UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Guía de Actividades Trabajo colaborativo Fecha: Febrero del 2014 Nombre del curso: lógica Matemática Código: 551105 Temáticas: Generalidades sobre la teoría de conjuntos, conjuntos numéricos y operaciones, generalidades y profundización de la lógica lógica matemática Estrategia de aprendizaje : El “Aprendizaje Basado en Tareas” es un enfoque centrado en el uso de tareas como núcleo dentro del proceso de aprendizaje que facilita la apropiación de un lenguaje, debido a esto esta estrategia se puede utilizar dentro de nuestros cursos de la licenciatura ya que esta ciencia tiene como herramienta importante el lenguaje tanto verbal como simbólico. De otra parte en el libro competencias matemáticas (D` Amore) afirma que las matemáticas es el lenguaje de las ciencias, ya que” toda consideración sobre el lenguaje en el cual se expresa la Matemática, en ámbito didáctico, implica reflexi ones sobre el aprendizaje tanto de la Matemática como de su lenguaje”.
Por lo anterior, dicha estrategia se ajusta a las necesidades necesidades del curso de lógica lógica matemática. De acuerdo con Numan considera las siguientes etapas: 1. Pre.-Tarea En este momento se hace introducción al tema mediante un mapa mental o cualquier otra estrategia que permita reconocer las temáticas para el desarrollo desarrollo de su tarea: 2. Ciclo de la tarea. La tarea es la realizada de manera individual por los estudiantes que para nuestro caso deben solucionar los ejercicios y preguntas orientadoras, teniendo en cuenta los recursos, con énfasis en el producto a desarrollar, organizado y preciso. 3. Post.-Tarea Se entrega del producto realizado el cual se evalúa entre los integrantes, para construir un producto grupal como el resultado de los aportes de cada uno generando un aprendizaje nuevo centrado en la partición de todos los integrantes y el intercambio intercambio de ellos.
Peso evaluativo: 500 puntos I. Intencionalidades formativas: Propósitos: A través del curso de lógica matemática como campo de formación disciplinar se busca que el estudiante este en capacidad de verificar los grados de validez de razonamientos lógicos por intermedio de procesos deductivos apoyado en conectivos lógicos, reglas de inferencia y diferentes métodos de demostración como herramientas importantes dentro de su campo de formación y futuro desempeño profesional. Competencias: Contextualiza los conceptos que permiten potenciar la capacidad analítica, lógica, interpretativa y creativa en la solución de aplicaciones y problemas matemáticos tendientes a la construcción y desarrollo del pensamiento lógico – matemático matemático los cuales deben proporcionar la formación profesional adecuada acorde con las necesidades del mundo laboral dentro del contexto real. Contextualiza términos, predicados, razonamientos y demostraciones en la solución de situaciones reales que contribuyen con el desarrollo del pensamiento – lógico lógico matemático vital dentro del campo de formación
profesional y laboral.
II.
Descripción de la actividad:
Temáticas revisadas: Generalidades sobre la teoría de conjuntos, conjuntos numéricos y operaciones, generalidades y profundización de la lógica matemática Estrategia de aprendizaje: Se espera que los estudiantes estén en capacidad se solucionar ejercicios, problemas y preguntas orientadoras desde los conocimientos desarrollados desarrollados además de resolver situaciones situaciones de su entorno. entorno. Mediante la estrategia de aprendizaje que se va utilizar es “Aprendizaje Basado en Tareas” que es un enfoque centrado en el uso de tareas como núcleo central en la planeación de un proceso y aprendizaje desde el lenguaje ya que todo consideración sobre el lenguaje en el cual se expresa la matemática ,en ámbito didáctico sobre el aprendizaje tanto de la matemática como de su lenguaje(D`Amore,200b) Actividades Previas: Realizar la lectura de cada uno de los referentes bibliográficos, ver los videos de los diferentes materiales de la bibliografía recomendada para cada una de las Pre-tareas reconociendo cada una de las temáticas propuestas dentro del syllabus. Pasos para el desarrollo del trabajo de reconocimiento del taller: 1. (Evaluación inicial) Este se relaciona directamente con los referentes que se tienen dentro de los prerrequisitos, es decir generalidades sobre teoría de conjuntos, conjuntos numéricos y operaciones, generalidades y profundización de la lógica matemática uno por cada temática para lo cual se puede apoyar en la bibliografía recomendada, para ellos debe ayudarse del siguiente enlace:
