seráposibleaplicaralospolinomio squeFacto_zarF(xJ=_(x+l) +2_ +5(x-3) squeFacto_zar _reSenta nlaSi_UienteFOrma_enefal:ie8olució n_. n_. __''__';' _''''''-=,_''''''_'__._.''_'_::_o!_''-='=_.'':_:. _'''____:,. .,,,.,.,,.'0'' i''': _'_': _,.':''"''i''_ ''''''i'''''''_,__ ''''''i'''''''_,__ ,''',...'._ ,''',...'._EFectuandoy ordenan dodeacuerdo dodeacuerdoala Forma i._.,,;P. _X. .)_.''____._0_, _'0 '"'__:_''':.'. :_._,',__.:___':. :....B' ,,. _: _'''t' _;__,;.._. _' ,,_...__'^' _''''___''_E, ,_,_'_;;,. . genefal_ Demaneraparticu lar_si lar_sin= ltendremosel o_;nomiode 4to. g,ado S(x) = x' + xS + _ + 5x - l5 SDT: _DO_a5 ST:_ _ Da -3 Falta: l. Seordenadeacuerdoalaformagenera l, l, colocando cero en el lugar del têrmi no que Fal_. _s(x) __ (_ + ox + 5)(_ + x _ 3) II.Sedescompon eadecuadame eadecuadame ntelos ._anteun aspa .'. S(x) = (_ + 5)(_+ x 3) simple, aproximarseaI términocent ral. Así: EJemplo3 Factonz_ 4n 3_ 2a_px __x4__o_+35___5ox3+244 _+B_+ +_+ ' ,_ - - - - - --___. Re9olución: a___ __..-.. .._; ___ __ .. ,,. ..---_e_ = = = = =:! "k' _ ' ' _ ___ = = :_ = 2_ __.. 2_ _.''_- e2_,y)-_- + - Y+ y : _loNe__ __-5Xy;= 6y2ST: 104 sedebe tener (SDTJ: Cx2n, _ __-_y ; 4y2 ___: 2StV setiene(sTJ: (a_e2 + a,e,)_"_ - -_-' _ falta:(C_a_e,- a,e_)_"=Kx2^ I__.LoqueFaltasedescorr_po neen neenlapafte_p__ ,2_s_+62,2_5,+q2 ___) Centfal buSCandOaSpaS Slm_leS aamb05 adOS. IV.Losfactores5etomanenformahori2onta l. l._ -2Y_-Y (a,_"+ k,_ + e_)(a_^+k_+e,_) .'. P(x,yJ= (x-3yJ(x_2y)(x-4y)(x-y) EJemplo l Facto_2ar P(x) = x4 + 7_ + l_+ 7x + l E_. Resoluci ón: Facto,__2ar p(x) _ _q+6 + 6+ _ __ _+_ _J Desco mpo niendo los ex tremosRe,o_uc_o / / Ordenan do do parael aspadobleespecial x4+7x3+l4_+7x+1S DT: 14 _ _ sT, ' _R(,,)--6_4+_3_2+lI__4+4_y6+6y_ SDT: llx_4 DaDaDa' ' 1 ,_----2-_ _ _ _ Fal_a_ _2x ,',-_y :; _ 3y4 ST_ 13x 3_2 ;2'; 24F_.._24 .'. P(x) (_ + 3x+ l)(_ + 4x + l) . p(x) _ (2_ +3 4)(_+2 +2 _J 174
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CAPITULOVllfactorizació IV,CR_RlODE0Iv150RES BlMÓmICOS odara_zracional deun _linomio ,_____n_.,_rtenece,necesnamenteatconjunto Finalidad; Seutiljzaparafactorizar los_ v -_n5___v__ delos_siblescerosracionales. polinomiosenunavariabley degradosupe_or, _ __ siempreycuandoadmitapor lomenos un Factor EJ.e_plo. _plo. lineal.Dd __. . aOepOlnOmlOX = - + , SU Raú deun polînomio; pos_.blesceros,ac._ona_esson l o, Dadounpolino_oP(x)nocoMtante_8esunaAsl/m_,smop(_)_ raí2del polinomioP(xJt si y sólosi P(a) = O. E_emplo: eStOnOS ln lCaqUenOtlene CeFOS raClOnaeS, pOf P(x) _- 3x - 2 _o tantono te,dr_FactoFes_l.nea_es.,nd._ 3 - __ - queF(x) no seráFactorizableenlosracionales. Entoncesdiremosque2 esunaraízdeP(x) Determinacin delos posibIesceroso raiCeS :__:__ 0_s, ' ___n _____. ' ra_onal__P,C,R,_ deun polinomioPl_Dedo unpo1_nom_o p(x), e1 número _b_,es un Paraconocer losposiblescerosracionalesdeun cero de este_linomio, si y sálo si (x- b) seráun olinomiop(x) decoefjcjentesenteros_aClOr deP(XJ_ l l ....n1aNn_ seulili2aráelsiguientecnterio:E_em_Io_ P(x)=_+5x+6 _- _ P.C.R. = _ {l,2,3,6} -_Cn.____resdela i.C.R__+' n_ como P(- I) = (- l)3 + 5(- l) + 6 = O '' _i0_Sde_ao __ ' X' "J _- (X+t SefáunFaCtOfdePX PX en tal caso seráposibleesc_bir _em_lO: _PX_- X+lqX X)=3X+ X+ losposiblescerosracionales: PROCEDIM IE_OPARAFA_ORIlAR __+ _Divisoresde9 _ + l, 3, 9 _ + _ 3 g ! Dado el polinomio Divisoresde3 I.3 ' ' 3 p(x) = a_ + a1_ _ + a_n 2 + ... +a, _, ao.a,,o decoeF_cientesracionales,seprocededela polinomio posiblementeseanuleparaal_unoss._ u_.en_emane,a. deestosvalores,así .SehaIlalOSpOSlbleSCeCOSraCl0naleSQUenOS = 3+Q+2_9= Uentoncesx = I esun cero 'perm1tenenCOntrafIafaí2Oel CerOfaClOnal_ raCiOnal. ue_O,medianteelteoremadelfactor,se podráconocerelprimerfactor. __0R_mA_"2. Sehaceunadivisión por Rufflnientreel __ un _,_._nom._ot._enefectoFes_epr.,me, grado depolinomio y el pnmer factor encontrado, coeF_cientes_ racionates,si y sóIo si, si tieneraícesSlendOel COClentedeeSta dIVISlÓnel OtfO raci on al es. fac_or buscado.
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LumbrerasEditoFet Á_geb ra Ele_PlOl __(x) _ (_ + 2)(2_ - 9_ - 5) Factonar: Factonar: P(x) = _ - 7x + 6 __ R_lU_6n: __5 I. Lospa- siblescerosracionalesson t {lt 2, 3t6) .'.P(x) = (x+2)(2x+ l)(x-5) Veamos: P(l) = l -7+6= O _(x - l) esun _actor EJ_emp_o3 Il. El otrofactor por laregladeRuFFlni: Facton_za, lP(X) -__(X- l)I p(x) __ _ _ 29_ _ 2_ + 7y + 6 Resolu_6n: l O-7 !_: 6 H,__ando _o, pos;b_esce,o,,,c;on,_es.. x=I l I ; -6 11 -6 o i.C.R=_ ' ' ' =_ 1,2,3,6,-,-,-,- . __ - Podemoshacer directamenteladivisiónpor RecordarP_.)=-(X-l)q(x) Rufrlni,consecutivamente. ^'-- ("- ') (_, '_- 63! 4o -29 -247 i_ 6
iemPl02_ _2 o !_-3 Facto_zar P(x) = _ __ _2_ - lOl 4 2 _ eSOlUC_6n_ 2j l P.C.R.=t'''=_ It2t5tlO,-,Parax=-2_P(_2)=O (laverir_caci6nparaellector) P(x) = (x+ l) (x+2) (x-3) (x-!/2) (4x+ 2) , Ue_O__Of lafe_ladeRUfflnl: queesidenticoa :._oP(x)= (x+l)(x+2)(x-3)(2x-l)(2x+I) x=-2 L _4l8 _.+lO 2-9 -5 0son mé_odospc_ct_cosqueFac_l_tan la q(x) resoluci6n delosproblemas, Ialescomo; 176
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CAPITULOVllfactor_z4ció A- CAmBlODE VARIABLE ., Por lotanto, lasuma defactoresRrimoses: Consisteen transformar, equivalentemente, mente, x + 5 + x + 2 + _ + 7x + 3 = _ + 9x + lO medianteun cambioadecuado, unproblema operativoen otromássimpliF1cado.B, SUmARYRESTAR Consisteensumaryrestarsimultáneamente EJ.emp_o_unamismaexpresióno descomponeralgún ._2a, término del polinomio,detal modo que, una expresiónaparentementenofactorizablese P(a1b,c)= (l8c+7b+6a)(a+3c+3b)+3b2 3c+3b)+3b2t,ansFo,meenotro ra/c_._ Resolución: A__pandoconvenientemente:Bl.p_poL_Nom_osDEG_opAR: consist 2_ _ haciendo; a+ 3c+ 3b = z,setiene luego llevarlo aunadiferenciadecuadrados. 2 Ejemplol 6_ - _11bz+ 3b2 Factorizar 32 -b f(x)__x_+ 6í+ 25 2z-3b Reso_ución.. Formandoeltrinomiocuadradoperfecto Por asPasimPleP(?1b) (35 - b)(2_ - 3b) (s,maf y rest,, 4_) Luego_reponiendo _ tenemos: F(x) __ 2 2 +5+6 +4P(a,b,c) = (3a+ 9c+ 8b)(2a+ 6c+ 3b) v 1o_ EJe_n_lo2 (_+5)2 -_ Factorizar eindicar lasumadefactoresprimosde Diferenciadecuadrados x) = (_ + 7x+ 5)'- + 3(_ + 7x+ 5) 7+ __2x2 eSOlUCiÓn_Haciendo_ + 7x+ 5 k = (_+5x+2x)(_+5x_2x) _eneRk__2 _uego, por aspasimple, seobtieneF(x) = (_ + 2x + 5)(_-2x+5) R(k)--(k+5)(k-2) Ejemplo2 .endo _ en te/,m__nosdexFactorizar M(x,y) = 16x4 - l2__+y' R(x) = (_+ 7x + 5+ 5) (_+ 7x + 5 - 2) Resoluc_'o/ n: 2+ 7x + lo _+ 7x + 3 Descomponiendo _I2_y' como -8_y' _4_y2 setiene X x2 __ __ 2 R(x)=(x+5)(x+2)(_+7x+3)(_-y')' 177
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L4 mbfefa_Ed itOf_ Álgeb ra (DiFerenciadecuadrados)C,POlIN0mlOS R_CíPROCOS M(x,yJ= (qx2-_)2_(2_)2 Son aquellosPolinomios4uetienen por _( 4x2_ + 2 ) (4__ _ 2 caracte_st ica: ' 'si un_raiz cuo Iqu ieraesKla OrdenandO, Setienes__u_Nentefo_a.. ' - _X= aX+a(CaSO_Ce_l P2 (x)= _+bx+a B2.p_poL_Nom_osDeG_olmpAR:P3(x)=ax3+b_+bx+a -oreco,da,_ass__guN_entesPq(x)=_4+b_+_+bx+a igualdades:''' ._.;. ___ _.' _::''_:_l_..:_____::_:__; _x_ ; _,,--_.-_--'_ ' _'__., ;n__, - -i_ _- +_ _ "'l::_:-_- :''' ., ... '''___,::'_,:';'''_,::''_;__'_. ' ' '''__ii .. ,.,....,._, __ E o &_ M A,. ''_,ii'''/_:,.._m'_,,,.:'_____l''_--_::_;(x--l=__?;,?_.='-_-----=_-J''.',...._'''___''ii '''''''''''''''''''''''''''_' '' '_ii. __x4' +'_ -_' _ '_-- --i__ i __' 1----)(_ - x__'_:'_i_ l) _ Todo polinomio recíproco degrado impar se anula '9_..,::.__.._.;_';;::.,,..,,,,;..m_,,,,,,,_,,_;_p.,_.,:,.;.................,,,;D,,:;.,,_,;..;.,;0:..,,.,. ,.,.,:_:;,.:.; ;,;._;____;.....paraI ó- l E_empIol...,.. Factorizarp(__)__+x +_,,,...,,,,,.,,.,.8,,,_,,,8,,0d,..,,8,,,_,D,d,,,,Ddd,,.,...,,,..,.,,_....,.,,,,0,.,..,.,_,,.,.._=,_,,......,._.g_.,..,. .,.,._...,_SeaP(x)un_ linom iode grado imp ari ___o'_, ''_ !''__ i _''' i_'__'_!'' _'_'''_ _'_ ^i___i ''0 _:i P=:_' 'P'_'.P_ ^'_,___i'_''_ _'_'_''_''_i_|'_i'_''''_ en_onces(x- l)6 (x+I)seráunodesus'__ unodesus'__ __ _''_ __'_d Re80lUCt6n____-5-_-___-__' ___'^^_''_'_ractores.____,'d''0o0___.... Sumando yrestando í setiene: '''_''_''''_'''''-____''_'_'_'_'_''''''''-'''''_''0'''_ '_'-'i''''__''''-____'"'''_'''''-'''''"'''''''''''''''''_'_'_'_''__'_'''___'_'_''__''''_'__ __0 '''''''''''''''''''''''''''''''''''9''_'__'-__'-'__''____'"-'__''_'''_'''''-''''''''''_''''''_''_'_''''__''_'-'''_'-_'__'-''_'_''''__''_'-'''_'-_'__'--_''_''_"''0'''''"_'''''' P(x) = _ - _ + _ + x + l irocedimientopara_actorizar polinomias __(_ __) + _ + x+ _ recíprocosde grado par; _(x- I)(_+x+l) +_+x+ l I. Seextraelaparteliteral del términocentral =(+X+I)l(X-lJ+l_. .', P(x)=(_+x+ l)(_-_+l) xI x2+ l Ejemplo2. .b 1 Factorizarx Q(x) = x7+ _ + l cual seIogradisminuir el grado del a_,do x_ ..polinomio enlamitadQ(x)=x'-x4 +x' +_+ l 4_ EJemplol =X( -l)+(X+ + _4 _xq(x- l )(_+ x + IJRego_u,_o_n. + (_ + x+ l)(_- x + I) seFactonzalaparteliteral del término central. __x2 2+_+7+_6 _Q(X) =( +X+I XX-I + __x2 x2 .'. _(x) _ (_+x+ l)(_-x4 +_-x+ l) x2 x t78
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CAP iTULOVI l factori2ación IHaciendo aCemOS: X+-_Z Xl l 2 x+-=z_+-=5_ xx2 2+ l _z2 2 Se_iene q(x,z)=_l3(z2-2)+2_+lI _P(X,?) (N_ _ 2+ 6Z + 7) (2+6_+ =_(3z2+2z-5) = (_+l)(?+ =_(3?+5J(z-l) _P(x,_)=_(z+5)(_?+l)R eponiendo_: Reponiendo,; q(x) __x2 3 x + _l + 5 x + _1 _ XX P(xJ=_x+-+5x+-+l XXq(x) = (_+ 5x+3)(_-x+ I)_ .p x _ _J+ 5 x + t _ + x+ _ luegotenemos A(x) (x+ l)(3_+5x+3)(_-x+ l) _Ejemplo2 -a_a,el Fa,to, n.mo demaor sumadeDedonde el ractor demayor sumade ._en_esen coeF_cienteses3_ + 5x + 3 ._(xJ__ 3_ + _x4+ 3x3 + 3_ + 5x+ 3 .o/n.D_ fACrORllAClÓNDEPOlINOMlOSSIM_'l_OS YALnRNADOS _obseNaqueA(- l) = O_ (x+ I) esun factor deA(x) Dl.PouNomloSIm_RIco Esel polinomioqueno sealteraal O_0raCtorpOfRUFrlnl: lntefCamlafCUaqUlerpafeVarlaleSen fo_asimultánea. 35 3 3 53 _---l _-3-2 -l -2 -3 Ejemplol 32 _ 2 3 o SeaG(x,y,z)=5(_+_+_3)+2_z, velegimosarbitrariamentedosvariables_, _ qy lasintercambiamos ' x__ - G(x,__,y) = 5(_+ _' + _) + 2x?y ___) por polinomiosrec_procosdegrado par. ,=5( + +_)+2_? 22 l 2 3 ._=X+Xtt-+2 Podemosobservar queel polinomionoha sufridoningún cambio. ___3x2 2x_ G(X,y,?)eSSimétrico. _9
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L umbrerasEd i _o resÁ_geb
Form8sgener8!esdelospolinom1os_mémcos: '''_''_.,''U_''__'''_',____.___.1et_'''''''j:_'___ 2_---'''' '''_'__'':''''''''''_''___'''':,,''''_''','_::'';_;,:'''''/''..''_:___'?'_:s_'_/n___.____'"''_'''___''',,'''''''''_'_''''''':''.''_'''__;''''''_','_;_,':' ' _.. :_:_'''___''''''__'_' = -_--O- __ '' , 0;--_- ./ ..__;''__' _,''' - _ ... .. ....O_ ' ' ;:..''..,: ''___,';_,'__''____''''',:;:.;'_.__''.___.'_._'_____: _'^ iq' .,'_:... .,'' ....;:.,;_"'';,;,'''''_ _. _''''''.: , rBO ' ..:'' ,__.' _... :: '' '' '; ; .: _. _. :,.__.___;_:__''_; :_,,' __, ;, ' ' ; ; ;,, __ __. .. __ ', ___ ____'_ _ ; . _.. '' ' :'_,,_,,:,;'',_,__,_ ____, '' : ' ;,,'_',:' '_'. ' ' :''_ .. _' _, '''' _,_,___'._, ;_,:;.', :,''''___'_ _ __' ' ' '' '' : _'__ .. _' __, ' ' ' ;' ' ' ', _ ' ' _ ' :' : _ ..,,;'__'_''_:''__ _' '_- :-- __ _--- : : ' _- _:-- _'- '-' '-- ' '--'-: :-'-'--- ' , '''_' _ '_: _d_'_;n ' _ '_' ' ' ' ' :_ ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' '_''' _' ; ';.__' _' '_ ' ' _ :. ; ' ' ,,''_' x-- ' _ ' , _._''_ ''''' ' ' ' 2var. A(x+y) A(_+_) + BNA(_+y3) + B(_y+_) ,(A(_+_+_')+BE__+_J+ (x+_) Var. AX+y+Z A+ +?+Bxy+XZ+y? +_(x+y)+cxy__ D2.PowNoM_oALTERADo:Poridentidad: Ese1 polinomioquesólo cambiade signo al (x + yJ5 _ _-_ _- _(x + y) a(x. y) intercambiarcualquierpardevariablesde_e,.g,ado_2do.g,,d manerasimultánea. _Q(x,yJ= M(_+_) + N(_) ielnPlO! .(x+y)s_ _ __ _(x+y) (m(_+y2)+ N R(x,y)=_ -_ '' Si cambiamosx por y_recíprocamenteseHac_.endo. _eneRx3___ ' _-- - -- ^ I. x=y=I edondeR_,x) __ _R(x,y) _ 2_, __ __ __ por lotan_o R(x,y) esallemado. m +=..........a lI.x=2_y=_I 8.:'__.,.;_.._-5--______------_==;_;_--_-.....:,.._,. .:,_'_ l_2S _. Delaadic_ón,sustrecc_6nt multipl_cación det 5M _ 2N __ l5 ....___N__ (_) _linomiossim_tricos,resultanpolinomios ,simétricosDe(a) y(ß) M _ N= 5 _2Dej 'lt___ ,,d j_ _ .amUIP !CaCIOn eUn PO_nOmlO_ M X,1 = _ X+y 5 + + 5xy) simétrico_r otroalternadoresulLaotro. m x _ _linomioaJternado.' ' ' ,3. Si un polinomiosimétjcoseanulaparaalguna '' desusvariables,seanuIaráparatodas susEJe_PlO variables.Factojzar 4. si un linomio seanulaa,aunavariab_eM a __a3c+c3b+ Ja_a_Jb_ 3_ 3 ieuaI aolra, seanulará_raesamismavanableResoIu_ón: ieual alasdem_s.si intercambiamoscualquier par devariab_es, el polinomio sólo altemaet signo. Procedimientoparatacto_2ar;AsíM(a,b,c)_-M(bta,cJ.Entonces,elpolinomj'o l.Severiflcasiessimétricaoalternada.esal_emado, oalternada.esal_emado,ade_násparaa=b setiene 2. Buscaremosfactoresbinomioshaciendo unam(b,b,c)_o _ (a_b) esun Factof dem. Lueg Va_ableigUal aOtraOaSUne_atiVO. por polinomiosalternados, losotrosfactoresson 4. Seestablecelaidentidad depolinomios_a teniendo presentelasimetría.b (a_b), __c) y (c_a) C _emplo Factofiza,m x __x+ S___ S ' _M(atb_C) = a-b b-C(C-a. k(a+b+C) Resolución:4to.grado3er.gradoler.grado Observamospara: ' __ o _ m(o y) __ o _ xes un facto, _álogamenteal procedirniento del problema antenor, secompruebaquek esigual al, y= O_ M X,O= O_ _ eSUnaCtOr lueo. X=-Y_M('Y,YJ= O_X+Y eSfaCtOr_M(a,b,c)=(a-b)(b-c)(c-_a)(a+b+c) -_a)(a+b+c) 18O
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0 fOblemaSQeSUeItOS Proal_m_1Entonces Alractorizari(x,y)=_y-_y',establecerelvalor__)+__)+_'_), deverdaddelassiguientes proposiciones: por lo tanto P(x,y) __ (x+Y+z)(_+_+?2), l. _+_+y2esun factor p_rnodedonde unOdelOS FaCtOresprimoses: I_. __y2noesunFactordep(x,y) x+y+zó_+y2+_' III.P(x,y) noesfacto_zableen _ .o/n.PraDl_m8_ / n a_ monom__o_ set__eneLuego deFaclojzar, indicar un Factor primo de P(xy z) =2 € (x+y+z)'+ (x+y -z)2I + 5(_+y2 __2+2_) x,y)=y(x-y)=yE()_)I./ 3__3 ' Haciendoun cambio devariablex + y = m Luego por sumay diferenciadecubos, set__ P(x,yJ=_y(x+y)(___+_)(x-y)(_+_+_);2[(m+_?)2+ (m__,)2_+5(m2__,2) estudiando lasproposicionesseconcluye: V _. v__.F ___. F 2(m'+z') 2+_2+m22 .__Pra_lem_2 - m ? = 4_-+4_+5m _5? aCtOfl2aren _= 9m2-52= (3m+z)(3m-z) ' P(x,y) = _+281"+3_(x+y) ieon_.endom. i.. eindicarlasumadecoe F_cientesdeuno desus .Factorespjmos'' .=_(3X+3y+z) 3X+3y_z) esOlUCiÓn .. 3 Luego, un (actor primo será3x+3y+5 ó senramos28=y+ _,Luego,reordenando: ' 33 ,, = ProDl_m85 _-- (X+Y)' + (3Y)3 Factofizandoen_ S_adecubos: p(x) = (_+x+ 1)(__x+ _)+7__385 ' 2+ 2 P = XYYX- Xindicar lasumadesusfactoresprimoslineales. i' = (x+ 4y) E_ +_ + 2_- 3_ - 3 + 9_ JResolución: i_(x+4)(__+72) '' Losfactoresprimosson x+4y, _-_+7_cuyaP(xJ=x4+_+ l+7__385 '__?_ swnadecoer_cienteses5y 7respectivamente. Reduciendo seobtieneP(x)=x4+_-389 i?_._.Poraspasimple: _lgmgJp __x4+8__3g4i ' ,wego deF,,to,,_za, X p_.___+ 3+_?3+_ + _?+_,2+ + x_?2+ _?_ ' _icar unIaclor primo ,t.__lución_Luego, P(x) = (_+24)(_- I6J '''!. 0mo son 9 términosagrupamosde 3 en 3 como =_ (_+24)(x+4)(x-4) i.. __dicaLosfactoresprimoslinealesson ._+ +_?3+_+ +_,2+x+x_?2+_?_(x+4) (x_4), cu asumaes2 x
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Lu m b rerasEd i toresÁ PrODlem86Entonces(m_3J(a+l)=O IndicarunFactorpnmodededondem-3=Oóa+I=O 2 -- a+ a+ a' X+ _ a- I. Sim-3=O_A(x) =B(x) Resolución: co nt,ad __cc__ PorserP(x)polinomiocuadráticofactoj2amos _mleII.Sia+l=O_a=_ _+ b(_4b)x + (b)( 2b) En el PolinomioA(xJ. - - A___ _. 2 axa-2b (a+2b)xb-a. m-_ =(ax+a-2b)I(a+2b)x+b-a_ Entonces,unfactorpnmoessen-, _ a, e _ f, ct or n. enOfSUmade ax+a_2b)Ó_(a+2b)X+b-al COelClenteS deF X= 6x ' 5- 6X _ I 3 _ Resolución: .car e_nu, mero de(actoresr_.mosdeFactorizando por aspadoble: P(x) = (_+7x+5)'+3(_+ l)+2Ix+2 6 x6_ 5 x5 6 xg_ _ 3 x2 Resolución: Efectuandoy reordenando _ , 2_ 3 P(x)=(_+7x+5)2+3_+3+2lx+2 P(x)= (_+7x+5)2+3(_+7x)+5 haciendo _+7x+5 = y setiene _+ 3_-5) + 5 = _+3y- lo = _+5)_-2) _'_ F(x) = (3_+2_+3)(2x'-3__2) yaquelosfactorescúbicos,si fueranFactojzables Reponiendo _: deben admitir divisoresbinomios; sin embargo, no_ +7x+s+5) cx2+7_+5 -2) eS aSí' SeCOnClUYeentOnCeS qUe2_-3_'2 eS el factorprimodemenorsumade coer_cientes. +7x+10)(x2+7x+3) x5 PrO_lem810 Luegodefactorizar X a;b =aa+ab -' l - b(b +ab_ _(x+5)(x+2)(_+7x+3) vemosquet._ene3 dar lasumadesus(actoresprimos. factoresrimos.ReSOlUCl'Ot _: Efectuandoyagrupandoadecuadamente: 32 3 2 fOal_m88 Ka_ =aa-a- -a+ 3b3 i A(x)=_-4x+m+I y = a- +aa- _a2+ 2 X=_'m+lX+Q=a- a+aa- 'a' / ' _ __ _ Hallarelvalofde_n,siA(x)f B(x)=(a-b){(a+b)'-_l) Resolución_ por diferenciadecuadradosseobtiene Seax_ael factorcomúndeA(x)y B(x),entoncesK(a,b)--(a-b)(a+b+ b+l)(a+b-IJ A(a) = O_ _--Qa+m+ l _O CUyOS faCtOCeS ßnmOS SOn B(a) __ o_a2_ (m+ l )a+4 __ o, a-b; a+b+ I; a+b_ I restando setjene(m_3)a+m-3= 0 __ _ FaCt_ pnmOS eS 3a+b 182
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CAPITULOV_I
Pro_l_m8 _Pr__l_m_ _ IndicarunFactorpnmodeSeñalarla sumadecoeF_cientedeunfactorprirno s(a_b,c) _ a2+a+b-b2-c'N- c+2bcdel _li no' mio S(x) = _ - 2b2x - b8 - b4 - l Re8olución: ReSOIU_6n: AgfUpando convenientemente ...,,,,..,,. ,.o,8.,...,.,. .,,,,,.,,,.,. ,.,,,.,,,,,, ..,._,,.,.,,, .,,, ,,, __ _D_D'd0d0.. __ s(a,b_c) _a2_b2_c2+2bc+ a+b_c_,,, _??'__i__'____'___0_____..'_' _..q_,.__,_,,_,,,,, ,_,,_,,_._.'_'_... '_0_','_'_'__;,, _,..',,.,. ' 2b-X+ b'--' _"b) __,,'_0a, ,''?_ Z__2_ ... ........... ,.,.,. ,......... .,. ,, ,...,,...., ,........... ........... ......,...,........,............,.... ....,....,...........,....,..........,...... ............ ............ ........... ...,.,.......,...............,.....,.._...ii. ii i sumendoie,ta ndo b4 sx __2b2x+b4 b82b9 direrenc iedecuadrados-_ 22 _ bQ+12 = (a+b_c)(a_b+c) + (a+b- c) = (a+b_c)(a-b+c+ I) direrenciadecuadra dos cuv_osFactoresprimossona+b-c;a-b+c+l sx__ _2+4 _2_4_ pr8a_g mg mg__ Luegotlasumadecoef_cienteses 2+b4+_b2 Q on respectoal polinomio - 4, - _ _ s(,_b,c) __ a(,2+bc) + c(a 2+b2J_ b3eS deCi r b - b+ 2 _ -b b' Indicarelvalordeverdaddecadaunadelas roposjciones ._Pf_0l_m8 15 _ _Tnr,cto, nmoe,_+c_b ar UnaCtOrPrl'mOdel POl!'nOml'O '_4_ II.LasumadecoencientesdeunFactorprim oR' C eSOlU6n: eS2 t _ _nlPan OCOnVenlenteme_t eN ' =a2 _2 Resolución: - 2 - 2 , 2C Erectuan doe_ doe_,ndoade,uad,me, te.''a C'C++a+ CC+ ' c+12ac_2+c+12 3 a2b_ _3- 3 3 2 2 efeCtUandO =a-+Ca+a _ _ 2 2 ^- C+l {aC' ta+Ca+_tC =a-ba-+a+ +Ca+a+ - ^ = 2 1 _c+12 = a+a+ - a' +C2 Respond iendoalaspropasicione iendoalaspropasicione st stenemos: t --C+ a+CaC+ _. v __.F ___. F LUe_o, UnfaCtOfP_moesc+l 6 a+c ó ac+I proa_gmg _3 PrO_l_m816 Demostrar queparat odo kentero enaareaCtOf_rlmOdemayOfSUmae ' ' ' X'' + 6kX+ l "Oe' F"CtOf''^ble'Ob'elOS j _ 2 raClOnaeS_ a,b=(l'ab)--a+ + Resol u_ón: Ane_ __cemos _(ectuando yag_pando demaner aadecuada: _ ( 6 _ )2 s(a,b) _1 _ 2ab+ a2b2- a2 _b2- _ ob g_, - d d 7222, ,5erVamaSQUeeSUnCUaraOPerfeCtOt a_ - a+ + a_a-a+ n _ o diret_en ciayaQUenOeXlStendOS nUmefOS ciayaQUenOeXlStendOS COnSeCUtIVOS decuadrado sdiferenteS sdiferenteSdeOy l dOndeambo ssean ssean cuadrad os os S(a,b) _ (ab+a+b)(ab-a-b) ße_eCtOS. luegoelFactoFprjmodemayoFsumadeEnConSecuencia ,_ +6_+ lnoes factojzab le le Coef_cie ntees(ab+a+b)en__
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LumbrerasEditores_geb Pri_l0m8 1l Re_oIución: Facto_zar Haciendocambiode variabIe: F(a,b_c) = (a+2b+3c)(a+3b+5c)+2bc _ + _ + _2= m Reeoluón : _ + x_,+ y__ = n Alaexpresión_+2b+3 cllamaremos_, cllamaremos_,esdecir setendr; a+2b+3c= _; luego _enemos _(_+b+2c) + 2bcms _ 3n2m + 2n3 queesequivalentea_-+(b+ 2c)_+2b 2c)_+2b c.se c.se a,and o3n2 FaCtOrl2an dOpOfaSpaSimßle_2 2 -mn- mn _ + _+2c)z+ 2bc _ m3_ mn2 _ 2mn2+ 2,3 2_n2 _ 2n2 2 2 b--mm+"m-^-2n m' 2 +mn.2n2 F(_,b,c)--(_+2c)(5+bJm 2, Reponiendo 2: m -n a,b,C) = a+2b+3C+2C) a+2b+3C+ ,', F(a,b,c) = (a+2b+5c)(a+3b+3c) = (m-n)(m+2n)(m_n) _ (m-n)'-(_n+2n) Reponiendomyn: Pr0al0m_18 = (_+_+_2-__x_- y_)' Sealarlasumadelosfactoresprimosde(_+_+,2 _ _ 2(b_+c2)a2+ (b2_cz)2 . _ P(x,y,_) = (_+_ + _'- __x_?_y_J' (x+y+ _)'_ po,aspas__mp_ededondeelnúmerode Factoresalgebr aicoses (2+l)(2+l) - l =8 _a4- 2(b2+c2)a2+ Cb+c)2(b-c) .'. Tiene8factoresalgebr aicos. a2 - (b+c)2 22 -_ _Proalem82 Veamoslacompro baciónIndiC baciónIndiC ar elFaCtOr pnmOdemayOfSUmade _a2((b+c)2 + (b_c)2) __ _a2l2(b2+c2)l COeFlCiente5 en V_ _( _2) H(x,y) = 2__+6O_Y'_6xy_6xy_ 36x_ d.deLegendFe= -2ab'+C . d Resoluct6n: Ue_O_SUOrmaaCtOIlZ aaeS aaeS 2 _ (b+c)2__,2(b _ c)z_EXtrayendo el factor común monomio: 6xy', se .fe,enc_.ade cuad,ado,. tieneH(x,y) = _(_+ lOx-_+y+6) _b_cJ(a+b_cJ(a_b+c) Por aspadoble: dedondelasumadeFactorespjmosserá_(_ + O_ - _ + l ax + y + 6) a+_+_+ a-_-t+ a+_-_+ a-_+__4a_ _ 2 D^ Da _ ^-y3 Proal_m_19 iCuántOS factOreS al_ebraiCOS POSeeel pOlinOmiO._.H(x ,yJ= ,yJ= __(2x+y +2)(2x.+2)(2x.y+3) px ___+ +,23 3+x?+ ,2 . ' ' _N' OS aCOreS _rlmOS SOnX, y, X+ y + , X-Y+ ( _+y '+z')+2(_+x2+y_)' ?yeldemayor,4madecoeF_c, Nenteses 2 184
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CAPITULOVllfactorización ProDl_m8 21 Reemplazandoel valor de_ Luego defactorizar P(x)= (3_+ x + 2)' (3_+x-4) __ b+_í+ b_2b2x+b3 __bpx __3_+x+2 2 3x+4 x_ halleel valor numé_coentero deun factor primo dedonde un Factor primo puedeser 3í+x+2ó 3x+4 óx__l Para2X-Resolución: Factorizandopor aspadobleespecial: ob_ener el nu/ me,o de factoresa_eb,al. 4+ox3.b+__+ b_2b2x+b2b.b2_ 4 6 7_ _m .b2Resolución DaUDa_. _a_(b_b2) eamOS POr aSPaSlmPle SDT: -(b+l)_ 22 _ ( _+ I) 2 :--+.(.b._+bj__ __ _ -(_-_)2 Comprobando P(x) (í _x - b2)(í + x - b + b') V ld.deLegendre evaluandoen2x=l+ _l ____Q(x) = t_+ (_+l)2ll__(x'- l)_] __-4x+ _I = 4b''+5 dedondee_ nu,me,ode Factoresal eb,a_. _4_ - 4x _ 4b7- =4 __ _ x ' b'- = l (_+ l)(_+ _)(_+ 1)_ _ -_ 7 .'. El valor numérico enterodeun factor p_mo esI Pro_lem82_ Hallar lasumadecoer_cientesdeunfactor primo SeñalafunfactorpfimodeResolución: p(x) = _(3x+ l )3 _ (6x+ l )2_ 15Haciendoun cambio devariablex -3 = _ Resolución: _M(_?) = z' + 81 (_+3) = ?5+8I__ + 243 3_ 2 __ (3i+x)3 _(36í+l2x+_) _ 15_M(_) = 243 N+_N+ = (3_+x)3_ l2(3_+xJ_ I6t __endo 3__+x , setl_enep(,) ?3 12?I6 _5 -_ _-NNo _m(_?)=243 = + -?+l , OrdlVlSOreSblnÓmlCOS,SeObSenraP_= luego (_?+2) esun factor._ por iufrln_ haciendo = _t l O"I2 'l6m(t) _ 243(ts __-2_-2416 I.2-8ORecuerde: tP_=Z+2?-M-8_. ++ _- ++ + ;.. _-4 _2,,3_2 _m(?) _ 243 = += + 1 = _= + 1 z2 93 279 _P(z) (?+2)-(?-4) _
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LumbrerasEditoresÁ_gebra En xes: Reponiendo m _ n m(x)= l(x_3)'-+3(x_3)+9JE(x_3)'-3(x_3)'+27IJ(x,yJ= (_+y2-y_6_)(í+y2-_+2_) 2_) efectuando_ J(x,y) = (ì+_- 7_)(í+y2+_) m(x) = (__3x+g)(_- 12í+33x-27) Luegoel Factor demenor sumadecoeflcienteses Dedondelasuma decoeflcientesdeun factorY_' primoes7ó_5 Indiqueel valor deverdadconrespectoal PrODl ema25 po_ino mio _Cuántosfactorespnmostieneel ßOlinOmiOi(x) _ xG-9_+30x4-45_+30ì_9x+ I p(x) __x7 _ 2__ 1 7. I. 'rieneu__ solo (actor pnmo mónico Resoluc_'o/ n: I I._!nfactor ßrjmoeS ì + 3v_ + l Ill. El términolineal deur_Factor primo es-3x _, _2(_ _)s _ I __ o Resolución: P0rpolinomiosrecíprocos _(x+ l) esun ractor deP(x) ., i(x) = _x 3 -9__ 2'+3ox-45+-30_-9,+-!3 _x3x3+ l 9 x_+ I +3o x_ l x=_l i -I I l -l l -1l ' I _____ -1l _1 ohaCiPndOX+-__ 2l ,22 . _+l ,3 _P(x) _(x+ I)(x6-_-x4+_-_+x-I) _X' _2 _- _ ' ' _3 --_ -3? _-x l __ reemplaza,do obtenemo, ._ doblep x._ _ _,3_3_ _g ,a __(__-3)3 _P(x)=(x+I)(_'x+I)(_'í_l)ieponiendo_ ._ factoresr__mos3 2 + 3 '' px__x3x+__3 _ x3 PfOal__826 P(x) = (i - 3x + I)' Senaleel (actor primo demenor sumade._. _) v _l) F lll) _/ coef_ciente_sen J(x,JJ) = (ì' _xy + y'')' _ 4__.y(x+y)' Proalem8 28 Resolución:FaCtOn2ar 5j .5 DeJ(xy) = (__+_-_J2 _ __(__'+y'+2xy), Ga_b_C-- a+ tC - -- ' ' ! __ n-(a+b_c)' aClendO+y- ' _ = m r _ = eSOlUCiÓn: 2 __m2_4mn_ 12n2 b + c_ a__ x c+a-b_y(+) m -6_ m 2n __,_ a+ b + C=X+y+_ _G(x,y,_) = (x+y+_)' - _ - _ -_' t86
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CAPITULOVllf4ctorizació
Elpolinomioessimétrico,puestoqu esi esi ProQlem 830 x=_y_G(_y,y,?) =OEnbaseal polinom io 764 _ (x+y) esun facEor , así mismo (x+z),_+z) X- X' - _+ ^ + , sonfactoreseStableCerelValOfdeverdaddelas siguientes Compara ndolosgradosPrOPOSlC lOneS: (x+y+_)' _x' - y' - z' -__ (x+y)(x+_)_+zJ. Q(x,y,z) l_ Tlene4 (aCtO reS PC_mOS Vv_II._-_2x+les unodesusfactores 5to. grado 3er. grado 2do. grado III._-3x+les unfactorprimo C0mOReso_u ció ció Q(x,y,_?) = A(_+y'-+?2) + B(_+ x? + y?) m(x) pol_.noml.o recl/p,oco degrado l. Porserpolinomiosidéntic os1 os1paraconocerAy Bm(__j __o_ueoo, d_.v._so ,e,b.lno/ ,e,b.lno/ml.cos. asignaremos x_I,y=l,5=O_ 2A+B= l5 J_ _( _Js_5 _J_ J x=l,y-_l,?=l_A+B=- lO 5 x_-l -J9-3045-30 9-l edOndeSe0btleneA= 5, B= _7 2_2 5(_+xz+y?) } Reponien do dolosvaloresdex,y, ?,entérminosde a,b,c J2 2 __ a_ ,C aCa-+ +C M(x) = (x+1)(xG_9_+30x4-Q5_+3O_- 9x+ I Pro_lem829 Factorizar como Q(x) esun polinomio recíproco degrad n(x,y,v_) = __-?)3+ y'-(__ _x)3+z'(x_-y)3 pa, Facto,;zado (_) set;ene. Resolució n: n:,32 3og__ E_po_;nom ;oe,alte,n,do,yaques;xx- 9x+30x-45+ --- _-,i Xxx x=y_A(x,y,?)=O_(x-y)esun (actor,delmismo modo sonfactores _- z)1(?_x) 3 3 I g2I l XX_-- X_-+30i'-" _ __-?)' + y2(__x)3 + _- (x - y)3 x 3 x 2 x .dl 5lo. grado aClen ahClen OX+ - _ ? X _ (x-y)_-_)(__-x) . Q(x,y,? v _ entonces__+ l _ ,_ 2 _+ l _ ,3 3e_-. grado2do. grado x _ ' xJ 7 _7 2 ReemplaZandOlenemOS _AX,y,5=X_y-?z-XM_+y-+?33, X{?-3?-9?- 2)+30_+N_+X?+y5I 337 3 . . ../. X_'_-+?_ =_SlenOX,y,5Un pOlnOmlOSlmetrlC O. __noml,os_lde/ nt_lcos. reponlendo_: 3 araX=O,y=I,?=_l_2M-N=-lm(xJ-_x3x+__ 3__(x2_3x__);_ parax__l ___l _,-_2_6m_N___l X dedondeM --O/\ N-- l .'. M(x)=(x+I)(__3x+I)J Entonces A(x,y,_) = (x-Y)_-"_)(?'x)(xy+x? +y?) _. F _T. F _T_. v 187
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0 fObICm__ _fO0 UC_tO_ l.Indicarel númerodefactoresirred uctib uctiblesT. lndicarunfactorpjmode P(x,y,z) = x_z' + _z' + ___7 + 3__z' A)x+y+_+ l B)x-y+_+ 1 A) 5BJ2 CJ3 C)x_y+_ D) 4E) l D) x-y+_+2 E) _+y_ x+2 2.Factorizar8._Cuál delassiguientesexpresio nesno nesnoes m(, b) - a2_4+2,b+b2 eindiqueun Factor té_ino de un factor pnmo de . _o. Fcx,y) = _ + 2_'_ c_'_ + 4_y+y4 +__) ?. n) e+b+2B) b_2c) a+b-4 A)-_ B) 2_ C) _ D) a+2 E)b+2 D) 2_ E)-_ -a_a,un Factor pn-mo luego deF,cto__za, 9. Indicar el Factor primocuadrático demayor 7b2d _2(_)db sumadecoeF_cientes,despu ésdefacLori2ar ésdefacLori2ar X)--_+ + C+ X+ + + C + Cm(x) __x4+4 __ __ A)x+b+dB)x+2dC)x+ d+b+cA_+x2 d+b+cA_+x2B ,_+2x4c)_+x_g D)x+cE)x_2c Dj_+g Ej,? _. Sealar un factorprimode _o Facton_zar _ospol,_nomN_ H(x)=(2_+x_l)' --'(_-_'5)'- p(x,y) __ 6_+ _9y+_5y2_ 1 _x_ 17y+4 A) 3_+2x-6 BJ(X-2)'- C) 3_"2X'6 yseñalarcomo respueslael factor pr_mono DJ(x+2)'-' E) (x-2)común demayorsumade coerIcientes. 5. _Cu_ntosdivisores pnrnosposee A) 3x+5y_4B) 2x+3y- C) l x+y+4 T(a,b)_(a2-6ab+b2)2_4ab(a+b)2 _D) x+y_ _ E)2x+y+4 A)2BJ5C) 4Il.SenalarelFactorprimocuadráticodemayor D)3E)6sumadecoeF_cientesen P(x) = x4-_+ l l_- IQx+ lO 6. Factojzar __ a(b_c)2+ b(c_a)2+ c(a_b)aA)_+3x+2 B)__2x+5 C)__4x-2 D)_+4x+2 E)__2x+2 2+c2a+b+cI2.Hallarlasumadecoerlcientesdeunraclor primode ab+aC+bCa+b+C_ J2 ?__ a+b)(b+c)(c+a) D) (a-b)(b"C)(C-a) A) 2 B) 4 c) 3 E) (ab+ac+bc)(a-b+ C) Dj o E) 5 188
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CAP ITULOVl l Factorización
l3. Fac_ojzar A) 2a+2b+2c+ l B) a+b+c-2 28 ,6_2_1_2_4 _ = Z _?N_ - N _ C)2a+2b+Cydarcomo respuestaelnúmerodefactore sDJa+b+c+2 sDJa+b+c+2EJ 2a+2b+2 c. c._ primos. 20.Factonzaryobtenerla sumadefactores primosdel polinomio P(x,y) = (x+2y)'-2xy(3x-4Jy+6y) l_.ObtenerlasumadecoeF_cientesdeunfactor nmo del po_inomioA) _+4y2 B) 2_+2_+8y'H(x) = _-_- l7x+33 c) __4y2 D) Zx+4y-6_ E) 2_-2_+8r A) -3 B) -6 C) -7 D) -5 E) -8 2_ . Con respecto al polinomio 3a_c_ +c3b..a2 l_.Hallarunfactorpnmodea,'C-3 cb2 a_b)=ab -(ab-(ab-l)(I+a"ab )(b+l )(b+lba- +aC aC^Senalarelvalordeverdadofalsedadde A)l+abB) abC)l-abcadaunadelas proposic ionessiguientes: D)lE)a+b1.un (actorprimoesa2-b l6.Factori2arydarcomorespuestalasumade_1_a_c7_ noesunrac_o,pn. coeF_cientesdeunfactorpnmode P(x,yJ= _" -- 4y2^ + 7 + 5_y^+3y"- l7x" A)wFB)vFVC)vFF A)oB)2C) l2 D)VWEJFFF DJl EJ6 22. Mencionar un Fac_or pjmo del polinomio l1. Factorizareindi carel FactorPrimocúbicode Q(x) -_aa_ +(2,_+,__J_+ (_a+2,__a)x+a_3 ____ _ A)ßx+aB)x+a ßC)ax+ß'X __ D) ßx+ a' E)x+ a D)x'__x+ l E)_ -_+ l 23. Delpolinomio _merodeF ac_oresal ebra icos_ _ 2_ 2 _ _ ____ 4 deQ(x) = x4+4_-(_- l )2 Decir si esverdadero o falso con fespecto a laproposicio nessi_uientes: nessi_uientes: A)7B)6C) 8_T;e,e3fa,to,esp;mos DJ9E)5_i . Tiene2Factoresprimoscuad ráticos ráticos -za,IlILamayorsumade coer_cien tesdeun F(a,b,c)_(a+b+c)2+( a+b_c)_factorpjm oes2-2c'- ;O< c
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lu m brerasEdi toresÁ1 geb,a 24. Si i _5x+ 6 es un factor de29. Siendo b+ l _ a_ I cuadradosper€ectos. p(x) __x4 _ 9_+mx+n. Fac Eo;za, 6_a+b+ 4 Hallarelvalorde-n m -a+b_ab+ I yseale aquel queno esfactor deM(x) A) l B)_3c) lo D)_5 E) 3A)x+_B)x-_ C)x-_ 25.Luegodefactorizar 7+ 4x x+l + 2D)í _ l E)_+ l - i lndicarunfactorprimocuadrático 30.Luegode facEorizar A)4_ +x+ _ gJ_7_ 5x+ _ P(xJ= _+x '+ í' + x+ 2 7+ x + 3 Indiqueel valor deverdad o falsedad de D) 2_ + x + 2 E) 4í+6x+3 cadaunadelasProPosicianes: _ca, unfactor deI. Un factor p_mo esx' + x + l s(x) = (l + x + _+_+x4+_)' - _ II. Unfactor primo es_ _ x + l IlI Lasumadecoer_cientesdeun Factor A) x4+_+_+x+ l B) x9 + I pnmO mÓnlCOeS l C)x5 + l D) x3+_+x + l E) x4 + I A) WVB) V_ C) FFV D)FFF E)vFF 27. Indicar aquel polinomioqueno esFactor de Q(x,y) = _ + 2_y_4_'' _ 8y3_ x+ 2y 3l. Señaleaquel queno es factor P(x) = 6_ + 4lx4+ 97x3 + 97í+ 4Ix+6 A)x- 2y B)x+2y+ l C)x-l+2yA)x+IB)x_2C)2x+l D) x+ 2y E)i_ l +4y(x+y) D) 3_+7x+2 E) 3x + 1 28. Con respectoal polinomio32. _ndicar un Factor primo de S _4+ l6,3 ,_+ l indica,el s5 . _ ' _ _- _ , P(a,b,c) = (ab) +(bc) +(ac)J+ valor deverdaddecadaunadelas abcca_+bs+c.5+abc(a2b2cJ_ J_ PrOP0SIC_OneS: l. Un factor primo es_2+4?+ I a+bCB)b +aC)C+a .Un factor algebraicoes(_,D) a2+ bcE)b2+ ac leneSOl02faCt0feSßrlmOSmOnlCOS 33.Luegodefactojzar D)vFvE)FFFS(x,Y,_)=(3x+y'5_)'+(2__Y"2x)'+(3_-x)5 19O
_ __ _ _ CAP_TUL OVt OVt f
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I. UnIactor pnmo es2x+y- 2_ TIl. Un ractor p_mo es3x + y + 5_ A) 6 B)_ n)FFF B)w_ C) F Ev D)vFVE) vw38s_ _. . p , 3__ II.Tiene3factoresprjmo sm sm 6nicos lII.Tiene2factorescuadráticos D)vFF E JFv F 35. Luego eIactonzar edIactonzar un __ inom io P (x) en l o ss (a_ b ,c) _ ( 2 a2 + a b + ac+ b c) 2 + a_ ( b c) ObtUVO_,oosiciones_. P(_)=&tB+b _- (2+ d) Determin ar aruno desusfactoresprimos. C)_+x_l D) 2_ ' - 1 E) _ _+ l _ o. _, dic, r e_, al o F d ev e, d ad dec ad au na d eI al polinomio P (x ) seob t i en ee l si g u i en t e p (x ) __ __5y. 1_ R(_)=_4+3xS- 5_+_-2 _un (a_ _ - 2 i n d ep end i en t e2 A) 5_) _5 c) 6 A) vwB) v F F c) w F D) 7_ ) - 6 D) FvF _) F W
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CAPITU_O
_ac_iones
_ _ q_ LeonardoEuler(1707-1783) ' ': ^'w_,:__ ma_em __co su _zo,h __o estud _ossobre,?,__ ___ ,_M______ ___5,_-m____' _: _ _ __,__?el a_ lisismatemtico matem ticoymenica ?_,"^ß'v_'vw'' _'_,c3_ ,n_ ,n_ 9 _ __ ,?,,_^' faCiOn a1_ ESCf'lbi LateOlia_U__ade /aJ__^Ç_'J;cy' ' ' _ ; ' ,_, ??_;,_f a1_ ?L__;_,'_;__/unaydiversasobrassobrel0s_,?,m'?__J'_',___,__'_'' '_q__^?,_,M' ^_O_, _a,ei,s.seded_ct,mbi n,_af_sic , J,_,___?__' i,_n! ___' ___??_ ' ' ___:____9w@_L_ __v_m _____ .VXcc _',___' ___ laq_'_micaylametafisi_. ___?_,, __y' ' "^_,_ 'C,___-___, 'e, ___, ^_ __Enel campode lamatemát ica,____,d, _c_,_,__,__ _._ ___ __ t,_ ?w_,,,q' ?,, _ _ . _?,,_, __'_ '___ ',__,_?c __C___ _'_ ,_,,,___e5afrOO a2ofla eUnClOneS m__,5_, x^'___'_'_v_,''_'. _ __g___>___' (1+x)^. eX, log(1+x) dividiendo en '_,_c0__ _,'__'_5' _'_5'?___,,,?_?___, _5___ç'z_,'' __ _?,, funcionesalgebraicas ,func!ones __, __ ,n,v,_ __,'- \' ?___,_ _,__trascendentesyfuncione sdeuna?_,__,____,_,_'_ '_?__ sdeuna?_,__,____ __, ,bt _,F,,td,__ _e__ __?m_,^'c__ _q _'___ i Var!^ 'COmPe?a- Ue'nV! aO_OrSU %___ ,n :_ M_5_ ,_ _"_?,_v ____ _ / _ _____ __c q_?___a_e_Oa lne9faraCaemtae'' '______ ___'c!,, ___'c!,, __,x?_____^c__',_x';_!'' ____'~__ '_,_ c'_enc-_asde_e_enbu_9o. En 1741.se' ' ' '"-"'_ _' '__ _ 'J__' ';;' g,, __ __, trasladó a8erlin por lai ntranquitidad _ . ' ?,_,deIos movimie ntospoliticos.'
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l. _nIIeel .__1._.D. _ lospo Ii_7o_Jlios: P(,_'J=J6__'+J6_'_-J2,K-J8 ,_Q(v_J=Sx'-___x-J rJl6r3+36_2- l2_ - l8_8rt-2_ -3rJJ8_' -a_ -_ _ __+5 __O__,!! t_+l ___3 __.C_.D .(P,eJ t,_-__ J. X4l InJ'eI __J.C.l7. del _spo Ii970JIIios: _(xJ _- 2___- - Jlx'' + l_xn + _ B(.K') = l_K' ' + _'' _ _v_' - 1 C(___J=6x__a+JJn,K+1n HaII41Jl o_eI,_I.C'.D.de_._' B l) a_3-J/_'+Jo_ +8__J+x_-&-9 rJ) ax'+x'-&-4_-/ax2+/8x+;a+ r__ l / 8x+Ja! ___o -6 ,!__.C.D. (_,BJ=Z _K-' -J_- __ l HnlJe9Jlose_._I.C,D.deC;_xnJ.___/ _!_._.D.(_,BJ lJ__2-lld_+_ _rrJ2x2-3_-2_ _rrJ2x2-3_-2_ __ _-2 _+_1__J_ __.C.D. (_, BJ __' + l Ji___Jar_: .' l I_/e_J-r_ __'LI__JJrJJ- _ /_1 t__1rJ.
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LumbrerasEditoresÁlgebra '__.0__!_..__;___ 0_5,__..l.._i. ___..'__:'.;._,.::,_:_._..:_..?,''';_'':;;_.'_:_"'"' '"_'_._.___,_.''__.;,,'':'._',.!'..^'":""'._:__.;:__.:_,_.;:____'__.;;__'5.:,_;''....:'_.;...._:....,.._;'''_''''_;____.:_'__:____._:_.'/.:,';;__;_'_;,..:.._.._..,,.;,:'.../.''_'';.,_:'__.,'''':..,.::.'''''"''._'__,.'_,.____:._.'__''':'':;..""'._'.'''..,..''::;_;._;,;_:_;_,''.:.:'';':''''_,_.'_,:_''_,:.___'_''_;,''' ''. _ :_',_.____._'_,'__'_,_',:_..._ .: :'...;,_._;_:__:;'._.:'_',,''_,.... :,_.,...... FACTORDE UM POLINOMlO, Dadosdospolinomiosde gradosno nulosP (x) yQ (x ), sed icequeQ (x) esun Factor deP(x) si y sólo si P(x) -; Q(x) esexacta. En tal caso seráposibleexpresar lo por: ''__ ,ix'''''''__::;____:;':':'':'Q.ix._'' ..:_H. _''x_____' .; H.ix' ' J'.. ..._!_?._...,.m..___.....,li...n.''.o.m_ ..:'..o.n...:_'... n'u_0..........,.::'_ FA_ORCOmÚyDE D05 OMÁ POlINOmlOS, DiremosqueM (x) ser áun factor com ún a dos polinomiosP(x) yQ(xJsi existenotrospolinomiosf(x) y g(x)nonulosde tal maneraqueseaposi b le expresarlospor: P(x) = M(x). f(x) Q(x ) = M (x). g (x) Ej'emplolEjemplo2 or lotanto, susFactorescomunesson: por lo tanto, susfactorescomunesson: (2x_ l ), (5x+2),(2x- l)(5x+2) (x+ 2 )t (x+ 2) ',,,,,""M_xrMoCoMuNDNrsoR(M.c.D.) ,_,.,,_ Dadosdoso máspolinomios no constantest P(xJ= 2x 4 - 3 _ + _ + Ax+ B y llamaremosmáximo común di__isor al Factor Q(x) = 3x 4_ 7 _ + NTx + N común demayor grado.Hallar AN+ B__ lospolinomiosP (x) y Q (x) respect ivamen te, Losfactorescomunesson luego
Si __x-6es el M.C.D.delospolinomiosl 2 _2 ;, ____'',_:.__.____.0__._,.o:..__0_';.a_,,''..._^,.^'.^^^o^^0^^......^_^,a'_,^__,__^__.___'_.__:_^____._^^_._____,.._Og._0,_,,_ ____._^^_._____,.._Og._0,_,,__'__,t_t00''___,.___'oi,_ 6; 1272 Sea5(x) el M.C.D. deP(x) y Q(x)_ entoncesse'0_,__D'00___0o0 2 - l l 2 ; O O lendráque-8_ _. ' ' "_,,,'__ P(x)=S(x).M(x)__i____0'.,__Entonces Q(-x) =S (X}_N(X) __'__ __ ' ^'__,o_A_6 + 12-_ o _A= _6 DondeM(_K), N(x) son polinomiosqueno poseen __D,_., _,,.0,,
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CAPITULOVll m.c.Dm.c.m.,fracc._ I_.Igualmen_eQ(x)_(_-x-6)MÚLTlPLoDEUNPolIN0Mlo PorHomer:Seaelpolinornio P(x) = (x+2)(x_5J, losmúltiplosdeP(x) son .(x+2)(x_5),(x+2)'(x_5),(x+2J(x-5)x. l ^_-1O_. M N : El polinomio múltiplocomúnde doso m_s ;! polinomiosesaquel polinomioqueesdivisible _- -4 ;_ -24exactamentepor éstos, en FormasepaFada. ; _g_ Así ; Seanlospolino_niosP(x) = (x+ l)(_+3J _. -4 J4;_ OO_ Q(x)=(x-l)(x+l) Ios_linomiosmúltiploscornunesde P(x), Q(x), SOn De_y I_setieneque(x'I!(x+I)(_+3),(x-I)'(x+l)(_+3) AN+Bm-_(_6)(_g4)+(_72)(_o)__2_6 (x-l)(x+I)'(_+3)3,...
