Gobierno del Estado de México Secretaría de Educación Cultura y Bienestar Social Subsecretaría de Educación Media Superior y Superior Dirección General de Educación Media Superior
Escuelas Preparatorias Oficiales del Estado de México
PNA – EPO216
Material reproducido para fines académicos, prohibida su reproducción sin la autorización de los titulares de los derechos. Art. 148 de la Ley Federal de Derechos de Autor.
Directorio
Lic. Arturo Montiel Rojas Gobernador Constitucional del Estado de México Ing. Alberto Curi Naime Secretario de Educación, Cultura y Bienestar Social Ing. Agustín Gasca Pliego Subsecretario de Educación Media Superior y Superior Profra. Martha Martínez Díaz Directora General de Educación Media Superior Mtro. Marco Antonio Trujillo Martínez Subdirector de Bachillerato General
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SBG PNA – EPO216
PRESENTACIÓN
¡Joven estudiante! La Subdirección de Bachillerato General tiene a bien dirigirse a ti, para hacerte saber que una de sus mayores preocupaciones estriba en ofrecerte con calidad el servicio educativo que recibes en las Escuelas Preparatorias Oficiales, con fundamento en las políticas emanadas del Gobierno del Estado de México. Por ello, el documento que tienes en tus manos representa el cumplimiento a uno de los grandes compromisos establecidos a través del Plan Maestro al inicio del período de mi gestión y que a la letra dice: “Renovar los enfoques pedagógicos en el diseño de los métodos de enseñanza y los contenidos propios del nivel”. Así, la “Antología” o “Cuaderno de Trabajo” que tienes en tus manos es producto de la colaboración de los catedráticos del nivel y de asesores expertos que, sumando esfuerzos, hoy consolidan para ti este trabajo. ¡La tarea no fue fácil!, sobre todo si se toma en cuenta el dinamismo de la ciencia y la tecnología y el pronto desfase de los conocimientos; pero el propósito no es sustituir la bibliografía especializada, las fuentes de consulta de primera mano, ni las contribuciones que los mismos profesores, compañeros tuyos o especialistas día a día incorporan en las sesiones de clase, en los eventos académicos y en la vida misma. Esta aportación es un apoyo sistemático de información de acuerdo a los temas del programa de estudio de la materia de Álgebra I; por lo cual, puedes considerarlo un pilar en el desempeño diario de tu formación. Esperando que aproveches el contenido al máximo, te deseo éxito en tu vida de estudiante.
Cordialmente Mtro. Marco Antonio Trujillo Martínez Subdirector de Bachillerato General
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Integración de materiales y elaboración.
Zona Escolar No. 03 de Bachillerato General
Compilador:
Profr. Rubén Torres Solar (Coordinador General)
Capturistas: Srita. Juana Ruíz Cecera Srita. Ana Laura Néstor Reyes Srita. Juana Reyes Becerril
La Antología de Álgebra I se edita por la Subdirección de Bachillerato General perteneciente a la Dirección General de Educación Media Superior de la SECyBS, en el mes de junio de 2003 en las oficinas centrales de la misma dependencia.
El desarrollo de esta actividad estuvo a cargo del Mtro. Marco Antonio Trujillo Martínez. La edición consta de 250 discos compactos.
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I N T R O D U C C I Ó N
Aunque no existe evidencia real del origen de las Matemáticas, gracias al papiro de Rhind, se sabe que fueron los sacerdotes egipcios (Ahmes, 1700 a.c. ) quienes comenzaron a estructurar esta ciencia como tal. Lo cierto es que ahora el Álgebra (generalización de la Aritmética) se ha convertido en una herramienta indispensable para el estudio de las Matemáticas en el Nivel Medio Superior. Debido a la anterior surge esta obra la cual pretende ser el camino rector en el curso de Álgebra I, sin embargo, al lector le corresponde abordar los temas con la profundidad que su medio y sus necesidades le exijan. La Unidad I aborda fundamentalmente el estudio de los números reales porque son los que el alumno debe operar en todo el curso, también se cita al conjunto de los números complejos y a pesar de que se abordan las operaciones de suma, resta, multiplicación y división con este conjunto, sólo se hace para que el estudiante globalice el campo actual de los números. En la Unidad II se inicia básicamente el estudio del Álgebra, en ésta se plasman los elementos, leyes VIIy principios que deben regir a tan importante rama de las Matemáticas ya que para su estudio requiere de símbolos especiales. La Unidad III marca la operatividad del lenguaje algebraico, en ella se abordan las operaciones y simplificación de algoritmos para expresar situaciones algebraicas con mayor facilidad. Es importante entender que el aprendizaje actual de las Matemáticas esta basado en problemas, por eso en las tres unidades se incluyen cuestionamientos para que al resolverlos, el lector aplique sus conocimientos.
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Con el propósito de que el estudiante compare sus resultados y adquiera confianza en si mismo, al final se anexa la solución de ejercicios (sólo reactivos pares), también se presenta una lista de símbolos matemáticos la cual el lector deberá enriquecer conforme avance en su formación preuniversitaria.
Haz lo que las tortugas, camina firmemente y siempre hacia
¡ADELANTE!
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T
E
M
A
R
I
Introducción
O
-------------
VII
a).- Nociones preliminares b).- Números naturales c).- Números enteros d).- Números racionales e).- Números irracionales f).- Operaciones y problemas
-------------------------------------------------------------------------
2 4 7 12 24 28
B).- Números complejos
-------------
34
a).- Forma rectangular de un complejo b).- Operaciones con números complejos
-------------------------
35 36
UNIDAD II EXPRESIONES ALGEBRAICAS
-------------
41
-------------------------
42 43
-------------------------------------------------
45 48 49 51
-------------
52
UNIDAD I
NÚMEROS REALES
A).- Números reales
A).- Introducción al lenguaje algebraico a).- Constantes, variables y exponentes b).- Lenguaje común y lenguaje algebraico
B).- Expresiones algebraicas a).- Término algebraico y sus partes b).- Clasificación de expresiones algebraicas c).- Grado de una expresión algebraica d).- Valor numérico
C).- Leyes de los exponentes (enteros y racionales) 7
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a).- Exponentes enteros y su operatividad b).- Exponentes racionales y su operatividad
-------------------------
53 59
A).- Operaciones algebraicas
-------------
64
a).- Términos semejantes b).- Adición y sustracción de polinomios c).- Multiplicación de polinomios d).- División de polinomios Polinomio entre monomio Polinomio entre polinomio
-------------------------------------------------------------------------
65 67 70 72 72 74
B).- Productos notables
-------------
80
a).- Binomio al cuadrado b).- Binomios conjugados c).- Binomio con término común d).- Binomio al cubo
-------------------------------------------------
81 82 83 84
a).- Factor común b).- Factorización de una diferencia de cuadrados c).- Factorización de un trinomio cuadrado perfecto d).- Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c e).- Factorización por agrupamiento f).- Factorización de un polinomio cubo perfecto g).- Factorización de un polinomio de la forma x3± y3
-------------------------------------------------------------------------------------
89 90 91 93 96 97 98
D).- Racionalización
- - - - - - - - - - - - - 103
UNIDAD III OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
C).- Factorización
- - - - - - - - - - - - - 106
E).- Expresiones algebraicas racionales a).- Operaciones con expresiones algebraicas racionales 8
- - - - - - - - - - - - - 107
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b).- Simplificación de expresiones algebraicas racionales
- - - - - - - - - - - - - 112
Respuestas a los reactivos pares
- - - - - - - - - - - - - 115
Glosario
- - - - - - - - - - - - - 125
Bibliografía
- - - - - - - - - - - - - 126
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UNIDAD
NÚMEROS
I
REALES
Objetivo:
Comprender el significado, notación y propiedades reales para aplicarlos en la resolución de problemas.
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de los números
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A).- Números reales a).- Nociones preliminares Conjunto Un conjunto es relacionar o agrupar en un todo los objetos distintos de nuestra intuición o pensamiento (Cantor)1. Ejemplos: El conjunto de asignaturas del primer semestre en preparatoria. El conjunto de los dedos de la mano. El conjunto de números dígitos primos.
Notación Generalmente y por comodidad, los conjuntos se presentan con letras mayúsculas (A,B,C,...Z). Sus elementos se limitan por llaves ó corchetes y se encuentran separados por comas. Cuando en un conjunto enlistamos todos sus elementos se dice que está representado por extensión ; si por el contrario sólo expresamos las características de sus elementos , se dice que esta representado por comprensión, entonces los ejemplos anteriores quedarían así: Por extensión A= Álgebra I, Métodos, Técnicas de Investigación I, Taller de Lectura y Redacción, Antropología, Etimologías, Lógica, computación.
B=
Pulgar, índice, medio, anular, meñique
C= 2,3,5,7 Por comprensión A=
x/x es asignatura del primer semestre de preparatoria
B=
x/x es un dedo de la mano
C=
x/x es número dígito primo
1
Álgebra para Preuniversitarios, Pág. 10
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Subconjunto
Se dice que un conjunto A es subconjunto de otro B, si todo elemento de A es también de B y se denota así: A B Ejemplo: R= recámara, cocina, baño S= recámara, cocina, baño, sala, comedor T=
recámara, cocina, alberca R S
T S
;
Debido a que en matemáticas necesariamente se hace uso de los números, se ha establecido de manera universal una nomenclatura para identificar los distintos conjuntos existentes hasta ahora, entonces: N E Q I R
representa al conjunto de los números naturales o Z representa al conjunto de los números enteros representa al conjunto de los números racionales representa al conjunto de los números irracionales representa al conjunto de los números reales
Ejercicio
Todos son subconjuntos de los números reales
1
a) Enlista cinco conjuntos por comprensión y cinco por extensión (pueden ser los mismos) Por comprensión 1)_______________________________________________________ 2)_______________________________________________________ 3)_______________________________________________________ 4)_______________________________________________________ 5)_______________________________________________________ Por extensión 1)_______________________________________________________ 2)_______________________________________________________ 3)_______________________________________________________ 4)_______________________________________________________ 5)_______________________________________________________
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b) Dados los conjuntos K=
x/x es número dígito
L= 1,3,5,7,9 M= 2,4,6,8,0 N=
0,4,8
P=
3,6,9,0
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas y explica por qué? 1) L K______________________________________________________ 2) M K______________________________________________________ 3) N L______________________________________________________ 4) P K______________________________________________________ 5) P L______________________________________________________ 6) N M______________________________________________________ 7) N K______________________________________________________ 8) K P______________________________________________________ 9) M P______________________________________________________ 10) L N______________________________________________________ b).- Números naturales
Es un conjunto creado por el hombre debido a su necesidad de contar, sus elementos son:
N= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,... En la recta numérica se representan así:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
13
10
11
12
...
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Sus características son:
Es infinito Todo número natural tiene un sucesor Todo número natural (excepto el cero) tiene un antecesor Todos sus elementos (excepto el cero) son positivos Solo permite las operaciones de suma y multiplicación
Suma o adición con N
Se define como el hecho de agrupar o asociar varios enteros aritméticos o algebraicos, su símbolo es (+) ejemplo: 325 + 897 1222
Sumandos Suma o total
Multiplicación con N
Se define como una suma abreviada en donde todos los sumandos son iguales, sus símbolos son x, ۰ , ( ), . ejemplo: 398 67 2786 2388 26666
Factores
x
Producto
Propiedades de los números naturales.
i) Cerradura.- Sean m y n dos números naturales, si se suman ó se multiplican, el resultado necesariamente será otro número natural. m + n = número natural ó m.n = número natural.
Ejemplos: 14
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suma 5 + 11 = 16 9 + 37 = 46
multiplicación (5) (11) = 55 (9) (37) = 333
ii) Conmutativa.- Sean m y n dos números naturales, si se suman o se multiplican, “el orden de los sumandos o factores no altera la suma o el producto, respectivamente”. m+n=n+m
ó
m.n = n.m
Ejemplos: suma
multiplicación
12 + 11 = 11 + 12 10 + 15 = 15 + 10
(12) (11) = (11) (12) (10) (15) = (15) (10)
iii) Asociativa.- sean m, n, q, tres números naturales, se pueden agrupar los sumandos o los factores (según sea el caso) en la forma que más convenga, sin que se altere la suma o el producto, respectivamente. (m+n) + q = m + (n+q)
(m.n) q = m (n.q)
Ejemplos: suma
multiplicación
(6 + 3) + 4 = 6 + (3 + 4)
[(6) (3)] 4 = 6 [(3) (4)]
9 + 4=6+7
(18) (4) = 6 (12)
i.i.i.i) Identidad.- Todo número natural sumado con cero “0” , da como resultado el mismo número, entonces m + 0 = m. Todo número natural multiplicado por uno “1” da como resultado el mismo número, entonces (m) (1) = m Ejemplos: El “0” es el neutro aditivo y el “l” es el suma multiplicación neutro multiplicativo 8+0=8 239 + 0 = 239
(14) (1) = 14 (637) (1) = 637
i.i.i.i.i) Distributiva.- El resultado que se obtiene de multiplicar la suma de dos o más números por un mismo factor, es igual al resultado que se obtiene de multiplicar el 15
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factor por cada sumando y sumar después los productos parciales que resulten de cada multiplicación, esto es: m(n + q) = m.n + m.q Ejemplos: 5(7 + 8) = (5) (7) + (5) (8) 5(15) = 35 + 40
Ejercicio
2
Sin calculadora, resuelve correctamente las siguientes operaciones con números naturales. 1) 654+8763+19657+17
7)
7(28+19) + 8 (18+57)
2) 2003+96+35468+1
8)
4(16+9+13) + 3 (6+29+32)
3) (6324) (789)
9)
(5+12)(11+6)(10+7)
4) (19698) (2754)
10)
5) (15+8) 4 + 9 (27+19)
11)
6) 7834 + 0
12) (15879) (1)
(7 2) 11 5 (13 7) 12 (18 15) (27 6) 33
c).- Números enteros
Queda claro que con el conjunto de los naturales sólo se pueden representar cantidades positivas, sin embargo en ocasiones hay la necesidad de presentar cantidades negativas (pérdidas, temperaturas bajo cero, retiros de dinero en el banco , etc.), por eso se acordó complementar este conjunto anteponiendo a cada uno de sus elementos el signo menos (-). Es así como aparece el conjunto de los números enteros cuyo símbolo es “Z”
Z= ... 7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7,...
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... 7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7 ...
Sus características son:
Es infinito.
Todo número entero tiene un antecesor y un sucesor.
El antecesor de un número entero es menor que el y se localiza a su izquierda.
El sucesor de un número entero es mayor que el y se localiza a su derecha.
Permite las operaciones de suma, resta y multiplicación.
Cumple con todas las propiedades de los N, además del inverso aditivo y la propiedad de cancelación para la multiplicación
esto es:
El conjunto de los números naturales es un subconjunto de los enteros, N Z i.i.i.i.i.i) Inverso aditivo.- si m Z, entonces se cumple que
m+(-m)=0
Ejemplos: 36+ (-36)=0 (-109) + 109 =0 i.i.i.i.i.i) Cancelación.- si los números a, b, c, є Z y forman la igualdad a.b = b.c podemos cancelar a “b” y expresar la igualdad asi a=c Ejemplos: 5(9) = (9) c 4(-8)= (-8) c
5=c 4=c
Valor absoluto El valor absoluto de una cantidad es el número con que se representa, el cual no tiene signo ni dirección y se simboliza con dos líneas verticales II, entonces: m =
–m
=m
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Ejemplos: –20
39
=
=
+ 20 – 39
= 20
= 39
Suma o adición con Z Para sumar varios números del mismo signo, se suman sus valores absolutos y al resultado (suma o total) se le antepone el signo común.