CÓMO SE HACE UN MAPA MENTAL Tomado de: http://www.mejoresideas.com/cursos-creativos.html ¿CÓMO ELABORAR UN MAPA MENTAL? Los mapas mentales son organizadores gráficos utilizados como recursos metodológicos para organizar información y potencializar los sentidos que se estimulan a través de las imágenes y colores. Estas son algunas instrucciones para su elaboración: 1. El mapa debe estar formado por un mínimo mínimo de palabras. Es importante importante utilizar únicamente ideas clave clave e imágenes. 2. Se debe iniciar siempre desde el centro, colocando la idea central (Objetivo) y remarcándolo. 3. A partir de esa idea central puede generarse una lluvia de ideas que estén relacionadas con el tema. 4. Para darle más importancia a unas ideas que a otras (priorizar), puede utilizarse el sentido de las manecillas del reloj. 5. Acto seguido se ubican las ideas secundarias alrededor de la idea central, evitando amontonarlas. amontonarlas. 6. Es importante relacionar la idea central con los subtemas utilizando líneas que las unan. 7. La creatividad es vital en la elaboración del mapa mental 8. Se realizan tres mapas mentales de acuerdo con lo establecido y propuesto para cada ciclo c iclo y bibliografías recomendadas. Esta evaluación inicial tiene un valor de 25 puntos correspondientes al 5% del total para ser entregados en el periodo comprendido entre 11 de febrero y el 4 de marzo del 2014 en el espacio denominado Mapas mentales que se encuentra en el entorno aprendizaje práctico.
2. (evaluación intermedia ) Dentro de esta etapa deben resolver los siguientes ejercicios propuestos en forma individual: 1. Sean los conjuntos A= {a, b, c, d} B= {c, d, e, f, g} C= {b, d, e, f} Determine: a) A UB b) A-B c) A' d) BUC e) A∩B 2. Establecer los siguientes conjuntos por extensión: a) A= {Números naturales} b)= {x/x 2-5x-6} 3. Establecer los siguientes conjuntos por comprensión a) B= {x/x es letra de la palabra excusa} b) C= {x/x2-9=0 o 2x-1=9 } 4. Representar los primeros números naturales en la recta numérica: a) Los números entre 2y 9 b) Los números entre 1y7 5. Expresar como fracción las siguientes cantidades: a) 0.24 b) 0.692 c) 6.45 d) 1.4 2. Responder con base en los referentes disponibles dentro de esta guía y otros materiales adicionales las siguientes preguntas orientadoras: 1. Considerando que dentro del campo de las matemáticas una de las aplicaciones más importantes es el concepto de conjuntos mencione algunos de los conjuntos de su entorno por comprensión y otros por extensión. extensión. 2. Es notable reconocer que los conjuntos son objetos matemáticos muy sencillos y fáciles de reconocer y comprender desde esta perspectiva, establezca un concepto de conjunto. c onjunto. 3. Contestar: ¿Qué es un conjunto de números naturales? ¿Cuántos conjuntos de números naturales hay? 4.Josè quiere comprar una vivienda amplia y rentable de no más de $70 000 000.El vendedor de bienes raíces le ofrece 3 opciones: -Una aparta – estudio estudio de 8 metros de nacho por 6 de largo de contado. -Una casa de 1 piso de 40m 2, con lindo jardín incluido de 4x2.Con una facilidad de pago de cuota inicial de $10 000 000y 12 cuotas de $450 000, con un 0.5 de interés mensuales sobre la cuota inicial. -un apartamento de 48m 2 a 14 cuotas de 5 millones sin interés mensual. ¿Cuál es las tres opciones es la más favorable? 5 .Para el siguiente ejercicio es necesario primero simbolizar las premisas con letras mayúsculas, así como la conclusión dada. 1. Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas que aparecen dentro del ejercicio. Dar una demostración completa teniendo en cuenta las reglas de inferencia estudiadas.
