FUNCIÓN CUADRÁTICA y f ( x) ax 2 bx c
Forma general Donde
, son coeficientes reales,
.
La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada “parábola”. El Dominio de la función cuadrática es todos los números reales ( ).
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Soluciones de la Ecuación de 2º Grado Cuando Cuando y = , la función cuadrát cuadrática, ica, se transforma transforma en
ax bx c 0 , 2
!ue es la ecuación de
segundo grado "o cuadrática#. $ara el cálculo de las soluciones o ra%ces de la ecuación de segundo grado, x1 y x2 , se utili&a la siguiente e'presión( x
b b2 4 a c 2a
Donde las dos soluciones están dadas, cada una por( y ) !ue gráficamente, representan los puntos en donde la curva interseca al e*e +.
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Naturaleza de las Soluciones de la ecuación de 2º Grado $odemos ver la naturale&a de las ra%ces de la ecuación con el discriminante, b 2 4 a c
i 0 , tiene dos soluciones reales iguales, es decir, . i 0 , las ra%ces son reales y distintas, es decir, . i 0 , no tiene solución real, es decir, , x2 son n-meros comple*os.
l siguiente cuadro, muestra la relación entre “a” "el coeficiente de x 2 #, el discriminante y el gráfico de la función cuadrática.
a>0
∆>0
∆=0
∆<0
a<0
∆>0
∆=0
∆<0
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Ee!"lo /n proyectil es lan&ado 0acia arriba desde el suelo. Despu1s de transcurridos t minutos, la altura 2 del proyectil, en metros, por sobre el suelo está dada por la función( h(t ) 13t
91t .
a# 23u1 altura alcan&a el proyectil a los 4 minutos5 b# 2n !u1 momento la altura del proyectil es de 67 metros5
Desarrollo# a# e !uiere obtener la altura "imagen# a los 4 minutos, es decir, 8eempla&amos t 4 en la fórmula( h( 4) 13 4 h 4
2
91 4
156
Res"uesta# La altura a los 4 minutos será de 9:; metros. b# e !uiere conocer a !ue minuto "preimagen# la altura es de 67 metros.
t 1
y
t 2
Las soluciones "preimágenes# de la ecuación se obtienen a trav1s de la fórmula cuadrática( t
t t
2
91
91
4 (13) (78)
2 (13) 91
4225
26 91 65
26
eparaando las soluciones
91 65
t 1
t 1
1
26
t 2
t 2
91 65 26
6
Res"uesta# e tiene, en este caso, !ue ambas soluciones responde a la pregunta, pues un valor, (t 1 1) corresponde al momento cuando el proyectil sube y el otro, (t 2 6) , cuando el proyectil va ba*ando.
I.
Resuel$a los si%uientes eercicios
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9. La propagación de cierto virus estival se modela por la función
f (t )
100t 2
1200t 4000 ,
donde f (t ) indica el n-mero de contagiados y t %ndica los meses del ao, t var%a de 9 0asta 9>. a# 2Cuántos contagiados se estima !ue 0abrá al finali&ar mar&o5 b# 2n !u1 mes del segundo semestre del ao se estima !ue 0abrá 7 contagiados5 2 >. La propagación de cierto virus computacional se modela con la función f (t ) t 8t , donde f (t ) indica el n-mero de computadores infectados &en !iles' y t indica el n-mero de d%as desde !ue se propagó el virus, t var%a de 9 0asta 7.
a# 2Cuántos computadores se estima !ue 0abrán contagiados al !uinto d%a5 b# 2Cuál es la primera ve& en !ue se tendrán 9> mil computadores infectados5 ?. La productividad de una parcela !ue cultiva frutales está dada por la función f (t ) t 2 800t , donde f (t ) indica el n-mero de @ilogramos de fruta producidos y t indica el n-mero de árboles !ue se plantaron en la parcela, t var%a de 0asta 7. a# 2Cuántos @ilogramos de fruta se estima !ue se producen con 9 árboles5 b# 2Cuántos árboles como m%nimo plantar%a /sted si !uisiera obtener 9>. @ilogramos de fruta5
4. La temperatura m%nima en una &ona vitivin%cola se estima mediante la función f (t ) t 2 12t 32 , donde f (t ) indica grados Celsius "AC# y t indica el mes del ao, t var%a de 9 0asta 9>. a# 2Cuántos grados celsius se estima !ue 0abrá en mar&o5 b# 2n !u1 mes comen&arán las 0eladas "AC#5
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RE(RESENTACIÓN GRÁFICA DE )A FUNCIÓN CUADRATICA Relación entre las ra*ces + los coe,icientes de la ,unción cuadr-tica i
y x2 son las soluciones "o ra%ces# de la ecuación cumplen las siguientes igualdades( x1
x1 x 2
ax
2
bx c 0 ,
entonces siempre se
b a
Gr-,ica La gráfica de la función cuadrática f ( x) ax 2 bx c corresponde a una $arábola. $ara esbo&ar la función cuadrática se necesita conocer la intersección con los e*es y las coordenadas del v1rtice.
