01 - ALGEBRA I

GUÍA 1 - CIENCIAS

1. NEGACIÓN: No…, Nunca…, Jamás…, Es falso que…, No es posible que…, Es mentira que…, No es cierto que…, De ninguna forma…, Es absurdo que…, *Tabla de verdad: p V F

2. CONJUNCIÓN: y…, …además…, …también…, ...sin embargo…, …no obstante…, …tal como…, …al igual que…, …así como…, …incluso..., …pero…, …aunque…, …a la vez *Tabla de verdad: p q p q V V V V F F F V F F F F 3. DISYUNCIÓN INCLUSIVA: O…,…salvo que…, a menos que…,…excepto que… *Tabla de verdad: p q p q V V V V F V F V V F F F 4. DISYUNCION EXCLUSIVA: O...…. o…..., O bien… o bien…., *Tabla de verdad: p q V V V F F V F F

7. BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIÓN: Si y solo si…, siempre y cuando…, …es idéntico a…, …equivale a que…, …es…, .....entonces y solo entonces…,…siempre que y sólo cuando…,…es una condición necesaria y suficiente…., etc. *Tabla de verdad: p q p q V V V V F F F V F F F V 8. NEGACIÓN CONJUNTA: *Símbolo: Scheffer

p F V

O es que….. o es que...…, p q F V V F

1

p

q

*Palabras usuales: No…y no…, Ni… ni… *Tabla de verdad: p q p q V V F V F F F V F F F V *Equivalencia: p

q

p

q

9. NEGACIÓN ALTERNA: *Símbolo: Scheffer *Palabras usuales: No… o no… *Tabla de verdad: p q V V V F F V F F *Equivalencia: p q p q

p

q

p q F V V V

LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

5. IMPLICACIÓN MATERIAL O CONDICIONAL DIRECTA: Entonces....., ..…por lo tanto.…, ….por consiguiente…., .…luego…, ....en consecuencia…., ....por ello.…, ….implica que…., …de modo que …, …es obvio que…, etc. *Tabla de verdad: p q p q V V V V F F F V V F F V 6. REPLICA MATERIAL O CONDICIONAL INVERSA: Siempre que …, …si es que…, debido a que…, …dado que…, …puesto que…, …ya que…, …porque…, etc. *Tabla de verdad: p q p q V V V V F V F V F F F V

1. Leyes de la conjunción: 1.1 p p p (Idempotencia) 1.2 p q q p (Conmutativa) 1.3 (p q) r p (q r) (Asociativa) 1.4 p p F (No contradicción) 1.5 p V p 1.6 p F F 2. Leyes de la disyunción: 2.1 p p p (Idempotencia) 2.2 p q q p (Conmutativa) 2.3 (p q) r p (q r) (Asociativa) 2.4 p p V (Tercero Excluido) 2.5 p V V 2.6 p F p 3. Leyes distributivas: 3.1 p (q r) (p q) (p r) 3.2 p (q r) (p q) (p r) 4. Ley de la condicional: p q p q 5. Leyes de bicondicional: 5.1 p q (p q) (q 5.2 p q (p q) ( p

p) q)

… 20 años insuperables en tu t u preparación Alexande Alexander F leming leming

2

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6. Leyes de disy. Exclusiva: 6.1 p q (p q) 6.2 6.2 p q (p q) ( p q)

P Q R

10. Dilema Destructivo (DD)

7. Ley de doble negación: ( p) p 8. Leyes de morgan: 8.1 (p q) p q 8.2 (p q) p q

P

R S S Q ( DD )

LÓGICA DE CLASES 1. IDEA DE CLASE: CLASE: Es la reunión de elementos de características similares. Para una mejor comprensión de la teoría de clases, se debe considerar a las clases como conjuntos.

9. Leyes de absorción: 9.1 p ( p q ) p 9.2 p ( p q ) p 9.3 p ( p q ) p q 9.4 p ( p q ) p q

2. PROPOSICIONES CATEGÓRICAS: Son CATEGÓRICAS: Son aserciones entre clases, en las cuales unas clases están totalmente o parcialmente incluidas o excluidas en otras. Las formas típicas o estándar de las proposiciones categóricas son las siguientes:

CIRCUITOS LÓGICOS CIRCUITO EN SERIE: P Q Q

P

CIRCUITO EN PARALELO: PARALELO: P

Q

A: Todo S es P

Universal afirmativa

E: Ningún S es P I: Algún S es P O: Algún S no es P

Universal Negativa Existencial Afirmativa Existencial Negativa

P

3. DIAGRAMAS BOOLEANOS:

Q

A Todo S es P SaP

INFERENCIAS NOTABLES Son inferencias que por su estructura siempre resultan ser válidas.

1. Modus Ponendo Ponens (PP)

P

Q

P Q

(P P)

P

Q Q

2. Modus Tollendo Tollens (TT) P

P Q

5. Silogismo Hipotético (SH)

P Q Q P (S (SD )

Q R R (S ( SH )

P Q P Q ( C) C)

6. Conjunción (C)

P Q P ( S)

7. Simplificación (S)

8. Adición (A)

P

I algún S es P SiP

(TT )

P Q P Q (S (SD)

3. Silogismo Disyuntivo (SD)

E Ningún S es P SeP

O algún S no es P SoP 4. CUADRO DE LAS OPOSICIÓN TRADICIONAL ( BOECIO): Es BOECIO): Es un cuadro que resume de una manera simple las relaciones entre las formas típicas de las proposiciones categóricas:

P Q Q (S)

P P Q ( A)

9. Dilema Constructivo (DC)

P R Q S P Q R S ( DC )

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S U B A L T E R N A N T E S

S U B A L T E R N A S

A

CONTRARIAS

E

C O A A S N T R I O R T A D I C C I C A T O R T R N I A S O C

I

SUBCONTRARIAS

O

S U B A L T E R N A S

S U B A L T E R N A N T E S

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SILOGISMO CATEGÓRICO 1. DEFINICIÓN: Es una estructura formada por tres proposiciones categóricas, donde dos de ellas son llamadas Premisa Mayor, Premisa Menor y otra es llamada Conclusión. 2. TÉRMINOS DE UN SILOGISMO: Son tres: 2.1 Término Mayor (P): Es (P): Es el predicado de la conclusión y se encuentra en la Premisa Mayor. 2.2 Término Menor (S): (S): Es el sujeto de la conclusión y se encuentra en la Premisa Menor. 2.3 Término Medio (M): (M): Se encuentra en las dos premisas, pero no está en la conclusión. 3. FIGURAS DEL SILOGISMO: Son las diferentes posiciones en las que encontramos ubicado al Término Medio, estas son:

Mayor Menor Concl.

1raF

2daF

3raF

4taF

MP SM SP

PM SM SP

MP MS SP

PM MS SP

Ejm. Ningún roble es arbusto y todo roble es un árbol, ningún árbol es arbusto

MP MS SP

Ejm. Algún músico es pianista y todo artista es músico, cierto pianista es artista.