Ejemplos: 9 + 13 + 47 = 69 ( - 8 ) + ( - 29) + (- 12) + (- 6) = - 55
Para sumar varios números con diferente signo, se suman por separado (los positivos y negativos), posteriormente al sumando de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le antepone el signo del número con mayor valor absoluto. Ejemplo: (-15) + 8 + 17 +(-13) + (-3)= Por separado (-15) + (-13) + (-3) = -31 –31
–
+25
y
8 + 17 = 25
= 31 – 15 = 6
Como es el -31 el de mayor valor absoluto, hereda su signo al resultado el resultado es –6
Ejercicio
3
Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones con números Z. 1) 27 +48 2) 12 + (-5) 3) (-17) + 13 4) (-14) + (-8)
11) ( -67) – (-125) 12) (9-15) + (22 – 17) 13) (5 +19) + (36 – 47) 14) 7 + 8 –25 + 4 –18 18
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15) 12 – 15 +23 –26 +18 –21 16) –435 +634 –246 17) (5 8) 3 - 4 (8 15) 18) (2) (4 5) + (5 4) (2 8 19) 3 4 ( 7) - (5 4) (5) = 20) (7 8 4) ( 13) + (9 4) (6 5)
5) 76 + (-103) 6) (-120) + 37 7) (-135) + (-93) 8) 68 – (49) 9) (59) – (-37) 10) (-74) – (-48)
Multiplicación con Z
El producto de dos números ambos factores, esto es a.b= ab.
enteros se
obtiene multiplicando entre si
Todo número multiplicado por cero es igual a cero
Es importante considerar las leyes de los signos. Si los factores tienen el mismo signo el producto será positivo entonces (+) (+) = + (-) (-) = +
(-) = -
ó
Si los factores tienen signo diferente, el producto será negativo, esto es (+) (-) (+) = -
Cuando multiplicamos más de dos enteros: si tenemos número impar de signos negativos (1,3,5,7,...), el producto es negativo. (-)(-)(-)(-)(-) = Si se tiene número par de signos negativos (0,2,4,6,...), el producto será positivo. (-)(-)(-)(-) = +
Ejemplos:
(7) (4) = 28 (-8) (7) = -54 (-4)(-2)(-7)= -42 (-2)(-5)(-3)(-4) = 120 (4)(-a) = -4a 19
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Ejercicio
4
a). Resuelve las siguientes multiplicaciones con números enteros. 1) (9) (13) 2) (-6)(15) 3) (-12) (-17) 4) (-2)(-2)(-2)(-2) 5) (-1)(-1)(-1)(-1)(-1)
6) 7 (-34) (9)(-15) 7) 4 (-697)(0)(34) 8) 19 (0) (-4634) 9) (-79) (-467)(-1) 10) (-156)(-468)(1)
b). Aplica la propiedad conmutativa en las siguientes operaciones. 1) (7) (-14) 2) (-8) (-15) 3) (-17) (9) 4) (-m)(n) 5) (-3a)(-2b) c). Aplica la propiedad asociativa en las siguientes operaciones. 1) 12 ( 8x5) 2) (6)(8) 9 3) (7)(15) 6 4) (w.v) z 5) a(b.c) d). Aplica la propiedad de cancelación en las siguientes expresiones para indicar el valor de la letra. 1) (9) (x) = (9) (12) 2) w(-8) = 15 (-8) 3) 75 z = (75)(84) 4) 136 y = 49 (136) 5) m.n = m.d e). Comprueba la propiedad distributiva en los ejercicios siguientes 1) 6 (9 +15) 2) 15 (14 – 19) 3) 6 (16+12-13) 4) 8 (15) (12) 5) y ( 13-6 +z)
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d).- Números racionales Un número racional es el conciente de dos enteros que tiene la forma
a b
donde b ≠ 0
Este conjunto surge por la necesidad de fraccionar a un todo en partes más pequeñas, simbólicamente se representa así: a Q= a,b є Z y b ≠0 b b ≠ 0 porque la división entre cero no esta definida
...2
1 -
4 3
0
1 5 6
-0.5
2 ... 1.6
Sus características son:
Es infinito. Un racional no tiene antecesor ni sucesor. Permite las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Cumple con todas las propiedades de los enteros, además de la propiedad del inverso multiplicativo y de densidad. Forma un campo. Tiene representación decimal finita o periódica.
En la fracción
a b
“a” es el numerador ( partes que se toma de un entero). “b” es el denominador ( partes en que se divide el entero).
Es fracción propia, si el numerador es menor que el denominador y representa una cantidad menor a la unidad.
Es fracción impropia si el numerador es mayor que el denominador y representa una cantidad mayor a la unidad, ésta se convierte en fracción mixta cuando efectuamos la operación en donde el cociente es la parte entera, el residuo es el numerador y el divisor es el denominador. 21
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Ejemplos:
3 7
fracción propia Son fracciones comunes
9 5
1
fracción impropia
4 5
es fracción mixta
Si necesitamos convertir una fracción propia o impropia a decimal, hacemos la división y obtenemos las cifras decimales requeridas.
-
Puede ser un entero si la división es exacta. Puede ser una fracción decimal finita si el residuo llega a ser cero. Puede ser una fracción decimal periódica si el residuo no llega a ser cero. Ejemplos:
132 = 44 3
13 = 3.25 4
2 = 0.6666 = 0 . 6 3
a es positiva si tanto el número como el denominador tienen b el mismo signo, en caso contrario será negativa.
Una fracción común
Ejemplos:
7 o 9
5 o 3
7 es positiva 9 5 es negativa 3
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i.i.i.i.i.i.i) Propiedad del inverso.- Todo número racional sumado con su inverso aditivo es igual a cero, esto es: a a + (- ) = 0 b b
con b ≠ 0 El inverso aditivo de un Q es el mismo pero con signo contrario
Ejemplo: 5 + ( -5 ) = 0 7 7
Todo número racional multiplicado por su inverso multiplicativo es igual a uno, esto es: a b
b a
con a i b ≠ 0
=1
El inverso multiplicativo de un Q es su recíproco y con el mismo signo
Ejemplos: 3 8 -5 4
8 3
=1
-4 5
=1
i.i.i.i.i.i.i.i) Propiedad de densidad.- Entre dos números racionales siempre habrá otro número racional, esto es: con b ٨ d ≠ 0 a b
c d
e f
donde a < e < c b f d
23
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Ejemplo:
1
11 6
17 12
1 < 17 < 11 12 6
Para definir si una fracción es > , < o = que otra, se efectúan los productos cruzados. Ejemplos: 3 8
_5_ (3) (12) < (5) (8) 12
- 1 3
_-1_ (-1) (2) (-1) (3) 2
4 3
_16 _ (4) (12) = (16) (3) 12
3 < 5_ 8 12
- 1_ > -1_ 3 2
4 3
16_ 12
El conjunto de los enteros es subconjunto de los racionales Z Q
Suma o adición con Q
Caso 1 Cuando el denominador es el mismo, sólo se suman los numeradores y se respeta el común denominador. (Si es posible se simplifica el resultado). a c ac + = b b b
con b O
24
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Ejemplo:
7 8 9 + + = 10 10 10
789 24 = = 10 10
12 5
Caso 2 Cuando el denominador es diferente: -
Se multiplican los denominadores de ambas fracciones para obtener el denominador final.
-
Se efectúan los productos cruzados y los resultados formarán el nuevo numerador. Se suman los productos entre si para obtener el numerador final. Si es posible se simplifica. (a )( d ) (b)(c) a c + = b bd d
Ejemplo: -
42 40 84 7 5 (7)(6) (5)(8) + = = = = 48 8 6 48 (8)(6)
41 24
Si se tienen tres o más sumandos, conviene obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m) de todos los denominadores.
Ejemplo:
Factorizamos los denominadores
5 7 4 + + = 8 6 3
8, 6, 3
2
4, 3, 3
2 el m.c.m. = 24
2, 3, 3 1, 3, 3
2 3
1 1
entonces
5 7 4 + + = 8 6 3
(3)(5) (4)(7) (8)( 4) 15 28 32 75 = = = 24 24 24
25
25 8
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En ambos casos, si tenemos fracción mixta es conveniente primero convertir a fracción común.
Ejemplos: 1
2
10 4 15 10 15 1 3 4 4 + +2 = + + = = 7 7 7 7 7 7 7
1 5 7 7 5 2 +1 + = + + 3 6 6 5 5 3
3, 5, 6 2 3, 5, 3 3 1, 5, 1 5
29 7
el m.c.m. = 30
(10)(7) (6)(7) (5)(5) 70 42 25 7 7 5 + + = = = 6 5 3 30 30
137 30
Resta o sustracción con Q Aplicamos el mismo procedimiento que en la suma solamente que en lugar de sumarse, los productos se restan, entonces: ac a c = b b b
Cuando los denominadores son iguales
ad bc a c = b d bd
Cuando los denominadores son diferentes
Ejemplos:
58 3 5 1 7 5 1 7 = = = 6 6 6 6 6 6
3
2 5 5 11 = = 3 7 7 3
=
1 2
(11)(7) (5)(3) 77 15 = = 21 21
26
62 21
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Ejercicio
5 Resuelve las operaciones siguientes y verifica tus resultados
con la
calculadora. 1)
9 5 2 + 7 7 7
6) 1
3 0 + + 5 24 4
2)
3 + 5
4 9
7) -
2 3 5 14 7 4
3)
6 4 7 3
8) 2
1 3 7 + 10 5 6
9)
13 9 2 - 3 + 20 8 5
10)
4) 2 5)
1 5 3 + 5 -3 6 6 4
(3 +
5 2 ) 5 6
(-6 +
5 ) + 7
3 3 + ( ) 2 2
+ 1
2 3
- (
2 4 + 3 ) 5 6
Multiplicación con Q
Esta operación se efectúa de manera directa, es decir multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador. a b
ac c = bd d
con b
Ejemplos: 3 5
6 2 2 = = 15 45 9
1 1 = 4 3
-
1 12
3 4 13 4 2 = = 5 7 5 7
27
52 35
d 0
PNA – EPO216
División con Q Para resolver la división con números racionales aplicamos los productos cruzados, es decir: a b
c d
÷
a.d b.c
=
Esta operación también se puede expresar de la siguiente manera
a b c d
En este caso, el resultado será el producto de los extremos entre el producto de los medios, entonces: a b
=
a.d b.c
c d
Ejemplos:
12 11
-
÷
3 = 1
12 33
5 3 ÷ = 6 5
=
A todo entero le colocamos denominador uno
4 11
18 25
6 5
=
54 27 = 20 10
4 9
28
PNA – EPO216
3 = 7 6
3 1= 7 6
-
5 6
5 6
= 3
18 7
=
5 18
3 1
Potenciación con Q La potenciación se define como una multiplicación abreviada en donde todos los factores son iguales, entonces: an= a . a . a . a … n veces
Todo número (excepto el cero) elevado a la cero potencia, es igual a uno.
a= base. n= exponente y Z. El resultado es la potencia. Ejemplos: 53= 5 x 5 x 5= 125 1 1 4-2= 2 = 0.0625 4 16 0 (-3) = 1 00 = N. E.
a Si una fracción está elevada a la n potencia, tanto el numerador como el b denominador son afectados, esto es: n
an a con a b 0 bn b
29
PNA – EPO216
Ejemplos:
5 555 125 888 512 8 3
3 3 9 3 44 16 4 3 (-2.5) = -15.625 2
Radicación con Q La radicación se define como la operación inversa de la potenciación por la que se obtiene un resultado (raíz), que elevado a un exponente dado por el índice da el radical, y se expresa así:2 n
xy
Dónde: n= índice
x= radicando
y= raíz
= radical Si el índice es par y el radicando es negativo, NO TIENE RAIZ
Ejemplos:
2
81 9
3
8 2
4
625 5 32 N .E.
6
porque 92= 81 porque (-2)2= -8 porque 54= 625 porque no hay un número racional que elevado a la sexta potencia dé cómo resultado –32.
Más simple, la radicación es una potenciación cuyo exponente es una fracción. El numerador es el exponente del radicando y el denominador es el índice de la raíz, así las expresiones anteriores se verían de la siguiente manera.
(81)1/2= 9 (-8)1/3= -2 (625)1/4= 5 (-32)1/6= N. E.
Cuando el radicando también es una fracción, entonces el radical se aplica a ambas partes, esto es:
2
Diccionario enciclopédico éxito.
30
PNA – EPO216
n
a b
n n
a b
Ejemplos:
Ejercicio
3
27 64
3 3
27 3 64 4
49 49 7 121 121 11
6
Resuelve las operaciones siguientes: 5 2 3 1) 3 5 2
8) (6)0
1 9) 5
3
2 4 2) 3 7 9
2 10) 3 3)
5
4 6 7 5
11) 3 216 1 4) 3 6 6
12) 1
4 2 3 5) 7 5 8
6)
13) 5 0
14) (16)1/2
(-1)12
7) (-8)0 31
PNA – EPO216
15)
121 144
16) 5
32 243
1 4 2 3 5 18) 3 2 8 4
5 3 1 7 8 19) 4 2 6 5
3 17) 8 5 6
e).- Números irracionales. Un número irracional se define como aquel que no puede representarse exactamente.
2 , 3 2 , 3,2.2360679778 , , e, etcera
Ejemplos de números irracionales son:
(número de veces que cabe su diámetro en la circunferencia) e (base de los logaritmos naturales o neperianos) Las características de este conjunto son: Ejercicio
Es infinito. Su representación decimal es aproximada. Para aplicaciones prácticas, sólo utilizamos su aproximación. Este conjunto se representa con la letra I. No tienen sucesor ni antecesor. 7
Usando la calculadora, obtén el valor aproximado de los siguientes números irracionales. 1)
2
4) 3
2)
4
2
5)
3)
6
2
6) 5
32
3
4
PNA – EPO216
7)
8)
3
5
47
9)
18
10)
2
Números reales. La unión del conjunto de los números racionales con los irracionales forman el conjunto de los números reales, esto es: Q U I = R
3 -2.415
3
1
2
-
0 1
2
3 2
3
4
e
El conjunto de los números reales cumple con todas las propiedades estudiadas hasta ahora por lo que forma un campo.
Campo de números. Se dice que un conjunto de números forma un campo, si la suma, la diferencia, producto y cociente (excluyendo la división entre cero) de dos números cualquiera del conjunto, son también elementos del mismo conjunto, así Q, R, y C son ejemplos de campo.
Relación de orden de los números reales. Las expresiones >, <, , , son llamadas relación de orden y aplicadas al conjunto de los números reales dan pauta a los intervalos, los cuales se clasifican en finitos e infinitos. Los intervalos finitos son aquellos que dan a conocer sus extremos, pueden ser: abierto, cerrado o semiabierto.
Abierto.- es aquel que no incluye a sus extremos.
(a, b)= x / a x b
33
PNA – EPO216
a
b
Cerrado.- es aquel que sí incluye a sus extremos.
a, b x / a x b
a b Semiabierto.- es aquel que sólo incluye a uno de sus extremos.
a, b x / a xb a
b
Los intervalos infinitos son aquellos que no tienen fin, al menos en uno de sus extremos.
a, x / a x
a
, a x / x a
a
, x / x R
Ejercicio
8
Representa gráficamente los siguientes conjuntos:
34
PNA – EPO216
1)
x / x 5
2)
x / x 3
3)
x / x 4
4)
x / 2 x 4
5)
x / 4 x 5
6)
x / x
7)
x / 10 x 5
8)
x / x R
8 x 0
f).- Operaciones y problemas Cuando se tienen operaciones entre llaves, corchetes y paréntesis, se recomienda resolver primero las operaciones marcadas en los paréntesis, posteriormente las que aparezcan en los corchetes y al final resolver los que queden en las llaves. Ejemplo: 2 1 2 5 42 3 5 8 3 6 5 16 5 5 16 8 3 12
Resolver de adentro hacia afuera.
59 5 8 12 5 37 185 5 15 12 12 12
Ejercicio 9. a) Resuelve correctamente las siguientes operaciones. 35
PNA – EPO216
2 2 1 169 3 2 1) –2 3 2 5 81 2 3
1 3 2 4 2 2 7 4 2 3 5 2 6 3 5
2)
7.5 3) 421.36.8 2.6 4.2 3.2 1.5
b) Escribe sobre la línea la propiedad que se aplica en cada caso y resuelve las operaciones para verificar a dicha propiedad, donde sea necesario escribe el número o el signo que haga falta.