...'M/ylMoCoM_NMý_rrR_o(_c.m.).''' Dadosdoso m_spolinomios, el m.c.m esel polinomio múl_pIo comun demenor grado. E_empIo:De(a)x(D) SeanlospolinomiosP(x).Q(x)_ A(x).B(x).A(x).C(x) P(x)=(2x'I)(_+3)3(x-!)2p(x) Q(x)_A(x)B(x)A(x)c(x) Q(x)=(3x+l)(x-l)(4x+3)''_'' ' LosmúltiploscomunesdeP(x)y Q(xJsonM'C'D'(P,Q)m'C'm'(P,Q) (2x-l)(4x+3)3(x-l)'(3x+ I),.'.P(x).Q(x) ---M.C.D.(P,Q).m.c.m.(P,Q) 2_+3 3x__J _EJemplo l pero el demenor grado esel mí_moco_n_ El m.c.m. dedospolinomiosA(x) y B(x) es_ múltiplo_- _- 4x + Qy su M.C.D. es_ + x _ 2. Hallar el .'. m.c.m(P,Q) = (x_l)'(4x+3)3(2x_I)(3x+ l) número defactoresprimosdeA(x).B(x) Re8oluct6n: .Porelteorema, '''__,_'__'_'_'!_;;;';;,;,_;_,.,y,,,, ,_,_;__';;,;_,':_.',_.,.__:_.._:__:_'_'_,:._._,_:M.....:_......:.,__._'_'_,__.__:_:'',..._._:.__,__,_'_a'''_0......_,_..R.''''E:_. .._.' _'' ..,...:..'_''_:_'_.,'_.' ,,,n.,,__.;';,'''.,A(x)B(x)= _adosdospolinomiosP(x) y Q(x) secumpleque _ _3 x2 4 _ + 4 _2 P(x).Q(x)_-- M.C.D.(P _Q),m.c.m.(P,QJ_Q),m.c.m.(P,QJ2 Demostract_n: _ -l x-l SeanP(x)=A(x).B(x).........(a) Q(x)_A(xJ.C(x).........(p)---(_-4)(x-l)(x+2J(x-IJ ---(x+2)(x-2)(x-l)(x+2)(x-I) dondeB(x) y C(xJson p_mosentresí. __ (x+2)2(x_ _)2( _M.C._.(P,Q)=A(x) _m.c.m.(P,Q)=A(x).B(x).C(x).A(xJB(x)_._ene3 Facto,esp_. - 197
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LumbrerasEditoresÁ_gebra Ejemplo2_(x6+_)2-_6(x6-l)2 El PrOdUCtOdemUltiPliCar dOS POlinOmlOS en (x2 + _)2 _ _2 (x 2 _ l)2 diVidir SUm_C_m yMNC_D_ deeSOS pOllnOmiOS eS 2 eSOlUCiÓn: Sean A(X) YB(X) lOS POlinOmiOS, COmOdedondem.c.D.(A,B) -_ x4+ _ + l A(x).B(x)___M.C.D.(x).m.c.m.(x) Hallar el M.C.D. y m.c.m.delospolinomios: También _m_C_m_(A,B) __ (_ + _ )2_ 4_............ (_) A(x) __ x4+ 2x2 _ 3 m.C.D.(A,B) ComobuscamosdespejarM.C.D.: C(x) _x3 - 7x +6 (a)-_(D) m.c.D.(n,B).m.c.m.(A,B)(cD (B)),b) ''M'''A, Q(x)--x'"2x3+2x'-3x+ m.C.D.(n,B) xpÆs_oN_sF_ccroN_As,,_ Son aquellasexpresionesal_ebraicasenlasx 6 + x2 + 1 signoradicaloporexponente fraccionano, debiendo al menosunavanablepresentarseen el; .v _. ' ' "' "' C' "P ^ ' eXP 0 n ' "' S (x,y,5) -_ Ejemplos: 2 2_ __2+5?2
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______ ___ _ _ _ _ __oE____________________________ppo_____________________0pu____E________o_0_____________0__________________________A____________________________________c_______________p_0_p____x_____________00_____0_______________o______________________N___+_______________E5x___________s____________+________________7_______________E_____________N____________________T_________________R 5x___________s____________+________________7_______________E_____________N____________________T_________________R__________________E________________________________N______________u___r________m________E_________________o________s_____________________ ________o________s_____________________ CAPITULOVllM.C.D.,m.c.m.,fracciones '__' _ ___.. N. . ;. -__-_-__==-,_''_''''''':''' ''_''''_'''''':.:_''':'''__:,'''',''''._''':_'':'_'_';__''_'''-.'''__._'':'''__'_;:_.''_'.,,;_'_.';_ _----_,':.'''__'___:.''_'''''_'''''___'_'''''''''''.':'''''_ -__;=,--=---/---_: _-;__--:_--___;'________'_'___''Y';'__.'_''':,;.,''',':h_';'''_,_',..''''_.':.''''',;'__.''___.''_',;'''''_''',,'',.''''_.;,...;..__:''.'',,''':''__,_..:,.,'_'::_::---...:- .._:;_._,_:_,___;,m_~::;_;.____:;:____:____;___,_____.:'__;;__:_:____:'___-'i__':_:___':___;___,_____.:'__;;__:_:____:'___-'i__':_:___':-..,_.:-_.,_....:_:,.;_;-^,;:;--_..,__..;;:Y:,:'',, ____,_:_,_,;_;;;:''_,:__,''___'; ''_:___.-,__._,,_:,.'-:__:-':--'-'' ' ''' ___,;_.;_,,:_:_____::______.,__'__X_,Y_V''-_:_;;____;,;_':__,,,_:_:.__;,_'_.. Unarracciónalgebraicasedennecomola,._';:'::::__.'.:,.:;:,.,.'_,::._'_,''''_,:'.,__''_:_,:::''' '_,''''_,:'.,__''_:_,:::''' '_.,___;____,_::_'''_,_'''',''';,N''''''''''_'__'x_'__J'' ''::'..,.:/'_;;''_____::.''_:_:___:_:____^'^''_^''_:,_:n__n_:.,..''::..''':'':''''_'0vv^_^^'_'_''_"' divisiónindic_dade dospolinomiosN(x)y D(x),i..;........._..._',,,,_0i_._a_i0_,,o'_''_ _i0_,,o'_''_;~im--:....D.:_._.:-----:---___m__n___,__,;.__,__':___.;_;_._,_''' '_'' ''.. ..... siendoD(x)polinomio noconstante._'____';;.;-_--_-____--_-_;-,_----'---:--:---_---_---__-__=__-_=--_----___-_=--_----_,=-_-:-''''_,,.,....:.:..,:..:.._,:..,..__.,.:._;_......... .,...',._:'._"?_.,,','';',.. ..'.... _:., _:-'m: -.. _.;.;./,.'__;';;:^'':_ Denotado_N(! _______,,:_c:v_..;_'''_,''',:,__'__,'_,'_;''__'__;__'''::,''____''''__,'''''''''':_''_:'__,''._.___''__n''''___''''':'''',,'''__:'''''._'_..__._'-_''.__:__,_,_x:__:__;__:._,_____'_,,_''_,,,a,,_____0,_'ix_' _?'.___:'_,_:'_._'___''''''_,;____',_''____' :; "_d_ D(xJí' :'d'_' ' ___''_"''''0_"'''''_'N_ ''''' _''' '__o_''"_0 :'__''0o:'0'_'_'^^___'_"' 'm'''''''''' '' _'__'' '_' ''-':''''=''' '0''___ __ j . DondeDondeU=universo (conjuntoreferencial). N(x)polinomJ'onumerador(nonuloJ D(xJ_lino__odeno__nador(nocons_nte)EJemPlos_ aJEnU= _ _ conjuntoreFerencial 2 ' F(x_= x2 +x+4(x +2J(x+ IJ a)P(x,y)=_es fracci6nalgebraica x- 2 Lafracci6nestábiender_nidapara i6nestábiender_nidapara todo númeroreal quetomesu variable''x'', b)Q(x,y,_)=_X++_+ esfracci6nalgebraicaexcepto aexcepto_2y _I_porquedetomarxtales Y-X-?valores,eldenominadoFt_ma_aelvaloFde !_ x2 +x + 4 cero, parael cual notienesentido lafracción. --c)P(x)=-_es Fracciónal_ebraicaEnto,ce,c.v.A.(f)-_&_(__2,__) X" 2y5 d} Q(x) __ano es Fracciónalgebraica,n 203f x+l X= pUeS nOßfeSentaVaiiableen el denOminadOF_ x2 + 4 ' LaFracción estábiender_nidaparatodo 00MI_lOOCO_UMTODE ' VAlORESnúmero Fealc'x"_pues_+4nuncaescero. ero. _DMISlBlES_EF_CCIONESALGEB_lC_Entoncesc.v.A.(_ __ .lc,v,n,} i Setienelasiguientefracci6nalgebraica: '___ ?............Slem_fedebemOStenef__.!, __X3 ______,_'___,___,__g__._.___,,_d.___.__,_o0.__0.,__,_'i'_i_"'''''_''_.''___'_i'''_____'______=''_,i'=__=_''__''''''' __'_i'''_____'______=''_,i'=__=_''__'''''''-'''____________',,_,,_n__,,_',, _o,'_,,,0'_,, presenteque debemoseliminar''__'_,_, __:!,_...._:.:.,__._,_;_:__,,,ßl.0,,.,,__,.___.,,,,.:_:,,'.:;;:.,.____:_valoresdelavariableque anulei_t_____'.,. aldenominador.i?_'_'i_ i,. envanablex y seam un número cualquiera, el ___._.i ' _'alor numérico f(m) obtenidoal sustituir m en _dopa,aa_gu_n va_o, deAhoradebemosrecordar: '' ' i;' Por ejemplo_ si sesustituyex por l. RAClOMALES ' I2+ 3 ' r l = _, el CUal CareCedeSen_dOi eStOnOS ac I_I Sea- - c b'd .. muestraqueIavariablex nopuedetomar ?cualquier valor, sino queest_ restringido aun i conjuntollamado dom_nioo çonJyntDdel. _iCiÓn __0lofgs_dmi_ibles(C.V.A.). a+ C_ad + bC _Engeneral,parael caso deuna (racción en b d bd e'_unavariable: i' 199
___0__0_________________________________c___________________________o___________________o______v_D_____________________o___________0______(________________________________c_______________________r______________________________t______________)______________________________x____o__________________o_(__________________o_0__o____)_o______________o___00_____________________0_________________________________________________D__(_p______ _o_(__________________o_0__o____)_o______________o___00_____________________0_________________________________________________D__(_p___________(__)______________)___r_______________0_______o_____y___o_x__p______0_s0___o__t___20____o___________________________________0___________(__________________)________0 _____(__)______________)___r_______________0_______o_____y___o_x__p______0_s0___o__t___20____o___________________________________0___________(__________________)________03N((J )__t_(x(__txx)t+_+x__)_x2(____F_)x_ _ aa2c)_v_A_oe lumbrerasEditoresÁ_gebra 2.Multiplir_cj_nEJemplos: aca.c_F) x+l ___lb' -d = _b d ' X- - _-l ' _+l ndemás,paradi_-idir fracciones__(x_I)(x+I)+(x-I)(x-I) podemosemplear lareglapr_c_ca(x _ I)(x+l) quecoMisEeen ladivisión del 2x 2 productodeextremosentreproducto--_2 ;Vx_U-(I,-l) demedios: X- l a2f,_ x+l x-I ba_d_bcdxo ' -_x-1 x+l_ -dc__ c' ( _)( _, 21 =_=__l .(x-l)(x+IJx2_1 emanefaan lO_a_ SereaIZan aS operacionesentrefraccionesYxeU-(I,-l) algebraicas. Sean lasfraccionesa_ebraicasx sx + _ x _ 2 .f(xJ= _ -_ N(x)N(xJX-lX_3f 1( XJ_"_t f2 X-' D_xD,(x) -x-I(x+l)(x-3) _- x+2-_(x-l)x+2) ERAcc_oNEsALGEBRA_CAS sALGEBRA_CASx- 3 AdiCi__y SustlaC___ x2 __ - 3 =_;_x_U-(l,3,2 '''_i_'_,._.N..._(X' J.-_---__ _'_'X)''''''''''''''_..'''''''':':'_N_tXJ_2L_X)''tN_(X_---D____;_--_).:'' '''' ...__;_(x)_--------_2_,.'_::'.:')'_'__' ,..'::'''''''--'D_._xJ'._.'D2(___:_-':_-_--=----.:.'' '.r_cc_oN_n_GEB__c_REDumB_Es '"'''''''''''''''''_'-"'''____'"''_'''''_'':''_d_0'''''''''''''''''o'''i'''''__''''''''-'_''-'''''''v''-'''_'i'_''''e''''''''''''0d'd'_ddd''0_0'o__d'"d' ''''''''uF. ,f()N(x)d.bl . nafaCClOn X=_ eS reUCtl eSl .V.A. f_tf_=U_{X/ _X= _JD2X= D(xJ o) X_DX ßOSeen aCtOfeS COmUneS, eS, en Otr caso alaFracciónselellamairreduclible. mUlt{_liCa__n Cuando lafracciónesreductible, seprocedeala i'__.,_'N._____':;_,_''''_,''''__'_''''''''''''_'''j'_'__.:_._/_''A':__:_,_.:__ _( _''"o,simpliF_cacióndefactorescomunesconsiderando ..i_;'._::....'_.., ..,_'.._,.., ,_..',_J_q.',....:,_.':..._..._.X_,,,,'2.,__D0comocvAde _arracct_o,nreduct_ ''''''''_;'(x____ '-"'_.:;.._:::.,'__(x......__'?'''';:''_,''x'''''''n_''D-;'?_.J...,.._2_X_J_:-':-:___:'--;___....lafraccióninicial. E_emplos: C.V.A. (f_.f2) = U- (x / D_(x)=OVD2(x) O) l. LaFracción en_ (x +2)(x-3) Di_i_n(x_5)(x - 3) ..._-_--'-____--__"__Sx-.,..,_'_:___''m;'_'i'''_-_--__ -=,N--f'_''':''x''''_''' ':..;.._^__-_C__'-___0_,i.Puedereducirsea '''_,,,,,,,,,._.;--_, ,_'''';.''':?_'_''_ ..;_e'__..___;_......._....__=.,.,,,_!''''_ ,,,.,. ' '''. .------_----;;:-:-_:.;;:-_''_,i_ i'_'':'__''n'''__0_ X:.,. ' ' 'X;'''___ ' '''' '''' ''''' _; X^''____ ,; 2_ X..._:_ F(X) = _X'' ' ' ''';.::;_.;_.,'o_:.;..'; ;_ ' '_. ' '_' _; __.; !__; ''_.'__ : ;:: ;_. ___ ;___'__._.:_;. _'_;_., ;....__.:;..____. _,;:;. ..,_n;_.:._,.:\. _,_:_ _: ':..:.......dd. .......,.........,_;..v.,.. ;: _ ' __ '_, ,_ :'_,d_:,_;;__:..._,...._' :....;_.__;_:: __0 ::_' x - 5 dondesu C.V.A. esel mismo que el inicial: c.v.A.(F,+f,)_u-(x/D,(x)=ovD,(x)=ovNJ_(x)--o)C,V,A_(_--_' (3,5) 20O
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CAPITULOVllm.c._.,m.c.m.,f,ac,;
II.En_ _5__ 2X= rx __ _X- 2 _X+ 2X' + 2X_5 x+2x-2 2 _c.v.A.(F) __ _ _ (22) r3(X) 'X 2 F(x)= _X2 __4fx)_X+ X+ 4x2+5x+6 _c.v.A.(tJ__-(2_-2) f(X) = l Tambjénpodemosclasirlcarlaspor g_poscomo _CNV.A_(_= _ ' (2_ -2) 8) Fr8cctoneshomogeneas Un g_podeFraccionesalgebraicasson ClASlFICAClÓYDEFRACCl0N_AlGEB_ICAShomogéneassitodas poseenigualpolinomio Sealafracciónalgebraicadenominador. N(x) f lX) = _ D(x) _X= podemosclasiF_carlacomo .o_np,op__,r2(X) X+ Si el grado del polinomioN(x) esmenor .- x2 'F3(x)=_,entonces: b) Fr&cc1ón _p_op_ax + l Si el grado del polinomioN(x) esmayor o ( _X, JX, 3 XSOn raCClOneS hOmO_éneaS. lgUal qUeel __radOdel _OllnOmlODX. E-emlo_b) Fraccioneshetero_éneas aJson(racc_,onespropl.as.. _oso más(raccionesal_ebraicasson heterogéneassi al menosunadeellasposeef _(X) -- _3 ' _ dis__nto polinom_odenom_nadoF x+2' 4 f(x)=_++EJem_lO_; 5 F_(X)" 2+_x+3f 3( XJ= 4 f_(X)= x_3 fq(X)=_ 5 F3(XJ_ _onesl.mpfop_Nas. x + l 2+2x+4 E,,oncesfJ(x)= x- 3 F_(x)._f7_(x)yF3(x)sonfraccionesheterogéneas. rogéneas.
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Lu mbrerasEd itores_geb,a itores_geb,a
Resoluctón: .__ ___''i T_''0___'MA''_,'_''''''''''''' '''_''' _'' '' ' ' '' ' ' ''' Haremosuso del teoremaante nor Si el valor numérico deF(x,y) __ ; _ , o a_x___xy+c_v +dJ x,y) _; EntOnCeS _ +b_+c2y +d, _ xo c,o dxo P-2 _2P+3q_ l _ 3q paratodox e _ qúe_er_enecenal conjunto de8 '4 7 v a l o r sea d m i s i lbe s d e l a f r a c c i ó n e s s i e m preun va_o, const_te_._ _ , oDedonde resultaque E n t o cn e s s e c u m p l e l O - 7 a_ bt c_ dl --- '\ Q----=-=-_-=k _ b2 c2 d2. _l Ofloquek_9 Demostr8ción a_x _b_xy+ c_y +d_ _ k DESC0mPoSICl ONDE UNAFRnCCI_N E_ a_ +b_ + c2y +d2 _tOnCeS Hemosvisto laadicióndefrac ciones, por ejemplo a_X+ b__ + Cfy+d_ =- k(a__+b__Jy+CJr+d7_) aF+b1_+C?+d_ __+kb_+kV+kd2 _x+ _ '___2 ' (x_2j(x+ j 0 quees desumaimportancia saber_aaplicar. Ahoraaprenderemos el procesoinveno, esdecir_ al exresar unaFracci6n comolaa dicio_nindi al'ka2t'' ; a7t a2 - deFraccionessimples. b_ b__-kb2t-_k; b__tOcAso_ b2 Parafracciones propias C_ C_ _ kC2 t _ _ k ;C2_OSeaF X UnafraCCl6n PrOplaIr fedUCtlblel denO C2 ser así tenemosqueFeducirla: d_ _ d oF(x) _N(X) =kd2t-__ 7t d ' - D(x) ab cdAhora debemosFactorizar el poli nomio ,'. -! _-! _-! _-! _ k denom__ a2 b2 c2 d, .em _o.,a. Si ensu r8ctor128c16nseobse rv8 que 2 Si lafraccin 6_ _ aOF Y_ nO _ 8Or' 2 ) , ,+( 2 p + 3 q _ J _3 c a d a u n o d e é s t o s s e e e n e r a c o m os u m a n d oa l a F(X,y)= _Fracción_ 8X_ Qy+ 7,___. _,,,,,,,,,,,,,0., ,,,,..,,,,,,, 0,_, _,._,, ,,,,,,,,,,,a,,,,,, ,,,.,_,,.,..,.,. ,,,,.,,,o.,., ., tomaunvalor coMtantedistintode ceropara _' ''' :' ''' ' ''' '''' '' '' '''' S'' _ __,_. '__A,__b) c& _.af0_ __'_,b v__,_,, 1. C.V.A. dela Fracción_ entoncesdetermin_r esle ^'_,_,v0 .....,.,,o_o ''..:. . ' :'''' _' '_'_ ,,, _n ' _ ''' ' ' ''' ___ valor.
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CAPITULOVll m.c.D., m.c.m.,rracc_
Ejemplo l Entonces Descomponer en fraccionesparciales a_ 2 + _ _ _+4 F(x) _+ ---+-+f(X)=_ x3_2x2-x-2 X+l X-l x+2 2 ResoIu_ón: seobse_aque esuna rracci6npro_ia F(x) -_A(x_l!(x+2!+B(x+!!(x+2!+C(x+!)(x-'!) irreductible, entonces_ factorizandoel (x+ l)(x- IJ(x+2) denominador (x+ l)(x+2) A_ 4_ + l Ix + 3 --- A(x- l)(x+2) + B(x+ I )(x+2) Dondex+ltgenera x+l + X+IX-l _ Por identidaddepolinomios x+2_ genera_ s._ ._g 6B_B x+2 l X-- '- -._ u._entex=-l: -4=_2A_A=2 _+4 ABx='2:-3=3C_C=-lf ( x J=_ __+_ F_. 2+3x+2x+l x+2 23l x+4 Xt tBX+ X=_+__ =_j 2x+I x-l x+2 X'l)(X'2) X'X+ Luego lenemos _ + 4 _ (A+ B_ +_ + Bb. POf _d8 f8Ct Or del_ fO_a(_+bJ" n 8tO n+l denominador_ segenera laadición indicadade _d o n d e A +B - _ 3f r a c c i o n e s d e l a f o r m a 2 A +B = 4 . ,. . . , . - . , . - _ . . - . ..-. . . . . . .,. , . . . _ , , _ , , ., . , , - , , , , ,, ,, , ,, . . , , . . , _ , . _ , , . .,,, , _ . . - . .... .. . . , , ,, , , e - , , , , - , , . . , . , , ,. . . . . , , . , , d ,,., _esolnendo A= l _ B = 2'_v ___' ,''_''''''''''''''''''' ''B,,'_'' c''' '''''''' ___ ' M ''''','' i ,,_ 9 ,t + . OnCeS _''' ___b :::''','.''','''_'''' , j + '3. ''' + n __'_, 3x+4 l+2_;'_\,.--_-_-=,-_-_._-,_'d..._- _''...p,,-,'_ 2_3x+2'_+I _+2 4jeInplo: Expresar lafracción algebraicaen lasumade m_l02 . FfaCClOneS _aiClaleS. SCOmpOnef en ffaCClOneS _afClaeS 3 9x2 _2+IIx+3 f(xJ=X'X_ =_ x _3 x +2x_x_2^ __ui __ui ó n , . b s e N o s u e e n e _ d e n o m i n a d o F x _ 1 3 _mo es,o iaeirre ductible_actori2amose l _ l 4no _o esento x__ l 3 '- _nominador (x+IJ(x- I)(x+2) ;aonde AA+ B+ C x+ I)_genera_ x+l X- (X-I) (X_ B X- l t_enefa_ Además(x+2) tambjénes Factor x-I D x te_ X+2t_enera X+
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Lu mbrerasEd i to resÁ
Luego tenemosEnto nces 3_x2 /F(x)_-_+X-f(xJ=_+++ 3 -X+X+2X+2x+2x+ ABCD '- _x_ j ' _(x_jJ2 ' _(x_jj3 ' _x+2 ((x) __ _(_ + BJ(X2 + 2X+ 2) + _ + D 22x 22 2x+2 +Bx__ x+2 +cx+2+Dx__ 3X+ + __.3 EntOnCeS losßOlinomiosnumeradoresdeben ser X- X' edondedebemosencontrar losvaloresde C,D_ademásIospolinomios en losnumeradores debenseridénticos i_ ___ __ _++-- + + t t+ t+ 3 PorlotantoDedondeA=I,B=2,C=_3tD=--2 Asignando valoresconvenientesax Por lo que puedeexpresarse x=I _-2=Cf x+2 3x+2X-_x2+2x+2x= O_ _9 = A(2) + B(-2) + C(2) + D(-l) _BA=l E_, x= - l _ _ 30 = 4A- 2B - 26_ B- 2A = 2 DescomponeF en laadición indicadad fraccionesparciales DedondeA=-l_B=O2x2 __ 2 3 f(x)-- +.'. F(x) = _ ' - + - (x+2)(x2 + QJ x-l x__3 x+2 A OndeX+2t_enefa g, elg X'2 (_+bx+c)ll _t _+bx+cirreductjbl en a,On ,_ + 4 t ene,a__ t C i+bx+cn+l noesF_ctor. seenefa_aad__cio_n ' indicadadeFraccionesdelaforma r_.'.'''_' ''''i''''''-i'0_'_'0'0'''L''''--'''''--'-'-''-'''''-'''-'-'''''''-'"' '''''''''''''''''' '''-_':'-'__'D''_''_----' i '___+'B''_- ''-'-_--.,_-,_',__ '-------_-____=-'---------,'__-----____i f(X) -+''_''' ____-_---_,--'__n,+_----,_'__.__-_---=+____î-:_-'''-----'''_x_2x2+4 '''_ aX2'+bx__c(ax +_' _cJCax +_0i__',__ '_' _-l,''_ ''?'''_''''.':__'_ __+- ''n',' A+Bx2 ''??' _..____::_._''.. __ __ _ _-'___, _- -- _._i_2 ,.___'__i. f(xJ= _+ X+ + ''' '' ' ._. , _ .s__'__ _ ___s_. "- (_--_- x,-_-- _--:.?- _).,=m i.' (x + 2)(x_ + Q) ' '_ -__^_' ' _'''_^ '^ _- _ ' '__^^_"i^''"P'P__^0^"0'^^____ '"' ' '"''^' ' _0'0^i__0^___'_'_ __ i'_'_"i"^_0^^''' Entonceslos polinomiosnumeradoresdebenser identicos. eSCOm_Onef en aalClOn ln lCaae Ffaccionesafc;,les.2 + _ ' 8 _'' A+ B) + (2B+C)X+ 2C+ _ 3+ 4x2 F(x)=_X+ + Dedonde2=A+B 2+2x+2 2 -8= 2C+ 4A DondeobteniendoA= -2t 8 = 4, C= O (_ + 2x+ 2J' pof lo quepuedeexpresarse _+B_+D-24x' _cx2+2x+2j2 X=
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CAPITUlOVllm.c.D.,m.c.m.,fr4cciones
Eje_plo3 En el segundo miembrotenemosuna fracci6n DeSCOm_O_er _e laadiCi6_indiCadadepropia quedebemostransformaflaen laadicin FfaCCiOneS_afCialeSindicadade fraccjonesparciales. S _3 F(x)= _X. 3+x2 EJemplo Recordarquelafraccióndebeseri_eductible,deDescomponeren laadición defracciones Iocontrajo,hayquereducir.parciales. Reduciendo tenemosxq mosxq _ 3 33x f(XJ= - x__ x2 2+_2 ResoIu_ón: Donde(_+1)2genera:_++_+ Obsenramosquelafracciónesimpropia, 2+t (x2+_ )2 entOnCeS debemOS eeCtU_ ladlvlSlÓn puesel LUe_O: gradodel numeFador esmayor _uegrado del 33x_+BCx+Ddenom__ f(x)=_X=_+_naOr' 2+12 x2+_ x2+_2x_3 x4 f(x)= _ __(AX+B)(x2_I) +CX+D(x- 1)(x2+ _) x3_x_ _x- _ 2_!2 _nom_,o, nume,ado,esson __dentl_cos__ x + l 3_x2 enlonces __ 3x - (Ax + B)(_ + l7 + _ + D rracciónpropia Dedondeseobtiene A= l,B_ O,C_ -4_D_ O,,,_s ___-4X+X i'_'_,___i,i_,,__^,_,____'_0''__'_!'_'a_B_'_'_'_'^"'0_'"_B___7_..____i__.'x__1 __.(x+1)(x_)(,-2+_) '', 2+_2 x2__'''''"''''''''''' _____ Descomponiendolafracciónpropiairreductible: d. Deob_ener _actoresen eI denomin8dor -2 -2ABX_ el8fOrm8; ( +b+_+d)^ _ = _ = _ ' ax"+b_+_+desnoreductible,seene,axJ-x2_x-l(x-I)(x2_l)X-l x_+l _. ._ _ _ ___ __-_______,_________0_____ _______-____-_______0__ __ _____ __d_D_____Dd_______________________-____ ______________D__ ______________________,..... _2 A(x 2! _. .._._:;;...__;__;,..._2._.___:___-c ' _Dx2+-_4_ - _''_.' _2 -- '! ' X_! 1B_ K _: - _ ___ _..,_90 i X- X+ X- x + i _3__2+_,d_3+__,_+d 2, _ __'__ ' ...__ _.__.,._ v'_x' '' 2 _ _ _-2-_A(_+l)+(_'-l)(Bx+C) C) ' '_'Y_"' '^ ,--_+--- _ _+ , +i v' __0_. ';, _(ax_____d)_ _ ' ___ h ___ d ;,,. ..., _, . ,.,'0 ASl_nandOValOreS COnVe_lenteS a''__'': x=l;-2=2A_A=-I _OlIx_o,_-2=A-c_c=t tarafCaCCiOneS im_fO_iaS x _ - _ _, -2 _ 2A- 2( - _+c) _ B= l _o_n__mp,op,_,F(x)__ _N(X)Entonces D(x) -2-l x+_ en eSteCa_OdebemOS efeCtUar ladlVlSlÓn J_ x _ 2 X''--XtX- - X+ .,_"''''''''''_''' ^'__"_'__^^_'_^^""^^M"_^'_MM'M_'^m'^'?,LaF,_cciónimfopia 'i,F)N(x)..,()R(x)_ ____==qX+_.'_ i''. ''_(x')_. D(x) i .___. '_X-3 l X+ _,,',fraCCiÓn_fO'_la'0 X= - X_- - + ___,,,,..,._..,.,,.,..,,,,..,....o,,,,,,,__._,,._,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,o,,_,,,,,,_,_,,,____'x __y2 +!.__ _l x2
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0 rOblemaS QeSUeItOS Pro_l_m_ 1P___l_m8 3 Hallar el M.C.D. delospolinomiosSi el M.C.D.delos polinomios Q(a,b) _ab(ab+e+b+2) + a+ b + I A(x) = _+4_+ _ + b_ i(a,b) _abca(a+ I )+b(a+ 7)+ l _ + a'-+a+b B(xJ=_+_+d es(x- I )(x+3) _b_a+ a2_b+ab2_b2 _(a+ _) Hallesu m.c.m. .o,n.Resolución: Por deF_nición el M.C.D. esun factor delos aCtOflZandOCadaUnOdelOSßOllnOmlOS ßOlnOmlOS,lUe_OßO,HOfnef Q(a,b) =a_b(a_b+ a_+ b +_2) + a+ b + l A(xJ_ M.C.D.y B(x) _ M.C.D. Il4;ablIO_cd _(ab)2+ ab(a+ b) + 2ab+ a+ b+ l , , - _- - -_ - -2 _2;.! 3 -2 -2!_,34 -6 Agrupando como seindica3 ; _ Q6 3_ Q(a,b) = (ab+ 1)2+ (a+ b)(ab+ l) ;, ;, = (ab+ l)_+ l+_a+b) _ 2 ;. o o 7 -2 ;, o o = (ab+ l){(b+ l)a+ (b+ IJ} _Q(a,b) = (ab+ I)(b+ I )(a+ l) _ A(x) = (x- I )(x+3)(x+2) _ B(x)=(x__ I)(x+3)(x-2) Erectuando__m_c_m.(A,B)= (x"t)(x+3)(x+2)(x--2) R(a,b) _ab[a(a+ l) + b(a+ l) + l l + a2+ a+ b _PraDl_m8_ R(a,b)___b(a+I)+ ab2(a+l)+ab+a'-+a+b SeanlOSßOlinOmiOS R(,,b) -_(a+ I) ca2b + ab2+ a + b] P(x) = x4 + _ - 9_+n y otro Q(x) cuyo _(a+ I )(a+b)(ab+ _) - M.C.D. (P,QJes__ 5x + 6/; o), ;men,e(,cto,.l,,moss(ab) c,,cu,,, _m n a,b)=(a+b)(b+I)(a-I)(a+ Obse_andolostrespolinomios,su M.C.D.esReSOlUCiÓn: (a+ l) COmOel M _C_D_ eS Un faCtOr COmÚnaP(X) YQ(X) _P(x) -; (_ _5x + 6) esexacta,estoimplica que: rOalem8 P(2)=O,._P(3)=O Sealar el m.c.m. delospolinomiosdel Ue,O PfObfema(I) p(2) _ 2_ + 2m g 2__ Resolución: _2m + n = 20.......... (a) ObseNandolospolinomios,elm.c.m.es P(3) = 3' + 3m - 9. 32+n= O ab+l)(b+I)(a+l )(a+b)(a" _3m + n = O..........(ß) 206
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CAPlTULOVl l m.C.D., m.c.m.,Fr4cciones De(a) y (ß) m _20, n = 60 Resolución: Haciendoun cam_io devariabl e m2o __+l=m___l=n n 6o 3 m(m,n) = m' + m' -n' + n' = (m_+ mn + n_') (m2 - mn + n_) N(m,n)=m_-nG Pf0_lem85 _ (m2 _ n2) (m' + m'n' + n') Sesabe queel productodemul tipliCar el M.C_D. =(m+n)(m_n)(m2+mn+n2)(_--mn+n'') ademáS,la SUmade diChoS POllnOmiOS eS Luego; m.c,D.(Tn,_) _ m_+ m2Jn_ +r)_ (_+ì - l ).Hallar el reSidUOdedi Vidir el m_C_m_ m.c.m.(m,N) __(m_ _n_)(m_+m__n__+ ,,'iJ deaquellospolino miosentre_+ 2 Resolució n: n: Dedonde.. Sean los_olinomios P(x) y Q(x)m.c.m.(m,N) ,_ , Por propjedadm.C.D. (M,N) P(x) _Q(x) =_ M_C_D_(P_Q) _m_C_m_ (P,Q) Reempl,z,, do m _, nset;ene . Dato P(,x) +Q(x) =_ +_ - l ... ........ (ß) M.C.D.(x,yJ _(a)_(P) iorlotantotendrá2ractoresprimos. P(x) = x^' , Q(.x_) = ì _ l Pr0_l_m_ l comoP(.x)__Q(xJs onprimos__Cuál seráaquel po1inomio_uecon Mtoncesm.c.m. (P,Q ) = _(_' - l) P(x) =(_-9)'(x+2) tenga como M.C_._ Parah__ llar el resto dem.c.rn_ì +_x+6_, además; _ = x'- 13x?+36 ? t_,:P_Q) -'_ (_+ 2) Resolución: Por teoremadel resto í+2 = Ot _' = -2 Se_ Q(x) el polinomjo, sabemos_ue Reempiazando tenemos: P(x). Q(x) -_-- M, .C.D.(P,Q). m.c.m.(P ,Q) R(x) = _2x(-2_I) Gx _a(x) _M.C.D. (P,Q). m,c.m. (P,Q) . i(x)___ P(x) Pordato Q(x)= __cocientequeseo_tienededividirel m.c.m. , (x+2)(x+3)(x2 _9)2(x _-_) __,_=feelM.C..de_0S_OlnOm_O S._X= _ _-.,_Ji2__'
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lu m brerasEdi toresÁ Pr0al_m88Resolución: HallarelvalornuméricodelM.C.D.delos Facto_zandoelnumerador_olinomias_+ x' + _ _ x + 2 F(x)=x^+2_+x'+x+l ;' s_ '_ __!X_X+i;+-x+ __9' '_. ,; iarax_+l __ (_ +x+ l)_3+__-x+ 1 Resolución: Factori2andolospolinomiosr 3 +_) ( J "_X^XX+X 6+ _J+ _+ __' 5+,,4+ _J+ (_+x_ _+ x4 - X+ X'+_+i "2x+ 2_- x(x_+_ - 2)+_+ 2 _4 ___^/ _ _F(x)= (x+ l)(í +x + IJ(_ _ x+ l) _ _ AnálogamentefactorizamosP(xJ amosP(xJ =_x(i+2J(__l)+_+2 P(x)=2x4+7_+9_+7x+2SDT:9___ x 1 sT; __"(xJ-i+1)(__-' + 2) 2Jr2 5x2 F_ta:Gt2 Reemplazando 3x+_x2_x+2x2 H(x) _X-_P(X) =(_+X+ I)(_+_+ 2) (x2 + 2)(x3 _x + I) x_+ 2 _l ,SUmandonumeradoryden_minadorsetiene x2 (_+ .x+ 2) + (i+ 2) __2_+x+ 4 P(x) = (2x + l )(x+2)(i' +x+ l) SimpliF_car DedondeM.C.D.(F,P) = i + x + l a2-3ab-_2bJ-a2+3ab+2b2a_-4b2 ' M_C,D_(F_PJ(_+ _) = (_+IJ'-+_+l+ l _a+b _ab_b2 _a+ab_b _bJ_ -' _(_ _bj2 = 3 + 2_+_+ 2Resoluci'o/n: Facto2jzando (a-b)(_-2bJ(a_b)(a+2b) +2b) (a_2b)(a-2b) ,_. m.C.D.(F,P)( - 5+ 3__2 _(abj b(e+bj _e(j bj b(_ bj -' j bj +I) i_ +^ ' J' (a_b)(a_2b)(,+b)(,+2b)!.(a_2b)(a_2b) PrODI_m89(a+b)(l-b)_(l_b)(a-b)(1_ b)2 S impl ir_car _2b/b (x) ___x5_x' Jx3 _x+2 -- _bj(j +bj '_(a+_ (_' __ .í + x3+ x2 "- _K' _ l_b d,, _asun,a_el nume,ado,_, el denum;nado,. I + b 208
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CAPlTULOVllm.c.D.,m.c.m.,fracci
Pt__l_m8t1 Praal_m_12 SiReducir x+lx-l _ 4_ lx+l x2+l 2x 2 2 A_--_ _ __ X+_!x+1x_l 2a2+2b a2_b 3 3 -'- _l_ X- X+ 33 -Y x_l x2+2 ReSOlUCiÓn x_2) _ x-2 Qx 2 + 2_ + y2 _ Qxy Qx2_ 2_ _y X_ I _2+ 2_ +y2 _2+ 2_+y2 _+y3 2x+y_2y _- _3+y3 Hallar A+B _3_3 2x+y_3__2xeSOlUCiÓn: EFectuando _+_2 x12 - -- 2 ____ ' Y!(4X2 _2_ +Y2! 8x'_ 'y A= X-! X+ _ ,X(2x_y)(4x2+2_+y2) 8x3_y (x+1)2+(x_1)22(a2+_aZ+_--__, 3 -__3 3 -" '+y 8X+y x_I)(x_ 8x3-y3 8x3 _y
_sandolasidentidadesdeLegendrePr0al_m_ 13 _x2+__ _Reducir --_- _A_2(x2 __) 2(2xJ2 2 _(x_b)(x -c) + (x -a)(x -c) + (x _ b)(x ' a) (a_b)(a_c)(b_a)(b_c) (c_b)(c-a) x-l x2 + 2 Resolución: x+2_X-__; iX--!______ a_a-C;, x+l_' _-----------''efectuandoenel numerc_dor 2xx_2 x22 __ __i Jx __X _ _X+ - + __ _+ -C_ +C X+ C+ C-a_ _ (a+C)X+aC_ x+ l x+l x+ I +(a__)____(a+_)x+ab_' Wego agrupando_, x, eindepen_ientes x-lx-l __x2+2x+2-x-l x+2__ X-+-+_ _ _ + 2 x+ l (_ + (_I + bc(b_c) + 'Il ._+B= -+x_l _X"22ac(c-a)+ab(ab)
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LumbreraeEditoresÁlgebra = -x lb' _ +_ _ _ __c(b-c) Entonces
(b-c)(a-b0-c_ (o 0a- C)(b - C) pr_a_8mg_5 .o,n7x_I Pr_al_m8_ l - 5x __ SilaFracci6n seobtuvosumandolas fracciones: a-3)x+(2a_5b+3y+5bI-3xl-2x adoptaunvalor constanteparacualquier valor de .Ha__a, e_va_or de__aconstan_e.calculaT losvalaresdeA y Brespectivamente. _6n;Resoluci6n: Si esindependientedelasvaiables secumplirá7x _ l _ A+ B .l-5x+6x2 l--3Xl-2X a-32a-5b+35b-2 KA_ 2xB_ l-3x)(l-2x) q7_ - I -_A(_-_) + B(I -_) D.e(lJ7x-!=-(-_-3B? a- 3= 5b_ 2_ a 5b + l ..... (a) _ Dedonde2_ + 3B= --7 .......... (a) 3(2, - 5b+ .3) _ _5(5b _2) A+ B = - I .......___ (D) 6a_l5b+9 = _25b+ IO (a)-2(ß),:B---5 IOb+6a=I .. (ß) en(D)A_5=_I_A=4 IOb+6a=a-5b.'.A=4yB=-5 _l5b+ 5a= 0 .,.a=-3bP__l_m816 Descom_neren fraccionesparciales _3b=5b+ l_b= _8(x- IJ(x+2) 21O
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CAPITULOVll m.c.0.,m.c.m., _,acci Resolució n: n:Luegoc=O,d =I Lafracci6nseráposibleescribircomo. 9 _A+B+ C2x3+xz x_l)(x+2)2 x-l x+2(x+2)2 '__j -"-'_+ x-l)(x+l)(x +l) X"X+ x2+l BuscandoA_B,C 2 j' _(x_j(y+2j2Pf__ltm 818 Descomponer en(racciones parciales 7 lo4 _3 _52 _-_A+B+x4A +B+C+A-2B_Cf(x)__X-+X -X_ dedondeI ox3 _ 4x2+ 25x _ _o ' A+B=O.......... .....(l) Resolución: 4A_2B- c= g........ ..(3JComola(racciónes impropi a,descomponien do do setendrá (2)+ (3)8A- B_9........... ....... (aJ_ox9_4x3+25x2-lox lox2+ 14x+46 (a)+(l) 8-B=9 t A= lloxJ__2+25x_lol ox3__2+25x_lo en(a)8-B 9_B= -l.-.....-....-...... .--.....--..-... ;' Iox2+14x46; en(2)4-I+C=O_C='3_x_;!_+= ! lox__4x2+25x__o;, 9lI3 ------_ _ - - - - _ FraCCl n Propia __x+22x-l x+2 x+22 Pero l0__4x2+25x- lO_- (2_+5)(5x_2) Pt__l8m_1l _ox2 Descomponer en fracciones parciales ' _3 2 = _52 + 32IOX-_t325X'lOX'2X2+5 +X+ X" _ _ _ _u Resolucl6n._ lO_+ l_+46 =- A(2_+5)+(5x-2)(_+C) lafracci ón sedescompondrá así =- (2A+5B)_ + (5C-2B)x +_A-2C 3+x 2 (x-l)(x+l)(x2+l) X-l x+1x2+_ POflOtantO2A+_B= lO _+_+2x_ _ ___A(x+_)(__+ l) +B(x_ _)(_+_) 5C- 2B= l4 + (Cx+D)(x+ 1 )(x_ l) 5A- 2C= 46 Por identidad Si x= l _ 2+l+2-l =A(2)(2)+O+ODedonde A= IO, _= -2 , C_2 _ A_l si x___I _ _2+l_2____o+B _22 +o lox2 t __+46 _o _2x +2 _B=l 1ox3__2+25x_lo5x_2 2x2+5 Si _=-l IO2x_2 _ 2X(-l)_l+2X-l = O+O+(Cx+D)(('-l)-l) .'. F(X) --X'_+ __2__2d 5x'2 5x'2 2y2+5 21_
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lumbrerasEditoresÁ_gebr4 Pr0al_m819Resolución: Descomponer en fraccionesparciales. sparciales. X+ 2a __ ( x) -- _( X' X2) se_end,,/ x- l)(x2 +2x + ' y- 2 _- 2) Of SeF UnaFraCClÓn lmprO_laSetendra_ 3+2x_l x3+x2_2 x2_2x_ X+X-2X+X_2X+X_2 x+ax+ax+a -- 1_ _Praal_m821 X+X'2 sim _ir_ca, -___ +_X+ F(x,y)=_YX, ; _ _ x3+x2-2X'lx2+2x+2(x2+y2)2-x_y __2x-I_-A(_+2x+2J+ (x-l)(_+C)Reso_ución: ___2x__ __(A+B)_+(2A+c-B)x+2A-cEfectuando or lotanto 2A+ C_ B= '2x4 +x'y2 +y4 x4y'(x4+x2y2 +y4) 2A-C= _l x2y2 = __2, B__- _7 , c= _! (x2_y2)(x4+x2y2+y4)x2y2 x2_y2 Además x3+2x-l _ 5 5 5 ' _- _'_2 PraDl_m822 X-l) X+2X+2 X- X+2X+2 . . . . 2l l 7x+ l f (x) _ _' ' i mJ_ O .'. g(x)=l +- _ _- _(x-l)4 5x _ 1 5 x 2 + 2x + 2 Re,o_uc_.o/n. Efectuando f(x)=_XX+ _X= x+5x_I 6 - _+ _ _ 2' - _(x _ _j2-_ _(x _ _j2 ' _(,__ _j2 f(x)= + ; x__a x+2a2 . F(x)__I + 6 212
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CAPITUlOVll
P__l_m823L Luegode.simplirJcarN_erad 5 +x4+ 7x2 F(x)=_X^ l -g 1 g_'- 12 Q+3x_2 ; sea_e lasumadelosté__nos__nealesdel __ I -l 7;. 12 numerador y del denominador. Resolución: Facto__andoel denominadof._ _ -3 4 4 3 _ _4 _+_-=-X+x+ +X2 _ _-X___- _o_dor 2 __ - x_ __ 1 -9 23_-l5 -_ ' _=1_ _-8;'1s = (_-x+2J(_+x-l) _ Facto_zando e_ numerador l -8 IS O 54 2 (_+x- I)(2_ __+3x+3) luego 2+ x_0 x3x2 ((x) _ X^ + X+ Ue_Oa CaCC_OneS 2_x+2 x2_ (x- x-3) (x-4 J_ x- q __2x3 _x2 + _ + 3 (_)tx - 5) x - 5 2 . Sumando numeradorydenominador set endrá .'.Sumadetérminosljneales3x-x_2x (x-4)+(x -5) -5)= 2x-9 m___mg2_ P___l0m825 s_m _,_F,c,, _, F,,cc,_o/, Hallaf laSUma IIl x3-nx2+19x2_n-4S=_2 +_, ' 3 _ X'XX' ' X'5X'6 X__t X+ X_-___ l _iendo qu eesreductibley dar comorespue eesreductibley sta' sta' ' + _2 + ( 2 _j j x + _ 2_ _ sumadeI numerador ydenominador. _luc1ón: eSOlUCi6n: deben Fac_orizar el numerador yel . , t NN_ / _ . a'XPF'S_0n eS eQUl Valentea 'lll pos_lescerOsraClon alessonlosdivisoresdentQ _ + _+ _ + alessonlosdivisoresdentQ _ ./t . XX+ X'X+ X'X+ N..l_n+lg_n_4__o_n__g ... + 1 (x+k- l) (x+h) D: l-n_ l+23-n-7_- Omn_ 8 213
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Lu m b rerasEd ito res _geb
I. Si a= b _ m.c.m. = (x+3)(x-2)(x+a) =-- + - + - +___ _ II. Si a_b _m.c.m. = (x+3J(x-2)(x+aJ(x+ l l Del dato_ el ténnino cúbicodel m.c.m. = 2 x - l x+ _ haceque(IJ se_ imposib le le _ m.c.m. = (x+3)(x-2)(x+aJ(x+b) X+k _X x x+kx(x+kJ x(x+kJ a) Comoel término independientedel m.c,m. es . s_k conocid o,entonc o,entonc es3.(_2)(a)( b)=l20 x(x+k) _ab=_20............ ........... (a) b}Te_inocúbico 3 a+b+lx_ r_al8_8 26 26-+a+ X= ' n2_2+q ta+b+l '' 2t a+b__l _.. _ NNN.._ _(ß) Quévalortoma_paraqueFx= mq nx -q ._ua_a_aun_.dad d/ t _ l I a+bl , aem aS X0 m aUn S OOe ay- +- __ -valof.abab20 Resolución: . l+l _ l Como F(x)=I _ _+q = nx_q ab 20 _ _-nx+2q=O si xadoptaun solo valor, ___+2qesun _al__828 trinomiocua dfadoperfec toDadoslOS pOlinomi os 2 4m(2q) _ oA(x) = _-2_+_+b B(x)=_+_+px+q n__ _ _ enaar e_fOUCtOdelO_aCEOreS nO mq s;endo; m.c.m.(A_B) = a_+ ....... -24 proa_emgz_ M.C.D.(A_B) (x_ l)(x+3) sean lospoljnomi osResoIUC _6n; i(x) = (x+3J(_+(a-2)x-2a) Del M'CND. Q(x) =(x-2J(_+(b+3)x+3b)_ A(XJ' (X- I )(X+3)(X+FJ dondeel téFm_no independ;entede_ m.c.m. deB(X) ' (X_l)(X+3)(X+5) éstosesl20.Además_elcoe__cientedelEnA:-l+3+r=_2_f=-4 término cúbicode efectuar P(x).Q(x)-; (M.C.D.) _ A(x) _ (x__)(x+3)(x-q) es2. B(x) _(x_ _)(x+3)(x+,) . I + I Adem_s ab m.c.m.(A,B} = (x- l)(x+3)(x-4)(x_+s) Pordato(-l)(+3)(-4) .s= -24 Resol4ct6n: _S= -2 VemosqueLue_OlOSraCtOfeSnOCOmUneSSOn i(x)=(x+3)(x+a)(x-2JX-Q_,X-2 Q(x) = (x- 2)(x+3J(x+b) cuyo pr0dUCtOeS _-6X+8 214
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0 _' fOblem__ _fO0 UeStO_ l.HallarelM .C.D.delossiguientespolinomios6.Silospolinomios P(x) _2x4 -_ - 3_ + 3x - 9 P(x)= 6x4+ 4_+ 5_+Tnx+ n Q(x) = IOx3 _9_ + I7x - 6R(x) = 2_ + 2_ + px - q Darcomorespue stalasumadelosadmitencomoM.C.D.a2_+2x+ l stalasumadelosadmiten coer_cie ntes.Hallar undivisordeR(x) A) 5B)4 B)3 A)_ + 2x _ l B)x- 3 DJ2 E) l C)2_ +x+ I D)3x- I E)2x+ l 2. Determinar el númerode factores primos delm.c.m.delospolinomios:7.Hallarel M.C.D.delospolinomios _ ___+___ _ Q(x) _ x6 _ l P(x,y) = x4 + _' + _y + y4 A) 1BJ2 C)3RX' D)4E)5 A)x+yB)x-y c)_-y2 , 3. Determinar el grado del m.c.m. delos POlInOm _OS_8.Si elcocientedelm.c.m.y M.C.D.dedos A(X)=_'I 5X+36poljnomiosenxes(_+I )2_4x2,además B(x)=__9 elpfoductodeelloses(x6+l)2-4x'. C(x)=_+6__ 63x+l08Entonceselm.c.D.es: A) 2BJ3 C) 4 A) (x_ l )(_+ l) D) 5E) 6 B) (x+ I)(_+x+ I) C) (__l)(_+x+I ) t. Hallar lasumadeloscoeF_cientesdel M .C.DD) (x+ l )(_- l J . delospolinomios: E) (_ + x+ l)(_- x + l) P(x)=_ +_ + x+ l Q(x) = _' + 3_+ 5x+ 3 9. simplir_car +_a2 +2a D) 6E) 8
X,y)-- 36_y"' D)2_- _) I yn_ 12 IO. Apartirde A) OBJ2 C) 3 _2__ y(x_y) +n _ x -y D) -4 E) 5 x _y x +y 2
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lumbrerasEd itOfeS lgebra dete_ina r el equivale ntedel_. Sabiendoqu elafracción elafracción p2x2 + 2m2Xy+m_ ,2n_Il +ntOmaUnValOFCOnStantek A)n--l B_ C2_ _o _d _ d x,. 2n+ll-nX ,ParaOOVaOFeX_Yi Hallar entérminosdek. ll.SImPlIfICarlaSI_UienlefraCC_ On On.a2 +b2_ p2-m 2(n+l) (8(n+2)3- (2n+4J3- l + l + 4n+8 nt3 + l _2nt3- l AJ_BJ_ C) k+l A) 2n B) 2n+3 C) 3n D) __ _ EJ_a_ l D) (2n+3) 2 E) l l2.Silafracci6nl6.Silarracci6n_2+, setransforma _ _(m+7x + m+8X- m+ 3_(m+g)xa_(rn+_6)x_(m+7) enot,aeu._va_enteaA+ B+ C ;tesimp_ir_ca ción,_cuá_ese_x-l 2x+I denomi nadorqueseob_enesisee FectúadondeA,B_Cson constante sreales. d_'chasimpli F_cación? Calcular -+B+C x+l _J2X-l C2X+ DJ2x-3 E) 2x+5 A)-1 BJ1c) 3 13.Hallarlaexp_si6nmássimpledelaD)lE)5 fTacci6n ,si ,si x _l _ ne _3 3 x n+2xn-l +3xn_2+...+ n_2 x3+ n__)x2_.__n+_ ,_j _ (n+jjx _ n + l IT. Simpli Flcar ax(ax+ l)(ax+2)(ax+3) _I JBJ(x_l)2 cJ(x_n)2(l+ax)(l+2axJ(l+3ax)+a'1x_ 2 E x+n+l 2 _+l Ba+x cx+a l4.Al reducirlaexpresi6n x+l _x-I _._2 Dl E)a l l l 2l x X+I-_X'_-X'l x___ l x2 18ReduC_. X_I X-I (x+4)2_4 4_2_2 SeObtiene_+ 2 2_2 + 2 n) I B)_+x+ I C)_ - x+ I A) I B) 2 C) 3 D)x4+_+ l E)x9 __+ l D)4 EJ5 216
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CAPITULOVII M.C._., m.c.m.,fra ccjones l9. Efectuar 24.Simpli F_car cadaunadelas Fracciones: x + a + 2 +x _ a + 2 +x + a _ 2 x _ y3 l. f (x,y) __X+ Y; x +yF O/1y _ O D) 3 E) 4 x +y _,, x2___ ! x_I x_{O_tI)n +_+_-_ll'f(X)=__i 2 l + a _ + a 2 _ + a 4 l - 8a l l ' X - X ? ' x2_l x_l l B) I __l _+j x+ l + x-a a-I a+ 2l. Efectuar x +x_2y _, +x'l x _g _x24y2 _x x,+_ _ lV.F(x,yJ=_-22 ; 2_2x x x-2 + X B ) l _ X C l_ " D) l+_E) 1__ vrx __x_ I x+I . x, + ' eUClr2 ,, x+ l I _ _ __X_4_ y__ j _ l 1 v_fx _ x+l + 2x . x_t I X-_ Y____-_' '_x _x'xtO Y?X__ x+- x_x_l x+l 3 Bx+ +, 3 C)xy_ _ +y4+,42_. Mpresar lassiguientesfracc ionesen la D )_ X N E )O s u m a d e f r a c c j o n e s p a r c j ael s : X+y+? . Hallar el eqU'Valen_edeI. r(x) _ __ _ab+a+n _bC+b+n +_aCtC+n (x+ 1)(x2 + l) b+l c+I a+I 3x2 ab ca+b+c( x_2)(x'_l)'l a+l b+ l c+ l n___ fx.l A)n B) 2n C) 3n D)-n E)6n IV.f(x) _ 3 x3 + 8
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lu m brerasEdi toresÁ
4x _ 2 29. SeaD(x) el mínimocomúnmúltiplo delos 3_ x 2 _ 2x PolinomiosM(x) y L(x). _A() M(x).L(x) 12 + 6x2l X-"_' _aar el re_tOde VI. f(_-) ___Dx 3+_2 lVldlrAxJentre(x-3_),sabiendo que _2, M _4 3 2_ 3,+_ X- - - ' .X____3'_23 3_ x - 3AoB6n2 c_6n2 ,fX_ _ 3+ 2_Dlon2_El2n2 3+ 2_,2 ___' _ 22__ 2 3 -XSlrnpllFlcar l+l_ _l l+ _l I 26. Sabiendo queA1 B, CyDson losa2 b2 b2c2 c2 a2 numeradaresdelasfraccionesparcialesen _j ' -j ' _j _ C_l 2aI _bquepuedeser descompuestalasiguiente (racción 3x_ 3x2 A) O B) l C) a'+b'-+c'Hallar'A+B+C+Da_+b2,c2 2x+ _^_- D)_ E)ab 2 A)2B)-5c)131 Alsl.m_l_. D)'"l E)O' J_2 23 n_ n - n+2n_ 42_32j,+l_n_3 tSlsecumßleque _y2 y2,2 _2_x2 seobtiene: a__Xb-_-__c_N 22 v22 2 __2 _,t_ _' J2 3 AdemásD) 2 E) 2n3+ I _+__+,_1x_,_ +_^ J_'__4 2_22 _ _22 _ 22 'Y+_X+__32.Sl X_m+__ 7b' 2 _i ' alCUlara-+-+C+ I mt A)3BJ5 c)J_+ 1 D) 9E) 12 :' I 28. luegodedescom_oner Y'- -' __, nt l 5_x5_ __ n+en fracclonesparclales, s, dar la_umadesus _. numeradores. allafRleqUlValentede 2+ x+ _ 2 A) 3B) 2 C) l R_ _X- __ Y + ; cuendom_n D)oE)__x+l Y__i) 218
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CAPlTULOVll m.c.D.,m.c.m., f,accion
A)m+nB)m-nC)m -n-2A4B-3c 4 D)m_n_I E)0 x+ l (x_ 2)2_x- 2 D) 2E) 3 .Determlna,elvalOrdekparaelCualla f,acción ,_- 2 x+ l 4_a+7 +2a_I 4 f(x,Y)__"X437.simpl;r,c,, 4x4 - (a+ 2)xy + (3a_ I4)y tomasiempreunva lor constante_. (I +ab)(I +ac) + (I _ab)(I _bc) + (I +ac)(I _bc) (b-a)(a-c) (b-a)(c-b) (c_a)(b_c) 2 B) 5 c) 3 3 4 2 A) 2 B) 3C) 4 4 D)5 E) l DJ- E) l 5 . SimpliF1car 5 3_. sabiendoqueelm.c.D. delospolinomios E __a2b2 _n2 = - +X+m n3_ n^ B(x)--_ +_+nes_-x+2 +_+nes_-x+2n3__ l+ , 4 nl n-n A) -4 B)2 c)-3 s_. 34 5 lo 1 1l 2 1 1 D)- E)- --'--'- '-b3 -a'-b2 3 (a+b) ab (a+ _. simpli Flcar: A) n' B) l-n'S C) n p D) I_n ' E) l _n E= , P -_p39.Hallarelvalorde"a''paraquelasumade P JI - _ los factoresprimo sdel sdel m cm seael doble Pdem,cD (AB)aumentadoenls__endo. '_ A(x) = vr+ (4+a)x+4a P'' VeCeS B(x) __+8x+ 16 pP+l_ppP_p pP+I_l AJ4 B)-2 C)5 A)_B)_C_ Dj_l E)3 PP+I_lP+lPP 3 pP+3. . . D)_-EJ_. etermlnafeeqUlVaentCreUCldOdeh, P J- QP _ 4 siendo _X+y+_X-y+_ X+Y-_ i Descomponerenunaadiciónde fracciones y_?y2____? _?2-_?y parcialeseindicarunadeellas 2 2 + 4 _x3
