ECUACION DE BERNOULLI El princi principio pio de Berno Bernoul ulli, li, tambié también n deno denomin minado ado ecua ecuació ción n de Berno Bernoull ullii o trino trinomio mio de Bernoulli, describe el comportamiento comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una corriente de agua. agua. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en Bernoulli en su obra Hidrodinámica Hidrodinámica ( (!"# !"#$$ % expresa &ue en un fluido ideal (sin viscosidad ni viscosidad ni ro'amiento$ ro'amiento $ en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energa &ue posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido.
HISTORIA )a *istoria comien'a en +# cuando Benedetto -astelli refutó la forma de medir el fluo en los ros por parte de /iovanni Fontana, afirmando tomar en cuenta la sección % la velocidad. 0ambién aclaró &ue en la medición en orificios, deba considerarse la carga % el tama1o del orificio. En 23+, -astelli estableció la ecuación &ue lleva su nombre (4 5 67$. /alileo /alilei (2"#$, propuso &ue los cuerpos experimentan experimentan una aceleración uniforme al caer en el vaco. En 28, Evangelista 0orricelli demostró &ue la forma de un c*orro al salir de un orificio es una *ipérbola de 89 orden. :saac ;eosteriormente Euler deduo la ecuación para un l&uido sin viscos viscosida idad d con con toda toda gene general ralida idad d (con (con la ?nica ?nica supos suposici ición ón de &ue &ue la viscos viscosida idad d era despreciable$, de la &ue surge naturalmente la ecuación de Bernoulli cuando se considera el caso estacionario sometido al campo gravitatorio.
ANALISIS DE LA L A ECUACION ECUACION DE BERNOULLI )a energa de un fluido en cual&uier momento consta de tres componentes@ •
cinética@ cinética @ es la energa debida a la velocidad &ue posea el fluidoA
•
potencial o potencial o gravitacional@ es la energa debido a la altitud &ue un fluido poseaA
•
energa de presión@ presión@ es la energa &ue un fluido contiene debido a la presión &ue posee.
)a siguiente ecuación conocida como ecuación de Bernoulli (trinomio de Bernoulli$ consta de estos mismos términos.
Dónde@ •
•
•
5 velocidad del fluido en la sección considerada. 5 densidad del fluido. 5 presión a lo largo de la lnea de corriente.
•
5 aceleración gravitatoria
•
5 altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia
>ara aplicar la ecuación se deben reali'ar los siguientes supuestos@ •
7iscosidad (fricción interna$ 5 C Es decir, se considera &ue la lnea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una 'ona no viscosa del fluido.
•
-audal constante
•
Fluo incompresible, donde es constante.
•
)a ecuación se aplica a lo largo de una lnea de corriente o en un fluo laminar .
6un&ue el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por )eon*ard Euler . n eemplo de aplicación del principio se da en el fluo de agua en tubera.
0ambién se puede reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por
, de esta forma el término relativo a la velocidad se llamará presión
dinámica, los términos de presión % altura se agrupan en la presión estática.
Es&uema del efecto 7enturi.
G escrita de otra manera más sencilla@
Dónde@
•
•
•
es una constante
:gualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energa cinética, la energa de fluo % la energa potencial gravitatoria por unidad de masa@
En
una lnea de corriente cada tipo de energa puede subir o disminuir en virtud de la disminución o el aumento de las otras dos. >ese a &ue el principio de Bernoulli puede ser
visto como otra forma de la le% de la energa realmente se deriva de la conservación de la -antidad de movimiento. Esta ecuación permite explicar fenómenos como el efecto 7enturi, %a &ue la aceleración de cual&uier fluido en un camino e&uipotencial (con igual energa potencial$ implicara una disminución de la presión. Este efecto explica por&ué las cosas ligeras muc*as veces tienden a salirse de un automóvil en movimiento cuando se abren las ventanas. )a presión del aire es menor fuera debido a &ue está en movimiento respecto a a&uél &ue se encuentra dentro, donde la presión es necesariamente ma%or. De forma, aparentemente, contradictoria el aire entra al ve*culo pero esto ocurre por fenómenos de turbulencia % capa lmite.