PM MS SP

E: corresponde a la premisa mayor O: corresponde a la premisa menor I: corresponde a la conclusión 5. FORMA DE UN SILOGISMO: Es colocar ordenadamente el modo y figura de un silogismo. Ejm. Todas las frutas son dietéticas, y algunas frutas son económicas, pocas dietéticas son económicas. MP MS SP

6. MODOS VÁLIDOS DEL SILOGISMO: Se sabe que los modos posibles que se pueden organizar con tres términos son 64 en total, pero esto es en una sola figura, lo cual indica que en total se puede obtener 256 silogismos totalmente diferentes, de los cuales solamente 24 son válidos, de ellos 19 se les conoce con una nombre latino con las vocales de las proposiciones categóricas, estos modos válidos son los siguientes: 1RA FIGURA BARBARA CELARENT DARII FERIO AAI EAO

2DA FIGURA CESARE CAMESTRES FESTINO BAROCO AEO EAO

4TA FIGURA BAMALIP CAMENES DIMATIS FESAPO FRESISON AEO

Los modos tradicionales que están subrayados son los convalidados mediante la llamada Premisa Existencial. Los modos tradicionales que no tienen nombre son los reivindicados mediante la llamada Premisa Existencial. Ejm. Todo pescador es madrugador, y ningún madrugador es ocioso, ningún ocioso es pescador. Fig: 4ta Modo: A E E PM Forma: A E E – E – 4 4 MS Validez: Válido SP (CAMENES) Ejm. Cada anarquista es rebelde, además cierto testarudo es rebelde, existen testarudos anarquistas. Fig: 2da Modo: A I I PM Forma: A I I – I – 2 2 SM Validez: No válido SP

4. MODOS DEL SILOGISMO: Están constituidos por las diferentes 01 formas típicas de las proposiciones categóricas, en el orden antes mencionado, es decir: decir: Premisa Premisa Mayor, Premisa Menor y luego la conclusión. Ejm. Ningún insecto es vertebrado, y cierto vertebrado no es alado, algún alado es insecto. Modo: EOI

Fig: 3ra Modo: I A I Forma: I A I – I – 3 3

3RA FIGURA DARAPTI FELAPTON DATISI DISAMIS BOCARDO FERISON

3

La palabra falacia proviene del término “falaz” “falaz” que significa engaño, mentira. Falacia es una idea equivocada ó creencia falsa. Las falacias pueden ser: 1. Formales.- Cuando se transgreden las leyes y principios de la lógica aquí la solución para este tipo de de falacia es aplicar la lógica. 2. No formales.- se formales.- se dan cuando el error de razonamiento se debe a la falta de atención al tema o por la ambigüedad por el uso de lenguaje. Las mismas que se dividen siguiendo a Irving M. Copi en: a) falacia de atingencia b) falacia de ambigüedad. A.- LAS FALACIAS FALACIAS DE ATINGENCIA ATINGENCIA Se comete esta clase de falacias en los que se concluye sin tener nexo integral con las premisas. Pero no deja de haber alguna vinculación por pequeña que sea. Y precisamente de ahí parte el engaño, la falacia Estos son: A.1. Conclusión inatingente.- Cuando inatingente.- Cuando el razonamiento destinado a establecer una conclusión, se usa para probar una conclusión diferente. Ejemplo: “afirmar que el asesinato es terrible y concluir que el acusado es culpable”. “el proyecto arquitectónico del ingeniero López debe aceptarse aceptarse por que el embellecimiento de la ciudad es un viejo anhelo de los habitantes”. (se insiste sobre dicha necesidad, pero no se analiza el proyecto mismo).


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A.2. Actitud ofensiva (ARGUMENTUM AD HOMINEN).Significa literalmente “argumento dirigido contra el hombre”, es decir esta falacia se produce cuando en lugar de probar la validez de un razonamiento por el, razonamiento mismo, se pretende demostrar falsedad atando a la persona que la planteo. Ejemplo: “no es cierto lo que dices eres testarudo”. “la teoría de la relatividad es falsa por que que Einstein es mujeriego”. “destituir al rector de la universidad por ser un “burgués” y no por su labor administrativa y docente”. A.3. Apelación a la fuerza (ARGUMENTUM AD BACULUM).- Es BACULUM).- Es la apelación a la fuerza o a la amenaza de fuerza, para provocar la aceptación de una conclusión. Ejemplo: “Si no apruebas el curso, te castigo”. castigo”. “Estarás estudiando mucho hijo, si no ya sabes”. sabes”. “Terrorismo político”. A.4. Argumento por la ignorancia (ARGUMENTUM (ARGUMENTUM AD IGNORATIAM).- IGNORATIAM).- Cuando se sostiene que una proposición es verdadera, por que no se ha demostrado su falsedad o es falsa, por que no se ha demostrado su verdad. Ejemplo: “Afirmar que existen fantasmas” “Negar que no existen fantasmas”. A.5. Circunstancial.- Se produce esta falacia cuando se exige que se acepte o se rechace determinado razonamiento mismo, si no por la posición o situación del a persona. Ejemplo: “Usted tiene que ser comunista por que es un obrero”. A.6. Apelación a la Piedad (ARGUMENTUM (ARGUMENTUM AD MISERICORDIAM).- MISERICORDIAM).- Es la falacia que se comete cuando se recurre a la piedad, clemencia para lograr que se acepte una determinad conclusión. Ejemplo: “pedir absolución de un CRIMINAL CRIMINAL por que es padre de cinco hijos” “He dado mal mi examen por que mi mama estaba enferma, dame otra oportunidad” A.7. Llamado al pueblo (ARGUMENTUM AD POPULUM).Cuando se dirige una llamada emocional al pueblo con el fin de ganar su asentimiento para una conclusión que no está sustentada en pruebas. Ejemplo. “el político que efectúa su campaña electoral argumenta que el debe recibir nuestros votos por que todo el mundo vota por el”. “comer una cierta marca de cereales es proclamado un deber patriótico”. A.8. Apelación a al autoridad (ARGUMENTUM AD VERECUNDIAM).- Se VERECUNDIAM).- Se comete esta falacia cuando se aprovecha el sentimiento de respeto que siente la gente por las personas famosas, para lograr implantar una conclusión. Ejemplo: “Apelar a las opiniones de un gran físico como Einstein, para dirimir una discusión sobre política ó economía”. eco nomía”. “Cuando “Cuando se nos insta a tomar una marca de gaseosas porque algún jugador de fútbol afirma su superioridad” superioridad”

A.10. La causa falsa.- Cuando falsa.- Cuando se concluye a partir de una causa que no tiene relación, o simplemente fue anterior. Ejemplo: “Llueve porque los indígenas de Norteaméric_B a bailan la danza de lluvia”. “Ya ves, él ingreso a la universidad porque se encerró en su cuarto tres días antes”. A.11. Petición de principio.-Cuando principio.-Cuando se toma como premisa de un razonamiento la misma conclusión que se pretende probar. “por supuesto que existe papa Noel pero no le lleva regalos a los que no creen en el”. “Por supuesto que Dios Existe, pero solo le hace milagros a los que creen en el ”. A.12. La pegunta compleja.- Cuando compleja.- Cuando hay varias preguntas y se exige una sola respuesta. Ó cuando una pregunta supone otra pregunta anterior que ya ha sido respondido. Ejemplo: “¿A dejado Ud de pegarle a su hijo?”. “¿A abandonado Ud sus malos malos hábitos?”. “¿Qué hizo con el dinero que robó?”. robó?”. (Se supone que anteriormente lo hacía). B: LAS FALACIAS DE AMBIGÜEDAD Contiene palabras ó frases ambiguas, cuyos significados cambian en el curso del razonamiento. Hay varios casos que examinaremos: B.1. EL EQUIVOCO.- cuando se usan dos significados de la misma palabra. Ejemplo: “un elefante pequeño, es un animal animal muy grande”. B.2. LA ANFIBOLOGÍA:ANFIBOLOGÍA:- Cuando hay ambigüedad debido a la estructura gramatical de las premisas. Ejemplo: “El perro de mi vecino”(La palabra perro puede ser sustantiva ó adjetiva). B.3. EL ENFASIS:-Cuando ENFASIS:-Cuando la validez depende de un cambio ö una alteración en el significado, según las partes que se recalquen ó destaquen. Ejemplo: “Golpe de estado en el Perú”, y mas abajo en letras pequeñas “temen los analistas”. B.4. LA COMPOCICION.- cuando COMPOCICION.- cuando a partir de las propiedades de las partes de un todo, se razonan hacia las propiedades del todo mismo. Ejemplo: “Si toda las partes de una maquina son livianas, livianas, entonces la maquina es liviana”. B.5. LA DIVICION.- DIVICION.- Cuando lo que es cierto de un todo, debe serlo también para cada uno de sus partes. Ejemplo: “Puesto que tal empresa es importante, el señor x de esa empresa necesariamente importante”

A.9. Accidente.- Accidente.- Cuando se aplica una regla general a un caso particular cuyas causas accidentales hacen inaplicable la regla. Ejemplo: “Esta medicina le hace bien a la mayoría, no creo que te afecte, toma”


GUÍA 1 - CIENCIAS a. I y II d. Todas

PRACTICA 1

8. Simplificar: ~ p

LOGICA PROPOSICIONAL 1. Hallar p V, q F, r F indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ~ p (q r) II.

p q

~p ~ q

III. ~ p q a. VVV

b. VVF

~p q

p ~r

~q q

q r

c. VFV

d. FVV

e. FFF

b. FVF

c. FFF

3. Si Las proposiciones (a) y (b) son falsas, halle los valores de verdad de I, II, III. A. ~ P q r s r B. ~ p q C. n p

~r

D.

r)

a. VVV

s

(p

b. VVF

c. VFV

d. FVV

b. Sólo II e. N.A.

e. VFF proposiciones

son

q

V.

q

VI. a. 1

p

III. p q

11.

b. P

p

p

e.