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CAP lTULOIXRad _c_ció _Ú_E8_m^ SeIlamaraí2al__e_raicade_donde. ae_ RJ' n cN,n > 2; ac_daunadelas n raícesdiFerenles de'_. J E_emplos; l.De_susraícesalgebraicasson 2_ -2, 2i. -2i ; i = 2. De_susraicesalgebraicass_n 5 y -5 _ilC_AD_DADEUY_lINOmlO D__o un_olinomioP(x) degra_opar_ jallar suEJemplo; raízcuadradaconsis'teenhallar otrosdosx_ _olinomiosllamadosraízcuadradaq(x) _' Tesiduo 2 ____j__ __ , ____ Esq_,ema_74 5() I3 _(x) qX__ qXJ=X-+- i' KX= '24 R(_)p_o__EDADEs,, Don_eI.Si _l grado deP(vy) es2m, ent_ncesel ,ora_o i(x) esel p_linomioradicandodegrado par 2 d Ee_ q(Xd! e _ m 1 ' xe,el olinomjo ,aj2 _ _fa^ ef''ld'_Oe_ mCnO' _^P el _'adO delaraízsalvo queel residuo seanulo. ___Sel pO_l_OmIOresldUO P80CED_MIE_O_ARn _O_ARnE__AERL_ _Aí2 l0ENnDAD_NDAMEYTAl_E_A _D_MCl_NcuAD_DADEuNpoL_Nom_o ,.,_______nwnnv_'______9_nJ___nnN____\__v___I.Elpolinomloradicando_eneralmente_c_e z- p(x) _- 2(x) _ K(x) __._ ser comp_eto yuf_enado en __na vafia_l '__ nxn___ n_n_sn m__n__ _xnen___ ___N___ 9 ' -3 forma_escendente__ si Falta._eaIgún término sepuedeco_pletar conce_o__. QnsEsDE RAi2 cuADRADA2. Sea____panalos' términos_el po_inomio _e _Seltama_aj_ c_;a_fadae_actas_ __ s_lo si, su dOS en dOS a _art_r _el ÚlllmUt_rmîIiO_ resjduo esi_én tj,n_mentenulo_ esc_ec_ir; 3 _ Se eXtfaelaral'2 CUadI'ada_l mn' _ner le/ fln'lnO __l _olinomio_ue5eráel _r__mero _elar_' í_, ;'-''\W__ ' \ ''__ l_ego ésteseelevaal cuadra_ay el XJ_M- qX,,t_ resulta_oserestad_l _linomio. .em _o."'''^^ '''''' '_'^'_M 4. Sebajanl_sdussjguientes_ term;nos_e1 polinomi___eguiclamentes?d__plicaLarajz _, 6x., _-_ x , 3. ,aueenc_ntradalueosedivideel ri _'!+G.x.+y_-_ (,,+3)_ t__InOdelO__ haJad?S ?ntfe_St?YRI r__su_tado seráel seL_undotérrnin_delaraí2, aesteva_ur obtenido seac1icionalaraíz __\eIl_m_r_i_ cu_dr_d_ in_xacta sj v __r__;u si du_____ceday todoe_loquedamu_t__p_N_ __uresiduono e_5polinomioiclénticame._teel segundo téfm_no _e_araí_ p_ra_ nulo, esdecir: restarlu _gl polinom_o. .________n__________x_____'_ 5. Sebajatasdos ebajatasdos t_rmi__ossiguientesy se _R(x) _q2(x) _ R(x) :. rePiteel _asoanterior tantasveceshastaq_e ___n,_ -_vn_ .M_NNmnn_,_el residu_seadeg Fado menor quelafc_í__ o el residuoseaun, polinomioidén_,icamente n_!_0. 225
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Lu mbrerasEd itoresÁ_geb EJemplo l _ q(x) _ 2_ + 3x_+ _ Hallar m y nsi el polinomio _. ,__RX''6X+ X=4X+ + +X+ lenefalZ cuadradaexa_ta. Ejemplo3 Rgsoluct6n:Hallarlaraízcuadradade E1 olinomio rc_í2 esdeseundo Fadoof _o p x __ x4_2,_1 _ __ _+_x 3 +4 4 tantoas__mounpolinomio convenienlernenteResoluc_ón; 4x'+TM+ _ + 24x+ I6 __ (2_+px+ 4)' x- _+ +_y -xy_2y eCtUandOu __,__+_+_+24,,+16 ____ 4,,_l+43+( _+ _6 K_J- ( -_) (-_)_6 - _y- __ 2xgy+ X+ po, ide,t;d,d de,ol;nom;o,_ _ (_ - _ - _(-2_ m__4p,, ,__p__+ 16 _. gp__24 - _+ _+__ __+_+4Y4 porlotanto_O_-V-4Yq oOo Ejemplo2. Hallarlaraízcuadradade___.._,,__D000___'___'_'_'___'__'''0_g__'_,__'0'O'_'__'_''___''__'^'0___'___'_'__''_''''___'i'__'_.___i_i0___,a_,_0....___,_,_ _,_0....___,_,___'' p(.x) __ _2x_+4x_+_3,_+5 '' _"'__....._... '__ '_._.^:_ '_' Resoluc1ón: Avp,igua__dotos0_ros _p, ,n,;nosdele,a__z q3 2 2 _2x3v _4x2_ _+l2_+I3x +OX+5 2_ +3X+l _ = -__ ; _ _2y2. 2x_2x_ -! 2_ - 9_(_2t3_)3x Deaqu_ _a,a;z cuad,,dadp_ polinon,; 2+ox+_q(xy)-_' _xy _ 2r '_6_+1) 1 y su _es;duo Rcx_>Jj -_4x 6x-I -6x+Q
RADlGAlESD08liS ' ._ Son aquellosquesecaractenzanporquedentro deun radical, seer__uentra_trosradic_,r= relacionadasconIasoperacionesdeadición o sustracción n t m_B TRANSFORMAClÓNDE UNRADlCAl DOBLE ENtal que(_', y} c _' _ x> y SlmPLE sumand_ miembroamiembrolasexpfesio___e_ _, _ara_afo_a_n_ _B__B _ _t%B_ 2 _ SiendoAy Bdoselementosracionales osiEjvosparasutransfo_aciónen Fadicales_leYandOal CUmdr_dO s_,mp_e, _A+__B_- _+_ ç(A__B_(A__B+2 _B_ qx deaquí Dedonde_n __B___ +_ A_J_g_ _B X= B_-_--Ç2 226
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CAP ITULOlXR4d _cació Análogamenterestando lasexpresianes,E_e mplo 2: obtendremoscon _ < x< _fansFo_ea r,d__ca_ess__ 2 y_ - ^ I 2 2 2 -x' "Xi X_ Si hacemosque Reso_u__o_n.. c__B(como x_ye_+_ce_) s._ At , _-_ = '__e X tendremosAt_= t 2 2 _ 2 xJ2xj j x2 C= - -2-x2)_- _= _ E'em lo x x2 x Expresar _I l _ 6_en radicalessimplesluego Resolución: j _ j xa - +X-- - _aÇ+ Çla transFofmación en radicalesl + _ x xx x simples_,entoncesX 2 2 . ll+6_=(_+_)2........ ......._(a) x+ 2-x II-6_=(_-ÇJ2_______,._.__NNN (ß) '- 22 _ (a)+(ß) 22 = 2(x+y) ,,.. _ x+y=l l....... ... (I) __i_,.,i_..._..__._._',_'___.__, _.___,._...i__'___,,.______.__'___-__'____',___i'__i__,ii__.__,,'__,.____i.._______, a.__.___D_00_,___'0_,,__0___',__,__,_____0,_______'__,d,__,,_0___o_0,oo, ,',,,i'____'_,,i,, ''_,,!_,,'_,__''__,''__,'__,:'__.:_''__,''__,'''__,,''__,''__'_::,,,.;',,,,,,,,,__ _.,'__,.._,.m_,____,_,,__,.__'_,_:'__,._:'_,,_''__,.__,__'__,.::'___,.::''_,::'._'_,; __,,,_i_'_o_'_,, _ (a)- (e) _2_ =4_ Una''mane_a__ác'iCa'' de es'a'rans_ormación es_'_i''. buscandoganar untrinomiocuadrado perrecto en ?__ _ x.y = l8 ................ (II) el radicando.Asi __,_ _A__B__A__ =____'__i___'__,', ='elyll,seobtienex=9 _y--2 . x_ y _ '_i_i__,,,__. w!' egotenemos_,'_'__'i _ __ -__ _ _ -_3 + _ Baioesta circunstancia, si b--_?A = x+ y _''',i''__.,'_,.. _n_2_ _(___)2ii__ii''_,,__,, , y estoconducirá aque ii_oi'-1_i_ t-_ndodirectamente lafórmula _''',__'',''?, At2 t ;X>y_,i._.__,,_'_,,.. II_6_= II+_l'_,iii.'''__...'''_i.. ___, g__72 _ c___7 __ __ _ ; x+y_m _--N x>__ _i'_ ' _ _,'.''=_ EjempIos: l l _ 7+ I I - 7 _ 3 + _ a) TransFormar aradicalessimples 22_ ._. _Il __=3+_ 227
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LumbrerasEditoresÁ_gebra Resoluc_'o/n __, Paraun radicaI delafo_a aquí busquemosel ''2'' de_8 ___0_ ,,,_,,_a__________ 00 m_\______________m__________,_ __-__ ._ _________,,0,_,.._ _8 =_=2_ _ _A+ _-B'+ _ _ _ , _+ _+ ve lo + 2_n = __ _ ^ ^ ' oo____,, ,._,____-____m,__h,_,,.,,,,,m,_m_,,,,,_M__ _' ' 7+37'3elevandoal cuedrado A+ _B+ __ _ =x+__+z+2 _ + 2 _ + 2 _ b)Transformararadicalessimples 17-12 Resolución: ___7_2,.,6_;,_ 2_ = _ t4y_ = D........... (3) OmOahOraSObraUn ' _'6'' ha_amOS _Ue reingreseen X, y', ?_ _,I7-2_n-_9 _ _8_ 3 - 2_16 + _8+ _+ J+89x8 ./. c)Transfonnararadicalessimples16+_8 icalessimples16+_8+_+___- _+_+_ -_; 2
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CAPlTULOIXRad__cac__o_ _,..'P _ _''__ Dedon desetienex desetienex + y + _ = A _'''_ _A_2__+2_+2__ - _cç+ç+çj2_ 2___B_ __B _o n nnn 'i' &,_,X_y+2__y_____ _,2 __ _4x____ i i __ '_ = Ç_ Ç+ Ç', i i ii. __2___ ___Donde(A;.._.;a;ß;x,y,'___c__' ''',__oAlr_esolverseobtienelosvatoresdex;y;_. Ejemplo: Ejemplo2_p,esa,en Fo,made,ad__ca _ess-_ _ess-_ Transfo rmar rmararadicalsimpleexpresió ,24 +_+_+_ __4+2_-___' Resoluc16n: Rego_4ción.. TransForman doel doel radicand oE_radical oE_radical dob_eese_uiva_ ent ent 24 J. 2__2_ + 2_ _ _ +_ +_ l4 _2_ - 2_ - 2_ n j+l2+J --_14 + 2__ 2_ ,,- 2_ =_ + 2_+_ n 2+5+7 Ejemplo3 _presarenformaderadicalessencillosala e,_presión: _ _1_ __ + _+ _-- _l 4 +2 __ 2_ + 2_'________,'__,____.',__________.___0_,_.,___. '_'"____-_'___ae____,___,'0_0__'___, _,,'___,_;__',,__': _,,_,,__0_'.__,oo__%___,_____ii____' 0_.__,i''_..___._@___.. _,_',i?__. l _'''''____' _'_:.__;._'___ O'_'_O'__O _^~___'_'''_'' ''__'__:_''' __.:_'_'_''_'' ___g=i=;_0._,0, 2+S_7__i,i6__ Con el objetivodeeanar tiempoFrenteaestetipa____,,'__,, ,ooooo deradicales,busquem osunareglaprâct1c8,la'___r,^'_,^ o _ _(_ _vt +vm 2 _ _vt + _mismaque estacá sujelaa l p_incipio deductivo de8___i_,e-__,''' ____ lafo_agenénca,esdecir,laexpresión_0'_e_ '_,__,,_ '_,__,,_ n +2_-2_ -2_ ____' I_aldelaf0_a_i__^'_ 0 ,_, ,__,,_n..,._w_,,,, ,,,,m,_\.,.,mm. ,4_ debeprovenlr deuntrinomio al Cuadradodela ___o_,_,^0, _t 2''__'0_'' Orma+' ' ''__''_,''_ _ ' A+_B-__-_ D__'D,''_0 emOdOQUe__^' _A+ 2_ - 2_ - 2_ __0___ _ considerael radicandoun trinomioc uadrado _____,'__o', 2 ,. ,. _ ''_.____O'_"'' "''_i eCtOdelaOrma +- ''__,_, , _(_+ç-_'- __+ç__ _ _D__rr__,,, __. ^ __àndo al cuadrado Donde_ _ç- çF _+ ,'_,'__'_0,____ i - _.-B- _-__ x+y+_ _2vm - 2_ _- 2Ç'____'' '__'_____'_'_'__' '__'"'_' "'""'d___'''_-_-'_- '-_-"'-_--'_''_' _'_o''' _'''''_"_''_'__''_"_' '_'_'9__'9__''___'_' __'_' ''_'_'_'"_' _'_"___""_"_''-m''_'_-' _D''D''"'"'d' n0'''''' '__'a'___'''-_"' ''i'-' '''--'--' '-_''___'_____"''^ "_
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lu mbrerasEditoresÁ_ gebra IV, RadicaI dela_o_aIl. Hallando _ _(. _ a_ _''^'oD,D_Multiplicando( l) y (2) miembro amiembro se _,i,, 'A +__B'DoDobtiene__ ' '__'''__,,...... ...:::.,...,,_,,_''__3 3 B._B_(x+_)(x-_) Parasu_ansFonnacin Parasu_ansFonnaci n aradicalessimples 3 tenemOS en COnSlderaClÓnqUeel fadiCandOA+ B A- B_ x2 A_ _Bseaun cuboperFectodelarorma(xt ÇJ' 2_ B__x2 Dedondepodemoseslablecer que 3Entonces _B=x+Ç..,..(l).(x ) _y _ 3 _B=x_Ç....(2) Y_X- B____-_____N(P) Como conocemos"x'', ademásAy Bson De(l) Y(2) hallaremOS x e_ conocidos_ fácilmentepodremosobtenef ''_"e_ / racional solamentesi 2 l. H_l_do xperfecto. Sumando (l) y(2) miembroamiembroEnse_uidaveamoS al_unoseJemplosde 33 aplicación. t%B+_B_x+Ç+x-_ 33 E_emp_o l _A_B+ A-B_2x 3 Luegoe_evandoa_cuboTransformar_a radicalessimples. R__B+ 3__B7 __ (_)3 R''O'^''Ó"' 33 = _B-x_ DesarrollandoReconociendoAy ndoAy B,tenemos '3 33A=_7/\B=50 __+ _B_ alandOXena + 3(J__B)(3__B)(3__B+J__B)__3 4_ _33_c__J,__ _ ,ox _c._7) __ o _Q_+ 3x+ 7= O 3FaCtori2 A+_B+A-_B+3(A+B)(A-B)(2x)__ (x+l)(9_-4x+7)=O J _2A+ 6B. x = 8x 3 Como xesracional entoncesx= - I hallando yen(ß) ._. _' -3 J_Bx_n _ o....... (aJ3 Y--_' ('7)y=í' + I Como losvaloresdeAy Bson conocidosdeesta ecuac_6n, podremosdeterminar el valor dex el COmOX'' _I ' Y ^n ( - l )2 + l t Y'' 2 cual se,_Facional 3 ' .'. -7+_ _-I J23O
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CAP ITUlOIXiadjcacjón Ejemplo 2 reconociendoAy B_ tenemos Tr_nsfo nnar nnar26+ I5_ara_icalessimples. Resoluct6n: 3 ,_ 3 3 _26J= _B_xeÇ_ _ reCOnOCie ndOAYB,tenemOS2,J__ _lo__o ' - ' factojzando(x--2)(2_' _+_x+_) = O hallalld_ Xerl r_a) como x ,___Q,gntonces x___2 __ .. 3 '! _(26j2- G7__x _ 26 ,_ o x _ 2 esel un ico raciona_ que_esue_ve_a ecuaci6n. Fa/_'torizando x-2)(_î+8x+ 13) = Oy =. í - 20 2 392 COmOXeSfaCional,entOnCe S; S;X=2y__. 2 Halj_ndO_ en (_) como ,_ __ 2 _ y __ (7_)a_ 2_ y __ 2, Y= _ (26)2 - 675 en,once, 3 ,o _. __, __ y__- l J comox_2_ y_(2)_J__ _ y_3 Dedonde _6o _ _12 __ _ (2-_- _ ,'. 26+l5__2__ _'_ 60 _"42_-2 _-JG E_emplo3 EJemplo_ Expresar 45+ 29 _ enradiL'_les siml_les CUadrátlCO S ßrOCe_er emOS COmOSl_lJea continuación, ?,ransFormar afadic_tess_mptesResolu ci ci n: Y6o_2Seaa+b_elradicalsim_le,esdecir _esolu_ ón; ón;___J29_= a_b J1 _ __ ., r _ _5_29_ =a3+3_-b_/2+3a_'.2+bJ2_ _ '__ _ 2o- i4 _ ,,.6bJ+ 3 2b+2b., --_ v_0_ Im _ dedonde _ _'60 _ -- 42 _ _- _ v20 "14 _ 2g _ 3a2b _2b:_, ; a_ __-.0raEra nsformar emos20- l__Resolvjend oeste sistemasetien_.que ___2o__4_ = i _2o__ _. x__ ; , .'. ' __5+2__=_+
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Lu mbrerasEd itoresÁ
/RAcl0NAiF2i1cl_N" CONCE_O SiendoI(x)unaexpresiónirracional,sedenominaracionalizaciónaaquelproceso_ue permite tran,_rormarlaequivalentemente_notraracional. Por logeneral,sebuscaeliminar lairracion_lidad en losdenominadoresdelas expresiones,salvosediga locontrario. Paraesteefecto,usaren_osunaexpresi6nirracional,alcuaIsele llamar_Factorracion__li2ante. Fn_oRRAc_oNnL_2n__F,R_ Esaquellaexpresiónirracional(algebraica)EJemplol capazdetransrormarequivalentementeaaquella1o _o_n ifr_cl_ona_en otfarac._ona_a trave_ sde_ RaClOnal2ar el denOmlnadOr de _''iguientees_uema: _5 '_ KxF.R_KxF.R I(_) _.RRaciona1' __i DeSCOm_O_endOenel fadlCando IO Casosquesepresentan_o cAso _ IO cuyoFactorracionalizantees. _rma Luego _q ___ IO_j __ i n>m_m_n__i a__' 0_? _s._ _ _s._3 'Js._ _, m __, paraestedenominador suractor facionali2antees_ _d__ _ _2_5_3 ' J___m a.3 3 a_ EJempIo2 _,,'_,_____',,__,,,'_,,,__,,,'_,,,,_,,__,,_,_,,_,,__,,'__,____,'_,__,_,__'_,__'______e..o_'._, _,'_,__,_,__'_,__'______e..o_'._,oD.,.,_,._,..____._._,a.,.__a_,,_.g. __._._,a.,.__a_,,_.g.__o__,._...,.i._,i_..,._ao.i...ii_... ,,, _'D__ IndICafel denOminadOr raCiOnali2adOde ___^''_^^''_^'_'''___^'a_^''____'''m_'''Di___'^'_'__-__,_0S____0_'"i_'_'''_._- a__D__..__,,,..24 ____o?''_3_ '-_0____0___0__00_d___''''-______'_-'--_00'__'0''_''''''''''_'''''''''''__'i'''''_'_0'__0___00'-''_'_'_'__'_0__0_0_'0_'__'0_'0_'_'__'_'_'_____'''_'''''_'-'__''_"'_'' '__''''00'-'''_''''''_"-''''''_'"''00'''_'-__00'_'''_'''''-'''__'''''''''''''_''_'' ''''' ''0__'-"_'0-''"0ii'''"'.3 Resoluión; ntOnCeSSeten_fá f_nSOnnandOeldenOmlnadOf ___X_?_,,_24 __ ___ f___,____ _ _J18 ;'_ __ a_';, ' ' ?._ '_ i _a_ _vw,,.m,___v,m_,,,mn_.,,,.,._,_m.,_._..M..,c_ly._ _aclorracionatizantees. . 232
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CAPlTULOIXRadicación _ue__o Ejemplo 2 4_ g Indicar el denominador ràcionalizadode x_' '_gI5 _ __VT_J' ___6 _3_' 2_+ ' _esolución: SeObtlene. . . __'-_/_,_._4!___' _ 4_5._7. _' 8 _(_ + 3) + 2(_ _ 3) = (3 _ _m2) (2 _ _) 5._.:'5setiene .'. El _enomin_dor racionali2adoes .5. _15 ,_(3-_2)(2___3) = (3+_2)(2+_) (3-_2)(2--__3) CASOIl jL--____-_ 'L__,_-____,,-,___.___..__ Forma __,,__ 3___22___ g '_' _ ( XJ1 _ X__ ?. _ __ te_: _ -' _ _ _ ,-,-,m,M.n,_....x,9_, _,, ,,_, ,0.,,ma. _k_, n.._,,N_, __x_,_q&_,,,,,,.,__.v\. ,_ x_. _ ' '' _'eamosen el cuadrO: .'. El denominador racjon_lj2ado esJ _o/n Facto_ EJempIo3 . RaCiO_àJßacionalj_a f e__enominador de ffaClOnaR aCiona5i2an. te J_(x') __ _ - _g f(__) - _(x) . vt _ _ - __ f(xJ- __ + _ f (x)-g (x) Regoluc_'o_n: Agrupa ndoconvenientemente _emplol _S .___5- (_ _2) __5(_ _3+_2) 24 X> _ + _ __(_-_+_2) _6 __5_6 _-__+_2) . -_+ _2_6__12 _lución: 24 xJ_3_+2-_ _2+__3_ _!_3_+2-_ ___-_-___ ---_------ _ Forma __ o_ liene\ ?''_'"'h''m_4^ ''""'"_"' '''''''"' ''""i'i_' _m'''''"'' "' '"M"'"''M'' '"' _'""''""'_ __._ 3__,ia'_.....(_J _,__ _ __'3_3 3, _-, -i__'.i-''VX__X__-;_,'xt fX_Xt__X)_,, ' _\_ - 2 _J_ ( 3x _ 2) __ '_mh______mm__mN_ __,__mJ_m__M______,___ ___ ,_v,4__ _,___J__ m__n '_____ '' ' =6(__) ___ IttA__q _+_ E1 d_nominador racionalizado es1 >,_._.__m__,.._.....,,,mmmm.,n,yv.v..; ,,'
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lumbrerasEd itoresÁ_geb
Veamosen el siguientecu_dro; CASOIV Forma _. r__si6nFacfo, _' g9, Racional N' _ 2___._ nacjonal Racjonali2anteo_ nteo_ _; n _ t\ ß> _,_ __n_ _ ___, +t g t j _'_,0.,,.,..,....n___.__,_______, , ,,, ,,, ,_, , ,,,,,o_' _3 3 3 ._ r + En estecaso , el factor racjonali2antedepend + + g_gdel índicey estarárelacionadoconloscocientes notablesexactos. Ejemplol IQi' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' - - - - - - - - ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' N' ' ' ' ' ' ' ' - - - - - - ' ' - ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' _ aClOnall2af _ _ a__ b 1_3, _ 3Jr _.__a"_a_! _b_al_ lJ_+.... _b"l ; n__,_,' _ __3+l ;. a-b- ._. Re8olución:As,_.. .J3 Co_T1o el denuminedor es+ _ t I _ _ _ Ento__cesel f_ctor racionalizantees_ _ 1ten_rácomo factor racionalizantea lue__o tenemos_, n - _ , (_,- 2) _, ,J,_ - _ +_)g+....___g(x) _+3_+1_33-1 3-l p_ . 2 se _en_,,/ ___^r afaCUaqUleCn _- _ n >- _ 3 =7(_3-lJ, _,,,, , _, N__x r(x-J_ f(_) _(_-) + .... _ __(_) l nn nnlnn2n nnl_ EJemplo2'''!, __ nnl_)n2_nnl _ N' rx') _ f_') g(x)_+_..+ g(xJ; ^ r(j (Jt '' -SX_ ! 33 ._ ' _o/n.Resumiendo 32__ J_ COmOel denOminadOf eS - + m __ F R '";nespari su ,,,ctor ue_, ,,c.,o,,_,.,, e,3 J3 _ n_ +_n_g f(__) - _(x) ;, i NNFR! + 3 _---- _ neSlm__r, "'' ___-_3+_3 X,_32+_3 n_r(xj_n_gF(X)+-_(x) ;_
QueeFectuando esEJtemp_o_ 3J3 3. l3(+l3 +n lCarel_enOmlna_OrfaClOnall2a_O_e _+25 4J 30 3_ cuyo denominador es5 - _3
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CAP lTULOlXRad icac_ón Resolución: Ej eInplo 4 El factor racionali2antees Indicar el denominador racionalizado de 3o 293o'l83o io2936 7 __ 7 45F.R45xF.R9.F.R. 3o3 3_oK_FR-__3 3-__ Resolución: ...su denom;n ado,e,2MUltiPliCandOPOreIF_R_ (índiCeimPar) ado,e,2 _emp_o 236 . F_R- _36KF_R . (d . d. _.dd _75+_7 F.R25+4 ndlCafeenOmlnaOrfaClOn alZaOe alZaOe _ 4 ' .'. Eldenominador racionalizadoe s29 ! '2_ + '2_ Resolución: EJeInßlO5 Obse_am osqueelíndicees pe_r.Al multiplicarIndiCa r: r: ..porel ractorracionalizan tesetiene: tesetiene:a) Factorracionalizan te(F.RJ te(F.RJ b) Denominadorracionalizado de _._ 4 i F.R_.F.R_ 4.F.R_2FR5 .__22FR17_ l52s ss_, _' ' J625+ -_ J__l .'. Eldenominador racionalizadoes l Resolución: tt j_4 53 j 2jj ' El denominador v5 + + _ _+ l i Ejemplo3 _ __ndl_care( denom_lnador ,ac,_ona_l_zado deesun cocientenota ble _ i_5 D_a) El factar queracionalizaes_ I , Reso_u,,.o,n. b s,_-1 '';' _'+5_+_+ _+1_-l _+1_-l i _.ans_ofmandoa_ _.D__ __ 5 _ 5 _i' 66 r,5.( _l) 5( i.. 5-l 4 _'',_. __ultiplicando por el F.R. (índicepar) _ ,, ' 3 3 __8_,__,___,,,,,_,_,_,_____,,_,,_,o,___,_a%______a,,__, ,___ _ _l s_ 5 _3 i _ __ ' F RF R_______,'___''_,___''______,00 '___'__^_^' __'_^^___''___,_',^ o_^'_,- -_ + _5+ _ _l R_,___. , _'' __' ____:._.:..:'_.:5 D_'Q_ ii___G72g..2'''''''''''''''''''''''-l_,',o_ ' 'i',_ .'. El denominador facionalizadoes 727 .'. El denominadorracionalizado es4 ._._ 235
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0 fOblem_S Qe_UeltOs pFO_l_m_t b=O.r_ a=l Hallarmynenel polinom ioa_b _ _ + 2 l6x3 + 216__ + mx+n __ / d d m-n-IO_ '_'_ ParaqUeSUr al2 CU ar aaS ea_ X_,,;,,,;,, g_,,_,,__,.,, _o,,,,_,, ,_.,,,,,_, .,,,,,,,,n, d ,,,,,,0,,,, ,_,_,_,,, 0d_,,,,,o ,_,,,,,,,,,o ,,,,,,,,_, ,,,,,,,,_, d,,,,,,o,0 ,0,,,,o8 ,0,,,,o8 ,,,.. ,,,.. E1 polinomi o p(x) es o,denad 0en 0en D, _,,o_ '_____'^'____ '_'_' _' ___________'______'___^_V'_ formacrecientepues to quetiene___,__,__oo, aUmenta dOen4 VeCeSSUreSldUO,_,_,::_i.._ '''_' raizcuadradaexac ta. ta.l'_,^_^^^,; Resolución ____,^,o_ Aplicando el métodoparaextr aer raízcuadrada _+216x3+216x2+_x +n gx2 -81x4 _ _2(9_) l8x2 Hallarelmínimo,al o,dea + bcon (a_,b) ,_-z+, 3+2_6__gx2+ _2__2_ 1,_ siPx =x'++b_+ax+ltienera ízcuadrada 3_ __x2__216x3 -72_-96x -16 --72_+96x+ !6 consideroun polinomio ,a;, de2do. gfado. es (_-96_+_-l6 deci Luego tenemospor el dato desarrollando enel segundo miembro _+12_,+_-__ _m- n- x___ m_g6x+n_l61 3 !_ _ ,t 3 __ !_ +2_+ l m '"n-lO. ' _ _ ' m",= _Uaan O COelClenteS 8 a__2m Tambi_nb_m2+ 2 4(m'9G) I2 _ 4(n'I6)=4 ,umando tm=9Y__ n= l7a+___m2+2m+2_-_(m+l)_'+ l .'.Elmínimode(a+b)esl fODl_m_ ,Silaraíz cuadrad adel adel polinom io 6+bx5+8x_+4x___+ _6_!+ _6x+ 4 PfO_l_m __b Sielpolinomio esexacta . Hallar _ p(x) __ 4,Jo_4x_9+ _2x1.5 +.xG+ _3+g .o/n.lieneraízcuadradaex_c ta,hallar ta,hallarel v__lorde"m ,tencNtael po_l,nom_l_ seofdenaen Resolución _entecon,especto_x,esdeci,Considerandounpolinomioraízdegradoi-_ convenienLemente setendrá q + _6x+ 16_+4x3+8x4+b_+ax62+4x +_34_o Qx_8+ _2,,__+x 6+_+g - (2x_J___+3)_ -4 __ 2c2_4 e,ec_ua,do . 1 3+8x4+b_+ax6 22+4x __4+gx" 3 g_ x6(4+g,+,3j(x3) igualando coeFlci ente, tendremosm = - 6 Proal_m_5 Transformar aiadi_al doble como elresto esidénticament enulo, entonces:
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Radicaci n Resolución proDlgm Kecorde mosReducii '_ =; _(___j2, _a+b +_ 2__- ___, a> b > o '_ =; _ _ _, 8 (_ + _)' _ _x-2 +x-3+2 _(x _2)(vx_3) . , Transformandoel numeradar y denominador __2x-5+2_x2_5x+6__(_+m __(___) 2 _.+ __ (2_._ _ Reducir 2( _ + 3) 2 ( _+ 3) 2 ( _ + 3 ) ! +_3 -_44+_6_j_4__-1 3+_ _ __ _8+_8 Resolución: _ro Transfo rmanclolosdenom rmanclolosdenom inadoresaradicale s. s. . / radicalessiI_p les.Hallar les.Hallar dichadescom posici ón, __!^tJ ____sisecumple4A+_=4ví'+8__-_6_ 5 + 2' __ _3 ___ _ _ Resolución: 3 _ 3(__JJ_ __ __R_- vm_ _ 4 __ _4t__ _) __ ,_6_ _A_ ,_+n ; mB' '-_ _,nn _8J2_(_ __i_- _)Reemplaz_ndoeneldaLo . 4(m+n) + 4mn = 4 _' + 8__ l6 m + n_+_mn= 2x + (x'+2)(_-2) tr_alema7 __(__ __ .'. __B-_+_
J_(!3+_(3 _ JJ- _í5 + _) ( !3 J _ J_2__ _y t ______5 J_ J(7ab - 2c_ )x ' '_ '_?J ^ sedescocnpo neen neen radicalessim_les . = _'6 + 'G_ - _22 + ' _ hallar el _7alor de -^''Orm'^d O__ O__ 46 +2_3a,. 14 _ _22_ 2_8 _ _ + _- (_ + _8 - 2_8 -_ _8_ _8Reso _uc i ón: _2_ Recordar J_At _B_ _t _ ; __>y
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lu mbrerasEditoresÁ 1gebra dondeReemplazando y=_A!C_ y=_A_C_+y2+2y_+_-_ 22 _uego 2_B. ' UF eFeCO' _y2+2y__(_2_____ plicandoenelproblema C= (2_y + 5bx")'- - (7ab -- 2cJ_y_4 _debeser _or lo tanlo, lara_zcuadradaesy + _ uncuadradoperfecto. __ 3__ 7,g2 __ ProDl8m813 __(2__y)_+(_3ab +2c)_y__+ (_x__b)_HallarelvalordeAyBen AyBen dob_eproducto 8x _+ 2_+9 _ 4(2x_3) _ _- _ _ B luego secumpliráieso_4c_.o_n. 2(2_y)(5bx_')=(13ab+2c)_y__'A' COndIClOnamOSbUSCand0lafOrmapfáCtiCa. _20ab= I3ab+2c _7ab = 2c(2x _ 3)2 + 4x(x + 3) + 2 _4x(x+3j(2x+3J2 .C_7_35 entonces ab 2 .'. A=3_BI Hallar el valor de''a'' en Praal8m_1 I7 +2 t7---a+_ _8 _y____+ x_,_ Resolución:_ TransFormandoaradical s_mplee_pr_mer Para-- < x < O miembro _2 Resoluc_ón: 3t 8 + 7 __ + 7 __ +gTransformando_ 8__ + ___2x,j+2_ + _2x+2-2_ g+__ _a_2_g _ elevando al cuadrado _(_ + jj2__(_ _ _j2 66+l6__a+2_8 66+2_8= a+2_8 pe,o _ a= 66 p_D_gmg__ O<_< I H_ltar laFaízcuadFadadeO> -_ > - I _+y' +2y_ + _4x_ _ 3y -4x_ I > 1- _ > o si 2x>_>_ _o/n.. Luego, setiene nnalicemospor separado__ + I + l - _._ 2 __ __ - 4x_ _ (_' _ _(2x - _' - 2x__ _ _ 238
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CAPITULOlXR4djcacj n P_oDl_m_15 Proal_m81l Hallar8yb enla__jguienteigualdadSielpoIinomio 3 + _ _J-._ + _ __ _ adm.,te,,,,, cu,d,,da ex,ct, ,,,,,, p _ _ + p _ ___ sabiendoquesuscoer_ cientesso_ cientesso_entecos Resolución: eSOIUC_6n: fanSFOfmandOPl nUmefadOf Aplicando identi_ad P(x) -_ (Qx2+ mx+ l)' N=_J _desarrolland o 22_2__(__o__\+(_-+8J_+2_+ l =_+_____/ SetendráA=8m _ N____+1 B=m'+8 _ue_o C= 2m _N____ ( __ (__ ____0,dena _do D___(__5m2-_6m+3= o 5m -l _m=3_m'_Z' ' _ m -3 __a- _ Lue_o tenemo_s :. _=5_b X) I6x?+ 2_ ' '-7_ .'. P(_!)+P(I)=68 _m8 __ rans(ormar enradical simplela expresión 3x+__(l_2a)-l -4a(a+l)Hallaclarajzcuadradade __ución; _Jl= (a'+ab+bc+ac)(b'+ab+bc+ac )(c_+ab+ bc+ac) __, ns(ormando convenientemente.si {a; b; c} c_ ResoIución: 3X_ _( I t2a) - (2at l )2 Facto_zan_opoF ag_pación se tj_ne M= la(a+b)+c(a+b) !Jlb(b+a)+c(b+a) I __ _- to1izando _c(c+a)+b(a+c) _ M=(a+- b)(a+c')(a+b)(b _'c)(c+_)(c +_) x+ 2a+l 6X_'2a__ , M _(__+b)_(a+c)_(b +c) __ndo unartiF1cio: (Multi_lic andoy dividiendo ._.._2)_--_(a+b)'(a_c)'(b_c)' __6x_+2_(2a_+1)6x-(2a+ I) .', _M _ (a+b) (a+__) (b+c) Pr__l_mai9 G__=(2a+l)'+ (_-(2a+l))Halla?m;n:p sila_ajzcuad_adade 6+__+ __1_22_,_ 2 2 exacta.
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LumbrerasEditores fgeb
Resolución: Resoluci_n: Aplicand oel rnétododelaraízcua_radaperoen__7..' HaClendO_Xt_ '= '= Ofn_aCOnVenlen te. te. /2cuad,adaesex_ctaenton_e,,dp _,e_ue__ _,e_ue__.set iene cumplif se_ue_ _J_5G__,_1_(2_3 cIeaquí m=4,n=-l2J' _ l3 J 3 + xa+ x + _ __ _X' 16 _ _ + 25__ 22x3 + p__ +_6 +_6 _ 4 _ x+ 3_ _ M3 i - l -__6___ \ \ 2(4j_8 _gx+25_ ! , g,._ 8 _X-8___\\\,(4-x ;-_,_.,__2-_(,___j_,_(,__jj_ 24_-2M9+p_' \ (g j_+3n3_ _ x3 ' _ -2_+ 6x__9_' _ 2(__,+3_ xI '16x3+_-9)_4+ _6+_6(g_ j,+6__jx3j , . 16_3- 4x4+12x6_4X6 ____3j,4+ (n+_jjx6+(_m_4jx6 (-M_ g x _ _ _7 g x _ _ ,_'___+ l x"'__-x3(x' - lJ(___' l) pFo_igm_ 1o _eem_ fazando _ado g ( ' - J_ 1 ) '- ' g ( ' -}_2 _) ' P(x_) (x-+ I)'_' +(__+2)=+(x+3)'' +.....+ (__+ n)' __ _ n - ;-, _,cuáfeselpoljnomjoqu cdRbeadciona_separa-1,I _2'^''l cdRbeadciona_se que_aexpresión seaun cuaclr_cio_e rfectu? Resolucjón: g(___ F _ g(si2 _)2 -_Jx_' _ _- F' __nx___+2x(1+2+ n)+(__J+.2-!+ +na) _58-_, F,R, 8_I _7 ( ) n(n+ l)í2n + l) '__'-" __ - M_ - _ n nt 1 ,__ t __, su derlomjnador es ?, G'' Par_ que_eacuadrado perFecto _ n(n _I)(2rl _ I) X-- _ + nn + l _ _ _/ _ t A Hallar el racljcal c_o bleequjvale_ bleequjvale_ _tee _tee 6 i -r> i t_ su_=0_4 2 28 - _3+__ Jv__ _llcgo deo_erar queda: Resolución: n(n+1)(7r_+l) ' _( ,, O_s_Namosque n__ - + _-n_nT __ 6 ( 3_ ___ FJ_+_) -_- G _2 _ q r'_ _4_ _ ( _'_+ 2)__ CfeCtuando _ _ _ __ (_ !_ _G_ _c '_-3_2___ _=_i-x-_2__/^ _-___3'---c_J_--____2 ___agoterL__mos (_ 2/ (_'____ _,y_+2,(Jx_J3 _a_'_''____e_a_1 _eci_,na4li2df _ j.r;cl__.__t- su _J__n0rT)j nac!_oi' /__'t J___/ ____ - _3= 2 - J3 racion_ljzado e ,___,_7 c_u_7o ia_jc_; doZ_lt_es(2 ._3)^ ( _,"'v_2 _ ___/'m _ 'v_'___,'__ ' :__g = J__ _ 3 - _. 2_/__ = \ _ _J3 24O
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_____ __________ __________ __ ___________ _ __________ ______ ___ ________________ ____ CAPITULOlX_adjcacjó __o_lgma_3 Resoluc_ón: . ,. / m n_I _ _,, cson poslt_vosy _ emasc> > a _mOn -- ,_ _ m -- n -t Tndicar eldenominador racionali_zadode _uego 3abcl ', '_(r!_J__ ;_(jn_1r e+b+c+ 4_c-3b'_6bc-2 ab// ab//M+ /'Resolución: _ac3b_ + 6bc- 2a_ = __ eS e_uiva1enlea_a(_2c- -b)+3b(_2c-b-j = (2c_b)(2a+ 3b) _ _ V_ En l 1F_R 3abc__3+932_+_6 _g _gF.R __+ _c+ _(2c_ bj(2a+ _bj _2 --'' ._____.__! _ _F'R-=FR 9_8 l __ _3_abc... Ef del,om_;n,,do,. es _ __2a+ 2_+ 2c+ 2_2c- b) (2a+ 3b) PraDlg_ai5 /_+ t' _-. _' _ VRaClOnallz ar v promorc_onaf Su _enonll___d_r e_, Racionali_ando __ _3_abcx __cb-_2_ (_ + _ _ _)'' - 2_ - 3_ ____,_ J2c-b+ _2a+3b-v_2c-b- 0b, Resolución; __ __ J_YJ _J+_+ '- _ 3__abc(_c- _ - _. _ _ _ _)_) Desarfoflando 2c__'J_-3b __3 3__ _ --''-Y'.' +_' _ _.__abc(J_2cb _ _2a_ 3'_), _ _' _' _Y 2c-- _a- 4b ! xc______-__c__-_ 2_ 3_2abc(__e+ _b- _ 3(__3+_2)(____3)(_5+J 2) t_--_2)(_- __3)(_'5 - _____)- _2(a+ 2 _ - c) ' _ _____^ J_ __ ,_! _l Uenominador racjonaliz_d_es2( _+2b- ! _. F., _. _q. _ 3(3-_)(53J(i-_j i8 _0l_m_i_ ... __, _gn0m,_n,u_ __; rn). _'n se_iferen__jâI_ Rn l_ r_cionali___1I _i_i.____i_D_g__,'"__mii''',_2_ _tr__1t,,_i(_;__IJ__,S se_.J'i-_ri_fica_u e r ' ;' n' ._''+ _.3 _ _a__ 2_ _b__ =- _n_d-icar e'_de nur__* in_d_r ^_ - t _ '! 3 7 - ' g ' b '_____más_,_^ "_C,; "_C,;' '' 241
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LumbreraS EditOfesÁlgebra Hallar el equivalentedeb g Similarmente2b _ - + -_ - __ + _ s _hliene Rgeoluión: I _- _ _ I (,. _,,.,,) Del pnmer dato _ _+ _ _8 2a+_2 _ _a+ _8 + 2 Reempla2ando(_"Jy (''h'''''') en E 8a_ _,12 8 8+ a a8' Pr_Ql_m82_ dedOndeSi __t_+Ç, _-+-a. ...(a)CalCUlara+b+Cia_b_CL'' +b+Cia_b_CL'' a8 Resolución: 4_ Racionali2ando enel radicando_ _+_3 +l _ De(a+ß) '_3 -333 + +l _+I __2t_a.....(t_) =_3 x-, = + 3_+1_ _ _'_ _' _+3 (_)-: (I1) Escribiendo 3como _+( _ + _ )_..__a__ _-__. _- _+1 _(_-_) _a_(_) __+__3-_3_1 _8 _(3_-3 _+ 1) _ 3 4 __ 3 2 _3 I. __ a2 a dedondea=-,_----,c_,_. __+ ____g ..... (,__) ...a+b+c___1 b+c___1 242
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0 fOblem_ S _FO0UeStOS l. Al e(ectuar 6. El radical doble 2I 7 . , seobtiene: 24 + 8_ _ 12_+ Q equivalea A)-_ B) 1 c) 2 D)-3 E)-7 Calcular (x .y._. wJ 2.Indicarunodelosradic_lessimplesdela expresiónA) 200 B) 225 C) 2 l5 D) 23 E) 25 _+2 l+...+21+23_2 7. Calcularelva lordem+n, sabiendoqueel cuadrad odelrestoes igualalaraíz A) _B) _ C) _ cuadradadel polinomio D)_E)-_P(x)=8Ix''+2l6x3+2l6 + mx +n 3. sielpolinomioA)II7 B)ll5C)lOO p(x) _l + _ + 9_ + px_ + 16x_D) 99 E) 8 I poseeraí2 cuadradaexact a. Determinar el valor de: aß8. Si el radical doble ax _ by __xy(a_+c) A) OB)_16E)16 sedesdoblaensimples .na,elva lo,deab _. El valor reducido dec _ A) 3B) 2 c) _ AJ125 B) 1oo c) 96 D) I E) l D) 8o E) 576 2 3 j.Hallarunodelosradicalessimplesdela 9.El equivalen tedelaexpresión eXpreSlOn x, + __ ,_x3_ ,x2 ._ 3x _, ., x, l _l+x+ _+ _l+x__ Para-O,5< x < O Será A) B) c) _ A)x+_ g)_-xc)2x D)_E)CoDD)2_E)_
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Lu mbrerasEd ito resA' IO. HallarlaraízcúbicadeAJl6B) l2C) 2Q (9__ ___ DJ2E) l l_.Hallareldenominadorracionaldela A)_+3B)2+_C)l+ eXpfeSlÓn 2E + N 33 6 l+ + + A) l B)2c) 3 .Elequivalentede D)6E)O 2__+2-_e,. _+ _ _- _ 16.Descomponecenradicalessencill indicarunodelos radicalessimplesde n)_J_ B)_+1 B)_-l _! _! +! _4 + 4 xx+yy x2+ x+2 D)_E) IIBx_ycI l l2.Proporcionareldenominadorracionaldelax'y2_x '_,, expresión l D) 2 E) l _+_+_+__ x+y' x-y A) _g) 2 c) 5 l 7. El denominador racional delaexpresión D) I_ E) I5 _16. cos(2_) eS: _3_+ 3_, 2G_ (3__ 3__ _) .EldenomlnadOrraClOnalde _6 Sería: 4 _2 +_D) 8E) 9 A) 1B)2 c)__6 l8.Hallarelequivalentede 6__ iQ. El valar del término racionc_l queseobtenga3 _ alefeclu_r, ,6'j____A)_-1B)2__c)1+_ Sef2: 3 244
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CAP ITULOlXRad icac_ón l9. Averiguar aldenominador racional dela23. laigua ldad expresión l7 + l2 2l _+ = a+ 7' 3+_8 9g9 _ __ - + ... + l SeVer_ _Ca_S, atOmae VaOr de: n) 6o B) 6q c) 66 A)8B)9C)IOD)62E)6g DJincalculableE) nose racionaliz a 24. lndicar el denominador racionalizadode _0. Hallar el valor reducidode: ___ 3_- 3_- 3_ +'_+Y_- 3__ _ l +_____8 n)2B)3cJ1 _ ( _ _) ( _ _) ( _+ _) D)4E)5 n)_! B)_' c) 433 25. Reducir (2 +_) E) (l +_) _ 3 _2 _8_ ___g +_-_4_g.__ Al racionalizar el denominador de 323' _ ,_ _ ,3_+ '_ A)_ BJ__ cJ2_ 2 seobtieneotraexpresió n equivalen tecuyo tecuyo denominador es: D) 3_E) __ 3 n) 5o B) 2o c) 4o D) 3o E)lo2, _nd,.ca,un,ad,.ca _,., Erectuar 2x+__+4_ _11_4 4 +___ 4444 l+ I+ _ l_ l-_J 3x 2 D) _3 - 5_ - EJ5_- 13 D) 2_ E) _ 245
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LumbrefaSEditOreSÁ_gebra 27.Siendo_=x+l ;x>O3l. Determinareldenominadordelaexpre ldenominadordelaexpresión sión Simplir_carqueseobtienealracionalizarP(x) = _x+ _- _- 33 3 2_+_A) _/_B) x'/_ C) x/_ A) 3ab(a+b) BJa+b c) a'-+b2 D) I E) -_/_ D)ab E) 3a ,nar el va_or de32. Reducir 2t + m'__2 + n2_2m_n+2mn_ _22 l ._ -__+_+_ _-_+_ D)6E) l5 _+_ 33. Si O< a< l ; reducir A)2B)l C)_I I__ l_a2 D)_2 E)3 _ 2' a2 29.Indicarsudenominadorracionalizadode 2 vW-_ +_D) a' E) 2a 34.TransFormararadicalessimples X+2 B)X+I C)X' D) 2x+ l EJ2x_ 1 3x + _6x(I + 2a) - Qa(a+ I) -- 1 , 30. Hallar el equivalentedelasuma__nd__cando un ,ad__ca_ s__ l+l 3+_8 5+2_ j_2,_+j, -_ __..... .( ''n''sumandos) 7+4_ c2+a A)_+lB)__lc)__l _a6x+2a+ l D)_+ I E)_ +_ 2 j 246
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CAPITUlOlXRad icación 3_. Hallar elvalor de38. Racionali2ar lasexpres iones 3J (4+_j2+(4-_)28 3 3 5 5 52S 2_ 4 33_ (l- )(I_+'_) l3 Bg cl3 .IOO 9_ 99 __9 -+--_....+l 7 E) l3 Ydar como respuestaet producto de denominadoresra cionales y positivos. ._ona_ ._zar ._zarA)7B) 1oocJ_ D)35 E) _4 l _ JJ_., l eindica, e_denomina d_r racionalizado.3 6 _ indiqueel denominador oblenido. 2 _ _b_a9+_ D) (a--b) E) a+b A) 2B) 3C) 4 DJ6 E) l2t7 . S i: 4os__mp__.F_ca, l, exp Fes_. 33,3, _ __+'_-___c__ __I-a___ _-_ __-a'-_+a" si O< a< I A)IJ3+3_D)2 C)l D)3E)1/3 A) _2 B) 2 C) - l D) 1_) o
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4____t_______________________?____/t_t_________nrn__ ______________________________yy_________________________________x,______t_______c_y___y_____t______t_______________x_____x_____________n___________________s_______________________r_____________________________?__f___________________y___rr ___________________________________________________________t___________________,___n___________r_______________________r_r_____________________________________________________J____________________________r__________t__________________ ____________r___________c__ _____r____________________________________t_____________________________________/___ ______________________,__________t ________________________________________________________________________________n___x_______________________r______________________m__,_______________________________________m______________________________________,___________________________ ___ _l_____________________________________________________o____________________ ___ _ ._.-i' _ -__------_-c_,_n__ _- __'5-,v_ .,__'_'___ '__ ______'__.. _(('._wn,''0 iq0 ___'', o' _ _._ 'j _______i X- !-, _i _; ,i p,,.__ _ ___',,_:'_ :_ --= --- ' ' ' "'' WN_ -= _' '- __''- ' O--"''' ' ' ''u' "'h'_' ' ' -'-m'_ '--- _-' -_-.__= __ ,,_n''''__m _'' ' ' '' _ _-v_ ' _;____.n;'''_ _''_____.; ,:;_:.,___:_,__!___,. ;,;__.__._,'_:,' __''_.:;:__,:' ';'__ _1___A_1 1!!_ E _21 __'_.D_3_1_ '___,.:__'_.'':_';._,.. ______,___-_-_y.___,_5___-,;______;-_-__._:: .n,_:;.;. _2____ A_1 2__ _ ___2_2__x... E__3 2r_g_ ;,'____;.;.'': ,.;..:_:',.. ;__;.;.''' :_',;,_._.__..,. .'_,..;'_;.. .'_,__;_..'_55;._; ..,_,;;;.;i ':_._.',__..: _. _3 __'E __1_3__=D'~_2_ __ __s,._.____'__--_:,____._;: -_y'. __m4.__'. E _14:=.. ç_2_4 ___ __34 _g __'--_-___c-:___m'_-_-_i___--: _____5 __'-E_15 '_;c_25_2B_ ___i__0_.__,.'_,_,X,___, _ ._,,i,__,'____'_,_,,_''?'_____ _____',;;'___r,x_;_fr?x __ ____ _ , ___::',,m_:',,_i ,.'__,;'?,,,_. _;x__,M.,,,,.,l__; x, _p.._6___!g_.__1_6 __,i A_,,, , ,,,,2,_6__B...... .3. 6.. ...p ... D _;.__._ .;,__''_.. .;,__''_.. '_..__;,.;; .''..,..;;.''.''_ ....__;.' ....__;.' '_..,_;.,._ _,';'...!,. _,';'...!,. .'...''___, ..._;,;....' ;.:_...;,.'_ :;. :;. _7__A_1 7 !!_AW_c_37 ___'_' s_ ' _' ' '_ _ '__ ' __' ' _ ' ' _' ' _ ' _, _ __ ', g __ _g_ 2g__ ,.; __,,_.,, : _ _,,. _, _ _,,,,,, ,,,,, .... , .. _,,,,, , d, , , ,,_ _,d ,,d ,,, ,,; _, ,,,,,, ,,,,_ ..___,._.... _ _ ''__..:. m,...,,g__ :_., _,._.;, .;, g __. _E _1gC.c_ _ ? ,::; _:'''_..'_..''_ _;..'',,.;. '',_?;;.'' ..'',;._ '_'',.._,;v_.' _,;_ ___._.;___..__._, _::__,;_vv_,_,v;..,____ ___''._1o ___E _3o... ign_4o_.__c g_' __' .?_X____X?__ ' ;_r,X,xr,__;__, r_, 5_?__,9_,X, __,:.X_,_'_',_;_i'_,:_..__.._;r._,_,_, . ,
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_:E _n_rDb_bi_ida_ _egr2F2nrT ... ,D'_le1J1be11,ceJe_l_R117nrelJ J_ri_-o,elyóInsoIJIc-ióJ7deesJeseJJ__iIIo_J-obl __1J7r_ :'',S ise nJ_-ojn drJs__ec-esJI1Ja1J1isJJI a__1ol7ednnr'nJ_noL_J__ ?, ?,IIrí lesInpo_i _iI idn____o_JeJ1e/'cJ1i_poJ-JoR l1Je17o s7IJJn_'e_?'' s7IJJn_'e_?'' _I _JrnteJJ1 ric'oJ-espoJI_ió_JIesóIoIIn_ínr1-Rscnso._posibIes'.'c-J1l_,e11cl plniJ77eJ-ti/-o,cJ''II.n_ eJfel segJiJ7dooc)1r__eJ_ JJi_JgJ(J7o _s . dec'i_'dosc'nso._Jn__ol_nl_I ess-ol7l__rl__sposi_Ies. P__I_oeJ7 J-er_IidnrJlosc_nsospo__i_lesso11c-J_r)tJ_o .'.' PJ_i1JJeJ-riJ-o5_eglIJ1doJi1-o l. C_n)_nC'at __)2 . C_ni_n C_ rN__ _3. C_(__ C_l_n 1. Ci1I,ûC _r.v, I_n_ru bn_iIi_n bn_iIi_n rJrleenJ_n rJrleenJ_n l'scdne1JJ/1, l'scdne1JJ/1, )'n_7JeeJ1 eIpJiJJlei'InJ7_',n1JIie9JloIn 1JJiInddeJos c_nsosçscJ1(_y,_ cla1J1iln_ cdla1J1iln_ J_esJn) (teel JO_/c, esJpciJ- Jn J/ 1 pnl1e_el totn I seJ_ trllll _ i éJ7 _-J_l,_. Lnp1-o _nlJilirJn_totn _nlJilirJn_totn l__s_lrcsJJ_+ 1/t= _J/J LJ12 _e_oc_ iore_0J_do _IlnJJ.JJJFes_7rr7ii 7J_rerIeJJ_i_re_JJ Iic'ns,pJ-o_oJ7_eJs iglJiclJtelJegoc-ior_1rJ7nlJligoslr.1'o /ln1J1ndo_7.Jo1Jso. "ToJJJr_J JJoseIdínJ de?IJ17esp1-óv_i_J7oco1Jlop7_J7rodeprll_idn.5'orednl_ c-adn_ín JOy_JOOOdesoJes d7_J-n1 JJerodoel JJerodoel)JJes._ cnJ_rbio ,rlj JJJedn1_ s elpJ-iJIJeJ'dín JsoI, el seglIJl do _soles,el_eJ-ceJ_o1 s'oles)'nsí sJ_r-psi_'n aJre11te. aJre11te.r_c'eptn seI seItt_nto? _l(oJ7so ,9J_7l?'seg7I)_oJeqllensJ(nJJaigoe_J csrl(dinJ'rn17_n._1Jlnt_ ,9J_7l?' _J1l _J1láticnsJeIln_ ía n_ InJ_dndo el c_cI-e_J-u, nc_eprrI __ pida 1/JeJ7te, J' rJJlp i__?n n IlnceJ- pJ_o_?'ectos- pnJ_n e1JI_ lenJ' el Ji_Je)-o_1_ e__anpn_nJ:SiJ7cJJ__r_J_o,JJ_nJ7/rncpcIcJJlospnJ_nsn _el-cllJlto leJ___97tal-1Jslls e__an n1faJJcias 'si lnsc_oJocaeJJ7JJ7ßnJrcoe il2teJ-ésc'o9llp7lesfo . '_7l7 '97 ' 97 r_ 'elJeJ-n_ó1JeJJsJ_ opI1 '_JJ7 'sJJJo ? __1_ __cJ7c'il Joc-áIcli Io17os Jnl_ Jn l-_._plrestn.' _JI_nJ7 nxnJ_ n pxnJ_ n ___I JJ7so.' JOx JOOYOOO= J OOOO OOOso /es _IJoJJsopngr _J- n_J)rn11.' l + _ + J+ 8 + , .... .. ,- es_ecir, In slr1J7n delllln Jtl-ogJ-csi _Jl geul lle_7lJ -7__n, S_,rJ--n J._J__' J._J__' c-oJJ7on,--J)'J---_,s'nlcSJr,--l.-=2''U-l=J OjJ/1J8_so/cs r -l - _ -I Por rn_7ro,_JJIn9J gaJJn)_ iJJI s de1J7 iI J17ilIo1les_eso IeGI _ _(_/2r_. I :' 11cic' 7rJ__ cr7rJ i _/17r i r7_ '(J-. Il__rJ._ l /_Jq_r_lil.
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_f f.,,._:,..'_.._..'__',.;..:_',._,..',._:..,,._._.'__:.._.__..;__:_. !_,_''',n;_,:..''_',i.',...'',.., ,;,.,,,,n,,,,_,,,, ,,,__,_ __,,'__
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'o__oBJmvos,,'_,''''_,,,_;;'''_;'__'_,,,'__,y',,_'''n'\,,t e_;'__Campren_der los_v_rsosarre_Iosy'' '_' '_'''' ,i;e' cc'_ones- ques_',giib-leFonn_ conl0s.elem_enlosde_ ''''__ '' algún cantunto,. '_ , '' J' 's,v, -. ' ._ ____ _ '' _tar al lec.t_r de' lo' '' s ,e' lement0sde'' _' uicï ' a;ßn de'_' ue_n-Io postejor ap_quen ap_quen lare5oluciónde__\ ____,'_ 1_.spro_i..e..._,,,,,,,,,,sd_ya__l1'?,,i_,,':,c,,,,omb1n_to_o,yp,_,,,,,b,__bi_esque_,sw_genenel_anscwsod_elav_ida__,. _' '' _ D'i Fe' rencîar' I_ util1dadd dd unaord_nac?_n, _ermutai_n oc0m_in8ci_n' q' _e.est_n relacio' na' dos___ _D, .coneI facto_al., . ' ' '''''' '' ' , s____'__'''''"' ' _ ,_ ; '' -_' __ _,_,
lNTRODUCClÓN En esfecapíluloveremoslateoa esfecapíluloveremoslateoa decoordinación(permutaciones,ordenaciones,combinaciones). Citaremosalgunosejemplosdonde_drádislinguir ladiferenciay laaf_nidad entrecadaunadeellas. I. Unaf_cionado alacaneradecaballosjuegaal "tiercés'' (apuesta........ lostresprimeroscaballosdeuna carTera),loscaballosson designadoscon las inicialesA, B,C. _Cuálesson lasposiblesrdenes deIlegaday cuántasson? En estecaso el apostador tendráqueordenar aestostreselementosA,B, C; veamoslas posibles llegadas: _ , _.._ ._._. ... ..... .. .. ..... ..... .. ... v .... .... ..._._ __;_____-_--,;,_-;.Bc_!_CA;,AB, Deaquí concluimosqueexislen6 formasdellegar. ll. Volvamosal hipódromo,iun diadegran premio! Alapartidatenemos20 caballosque designaremos por medio denúmeros( l, 2, 3, ....... , 20}. Nuestro jugador deshace, dando muestrasdeprudencia, vieneaconsultar parapreguntar cuántos"tiercés'' tienequejugar en Eotat paraestar seguro deganar en el orden, -recordandoque{ l,2,3} esdiferente(2,l,3). EI problemaconsisteen detenninar de cuán tasmaneraspueden ordenar veinteobjetosdelresen _res, considerando quedosordenamientos quecomprenden losmismoselementosen orden diFerenteson diStintaS. AJ= 20 xl9 x l8 (68QOtiercés) lll. Volvamosconel apostador. Si 6 840 tiercéses demasiado oneroso parasu bolsillo puederenunciar a"cubrir'' todasposibilidadesdellegaday con Formarsecon unaganancia(en el desorden).Por consiguiente,paraél,untiercéscomo {3,4,5} esidéntico a(4, 5, 3) ; (5, 4, 3); (4,3,5). etc., enluga_dejugar los6 órdenesposibles, sólo jugaráuno. Dedondeel númerodecombinacionesesentonces6 vecesmenoselevado queen el delas 20 ._O__ OfdenaClOneS. 3_ 6 Esteúltimojugarásolamentel l40liercés.
