ECUACIÓN Y FUNCION LINEAL AUTOR:
MYRIAM STELLA ROMERO C. LICENCIADA EN FÍSICA, INGENIERA DE SISTEMAS
TEMA:
ECUACIÓN Y FUNCION LINEAL
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL Reconocer, representar y modelar una función lineal a partir de cualquier situación que brinde elementos suficientes para ello.
OBJETIVOS ESPECIFICOS 1. 2. 3. 4.
Identificar Identificar los element elementos os de una función función lineal. lineal. Representar Representar gráficament gráficamente e una una función función lineal. lineal. Determinar Determinar la la ecuación ecuación de una función función lineal lineal a partir de de sus elementos elementos.. odelar odelar como una una función función lineal lineal situacione situacioness de la !ida !ida real que permita permitan n su uso.
TIEMPO:
2 HORAS
1. CONDUCTA DE ENTRADA
1. "eniendo en cuenta el concepto de función a. Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones. #ustificar. b. $allar el dominio y la imagen de los que corresponden a función.
2. Dados los siguientes gráficos correspondientes a funciones, determinar los con%untos dominio e imagen de cada una de ellas&
2
m + 4 y − 3
z
=
5 x
n w , despe%ar cada una de las letras m, y , z , 3. 'n la ecuación 3 n, x y w . '(presando cada !e) la letra seleccionada en función de las demás.
2. TEMÁTICA
ECUACION Y FUNCION LINEAL *e llama función lineal a toda función de la forma y = f( x ) = m x + b con m+R, b+R. 'sta ecuación se dice que está en la f!"ma #$%&'$%$!"&$%a&a a* !"'$% . 'n esta fórmula x es la !ariable independiente y y la !ariable dependiente. a constante m recibe el nombre de pendiente y la constante b es la ordenada al origen. 'l dominio de la función lineal es el con%unto de todos los n-meros reales R
La #$%&'$%$ m mide la inclinación de la recta respecto al e%e (. odemos /allar a partir de la pendiente el ángulo 0 que forma dic/a recta con el e%e (, teniendo en cuenta que& m tan 0. a pendiente está determinada por el cociente entre la !ariación de y (ordenada) y la !ariación de x (abscisa). m=
y2 − y1 x2 − x1
a pendiente positi!a corresponde a una !ariación en donde tanto ordenada como abscisa aumentan, es decir, una función creciente. a pendiente negati!a corresponde a una !ariación en donde la ordenada disminuye mientras la abscisa aumenta, es decir, una función decreciente. a pendiente nula corresponde a una !ariación en donde la ordenada no cambia mientras la abscisa aumenta, es decir, una función constante.
m>0
m<0
m=0
a ecuación lineal que representa esta función tambin se puede escribir en su f!"ma $%$"a* A,+ B- + C = , donde , y 5 constantes, con y no ambos cero. partir de esta tambin se puede obtener la otra despe%ando. Ejemplo&
Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuación es 3 x 6 4y 7 Solución& *e despe%a
64y 28 9 3 x , 3
y finalmente
y 4 x 9 : 3
De donde se puede decir que& m ;pendiente<
4
y b ;ordenada al origen< 6:
RELACI/N ENTRE 0OS LINEAS RECTAS
Dos líneas paralelas tienen la misma pendiente. Es decir, dos funciones lineales con ecuaciones: 1 = m1! " #1 $ 2 = m2! "
Ejemplo&
$allar la ecuación de la función lineal que pasa por el punto ;:.3< y es paralela a la función con ecuación 2y = 4( 7 Solución& Despe%ando la ecuación se tiene que&
y =
% − 4x 2
y 4 9 2 x , en donde m 62 y b 4. a ecuación que estamos buscando tiene la misma pendiente, es decir, 62. >tili)ando la fórmula de la f!"ma #%! #$%&'$%$ - -1 = m (, , 1) *e reempla)a este !alor de la pendiente y el punto ;( 1, y 1< que nos da el e%ercicio& ;:,3< y 9 3 ;62<; x 9 :< y 9 3 62 x = 18 y 62 x =18 =3 y 62 x = 13
−
m
1 2
Ejemplo&
$allar la ecuación que pase por ;1,2< y que sea perpendicular a y 2( = 1 Solución&
'n la ecuación dada la pendiente m 2 2 −1
or tanto, m1
2 ,
y con la ecuación de la forma punto pendiente&
1
?92
−
2
1 y = −
2
;( 9 1<
1 x +
2
+
2
1 = −
2
5 x+
2