ECUACION DE BERNOULLI CON FUERZAS EXTERNAS Y TRABAJO )a ecuación de Bernoulli es aplicable a fluidos no viscosos, incompresibles en los &ue no existe aportación de trabao exterior, por eemplo mediante una bomba, ni extracción de trabao exterior, por eemplo mediante una turbina. De todas formas, a partir de la conservación de la -antidad de movimiento para fluidos incompresibles se puede escribir una forma más general &ue tiene en cuenta fricción % trabao@
Dónde@ •
es el peso especfico (
$. Este valor se asume constante a través del
recorrido al ser un fluido incompresible. •
trabao externo &ue se le suministra (I$ o extrae al fluido ($ por unidad de caudal másico a través del recorrido del fluido.
•
•
disipación por fricción a través del recorrido del fluido. )os subndices % 3 indican si los valores están dados para el comien'o o el final del volumen de control respectivamente.
•
g 5 ,# mJs 3.
Restricciones de la ecaci!n de Bernolli
Kolo es válida para fluidos incompresibles.
;o tiene en cuenta dispositivos &ue agreguen energa al sistema.
;o *a% transferencia de calor.
;o *a% perdidas por fricción.
6>):-6-:G;EK DE) >L:;K:>:G BEL;G)):
C"i#enea )as c*imeneas son altas para aprovec*ar &ue la velocidad del viento es más constante % elevada a ma%ores alturas. -uanto más rápidamente sopla el viento sobre la boca de una c*imenea, más baa es la presión % ma%or es la diferencia de presión entre la base % la boca de la c*imenea, en consecuencia, los gases de combustión se extraen meor.
T$er%a )a ecuación de Bernoulli % la ecuación de continuidad también nos dicen &ue si reducimos el área transversal de una tubera para &ue aumente la velocidad del fluido &ue pasa por ella, se reducirá la presión.
Nataci!n )a aplicación dentro de este deporte se ve refleado directamente cuando las manos del nadador cortan el agua generando una menor presión % ma%or propulsión.
Car$rador de ato#!&il En un carburador de automóvil, la presión del aire &ue pasa a través del cuerpo del carburador, disminu%e cuando pasa por un estrangulamiento. 6l disminuir la presión, la gasolina flu%e, se vapori'a % se me'cla con la corriente de aire.
Fl'o de (lido desde n tan)e )a tasa de fluo está dada por la ecuación de Bernoulli.
Dis*ositi&os de +entri En oxigenoterapia, la ma%or parte de sistemas de suministro de débito alto utili'an dispositivos de tipo 7enturi, el cual está basado en el principio de Bernoulli.
A&iaci!n )os aviones tienen el extradós (parte superior del ala o plano$ más curvado &ue el intradós (parte inferior del ala o plano$. Esto causa &ue la masa superior de aire, al aumentar su velocidad, disminu%a su presión, creando as una succión &ue sustenta la aeronave.
ECUACION DE DARCY, -EIBASH Darc%Meisbac* define la pérdida de carga en regmenes permanentes % uniformes, en función del coeficiente de frotamiento. n trabao &ue *a durado décadas % &ue todava no parece concluido *a sido anali'ar este valor del coeficiente de frotamiento para cada caso, sea el régimen laminar o turbulento, sea el tubo liso, semirrugoso o rugoso. En el captulo se establecen las expresiones desarrolladas, en orden cronológico, por >randtl, Narman, -olebrooO % otros investigadores, sin describir todo el trabao desarrollado por ellos, &ue resultara mu% extenso. Estas expresiones obtenidas por los investigadores mencionados son complicadas, por lo &ue llevarlas a ábacos *a facilitado durante muc*os a1os la resolución de problemas. Ke presenta el trabao reali'ado por Pood% mediante su ábaco, % se inclu%en expresiones aproximadas para el cálculo directo del coeficiente de frotamiento, &ue resultan mu% ?tiles en la actualidad, %a &ue el grado de aproximación es elevado. Ke estudian las pérdidas de carga en las pie'as especiales, conocidas con el nombre de pérdidas menores o puntuales, &ue se calculan mediante dos métodos@ el de las longitudes e&uivalentes % el de los coeficientes de paso. 6 continuación se estudia el enveecimiento de las tuberas, las instalaciones de bombeo simples % se define el concepto de lnea pie'ométrica % de alturas totales, presentándose varios casos particulares. 0eniendo en cuenta &ue además del ábaco de Pood% % de la expresión de Darc%Meisbac* existen numerosas fórmulas empricas para el cálculo de las pérdidas de carga se anali'a la expresión de Ha'enMilliams, mu% valida para cálculos rápidos con agua. >or ?ltimo se explican las tuberas en serie, en paralelo % ramificadas. Lefiriéndonos exclusivamente a las pérdidas de carga por ro'amiento o continuas en tuberas de diámetro constante, fluo permanente de fluido incompresible % tra%ectorias rectas o de pe&ue1as curvaturas, el ro'amiento por unidad de sección del tubo, seg?n determinaciones experimentales crece proporcionalmente con la energa cinética por unidad de masa % con la densidad del fluido.