____A___9p_____o0__e_____f_0e__0__c___pt___u_0_____________r__p__p__0a_0o_p___e______x____________p____________r___0__t__e_t__p_t___s__0t___p_0__o_0____n__________o_____0__f_00____o0_0__f_0_p_______p_______o__________0_________________p____0_____________0__p__p_0______00_om4__________0________LL_0__p_______0______0____0____*_________________________o0_f p_0__o_0____n__________o_____0__f_00____o0_0__f_0_p_______p_______o__________0_________________p____0_____________0__p__p_0______00_om4__________0________LL_0__p_______0______0____0____*_________________________o0_f__0__0A______o_____p___0e__0_________r______a__r0_______t20_e_0_____00n_________r__e_____m0_____o____s__0__0t___p_000_______ ) ______ __2_7 t_27_ LumbrerasEditoresÁ_geb,a FACr0Rl_l DE. UM N_MER0 NATURA'l' .. ' Sederlneal factoria! del númeronatural ''n'' como aquel producto queresultademultiplicar todos Iosnúmerosnaturalesdesdelaunidad hastael número n. Lasimbologíaautilizar será: n!; _; _ Selee: el Factorial del número"n'' o ''n'' Faclorial. Matemáticamente: mente: _ '_D._'__I''_,...'"'::_:'_.,_>_?'ì.?='_'_'''_ón_l__':^D_D_ __ _ _o_. ;. ' ' n_.! ' ''_' __ ' ' '_. '_;.x __ : _,_;. _,;_,, _ _ _'' :: : ' ' ' ; xn _ ' ; ' ' ' '. ; ; _: ;,_ ' '; ' ' ' '.,,' ' _n___ _ _ ' ___0,,,,,.. _: '.. ' ' ' _' _ _. '... '''' ' ' ' ' ' ' ', ', n.,.2, ' ' : '__ _ _ _ _ _ EJemplos: 3! Ix2x3 = 6 5! = Ix2x3xQx5 = 120 (_ IJ3)! no estádeF_nido, porque_ l/3_ _ _ROP_E0nD_ '' '' .. '' , _: ..__''''_''''' __ "'' __ :.. _ ,_ _ 2 3(n_ _) n_ _ n _ ResoIución: 2. ,Si:_=!__a=bYa_b,?N_ N_ _ 3 I (l + 26+ 27.26) 27 (l + 26) EJemplo: ____ __ -_+_+_- _3.3 -9 SEMIFA_0RlAl.0.E UNNÚMERO'NATU_'C' . ''?' _ ''' '_ . ,.: ',.:'. .; ... __. ''_ 'T ' :_._ 6__ Ejemplo2 Notación__ SedeF_I_e_presar __''__2n enfunción de_ ; n _ _ '8_... ... _.x 3x'' '''5''' ''''''_'_: n.. s-_ _n,_. ,,tm_'' .....'_ Resolución: _' .' ' ' ' ';.'''. _,_ .._,,,,_ _ ' _ ' '' . ,,_: =2x4x6x.....(2n __2x_x:'_'_'x..,..n,si_nH_par^'_' _,__ ____ ' '__0:,,,v ; ; ,, __,_ dn___ ' ___,,,,, ,,,,,_R_,___m 0 ' ' = (I x 2)(2 x 2) (3x2) ... (2x n) EjeInplo l: 7!! = l x3x5x7 = l05 __ ____'____ __ ^__ __ _^'___. ^'_, ^ ^'__'_ _0_ i ^ 0 _ ' ^ ' _ ^ ' ' _ ^ '- ' _ _ _ ' i _ '_YO,' ',_ _ ' __ _ _%__ _v, (n !)! _ n! ! ' _ _,_,D. _n , 252
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CAPITULOX_nljsis CAPITULOX_nljsis combinatorio ''' _____','_.' '' ' ='''_,_ ' , DadOS lOS elemenlOS a__ a_t ___..._....t an Se, , , , _o/n (deorden) como aque_ _ Pfl_CI_ 0 ealCl6_ .u n t ocaa2 d eser f o f m ado asea gn Si un vento veento designado omo ocmo Asepuederealizar c_ de"a'' manerasdiferentesyolro eventoBpuede OmandOpafteOel tOtal deeStOS ''n'' elementOS, ;, rea___2a, de__b_, manerasd__ lOSmiSmOSQUelO_rarándlStln_U_fSeyaSea_Orla' simultáneamente)entotalpuedenrealizarsede composición desuselemenloso por el orden de"a+ b"maneresdit'erentes.seg u i m i en t o ., .,,,_0,,,_,,,__,.__,__a.,,__,,T, , ,, ,0T,_,_,,,_,0_,0,_v,,.?s_,._,_._,,,_,,_,_v,,_o,_,, ,,,,,.,v,,,,_,,,,,0_,,,0_,_0o,,_,0_,0o,,,,,0,_,,,_?o,,0 Así por ejemplodiremosquelas ordenacionesbinariasdeloselementos: a, b' c sonseis,siendo estas: ab, bc, ca_ac, cb_ ba. II, Pm_pio demul_pli_ción Pararepresentarunaordenaci6nusarem_sE. nlem_lO lanOtaClÓn: A(n.h) OA_ Cuando Arturo vaala_niversidad lleva ; siempredoslibros(decursosdiferentes) ,,?___,?,__._e__,.,,_,__,, _ ObseNemosque: n> k > O(acorde_ pero el cuentaen el ciclo con treslibrosde ;. __: _>'> _' __-___' con nuestrader_nición) y en el caso ;_' análisismatemático (A,B, C) y 2 libros de _'____ '' particular en quek=O, laordenacin laordenaci n _?_i_, álgebralineal (D,E) deestos''n'' elemenLosdispuestosde_'__^' De cuántasmanerasdistinta.spodráIlevar ceroacero ofreceriacomoúnicosubconJunto al ____ suslibros? vacío,pueslo quenocontendía elemenlos. ''c. Re_olución: A_tis__?_lgebra _RIMCl_lO_FUNDAmE_ALES ESDEl CONTEOMale_tico L_ae_ K!ospermitedeterminar el úmerodeA_ únmerodeA_ D Puedellevar de6 posibilidadesdi(eren_esqueEenemosparaB0 m anef aS efectuartalocualacción.Edi€erenteS.' l. Princ1p1o deadiyón q_ :_,_'_Prin_píodemultiplicación .emp_o_ , _', Si un eventodesignadopor b ocurrede''d .. d _. ch. _ d' maneFasdirerentesy paracadaunade ellasotro rtUrOdeSeaVlaJar elmaalCayO, COntan O_ evento des__ nado como Bocurre,Eb_, paraellocon7 lí_easte_estresy _ líneasaéreas. '__ d;re,entesentoncese_ sentoncese_ evento Asegu__do de_o__.c LDecu_ntasmanerasdistintaspuederealizar su^_,_'',,'', evento Bo amhosAy Bocurrensimultáneamente viaje?de"a, b'' manerasdistintas. Resolución.,_____________nv______c,__e__,_T_e_qTT__T__0_c___,___o__ncc,c____?_______,______,o_,___c?0_____0__,_0__,0__,_a_0_____?_? _,,_____,,,_,_o0o0o,,_,_o0_0o?,, _0o?,, ,,__,,,,,,_ .._ _ _ __. _ 4 l_neasaereas_ '_... TMOREM_ _0?,_7M_.__._.t._..___..____________.::_.E_nu/merode ordena,n__onesde',n_' _''^^'^_------'_\W'--'^^^^^^_^^^^^^^^_^^^^^_^^^^^^^_^^^^_^^^^^^^^^^^^^^^^_^^ _^^^^^^^^^^^^^^^^_^^^^^^'^^^^^ ^^^^'^^^^^__''_'- -' '~ ' -_''_'^__^'^'C__'_ yo (diStintOSJdiSpUeSlOS de''k'' en "k'' eS i_Ual al productode1os''k'' numerasnalural_s v.. .cansecuti___sdesde_n-(k- IJ' l hastan. laJa_Or tlerfalala_Or alreEsdec._r. 7+ 4 =lI r,An_n,__,,., ,____._ k>On>kn;kf__'_ puedereall2ar su vlaledel l maneraS dlStlnlaS. -__!
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lu mbrerasEditoresÁ_geb D_ostrati_n:Resolución: Como el númerodeordenacionesde''n'' Asumamosqueprimero seeligieraal delegado. elementosdispuestosdek enk esigual al Puesto quecadaalumno deI g_potieneIa númerodetodoslos subconjuntosordenadosdeposibilidad deser elegido como delegado,es _elementosdel conjuntoquecontienen evidentequeexistan 20 manerasdeser elegido. elementos. Puesesevidentequeel p_mer Luegocadaunadelasl 9 personasq_equedan elemento del subcon)untopodráser elegidodetendfán lafacultad deser tomadas como n'' modos, mientrasqueeI segundo elemento deleg_do suplente. Demodo que cadauno de delsubconjuntosólopodráserescogidode"n"n- l'' los20 modosdeelegir al delegado tendráque modos. Pero comocadaunadelas manerasderelacionarsecon cadaunadelas l 9 posibilidades escogeralprimerelementOßuedeunirseconde obleneralsubdelegado._decirexistjrán cadaunadetas manerasdeelegir al segundo 20. l9 = 380 manerasdeelegir al detegado y elemento,puestendremosn(n-l) modosdesubdelegadodeestesal6n. elegir losdosprimeroselementosal construir un subconjunloordenado dek elementos.EJ_emplo 4 _cogidosestosdosprimeroselemenIos,_Decuántasmanerasdiferentespodrán sentarse quedanaún(n-2) posibilidadesparaescoger al cuatro personasal entrar en un vagón de tercer lementoy leementoy unavezmáscadauna deestasre_ocaml queposeeseisasientos? posibilidadespodrárealizarseconcadaunadeResolu_ón: lasposibilidadesdeesco_er losßfimerosdosLaprimerapersonapodráescoger su asientode elementos_ o seaque,laopción derealizar alosseismaneras, lasegundadecinco,latercefade primerostreselementosser_de: n(n-I)(n'2)cuatroylacua_ade_es,ademáscomocadauna adauna modos. Siguiendo esteanálisisel último, esdeeslasmanefaspuedeasociarsecon cadauna decir el k_ ésimoelementodel subconjunto dek delas otras, pues, resultaquepodrán sentarsede elementaspodráser escogidode(n-(k-l)J6.5. 4.3= 360manerasd'jstjntas. modos, ya_ueal eIegir esteelementok-ésimo, ObseNación: Si multipljcamosy di_djmospor "k- l '' elementos__ahabríansido escogidos, !__ quedando únicamenteln- (k - l Jl elemento. Demodo queparaet númerode posibilidadesquesetendríanhastaeste_-esimo - An- n(_ - 1!(n - 2!__-[n - _ - l!JN eIemenrosera'de:n(n-l)(n--2)........ln_(k-IJJ_ _ Con locual quedademostradalaFórmula(I) _ = ; _,f n n2 Jemplo _Decuánlasmaneraspodráser elegidoel delegado y subdelegado, enun salónconstituido de20 alumnos, bajo lacondicióndequecada alumnopuedaser elegidosólo aunodeestos cargos? PERM_AClONES Sederjnecamoaquel casoparticular deunaordenación enlacual los''n'' elementossedispon_o_- _ den enn. Dedondepodemosdesprender _uelasdiferentespermutassólo varían en Función al orden c__ elementos. Así quetodastaspermutasquepodríamosobtener con loselementos: 8, b, cserían seisasab___ abc_acb,bac,bca,cab,cba 254
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CAPITUlOXA,á_i,iscomb;nato,i NÚmEiODEPERMUTAClOM_Demostra_6n; Si sustituyéramaslosaprimeroselementus __ ^^^__ _________ ieualespor aobjetosdiferentesentresí y _''_...' ..TEO'REMA'''l.... 'P'tambiendeloselementosfe5tantes,entoncesd ntoncesd _., El número de__utacionesden elementos(_. CadaUnadefaS Pn pefmUtaCiOneS 0btenidaS quedesignaremospor Pn) ser_ieual al número depodemos tener _ per_nutacionesdiferentes todoslossubconjuntosordenadosde n elementos mentos del conjunto quecantiene"n'' etementos.. L d _t__camente.mlSmOS.Ue_OeaSPn pen_UtaClOneS An n(n_) (n2) 2 _ _ . origin_lesobtendremosP,,. !_ pe_ut_ciones _"n ' conten.lendocadaunaß elementosl_ '___nfN1n>2 '_ sí,y objetosiguales entres(, etc. Análogamente al sustituir estosßelementosiguales_or ß elementosdi(erentes_obtendremos:P,,.!_ Ejemplo_, ,o,n4ersonasmanl,festaronsudeseopermutaC_Ones,Conteniendocadauna y dehacef uso de_a palabfa.elementOS I_UaleS leS entfeSí_ etC_ _Decua/ntasm,nerassefa, os_bledisonerlasen Al Se_ir eStRProCeSOnnalmenteßodremos lalistadeoradofes7. O_tenef_Pn _ !_4 _ !_ _!_ _ _..N...... = __ ResoIución:permutaciones,cadaunadelascualesestarían El primer orador tendrálaposibilid_ddeser formadascon ''n''' objetos distintos. escogidodecuatromodos, mientrasqueel segundo, comoese_dentet tendrátresmaneras. EJem_lO8 pues_,horaso/_o quedan dospefsonasqueDeterminaf el número dePefmuEaciones ,n ser e_eg__d,sene_ te,ce,puesto dediferenlesqueserían posibleformarsecon las .stadeorado,escomo e, _o/ _.co s6lo haletrasdela palabraacacias. 'Resolución: OSmanefaSdellenaflOFlnalmenteelCUaftO_ ' aßaaFa COntlene7 letFaS,del_S CUaleS 3 SOn orador yanotieneningunaopión en vistadequecca,, 2 son __c,, y el festo d__ inteNendrácomoúltimo.apl__c,ndoe_razonamientoanter_ Pero como cadamaneradeescoger al _rimer orador puedecombinarsecon cadamaneradeP7 = _2 = ___'_ '_1 ' = 420 escoger al segundo orador ycon cadaunadelas' - ' ' dosmanerasdeescoger al tercer orador, puesel Ahoraconsideremose_ número dearreglosde n númefodemodosdehaceflaljstadeoradore flaljstadeoradoreseselementosdi seselementosdi Ferentesalrededordeun círculo. igual a4. 3.2. l _ 2QCadaunOdetaleS a_e_lossedenOminauna permutacióncircularo cíclica.rrimera __________0 consideremosalosn remosalosn elementosdistintos ____' -_EOREM_2;i;"__ordenadosenlínearectaydesignemosaunode unode _estoscon "A''_ y entorno alaposici6nquepuede ' Si ''pn'' represenlael númerode__utacionesser al inicio o (inal realjcemoslosdiversos _distintasdenelementostomadosdenenn,en a_eglospermisiblesperosoloaniveldelos__nrosoloaniveldelos__n-l,' ' dondeexistaunprimer tipo dea elementose_ementosrestantes. si ' 'l_UaleS entreSl't _ elemenlOS lg UaleS deUn ug esto no se darjaen unae_utacjón cj,cular i segundo tipo, yelementnsigualesentresi deun d o n d e_ ao s_. c. _o, n d e_ e_ em e nt o A_ eb e-' tercertipoyasísucesivamente,enlonces l_OnSlderarSe_lay lOS"n-I'' elementOSreSlar_tes _podránarreglarsede___' n --! form_sdistintas Rn_ fespecto aADe_, _ul, siguiente: 255
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Lu mbrerasEd i loresÁt gebra '__,- ^ Un número igual de arreglospodr_n obtenerse .. TEOREM__ ,mero depe,mutac_,onesc__rc,,leresde,,n,_ sde,,n,_ número impar y a lasmujeresen loslugares .etos,.,,e,e,te, es.,eue_ a_, n_ _con número par. Por tanto,el número total defonnasdi(erentes seráigual a: 2. _. !_ _ 72 Ejemplo9 Deseamosuhicar aun grupo formadode3 _eresdeunmodo tal uee__as_ CaS0b_ uedenalternadasc_ng_los.A_,er_guafe_Sentemosprimeroa lasmujeresalrede_orde nú__ero deFormasdehacerlosi: lamesaen _ forma_ (según el teorema3). a) Sesientanen línearecta.L d ,e,en t,,, /, na_,e d edo r d gu n, m e,ac __, cu l,, Ue_Oqlleaflan 3 lU_areSattemadOS PaF_ _o,,.. sentaralostreshom_res y estopodrá _Caso a: realizarse_e__formas. Por lo t__ nto, el Consideremosinic_ialmentequelasmujeresse_u, mero total defo,m_sd,.fe,entesse,a/ ._ ubican en loslugaresconnúmeroimpar y los hombresen loslugaresdenún_erop_r, !!_2 _ !_ --l2 pudiendorealizarsee_st_de,_. !'_ formas distintas. / // _OM_IN/ DEF_N_c_6M , __' , ... , _ '' Recibeel nombredecombinacióncadauno delosdi(erentesgruposq_e puedan formarsetomando a t_dosopart_ deI_s elementosdeuncon!junto, sin considerar el orden des__selemer_tos. araSllfepfeSe_taCIOnUSaf_mOSlaSImbOlO_laC(n.k)ii T E- 0 __ M _ _Demostrac_-o_n, , _. Decadacornb_nac)ónde''k'' elemento.sdiferentes '_, El númeFodecombinacionesde''n'' efementos pudremosformar!Lkordena_iones.Portant_,de i diferentestomado_sdekenk__designadopor kenk__designadopor C_) _t o _ as _ _ sc o mb_.nac_. .v ieneaseraque___ ieneaseraque___ _meI'_ demaner__s_nquees_os!' (_r)! ._ d _. e, n d o se_. __ a ln f _ _ n u, ..''n''etementospuedenjuntarse_conlacond!?iónde._' cond!?iónde._'' ' ., quecadc_ gruposedi_erenciedelus _emásn_oa- lo order_acio__e,_ de__n_. efementosdi,tin€usanl ser men_sen un elemento, sin i,_teresar su orden. _''_.Malem_'ticamente: ..__L)edOn_e ... cn _ n(c_-- 1 )(n-2) ..... '__n - (_ - 1 )). k_ ,.__, ,,_\n _j(,_2j ...,. _n _(_ _ j_J _,. k !_!i..j'/h ,__ '''''''
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CAPITUl0 XAná_i,;, comb_nato,i
EJemplo: EJemplo: Ur_g_po dealumnosdelafacultaddeciencias, Un eStUdIan EedISPOnedeUnabIbllOteC EedISPOnedeUnabIbllOteC _ COnl2 __e,enser eva_uadosenmatema/t__ capo, capo, unalibros, idecu_nt_smaneraspodráreali2a r una selecci6nde5libros7 COmlSlOn fOrmada_edOS ßfOreSOCes, _De _ CUandOUn determlnadOlibfOSeainCluid o cuántosmod ospodráser ospodráser compue statal s_N comisión_si en esta (acultad exislen cinco b) cuando u,determ__na_o 11Nbfo se_ s__ proFesor esdematemática?ex__l ui_u. Resolución: Resoluc_6n: Designem osalospr()FesofesporA,B,c,D, _,,conC8SO8_ pos._b_efo,m,r / lascom__s__on esSi esSi queremu s_ueun s_ueunlibro es_ciflcoestésiempre inclLlidoencadaselección_tendr emos_ue .,__escogers6lo4deloslI restantes.Po_+elloel A_B_C_D_E númerodeman erasserá erasserá 11 __11.10.9.8. 4-__-123g./ edeS_rende nlOCOmlSlOneSdCe_'aluaClOn.'' C8sob: v c__ _ _. , d __''_'' _0,,_ Si _ueremusqu_ _In determinado libro no ________''0_,__,'_D,_0_^^___ i'' ' _''__' _______i__i__i__.__i_;._'0. __._.___, _0___^_,o_0_0_,___'O,_0___''__._0_ - ____D0,' ' ' / t. ' ' ' '__,'_'___0__d__'___"'0 _i ___ n___-'__'___''_'_'__''0_'' _roblema___scit ar unsen(imienEo de__,D'_0,_ ,___ __:'' ins_tis_ac _i_n.Enereclo.silacantjdad___,,,0''_, ,,,d_SeleCCiOnaf5 llbrOS_de1_Sl1 reStanteS_ deprofesore snofuesedecinco, sin___,_._^ ___,,._' ___,,._' _.,_ Es decir, el n'_mero dem_ner_sserá decatorceyla_omisi n quedeconfo rmadade__'_'_ rmadade__'_'_ 0D'_,,_ 0D'_,,_ siete. Puesel intento c_eohtene r elresultado con i___0,,,'__ elmismometodoserí_unfracaso,yequeeneste'P'__.'_'0,?,'_ _. _.c_l___ 1l .IO.9_8_7_ casosepodriaobleneremás_e tr_vsmil_'e_,_Si_6l5_.l.2._.4.5 comision esdee_aminadore esdee_aminadore s.Deesto s.Deesto s__rgelc_ ___'_ necesidad dede_ucir fórmulas_e néricasq Lie__'__,__o.'__, resuelvanesteti_ deprob_emas. '''_____i pRopig_ADEsGENE__ esDE esDE cn' . .,,....,.., .,..,,,... _.......,,,, ,,. .,,.,,.,,.,. .. .,,.D,..,D,. d,,a.,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,., ,,,,,,,.,,,, ,,,,,,,.,,,,, ,.,,.,,,,,,. ,,..,.,..... .,_.,..Rd0,..., ....0_.0.,...,., .,,...,..,.. ..,..,.,.... ..,..,,,..0,.. ..........0. .....,...,., -...0._..,, _, _ ', ' ' k 7nefode"sdeftt t elemento s_i s_i Ferentestomad ostodosatave2 ostodosatave2 eL_l__ I_nidad_esdecir ' CoroIario; Elnúmerodecom_inacio nesde''n'' nesde''n''elementosn _ ..direrentestomad osde_ osde_en_,es posi_leobten e,ft__ e,ft__n'__1 , deotromo_o. _ _ d__d_ t i_' t mUI_ 1CamOS VIVI ImOS_ POr II. C,omblnat_floS COmßlement arloS . n(n-I)(n_2).....fn-(K-l)) , ''_., -,,' '- '__''' "_D' "i""_'''i'i'''"'"''i''__'^i_M"' _-^'''_mM ''__'__nn'''''_'''"'''''_''d''0"'i--'''-'''"_'_ -'_'__'"""_'_ '''' '_' P n_'_____ ' _i _ ;'_'_'n2k'_ikc_ aquf el n_lr__er___r e_- el! n x, _- _, ' .,, _o___v0_o,mn__, ,,,,o, ,, ,n._.,w_,,,x,,,,,4__*m_,,,,, _,, ,,,. ..n._._wf.v, .,,..,..,m...... ,..__.,,.,,_,,.. _,,,-_,__D n i_ ''' ' ,p._ k __ _____,_'___________m,!q__o'_V'____'__O'ia_' 0i f_ n .__' ' _''0__'._' ______iA:_'__' _..?.,_, Sj C_ = _ k = p _ p= n - k _D,,,,,_
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Lu m b rerasEd i to resA'
IlI. Sumadenúmeros combinatonosEn eF ecto, cuando: n =l /\ k =O, obtendremos _'^''''n''_n+l'''_:_''_..cI+cIc2 ___.., __'_C_+'1 _Ch+,_ ; n_k-'' ,_. o _ -- _' 'l -''''''''_''''''D"__''d_ ''''''_'_"'''' '''''''''''''_''_"'_'"_"'___''''_'''''_'_ O'Cuando:n=2"(k=O'__k=l) tendremo s Demo,t,,c;ó,,. c2 _ c2 _ c3 t _ , 2 _ 3 ' Ol-I nn _ _ +C_+ _=_ + I'2-2 ' _ _ __ ___ continuación cu__ ndon = 3 y (k=O, l, 2) =_ _+ 3 c3 c4 ____ __) +_(n-_)0-o_- ' O' l- l' ' ' _k__ g _ C_ +C2 =Cj_3 _3 _6 _(n+l) _ n+1 _h__-____h-- _+1 C2 +C3 _C3_3 _ I _4 EJemplo: LasumadeOrdenand o aestosnúmerosenr_rmade 4 _6 9gunatabla _iangular tendremos _ C_ C+ ......... _ C, será: C Resoluc{ón: 4 cl cl Sumando yrestando Co _- I yluegoo _c 2 c2 c2 utiliz_ndo la_ro_ledad anterior set_ene: 3 c3 c3c3 4+_+cS+c6+ c99c4 l_ o 1 2 3 '' 96-o-- 4-l _ Aladisposición deetemenEosenlosc4ales C?_ + C,5 _os,u_ queestánporencim_en lalíneaprecedente c6+c6(a exceci6ndelosextfemos)sedenom1' 2S V''Tfi_ngulode_a_ scal''. scal''.Sipndoeste 7 3 _.. c99+c99l 2 1 95 96 _.,_'__,x' V13 3_ IOO _ l Q6 4 l Estapropjeda dnospermiteencontrardel5lO 1051 manerasucesiv aa1osnúmeros;aa1osnúmeros;-;:_ ;_;; combinatorios.
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CAPíTULOX
IV. Degradacióndeíndices.E_e_plo2 Todo número combinaloriopuedeLasumade degradarse,como: l.Cj+2.C2'3.C3n+ Degradaci6n deambosíndices_n ' _ + _ + '-'' CoC_ Cn j n_nn' k_' k'l n+1 n n + _ Se__: Degradacióndeíndicesupenorcn nnn_1n-l C__.C n-hkReso_ucio/n: Degradandoel numeradorencadasumando Derad,ci6nde,_nd;ceinfe,__o,tendfemOS n+I n__n_k+ln l_(n+1_ '_'l k_'k'I + + _ EJemploI Alsimplir_car:(n+!)/ 2_2otglg+' 'n-t ---C 876 5 % ,SeObtlene: l8 cl8 cl9c20n5l2l2'8 Resolución; = (n+I)(l+ l+I+ __,_t + l) = n(n+ I) paraelnume,,do,V Aplicandodegradacionessucesivas^V'C'' 2l 20 l9cl8 c2l _N_'-_5--gE_em_l03 'Alresolverelsistemaindicado ' c2(x+6Jcx2_23 arael denOmlnadOf 4y _ _ ' )_ _ 2 1 PrOPOrCl l8 IBl920 D= C+C+C+cReSOl4CtÓn_ S 6 78 v2(x+6J= -23 _ (4y- l =y+2 \_4y-I+y+2 l9 19 + C7 ue_o 2a2o _-2x_35O n {y= l _/5y=2x+lI)C 7+ C 8_ (x-JJ(x+5J= 0 21 .'.x=7 6 x=-5 2l B - D= CaI_UaaSOlaadmlteX = '' 8 ' entoncesy=l6y--5 Como el numerador yel denominador son por _o tan_o 7/ i uales,l, ex ,esjón edid,,e,ultase, l . _ '' ^ _ '"35 259
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0 rODICmaS QCSUCItOS
Pro_l_m8 1ProDl_m8 3 _Decuántasformassepue_eseleccionarunaDelprOblemaanleriOr,pUedeUd.indiCaC ,_eslud__o,,7_CUántOSlnEentOSrealizaráelinVesti_adorsi dicho "password'' tienepor lo menos2 eSOlUOn_caracteresdi Ferentes7 Lapalabra"estudio'' posee3 consonantess, t, d y4 vocalese, u, i, o.Resolución: Deah_,queparaseleccionar unaconsonanteSi como mínimo 2 caracteresson diferentes; tenemos3 opionesy paraseleccionar unavocal entOnCeS ßOdemOS t0_farlOde2 rOfmaS _ tenemos4opciones.Porseracciones __ndeend__entes. odemosa___ca, el pn_nc__p__o l. _os c8racteresd1ferentes deTnultiplicación,yelnúmerototalde farmas dese_ecciónes3. 4 ABC TTT __ _iStenl2 FOrmaS enlOtal 35 x 3Qx34 Pr0al_m82Elp_mercarácterpuedesefseleccionado Un invesligador p_vadodeseaacceder aunadeentre35opcionestal como lo h_bíamo_ info_ación conf_dencial parae__udebeingresa, visto en el problemaantejor. Ahorauna ,, pass_o,dt, ( pa_abraecreta pa_abraecreta deacceso) a_ave_ escogido e_l p_mer carácter, yano podemosseguir seleccionando; ya_ue2 COmpUtadOCa.SldIChO_aSSWOf_OSeecafactefesden fesdens fd__fefentes. CaFaCtefeS(lelfaSy/OnÚmefOS}tiCU_ntOSintentOSpafaelsegundocar_ctersólotendiemos34 tendráquerealizarelinves_gadorparaencontraropciones,cun esto__ase satisfacel_ el "password''?condición; por eso queel segundo carácter .E_ a_rabeto_osee25 _etrassel_ccionado puedetambién ser escogido ' - enla3ra. posición. e_OlUCtÓn: PafaresOlver el problemanosv_moS a apOyar deposición tambjén tenemos3_ opciones, por ungráF1co,quenos representeel''password''.serseleccionesindependientesaplicaremos el principio delamultiplicacióny tenemos 35.34_intentos. _4 BC 1TTII. Tresc&r8cteres_reren_es: 35 x 35x 35 _ _ ABC El p,ime,ca,a/cter ,epuedee,coge,deent,e25 T T t lelfasylo djgitos(del o al _) esdecir de35 35 x 34 x 33 posi_ilid_des. Luego el segundo __ tercer carácter también nosoffecen el mismo númefo deAhOfa_afalap_mefaCaSilfatenemOS 35 opciones. como son suceso, _ndependientesseOpCiOneS,unavezesCO_ldOel CafáCtef,nas ._ca, e_ ,._nc._ ._o demu_t_. _._cac._o, n quedan 34 opcionesy unave2 escogido este ' carácter,nosquedaransólo 33 opciones .N. _jste_n 353 intentosposjbles. ßafalateCCefapOSiCi6n. 26O
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CAPlTULOXAn4_ isiscombinatori isiscombinatori o Así lendremos35. 34. 33intentos. Resolución: Finalmen tedeI) tedeI) yII) porser 2formasdeEsteproblemapodemo sresolverlo sresolverloapoyándo nos nos satisFacer nuestrorequenmiento _debemosen _debemosen el gráFico aplicarel principiodeadici ón,existiendo 2__ TT1T .', Existen79 730intentos posibles. f_jo X7X7X P_Dltm__Nuestroproblemaest_enseleccionaFlosdígitos LacompaíateleIónicadeseasabercu_n tasen tasencadaunadelas 4casillasúltimas,así,enla líneasc omo m_imopuede inslalar enSan 4ta.casill a,elmenordígitoas eleccionardebese r MartíndePorrescuyase_ees53l.Talmisi6nes 6porcondición(númer omayora6 OOO)perono encaread aaunempleadodelaseccióndepodemosselecciona aaun ra7 nia9. Asínosquedan operacio nes.iPuedeUd.indicarlarespueslade2opciones:6y8. Parala5ta.casilla,6tay7ma nes.iPuedeUd. dicho empleado?casillapodem osescoger cualquier cifradi Ierente Re_oluct6n _de 4_ 7 y 9así _oS 4uedan 7 opCiOnes. _stira_273nu/mefostelefo_ Iu_ Iu_ osnúrnerostelefó nlcosposeen7caracteres_asíOrOn 0_eXl_ nlcosposeen nospodemos apoyar enun gráF_cotal eS CaraCteStiCaS. Pr_Dl_m86 iCu_ntasplaca sdeautamóvil sdeautamóvilsepuedenregistrar TTT1 _ COmOm ImO, taleS qUeCOmlenCen COn lOx lOx lOx lO terminen en_? Tenerencuentaquelaplacadeautom6vilse lasejedeSanMartíndePo_esseman_ener_jacomponede3letrasseguidasde2dígitos,yel ocupan do dolas3 pnmerascasilla s.La4ta.casillaalFabetotiene25 letras. debeserundígito, entOnCeStenemoslOResoIució n: n: opcione s(delO al9J. Igualme nteIa5ta.casilla, Nospodemo sapoy,, sapoy,,ene_ g,a_f, la6ta.casillay7ma.casillatienenelmismo num_ erodeopciones. Al Flnal como cada _lección esindependi ente; por el principio de _licacio_s_9/ _ enrem nUmerOS T T T T r _lerónic osdiferentes. Fl_O25x 25x 10 Fl_O orlotanto_sepuedeninstalarhastalO_líneas __Fónic asen SanMartíndePorres. Parala2dacasilla,tenemos25opcione s(letras delalFabeto)igualmenteparala3racasillaypara _m_5_a4tacas_._ __l problem aanterior,puedein_icar,icuánt osd_/gito,tenemoslOopciones.Entotal 25'-.IO __erostelefónicosnoposeenalascifras4,7y Fo_as. ??.!'el númeroForm adoporlas4últimascifrasporlotanto,se pueden,eg;stra ,625o placa,con _omínimodebeser6 OOO?esascaracte__stl N 261
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lumbrerasEditoresÁ_geb,a Pr8_l__8 l Pro_lem8 9 En unareunióncumbredelospresiden_esde losEn unareunión Familiar seencuentranel padre paísesdeAméncadondepa_icipan24 paísesde Familia, su esposay sus3 hijos. Si esta,n debidamenterepCeSentadOSSedeSeat0marUnaalrededordeunamesa circulaFenlreteniéndose FOtOqUerememOretal aCOnteCimienEO._Decon O._Decon un juego de salón. iDecuántasFo_asse CUntaS fO_aS SeßUedenUb iCar lOS pfeSidenteS , pueden ubicar aIrededor delamesasi los 3 niños Si el pfeSldentepe_anOdebeir Siempredeben estar siemprejuntos7. acompaado al ladoizquierdodel presidenteRe,o_u__o,n. ecuatoriano? ResoIuci6n: Sigrarlcamoslasituación,tenemos '"0'"_^ l y11ol Ht_o3 Alascasillastomadaspor lospresidentesHt_j peruano yecuatoriano lapodemosconsiderar como unasolayaqueellos son ''inseparables'', entoncestendremos23 casillasentre_ascualesEstamosfrentea un caso depe_utación circWar sepuedenpe,mutar lasposicionesdetodoslosya auedeseamossaber cuántasFormas sFormas fesidentes_ pof lo tanto, en total hay23 formasdiferentesdeubicaci6n pueden tener los detomaf _afoto.elementosdela familia. Pero si los3 chicos est_nsiemprejuntospodemosconsiderarlos como unsólo elemento. Así tendríamos3 .,elementosa permutarsecircularmente,habían nte,habían eUnCOngreSOdeeStUdla_teS deINen1enaa .,entOnCeS2!fOrmaS. _VeeeIu, aaOraea mUenO, enUnae _c__pantesPerolos3ni os tambiénpueden pe_utar sus donde_o ,onde_ __nter_.or y 5 son de_, c,p;t,_ posicionesde3! fo_as. Luego en total _Decuántas(o,massepuedenseleccionar lostendremos2t . 3! Formasposiblesde alumnosparaalmon,, si encadag_po debeordenamiento. haber 3estudiantesdel interior y 2 delacapital?Por lo tanto_ laFarniliapuededisponerseen la Resolución_. meSadel2FO_asdi Ferentes. En cadagrupo hay 5personas_ delascuales2 son delacapital; aloscualesdebemosescogerlasde__oDl_mg 1ß .entoncestenemosc5 Fo_asdehace,_o_cuántasordenacjonesdj(erentessepueden ' 2- hacer con2 caml,setasdelase_ecc_, IgUalmentedelOS 3 eStUdianteS del in_enOi acamisetasdeUniversitano deDeportesy2 .o_,de_os_o uehaen_as_atenemosclOcamisetasdeAlian2aLima, dispuestasenForma 3_ineal?. Formasdehacerlo. ComocadaselecciónesRego_uci6n. 5l OApoy_ndonosen el g,a/ IndependlentetenemOS C. CrOCmaS de lograrlo. Por lotanto, sepuedenformar I2 gruposde alumnos. 262
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lu m brerasEdi _oresÁ Resoluc16n: Comoel procesod_ seleccin defactoreses En primer lugar delosm o_jetosiguales independiente, por el pnncipio demultiplicación podemosseleccionar al,2, 3_ ... m objetoso lendremos: quzás quzás no seleccionar ninguno; _enemos entonces(m+ l) posibilidades, Deahí delosn obietosiguales, similarmente,tenemos(n+ l) _~_eCeS opciones.Adicionalmente,siahorapobjetos sondirerentesparacadal deellostengo2 PRrOeSte"ÛmeFo defaCtOcesincluyeel factor opciones: loescojoo no toescojo.Así en total, _iVial l debo tomar 2P o ciones. n. ' __lStenn+ ' aCtOreS lrer_,nteS. FinaImentecomo cadaunadelasseteccioneses independiente. Entotaltendremos:___l8m816 (m+ l )(n+ l)(2P) fo_asdeselección,pero esteResolver alaecuación expresadacomo númeroincluyeauna_aquellaque noescogea ningúnobjetolacual debemosdesechar. As_ _( n 3 )_ n 4_ ' l20 tendremosentotal: (m+ l)(n+ l)2P - l Rego_uc_.o/ n. En el denominador usemosladegradaciónarln Pr_Ql_m81_ Silos''n+l''númerosa,b,c,d,....z;(a,b,c, nt3! n+ ,... z} c_' sOntOdOS dIFerenteS y cadaunOde_ -_ l20 n+3)!_(n+Q)(n_3)! ellosesprimo,demoStrar queel númefOde' Factoresdi Ferentesdelaexpresión a"bcd....z_ n_Z' es(n+l)2"- l ./-(n+5)(n+4)! e_OlUC_0n: t _ _ l + (n+Q) a,aeStademoStraCl6ndebemOSSaberqUeUn númeroprimosólo tienecomofactoresaI y al Onden+4!=5! mismonúmero.Así,deduzcamoslasfactoresde cadaunodelos númerosincluidosent n + 4 ' 5 a'bcd.....z.'.n= l I. De8', p_demostener comofactoresal, a, _3 n _ .moso,_o_e,emo,,_ ybPra_l_m_1l comoFactores,esdecir2factores.SimpIiF_car 3. Der comoesprimo sólo tenemosal y c .2f _1+3___2 COmOIaCtOreS,eSdeClf,aCtOreS. l1 .5 _nu,, y _o, dema,snu,me,o, 11_ _1 2F,ctore,, l,u,idadyelmismonúme,o._, _ , l1 264
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CAPlTULOXAn4lisiscom binatorio Debemo spe_utar spe_utarlasposicionesdelas_roDlgm g 12 camisetas,perovanosdeellosserepiten.Lace_aduradela_óvedadeunbancoconstade EntOnCeS p_demoS YefQUeSl COnSidef_mOS 3 disCos, cadaunade ellas con 30_siciones. todosdifere ntestendr íamoslO! ordenaciones_ Unave2cerradal abóveda,paraab_rladenue vo, pero 2 sonigualesalac_amisetadePe_,estassecadauno delos3 discosdebeestar en la ueden di.spone, de2 r(o_as, ca_aunade e___sposi ción co_ecta. Siun a_godelo ajenodese a __ualesentoncrsestar/,,nre__t__e/ndo,eo,ello abnrlabóveda,icuánlosintentosinf_ctuoso s . d ases t as__ F o r m as comom_imoendráquerealizar? t Resoluci_n: h_bríanento nces-_fo_as"distintas''dep_i dNlscoe,teen _aos._cl.o, nces-_ 2! araQUeeer. correctahabr ían30 opciones_luego parael 2do . ord_nación. Perosimila_e ntehay 4camiset asy 3er. d_sco tamb_enhab,ían 3oopc;ones., en deUniversilar iodeDePo_es_' 2de Alian2aLimatotalhabríanquerealizar30Jcombjnacion es es _uepuedenper mutarsede4!y2! Iormaslascomomáximoparaabrirlab6ve_a,perocomo cualesseestar1/nn repitiendo_enel total nos_iden, cuántosintentosinf_ctuo soscomo soscomo encontrado asíparae___tar que_er epitan., máximo tendráquereali2ar nues_o personaje, 3_ ,_ tRndr_am osquedîvidjrelto t_lentreel númerodeenremOS intenloexitoso. ordenaciones iguales. Tenemos' 2t 4! 2! Pr_al_____813 POClOtantO,Se_UedenOfdeI_a flaSCamiSetaSdeMjgueldeseafes tejarsusl8anosy deseainvitaf 3?_800fo_asdistinta__ .a suF_esta_ sus9compajeros. _Decu_ntas m_neraspuede invitar __I_no omás deellos? Resoluct6n: LDecu_nlasForm asse_ _uL_cle nordenaren una. l_Ueana lZan OaSU_rlmefCOmßanefOdl f_: O _la1_ automóviles del mismo modelosi 5 __o_ l_nv__to o no _o l_n_,to t-lenej o c.l azules,4negrosy6 sonrojos?simi_a,mentepa,aelsegundocom__ne,o._ Resoluc_' ón:lambién2 opcione s; yasí sucesivame ntecon ,omosetratade_utom6vl.lesde_,n_.smocad_unodesus9 com_ eros. ,9_ modelo ,entotal sipermuEamoslasposicion esdelnaen esdelnaenre ereneS' ,- considera ía unaposibilid adq__enoinvitea adq__enoinvitea CadaUnOdeellOS_tendrlamOStt! Ordel_aClO neS .nadie;entOnCesh_'queexcluiresasituaciónya _rOhaYal_UnOS_ePllOSQUeSOnl_llaeS'ueur lomenosdebeinv;tar_1. nsí,delos5 azulesigualespode mosenconlra mosenconlra r5! por_otantoml_gue_tend,a/29 __Formasd_l OrdenaC iOneStOdaSe1laSi_UalPSCOnte_idaSenel deinvitarasuf,esta. lotal,i_ualmented__los4negros, tendrema s4! ordenac ionesigualesy6!ordenacio nesjguales nesjguales _rser_autosdecolorrojo. i dem+n+pob_elos (m,n,p} _- __ +_m .son 15!orden,c,.on e, eiguales, , n soni_ualesy lasresEantesdiferent es. 5!_4!.6!__emostra r queel número_ol _l de d.,_.,t__ntas. cOmhinaCiOne S e-_(m+ i)(n+ l)2' - l
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CAPiTULOXAn4____s_.,comb__n4_o,__ Resolución: , ,,___ _perando convenientemente_____0_0,____0__'___"'_O_'0_ _L_^___' _'___0'_:___'^___a__y^_,_.cu_ndo _a__y^_,_.cu_ndo n _ _. ! _ u _'-___ ' ''v'_''___''_x' 2"l_n_''; 11.11. 5.2 .(_.._.,.,,,...,0,,,,,,,,,o,.,,.,,...,,o,._..,,,..........,.. ,.,,0,0,..0.,po.,,,o,_,,,,..,.,.,...,,.o._.,...,...,..,0...,,,.,,,,,0,,,,,,,.,,,,,.,...,...._,,,..0.,p,,,,0,,0,,,,,,,,0d.,...0.,,,,,..,.,0,0,,,o,,.,,,,0,0_,0,,0,,,0,0,_0_,,,.,. ,...,.,,,00,. ..,,,,.,0._,..,,q, ,..0.,0,,0,,,, o..,,,,0,0 ,,_,0 ,0,0_ ,0_0o ,,,, ,._,.,0... 0....,....,. ,.,,.,,. ..,, ,.0.,,. ,.v,.__?__ ,'__0g ll __ Entonces2S = l+l-O_2 _.(_).11 '.S _ I l2 ' '5'2!___},J,';',--_;_ _1 _ (11.1o) (_) .l_ C_o. C_0_ Cg. C seobtiene' 25 cl9c25 cl9 ' Pr0_l_m_18 59 ' 6Io CalcuIarlasumalímite_e laserie _3 5 ReSOluciÓn_ +_+_+ '__ _2 22 23 De_ Ca_andO, y _Of COnl_lementOSetlene 20 cl9c26 cI9 c26 Resalucjón: _o ' 9' G9 ' 6 Sea''S'' estasumal_mite,esdecir _3 5 C5_CgtC6_CS =_+N+-3+___ 2_ 2__ 2 l9 c26 multiplicandopor (2Jg ' 6 1+ 3 + 5 + _g25 25 _2_2__9 5'6 Acondicionemo snumeradores conven_entementec2 6 6 2S= l + (_)+ (-)+ (_3)+ _-_ 2_ 22_ 2 Ahorade_sdoblemosPf__l_m_20 Determinarelconjunto 2S = l + {_ - - )+ (- - - )+ {-- _ )t _.N 2_ 2_ 22_ 22_ 23_ 2 A= X,y___; C2+2C3+C__ ' 1_i' / 1 orex_ensio_ = _+ ( i- )+ ( _ _ }+ ( _ -- }+_N_ _2 o_ds J' 3 28_ Rego_uc_o, Paraconocer losparesordenadosque ' cons'i'uyenaes_econi laecuaci6n,e,_presada__edian_e:
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Lu mbrerasEd itoresÁtgebra _' cx +c_-+c-i c7 . x,_, y<_/ Dedonde 2'3 ,J_-) _ ' \C_+__ C_X+_ _O_ 2 3''' __+__ 1 _l2l2 +2 c__ 13_ ' _ t' 3+ + DedOndeSetien_ v opudjendoser x+2=j ' 4+y=7_ x=5 /_, v?7--3 m+l .'. A_((5.4) (5,3)) _ _. I.m+I=29_m=28 PraQl_m821 Determinar el _-_lor de(m+nTp) apartir delam g _ _ _ condición Siendoconoci_o "m'', setiene Cn!'J_Cy!! _Cy12 + ... + C_','' _ C2''J-- I 'Pm_9=r,_n=I9 Por lotanTo m+n+_ = 66 ''n''sumandos .o/n. tl.SecumpletamlJin tl.SecumpletamlJin /me_.o comb__nat0r__o ha_ia,_,ossum + l = 29 _ m = 2_ C0_nPlemento m _9 + __ _ 29 _ p _ i_ 10cllc12clnc2_ I'23''''' m-_p Además: m-9n _ n=l9 _horaaf_nde _oarl__ r In propied__ddcla d__ddcla adiciór,, Dedondem + n + _ _I'__dlmOS Ca_m_OS ml_mbrUS: ... m + n + es66 _ 5_,
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0 fOblem_S _fO0Ue_tOS . l. En unareunión cumbreentrelosA) 30 B) I6 C) 33 presidentesdeI0 paísesdeAméricadel D) 32E) 25 Sur, el díaF_nal desesionesdeciden retratarseparalaposteridad._DecuáI_tas_. Un agentevendedor deproductos manefaSßUedendlSpOnerSelOSIO_armacéuticosdeprimeracalidadvisita mandat,rlOS,SilOSpresidenteSdePe_ydiafjamenteJfarmaciasenel Centrode ECUad0fpOfVOlUntadßfOßlanOdeSeanLima.paranotratardedar prefefenciasa osar juntos?uno u otro establec;m;entohadec;dj alterar el orden desusvisitas. _Decuántns A) 9! B) 8! C) 9!_.8 maneraspuedehacer_o7 D) Io! E) 7!.8 2.Uncoleccionistadeartículos precolombinoshasido invitadoaexponer susmejorescerámicasNazca.Dicho6 Enun con ,eso deEstudl. /,tasma,e,aspuedese_ecc;onarloss__ 3unasaladeexposiciones, dondeparticipal_ dee__osno pueden f,_taf nlaexpos nelaexpos ició,7. I Oestudiantes, loscualesdeben ag_parse en 3 grupos: 2de3 persona.s)_' el último de A) 7g) 3 c) 2 _4. iDecuántasformasse pueden agrupar E) 10 loslOestudiantes? 3. Un turistaeuropeo desearealizar un ToursA) lOB) 8 C) 36 en el Peú. Paratal efectohacontactadoDJI6 E) 4 200 conunaagenciadeviajes; lac_ual leofrece unaestadíaen8 ciudades, 5 dela región 7. En unareunión entre5 comp_nerosde andinay3 dela re_iónCosteña_ Pefo por el colegio quesereencuentradespuésdel O tiemßOdel QuediSpOnediChOtUfiStaSÓlOañosdehaber egresado; ello.svan deseaviSitar 6 ciudades_'DeCuántaS acomp-añadosdesusrespectivasesposas. maneraSßUedeSeleCClOnardiChaS_Decuántasmaneraspuedend;sponerse Cl'Udade_S aV'lSl'taf_Sl 4 ClUdadeS andlnaS SOn en unamesacircular sj siem re_eben es(ar unto obligatoriodevisita?hombresv mu_e,es en (orm_ alte,r_eda7 AJ30B) I8C) !5A) _ 4oo B) 2 6oocJ2 8_o D) 24 E) l2Dj 4joo Ej __ _. Sehan maEriculado5 caballeros' y 7 se_.scom an_e,as_e _, unl.ve,s.l /ctl_cassedanenella_oratorl_o lla_oratorl_oencuenLranen unevenEo Eecnológin_o. En dicho la_oratoFio sedgben Formar Determ inar, _cu ántossalu dosse rupos_ipersonales,necesariamenteintercambian ambiancomomínimo,5i 2deell_s for_nadospor un caba-lleroyunaseí_orita. están reunidas? iDecuántasmaneraspuedenselecciunarse diChOS g_ßOS Si Un CaballerOdeCidenOA) 6 B) 3o c) 1; trabajar con 2 desuscompaneras?
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Lu mhrerasEd itores' Álgebra 9. En un simposioorgani2ado por lal3. En unareunión lOamigosdesean Municipalidad deLimaparticipan4alcaldesordenarseparatomarseuna(oto. Si entre del ConoNortey 3alcaldesdel C0no Sur, elloshayunapareJadeenamoradosque no loscualesestán ubjcadosenunamesadesea separarse. iDecuántasmaneras ,b lico pueden ordenarse? asistente._Decuántasmaneraspueden disponerselosalcaldes, si lasA) 9! B) 8! C) 2. 9! burgomaestresdeun mismoconono D) 3. 8! E) 3. 9! puedenestarseparados? l4. Si sedisponedem objetosiguales, otrosn A) l2 B) 24o c) I4Qobjetosigualesy rlnalmentep objetos D) 28g E) 27o diferentes._Decuánlasmaneraspuedelld. seleccionar por lo menosal deellos? lO. Enunprogramadeconcursosenla TVse ,e,e,laun ;uego quecon,i,teenab,;,4 A) mnP uertescontando con unJuego de 7 __a,es, B) (m+ l )(n+ I )P ' l _cuánlosintentoscom_omáximo disponeun C) (m + l )(n + I )2P -- l parlicipanteparaganar el premio?DJmn p+I _ A) 84o - B) 2 8oo c) 2 loo D) 24o E) 7 2oo l_.Si sedisPonede(n+I) númerosprimos, _cuántos(acloresdiferenlestieneel productodedichosnúmeros? .Lacompañíadeteléfonosdeseaaveriguar CUa/ ntaS ll_neaS adlClOnaleS ßUedel_Stalaf en n ,)+ 1 , t laserie53l, si sesabeq__ehastael n n+, rT_omento nohausado 2cifrasparalas últimas3 casillasy 5 parala4tacasilla. ,o,,.Elnu/me,oteleFo/n__cod__sponel6.Hallarlasumade A) 15 B)_ 24 c) 4o D) 28 E) 53 1 A) 55 B) 77 c) 285 l2. Enun circo,un payaso tieneasu disposición 5trajesmulticaloresdi Ferentes, l7. Avejguar el valor de"n'' _uejusti Flque ala 6gorrasespecialesdiferentesy 3triciclos.igualdad _DeCUántaS maneraS ßUedeSeleCClOnar SU!_ = n_ + 6n3 + l I n'- + 6n, equipoparasa l ir alafunci ón ?e._n d. l u e_ al v a_ o r au m en t ad oe n su t, _. A) 45 B)3o c) 18 D)90 E)40 D)3E)A_, c 268
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CAPITULOX An4l_si, combinato,i
l8.Alsimplirlcarsereduciráa: 2l c2I 8 I3 bt.t _ 2 _SeOlene'A)l+-B)l--C)I+c+c_c_cn n n 5 l2 l28 l - E) n n l BI cl 224 D) 2E) 4 m_'I cm_2 cm_3 c2m m m_l m+2 '' ' 2m_ l l9. Laexpresión será: 3 Co+ 7.C_ + I2Cn_ + 6C _ 3 AJ-(2m+l) B) -m (2m+ l) nnn22 l' 23 m -m 2 n__N>3 Dm -(3m+ IJE) 2m 2
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_____t__r_______t_________n_ccn___yy_t____________y__n_y__y__yy________f______________n________sy__y____yy________4f__nsm________n______x___________________r_t r_s _____y__________________x_t_____________________ _________y______rnr_______________________ys____________________________y____rn_________________________r_________________x_n________________________n______________________nx___________J_)__t ___ ________________n__________y_______________________________________________________________________x__rx__________________________rr__________________________________\________c____?_______________________________________________?___________________________________________7____r______x_______n______________r_____________________________ s_____x______________rr__r__nm_____n_____________________________________y______r___________________________________xn____________rrn______y_____________________r____t_______ s_____x______________rr__r__nm_____n_____________________________________y______r___________________________________xn____________rrn______y_____________________r____t_______ __tl___r_________________r_________y__n__________________________________________________________x______________________________________________________x________?7__?___________________r_________x_____________________________________________________________r_____________________________________?nr__n____________n____________________rc__h________________________t____,_?_________________________n_______________rr__r__________________________________________________n____________________________________________x_________n___________________x__________________J__________________l_____y____________________xr________________________________________ _____r_______y____y____________________________c_____s___________x_______________r_r_______c_________________rr___________?___________________________t____r______4?_______________________x__________,_,,_______________________rm______y___________r________________r_____ _____________________________________________vr__v___________v_______y_æ_x_______________y____________________________________A_______________________0__ ___________________________________________________tn____________7_________E______t_?_r__r_________7______________________r__________________________________m__________________________M________p__t0_________p________________________________y______t_3_____4__________ç___________________________,____t____J___7_________________________________________________________________________________0_________0__o0__po________________________________________________________n________\___________________0_E_______________________________________________n_______ ___________________________________________________r_________t__________________r___________________________________________________________________________________________________________________________________s_____________?______________tt_t1 _-_______' __'_.?__;i'_:p,:^_-c __\_.': ,_ ___, '-_/i_____i,,;ji---_. ;:i;._.v;' ';; ''4_ _, _'_! ___''i___. ..____. ,___-_,,,, ______._ ,_,_ __wm,mx ,n_;., _, ' ;i__ :._._--,,___ ______,. '_; !;.._ ..i_ S_, ___š_M_,_,;;_x:.Xx_ _-_--__ :'!_,,X;;_'_; 'n_.__'_,;;.:; ', 1 Gc' 6 ___. _M'' 1 1._.. c_1 6 E '-_---_--' ' ' ''' ''M : ' ''_: ' ' ' ''_ ' '' : ''':; _4 _''_ ;'_:: ''''''_ : :: :;,_ :;; ''', :?' '''_ ''' : !,,_ 'i :,, ' _ _,,.' ___4; ;._..:.''_': '_i___'.;__..:; .;.,.___.:'' ..';.__..';; ...;Vv_..,_;_.' __..;,..2 ___.7r,_c'^ _2 ,___D17 '___ ;_il'_:__,'___ _''',_;_,;___";_, ,',:_,'''; _','_:'','' ,''',l_,' _:'__, 3_. 8E,13 18 _J,S,,i__.__'_,i :_.Xx_i..i,,__'_); ' m>-_____ _____w__ 0_ __ __ _ - _ __ _____ __ __ __ _._. n_;_,__;,'_;,_, ; _v____:_--_,-----n; __-'' - __ _:.---'_--__:-__-;-- ; 4 !c cg_ _-;; D_ 1 4_ _c1 g_ _ _A ''_t;,_''' _..;.:''.; _;,'._!!_,:.: _'',''..': _'__.;:_:;:__.. _;;..:_,,, _5__''' DM_1Om__;' A_15, , _3 E _20_
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L_ E Los__ntcT7_l__ rIe_IrIM22lt0_2 C! T Ln r_oJ-jn dc/__L'Jra(r_J7riosJJ_e Jescl__icrt_ _' r/__'_/7__l)n__ poJ-I,rrrJJri)ryJ( _,JJ_ _1_J. _'R_l c.JJ1lJr'Júa7.' lo.sco1J7pJ__/os/7r_Ir s1_o _'uJls/J__1_osn _nJtJJ- d__l _,.Tpr_rio ì'_c'_oJ-inJ r I__ r/u_dillleJlsi_JresrIe?I_s z'rc+roJ_cs(n, (JJ, sieJldo n_' __JJ1(í1JleI-DsJ-_n Ics. CoJJsi__J-eJ/7osnI7oJ'rl __/! es-prlc'irJ_'e_r-(oJin/ rJc_ t _iJJI_7JJ_-irJIJe__J__n Ics__7osì'ec'/or_7s (_, _, c,r(J. _o_' z'cl'toJ-_s___,-- (n.,, _,, _-,, r/JJ .)' _X__ = (r2, , __,,r'_7, rJ_,J, _r_'1-_17 1__J_n7c__ si,' r7J=rl,, _J_, = __. , r/ __', , _,., _r/, _n r2dic-i_11(_I_iI1eJ_rr o__7I_r7c'7rJ_Ji17Je/11nJse _9sc'J-i_e.' _XJ+ _X_ = (r_/+n '._/ +_,.r'J+c_ ,, c/,,+cJ_J- - - - 1 i .rI IIoJJ__ut_,c'Irl !_0rJ-nc1ó_r r.\-teJ1JnJ: IJIX7 _ (1JInJ, 1J7_,, l/1c',, J,I_, J i i _n/-n de.Jí- Jlil' JIJl_sr'_rl JlrJnrJ_eJ-nr'ill JlrJnrJ_eJ-nr'ill illteJJln (_1-__l_c-tuJ, __liJirJJlysrIJJn l7ns_9 cu1r _'JIrrIJ-o 'z'_r'loJ-c._- í _?_ _,j',__ } rl_'c.1trJ_'s-_nc'io. ._iLJ77rfrJé cJ_'IeJ11caIru JJcJl1J-u,_r_J_n cl_J-_rJJIc-ru. .\-o __s)rf7__ç7.Tr7J-ir_, J-_c_i._rl)- (_n,J17JfJ_rus_J-_JJ/(o//__J((o J(7r}.cc-J/_J rJ,.J,?J_(_9sr Ic,s(o.c z,t,(,rr) ),e,s-. _,r, (nlj Jr_ rI__7 1Il1r Il!_7ir-r7r'ió1J.__cJ-7 r I__Ji'_lirlrl r uIJIrJ._i__JI_J.' l _t t _t I_ '_'''' g i _j i t t t t t_ i eiJ_ _ _ _ _ _i l i i -__ -j 1 _ t _ __i j j -_ -ei_
l_ _ t9vill IllItInJ- __StC('llrl l-D, _i>llloi _lIeet1i C__II7e 1l1o Il_Iltl-CJDllIi_ __'fll ___I7-ll_'l(Jll.' t _t_2_2 i =J=k N-e: rl p1-n_J__c'l_ /7rJ_J__ _'_lllllllr_ri_'rJ.'rJep_9Ja_crJ_/ uJ'_leJJ,JJ cl rJJri ser_/7rrlJJ_'Jsf_nc-tu!-__-. __1._j Ii__ __ i__ _ , _ , ! j ' ,tllICIItJ___lJlICJl = - ' _) ' Cl7 l1i2Itt__l'Sl n_ r___tl'L't.T_l, _i)t rl_'_ 7 lI.'DtiltlCIJ_Ir-(rJJ',__e_lrrl__,(rl- r-!_il_J. , ( i7_'_'l'JuJ-_1 r-!'l_l IrJll ir'l-_r__J / __._'_nr'lrI _'e_ 'rrJI -irli r-ol sirIcJilclr_ s_' r_._c'J'I__' n(_-_'bJ___c-rIJJ_eJJ_e' , '' l t _I =ne+lJl i_-J! ___- )'s___J_iIllrJ/1l(ll__c__Jc'71r_re9/_/7lo. ! j JJ, J1f__. ll__/f_ltJ,_ 1JrJ_l-_JJ7,_Jj _ __.i_,,JJJ). l.. lJ_tJJ _J_1)_._. !