Gerencia El gerente de una empresa es el encargado de muchas de las labores más importantes. Si es así, entonces ser gerente es un cargo difícil de manejar. La gente dice que, o los gerentes son personas de las que depende la empresa, o que sólo se dedican a despedir y contratar trabajadores. Pero si ellos sólo se dedican a contratar y despedir trabajadores, entonces ser gerente no es un cargo difícil de manejar. Además, si la gerencia no es un cargo que sólo quienes se han preparado para ello lo merecen, entonces sería falso que la gente diga que los
gerentes son personas de las que depende la empresa y que el gerente es el encargado de muchas de las labores más importantes. Por lo tanto, la gerencia es un cargo que sólo quienes se han preparado para ello lo merecen. 2. Supongamos que la deducción se realizó desde las reglas de inferencia justificar cada proceso realizado: Esquema :(P^ Q) H Supongamos: P^ Q Hipótesis inicial _________________ _________________ _________________ _________________ _________________ _________________ H 3.En un interrogatorio por el robo de un examen, el profesor interroga a los tres estudiantes sospechosos, que le responden como sigue: Agapito: No Hilario no yo hemos visto. Bartolo: Agapito está mintiendo. Hilario: Agapito no es el ladrón. Suponiendo que solo hay un culpable y que los inocentes dicen la verdad. Se puede deducir cuál de los estudiantes es el ladrón? 4. Demostrar: P ¬P ¬Q Q 5. Demostrar: P PVQ ¬T Q T 6.¿Qué conclusión se puede deducir de cada uno de los conjuntos de las premisas siguientes utilizando Tollendo Tollens. Escribir en castellano las conclusiones de las expresiones dadas: 7. Si la luz fuera simplemente un movimiento ondulatorio continuo, entonces la luz más brillante daría lugar a una emisión de electrones. La luz más brillante no siempre emite electrones con mayor energía que los originados por luz más tenue. 8¿Tiene la la proposición ¬Q^ R distinto distinto significado significado que la proposición ¬ (Q ^ R).En caso afirmativo afirmativo explicar la diferencia? 9¿Qué relación hay entre el lenguaje natural y el formal? 1. María dice, Si este e ste escrito es correcto, entonces 5x2=10.Se sabe que 5x2=10.Desde el punto de vista de la lógica, ¿Qué se puede decir del valor de certeza de la afirmación de María? 2. Revisar y establecer la conclusión para el siguiente caso: Premisa=Todas las ranas son anfibios Premisa=Todos los anfibios son vertebrados Conclusión= 3. Establecer cuáles de las siguientes proposiciones tienen predicados comunes:
a)Sócrates es un hombre b) X es un número par. c) Chicago es una ciudad. 10. Demostrar por inducción matemática: 2+4+6+8…+2n=n(n+1)
11.Demostrar por método indirecto: El cuadrado de un número impar es par 12.Contestar los siguientes interrogantes: a) Los argumentos deductivos son una forma de fundamento de teorías por tanto es posible afirmar que desde este punto de visto los criterios teóricos son de vital importancia para llegar a una conclusión?¿Por qué? b) Los argumentos dentro del campo de la lógica matemática matemática permiten hacer un razonamiento? 13.Considerando que: ¬
=
¬
=
Negar los siguientes proposiciones proposiciones y simbolizar simbolizar las siguientes proposiciones: proposiciones: a)Existe un matemàtico que no es logico. b)Todos los griegos griegos son racionales. c)Algún estudiante es muy disciplinado Este trabajo se presenta en forma individual con una ponderanción de 350 puntos correspondientes al 70% para ser entregado en el espacio denominado Evaluación intermedia que se encuentra en el entorno aprendizaje práctico, en el periodo comprendido comprendido entre 5 de marzo y el 3 de junio,con la siguiente estructura : El estudiante debe realizar un mapa mental con los referentes que se proporcionan y el enlace que está disponible, con esta tarea de realizar los ejercicios y resolver las preguntas orientadoras para construir su trabajo y ponerlo a consideración de sus compañeros, este debe contener lo siguiente:
Portada Mapa mental Solución de ejercicios Solución de preguntas Bibliografía con normas APA
3. ( Evaluación final ) Con base en el debate y la participación activa de todos los integrantes del grupo se realiza la construcción del trabajo colaborativo el cual debe contener los siguientes aspectos:
Portada Mapa mental Solución de de cinco ejercicios ejercicios inéditos inéditos Solución de 5 preguntas (hechas por los los integrantes del grupo) grupo) Propuesta de 5 preguntas y 5 ejercicios sobre sobre las temáticas abordadas abordadas dentro del syllabus. Crear un portafolio en http://www.portfoliobox.net/es http://www.portfoliobox.net/es,, donde se integre cada una de las fases trabajadas, como producto final del curso. Enviar el enlace al tutor. ( incluir el trabajo realizado en Word con los aspectos dados anteriormente)
Bibliografía con normas APA.
