Colegio Técnico Profesional Santa Teresa de los Andes Osorno
Profesores: Pamela Rogel C.– Erwin Coronado C. Sector: Matemática Curso: 1°Medio
G u í a d e Ej e r c i c i o s T em e m a : El El co co n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s .
A. Expresión fraccionar f raccionaria: ia: Las operaciones en los r acionales: En los números n úmeros racionales se pueden aplicar las operaciones usuales, es decir, d ecir, los números racionales se pueden p ueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Una propiedad importante que cumplen los números racionales con estas operaciones es que sin importar la operación que se aplique, el resultado obtenido siempre será un número racional. A esta propiedad se le conoce como cerradura, y por lo tanto se dice que el conjunto de los números racionales es cerrado con respecto a estas operaciones.
¿A q u é c o r r e s p o n d e e s t a g u í a ? Esta guía corresponde a la segunda parte de los lo s números racionales y contempla las operaciones en los racionales de acuerdo a su representación fraccionaria.
I . Su m a La relación fundamental en la suma de fracciones es que: a
+
b
c
=
a+c
b
(* )
b
Es decir, cuando se tienen dos fracciones de igual denominador, se conserva el denominado r y se suman los numeradores. Entonces cuando se tienen fracciones con distinto denominador, podemos utilizar lo anterior junto con la amplificación y obtener el siguiente resultado al sumar dos fracciones: a b
c
+
=
d
ad bd
+
bc
( Amplificando para igualar denominadores)
bd
luego ad bd a
Es decir
b
+
+
bc bd
c d
=
ad
=
+ bd
( Aplicando la relación fundamental en la suma ) (*)
bd
ad
+ bc bc
bd
Por ejemplo, obtener el resultado de
5
+
3
7 8 5 3 5 ⋅ 8 3 ⋅ 7 40 21 + Amplifi ifican cando do cada cada fra fracci cción ón para para iguala igualarr denomi denominad nadore oress) + = + = ( Ampl 7 8 7 ⋅ 8 8 ⋅ 7 56 56
luego
5 7
3
40 + 21
8
56
+ =
=
61
( Aplicando la relación fundamental en la suma )
56
Otro método es identificar el mínimo común múltiplo entre los denominadores y realizar la amplificación según este m.c.m. Para obtener este m.c.m. se utiliza la descomposición prima. Veamos un ejemplo Sumar:
5 6
3
1
8
4
+ +
Obtengamos el m.c.m.(4,6,8) 4 2
6 3
8 4
1 1 1
3 3 1
2 1 1
Luego, se tiene
5 6
3
1
8
4
+ +
=
20 24
+
9 24
+
6 24
=
2 2
luego el m.c.m.( 4, 6, 8) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24
2 3 24
20 + 9 + 6 24
=
35 24
=1
11 24
1. Determinar el resultado de las siguientes sumas de fracciones utilizando la definición general. Exprese el resultado como fracción irreductible o como fracción mixta, según corresponda. corresponda. (Si el resultado es negativo, recuerda que 5
a.
6
4
b.
5+
8
d.
6
= −1
6
3
2
f.
5
1 4
−5
+
3
=
+
3+
g.
+4+
9
=
=
7
3
e.
2
+ +
5
c.
3
+
h.
2
=
6
1
j.
1 2 1 + + + = 5 2 5 10 4
8+
4 5
b
i.
=
2
−a
=
2 3
a
=− )
−b
b
5
1
8
2
+ +
2
=
1
+3+ + 2 =
5
2
4
k.
l.
a
=
5
+
−3 8
=
−5 8 3 −7 + + + = 4
5
2
6
Cuando sumas un entero con una fracción, como en los ejercicios c., f. y h. ¿Qué puedes concluir respecto del tipo de fracción que se obtiene? 2. Determina el resultado de las siguientes siguientes sumas de fracciones utilizando utilizando el mínimo común denominador. denominador. Exprese el resultado como fracción fracción irreductible o como fracción fracción mixta, según corresponda. 4
a.
14
10
b.
3 1
c.
5 5
d.
9
+
+
3 7
=
e.
