C) –3 y –4
PROPIEDADES GENERALES: A.
1.
OPERA OPERACIO CIONES NES BÁSICA BÁSICAS S CON CON RAÍCE RAÍCES: S:
2Px2 – 4Px + 5P = 3x2 + x – 8
Sea: ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0
tenga el producto de sus raíces igual a dos veces su
de raíces x1, x2 *
Hallar Hallar el el valor valor de “P” “P” de tal tal maner manera a que la ecuaci ecuación: ón:
suma.
Suma de ra raíces (S):
2.
Hallar Hallar el valo valorr de “m” “m” en la ecua ecuació ción: n: x2 + (2m + 1) x + m = 0, si una raíz excede a la otra en
x1 + x2 = S =
3 unidades. 3.
•
Producto de raíces (P):
valor de “n” para que las raíces difieran en 1 unidad.
x1 x2 = P =
*
En la ecua ecuac ción: ión: 2x2 – (n + 2)x + (n + 4) = 0. Hallar el
4.
Calc Calcul ular ar “m” “m” en: en: x2 – 8x + m = 0, si: 3x1 – 4x2 = 3
5.
Calc Calcul ular ar “m” “m” en: en: x2 – mx + 48 = 0; si x1 = 3x2
6.
Calcul Calcule e el valor valor de “p”, “p”, sabien sabiendo do que que x1 y x2 son raíces
Dife Difere renc ncia ia de raíc raíces es (D): (D): (x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4x, x2 S2
*
D2
–
de la ecuación:
= 4P
x2 + 2x + p = 0 y además: 3x1 + 5x2 = 0
Reco Recons nstr truc ucci ción ón de de la ecu ecuac ació ión: n:
7.
1 = 0, sabiendo que la suma de los cubos de sus
x2 – (x1 + x2)x + x1 x2 = 0 x2 –
Sx
+
Determ Determina inarr los valore valores s de “n” “n” en la la ecuac ecuación ión:: x2 + nx + raíces es igual a 2.
P =0 8.
Dada Dada la ecua ecuac ción: ión: x2 – 2
3
x + n = 0, determinar los
valores de “n” sabiendo que el producto de sus raíces
Ejercicios 1.
es igual a la diferencia de las mismas. 2
En la la ec ecuac uación: ión: 2x – 3x + 1 = 0; determinar: 2 1
+
x
2 2
E)
3 1
+
x
3 2
F)
A) x1 + x2
C)
x
B) x1 . x2
D)
x
x
9.
x1 – x2 x
2 1
–
2 2
La ecuación ax2 + 3ax + 9 = 0 tiene dos raíces reales iguales, encontrar dicha raíz.
10. Hallar Hallar la ecuaci ecuación ón de segund segundo o grado grado cuyas cuyas raíces raíces sean los cuadrados de las raíces de la ecuación: x2 – 4x – 21 = 0
2.
Hall Hallar ar la ecuaci ecuación ón de segun segundo do grado grado,, cuyas cuyas raíce raíces s son: A) 3 y 5 B) 7 y –2
11. Si: {a, a+1} es el conjunto conjunto solución solución de la ecuación ecuación en “x”: x2 – 7x + p2 + p = 0 Calcule el valor de “p” 12. Halle el valor valor de “m” en la ecuación: ecuación:
2x2 + (m2 – m + 1) x – m2 + 2m – 7 = 0 si una raíz es
5x2 – 7x + 13 = 0
uno.
Indicar el coeficiente de su término independiente. A) 25
B) 91
C) –91
D) 100
E) –100
13. Determine “m” en la ecuación: x2 – mx + 12 = 0
15
5.
Sabiendo que sus raíces x1, x2 verifican: x1 x2
+
x2 x1
1 =
3
2
x–
3
3
x+
A) 2
12
3
6
2
x
6.
B) 3
x
+5
2
= −1
C) 4
D) 5
E) 6
Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes enteros cuyas raíces sean la suma y el producto de
=0
las inversas de las raíces de la ecuación: 2x2 – 5x + 11 = 0
2
(α – β) (α + αβ + β )
Halle:
11 x −
dar como respuesta la diferencia de sus raíces.
14. Siendo α y β (α > β) raíces de la ecuación: x2 –
De la ecuación:
Indicar su término independiente. A) 4
15. Dada la ecuación polinomial: 3x2 – 2bx + b = 0
B) 10
C) –10
D) 77
E) –77
Halle “b” para que una de las raíces sea el triple de la otra.
7.
Hallar:
x
2 1
+
x
2 2
son las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0
b
A)
2
− 4ac
C)
b
2
2a b
B)
2
1.
Calcular “m” si en la ecuación:
8.
2
2x + (m – 1)x + (m + 1) = 0
2.