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gsaFFollodg '...v....._.''_.:.:__.:_..__...____''';:.____;__'~.............._' _
_iiiOBJmV0.S__'_'''_'_ '',,,,,;;,V'_'''''''''__'__0__ __,'''' _ _and.irodes_.___olla___:r,'po_n6_c.annnte(x'+a)"_ .. ,., __ ' ' ''__''''' _''_ '''i_Calc_larc.ualquiei''t,,_rm..inD.de_a e_xpresi_nde-(x+a.i,_...'__..'_''confando onfandodederechaaiz_uier_dao ''_,__ i,'._ _,'__Cne. _erS_ , ,. _,....,,. :.._., __ '' ''_' '_'/ ' ; __ t,. ResalveriaroximaciÓ'''lesgcu_cio___.e.inec?ac_onesiiT .inec?ac_onesiiTacionalesarac_e_osin_e_alose acionalesarac_e_osin_e_alosen0 n0 __;, .......__..:. quese0',u'e,_,e_,. __ _g''c5'' _ _,. '' :: ' ' '''' '' , ,,, ' .: , ,' ' 'i l_R00UCClON El desa_ollodel Binomio deNewton queabordaremosen estecapítulo desempeñaun papel importanteenel desarrollodeloscapítutossiguientesde álgebray, en especial, en el análisis matemáticoqueseestudiaenlos primerosciclosen todaslascarrerasdeingeniejay cie_ncias. _ncias. Por ello,mostraremosalgunasdesusaplicaciones, por ejemplo, en ladesigualdad deBemoulli (I+x)^> l +nx _x >_ -l _ neN lim l Sl ml5mOparademOStrar: _ % l + - = e n Como sabemos, dicho númeroe=2,7l 8 28 l .... esmuy importanteen el an_Iisismatemático. TambiénseobseNalagranaplicaciónen lateoríade ecuaci0nes, desigualdades, s, funcionesy fundamentalmenteen lateoríadesucesiones v seriesqueson temascentratesen el análisismatemático real y compleja, por ello,citamosunejemplo deuna serie: 73 _ 1 Por lovisto,el binomiodeNewtontienemuchasaplicacionesen losdiferentescapítulos. CUAMDO.__n ._ YN. _ ,ERO'NATuRAl _:. _____ ,__ ' '' _ Analicemosel desarrollodel binomio(x+a)^ paran _ N, mediantelossiguientes ejemplos: 2__i+2xa+a2 3_J1_3 ___ x_+ __a+_aa+__a3+a_
_ainquietud esaveriguar cmo esel d_sarrollo de(x+a)^ ; n?_ 273
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Lu mbrerasEd i toresÁ_geb,a MÉTODOl NDUmVOEJemplo_ .Hal_eel desarTol_odex+a ol_odex+a 6 artlreInOS eOs_rOUCtOS nataeS: . (x+a)(x+b)__+(a+b)x+abRe8oluci6n; 66 6 6s6q2 633 X+a)(X+b)(X+C) = +(a+b+C) X'a--- oX+ _Xa+ 2Xa+ 3X a +(ab+ac+bc)x+abcc62 abcc62 4 c6 s 6 6+ _X_ + 5 X_ t _ :Desarrollandolosnúmeroscombinato_os 6_._ x6+6x5a+ 15x_a2 + 2ox 3a3 + 15x2e4 X+aJ(X+b)(X+C)_N_(X+h)=_+S)__ +S_-2X'a -3 +6xa5+a6 Donde: PROPIEDADES S_ = a+ b + c+ ... + h I. El desarrollode(x+a)^ esun polinomio s2 _ab+ ac + ad ... + ah + bc+ ... hOmO_eneOy COm_letOde(n+ I) téfminOS b+ bd + + abh + bcd + con respectoalas variables"x'' ; "a'' de 3- ''' '-' : II.Loscoeficientesdelostérminos equidistantesdelosextremosson Sn = a.b.c,.... h combinato;oscomp_ementa,io,_ en _a_ razón.lendr_n el mismovalor. En caso quea= b= c = d-- _____ -- h III. Losexponentesde"x'' disminuyen deuno en uno, mientraslosde"a'', aumentande nUnOenUnO. = a+ a+ ...+ a= na= C_ a .P8r8h8ll8r cu8lquier térm1nodeI ' ' n' ' veces deS_Ol lO Seaeldesa_olIo 2+ 2 + + 2 n(n- l) _ c ne2(x+a)"= Cò_ + C__-ta+ C2_'2a2 2- ''' -_ - _ r. t_ts n(n - l) VeCeS + C_- a+ ....... + Can 33 3 n(n-l}(n-2) 3 t_ tn__ =a+a+....+a=_av d te_ 2emOS QUeCaarm_nOeS't 1_ Cô x n(n-l)(n_2) 6t _cnxn-laI 2_ I na3 = 2 t3_C2x^-2a2
,cnn t _cn xn-(k-f)_"-' =a.a.a.'.....a=a=nak k-l nxn-kak ''n''vecesh+lk Cr_rmtnogeneraIJ Luego x_an _cnxrl+c_xnla_c!lxn2a2+ +cn,n kO_ I i2 ;... :n -_ _2 ''''' n ellamael término delugar (k+ l), contado n_ _ dei2quierdaaderecha. 274
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CAPITULOXlDesarrollode_ binomiode\_t_
EJemplo l ' e ?,m____,__?__ _,___,_ _,___,_ ' Sl SeCUenladedefeChàat /rminodelu arloenlaex ansión ___"''___t'^'"'_'_' i2 uierdasó_o secembia et ?, _2 ___c___,x 0'':_____;__"' o_den delasbase s_ así en _ de27x5+_ __' ?_^__i_'_'-"''"m_ ' X+a)": 3x ,, Resoluci6n: t _ ,,_ UsandoIar6_ulagen eral t_,_ _c_ x n kak t_ , _ _ c_an k x k _ eral 9 contadodel iniciocontadode_ nnal t_o_ _g+_= cg2(27x5)'2-9. -! 3x veamo,en.(x+e )6 6666 6t_636J X+a= oX+ _ a+ Xa-+ Ja+ 4 a 9, I2 53 _, 9 '_65 6+ 5Xa+6at 3 64_ t 6246 ____ _ m3 1-_ = 2X' __ 4X" -- 2X'a4 ; _ ._ __._ _ OlS_9 _ ' .X_22QX6 V. En elsiguiente polinomio P(x_a)= (x+a)"_ _nn nn-l nn-22 _n _em_o2 - Ol 2''''' n Hallar el númerodeterminos del desarrollo C8sosP__cul_es x2y2 s._e_te,Fm_. - 't y _ __ _, _ ;__ ____ ' /\'S ,_,,',.,,., ,,,___'? __n ' tleneaXCOneXPOnente___! _'__\_a)___n _ _C____a XdN_' ''a_c3__ :,..:'m__c,n_., ' Jn_ _,! , _; C_, _;_\__; _; _ ' Resolución: _i.',J x;,_! a5_ _,_, \:_v,_,_,/,xv_,s _,_ _'x'_;,_' , ' ' ,,, ' . , _ d _t, _ . x_2_''_n'io?+c__c2''' __c_m_....,5?_!'M ,_ nlaFOrmUae erm1nO_enefa_; __l?,\__,, _ \' ___,v v,,_, . 2(5n+2}-2Q22Q 5n+2 Xy 25-2q+l- 24'- '- E_ Y Deternujar elequivalente reducidode: nnnn 2q = + _+ +.....+__ 2(5n-22)-t _ Jn+2 2 -(5n-22)+2(2Q) ' 4 ' Resolución: _ t, iofdato2(5n-22)- l2=Q4 _ 2(5n-22) _ 56_ _5, 22 2g_5n 5o_5,+2 52_____ (_ _)cn_cn cn ! - - - - ,\_n_0 J_,_,J__,,0,__, + tt - tt + _ l,'M_ .'.Enel desarTollo ,existen ,existen53terminos'
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lu mbrerasEditoresÁ_geb, nI_ n n nn n VI. En el desa_ollo de(ax_+byP)n se_iene; -OI I 22 3 3''' a. El coeF_cientedecualquieT término es ... +Cn+nCnn cnan-_b_ k = _cô + c_ + c; + ... + c; J+ _c_+ 2c2 + 3c3 + ... b. Lasumade gradosabsolurosdetodos ,n(n+ l) ... + nCnOS térmlnOS e5: _ a+ 2 _€cô + cJn + c2 _ ..., + c;J+ __ cô" +2_, cn_- ' + ... Demo8!_8ción_ a. AplicandolaF6_ulageneral ncn-1 t,+__ cxn(_a>'". (byP)k ''' n_I n _C_a^_k. bkxa("-k).y __-_cn__cn__ cn__dedondeobseNamosqueelcoerlciente nte = +no +_+2 t.,,.+ decualquier termino esC_a''-kb 2n _ b. Como lapartelileral decadatérmino es .s_2n+ 2n_nxa(n-kJDk. a(n_ k) + ßk , donde k=O_ l ,2,....., n; luego Ejemp_o 2 laSUmadeeStOS _ FadOS eS Determinar el quivalentereducidode= qeuivalentereducidode= _ _(n) +ODl + l a(n- l) + DJ + l a(n- 2) +2PJl cncncn c!_+____.+Ia(l)+e(n-l)l+Dn Dn n+l+2+3+ + n ' O--- '''''- - ''' n+ Resolución; n(n_ t) Multiplicandopor n+ I miem_roamiembro 2 n+I cn n+l cn n+I cn ßll+2+3+...+nJ -_ O_ l _2 ''' n(n _ l) n_l cn2 n+l ^ n(n+_J = _ a+ elaFórmuladedegradación2 n+l cncn+( K-l= K VlI.lasumadecoe Flcientesdelostérminosde _n+_K _. cn+l+cn+l+cn'l+ +cn'l lUgaf impar, eS i_Ual alaSUmadR ' l 23 ''''' n_l N Sumandol(x+a)n n_l n+l n+l n_l n+ K+I=l+ _ + 2+ __ +___,,+ Demostractón: ^, _Del binOmiOdeNeWtOn erOl= ( X+a) ^= CôX^t C_X^ ' a+ C2X' ' +..... t C,a _(n+ l)K= Co' + C_' + C2' + .,,__ t C,:j - I _. x_ _ . a_ n+f +_ _8.Cuando "n'' espar: .'. K=_ocncncn cn cn n+I _Ol 2 3 ''''' n 276
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CAPlTULOXlDes4rrollodelbinomiodeNevvton n n n n n n n+l / o + _ + '' + n - 1 + 3 + '' + n_1 Sl - eS Un enterOt l amemOS le swndecoer.de_ll_gari,nparsunla_ecoeI.detu_afpar b. Cuando "n'' esimpar: lUegO: n cn+cn cn_ +cncn . n+ I Cö+C2+....+Cn__ = C_+C3+....+C, .mp,,s_edccoe,.de_ug,,p,,yse tendráquelostérmino sdelugares sdelugares p y p+ l son igualesy asu ve2son los /__.no dem_/ _ novalor Nume/,_.cotérminos dem_imo valor en el n . dondedesa_ollo. + . n+l nX Tenemo sque(x+a)'' sque(x+a)''=_I +-. Siendoa /rml_no sdel sdelle llamarem osqy eltérminodelugar nq+lseráel términodemáxim ovaloren eSa_OllOdel + - ; SefaSUFlClenlehallar edeSarfOO_ /__lnom_/_lmode_+_a^ EJemploI x Si x-- IJ3 t hallar el máximotérminoen el onsidere mosdostérminosconSe cutivos cutivos deldesarr ollodelugare sr yr+l. Resolució n_ n_ Eltérminodelugarr+lseobtieneSeanlosté_inosdelugaresryr+l multiplicando el té_ino delugar r por _ _ _ _r'I n_,+_a t,_-C,__(_)'- =C,__ 4.r '-x _ n+l ar SdeClr ,+_= _- -,g, g r xt,+__- , X_ , 4_-3 n+I a acEor __ l -dlsminuyecuandO r t _ r xComot,__>t ,__>I lugar(r+lJnoessiempremayorqueelde n+l aC4 ugar rt sino cuando_ _ l - sea mayor r ' 3 8 3 8 r-l> q_'_4-l n+Iar-l queuno, esdecir, _ - l - > (9-r)_-r 4>_ 9-r>3 __-I>-t->-+l ' T_g 3 'r 4 r ar a _ 7r<36 _r<5+_ arma,x=5
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LumbrerasEditoresA'
Luego, el término dem_ximoval or esel g g 2 3 té__no deluga F 6tq 3 _C3 - _ 489888 g 4 5 _ 45_ 6= C5. - =_3 !_._ 35 IX,Enel desarrollode(x+aJ"sehallaunaform a 5/_ raClCadeCalCUar el COeIClentede !5. 6.35243 cualquier términoenF unción al coeF_ciente anterior. Ejemplo2C_F_cienle_e___Ponen tedex tedex en CoencienIedc un tenninoanteriar elter_nino ante_'i(_r Hallar el térmi_OdemáximO valor numérico _e'rmino cu_quiera'' g an_ e_ t e, nnn _.n noean_f en. o_ ,! +l Resolución: 9 Demos_g_ón: 9 __ 39l __x sera/ su Flc_l n n_k+l k-l k- k-l 9 . t n n_k k COMl eraf eeSa_0 Oe- -X_ + _ --- __ 3 Eneslecaso emOS c-l _ 99 _ _ --X_ = --Xn n' + n 3 ''' r 3 - _+_= _"___-1
(degradación deíndicein Ferior) Det+1 de_radan dOl/ndiCei_Fen'Of dOl/ndiCei_Fen'Of 9-r+l 2x t t,+_ = _.-Nt,n (n-k+ I r3_Oe__+_=_-_.
Dedond esetiene: esetiene: 'F afaX=l: tr____.-. r 3r cf t expone nte Oe i ' i+1 IO-f 2eXpOnente OmO_+1>t'_N-3>'r
Eje_plo: luegoparatodoslosvaloresderhasta3 tenemo5 uet,+_ u qet,+_ > t,, perosi r__4 (a+XJ5 _ X5 + _' X9at _' X 'a entOnCeS tr+ l __ _ y eStOS te/ rml'nOS SOn lOS de' m_imosvalo res.Io3 res.Io323 1o2_5_ +_Xa+_' xa+_' a or lotanto_ el té _ino cua_Oy quinto son 2 + _ 3 + _ 4 + l numé_c amente_ualesymayor esque _ tro /nnl_nosuva_or . . x+a5_x5+5x4a+I x3a2+I x_a3+5xa_+aJ
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CAPITULOXI ' Des4rro__o de_b_nomio deNevvt
X. En (x+a)"si n espar, existeun (érminoEjempIo: 6-,__ n Central qUeocupael IU_ar - _ 2 _e,rmN_ 2 _ t cn xjaesdecir, el lugar cuarto -+I n 6 6 2 2_ _c--lq--t3___3Xa --20Xa
_TEM' _ADE' UN__mOM. IO ... . '' '_''''''' ''' ' ' ' El objetivonoestanto laexpansióno desarrollo Resoluci6n; del polinomiosino ubicar un tefminocualquieraEl desarrollo esel producto de__n"fa ctores delaexpa nsi6n: igualescada uno aa+b+c+d+.....+ cad EJemplo té__o del desa_ollosero_atomando una H a _ e e lc o e r _ c i e n t e d e _ a a bcJ ' -e n e _ d e s a _ o l _ od e _ e E , a d e c a d a u n od e e , t o s _ _ , _ , l2 tanto, el _úmerode manerasen quecualquier Resolución; términodelaforma; a_bßcydo ..... apa,eceráen el EI desarrolloesel producto demultiplicar l 2 producto rlnal, esigual al número demanerasde factoresiguales ax+a+b+cy cadaté rminodel o,dena, n_et,ascuando ade e_losson a., pd desarrolloes del2dimensiones siendo un ellossonb.ydee__ossoncas__sucesN_ p r o d u tco q u e s e h a ( o r m a d o t o m na d o u n a l e t r a _ s d e c _r.e i c o e r, c _ . e n te de a a b p c n , d 6e s . d e c a d a u n o d e e s t o s F a cot r e s . Así_ paraformar el termino_a4bJc_tom_mos ''x'' detresc ualquierade losdocef actores; ''a''de_ _ _! _..,.. cuatrocuaIquiera delosnue verestantes; "_''de trescualquiera delosc incorestantes; y "c'' delosdOndea+D+_+6+ NN_'_= n dosrestantes. Pero el númerode manerasen estopuede Luego, untérmino cualquieraes: hacerse, evidentemente_igual al número de manerasde ordenar l2 letrascuando 3 deellos deben ser x,cuatro 8, tresb, y dosc; esdecir es_ aab _ cy d 6 iguala: ____..... __ '! _! '! _ _ _ i i'ii.. _ _''_'_,, coRo_ANo; _merodeve cesue ''_______ Enel desarroflo de:(a+bx+_+_'+.....)" t i_'.,_,o El termino uecontjenee_ aab_cYd_ es_ apareceel término _a b c- enel producto flnal '''_''_' , ' '''''' ' . ''_, _ ',COnSeCUentemente,elCOeIClentefeqUer ldOeS: a_,'._ aab CYd..... x _Y 2772ool'_, _ _ ,_''. dondea+_+y+6+..... = n TERMlNOGENERAL {Fó_ulade leibni__ ' '" Partimosdel problema' - E_em_lO a a f e C O e C l e net e C U a q U l e f t e f m l n O e n e n s_.endo_,n,, un Hallar el coeFlcientede _ en el desarrollo de ,u/ me,onatu,a_. (a+bx+_)9 279
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L um b rerasEd ito resÁ Resolu_ón: donde, a+ ß + y = 5 EItérminogeneraldeldesarrolloes:_ _Equivalente__ 2P3Y.x_+2Y __.aa(bx)P(cx')Y/a+ß+y ß+y=9 _!_!! !&!&W! nnUeStrOCaSOa+ + Y= esdecir:!_ p2 s_. ,.a~b CYX' Y; a+ß+v _9 - ' _! _! _l ___ __n, __ adem_sß+2y5 adem_sß+2y5 Luego, losvaloresquetomaa,ß, y laspodemos encontrardelascondiciones a+ + __ g lUe_Oel COerlClentedeXeS ß+2y _5si en do adem ása,e, y enterosno negativos.!' S 24 3_ + _ 22 3_ + !_ 2o 3 3 Entonces: l_ i__ ' _ t _., _ ' l _ l _ _ ' si y=2_ D=l_ a=6 si y=I _ ß=3_ a=5 si y=O_ß=5_ a=4 NUMERODETÉRMlNOS El coerlcienterequeridoserálasuma delosE_ desa_o__o de(a+ b + c + + p )n _._ valorescorrespond ientes. Por lotanto, el coeF_cientebuscadaes: _'_!_ abc+__b c+_a ___! G___! _! _,___''?d' ,+_ _ __ 252a6bc2 + 5o4a5b3c+ 126a9bS __i_t__, _0S ai.. fORMUlADEl DESARROLlO_f_rmulade Leibni__En sudesarrollo En el desarrollode(a+b+c+..,..)"/ neN I.Así:(a+b+c)_tendrá: d'' ' lgp ' ! 3términos _'_o (a+b_c_)n__ ___4bcY___,' _''___'_^_ ,, ''''' & __ ...._. '''.- ''__, ''__,.......,.,..,.,...., ,..,.o.,,,,_,,,,,,,d,,,,_,,,,,,,_,,.,..o.,.........,,,._o_'_i_ Qx3x __ donde_, ,--_,. -'_'6té_inOS a+ _+Y+....._ n ; {a_ ß, Y_ .......) cZd''''''o Efectivamente, yaquesu desanolloes: 2 Ejemplo: a+ +C+ a+ aC+ Ce tet__OS' Hallar el coef_cientedex6 en e_ desarrollo de _+2x+3_S ll. En ( l +x+y+_?J3 setendrá Resoluc1ón: ___o-! !_ El desarrolJoes_ _ ( 1 )a(2x)P (3x2J'' _ _, -- 20 términos. !&__ __ 28O
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CAPITULOXl 0esarrollodel binomiodeNewto n
_AND0 'Ya~ES __.. M?MERO_CIONAL _no aat_ral! ,. Sebuscalaexpansiónde(x+a)"cuandonEjemplol esun entero negativo o fraccionario.Hal Iar laexpansión de(I _x) " Resolución: DEfINiClON _ x __ _ ' 2 '-2 x + _2x2 -2x 3 OefIClenteBl t_ n -2_
'' _ __n(n-IJ(n-2)_____(n_k_l) . '__ Estáf_rmulaser_v_lidasi xc_ <_1,l> '' k- !& ' _. t..:.'::'_, nf_'_'_a__'.. E_em_lO Resoluión: E_emplos; 3/23/2 3_ 3/2 , l -x)3/2_- o - _ x+ 7 x2 - 3 x' _ .... l. 4__--O !_ 33 (3_) 3(3_)(3 2,+_2t ,2__22 2 ,3 2 (_t?) (_2+2)(_2+_)_(_2_1j(_2_2) _ __ ' S/= 3x+3x2!x3 (_2)(1)___ ' 2 8_6 lX2X3X4X560Está(óFmulaseráváljdasixe-<_l,l> -2 -2 _ _=_--_2EjempIo3
-2 (-2)(-3)(-4) _ 3=_-4 3=_ -4 Resoluc1ón: Seráequivalentea í. 2'--__-3_5_+-3x !_ 4 6. 4 _ - 5 = 2_ -a_ - j -x _-j -x + -3 -x+ ..... _ s3 (_s)(- l5 g 2 (- s) (- _(- _ 27 3 FORMAGENERAlDElDESAR ROlLO---3j l- '-4"'__'-16"'-g '-_' "'' BUSCamOS el deSafrOllO de(l+X)"i n _ _ nO_ _5 _35 g45 natural_-l---X+_X'-Xt.,... ____ _,,__ __ m4_____ 0_____ ,______,_______0_0___,___________'4__ ,__ _vm_\___. , ___,,,,32 4 16 64 n_ n , nx, nx2.+ n x3+ _._''x..J'.+ ____, _,,,,D,,,.,,,, ,,,,.wmn_M_,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,_-_nn__m,_m.._.. .,..D,.,,..., ,.,...,,,,,. ............ .......,_ _ 32128 X' 512X2o48
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Lu m b rerasEd i to resÁ
Es_áFórmulaseráválidasi (-2) (-3) ( -Q) (_5) (-6) (-7) (_gJ7 ., __-2 X 4.Q_ 3'3 2_3_4N5N6_7.8.27 x21 _ _ o24x2_ 2,3.Q.5.6.7 Ejemplo_ t l __g_ X2 2 Re6olución: Halleel términodelugar 5 en el desarrollo de .5 3___ S eqUlVaenteaeSarTOOde: + _ l 1 Re8olución: 2X2 +-EldeSarrOllOSeCáeqUlvalentealde 2/3 _/3_+x2oflafo_ jl_5 -- _- -- 2 -_._ 2+ 2 _X+2_X+ 2/32_ ' ' ' ' 2/3 2 5-4_l' 4 I3 1_x _2-2x_ 22j2223 _-l-N_+_.-_... 3 33 3 3 3J _26 2 36 _- _ ._x' !_ 21 x x2 =-I-=___..._--_+_-...2 _. __296 _12_96_3 ---_-_32 5 3 3 3 3 3Jg = ._X StáfÓrmUl_SeráV_lldaSl Xf < -G;6> 1 2 3 4 _ TERMINOGENERAlJ87 3 3- _Xx8 Eneldesa_ollode(l+x)^setieneelte_inode-__3625-- -_jg75 Iugar(k+l) ._ 3 ''_ Cl__t_ x8 ''_,_t___-_ X?''_-_ ____o_,__,,_,,,,,,,,00,_w_ donde''n'' escual_uier racional '__''''TE0R'EMA EjempIoIEtdesa,r() OltOdeI +_ eS aprOXlmadamentel +nx Halleel término delugar 8en e1desa_oIlo decuando x tiend (__2_)'Resolución: _or f6rmulaeneral''0i'''__0,_.0_.,__.__,,_,..o_,_,,__o'0,ao__0__,__.0''_,,8o_,__,_'_____'''_''_''_'__''__0______,__,, '_,,'_'__'__._''_'_._'_'..''_i..'_..._'i.._.._ii.l_ii'_._i..__i._..__ii...___t.__.i._._._..'_i_,.'_ii'__,'i_i._..___'_..,_'_'__''_.,d_.,,._,.__d. _,'__,._..,_g___,_..__'_,._...'_ SlelValOf de XeS tan_qUenO_ SUS _''__'''^_'_''''_'''i^'0'''_''_''__''"'_O'''''i_'__' !'_a__''''_'''_'0_'_'''____''__,i'' d_!!'potenciasapartirde lasegunda, -37 __'_''__''____._,;______,__________________,______'__''.___;_''':''_:''_:''.:'''_'''''_:'. ''_:._puedenser despreciad 8'7+1- J
Z82
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CAPlTULOXl DesarrollodeI binomiodeNevv ton ton
EJemplo Il+l+3l+5 I Reducirlaexpresió n, n,sixes suFlcientemente773275277 pequenOPero -5 _ +-23x + _ -7_--O_ 142857 ____. 3J2 t ResoIuctón: comoxessunlcientemen tepequea,entonces-7,_OtOOO059''. ' tepequea, aplicamo sel sel teoremaanter ior uegosetendrá -5 l___s O, l428_7 + 0,002915 _ O,000088 _ I+-x _-2l+32 3_J2 __ 8 I+4 En laexpansión de(x+a) ^ cuando nno es natural,elnúmerodetérminos,esilimitado;en 2 5 2 _x l tal caso,no hablaremos delérmino centra l. +-_-++-.322 _RMINONUMERICAMENTE mnsGRnNDE 8l+-4.-2Enel desarrollode(I+x )"paracualq )"paracualqLliern racional,com os6Ionosinteresael valor numénco del ténnino máximo,seprese ntarán los I Ox + 2 + _X siguientescasos: _-_=- 3--x l+-x g 3 g 6 g Se8 unafr8c_ón posi_va + - XE _ o ordenr+ I se obt__en emuI emuI _ _i 8 ._nodeluarr or n+l Il73l 9_I.Sixes mayorquelaunid_d ,aumentando -3_-X I--X=-3"_X anterior tancercano a-xcomo queramos. E_em_l O2 Lostérmjnoscrece nconsecutivam nconsecutivam enteen l.. ,dtalcasonohabr_términomáximo. allafelValOFde_COnUnaapfOXlmaClOne.. .lXeS menOfQUeaUnldad,_'em OSqUeel factor continúapositivo ydecrecehastaque 3C_FraSdeCImaleS_r>n+l;y apa_irdeestepuntosevuelve Resolución_ negativo,per o siemprepe rmanecemenor _ _/, l 2 -1_quel nume_camente; de dondese _ = (49- 2)- _ l- _ concluyequeha bráun termino m_ximo. _ 7 7_ _1/2221/223'''''__i'',_ _ ,. _ 1- _ + _?'______'d__d___8___,_'___,______,8'_____,______,__'00,_'____,__,__', ._-___,._ n '_' I 722 _23 72''' _'a'___,_'_,,_,____.__., ,.,g,,_a''"_^_' ' ___;;_="'''' ':' _=__'_,_________._.._.,_,( a+x)n=T ar_-kxk.,n___,, _,__,_^___,0,_, _I _+1+3_I+_5_I+_ af_+;_x'_
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0 FObIemaS _eSUeltO_ Pr_al_m _1Si eltérminoesindependientedexdebeserde Hallarn+k_sise sabequeelcuartotérminodelgradonu lo. lo. desarroll ode(x+2)^es8O_g ___ Resolució n: n2 : 4 Recordemos r. -N_N___-_________N___-___N___-___________-_-_____-_-_-----N_-_---__. LUe_O,el lefmlnOlnde_endlente Serael téfmlnO ;. E bnt cn n-i b_ ; delugar7 : na+ ____-_a' ; _............. ............ ............ ............. ............ ....;.. _7_tG+_ _C_9 .'.t_,,,_,_ _84 Enelproblema n n3 3 3_ __-3 J-- 3_l- 3' ' - J' Jx.3 _n-7 iene23cn8o_cn _otn5neeSaffOO eXt ' 3- 3' - , . efmlnOSCentraleSeSl_dependlentedeX.Halleel Ademásn-3=k_k2númeFocle téfminos. .'.n+k_7 Resolución : LostérminoscenE ralesocupanloslugares ralesocupanloslugares _rDDlgmg2 (2n-l)+l 6 (2n--l)+l Hallarlarelaciónenlreryn_araquelos22 coericien tesdelosterminosdelugares3ryr+2 esdec_.,t, _sonte,m_. tesdelosterminosdelugares3r delaexpansin delaexpansin de( l +x)'"seaniguales. "'' ' ' Reso_u,;6 n..1. n..1.t,,=t,, _,+,=c=',:(x')".(x')''-' Usandola fórmulagenera l delaexpans ión de_ 4n_3(n_ _)__o _ n___ (I+x)'" _n ,_c-l ir- (ir l)+1 - 3r- _ ' __ t c2n-l xJ n-l x -3__ ' I_+l- n ' ' 2n r.l r+2 ' (__l)+I-- r+l ' _ 4(n__)_3n_o _ n_4 2n 2n Of__t0C_f___ _ luego,el número detérminosserá igual a: .3r'l=r+1_r=l/'n_ n'I)+l = 2n= ll.(3r-I)+(r+l)=2n_4r=2n, __ El nUmefOdetermlnOS eS .'. n=2r Proal8ma5 Praalem8 3 Ha__a,elnu,merodete,m. l,os.lr,ac__ Hallar el trmina t rminaindependien tedex tedexsi existeen laexpansiónde _t J l_' _1 _ Rego_4,,_o_ Dela(6rmulageneral eSOlUCi6n / . 4_4 _Y-kJ USCandOeltefmlnO_ener atK__ _ 9-k k 9 9-k I _j-_ _C_ .- = _X_8,_ _ 48 _q 3. K_l- K' _ - _ _ ''''"'',
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CAPlTUlOXlDes4rro__ode_b;nom_' Analizando el exponentedex III. Setendráté1mino independientede"x'', 98-KKKKK +-_ l2--+-= l2+-_2 si 28_- =O_ 9K_N 6 .e__ e/,m l. n oe s, ac._o n al _ 2 Kes en t e, o Luego, no existete_ino independiente ' ' _2 (Falso) _K=I2_ K=O,l2,24.36,48 pro__gmg_ a__ .. / . Si x_ seencuenlraenel desarroIlo dex_ eOneIremOS QUeeXlS enermlnOS - , _X entonces_su coeFlcientees? :.Q4SeránlfraClOnaleS Seael término delugar k+ l PraDl8m_6 'endoencuentae_desaffo__o ffo__o e_aexres__o/n t c2nx2 2n_k 2n _n 2___ k_t - k' - - k ' x- X_ '-!4n-.p 3_ordato4n-3k= P _ K3 _Cuál delaspraposiciones, al determinar su vaIor, Luego su coef_c._enteesc2n esverdadefo7'__n-_' ,o del_rm;nos;,,,;on,_e,es4o J' Il. El númerodetérminosfraccionarioses4 III.El término independientedexocupael ca_cu__f e_ coer_cl. e: eClmOtefCeflU_af2s Regoluct6n.,2X+X-l DelarórmuladeltérminogeneralReSOlUC_Ón: c6 5G_ l k Ag_pando [(2x'+x)- l]' t____C_. _ 3ApllCandOlaf0rmUla_enefal COmOSl fUefaUn binomio 56_k t _ 52x2+ S-k _ _' -3 ktl - h ' C__.X Anal i2ando el exponente-_ ' ' ' ' ' ' ' ' _ ' ' - - _ _ _ _ _ ' _ ' ' _ _' - ' - _ ' '., _c5-k 2x2 S-k-_x r _ ' __',,P ' ; 23 2 3 6 En_onces-''''''''''''''''''''''''''''''' .. C_ 5 S-k 5__-_ _(5._ _)__ SOn raCIOnaeS, Sl = ____ - _p t .X_,,_,,, a _K= O_6, l2. l8,24, 30, 36, 42, 48g 54 por d8to lo -2K-2p+p=7 _ 2K+p _ 3 / h ,_ p esdecir.IOtérminosson racionales K= I Jn_ P= l óK=O__ P=3 I.Términosirracionalesson(56+l)-lO= lesson(56+l)-lO=47_.s; K-___,p___ en(a) (FatsoJc5 c_ 227 54 g 7 _6o 7 't__2.2..X_..X'-X 5K .SeráFraCClOl_arlOSl 28 - - C_ Z lOCUal lI K_ O/__. i - 3 N 6' ' ' _c5 22 x74ax_ ocurresi Kes36, 42, Q8,54; es deciF_4 1 -- o ' 3 ' ' -é' ./ ' _ 7___ 7 (verdadero)._.sucoer_cientees_.1_o 285
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LumbrerasEditoresA'
Pr_al_m89 Resoluc1ón: Sabiendoque mu_ti p_icandopo, J (l+x)^=_+a_x+a_+ ..... + a_/n__ calcular __ao+2a,+3a+4a+ (n+_Ja ! _ !__ 23''''n __E-'_t+_+ R_olu_ó n: n:!__l2 _!!5!_ Deldato ncnnn2nn'_n - O+ _ + 2 '''"+ n '_N'+ ' 2, 'i X=l _Co +C_ +C2+ ..... +Cn _ _E=C_+C3_C5+ +Cn_ (a) e_ldeelValOfde n__ Cô+ 2C_'+ 2Cj+ 4C3+ ..,.. ( n+ 1JC !_tE -- 2' ' = _co_+c,^ _ .. +c,^_+_c,^ +2c,^+3c3n+ .. +ncnn_ . E _ 2n- I n_l cn-l __-l _ = +_ o +Il _ +.,..+Fl n_l n-l n-l OI ''' n-I = 2"+n.2^ .', K=2"+n.2^ f+ 2+t....+ X- .x_l_ ' X+ _to_lgmg10 Resolu_6n: Hallarelnúmefodetérminoseneldesarrollode3c__cx(2x_Jcx 2(t)g23 I 2''' x-I S(, 7=(x2+y _t' (2x+ I )C_. Sila sumade1osgradosabsolut osdetodoslos términoses igual a252 _'_,._0,___0,,'__,,' ____i,,__,_,_',,,__,___' _'_,i'_i'_,'__' _0''0__d'd_'__,__w______d;.a__. ..__.__,__,_,____'_,,____i_,. ,___'_,_i__,_a__,.i,__' a.a__..._...ii i____,x x,- .._,_i_'_. Resolución: :_i'''__i__, ,,, ......_.!.0_., 0__.___,_,,.:,,,,,,, ,,,,,,__,,,,... ' k -k 'k __,''_,,_'',,. El desa_oIIoes _________________i_i_____i____i0i__,_,_ ,______0_,__,__,_,_,_i0,_i____•____0___0_0__,_,_, ______i,0i___0_,____,_,_,_i_00,__,_, ,,___,_i__,0___0_,__,____,oi___i_i _,__,_,_,0_,0,0,0,_0__,_,_,_,_, _____,_o_,_,,,_____,__i_,__,__,_,_, D__a_____,__,,__,_____,0,_, _,,_, _____'_ nx2n n 2nJ5l nx2n2 52 n 5n o t _ ' 2___+ nlUe_O Entonce s,lasumade_radosabsolutoses(2C;+C_,')+(4 CÇ--+C;') +.,...+(2xC;+C_,} +1 _2fn+ (n- l)+.,... _ l J _5_ I +2 +3 + ...,. +n_ n(n+_Jn(n+_) = C_+C_ +... +Cx+ 1 +2 C,_ +2C_ +3C3+ _2_+5 22 + ..... +xC'X 7 ) ( ) g(gJ" _-nn+ =252tnn+l -22x+2x_-IX_lX_lX-l O'-l '-2'''. '-__l t __ X _' "____t__-I____+___i+ Dedond esetiene: esetiene: Pr_Dl_m8t1 Xtl_8 t2XX+I)_2 _ alCular la sumaSl_u1en te te 63 _! !_'U_2' X+l =2 63+ __!__!ls_'''''_J_.',x=63 286
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CAPITULOXl_esarrollodelbinomio deNe___ton
P__l_m813Tendrá _3 Jesarrollo_ 8xJ Resolución: Su término general es.'. 56 términos! _ (2 lz a)_b(3C)Y--_2a3YaabC !& !& i_ _ i_ .bl 3b3Hallar el coerlcientede_ enel desarrollo de COmOla_arteVanaeeS aC_ lo _ondea=3;ß=3;y= 1 eSOlUiÓn: ue_O,SUCOeflClenteeS ,El ténnlno _eneral eS X_X5X4X 23 31 =_ 83 !_ _!_l !___ 2a(x2)p.(_._ !& !& ''_ = 7x5x4x8x3= 3360 _ = _,2"(_I)Y.X' Y..... (_J fOal_m_1_!&'_ _IO.( 2+3x3+x'1)q a+ß+Y_ IO '_ RDedonde eSOluCiÓ^:2ß+3y_g .Su términogeneral es SIStemaSereSUelVeen .2n.(3x3)P(x_)Y__.2_.3_.x3_+_vy=O_ß=4 _a=6 __!4 !_'__y=2 _p=_ _a_7 Dedonde Ue_Oel COeFlClentedeeS en_ a_P_y"-4 + _ ,a,,Y_o_ ot 7 2 3Dt4Y'IO__!__ '-' ___1_'-_ _Q eSOlVlendOelSlStemalo__,1loxgx,0q y=lr\P=2na=l-___'__L uego su coeFlciente es_ _ 3 4 4 o + 4 6 o 8 o __ 2' 3' _4x3x2._9 __ 2_6 ... El coeF.de_ es 5g 52o ___- _ P_al_m_1_ Luego el coeF1cientedex'Oes2l6 Ha__a, e_ coenc__entedex_7 '(I2x+_'!_xJ__)s ' Pro_lem8 15 Reso_uc_o/ 'D_ _Cuántosterminosexistenen el desa_ollo desu te_,m._no gen'e,a_ es _(3x+23.,2+w)57 N'_ ab_Ctdse _6._.-._.-_.-_ iRe'O!UC!^'_____ ' EldeSafFOOde 3__2 + _ v-_ (_2)b3'(-1)d(-1)'_b+X+^+S'(,) 4términos' '' -'
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b+2c+Qd+5e_ l7 DeISiStemaSetendra/: ,_l 2n_l 3,_1 .... __l n_l , e=l _d=2./\ c=2J\ b=O,_, a=O e=2_' d=l n\ c=l r\ b=l /n' a=0 delaexpansión de(x+y) "son proporcionalesa uego, el coer_cienteseráena: . / ___ _ !L4_ + _ _ __ _ S ean _ OS t er m _n OS C On S eCUt _ VO S _ _1 _ h + _ i t h+ 2 !__ !L !_!!!_ !_ t,2 __c,!_+_ x__-___ y ,+_ RedUClendO' ^ ^_+ _ _2 _- IO-270+360-40+_0 = 80 Hallareltérminogeneralde(l-M)I'^ensu de_arrollo. Delafórmulageneral __ _2c__ _ _ _ n(_nx)k __ _ _ 2 _ k+_) , _(n-k) _ _+l __ --_n ~^_''"' "(- ') __ _ 7_+7=3n-3_ _ lok+7---3n ..... ll-0)(l-20_)(l-n_+n 288
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CAPIT_L OXl OXl 0esarrollodel bjnomiodeNevvton ProDlem8 20Pro_l8_8 22 Siluscoef_cientesdelprimeryúltimotérminodelSealarel coeFlcientede__enel desarroll ode desarrollade i(x;y) =(3a'x3+ay7)'Osonigual es. P(x)-- (I+x-_)6 ._entede_ te_.lno de_u a, _8Re&oluct6n: .o_n. Aplicandolaf6rmula del términogeneral _ __ eamOSlOStérmInO S_(_)a(x)__x3 Y__(_ _)y_xp_3y c2o(3a2x_)2o__!_!_!_'_ l- 0_ 2o 72o DOnde: ß+3Y=5t ,__ C2oay ,+ + _ _oa4o_e2o_ a_ l 3 Resolviendotenemos 2o 2 __7 _7 Y'O1_ D=5 _l al _ t,g=t_J+___Cj73ax' ' ay__ ,_ _2, a_ 20 3 6 17 __ Entonces_ su coe_jciente es ' __17 (__)_ _+(__L! _ _3 l 2320xI9xl8 3-2o v_G_____ 'l8-__ ! - -_' 38o3__.'.ElcoeF_cientede_es-54 __8- . Pro_l__823 __entebj_n o/m__codex__ene_desa,rol_odeHallar elté_ino indepen o/m__co dientedexen dientedexenel _ 7ges78 s_,endo a<2oHa__a, e_ desaETollodex+_+ _ N_a8 Reso_ución_. Reeoluct6 n: n: Enel términogener al Seael té_inodelugar a+ I _ p j _ a_ xJ".(x)-(l)Y___ x 78 x7g ax-2 )a!La'_ l___ !_ .__ _ Deldato Deldato a+ß+y-- 4 78-a-2 a= a= 45_ 38 3a_ a__ll a-ß=O_ a=ß _ 2a+y =4 _entedex4(ll78 _;,bea_36"'On Ce' Ce''l CO'r'C'e's-,,__o,\ y__ Seaelterm inodelug ark+I ark+I al _y=2 7g _2_ a= 2n _= O _t___ x78-ix k _uego, sucoeF_cienEees: Pordato78-k-9k= 36 _ k--l4 ,_4 _, .'. Sucoeflcientees!_ !_ _!_ !__ _ !_ _
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lu mbre rasEditoresÁ_geb rasEditoresÁ_geb ,a Pr_altm8 2_Pr__l_ma26 Al desarrollar s6lo dostérminosdelaexpresión Hallar el tercer te_ino delaexpansión de 2l2(I +x)Y' +_ matematlCaAX--_,apCOXlmadamenteSe _(I _x)' ,eneunpo__.no_.op(x) H_1 p Resoluci6n: _(8) ., LaexßCeSl6n eS eQUlvalentea eSOIU_O_: 3/4 _ _2 +X++X'l(I-x) _24___2_2l _x X_2 -X .-'24DesarTollandolenemos 3x 3x2 _ 5x 25x2 _ _ 3x2 11 Xl t 1_ X+- -- '''' ^- _- +''' + ' +'' X_2."--- X_+42 8 2+ l3xl03x2+ _ +2x3x2 Il2__2I2 - -_ ''' ''' Efectuandolamultiplicación _r__limg252+ 4x+ 6x2+ I3x+ I3x2+ I3 3 x3 I03 x2 Sabiendoqueel desarrollode(a+_+c+d+e)"4 2 4 32 _te4g5términos_ndicar _cuántosté_inosl03x2 tendráel desarfollode(p+q+r)n7. 32 Resoluctón: _3_3 _o3 =+4+-X++--_x+... Recordar en el desa_ollode4 2 32 (a+ b + c+ ....)"2g 2g7 V=2+-x+_x2+... "k''Eérminos4 32 elnúmerodetérminosdesudesa_olloes:.E_te,ce,te/_._noes297x2 _32 _,Pra_l8m8M __5al_ar el coerlcienteaeel desa_ollo de. ;_(l-2x+3_)3 _ 495'_, Resoluctón: ___24 Ad_23x23 d __ __an O- X- CUyOeSarfOO: _(n+l)(n+2)(n+3)(n+4)= 24x495 _'i..''____9'_'''_'''____'_:;__-_,C__:;._-___;._;,_____,0,__,0_0,o00, :;._-___;._;,_____,0,__,0_0,o00,_,'_0;_o '_i___'''''''-___-_':'_'__'_'0__o_''^^a^0''0^ 00'_^_ 00'_^_(I_a)=l+3a+6a+ IOa3+l5a_+...' Entonces_ ' i (n+l')(n+2)(n+3)(n+4)=9xlOx ll xI2 _'_'''''''''''''^'''''_''''''''''''''''''''i'''i'-i'''''''''''i''i'''''''i'''i''^'''i''''''''''''''''i''''''''''''''-__^ ''_'''-9'''''''_'''i''''^'''i'^'''_''''''_'''''''''_'''''''''i'''''^'__''^^''^__''_-''''' ^''^__''_-'''''_ nelprOblema dedonden=8 __ _ +3(2x_3_J+6(2x_3_)2+ lo(2x_3_J)3 EntOnCeS(P+Q+r)tendfá+15(2x_3_)__ t __ _,gx_ Sumando lascoerlcientesdex4 =_=_= +_223 4! % _ ,' E,ec_,,'ando, _ _b_,.ene_ 6 _ .'. Tendr_45 lé_inos.'. El coe__cientedex4 es- 66 29O
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CAPITULOXl Desarrollo del binomiode Nevvton PrODl_m828 Deldatotenemos9-k_r= 7 ,_k+r=2 (l-M+3_) '"' __-_ 2 _,., Re8olución: Aerupando El-(2x-3x2)I-'/' sudesar Tolloes: _ _n l ; ,-_ _ k_2 ;r=O I232222_22 j X- X' _ X- _ Luego, el coeFlcientedex' y' es: Coe( = _2_-r(_l)'C_5_, l I_ l22 23+ - _2-rr
2 2 2 2x3x2_ _ Pr_Dl8m830 HaIlarellugarqueocupael término _ _+_I /2x3x2\+ 3/2x _2\'__ 5 /2x3x2)3 Jl I_ 2 _ / _ J _6_ independ ienteen laexpansiónde+ _3 . ienteen 35 (2x__z '''S'llOSCOeFlClenteSdelOSte/rml'nOStf+lytr eSta/nen Iarelaci6nde(2r+3)ar respectiva mente. BUSCandOelCOerlCientedeXSoluc16 n: n: 3 32+ 5 322_3_ 35 2_..27_45 +35 _ n'k _ k 8 16 l28 84 8seat_+__ c_x 7 x 3 el _érmino ___9arbitrario ;luegosi setratadeltérmino 4 independiente; el exponenledex escero_ n_k k ,'.Elcoer_cientees-9/4entOnCe S; S;_-- ='n =IOk ____NN N__ neN, ke_ Halla,elcoef_ci entedex7_eneldesaF rollodetn= IO/1 k= 3 _ y) _(x+y)5.(2x-y)4 Tambien tenemaspor dato n_r+I cn eSOlUCi6n: _r __F+ __r _ Unterminocualesqu ieradelaexpansióndef(x;y)cn_r cn_r ieradelaexpansión es'' '- . c5xS-kk c_2x)__r _ 1 _ n= 3f+2_ rr_N_neN, n= lO k+I:r+l'k'r luego el menor valor der=6 ; paran=20; de( x_) --k cXY3(2o)=lo__ _=6 _=6 V._.llu ardelté' oj eediesi e.
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0 fOblem_S _f00 Ue_tOS . I.Enlaexpansiónd e(l+x)'',los e(l+x)'',los coeFlcientes6.Hallar ellugar queocupaeltérmino delostérminosdelugares2r+lyr+2 sonindependie ntedex ntedexen eldesarrollode iguales. Hallar r si es mayor que2. 3 l l54 A) 13 B) 1l c) lo D) l2 E) l4 AJl 1_ B) _ 13 c) l 15 2. _Cuántostérminosdel desarroll ode l2sonnu/merosnatu,ales77Halla,el coeflc,_en tedelte/ fm_Nnoquellevax6 A)7B) 6 c) 3 D) 4E) 5 A) 32oB) 42o c) 2 1o 3.Sienel desarToll odelbinomio _a+bx_)r__ostérminosde_uga,esa+3y8.Hallarel términoindep endientede"x'' endientede"x''enel 'l eQUldlStandelOSeXtremO S_ademaSladese,o__odex__ lasumadetodoslosexponentesdevanab le le (x) en su desarrollo. AJ2o B) 1g c) 16 _i_ _ ! !L_!_' D) l4 E) l5 _ _al,, e_valo, del te/_., ,o cen_,,l enel ! _! _ 2n+x_2n+2)2n s,_se,,beque2 2 esequivalenlean__.n____ ____ _ !_ t_ 1__ 9. Hallar''2n''en A) cy!6 B) c720 c) cg!6 (c_"c2n c3^ ..... c,_') ( 1 ! 2 ! 3!. .. .. n! )2 = (4o 32o)9 I6 E 20 5. Enel desarrollodel siguiente binomio _+b53nloste/rm__nosdel u aresn+6_/ _ _+b/ (n+8) equidistandelosextremos.Enc ontrar ontrar cuadradadelasumadecoeF1cienteses2 I6_ elexponentede''a''eneltérminocentral.yla parteliteral(variable )del5to.términoes A) 2_ B) 36 c)4g Hallar el coerlciente del 4to. término si D) 72 E) g1 (a+ b) N_ 292
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CAPlTULOXl Desarrollodel binomiodeNewto n A) IO240 B) 20 480 C) 5l20l_. Calcul ar D) 2560 E) 5 I 200cn_ 3cn+gc n_ 27cI_ + ..... .,, _ N II.DadoslosEérmino ssemejantesunodel ssemejantesunodel desarroll odex(_+ybJ6yotrodey(xb+y6)bA2nsen2n_B_ ,+,2nsen2n_ ambOsOCUßanlamlSmapOSlClOnenCada 2+b2 2 polinomio.Hal lar el valor de_2 2n
A) 2B) 4 C) 6 2, 2, D)gEJ12D)Sen-E)Cos_2.siendonun númeroente,opos_t_v o,h,__af o,h,__afe_l6. Hallarel términoindepe ndientedexen ndientedexenel l c_n c_n c_nc_nc___2 3x _-__ O- 2 + _G+''''' t Jn n c)(__)n+l A)- B)- C)D) (__Jn_ E)2 I3.Hallarel equivalen tereducidode9 tereducidode92 C_ 2C2 3C3 4C_ nC; l7. Hallar el térmjno independientede x en el 3 32 3334 '' 3n desa_ollo de x+l+n_I 4n-l n4n_I X A)-n- B)-n- c)-233333 n_1 3 nA) l8 B) I5C) l7 n 3 En 3434 I8.Hallarel equivalen tede tede l_. Sumar 2cn53cn 5_cn 5n+lcn l 2'' __ A) nx B) (n+ I )xC) (n_ l )x n+1_6n+__6n+__DJ (l+X)nE)(1_-X)n A)_5 _- B)_+ c) n+ l n__I n+ I l9. Hallar el ténnino demayor valor enel n+I 2 5n+1 D) _- E) _- desa,,ol_ode1 _ 1x 100 cuandox_
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LumbrerasEd itoresÁ_geb,, __oo __a_24. Hallar el segundotérmino delaexpansión ' B_ 2-loo( _g) ___.GL ' (, ),/4 +X _9g. __x 2 c) __.15_ l7 23 l9 -XB-XC-x __ 2-99 U__ 2-tOO2 Q4 D)_E) '_ !_.!_4(__)DJ6xE)-x 4 20. SabiendOqUeen laeXPanSiÓnde(3X+ l )^i 25. Hallar el valor delasumatoria lostérminosdelugaressextay séptimo tienen elmismo coeFjcientecalcular laS_2+_+__ +__ ' +..... ' 3Li 32 33! sumadetodoslos coeF1cientesdedicha expansión. A)_B)33_ c)3 ' __ _G34 D)3'/_ E)_ 26. Hallar el valor delasumatoria 3+1" lasumade33.53.5.7 x4 4.g 4.g._2 coeF1cientesdesudesarrollo es2''._Quél ugar ocupaunt érm inoquecont ieneax ABI elevadoaunexponenteigual al númerode sulugar? D) -! E) 2 A) Io B) 9 c) l2 _8 D) 8E) 1l 27. Si el desarrollo de(I +x+_)'' es 22.Untérminoquese abtieneeneldesarrolloao+a_x+a_+_,_,_+a,_+_,_+a2,_n de:(x+y+?+w)9es_3'?3w. es_3'?3w. _CuántoseráHallarelValOrdea_+a4+a-,+..... -,+..... elvalordek? nn l r_ nl n+I A)2520B)504 D) 126o E) 1 o7o 28. Hallar el coerlcientedex6 enel desarrollo de _4 -2 .HallafelValOfde n2 n2 n2 n2 3 g OI ' 2 ''''' n IOlO2 '_2 B) !_ cJ__ A)-_7B-27C-27tn _ ! _2 6 D) -- E) _n E 1._ 27 27 294
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CAPITUlOXl _es4rroll o delbinomjo deNevvton
29.SineZ',hallarla sumadelaserie"S''deHallarelgradodeltérminodelugar(n-l ), n''términossiendo:contadoapartirdel extremoinicial. _ l + 3+ 5 + 7+ +2n-I A)8 _)26 C)28 2(I !) 22(21.) 2__(3!.) 24(4r.) 2r_(nl.) D) Cero E) 30 A)(2c___)/n_g)(2nn1_l)/2nnr35_Lostérminosdelu_ares:n;(n+IJY (n+2) c) (2n+ l)/2n.nl del deSa_OllOde E(X)= (l "X)m Sehallan en D) (2n- _)/2n.nl. E)(2n-nr.)/2__.n_. Progresión geométrica; se_ún esto halle el término delugar veinte. 30.Indicarlaraízcúbicadel productodetodo s . ./ , . xl9_l 2 ostérmlnoseaprogreslon etermlnos. D)_OE)_3 =' 9C4': 5C5n: 5C6 _l Ka2b3c_n pe,tenece a_a expans__o/ A) 25 B) _o5 c) 1 _6 E(a;b;c) = (a+b+c)'; cal cular el valor de D)95 E) 13g k+3m 333 . _Cuál esel valor del término independiente 33 enel deSarrOllOde: 5 A(X)__+-37- 37Eneldesarrollode_ cx + _)_+ cx _),. l.nd_. coeFlcientedel términolineal. Dj 39 E) 25 A)_7 B)_14 c) 2l 32. Hallareltérminoconstant edeldesarrollode: D) 7 E)l4 _r_ n_ 22n _ 7_ F(x;y)__X+_ . n _ I ndef(x;y) = (x+y)' (2x_y) AJ_ 16 B) 24c) - 16o Dj 45g Ej j92o D) 48 E) 344 33. si el únicoté_ino cent,a_del de,arrotlo de.. 39_ CalCUlar el ValOr aßrOXimadOde 345 2 2y"_ +_88+...... 27radicales X;y _ X- - eS eSeXlO_faO. X _auéexpon entelendfá"y"enesetérmino7 entelendfá"y"enesetérmino7 .A) .A)80 B)8l C)82 D) 83 E) 84 n) 6B) 4 c) 3 D)5E)2 40.Eneldesarrollode(_+y-x)8;hallarel _entedeloste/rminosd . IOk 3_. Enlaexpansión dedonde k esun númeropar nonulo. F(x) _-(x3__x_)15 el término delugar (2n _3), contadoa partir A) 420 B) 420i 560 C_)-420; 56 del extremo Flnal, tienen por grado45. D) 56 E) 560 295
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_to_________y__s_y____nr___J__________________________r__t___________________________m_____m____________________ ________________________________________________________________________00o_________r__________?______________________________________________________________ __0_,_______________________________________________________________x____________________r____________________________r_______________________t___________________________________________?J?___?___________y__________________________________________________________________________y______________________________________n__x___________________________,___J__rr_______________________________________________________________________________________________________e__?x__________________s__________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________ __________0____t____/__t____/____t___________v______m_______________n______t___r__________________t_____m_____________c_________________0___+_________t____y___________7____________l______v________________J___________ __--__,.._im__i',d'''7____;_._._,.._;___\__".___,?,._'._'.:_ ,.;'^/::':'-__-;.,,_';_.,_._?__;._:-__'-x,. -- - - - - _'_W_____ _,_ __. __?"___'4_XS'' _i_., _,,.,__'^ '. .;;;__ ,; ;-.' _._'''.__i''_ '' _'' __ '_,_,,__'_' :in__:...:.;;:_^._..__,.-.._~;.,-_..:...;_._..__......_.._..,_.._._..,-.;._1_;.,E_1 1__'g _21_, _3E_3 __:_;;''::':.:.'' '___,:'''_.;.,.,;:__._,'_.,.;_'.:...'__,__._''_.__._.;,..;,':;,._;.:_____,.,.::;;:._..''_''_...,;,__:.. ..''_''_...,;,__:.._.',..___2v_wm;_'_,..'À"_1 2____'^m _22i. - ___3m_J__!.__;_;:_,;;''._'__,'s_'x'_._'_,:_'._..._,:..;''__:;:_';,:'_.....'5'!!5:..:...';'_'::__..:!!!_.!.(..'!!)!.(.(...''__,_..,;__3 __;,_B_1 3_C,B_ _23 _A_3_3 ._c ;,__..,,__.;;;.'',_..._;;.:._,;.;._'_.;,_'';._....''__,...:.:_'_;._.;:._'_.;..._'.:.;,;.'_.,.;.;_;;.__;..'_.._;;__y._n.4nmm_____ __1._4m'r. c_2_4. ...,p.c m___3__Mr,N6' :..__;_...:..___::'....'''_:_____;:'_;,:..''._:_;'.;..;''_......'_.;..._._''_,:._...._;;;;__._;,;;,_;'__.:..:;,;'___ _D_15 _g_25 J_B__35_,__ A_ __;.:;;,:'_..:.:.''.';;_,...!;;,;.._;_.,..;.._..._;_...,...V_.,_;__i_:...;'è...'_...;_..:''_..:_',.;..6;,_-,B "1 6___ c26 _r_c~'36 JCc ;_.'___...'_:,...';;_..V,_..?;...._,;..__5_...._.'v.._.,::;,:'_....V;,_.__._.':_;..'_'__,_;. .''_,._._5_;,__,__,_.__._,::5__;,'_,._''5,:,,.;_7 ;-. c_1 7__.-_ D_2_7iB____7 _____'_ __'__,,_,_.'',;,;.'___...._;.'___....5?;.:..."v,..;...V';_..;;..V;._._,.,..____,__,.),.''_...,'_N,,.',._..,,___8 __,A _,,,,1,,8,,,,,,,,,_-A m,w2_8D .._3_____g __;_x''.,!',_:'':_.;;:;:_,''____;_.,_':S_''.,'_;___.;,'.;,__;.:'_,.Vvv_. _.;,'.;,__;.:'_,.Vvv_. ..:?_,.,_''_..'''_,___9 __D_19 C..E_g _39?i_E __,_,__itl,?_'_:,____,,_,,0_'_,_ _1 Oi _ _20 ___ E nn_30 j_g _4O__ ;,_?.xx__,.g_.__,,_'__;__ __,,,,?,,__x?__,_._,..:__ V,;i'?:x,,_,____,,,,__,_____'' a0_,_;._,.?._.._._,:;_.______-y4__W---
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_____,: _ __:,_,,_,?___, EvaristoGa lois( 1 8 1 1 - 1832) ____,_n_, _' _'_,v~__v El genio matem tico m sprecoz.fue cq__?^_?suspendidoenelexamendeingretoala v?_;___' ^,,,,,?,"escue lapolit lapolit cnica en 1 830, y expuIsado de '''_?"?ta Escue_aNorm a_Superioren1831por ,____; ____,___ ?haberparticipadoenIaluchalibradaporlos ?haber '?v!"__,_'v' __, dem cratascantralaM0narquia.Muri _,n,:,qtr gicamente _ aconseCuenciadeunduelo _'?_;_?depistoIasaIaedadde21anos,nosin ___,,s,'haberescrito,enfanocheanteriorasu _'n___ '__:?__?muerte, unaca_aa Agust Chevalier que __q__,'_,_const ituyeun genial testamento cientí_co, _____ _:,___' _:,___'_en eIcualGatoisresumesusideassobre1a _,, ___;,_q?teoriadelasecuacione saIgebraicas,ideas __;_,_, ,'__, aueconstituyenIabasedelIgebra__,__ni, _?'__"__'"_q,?moderna , dandoun apo_e5igni f_cat ivo al _,__ __,'?_? ' ', __x_ n_ _;_, , ',, ,,_n,,__,_,_,_____ de5arrollode lateorj adegr upos. ,: _._____._,_____,_ ____ ' ?_ _ _, __?_ ' _,____ ' _c, _9",,_ ,
?,_____Cienc iasunamemoriasobrelaresoluci iasunamemoriasobrelaresoluci n ^_ _,; __ , __ _'_ ^ __', _,_
_:__v,_? dq'____algu nasdelasideasmatem nasdelasideasmatem ticas m s ì _' '_, t "_q ___ ,_q_______n___,__'?impo_ante sde_ sigao. Desgraciadamente, "._ _,_ _,.,_ __, :___'__;u'_ q' '_' esmuy probab_equecauc hy, el principal _,, _,,__'_ c___ ,_ __ _, _,___''___'__ matemático fran s delaépoca,_ahaya_'_'x0__v___'_',______ ___;q,_,,perdido .,_s__c' .,_s__c'_ ??_____m'_,_:;', _?,, _____^ _____,?_' EnVi Un Se9UndOtfabaJOa 1aACademla_ _._'j____;x_.___ _\^ 'J- _n,_/__'_,a_??__ _____?_,_;_;____'_,_ estave zPoiss on, unmaxem tico de , ' '- _'__s_ , ,_ ' _- _?_ ; _; ;__n_", _,,._: v""'___?_ prestigio, fueel juez ydec1ar6 e1 trabajo ' _'_ __n _ _ _ ?_ ______,,__': _?''incomprensibl e'',
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_' .'_ E : '' '' .O....:_..._..._. _Y....._. ._e..12. CT _1JrJ-odJIciJJ7osn/Jo/-n lIJl JJIéro_o nlreJ_Jr_riz'o _n1__ de._jJ7ji' eI J7aíJJ7eJ-o J__nl n pnJtiI' de_U _nsndoeJJIns co_ndl(9-_s_ dRJJJ_,'JJJ_,'__J,__JJ. ..R'_ A'D ?JJ12icJóJ J(CoJ1ndl iJ_aJ.' __I sIJb coJ!JiIJJro__r_ _ e?slI1lrl C;oJ1rIdlIJ_rl e1l _ si_?' sóIo ._-i sez'eJ_i_ic'n.+ t l. _ xO/_ ,_ __ II.xn ,_ _ .)' < x _ _' _?i1 Ill. x __-J__ _?.?' _ _ /n/ _l_evi- < .)_ laco17dic-jóJl (IJs'i_1IJ_Jic'n_J_,c arllr_ C'oJfnd7IJ-n cJJ_ esJl Jln_nJ1,7pJ_opio .?' JJoz_nc'ín dc_ _Jr (JIJqJI_7dn esp_'c'7_/_j _-n_o_lle, Jc-nJ_cc'e de1Jl,_niJJJo. de1Jl,_niJJJo. __sr-InJ-o_I Icro_Jn CoJ_ndJ17_rl ,?JJac-n/-n_'rcJ-j.__n JiJInpn71icióJ7 e7JJ_ _l _edeJJorn1JJos_o/' i (' _ _ OSi_,Jlle'JlOS Ci __oIll'Un Sll Rt_lo/iJ__- C, _je17 JpIos.l. _I sigli ie71J/es,lb c'oJ1Jil Jlro _ _c _ __sll 1I CoJ1nrlor.- _ = ( x' __ _/ vin < J/J) J,,/_r ' cs,l, xrJ__,J,o s,, pJ___of_ d, _ ,sd,c,_,_ ,,I J.1_,JJ,J_ ,/çJJ,,,J,fo d_J,.oJ7 _, J _eIns_'orns sJIpe1-ioJ__s_e_l l. Si,_es 7IJJr_CoJfnrlJrJ-n c'1J_, c17roJrc-_7sro_o cJe JJJe97ro de_l es1JIcJJoJ' _lIetorIo cIeJJleJ1Jro r' _ ) f' reeS C,-lJ- vV__ / _1' F 'i _Jl ?_er'ro, s'i._lr,,/_n.?' _ ,_n, c'oJJJo _' _,_, _ F,_, eJIroJ7c'espoJ- ln c_o1Idic-ióJJ(IJJ dc/n rIeJi,Jic'ió_J J-_xs1rIJn1nín.?' L- JIo _lreesc'o1ltJ-nJ_io nIn /J7pótr7sis. J. Todo9J7íJJJc'J-oJ-nL-io1JrII ''n '' dctiJ_J7 i97n Il JIn _;o/1nrIJIJ-n eJF _ _c/ïJJidn poJ' _l = (vin__ _ rnl ___ev__ < n} _I 17Jj 1JJc_f-o"n '' ._-cI/n7JJn ._1_oJJre/-n J-nc_ioJJr_/ de Ir_ _;o1_ndJ_1_n .?' ._eirIcJJ(!_Jic'n _-o/I eI JJJí'1JiJJJo (' I'ileJ7l_.'.IJ7ri/7._7._' .l Jrll_JJ7rit7c'r__ I l i_lt__JI(rJr/i12