A

C

q

~

~q p

B

c. A & C C

q. c.

~p

d. V

b. B v C e. A v C

b. p r

p v q

~

p q

C v - A&B &

12. Simplificar: a.

d.

c. q

r .

q

r.p d.

r

p e. p

r . p

~r) (~p q) (p l r) b. T c. F d. ~ r↓p

a. p I p I q

a. p c. Sólo 3

d. Sólo 1 y 3

b. q

18. Simplificar: a. p → q d. q v ~ p

p

c. ~

~

c.

~ (p (p q) q)

p v q

~

p

c.

~

(~ p. p. r) r)

p

p r s vt

p

e. r← q

~q

b. p . q e. p ~ q

17. Simplificar: ~ p

d.

r

~

p (p v ~ q) b. q → p e. p v q

~p ~r

rv s

e. ~ s

c. p Λ ~ q

19. Reducir: ~ ~(p q) q ) ~q) a. p v ~ q b. ~ p Λ q

p

c. 4

20. Simplificar:

p ~q (~ p q)

q

c. p Λ q d.

d. 4

p q ~ p q

b. ~ p

~p

~ q

e. 0

21. La proposición equivale: ~ p q

~

q

b. ~ p Λ q e. q

22. Simplificar: p q a. p Λ q d. p Λ ~ q

d.

p

a. p

a. p v q d. p

c. q

q

p

7. Si (p ↓ q) significa “ni p ni q”. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías? I. p q q p pv q II. ~ p q

q

p ~q

~

p

e. p v q

p ~q

~p (p ~ q)

b. 2

~

16. Simplificar: ~(~p q) a. F b. V d. p ~ q e. ~ q

q p

IV. ~ p

c.

a. p v ~ q d. ~ p . ~ q

6. ¿Cuántos esquemas moleculares tautológicos se observan? I. p (p ~q ~q) II. ~ (p (p ~ q ) (q ~ q) q) q

a. p Λ q b. p

~p

15. Simplificar: p ~ (q p) p)

c. Sólo III

b. Sólo 2

III. p

p ~q

14. Simplificar: (~q

5. Hallar cuáles son tautologías: 1) (p ~q) ~q) ~(q ~(q ~p) 2) (~p q) q) ~(p q) 3) (~p q) ~(q ~q) a. Sólo 1

9. Simplificar:

~p q

13. Simplificar: ~ (~q p) (~p q) a. p Λ q b. p → q c. p← q d. p v q e. p ↔ q

p

4. Indica cuales de las siguientes contradicciones: I. ~(p q) (p ~q) ~q) II. ~(p q) (p ~q) ~q) III. ~(p q) (~p ~ q) q) a. Sólo I d. Todas

b. q → p d. ~ q → ~ p ~ p

a. A v B d. A & C & C

d. VVF

q

a. p → q c. ~ p → q

a. F

~ p q , es falsa, hallar los

c. II y III

p ~q

10. Simplificar: ~ p

2. Si la siguiente proposición: q r valores de verdad de p, q y r. a. VFF

b. II y III e. N.A.

5

~q

b. p v q e. q v ~ p

r

e. p v

~

~r c. p v

~p

p

q

p ~

q

~ q

p

q

p q c. ~ p Λ q q


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23. Simplificar:

B&A

a. A

c. A & B & B d. A v B e. A ? B

b. B

B

A

A

24. Simplifica: ENpApNq a. KNpq b. NApq d. Nkpq e. Anpq

c. KpNq

25. Simplifica: JNKNpqCNqp a. Np b. Cpq d. Kpq e. Jpq

c. Nq

26. Simplifica: NENKpNqCNpq a. Nq b. Kpq d. KNpq e. N.A.

c. Jpq

B &

A B

31. Simplificar el circuito:

a. p d. p Λ ~ q

b. q → p e. ~ p Λ q q

c. p → q

32. Determinar la proposición simplificada de:

27. Si Se tiene la tabla de verdad siguiente:

a. p Λ ~ qb. d. p v ~ q

a. q@ q@p d. ~ q@p

Simplifica: q@(p@

~

q)

b. p@q e. ~ p@ ~ p

c. ~ p@q

~

pvq e.

c. p v q ~

p Λ ~ q

33. Reducir el circuito:

28. Sea el operador “* “*” definido por: p * q ~ ( ~ p → q) Entonces. ¿Cuál es la expresión más simplificada de: a. p v p v q c. ( ~ p v q) e. ~ p q

p *p *p * q * p * r * t b. ( ~ p v q) Λ ( ( ~ p Λ r) r) d. ~ p ~ r t

~p

q

p

r

r

a. p Λ ~ q d. ~ q v ~ p

b. q Λ p p c. ~ p Λ e. p v ~ q

~

q

t

34. La proposición simplificada de: 29. ¿Cuántas afirmaciones son verdaderas? I. ↓ Es idempotente II. ↓ Es conmutativa III. F es la identidad de ↓ IV. ~ p↓ ~ q p v q a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

e. 4

a. p Λ ~ qb. q Λ ~ p d. p v ~ q e. p Δ q

c. p→ q

35. Reducir:

CIRCUITOS LOGICOS 30. El circuito lógico más simple de.

Es:

a. b.

a. ~ (p v q) d. ~ (p Λ q)

c.

36. Al 36. Al simplificar:

b. ~(q Λ ~ p) e. ~(~ q Λ p) p)

c. F

d. e. a. (p v r) v (q Λ ~ r) c. (r v p) Λ (q Λ ~ r) e. N.A.


b. (p v r v ~ q) Λ (p Λ r) d. (r v p v ~ q) Λ ~ (p Λ r)

GUÍA 1 - CIENCIAS INFERENCIA LOGICA 1.

4. Por conversión obtenga la conclusión que se deriva válidamente de cada una de las siguientes proposiciones. 4.1. Todos los desiertos están deshabitados. 4.2. Ningún mapa del desierto es suficientemente claro. 4.3. Ningún ser vivo es inorgánico.

P1) p → q P 2) p P3) q → r // r

2.

P1) p→ ~ q P2) r → q P3) p // ~ r

3.

P1) ~ p P2) q → p P3) ~ r v q // ~ r

4.

P1) ~ p Λ ~ q P2) ~ q → (r → s) P3) (t → r) r) v p // t → s

5.

P1) ~ (p v q) P2) r → (p v q) P3) r v (s → p) p) // ~ q Λ ~s Λ ~s

6.

P1) (p v r) → ~q P2) r → s P3) (s v ~ r) → p P4) s → q // r → t

7.

P1) ~ (p → q) P2) (q → r) → (s Λ t) P3) (p Λ s) → k P4) w → ~ (t Λ k) // p ↔ ~ w

8.