Este trabajo se presenta en forma grupal con una ponderanción de 125 puntos correspondientes al 25% para ser entregado en el espacio denominado evaluación final que se encuentra en el entorno evaluación evaluación y seguimiento, en el periodo comprendida entre 4 de junio hasta el 18 de junio del 2014
III. Criterios de Contenido : Los estudiantes tanto individual como grupal deben tener en cuenta los siguientes criterios para la presentación de los trabajos: 1.Coherencia y correlación De acuerdo con las temáticas establecidas dentro del curso y a la estrategia propuesta para cada uno de los pasos y resolver cada una de las tareas y post-tareas de acuerdo con las diferentes socializaciones realizados entre cada uno de los grupos. 2.Lenguaje normal y simbólico En este aspecto es de vital importancia tener en cuenta la simbología y el e l lenguaje matemático ya que de acuerdo con lo expuesto por (Peat, 1990) “La matemática ha aislado y refinado varios de los elementos abstractos que son esenciales a todos los lenguajes humanos”. Además (Schwarzenberger, 2000) “Mi propia actitud , que yo comparto con muchos de mis colegas, no es más que las matemáticas es un idioma”.
3.Plagio:
Política de seguridad de la información de la Plataforma Tecnológica Integrada ARTÍCULO PRIMERO:
Establecer la regulación de la política de seguridad de la información de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD, UNAD, para la plataforma tecnológica integrada.
ARTÍCULO SEGUNDO: Para acceder al campus virtual de la UNAD, los usuarios deberán hacerlo a través de su plena identificación y utilizando la contraseña correspondiente. Las cuentas de los usuarios cumplirán con los siguientes aspectos: 1. La cuenta de usuario de campus está formada por el nombre del usuario y contraseña, es privada e intransferible, por lo cual no debe prestar la clave bajo ninguna circunstancia, el uso que se dé a la misma es responsabilid r esponsabilidad ad del usuario.
2. El proceso de autenticación debe ser de máximo cinco intentos para una autenticación satisfactoria, después de éste número de intentos se deshabilita el acceso al usuario desde el navegador que tiene activo temporalmente. 3. Cuando un usuario conozca de actividades que no se apeguen a las políticas y normas de la UNAD, deberá dar aviso por medio del Sistema de Atención al Usuario – SAU. SAU. 4. No está permitido el uso de seudónimos y envío de mensajes anónimos, así como aquellos que consignen títulos, cargos o funciones no oficiales, además que atenten contra la dignidad humana y las garantías fundamentales. 5. Antes de subir cualquier archivo a la plataforma, se recomienda a los usuarios verificar la información por medio del antivirus del equipo de cómputo, para validar que no se encuentre afectado por software malicioso. malicioso.
ARTÍCULO TERCERO: Está prohibido a los usuarios de la plataforma tecnológica las siguientes actividades: actividades: Violaciones de los derechos de cualquier persona o institución protegidos por derechos de autor, patentes o cualquier forma de propiedad propiedad intelectual. Copia no autorizada de material protegido por derechos de autor que incluye, pero no está e stá limitado a, digitalización y distribución de imágenes o fotografías de cualquier origen, digitalización y distribución de música, audio o video, distribución o instalación de software sin licencia ni autorización de la Universidad. Introducción de software malicioso de forma intencionada en el campus o en los servidores. (virus, worms, troyanos, etc). Revelar la clave o contraseña de su cuenta de usuario a otros, o permitir su uso a terceros. Utilizar la plataforma para conseguir o transmitir material con ánimo de lucro. Igualmente está prohibida su utilización utilización para hacer algún tipo de acoso, acoso, difamación, calumnia o cualquier cualquier forma de actividad hostil en contra de miembros de la comunidad universitaria y en general de cualquier c ualquier persona o institución. Burlar los mecanismos de seguridad, seguridad, autenticación, autorización autorización o de auditoría, de la aplicación, servidor o cuenta de usuario.
ARTÍCULO CUARTO: El campus virtual, por ser una aplicación de la UNAD, deberá cumplir con los lineamientos establecidos en el INSTRUCTIVO DE SEGURIDAD EN LA ADQUISICIÓN, DESARROLLO Y ADMINISTRACIÓN DE APLICACIONES - I-AI-GIDT-002-002 I-AI-GIDT-002-002..