1.
2.
3.
7 7 4 9
5
________________________
21 21 5 9 9
_______________________
7 2 23 7
4. 4 + ( 5. (-7) (
2 2 3
)=0 )=1
________________________ ________________________ ________________________
3 1 2 2 3 1 6. 7 2 7 7 2 7 4 10 5 5 4 10
________________________
7.
________________________
8. 2.72 2 9. 5
3.1416 2.71
________________________
2 5
________________________
36
PNA – EPO216
3 10. 4
3 4
________________________
Debido a que cada problema es diferente, no existe formato alguno que nos lleve a resolver cualquier tipo de cuestionamiento, sin embargo, en términos generales los siguientes pasos te ayudarán a resolver tus problemas matemáticos. 1. Leer el problema las veces que sea necesario hasta entenderlo. 2. Hacer un esquema (dibujo) del problema para ubicar los datos y la o las incógnitas (preguntas).
3. Convertir el problema del lenguaje común al lenguaje algebraico (plantear la ecuación). 4. Usar las herramientas (operaciones y fórmulas) adecuadas para resolver la ecuación. Ejemplo:
La capacidad del tanque de gasolina de un automóvil es de 50 litros, 1 1 2 los cuales se terminan en cuatro días. Durante los tres primero se gastó , y de 4 6 5 tanque, respectivamente. a) ¿Cuántos litros de gasolina le quedan para el cuarto día? b) Si el automóvil desarrolla en promedio 15 kilómetros por litro, ¿cuántos kilómetros recorre diariamente? Solución. a) 1er. día 1 4
2do. día 1 6
3er. día 2 5
37
4to. día
?
PNA – EPO216
1 1 2 15 10 24 49 4 6 5 60 60
4
6
5
2
2
3
5
2
1
3
5
3
1
5
5
1
49 1 49 60 49 11 60 1 60 60 60
Le quedan 11/60 del tanque.
1
b) Si 1 tanque = 50 litros
1 de tanque = x litros. Aplicando el producto 60
de extremos entre medios tenemos que:
50litros
1 de tan que 60 1 tan que
x litros = x litros =
50 litro 60
x=
5 litro ó 0.8 3 litros 6
1er día 5 litro 15 6
2do día 5 litro 10 6
3er. día 5 litro 24 6
4to. día 5 litro 11 6
1 12 litros 2
1 8 litros 3
20 litros
1 9 litros 6
Si multiplicamos por 15 km, obtenemos la distancia recorrida. 1er. día
(12.5) x 15 =
187.5 kilómetros recorridos.
2do. día 8.3 3 x 15
=
125
kilómetros recorridos.
3er. día
20 x 15
=
300
kilómetros recorridos.
4to. día
9.1 6 x 15
=
137.5 kilómetros recorridos. 38
PNA – EPO216
Ejercicio 10. Resuelve correctamente los siguientes problemas. 1. En el siguiente cuadro, coloca los números del 8 al 23 de tal manera que al sumarlos horizontal, vertical o diagonalmente, el resultado sea siempre 62.
2. Un alumno de la Preparatoria “x” lee 225 palabras por minuto. ¿Cuántas palabras leerá en 25 segundos? 3. Si una empresa disquera produce 125,000 C.D. mensuales y necesita elevar su producción en 9%, ¿cuántos discos deberá producir para cubrir la demanda? 4. Los muelles de una camioneta tienen tres placas de acero, cuyos espesores son de 1/2, 1/4, 1/8 de pulgada respectivamente, ¿cuál es el espesor total de dichos muelles? 5. Si colocamos 50 monedas de un peso (una sobre otra), ¿cuántos centímetros de altura alcanzan si cada una mide 1.9 milímetros de espesor? 6. Para pintar su casa, el propietario utilizó cuatro días, el primer día gastó 41. pintura, el segundo 4 3
4
litros, el tercero 3 3
8
litros y el último 2 5
6
2
litros de
litros, si compró una
cubeta de 19 litros, ¿le sobró o le faltó pintura y cuánto? 7. De un rollo de tela de alambre un comerciante ha vendido dos partes, una de 2
7
y la otra
de 3 5 , ¿qué cantidad del rollo faltó por venderse?
8. Un campesino debe sembrar 7 hectáreas de terreno, si en tres días sembró 4 3 , 1 16 , 1 5 de hectárea respectivamente y desea terminar en dos días más, ¿qué cantidad de 7 terreno debe sembrar de manera equitativa en los días que le faltan? 9. Si te dieran a escoger de 5/6 y 6/7 de pizza, ¿cuál de las dos porciones escogerías para que te tocara más? Justifica tu respuesta.
39
PNA – EPO216
10. ¿Cuántas botellas de litro y medio de capacidad se pueden llenar con 3 galones de aceite si cada galón equivale a 3.875 litros? 11. Si un grado sexagesimal equivale a 0.01745 radianes, ¿cuántos radianes habrá en 297.3 grados? 12. Un automóvil circula a velocidad promedio de 95 km/h, ¿qué distancia habrá recorrido en 5 horas con 38 minutos? 13. La capacidad de un tanque estacionario de gas LP es de 300 litros, para satisfacer sus necesidades una familia gasta 5/8 del tanque mensualmente, ¿cuántos litros de gas necesita comprar cada año? 14. Un profesionista distribuye su sueldo quincenal de la siguiente manera: 1/3 para alimentación, 2/5 para vestido; 9/40 para otros gastos y el resto lo guarda, ¿en qué tiempo habrá ahorrado lo que gana exactamente en un mes? 15. Si en una Preparatoria “x” 98 hombres representan las 2/3 partes del total de alumnos, ¿cuántas mujeres son alumnas de esa Institución? 16. Si el valor exacto de Sen 45° es
2 , ¿cuál es su valor aproximado? 2
17. La cancha de básquetbol tiene una circunferencia central y dos semicircunferencias en la zona de tiro libre. Si oficialmente su diámetro debe medir 3 metros, a) ¿Cuál es el perímetro de cada una de ellas? b) Calcule el área del círculo y de las dos semicircunferencias. c) Si para pintar 1.9 m2 de superficie se requiere un litro de pintura, ¿qué cantidad se necesita para pintar la circunferencia central y los dos semicírculos? 18. Completa la siguiente tabla para obtener el valor aproximado del número “e”.
x
1 1 x
1 10 100 1000 10000 100000 1000000
40
1 1 x
x
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Ejercicio 11. Elabora un mapa conceptual del conjunto de los números reales.
B).- Números complejos. Una de las necesidades que motiva el surgimiento de este conjunto es el no poder resolver expresiones como 1 ; x2 + 4 = 0 con los números reales. Definición. Un número complejo “C”, es la suma algebraica de un real con un imaginario por lo que su representación es a+b i
C a, b a bi / a, b R y
1 i
Si a= 0 se llama imaginario puro. Si b= 0 se llama número real. Entonces:
C R i Ejemplos: 4i; -2i;
5 i; 3
Son imaginarios puros.
2i
3 0i 5 5 + 4i; -2 + 3i; 4 – 8i
9 + 0i; 5 – 0i;
Degeneran en números reales. Son complejos
a).- Forma rectangular de un complejo. La forma rectangular de un complejo es a + bi donde a y b R, estos pueden representarse gráficamente en un sistema bidimensional en donde el eje horizontal es el real y el eje vertical es el imaginario.
i (a + bi)
determina la dirección de la magnitud de (a + bi)
bi R a
41
PNA – EPO216
Ejemplo: Localiza en el plano los siguientes números complejos. i a) –2 + 3i b) 3 +
A
B
5 i 2
R
c) 2 – 2i D
C
d) –3 – 2i
Ejercicio 12. Representa en el plano los siguientes números complejos. A) –4 B)0 + 0i C)5i D) –3i E)
3 i 2
F)3 + 2i G)–2 – 4i H)
1 3i 2
I)–2 -
1 i 2
J)1 – i 42
PNA – EPO216
b).- Operaciones con números complejos.
Suma o adición con C.
Para obtener el total de dos complejos, se suman por separado las partes reales y las partes imaginarias, esto es: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i Ejemplos: (4 + 2i) + (5 – 4i) = +
4 2i 5 4i 9 2i
(12 – 3i) + (3 + 16i)= 12 3i 3 16i 15 13i
Resta o sustracción con C. Para obtener la diferencia de dos complejos se restan (por separado) las partes reales y las partes imaginarias, entonces: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i
Ejemplos: (4 + 2i) – (5 – 4i) = +
4 2i 5 4i 1 6i
43
PNA – EPO216
(12 – 3i) – (3 + 16i) = 12 3i 3 16i 9 19i
Potencias de i. Si elevamos a “i” a las primeras cinco potencias, obtenemos: 1
i= i2=
2
1 1
Los valores de i se vuelven a repetir
i3= i2 . i= (-1)(i)= -i i4= i2 . i2= (-1)(-1)= 1 i5= i4 . I= (1)(i)= i
Multiplicación con C. Para obtener el producto de dos complejos aplicamos la propiedad distributiva, esto es: (a + bi) (c + di) = ac + adi + cbi + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc) i
Ejemplo: 5 + 6 i2 4 - 3i
5 6i 4 3i 20 24i 15i 18i
2
20 9i 18i 2
-15 i - 18 i2 20 + 24 i 20 + 9 i - 18 i2
Como i2 = -1 (-18) (-1) = 18 el producto es 38 + 9i
44
PNA – EPO216
División con C. Para obtener el cociente de dos complejos se multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador y se reduce.
Ejemplo:
2 3i 4 2i
el conjugado de (4 - 2i) es (4 + 2i) 2 2 3i 4 2i 8 4i 12i 6i 16 4i 2 4 2i 4 2i
8 16i 6(1) 16 4(1)
2 16i 20
2 16i 20 20
1 4 i 10 5
Ejercicio 13. a) Resuelve correctamente las siguientes operaciones con números complejos. 1) (4 + 3i) + (6 – 5i) 2) (-12 – 5i) + (7 – 6i) 3) (3 – 5i) – (13 + 6i) 4) (-7 – 4i) – (5 + 9i) 5) (2 + 3i) (12i) 6) (7 – 3i) (4 + 4i) 45
PNA – EPO216
7)
5 3 2i
8)
4 2i 5i
9) i16 10) i30
11) 5 9 4 4 12)
4 25 2 36
b) Obten a y b en cada inciso, fíjate en el inciso 1. 1)a + 4i + 2 = 7 – bi a + bi = 7 – 2 – 4i a + bi = 5 – 4i
a= 5 y b= -4 2)a – 2i – 3 = 5 + bi + 3i 3)2i + 6 – a= 17 – bi + 3i 4)bi – 5 + 2i = a – 4i + 8 5)5i – 2bi + 4 = 6 + 7i – a 6)9i + 3a – 1 = 4 + i – 4bi
46
PNA – EPO216
UNIDAD
II
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Objetivo:
Entender el significado de expresión algebraica para aplicarlo en la simplificación de expresiones, con base en las leyes de los exponentes.
47
PNA – EPO216
A).- Introducción al lenguaje algebraico. Los conocimientos adquiridos hasta ahora corresponden básicamente a la aritmética (el estudio de los números) sin embargo, debido a la complejidad para plantear y resolver algunos problemas, surge en el hombre la necesidad de crear otra parte de la matemática que facilite tal operación y ésta es el Álgebra. “El Álgebra es la parte de la matemática que por medio de una simbología propia, generaliza y simplifica los principios relativos a la aritmética” 3. Las culturas egipcia y griega a.c., la hindú y la árabe d.c., hicieron grandes aportaciones, sin embargo fue a partir del Siglo XIII de nuestra era cuando esta asignatura obtuvo su gran desarrollo.
a).- Constantes, variables y exponentes. Constante. Es una cantidad cuyo valor no cambia al hacer cálculos u operaciones, generalmente es un número. Ejemplos: 2x + 3= 15 A = r2
2, 3, 15 son constantes. es la constante.
Variable. Es una letra que usamos para representar valores numéricos por lo que su valor cambia al hacer cálculos u operaciones. Se le llama variable independiente a aquella cuyo valor no depende de la expresión y por lo tanto se le puede asignar diferentes valores. Por el contrario, una variable es dependiente cuando su valor está sujeto a la expresión (concretamente al valor de la variable independiente).
Ejemplos: y = 3x2 + 5x – 2
3
x es la variable independiente y es la variable dependiente
ALVARADO García, Rodolfo. Álgebra para universitarios, P. 98.
48
PNA – EPO216
v = r2h
r, h son variables independientes v es la variable dependiente
Exponente. Es el número o letra escrito en la parte superior derecha de una constante o de una variable. Indica las veces que se debe multiplicar la base por sí misma. Ejemplos: 2n 4a3b2c
Si la constante o la variable no tienen exponente escrito, se entiende que es uno.
“n” es el exponente 2 es la base 1, 2, 3 son los exponentes 4, a, b, c son la base
b).- Lenguaje común y lenguaje algebraico. Lenguaje común. Es aquel que nos permite expresarnos por medio de palabras y se le llama así porque lo utilizamos cotidianamente. Lenguaje algebraico. Es un lenguaje (simbólico) que utiliza números, letras y signos para expresar de manera convencional lo mismo que en el lenguaje común. Ejemplos: Lenguaje común
Lenguaje algebraico
Tres hermanos Por dos tacos y un refresco pagué 20 pesos Un automóvil se mueve a razón de noventa y cinco kilómetros por cada hora En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos Gas butano (gas LP)
3h 2t + 1r = 20
v = 95 km/h c2 = a2 + b2 CH3-CH2- CH2- CH3
Ejercicio 14. a) Expresa en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes incisos. 1) Seis canciones de música “pop” más cuatro de música “industrial”. ______________________________ 49
PNA – EPO216
2) Tres veces la edad de Ricardo es igual a 57 años. ______________________________ 3) El número de subconjuntos de un conjunto está dado por dos elevado a la “n” potencia
_________________________
4) El área o superficie de un sector circular es igual a la mitad del producto que resulta de multiplicar el ángulo (en radianes) por el cuadrado de su radio _______________________________ 5) El volumen de una esfera se define como las cuatro terceras partes del producto que resulta al multiplicar el valor de su radio elevado al cubo por el valor de “Pi”. _____________________ 6) Agua
_____________________
7) Alcohol
_____________________
8) Vinagre
_____________________
9) Etileuglicol (anticongelante)
_____________________
10) Anilina
_____________________
b) Consulta libros de física y química para expresar en lenguaje común las siguientes fórmulas. 1) v
d t
______________________________________________
2) a
v t
______________________________________________
3) F m a 4) F G
m1 m2 d2
______________________________________________ ______________________________________________
5) T F d
______________________________________________
6) NaCl
______________________________________________
7) CO2
______________________________________________
8) CH3-OH
______________________________________________
9) Ca (OH)2
______________________________________________ 50
PNA – EPO216
10) C12H22O11
______________________________________________
B).- Expresiones algebraicas. a).- Término algebraico y sus partes. Un término algebraico es cada parte de la expresión algebraica separada por las operaciones de suma o resta (+, -). Ejemplo: 6x2
Término cuadrático
2x 5
Término lineal
2
Término independiente
Las partes de un término algebraico son: a) Coeficiente.(número).
Es el primer factor de un término, generalmente es una constante
Ejemplo: 5x3
2 2 2 x y xy 3 y 4 3
Los coeficientes de cada término en esta expresión algebraica son respectivamente 2 5, , ,1 . 3
b) Variable.- Es cada una de las letras que aparecen en la expresión, su valor puede ser cualquier número real.