P1) ~ (p → q) P2) (q → r) → (s Λ t) P3) (p Λ s) → k P4) w → ~ (t Λ (t Λ k k)) // p ↔ ~ w

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5. Por obversión obtenga el equivalente de cada una de las siguientes proposiciones: 5.1. Todos los curanderos son pintorescos. 5.2. Ningún auto deportivo es aburrido. 5.3. Algunas escrituras no son. 6. Si la proposición algunos religiosos no son políticos es es verdadera, determine respecto de ella si es verdadera, falsa o indeterminada cada una de las siguientes proposiciones, y por qué. 6.1. Ningún religioso es político. 6.2. Algunos religiosos son apolíticos. 6.3. Algunos religiosos son políticos. 7. Si la proposición todo deporte es divertido es es verdadera, diga con respecto a ella si es verdadera, falsa o indefinida cada una de las siguientes proposiciones, y por qué. 7.1. Algo que no es divertido es no-deporte. 7.2. Algo que es deporte no es divertido. 7.3. Ningún deporte es no-divertido. 7.4. Algún deporte es divertido. 7.5. Algo que no es divertido no es deporte. SILOGISMO

LOGICA DE CLASES 1. Obtenga el equivalente de cada una de las siguientes proposiciones según el cuadro tradicional de la oposición. 1.1. Todos los musulmanes son mahometanos 1.2. Ningún diplomático es descortés 1.3. Algunos héroes son militares 1.4. Algunos novelistas no son políticos 1.5. Es falso que ningún religioso sea gobernante 2. Si es verdadera cada una de las siguientes proposiciones, obtenga las conclusiones que se derivan válidamente según el cuadro tradicional de la oposición. 2.1. Todos los planetas giran alrededor del Sol. 2.2. Ningún país capitalista es subdesarrollado. s ubdesarrollado. 2.3. Algunos mercenarios ganan mucho dinero. 3. Si es falsa cada una de las siguientes proposiciones, obtenga las conclusiones que se derivan válidamente según el cuadro tradicional de la oposición. 3.1. Todos los mamíferos son acuáticos. 3.2. Ninguna máquina es peligrosa. 3.3. Algunos países productores de cobre son subdesarrolados.

8. Indique a qué modo y figura pertenece cada silogismo que aparece a continuación. Luego, aplicando las reglas determine la validez o invalidez. Señale, además, la falacia que se ha cometido en cada silogismo inválido. 8.1. Todos los alpinistas son intrépidos. Algunos italianos son alpinistas. Luego, algunos italianos son intrépidos. 8.2. Algunos pintores son músicos. Algunos artistas de cine son músicos. De ahí que, algunos artistas de cine son pintores. 8.3. Ninguna ballena es rumiante. Todas las ballenas son acuáticas. Luego, algunos animales acuáticos no son rumiantes. 8.4. Ningún insecto es vertebrado. Algunos animales vertebrados son mamíferos. Por lo tanto, algunos mamíferos no son insectos. 8.5. Ningún socialista es republicano. Algunos economistas no son socialistas. De modo que, algunos republicanos no son economistas. 8.6. Todos los ciudadanos son mayores de 18 años. Ningún niño es mayor de 18 años. Luego, ningún ciudadano es un niño. 8.7. Algunos astronautas no llegaron a la Luna, porque algunos astronautas tenían la misión de recorrer sólo la órbita terrestre y nadie que llegó a la Luna tenía la misión de recorrer sólo la órbita terrestre. 8.8. Todos los trabajadores de las plantaciones son inmigrantes negros, de modo que algunos trabajadores de las plantaciones no son nadadores, dado que algunos inmigrantes negros no son nadadores. 8.9. Algunos prisioneros no son militantes de un partido político, dado que algunos dirigentes políticos no son prisioneros y todos los dirigentes políticos son militantes de un partido político. 8.10. Algunos criterios políticos sustituyen criterios mercantiles, puesto que algunos criterios mercantiles sustituyen criterios morales y algunos criterios políticos sustituyen criterios morales. 8.11. Todas las oportunidades de éxito son riesgos, en consecuencia ninguna oportunidad de éxito es calculada, dado que ningún riesgo es calculado. 8.12. Algunos jueces no son deshonestos, puesto que algunos jueces son justos y ningún deshonesto es justo. 8.13. Algunos días festivos son no-laborables, en vista de que ningún día laborable es un día dedicado al turismo.


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8.14. Es falso que todos los satélites giren alrededor de Júpiter, porque no todos los que giran alrededor de Júpiter giran alrededor de la Tierra. 8.15. Algunos manantiales salen de rocas coloreadas, por lo tanto algunos manantiales no son cristalinos, puesto que todo lo que sale de rocas coloreadas es no-cristalino. 9. Mediante los diagramas de Venn determine la validez o invalidez de cada una de las siguientes inferencias. 9.1. Todos los insectos son invertebrados. Todas las hormigas son insectos. Por lo tanto, todas las hormigas son invertebrados. 9.2. Ningún animal rumiante es un ave. Todas las palomas son aves. En consecuencia, ninguna paloma es un animal rumiante. 9.3. Todos los alpinistas son intrépidos, pero algunos alpinistas no son románticos, por lo tanto algunos intrépidos no son románticos. 9.4. Algunos novelistas no son dramaturgos, pero ningún dramaturgo es un jugador de bolas, de ahí que algunos novelistas no son jugadores de bolas. 9.5. Algunos animales no son de sangre fría, pero todos los reptiles son animales de sangre fría, luego no todos los animales son reptiles. 9.6. Todos los lectores de Shakespeare, ya que ningún ingles es inculto. 9.7. Algunos astronautas no son rusos, puesto que algunos que viajan al espacio no son rusos y algunos que viajan al espacio son astronautas. 9.8. Todos los competidores fueron descalificados. Algunos competidores son incapaces de aceptar sus derrotas. En consecuencia, no es el caso que nadie que sea capaz de aceptar sus derrotas sea calificado. 9.9. Todas las escuelas son obras de artistas italianos, pero ningún edificio de estructura moderna es obra de un artista italiano. Por lo tanto, algunos edificios de estructura moderna no son escuelas. 9.10. Algunos objetos no-maleables son no-metaloides, en vista de que ningún metal es metaloide y ningún no-metal es no maleable. Determine modo, figura y validez de los siguientes argumentos: 10. Cualquier ángel es mensajero divino por eso el mensajero divino es real, puesto que todo ángel es real. 11. Ningún cantante es leal, siempre que algún artista sea leal, inclusive muchos cantantes son artistas. 12. Todo cristiano es sabio, porque todo sabio es culto, sin embargo quien quiera sea culto es cristiano. 13. Si todos los no genios son ahorradores y ningún vegetariano es genio, entonces todos los vegetarianos son ahorradores. 14. Ningún país es acogedor; por lo tanto todo lo acogedor está en crisis, debido a que todo país está en crisis. 15. Cada lechuza es nocturna, pero ninguna lechuza es agradable, por ello cada nocturna es agradable. En los diagramas siguientes. Corresponde a silogismos válidos. Determine en cada caso su modo.

17. a. AIO b. AOI c. OAI d. AOO e. OAO

18. a. IEO b. EII c. EIO d. EIE e. OEI

19. a. AEO b. AEE c. AEI d. EAI e. a y b 20. a. AIO b. AOI c. AEO d. AAI e. AII

21. a. AAI b. AAO c. AEA d. EAA e. AAA

22. a. AEO b. EAE c. AEA d. AEE e. EAO

16. a. AEI b. EIO c. AIO d. OIE e. AII

FALACIAS Determinar a qué falacia corresponde los siguientes argumentos: 1. 1. La propuesta del candidato presidencial: Ingeniero Arias debe aceptarse, porque el pueblo hace tiempo que tiene el anhelo de gobernantes incorruptos. 2. El 2. El principio de Arquímedes es falso porque este personaje siempre fue infiel con sus esposas.


GUÍA 1 - CIENCIAS 3. 3. La policía nacional es corrupta, por ello la sección de robos de vehículos debe ser muy corrupta. 4. La 4. La muñeca de amigo Raúl se quebró.

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26. Un país imperialista pide a un país pobre que “liberalice” su economía so pretexto de no concederle pretexto de no concederle préstamo o comprarle su materia prima 27. La 27. La afirmación de que en otras galaxias hay vida por que no se ha demostrado lo contrario

5. ¿Has dejado de pegarle a tu hijo? 6. Esta hombre a pesar de ser criminal tenemos que dejarlo libre porque es el único sustento de sus 6 hijos y de su mujer que es enferma. 7. Dime con quién andas y te diré quién eres. 8. ESTUDIE 8. ESTUDIE GRATIS (Sólo pague derecho de matrícula).