B) –11
C) 6
D) 2
E) 11
2mx2 + 2(m + 1)x + (m – 1) = 0 Calcular “m” si se cumple la siguiente relación:
x2
+
x2 x1
=7 ; m>0
Señale como respuesta el valor de: mm + 2m A) –3
B) 0
C) 5
a
D) 8
E) 31
9.
A) 2 ∨ 3
C) 2 ∨ 5
B) 11 ∨ –1
D) –5 ∨ 7
E) 9 ∨ 4
Encontrar el valor de “p” si una raíz es el doble de la otra en la ecuación:
x2 + 6x + p = 0
A) 2
C) 6
B) 4
D) 8
E) N.A.
10. Determine la ecuación de segundo grado que tiene por raíces: 3
) y (2 –
3
)
Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes
A) x – 4x + 2 = 0
D) 2x2 – 4x + 3 = 0
reales si una de sus raíces es 5 –
B) x2 + 4x – 1 = 0
E) x2 – 4x – 1 = 0
A)
x2 + 10x + 22 = 0
B)
x2 – 10x + 22 = 0
C)
x2 – 10x – 22 = 0
D)
x2 + 10x – 22 = 0
E)
x2 – 10x + 16 = 0
3
,
2
C) x2 – 4x + 1 = 0 11. Halle el valor de “m” en la ecuación: x2 – mx + 10 = 0 Sabiendo que sus raíces x1; x2 verifican: x1
4.
− 2ac
Para qué valor del parámetro real “n” las raíces de la
(2 + 3.
b
2x2 – (n – 1)x + 4 = 0 difieren en 1
Siendo “x1” y “x2” las raíces de la ecuación:
x1
D)
2
2
E) N.A.
2
ecuación:
Sus raíces difieren en 1 A) 1
2a
− 2ac
a
− 4ac
Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes enteros cuyas raíces sean la suma y el producto de las raíces de la ecuación:
x2
A) ±6
B) ±3
+
x2 x1
8 =
C) ±2
5
D) 1/2
E) 1
20. En la ecuación: x2 – 2
12. Si x1 ∧ x2 son las raíces de la ecuación: x –5x–3 = 0, calcular el valor de: x1 ( x1
A) 24
−
1)
+
3
x + q = 0, uno de los valores
de q que permite que la suma de los cuadrados de las inversas de sus raíces sea 1 es:
x2 (x2
B) 25
−
1)
C) 26
A) –5 D) 27
B) –3
C) 0
D) 3
E) 5
E) 28
13. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación: 21. Para qué una de las raíces de la ecuación
x2 – (m – 1)x + m + 1 = 0 1
Calcular el valor de “m” si: A) 3
B) 4
C) 5
x1
1 +
x2
D) 6
2 =
3
E) 7
ax2 + bx + c = 0 sea el doble de la otra, los coeficientes deben estar relacionados como sigue: A) 4b2 = 9c
D) 2b2 = 9ac
B) b2 – 8ac = 0
E) 2b2 = 9a
C) 9b2 – 2ac = 0 14. Hallar la ecuación de segundo grado cuyas raíces sean “n” veces las raíces de la ecuación:
22. Sabiendo que las raíces de la ecuación:
ax2 – bx + c = 0
x2 – (5m – 1)x + 10m = 0
Indicar su término independiente. A) a
B) an
C) nb
son ambas positivas y que además su diferencia es E) n2c
D) nc
igual a 5, el valor de la suma de estas raíces será: A) 3
B) 5
C) 9
D) 11
E) 13
15. Formar la ecuación cuyas raíces son las inversas multiplicativas de las raíces de la ecuación:
23. Dada la ecuación:
2
2x – 3x – 1 = 0 2
Determinar el valor de “a” para el cual la suma de las
2
A) 2x + 3x – 2 = 0 2
B) x – 3x – 2 = 0
x2 – 2ax + 8a – 18 = 0
D) x + 3x – 2 = 0
inversas de las raíces sea 1.
E) N.A.
A) 3
B) 4
C) –2/5
D) –3/4
E) –2
2
C) 2x – 3x + 1 = 0 24. La ecuación x2 + bx + c = 0 tiene raíces r y s. Una 16. Si una de las raíces de la ecuación es (–6), hallar la otra:
x2 + (a + 3)x + a + 2 = 0
A) c2 x2 + (2c – b2) x + 1 = 0
Calcular la otra raíz. A) 4
B) 2
ecuación que tiene raíces 1/r 2 y 1/s2 es: B) c x2 + (2c – b2) x + 1 = 0
C) –1
D) –3
E) N.A.