Intersección con los Ees Ee .# $ara determinar la intersección de la parábola con el e*e ), se 0ace ' = y se tiene !ue( f (0) a 0 2 b 0 c y y c De esta forma, el t1rmino independiente "c# de la función cuadrática es el valor donde la gráfica interseca al e*e ). Luego, el punto de intersección de la parábola con el e*e ) ", c#.
Ee /# $ara determinar la intersección de la curva con el e*e +, se 0ace y = , obteniendo la ecuación cuadrática( ax 2 bx c f ( x ) 0 ax 2 bx c 0
Bl resolver la ecuación se obtienen las soluciones !ue son y Los puntos
x1
x 1
y x 2 , donde(
y x2 , corresponden a los puntos donde la parábola interseca al e*e +.
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Coordenadas del 01rtice# Las coordenadas del v1rtice corresponden al punto V = (x, y ) de la parábola, !ue pertenece al e*e de simetr%a, es decir, la recta !ue divide sim1tricamente a la parábola en dos ramas. e puede determinar con la siguiente e'presión( b b V ; f 2a 2a Donde x
b 2a
b 2a
e y f
Gr-,ica de una "ar-ola
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II.
A TRA03S DE )A GRÁFICA C4NSTRU.A E) 54DE)4 CUADRÁTIC4 . RES(4NDA6
:. Durante un e'perimento se midió la temperatura de un l%!uido. Bl 0acer el análisis resultó !ue la variación de temperatura estaba dada por una función cuadrática, donde la variable x representa el tiempo en minutos. eg-n la siguiente gráfica determine la función cuadrática !ue modela dic0a situación.
;. /n cibercaf1 abre su local a las 9> del d%a y cierra a las 9 de la noc0e. l n-mero de clientes !ue 0ay en el cibercaf1 en función del n-mero de 0oras ' !ue lleva abierto el local está dado por una función cuadrática. eg-n la siguiente gráfica determine la función cuadrática !ue modela dic0a situación.
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6. La velocidad "mseg# !ue posee una pelota de tenis al ser lan&ada 0acia el cielo está determinada por medio de una función de segundo grado. eg-n la siguiente gráfica determine la función cuadrática !ue modela dic0a situación.
7. Los ingresos mensuales "en cientos de dólares# de un empresario de má!uinas electromecánicas están dados por una función donde x es la cantidad de má!uinas !ue se fabrican en el mes. eg-n la siguiente gráfica determine la función cuadrática !ue modela dic0a situación.
má!i"as
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ANE/4 DE E7ERCICI4S GUIA N89 C4N4CIEND4 )A FUNCI4N CUADRÁTICA
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#
Con los si%uientes eercicios de Función Cuadr-tica: "odr-s se%uir "racticando: "ara aordar los A"rendizaes Es"erados de la Gu*a: relacionados al c-lculo de i!a%en: "re i!a%en + construcción de la ,unción a "artir de su %r-,ica6
III6 Resuel$a los si%uientes eercicios . $ara la construcción de una escultura metálica se calcula !ue el porcenta*e de 0ierro !ue contenga determinará su resistencia a sismosE si tiene muy poco !uedará blando y frágil, y si tiene muc0o !uedará r%gido y !uebradi&o. /na función !ue modela esta situación es 1 2 f ( x) x 2 x 2 , donde f ( x ) indica la intensidad del sismo !ue puede soportar 250 5 "medida en grados 8ic0ter# y ' indica el porcenta*e de 0ierro. a#
23u1 intensidad soportará si contiene un 6: de 0ierro5
b# 23u1 porcenta*e m%nimo de 0ierro debe contener para soportar un sismo de 7 grados 8ic0ter5 9. l funcionamiento de cierta má!uina me&cladora depende de la temperatura ambiente, de 1 2 5 375 acuerdo con la función f ( x) x x , donde f ( x ) mide el porcenta*e de eficiencia 16 4 4 y ' indica la temperatura, medida en grados Celsius. a# 23u1 eficiencia tendrá a los >AC5 b# 23u1 temperatura má'ima permite una eficiencia del 75
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IV.