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_?,_OBlmVQS__,,,,,_,___,n ,.--_/'',,_'_. _i,,_Disti_uir_adfferenciacon.otras_pas0'c_asesden_mero5-,^ ^''' '__ _____ _Saber c_mose encuentracon, Stituido estec0njunto .nwn__c0. ,__ ''_'.,,.._,Dar_'__l_sn_m._rosre_e_'unacategoría'd,ecamponumé_ca.''__ _Qnocerumaes_c_ aIee_braica_ru. po_ _'llo_ cam' po), , __, i__ Real'_aleunasdem.,0s_acion...es_sand_0_ nd_0_l0saxi0ma,,s_delosnijmerosreal_es.____ INTRODUCCIÓN No esposiblejugar ajedrezsin conocer lasreglas, podíamos podíamos mover un peón 4 espacioso unade las torresdiaeonatmente; an_logamentenopodemos trabajar con losnúmerossin conocer lasreglasque Iagobieman. Losnúmerosestán vinculadosatantasaplicacionesteóricasy pr_cticas. Por citar el casodonde la músicay losnúmerosserelacionanestrechamenteyaquesehadescubierto queexisteunarelación entrelacalidadarmónicadelosacordesde unaliray lasrazonesentrelaslongitudesde lascuerdas pulsadas. Detantasotrasaplicacionesno nosequivocamosal decir queel mundo estágobernado _or los números El númeroesel conceptomatemáticom_simportante_ incluso marcahitosen lahistoria, así: I. El origendelosnúmerosnaturalescaracterizaalasociedad pn_iivay esacondicionadopara resolver lasnecesidadesdelasactividadesprác_casdel hombre. EI. Laaparici6n delosnúmerosfraccionariospositivosfueacondicionado alanecesidaddeefectuar medicionesmáspequenasquelaunidad. lII. LaintroduccióndelosnúmerosnegativosFueprovocado por el desarrollo del álgebraen la resolucióndeproblemasgenerales(sigloXVll). IV. En losanos70 del siglo XIX_ fuedesarrollado unateoja_gurosadelosnúmeros realesen lostrabajos deR.Dedeking,G.Cantory K.Weierstrass. Cadauno deestosconjuntosnuméncos han sido creadospor extensión debido alasnecesidades circunstancialesderesolver sderesolver losproblemasconcretosde lavidacotidiana. 299
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Lu mbrerasEd itoresA'
_ONCE_OS PRNl0S ,,, '' _--- , _' CO_UNTODE l0S NÚMEROS REAlES iaratener unaideam_scompletadelos m a_ _ __nabC-- ma númerosreales_ veamoscómo están' 990 estructuradoslosdiversosconjuntosquelo conIo_an: 2 _4 2344 _23 2321 I. ConJuntodelOS nÚmeFO_ Natur_le9(Y) ' - _9_' _9go N_( l , 2, 3_ 4_ ..........) EJemp_o3 Il. ConjuntodelosN5merosEn_eros(ZJHallela Fracción equivalentea lentea O, I42857 l42857 ''''''''''' ' ' ' ' ' '''''''''''''' Resolu_ón: Veamos,esequivalentea .COn_UntOdelOSNÚmer08R8ClOnaleS Un númeroracional estodo aquel número quesepuedeexpresar comoladivisión oj_428sj _ l42857 - O! indicadadedosnúmerosenteros.' - _999g_g - 7 m= XX= -_ m, _ _ _ _ _ f _N, , UmerOSffaClOneS:nnUmefO irracional estodo aquel númeroquenoes posibIeexpresarlo comoladivisiónindicada EJe_nplo1 dedosnúmerosentefos. unnú __ _6 _3 , _ irracional secaracterizapor tener parte 2decimal noperiódica, conin F_nitasci Fras decimales. emplO l 5 _'= {x/ x_ _ ; m_n_- __""' r; n _ O} ,25=- _O,2f_ n 4 Losnúmerosirracionalessondedos tipos: 8.l_0cion_lesAlgeb_icos:Raícesde l el numefOdadOeS deClmal 0erlOdlCO,SUo_inomiosde coeF_c__entesenteros. transFormacióna_raccionariaes: 3 ' _,_,_-_,... b.Números7r_scendentes:Nosonraíces _bc__ _eabc_edeningún polinom_odecoef_cient 9__enteros: _,e EJemplos: _7__ 327l - 3_ 3268 l._ 3,IQl592 ... inflnitosnoperiódicos 9999992. e = 2,7 l828 l82 ... in F_nitosno periódicos ..- . 3._= l ,4I42 I356... inr_nitosnoperiódicos _quema_z8ndo_p o s._ _._ vo s2 + EnterosZCero _m Rac__ona_e, (Q) Nega_vosZ Núm.Reales(_) __m CaCClOnarlOS-_m___ ,_nt n Núm. Irraciona_es(Q/ o l) 30O
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CAPlTULOXllE_,;,tem,de_o,n;me,o,,ea_
Correspondencia Biuní_oca 3. Propiedadtransitiva : siun númerona_ral es Dadosdosconjun tosnovac/_osAyBdjremosquei_ualaun Se_undoyestesegundoesiguaIa tosnovac/_osAyBdjremosquei_ual existeur_aco_e..5__nc iabiunjvoceentrees tos,Un tefCefO, entOnCeS el _fimeFOeS i_Ual al sia cadaelementodelp_meFconjuntoleteCCeFO. corispon_eun _ eIem_nlo 'del segundo y a cada.element o _deIs_gundo conjunIoleSimbóli carnente: co_espo ndeunsóloelementodelp_me ndeun ro. ro.vabc, N.a__b,_ b__c_a __ Ejemplo: ESt__UlaS al 9ebfaICaS OnSleCemOSeCOnIUnlOeaSaUmnaS becadasyel conjunt oBlosc6digos tentesacadaa_umnadelcon_Nun_ oA Operaciónbinaria.--Llamadatambiénleyde .__ent,eestoscomposiciónintem a,deF_nidaen unconjuntono .untosvacíoA.Consisteenunacorrespon dencia dencia biunívo caqueasignaacadapar caqueasignaacadapar deelementosde ABA,unúnicoelementodeA,Estosjgnjncaquea cadaelemento deAxAlecorrespondeun único C_rla99025elementodeA. Iné_ 99047 Mg_'a9908 8Derlnición;La operació nbina_ao nbina_aoley de composición intemaderlnida enun conjuntoAno vacío,estodacorTespo ndenciabiuní vocadeAxA _b_ 99107 AxAA Anâlizando elgráF_co vemosqueacada alumna lecorrespon deun deun códigoy cadacódigo pertenec eaunaalumna;aellose llamauna(g,b)c corre_ponde n ct8blun_voc8. lguaIdadde n5meros Cadaunodelosconjuntos_subconju ntosdelosLacorresponden ntosdelosLacorresponden ciabiunívocaladeno ciabiunívocaladeno taremos taremos nu/mero srealesgozandeestadennici6n,depor_, entonces_esunaoperaciónbinariaen srealesgozan manerapartic ularenlosnúmerosnatural es.Aa_:AxA _A,esdecira_A._b_.'A_a__b? A Propied adesdel8 adesdel8 tgu8ldad enYEJemplos: l. Propiedad__renexiv_:Todonúmeronaturales l. Laadición usual enZ esunaoperación ig_alasímismo.binariayaquelasumadetodoparde .mbo/_l_camente. y a__ _._, ___ númerosenteroses atroentero: t:_,_,_''0 x_,,,_"''' __ (3,5)_3+ 5= 8 2.Propiedadsimetric aen aenN: Siunnúmero naturalesiguala unsegundo, entonceseste2 Lasust racc_No_n e,_n, esunao perac__o_ segundoesigualalprimero.bl_na,lNapuestoque_ ' d__fere ncl_ número snaturalesno snaturalesno siempreesun número S im_ól icamente: natural. _a,b c__:a_b _ b_ a4 , 7fNSinembarg04 ' 7= -.3 __ N _01
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LumbrerasEditoresÁ_gebra 3. Lamultiplicación en_' no es unaoperación Resoluct6n: binariapuesto queel productodedos Veamosen lasiguientetabladedoble númerOSifraCiOnaleSnonecesanamenteesen_rada; irracional. _+ 1,_- 1 e _', pero(_+ l )(__ l)_ 2__' 2l 21 2 4. Si S = (a, b, c,d) podemosdeFlnir una operación en S, haciendo uso delasiguiente tabla(tabladedobleentrada)._ l 2 l _ *abcd__Supenor ,_';___.b cd_ esunaoperaci6ncerradaen A._ '__.'.. _ '-. '_._tru_uradeMonoide CC'_..a'_.. dd b b''_-.'_. b''_-.'_. D_go_ p__p_ Def_,n_,c_,o/ n. _'--' con,_untono vP;_l/oFyn_ n, _! pe,;cn,_o/ Colu_na.d . /l ../ _. . _ncip_ mOnOl eSl y SOOSl _ eS UnaO_eraClOn lnarlaO leydecomposici6ninterna. se_ee,__.E_emplos: a_ca_ a(a, a) t a I. SOn mOdelOS demOnOideS lOS COn_UntOS _. a_b_ b (a, bJ_ b _8_"''0, _, _ COn laadiCiÓn Ordinana, eS deCir, a_c= c(a, b) _ c(N, +), (_,__"'0' , +), (_,+)_ (R,+) :. ; 2. El par (Y, _) no esun rnonoide,ya_uela dx_d _ c(d,. d) _ c SUStraCClOn nOeS UnaleYdeCOmPOSlClOn intemaen_. seconcluyeque_ deFine unaoperaci6n3_ El Par (Y, _)_ dOnde_ SedeFlneCOmO_ bjnariaenAporquecadauno delos a_b=m_ (a,b)_enelaeSt_CtUfade resultadosest_enA.mOnOide. 4. SeaA= (m,n, p) y laoperaciónx_ de_nida Leydeclau9ur8 o cerr8dur8 por lasiguientetabla: SeaAun conjunto no vacío,a, b _ Ay una operación _, si a_b eA_' a, b _ A, entoncesse diráquelaoperación _ esce_ado enA. m np m _____,''____'''d,,_._'____0_,a_.d_______,d_ddd._,__.,_d__'___d_dd_''''_'''_______ddd''_B'^___'_'_'__''__'____d__'0___e___i_'___''__'___'__''''_____'''__'_'___'_____-__'_''____'''_'__._',,_'__._,.__,'_'_______d'_,,.Todao_raciónbinariacumplela ___,.n p m n _''__'d_'d,^'_, .,_^0^__,_,,_,_,,_0__;,_,_,,,__,__,,_,_,__,_,'^____,_'_ley declausurao cerradura.'i' ...,.,.0...,...,.........,..........................,...,..e,.,..,...,,,..,......._.....,....,.............................,......,.....,_..,,....,.,...,..,.,,.,..., ,,,..,,,,__'_,'_.Pm n P Vemosqueel par (A, _) esun monoide. _e_plo:COnSldefemOSelCOnJUntO A={l_2,3,4) ylaoperaciónx_ entrelos númerosa,bdeA,Como elmáxjmocomúnDefiniCiÓn(leyaSOCiatiVa)'-divisor dedichosnúmeros.Laoperaciónbinaria___ esasociativaen A. s. Simbólicamentea__b = M.C.D(a,b) sólo si (a_b)x_c-- a__(b_c) Ya, b, ce A 302
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CAPITULOXllElsistemadelos número sreales sreales Ej emplos: E_emplos: _ l. aKb=a+b _a,b__,,,__"' l. a_b = a+ b, dondea, b ey, esasocialjvaVeamosa_b = a+ b = b + a_ b_a Resolución: entOnCeS _ eS COnmUtatiVaen ___'0' Veamos2-a_b=a.ben_ seanx,y,?,_Veamosa_b=a.b= b.a_bx_a __(x+)__,__x++,entonces_es conmuta tivaen_ .3. _deF1nidamediantelatabladedoble entrada,A=(a_b,c) DeIyIIvernosque_es asociativo _ab c a_ b c ' a_b = a+b+ab _ a1 b_, _ bb_ Veamo_: sean x, Y, _ e_?-_\ cca_n, l. (xhy)h_-- (x+y+Jy)_ x+y+Ky+z +(x+y+_)zEsconmutativ asi asila matnzMes =x+y+z+_+ _z+yz+ _'_simétrica.Lueg odiremosque_es conmutativaenA. ll. x__hz) = ____+z+y_) = x+y+z+y_ + x_+z+y_7ll. EIementoneutro oiden_dgd = X+}'+2+yZ+_+XZ+_Z Dado un conjunto no vacjo Ay unaoperación binaria__, e_ AseIlamaráelementoidentid ad ad Dely_I_ esasociativa.oneutrodeAbajolaoperación_siysólosi e_a=a_e= aYaeA aYaeA EJeInplos: I En (_,__0'' +)el númeroOes el elemento erintc_ó n: nEl : parordenado(At_),dondeAes._dent._dadauea+o__ unconjuntonovací oy_es unaoperación2En(NJelnu, binaria,sellamarásemig _posi _posiysálosi _es'_.de,t_.d_dpuestoquea____a__ asociativoenA. Enotraspalabrasunsemigrupo esunn,o noideasociativ noideasociativ o. o. 3_A__ (a b c) _aoerac_,o/n __eF_n__ __eF_n__ mediantRlatabla: Ejemplos: l. losPares(_,+ ),(_,___"t+)t(N,.) Sonmodelos_ ab c desemigrupos. 2. Seael par (A,_) tal queA= N_ a_b=a+b+ I _ _ o aue_ao erac__o/n b b Ca _esleydecom_o5jcj6nintern ay ayasociatjva.CCa b Seobsen_a: a_a=a DEF_NIC_ONES a_b = b = b_a l.&Leyconmutgtiygen_Laoperacjó nbinaFiaa_C= nbinaFiaa_C=C =C_a _esconmutativaenunconjuntoAnovacíosidedondeseconcluyequeaesel elemer_t o ys6losja_b=b_ay a,b_AneutfOdRlCOn_UntoAConlaoperació n_. 303
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LumbrerasEd itoresÁ_geb,a llI.ElementoinversooreciprocoEje_plos: Dado unconjuntono vacíoAy unaoperación bina_a_. Sediráqueun elementodenotado l. la adicjón y lamul_iplicación en _son como a'_Aesel inverso deafAsi y s6lu si ope,ac_onesb_na_asy _a segundaes a_a'= a'_a=e, siendo ''e'' el elemenlodtlst,,_butl.vacon,especEo a_apF.l identidaddeAbajo _. ve,mos. a. (b+c)= a.b+ a. c _emplo_: +C) .a=b.a+ C.a l. En (_,+) el inverso de3 es- 3 yaque _3) __o2. lapotenciaciónen Nesdistri_utivaa derecharespectoalamultiplicaciónya 2t En(R,.) el inVerSOde7 eS - 7 PUeStOqUeque(a.b)n=a''.bn Sin embargo no loesalai2_uierda 7.- = l puesto quen6__x na. nb 7 3. En laoperación _def_nidamediantela3 / .ladlVlSlOn eS dlStrlbUtlVaadefeChaCOn abla reS_eCtOalaadlCln reS_eCtOalaadlCln yaßUe t ab C(a+b)_;c__a__.c+ b__.cy no se,ía aab cco,rectodec__r que_aad_lc__o/ bb CadisEributivaa derecharespectoala CCa bdivisi6nyaquec_(a+bJtc._a+c-=b vimosquesu neutro eraay como , ' '' - _ Es_UmRnDEGRUPO' -' a_a= at a'= aEl concepto degrupo juegaun papel XtC= a= C_b _b'-- C t_m ortanteno so,_o ematema,t._cass._ esdecir,el inverso deaesa y el inverso tamblte/, en ot,ascl_enc_,ascomo scomo en _ar_/s_l deb esc. qul/m,.ca_ateo,l/ álgebraabstractamodemaypuedeser encarado IV. Distributi_d8ddeunaoper8ción bin8r1aimpon;endo cond_cionesa_,sest_ctu,,sde respectoaotr8mono_ldeo deseml_ Consideremosel caso dedosoperaciones _inarias_y _ deF_nidosen un mismo conjunto .. DeflniClOn: eaGUn C0nlUntOnOVaClOy X_ Una nOS lnteFeSaCafaCteClZaf af .to_a .vo d._ asoperaciónbinaria. el par (G_ XcJsellamagrupo s; _lonesbtlnan,asenel sent_ldode obtene, )1 sólo si _ esunaoperación binat'i,aa?ociati_'_. _e/n (a__)_,,ccon elementoneutroy todo elemento de_ admiteuninversoen G. NlsEr__but__veaderech,,especfoa_sl_Simbólicamente: ysólosj (a_bJi-_ (a_bJi-_ (a_c)__(b_c) \_a,b,cr_ A(G, X_) eS Un__ßOSi ySÓlOSi SeVenrlCanlO_ b) _esdistri_u_ivaai2quierdarespectoax_ si aXlOmaS ' ysólosic_(ax;_)=(c_a)__(c_b)_.a,b,c__AGJ__:GxG_G c) Sedice_ue_ esdistributivarespectode G__ x_ esasaciativo, esdecir, (a_b)__c= aX_(b_,c, __ si y sôlo si lo esaizquierday a derech_. __ a,b1 c_ !_ 304
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CAPlTULOXll E_ ,;stem4de_os nu_ G3 MiStenciadel elementoneutroo identidad 6. Sea(a, __) un grupo _ a,b eGprobar la 3e?Gtal queax_e_ e_a= aVaeG existenciay unicidad dexeGtal quexxcab G_ _istenciadeinversos '_afG, 3a'fGtal quea_.a' a'x_a= e DemOStfaClÓn: I. Seax=b_a' veamosqueverificala E'emlos..eCUaClOn: como x=b_a' _ x_a= b_a'4a bxce= b l. (Z , +)esungrupo _ x_a b , luegoexistetal x Veamos: a) Laadición denúmerosenterosgenera otro número entero. __ Ahora__eamosquex esúni i . ., , ' aalClOne nUmerOS enterOS eS Supongamosquex, y .x,, ve__jcan la asociativo,esdecir,a+(b+c)=(a+b)+cecuacio/n. c) Tie1_eacerocomael elementoneutro _ x,_a= b = x,_a_ x,_a _ x,4a (O_ZJyaquea+O= aVa?Z _X_4a_a' = x2_a_a' (a' eS el inVefSodea dJTodoelemento entero a?Z tieneun elemento inversodenotadoor (_a),gdet X(_e= X2X_e' X_ = X_. tal modo quea+ ( - a) = O.'. x esúnico 2. (No ,+) no esun grupo,siendo: 7 Demostrar que(a_b)'--b'_a' Yab _ Gi y(ol23 ) l . d(Gj ' o- ,,,,__'_ PUeSOQUeU5eemenOS , ' U' no tienen susinversosrespectoalaadición.(P_rael lector) 3. íI_ - {O} , .) esun g1upo yaquesecumple con Der_nición (grupo abeliana) na) los_iomasrequeridos, encambio (IR,.) no Si en el grupo (G, _Jsecumplequea_.,b = bx_a lo esporqueno existeel inverso multiplicativo Ya,b?_ G, sedjcequeel g_po es abelianoo paraO. conmutativo. 4. El elemento identidaden ungrupo es único. ___^''_,,^'oo, __n._0V0_o00__o___,0_____,_,____,_____0__,___,__0_i__,_~_,_,_______0_,___~_D_,______, ,___,_%__,_,,,_,___'_,_,_,'_,___,_'_0,,D,El tefmlnOde_rUßOabellanOSe__^^'_,^^oo nefeclo:_____0'_,,__.___,__,__''''_____0__'_'__i_^'^__'_^''___,',___0,__,^__o_,0__,__,__,,,_,,debeen honoral ce_lebre'__,,^'_,^^o, Supongamosqueey e' son neutrosrespecto ''_,'__;'_''_i:'_,___'''_,'__,_'_,_.,,. . __ '_' '__,''''_,_''_,: matemático no_ego NielsHenrik _-__ ,entoncesset__ene. Abel quienescribi lratadosacerca____._ ' delasestruclurasalgebraicasy demostr por la_.,0_ e' e'4e= eX_e'= eteoriadegruposlajmposibilidad de resotvef tas__m____o'_ .e,_ eecuacionesdegradomayor o igual a cinco por __'___,_o__'_, fórmutasgeneralesenfunciónasuscaefic_entes.___.,_,,0 5. Loselementosinversosen un grupo son únjcos.Definición(potenciación) En efecto: Seaa eaa G y n ?N; n > 2 sederlne: Supongamosquea' y a'' son losinversosde a, a'' = a4a__a_... 4_a"n'' veCes. entoncessetiene: __ _ __, _ __ _ _ __ _ _ , __ 1 Demostraf uesi a_b 2 _ a2 2 .. a__ -_ a_ entoncesel g_po (G, 4) es abeliano. 305
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LumbrerasEditoresÁIgebra Demostración: 3. Seael ael grupo(A, 4 )1 dondeA = {a, b, c, d } y la uea4b= b_a_ a, b eGtablasi_uiente: Veamos: (a_b)2_ a2_b'- _ (a_b)x(a_b) = a_a_b4b _ab cd _a' _a_(b4aJ4b_b' = a'_a_ a _e4(b_a)_e= e4 a4b _e .'. (G, _) esabeliano. Esfácil ver que(A, 4) esun g_po abel iano. Vemosquesi H= {a, b} entonces( H, x_) esun tó, subgrupo de(A1 _), encambiosi H' = {a, b, c) _o/n (por l_2qu_le,d,) vemosque( H', _) noessu bg_po de( A, x_) y a eael gTupo (G,_) con a_b= a4C; entoncesb=cVa, b, ceG. ,_ G.luego ung_po (G,_)queve_Flcaa __H/', beH componiendocona'tenemos: a_b= a_C _a'_(a4b)= a'_(a_c)Demo,t,ac_.o/n. ' (a'_a}_b= (d_a)_Cveamosque(H,_) esun g_po te_b -- e_ctb= c __. Teoremadecancelación(por derecha) a) Asociatividad garant izadapues H__ _ Seael g_po (G, _) conb_a= c4a, b) Elemento neutro: entonceS b=C_ a, b,Cf G. af_H_ j_f/ H_ a4a' f H_ ec_H cJElementoinverso:L adeTnOS traClO/nqUedaCOm Oe Jer Cl C l O,e, e,_H,,, a,_Ht e_a__, Ht a_ ,__ H paraellector. (aeH_.b eH_ ax_eH) Def,_,,tc;6n.. se,Hun ,,bcon_untono v,c_o de aeH_ b' _H_ a4 (b' J' eH _ a_ b eH G, el par (H,_) esun subg_po de(G,4) si y sólo si (Demuestreque( b J' = b) (H, 4) esun grupo. Ejemplos: l. (_.+) eS Un SUbg_POde( _1 +) 5. si (H_ , 4) y (H_, 4) son subg_posde( G,_) 2. Si T = ( x /x = 2k, k eZ), (T1+) eS SUbg_POdemostrar que(H_ _ H,,x_) esun subgrupo de de(Z1+) (G, x) 306
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CAPlTULOXl l El sistem4delosnúmeros re4les De_os_ación: . EJemplo: Usandoel teoremaantenor (ejemplo 4) Sean _ y iRlosconjuntosy +,. lasleyes de BastaTa_demostrar quecomposición interna, lenemosque: f(x) = a" si aeH__H, _ bfH_n H2 entoncesa_b' fH_ n H2 con a>O n af l VeamosqueF(x+yJ _ a"+-_ = a". a-_= f(x). veamos: f_) af_ H_n H2 __ b_H___ H2 t f eS Un hOmOmOnlsmOdeZ y TR at-H_ aeH2 beH_ b?H2Homomorf_' mosEspec1_es _ a_b'c_H_ n a_b' f H2 SeaF: At A' Un hOmOmO_lSm0de _ y _' _ _ HHl. F esun monomorfismosi y slo si F es l 2 inect_ __ (H_ n H2, _JeS UnSUbg_POde (G, _) _l. f esepimor F_smo si y sólo si f essuyectivo. Ill. F esun isamor Flsmosi y sólo si F esbiyectivo HOMOMORfISMODE GRUPOS IV. F es un automor Flsmo si y sólo si A= A' Sean dosconjuntosno vacíosAy A' y lasleyes decomposici6ninlema: EJ'emplos; I. SeaF:Z_Rtalquef(x)=h-';h>2 _ :AxAtAF + __ at___ at___ _' : A' xA' _ A' f(x) esunisomorf_smo Def_ición(homomor Flsmo) 2. Seah: _ _ _ tal queh(x) = - 7x LaFunción F: A_ A' esun homomor Fismo h(a+b) = -7(a+b) = -7a+ - 7b h(a}+h(b) respectode _ y_' siys6lo si laimagendela h(x) esun automorf_smo eisomof Fjsmo. composici6n enAe sigual alacomposición deimágenese nA. 3. si F;A_ A_ esunhomomo,F_smo d ASí: entonceslaimagen del neutro del primef f: A_ A' esun homamor Flsmo deg_po esel neutro del segundo grupo. _ y _' _F(a_b)=f(a)_' F(b) _a, b c__ AResoluc16n; S e t r a E a d e p r o b a rq u e f ( e ) = e ' _d o n d e e e s e l n e u t r o d e ( A _ _ )ye 'e s e I n e u t r o d e ( A '__ ' ) V e a m o s p aar c u a l q w e rx e A s e l i e n e x _ e = x t A', _' _ I(x_e) = F(x) _ ' f(_) po, deFlnici6n dehomo,norF_ b . f_) F(xJ,, f(eJ__ f(x) _f(xJ,, f(e) __r(x)4, e, a_b _ f(a0) = _(a)_' f_) luego por leyde cancelación f(e) = e' Inte_retadocomo: 4. Si F: A_ A' esun homomor Flsmo degrupos, _ entonceslairnagen del inversodetodo elemento deAes igual al inversodesu ll. aeA_beA _ I(a) f A' nF(b) eA' im,gen, esdec;, F(x_) -_ (F(xJ)_, dondex_ ese_ _ F(a) _' f(b) eA' inversodex enA. 307
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lumbfefasEditOfesÁlgebra Re&oluct6n:Dennicione8:Sea(A,+,.)unan_lo: Sabemosquex_' = e_ x_ Aentonces,l. Si exisleun elemento l _Atal que f(xxx I) = f(eJa. l = l .a= aVae A, entonces(A, +, .) ior deF_njci6ndehomomorF_smo selIamaanillo con elemento identidad. F(x)_' F(x_) = f(e). Del ejemploante_or II. Si a.b = b.a_ a, b f A, entonces (a_+_.) ,3. Teorema: Sea(A,+, .) un anillo,entonces: II.a.(-bJ=(-a).b=-(a.b)_a,beA E_Um_DEANIL____. (_a),(_b)__a.bYa_b,A SeaAun conjunto no vacíoy dosleyesde COmPOS iCi 6n in tema_, ' Demogtf8ct6n I. a.O= a(O+O) = a.O+ a.O Denni_6n: Latema(A, _, ') eS Un anillOSi Y t _ ,.o +a.o __ _ ,.o +a.o + a.o s6losi: l. El par ordenado(A_ _) esun grupo abeliano .'. a.O=O .El paf OfdenadOA, _eS Un SemlgrupO .st,.lbut,.vaconresctoll.a.O =a(b+(-b))=O .me,a(_) a.b+ a.(-b7 = O -(ab)+ab+(a(-b))= _(a.b) Estascondicionessetraducenenlos siguientesO axiomas: '.a(_b)=-(a.b) A, : Ya,beA_a_bfA A,: Ya_b,ceA_ a_(b_c) = (a_b)_cTambién_ A3; 3efAtal quea_e= e_a= a_ af AO.b = (a+ (_a) ). b O A4_. 3a'_AYafAtalquea_a'=a'_a=ea.b+(_a).b=O__(a '_a=ea.b+(_a).b=O__(ab)+ab+(-a)(b) b)+ab+(-a)(b)=-'(ab )+O AJc: a_b=b_a_a_b_A _:Va,bA_a'b_A Va,bA_a'b_A A7: _ a, b,ceA _ a_(b'c) = (a_b)'c._. (_a)b _- (ab) Ag: _ esdistjbutivorespectoa_, esto es: a_(b_c) = (a'b)_(a'c) _ a,b, cf AlTl.o.o = o _(a+ (_a))(b+ (_b)) _ o (b_c)_a= (b'aJ_(c'a) Va,b_ C_ Apor distributividad a.b+a(-b)+(_a)b+(-a)(-b)=O Ejemplos: .. _(ab) _ (abJ unidad. 2. (N, +_ .) noesun anillo,puestoque no existe neutroparalaadici6n..'.(-a)(_b)--ab
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CAPlTULOXll E_ sistem4de_osnume,o, rea_ Subanillo; Sea(A,+, .) un anillo, un subanillo Lascondicionesl, ll y Ill setraducen en los de(A, + ,.) esu_ p_eno vacíade(A, +, .) quesiguientes_iomas: tienelaestrucluradeanillocon lasmismasleyes decom_sición intema.c,: si a,b, s_ (a+b) f sy a. b , s _: Lasoperaciones+ y. son conmutativost es DeEtntci6n (subanillo) _ decir; a+b_ b+ay a.b = b.a En subconjuntono vacíoScA)esun sub_,8nillo deC3: Lasoperaciones+ y. son asociatjvas,es (At +_.) si y sólo si (S, +) _es.s_b.,g.ru.. .po,_diiA_ ,+) decir: yadem4sSesce__0_''_'^aparaelproducto.-' lproducto.-'a+(b+c) (a+b)+cya(bc)=(ab)c ReSUlladOObViOQUeSCAeS SUbanillOde(A,+t.) c4 .. _ec_ st a+ o __ a__o+a,es decir oesel Si ys6lo si Va, b_ Aseverir_caquea_ b _ Ay e_emento __de/ nt__co baJNo laoperac__o_ a.b_A. c_ st. s_ eleN- _ esel elemento idénticobajo laoperación. Ejemplo_c6 : paracadaa_s, existeun e_emento i SeaaE_,___'' elconjunLodetodoslos múltiplosdeadenotado por: S _ (k.a; k__), entonces(S,+,.) esun subanillo (-a) / a+ (-a) O = (-a)+a de(_tt,.) C7: Paracadaelementoae S, excepto el cero En eFecto,si x, yeS _ x = ka/_. y= k'a existeun inverso bajo laoperación. , es _a__ a(____) __a___ decir l I__l Esdecir x_ yF S _aF t 3a' - - ' __ _ a/, y__,aCg: Laoperaci6n.esdistnbulivarespecto ala o_raci6n+: _x.y = k.a.k'a (k.a.k')a= k''a_a(b+cJ_ _decir: x, y eS __. (b+c)a__ be+ ca _- ab _Um_DECUER_Eje_plog: Un anillo con unidad, cuyoselementosno nulosl. Lastemas(_ , +, .) y (_, + , .) son cuemos. soninvertibles,sellamaanillode divisi6n. Todo odo aniJlOd' diViSiÓnCOnmUtatIVOe' Un CU'mO. 2. Latema(z, + t .Jno esun cuemo, pueslos Den_ción (cuemo) únjcoselementosno nulosqueadmjlen Latema(S, +,.) esun cue_osi y sólo si es un inverso rnultiplicativo son - l y l. anillo conmutativo,con identidady cuyos elementOsnOnUlOS admiteninVefSOS 3. El anillo _ detodoslos númerosfealesesun multiplicativos. campo pofquecumpleconlasg propiedad Losaxiomasquecaracte_zanalaesEructuradede campo. uncuemoson: l. (S,+)esung_Poabeliano.Q. laterna(__ +;.) esun campo _rque II.(S "{O}, .) esun __po abelianoverir_calas8propiedadesdecampo, _ esel III.El producto esdistjbutivo conrespecto alaconjunto delosnúmeros complejosO=(O;OJ suma.yeln_merocomplejoeI = (l ; OJ. ' 309
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LumbrerasEditoresÁ_gebra CUE_ DE _S N_mE_S _ _OMOuM' ' cuER_oRD_.OY''_.,,_OmRlm 'v ...' '. SeeStUdiafáCOmOUn CUe_OQUeSatiS_aCeh_3 : Ley 8SOCi8tt_&'. PafatOd0a, fatOd0a, b1C _ _: Cie_OSp0StUlad0S.a.(bc)=(ab).c,la multiplicaci6ndetres _n laeSt_CtUCadeCUe_OtenemOS el o másnúmerosrealespfoduceel mismo COn_untO_,denOtandOaSUSelementOSpOrresultado,seanag_padosde cualqujef a_ b, C, d, ..... en el CUal eXiSteUnarelaCiÓn demanera. eqUivalenCiadenOladaPOC(=)YademáS dOS__.._;,tenc;gyun;,;d8ddele_ementoneut,o Oper_ClOneS: + 1 _ adlClOnymUltlPllCaCl n mul_pI_ca_vo: _jsteun elemento en_ y reS_eCtiVamente, nte, QUeeSt án Un íVOCamentesolo uno, denotado por cc l tl djstinto de cero. deFlnida5 COn feSPeClOalarelaCl Otn det,l uear, todo af _. al __ l ., __ a equivalencia. Pjmeramentenecesitamosdela. mentenecesitamosdela. ' . . ' . terna(_ ; + ; _) con lossiguientesaxiomasde' ' . . .v. aae ex. te' U^ m O ' unoy s6_oun elementoen_ denot ádopo_ nxlOmnSDEADlCl6M A_: Leydeclausur8: Paratodo a,b E __ (a+b) A2: Leydeconmut___dgd: iaratodo a,beRParatOdo a. b, cen i _: lasumadecualquier par denúmerosrealesa. (b+c) = ab + ac no dependedel orden en quelesumen (a+b). c_ ac+ bc ^'b = b"' poclo tanto latema(_ _ + ; .) también esu_. A3: LeyAsociativ8: Paratodoa, b_ cen _ (a+b)+C'a+(b+C)laSUmadetre C)laSUmadetreSOmásAho,, SOmásAho,,a,, uel,te,n,_.+. ,eaunt_cue, númerosrealesesindependientesdel ordenado com _eto,, t.lene_es,tl.sface, ___ mOdOenQUeSOn a_ru_adOS aSOCladOS _ . . A4: _tstenc1ay unicidaddel eIementoneu_o 8dtt1vo: Existeunelementoen_y sólo . . .
''a'' existeun elemento n_ ne_ ysólo uno, unade lassiguientesproposiciones: denotadopor(_a)talquea+(_a)=(-a)I.x__M,ll.-xeM,ITI.O_M,escie_a + a= O2. El subconjunto M estácerrado bajo ._,operación + y' de(t_ _+ _.) oseasi: _lOM_DEMUlnPLlCACl6Nm+ M, l: Ley decI8usur8: Paratodo a, be_: : . ' . _ a_ __ _, lamultiplicaciónab tambiénesun ' . . -: : Ley conmutativ8: Paratodo a.b f IR: '
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CAPlTULOXllE1sistemade_o,numeFo,,ea_e, _oselementosdel conjunto M', dondeDemostr8ctón: M' = {xeN/ x _ M _ x _ O} seIlamanúmerosO+ O = Oneutro aditivo ne_ativos.x(O+O)=x.Omultiplicandoporx Ahorasi _ x,y eR, tal que y+ (_x)__-x)fM, x.O+ x.O= x.Opropiedad distributiva decimosquex esmenor quey (x < yJ, quenosx.O+ x.O= x.O+ Oneutro aditivo indicalaexistenciadelarelaciónde orden. por Io . x o _ o _edecancelac.l tanto laterna(_R; + ; .Jesun campoordenado. Al postulado 3 seleIlama''postul0do de .,, .. Rel8ClÓn deOrden; SeaAel COnJUntOdelos ' númerosrealesUnsubconjuntoRc-AxAes una el05e eCtOS deeStepOStUladOSeraaSe_Uraf . , . , . . quesepuedanestablecer unacorrespondencia_ass__gu__entes_rop__edades. biunívoca,entreloselementosdeIRy lospuntos ,l. Sl a,b__A_a=b _aRb _JbRa eunallne_ reCta, eStOesenuncladOal_U_as veces,dicjendo_ueno exislehuecosen iR. II. Si aRbt a t b Como conclusjón diremosquesi un cuemo III. Si a, b, c,eA, aRb r\ bRc_ aRc numéricocumpleestosErespostulados, seráun cue_o ordenado y completo''.Si AesRy iRes < (menor que) setendr_: I. Ley deTricotomía: Dadosa_b eiR, entonces Definicióndelg gugtr8cc_ónsecumpleunaysolamenteuna delas __ x , ,_,_ t_ ; x_y -_ x + ( _.y) relaciones: a-;_seCOnIUnOnOlenenl 2 .PafaelleCtOr. m_ximoni mínimoelemento. _Por qué? T.EoR'E..,M,, A.C= (x__/x___2,I5)) sólo tiene_nimo que es-2 _,x__: x.0=OD_ xc_,,,,,,,, x2 < I6 not._enenl_ max/ l_mon_l mínimoelemento. 31 1
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LumbrerasEditoresÁ_geb,a Cotasupe_or deun conjuntoConJuntosacotados Sea_ el conj_nto delosnúmerosrealesy LcRSean _el conjunto delosnúmerosrealesy LcR. diremosqueel conjuI_to L estáacotadoEl conjunto L está acotado si existeun nu/mero superio_ente(o lieneunacotasupejor) si ceiR,talqueparatodox__; -c__x__ c,esdecir eXiSteUnnÚmerOCf l_ Si y S6lOSi CeS mayOf Oel conjunto L esacotado si esacotado su_eFior e igual quetodosloselementosde L. jn Feno_ente. Así:Ejemplo: _Sea: L= {x__/_<25) t _J, _ ' '__?__'_?__ ?, _ , ,' _xq?_' ?__;_;! '___ ,_ _ '_'___' . / t!m\_t'?_______m__,___;5n,\_'';i___?__,___oS_,___,"_._,_'__e_OUC_0lI_ _i____,__,,________!,_.,,___i_____v_,,_____?__, _____,__'_',___',,,!__v!n' ;_,C Si: _<25_ x_<-5t5> ._ L = {x_ R/ -5 } noestáacotadon super ioCmenteen _puesto queno xi.sles xei.sles et end r a/ ce_, talque_xeS ;x _ c l lI -l,-,--,-,.... ........qUeOrdenadOeS cota_nfenor deun con_unto2 3 4 Sea_ eI conjunto delosnúmerosrealesy L c _, _ _ _ _remo, quee_conJ_unto L esta/ acot,do _ l , _-_ _-_ ... ,. - _ inF.A= - I 35 2 infejormente(o tieneunacotasuperior) si exisje un número ce_, sí y sólosí cesmenoF oj(__.ual _ l quetodoslos elementosdeL. ' 2 312
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0 ,rOblemaSQeSUeIt0S proalgm_1Resolución: Indiqueel valor deverdaddefassiguientesSea: b = e donde"e'' esel elemento neutro ßFOßOSlClOneS: _ax_ e = a _a+ ae+ e= a I. Laoperación _ sobreZ esbinaria/ _ae+ e= _b=_ _e(a+l)=O; at_l _o/n _sobre_esb;naria/ .'. e= OVa_ _ ab _ l cona+b, o ,_ - __ a+b - PfODlgm83,. _o/ n _?+,, sob,e_g esconmutat__va/ Del problemaN^ 2 demostrar _uee l elemento __\b _a_b _2 conab, o Reso_uc_.o/n. ' ab se, e_el inv,,sode2 ' '_. _ _ _ _ ReSOlUC_On: _ 2 _ e' = e(por deranición) _. como pa,atodo a_ b _ 2 ,_ _a+! _2 + 2e' + e' = O(del prob. anterior) no necesariamenteesentero; entoncesla, 2 .'.(Falso) ll. Como paratodo a, b racionales_setienequepro__gmg _ ab esracional, ab + l tambiénesracional.En A__ ( _, 2, 3, 4) sedeF,neun, ope,,c_,o/n x,. __ab +! con a+b,o estamb;e/nraciona_cuyosvaloresestán dadospor latabladedo_le a+ b entradaadjunta: .'. _esunaoperación binariasobre_ VerdaderO Ill. Si '___+ esconmutativasedebeverir_car quea ?+b=bcv_!a paratodoa,breales. ,b a_b-2 334 l 2 a_ a__= ab 4 4l 2 l b+a_2a+b-2 +_!a _ = siguientesproposiciones: l Enx__4 I existeun solo valor x en A e(aJy(b) laoperación__t /_ esconmutativa_ _ Lao e,ac._o/ n x, esconmutat_. Resolución: fODl_m8 2 l.Delatabl,..2_4 __l LaOperaCiÓn_ eStáderlnidaen_- ( ' I } Se_Ún: 444__ _ a_b= a+ ab + bVa,bra2 _afa. emostrar queOessu elementoneutro.
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CAPITULOXI l El sjstemadelosnúmerosreales Proalem8_P__l____ SeaS = (O, l,2, 3) ylaoperaciónbinaria_ der_nidapor el siguienteesquema: Sederlnelaoperación 4 por: Va, b _- R_
Resolución: 33 Ol 2 _a_ja_+a_ emostrar queel par (S, _) esun grupo. Resolución: E. Laoperacj6n binarje_cumpleconlaley de PrOal_m8 9 composjci6n interna_: Enel conjuntoNo (naturalesampliados) sederlne _su nao p er aci ó n !L _!: .d .. a!Jb= (a+bJ.(a-b) Va,b__- _ .SeCUn)ßleCOn laßfOßledaaSOCl_tlVa .stenc_.ade_ e_ementoneutroResponder alassiguientespreguntas: ,nico(e__o)po, queestee_ementosel. MtálaOPeraClÓn'_tO_lmentederlnidaenNo rlnidaenNo ._nte,secc__o/ n_e_, r_lasuperl_o, l l. Eslaoperación !_'_ asociativa __,c__pal,epet__dosenelReso_uclón: esquematabular; l_ _ eSt_tOtalmentederlnidaenNo1 Si: x,,o__o__o_o n; _ox _o_a,bf Nu Ox_3 = 3 = 3 x_ Opero-5 _ _o lV_HallandOlOS elementOS 'lnVerSOS OSl'me/ trl'COS ._.lao eración ;,; no est_ totalmentederlnida. deO, l, _,3en S: O_a '' O'_ a' 4 O_a' __OI_. Laoperación ;__ esasociativasj_. lUe_O,el SlmetriCOdeOeS 0_ a, b, cc_ No, (a!__b)í:_,c= a__(_! ;'c) _el simétrico del es3 2_c'= O= c'__2 _ c' =2 _e_simetricode2es2 como (a),) _ao erac_.o,n n 3__d'= O_ d'_3 _ d'= l _el simétrico de3 esl Pr0al_m810 Delmismoproblemaanterior(9)responda: ._,,esI. Tieneunelementoneutro II.Tieneelementosimetricotodonúmero natural respecto alaoperación___'
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Lu mbrerasEd itoresÁ_geb,a II.Obse_andolatabla: Observ8c_ón: laasociatividad sep_ebadel _.*_ 23 4modoanálogo........................(V) l'_. 2 34 '__3 4_ Ifl.loselementosneutros son: (O_ O) para+ y '_ (l,l)para........................... (VJ 33 4 ''l.2 44 1 2'__ al trazar un_ diagonal seobseNasimetría, Si en losnúmerosnaturalesden_nimosla entonceslaoperación_ esconmutativao e,ac_.o,n _ med._antem_n _ (VerdaderoJ entoncesindicar el valor deverdaddelas siguientesproposiciones: .R_dUClendO= l. m_(r n) = r(m_n)_re_ X_3)___3X_(lv__ _4 x, 3_, _ II. (m_n) + (n_p) ;_ (m_p), r _ N __ __ 2_ l (vefdadero) lIl.m_n (m n)__; m _ n IV. m_(n+p) = (mTnJ+ (n_p) Re8olución: PfO_l_m_ 5 I. Por su deF_nición _a.b c.o eto 2 __ _ y m_rn__m__.r_n2 deF_nimoslasoperacionesde+,. mediante: (a.,b) + (c., d) __ (, + c.. b + d) ._.__N____ (faISO) (, .,b).(c, d) __ (a.c., b. d) IlN(m_nJ+ (n_P) > (m_P) establecer levalor deverdaddecadaunade las_ _+ _ >_ _ PfO_OSlClOneS_a_cuad,ado I. N' escerradacon respectoa+ y. ___2 2222___ Il. Lasoperaciones+ y. sonconlnutativasym ' _ ' P 'aSOClatlVaS. \ 2 2_ j 2 + _ ITI. Misteun único elementoneutroen las operaciones+y.________. (VerdaderO) Reso_ución: lll.(m_nJ= (m-n) _ _ I. COmOVemOS, (_+C_ b+d) y (aC_bdJSOn j 2 también elementosde_2 t ' m ' n+ _N' escerradarespe_to alaso_eraciones_ = _m2 _ n_ -2mn _ mn de+ y.............................(VJ 2+ __2 .(a, b} + (c, d) = (a+c_b+ =(c+a,d+bJ.......(falso) = (c,dJ+ (a,b) lV. m_(n+p) = (m_n) + (m_p) (a,bJ.(c,d) -- (a.c,b.d) __m 2 + (, _pJ___ _ + _m _+p J_ = (c.a,d.b) __ (, d).(ab) ........(Falso) ._ones+ y son conmuta__.vas'._FF 314
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l4mbfefa_EdItOreSÁlgebra Re6olución: __o_lg_g 13 I. Seaeel elementOneUtfOVa?No Teorema*. _e__a_a2_2__a_, _ l_ l -l _e= t_a(a-l) ..... .... (aJ Demostr8c_6n: eGa=ate-a=a te t _a(a+ l) .......NN_ NN NN_ _ t..( ß Jelemento inversomultiplicattivo ivo Como a_D_ entoncesGno tieneelemento ll. Si no existeeparalaoperación_ sobrelos e_emento neutro No, tampocohabr_elementosimétricopara tOdOaF- Na(_)(_) ' = (xx ')._.y') ,inverso multiplicativo P_oal__811 conmutatividadyasociatividad Demostración: l + (' I) = OPOS tUladO(elemenlOneUtrOadit.) .N. (_) l = x l y l ley decan_e_ación x( I + ( _ I JJ= x _ Omultiplicandopor x x. l + x(- l) = O distjbutividad x+ ( _- l )x = Oconmutatividad x+(-x) + (-- l)x = (-x) sumando(--x) DemostraF -X, -Y_ si __ o (x+(-xJ)+(I)x=-xY O+ (- I )x = -_x neutro aditivoDemos_ación: .'.(-l)x=-x -X_(xy-I)'ldef.deladivisión t__l_m812- ' ' ' ' ' ' ' ' ' _pero a_R/_a_O(aI) f=a Si xe.sun número real y x_O_ ì _ O omo a_Otendráinversomultiplicalivoa emOS__Cl6n: _ _1 Porcontradicciónoreducciónalabsurdo). XiR,XtOm tO_ J__. .. . X*X= = aalnvefSOmU tl_ lCatl_-O í' = Osuposición contradiciendoala iendoala hipótesistamb._e_n al a__ _ dedondesetend,a/ O= x.Oleoremaanterior af .(a1) I __ a I. a í = x.Orealizando sustitución _xo .'_(al)I=aleydecancelación x Oaplicandocancelación conlocual quedademostradoquesi LUe_Oen (l): Xf__XtOt tO.'. _X-_xl.y=_YdeF.dedivisión 316
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CAPITULOXllElsisfemadelos núme,o srea_ srea_ _r_al_m81S dedondes econcluye: EnelconJuntoc=(a_b}sed r_nelas(C,x_)es ung_po operacio nesbinar nesbinar iasporlossi_uien teseSquem teseSquem as(C, .) no es un g_po, porquenoexisteel _bulare s:e lementoinvefso. _ ab' a b aab aa _ a_toDlg_81 6 bbab 0bSeaelconjuntoT=(O,l)conlas operacio nes nes binariasdada spor lossiguientesesquem as _Cuálesdelospares(C, _), (C, .) esun g_po?t ab u _ a, e s. _soluci6 n' n' +Ol _ of Verif_ca remossi satis_acenlas4 propied adespara adespara sergrupo. llOlOJ AmbOsSlStemasCumplenlaleyde . compos iciónintema:_T eSUnCUe_OfeSßeCtOaeStaS OperaClO ne5 ..cxc_cbina_as?. .c-xc_c Resolución : Tenemo slatema(T. slatema(T. +..): paraquee__td_cerT .a .a ._ ed ad a soc _. at _. v a. seauncue_o tendrán que_'enF1c erseio_erseio_postulad osdecuerpo: osdecuerpo: a, b_C, _ C/ a__b __C= a_CX_C a.(b.c) _-( a.b).cC_: Si x, y_- T _ x + y? T __ xy i T iaFatodosloscasossecumplela+ = T X T_ T _ _: T XT _ T asociatividad lll. _istenciadel elementoneutr o cLa conmutat__v_.dad po,s__metr1_ _' _ ef C_ a_ C a__e= a= e_' a= etabular fespecto aladjagonal princ jpal jpal donde _ e_ c_ a_ ca.e_e.a= a_ e = b sedeF_nelasoperaciones El elemento ne utro, si esqueexjste, se+ ; . eS deCir Si XYF T utro, encuent raenlainterseccióndelaflla_x+y_ y+x_x.y=y_ principa lrepelidaconlacolumnaprincipalc.. .dd. _. : aaSOCIa__ a, S l X, y, _ _ repetidadel esquema_a_ula r. _ x+ _+ _) = (x+y) + _ IV._istenciadelelementosimétricoCOmOelCOn}UntOTliene2 elementOS , , , c/ a_a, _ e __ a__a_ e__ aentonceset número decasos_uetiene b queveriF1ca rselapropiedadasociativ apara apara a_C3a_ca.a=e=a.a_ e= la+ y.son: ' a_a= a' _ a _ a' = a' existeel inverso OO b _ b _ b' m. b_ b' _ b_ respectivoo/ o/ \l \l Ol _'.a, a.a' _a_ a' nOeXlSteelementOo o _nversoresp ecto1/ ecto1/l / \ . _- . __a laoperaci6n 317
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CAPITULOXll E_,__stemade_o, nu_ PraDl_m_ t9 PrOal_m_ 2t Demostrar que_es i_acional.T'Or'm&' S' "_b_ X' RYSi a'O, entOnCeS ax+b __O_ x__ _a'.b Demostr8ción: Usaremosel métododel absurdo Demostr8ción: su_onemosque_ esra ciona1T' S' _+_=O _ _+b+(_b) = O+(-b) a _ =- ayb_Z__b_ b ' _+O= -b' _= IaX_ aI i asimismo sean ayb irreductibles t _._ , l x _ aIbtx_ aI b aa'- - ' e"--aCUa Fa0t =' b b 2II.Si v_ = a'.b _ ax = a(_a'.b) ___ l___ _ a2 = 2b2 . _ ax + b= ("b) + b = _ a_ espar,dedondeaespar _ Siaesparseaa=2k/k_Z _ __ 2b2_b2 __2_2 . lo cual implicaEambiénqueb espar , lo cual prODl_m_ 21 llevaala contradicciónde lo supuestoay bparacada número real x, demostraf i. i_'reductibles(primos). x + x + x = 3x '' .'._ no esracional Demostración: ' x+x+x=x+ (x+ __) fODl_m_ =X+ X'I +X. ' acad _bc emOStrarqUe- t - _ __ b d bd i_i =x(l+2) ''. Demostf8ción: = X.3 _a+_ __ eb l + cd I __ X+X+X= 3X i. bd _ __ a.l.bt + c.l.d l p_ODl_m823 Ib l _ t SeaA= x_IR//_J . = (ad+bc).b' d I = _El conjuntoestáac otado? i ResoIución: I dI (bd) 1 ' = ____ ____ PrO_ __>64_X_80X_' ' acad+bc t __ -_- ___xi_ <-% _8! _l8 +m> b d b.d ' J-' ' 319
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LUmbfefaSEditOfeSÁlgebra _deCif: C7: VxfT _3"xeT _x+ ("x)('x)+x ("x)('x)+x = O Paf8 l8(+) _ o+o_ __ o_+o __o _ ol __ o l _ (O+O)+O_' O+ (O+O) _ 0__ Oo__nvefso ad;t;,, deo 2_ (O+OJ+l _' O+(O+ l) t I ~_l _ __ _._l __ _1._ __ _l _ _ __ __ 3.iO+l)+O=O+(I+O)_I=l__._t. _.t. 4. (O+ I)+ I = O+(I+ l) _ 0= O 5_ (l+O)+O= l+(O+O) ' I = l cg..vx,_T.x,o 3XleT/x,___xlx__ _ 6_ (l+O)+l '_ I+(O+J_O I '' 0 _, l __x 1._ __ _ _x 1 __ _ 7. (l+ l)+O= l+(l+O) _O= 0 (l 1esel rec_procamultiplicatjvodeI ) Parala(_) l _ (O.O).O= O. ( ONO) t O" O... Quedademostrado quelaterna(T, +_ .) es 2_ (O.O).I = O.(O,l) ' O= 0un cuemo. 3. (0.l).o= o.(1.o) _o _ o _. (O.I).l = O.(I.IJ_ O= O_F____mg__ 5.(t.O)_O=l_(O,O)_O=OCorolario: _a,bf]_:a(-b)=_.(ab)=(-a)b 6. (l.o).1 _l.(o.o) _o = o L! 7. (l.l).l = l.(I .O) _ O= ODemostraci6n: 8. (l.l).l = 1.(I.l) _ l = l I. a.(_b)= aE(_I)bl (delprob. lI) "COnlOCUal _UedademOStfadOlaVall'deZ dela" (a(- l)b) (MJ) ,PfOPiedad_OCiatiVaParalaSOPeraCiOneSde_(__)(ab)(mm J 1aadición y lamultiplicación.ab _ ab'-' C.1: Si x, y, _ T, entoncesx. _+_)=x.y+x._ tendrá_ueprobarleigualmente8casos.Il.(-a)b= (-I)(ab)..............(prob.lI) l.o(o+o)_o.o+ o.l_o _o(-a)b=-(_b).......................(II) 2.O(l+l)_O.O+l.I_O=O 3. o(_+o) = 0.1 + o.o _ o = o De(l)y(ll) a(-b) = -(ab) = ( a)b 4. o(l+I)=O.I +O.I _O=O 5. _.(o+o) _ l .o + ,l.o _o = o 6._.(o+_)__.o+_._ ____Teore_8: _a,b__,(-a)(-b)=a.b 7. l,(l+O) _ l.l + l.O_l = l _Como(-a)(-b)= (-a)(-b)........(reßexión) .__o,_r vx_,_T _,,+o -_ o+x -_x = (- l J(aJ(- b)...... (prob. I l _en_ o c__ T (neutro aditivo) _' a('- l)"b).. ( _ _ _ _ _ __ (M_J_ M3) ,=a(-(-b)).........(prob.l) _e= leT (neutro multiplicativo) .'. (_a)(-b) = ab 318
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Lu mbrerasEd itoresÁ_gebra Hallando lasco_asinferioresy superioresdeA, si _roDl8mg 25 eXISten_ Tresami os, José, iedroLuishacen las _C_ _ / _ Xr_ Ai C_\ Xaf_rmacionessjgujentes, respecto aun número __ c__ N/VxeA; x5cirracionalx. lo cual noshaceconcluir queel conjunEo Ano es _cotado.l. José: _' esirracional Pf_al__8 2_ lIl. Luis: algunapotenciadex (de exponente s,_ (c1 .,.) e,un semN_ g_po con _,de,tidad y ,, e, el di FerentedeceroJ esracionalCOn_UntOdetOdOlaS UnidadeS deC_ bajO__ _Cu_l delostresamieosdio unaaFlrmaciónen t On ' ' ' U _' eS Un g lu P ^' 7 Re8olución: Demostración: . . 7_ Paraveri Flcar que(u_.) esun g_po debemos__ Todaote c.,adex _.,ac_. na_ no s._ demostrar queux_; esto esinmediatoporquee. . ?__ V.COn ellOpOdem05Vef qUeSeVerlrlCan lOS _,;om,s_, __y 1__ de_, def,n;c;óndeg_po. EjeInplo: ( _) ' = 8 ca _om, _v sesaEisfacepa,atodo g e v (unidad) lII. Algunaspotenciasdex irracional esracional Faltaríademostrar _ueuescerradoconrespecto Ejemplo: ( _) 2 = 3 _ a. paralo cual escogemosg,_ e2 e u cualquiera, 'sten ___2 e- c_ Concluslón: Luisdio unaaf_rmación carrecta. Tal qUe__) __ "- _2 N__-' e Parademostrarqueg,.g,eu,debemo__encontrarDadaslasar_rmaciones,indicarel valorde su inversacomo especjF_cael axiomaTVverdad.( _ _i _2) - ' _2' g1( __, g2) ( _e_ N_2) -- __ ( _2_ &,_ ) _ __ ll. ,ac__ .,_re_ .,ex,_stea_ eIII.Si aeQy _ r ?Rexistea' enton_cesexistef" _g_. __, eResolución: iT. _ae_: (a') '' ' '-_ _ = _a_ _' I l' 2 __ IlI. Si __a?_; _ r __ Rexistea ' , r_= S deCiC' _2. g_-' gl i _2 necesafiamenteexiste_ ...g_.g,y_,,.__sonde_ Ejemplo:(__)'=l;peroO''noexiste xiste Respuesta:FFF
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CAPlTULOXll E_ _istemade_osnúme,o, reai Pr_Dl_m81lProalem829 Indicar el valor lor deverdaddelassiguientesSean ay b dos númerosrealestalesqueel proposiciones:productoabesirracional,luegoanalizarlas I.Lasumadedos irracjonalesesotFajrracional.Sl_UlenteSßrOßOSIClOneS: __. Enunadivjs_ónen z_ el restoesmenor queel l, Si aeS i_aCiOnal, entOnCeS b debeSer d_.v,.so,i_acional. /F_cadelaclasede eu-_va_encl,a2/3_esII. Si aesracional, entoncesb debeser irracional. III Si aesirracional, entoncesb debeser e80IUCiÓn__ FaCl .Laoperaci6n deadiciónen losi_acionalesno Reso_ucl,o/ n, escerrada. EJemplo:(2+_)+(__)=2_--_pertenecera_'J_'. _+ (1_2_) = l - _ e__' Eiem_lo: __ _ e_' ll.Nosiemp,e..aT6 Ejemplo: .3_-_' _6_T _r= l > _ -5 __.abf__ ,__ ae_t entoncesb necesariament 220 _ 16 2 2 Q6 pe_eneceaQ' 3''''._o ' 24' 3'3'6'9'''' Ej'emplo: 5.___' T_._e_. _un conjunto depuntos discon_inuos. I_l. ab e_' _a_;- g_ , entoncesb r__ _ v b c__ Respuesta: I.F , ll.F _ III. F Respuesta: FVF Pr_Dlt__ 2_Pro_l8m8 30 sabiendoque_esunirracionaltdemoslrarque: moslrarque:Sea'Z__--(Otlt2'3,4}der'n!mO'l"'d'C'6nY l" _nUltlpllCaClOnenZscomOSl_Ue _+J2esirracional.a+ba+bSia+b<5 = . _a, Resolución: a+ - lat _> ' ' 3 upon_amOS _ueX= _esun númefO .ab, Sl ab< raClona. 3a.b=it ab . _.x-- _ = ; elevan_o al cu_o: eS O5 _ Sl a'' __ 3 __+ 6x - 2 _ = 3 Resolver en Z-, el sistema: __+_- 3_ _(3_K_'+ 2) 2X+ 3_'= 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (!!, X+2Y_4 .................. (2 x3+6x 3 2+2- Resolución; De(2):x=4-2y,en(I): 2(_-2y)+3v=2 x3+6x-33 4 32 _ _ erOel prlmer mlem fO_ eS ' - _ _= ' Y= _ ue_o,X^=q2.l__-=2 racional,yaque.x ! _, esto impli_auna ... x -_ 2 t _, -_ _ conlradicción. Por lotantox noesracional,entonce__es o_s,_J_c,'ó,J._ 2. q =3en _,c irracional. 321
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roblemas_ro 0 uestos.
l. En elconjuntode losnúmerosnaturale sse4. Sede rlneunaope ración _ enel conjunto derlnela operación_ ''delosnúmeros naturalesde modo mue a_b = a+b + 2ab _a,be__ a_b_ a+ (b+ l). TndiCar el ValOr deVefdad reSßeCtOalaS Tndicar el valor devefdad en lassiguientes SlgUlenteS ßfOpOS lClOneS : proposjciones: I_ LaOPeraClO/n_eSaSOClalIVa_ 342e,6 ll. Laoperación_esconmutativa__ _escer,ado araestao er,cl.o/n ';;.,_ IlI. El elemento neutroesO. / . A)vvv B)wF c)vFv D)vFF E)FVv 2. Definamosuna nuevaoperación binaria sobrelosnúm e r o s r e a l e s . P aar a , b e i R l l a m aer m o s a x _ b = a , d o n d e _ e s e l n u e v o _ . S o b r e _ - ( _ l ) s e d e F i n e l a o p e r a c i ó n operador.binaria _, demodo que: Lue_o serácie_o que: Ya, b eIR, a4b = a+b+ab. Establecer el valor deverdadde las A) Lasumadelos resultadosde 2 _O, - 4_ siguientespFoposicjones: 6, 8_8 es8 B) DadOUn elementOa_R, nO CS POStlble1 T. El ,, _g. _ e, un _o conmut,t;,o hallar otronúmerobJa_, _=a'.._ ' _o/ n _esasoc__at__vall. El simétricodef real r es_ _) Laoperación _ esconmutativa_ io/ nbinarialI I. El elementoneutroes O 3. sea_ el conjunto delosnúmerosA) VVV B) V_ C) FVV racionalesse derlnela operaciónbinaria D) VFFE) FV FV __/_:(a,b)_ 2a+3b_.a_b_-IK Esciertoque: 6. Si E= (a} , later na(P(E) ; _J, _) y laley de composición paralasoperadores _,! (unión) , A) Laoperación_es conmuEativa_ (intersección) estándados_or lastablas B) Laaperación 4Rsasociativasigu ientes: C) Hayun elemento identidadparala OPeraClOn_v E nE D) NO''e^'n "em'n!O' "C'PrOCO' P"r"_ _ E _ _ _ cadaelementode_.