C) c2 x2 + (2c2 – b) x + 1 = 0 D) c2 x2 + (2c2 – b) x – 1 = 0
17. Sabiendo que las raíces de la ecuación:
E) c2 x2 + (2c – b2) x – 1 = 0
x2 – (3n – 2)x + n2 = 1 son números enteros y una de ellas es el triple de la otra, éstas son:
ecuación: x2 – px + 2 = 0, la suma de los cubos de las
A) 1 y 3
C) 3 y 9
B) 2 y 6
D) 4 y 12
E) 5 y 15
los valores de m y n en este orden son: A) 1 y 2
C) –1 y 2
B) 2 y 1
D) 1 y –2
raíces sea igual a –4. A) 1
18. Si en una ecuación: x2 + mx + n = 0, m y n son raíces;
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
26. Sabiendo que el cociente de las dos raíces de una ecuación de segundo grado es 5 y que la diferencia de
E) –2 y 1
19. Sabiendo que la diferencia de los cuadrados de las raíces de:
25. Determinar uno de los valores de “p” para que en la
x2 – kx + 15 = 0
es igual a 16; la suma de los valores reales de k que
las mismas es 12, escribir la ecuación: A)
x2 – 10x + 36 = 0
B)
x2 – 18x + 45 = 0
C)
x2 – 18x + 31 = 0
D)
x2 – 6x + 7 = 0
E)
N.A.
hacen que la condición se cumpla, es: A) 0
B) 1
C) –1
D) 2
E) –2
27. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación: 2x2 – 3x + 5 = 0;
el valor de la expresión:
2 1
x x
1
+1
x +
A) –1
x2
E) –63p2 + 16p + 1
2 2
es:
+1
34. Halle el valor de “k” sabiendo que una raíz excede a la
B) –5
C) –1/5
D) 1/3
E) 1/5
otra en 3 unidades. x2 + (2k + 5) x + k = 0 A) 2
x2 – 5x + 3 = 0
28. Si x1 y x2 las raíces de la ecuación: x2
Hallar el valor de:
+
x1
x1
A) 9/5
C) 15/9
B) 25/3
D) 8/3
+
B) 3
C) –1
D) –2
E) –3
35. Calcule la diferencia de las raíces de la siguiente ecuación:
x1 + x 2
5x2 – 2(5m + 3) x + 5m2 + 6m + 1 = 0
x2
E) 16/5
A)
4
1
5
C)
5
E) 4
5
5
4
B) 29. Calcular “m” de modo que la suma de los cuadrados
D) 1
5
de las raíces de: x2 – (m – 2)x + m – 3 = 0, sea igual a 2. A) 3
B) 4
C) 5
36. Si (a; b) es el conjunto solución de la siguiente
D) 6
E) 7
ecuación: x2 – (k – 3) x + 2k + 5 = 0
x2 – (n – 4)x + n – 5 = 0
30. Sea la ecuación:
determine el valor de k, para que: a2 + 5ab + b2 = 28
Hallar el valor de “n” para que la diferencia de raíces sea 2. A) 3 ; 6
C) 6 ; 2
B) 4 ; 5
D) 4 ; 8
31. Calcular “m” si la ecuación:
E) 6 ; 3
x2 + (m + 1)x + m + 3 = 0 1
tiene raíces x1 y x2 tal que: A) 5
B) 4
C) 3
x1
1 +
x2
3 = −
D) 2
4
E) N.A.
32. Si: “r” y “s” son las raíces de la ecuación
A) ±5
C) ±1
B) ±4
D) ±2
37. Calcular el valor de “a” en la ecuación: ax2 – (a – 5)x + 1 = 0 si se cumple que:
x1 x2 = x1 – x2
A) 9
C) 11
r 2 +
r
y s2 +
B) 10
E) 13
fracción: 1
1+ 3
1 s
D) 12
38. La ecuación de 2do grado una de cuyas raíces es la
x2 – 4x + 1 = 0; halle la ecuación cuyas raíces sean: 1
E) ±3
1 +
2
x=
1 +
3
A) x2 – 18x + 54 = 0
+
2
2
B) x – x – 2 = 0
; está dada por:
1 1 +
C) x2 + x – 1 = 0
A) 3x – 5 = 0
D) 5x2 – x – 3 = 0
D) x + 3 = 0
B) 5x2 – 3 = 0
E) 2x2 – 4 = 0
E) x2 + x + 1 = 0
C) 3x2 – x – 5 = 0
33. Dada la siguiente ecuación: x2 + 2px + q = 0; cuyas raíces son x1 y x2. Halle “q” en función de “p” sabiendo que: 3x1 + 5x2 = 8 p – 2 A) –63p2 – 16p + 1 B) 63p2 + 16p – 1 C) –63p2 + 16p – 1 D) 63p2 + 16p + 1
2
39. ¿Para qué valor de “n” las raíces x1 ∧ x2 de la ecuación: 4x2 + nx + 5 = 0, verifican:
3 x1 + x 2 = − 8 ? x1 + 3 x 2 = − 4 A) –12
B) 6
C) –6
D) 18
E) 12
40. Si x1 ∧ x2 son raíces de la ecuación: 2x2 – x + 3 = 0; 1
calcular:
1 +
x1
x2
1
1
A)
3
B)
−
3
1
C)
2
3
1
D)
−
2
E)
2
