ÁREA DE MATEMÁTICA
Nota
Contenidos Logros de aprendizaje
Profesor Estudiante Grado y Sección Bimestre
Ángulos. Bisectriz de un ángulo. Complemento y suplemento de un ángulo. Resuelve problemas que involucran ángulos consecutivos. Resuelve problemas que involucra el complemento y suplemento de un ángulo. Luis Dávila B. 10° A, B II
ÁREA DE MATEMÁTICA
3. Ángulo Llano:
Elementos:
A
-
O
4. Ángulo Cóncavo:
Lados: OA, OB Vértice: O
B
= 180º
180º < < 360º
Notación:
P
Medida:
M
O
5. Ángulo de una vuelta:
AOB, AOB
= 360º
m AOB = Q B.
Bisectriz del POQ
OM
POR SU POSICI ÓN:
1. Ángulos Consecutivos: CLASIFICACIÓN: A.
POR SU M EDI DA:
1. Ángulo Nulo: 2. Ángulos Opuestos por el Vértice:
= 0°
=
2. Ángulos Convexos: 0º < < 180º Ángulo Agudo
3. Ángulos Adyacentes:
0º < < 90º
+
= 180º
Ángulo Recto C. =
90º
POR SU REL ACI ÓN:
1. Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios, si la suma de sus medidas es 90º. C = 90º -
C : Complemento de
Ángulo Obtuso 2. Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios, si la suma de sus medidas es 180º.
90º < < 180º
S = 180º -
S : Suplemento de
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN NIVEL BÁSICO
7. Del gráfico; Calcular: m∢ROS. Si además : La m∢QOB = m∢BOS Q
a) 11º b) 14º
1. Del Gráfico, calcular “x”. a) 18º
c) 21º e) 19º
3xº
xº
A
R
xº
d) 23º
b) 36º c) 54º
B 48º
xº
P
S
2xº
d) 60º
8. De la figura; OR , es bisectriz del ángulo BOC;
e) 30º
calcular m∢AOR; Si : m∢AOB + m∢AOC = 160º.
2. Calcular “x” a) 15º
B
A
a) 100º b) 80º
b) 20º
c) 70º
5xº
c) 30º
R
d) 60º
d) 18º
xº
e) 160º
e) 36º
xº
30º
c) 60º d) 80º
40º xº
30º
10. Hallar la medida del ángulo formado, por las bisectrices del par lineal AOB y BOC a) 90º b) 80º c) 65º d) 75º e) 45º
e) 70º 4. Calcular “x” a) 10º b) 45º
20º
c) 60º
11. Se tiene un ángulo en el cual la suma de su complemento y su suplemento es tres veces el valor del ángulo, calcular el suplemento del complemento del ángulo en mención. a) 120º b) 124º c) 144º d) 126º e) 108º
xº
xº
d) 30º
C
9. Sobre una recta se tienen los ángulos AOB, BOC y COD, consecutivos, tal que : m∢BOD – 3m∢AOB = 120º. Calcula m∢AOB a) 17º b) 15º c) 14º d) 10º e) 12º
3. Calcular “x” a) 20º b) 40º
O
10º
e) 15º 5. Calcular “x” a) 45º
12. Calcular : SSSCCCº Si : CCCSSSSCCº = 40º a) 10º b) 20º d) 140º e) 70º
B
b) 90º
xº M
c) 50º d) 15º
º
º
º
e) 10º
13. Reducir la siguiente expresión:
º
A
C
O
6. Del gráfico, adjunto; ¿cuál de las relaciones se cumple?:
a)
1 3
SSSSSCCCCC 54º CCC36º SSS162 º b)
1 2
c) 3
e) 1
yº
xº
b) xº - yº = 180º x y c) 20º 2
E=
d) 4
75º
a) xº + yº = 105º
c) 40º
x y 20º 5 e) x + y = 90º
d)
14. Si a un ángulo le restamos su suplemento resulta ser el triple de su complemento, calcular el suplemento del ángulo. a) 45º b) 36º c) 54º d) 90º e) 72º
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15. Cuanto le falta al complemento de un ángulo para ser igual a su suplemento: a) 180º b) 90º c) 45º d) 50º e) 10º
a) 36º d) 60º 22. Dado (m
el ˆ
AOB . ˆ
16. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD; de tal manera que ∢
AOC + m
∢
BOD = 148º y
OD .