28. Cuando 28. Cuando a un inculpado se le va ha condenar a muerte (por las pruebas acumuladas en su contra), el defensor implora justicia para el susodicho alegando aspectos sentimentales y humanitarios que tienen que ver supuestamente con el reo (infancia triste, misérrima, sin padre, etc.) 29. Cuando en una conversación sobre “Genética y evolución” se recurre a algunos pasajes bíblicos para dirimir el debate.

9. Si 9. Si no votan por mí todo lo hecho en mí gobierno se perderá. 10. 10. Ese profesor enseña bien y domina su curso, por ello seguramente en la academia donde trabaja deben haber buenos docentes. 11. 11. El rey Pelé dijo que en el Brasil la economía muy estable a desaparecido. 12. A 12. A todos los obesos, la crema Corpo Light les baja de peso de peso, tómalo y échate no creo que afecte a tu celulitis. 13. Por supuesto que San Anselmo es milagroso, pero hay que rezarle con fervor para que te conceda milagros. 14. Todas las declaraciones de Chalaquito en el tribunal son falsas porque él es un delincuente criminal y plagiario. 15. Juliana 15. Juliana robó ese collar desesperada por el hambre, porque no tenía qué comer. Vivía en la miseria, abandonada por sus padres. Ella es víctima de la crisis social y económica de nuestro pueblo. Por eso señor juez, Juliana no debe ser condenada. 16. El 16. El perro de Pepito es cariñoso. Come todo. Le gustan mucho los niños. 17. En 17. En una entrevista al astronauta Gagarin: - ¿Cree usted en Dios? - Pues, realmente no. En ninguno de mis viajes lo he visto. 18. Carla y José pelean siempre y tienen problemas en su hogar. Eso les pasa porque se casaron un viernes 13. 19. Esta 19. Esta computadora es muy costosa y además de buena marca, seguramente sus accesorios deben de ser costosos, te recomiendo que la trates con cuidado. 20. 20. Ven, estudia en la academia preuniversitaria PULGIN, porque aquí están los profesores de más alto nivel preuniversitario de Arequipa y el sur. 21. La propuesta de Alan García debe aceptarse, aceptarse, porque el Perú hace tiempo que necesita una política de generación de empleo para los más necesitados. 22. En nuestra casa antigua antigua teníamos varias gatas, unas nos servían para cambiar de llantas a los carros, las otras exterminaban a los molestosos pericotes. 23. No me gustó lo que hizo el animal de tu amigo.

30. Cuando 30. Cuando en una discusión política se recurre a las opiniones de A. Einstein (gran físico relativista) Para hacer que acepten la conclusión 31. Los 31. Los pueblos primitivos atribuyen la causa de sequía, relámpago o truenos a la “Ira de los dioses”, por lo cual hacen sacrificios 32. Si 32. Si hoy sufrí un accidente se debe a que en días anteriores rompí un espejo. 33. 33. Intentar probar que un determinado televisor de Phillips es bueno, partiendo que dicho televisor es lo mejor que ha producido producido Phillips. 34. En 34. En el parlamento al debatir sobre la ley de vivienda alguien pide la palabra y opina a favor de la ley opinando que todo el mundo debe tener vivienda decente y holgada 35. 35. La discusión entre un religioso y un ateo, en el cual primero sostiene algo y luego se refuta alegando que no es cierto lo que dice por que sus palabras están en contra de lo que dice la Biblia 36. 36. EL fin de una cosa es su perfección, la muerte es el fin de la vida, en consecuencia la muerte es el fin de la vida 37. El 37. El chancho de mi vecino 38. Si 38. Si un religioso careciera de evidencia suficiente para sostener de que dios existe, esta “ignorancia justificaría la conclusión de que Dios no existe 39. 39. Si llegamos a la conclusión de que una teoría científica es errónea porque lo propuso un judío, o si rechazamos la demostración de un estudiante sólo por ser éste un jovenzuelo con barba y sandalias 40. 40. Si el tema que está en discusión es la aprobación de una ley sobre la vivienda, y que un legislador de que está a favor de esta ley argumenta diciendo diciendo “todos deben tener viviendas decentes” 41. La filosofía de Kant es falsa porque niega la realidad material, además, Kant fue un filósofo burgués, jorobado que medía medía sólo 1.40 m 42. 42. El argumento del estudiante que no ha entregado su tares después de todos todos los plazos plazos fijados; dice: “Señor profesor en estos últimos días he tenido que soportar problemas familiares agobiantes. Mi madre enfermó y a diario tenía que llevarla al médico. A mis hermanitos menores sólo yo podía prestarles prestarles atención en casa. Por está razón pido una nueva fecha para que recepcione mi trabajo, pienso que no se negará porque Ud. Comprenderá mi problema”

24. ¿Cuándo vas a dejar de ser mentirosa?

43. XYZ, 43. XYZ, los jabones importados de fragancia exquisita son usados por nueve de cada diez estrellas del cine

25. Cuando un gobierno reprime policialmente a los clubes de madres por pedir alimentos para sus hijos sin aceptar para nada métodos racionales

44. 44. Los cánones religiosos son infalibles infalibles porque Einstein, ferviente católico, también lo admitía


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45. 45. Sabía que me iban a despedir de mi trabajo, porque cuando salía de mi casa un gato negro se cruzó en el camino 46. Si 46. Si eres abogado, abogado, ¿trabajarás en el Palacio Palacio de Justicia y estarás de acuerdo con el plan de gobierno sobre la justicia? 47. Rafael 47. Rafael es un cantante consumado. Todo lo que está consumado está acabado como cantante. Luego, Rafael está acabado como cantante 48. Una 48. Una paloma es un animal, por tanto, una paloma grande es un animal grande 49. El titular de un periodista decía: “EL REY PELÉ LADRON”, y luego con letras pequeñas continuaba diciendo: “el famoso popular futbolista Pelé filmará el típico ladrón brasileño”

a) Por Extensión o Forma Tabular: Cuando se indican a todos y a cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo: V

P

a; e; i; o; u

1;2;3;4;5

* OBSERVACIÓN: El orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenezcan a él. D

3, 5,10,17

10, 3,17, 5

b) Por comprensión o Forma Constructiva: Cuando se define al conjunto enunciando las propiedades comunes que caracterizan a los elementos de dicho conjunto. Ejemplo: Se lee: x tal que x es una vocal A x / x es una vocal B x/x x 6 Se lee: x tal que x pertenece a los números naturales menores que 6 5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS a) Relación Relación de Pertenencia Pertenencia ( ) Un elemento elemento pertenec pertenecee ( ) a un conjunto conjunto si forma forma parte o es un agregado de dicho conjunto. La relación de pertenencia vincula cada elemento con el conjunto.

1. CONCEPTO Se entiende por conjunto a toda agrupación de objetos reales o imaginarios, que tienen una o más características comunes, estos objetos reales o imaginarios son llamados elementos del conjunto de manera que un conjunto está bien definido si es posible conocer todos sus elementos.

SÍMBOLO

“Pertenece a” “No Pertenece a”

2. NOTACION Generalmente se denota a los conjuntos con letras mayúsculas de nuestro alfabeto y a sus elementos separados por comas y encerrados por signos de colección (llaves, corchetes), etc. Ejm:

*s *g *a

P= Ecuador,Perú,Bolivia,Argentina,....Chile

Obs. CARDINAL DE UN CONJUNTO (n): Nos indica el número de elementos diferentes que tiene el conjunto considerado. Ejm: A 8;12;17 n A 3

B

9;9;6 ;9;6;6 ;6;6 ;6;1 ;111;11 ;11;11 ;11;11 ;11;17 ;17

n B

*a *o

*u

*t

*m

*o

b) Relación de Inclusión ( ): Se dice dice que que A está incluido en el conjunto B (A elemento de A pertenece a B.