A TRA03S DE )A GRÁFICA C4NSTRU.A E) 54DE)4 CUADRÁTIC4 . RES(4NDA
99. /na empresa constructora arrienda una gr-a para descargar material de un camión. La altura "medida en metros# !ue alcan&a la plataforma de la gr-a !ue recoge la carga depende del tiempo "medido en segundos# !ue demora esta. eg-n la siguiente gráfica determine la función cuadrática !ue modela dic0a situación.
9>. n el semáforo de la es!uina de Conc0a y Goro con Grinidad, todos los d%as se ubica un malabarista. /n d%a lan&ó una pelota 0acia arriba, alcan&ando una altura h medida en metros, seg-n un tiempo ' medido en segundos. eg-n la siguiente gráfica determine la función cuadrática !ue modela dic0a situación.
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)ISTA DE C4TE74 GU;A N89# FUNCIÓN CUADRÁTICA B Continuación se te presenta una lista de actividades !ue debes llevar a cabo, para poder completar todos pasos del desarrollo de un e*ercicio. sta lista, te permitirá revisar si lo !ue estás generando como desarrollo tiene todos pasos !ue serán considerados en la evaluación(
Calcular la i!a%en de una Función Cuadr-tica#
Clasifica la variable dependiente "imagen# en la función cuadrática
Clasifica la variable independiente "preHimagen# en la función cuadrática
8eempla&a los valores num1ricos asignados en la función cuadrática
Ibtiene el valor de la imagen de la función para el valor dado
8edacta una respuesta verbal, !ue permita interpretar el valor de la imagen en el conte'to de la función
Calcular la "re i!a%en de una Función Cuadr-tica#
Clasifica la variable dependiente "imagen# en la función cuadrática
Clasifica la variable independiente "preHimagen# en la función cuadrática
Ibtiene el valor de la pre imagen de la función para el valor dado
8eempla&a los coeficientes num1ricos en la e'presión !ue permite calcular los valores de las soluciones
8edacta una respuesta verbal, !ue permita interpretar el valor de la pre imagen en el conte'to de la función
Construir la Función Cuadr-tica: a "artir de su %r-,ica#
8econoce los puntos de intersección de la parábola "soluciones de la función cuadrática# con respecto al e*e '
8econoce de la gráfica el valor de “c”, !ue el corte de la parábola con el e*e “y”
8eempla&a las soluciones de la función cuadrática en la e'presión !ue permite calcular sus coeficientes num1ricos !ue faltan.
$latea algebraicamente la función cuadrática, a partir de los valores obtenidos en la forma general
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S4)UCI4NES 9.
a# Germinado mar&o 0abrán 9.? contagiados. b# n el mes de agosto, se tendrán 7 contagiados
>.
a# Bl !uinto d%a 0abrán 9:. computadores contagiados. b# La primera ve& !ue se tendrá a 9> mil computadores infectados será el d%a >.
?.
a# e estima !ue se produ&can 6. @ilogramos. b# e deben plantar como m%nimo > árboles.
4.
a# e estima !ue en mar&o la temperatura m%nima será de :AC. b# Las 0eladas comen&arán en abril.
:.
c
;.
b
10 ,
6.
2 c 4 , x1 4 , x 2 4 , f ( x) x 2 x 4
7.
2 b 100 , x1 0 , x 2 50 , f ( x ) 2 x 100 x
.
a# oportará una intensidad de 0asta ,: grados 8ic0ter. b# Debe contener un m%nimo de 97,?7 apro'. de 0ierro.
9.
a# B los >JC tendrá una eficiencia del ?,6:. b# $ermite una temperatura má'ima de >6, AC apro'.
99.
a
9>.
2 a 2 , x1 0 , x 2 2 , f ( x ) 2 x 4 x
8 , x1 2 , x 2 4 , f ( x) x 6 x 8 2
x1 0 , x 2 10 , f ( x ) x 2 10 x 1 4
1 ,
x1 0 , x 2 10 , f ( x ) x 2 10 x
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