APLICACIONES 'l costo es la e(presión cuantitati!a monetaria representati!a del consumo necesario de factores de la producción que se emplean para producir un bien o prestar un ser!icio. 5on las funciones de costos se plantea un modelo matemático simplificado de la realidad económica. Inicialmente se dice que los costos de producción de un bien o de prestación de un ser!icio tienen distintos componentes que, en un principio, le atribuiremos un comportamiento lineal, pues es el modelo más sencillo. as funciones lineales cumplen un importante papel en el análisis cuantitati!o de los problemas económicos. 'n muc/os casos los problemas son lineales pero, en otros, se buscan /ipótesis que permitan transformarlos en problemas lineales ya que su solución es más sencilla. 5osto lineal. 5uando una empresa produce cualquier bien o presta un ser!icio, deberá utili)ar una serie de insumos que !alori)ados monetariamente le genera costos, que anali)ados en función a la relación con la producción total, los denominaremos costos fi%os y costos !ariables. os primeros, como lo indica su nombre, son independientes de las cantidades de un art@culo que se produ)ca o un ser!icio que se preste ;p.e%.& alquiler del local, depreciación de los bienes durables, determinados impuestos, etc.<. 'n cambio, los costos !ariables dependen de la cantidad que se produ)ca de ese art@culo o que se preste del ser!icio, ;p. e%.& costos de materiales, de mano de obra producti!a, etc.< 'l costo total es la suma de ambos& Costo total = Costos fijos + Costos variables
Ejemplo 1& 'l costo !ariable de fabricar %untas para mac/imbre es de A 2 por unidad y los costos fi%os por d@a son de A38. 'scriba la fórmula de costo total y construya su gráfica. B5uánto cuesta fabricar 2: %untas de mac/imbre por d@aC Solución
'l costo total de fabricar ( %untas de mac/imbre en un d@a es 5;(< 2( = 38
'l costo total de fabricar 2: %untas de mac/imbre por d@a es de A 78.
5;2:< 2. 2: =38 5;2:< 78
Ejemplo 2 & >n fabricante de filtros para agua, tiene costos fi%os por A28.888, costos de producción de A28 por unidad y un precio de !enta unitario de A38. Determinar las funciones de costos, ingresos y ganancia para el fabricante. Solución&
*i ( es el n-mero de unidades de un producto fabricadas y !endidas entonces las funciones& 5;(<& C!4! !a* de fabricación de ( unidades del producto. R;(<& I%"$4!4 !a*$4 obtenidos por la !enta de ( unidades del producto. ;(<& Ga%a%5'a !a* obtenida por la fabricación y !enta de ( unidades del producto. 5;(< c( = 5ostos !ariables = 5ostos fi%os 28( = 28.888 R;(< s( recio de !enta por unidad E F-mero de unidades 38( ;(< R;(< 9 5;(< Ingresos 9 5ostos
18( 9 28.888
Ejemplo 3& nalicemos la relación funcional que e(iste entre la !enta domiciliaria de telfonos celulares, y el sueldo del !endedor& ;función ingreso< donde Gy G es el sueldo del !endedor, y G(G es la cantidad de telfonos !endidos. 'stamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es&
odemos obser!ar que& 's una función creciente y que al aumentar el n-mero de telfonos !endidos, aumenta el sueldo del !endedor.
Ejemplo 4& una compaH@a le cuesta : dólares, producir 18 unidades de cierto producto al d@a, y 128 dólares producir 2: unidades del mismo art@culo al d@a. Determinar la ecuación de costo, suponiendo que es lineal. Solución&
*on identificables dos pares ordenados, ;18, :< y ;2:,128<. 's importante aclarar que el costo de producir los art@culos depende de la cantidad que se /agan por d@a, por sea ra)ón : y 128 corresponden a !alores dependientes. 1. Determinar el !alor de m
m=
&5 − 120 10 − 25
=
−
45
− 15
m=3
2. Determinar el !alor de b b 128 9 3 ⋅2: b 128 9 : b 4: 3. Dar forma a la ecuación de la recta y m( = b y 3 ( = 4:
O"!4 $6$m#*!4& Distancia recorrida por un mó!il sobre un camino recto a !elocidad constante, en función del tiempo ;o!imiento rectil@neo uniforme< ey de enfriamiento de FeJton. a !elocidad de enfriamiento de un cuerpo está en función de la temperatura del cuerpo, por encima de la temperatura ambiente. ongitud de la circunferencia en función del radio.