OA
b) 68º e) 46º
c) 54º
17. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD y se trazan las bisectrices
COD ˆ
respectivamente.
y
OX
de AOB y
OY
Hallar
m∢XOY,
b) 100º e) 81º
si
c) 78º
18. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Calcular el suplemento del ángulo AOD. Sabiendo que los ángulos AOC y BOD son suplementarios además: m ∢ DOC = 2 m ∢ AOB y m ∢ BOC = 42º. a) 21º b) 36º c) 42º d) 34º e) 25º 19. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que m
∢
BOC )
se traza
ˆ
AOD = 160º y m
y
AOB ˆ
OP
OM
, si
OP
BOC ˆ
y
OB
es bisectriz de
Hallar m ∢ MOP, si m ∢ BOC = º.
a) º/3 d) º
b) º/2 e) º/4
c) 3º/2
23. Hallar la medida del ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios. a) 60º b) 45º c) 90º d) 50º e) 120º
ˆ
m ∢ AOC = 81º y m ∢ BOD = 99º. a) 99º d) 90º
lineal
Hallar
m ∢ BOC. a) 74º d) 58º
> m
AOB
c) 27º
par
forman un ángulo de 90º y
NIVEL INTERMEDIO
m
b) 54º e) 72º
BOC = 100º.
∢
Hallar la medida del ángulo formado por las bisectriz de AOC y BOD.
24. Sean º y º las medidas de dos ángulos de manera que º + º = 90º. ¿Para qué relación entre º y º, se cumple que la diferencia entre el suplemento y el complemento de la suma de ambos es igual al suplemento del complemento de su diferencia?. a) º =
º
3
d) º = 2º
b) º = º
c) º =
3 º 2
e) º = 3º
25. Si la medida de uno de dos ángulos complementarios se le disminuye 18º para agregárselo al otro; la medida de este último resulta ser ocho veces lo que queda de la medida del primero. ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos? a) 80º b) 28º c) 72º d) 63º e) 62º
ˆ
a) 30º d) 60º
b) 45º e) 36º
20. Dados los rayos
c) 20º
OA , OB , OC , OD
manera que la bisectriz
OX
y
de
OE
del ángulo AOB es
perpendicular a la bisectriz
OD
de
BOE . ˆ
Si
m ∢ XOE = 160º. Calcular m ∢ BOD. a) 80º d) 50º
b) 60º e) 40º
21. Los cuatro rayos consecutivos OD
c) 70º
OA , OB , OC
y
forman cuatro ángulos consecutivos que son
entre sí como 1, 2, 3 y 4. Calcular el ángulos formado por las bisectrices de AOD ˆ
= 180º
AOB ˆ
y
BOC . ˆ
26. Si a la medida de un ángulo se le disminuye 3º más que la mitad de su complemento, resulta ser igual a un tercio de la diferencia entre el suplemento y el complemento de dicho ángulo. ¿Cuánto mide el ángulo en mención? a) 23º b) 64º c) 88º d) 52º e) 48º 27. Si al suplemento de un ángulo se le agrega el complemento del complemento del mismo, se obtiene el cuádruple del complemento de dicho ángulo. Hallar su medida. a) 15º b) 45º c) 30º d) 60º e) 80º
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de lo que queda del primer ángulo. Hallar la 28. La diferencia entre la medida de un ángulo y su
diferencia de las medidas de los dos ángulos.
suplemento es igual al triple de su complemento.
A) 30°
B) 40°
C) 50°
D) 60°
E) 70°
Hallar la medida de dicho ángulo. A) 30°
B) 45°
C) 60°
D) 75°
E) 90°
35. Si el suplemento del complemento de un ángulo se le agrega el complemento del suplemento del
29. Dos ángulos están en relación de 1 a 3. Si la
mismo ángulo, resulta 90° más que el suplemento
diferencia entre sus complementos es un octavo
de dicho ángulo. Hallar la medida de tal ángulo.
de la suma de sus suplementos, hallar el
A) 50°
B) 70°
C) 90° D) 110°
E) 130°
complemento del mayor. A) 12°
B) 24°
C) 18°
D) 36°
E) 68°
36. El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual
30. Si al menor de dos ángulos suplementarios se le
a los 4/9 de la diferencia entre el suplemento del
quita 15° para agregárselo al mayor, este
ángulo y el suplemento del suplemento del ángulo.
resultado debe ser el doble de lo que queda del
Halla el complemento del ángulo.
menor. Calcular el complemento del menor ángulo
A) 90°
B) 0°
C) 45°
D) 30°
original. A) 60°
B) 30°
C) 18°
D) 15°
E) 10° 1.