en donde Q es un factor de proporcionalidad (adimensional$, coeficiente de Fanning, función a su ve' de otros parámetros adimensionales. Kuponemos una tubera por la &ue circula un l&uido incompresible de peso especfico R, % en ella el volumen comprendido entre las secciones % 3, separadas una distancia ), formando un ángulo S respecto a la *ori'ontal, sobre la tubera act?an las siguientes fuer'as (figura ".$.
Figura 3.1. Elemento de tubería por el que circula un líquido
>eso de la masa del l&uido (>$, aplicado en el cdg (/$@
Fuer'as de presión (> TK % > 3TK$, &ue sera la fuer'a &ue eerce el resto del l&uido sobre las secciones % 3, respectivamente.
Fuer'a de ro'amiento (F$, en sentido contrario al movimiento % debida al ro'amiento ( $ del l&uido con las paredes de la tubera. F5
T Kuperficie con la &ue ro'a 5
TcT)
)a superficie lateral del cilindro considerado es un rectángulo de base ) % altura c, siendo c el permetro de la sección circular, figura ".3.
>ro%ectando sobre el ee *idráulico las fuer'as &ue act?an sobre el cilindro considerado@
Dividiendo por K T R @
El primer miembro de la igualdad,
, es la diferencia de las alturas
pie'ométricas entre los puntos % 3, es decir, la pérdida de carga &ue se produce en ese tra%ecto.
Entonces,
($
Ke comprueba experimentalmente &ue
, siendo
un factor de proporcionalidad
adimensional conocido como coefiente de Fanning.
6demás, el radio *idráulico es :ntroduciendo estos valores en ($@
% como
5 T g , entonces
En tubera cilndrica,
)lamando 8 T
, por lo &ue@
5 f coeficiente de fricción, la ecuación general de Darc%Meisbac*@
)a pérdida de carga por unidad de longitud será@
)a pérdida de carga continua es directamente proporcional a la velocidad del l&uido % a la longitud del tramo de tubera &ue estamos considerando, e inversamente proporcional a su diámetro. El factor de fricción (f$ es adimensional % es función del n?mero de Le%nolds % de la rugosidad relativa de la tubera, parámetro &ue da idea de la magnitud de las aspere'as de su superficie interior@
Es un *ec*o demostrado &ue la rugosidad relativa no influ%e sobre f en régimen laminar (Le 3CCC$, %a &ue el ro'amiento se debe fundamentalmente a la fricción de unas capas de fluido sobre otras % no de éstas sobre las paredes de la tubera. Kin embargo, para Le
3CCC las
cosas cambian % la rugosidad relativa ad&uiere notable importancia, como veremos posteriormente. )a ecuación de Darc% Meisbac* puede ponerse en función del caudal circulante, %a &ue el caudal &ue flu%e por una conducción circular a plena sección está ligado al diámetro % a la velocidad media por la relación@
donde Kustitu%endo en la ecuación de Darc% Meisbac*@
&ue es la ecuación de Darc%Meisbac* en función del caudal )a pérdida de carga por unidad de longitud será@
Ke deduce &ue un aumento en el caudal o un aumento en la velocidad del l&uido implica un aumento en la pérdida de carga, mientras &ue diámetro % pérdida de carga están inversamente relacionados.