−1 −1 + = 6
3
4
1
3
2
4
−1
3
12
+ +
+ +
f.
5 8
+
−8 21
−2
=
i.
+ +− 8 =
j.
6 5
7
2 1 1 2 g. + + + = 12 3 9 4 12
=
h. −2 +
=
−1 1 −5 + + = 5 5 6
k.
1 6
+
−3 8 3 8
−6 12
+
+
+
1 12
1 18
+
=
11 6
−3 −3 + = 4
8
−2 −1 5 4 + + + = 5 10 12 6
l.
I I . Re Re st st a En la resta la relación fundamental solo varía en el signo: a b
−
c b
=
a−c b
(* )
De igual forma, respecto de fracciones con distinto denominador, solo varía el signo, quedando la definición para la resta de fracciones como: a b
c
−
d
ad
=
bd
−
bc bd
( Amplificando para igualar denominadores)
luego a b
c
−
d
=
ad
− bd bd 2
Por ejemplo, obtener el resultado de
2 5
−
1 6
=
2⋅6 5⋅ 6
−
1⋅ 5 6⋅5
( Aplicando la relación fundamental en la resta ) (*)
bd
=
−
1
5 6 12 5 30
−
30
Amplificando cada fracción para igualar denominadores) ( Amplificando
luego
12 30
−
5 30
=
12 − 5 30
=
7 30
( Aplicando la relación fundamental en la resta )
1. Determinar el resultado de las siguientes restas de fracciones utilizando la definición general. Exprese el resultado como fracción irreductible o como fracción mixta, según corresponda. corresponda. (Si el resultado es negativo, recuerda que
a.
b.
c.
d.
4 5
5 4 4 5 3 7
−
1
=
6
e.
8
1
3
3
8
−
− − =
−
−
50 11
3
=
2
−5
−
42
f.
84
g.
=
h.
16 7 5−
− 3 4
12
=
6
1
−
2
=
4
5 36
3 7
a
−b
=− ) b
9
51
2
14
− − 1
7
6
12
j. − −
−
= 7
=
4
8 −6 10 −8 k. − − − − = 3 9 15 6
1 2 − − = 5 10 5
−
a
=
b
i.
4
9
−a
−4=
−9 1 3 −7 − − − =
l.
4
3
24
12
2. Determina el resultado resultado de las siguientes siguientes restas de fracciones fracciones utilizando el mínimo común común denominador. denominador. Exprese el resultado como fracción fracción irreductible o como fracción fracción mixta, según corresponda. a.
b.
3 10
9 12
−
5 10
=
e.
−1 5 − − = 8
c. −3 −
1 6
f.
3
−
−3 5 − = 4
g.
8
−3 12 − = 5
6−
6
−
−
1
4
=
j.
−2 5 −2 −5 − − − = 5 6 5 30
1 3 1 7 d. − − − = 4 5 40 8
6
5
1
2
i.
6 2 4
3 14
−6 8
−
−4−
−1 6
−2 7
=
=
3 1 7 −1 k. − − − = 8 6 24 12
1
4
2
5
h. −6 − − − −
4
−
=
3. Determinar el valor de los siguientes ejercicios combinados de sumas y restas. Utiliza el método que más te acomode y expresa el resultado como fracción mixta en caso que corresponda. a.
b.
5 4
3
1
−2
4
4
4
− + +
1+
1
2
5
8
12
e.
4 2 − 5 − − 10 = 25 50
f.
25 5 6 + − = 12 5 24 12
g.
25 5 9 1 + − + = 24 12 6 12
c.
d.