Ejemplo: A = r2 “r” es variable independiente, su valor puede ser cualquier número real positivo. “A” es variable dependiente, su valor depende del valor que tome “r”. 51
PNA – EPO216
c) Exponente.- Es el número o letra que se localiza en la parte superior derecha de la variable. Ejemplo: x3 + 3x2 – 2x + 5 Así, los exponentes de la variable “x” en la expresión anterior son 3, 2, 1 y 0.
Ejercicio 15. Completa correctamente la siguiente tabla.
Término
Coeficiente
Variables
4a2bc3de 2 3 1 x y z 5
3me n3 1
0.3w 2 y 2 z
4 bh 2 d2 2
Pa 2
r 2 h 2h 3
52
Exponentes
PNA – EPO216
b).- Clasificación de expresiones algebraicas. La clasificación de una expresión algebraica está dada por el número de términos que contiene, esto es: Monomio. Expresión que tiene un solo término. Ejemplos: 3 2 3 4 x y z w 2
2 ; 3a,
Binomio. Expresión que tiene dos términos. Ejemplos: a2 + b2
;
a2 - b2
Trinomio. Expresión que tiene tres términos. Ejemplos: a+b+c
;
a2 + 2ab + b2
;
ax2 + bx + c
Polinomio. Expresión que tiene cuatro términos o más. Ejemplos: a3–3a2b+3ab2–b3 ; b2+c2-2bc CosA – a2 ;
x2+y2+Dx+Ey+F En general todos son Polinomios.
53
PNA – EPO216
Ejercicio 16. Clasifica los siguientes polinomios de acuerdo al número de términos que contienen. 1. 3r + 2t + d
______________________________
2. x2
______________________________
3. 2x2 + 5x – 4
______________________________
4. –3x2 + 5x
______________________________
5. a3 – 6a2 + 12a – 8
______________________________
6. -2r
______________________________
7. 4r2 - d2
______________________________
1 Dd 2
______________________________
8.
9. b h 2r 2 10.
______________________________
hR2 hr 2 hR hr 3
3
3
3
______________________________
c).- Grado de una expresión algebraica. Grado relativo. Es el valor del exponente mayor que contiene la variable a la que se hace referencia. Ejemplos:
r2h 3
a6 – 3a4b + 3ª2b2 – b3
es de primer grado respecto a “h” es de segundo grado respecto a “r” es de sexto grado respecto a “a” es de tercer grado respecto a “b”
Grado absoluto. Lo representa el término de mayor grado y éste se obtiene de la suma de los exponentes de todas sus variables.
54
PNA – EPO216
Ejemplos:
r 2 h
3 a6 – 3a4b3 + 3a2b2 – b3
es de tercer grado absoluto. es de séptimo grado absoluto. Porque 2+1= 3 y 4+3=7 respectivamente
Ejercicio 17. Escribe sobre la línea el grado absoluto de cada polinomio. 1. 3x2 + 5x3 – 8x – x4
___________________________________
2. 2m3 – 5m + 8
___________________________________
3. –4
___________________________________
3 x 5
___________________________________
4.
5. 3x2y – 5xy3 + x2
___________________________________
6. 6m2n – 4m3n3 – 5mn2
___________________________________
7.
7 3 x 2 x2 5x 8 4
___________________________________
8.
5 2 3 x y 6
___________________________________
9. 2x2y3 + x3y3
___________________________________
10. 4m2 n 5mnw2
___________________________________
d).- Valor numérico. Se le llama valor numérico de una expresión algebraica a aquel número que resulta de sustituir la o las variables por su valor ya establecido y haber resuelto las operaciones indicadas. 55
PNA – EPO216
Ejemplos: Las edades de Humberto, Rolando y David son 8, 6 y 2 años respectivamente. Si estas edades las operamos en las siguientes expresiones algebraicas. ¿Cuántos años representa cada polinomio? h= 8; r= 6; d= 2 3hr2 + 2hrd2 – 5rd3 = 3(8)(6)2 + 2(8)(6)(2)2 – 5(6)(2)3 = 3(8)(36) + 2(8)(6)(4) – 5(6)(8) = 864 + 384 – 240 = 1008 El valor numérico es 1008. 2(8) 2 (2) 2h 2 d 3(8)(6) 2 3hr 2 3 (8)(6)( 2)3 hrd = 3 3 6 6 (2)(64)(2) (3)(8)(36) = (8)(6)(8) 3 6 256 864 = 384 3 6 256 144 384 = 3 256 12 384 = Generalmente, 3 1 1 resolvemos primero 256 36 1152 potencias y raíces, = después 3 multiplicaciones y 1372 divisiones y al final 457 .33 = 3 sumas y restas.
El valor numérico es 457.33
Ejercicio 18. Si a = 3; b = -2; c = 4; calcula el valor numérico de las siguientes expresiones. 1. 3a + 2b – 5c
56
PNA – EPO216
2. 6b – 5a + 3c 3. a2 + b2 – c2 4. 2a3b – 5abc + 3bc2 5. 4a2b2 – 3b2c2 + 2a2b2 6.
3 5 bc ac 2 6
4ab 2a 2c a 2b 2c 2 7. 3 4 2
8.
a 2b2 3a3b2 2ac2
9.
abc ab2c 2 3
3a 2b 5ab2c 2 2 c 10. 2 4 5
C).- Leyes de los exponentes (enteros y racionales) Recordemos que un exponente es el número o letra colocado en la parte superior derecha de la base e indica las veces que ésta se debe multiplicar por sí misma. Cuando el exponente es un número entero, se dice que la operación representada es una potenciación. Ejemplos: 53 = 5 x 5 x 5 =125 1 1 1 0.125 2-3 = 3 2 2 x2 x2 8 Cuando el exponente es un número racional, se dice que la operación representada es una radicación. Ejemplos: 4
3
2
2 43 64 8
57
PNA – EPO216
2
2 3
1
2
2 3
1 3
22
3
1 1 0.6299 4 1.5874
Para entender mejor estos ejemplos, se hace necesario entonces conocer las propiedades o leyes que rigen tanto a los exponente enteros como a los exponentes fraccionarios.
a).- Exponentes enteros y su operatividad. Las principales leyes o propiedades de los exponentes enteros son las siguientes. 1) Multiplicación de potencias de la misma base. exponentes se suman, esto es:
En este caso los
En todas las leyes de los exponentes se respeta la base
am an am n
Ejemplos: 53 52 53 2 55 3125 x7 x 3 x7 ( 3) x7 3 x 4
2) División de potencias de la misma base. En este caso los exponentes se restan, esto es: am amn n a
Si a 0
Ejemplos: 45 45 2 43 64 2 4 x3 1 5 x35 x 2 2 x x
3) Una potencia elevada a otra potencia. En este caso los exponentes se multiplican, esto es: 58
PNA – EPO216
(a m ) n a m n
Ejemplos: (52)3 = 5(2)(3) = 56 = 15625 1 ( x 4 )3 x ( 4 )(3) x 12 12 x 2 5 ( 2 )( 5) 10 (w ) w w
4) El producto de dos bases distintas elevado a una potencia. En este caso el exponente afecta a ambas bases, esto es: ( a b) m a m b m
Ejemplos: (5)(3) 52 32 (25)(9) 225 ( xy )3 x3 y 3 2
5) Un racional (fracción) elevado a una potencia. En este caso el exponente afecta tanto al numerador como al denominador, esto es: m
am a m b b
Si b 0
Ejemplos:
4
24 (2)( 2)( 2)( 2) 16 2 0.1975 4 3 (3)(3)(3)(3) 81 3 3
2x 23 x 3 8 x 3 3 3 y y y
Ahora bien, si la propiedad “2” es válida cuando m=n, entonces: an ann a0 n a
Esta división da como resultado un exponente nulo, sin embargo, también sabemos que todo número diferente de cero dividido por sí mismo es igual a la unidad. Esto nos conduce a definir al exponente nulo de la siguiente manera: 59
PNA – EPO216
a0 1
con a 0
Por otro lado, si la propiedad “1” es válida para m=-n, entonces: an an an n a0 1
dividiendo a ambos miembros de la igualdad por “a n”, tenemos: an an 1 n n a a
an
1 an
Las definiciones de a0 y a-n se derivan de las leyes de los exponentes.
con a 0
Ejercicio 19. a) Aplicando las leyes de los exponentes, obtén el valor de las siguientes expresiones. 1. 32 35 33
7.
(5)(2)3
2. (2) 5 (2) 2 (2)3
8.
(3)(9)0
3. (43 ) 2
9.
(2)(3)2
4.
(3)
5.
37 34
1 4
( 4) 3 6. ( 4) 4
4 10. 5
2
3 11. 4
3
12. 3
60
PNA – EPO216
b) Simplifica a su mínima expresión cada uno de los siguientes reactivos, dejando el resultado sin exponentes negativos o nulos. 1.
3x y 4xy 2
2
4b 2c 3 10. 3 5 2b c
4
2
1 2. x 3 y 2 4 x5 y 4 2 3.
3ab 4a
4.
a 3b 2 a 1b
2
3 2
b
2m 2 n 3 11. 3mn
4 2 m 3 n 8 25 m 4n 2
4x2 7. 1 3x
5
2 4 3 4 12. 3 4
m 5 n 4 5. m 2n7
6.
1
3
2 x3 8. 4 3x
30 50 20 40
14.
4 2 52 4 2 5 2
4x 15. 3y
2
5a 2 bc 9. 3 2 3ab c
13.
2
2 x 3 2 y
1
y4 1 2x
3
2a 4 b 5 c 4a 2 bc 5
Una de las tantas aplicaciones de las leyes de los exponentes es la notación científica, la cual consiste en expresar cantidades muy pequeñas o muy grandes con un solo dígito como parte entera, multiplicada por potencias de diez para reproducir su valor original. Ejemplos: Una lombriz mide 8 centímetros de largo, ¿cuál será su longitud en kilómetros? 1 m = 100 cm 1 km = 1000 m entonces 1 km = (100) (1000) cm
8 cm
61
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x km 1km 8 cm 100 000 cm (1km)(8cm) x 100 000 cm 8km x 100 000 x 0.00008 km x 8 x10 5 km
La velocidad de la luz es de 300 000 km/s, ¿cuántos kilómetros recorrerá un rayo solar en un año terrestre? 1 minuto = 1 hora = 1 día = 1 año =
60 s 60 min. 24 h 365.3 días
rayo solar
entonces un año = (60)2 (24) (365.3) s = 31,561,920 s. Si presentamos ambas cantidades en notación científica se verían así: Velocidad de la luz = 3 x 105 km/s Un año terrestre = 3.1561920 x 107 s Si de la fórmula de la velocidad despejamos la distancia v
d t
d vt
Sustituyendo: d = (3 x 105 km/s) (3.1561920 x 107 s) d= (3 x 3.1561920) (105 x 107) km d= (9.468576) (105+7) km. d= 9.468576 x 1012 km.
Ejercicio 20. a) Representa en notación científica las siguientes cantidades. 1. 5 478 000 000
4. 0.0000004
2. 9 500 000 000 000
5. (0.000022) (0.03)
3. 0. 000000025 62
PNA – EPO216
6.
(0.00015 )(0.53) 0.000003
7.
(5000000000 )(34000 ) 4000
8.
(37000 )(0.000032 ) (48000 )(25)
b) Resuelve correctamente los siguientes problemas. 1. Una célula de forma rectangular mide 3 x 10 -9 m. de ancho y 2.4 x 10-6 m. de largo, ¿cuál será su área o superficie?
2. Dos cargas eléctricas; Q1 = 4.3 x 10-6c; Q2 = 2 x 10-6c están separadas por un radio de r = 3 x 10-1 m. Si K0 = 9 x 109 Nm2/c2, encuentra la fuerza utilizando la fórmula: F
K 0 Q1 Q2 r
3. Una persona cuyo peso F = 65 x 103 N, se encuentra parada en una superficie S = 9 x f 106 cm2, considerando que P = , encuentra la presión “P”. s
4. La masa de la luna (m1) es de 6.7 x 1014 kg, y la masa (m2) de la Tierra es de 8.14 x 1015 kg., y la separación entre ambos cuerpos celestes tiene un radio de r = 4 x 105 km. Si la constante de gravitación universal es de G = 6.67 x 10 -11 Nm2/kg2, encuentra la fuerza de atracción “F”. F
G m1 m2 r2
5. El diámetro de un glóbulo rojo es de 7.366 x 10 -4 cm aproximadamente, si se alinearan 3 millones de estas células, ¿qué distancia en metros ocuparían?
6. Si el grosor de un libro es de 2.5 cm y se sabe que cuenta con 292 hojas, ¿cuál es el grosor de cada hoja?
63
PNA – EPO216
b).- Exponentes racionales y su operatividad.
b con “a” y “b” es
Cuando en una potencia el exponente es racional a
entero positivo, nos adentramos al campo de los radicales, es decir, a la operación conocida como radicación. Para iniciar, hagamos el siguiente análisis: De las leyes de los exponentes, sabemos que (am)n = am.n, si ahora m = 1 , n tenemos: n
n
n 1 1n a an a an a
1
La ecuación muestra que la n-ésima potencia de a n es igual a “a”, o bien, 1 n
que a es una n-ésima raíz de “a”. Especificando esta raíz como la n-ésima raíz principal de “a”, tenemos, por definición 4: 1 n
a n a
ahora bien, si tenemos la expresión a
a
m
n
, la podemos ver como:
1 m n
Luego entonces: a a m n n a m m n
1
El numerador es el exponente de la base y el denominador es el índice de la raíz
En cualquiera de estas expresiones, la base pude ser cualquier número real si “n” es impar, pero si “n” es par la base sólo puede ser positiva, ya que los números negativos no tienen raíz real cuando el índice es número par.
4
Fuller Gordón. Álgebra Elemental, P. 125.
64
PNA – EPO216
Ejemplos: 3
4 2 2 43 64 8
2 3
2
1 2
2 3
2 3
3
1 6
1 2
5 2
2
3
x x x x
1 1 0.6299 4 1.5874
2 1 5 3 6 2
x
10 3
3 x10
1
(27) 2 27 N .E. 1 3
(27) 3 27 3
Porque no hay un R que multiplicado por sí mismo sea igual a –27 Porque (-3)3 = -27
Concluimos entonces que de las leyes de los exponentes, se derivan las siguientes propiedades de los radicales. n
1.
an a Ejemplos: 5 5
5
3 3 3
3
x3 x 3 x
5
3
2.
n
ab n a n b
Ejemplos:
3.
n
a b
n n
3
(27)(8) 3 27 3 8 (3)(2) 6
4
x2 y3 4 x2 4 y3
a b
Ejemplos:
4.
cn
16 16 4 0.8 25 25 5 9 9 3 5 5 5
acm n a m 65
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Ejemplos:
5.
n m
( 2)(3)
7( 2)(4) 3 74 3 2401 13.39
( 5)(3)
x( 4)(3) 5 x 4
a m n a
Ejemplos: 6.
am a p q
n
256
2 4
29
3 3
nq
( 2)(4)
256 8 256 2
( 3)(3)( 2 )
29 18 29 1.2057
a mq np
Ejemplo:
2
33 4 3
( 2)(4)
3(3)(4) ( 2)(1) 8 312 2 8 314 4 37 6.8385
El mismo ejemplo:
2
3 2
1 4
12 2 8
3 3 3 3 3 3
4
14 8
7 4
3 3 4 37 6.8385 Se facilita la operación si expresamos el radical como exponente fraccionario
Ejercicio 21. a) Aplica las propiedades de los radicales para obtener el valor de: 1.
3
2. 3.
5
26
4.
6
33
5.
10 7
23 8
6.
3
66
96 1
(9)( 4)(6)
PNA – EPO216
7.
3
729
8.
11. 3
65536
9.
5
10.
25 144
48 1000
12. 35 3 34
180
13. 5 24 26 25 35 32 3 14. 34 3 2 4
b) Simplifica las siguientes expresiones, sin que queden exponentes negativos ni fraccionarios en el resultado. 2
8a3b4
1.
12.
72
48ab
3.
3
27a 4b2c6
4.
4
64a9b10c
1
3
15.