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_ _ _ __ _ _ ._ _ _ __ _ _ . _ _ CAPTULOX E sistema eIosnúmerosrea_es in_icarelvalarde verdaddelassiguientesEstablece rel valordeverdad: I. LaOpefaCi6n _ eS di5tnbUtiVa COn ll, _ un carnpo ordenado. resPecto ala _' (unión) _Tl. E, un g_po II.Esungrupo IIlt ES Un anillOlatema(P(E) i _Ji (') A_ B _ cvFF A)vW'8)v_Fc)vFv DJmJF E)WF _o D_ ._. d _ . 7._Cuáldelosparesnoesun grupo? A) (A,.) ;A= (l_i, -I_ -i)
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8.Establecerelvalo rdeverda rdeverda ddecadau na11. na11.Establecerel valordever dadde las delasproposicion es: es: siguientesprop osiciones: osiciones: I.SeaLel conjuntodetodoslosnúme ros ros realesdelarormap+q_,dondepyqI.El conjunto e_,_"''',luegoel sistema(L , +, .) esun , _ _. .SeaL elconjuntodetodoslosnúmero s sonracionale s.Latema(L,+,.) esun lll. Etpar((l,_l),.)es ung_po., 1 _T A)VVv B)wF c)vFVd . f . . Laterna(T, +,.) con T= {O, l,2,) y + _. + O! 2 _ O ! 2 esacotado 1 i 2 o1 ol zA)
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LumbrerasEd itoresÁ_geb,a l2. Sealar laarlrmaciónincorrecta: I_. Si m _ n= residuo dedi_dir (m+n) entreg ym # n=residuodedividir m.n entre8, A) El supremo del conjuntocalcular (6_7) # (5_7) (- l)n 1 Xf_X=_nnf_,eSn2 B) El _nr_mo del con_untoDJ8 E) l O ( - _Jn X__ X--- _n n f NeS '- l l6. seanlasoperacionesdef_nid,spo,; anlasoperacionesdef_nid,spo,; n 'un_o {n/n__} esaco_ados6_o_ab c d_ ab cd .n Fer._ormentesu _nF_mo est aab Cdaa aaa bbdacbabcd D)Elconjuntoccad b cacd b _ddcbadadbc n+(_l)".-nfrq_ n Si: x = b_cdete_inar el valor de: no tiene_n F_moni supremo. E)Elconjunto a A=(x"-_/_<2)eSuncOnjun'oDjdE)c aco_ado. .. _b_ _, 2 l3. iCuál deIossiguientesconjuntosno es e: aCOtadO?. a_(b_(b+lJ)es: A){xe-_/__81} 2+'_ _ B) (x__ _/ _ <_ } ABJ( bl b + t, + a +b+b-)_l+b-+b+a_a-l C) {x e_ _/ x'>25 n x' __ lOO) c)l(_+b+b_J(1+_+b2_a)+a_J _+b2_a)+a_J D)(x?Z'/ x_4)D)ab(_+l)+ai'+a(b+l+b'N) b'N) E) _ < -xE)ab(b+I)t a'- - a(l+b+b'-') lg.Demost,arlossiguientesteoremas_I8.En_ definimoslassiguienteSopefaciones I._a,b_c_-R,sia>byb>ca_,.b__3b+_! _a>c2 ll. Si: a,bF JR, si: a -b3 a#b=3a+TIl. Si: a< b _c>O_ ac< bc2 IV. Si: ahca_ b = 7a-3_; si __ _x _9; y#y=2 I_ V. Si; x _O_ x '_0 hallarel _Jalorde(x__7)+20 I_ns_i_v. Vl. Si: x e_' tienenel mismosigno A) 24 Y) 25 C) 26 _xy>OD)28 E) l4 324
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CAPlTULOXll El sistemadelosnúmerosre4les I9. SeaB(m; n; p; q) y x laoperaciónA) a_, B) a_ C) a3 deFlnidaen Amedl'antelatabla_ Hallar el D) a_ E) oa valorde: _ m _ 0 0 7,_ a_b=(a-_b)(b--a) Hallar el valor deverdaddelassiguientes nm q __.. P p qm n_ _ esconmutat_. qq p n m _ J_ dem bajolaoperación _ A)vIVB)vwC)Fvv A)m B)q C)n D)VVF E)FFV D) pE) mn 23. Sederlne 2o. seaA_ ( a; b; c; d; e) y nla operación aX'b = min {a; binarjaasociativadeFlnidaenA; según laa_b = maX(a;b} _ R tablaadjunEaydado el sistema: ademáS x_y-_b ., x_y 1 -_d mínimo: menor ntreay netreay b .. máximo: mayor entreay b (x_a_, y_d) Calcular ( 5 _ 4) _ ( _m _) _ab cde 8ab cde D) _E) I Cea ccd ea b 24 Derln_.mosen _ _aope,acl_o, dd e_ b ca _ b=eb; hallar lasumausual de: eeab cd 2x3;3_4;4x2;yl_lOO A) (a,b) B) (c,c) C) (a,d) A) loo B) lo6c) lo2 D)(b,c)E)(a,c)D)2o5E)2o6 2l_SeaG= {ao ; al ; a2; a3i a_} 25. Si a; b _ IR; sp deFlnefaoperación _ como: deFlnif laOperaCiÓn blnariax_COmO: a+ b_ 1 a__b = _; determinar el conjunto a.,+._ ; sii+j<53 i+i-5' ' sj b,ese_inverso de a,. A) <3;4I B) l'3; 3JCJl -2; 6J calcular;b2_(b3xb4)D)I-2;6>E)<_;+_>
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LUmb rera_Ed ItOreS Álgebra 26. _CuálesdelassiguientesaFlrmacionesson 29. Si deFlnimosen & laoperación xcdeF_nida verdaderas?,si secomparandosvariablespor: independientesdel tercero.a_ b = mínimo (a;b} icuálesdelasiguientesproposicionesson l. Sj xvaríadirectamenEecony_ y varjaralsas? directamentecon _; entoncesx vaía I. a_ b = b X_ a directamentecon _. Il. a4 (b _cc) = (a_bJ4 c Il. Si XvaríadlfeCtamenteCOn ?; y Vafíalll. (x _ 4) _ 2 _ x= l directamentecon_;entoncesx+Yvaría_v. on_;entoncesx+Yvaría_v.(xx,N___2___x___,/ x___, directamentecon ?; dondex; y; ?son positivos .Sl X_y _ lR; XVafladlreCtamenteCOny; /ad_,,ectame,tecon x., en_oncesD) Ill y X= 30.Demostraraxiomáticamentelassiguientes igualdadesseana, b r_IR D)FFvE)vFF_ .(a+b)+ E(- a)+( _bJJ= ._Cuálesdelassiguientes proposiciones: ll, (a. bJ-. - = l ab _O ab .a_JITI.'a+(-b)-(a+b) _JITI.'a+(-b)-(a+b) .O O_entoncesa_O33. Sean ay b númerosnaturales, si sedefine a4b= a+2b, entoncesesverdadero_ue: Il. El ceroesel elemento neutrodela operación (_JA) (aX_b) xca a+4b Ill. Laoperación__ esconmutativaB) a_b -- b_a C)(a_b)_b=a+4b A) vvv B) FFF c) vmr D) (a_b) _ (a_cb) = (a+2b)'' D) FFv E) vvF E) (a_b) _b) _c= a _ (b_c) 326
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CAPITULOXllElsistemadelosnúmerosreales J4. Determinar,_cuálesdelos r,_cuálesdelos siguientes39. Consideremoslasratacionesdeun SlStemaS fOrmang_ßOS?trjánguloequiláteFo ABCalfededor desu centro''O'', como semuestraenlarlgura. I. G= Conjunlodelos enterosi operación sustracción. T I.G= { l , _ l) ; operación multiplicación fll. G= Conjunto delosracionales diferentesdecero;operacióndivisión lV. G= (a+bi ; a,b_ Z); oßeraciÓnadiciónDemostrar si esteproceso con laoperacjón deadición esun grupo. A) l _ III B) Solo TII C) I, Il _ IV D) lIT ,_IVE) lI r' IVRe,puest,.. SeaG=(rot.O,rot.l20^,rot24UU} 35.Probar_ue: Luego laestructuraalgebraica(G,+) esun F= (a+b_; a,_ racionales} esun cue_o. 36. SeaRun anillocon elementoidentidad. .En el conjunto A= (O, l , 2, ... , 9) seder_ne Fo_ams con Rotro anillo Rdefiniendo: laoperac_lo/n b__na,__ a(ì__b=a+b+l /\ a+bs__. a_b= ar_____b = a.b+a+b a_ b - IOSl: a-_ b > nContestelassiguientespreguntas: I. Verirlcar queResun anillo. II.DeterminarlOSelementOSneUtfOSde'__+_'. ./ ._!AeS CerraaßaraeStaOpefaClOn? y__irespectivamente. - ll._Esconmutativa_ 37.Supongamosquea2=aYa_M.Probar_ue M esun anilloconmutativo(un a__illocon estapropiedadsellamaanillobooleano). IIl. iAdmiteelemenlo neutro?, jcuál es? 38. Sean (A, x_) , (B, #) g_posabelianosy _v _.Todoelemento deA t_.enes._me/t,._ (C, _) un grupono abeliano. Dar AxBxCunaestructuradegrupo. _El nuevo gruposeráabeliano?. Respuesta: Respuesta:TOdaSlaSpregUntaStl_nenreSpUeSta El g_po(AxB x c; a) no esabeliano.arl_ativas.
_________r___________________t______________________r___r __________r______________________________?__x______________x________________________________r_______________________________nnv______ct__r______________ ___r_r_______t________v____y____________________r___________r_______________________________________________________nn__y_________________________mxm___________________________________________c____________m____________________n__s____________s_____________________________________________________________________________________________r________,_______________________________c______________________________r_____________s_________________________________________)_______ ____________________________y_____________________________s_________________________________________n___________________________________________________________________________________________9____________________________t____ _tmmm_m_N__n______m_ ___m___ ___m__ ____________--i__ _s_ ' .i. _.v _ _ _' _ s4 _ _q\ _, __' ;. _: _: - m _ :. _ ' v_ _ __.__ _. ; _ i_ ,. '_ '_!, _ _ ,.,_ ', , .;. _ _ ; _,,,' _ '_ - :s': ' ' ,.; _- ...,.. , ; ' ' ' ': _-- _ _, ;,;_x.m..._.'-?. ,...._;____;'__,,_v, '__, _1*__-c;, An,____1 mn.M__;', _ _21.__!D_W __'__.,.,.__...,._.. _.._,_ _ _2.__.'--. 4 c__1 2 .w::; 'Bm,M2__v2___3--;_''__ .,_Mv__3..__,.mv,_' '^"_ '_,;'___.._;,:__. .__''_,:;,,;. '_,,_'_.',_,__. _3 í_;; c_m_1 3 _';--.__c NM_23 ;__D__33_r .._-...__......; .._._,,__._::,,, _',_,____4._w.nM--- :; A.M__19 ____.h n__24_._''_Bm__34_.._ _ '_'__:,:_''_._' _.,'_-.___:_,._:.__: ''..; _5 __---_.. A_1__;-_-_ c__2_5__E __35_ __:___;,._...._..; ;;._,.'_;... _:.,.n_u_6 ,._!+ c__p ,,1, 6,, _,_.___+ E ___2_6 m__D_.3,n_6 _v___ ____;___',___._:__,,,-_,n.. _5_.:..y.:n_:,_ _7 _;_ __m _1 7 _c_2__/ , ' 'g _3 i m_' m.':._...__..'___.. ,:,,__;!','' _.__;_:_:_.,... _,,,,,, 8,,,,,__. A_1_8 _,,,__ A___28.,,d.p ..c__3.8._..._J _ _____;.-___;..__;__,,..: ,;.;;;__.. _9 _2B'_19 r.___29_B__ m'_____g___yo_'0__',nn__'':, _1o t_* _2o _B' _3Mo_,m__ ' _ __4o_ __,,;_._._..__..,._.. ..;-.. _Demostra ci,nes. 1,.;.:._,,_;,_;_.:.;. i_ __,_.5_..';_____.____...'_____..__.;,''_:. _' ' -6 _..;,_,'5: -_---x . .;_ - ____ ;''.;'__._''_'_''n' '_-"-_'' '''- '
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____d_,''oBimvos:_.'_':_,,,, ,,__'__,'__,';___,'''''' -- . , ' _'. _,___,__.D,_,._,..'____ M. tu_iarunn_.evocam_,,mu_encollama'' d'o~Elca-_:__lejo_q_d__ a_. _ papel ,?_?'_,_=, '_ im_Manteen la'_ re_oluc1_nde ec.uacione's' '':''',p0 o_omal_s. . ' ___'_ _:___ _'' Ver laap_cai_n enlas d_er_ntesramas, '_'' ,e,, I8, ___- - - íá y __lacienc_'._ _ '''':: ' ..' ?' ____,,' _Aplicar dicti teo__ en _oscircu_toselect_,c,, _'s, ,_ geo_t_a_racta_, etc. \ , ,_ / . ...._.."_ "_ .i_
INTRODUCClON Losnúmeroscomplejos desempenanun papel muyimportanteen el desarrollo del Algebra M o d e r an _ y a q u e l a T e oa oa deEcuaciones, en especial lasecuacionespolinomialesobe deceal Teorema Fundamental del Algebra_ cuyademostración escomplicadapor medios algebraicos; en cam_io por et análisiscomplejo, utili2andoel TeoremadeLioville; lademostraci6n esbastantesencillay rigurosa(ver cualquier librodea nálisiscomplejoJ. En el estudiodeunfenómeno F_sico o químico necesiEamoshacer uso delase cuaciones di Ferenciales,ordina_as yparciales_para resolverdichasecuaciones seutilizan alosnúmeros complejos por Iogeneral; porejemplopara resolver un problemadeonda sseutiliza el méEodo devariables s e p a r a lbe s d o n d e s e a p lci a l a s e n e d e F o u _ e r . Por ello,su aplicación esFrecuenteen todaslasra masdela Ingeniería. Por ejemploen la electrónicase utilizaen loscircuitoseléc tricos. Cabemencionar queen estasúltimasdéca dasseha desarrollado aGeometr{a l Fractal ; dondeentre diversostópicosintemenen en ellalosnúmer oscomplejoslos cualesson uncomponenteimportante y obviamenEesu importanciacrece por lasaplicac ionespropiasde laGeometría Fractal (Física,Química, Biolog Ea, ociología,Psicología, o Sciología,Psicología, Economía, Arte, etc.). LaGeometríaFractal nacepor lamisma necesidad deafrontar problemasreales; yaquela geometríatradicional o Euclideatiene limitaciones por lasformasencontradasen lanaturaleza, como montañas,Iranjascosteras. sistemahidrográf_cos. nubes,_rboles, etc., unsin núm ero deotrosobjetosque no sonFácilmentedescritospor lageometría Euclidea. En cambio lageometríafractal proveeuna descripción y unaFoimademodelo matemático para lasaparentemente complicadas(ormas dela naturale2a; todo esto esposiblepor queladimensión fractal noesenter& comoenla GeometríaEuclidea. Unacaracterística propiadela GeometríaFractal porcióndeun gráF_coFractal vistoinclusivecon ' gráF_coinicial. 33 1
esel deautosimilitud, esto quieredecir_ quecada unalupaposeela mismaFo__ay caracteíslicas queel
______________ _ ________ ___ ______________ _ _______ ____ __________ _________________ _ ___________ _ ___________ _ ____________________ _ ____________________ _ ___________ _ ___________ _ ___________ _ __________ _ ____ o______o______________________________________________ypxw________________4___0________0_________________o___________________________________0______0____________0___0__0__0__0_0_00_______0__0_______0__D____00___0D_00_D0______D0___0______0___00po____0__o____0__0__0__0_po__p__0_____p___0_______0______________0w_0__0p_0__D__0_0___0_D0_0___00___0____0_D00_0__0___o_D0____0__________0_0___0__p___0___p____________po___________________________________________0___0_o_________0_0_____0______________________\_____\_______n\__m__t__ __5__0___ Lu mbrerasEd itoresÁ_ geb,a
''''__,_0'_,N___Ny__R__''''n-i,''. '__'' _lproblem0 d_reso Iuer lasecuacionesal8ebr_icash_ l'leuad0 at h0mbr_ de_deI_ n_mel_osnatura/_s0 los___,_ ''__'', . _ ...'' , M __'_ eni__S, _OS _ClOnaeS,0os nUmelDS IrraCl On eS y 4 SIStemaConp etOeDsnUmeroS __a' es. _'d,,,_,a1eJsl_IoxJx Leoo(_o_Dnec_efel__mefc_rl_CodeJoslVnd_mentos'deJ_na__J-_r_smodgmodgsc__,b(._esra_,,, '_,___'_euDluci_n l___ y gr_du0I dela comprensr_n del si_em_ d_ númeraspor el hombre. _abem0spor eiemplo, que'___i__ '_t_?''_,,noa_enjn___ _n nú. m.ero .re4I ':x"'' con laproped_d laproped_d deue___car.. _+ l _O; eI problem0 es_n4/ogo; _u0ndo ei '?__,L__ ''_,__'''__,hombr_n0 c_oc(aIosn_merosenre_sne.ia. rjuos;' s_lo contempl4b0 Iaec_aci_nxt___9,_eF n_mero -5 0u'n no _'___,_, '____'_,_ tenjaal_ún senlj_o. .. '. . _?'','0 D____'_D_scutire' mosel sislem_ adeIosnúmeIoscomplej_ s' î_' uje' n'' do est4smsm.. _sIjneas, l_sde_inicionesy __las____,,? _____d'd sedanenp_merlug_r.' '_____.___ ___' '' ' '' _'_ '' ''' '_''L? ___0'_ Dem.astrar_mosd__puescom0estesistem_ de' númerasesu_ n_ ext_nsF_n de/sjxe.made.J_ números r_oles.__''_, _' ' lapnmer_ r_p_sentaci_nclaIa% Io_ n_me_sco_pleiosy l_ pnmerap_b_ s0l_- _aclm del teorem0 .___ .Jund_mentaldeI_(gebra(adioKarICaus5(l dioKarICaus5(l771 -J8S5_ensud(irt_ri6n_to_tenl __ Mterm'nonúmero __com_/eJ_oJol'nt_oduJ''o __us_'yJade_n_'c_'_ndenu'me_s''co_reJ_Dsiomopa_so_d_n__e_nu_me_s_e4Jesruei___ __ usad0 por pim_ pim_ Ue4en ,J. 835 por el m_temdtjco ,ifIand_S nd_S _llIW' m R_n Hamilto_ lJd05 - l 865Jy Iue_o _,_ ' Henn_nCrassm_n (I 8D9m J817J _xrendi_ est_ den___, d_ los_tim_ comp_iosal_ n _d._sordenadas__ _,_,denÚmerDSreaIeS(XJ,'X_;Xg,'.....;XJ,'eStOSnÚm_iO_hipercOm_l_iOS__J1er_l_an0l_n__ COm._leJOSya_ _/.oscuaremionesdey_milron,, ,, ,, , ,.'' _ '_0__ Losn_merosco''mple_osso_ dec_piraI jmport'anci0 en Á_eb_. En l4 teo__ d_ t_ funcjmes_n_/íticasde_ ____^0_o unau4nablecomp(eJ_,' losn_merDscomp IeJosiueg_n _n p0pel j___teen lasecuaci0ne__erencjaIes; en _. ''0___^^oooloscircujrosel_ct_cos,osciloc,iones,uib__c(ones,fenbneno_.md_loronos,n --7os_cr_les9ueesuno ___ _____^^o'oooo_e_amienlapod_rDaaas(comoIosd1rerencioIes.;__\-,
a. Eny_c_óN0E- N_mEiocom__ __ _O. , Un númerocompleJo esun par ordenado denumerosreales(x ; y) ; esdecir x ; y _ 7R ; donde''x'' eslaprimeracomponente''_'' eslasegundacomponente. Not8ción: _ = (x ; y) ; x, y ?_ LuegoFormamosel conjunto delosnúmeros "x'': partereal complejos; denotadopor "y'': parteimaginaja_= ( (x; y) ; x, y _R } Esdecir: _e(__) = x EJemplo8deNúmero8Comple_os __m(_}--y_, = (3;7) _, = (-_;_) ?3 _ (O;4) _4 = (O;O) 0PERACIO__ DEnMIDnS EM _ . ' SeanloscornplejosEJemplo_ __ _(X_;1_) i Z2= (X2iy__) sea, _r2.3_ . , _r4. ^l-_ 1/ 1'2-_, edeflne I.Adición ?) + _2= (x_ +x2 ; Y( tY2) e,ton,e,__, + _?, __ (2+4 _, 3+5) __ (6 ., g) __ _ ??' (2_4-3_5_ 2_5+3_4) .Multiplic8ctón__ _, (x_x, - y_ y, ; x_ y, n y_x,) _I _ _2 = (-7 i 22)
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CAPiTULOXIllNúmeroscomple) Debeobsenrarsequelaadici6ndenúmeros complejos; estamismaoperación deadición en V_ (ál_e_raveCtOrial bidimensiOnalJ; laoperaciÓn demultiplicación sedistingueen _ yV2; en losnumefos complejoslamuItiplicaciónojginaotronúmero complejo; en cam_io lamultiplicación dedos vectores o_ginaunescalar; adem_sladiferenciaesque un vector tienedirección; en cambio un número complejono tienedirecciónalguna. lG'UnlD_._E'_'_'MERQSCOMPiEIO'_'';._.;'',,''''':_'' '':'''"'''_'- ''_'''/ DadOS ?1 ' (X_ ; y_J; ?2 ' (X2 ; y2) ReSOlUC16n_ ___,.',._.g,,.zf__-2,.S,iY5...6loSi':x,,__x..2..,__'''''''_i_____Y2___,.___,__,,__=_2^4=X-3 _Y+I_5-Y .em _o.Deahí x= 7 _ y=2 sean __,-_(4 ,_y+tJ,\. _?,__(x_3_.5_yJ__ X+ _'--9 Calcular x+y si __ _ _, RERRESENTnn6NGEom.hNGA.,{_1__.d__Ga._s_,,,,.,' _'_',,, Larepresen_aciónserealizaenun plano,al cual PROPlEDADES: _ _,; _, ; z3 e _ lO1lamaremOS ßla_OCOm_le_OdOndeel e)e"X'' A_: __+_2 f _ (Ley de ClaUSUfaOCeffadUra representaal ejedelapartereal y el eje''y'' al deParalaadición) losimagina_os; adicho planosele denominaAJ_; __+?J_ -- ?7_+Z_ (Ley Conmutativaparala tivaparala ''plano deGauss".adición)A 3'_(_1+??J.)+_3 = Z1+ (_77.+_3)) ,o (Ley asociaEivaparalaadici6n) ea_= X;y; X>O_ : Existeun _nico(3!) elemento_o delaforma (O; O) tal que_+_u= 5 _complejo_ _Eje___io(exislenciadeletementaneutroaditiv_). JP(__y) A-: Gcisteunúnicoelemento i!-------------------------._''_, ___/ ,+(_,)-_,__(o.o)_, _,_! ';! _ (existenciadel elem êntoinvefso aditivo) !_ ; M_: __?__J__ _ (LeydeClauSUrao CerradUfa_ara ;! ; lamul tipl icació n) ! ;! M7_: __ _?. = _?_ _ _ (LeyCOnmutativ_ _arala --o_-_!__-------_-_--_________-____--_-__ _-____-- -______'__,,___,_,_,_____multiplicación). j, _EJeReal m ( j ( ) (Leasoc__a__ polo 3' ' t N2 ?_ - ?l ?2 __ mUltipliCaCiÓn i M_: EXiSteUn ÚniCO(J_ !) z'__dela fOfm__ DondeOPeselradio vectordelcomplejoz'--(I;O)tal_ue5._'=_ __?__.C(e__istencia _=(x,'y) delelementOneUtrOmUltiPliCatiVO)_ _steun único elemento?l__ tai S' _ l__l__. ,,_ Definici6n= El conjunto__ juntocon las ( ' ?.- _. ' Nd ' _ V' Y?_ F ' eXlStenCtaeleelnerltOlnVerS o_7eracionesdeadición y multiplicaciónderlnidasmu_t__p___cat__ ante_ormenteylaspro_iedadesamencionar D( + _) + ' __)___3 -?l?7N)?_ formanel cuemu delosnúmeroscompl_jos. (le), d;stribut;_,a) 333
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Lu mbrerasEd itoresÁ_geb Ladernostracióndeestaspropiedadessenúmero real 8_ obtenemosevidenternenteuna hacenen basealosaxiomasdelos númeroscorrespondenciabiunívocaentreel conjunto reales(ver capítulodenúmerosreales).considerado depuntosy el conjunto detodoslos DemostraremosúnicamenteA3 y M2 las demásnúmerosreales. Como aplicación delas quedancomo ejercicio derutinaparael lector. operacionesdeFlnidasen _ tenemos: (a;O)+(b;OJ=(a+b;O) Demostran6n deA3 (a; O)(b; O) = (ab; O)S ean _ ,"(X_ iy1) ; _2= (X2;y2) i _3= (X3 iy3) tal qUe(X_ ; X2; X3_ y1; y_; y3) __ O SealOS pUntOS (a;0) SemUltißliCan en_ Sí entOnCeS(21+_2)+_3=(Xt+X2;y1+y2)+ (X3;y3)l_UalqUelOS nÚmefOSfealeSCO_eSßOndienteS_ = (X, +X2+X3; yJ+y2+y3) pOf lOtant0 diChOS nÚmerOS nOSediferenCian en También__+(_2+_3)=(X,;yJ)+(XJ_+X3iy_+y3Jnada_OrSUSprO_iedadesal_ebraiCasdelos =(X,+X2+X3;yJ+12+y3) nU'mefOSrealeSfepfeSentadOSOCdinaflamente SeObSeNa(__+_j)+_3 = __ +(_2+_73) POf pUnt05 deUnafeCta; _Of lOtantOCOnClUimOS: Demos_a_ón d__ (a., oJ__ a 6 (a., o) -_ Sean_ f _( X(; y_); __ = (X2 ; y2) ; (X1 iyJiX2 ;y2) C_ entoncesEJem_IO_ _?,___ -_ (x, ; y,)(x, ; y,) = (xJx,_ yly, ; xly,+y,x,) Al Paf l2 i O) leCOrreSPOndeel nÚmerOreal l2 t,mb;é,__, _?J_ (x_)(x, (x_)(x, _y_) Esdecir (I2; OJ= l2; an_logamentecitamos = (x,J- ; _2y,_' ; x,, + y,_Jalgunos ejem_los: "(X)X2- y(1J_i X1 y2 + y, Xj) (propiedad conmutativadenúmerosreates) ' 4 i O= _?,?2_(a+b;O)=a+b ._. __, __, _ __, _, _ (I ; O) = I (unidad real) Definición; El sistemadelos madelos númeroscomplejosi,n _ T E o g E M A__ representaunaampliaci6ndel sistemadelos'' ' númerosreales; bajo ciertascondiciones,con , _F'_i Z = (XiY) esterlnveamoslospuntos situadosenel ejede_,_____, (x _ y} '_ _ _ secum_ler5 = (rXi fY) abscisas;o sealospuntosdela fo_a(a; 0); poniendoen correspondenciaal punto (a_ O) el rueba r_ = r(x;y) = (r ; O)(x ; yJ; erectuandolamultiplicación = (rx-oy; ox+Iy) = (rx;_) .'. r_ = (rx;_) CANnDAD_ l_GIMARlAS : .. .... Son aquellosnúmerosqueresultandeDetodos e/stosel ma_s__m portantees_. ,a_ cua_ extraer unaraí2 deíndicepar aunnúmero real d . .d d . . . ,enOmlnaremOSUnlalma_lnarla,CU)' ne_atlVO.' notación universal esi _- l Asíporejemplo ,_.2_A_liCaCiO'n_ ' ' ' _=_=___4i ___ _vt_ =vti
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CAPlTUlOXlllNúmeroscom pIejos. uNtDnD__GlmR_'& 'd ^'_ ... '' ' '' ' _,,_, - ,, Elnúmerocomple Jo Jo(O; l)esla unidadimag inaria;tienelaparticularnotació inaria; ni =(0; l) '' .,.''' ...._EOR'' ...._EOR''E_._. . ,,TEOR___A _', j-=-l ; i (O;I) _y___(O;y) =yi PruebaPrueba i_- = (O_l)(O;I)=(O_l;O+O) yi = (y;07(0_l) = (-l;O) = -l = (O_O;v,+O) =(O;y) .'. i' = --l .'.(O;y)=yi Po__c__ EyTE_''__ Lh UYIDAa. I_lMANA Estudiaremos el comportamientodel número i"; 4_ vn____,teniendoencuentalasiguienteP0flOtantOi_l def_nición: __'0d-' '__o__''_:_,1_____ _ _ : g??1ii_ _'_'''o'oo0_m__,,o,,d,, ,,,,,,,,,,,0, ,,,,,,, ,,,,;',,,,, d,,, ,m,,,,,;:,, ,o,,,,,,,,,,, ;';,,,,_';' ':'' ,,,,,,,,,, :,.__..,..,.b' :,:;,.,..o. .,_.....,,,., .,,,a..,.,.,a ,,..,...... _____i0''"'' Luegodeduc_mos que tl_ _J+l_N__2 _J_3_ l=l l =l ;l '-- ;l __ _2 .,3 __ __2,_ ___l_General izando N4__2 __2_ __ , -'-- '- _r1+k__ _k__ _5__4N_i l =l j _,6_ _,4' ,_2 ,'3EJemplos: , i _l .l =_l '8__ '4.'4___ .2_ _._+_ _ i9_ i'.i= i NlO___8.2__ _ . ___3 ___ __ _+_____ _ __ i =i.i=_i __2___,8 i4 _8_ __ ,_, ì+___ t, SeobseNaquelaspotenciasentera sdei sdei seLuegosededuce repitencadacuatrovecesysólotomanunode toscu_trovalore si si ; - I ; - i _ 1 _. esto merece_N- ,j - k _ l_ _ unaespecia l atención. PR0PlEDADE_ Seobservaprincip almenteque: almenteque:... NJ_7.__8__. _l12__. _toimplicaquelaunidadimag inariaelevadoa_t__.._.(__)_ ,_k._J_ ___-_ inariaelevado _múltiplodecuatroesigualala unidad.
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LumbrerasEd itoresÁ__eb ,a EJemplolEJemplos: ._G8JN.527 _2 eSOIUCiÓn_' Seobse_a_ueR_olución: 4683= 4+3 i2'2 = i___ --527 = -(Q- l) = 4+ l 2H___ _ d .s_.aareVaOre2_--_l ''3 __ R_oIución: _i + i = i ' + i ' =" i + i= OseobseNaue EJempl02 ss5^ ._+_ . _r _Nqg +_1 +_g = ' __=l =l Resolución: 33 3 _1g J8__Jg 3 Determinar z_ l. 3 -' - ' 2 _l l7_l7_ -"--ReSOlUCiÓn_ luego S=l-i+i .'.S=l 3 o , o , 3J' _ (4- t)3' _ 4- _ = 4+3 ___q.i_ _ .+__ _3+_q _,1_ +.__+_ +_qh+2 _4k+3 o _ tc z4. Sim_Ii FICar .l l l +l =; f __h+ _lh+1+ l_k+__ + __k+3_o. y _, z VV_- i 2! + i J! + i J'' _ ..... + i l20'' Re8olución: i.0,,,,_,, El factorial densiemprees rnúltiplo de ___''_'__'0_000___a0_,O____',___;^'00"__"'_'_'a___0_____00___9__,___'P80O____'__,a__'___'_____''0__0__i'____'_,''0'___'__,''_CUatFO_ n> 4 __"'__,^i0___'__,0___^___a_.__',__00__'__',__,_"_,_'''__''__(Por_ropiedadesarilmé_cas)____.,_d__,o,,,.__ _^'_,,o,, vv_ Nl2+ __6 + l__ + ___1 + , __ q l.2^_4:_,_nr.._;n\,2iR_^_-V _,__,.'0,,'_,-2 l l7 oo ___'0'0^'_ W=-2+ll7_ll5.'.W_ll5 2.(Q+r)'=Q+r";VnrNr__rc_,__0_''_ __
fORMACA_ESlANAOBINÓMICADE UNC0MPLUO' EJemplo: TEOREh_AReresentar en formab__no/m__cao cartes__ar_.' ' _' Todo númeco _omple_o_ delaro_ma__ (__ ; _'_) escadauno delossiguientesnúme_osco_np_e,ic__ _'___,. posibleescribirlocomoz= _+)/i dadospoF suscomponentes. ._ _t = (4_5) = 4+5i eInOStfaClOn; l5 l5 ea?=(x_;y_X_yr-1_z_-_-;-----i pg,o _, _ (,,;y) -_ (x;oJ+ (o;y) 3 2 3 2 Por derlnición(.K;O) = x( ) ,_7_= _6= -6I .', _-- (x.y) =x _ yi 5J_ (O;_5) = __- j 336
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CAPlTULOXlllNu_meroscomp_e)_ nPOS_ENÚmEROSCOMR_,_OS',.-Lueg_ dealgunasdeF_nicionesnecesa_asEjemplo 2 tenemoslostiposde complejos: seaW_ 1o+ 12i w= IO- l2i - CO__le10Real OPUra_e_teReaI-__ _ ,t W'= -IO- I2l aqUel nUmefOCOmpelOqUeCareCee a ßa_eima_inafia; eS deCir SUparteRepresenEación Geométricade?= tricade?= (x,_y), de su imaginanaescero. conjugadoysu opuest Notación: __o,.2_(x_,;0)__,,,x''__''''':__x__;,EJe____l' _=:__.______._______Z--_+yl 2, Complejo lmagtnarioPuro,- Esaquel =3 ;' númerocomplejo quecarecedelaparte''_: ;! real; esdecir su partereal escero; además_"! ; su parteimaginajasiempreesdiferentedeo '__ _ cero''''_' '_tt '__"'""'''''''''_"''"'''' ''''''' _'. __''''''''' '' ' ''' '_'' 't ;' '''''4'tt'. '''''''''> ' ; ! ; Jee Notación:!,!_...;! z_-___y)--yi;Vye__ia)__!;'''_; ' ''""__c 9_ '' '' ' '' _ '!..... ... -Y''_,, !! Z---_-yi_''!1=_-yi 1, Comple1oNulo,- Esaquel n_merocomplejoquepresentalapartereal e imaginariaigual al númerocero; esdecir las doscomponentesson nulas.PROPlEDAD_= _; __ ; ?__ _?_ Notación: i_,n__Co__o)'_c_^^0_,,l. _=_a_eSCOmPte70fea1 a1 2.?=_ DEFIMlClONES 3.. __ _ __?_ _' _ ?es comp_e__ imagin_ri l. Dado el complejo_= (x;y) = x+yi se _eF1neel conjugado dezdenota_opor ?; tal 4, + -_ _ue - 5.___=2ilm(2) ?--(x;y)=x--yi 6. ____2_____, 2. Dado el complejo ?= (__;y) = x+yi sedeF_ne elopuestodezdenotadopor?;talque: 7. ___2 _ z_ _ ?'_(-x_-y)=-x_yi___ _l __I t ' ?_' ^_' ^_ _2 Sea?=(_1;_5 _.(_?n)_(___)'';_n_N ?_ (4;5) ' __-_ (-4;5) lo. (''_)_n_ __n_- N 33ì
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Lu mbrerasEd itoresÁ_geb,4 o_ERAt1o'__,,,._.,_/LA.F..oRmn'B,____cAocnRTES_m'''..._._._..._,x__ ..' ,' SeanlOSnÚmefOS__'a+bi __J_" C+di,,.,,xo.,,.,,,.,,,.,,,,,v,,,,,,,_'___^^'_ sedeFlnenlas siguientesoperaciones: _____^_o0 '''_______o_ '_ _____ _____?o' _ '__' __''' "'_ ''_'''' ''''_''' ''_'''''''_''''_' _'''_ ''''_'''' _'__''_ ''''_ _' __'0'__''d''0''' __'_'0'0_''_''dd'__' _''.'__'___'___0_dd_'_'_d.''___'__ 'd'D_DD__ ddDdD_, _',,:.._:_:_;__...___,_;_...;.,_,.'_,,'^___,__.'_,____._''_.._''__'''_'''_,0''._,^''_,'''__,._''_',._'',._^:,._ '''_'___ AdiCiÓ_den_mefOSCOm_le_O_sjrecordamosladenniciónrigurosade la__D__,,,0'_,, Dadoslosnúmeroscomplejos: __, _2 multipticación dedos complejoscomo par _D'''D__',''_,_ se_'ene___f + _?, _ (a+bi) + (c+di) ofdenado, tenemos: _,,_0:' _t _2 (a;b)(C;d) = (aC"bd; ad+bC) __''_,,'_D, a.d_''_'''i''^'''''''_'_"_''i''i^''i'_'_'__'_-''_'i_'_'_''__'_'-~_''"_i'''__'_^^"_'_'_'_''_''_'''''_'^_^i_'"^^"^^'_'_'_____ii_'_______'___,.?.,.y .,.y Io expresamosen formabinómica__D__o'_. __ |_''ii.2_t_2t.... a+Ct btd I _'_'i zz,, -_ (ac_bd) + (ad+bc)i __''_, _' ''____ a'-_'0'_'__0Do_"'_0"'__''____' _ -_ _"__'__d_'___ ' _' ___ __''D_______'__''____'v_ __' Llegamosal mismo resultado, esdecir ladeF_nici n __0_.__._. EJemplo:tesbuena._,,'"_,o,,'',_.S ean'''_'_'_''__ ____0'__'''"___0__0__0_0_____-______'__-'-'_-_''____'a-_'0____'_'__'_'__'__''__'_'__'_'_'_'_'_'______0_0__00'_0___o__'-___-'____'___0__'_d_0''__-__'__'_'_''_'_-'_'___'0_0__o______'_'___-____0'-__i__'_'_____-__'_00o00_0_0_'_'_0''_'_''__0___'_ _-_'_'___''' _t ' 3+6i _ Z2 ^- -4+7i EJemp_o_. ' Z_ + __2 (3- 4}+(6+7)i Realizaclasoperacionesindicadasy halla_: __ _ ' _2 _- ' l ' l3i _ _ ( l +i)( l +3i)(3"i) Resoluclón: sust,acción denumeroscomp_e_osCorno lamultiplicación denúmeroscomp_ejos Nost tieneIapropiedadasociativanointeresaet orden _I,_2 .. . en Clueseem_leCeamu tlp lcar loS faCtOreS._ ._ _ '_, a_Y_ 0 ' ' '''__ o' ' ''', 0 ' ' _ ' ' ' ' _ O'_ - ' _ : ' ' = _ ' ' _ i ' __ 0 ' ' _ 0.; ' _ ' 0' ' P ' ' ' ' ' ' ' __ ' ' ' ' ' ' _ _ ' ' _' ' ' _ _ i __ __ __ i _ O,._. ' ' _ ' _ ' ' ' ' ' ' _ ' ' ' _ ' _ ' _' ' ' ' _ ' '- i ' i ' ' ' ' '''__ _ i ''_.. Lue,o_,e t., '''_'"_0_^_'_'^'^'^"'P'"i__^_''-''-_''^'^_"'''o_a''''_"_''_''''''"''"^'''^'"^'^''""_'P_= (l+ i)(I+3i)(3-i) Ejemplo__ _ (_+_,) 3__,+g___31,_ _ _+__)(6+g__ Sean ?_=6+2i __ _J_"-3+7i v ___ -?2=?_ + (-_2} = (6+2i) + (3- 7i) _ _ 6+8j+ 6j+8j2 = -2+l4j 9-5i ... __ ___2+_4_. __ Z1_ _~2' 9 - 5i Divisi6ndenúmeroscomalejos MUIti_liCaCi_n_den_merOSCOm_Ie_OSseanlos númeroscomplejos___, __2pafaerectuar DadOS lOS nÚmerOS COm_lel05__t ?7_ __ setiene_?_ __2 _(a+_i)(c+di) ladiViSiÓn _ habrá4UemUltipIiCar a__ y___ _(ac+ad__ +bc__+bdl_2\ __ = (aC-bd) t (bC+ad _)i pOr _2COn lOCUal SeObtiene d.,,,,d.,....... .,, .,..p....,..,....p..,...p.,..o,.,.,,..,... .,.,,,,,,.,,...,,..,....,.......,. ,.,p.,..p,..,......,,,.,a,,,.,0_,...,,......0.,..,,.,...,, .._..,?_ = a+bi ,_2= c+di __ _'__,'''_,,,_(2_a_(aC_'_)+(bC_ad)i_''''.. C_'_)+(bC_ad)i_''''.. .i,_,..D?_a+bi (a+bi)(C_dj) '_'__o^_'_'''''_''_'''''i' "'_''_^'0'Dd_"-'i_'''"_''''' ''_'"'^^"^'^''"'"i'''i''''''i '''i_i'i""'^00^"''' '''''' ' _2 C+ di (Ct di) (C - di) EJemplo: - _(ac' bd! + (bc_ ad!! _.,_2___. c_+d2 _t- ,'2- _ ' _1?7_' (3 + 2i) (2 - 5i) = 6 - I5i + 4i + lO _?."i'___"_''''''' ''m_'''D^^_^^_^^^^_^^^^_''^_'__'_''''''_'''_''___"_^_^ ^_^^^^_''^_'__'_''''''_'''_''___"_^_^^_'"'^_'_"^'^'0^^_^'^' ^_'"'^_'_"^'^'0^^_^'^' -'____D__0'' __.a+i aC_bd' -ad'_''_ '._ =_.___i_ .__'_'__c+_c2+_2c_+d2 _iii''__ ue_o __ _,_= l6 - Ill 'i_'_,.,,, ' ' _ ,.,_,__g__,__ 338
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CAPITULOXll l Númeroscomp_e) _ EJemp-lol g+_5i 3+4i _36+77i 5+3i2+i l75 85 ectuar ?= 2-i 5_3i .'. _?__-+-i _esolución: 85 85 EnestecasopodemosordenarenformaE. conveniente,enlonces 1 _2N- EfeCtUarW= 7__5+3!__(l_3i)(i -3) 5-3i 2-i Efectuandoen el denominador,tenemos (5+3i)(5+3i) (2+i)(2+i) i i l_ _5 _ W=__-=_3l 5+3l 2_l 2+l ___3_3i2+gi 10i 10 16+30i 3+4i l --_ _' W_34 5 1o
___c_n c_6N' c_6N'_ .::::,:':..''_'''''__':_,.. Lapotenciaci ón en formabinóm icatieneResolución: muchaslimit aciones; porellose utiliza cuando EFectuandopor separado Iaspotenciasson peq ueas. ueas. _ + _l ( _ + l_ )2 2 __ -__=-_i ; l-i(l-i)(I+iJ2 EJemplo: _ li2Ji Efectuar -=_=-= _ _i ., 2 I+i (I+i)(l-i) 2 +iJ-=I+2i+i2i _4_ _+_2__2_2 i2_ _2i+i2_ 2i _q _2J___S _9 __ "l = +l - -l =- =l -l l-l= .'.W=O _4_ __ i4 Resultadosi mpo_an tes= tes= _a__ . __2__ _ E'emlo _3__ ' +i . 1_i3___2il i Reducir '____ . I_i4___ .5 _9 w___!l +=l l+i . . 1-i___. l-i I+i 1-i ' l+i
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Lu m b rerasEd i toresÁ 8ADlCA_Óy E__ '__'_ '_ x,; ___ '. ' __ ''- _' _' ;_ ' _ __n. En laformabinómica_s6lo estudiaremoslaEn FonnaanáIogaseobtiene raízcuadrada;enFormageneralloestudiaremos másadelan_e.2 __-X-t X +Y.. ... N_ 2 _EFlNIClÓN Laraízcuadradadeun número complejo_ Nos_N esun númerocomplejo wtal queW=_. En basealaraízcuadradadenúmerosx + x2+ y_ _ x+ x2_ v2 realesositivosrobaremosuelaraf2cuadradaa ' t ; b _ t ' ' 22 deun número cornplejosiempreexiste. uT_o_EMA_Pero2ab=y _Dadoze __ 3 we__tal que: _ _ _ entOnCeS_ SetendralOS__U_ente _ 0_0'___ _ccSl: 1>Oqa_,b tienenelmismosigno DemostF8ci6n; Si: y<0 q a_ b tienen signosdiferentes Dado:_=x+yi___O Debemoshallar: w= a+bi_tal queW= _ Por lo tanto Esta_ltimacondición plantealaigualdad _2__ x+ i __ EFectuandoyordenando el primer miembro: cyx x22 sn , x xa 2 i a2-b'+2abi_x+yi_W-__+_'2'+'(_)_'2_i5 lgualandolaspartesrealeseimaginariassetiene_ , , , j_ _b2 el sistema_ ab y donde(_) esel si no decc_1 Yen_apr;me_aecuac;_ 2aEJemplo: 2Halfar lafaízcuadradade6_gi a-_=X 2Resolució ._ JA_liCandOlaFÓrmUlaa_teriOF OqUeSeCOnVlefteena ' a--= _endopa,aa2se_,_ ' _, g. + 6+_62+82 -G+_62+8'- ._i + x2t 2' l''' ' l' a2 _--_- ' 2 pero a' >_o ; entoncessedebetomar = t(2_'_i) = +-_(2"i) 22 2___X+ Xt __ 2.'._6-__' _ t_(2-i) 34O
___E_0_0_0_________0__0__0__0_0_0___0_______op_0__po_40p_p_n0___0_0____0_0_0__0___0__0__0_0__0_00_o_0___00_____0_____0_0__0___p____00__0__0p0o__0_0_po0_y_____D___0_06___0_p0_00_00_0pap_0p_00__0_00____0000__o0_00_p_0_p0_0_____0____0_0_p____0___o_____p_p___fttt0___0_o__0__________o____0_____0_o__________________________________t__0________p_0____0_0____pp_o__0_0J___00_00____0__D_0_D0pp0____D_0__0____0________________0_______0_____________o_______________o_____o_____________p_00_o_0oo _____0o_0a___o0__0p__0_0___p__00__0___o0_o0__p_p_________0_o_oo____000op___p___________________________________________________________________pa__________2______t___________1________2__n__ff_____E____v___et_____l____c___e_f__x_s________f_____(______E_______z_____f)___)________E____f_(___ ______ )t_t 1_______0________________o0_______0_______ CAPITUlOXl ll N;me,o,compfe) mODUlOOVAlORABSOluT ODEUN''NMER_CaMP.L_.O' ''' ODE Dado ?=a+bi; el módulo ovalor absolutoiROi IEDADE5 de_ ' eSunnúmerorealno ne_ativoden otadoDeladeF_nicjo/ndemódulosedesprendetas otado por f__l;talquel zl =_ Si_UienteS PrOPiedadeS; Se an _?; Z_ ; __ _ _ entonces: _i_..,. EJe _g _' io.,.0.,,,_,,._,_- __ __'__'__'__-__' '__'_'_____0___d_____ __'0_'__'__'_ '__'____ '_'______'_________d___________ __._____._______. 0___00_'___0______."__0__0_B____0.____0'____0_o_______0__8_a_______' ____0_8__8__'_____ i____________.____ 0_____0_8_0__0______________00__0____0__8_______0_____________8_______8____0_______o_______T___0_0__0_-___0__ ,,0,..,o ti__._.___,_','_.: ,_. .,.... _.. ...i..,,..,...''. , 'l.2:..t 2.0; _..t._f__Q.__ __(o;oJ. _, b -.-----.----.-.-, (a;b)=a+bi _,_''i__.g,, __::;''.:__ .''''_.':''''':''::_ .''''_.':''''':''::_ _''':....... _''':....... . ...''''''''''.. __ î___. _.,_ .. _ _.,, !, _i.__,0__,_.___'_...':.::''.:._,.::_''':''..:::_..._.:.3.',___,_ __ __ _._, ,1__!,._000_.,,_,,,'__,, D..:....:; ;::;:..:..:__....':.... .''':;'.; ..'::...g.;.,. __ec2.)f__f2l:_'_ ,f':: '_':_m(5._)5_,___,, t, ;_0____'__,,,,'P,_,' ''.: .,':''_'' '.._''' ..5_:''.. ...''...l__2, tt.2l ._. l.__.1.1 l.Z_i.. .., ........ _o. _ ; ^___''0,__o___J2_'' . ' ___'_ !_,g;_'________'''''''''''''''''''.6.,__;'_''z2__.('0;_J__ ! _,_''_0^'o__D,' ' 22';_'' ._..._... . .. ' ''..__.'_::' '' ____oo, o aE_eRe_8oo^'_0_oo,,.., '';' '' '._. 0_^^_0, ___o_..'i__,'.,_... ' ''' .,,.1': ':.._z'n._,__?.l___ __ m.e''_'__:'_,_......... ............. ..... _,'_,: Geome/Lr_camen(e, el mo/dulonos______,_'' '__,,,^o_oo' ___a____.o,_,',_v__.. ,8, __ n_.:i'2,_E_...,,,_';",: ;''_.., m_ eN_ n22^'''_^^' __' _:____________'^___^_^_^__R_'^__^ __________'0___.______'o________'__a____o__a____._________0_'_,_0. cePcesenta lamaenil ud det cadio_______^'0'_',DD_a_e ,_'?_0___._'' 9__.2J''_'_2l _'...'fz' ,_'l:4l.z_2l ___ ,_?;,..'''__,: :_Q_''. ,:;''_;._;' '_.:__._''_,:_' vectordelcomPl eio _deori_en(O;O) _____'^_,'_______'__ _o' _.., __''z, & ''''''''''''' '''''''''''''''''''''ext,emor_n ale_ar_'ode_. ale_ar_'ode_.^_8,_.'0 _,,,,oo _,,,,oo__g_ _,0,0_0 _,0,0_0 o,,_''''' o,,_'''''''''''_''..'''.... ''^I:''"2' -l __?__ ,.. ^'_.,._,_ i '' i'_B_._._._._._,.,_,,., ,.,,.,9,o,_,,09.,_, ,..._.,_..,..,9__,,., ,.,_,.,_,_,_,,__,. 0_,.,,0,_,,, 09,,,,,,0,0,,,_,_, ,,,, ,,,,_,__,__,.,,9,,,09,9,0,,0 ,,9,,_,_,,0,,0,,,,,, ,,,_,,,,_,,,,_, ,v,,,,,, _,_.,_,0,,a.iW___a... .,o,o0.,_,oo.o, o.,o,..,.,, , ___s.__ _ Demostra remos8lguna sdelaspropiedades: IemßlO: Hallarlosmo/dulo sdelossigu_entescompleJos_.l'l'2f' _-('l'2)('l'2 sdelossigu_entescompleJos_. l. __ = 5 +4i =(_1 ??J)(_,.z_, ) _1_'tt2l_?,l2 2__2=l-i .td t t_ Ul an OeXpOnen eS Selene 3. ?3=_5 _ l'1?2l -' l'1 ll'2 5. __-=-3_4i 7. _^ = ?.?._. ....._ Resolución: _.__?,__ ____(Def.deexpanentenatural) Tomand omódu omódu lo1?'l lo1?'l= l_._._. .....?l, 2. l'_.l -- mI2+(-I)2__ u,ando_ap,op;ed,d5 3. l23_= _(_5j2+ o2 -_-5 l'^l = lN?l tzt lN?l ________ l?t ;nveces 4. ___q___o2+(_-6J2_6 ' N' _ __? 5. l5sl = _(_3j' + c-4_2 _ 59. _N?_+ _,_2= (_?_+_,)(___+ ?, )_z_ +_,)__ +?? ,) 2,z- 2 i_i.,.._. _N1 '_12+?2?1+?a _a:be_ _''_.'i_,.ii_.. ________,,,,_,__,,,'_',_, ,,_,,,'0,,_,^_,_, _,'__,_'^__^'___'______^ v_'____^^'_________'_'______________________',____,,' _0___,.._,_,.,,__i,g____o, z a% 1 z1 = 1al ___''?_o_'' _ __ __ ,.:_''_.,__,_._...,..:__..: ...;_.,'::_i .,.__,:.'_.._' _::,'':_ z__b; _lz1___b1 ___,_,,D_,,,Z_Z2+ZJ?2=2Re'1_2 __Re'_?2_?_?2
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LumbrerasEditoresÁ_geb Entonces I__ +_,l' _ I_l l'+2_e(__ ?,) + l_2l2 _ I__I2 + 2 I_, l l _, l + _?2 l2_ ( l?, l+l_?, l )2 2< _ + z_ . uitando exonenEesseti l 2 _ _l 2 , N1+2__ __ FoRmA_olnRo__Go Nom__GA0E uN.N_mE_ocom_. L_. o Sea_=a+biunnúmerocomplejodiferente_,_,_''ii_'P''''''''''g''''i'___i delnulo.'_''0''_0o,,0,,,,,_,,.0,,,,,,,,,,,,,,.,,.,,,,,,..,N...,,..d.d,.,..,...,,...,,,. ,,,,,_...,.d._'__ _decirl?l_O EJe___._0_-_, j Conociendoel afgumento prjncjpal de_ denoEadoporArg(z)podemosgeneraroLros =_+YI ., ---------------,CUyanOtaClOn eS ; ''',_'''_.__'_, a_l2) = Arg(?_) + 2kn_'____'''d?_ l2l ! ''''''''-'_'___,_._,_,_,_, _,_,_,,__,d_,,__0,,_,B8,_.__8,_,_.,_,,8,.,_D ,_.__8,_,_.,_,,8,.,_D,,,_.,,,,_,,_,__,_,.,_.,_,_.,.,_.,_.,_,_.,_.,_.,,,,.__,_,_,_,.___,____d__d'"''d' :, YK=O;+_1 _, _+2; +_3 _ ... 0_ _____,,i ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ß ' ' ' ' ' _ ' _ __ ' _ ' "' __ ' ' ' ' ' _ _ ' _ ' "_ ' ' ' ' ' ' ' ' ' _ t t > ''__^_^'_,'_,_D^'_,,_,____,__'____'____' __'i0'_a^____i._'_,_' ^''"i____'_'_____._,_.___o_,_o__o______0__',,.____,_g_.i__,,__.?__,,_._... _.i__,,__.?__,,_._... _a.__,_,.?._.._.__'0____",o' E_eReal____^_____,____.___'_' ':__=0i'___=____=_,__,___'_.__.a_,__a_____,___,._i,?_. _'___,,,.,, ,,,,,,.,_,, ,,,,,,,_.,,_,''''_,,_ioo; DelaF_gurax= l_?ICos0 ; y= f_lSen0_ A_ a, gum e, t o d e, AF g( ,) t em b., e/, se_ e__,___o,,, DondeTgg_. _Y., denominaamplitud._.. X _x+ _. __, cosg + ,sengl. 2. Elargumentoeselángulogenerado_relradio ''00 vector al girar en senlido antihorariodesdeel _., ...................................................,..,....,..................,...................,,....,,........d.,,,.....,,..,,.,,,,,,,,,,,.,,,.,..,. ,.........._...ejereal posilivo haciaun pun(ocualquieradel i_''__._.radiovector. i''_,ii..'__iii.. .'. _ = l zl (Cos0 + i Sen0) i_l.,iiii .,,..,..,..,.,.,..,,..,0...,...,,.....,,,0,0,.0.,0,0,,,0_,,,,0,,0,,0,,,0_,.,,0_.,,,,0,,,,,,,,,0_,,0,.,..,...,,,..,,...........,.....,...,.,........,.......,,...,.,....,...,........,.....,,.,...,..,,.,.,.. ,0o.0..0.,.,....0,0.0,...,.._d,,.,,,,,.0.,..0,..,,..,,,,,,,.,,.,0,,0,,,,,...,,,,..,,,,.,,,,.0,o,,,,,,,,,0,,.,....,......,,..,.o....,.,......,,...,,..,,,,,.o.,,.,,,,,.,o.......,,,,,,,,,,,,.,.,,.,,....,.,.,....,.......,,..,,.,,..._..,,. Ejemplol Eslarepresentaci6n _ngonomét_caopolar Y_ deun complejo_dondeal ángulo0 sele!'__ ._+i enOmlnaear_UmentOde_ denOtaOpOr lf------------------. Arg(_); esdecir :;.'!. =. Arg(_?)=0_!_2,_'; SeobseNaque0 puedetomar inf_nitosvalores; como ; g ;0 1= 0 ; 02 = 0 + 2_ ; 03= 0 + Q_ __________ _ -_-___ _________________________-_----------_ _---_-_--_________--_-_____-____ __ _ ___ _ > x paraevitar esteproblemaseda lasiguiente deFlnición: Hal_ar _aro'_a__ar o tn_gonome,t,__ 2_= l+i _guInento princip8l deun númerocompleJo Rg,o_u__6n.. Detodoslosvaloresde 0_ elegimosaquel _. >. ' Z_= O<_0<2n__adicho 0 sele denominaargumento _ _1 __ t _ o principal,cuyanotaciónes: l 342
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____________ _ _____ ______ _ ___________ _ ___________ _ ___________ _ ___________ _ ______________ _ ________ ____ ___ ____________ _ ___________ _ ________ _ __
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_____________|_________________ _ ______________ _ ___________ _ __________ _ _________________________ _ __________________________ _ ___________ _ _______________ _ _______________________ _ ______________