ARTÍCULO QUINTO: Las políticas del firewall, deberán permitir el acceso tanto de los usuarios como de los administradores de acuerdo al perfil o permisos que tienen asignados. Cualquier cambio en las políticas deberá ser realizado por medio del formato de RFC previamente diligenciado por po r la persona autorizada para solicitar dichos cambios.
ARTÍCULO SEXTO: La contraseña de los administradores del campus debe cambiarse en periodos máximos de seis meses. ARTÍCULO SEPTIMO: Cada vez que se realice la entrega de un usuario de administrador, se deberá realizar por medio de un acta formal de entrega y aceptación firmada por las partes involucradas. ARTÍCULO OCTAVO: Los servidores donde se encuentran alojados los campus, deben contar con un sistema antivirus, que permita verificar que los archivos subidos subidos no se encuentren infectados infectados o contengan código código malicioso. ARTÍCULO NOVENO: Tanto los usuarios, como los administradores del campus virtual, deberán cumplir con las políticas de seguridad y lineamientos establecidos por la UNAD. ARTÍCULO DÉCIMO: Cualquier miembro de la comunidad universitaria que sea encontrado contraviniendo la política aquí definida, deberá ser investigado y podrá ser objeto de sanciones administrativas, sin perjuicio de las acciones disciplinarias, penales o fiscales que puedan ser adelantadas por los organismos de control del Estado. IV. Productos a entregar: Se deben hacer tres entregas individuales y tres grupales de acuerdo con lo establecido dentro de la agenda del curso con una ponderación de: Evaluación inicial: 25 puntos desde el 11de febrero hasta el 4 de marzo Evaluación intermedia: intermedia: 350 puntos desde desde el 5 de marzo marzo hasta el 3 de de junio Evaluación final: 125 puntos desde el 4 de junio hasta el 18 de junio
V. Bibliografía recomendada: Generalidades sobre teoría de conjuntos Ejercicios de “Lógica matemática y fundamentos” (2012– 13) disponible en:
http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos http://www.cs.us .es/~jalonso/cursos/lmf/temas/ejercicios-LMF-2 /lmf/temas/ejercicios-LMF-2012-13.pdf 012-13.pdf Diagrama de carrol ejercicio resuelto de teoría de conjuntos disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=YDpdGAqF33g Teoría de conjuntos y temas afines disponible en:
http://pperalta.files.wordpress.com/2009/08/teoria-de- conjuntos-y-temas-afines-symour-lipschutz.pdf
Conjuntos numéricos y operaciones. Conjuntos numéricos disponible en: http://www4.ujaen.es/~jquesada/Desc http://www4.u jaen.es/~jquesada/Descargas/Analisis/op argas/Analisis/operaciones_elementales.pdf eraciones_elementales.pdf Conjuntos numéricos 2: cardinales y entero disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=J-qRF2mTwTQ Nivelatorio de matemáticas matemáticas básicas disponible en: http://davidbuiles.files.wordpress.com http://davidb uiles.files.wordpress.com/2011/01/conju /2011/01/conjuntos-numc3a9ricos.pdf ntos-numc3a9ricos.pdf
Proposiciones simples, elementos de enlace y proposiciones compuestas Conectivos lógicos disponible en: http://profesorjosebarros.weebly.com/u http://profeso rjosebarros.weebly.com/uploads/6/3/9/0 ploads/6/3/9/0/6390906/conect /6390906/conectivos_lgicos.pdf ivos_lgicos.pdf Proposiciones y Conectivos Lógicos. Disponible en: https://www.itescam.edu.mx/principal/sy https://www.i tescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/ labus/fpdb/recursos/r44828.PDF r44828.PDF Proposiciones Lógicas. Disponible en. http://www.youtube.com/watch?v=4rZ2VY8rOww Proposición lógica simple o atómica. Disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=YepOET8EkBc Lógica de proposiciones http://www.youtube.com/watch?v=5GCvF63BSrg