16. 7.
3
16 x y 32 x 3
8.
9.
3
2
2
2 3
1 6
m m m2 m
4 5
m3 2
m3
10
5 3
x y x y 3
3 4
14. m m m
54 x 6 y 2 2x2 y7 6
2
13. m 3 m 5
7 x5 y 3 16 x 2 y 4
5.
6.
3
3
2.
3
75 74
2
17.
3
3
x14
11. 3
4
4092 x14 y15
6
m 3 m 5
x4 y x5 y 2 3 3 6 xy 5 x y
10.
m m
1 2
67
1 6
PNA – EPO216
UNIDAD
III
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Objetivo: Utilizar las expresiones y propiedades algebraicas para estimular y aplicar las operaciones básicas en la resolución de problemas.
68
PNA – EPO216
A).- Operaciones algebraicas. La suma, resta, multiplicación y división son operaciones básicas en el campo de las matemáticas. Cuando alguna o todas las partes de éstas son polinomios, entonces se convierten en operaciones algebraicas. a).- Términos semejantes. Si a la biblioteca de tu escuela le hacen llegar una caja que contiene libros de todas las asignaturas afines al nivel medio superior, lo que hace la persona responsable es clasificar para colocarlos con su respectiva asignatura, es decir, de acuerdo a su semejanza. En álgebra se les llama términos semejantes a aquellos cuya parte literal es idéntica, sin embargo su signo y su coeficiente puede no serlo. Ejemplos: 2 a 2bc; 3a 2bc; a 2bc 5 2 2 2ab c; 4abc ; abc
son términos semejantes. no son términos semejantes.
Para reducir términos semejantes es suficiente con sumar o restar (según el caso) sus coeficientes ya que la parte literal queda igual. Ejemplos: 4a3bc2 + 13a3bc2 – 9a3bc2 = sumando coeficientes 4 + 13 – 9= 8
el resultado es 8a3bc2
2a + 3b – 5c + 4a - 8b + 4c= 2a + 4a + 3b – 8b – 5c + 4c= (2+4)a + (3-8)b + (4-5)c= 6a – 5b – c
3 2 1 2 x 2 y 3 3x 2 y 3 z 5 3 3 3 1 2 2 3 3 x 2 y z 3 3 5 3 15 2 6 1 3 2 x y z 3 3 3
69
La reducción de términos semejantes es la suma o resta de monomios.
PNA – EPO216
12 2 5 3 2 x y z 5 3 3
Ejercicio 22. Reduce las siguientes expresiones. 9a2 – 5a2 + 2a2 – 8a2 –3b + 5b – 7b – 4b 5a – 3b – 6a + 7b – 4 4ax – 2bx + 5bx – 7ax 2 3 5 a 2b b a 5. 3 5 6 4 2 1 3 ab ac ab 6. 5 3 3 4 1 2 2 3 1 a a 3a 4 a 2 7. 6 3 8 7 1 3 4 8. bx ax 3 ax 5 4 7 ab2 9. 3a 2b 5ab2 8a 2b 4 2 5 x 2 y 2 xy 2 3 x 2 y 3 xy 2 10. 4 3 2 4 2 4 11. 3b 1 5a 1 8 a b 3 4 12. 5 2 6 x 2 9 2 x x 2 3 4 13. 3 2 7 x 1 8 x 3 x x x 1 6 14. 2 x 5 x 3 7 1 3 4 x 1. 2. 3. 4.
b).- Adición y sustracción de polinomios. Suma o adición. Sumar dos o más polinomios consiste en colocar uno debajo del otro atendiendo a sus respectivos términos semejantes para posteriormente poderlos reducir y así obtener el polinomio suma. Ejemplos: (3a 2b 5ab2 2ab) (5ab 4ab2 7a 2b 8) 70
PNA – EPO216
+
Si algún término no tiene semejante, se coloca al principio o al final.
3a 2b 5ab2 2ab 7a 2b 4ab2 5ab 8
10a 2b ab2 3ab 8
2 1 4 2 3x 2 5 x 5 x 2 x x 2 3 2 5 7 2 3x 2 5 x 3 1 5x2 2 4 2 2 x x 5 7 14 37 1 x2 x 5 7 6
Resta o sustracción. Debido a que el signo de la operación afecta a todo el sustraendo, debemos cambiar término a término los signos y después resolver como su fuera suma. De esta manera es como obtenemos el polinomio diferencia. Ejemplos: (3m2n 5mn2 4m 2) (5m2n 3mn2 6) Cambiando los signos del sustraendo: +
3m 2 n 5mn2 4m 2 5m 2 n 3mn2
6
2m2n 2mn2 4m 8
3 2 2 1 4 x 2 x 5 2 x3 x 2 x 4 5 3 4
Cambiando los signos del sustraendo y sumando tenemos: 2 x3
2 2 2 1 x x 5 3 4
71
PNA – EPO216
3 x5 4 + 2 2 1 2 x3 x 2 x 5 3 4 18 1 19 2 x3 x 2 x 5 12 4 4x2
Ejercicio 23. a) Resuelve las siguientes sumas de polinomios. 1.
3x
2.
3x 2 y 5 z 5 x 4 y z
3.
5x
4.
4 x y 3xy
5.
2x
6.
6 x y
2
3
5x 2 4 x x2
2 x 2 5 3x 2 x 2 x3
2
2
2
2
5 2 x 2 y 6 xy 2 xy
3x 4 (2 x3 5 x 1) x3 7 x 3
2 x3 y 2 8 5 x3 y 2 x 2 y 2 6 9 x 2 y 3 xy
3 1 2 4 1 7. x 2 x x 2 4 7 3 3 1 1 4 8. 5 x 2 x 1 3x3 4 x 8 x 2 6 x3 2 5 3 4 1 2 3 1 3 2 9. x3 x 2 x 2 x3 x x x 2 5 5 9 8 3 7 3 x 2 y xy 2 xy xy xy 2 x 2 y 10. 3 2 4 5 3 2
b) Resuelve las siguientes sustracciones de polinomios. 1.
3x
2.
3x 2 y 5 z 5 x 4 y z
2
5x 2 4 x x2
72
PNA – EPO216
3.
5x
4.
2 x
5.
4 x y 3xy
3
3
2 x 2 5 3x 2 x 2 x3
5 x 1 2 x 2 3x 4
2
2
5 2 x 2 y 6 xy 2 xy
6. (5 x3 y 2 x 2 y 2 6) 6 x 2 y 3 2 x3 y 2 8 3 1 2 4 1 7. x 2 x x 2 4 7 3 3
1 1 4 8. x 2 6 x3 5 x 2 x 1 5 2 3 2 4 1 3 1 9. x 2 x3 x x3 x 2 9 5 5 7 3 x 2 y xy 2 xy xy xy 2 x 2 y 10. 2 4 5 3 2 3
c).- Multiplicación de polinomios. En esta operación multiplicamos (término a término) primero los signos, después los coeficientes y al final la parte literal. Debemos cuidar también que cada término de los productos parciales corresponda con su respectivo término semejante para poderlos sumar, así el resultado total será el producto polinomio. Ejemplos: (3a2b) (-2ab2c)= (+)(-)= (3)(2)= 6 (a2b)(ab2c)= a3b3c
el producto es -6a3b3c (5m2n – 4m3n + 2mn2) (-4m2n2)= 5m2n – 4m3n + 2mn2 Por - 4 m2n2 -20m4n3 + 16m5n3 – 8m3n4
73
PNA – EPO216
(3x2 – 5x + 6) (2x + 7)=
Es muy parecido a la multiplicación aritmética.
3x2 – 5x + 6 Por 2x + 7 2 21x – 35x + 42 6x3 – 10x2 + 12x j 3 2 6x + 11x - 23x + 42
2 3 3 5 x2 x 4 x 3 5 4 7 3 2 2 x x4 5 3 5 3 Por x 7 4 9 6 12 x x 20 12 4 15 10 20 x3 x 2 x 35 21 7 3 11 2 47 x3 x x3 7 420 14
Ejercicio 24. a) Obtén el producto de las siguientes multiplicaciones. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
(3a 2b) (2a 2b 2 ) (5ab)(ab)(2a3b2 )
(3ab)(2a 2b 3 )(4ab) (3x 2 5 x 2)(4 x 3) (4 x3 5 x 2 2 x)(3x 2 x) (2 x 2 3x 8)(3x 2 5 x 4) (2 x 1)(3x 1)(4 x 2)
8. (5 x 3) 2 9. (2 x 2 4)(2 x 2 4) 10. (3x 8)(3x 5)
1 2 2 1 2 11. x 2 x x 4 3 5 3 3
74
PNA – EPO216
3 2 3 2 12. x y x y 4 5 4 5
b) Sean los polinomios: A= (3m2n + 5mn2 – 4) B= (2m2n - 3mn2) 2 1 C= mn 5 3 Obtén: 1. A2
6. A + C
2. B3
7. A + 2B – C
3. 2A + 3B
8. C2 – B
4. 2A + C
9. (A + B) C
5. 3B – C
10. (A + B + C) B
d).- División de polinomios. De la misma manera que en aritmética, la división algebraica tiene por objeto obtener un cociente, dado el dividendo y el divisor. En esta operación destacan dos casos.
Polinomio entre monomio.
En esta operación, dividimos (término a término) primero los signos, después los coeficientes y al final la parte literal. Ejemplos: 32 a 2b 3c 4abc
( ) ( ) (32) 4 8
el cociente es –8ab2
a 2b 3c ab 2 abc
75
PNA – EPO216
5 x 2 yz 4 2 xy 3 z 2 ( ) ( ) (5) (2)
Si la división de coeficientes no resulta exacta, el cociente se expresa como fracción.
5 2
x 2 yz 4 xz 2 2 2 xy z xy 3 z 2 y2
el conciente es
5 xz 2 2 y2
(12m3n4 9m2n3 7m3n3 ) 3m2n2 Dividiendo término a término. 12 m3n 4 9m 2 n3 7 m3n3 3m 2 n 2 3m 2 n 2 3m 2 n 2
7 4mn2 3n mn 3
9 x 4 y 3 8 x 3 y 4 5 x 3 y 3 6 xy = 2 xy
9 x 4 y 3 8 x 3 y 4 5 x 3 y 3 6 xy = 2 xy 2 xy 2 xy 2 xy 9 3 2 5 x y 4x2 y3 x2 y 2 3 2 2
Ejercicio 25. Efectúa las siguientes divisiones. 1. 15a 2b3c 4 d 3abc2 2. 9a 2bc3d 2 4a 3b 2cd 3. (4m2n3 12m3n2 10m2n2 ) 2mn 76
PNA – EPO216
4.
5m n
8m3n3 24m4 n3 16m2 n 2 4m2 n 2
5.
2m n
3m4n 4 4m2n 2 5m2n 2
6.
4m n
7m2n3 6mn mn
7.
5x y
5 x3 y 3 12 x3 y 2 5 xy 5 xy
3 4
5 5
3 2
2
3
8 x 2 y 3 4 x3 y 2 x 4 y 4 8. x2 y3
9.
5 xy 2 4 x 2 y 2 x 2 y 2 3x 2 y 3
5 1 2 3 10. x 2 y 3 x 3 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 4 5 3 2
Polinomio entre polinomio.
Iniciemos recordando el algoritmo de la división aritmética. 261 3 785
-6 18 -18 05 -3 2
De la misma manera lo aplicamos a la división algebraica. Ejemplo: 9 xy 2 5 x 2 y 6 xy
3 xy 27 x 2 y 3 15 x 3 y 2 18 x 2 y 2 -27x2y3 0 -153y2 +153y2 0 +18x2y2 77
PNA – EPO216
-18x2y2 0 Cuando existe la necesidad de dividir un polinomio entre otro polinomio se recomienda utilizar el siguiente procedimiento. 1. Ordenar ambos polinomios con respecto a una literal y en forma decreciente. 2. Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para empezar a formar el resultado (cociente). 3. multiplicamos el término del cociente por cada uno de los términos del divisor y los restamos al dividendo. 4. Bajamos el siguiente término del dividendo y repetimos los pasos 2 y 3 las veces que sea necesario. 5. La división termina hasta que los exponentes del dividendo sean menores que los exponentes del divisor.
Ejemplos:
14 x 10 x
3
23 x 2 3 3 2 x
2 x 3 10 x 3 23 x 2 14 x 3
Paso 1
5x2 2 x 3 10 x 3 23 x 2 14 x 3
Paso 2
5x2 2 x 3 10 x 3 23 x 2 14 x 3
Paso 3
-10x3 +15x2 0 - 8x2 Por la resta los signos se invierten y se suma.
5x2 2 x 3 10 x 3 23 x 2 14 x 3
Paso 4 78
PNA – EPO216
-10x3 +15x2 0 - 8x2 +14x 5x2 –14x 2 x 3 10 x 3 23 x 2 14 x 3
Paso 2
-10x3 +15x2 0 - 8x2 +14x
5x2 –14x 2 x 3 10 x 3 23 x 2 14 x 3
Paso 3
-10x3 +15x2 0 - 8x2 +14x + 8x2 – 12x 0 + 2x – 3 5x2 –14x + 1 2 x 3 10 x 3 23 x 2 14 x 3
Paso 2 y 3
-10x3 +15x2 0 - 8x2 +14x + 8x2 – 12x 0 + 2x – 3 -2x + 3 0 ( x3 8) x 2 x2+2x+4 x 2 x3 8 -x3+2x2 0+2x2-8 -2x2+4x 0+4x-8 -4x+8 0
División sintética. Una forma abreviada de la división usual es la llamada división sintética, ésta se apoya únicamente en los coeficientes del dividendo y en el término independiente del divisor. 79
PNA – EPO216
Por eso, cabe aclarar, que sólo usaremos este proceso cuando el divisor de la operación sea x+a con a z. Resolvamos entonces el ejemplo anterior por medio de la división sintética.
x
3
8 x 2
Pasos: 1. Se colocan los coeficientes del dividendo (previamente ordenados) en forma horizontal. En caso de que carezca de alguna potencia se aumentan ceros, entonces:
1
0
0
8
2. A la derecha se escribe el inverso aditivo del término independiente del divisor (número piloto). 1
0
0
8
2
3. Se coloca una línea horizontal abajo del renglón formado por los coeficientes del dividendo y se baja el primer número, esto es. 1 1
0
0
8
2
4. Este número se multiplica por el “piloto” y el resultado se escribe en la siguiente columna. 1
0
0
8
2
2
1 5. Se suman los coeficientes de la segunda columna y el resultado se escribe abajo. 1
0
0
1
2 2
6. Se repiten los pasos 4 y 5 hasta terminar.
80
8
2
PNA – EPO216
1
0
0
8
4 4
8 0
2
2 2
1
7. A los coeficientes del tercer renglón se les coloca su respectiva variable empezando por una potencia menor a la del dividendo, entendiendo también que el último número será el residuo de la división.
el cociente es x2 + 2x + 4
con residuo = 0
Hagamos otros ejemplos:
6 x
3
5 x 2 4 x 11 ( x 3) 6
5
4
11
18
39
129
13
43
140
3
6
el resultado es 6x2 – 13x + 43
3x
2
con residuo = -140
x 4 6 x 5 1
0
3
0
6
5
25
110
550
5
22
110
544
5
1
el resultado es –x3 + 5x2 – 22x + 110
81
con residuo = -544
PNA – EPO216
Ejercicio 26. a) Efectúa las siguientes divisiones. 1. 4a3 6a 2 3a 6 2a 1 2. 7 4a 5a 2 3a3 2 a 3. 9a3 12a 2 6a 5 3a 2 4. 6 2 x 2 10 x 4 5 x 2 5. 8 x3 18 x 2 54 x 27 2 x 2 6. x 3x 2 3x3 1 2 x 1 7. 4a5 2a 3 a 3a 2 2 8. 8 x3 6 x 2 y 6 xy 2 y 3 2 x y 9. x 6 6 x 4 y 12 x 2 y 2 8 y 3 x 2 2 y 10. x3 3x 2 y 6 xy 4 y 5 x y
b.- Efectúa las siguientes operaciones aplicando la división sintética. 1. 2 x3 5 x 2 3x 2 x 3 2. 4 x 4 3x3 2 x 2 x x 2 3. 5 x 2 6 x 2 x 4 10 x 3 4. x3 5 x 2 4 x 1 5. 2 x 4 6 x 2 x x 2 6. x 2 36 x 6 7. x3 64 x 4
8. x 4 81 x 3 82
PNA – EPO216
B).- Productos notables. Se les llama productos notables o especiales a aquellas multiplicaciones que por medio de “reglas” ya establecidas, permiten abreviar la operación. Así, podemos dar el resultado rápidamente y de manera correcta. Es conveniente que el lector las memorice y las aplique hasta obtener eficazmente productos de este tipo.
a).- Binomio al cuadrado. Un binomio elevado al cuadrado es aquel que se multiplica dos veces por sí mismo, su regla es: Cuadrado del 1er. término
Dos veces el producto de ambos términos
Cuadrado del 2do. término
a b2 a2 2ab b2 Gráficamente: b2 ab
b +
a
El resultado es un Trinomio Cuadrado Perfecto.
a2
a
+
ab
b
Sumando todas las áreas tenemos a2 2ab b2 a b
2
Ejemplos:
3x 22 (3x)2 2(3x) (2) 22 = 9x2 + 12x + 4 83
PNA – EPO216
(2x – 5)2 = (2x)2 + 2(2x) (-5) + (-5)2 = 4x2 – 20x + 25 2
2 2 2 2 5 x 5 x 25 x 3 3 3 20 4 25 x 2 x 3 9
2
2
1 1 1 1 1 1 x y x 2 x y y 3 2 2 2 3 3 1 1 1 x 2 xy y 2 4 3 9
2
b).- Binomios conjugados. Son binomios conjugados aquellos cuyos términos en un binomio se están sumando y en el otro se están restando. Así el conjugado de a + b es a – b y viceversa. Su producto es: Cuadrado del 1er. término
Cuadrado del 2do. término
a ba b a 2 b2 Gráficamente: a
+
b
a (a-b)
b (a-b)
a-b El resultado es una diferencia de cuadrados.