3 1 − + 4 4 4
5
=
6
− −
=
−5 60
−
8 6 60 0
+
15 30
+5−
−4 15
=
1
2
h. − − 13 13
−1 5 5 − − 2 + = 2 26 2
I I I . M u l t i pl p l ic i c a ci ci ó n Para multiplicar dos fracciones se opera como sigue: a
⋅
c
a ⋅c
=
b d
ac
=
b⋅d
(* )
bd
Observa que siempre se tiene que a ⋅ b = ab , lo que te servirá cuando estudiemos lenguaje algebraico. También debes tener en cuenta que a ⋅1 = 1⋅ a = a
3 −5
⋅
Por ejemplo, al obtener el resultado de
se tiene
4 8 3
⋅
4
−5
3⋅
=
8
( −5 ) −15 =
4 ⋅8
32
Una observación importante en la operación multiplicación es considerar la simplificación antes de operar. Por ejemplo, si se tiene a
c b
e
d
a d
c d
a
d
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .
b d
=
e
acbedad bdcdade
=
aa b c d d e a b c d dd e
=
a d
rdenan ando do y Sim Simplif plific ican ando do) ( Orden
Conviene realizar a
c
⋅
b
b
⋅
d
e
⋅
c
d
⋅
d a
⋅
a d
.
d
a
=
Simplificando antes de operar ) ( Simplificando
d
e
5 3 5 7 4 3 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . 6 4 3 8 5 7 3 9 ⋅ 5 3 ⋅ 3 ⋅ 5 15
Por ejemplo, multipliquemos las fracciones
5 6
3
⋅
⋅
4
7 9 4
⋅ ⋅
3 8 5
⋅
3 5 . = = = 7 3 6 ⋅ 8 2 ⋅ 3 ⋅ 8 16
( Descomponiendo en factores primos )
1. Determinar el resultado de las siguientes multiplicaciones de fracciones. fracciones. Exprese el resultado como fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda. (Recuerda que
a.
b.
c.
a
=
a
1
)
1 8
⋅ =
d.
5 6
−8 3 1 ⋅ ⋅ = 5 12 4
20 3
⋅
8
3
⋅ =
10 5
6 −6
⋅
12 8 1
−12
g.
e.
8⋅
f.
3 −1 5 ⋅ ⋅ − = 4 6 8
4
⋅
=
13
=
h.
i.
4 −3 1 7
⋅
4
⋅ = 2
5 7 1 ⋅ − ⋅ = 4 12 5
1 2 1 30 81 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 3 9 15 6 9
2. Determina el resultado de los siguientes siguiente s ejercicios combinados. Exprese el resultado como fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda. a.
b.
−4
3
6
4
8
⋅ − =
5
1 5 1 − ⋅ − = 5 2 7 14
9
1
c. 2 ⋅ − 6
−3 −2 ⋅ = 4
5
d.
5 −3 4
⋅
7 1
− ⋅
=
5 4
1
6 3
3
5
6 2
e. 6 − ⋅ −
f.
g.
=
−5 4 −1 2 −5 ⋅ − + − = 3 6 6 12 4
7 −1 2
3 2 ⋅ − + = 3 4 4 5 3 ⋅
h.
3 1 2 2 1 ⋅ + 2 − ⋅ − = 5 6 7 3 5
i.
8 3 1 2 7 −1 ⋅ − − ⋅ − = 9 8 6 3 24 12
I V . Di Di v i s i ó n Para dividir dos fracciones se opera como sigue: a b
÷
c d
=
a⋅d b⋅c
=
ad bc
Debes saber que la división de fracciones, se escribe como sigue: a a b
÷
c d
b c
=
=
ad bc
d
5
Por ejemplo,
4
÷
6 7
=
5⋅7 4⋅6
=
35 24
=1
11 24
1. Determinar el resultado de las siguientes divisiones de fracciones. Exprese el resultado como fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda. a.
2 7
1
÷ =
d.
6
b.
−6 3 1 ÷ ÷ =
c.
5÷
8
8
3 10
e.
3
1
÷ =
f.
5
7 13 6 15
÷
÷
2 26 8 12 12
=
÷
g.
−30 9
=
h.
2 6 ÷ ÷− = 4 12 12
5
i.