NIVEL AVANZADO
Del gráfico, calcular “x”
a) 20º 31. Se tiene el par lineal m
b) 30º
QOR = 3yº. Hallar el
c) 45º
ˆ
POQ = xº - 2yº ; m
∢
tal que
POQ ∢
y
QOR , ˆ
d) 55º
máximo valor entero de yº. a) 45º b) 50º d) 61º e) 60º
32. Se trazan los ángulos consecutivos AOB y BOC
Calcular “x” a) 18º
respectivamente.
b) 36º
Calcular la medida del ángulo formado por las
c) 10º
bisectrices de los ángulos AOY y XOC, si: mAOC
d) 15º
= 80°
e) 22º
A) 40°
B) 20°
OX, OY
C) 10°
D) 30°
E) 12°
3.
a) 30º
COD. Si: m AOB = mCOD = b y mAOD = a;
b) 60º
calcular la medida del ángulo formado por las
c) 90º
bisectrices de los ángulos AOC y BOD.
d) 120º
A) B)
2 2b 4
C)
a 2b
e) 150º
E) N.A.
4
D) b
4.
3xº 2xº
Calcular “x”
33. Se trazan los ángulos consecutivos AOB, BOC y
ab
xº
º
a
la
medida
de
uno
de
dos
ángulos
º
º
º
Calcular “x” xº
a) 40º 34. Si
xº
e) 60º
c) 59º 2.
cuyas bisectrices son
3xº
b) 70º
suplementarios se le disminuye 30°, para agregarle
c) 100º
al otro, la medida de éste último resulta ser 7/2
d) 110º e) 150º
º º
40º
º º
E) 60°
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11. 5.
Calcular “x” ; OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD
a) 120º b) 135º c) 140º
xº
M
C N
d) 150º A
M
B
a) 24º b) 20º c) 16º
xº
d) 12º
N º
D
b) 56º
B M
C
28º
d) 66º
c) 140º
Hallar “x”, si
O
a) b) c) d) e) 9.
OB
20º 10º 12º 14º 30º
D
es bisectriz del ángulo
BOC – m
20
A
ángulo AOB a) 12º b) 15º c) 18º d) 20º e) 36º
∢
D
AOC = 40º,
B
OM
bisectriz del
M
C O
∢
BOC son suplementarios.
A
B
C
d) 135º
14. Hallar “x” : a) 120º b) 100º c) 95º d) 135º e) 105º
10. En la figura, hallar “m ∢ MOC” : ∢
AOC y
A
D
O
ˆ
Hallar el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos AOB y COD. a) 120º B b) 130º C c) 140º 100º d) 160º D e) 135º A
m
∢
D
O
AOC
C
B 4x
3
13. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. Si m∢BOC = 100º. a) 100º
e) 160º 8.
C
115º 130º 125º 150º
b) 150º A
M
c) 60º e) 18º
B
O
En la figura, OM es bisectriz del ángulo AOC. Hallar la m∢COD. a) 46º
Hallar la
ˆ
A
b) c) d) e)
º
e) 18º
ˆ
COD .
b) 45 + 3 c) 3 d) 6 3 2
AOC .
Si: m ∢ AOB = 80º. Hallar m ∢ AOC. B a) 105º C
C
ºº
3 2
12. En la figura
Calcular “x”, si : m∢MON = 3(m∢BOC) A
7.
a) 90 –
D
o
es bisectriz del
OM
medida del ángulo
e)
e) 90º 6.
En la figura
A
B
M º
A
º
xº C
N
D 15. Sean los ángulos consecutivos AOB y BOC. Si: m∢AOB = 2m∢BOC = 60º. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de dichos ángulos. a) 15º d) 30º b) 20º e) 40º c) 25º 16. Se tienen los ángulos AOB, BOC y COD, consecutivos, tal que : m∢AOD = 90º y m∢AOC + m∢BOD = 140º Calcular : m∢BOC a) 40º d) 54º b) 36º e) 60º c) 50º
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17.
Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC de tal manera que el ángulo AOB mide 42, encontrar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BOC y AOC . a) 84º b) 35º c) 42º d) 30º e) 21º
26. La suma del complemento de un ángulo x con el suplemento de su ángulo doble es igual a 3/2 del complemento de un ángulo y. Si x – y = 24º, hallar x. a) 24° b) 42° c) 48° d) 66° e) 72°
18. Se tienen los ángulos consecutivos AOB , BOC y COD tal que la suma de las medidas de los ángulos AOC y BOD es igual a 84º. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de
27. Calcular el suplemento del complemento del doble del complemento de 84º a) 102° b) 78° c) 96° d) 12° e) 72°
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
los ángulos a) 84º d) 42º
ˆ
AOB ˆ
y COD . b) 60º e) 45º
28. La diferencia del suplemento y el complemento de es igual al séxtuplo de . Calcular . a) 5° b) 15° c) 30° d) 60° e) 90°
ˆ
c) 30º
19. En el interior del ángulo AOC se traza de tal manera que
m AOB mBOC
3 1
OB OB
. Si mAOC =
120°. Hallar mAOB – mBOC. a) 20°
b) 42°
c) 84°
d) 105°
E)N. A.
20. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC. Si
OD
es bisectriz del BOC y mAOB +
mAOC = 160°, hallar mAOD. a) 40°
b) 45°
c) 60°
d) 75°
e) 80°
21. Se tiene dos ángulos consecutivos AOB y BOC de manera que la suma de las medidas de los ángulos AOB y AOC es 80º. Calcular la medida del ángulo AOM, siendo a) 10º
OM bisectriz
b) 20º
del ángulo BOC
c) 30º
d) 40º
COD tal que mAOD = 90º y mBOC = 50º. Calcular m AOC + m BOD b) 120°
23. Calcular : E =
c) 130° d) 140°
e) 150
SSCC 30 º SS 10 º
a) 3 d) 2
SSCCC 50 º
b) 1/3 e) 1
30. Los suplementos de dos ángulos son ángulos complementarios, además si al doble de uno de los ángulos se le resta el otro, resulta el doble de este último. Calcular la medida del mayor ángulo. a) 272º b) 108º c) 162º d) 62º e) 100º 31. La suma del complemento y el suplemento de cierto ángulo es igual a 110º, calcular la medida de dicho ángulo. a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º
e) 30º
22. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y
a) 110°
29. Un ángulo, cuya medida es “ ”. Se le resta su suplemento y se obtiene 42º, Hallar el valor de “”. a) 84º b) 64º c) 42º d) 111º e) 121º
c) 1/2
32. Si el suplemento del suplemento del complemento de un ángulo mide 20º, Calcular el suplemento del complemento del complemento de dicho ángulo. a) 50º b) 110º c) 80º d) 90º e) 10º 33. Un ángulo es tal que, la suma del complemento y del suplemento es igual al triple del ángulo. Halla el valor del ángulo. a) 45º b) 46º c) 54º d) 36º e) 44º
24. De qué ángulo debe restarle los 2/3 de su complemento para obtener 70°. a) 68°
b) 88°
c) 50°
d) 78°
e) N.A.
25. Hallar la medida del ángulo cuya suma de complemento y suplemento es 140º a) 65°
b) 55°
c) 75°
d) 125°
e) 155°
34. Si a un ángulo le restamos su suplemento resulta igual al triple de su complemento. Hallar el complemento de dicho ángulo. a) 60º b) 30º c) 90º d) 0º e) 50º
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35. Si el complemento de la diferencia de dos ángulos es igual al suplemento de la suma de dichos ángulos. Determinar uno de los ángulos. a) 30º b) 24º c) 45º d) 60º e) 70º 36. Si el suplemento de la medida de un ángulo es igual a los 3/2 de la diferencia entre el suplemento y el complemento de dicho ángulo. Calcular la medida del ángulo mencionado. a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 75º 37. La suma de los suplementos y complementos de dos ángulos que se diferencian 40º es 400º. El menor ángulo mide. a) 5º b) 15º c) 25º d) 35º e) 45º 38. Hallar la medida del ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios. a) 60º b) 90º c) 80º d) 50º e) 30º 39. Encontrar la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de un ángulo que mide 102º. a) 1º b) 2º c) 3º d) 4º e) 84º 40. Si al menor de dos ángulos suplementarios se le quita 15° para agregárselo al mayor, este resultado debe ser el doble de lo que queda del menor. Calcular el complemento del menor ángulo original. a) 60° b) 30° c) 18° d) 15° e) 10°