N.E.
N. E.
Sumando las áreas que sí existen, tenemos:
84
a (a-b) + b (a-b) a2 – ab + ab – b2 a2 – b2
PNA – EPO216
Ejemplos: (5x+3) (5x-3) = (5x)2 – (3)2 = 25x2 – 9 (2x2 – b) (2x2+b) = (2x2)2 – b2 = 4x4 – b2 2
3 2 3 2 3 2 x y x y x y 4 3 4 3 4 3 4 9 x2 y 2 9 16
2
c).- Binomios con término común. Son aquellos que tienen un término igual mientras que el otro es diferente; así x a y x b, donde a, b R, son binomios con término común, su producto total es: Cuadrado del Término común
La suma algebraica de los términos no comunes multiplicada por el término común
Producto de los términos no comunes
x a x b x 2 a bx ab Gráficamente: x
+
a Su resultado es un trinomio de la forma ax2+bx+c
x
x2
ax
bx
ab
+ b
Sumando todas las áreas tenemos: x2 + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b) 85
PNA – EPO216
Ejemplos: (x+2) (x+3) = x2 + (2+3) x + (2) (3) 2 = x + 5x + 6 (x+4) (x-7) = x2 + (4-7) x + (4) (-7) = x2 – 3x – 28 (x-5)(x-4) = x2 + (-5-4) x + (-5) (-4) = x2 – 9x + 20 (3x+2) (3x-5) = 3(x)2 + (2-5) 3x + (2) (-5) = 9x2 – 9x – 10 1 3 1 3 1 3 2 2 x 2 x 2 x 2 x 3 4 3 4 3 4 5 1 4x2 x 6 4
d).- Binomio al cubo. Un binomio elevado al cubo es aquel que se multiplica tres veces por sí mismo, su producto total es: Cubo del 1er. término
Tres veces el 1er. término al cuadrado por el segundo
Tres veces el 1er. término por el cuadrado del 2do.
a b3 a3 3a2b 3ab2 b3
Su resultado es un polinomio cubo perfecto.
Gráficamente: b3
ab2 a2b
ab2
Un prisma cuyo volumen es ab2 queda debajo de b3.
b
a2b
+ a
b
Cubo del segundo término
a2b
a3
+ a a
+ 86
b
PNA – EPO216
Sumando todos los volúmenes tenemos: a 3 3a 2b 3ab2 b3 (a b)3
Ejemplos:
2x 33 2x3 32x2 3 32x32 33 8x3 36 x 2 54 x 27
4x 23 4x3 34x2 2 34x 22 23 64 x3 96 x 2 48 x 8 3
2
2 2 2 2 3 2 5 x 5 x 35 x 35 x 3 3 3 3 20 8 125 x 3 50 x 2 x 3 27
3
Ejercicio 27 Aplicando multiplicaciones.
la
regla
de
los
productos
notables,
1) ( x + 11)2
2) ( y – 14)2
3) ( z + 14)2
4) (4a +
5) ( 3a2 – 7)2
2 2 ) 5 6) (2a2 + 3b)2
7) ( 2a2b3 – 4ab2)2
8) (5m2 +
9) ( m8 -
1 3 2 n ) 5
3 n )2 2
10) ( xw + yw )2
11) ( xn – xo ) x ≠ 0
12) (xa-1 – ya+3)2
13) (a b) c 2
14) (y-13)(y+13)
15) (z +
1 1 ) (z- ) 3 3
17)(3a2 –7)(3a2 +7)
resuelve
16)(4a -
2 ) (4a + 5
2 ) 5
18) (2a2 +3b)(2a2 –3b)
87
las
siguientes
PNA – EPO216
19)(7a2 b3 - 4 ab3) (7 a2 b3 + 4ab3) 1 1 21)(m8- n3)(m8+ n3) 5 5 23) ( x y ) 3 ( x y ) 3
3 3 20) (5m2 + n)(5m2- n) 2 2
22)(xw+yw)(xw-yw) 24) (2x-3y+z)(2x-3y-z)
25)(x+3)(x+11)
26) (x+4)(x-13)
27)(y-8)(y-6)
28)(z+
2 29)(4a+ )(4a-5) 5
7 2 30)(3a2- )(3a2+ ) 6 3
31)(2a2+3b)(2a2-5b)
32)(7a2b3-4a)(7a2b3+2b)
3 33)(5m2+ n)(5m2-n) 2
1 34)(m5 - )(m5+n2) 6
35)(xy+yo) (xy+zo)
36)(xb+1-ya+3)(xb+1-za+3)
37) (a b) 5 ( a b) 7
3 38) ( w 4) 3 (w 4) 5
39)(x+1)3
40)(y-4)3
1 41)(z- )3 3
2 42)(4a+ )3 5
43)(3a2-7)3
44) (2a2+3b)3 3 46) (2m2+ n)3 2
45) (5a2b3-4ab3)3 1 33 n) 5 49)(xn-xo)3
47)(m8 -
1 1 )(z- ) 3 2
48)(xw+yw)3 50)(xa-1-ya+3)3
Triángulo de Pascal Cuando se tiene un binomio elevado a una potencia mayor o igual a cuatro, el triángulo de Pascal facilita la operación. Dicho triángulo se forma a partir de un binomio elevado a la cero potencia el cual es igual a uno. En los extremos de las filas o renglones siguientes se escribe el número uno y a partir del tercer renglón los coeficientes interiores del triángulo se obtienen sumando los números contiguos de la fila anterior, esto es: 88
PNA – EPO216
(a+b)0 l (a+b)1
l
(a+b)2
l
(a+b)3
l
(a+b)4
l
(a+b)5
l
(a+b)6
l
l
2 l 3 3 l
4 6 4 5 10
l
10 5 l
6 15 20 15 6 l
Para obtener el resultado de (a+b)n debemos considerar lo siguiente:
El exponente del primer término comienza con la potencia “n” y disminuye en una unidad a medida que pasamos de un término a otro.
El exponente del segundo término se comporta de manera contraria
En cada término del resultado la suma de los exponentes que lo forman es igual a “n”
Ejemplos: (2a+3b)5= Si observamos el triángulo, la fila que debemos utilizar es la sexta, entonces. (2ª+3b)5=
1
+5
+10
+10
+5
+1
Colocamos el primer término (2a) en forma decreciente = 1(2a)5
+5(2a)4
+10(2a)3
+10(2a)2
+5(2a)
+1
Ahora colocamos el segundo término (3b) en forma creciente = 1(2a)5
+5(2a)4(3b) +10(2a)3(3b)2 +10(2a)2(3b)3
+5(2a)(3b)4 +1(3b)5
Por último desarrollamos las operaciones indicadas. =(1)(32a5)+5(16a4)(3b)+10(8a3)(9b2)+10(4a2)(27b3)+5(2a)(81b4) +243b5 89
PNA – EPO216
=32a5 + 240a4b + 720a3b2 + 1080a2b3 + 810ab4+ 243b5 (3x-2y)6= 1(3x)6+6(3x)5(-2y)+15(3x)4(-2y)2+20(3x)3(-2y)3+15(3x)2(-2y)4+6(3x)(-2y)5+1 (-2y)6 = 729x6+6(243x5)(-2y)+15(81x4)(4y2)+20(27x3)(-8y3)+15(9x2)(16y4)+6(3x) (-32y5)+64y6 =729x6-2916x5y+4860x4y2 -4320 x3y3+2160 x2y4-576 xy5 +64y6
C).- Factorización. La factorización es el proceso inverso de los productos notables es decir, ahora tendremos que obtener los factores dado el producto. Recordemos como se factoriza un número. 12 6 3 1
2 2 3 La factorización de 12 es (22) (3) y es única. Como existe gran variedad de expresión algebraicas, se hace necesario conocer diferentes tipos de factorización. En el caso que nos ocupa, solo abordaremos siete de ellos sin embargo, si el lector desea profundizarse más sobre el tema puede consultar la bibliografía a la que hacemos referencia al final de esta obra. a).- Factor común.
Este método se utiliza cuando todos los términos del polinomio tienen algo en común. Para obtener el factor común es necesario observar si los coeficientes son divisibles entre un mismo número, también se debe identificar la o las variables que estén en todos los términos de dicho polinomio. Ejemplos: 12a2b3+15a3b2-21ab4c= Observamos que 12, 15, 21 son divisibles por 3 , las variables comunes a todos los términos son a y b2 entonces el factor común es 3ab2 y el otro factor es el polinomio formado por lo que queda en cada término. 12a2b3+15a3b2-21ab4c= (3ab2) (4ab+5a2-7b2c) 90
PNA – EPO216
6w-4y+10z-2= El factor común es 2, entonces la factorización es (2) (3w-2y+5z-1) 72x3y5-18x2+48x4y4 = 72, 18, 48 36, 9, 24 18, 9, 12 9, 9, 6 9, 9, 3 3, 3, 1 1 1
2 2 2 2 3 3
m.c.m=6 factor común 6x2 la factorización es (6x2)(12xy5-3+6x2y)
2m2n – mn2n+
1 mn= 3
1 Podemos ver a 2 como 6 y al 1 como (3) 3 1 factor común es mn 3
1 , entonces el 3
1 1 2m2n-mn2+ mn=( mn)(6m-3n+1) 3 3
b).- Factorización de una diferencia de cuadrados. Es fácil identificar una diferencia de cuadrados ya que sólo términos los cuales están separados por el signo de la resta.
tiene dos
Como ya sabemos una diferencia de cuadrados resulta de multiplicar binomios conjugados, por eso deducimos que éstos deben ser su factorización, entonces: a2-b2= (a+b)(a-b) Ejemplos:
Las raíces separadas por signos contrarios forma los factores
x2-144= x 2=x 144 =12
x2 – 144 = (x + 12) (x – 12) 91
PNA – EPO216
49a4-16b2= 49a 4 =7a2 16b 2 =4b
49a4-16b2 = (7a2 – 4b) (7a2 + 4b) 4x2-8= 4 x 2 =2x 8
=
8
4 x 2 8 (2 x 8 ) (2 x 8 )
16 m 2 25
-
n 4
2
4m 16m 2 = 5 25
n2 n = 2 4
16 m 2 n 2 4m n 4m n 25 4 5 2 5 2
c).- Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.
Para saber si un trinomio es cuadrado perfecto procedemos de la siguiente manera. a) Obtenemos la raíz de los términos que se localizan en los extremos. b) Multiplicamos ambas raíces y si su producto es la mitad del término intermedio, si es un trinomio cuadrado perfecto, en caso contrario no lo es. Veamos los siguientes ejemplos: x2 –10x+25 92
PNA – EPO216
x2=x
25 = 5
5x es la mitad de 10x, entonces sí es un T.C.P. x2-10x+16 x2=x
16 = 4
4x no es la mitad de 10x, entonces no es un T.C.P. Ahora bien, recordemos que el trinomio cuadrado perfecto resulta de elevar un binomio el cuadrado, lo cual nos conduce a pensar que dicho binomio debe ser su factorización, entonces: a2+ 2ab+b2=(a+b)2
Estructura del binomio: raíz del 1er término
signo del 2do término Ejemplos: x2-10x+25 = x
2
25
raíz del 3er término
Debemos verificar que se trate de un T.C.P.
=x =5
la factorización es (x-5)2 4a2 +24a+36 = 4a 2 = 2a 36 = 6
la Factorización es (2a + 6)2 x4 +2x2y+y2= x 4 = x2
93
2
PNA – EPO216
y2=y
la factorización es (x2 + y)2
2
m 2 2mn 4n + = 3 4 9
m2 m = 2 4
4n 2 2n = 3 9
m 2n la factorización es 2 3
2
d).- Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c En la sección anterior observamos que x2 – 10x+16 no es trinomio cuadrado perfecto. Ahora podemos decir que se trata de un trinomio de la forma ax2+bx+c. Recordemos también que esté tipo de trinomios resulta de multiplicar dos binomios con términos común, luego entonces, éstos deben ser su factorización. Cuando en el trinomio a=1, obtenemos la factorización de la siguiente manera: 1) Sacamos raíz al término cuadrático y escribimos en ambos paréntesis. 2) Buscamos dos números de tal manera que su producto sea el término independiente y la suma sea el coeficiente del término lineal. 3) Con su respectivo signo los escribimos uno en cada paréntesis. Ejemplos: x2 –10x+16 x2=x Las parejas de números cuyo producto es 16 son: ( 4) (4); (-4) (-4);(2)(8); (-2)(-8); (1)(16); (-1)(-16), observando el término intermedio tenemos que sólo (-2)(-8)= -10, por lo tanto la factorización es : (x-2) (x-8)
La raíz del término cuadrático es el término común.
