60min.
TIPO DE ACTIVIDAD: (Trabajo) Título Actividad:
Guía de ejercicios Unidad 3
Nombre Asignatura:
Cálculo I
Semana Nº:
Sigla
16
Actividad Nº
3
MAT330
Lugar
APRENDIZAJES ESPERADOS: Aprendizaje 1
Resuelve problemas aplicando el concepto de excedente del productor y del consumidor.
Aprendizaje 2
Resuelve problemas aplicando el concepto de área bajo la curva.
Aprendizaje 3
Resuelve problemas aplicando el concepto de área entre curvas.
Aprendizaje 4
Resuelve problemas aplicando el valor promedio de una función.
Aprendizaje 5
Resuelve problemas aplicando la integral definida.
Aprendizaje 6
Resuelve problemas de aceleración instantánea utilizando la integral.
Aprendizaje 7
Resuelve problemas de marginalidad utilizando la integral.
Aprendizaje 8
Resuelve problemas de rapidez instantánea utilizando la integral.
Aprendizaje 9
Resuelve problemas de tasas de crecimiento utilizando la integral.
Problemas:
1)
Calcule las siguientes integrales:
a)
4 2 5 dx 6 9 15 x x 2 x
b)
5 5 2 2u du 1 2 4 e 2 1 u u
8 x 5 5 x 2 12 x 4 3 x 3 dx c) 3 2 x
2)
Sabiendo que
a)
3)
x
2
a2
1 2a
ln
x a x a
c . Calcule:
dx 2
b)
81
Sabiendo que
a)
x
dx
dx x 2 a 2
2
dx 2
49
ln x x 2 a 2 c . Calcule:
dx x
9 x
b) 25
dx 2 4 x 9
36
Marzo 2011/Programa de Matemática. 1
4)
Calcule las siguientes integrales definidas:
5
a)
2
3 2 9 x 5 x 3 x 10 dx
b)
Resuelva las siguientes integrales, usando el Método de Sustitución:
a)
6)
3
1
2
5)
6 8 x 5 x dx
10 x 5 x
2
8
dx
b)
7 x
3
(3 x 4 16) 9 dx
La temperatura en el aeropuerto local de una ciudad, indica que t horas después de medianoche, fue de: f t 0,6t
2
5t 0,2 grados
Celsius. ¿Cuál fue la temperatura promedio en el aeropuerto
entre las 3:00 a.m. y las 8:00 a.m.?
7)
Unos registros indican que x meses después del inicio del año 2010, el precio de la carne molida en los supermercados TUTOS fue de: P x 0,12 x
2
0,06 x 1.450 pesos
por kilo. ¿Cuál fue el
precio promedio de la carne molida durante los 3 primeros meses del año?
8)
La función de demanda para clavos de media pulgada, está dada por:
D x 6.000 0,2 x 0,01 x 2 pesos por unidad.
Hallar el excedente de los consumidores cuando el nivel de venta es de 100 unidades.
Marzo de 2011/Programa de Matemática 2
9)
La función de oferta para calculadoras científicas, está dada por:
O x 0,1 x 2 0,2 x 30 dólares por unidad.
Hallar el excedente de los productores cuando el nivel de venta es de 90 calculadoras científicas.
10) Calcular el área de la región limitada por las parábolas y 4 x e y 2
11) Calcular el área de la región limitada por la parábola y x
2
x2 3.
4 x 5 y la recta y 3x 5 .