____________,____ _ ,__________ _ ______,___ _ ,_________ _ ___________ _ ___________ _ __________ _ __________ _ ___________ _ _________ _ ___ ____________ _ ______ _______________ _ __ _ ___ ______________________ _ ______________ _ _____________ _ __________ _ ____________ _ ______ ____________ _ ___________ _ _____ ________t___________0____________________________t_________________,______________________0__0_____________________________________________________________________________________,______________________________________o0_________________________________0_____0_____p_0____p0__000_p00____0_0t_00__0______0_00____0_0_0_0000_Q_0__Q0__0__Q ____,______________________________________o0_________________________________0_____0_____p_0____p0__000_p00____0_0t_00__0______0_00____0_0_0_0000_Q_0__Q0__0__Q0___n0_______0__00_0_______0o0__)___q___sp_________________________o_____0___p_______,000p_00_30__2p_)_3p_0__s00___D___0__0x_____ CAPITUlOXlllNúme,o,comple)o Luego z_ = l + i = _(cos45o+ isen45o) RePreSenlaF en (O_aPOlaF ?t = 4- 3i _em plo2 Seobse_aque0_ TV ,, lZtt = 5 'PP' T g 3 _l+vt3i,.._._.______._._j_3_-- --'0-; Lue_o __ = 4-3i = 5(Cos323^+iSen3230) ; 0 También sepuededefinir el ''D0_'0_. _o __^''____^__'__._,_,.__._:_,__,__'____,_,_,___,,__,_,_,,__,,__,_,____________,,__0__,____,,^'____,,0,,_,,_,,_,_,,_o_,'_,argumento prjncipalen etinte1valo'_. ..__..;__,d__,_m,___________;__'_..___ <-_;_I,esdecir___<0__;_rettono___'. - 1X' ' '''''''' ' ' '" ' ''"'''''~' debeser exlrano si consideramosen mosen _,. t algunosproblemas. _ Si 2= - l + _3i _ntoncesTEDR.EM_ lZl __2 D,doslosnu/me,oscom le_osno ,ul _g _ o z= 1zt (Cos0+iSen0) _-- __ _-- w= 1wt(Cosa+iSenK) Luegos eVerIrICan __ _ I + _i = 2(Cosl200+iSenI20o) l. zw= 1z l 1wl (Cos(0+a)+Sen(0+a)) 2_ __ 1zl (co,(g_a)_. ;sen(g_a) .' wlwl Paracalcularelargumentoprincipal_,__ de_ sedebeobsenJar en qué____a__ __8_,_^'__,,__,,,,,__,,_,,',,__,,'_,,, __,,,^__,_,^^_,,,,_0_'^_^'^^,,^^_^a0__^_'_a^'^_^^_^'^_^__,^'__,^^'_,,'___'__,__,_^_,,'_^^__,,^^'__,''_,,^^'__,^',,,^^',,^,_,^^__,_,_,'__'_,, ^___,_,__^'_,,^__,^^'_,,^^'__,_^_,_,^__,__,^'_'_,,_____,,__,^'0,,,,^^_,,^^'_,,,_^''_,,,0^'_,,,,^^'__,,^^'_,,,.cued,en_e seencuentre eleF_)ode __r,_,,DemOStraCiÓn ___^^__^_^_^^;^^_^^__^^,_:^?..,,,,__A__^:.____^_'____':_,^____^^_' ^_'yluego catculamosapactirde_D,_^_^'l._w =l_t._wt(cosg+isen8)(cosa+isena) b___,_,,_ a___,____,': = l?_ Iwf _(Cos0CosaSen0Sena) _________o__,____,_0________8,_______ _____,___0_____D_,_0!,,,____,0,,_00n,0n_,,0_,__,_0_,_,_,__._0_0,___n_0,0,_0,_0,0,_0,_,0,_0,0,0,_0,0,_0,0,_0,,,,,_,0__0,0,_0_,,,___,_,_,_0_,_,,,,,,_,0n__,0n0_8,,___0_,__,_,_,___0_0,,_0 _0,__8,,_,_n0_0,_,0,,_,_,_,,,0,__,__0,0,_,0,_0_0,_0,_0,_,,_,_,,0,_0_0_8,,__0o_0_,___,___,________ +i( Cos0 Sen a+S en0 Cosa) I EiemPlo3 = 1zl Iwl _Cos(0+a) + iSen(0+a)JY_ ,_,_,,,,..D2 ?_ !,_ ; Cos0+ i Sen0 !_ w_vv_ Cosa+j Sena '_,::: !__l (Cos0 +i Sen0)(Cosa_iSena) '_:;: 4 _, !.,w_, (Cosa+i Sena)(Cosa-iSena) ';;; 37o ; X :_; s!, ;,at (cos0cosa_ isenacos0 __ ! 1nr' cos2a+sen2 :!. ; ' i -3 ''?-- -- -- -- +--- - - + -N+ - - - - -! !; 4-3l isengcosa_ i _sengsena ''', + _a+ sen2 343
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LumbrerasEditoresÁ_geb
__'-_!'Z!!l(cos_cosa+sen8sena)Entonces2 s2= 2_(Cos5_/6+iSen5_/6) 'wl, ' + ;(sengco,a_,e,acosgJJTambiénlwl = _ ; Ar_(w) = _/4 Entoncesw= _(Cos_/4 + iSen_/4) __!!,_-fcos(gaJ+_.sen(gaJ Comonospidenelproductoyelcociente;de__ _w_, W_ hallafemOSlos_f_umentos: 5n+_ _l3._ 64 l2 O_C?USI Ó_''_'''''_ ____,__ _ 5_ _ 7_ __9_--___--_--_._______'_;____;__.,;;__-_''_:'__:_____-_--i_''_.Ar__ =-_- _^_^_'_^_'''_^'_"''''-'-'-''''''''''''''_^'''''_^"'-_-'''_'_____,_;''_.._i..w 64 l2 l. Paramulliplicar complejosenlaforma_lar seii_..iii'__. lue._o multipIicalosmódulosy sesumaIos_'_''_ ___^__I3M l3Tc __8_'___.w__ . OS_+le_ 0_0__.^''0o,..^',l2l2 ii'',__ l3n l3_ .. . iii_'',_2 CoS-+iSen.ParadIVldlf COm_lelOen larOrma_Iaf SR___i'_,,_.., dividenlosmóduIosse restaIosargumentos. _,_,,'__,^'_ ,__R____,._'_ ?2_ c1_. s7_ ar_=_ar_(_)_-arg(w)__!-N OS-+lenw_,._i'ii_W ''_00^^'0'''"^i'_''^'_''-'____^'''_'''_''_i'''_i'P'PP'''P'''P'i'P'''''''_i' ^''_''"i'P'''P'POP''P''''_'P"'''''''"'''''''''''''''''''''''''''''''P'"''''Pc7_. sen7Tc = OS_tl l2 12 Gr__j'camen_epara(I ); GrarlCandolosargumentosde_.wy = W Y__ _., !_ ?Y 1. jW Sn w E6 _Z 13_ l1 _/4 + a, .......-...-___....d _ _. _.__ ....._.._.....> iX _ .0 0 > _.w tX y_ JemPlO; ?;_; Dados_=_3+_i _ w_ l+i :!! ' 1TE zr 5 l2 alaf _.W_ - y fe_reSenlar _f ICamente. W Regoluc_o/ n; _ _0_ _/4 _.! X '1 f__ =5_/ 344
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CAPiTUlOXlllNúme,o,comple) EJempIo3: TEOÆ_(deDe. Mo.i__e) ' sea, _ , cosg+ __ Hallarelargumentodesuconjugada. _OSZZ _OSZZ OS+ISe_ ;zf _O___N; set)ene,_n-_ t_ l n(cos,g+ ;senng) ReSOlUCiÓn: .,..__,____,.Representando_geométricamente ,,.,,,...i_ie____ ___._..__8_'..Corolarto:i.. 8, ' arg(v_") =narg(_) _ ne_ !, - - - - - - - - - - - - - - - - -!_ .... ..,. ....,.. . ,,0,. ..,..,.,...., .....,.,,.,,,., ...,. ,dD,d.,,.D,0,.,.,.,,,,,..,,.,,..,,..,.D,,..,... .,.,....,. .,,..,.,.,..,,,,.,.,....,,...,..,.,.0......,.,.., ...,,,...,..,,,.,,,,...,,..,,,,,...,,........,,,,,.....,.0.,,,,.....,,....t! ; !!_ '!; _ag_, .3 .5 !E_ tl +l _- ; allaf el _CgUmentOde_ = _. _ ; 2i (_+,_)2;, Resolución:; 3( - !----------------- '_ Jl l+l _ af__ - af_ + ar_ 2i .2 tl arg(_?J-3arg(l+_i)-arg(2i)Delarl_uraa-2_'0_ Ar_(_)--2_-0 +5a,(__.,,_2a,+.,También_odemosconsiderar(0) Entoncesnrg(??)_0 )_0 __+5__2n_I7_EJ, 32 4 6I2R. _.3a_yo edUClr _= + l + - l l7_R___ ;, ar_?=_eS0UClOn: I2 _( +l=2COS600+ISen l-_i=2(Cos(-600)+iSen(-600)) JemPl02_ 2(cos6ool. DemostrarSen20=2Sen0Cos0 22 lUe_O OS20=COS-en Demos_aciónN. , ___n t ___ + __ _. __ sabemos33 m os333 3 (Cos0+iSen0_ )l = Cos20+iSen20 .... ,u _ _ _ _?=2COS30-+lSen30..... POf T. deDeMOlVfe33 Efectuandoenelpjmermiem_ro 72 . _ 3o _ _ _ COS- "Sen + Sen COS l = COS + ISen + 05 - - l _ en -- _3 3 30 coslon _)sen_on+ 230 cos_o_.. i _lmainariatenemos_ 2)O 2)O ag_se,2 Sen20 = 2Sen0Cos0 . , _ 23_ 345
_ __ _ _
_ _ __ __ __ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _
____nEREc0____0e__J____cr___0_0ec____o___p__e____n____0____s___o_p______a______c___0___o___r____0_____e___________n________________o________ __o_p______a______c___0___o___r____0_____e___________n________________o________ ___(_____e____c________o__c ____________(_o__s_______c__m_______________p____+_____p________________(______e_____________p0/__ _o_0___3____)_____________z__0____0____0_____________________)_______s_____________o________________,______0__0___e___0___po____p______/po________3____p0__0_p__p_0__)0____p_________p0o_00_p0__________e_p__p________m____8________________o______(_____________________)____0______________DD_0D___0_____________________________________ ___0___po____p______/po________3____p0__0_p__p_0__)0____p_________p0o_00_p0__________e_p__p________m____8________________o______(_____________________)____0______________DD_0D___0____________________________________________p_______________0________D____0____ _______p_______________0________D____0____ _LA __N_(t_)sc_e(_n(_()(_)N___2_)c_______ss____)t_0__mn_________pp__pto02___p_o___to_po_2_o00o_0____________(_)_2____0_0000________DD_0_0________0__D_______________________ lu mbrerasEditores _gebr FORmA_._MEyCIAL.DE,UN_ÚME_O.'COm'Pl_O--'''_._ __, ^0^____ _ ___^^_ __ _Resoluci6n ' ''__ '' ____ ___. . __ _EU_RpaF___mosexpresando en formapoler el compleJ_ __ __cosg ._ i Do,de..ee,l, b,,ede_ _og,,_,tmo ,epe,i,,o i = O+i = ( l) COS- + i Sen_0 argumentoenradianes_ i = (O_I) ,. __ _ _,,_2 O S-_le_-_e'' 22 ademostraciónlarealizaremosenel siguiente lomo; yaquetodavíano tenemosetementos+ _ /2 _, -2 i -- ; _osSeßldel --e'n e --e __ en,_ ntonCestenemoS unanuevafe_fesentaCl6n ' ' l paraelco_nplejo. .seng__,er8__,_,,__ _?,_i_ .'____ ,__:_de____'__,_e' __' ___' _'___ _'___g__'__9^'_ ,' _______ ,q___., ___ 0 ____, ,0_,_'_ ___ ,_ _ ___,_ D__DDv ,_ _ '_,io0 _,_, _ _ _',_, ' :_ ' _ - ___._.____/__ :__ _ ' _ 0 ^ 0: 0 : '_ _, =_, = _B, = _ P_ _'_,_ '__ _ ''_, '__ _ _ 0 __, _,' '__ _,_''_ _ ''_,, ' '_ _ _'_d__ _ ___; __ _- t?_e' __ _ _ _ _ _...__ _ _ _' ''_ . ___,,___:. EJ'empIoI Del teoremadeEuler setiene'_0__'0'_, IOcosg+_seng l '__^''_ epresenlar en rormaexponencial al complejo e _'''''''''''''''' '___'"' e'( ) Cos0- iSen0... (ll) _'___. _=4+4_3 i '''''''''''' __:._... Re_OlUCiÓn; Al sumar (I) v(II) seoblienee'0 + e'0 = 2Cos0 e_ _. in/3e__+e_0 _ _= 4+4l = OS_ +l en_= e dedondecosg = .. (4) _.' ,n/12 '_'', _. Z=8e' . _' feStaf - SeObtlene: _0 e_0 '_i'_,_ i_,Sen0_e.....(x_)''''__. .v,,,,g.__,_;_,,_.._0_,,,,,__7;,__,,,.0,_,,,__.0,80,0,..,_,,_,_,,__,,,_,__,,9,,_,,,_0,,,,,,e,,___,,_,,_,,,_,_,,_,,,,,_,,,,,_,,e,__,,oi,_,,,,,,_,_.o_..,,,,,_,,,D,,__, 2i_ _0'__. _R_____!.s__:_ ____''::''________'_____'__'_ _',,___ Si en dichasrórmulasreemplazamos0 _r _; _,_,'p ''''_'''''__'''''_'__'':Y_-__'_____,_''d,obtenemosalgomás general'''__': _-___U.oshellar'_'__,_...''_:_ Iarepresentaci6nexponencialdesuconjuga ci6nexponencialdesuconjugadosólo dosólo_'0' e'=_ e'N'8_' _'0 COS2= ; _j_ __Dd -mPla2anOPO,_-'',t''_,_,^',2____d_D __lzle'(07 '_,_^'''_,,,,^^^'__,,___D.D,^'', -em _o2e--e- _ __ ; __f _D sab_endoque_, -_x+yi 2 i _,DD^d Hallarel m6dulo yel argumentodee' ..........,..,... ,...,...0,...,,,,.,,,.........,,,,,,.,......,..,d.....0....,,,....,,..............0...,,...,,....,....,,.,.....,...,...0.0.,0..,a...,..,,..0,.,.,......,..,..,.,,..,,.,.,,..,..,..............,...........,...,..............,,,_,.....,,..,,0..,.,,,,..,0.,,00o0..,..,,..,,..,,o,......n..._,., Resoluci6n:REpR_E_Ac_o_ _ e^+'' = e". _' = e' (Cosy + i Seny) E,usadap,,, represent,, en F _'_le'l-- e~_Arg(e')--yabreviadaauncomple_oensurormapolar.Así ,., _,_i__ _= l?l (Cos0_+ iSen0) = __ l Cis0 _'_^____,0__'_,!_. ' _'_''0"_,0___!',_d','__, e' > O; _ x f _ __,9,i,_ '''^'' '''_''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''i'''''''''i_''^'''_''_'i''_''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '^^'' ''''i''^''''''''''''_'_P"^''''''''''''''''""''''''''''''''''''''''''''''EJemplos: E_emp_o3 51 = 2(Cos!20+iSenl20) = 2CisI2^ _2=2(Cos(0+2k_)+ iSen(0+2k_J) alculari';i--__2cl_ 346
,...,,_._D_._'_D
_________ ____ Númeroscompejos .. TEOREMADEDE_ONRE _ seae_ nu_me,ocom le_o., ._; _ ecO. 'N-i_ 1 secump1e: FormaexponenciaI: n_1_ 1_ein0 Formapolar: z"-, _1''(Cosn8 _iSenn0)_ Represent,c_ón c_s _ '' = ; _ l '' Cis(n0) _ Formafa8ori8l _.. '_ z^ = l, _ _n_t_ __ n _ _ Demos_aión: Lademostrac iónquedaacargodellector. Eje_plo Efectuar __ __(cosl3o+ 1'senl3o) 2_(cos67cJ_'sen67'' )1. 4_CosI6^ _ iSenl6CJECosl9_ _ iSenI9UJ Resoluc1ón: Representando fasorialmente __,_,!_!_:_ z-__=____J__ = __. !_ _ _ Luego _ cos45o + _.sen4,o __ __. 22 . ,__ _,. 22 347
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Lu mbrerasEd i tore_Á _N.,. '''____''' _''_ RAtcES _E iAu''''''N. _DAa^ o:. _n;: ' - '--_ , ' El problemadeobtener unaraí n_ésimadeEs decir W,+ J= W,..... y, _ o; t _ ; +_2 _ cualquier númeroreal o complejoseresuelve satisFactoriamenteconlateoríadenúmerosLuego lasraícesn -ésimasdis_j'n_asson complejos. O' l, 2_'''''_n- l Definición: Por ello cuando seresuelveun problemaderaíz Dados__- _ y n eN- ( _), se Ilamara_/2n- ésimaenéSlmaeS SUFlCientetOmaf lOS ValOreS de de2 aun número we _, tal _uewn = _ k = O_ l_ 2_ 3_ N__'_ (n' I) _______0_0______0____ __ __ _ _ __ _0___0______0 _ _ ____0__________ Ejemplo l '' T E OR_E. M A, .' Hallar lastresraícescúbicasde8i '___ _acato_oz_ _ y lodo n __ _ ( _) ; existen n _a_cesRe'OlUCiÓn' ,(n ésimas) _e_ Sea_ = 8i = O+ 8i -- 8Cis(_/2) ^_' ^^ _ _1T Demo,tr,,_o/n.. _ ,l/3__ 3g.c,t, _2__ 2c__, __ t4k_ se, _,__ __?_ e_u ____?1 (co,g+ _,seng) 36 Deseamo__ calcular DondeK= O_ I ; 2 w= l w_e'a= I w I (cosa+isena),tal quevM = ? 7C ESdecjr l _ ; _n= lS__ _t_l - tl 622 _lw!e'aJ^'!__e'0_!wl''e^a= !!?!_e'O '_o' +l Equivalentementes,. K, 2 c. /, 2 _ l - _Z_- lSTC= '-+-l = w!,'' (Cosna+ i Senna) _ l _ l (Cos0 + iSen0} _?,=-_+i Igualandopartesrealeimaginana Iw_'' _ l_ 1 /'\ _Cosna= Cos0,Senna= Sen0_ Si K=2 ; ?2 = 2Cis3_/2 _ 2(-j) = -2i Dedondeobtenemos_ __2 _ -2_ ___n _g+ _a__0l2kTC n.'.Lasraícescúbicasde 8i son ossiguien_e__ l LuegolasraEcesn-ésimasson esn-ésimassonvalores_+i;-__i_ -2i __. 0+2k_. 0+2k_ _;?a. OS_tl Sen nn Hallar lastresraícescúbicasdez= l +i n. 0+2k_ReSOl4Ci6n_ = ?lS_; n 2_I+i _ __ot, _l ; _2 ; _3 .,..... I_l -Estasraícesno sontodasdistintaspues wn _wo _ w,+_ = w, ..... wn+, _ w,, _ _ = I +i = _(Cos_/4 + i Sen_/4) 348
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CAPlTULOXIl l N;mero,-compte;
Luegola sraícescúbicasde_=l+ i son 6 _ _ _ -_t_l _+2kn -+2kTc2 2 3W K _ Cos_+ Sen 3 ' 3 P8ra- ' _ = COS l50+240^ + lSe_ l5' + par8 K=O_ --- _ (Cos255C+ j Sen2550 6 n.1T o= OS-+lenl2 l2_6l +l _. 22 --G_(CosI5^+iSenI5C) Porlotantolas3raícescúbicasson 6 l + ,.l --- 2 2_-!__+i-t_; 22 par8 K=l_ G_6 __ _. _ OS C+l O+le_O+ _ ' J_l_ 22 6 c_35o .s_35o Gl l . = OS +len _ +- l 22
RAícE5___CAS' DE_LR--u- y_DnD REn_ '___ _'' Seaelcamplejo _=l ,,,,, Comosedeseacalcularlaraíz cúbica;entonces_,_._,Cl..U..S.,?vON.;,, _____D _, loexpresamosenFormapol_r___''''''':''_' 'v_''''''''_''v '0'''_''''''''' '0'''_'''''''''''_ ' __,,''_ _=I= l+Oi=CosOO+ iSenOOLa_''__^d' '_, S FaICeS CUlCaS elaUnldadfeaSOn; '''_ Luegolaraízcúbicaes1_i,,__,_ l;--+-i;--- i _____' __ =Cos_+ __i Sen_+ _ 2 2 2 2 R__D'; 3 3 ___, cor_iugadr7s_. 2k_.s2kTc__' COS _ +l en _ l : 3 3 DOndesl asumlmos _r wal número _ - _ - i __ 22 _',__ DOndeK= 0 _ l ; 2 Lasraícescúbjcasdel son: l , w, ni esdecir ____;_ ParaK=0__:_ _o = CosOO+iSenOO= l l -__',_'aaa', Para:K=l:I_',,' 3 '-'-I VY '0_,^o0 -, 22 _-;_ 2_ 2_ l _I____J __,'' __ - COS- + lSe_- = -_ +- l ---_l --W ___O0 3 3 22 2_d. Para: K= 2: ;.' -- ' - ' ' - ' ' - -- - ' ' ' ' -- ' - ' '' ' ' - ' - ' ' ' ' ' ' ' - ' ' ' ' ' ' ' - ' - ' ' '' '' -- ' '' ' ' '- - ' - _. 0'__,_00 ,',' '; __;.;;'o___,_=;.;,0_g'','' ''0_''_'' _'__'.'_____0____,___,__,D_, ,,__._,,___,,,;,,, _;.,,,;'',_-_____- _-___-.___, 1_.l _3.N; ___ c4_.s4nl _.._'',_'_,_,;:;__ ''_ ''____:_'0_:i ___'2'-2l221 __'; __'-t^---:.''''''^^'''':._.._
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lu mbreras_d itoresÁ_gebia _NnR_RETnc_óNGEom___cA_^____^______^^^ /cescu/b,_casdela_ .. TEORE._MA. '' '__/, : unjdad tienen el mismo módulo; por lo tanto sus _osestar_nen e_ bordedeunac__fcunFefencl_a__ Losar_josdelas raícesn - ésimasdeun sdeun número ,o _,guaj al mo/ du_o En estecasoe_mo/ dwo __ complejo son los verticesdeun polígono regu- larde .. ' __,dnledos. eS IgUaaaUnl a_ ' se,,. , . , . z._ . ., . _a, n_,a/,,e, ' ' ol l l _t JI'''''t nl l i__i'__''__i..,(n-ésimasJde,. Y_W _2 i! __! _ __t,,,____! ' .t, '_ ......! __1 : ___'''''' '_a _. g'zo ' _x' ___.. _ ,_''''''-0'-> '''''-'''''-'''''____-____'''_'''''' ; _ l_ __ . ' 'Z_2 _._ l ,_ w2''__.....__,,,_'' En la_jguraseobse_aquelosaFjjosdeI;w;WDe_ re_r_coseobseNa. g _. _2_ sonlosvé_icesde un tnánguloequilátero.n Lueeoel _readel políeonoregular denladoses: __ 2 __ =_Sen-m n l. Sabemosquewesuna rajzcúbicade' __, Donde__esunadelasraíces(n-esimal)de_ e_ unidad; entoncessecumpleW= 1 '_ __/ ue_o podemOS aFlfmaf _le_ SeCUmPle_ n_n,n ,n _K_ __3K_ . ' NO __I -'2 - ''"'-_n-I -' II.?o+ ?_+ _2+ ..... + _n _ _- O Entonces 3K+r__wr, luego 3K+1___. w3K+2__w2 , i,_.. 2.Sisumamoslastresraícescúbicasl;w_W; úbicasl;w_W;Lesra_cesn-ésim_dela unided_ienen'_' tenemospropiedadesimportantesquemerecenespecial6_, __ 1 _ a!en?iÓn_ ',ni._,' = --_-l----l Sl Wt ;wSOn laS raíCeS n-éSlmaS delaUnldad_ ,__,i_' 222 2entoncesW,westambiénreí2ní2n-simadelaunidad simadelaunidad__-,,_''_. __ + _+ W = o en particuIar w; W; w3; ..... __i._ Son raicesensimas raicesensimas delaunidadi_____'. Si w' ' _ l sedicequeW ; esunaraj2prim tua dei_e_.''_.,, _o_u__ló_,' __,g_. Iaunidad. B'___Y' ',v_';.,.,,',,, -'.'':'__,_cos2n ._se,2_._,__'__ _. )_ - -l '_,_i '_k ; rF 2_'8_,, __i'__. I. W= l _''''_..''_, _islenolrasrajcesprimitivas; lescualesson __t; II.__"_ l ;Mk''=w; w3k+2=W''',_ c2__ s2___8_'_' __+_ '_' Wh=OS _len _ __ ' -__'__._.n nt,_._ IV. l +W+_= O__ii.'''..k
35O
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CAPITUlOXl ll N4_me,oscomp_el_
Ejemplolperosedeseacalcu_a,(',l/6)3 Lasraícescuadrada ssdelaunidad delaunidadrealsonl; -l_ donde-Iesraízprimitiva. _o3 __ ; __Y_ -_ Ejemplo2 LasraícescúbicasdelaunidadFeaTson__l;_ ; W3 3 __ - _S - ___I+_.w2_ I__,. 22' 22 Como seobsenra,serepitenlosvalores,los Dondewi_sonraícespjmi_ivas.cualesdebense,cons., 1/6 3 EJeInplo3 (par _eJ(ecrorJ' - _?- - ' Probarquei;-i sonlasraicescuartasprimitivas delaunidad real.b ,_ 2_ 2cl_soo_ ,3 _ g _ gcl_ Luego Eje_pIo4 Dado ____2_ hallar __3 t/___6gc__s_0-'t2k_ _/6 3 6 3 l/6 _ _ _ , kTc Resolución: 3 8. _=22(CisOO) _=2 2(CisOO) l _,_r,6c.OO+2k_ _ = ,s_6k=O; ?o= 6 c._ skTc 3 ' ' ' ' _ _ 1 _., - 1'l - - _ 6- 1NO6 l _ _2., _! _,_ arakl arakl ; ?_= -_-l ' '_- - 22 6 1 _ k=3; __=-_ afak=2__2=--_-i 22 l k=4 i __= "-__l 6 - 1'3 4 6_ ! _. l _ - 1?_- -- -l k=5 ; ?_= ---l ' 22 _, . ,__6_ 1 _,. ,/6., 2 2 '' _' ^ 351
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0 r0bICmaSQCSU_ltOS Pr0al_m81 ProDl_m_ _ Seael complejo _= l +i E(ecluar l2 . Resoluct6n: - _ _ ; eldatO_"-l+l__i Realizando lasen_enciasolici_adaI - -_ . __t2__1+il_l-_ l-i =_(I+iJ-l--_. __ __ _64 Resolución: Recordar l-i ___. /ssim__edel _i i 2 l+3__ N= _' dondei--(O_l) i-3 ,___----_-----;--____-_____._i - '__,,,----!----_-!-_-,.---------__;:.-_ i?,'_;!__-;'_--i--_"_'!!, ______^___'_'_^^_^_^^^'_0^____^_'____'__'' _oo (l+i)__2i ?, ;! ; ;l-; _ . _;!;_; _._ _ _ D,,,- - ' ,, , c, ,c ,q , ,, , _ ' ' ' , ;!, ;; _ '!, _; _ - ' ! _; + i,. _ '; _!,;!,; ;; '!; Enlaexpresi6nmultiplicandopor (i)al'_..:_______________;_-;_-;-_;-_;=;-_;--;__;_-_--___'' numeradorydenominadortenemos: x_ 3) . '. W= -- i t +l +ll lN=-=-=-= 2 l-3 l-3lPr_Qlgm85 Si kesun entero no negativo_calcular el valor simplir_ca_laexpresi6n _ (a'+ab_a)i--a-b-1.a+b, _ r_a'b ' I) i Resoluclón_. ReSOlUCiÓn: Dato_ _ _ + Agrupando lapartereal ylaparteimagina_a _.(a+_+_)Entonces I_i _l_i 2i _ k- .,2_,__ Sim_liric_n_otenemos_ _2 i j_ -l __(___)h+___ __ r__t Jh+1 __
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CAPITULOXl l l NumeroscompIejos Pr_alt___, _ 8 6 Proal_m88 Encontr arunvalordeCaIcularlosvatoresdex; _realesqueveriFlcan lasiguienteiguald ad ad decomplejos 5 xi __-4i .2 i-i+ _j+_.'__+3 Resoluc1ón: Re8olución: ' 5 E_ec_ando tenemos artimoscalcula ndo ndounvaloCde_ paraello xi)(X+3y = l +yl)(3x+4l _5 __ __ _un v,_o, de_5 __ N, uesApljcando tapr opjedad dist_butiva emás(l+i)_=2i;sustituyendoenla expresi6n m 3x_4y = O_"\ _+3_ = 4+_Jy ., .,__.,____ ___2_,,__ _ 3x_4y _ __4 De_=Qseobtienex= t2 Reemplaz andolosvaloresdexen(3x= 4yJse _-_ 2 - 2l-l+l) obt__ =__ =_-- _+i ' X= +-2 /' Y= +-3/2 .'. Unvalor es : l + i pr_a__mg g l+l a_. .A_ i 3 3i Hallarlosnúmeroscomp llejoszquesatisracen ejoszquesatisracen_2 a2 l+?__ 93i 9 l -_ dondei = _ _ calcular A' + l Resolu_ón: Reso_uc_6n.. Sea_= a+bi;feempIa2andOenlai_UaldadSeobse_alaunidadjmagjn ariaen ariaenel _+ a+ bidenominador ;por elloutili2amosIaequivalen cia cia =l t -a_bi __-_' ... ..... (_) t l l+a+bil ' l l-a_bil Entonces _ _(1_aja+b2= _(1 _aj2+(-bja_.,+_1 +_a., (._ _ (l+a)'+b2 = (l -a)2+b' A 82.a _ l+2a+a2 = l-2a+a2 --g --3 l '-g AQa=O_a=O uego _ = _+bi O+ bi = bi - a"3-I ._.._-__númeFoscomp_e_osquesa_isra cen censonA= __, oslosimaginariospuro sy syel nulo.
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LumbrerasEditoresÁ_gebra Efectuandoenelnumeradorb.Condicióndel problema _(a2g) 6__ - l A__=3i __'-,'NN'N 2_ _ ' .A_+l _3_l a+l _82Sl __-- _ __.Z_ Proal_m81_ con;_us,.o/ n. D.,,_acond,.c.,o, n seven. Hallar _ tal QUe__ zf _ demódulo i ual alaunidad. a. Seaconjugadocon su cuadrado b. SeaconJu_adOcon SuinverSap____gmg __ Re90lUCiÓn: Hallar el valor dewsj __' 2+2abi=___i _,,_W1 +_, W2 2_ b2 __ a_ 2ab__b _wl x _w2 ; w) , w2 _ _ Resolución: Pararesolver esteproblemaseplanteael De(II) seobtieneb--O_'' a__-- siguienteanálisis: Sea?, = a+bi __ z2= c+di Parab=Oen (I) _ ___+_, = (a+c) +(b+d)j a2_a_a(a__)=o_ a=o v a=I UegO_e(___+z2)_a+c__Re(__,)+_Re(__J) ___= O+O_ = OV _2= 1+ Ol = l _m(__,+_,) = b+d = _m(__)+_m(N_,) ---2enEnelproblema I_b,___l _ b,__3_ b_ +__ _w_ +w2 -- _w_ +w, ' w_+w, I+Oi__!+ z3_--+-i____=----l 22 2 2 Entonces _ExlStenCUatFOnUmerOS _e_ + Re_ = l;z
3=_- +_- j ; z4 _ -- _ - i . w_
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CAPITULOXlII
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Númeroscomp_e)
i_4 - __1. K_. iS_4 ImplllCaf 3 - . z._ 2 l 3i3_q. ,3 j_5n/q i7_4 3+j1=_N2--e= Z_ 2'i b)iaraellect of. ResoIuci6n: .,ade po_en,,., _enemo, Pr_l___ 1_ , Dete_ineaquelnúmer o''n''enteropositivo 3+i2' _3+i mu/_t_,p_odecuat, oqueven_F_c,_a._2 _ i 2- i __ + 2__2 + 3__3 + 4__q + + n__n _ 64 64N_ ._ J(2+_. J2 5+5_. 2quei = ( O; I) _ 2 2i ' . . ' _ - +l - Resoluci6n: -l + Delacondició n ... _?__ 2i j + 2_J+ 3_3 + 4iQ+ ..... + nin __ 64t ._; m N+2N_2+3_NJ+g_-9+ +n_Nn calcula__e(e'z^)mu_,,.p_,.,_,d òpo,.,'''- ''' '-' Si __ = COS_ + i Sen_ _ n_Z im= i'+2i3+3i9+4i'+-.. + nin'' ..... (lI) Resoluci6n: Porla(6rmuladeMoivreLueg o(l)_(ll) o(l)_(ll) Z"= CoSn_ + i Senn_ (l_ i)_n_ i + j2+ i3+ î4 ..... + jn _ _n+l Luego . n .(, _s_J.c__ 4 o O e'' = e' '^'"'' e""= e' %n "Como n_ 4 _e_nn_ ei_n_ ' . . -ni esenn_ c co + __sen cosn enemOS -l rn = 'nl ^ m = = OS Sn I_i .'. _e(e' z") _ e- 'em _ cos(cosn_) _ ] Reemp___doelvalo,de men _aco,d-,c,_ -nl _ __ _ _ , _ _ 2 PrOal_m81_I -i _ 1_ 3 _=_ia aF'Na__ _ni=64(2i)___=-l28 i b) (_3)''2.N. n_ 128 Resoluctón: a)Al complejo_lorepresentamo sen(onna_rgDl_mg sen(onna_rgDl_mg16 expone ncial_osnu/meToscomple_o s, s, ywti l_l= l_Ar_(__)=__argumentosqueva_a ndeOa 2_radianesy _,__ '__i__ademásven_jcanlasrelaciones ,, __/a+2k_ Iwl = l__l ; _+_ _ _ _ u = _ 1/2_e2 _ - are(z) - arg(w) = 5_/3 DondeK--Oil CalcularE=_m(_)+_e(w) 355
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LumbrerasEditoresÁlgebra Resolución:_,_n,___ Sea?= l_le'0 _ z= l_?le'' le'' ; _W- We Reemplazandoeni?= _, setiene_w_co, n +,.se,_ _ _+ _+ ( _- _ ),. __?_ei_ __ t?_ei0. _?_,o l2 l2Q4 _'_l0 __t1[/2 _ _ __ _ _0=__/42 4 4 Pro_l_m81l_ _Ha__a, el mayo, nu/ me,odedo, c;r,asque,e,; __ +_! ,_ _____,+_! ., ,____ Resolución: 4MpresándolaenFormapalar alasbases I .,_ cosn +.,senn _Z Pero0eI0_2_>_,.+lco,n+.,se,n _0=7_/42 2 3 3 .'.Arg(_)=7n/4 Luego calculamosel módulo de?apartir de -, Entonces l?l(e'0+ e''0)__ CO'-6 ''""-6 _''O' 3 ' 2 k^ ''""3 l_ t (cos0+ isen0+cos(_0) + isen (_0)) = _ cosn-_+ isen n-n_Cis-n + 2k_ l zl 2 Cos0 _ _ ; reemplazael valor de0 6 6 3 2l_,lcos(7_/4} = _ c._sn_c,.sn _2l_?t - __ _ lzl=1 2_ _ _ _+2___ _ ____ _. 22 .'. nm,yo,98 nm,yo,98 Entoncesseconcluyequel wl = l , yaque -_w_ProDl_m8 C_culo de_g dew: SabiendOqUe__ y Z_,fe_feSentan Un nÚmeFO Datoa,g(_,)_a,g(w)-_5_/3realyun imaginajopurorespectivamente_ donde a+b+2i _ . _a+(b+8)i _ m. - 4^3^_2 l a_b_3i ' 2 a_bi 356
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CAPlTULOXl ll Númeroscomplej os Calcular a_b donde Resolución: __.+ _ l-i_ Efectuan dotenemos_ dotenemos_ l_i_Delasigualdadessetiene a+b--(a-b)kfftf N___ (l)Re,o_u,_ 6,, 6,, _el3____.2...............(__)_= _ _ - "_2 ___l -i+-............. .(l +8) = am........... _, , l+i +- ............ (II) De(Il) k-2_ k -2_ __ M (l) (a+b) = ' -(a'b) _ ___z _ l En (l) ___-=l_i __2 _- l_i. ....(llIJ ab__5a,..... .... ....,. .(V) 1 _ _+,._ ____2- I _ _+,. a_b +g a' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (_E_)_. (_v) Z_ _ I- i _ __. _ , ____ .. _._ _2 l+ i _2 a_ _5a -5at8 a33_ 3o _o P____2_ 3 Si __; _,__3 son talesquesusaF_Jos(o_an un tn_ngu loequiláteroy loequiláteroy adem_sson lasraíces l a_ O_ _2 nOfeSUllaSef lma_lna rlO_UrO, , _ . ._. axO ri_l_m810 -- ,j+,j+ j Hallar el argumento p_ncipal del complejo _;
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lumbrerasEditoresA' Re8olución:y_ Como losaF_Josde ?_; _,_ ; _3 aI ser unidosrorman ! _, un ljánguloequilá_eroytienenel mismo Z1 unacircunFerenciaderadio igual al módulo, , , _ .n........ .,__ .-_-- -- .. ... ... .>i X COmOSelndlcaenla Fl_ura._ .r f z_ Y_ _j 2g _2 ;'_,.., _, ; ____., J -- - - -.-__. --._eaI__ elaCnefOe CUafaOeS C= -; X ; Por geomet_ael áreadel cuadrado _ 2t '', s2f 2_ 4 2 ; T_ T_ ^-__m _elaFlgurasededuce que z_ +_2+_3 = O (Vef laradiCaCiÓndeCOm_le_OS) ira0l8mg _1 22 2 si esunaFa_,2 se, t__ N_l +_2+ _3 = - _l_2 + "__73 +_2_3 real;calcularelvalordeM. ._ I m__ 6+ 19+ 22+ 30+ .....4g sumand 2 R_solución: Como _esla raízséptimadelaunidad entonces itODl_m8 21setieneue7 __ _. , _ HallaF el áreadel lí onoreular Fo_adoal _ 7_ __ unir losaF1josdelas ra_cescua_asdel complejo _(__ _ )(_6+_5+_4+_3+_a+_+ _J-_o _,_+___; _--_ Pero_rl Resolución: Seaz_; __ __3: _q lasraícescuartasde_; entonces q__6+_+2+3 _ +5_ __ __ ' _3 _ _q' __.._ a O Pero l___= _ + _ _l2 +_6+ I +_+_2+_3+_4+_' 4 ___ _-22_Z3=_q= 62 3 4 5 s_ S Ademáslosarljosde___ _, ; _J_ _9 seencuentran -O __ 4 enlaClfCUnefenClaeCenfO=; nf--._.M=-_5 358
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CAPITUlOX_II
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N4_meroecomple_.
P__l__81_ Pra6l_m825 Dado el complejo _ demódulo 2y argumento s_ e_ comple_o __ sedeF_necomo; 0_.Hallarel argumen topjncipal topjncipalde_-2. Resolución_ , ___Sena+ i_ _ i _Sena-i_ Setr'tadeun__ob_eme_eomé "ico__oce__o_o_sena_i_+ i_sena--__ "ico__oce__o ub_Camosen el _lano gausseano Ytal que_ f IC; hallar _e(__) Resolui6n: Z-2) Z - - - - - - - - - -- - - - - - - - - HacemoS _'' i _,___2 a_ _sena+ i__ a2_ sena+ i_ _'' _b __sena_ i_m b2 _ sena- i_ ,_ a_0 _ ' _ em_SOSa>_ena>i (-2;o) X a_bi (a-bi)2(a2- b2)-2abi eObSenraAf_(_ _2) _2)=0+aN7-_ __ atla+la-bl a2+b2 / TC' emaS a+=Tcta= 2peroa2_b2_2__.a2+ba _-0 0+_ _Af_?"2 --0+_= 22Regresand o alasvariablesoriginales .'. Arg(_-2J_ 2 , 2__2Sen2a+Cosaj 2Sena Proalem81_ siendo,__-SenatCOSai x=a+bSena y = aw+ bWE_ comp_e_.o, es__meg_.na,_. _=aW+bvv ; ab_O _ 2 2 ___e(_)=O Xty +2 aJCWaf_,Si = ab /n. P_Dl_m_26 De_as co,d;c_.ones Siendo_ un compleJo cuyoargumen_o es0 que _ __ a_+b_+2ab Verl FlCa __ _2W+b_VV9+2abW__ a2v7+b2vv+2ab ?2 ?2 _ 2 2 _ b2ww_ _ w= 't _ = l dOndeZ eS el co_jUgad Ode_ Ode_ 2=aW++a=a-W+-+a;_? Entonces i'+_+_2=a_(l+w+W)+ b2(l+w+W)+6abCalcularH--Tg0+ Ctg0 o o t __TC.__ m _+_+_'-_6ab6 2 . 2 + _ +, 2 6ab ie_o_ució ._. __ __--6' ab ab sea_,___?e_0__,__ _?ei8
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Lu m b rerasEd i toresÁ Reemplazando enlacondiciónReemplazando el valor de_ .g 2_,.g_ Z e,+ ?e _,_g _,_o ' w'- __t_l' "l' l_ 2e_e i40i40 ,p,es,ndo enform,po,a, w(+) _ l +___, (__+_,,) __ _l__,__ 22 OS + lSen40 + OS4_ l en4 = _2Cos40 I l OsQ0= !/2 w' _ _-"-l "I+ l = 22 = 600V40 = 0= l50\J0= 750 TCJC erO0 __-;62 HallarlaFormacartesianadelsi_uienlecomplejo Entoncesnosquedamoscon 0 = 750 OS l2'' + ISen I20 COS8_+ lSenYr Cos0Sen0 4 W"_Ue_O_ t_+ _ __+_= (Cos6^'+i Sen6') (Sen80'+jCos80''_) Sen0Cos0 Resolución: _senI2o_ proa_gmg 2J_ l _(Co580+i Sen8d) I ' '= _' '(Cas88^+i Sen880) O' OIl __ C' O _3i .ha_laF_____tal ue_?+w__ v?__ w_ sen8oo+ icos8oo=cosloo+ _ Resolución: l _ _ = l - l +__' l _ 2 lue_otenemos ___ . Il . _lI Ue_OenaCOnIClOn lsO. _568' _2 . Cisl36' 2w_'_'' ' _+wl = ; 2 w-- Cjs660. CjslO^' Cjs76^ (z+w)(_?+w) = Q (_,+w)(??_-w)_4 =32_.Cis60' EFectuando _.?+_.w+w.?+w.w=4 +w.w=4__3,__1+__,.___6l+ .l IN?l' + ?.w+w.?+ Iwl' = 4 2 2 _?.w_w.z+4_O ,_'1ultiplicandoporw5 _?__w_ a+w_v?_ 2+4w_, __o ., P__lt_819 p__o _ ?l ' = 1 w' l ' = 4SlmPl_fICar YFePreSentar FaSOnalmente __+zw+_-=OHl+Sen0+jCos0n = _ ; Vn?_,,___ .l +Sen0_ iCos0 'z+ l__lt l w___ __ 22 Ademásj _(o_,lJ 36O
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CAPITULOXlllNu_me,oscomp_e/_ Resolució l ución: n : __ w2 2 _ wy_ w_ _ ws __ w2 f_ _w7 Recordando ladivisión decomplejos; multj ljcamosdividimosor el co_u adodel -- W_ W_W_..__.__ denominador Agrupandoconvenientemente 1+ seng+ icosg l +seng+icosg ^ = W(' l) (w)(-v') ( I)(-w) l _Sen0_iCos0l +Sen0+jCos0 set_. (_w)(-w)(-w) ..... = (- wJn (3+Sen0)_+2il+Sen0Cos0+i2Cos20V H_ __seng 2_i2cos2gn VeC'' ._2Sen0(I +Sen0J_ 2i(1+Sen0)Cos0 ^ ._.A= (-wJn 2(l_Sen0) _Sen0 f - l PfO_l_m_31 = (Sen0 + iCos0)'' si wt +_ l ; esunaraízn- gsimade launidad, Tc_g '' calcular _ - C_i -0+_ Se_ -2_7 s__ n,+W+_5+.....+_'n l __cosn(n/2..$)+_senn(,/2_g)ReS0_UCiÓn_ __ 'l) l Multiplican_oporwobtenemos _Cisn-_-0s__ 2=_+W+W+'N___ Entonces ,TE :.H=ClS_-0(l+W)S=W+nr++W+....." 2_ +w)S= w(l+w+__+__J+.....+í'' ...+í'' I in p____mg3g(l+w)S=w -W Hallar el valor m_ssimple_e __ _ ?_ JtJ_5 66 88 _)__ t 'r___ Reempla2ando seobtieneS = O 2nparéntesis Adem_sw'=l Re,o_u,;ón..PrOal8m_J1 2M_feSaF CadaeCUaCi6nen léfminOS delaS +WtW_ coordenadascon_ugadas. 3k_cr --_a)_X+2y= 2b)__+ 7 2_ _ Resoluctón: 8) Sea_ = x+yi __ = x-yi eemplazando obtenemo5 __ l+_22_vv3J+WS l+ 6+W7 ?+_?_? ''' eOneX='_;Y_-_ 22i 2nparéntesis 361
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lu mbrerasEditoresÁfgebra Reemplazando en3x+2y = 5 completandocuadrados 3_N+_ +2__ _ _5 _eneSeobseNaquetenemosuna circunFerenciade - centroCo = (4;0) y radio r=3 i+2J?+ 3i_2 ?=l Oi z+??._-??Zoi'''''''__,._ eaX__;y___ ,'''_ 22i _j.3 f,,'' ''''... Reemplazando en_+y' = I6'.i q(q.;) . ;'_ ,_;_i. ' ...'_ 22i ,., ....., Simplir_candosetiene_._ ne_._= I6DelaF_uraseo_se_aue?eselcom_e. tienemayorargumentoenelprimercuadrante Otraforma: delacondición Factorizandoell^miembro (x+yi)(x-yi)=l6 .,__xy,.Praal_m8J_ _-Representargráflcamenteelconjuntodevalores Tendríamos?.?=l6 Pf_Dl_m833__,_2 '' Dado unafamiliadenúmeroscomplejosque Resolución -_ _,_+_5.Sea?=X+Yi Reemplazandoeneldato seleccionaraquelqueten_amayorargumento fincipal eindica, su módulo. Tal _ue_?se_x - 2 +yi encuentraenef pfimef cuadrante.Xt 2 +1i Resolución: _x 2+ _. < 3 x+2 + ._ t (x_2)2+ 2 <_3 (xt2)2+ 2 J_+ _5_ (x_2)' + y'' s 9l (x+2)''+y'' l Luego haciendo _= x-+yi ,J_+_5Efectuandooperacionesy compIetando X+1l-3-=X+)Jl i _t (X-3)'- + _I ~__'+y-'+ l5 __ __ .onesx+_+y2, _ _'+_i'-8x+7=O 362
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CAPiTUlOXl_l Nu_
GraFlcandosetieneDelaf_guraseobse_aque st 32__?__el_/3z__ _+-2+t=-2 '_-'l 3Nl in/3 ___'_,. Nl-3- '2-N3 .,__'' _Dividiendo_'embro amiembro _ ^2 Nl _^3 'l ''_?t'_322 5 o) J O--2__ .. '' EFectuando ,_i 2 + z2 _2 "' . _ I 2'3 -___2NIZ_ __ ___ 3 Pw_l___J_ Pra_l_m8J_ s,Nmp_,Nr,c, ,., s,b,,en,o m __g Dadosr_._& _a, R talquej= O_l;2_......;(n_l ) r_m i ,n_ l;(n1)g ,g 2Elllaa_ e _.NN__ren"J= Calcular __ _sen__ __ _sen_2n ,l (m _) sen2 m_1 n. E __a_e_n +a _' Iei(n l7tJ+,...+are_0+ m m m Re8oluci6n TenemosResol uctón _e_n0+ arIei(nl)0++a,elO+a_o. /, ar l '' n l eX_feSlO n eS eqUlVaen_ea Tomandoconjugado miembroa miembro: 2_ _3 _.m-1 aof e' ' 'alfn e' '_..'a,,._f' 'a,'O' ' ''' ' ' m-l _eln0+ a_ Iei(nI)0 + '''''' TCTCTC7T + ar el_+a__ Oen_Nen_Nen____ . enm - _ "' m m m m .'. E_O praa_gm 83g LUe_OSimPli FlCandOPOCPafteS si__;_,; _,___;_ep_esentanlosvéctice sdeun sdeunl)E" 'l^Um'F^dO'_ll"má_ d^leN d^leN t__nguIoequil_t ero.Probar _ueN ._m ___- m _ +__+___+ +__ - '' 'I N2 ^3-I_ 13N2N3 2ln^ Resoluc_ón _Comomesmúltiplode8;entonces _Z2 _ _ esmúl_iplode4. -^3 2 __a__ ____.^Q__m _._m _ 1n-l ln-l _ 3 2Jeneldenomi _a_ 23 D= Sen-n.Sen2__. .. Sen2(m _- IJ__ __ m m m
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LumbrerasEdi_oFesA' _gebra
Parae Ieclo pa_imosdela ecuación_r_Dlgmg _m- l = O_ cuyasraícesson Dados ._2n .__ - l- _2( f) 2 2 'elll _eln N...e '^ _m r _ f_+r2+ ff OS -
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_ero __ 10n _n _ _ ___n l+,m 2 N- N' ' ''''' Nr_Sen0( + r_Se_ n__+_n2+ ++_ ( _2n/m) 0__Arct__ - "''' _ - - _- - er_ Cos0_ _ r2 Cos0 1__m __e___r_n _..e_i(n_l)y'nJ si _,__l __ set_enei 03 3 _ i__Jm l_1Unt l_(m t71cJm - _- _.' - iO_ i0_ fle+r_eOmandOCOnlU_adO __ _ ei1._m _.1__/I_1 . _et_(n1l)_m ./ _ _ ._e__n/_n l _el4n/n) l _ei_(m l)__m _. ''' __ "r_e' ' rf(COS01+ iSen0f) Multiplicandomiembro amiembroi 0 2. m_ =2( l -CoS 2_/m).2( l-Cos4_/m) _2 = r__e = fj OS _7+ ISen 0__ ,,, 2(l -COS 2(m- IJ_/m) _ ___ + __, _ (r,cosg_ + r,cos0,) +i ( C f S en0_+ f7_ S en 0__) 2_mt - -COS 2_/m ' - OS4_/m Luego ... ( 1_Cos2(m - lJ_/mJ_) z( co c ), ( )? 1 +_2'_ f1OS _'f?v OS _. _+ f_ Sen01 'r__ Sen 0__ ^ __2___ 2s, 2sJ22 2 2 7 - . _ en_m. en- _m = f_ OS _+ f_f2 OS ( OS 2tf2 OS- 2t . 2_ Sen23_/m ... 2Sen_(m- I)_/m 2 2+ _ _l - t f 2e n , _ ___ rnl m I 2 2 __3 s2 _ Sim_ti FICa_dO en- _m...en rn- _m 22 = f_ +_2t Ff OsOS t e_ Sen Exlrayendo raízcuadraday ordenendo 22 _m. e_m. e__m... = f_+f2t f_f OS - ,,,........ .. a m e_(m'I)n/m_ e_(m'I)n/m_ EntoncesI_?f+_?2t=r3 m-l r_ Sen0_+ r2 Sen0 Il) ar_(__+_2) '' afCt_ _ D= _m r_Cos0_ + r2Cos0, _n I ^ af_ (_f+__ J= 03 i 0 _ i 0 i 03 m. De(l) y (ll) IenemOsf_e+ r2e2_ r3e In - IJ _ _ .___... J_- i i 03 J _o, eio__ I2
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' '0' fOblem_S_fO0UeStOS 1.EfectuaralgebraicaygráflcamenEelas5.Hallaralge_raicay gráF_camenteel operacionesindicadas.productoycocientede: l.(4+61')+(3_2i)I.(_2+2_i)(2_-2i) IT.(5--3i)-(-3+iJ__4_-4i lll'(-2t2i)_(-2--i)__i TV.(4_-3i)+(_6_9i) Dondei = _6. Hallar laspotenciasindicadasdelos númeroscomplejossiguientes; expresando losresultadosenformacartesiana. .Escribir lossiguientesnúmeroscomplejos en formapolar. _ 2(cos15o+__sen _5oJ6 I. 4+ 4i Tl._4(cos2oo+isen2oo)l_ 3Jo TI.3- i Ta_ _I __l_, ___._12_-12i 2 2 '_ v ._ i 7 H,lla, _odasla, ,,,/ce,.,nd., V_I2'5i representargrár_camente. nte. Vl._4i T. (Cosl 350+ iSen l 350) ''' 3. Escjbir losnúmeroscomplejossiguientes en laformacartesiana. lV. 2 _ 2 _ i _. _(Cos45o + iSen45oJ8. Calcular: Il. l2(Cosl350_ iSenI350) _ (_+2_. 6 III.4(Cosl800 + iSenl800) T_(2+_l)7+(2___)7 IV. 5_ !_ III.(l +2i)'- ( l _2i)' V. I8Cis(750) 9D,da_a,. (I +2i)x+ (3_5i)y I _3i, además(x,'y}L R 4. Efectuar lasoperacionesindicadas,Ha__a, __x_t e___t_ expresandolosresultadosen farma' binÓmlCa. A) x= l _, y=4 B)x_l ; y=4 I. _l6(Cosl50+iSenl50)IE2(Cos750c) 2(Cos750c) x_ 4 . y_ 5 +iSen750)llI'Il II.4Cisl30Cis(27)2Cis200D) x Il . Il aIa.5__.2_._ 4' 5 12(cos16o_isen_6o) E) x___4 . y__ 3(Cos440+iSen44')_2 (Cos62^+ i Sen62^) ] l l l l
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Lu m b rerasEd i to resÁ 'O' Si i--(O_l) _, s_ ___+__,. HaIIarelvalorde' lorde' 4 E __+ (a+b)(a+bvv) (a+ bw2 (x- l - i) (x_ l + i) (x+ I + i) (x+ l _ i) Hallar E -aw'+bw)(bw2+aw) n) oB) _ c) 2 aBa_bca+b ba_b Il. DadosN__ = (a;b) ; z, _ c+di donde D)a'_b3 E) a+b (a;b;c;d) _ _ ; adem_si = _. Averiguar _cu_lesdeben ser lascondicionesparaqueI_. Si _ = t (a_ Di) elcociente_'seaimaginajopuro?_quéesigual_'a"bi? _z A)a-Di B)a+Di C)-ß+ai A) bc= ad g) ac+bd _- o DJ_-ai E) t (- ß+ai) C)a+b=c+d D) ab __cd E) bd -_ acl6. Si X+Yi = (S+ti)^ i n _ _n {XiY;S;t)c_ (s'+ t ')" __nx_+ 2 l2.Calcularelvalorde_'; __l-2 donde''n'' esun enlero positivo. A7 l B) OCJn D)3E) 2 _n _2_n+_ D) _2i EJ2jn+l l1. Sl _ y 2' SOndOS nÚmefOS C0m_le_OS; u=__._'.Hallar: I3.EFectuando_?+_?_,+?_ -Ut_+U 22 --+-i j __,_ j 22 _'_^ JOl_ ---'-l 22 D) 2E) 8 seobtiene: l 8.Si como resultado dee€ectuar unacan_dad Flnitadeoperacionesracionales(osea _l Cl SUmaf,festar,mUltl_lICarydlvldlr)con los) I / -l E - nUmefOS X1 i X2 1 X3 _ _____ _ 2númerou. 366
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CAPITULOXIl Númeroscomplejos Calcular el _7alordeefectuar lasmismas A2 B1 operacionescon losnúmerosc onjugados2_ _; _ -,; j3 ; .....; x, D)-2 E) -Observación: û esopuesto deu 2 A) uB) ÛC) U 22. calcul,,un,,lo, de DJI_.u E) u.u' __(a+_)__.a_(a) . (_)___3 _utJ determinar ___ _(_) + __ 4(2) + ___(3) + + ___(n+12J A)_i B)i C) l_i YnF_N +i A) n+ 7+i B) n+ 7_2i C) n+5_2i 23. Si lN?+wl = l__wl n+6+2i E)rl+8-2l __ ; wec; hallar _e(_w 20. Evaluar __ i + 2i2 + 5i' + 8i' + ..... + (3n_- l ) i"' A) I B) O C)' l JD) 2E)_2 siendoi = (0;l) /'\ n= 4 2_. Si w_ Iesunan __ raí__de launidad, calcular A) -(n+l)i _, _uma I - n-l l 2 __ . (w_l)2 2 _B) n w_ D) -_3n+ (2 _3n)j] 2n( l +w) 2 2n+n_(_l -n7) E) -c(-3__+ (3n"2) i;! (1_w)'_ D) _=Cosl20-iSenl20 _dem ,___+ I E)
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lu m brerasEdi toresÁ 25. ii w_ l esunaraízn _ésimaprimitivadela28. Sea?e _ tal quecumple unid_dyh.N_coprimoconn;calcular ular__?+_?o!,__a,.do_,de;_,o-_(a,.a).,a ,_-_+. __ + ___+ w____ + vv3)_ + + w(2_ _)h ''''' Calcular el argumentode_ cuyadistancia alarectavertical quepasaporx= -_3asea A) I B) o c)__míni r_h h+ I 33 B) 37 26. Determinar si esralsoo verdaderolas2 2 siguientesproposicionesrespectoal númerocomplejo: 127 O__3 O 5+_i 22 ___3e_,/Je_J 29. Siendo ayß dosraícescúl}icasde(- i)_ _, _- ( l - _)Y( I ' _)''' calcular el valor dela expresi_n 4ni+aI_:_+i+2:3_+a_:3___ II.Su argumentoprincipal es- L -_ 3a_ß-'-i IlI. Su argument_ es7_/l2 Ademása, ßson diferentesdei IV. Suargumento esl6_/3 A1 l B- C' 2 A) F_7FF B) vvFF cJFEVv D)vwv E)FFFv D)-i E) - -i 2 27. El módulodel cuadrado del producto deun númerocomplejo _ por su conjugadaes30.DadOun compleJo ?; tal que igual al 6y éstevalor coincidecon el radio iRe(_) x Im(_) _, Arg(N_) F k_/2 ; k c_:' Z. delacircun(erenciacon centroen el calcular e_ Fesu_tado dee(ect origen,sabiendoqueunade susraícesde ; + ,_ orden CuatrodeunnúmerocomplejOw SeN_ ! encuentrasobfeéstaademásunadesus 2 tl,?_ raícestienecomo argumentoel valor de _/12radianes.IndicafetvalorprincipaldeSablendOqUeeSUnnÚmefOlma_lnarlO laFaízdeorden 3dedichonúmeroßUrO_ complejow. A) i B)_i C) 2 3B3. 3 D)-2E)AóB ClS1T/ c) 3_ cis_/63l. Reducir el si_uientenúmero compleJo; _+i___i_ -3 3 3-_Ei__s_^_-_i-<-a<-_i _i 368
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CAPITULOXll _umg,o,; comple_ 2aB2aca Calcularv! 333 4aE) 4a_ __ i- i Al B Sen- C) COSnt n D)np E) 2 32. Hallar el argumentodel complejo Z=iV . DadO siendo"w''unaraízcúbicanorealdela _dad ( ) x+i NX+Yl=__(X_y)c 1 -yi _ B3n cn - - - SenalarUnValOrde 2_4 Ademási_=_l 3n - En 2 A) i BJ_ l C) O __ E 3i 33.Unadelasraícesdeorden4deunnúmero complejodemód ulol6; ulol6; tieneargumen to .ua_a7, /12_nd._ca,_ara_,z37.Determ inarlagrár_cade correspo ndienteal ndientealmayorargu mentoH= mentoH={ze _/l iRe(5)+lm(zJl_ 2_ ßOSitiVO_O<_arg(_?)<_n/2} A) 2cis( I9n/l2)BJ2cis (3_/2J c) 2cis(13n/2) A) YB) Y D) 2cis(17_/l2JE) Qcis(3_/ 2) 2 2 34.Detodosloscomplejos''_'' quecumplan : 2x2x t ?+3 l _2; O< arg(2) <2_ Seleccionar el quet engamayor y menor C) Y argume ntoydar comorespuestalasuma2 desuspartesimaginaria s. s. AJ4B)OC)_22x D)2E) -4D) y E) y 2 -35. Si P ___+n_._. .',x 2x k_ n
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lu mbrerasEd itores
38' Dete_ i n a r l a v e r d da o F a l s e d a d d e l a s q 2 . S i m p I i n 1 c a r siguientesa F_rmaciones: (Cos0_; Sen0_)(Cos02;Sen0 2J....(Cos0_,;Sen0 n J l. ___O;__ _l_larg(_)1_ co s( __ _+ + _ ). sen ( _ _ 8 _ + g ) _ !__I ' 2 '''' "' ' ' ''' " _ lI _?+7.2+l??2_2(1_!2+_? 2) A)o BJ_ c)_ _ ' Nl _i '_l _ - _l___ _ ?,; _2 ?_ D) Cos"0n + Sen^0ni E) i EII. i,e_'l = l _x_ R_3' Dados: pm ? __ Reducir2 m ' c_ gl p_ it I A)F_ B)_ C)V_ e. _ D)NVE)wF P' 39. Un númerocomplejo ysu conjugado son talesque_ ._ + 2__ l2 + Qi D) m E) _ ?f -;7c. aCUaC! ___ 2 Q4. Sj m e_8,,L_''' _ _ m > _ 2, hal l _ 2,, _ ,2 A) 2_ B) 4_ c) 2 _ iCt__. t__'Ct__,_ _Ct__ m2m2m2m D) 3_ EJ3_ _o. lnd_care_luga,geometr;,opa,,A) 28J-2 C) l _, ; ?, ; _?f_talque: D)'l E) O _'__ 4_. DemOStraf af_ = '2__1 l. Re(_ ,_2) =Re(_ _ )Re(__2) __m(_,}_m(_?2) A) esunac i FcunferenciaII_ _m(_ __2) = &e(Z _ }Im (Z __) +_m ( Z _) Re ( _ _ _.) B) esunaelipse tal que_ _; _ _ J_- _ C) esunahipérbole D) esunarecta / '' l 2,i ?_ . t aq Ue _ Z J+ _ 7 7 _ _ ?1"_ _. t _l. si loscom l_os__,_ __ ,__?N, __ son lasentOnCeS : verticesdel cuadriláteroABCD. Dicho cuad_láteroes un paralelogr_mosi: A) (z, /___) esu n i m ag i na B) Z_'_2 RS Un ima_inarlO_uro A)?_ +_2+_,+_4 =O__. _ ?+ _ _?? __S'_?2 e' 'OmP RJO _I N2_3 N_ 2 +,2 +,2 +,2o _TE _t N'l _3__= m D) __, - _2 _ _3+ ___ o 2 3 _3+T3+ 3 ^t '_ _ i- E) Av D 37O
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