94
PNA – EPO216
x2 +3x-4= x2=x
números multiplicados = -4 son (1)(-4); (2)(-2); (-1)(4) números sumados = 3 sólo (-1)(+4)
x2 +3x-4 = (x-1)(x+4)
x2 +
1 x - 3= 2
x2=x
números multiplicados = -3 son (1)(-3);(-1)(3);(2)(-
3 3 ); (-2)( ) 2 2
1 3 sólo (2) 2 2 1 3 x2 + x –3 = (x+2) x 2 2
números sumados=
Cuando en el trinomio a 1, obtenemos la factorización procediendo como se indica a continuación. Factorizar
3x2 – 11x –4
1)”Descomponemos” el término cuadrático en dos factores y lo colocamos como indica la tabla. 3x
x
2) Buscamos todas las parejas de números cuyo producto sea el término independiente. 3x
x
-1 4 -4 1 -2 2
4 -1 1 -4 2 -2
3) Multiplicamos cada pareja sumamos sus productos.
con su correspondiente 95
coeficiente de la variable y
PNA – EPO216
3x -1 4 -4 1 -2 2
x así (-1)(3) + (4)(1)=1 (4) (3) + (-1)(1)=11 (-4)(3) + (1)(1)= -11 (1)(3) + (-4)(1)= -1
4 -1 1 -4 2 -2
4) Seleccionamos la pareja cuya suma de productos sea el coeficiente del término lineal. 3x
x
-4
1
La pareja seleccionada es (-4) y (1)
5 Formamos los paréntesis escribiendo los términos en forma cruzada. 3x
x
-4
1
3x2 –11x-4= (3x+1)(x-4) Factorizar 6x2 + 19x+10
En este caso 6x2 se puede “descomponer” como (6x)(x) y (2x)(3x), probemos con (6x)(x) 6x
x
1 10 10 1 2 5 5 2
(1) (6) + (10) (6) + (2) (6) + (5) (6) +
(10)(1)=16 (1)(1)= 61 (5)(1)= 17 (2)(1)= 32
Omitimos las parejas con signo negativo ya que todo el trinomio es positivo
Observamos que ninguna pareja puede seleccionarse ahora probemos con (2x)(3x) 2x
3x
1 10 10 1 2 5 5 2
(1) (2) + (10) (2) + (2) (2) + (5) (2) +
(10)(3)=32 (1)(3)= 23 (5)(3)= 19 (2)(3)= 16
96
PNA – EPO216
La pareja seleccionada es (2) y (5)
2x
3x
2
5
6x2+19x+10 = (2x+5)(3x+2)
e).- Factorización por agrupamiento. La factorización por agrupamiento se obtiene a través de la sucesión de factores comunes, hasta llegar al resultado final. En general ac+bc+ad+bd = a (c+d) + b (c+d) = (a+b) (c+d) Ejemplos: 2ax+10a+3bx+15 agrupando y factorizando 2a+10a= 2a(x+5) 3bx+15= 3b(x+5) entonces: 2ax+10a+3bx+15= 2a(x+5)+3b(x+5) ahora el factor común es (x+5) la factorización total es (2a+3b)(x+5) 8x3+4x2y-18x-9y agrupando y factorizando 8x3+4x2y = 4x2(2x+y) -18x-9y = -9(2x+y) entonces: 8x3+4x2y-18x-9y= 4x2(2x+y)-9(2x+y) = (2x+y)(4x2-9) Sin embargo 4x2-9 es una diferencia de cuadrados, así que al factorizarla obtenemos la factorización total del polinomio, entonces 8x3+4x2y-18x-9y=(2x+y)(2x+3)(2x-3) 2ax2 +12ax+18a- bx2- 6bx - 9b agrupando y factorizando 2ax3 + 12ax + 18a= 2a(x2 + 6x + 9) -bx2- 6bx - 9b = -b(x2+6x+9) 97
PNA – EPO216
entonces: 2ax2+12ax+18a-bx2-6bx-9b= 2a(x2+6x+9)-b(x2+6x+9) Ahora el factor común es un trinomio cuadrado perfecto. la factorización total del polinomio es (2a - b) (x + 3)2
f).- Factorización de un polinomio cubo perfecto. Recordamos que un polinomio cubo perfecto se obtiene al elevar un binomio a la tercera potencia, luego entonces este debe ser su factorización y se estructura de la siguiente manera.
Raíz cúbica del primer término
Signo del segundo término
Raíz cúbica del último término
3
Ejemplos: 8x3 + 36x2+54x+27 3 8x 3 = 2x signo del 2do término(+) 3 27 = 3 La factorización es (2x+3)3 a3-12a2b+48ab2-64b3 3 a3=a signo del 2do término ( - ) 3 64b 3 = 4b La factorización es (a - 4b)3 g).- Factorización de un binomio de la forma a3 + b3 Una expresión de la forma a3+b3 se conoce como la suma de dos cubos y su factorización se obtiene de la siguiente manera. 1) El primer factor se forma con la suma de las raíces cúbicas de ambos términos. 98
PNA – EPO216
2) El segundo factor es un trinomio cuya estructura se da a continuación.
-
Cuadrado del primer término
Producto de ambos términos
+
Cuadrado del segundo término
a3 +b3 = (a+b) (a2-ab+b2)
En general:
Ejemplos:
64x3+125y3
3
64x 3 = 4x
3
125 y 3= 5y
64x3+125y3= (4x+5y)(16x2-20xy+25y2) m3 n3 + 8 27
3
m3 m = 2 8
3
n3 n = 27 3
m3 8
+
n3 m n = + 27 2 3
m 2 mn n2 + 6 9 4
Una expresión de la forma a3-b3 se conoce como la diferencia de cubos y su factorización se obtiene de la siguiente manera. 1) El primer factor se forma con la diferencia de las raíces cúbicas de ambos términos. 2) El segundo factor es un trinomio cuya estructura se da a continuación.
cuadrado del primer término
+
En general:
producto de ambos términos
+
cuadrado del segundo término
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
99
PNA – EPO216
Ejemplos: 216x3-y6z3 3
216 x 3 =6x
3
y6 z3
= y2
z
216x3-y6z3=(6x-y2z)(36x2+6xy2z+y4z2) m3 n 3 2 125
3
3
m3 = 2
m 2
3
n n = 125 5
3
3
m n n m = 3 - 2 125 2 5
2 n2 mn m 3 + 3 2 + 5 22 25 4
Necesitas ser buen observador para saber el tipo de factorización que debes usar.
Ejercicio 28.
Factoriza las siguientes expresiones. 1)3x3+18x-33
2) y4-y3+y2
3)10z3-5z2+15z
4) 2x2y+5xy2+3xy
5) 42x3y2+28x3y4-56x2y2
6) 14a4b4c4+8a3b3c3
7) x (a+4)-y(a+4)+2(a+4)
8)m(8-a)+n(8-a)+
9)
4 3 2 5 a - a+ 3 3 3
10)
100
1 (8-a) 2
3b 3 5b 2 + - 2b 2 2
PNA – EPO216
11) x2-25
12) 36-x2
13) x4-y6
14) x4y2 – 12
15) x2y6-z2
16) 4a2-9b4
17)121a4-1
18) (2a+3)2 – 169b2
81a 2b 2 c 4 19) 144 125
2 2 a b c d 20) -
25
16
21) x2+10x+25
22) x2-12x+36
23) x2-2x+1
24) x2+x+
25) 49x2-14xy+y2
26) 64a2b4-16ab2c3+c6
a2 a 1 27) - + 9 6 16
28) 16x4+16x2y+4y2
29)a4b4+
4 2 2 4 2 a b c+ c 9 3
30)
1 4
1 6 4 1 3 2 4 9 2 8 a b - a b cd + c d 16 4 36
31) x2 + 5x+6
32) x2-3x-40
33) x4-8x2+15
34) x4-6x2y+9y2
35) x2-
7 x-2 2
36) x2-
17 x-2 3
37) 2a2-5a-12
38) 3b2-b-10
39) 4a2+2a-2
40)4a2+6a+2
41) 6b2+4b-10
42) 6b2-27b-15
43) 8a2-20a-12
44) 8a2+12a-8
45) 9b2-12b-5
46) 9b2-61b +14
47) xw+xz+yw+yz
48) xy+2y-xz-2z
49) 12xy –3xz+4wy-wz
50) 6xw+4xz+9wy+6yz
51) 2x3+x2-2xz2-z2
52)12a2b2-18a2d2+20cb2-30cd2
53) 3a3-b3+a2b-3ab2
54)8a3+12a2b-2ab4-3b5
55) 3a2-6ab+3b2+ab2-2a2b+a3
56)8a2-8ab+2b2+b3-4ab2+4a2b
57)x3+3x2y +3xy2+y3
58) 9x3-108x2+144x-64
59) 8x2-36x2y+54xy2-27y3
60)
61) 216a3+8b3
62) 64a6+b9 101
1 3 3 2 3 1 x + x + x+ 8 20 50 125
PNA – EPO216
63)
1 9 8 3 a + b 27 8
64) 343m3-1 9
6
m n 66) 64 8
65) 125 m12-n15
Ejercicio 29. Aplica los conocimientos que hasta ahora tienes para resolver los siguientes problemas. 1) Pasaba un gavilán por el palomar y piropeándose a las palomas les dijo. ¡Adiós mis cien palomas!, en seguida una de ellas le contestó: no somos cien, somos las que somos, más otro tanto de las que somos, más la mitad de las que somos, más la cuarta parte de las que somos y contigo gavilán somos cien. ¿Cuántas palomas hay en el palomar? 2) En un jardín de 7m de largo por 4m de ancho, se trazó una vereda diagonal de un metro de ancho, como se muestra en la figura y lo demás se sembró de pasto. ¿Cuántos metros cuadrados de pasto fueron necesarios?
4m
7m 3) La medida de los lados de un terreno cuya forma es un trapezoide son x 2, x2-x, 2x+2 y 3x+1, si x= 5m ¿Cuántos metros de tela de alambre se necesitan para cercarlo? 4) El largo de un rectángulo es 5x2+3x –2 y su ancho mide 6x+7. ¿Obtenga el polinomio que representa su área? 5) La longitud de una cuerda esta dada por 2x3+5x2+2x+5, si necesitamos cortarla en (x+3) partes iguales . ¿Cuál es el polinomio que representa la medida de cada parte? 6) La producción diaria de una empresa que hace quesos es de 4x4+8x3-x+2, si los distribuye equitativamente entre sus 2x+1 clientes. a) ¿Cuántos quesos le tocan a cada cliente? b) ¿Cuántos quesos le sobran diariamente?
102
PNA – EPO216
7) La cantidad de bacterias en un recipiente esta dada por la expresión 2x+3, si se reproducen diariamente en forma exponencial. ¿Cuántas bacterias habrá después de 1,2 y 3 días? 8) El área de un cuadrado es 9x2+30x+25 ¿Cuánto mide cada uno de sus lados? 9) El volumen de una cisterna en forma de cubo es 8x3-96x2+384x-512, si x=2m a) ¿Cuánto mide de lado? b) ¿Cuántos litros de agua le caben?
D.- Racionalización. Existen fracciones que contienen en su numerador, denominador o en ambos radicales irracionales. En este caso se hace necesario transformar la expresión en otra equivalente de tal manera que convenga presentar a cualquiera de sus partes (numerador o denominador) como un racional. Para lograrlo se utiliza el proceso conocido como racionalización el cual consiste en lo siguiente. 1) Se multiplica tanto al numerador como al denominado por el radical existente. 2) Se resuelven las operaciones indicadas. 3) Si es posible se simplifica. Ejemplos:
3 2
2
3 3 3 2 3 = 2 3
3 = 2
=
3 2 3
3 2 3
2 2
Lo más común es racionalizar el denominador
2 2 2 2 2 2 = = = 2 2 2 2 2
103
2
PNA – EPO216
2 = 2
2 racionaliza el denominador 3
2 3 3 3 =
2
6 3
2
=
6 3
6 2 = 3 3
Si el radical irracional es parte de un binomio. 1) Se multiplica tanto al numerador como al denominador por el conjugado del binomio que contiene al radical. 2) Se resuelven las operaciones indicados 3) Si es posible se simplifica.
Ejemplos:
4 3 2
El conjugado de 3 + 4 3 2
2 es 3 -
2 , entonces
3 2 4(3- 2 ) = 3 2 (3+ 2 ) (3+ 2 )
=
4(3 2 ) 4 = 7 3 2
3 3 2 5
4 3 2 2 32 2
racionaliza el denominador
104
=
4 3 2 92
PNA – EPO216
El conjugado de 2- 5 es 2+ 5 , entonces 3 3 2 5 2 5 2 5 =
3 3 2 5 2 5 2 5
=
3 3 2 5
45
=
=
3 3 2 5 2 5 2
2
3 3 2 5 1
3 3 = -(3+ 3 ) (2+ 5 ) 2 5
Ejercicio 30. En todos los casos, racionaliza el denominador. 1)
3 5
2)
4 a2
3)
7 6
4)
b 1 b 1
5)
1 a 1
6)
5 3 6
7)
2 3 8
8)
5 2 5 2
9)
6 3 5 2
10)
1 a 1 1 a 1
105
PNA – EPO216
E).- Expresiones algebraicas racionales. Se llaman expresiones algebraicas racionales aquellas que contienen literales en el numerador, denominador o en ambos, se clasifican en simples y compuestas.
Fracción algebraica simple. Es aquella en donde el numerador y el denominador son polinomios. Ejemplos: 5 · ; x
2
3 x2 ; 2
xx x 1
2
;
3x 5 x 2 2x 5
Fracción algebraica compuesta Es aquella que contiene una o más fracciones simples en su numerador, denominador o en ambos. Ejemplos:
2 x 1
5
3x+2 2 x 2 2
4 x 2x 1 2
3x 2 x2
a).- Operaciones con expresiones algebraicas racionales Las operaciones con expresiones algebraicas racionales responden esencialmente a los mismos principios de suma, resta, multiplicación y división de 106
PNA – EPO216
racionales. Por eso para resolverlas procedemos de manera similar, amén de aplicar algunos otros conocimientos que ya sabemos.
Suma y resta Si el denominado es el mismo, se procede de la siguiente manera. 1) Recorremos el mismo denominador 2) Sumamos los numeradores 3) Si es posible se simplifica Ejemplos: a 3a 2 a 2 3 a 3a 2 a3 + = b2 b2 b2 b 2 2
2
a 3a 2 a 3 = b2 2
a 2a 5 = b2
2a 2b 6a 6b 6a 6b 2a 2b + = ab ab ab ab
=
4a 4b ab
=
4a b ab
= -4
Si los denominadores son diferentes se procede así 1) 2) 3) 4)
Multiplicamos los denominadores Aplicamos productos cruzados Resolvemos las operaciones indicadas Si es posible se simplifica 107
PNA – EPO216
Ejemplos:
3x + x 1
3 x( x 1) 5 x( x 1) 5x = ( x 1)( x 1) x 1 3x 2 3x 5 x 2 5 x = x2 1
1 + x
x2 x
x 2 -4
=
8x 2 2 x x2 1
=
2 x(4 x 1) x2 1
x 2 (1)( x 2 4) x x = x( x 2 4)
=
x2 4 x 2 x( x 2 4)
=
x2 x 2 x( x 2 4)
=
( x 2)( x 1) x ( x 2)( x 2)
=
x 1 x ( x 2)
2x 3x 5 + - 2 = x2 x2 x 4
Observamos que x+2 y x-2 están contenidos en x2-4, por lo tanto éste es el común denominador, entonces.
108
PNA – EPO216
3x( x 2) 2 x( x 2) 5 2x 3x 5 + - 2 = x2 x2 x 4 x2 4
=
3x 2 6 x 2 x 2 4 x 5 x2 4
=
5x2 2x 5 x2 4
El común denominador es el mínimo común múltiplo
Multiplicación
Para obtener el producto de dos o más expresiones algebraicas racionales, multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador, finalmente simplificamos en caso de que sea posible. Ejemplos: (3)(5) 15 3 5 = = x ( x 2) x ( x 2) x 2 x 2 x 2 10 x x 5 2x 1 x 5 = 3x 2 3x 2 x 2 3x 2 x 1
=
2x 2 9x 5 3x 2 5 x 2
=
(2 x 1)( x 5) (3 x 2)( x 1)
División Para resolver una división de expresiones algebraicas, multiplicamos el dividendo por el recíproco del divisor y simplificamos cuando sea posible: 109
PNA – EPO216
Ejemplos:
5 x3
10 x 9
2
El recíproco del divisor es 5 x3
x2 9 , entonces: 10
10 5 = 2 x 9 x 3
=
x2 9 10
(5)( x 2 9) (10)( x 3)
= 5( x 3)( x 3) (2)(5) ( x 3)
=
x3 2
4x 2 3 2x 1 6
Aplicando productos de extremos entre medios, tenemos 4x 2 3 2x 1 6
=
= =
6(4 x 2) 3(2 x 1)
(2)(3)( 2)( 2 x 1) 3(2 x 1)
4
Ejercicio 31. Resuelve
las siguientes
operaciones (deja el resultado en forma
cociente) 110
de
PNA – EPO216
1)
2 x 1
-
x2 3x + x 1 x 1
2)
x2 x3
-
4x 3 + x3 x3
3)
2x 5
+
x 1 x2
4)
x 1 3 4x + x 1 x 2 x2
5)
5 7 6 + 2 x 3 ( x 3) ( x 3) 3
2x x 2 6) x 1 4 x 3 x 2 x 1 x 7) 2 x 2 x x 1
8)
3x 6 x
x2 x2
9)
5x 2 3x 1
2x 1 x4
10)
2x 1 3x 2 4x 2 9x 2 4
5 2x 5 3x 11) x 1 x 2 x 4
111
PNA – EPO216
5x 2 2 x 4 12) x 2 x3
x2 x2
b).- Simplificación de expresiones algebraicas racionales.