3. EJERCICI! "E #$%IC#CI&' nali)a cada uno de los e%emplos presentados y consulta los libros y páginas de la bibliograf@a y all@ encontraras muc/os más, y finalmente ded@cate a practicar.
1. 'scribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos& a. ;62,61< y ;64.63< 5. ;K,61< y ;62,4<
b. ;3,:< y ;,62< &. ;1,6:< y ;18,11<
2. $allar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada al origen son respecti!amente : y 61. Lraficar. 3. !eriguar si los puntos ;8,2< , ;1,61< y ;61,:< están alineados. 7. a. $allar la ecuación de la recta que tiene pendiente : y pasa por el punto ;61,62<
1
b. $allar la ecuación de la recta que tiene pendiente ;64,<
−
2
y pasa por el punto 1
1
5. $allar la ecuación de la recta que tiene pendiente < 1 y =
4
3
y pasa por el punto ; 3 , 5
x+3
, /allar las funciones cuyas representaciones son la 8. Dada la recta rectas& a. aralela a la misma y de ordenada al origen igual a la de la recta 2( = y 7 b. erpendicular a la misma y de ordenada al origen 62 5
2
5. erpendicular a la misma y que pase por el punto ;1, &. erpendicular a la misma y que pase por el origen.
5
<
9. a compaH@a de mudan)as Ram@re), cobra A8 por transportar cierta máquina 1: millas y A188 por transportar la misma máquina 2: millas. a6 Determina la ecuación, suponiendo que es lineal, de pago de transporte de esa máquina B5uál es la tarifa m@nima por transportar esa máquinaC :. >n fabricante de detergente encuentra que las !entas son de 18888 paquetes a la semana cuando el precio es de A1,2 por paquete, pero que la !enta se incremente a 12888 cuando el precio se reduce a A1,1 por paquete. Determine la relación de demanda suponiendo que es lineal. ;. >n fabricante de tele!isores ad!ierte que a un precio de A:88 por tele!isor, las !entas asciende a 2888 tele!isores por mes. *in embargo a A4:8 por tele!isor, las !entas son de 2488 unidades. Determine la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal. <. plicar los /ec/os de que 32 corresponde a 8 5 y que 288 corresponde a 1885 con ob%eto deducir la fórmula para con!ertir la temperatura a/ren/eit x , a la temperatura 5elsius 5;(<. 1. 'n un pequeHo $otel se gasta M2N :8 por recibir 18 turista y M34 K2: por recibir 1: turistas. B5uál es la ecuación de costoC B5uánto se gasta en recibir 2: turistasC
11. a ey de $ooOe, sobre la relación del estiramiento y la fuer)a, dice que Pel estiramiento es proporcional a la fuer)aQ sese este /ec/o para resol!er los siguientes e%ercicios. ;a< >n resorte de 18 cm de longitud se cuelga de una !igaS si se coloca un peso de 2 Tg. 'l resorte se estira : cm. Determine cuánto medirá con un peso de 3, Tg. *i el largo del alambre que forma el resorte es de 3: cm. Determine cuál es el peso má(imo que puede soportar. ;b< *i a un resorte se le cuelga un peso de 3 Tg. este se estira /asta alcan)ar ,: cm, al colgarse 4,2 Tg. 'l resorte mide a/ora N cm. B5uál es la longitud del resorteC
I%IR#*I# 1. $oJard '. "aylor y "/omas . Uade, Leometr@a anal@tica bidimensional. 1N4 2. *. ". "F atemáticas para administración y econom@a. *egunda 'dición.'d. "/omson 3. JJJ.matebruOnca.com JJJ.fce.unam.edu.ar