A

A

*3 *2 *5 *6 *9 *8 *1 *4 *7

Se lee conjunto A formado por las vocales. Se lee conjunto B formado por los 10 primeros números naturales. 4. DETERMINACIÓN DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Los conjuntos se pueden determinar de dos maneras:

B), cuando cuando todo

Gráficamente:

*1

*i

*i

* s es un elemento del conjunto E E  s pertenece a E  s * t es un elemento del conjunto A A  t pertenece a A  t * o no es elemento del conjunto conjunto E E  o no pertenece a E  o * m no es elemento del conjunto A  m no pertenece a A  m

B *e

*a

*i

4

3. REPRESENTACIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA Los conjuntos se representan gráficamente por figuras geométricas cerradas, llamados Diagramas de Venn – Euler, Euler, que contienen los elementos del conjunto. Ejemplo: A

A

E

A= do,re,mi,fa,sol,la,si

B= a,e,i,o,u a,e,i,o,u

SIGNIFICADO

.7

B

A .3

B

.1

.4

.2

.5

.6

Ejemplo: Si: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} B = {1; 2; 3} Se observa: B A: Conjunto B incluido en conjunto A. c) Igualdad de Conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales, si A y B tienen los mismos elementos. Ejemplo: Si: A = {1,3,5,7,9} y B = {x/x N x impar <10} A =B


GUÍA 1 - CIENCIAS 6. CLASES DE CONJUNTO a) Conjunto Vacío Es aquel conjunto que no posee elementos; también se le llama conjunto nulo. nulo. Notación: o { }. Ejemplo: B = {x/x N 5
c) Diferencia ( – ) Dados los conjuntos A y B se llama conjunto diferencia (A – – B) al conjunto formado únicamente por los elementos que pertenecen a A pero no a B. Notación: A Notación: A – – B B A – A – B = {x/x

a) Uni Unión ón o Reuni Reunión ón ( ) Dado los conjuntos A y B se llama conjunto unión al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o B o en ambos. Notación: A B. A

B= x/x

A

x

B

Se lee: “A unión B” Ejemplo: Sean los conjuntos: A = 2; 4, 7, 9 B = 1, 7, 4, 12, 18 El conjunto conjunto A B = 1, 2, 4, 7, 9, 12,18 b) Int Inter erse secc cció ión n( ) Dados los conjuntos A y B se llaman conjunto intersección, al conjunto formado por todos los elementos que que pertenecen a A y B, es decir que sean comunes a ambos conjuntos. Notación: A Notación: A B A

B = {x/x

Se lee: “A intersección B” Ejemplo: A = {2, 4, 6, 9, 12} B = {3, 6, 9, 4, 20, 23} Conjunto A B = {4, 6, 9}

A

x

B}

A

x

B}

Se lee: “A diferencia B” Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {23, 19, 26, 25, 30} B = {1,9,26,23,20,18} El conjunto A – A – B B = {19, 25, 30} * Observación: A Observación: A – – B B B – A – A d) Diferencia Simétrica ( ) Dado los conjuntos A y B, se llama conjunto diferencia simétrica a aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen al conjunto (A B) pero no al conjunto (A B). Notación: A Notación: A B A

B = {x/x

(A

B)

(A

B)}

Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {2, 13, 19, 28, 30} B = {1,13, 19, 20, 29, 32} El conjunto: A B = {1,2,20, 28, 29, 30, 32} 32} Complemento de un Conjunto (A’ )

Siendo A un subconjunto cualquiera del conjunto universal U. El complemento de A Con respecto a U se define como el conjunto de elementos de U que no pertenece a A. Notación: A` Se lee: el complemento de A.

Para hallar el número de subconjuntos, se aplica la formula: 2 , de donde “n” es el número de elementos del conjunto. n 3 Número de subconjuntos = 2 = 2 = 8 7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

11

A’ = {x/x

U

x

A}

Ejemplo: A = {4, 8, 10} U = {x/x N 2 < x < 12} El conjunto: A’ = {3,5,6,7,9,11}

PRACTICA 2

1.

En una ciudad al 25% de la población no le gusta la carne y al 50% no le gusta el pescado. Hallar el % de gente que gusta de carne y pescado si el 5% no gusta de ninguna de ellas. a) 15% b) 20% c) 25% d) 30% e) N.A.

2.

En una fiesta donde habían 70 personas, 10 eran hombres que no les gustaba la música “salsa”, 20 eran mujeres que gustaban de esta música. Si el número de hombres que gustaba de la música “salsa” es la tercera parte de las mujeres que no gustan de esta música. ¿A cuántos les gusta la música “salsa”? a) 20 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30

3.

De un total de 55 alumnos de un salón de la Academia, 32 aprobaron Aritmética, 22 Álgebra, 45 Geometría, 5 aprobaron los 3 cursos. Si 5 alumnos no aprobaron ninguno de los 3 cursos, ¿Cuántos aprobaron sólo dos de estos cursos? a) 16 b) 25 c) 30 d) 34 e) 39

4. A y B son dos conjuntos tales que: n(A) + n(B) = 83 n(A B) = 74 Calcular n (A B) a) 70 b) 80 c) 60 d) 65

e) 75


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12

5.

6.

7.

De 80 personas encuestadas sobre el uso de cigarrillos, se ha obtenido que 20 mujeres no fuman y de los encuestados 44 son varones. ¿Cuántas de las encuestadas fuman cigarrillos? a) 20 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12 De los 100 estudiantes de un salón, 70 aprobaron matemáticas, 80 aprobaron historia y 78 aprobaron castellano. Si 90 aprobaron exactamente 2 cursos, ¿Cuántos aprobaron en los 3 cursos? a) 19 b) 21 c) 11 d) 13 e) 38 Entre los habitantes de un distrito se ha realizado una encuesta sobre quienes poseen ciertos artefactos y se ha obtenido los siguientes datos:  80% tienen televisor.  90% tienen radio.  60% cocina a gas.  2% no tienen ninguno de los artefactos anteriores.  55% tienen los tres artefactos ¿Cuántos personas tienen solamente un artefacto? a) 20% b) 22% c) 10% d) 21% e) 11%

8.

Si: P Q = {a, b, c, d, e} P – Q = {d, e} P Q = {c} Calcular: n(Q - P) + n(Q) a) 3

9.

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

Si: A = {a, b, c, d, e, f, g} B = {f, b, c, h, i, j} C = {a, c, e, i, k, l} D = {a, b, d, f, k, i, j} Hallar: C a) {a, i, j} d) {a, j}

[D – [D – (A

B)]

b) {a, b, c} e) N.A.

c) {a, i, k}

10. En una encuesta tomada el verano pasado a un grupo de 600 bañistas se supo que: 250 usaban tanga, 220 usaban hilo dental, 100 usaban tanga e hilo dental. ¿Cuántas no usaban tanga ni hilo dental? a) 130 b) 230 c) 330 d) 320 e) 302 11. Sean A, B y C, incluidos en “S” tal que: n(A) = 44 n(S) = 100 n(B) = 41 n[A – n[A – (B C)] = 20 n(C) = 45 n[B – n[B – (A C)] = 15 n(A B C) = 5 n[C-(A B)] = 20 y n[(A B) – B) – C] C] = n[(A n[(A C) - B] B] + 1 Hallar: n[(B

C) - A]

a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

38 visitaron sólo y nada más que 1 lugar. 22 visitaron exactamente 2 lugares.