Para simplificar una expresión algebraica racional. Debemos obtener el factor común tanto del numerador como del denominador para poderlos cancelar. Ejemplos:
12, 18 6, 9 3, 9 1, 3 1
2 2 3 3
12 a 3 b 2 c 4 18a 2 bc
El factor común es 6a2bc
factorizando (6a 2 bc)( 2abc3 ) (6a 2 bc)(3)
2 a 3 b 2 c 4 2 abc 3 = 3 18a 2 bc
x 3 27 x2 9
( x 3)( x 2 3 x 9) ( x 3)( x 3)
x 3 27 x 2 3x 9 = x3 x2 9
x 2 4x 4 x2 x2 x 6 3x 3 6 x 2 9 x
112
PNA – EPO216
Factorizando ( x 2) ( x 2) x2
( x 3)( x 2) 3x( x 2 2 x 3)
x2 ( x 3)( x 2) 3x( x 3)( x 1) x2 1 x2 3 x( x 1) 3x( x 1)( x 2) x2
3x(x-1)
Ejercicio 32. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas racionales 1)
4 2x 2
3)
x 64 x3 8
2)
x2 x 2 ( x 1) 3
4)
x 4 16 x2 x2 x4
6
5)
x
1 x x
1
6)
1 x
2 1 x x 1 2
1 x
x
x 113
PNA – EPO216
7)
x 2 x 1 x x2
x2 y2 8) 2
x y x y
x y x y x y x y
3 x 5 x x 1 x 2
RESPUESTAS UNIDAD I
Sólo reactivos pares
Ejercicio 1, página 3 Inciso b 2) v ; 4) v ; 6) F ; 8) F; 10) F Ejercicio 2 , página 7 2) 37568 ;
4) 54248292 ; 6) 7834 ; 8) 353 ; 10) 500 ; 12) 15879
Ejercicio 3 , página 10 2) 7; 4) –22; 20) –8
6) –83;
8) 19;
10)-26;
12) –1; 14)-24; 16) –47; 18) 2;
Ejercicio 4, página 11 Inciso a 2) –90;
4)16;
) 32130;
8) 0 ;
Inciso b 2) (-15)(-8) ;
4) (n)(-m)
Inciso c 2) (-6) (8)(9) ;
4) w(v.z)
Inciso d 2) w=15;
4) y=49
Inciso e 2)(15)(14)-(15)(19);
4) (8)(-15)+8(-12)
114
10) 73008
PNA – EPO216
Ejercicio 2)
5 , página 19
47 ; 45
4)
31 ; 15
8)
49 ; 12
10) -
6) 1; 8)1; 10)-
32 ; 243
12) N.E; 14) 4
6)
27 ; 4
269 35
Ejercicio 6, página 23 2) -
92 ; 63
4)
19 ; 36
376 2 16) - ; 18)15 3
Ejercicio 7, página 25 4) –1.7320;
2) 1.1892;
6)-2.2360;
8)4.2426;
10) 3.1415
Ejercicio 8, página 27 2) 3
4) _
2
4
0
8
6)
8)
-
Ejercicio 9, página 28 Inciso a 1493 2) 90
Inciso b 2) Conmutativa de la adición ,
22 ; 3
4) Inverso aditivo, -4
115
PNA – EPO216
6) Distributiva,
427 ; 20
8) densidad, >
10) Neutro aditivo,
0 4
Ejercicio 10, página 32 2) 93.75,
8) 1
4)
7 de pulgada; 8
11 de hectárea 28
6) sobran 3
10)7.75 botellas;
14) En un año;
12)535
13 litros; 24
1 kilómetros 6
16) 0.7071
18) x
1+
1 10 100 1 000 10 000 100 000 1000 000
1 x
x
1 1 x 2 2.59374 2.70481 2.71692 2.71814 2.71826 2.71828
2 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001
Ejercicio 12, página 36
i H
B J D
F
J J
R
116
PNA – EPO216
Ejercicio 13, página 39 Inciso a 2)-5-ll i ;
12) -
4) –12-13 i ;
6) 40+16 i ;
8)
9 7 i ; 13 13
10) –1;
11 17 + i 20 20
Inciso b 2) a = 8 b= -5;
4) a= -13 b= -6;
6) a=
5 b= -2 3
UNIDAD II Ejercicio 14, página 44 Inciso a 2) 3r= 57
4) A=
r 2 ; 2
6) H2O;
8) C2H4O2;
10) NH2
Inciso b 2) Es el cambio de la velocidad de un cuerpo en un tiempo determinado 4) “Dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa”5 6) cloruro de sodio (sal común);
8) Alcohol metílico
10)Azúcar
5
Pérez Montiel, Héctor, Física General, P. 154
117
PNA – EPO216
Ejercicio 15 página 47 Término
Coeficiente
Variables
Exponentes
2 3 -1 xy z 5
2 5 0.3
x,y,z
3,-1,1
w,y,z b,h
1 ,-2,1 2 1
p,a
1
, h
2,1
1 2
0.3w y-2z b.h 2 p.a 2 2 .h 3
1 2 1 2 1 3
Ejercicio 16 página 49 2) Monomio;
4) binomio;
6) monomio;
8) monomio;
10) polinomio
Ejercicio 17 página 50 2) 3er. grado;
4) 1er. grado;
6) 6to. grado; 8) 5to. grado; 10) 4to. grado
Ejercicio 18 página 52 2) –15;
4) –84;
6) –2;
8) –222;
10) –28.34
Ejercicio 19 página 56 Inciso a 2) 1 :
6) –0.25
4) 81 ;
8) 1;
10)
16 ó 0.64 25
12) 31.0062
8)
10)
Inciso b 2) 2x2_ ; y2 12)
97 ; 16
4)
14)
1__ ; 2a b 3
6) 2m7_ n6
41 9
Ejercicio 20 página 58 118
1__ ; 4x14
c8_ 2b5
PNA – EPO216
Inciso a 2) 9.5 x 1012 ;
4) 4 x 10-7 ;
6) 26.5 ;
8) 9.86 x 10-7
4) 2.273 x 109 ;
6) 8.561 x 10-3
Inciso b 2) 2.58 x 10-1 ;
Ejercicio 21 página 62 Inciso a 2) 3 3 ;
4) 9 ;
6) 6 ;
8) 4 ;
10)
5 ; 12
12) 27 6 35 ;
14) 3 3
Inciso b 2ab2
2a ;
4) 2a2b2
4
4ab2c ;
6) _3x2
3
y x2
8) x2y2
;
xy
y2 10) x2
x ;
12)
1 20
77
;
14)
1 m12 m
;
1
16)
m 4 15 m7
UNIDAD III Ejercicio 22 página 66 2) –9b ;
4) 3bx – 3ax ;
10) 17x y2 - xy2 ; 12 4
12) 13 - 4 ; x2
2 3 6) 17 ab- ac - ; 4 3 15
8)
19 25 ax + bx 20 7
14) 2x – 11 + 3 x3
Ejercicio 23 página 69 Inciso a 2) –2x + 6y – 4z ; 4) 2x2y – 9xy2 + xy +5 8)
-9x3+
19 2 9 44 x + x; 3 2 5
6) 15x2y3+ 7x3y2 - x2y2 – xy – 2
x 2 y xy 2 xy 10) 6 6 20
Inciso b 2) 8x –2y –6z ;
4) 2x 3 – 2x2 – 8x + 5 ;
6) 3x3y2 – x2y2 – 6x2y3 + 14 119
PNA – EPO216
8) 6 x 3
11x 2 x 6 ; 3 2 5
Ejercicio 24 ,
10) –
x2 y + 6
5 xy 2 9xy 6 20
página 71
Inciso a 2) 10a5b4 ;
4) 12x3+11x2-23x+6;
8) 25x2-30x+9;
6) 6x4-x3-31x2-52x-32
10) 9x2-9x-40 ;
12)
4 2 9 2 x y 16 25
Inciso b 38 1 mn 3 5 1 4 4 8) m2n2 + mn –2m2n-3mn2 + 15 25 9
2) 8m6n3 – 36m5n4 + 54m4n5 – 27m3n6 ; 6) 3m2n + 5mn2 +
18 1 mn + ; 3 5
10) m4n2 – 11m3n3 +
4) 6m2n + 10mn2 +
36 2 54 2 3 2 m n – m2n3 – 6m2n4 m n+ mn2 3 5 5
Ejercicio 25 página 74 2)
9c 2 d ; 4ab
5)
8) 8 + 4x – x2y ; y
5 mn2 – 2mn + 6m2n – 4 ; 4
6) 4m2n + 7mn2-6
10) 4 y + 5 x - _2_ 9 6 15
Ejercicio 26 página 79 Inciso a 2) –3a2 – a – 6, residuo 21 ;
6)
4) –2x3 +
36 678 4 2 18 x x+ , residuo 25 125 125 5
13 3 2 9 5 9 x + x - x - , residuo ; 8 4 4 8 2
8) 4x2 – xy +
10) x2-4xy +4y2 , residuo -4y3 + 6xy – 4y + 5
120
5 2 y , residuo –y3 2
PNA – EPO216
Inciso b 4) x2 + 4x –4, residuo 0
2) 4x3 + 11x2 + 20x + 41, residuo 82 ; 6) x – 6, residuo 0 ;
8) x3 + 3x2 + 9x + 27, residuo 0
Ejercicio 27 página 86 16 4 4) 16a2 + 5 a + ; 25
2) y2 – 28y + 196;
8) 25m4 + 15m2n +
9 2 n ; 4
10) x2w + 2xwyw + y2w ;
12) x2a-2 – 2xa-1 ya+3 + y2a+6 18) 4a4 – 9b2 ;
14) y2- 169 ; 20) 25m4 -
24) 4x2- 12xy + 9y2 – z2 ;
30) 9a4 -
38) w2 -
16) 16a2 -
9 2 n 4
4 ; 25
22) x2w – y2w ;
26) x2 –9x –52 ;
3 2 7 a ; 9 2
34) m10 + (n2 -
6)4a4 + 12a2b + 9b2
28) z2 +
1 1 z6 6
32) 49a4b6 + (2b – 4a) 7a2b3 – 8ab ;
1 1 2 ) m5 + n 6 6
58 161 w+ 5 5
36) x2b+2 + (-ya+3- za+3) xb+1 + ya+3 z a+3 ;
40) y3 – 12y2 + 48y – 64 ;
96 2 48 8 a + a+ 44) 8a6 + 36a4b + 54a2b2 + 27b3 ; 125 25 5 27 2 2 27 3 46) 8m6+18m4n + mn + n 2 8 48) x3w + 3x2wyw + 3xwy2w + y3w ; 50) x3a-3 –3x2a-2ya+3 + 3xa-1 y2a+6 – y3a+9
42) 64a3 +
Ejercicio 28 página 100 2) y2 (y2 – y + 1) ; 4) xy(2x + 5y + 3) ; 8) (8-a) (m + n +
1 ) ; 2
10)
6) 2a3b3c3 (7abc + 4)
3 5 4 b (b2 + b - ) ; 3 3 2
121
12) (6+x) (6-x)
PNA – EPO216
14) x 2 y 12 x 2 y 12 ; 18) (2a+13b+3)(2a-13b+3)
22) (x-6)2;
24) (x+
3 1 30) a 3b 2 cd 4 4 6
1 2 ) 2
16) (2a+3b2)(2a-3b2); a b (c d ) 2 a b (c d ) 2 20) 5 5 4 4
26)(8ab2-c3)2
28)(4x2+2y)2;
32) (x+5)(x-8);
34)(x2-3y)(x2-3y);
2
1 36)(x-6)(x+ ) 3 42)(6b+3)(b-5)
48) (x+2)(y-z)
38)(3b-5)(b+2);
40)(2a+2)(2a+1);
44) (2a+4)(4a-2);
46) (9b+2)(b-7);
50)(2x+3y)(3w+2z);
52)(3a2+5c)(4b2-6d2);
54) (2a+b2)(2a-b2)(2a+3b)
56) (2a-b)2 (b+2);
58) (3x-4)3;
3
1 1 60) x ; 5 2
62) (4a2+b3)(16a4-4a2b3+b6)
64) (7m-1)(49m2+7m+1);
m3 n 2 m 6 m 3 n 2 n 4 66) 8 16 4 4 2
Ejercicio 29, página 102 2) 28-4x;
4) 30x3 +53x2+9x-14;
6) 2x3+3x2-
3 1 7 x + ,residuo ; 2 4 4
8) 3x+5
Ejercicio 30, página 105 4 a2 2) ; a2
10)
4)
b2 1 ; b 1
5 3 6 6) ; 3
a 1 1 a
122
5 2 8)
2
23
PNA – EPO216
Ejercicio 31, página 111 2) x-1;
12)
4)
8 8 x 3x 2 x2 4
6)
x2 ; 2( x 1)
8) 3x;
10)
3x 2 ; 2
3 x 2 22 x 8 x2 5x 6
Ejercicio 32, página 114 2)
x2 ; ( x 1) 2
4) (x+4)(x2+4) ;
6)
123
x 1 ; 4
8)
( x y) 2 2( x y )
PNA – EPO216
Glosario La simbología que a continuación se enlista es la utilizada en esta obra y en términos generales, obedece al orden de aparición en la misma.
Símbolo
Significado
Símbolo
Significado
Conjunto
an
Potencia enésima
Tal que...
Raíz Cuadrada
Por lo tanto
Subconjunto
I a I
Valor absoluto
No es subconjunto
Entonces
Pertenece
Conectivo “y”
Raíz cúbica
3
No pertenece
Unión
Diferente
Intersección
Más o menos igual
Números naturales
>
Mayor que
Z
Números enteros
<
Menor que
Q
Números racionales
Mayor o igual que
Números irracionales
Menor o igual que
R
Números reales
( )
Intervalo abierto
C
Números complejos
Intervalo cerrado
+
Suma o adición
Intervalo semiabierto
-
Resta o sustracción
Infinito; no existe
()
Multiplicación
Pertenece a la gráfica
División
No pertenece a la
=
Igual
gráfica
124
PNA – EPO216
Bibliografía
Alvarado G., Rodolfo. Álgebra para preuniversitarios. Esfinge México, 2001. Anfossi, Agustín. Álgebra . Progreso, México, 1998. Baldor, A. Álgebra. Publicaciones Culturales, México, 1998. Bernet, Rich. Álgebra elemental. Mc. Graw, México, 1995. Diccionario enciclopédico, Éxito. Océano, México. Fuller, Gordon, Álgebra elemental. CECSA, México, 1995. Hernández, Marco F. Reglas y fórmulas de la matemática moderna. Siglo nuevo. Lehmann, Charles H. Álgebra. Limusa, México, 1994. Newman, Jaimes R. Sigma, el mundo de las matemáticas. Grijalbo, México, 1979. Orozco, Edgar. Álgebra I Ángora. Pérez Montiel, Héctor. Física General. Publicaciones cultural, México, 2000. Rees, Sparks. Álgebra. Mc. Graw Hill, México,1994. Swokowski. Álgebra y Trigonometría editores, México, 1997.
125
con Geometría analítica. Thomson