Simbolización de proposiciones, términos de enlace, tablas de verdad y operaciones Elementos de lógica proposicional http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/cap2.htm Simbolización de Proposiciones Lógicas http://profe-alexz.blogspot.com/2012/0 http://profe-alexz .blogspot.com/2012/08/Simbolizacion8/Simbolizacion-Proposiciones-LogicasProposiciones-Logicas-Ejemplos-Resueltos.htm Ejemplos-Resueltos.htmll Lógica de proposiciones
http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvir http://sisbib .unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/ tualdata/libros/filosofia/intro_ filosofia/intro_logica/1_parte.pdf logica/1_parte.pdf Simbolización de proposiciones. http://logicaunad.files.wordpress.com http://logicaun ad.files.wordpress.com/2012/02/simbo /2012/02/simbolizacic3b3n-de-proposicion lizacic3b3n-de-proposiciones.pdf es.pdf Introducción a la lógica matemática y teoría de conjuntos http://www.luiszegarra.cl/moodle/plug http://www.lu iszegarra.cl/moodle/pluginfile.php/128/ infile.php/128/mod_resource/content mod_resource/content/1/cap1.pdf /1/cap1.pdf
Reglas de inferencia, deducción proposicional y sus aplicaciones Inferencia deductiva o deducción http://ocw.univalle.edu.co/ocw/ingenieria-de-sistemas-telematica-yhttp://ocw.univalle.edu.co/ocw/ingen ieria-de-sistemas-telematica-y-afines/matematicas-discretasafines/matematicas-discretasi/material/md1_04.pdf Reglas de inferencia http://sosa.solucionesdeingenio.com http://sosa.solu cionesdeingenio.com/wp-content/uploads/20 /wp-content/uploads/2011/09/REGLAS-D 11/09/REGLAS-DE-INFERENCIA.pdf E-INFERENCIA.pdf Leyes de la lógica y reglas de inferencia http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/file/2754 http://www.tecdigital.itcr.ac.cr/file/2754007/Pr%C3%A1cti 007/Pr%C3%A1cticaDeL%C3%B3gicaIsemestre2 caDeL%C3%B3gicaIsemestre2012.pdf 012.pdf Deducción natural http://di002.edv.uniovi.es/~labra/Log http://di002. edv.uniovi.es/~labra/Logica/apuntes/nd.p ica/apuntes/nd.pdf df Lógica proposicional http://montsepedroche.files.wordpress. http://montsep edroche.files.wordpress.com/2010/11/lo com/2010/11/logica.pdf gica.pdf Deducción proposicional http://www.youtube.com/watch?v=qKSzTktENrU Universidad de Murcia ( ) Métodos de demostración en matemáticas Disponible en: http://www.um.es/docencia/jsimon/d http://www.um .es/docencia/jsimon/depmat/2012-2013/Cy epmat/2012-2013/CyN/Linero-DemostracionMatem N/Linero-DemostracionMatematicas(jsimon).pdf aticas(jsimon).pdf Morales, C, (2008) Los métodos de demostración en matemática. Universidad San Carlos .Guatemala. Disponible en: http://biblioteca.usac.edu.gt/tesis/07 http://biblio teca.usac.edu.gt/tesis/07/07_1914.pdf /07_1914.pdf Sosa, G( ) Métodos de demostración. Departamento de matemáticas y estadística. Universidad Popular del Cesar. Fortuny, J, Martin, J y Murillo, Murillo, J (
).El aprendizaje aprendizaje colaborativo colaborativo y la demostración demostración matemática. Disponible en:
http://www.uv.es/aprengeom/archivos2/ http://www.uv .es/aprengeom/archivos2/MartinMurilloF02.pdf MartinMurilloF02.pdf Principios y estándares para la educación matemática ( ) Razonamiento y demostración paginas 59-63. Disponible en: http://phobos.xtec.cat/creamat/joomla/f http://phobos .xtec.cat/creamat/joomla/file/2_razonamiento_y ile/2_razonamiento_y_demostracion.pdf _demostracion.pdf
Apuntes de matemática (
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http://www.itescam.edu.mx/principal/sy http://www.itesc am.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos labus/fpdb/recursos/r44931.PDF /r44931.PDF Departamento de humanidades ( ) validez validez y deducción lógica. Disponible en: http://www.econ.uba.ar/www/departamentos http://www.econ.u ba.ar/www/departamentos/humanidades/plan97/ /humanidades/plan97/logica/Legris/cu logica/Legris/curso_de_logica/CURSOL rso_de_logica/CURSOLOGI OGI CA-03.pdf