12) Un fabricante determina que el costo marginal es CM (q ) 6q
2
20 q 350 dólares por
unidad cuando se producen q unidades. El costo total de producción de las primeras 4unidades es 750 dólares. ¿Cuál es el costo total de producción de las primeras 6 unidades? Soluciones
1)
a)
4 2 6 5 2 5 6 5 x x dx x x x c 6 9 15 9 x 2 5 x 2
b)
5 5 2 2u du 12 u 2 e 2u 5 ln u 15 5 u 7 c 12 4 e 21 u u
c)
8 x 5 5 x 2 12 x 4 3 x 3 2 5 1 3 dx dx 4 x 6 x 2 x 2 2 x 3 4
5
3
3
2
2
x 3 ln x 3 x 2 x c
Marzo de 2011/Programa de Matemática 3
2)
x
Sabiendo que
dx
a)
x
b)
9 x
2
81
1
dx 2
dx 2
18
49
a
2
1 2a
x 9
ln
x 9
ln
49
9
1
dx
9
x 2
3)
Sabiendo que
a)
dx x 2
25
dx 2
x a
2
c . Calcule:
x a
c
dx 9 x 2
x a
1
3
9 14
49
ln
9
x 7 3 x 7 3
c
1 42
ln
x 7 3 x 7 3
c
ln x x 2 a 2 c . Calcule:
25 c ln x x 2 36
36
25 c f ( x) ln x x 2 36
b)
1 2
dx 4 x 2 9
dx
4 x 2
9
4
dx 2 x 2
9 4
1 2
dx x 2
9 4
ln x x 2 94 c
Marzo de 2011/Programa de Matemática 4
4)
Calcule las siguientes integrales definidas:
5
5
a)
5.103 9 4 5 2 5.175 3 9 x 5 x 3 x 10 dx x x x 10 x 18 | 2 2 4 4 2 4 3
2
1.275,75 2
2
b)
5)
5 4 35 99 2 16 8 x 5 x dx 6 x 4 x 4 x |1 16 4 4 24,75 3
Resuelva las siguientes integrales, usando el Método de Sustitución:
a)
10 x 5 x
2
8
dx
Sea : u 5 x 8 2
du 10 xdx
10 x 5 x 2 8
dx
du u
u
1 2
du
u
1 2
1 2
1
c 2 5 x 2 82 c
2 5 x 2 8 c
b)
7 x
3
(3 x 4 16) 9 dx
Sea : u 3 x 16 du 3 4 9 4 9 3 9 du 12 x 3 dx 7 x (3 x 16) dx 7 (3 x 16) x dx 7 u 12 du x 3 dx 12 4
7 12
u du 9
7 u 10
12 10
c
7 120
3 x 4 16 c 10
Marzo de 2011/Programa de Matemática 5
6)
1
VP f t
VP f t
83
8
8
1 0,6t 2 5t 0,2 dt 0,6t 2 5t 0,2 dt 5
3
3
8
1 296 177 1 83 0,2t 2,5t 0,2t | 8,3 5 5 5 10 5 2 3
1
3
2
La temperatura promedio en el aeropuerto entre las 3:00 a.m. y las 8:00 a.m. es de 8,3 Celsius.
7)
VP f x
VP f x
1 30
1 3
3
1
3
0,12 x 0,06 x 1.450 dx 0,12 x 2 0,06 x 1.450 dx 2
3
0
3
0
1
1
3
3
0,04 x 0,03 x 1.450x | 4.350,81 0 4.350,81 1.450,27 3
2
0
El precio promedio de la carne molida durante los 3 primeros meses del año es aproximadamente de $1.450.
8)
Para x
100 D100 5.880
100
EC
6.000 0,2 x 0,01 x dx 100 5.880 2
0
100
1 3 EC 6.000 x 0,1 x 2 x | 588.000 595.666,67 588.000 7.666,67 300 0
El excedente de los consumidores es de aprox. $7.667.
Marzo de 2011/Programa de Matemática 6
9)
Para x
90 O90 858 90
EP 90 858
0,1 x
2
0,2 x 30 dx
0 90
1 EP 77.220 x 3 0,1 x 2 30x | 77.220 27.810 49.410 30 0
El excedente de los productores es de $49.410. 10) El área de la región acotada por las parábolas es 4 ua .
4 x
2
x 2 3 3 x 2 3 x 1 1
A( x)
x
1
3 4 x 2 dx 3 x 2 3dx 3
2
1
1
x 3 3
1
3 x x 3 3x 1
A 1 3 1 3 4 ua
11)
El área de la región acotada por la parábola y la recta es
9 2
ua 4,5 ua .
x 2 4 x 5 3 x 5 x 2 7 x 10 0 x 2 x 5 5
A( x)
3 x 5 x
5
2
4 x 5dx x 2 7 x 10 dx
2
A( x)
A
25 6
2
x 3 3
7
x 2
26 3
2
5
10 x 2
9 2
53 3
7
2 3 22 10 5 7 10 2 2 2 3
52
ua.
Marzo de 2011/Programa de Matemática 7
12)
El costo de producir 6 unidades es de 1.554 dólares
C (q) CM (q) dq
(6q
2
20 q 350 ) dq 2 q 3 10 q 2 350 q c
C ( q ) 2 q 3 10 q 2 350 q c C ( 4) 2 4 3 10 4 2 350 4 c 750
c 618
C ( q ) 2 q 3 10 q 2 350 q 618 C (6)
2 63
10 6 2
350 6 618
1.554
Marzo de 2011/Programa de Matemática 8