4 −3 1 7
⋅
−8 9
4
÷
⋅ = 2
5 18
÷
−21 3
=
1 4 3 ÷ ÷ ÷ = 14 2 8 9 7
Operaciones combinadas Para realizar operaciones combinadas, recuerda que existe una prioridad en las operaciones: -Paréntesis – Potencias –Multiplicación –Multiplicación -División - Adición y sustracción de izquierda a derecha También debes recordar que para eliminar paréntesis se opera de adentro hacia afuera y cuando hay un signo negativo delante de un paréntesis, el paréntesis se elimina cambiando los signos interiores
Por ejemplo, determinar el resultado de
6 3 7 4 1 1 ÷ − + ⋅ ⋅ − 4 7 4 3 5 2 4
5
6 3 7 4 1 1 35 3 28 2 − 1 35 3 28 1 35 3 7 ÷ − + ⋅ ⋅ − = − + − + ⋅ = − + = 4 7 4 3 5 2 4 24 4 15 15 4 24 4 15 15 4 24 4 15 15
5
29 3 7 35 45 + 28 35 73 350 − 292 58 − + = − = − = = = 24 4 15 24 60 24 60 240 240 120 35
1. Determinar el resultado de las siguientes operaciones operaciones combinadas. Exprese el resultado como fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda. a.
b.
1 1 3 4 − + ÷ − = 7 5 2 5 3
d.
1 12 − 3 − = 2 2 10
e.
2
7
−6 3 1 4 1 5 c. ÷ + − + = 8 8 3 6 2 6
f.
2 2 7 14 5 1 −3 1 + − ⋅ ÷ − − = 5 12 24 24 3 2 1 3 2
−5 8
+
−3 1 2 1 1 ⋅ − − = 4 2 3 4 4
4 8 2 3 5 ÷ 1 + − + − = 15 3 9 3 2 4 20
Fr a c c i o n e s co co m p u e s t a s El determinar el valor de una fracción compuesta, significa aplicar las operaciones necesarias para que esta fracción se convierta en una fracción simple.
1 4 Por ejemplo, determinar el valor a que equivale la fracción compuesta 1 2− 2 1− 3 1+ 5
1+ 5 2−
1
1+
5 + 21
21
5 = 5 = 4 = 1 1 1 2− 2− 2 3− 2 1
1−
3
3
3
26 5 1
26
=
26
5 = 5 = − 26 2 − 3 −1 5
2− 1 1 3
1. Determinar el resultado de las siguientes fracciones compuestas. Exprese el resultado como fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda. 5
a.
4 4 −1
1+
b.
6
5
=
c. 4
2
5 = 1 1− 5
=
4−
e.
1+
d. 5−
4 5
3
1−
1 3 =
2 3 =
5
5
3+
1 2
+
4 2+
f. 1+ 5+ 1−
1 4 1 3 1 4
=
T al al l e r d e e v a l u a c i ó n 2+
1.
5 6
+3=
a. 5
1
5
b.
c.
6
6
1
10
1
4
25
d.
30
6
6
1
2. − ÷ ⋅ − = 2 3 4 3 2
−1
a. 5
3. 7 −
3−
1
b.
−
4
c. 1
d.
5
4 5
=
2
b. 5
a. 6
c. 4
d.
4 5
4. Si el precio de un artículo que es $ 800.000 se aumenta a umenta en su cuarta parte, y el nuevo precio se disminuye en su cuarta parte, el precio final es a. $750.000
b. $450.000
c. $800.000
5. Tres amigos compraron pescado; Alicia compró los
9 11
7 9
d. $600.000
de un kilo, Carlos los
4 5
de un kilo y Mario los
de un kilo. ¿Cuál(es) de las l as siguientes afirmaciones es (son) f a l s a ( s ) ? I) Alicia compró más pescado que Carlos. II) Mario compró más pescado p escado que Carlos. III) Alicia compró menos pescado que Mario.
a. Solo I
b. Solo II
c. Solo III
6. Un tambor contiene 40 litros que equivalen equi valen a
1 4
d. Solo II y III
de su capacidad. Entonces, para llegar a los
su capacidad hay que agregar a. 6 litros 7. Si los
70 100
b. 8 litros
c. 48 litros
d. 120 litros
de una cantidad corresponden a 35.000.¿Cuál es la cantidad?
a. 50.000
b. 50.500
1 a b c d
c. 40.000
2
3
d. 40.500
4
5
6
7
3 10
de