¿Cuántos visitaron los 3 lugares y cuántos eran en total? a) 4 y 60 d) 4 y 64

b) 3 y 64 e) 64 y 4

c) 64 y 3

15. De 110 personas que leen por lo menos dos de las tres revistas A, B y C se observa que 40 leen las revistas A, B y C s e observa que 40 leen las revistas A y B; 50 leen A y C; 60 leen B y C. ¿Cuántas personas leen las tres revistas? a) 20 b) 19 c) 21 d) 18 e) 22 16. En un colegio hay 58 profesores, de los cuales 38 enseñan matemática, 15 historia y 20 ciencias naturales, si hay 3 profesores que enseñan los 3 cursos. ¿Cuántos de ellos enseñan por lo menos, 2 de los 3 cursos? a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 17. En cierta olimpiada participaron 870 deportistas en tres deportes; fútbol, béisbol y natación. De ellos 480 participaron en natación, 680 participaron en futbol o béisbol; 90 participaron en los dos primeros deportes pero no en el tercero. ¿Cuántos participaron exclusivamente en un solo deporte? a) 480 b) 490 c) 500 d) 470 e) 485 18. Una cantidad de 100 señoritas rindieron tres exámenes para ocupar una vacante en una institución en los puestos de mecanografía, taquigrafía y recepcionista. Según el examen de selección se obtiene que: 68 señoritas aprobaron el primer examen; 80 aprobaron el primero y segundo examen solamente, 16 aprobaron el segundo y tercero únicamente. Si se dio la orden de que se contrate a las señoritas que aprueben los tres exámenes, ¿Cuántas señoritas se puede contratar, si además sólo 10 señoritas aprobaron el primer y tercer examen, y que todas aprobaron al menos un examen? a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35 19. De 500 postulantes a las universidades A, B y C, 320 no se presentaron a “A”; 220 no se presentaron a “C”; 260 no se presentan a “B”. los que postulan a una sola universidad son 320. ¿Cuántos postulan a las 3 universidades? a) 20 b) 31 c) 19 d) 18 e) 21 20. Entre los varones que se alojan en un hotel 40 son peruanos y 60 ingenieros; de los primeros, los ¾ tienen computadora, de los peruanos con computadora la mitad son ingenieros; 5 de cada 6 ingenieros tienen computadora. Hallar cuántos varones con computadoras no son peruanos ni ingenieros, si en el hotel se alojan 85 personas con computadora. a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 21. La región sombreada en el diagrama diagrama

e) 11

12. Si el conjunto potencia de T posee 64 elementos, ¿Cuál de los siguientes puede ser el conjunto T? 3 a) {x /x < 6; x N} b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 4 2 c) {x/x es una vocal} vocal} d) {x Z/x = 16 x = 1} e) N.A. 13. De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso básico I y 53 llevan el curso de física I. Si 27 no llevan ninguno de estos cursos, ¿Cuántos llevan uno, y sólo uno de los cursos? a) 42 b) 43 c) 45 d) 40 e) 39 14. De un grupo de turistas:  31 visitaron el Callao.  29 visitaron Trujillo.  34 visitaron el Cusco.

 

Representa la operación: i. ii. iii. iv. v.

(A - B) ∩ (C ∪ B) (B - A) ∪(C ∪ B)-(C ∩ D) A y B son correctas (B – (B – A) A) ∪ (C - D) ∪ (D – (D – C) C) B y D son correctas

22. De un grupo de 100 universitarios, 49 no estudian Lengua y 53 no estudian Matemáticas. Si 27 no estudian ninguno de ninguno de los cursos mencionados, ¿Cuántos estudian sólo un curso? A) 28 B) 38 C) 48 D) 58 E) 18


GUÍA 1 - CIENCIAS 23. De 40 alumnos de una sección, 15 aprobaron física, 6 probaron física y química. ¿Cuántos alumnos desaprobaron los dos cursos mencionados, si los que aprobaron química fueron 7 ? A) 18 B) 15 C) 12 D) 10 E) 6 24. Si: n(A B) = 8 n(A ∩ B) =2

Hallar: n(A ∪ B)

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) NA 25. Del gráfico: ¿Cuál de las siguientes relaciones expresa mejor la siguiente región sombreada achurada? A) (A - B) ∪ {A ∪ B} B) (A B) ∪ C C) {(A - C) ∩ (B - C)} ∪ C D) {(A ∩ B) – B) – C C } ∪ {C – {C – (A (A ∪ B)} E) N. A.

A) (A ∩ B) – B) – C C B) (A ∩ C) - B C) (A ∩ B) ∩ C D) (A ∩ C) ∪ {B – {B – (A (A ∪ C)} E) N.A

27. Si A y B son dos conjuntos finitos, tal que, el número de subconjuntos de A y de B suman 320, los conjuntos A y B tienen 2 elementos comunes; determine n(A B) A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 28. En el gráfico, las zonas sombreadas están representadas por: B

I) [A (B C)] [C [C D] II) (A B) (B C) III) III) [(A D) C] [A (B C)] B) solo II D) solo II y III

32. En una clase de 50 alumnos, se practica tres deportes: Atletismo, Básquet y Fulbito. * Los que practican atletismo o fulbito pero no básquet son 30. * Los que practican básquet o fulbito pero no atletismo son 27. * Los que practican atletismo y fulbito son 7. * Los que practican fulbito pero pero no atletismo o básquet son 15. * Los que no practican estos deportes son la cuarta parte de los que practican básquet y fulbito pero no atletismo. * 4 practican practican atletismo y básquet pero no fulbito. * Los que practican básquet pero no atletismo o fulbito son 4. ¿Cuántos practican solo dos deportes o no practican ninguno?

C

B) 17

C) 19

D) 2

E) 18

33. En un condominio de 100 personas, 85 son casados, 70 son abonados de teléfono, 75 tienen bicicleta y 80 son empresarios. ¿Cuál es el mínimo número de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono, tienen bicicleta y son empresarios? A) 15 B) 10 C) 20 D) 24 E) 15

26. ¿Cuál es la alternativa alternativa que representa la región achurada? achurada?

A) solo I C) solo I y II

trabajan ni estudian, ¿cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 36 varones no trabajan? A) 32 B) 30 C) 28 D) 26 E) 34

A) 21

A

13

D

E) todos

29. Se hizo una encuesta a 50 personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. Se observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen solo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas personas leen la revista A? A) 24 B) 30 C) 32 D) 36 E) 40 30. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no tenían cartera. ¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 31. De los residentes de un edificio se ha observado que 29 de ellos trabajan y 56 son mujeres, de los cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones 32 trabajan o estudian y 21 no

34. En una encuesta a los estudiantes se determinó que: * 68 se portan bien * 160 son habladores * 138 son inteligentes * 55 son habladores y se portan bien * 48 se portan bien y son inteligentes * 120 son habladores e inteligentes * 40 son habladores, inteligentes y se portan bien. ¿Cuántos estudiantes son inteligentes solamente? A) 10 B) 20 C) 40 D) 12 E) 8 35. Un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 voley. Además 6 figuran en los 3 deportes y 10 no practican ningún deporte. Si “x” es el total de personas que practican exactamente un deporte, “y” es el total de personas que practican exactamente 2 deportes, entonces el valor de (x y) es: es: A) 9 B) 10 C) 12 D) 15 E) 16 36. A cuántas personas le gusta 2 cursos solamente si la cantidad de personas que le gusta aritmética pero no álgebra ni física es el doble de los que les gusta álgebra, pero no aritmética ni física y además a los que les gusta física pero no aritmética ni álgebra es el triple de los que les gusta álgebra pero no aritmética ni física y a los que les gusta los 3 cursos es la cuarta parte de los que les gusta aritmética pero no álgebra ni física, si a 24 personas le gusta solamente un curso y además el total de personas que gusta de al menos un curso es 36. A) 5 B) 8 C) 12 D) 4 E) 10 37. De 60 personas se sabe: * 6 hombres tienen 20 años * 18 hombres no tienen 21 años * 22 hombres no tienen 20 años * Tantas mujeres mujeres tienen 20 años como hombres tienen tienen 21 años. ¿Cuántas mujeres no tienen 20 años? A) 18 B) 20 C) 24 D) 22 E) 28


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GUÍA 1 - CIENCIAS

38. En un aula de 25 alumnos deportistas hay: 16 alumnos que practican básquet 14 alumnos que practican fútbol, 11 alumnos que practican tenis, 6 alumnos que practican los tres deportes, 2 alumnos que practican fútbol y básquet pero no tenis, 1 alumno que práctica básquet y tenis pero no fútbol, 3 alumnos que practican solo tenis. ¿Cuántos alumnos practican sólo un deporte? A) 7 B) 5 C) 15 D) 3 E) 12 39. De un grupo de 45 cachimbos, se sabe que 14 alumnos no tienen 17 años, 20 alumnos no tienen 16 años, 8 alumnos y 3 alumnas no tienen 16 ni 17 años. ¿Cuántas alumnas tienen 16 ó 17 años? A) 6 B) 16 C) 27 D) 12 E) 3 40. A un matrimonio asistieron 150 personas, el número de hombres es el doble del número de mujeres. De los hombres: 23 no usan reloj pero si tienen terno, y 42 tiene reloj. De las mujeres: las que no usan minifalda son tantas como los hombres que no usan terno ni reloj y 8 tienen minifalda y reloj. ¿Cuántas mujeres usan minifalda, pero no reloj? A) 7 B) 6 C) 8 D) 5 E) 9 41. Las fichas de datos personales llenados por 74 estudiantes que ingresaron a San Marcos, arrojaron los siguientes resultados: * 20 estudiantes son de Lima. * 49 se prepararon en academia. * 27 postularon por primera vez. * 13 de Lima se prepararon en academia. * 17 postularon por primera vez y se prepararon en academia. * 7 de Lima postularon por primera vez. * 8 de provincias que no se prepararon en academia academia postularon por primera vez. Hallar respectivamente: I. ¿Cuántos alumnos alumnos de Lima que se prepararon en academia postularon por primera vez? II. ¿Cuántos alumnos de provincias que que no se prepararon en academia postularon más de una vez? A) 5 y 12 D) 4 y 10

B) 5 y 10 E) 4 y 12

C) 3 y 10

44. En una encuesta hecha en una urbanización a un grupo de amas de casa sobre el uso de tres tipos de detergente (A, B y C) se obtuvieron los siguientes datos. Del total: Usan sólo A el 15%; A pero no B el 22%; A y C 11%; B y C 13%. La preferencia total de A era del 38%, la de C 26% y ninguna de las marcas mencionadas, el 42%. Se pregunta: A. ¿Qué tanto por ciento prefieren sólo B? B. ¿Qué porcentaje de amas de casa prefieren exactamente dos tipos de detergente respecto de las que no prefieren ninguna marca? A) 5 y 66,66...% C) 8 y 26,66...%

45. Dados los conjuntos A y B donde : Entonces el el conjunto conjunto contiene: A) Una semirecta disjunta en el tercer cuadrante. B) Dos semirectas disjuntas en el cuarto cuadrante. C) No contiene contiene ninguna ninguna semirecta disjunta. D) Contiene dos semirectas disjuntas, una en el segundo cuadrante y una en el primero. E) Dos semirectas disjuntas, una una en el primer cuadrante y otra en el tercero. 46. Si A = ]- ; 3]; B = ]5; + [; C = [-3; 7]. Hallar (C – (C – A) (C – (C – B) B) A) ]- ; + [ D) ]3; 5]

43. En un conjunto de 30 personas; 16 estudiaron en la universidad A; 11 en la universidad B y 16 en la universidad universidad C. Si sólo 2 personas estudiaron en las universidades A, B y C. ¿Cuántos estudiaron exactamente en una de estas universidades, considerando que todas las personas estudiaron al menos en una de dichas universidades? A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

B) ]-3; 7] E) [3; 5[

C) ]3; -3]

47. Si A = {1/2}; B = {2} y C = {1/5; 3}, además si tenemos la fracción a 3 y hallamos el valor numérico “V” de la a2 1 fracción cuando verdaderos  V A (A C)  {V} (A – (A – C) B  V (C – (C – B) B)  V

A) 4 42. De un grupo de músicos que tocan flauta, quena o tuba se sabe que la octava parte toca sólo flauta, la sétima parte toca sólo quena, la diferencia de los que tocan sólo flauta y los que tocan sólo quena es igual a la cantidad de músicos que tocan sólo tuba. Si además 80 tocan por lo menos 2 de los instrumentos mencionados. ¿Cuántos tocan sólo quena? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

B) 4 y 60% D) 5 y 73,33...% E) 6 y 65%

B) 3

a = -2. Decir cuánto enunciados son

C) 2

D) 1

E) 0

48. Si x A, con A y B dos conjuntos conjuntos cualesquiera cualesquiera arbitrarios: I. x (A B) II. x (A B) III. x (A – (A – B) B) IV. x (A B) (A B) V. x (A ( AC BC ) Determinar la alternativa correcta: A) FVFVV B) VVFVF C) FVVVF D) FVFVF E) FVFFV 49. Si A y B son los conjuntos tales que A gráficamente la expresión: (A B) B) (AC A) A


B)

C) A

B

D) B

E) A

B, A B)

B

B

, simplificar

GUÍA 1 - CIENCIAS

50. Dados los conjuntos A {x Z / 3x 4 B

{x

Z / 2x 2

5}

C

{x

Z / 4x 7

12}

Entonces: A) B A D) C A

B) A E) B

B C

C) A

C) La ecuación x + 3 = 0 tiene solución N D) Para todo número natural existe su inverso multiplicativo también el N E) La operación de diferencia es una operación cerrada en N

11}

C

51. Si A y B son dos conjuntos ¿Cuáles proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas? I.

(AC

BC )

A B

II.

(AC

BC )C

A

III.

(A

[B [B

A) FVV D) VFV

58. Dadas las siguientes clases: U = {x/x sean los números naturales del 1 al 50} A = {4, 8, 12, 14, 28, 30} B = {3, 9, 14, 17, 24, 28} C = {1, 4, 12, 28, 36, 49} Determinar el resultado final de la siguiente fórmula: [(A

AC

BC

B) VVV E) VFF

A) 9 Z – 9 N m +8 A

B]

(A

B) 3 D) 6

B) B) {4, 12} E) {14, 28}

C)

59. De 69 personas que asistieron a un complejo deportivo se supo que 29 practican atletismo, 32 practican básquet, 25 practican ciclismo; 7 atletismo y básquet, 12 practican atletismo y ciclismo, 11 practican básquet y ciclismo. ¿cuántas personas practican los 3 deportes, si 10 no practican ninguno de los deportes?

C) VVF

52. Dado el subconjunto A de los números naturales N. A = {y N/ y = 5 + x; x N} Marque la proposición verdadera A) Si, Z A C) Si, m A E) 1 A

C)

A) U D) {1, 4, 14, 28}

B

A C ])C

15

A A

53. Dado el conjun conjunto to B={0, B={0, ,*, } ¿Cuál ¿Cuál de las las siguien siguientes tes proposiciones es falsa? A) {0, *} {*} B) B C) 0 D) {0} B E) B

B) 11

C) 10

D) 12

E) 8

60. De 212 deportistas, 60 practican el voley y ciclismo, 70 practican ciclismo y tenis, 80 voley y tenis. Además 73 practican sólo uno de estos deportes. Determinar la suma del máximo y mínimo valor que puede tomar el número de deportistas que practican los 3 deportes. A) 95

B) 97

C) 98 D) 96

E) 93

54. Hallar el supremo y el ínfimo del siguiente conjunto de números reales: 1,

3 5 9 17 , , , ; .. . 4 8 16 32

A) 0; 1 D) 33/64 55. Sea: A

B) 1; 33/64 E) 1; 0

x R:

x3 7x 6 x 1

C) 0; 33/64

0

La suma de los elementos de A es: A) 2

B) 9

C) -1

D) -3

E) 1

56. Dado el conjunto: A

{x

R / 1 x2

(9 / 25 25)}

Hallar la suma de su supremo con su infinito si existe: A) 8/5 B) -1 C) 0 E) El conjunto A no tiene supremo ni infinito

D) 4/5

57. Señalar la proposición verdadera: A) Dado A N, tal que: A={1, 2, 3, 4}. El número de los subconjuntos no vacíos de a es 15 B) Dados tres números números naturales consecutivos nunca uno de ellos es múltiplo de 3


01 - ALGEBRA I

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